control estadistico de proceso
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1
Control Estadístico de
Procesos
Funciones de Distribución de Probabilidades
Funciones de Distribución
Hemos visto como se construye un gráfico de frecuencias con datos extraídos de una población.
A medida que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la población, podemos construir nuestro gráfico con un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud (El rango total cubierto por la población es el mismo).
Funciones de Distribución Funciones de Distribución
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2
Funciones de Distribución Funciones de Distribución
Si continuamos este proceso, con intervalos cada vez mas estrechos y numerosos, los altibajos en el gráfico de la distribución de frecuencias tienden a desaparecer:
Funciones de Distribución Funciones de Distribución
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3
En el límite, el ancho del intervalo tiende a cero y la población puede representarse por una distribución de probabilidad continua.
Funciones de Distribución
Cuando, para representar esta distribución de probabilidad continua se utiliza una función matemática, esta se denomina Función de Densidad de Probabilidad.
Funciones de Distribución
La forma de la curva en el gráfico de la función de distribución es característica de la población de observaciones asociada con la misma, y depende de variables internas del proceso que generólos datos de la población.
Funciones de Distribución
Existen distintas funciones de distribución teóricas, cada una de las cuales estábasada en un modelo de comportamiento del proceso que generó el universo de observaciones.
Funciones de Distribución
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La aplicación de una de estas distribuciones teóricas a una población particular está justificada si las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento del proceso que generóla población se cumplen.
Funciones de Distribución
Dicho de otro modo, si conocemos el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron lugar a nuestra población de mediciones u observaciones, y además ...
Funciones de Distribución
estamos seguros de que el mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado, entonces podemos decir que la distribución de probabilidades de nuestra población es la que corresponde al modelo.
Funciones de Distribución
En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos generan resultados numéricos cuya distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados modelos teóricos.
Funciones de Distribución
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Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas por un material radiactivo sigue una distribución de Poisson. Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc.
Funciones de Distribución
Cada una de ellas tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene en un determinado comportamiento de los fenómenos, y al aplicarla se está haciendo en forma implícita la suposición de que se cumplen las suposiciones del modelo subyacente.
Funciones de Distribución
La Distribución Normal
Una importante distribución teórica es la Distribución Normal o de Gauss. La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:
Funciones de Distribución
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La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo .
Funciones de Distribución
La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a s, la desviación standard de la población:
Gráfico de la Distribución Normal
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Variable Aleatoria X
De
ns
ida
d d
e P
rob
ab
ilid
ad
Funciones de Distribución
El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre
- y + es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre -2 y +2 es aproximadamente igual a 0,95 del área total:
Funciones de Distribución Funciones de Distribución
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Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población).
Funciones de Distribución
Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard).
Funciones de Distribución
Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de dicha población.
Funciones de Distribución
La Distribución Normal Standard
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Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:
Funciones de Distribución
Si llamamos Z a la cantidad
la función queda así:
Funciones de Distribución
Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación standard de la población.
Funciones de Distribución
Esta función está tabulada, y para ingresar en la tabla es necesario calcular Z, para lo cual necesitamos la media y la desviación standard de la población.
Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación standard sea 1:
Funciones de Distribución
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9
Gráfico de la Distribución Normal
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Variables Aleatorias X y Z
Den
sid
ad d
e P
rob
abil
idad
XZ
= 15
= 2,5
= 0
= 1
Cambio de variable
Funciones de Distribución
De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación standard de nuestra población real.
Funciones de Distribución
El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.
Funciones de Distribución
La Distribución T de Student
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En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.
Funciones de Distribución
En estos casos calculamos el estadístico T:
Funciones de Distribución
donde S es la desviación standard muestral, calculada con n-1 grados de libertad:
Notar que utilizamos S, la Desviación Standard de una Muestra, en lugar de , la Desviación Standard de la Población :
Desviación StandardMuestral
Funciones de Distribución
El estadístico T tiene una distribución que se denomina distribución T de Student, que está tabulada para 1, 2, 3, ... etc. grados de libertad de la muestra con la cual se calculó la desviación standard.
Funciones de Distribución
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La distribución T tiene en cuenta la incertidumbre en la estimación de la desviación standard de la población, porque en realidad la tabla de T contiene las distribuciones de probabilidades para distintos grados de libertad:
Funciones de DistribuciónGráfico de la Distribución T
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Variable Aleatoria T
Den
sid
ad d
e P
rob
abili
dad
Distribución T para 5 Grados de Libertad
Funciones de Distribución
Para un número de grados de libertad pequeño, es mas ancha que la distribución normal tipificada. Cuando los grados de libertad tienden a infinito, la distribución T tiende a coincidir con la distribución normal standard.
Funciones de DistribuciónEn la medida que aumentemos el número de observaciones de la muestra, la desviación standard calculada estará mas próxima a la desviación standard de la población y entonces la distribución T correspondiente se acerca a la distribución normal standard.
Funciones de Distribución
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Distribución de Promedios Muestrales
Se consideran observaciones de experimentosrealizados en una misma población de la cualse extraen muestra.De cada muestra se obtiene la media y varianza 2. Supongamos que a continuación hacemos los siguiente:
Funciones de Distribución
En el caso las muestras entonces:
y
a la varianza
a la media
Funciones de Distribución
Tenemos:
Funciones de Distribución
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La distribución de medias muestrales estásituada en el mismo lugar (alrededor de la misma media) que la distribución original, pero es mucho mas angosta, porque su varianza es la décima parte de la varianza original.
Funciones de Distribución
La distribución original de observaciones representada por el bolillero blanco se denomina comúnmente distribución madre o base.
Funciones de Distribución
Media
Varianza
Desv. Standard
Forma de la curva
Distrib. de x Distrib. de
CualquieraMas cerca dela Normal
Funciones de Distribución
En general, en los problemas que se presentan habitualmente, existe una población de observaciones cualesquiera, de la cual tomamos una muestra aleatoria, por medio de la cual intentamos conocer todo lo que sea posible acerca de la población de la cual fue extraída.
Funciones de Distribución
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El promedio de la muestra de nelementos pertenece a la distribución de promedios muestrales de la población original.
Funciones de Distribución
Es decir, que el promedio de la muestra que obtuvimos es uno de los muchos promedios muestrales que se distribuyen alrededor de m con desviación standard:
Funciones de Distribución
Por lo tanto, si la muestra es mas grande (n mayor), estaremos en una distribución de promedios con desviación standard mas pequeña, por lo cual, el promedio de la muestra estará mas cerca del promedio del universo.
Funciones de Distribución
Es por esto que es razonable pensar que el promedio de la muestra es una estimación del promedio del universo.
Funciones de Distribución
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15
Fin de la
sección