Control Guide
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7/17/2019 Control Guide
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Taller Control • Octubre 2015 • 4.2.3 - 4.2.4
I. Ejercicio Control 4.2.3
ess = lims→∞ e(t) (1)
e(t) = L−1{E(s)} (2)
ess = limt→∞ e(t) = lim
s→0s · E(s) (3)
ess = lims→0
s · E0(s) · R(s) (4)
ess = lims→0
s · E0(s) · K s · K P (5)
ess = lims→0
s · 1
1 + 9.92040.06401·s+1
· 1s · K P (6)
ess = lims→0
1
1 + 9.92040.06401·s+1
· K P = 0.100802 · K P (7)
ess = 0.1 (8)
0.1 = 0.100802 · K P (9)
0.1
0.100802 = K P = 0.992 (10)
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Taller Control • Octubre 2015 • 4.2.3 - 4.2.4
II. Ejercicio Control 4.2.4.
Sistemas de segundo orden
Y (s)
R(s) =
ω2n
s2 + 2 ·ωn · ζ + ω2n
(11)
Para una entrada escalón
Y (s) = ω2
n
(s2 + 2 · ωn · ζ + ω2n) · s (12)
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Taller Control • Octubre 2015 • 4.2.3 - 4.2.4
Cuando 0 < ζ < 1 Desarrollando el polinomio
Y (s)
R(s) =
ω2n
(s + ζωn + j · ωd) · (s + ζωn − j ·ωd) (13)
donde:
ωd = ωn2
1− ζ 2 (14)
Utilizando fracciones parciales:
Y (s) = 1
s − s + ζ · ωn
(s + ζ ·ωn)2 −ω2d
+ ζ ·ωn
(s + ζ · ωn)2 + ω2d
(15)
Transformando al tiempo:
L−1 s + ζ ·ωn
(s + ζ
·ωn)2
−ω2
d = e−ζ ·ωn·t · cos(ωd · t) (16)
L−1
ωd
(s + ζ ·ωn)2 − ω2d
= e−ζ ·ωn·t · sin(ωd · t) (17)
Se obtiene finalmente:
y(t) = 1 − e−ζ ·ωn ·t2
1− ζ 2·ωd · t + tan−1
2
1− ζ 2
ζ
(18)
y(t) = 1 − e−ζ ·ωn ·t2
1− ζ 2
·ωd · t + tan−1
2
1− ζ 2
ζ
(19)
Cuando ζ = 1
Y (s) = ω2
n
(s2 + ω2n) · s (20)
Transformado al tiempo:
y(t) = 1 − e−ωn ·t · (1 + ωn · t) (21)
Cuando ζ > 1
Y (s) = ω2
n
(s + ωn
·ζ + ωn
· 2 1− ζ 2)
·(s + ωn
·ζ
−ωn
· 2 1− ζ 2)
(22)
Transformando al dominio del tiempo
y(t) = 1 + 1
2 · 2 ζ 2 − 1 · (ζ + 2
ζ 2 − 1)
· e−( 2√
ζ 2−1)·ωn ·t− 1
2 · 2 ζ 2 − 1 · (ζ − 2
ζ 2 − 1)
· e−( 2√
ζ 2−1)·ωn·t
(23)
Para el caso evaluado
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La función de transferencia respectiva:
G0(s) = 154.982 · K P
s2 + 15.623 · s + 154.982 · K P (24)
Como se observa, K P cambia la frecuencia natural del sistema, por tanto, a partir de estaganancia, es posible adecuar el tiempo de asentamiento para el sistema de control. Sin embargo,esto no es cierto para todos los tipos de respuesta transitoria, como se verá a continuación.
Para sistemas subamortiguados:
ts = 4.5
ζ · ωn(25)
Donde ζ · ωn es una constante, para el caso evaluado.
Para sistemas críticamente amortiguados:
ts = 4 ·ωn (26)
Siendo ζ = 1, por tanto, sólo existirá un tiempo de asentamiento.
Para sistemas sobreamortiguados:
ts = 4 · 2 ζ 2 − 1 ·ωn = 4 · 2
ζ 2 · ω2
n − ω2n (27)
Con esta última, es posible ver que aunque la expresiÃsn ζ ·ωn sea constante para este caso,se puede modificar el tiempo de asentamiento al cambiar la frecuencia natural del sistema.
Para un tiempo de 2.5 s :
2.5 = 4
· 2 7.81152
−7.8115
ζ
2
(28)
ζ = 1.003216 (29)
K P = 2.792√
154.982= 0.22414 (30)
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III. Ejercicio 4.4.1
G0(s) = 9.9204
0.06401 · s + 1 (31)
IV. Ejercicio 4.4.2
El controlador es de la forma:
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C(s) = K C ·
1 + 1
T i · s
(32)
El sistema de control está descrito por:
Calculando la función de transferencia del sistema de control:
G(s) =
K C ·
1 + 1T i·s
·
9.92040.06401·s+1
1 + K C
·1 + 1
T i
·s ·
9.92040.06401
·s+1
(33)
G(s) =
154.9578·K C ·(T i ·s+1)s·(s+15.62012)·T i
1 + 154.9578·K C·(T i ·s+1)s·(s+15.62012)·T i
(34)
G(s) = 154.9578 · K C · (T i · s + 1)
s2 + 154.9578 · (K C + 0.1008024) · T i · s + 154.9578 · K C (35)
Donde es posible observar que, siendo la función de transferencia de la planta:
G0(s) = K Pτ · s + 1
(36)
La función característica del sistema de control resulta:
G(s) = K C · K P · (T i · s + 1)T i · τ · s2 + T i · (1 + K C · K P) · s + K C · K P (37)
Siendo el polinomio característico:
P(s) = s2 + (1 + K C · K P)
τ · s +
K C · K Pτ · T i (38)
Como es conocido, la forma general del polinomio característico es:
P(s) = s2 + 2 · ζ ·ωn · s + ω2n (39)
De tal manera que los polos se encuentren ubicados en:
λ1,2 = −ζ ·ωn ± j · ωn · 2
1− ζ 2 (40)
De las ecuaciones anteriores, es posible obtener:
K C = 2 · ζωn · τ − 1
K P(41)
T i = ω2
n · τ 2 · ζωn · τ − 1
(42)
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Con los cálculos anteriores, es posible hallar que:
Gl(s) = (2 · ζ ·ωn − 1
τ ) · s + ω2n
s2 + 2 · ζ ·ωn · s + ω2n
(43)
Aunque el método de ubicación de polos descrito para sistemas de segundo órden, nocontempla en su topología uno o más ceros, se utilizará para dar una aproximación al resultadoesperado.
MP = e−π ·ζ
2√ 1−ζ 2 (44)
ζ = 0.646 (45)
ts = 3.2
ζ · ωn
(46)
ωn = 9.91
rad
s
(47)
Con estos parámetros, es posible obtener el valor de las constantes proporcional e integral parael controlador:
K C = 1.1898 (48)
T i = 0.5326 (49)
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Como se observa, no es posible realizar una sintonizaciÃsn adecuada para el sistema con elmétodo usado, por tanto, se realizará un ajuste manual, resultando:
K C = 1.5898 (50)
T i = 0.5326 (51)
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