Universidad de Magallanes Facultad de Ingeniería Control Moderno.

Trabajo Final

Control Moderno “Accionamiento de un Motor

con Eje Flexible”

Profesor: Sr. Rubén Peña. Carlos Mancilla. Fernando Vargas.

2003.

Introducción

Este trabajo tiene como objetivo el control mediante variables de estado de un motor DC con un eje flexible. Este problema de control puede ocurrir en procesos de manufactura típicos. Básicamente, se posee un motor que está accionando una carga mediante un eje. Las mismas ecuaciones cubren el caso en donde un motor maneja o acciona una carga mediante una correa la cual puede estirarse (esto es tal vez el caso más real). La carga puede ser de cualquier tipo. El propósito es realizar el control de la velocidad de la carga (la cual generalmente es variable). Se posee un sensor para medir la velocidad y se puede ubicar tanto en la carga como en el motor. Por lo tanto, si tan sólo se puede medir la velocidad del motor, se hace muy complicado el control de velocidad en la carga si se tiene una correa entre ellos. El problema se irá resolviendo por etapas, comenzando con el control de velocidad de la carga con un eje rígido.

Resumen

A continuación se describen las diversas etapas en que se ha dividido el problema para lograr el control en la velocidad de la carga, y que son parte del informe siguiente:

1) Se presentan y desarrollan las ecuaciones de estado para una máquina de corriente continua (DC).

2) Se divide el control del motor, en un lazo interno de corriente y uno externo de

velocidad, en donde el lazo interno posee una dinámica mucho más rápida que el externo.

3) Se diseña una ley de control para el lazo de corriente, y se efectúan algunas

pruebas que permitan visualizar la respuesta en el tiempo para las diferentes salidas.

4) Se diseña una ley de control para el lazo externo de velocidad, y se efectúan

algunas pruebas que permitan observar el comportamiento del sistema para las distintas salidas.

5) Se presentan y desarrollan las ecuaciones de estado para una máquina de

corriente continua considerando ahora el eje flexible.

6) Se considera la máquina con un eje flexible, y se le diseña una ley de control que permita controlar la velocidad en la carga (wL).

7) Finalmente, se diseña un observador de orden completo y se implementa un

sistema controlador – observador, observando las respuestas en el tiempo para los estados reales y observados.

Proyecto 1

Accionamiento de un Motor con Eje Flexible Control de Velocidad de un Motor/Carga. Ecuaciones Básicas. La Figura 1, muestra esquemáticamente una máquina DC manejando una carga:

Esquema de una Máquina DC.

donde: V Voltaje de Control Vmax = 400 V i Corriente de Armadura inominal = 42 A w Velocidad del motor (rd/s) wnominal = 1000 rpm ka Constante del Motor ka = 3.4 E Contra f.e.m = kaw T Torque del motor = kaI Tnominal = 143 Nm Ra Resistencia Armadura Ra = 1.02 Ω La Inductancia Armadura La = 10.2 mH J Inercia del motor + carga J = 0.4 kg/m2 B Coeficiente de Roce + carga B = 0.682 Nm/rads-1 TL Carga Adicional desconocida Note que a la velocidad nominal (1000 rpm), el motor opera a la mitad de la carga (a la mitad del torque nominal) para contrarrestar el roce. Ejercicio 1

Definiendo x = [I w], v = [I w], y u = [V TL], muestre que:

u5.20

098x

7.15.8333100

x.

−

+

−−−

= , u0000

x1001

v

+

=

Recordando las ecuaciones dinámicas para la máquina de corriente continua, se tiene que:

EdtdiLIRV a

aa ++= (1)

Laa TBwdtdwJKIT ++== (2)

Desarrollando la ecuación (1):

EdtdiLIRV a

aa ++=

KwIRVEIRVIL aaaaa

.−−=−−=⇒

w333I100V98LKwI

LR

LVI a

aa

a

a

a

a

.−−=−−=⇒

V98w333I100I aa

.+−−=⇒ .

Y desarrollando la ecuación (2):

Laa TBwdtdwJKIT ++==

La

.TBwKIwJ −−=⇒

LaL

a

.T5.2w7.1I5.8

JTw

JBI

JKw −−=−−=⇒

La

.T5.2w7.1I5.8w −−=⇒ .

Por lo tanto:

−

+

⋅

−−−

=

=

L

a.a

..

TV

5.20098

wI

7.15.8333100

wIx

Dibuje un diagrama de bloques para la función de transferencia de la planta en

la forma siguiente:

Figura 2.

Diagrama de bloques para el sistema del Motor DC.

De acuerdo a las ecuaciones (1) y (2), se obtiene el siguiente diagrama de bloques:

Figura 3.

Diagrama de bloques para el sistema del Motor de DC incluyendo las Funciones de Transferencias.

Si se hace TL = 0, el sistema se puede reducir a un bloque con una función de transferencia, la cual esta dada por:

2aaa

a

aa

2a

aa

a

a K)BsJ)(RsL(K

)BsJ)(sLR(K1

)BsJ)(sLR(K

)s(V)s(w

++⋅+=

+⋅++

+⋅+= .

Usando el bloque state-space, ingrese el sistema en Simulink, especificando las entradas y salidas. Cree las matrices del sistema en Matlab y verifique los autovalores. Al ingresar el sistema en Simulink, se pueden llevar las matrices a Matlab usando el comando “linmod”. Para obtener los autovalores se utiliza el comando ”ddamp”, el cual arroja los siguientes valores: Autovalores:

λ1 = -5.09e+001 + 2.04e+001i = -50.9 + 20.4i λ2 = -5.09e+001 - 2.04e+001i = -50.9 – 20.4i

La razón por la cual los autovalores no corresponden a los polos a lazo abierto, es por que estos corresponden a los polos a lazo cerrado.

Filosofía de Control

La filosofía de control, comprende un lazo de corriente interno y un lazo externo de velocidad. La dinámica del lazo interno debe ser mucho más rápida que la del lazo externo. Lo primero en hacer es diseñar un controlador de corriente de espacio de estado. Luego este sistema a lazo cerrado será la planta para el controlador de velocidad de espacio de estado.

Diseño para el lazo de corriente.

Para el control de corriente se desea que la respuesta de corriente a un cambio de entrada escalón tenga un tiempo de estabilización de 2 % en 20 ms. Además se quiere que la corriente siga a la referencia con cero error en estado estacionario. Para eso es necesario hacer un control integral, usando el sistema aumentado para integrar el nuevo estado. Ejercicio 2

Implementar el sistema aumentado en Simulink, e ir a Matlab y obtener las matrices de estado aumentadas (es decir, con el nuevo estado integral). Verificar los autovalores. Luego, use el comando ‘place’ para obtener las tres ganancias de realimentación. El sistema aumentado en Simulink es el siguiente:

3

Out3

2

Out2

1

Out1

t

t

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space

s

1

In tegra to r

em

Clock

2

In2

1

In1

Figura 4.

Implementación de las ecuaciones de estado del Motor de DC. Las matrices aumentadas son las siguientes:

−=

−−−

=00

5.20098

B;00107.15.80333100

A

Para utilizar el comando ‘place’, se debe especificar en primer lugar los autovalores, los cuales son 3. Dos de ellos deben representar la respuesta en el tiempo de 20 ms para el tiempo de estabilización. El tercer autovalor debe reflejar el hecho de la ganancia asociada a este autovalor debe tener un valor muy similar al ka de la máquina (con signo contrario), de modo que se compense el efecto de la f.e.m., es decir, el E = Ka·w. De este modo, la obtención de los dos primeros autovalores, eligiendo ξ = 0.707 se realiza de la siguiente manera:

)srd(283w)seg(02.0w4%)2(T 1

nn

S−⋅=⇒=

⋅ξ=

Si se reemplaza ξ y wn en la ecuación (3), se obtienen los dos primeros polos o autovalores.

2nn

2 wsw2s +ξ+ (3)

Por lo tanto, al reemplazar dichos valores en la ecuación (3), se tiene:

080089s400s2 =++⇒ .

200j200s200j200s

2

1

−−=⇒+−=⇒

El tercer autovalor se obtiene por prueba y error, de modo de hacer K2 = - Ka = -3.4, lo cual involucra el hecho de que el tercer estado corresponde a la velocidad.

Por lo tanto, se realizarán las pruebas con los siguientes valores para la ubicación del tercer polo (o autovalor): -500, -100, -50, -10, -1.7, -0.5. Además para ubicar las ganancias de realimentación del controlador se considerará TL = 0, con lo cual la matriz B, queda de la forma siguiente:

=

0098

B'

Los valores de K se entregan en la Tabla 1, y se obtienen utilizando el comando ‘place’ de Matlab.

Tabla 1 s1 s2 s3 K1 K2 K3

-200-200j -200+200j -500 10 -27920 240100 -200-200j -200+200j -100 4 -5510 48019 -200-200j -200+200j -50 4 -2709 24010 -200-200j -200+200j -10 3.1 -468.3 4801.9 -200-200j -200+200j -1.7 3.0612 -3.398 816.3265 -200-200j -200+200j -0.5 3.049 63.8201 240.096

De la Tabla 1, se aprecia que el tercer autovalor debe estar ubicado en s = -1.7, de modo que se cumpla que la ganancia de realimentación asociada a la velocidad tenga el mismo valor que la constante de la máquina Ka.

Por otra parte, el tercer autovalor se puede obtener también de manera teórica teniendo presente que debe reflejar el hecho de la ganancia asociada a este autovalor (K2) debe tener un valor muy similar a ‘-ka’ de la máquina, de modo que se compense el efecto de E = Ka·w. El desarrollo es el siguiente: Primero se encuentran los autovalores de la matriz ‘A’ ampliada, por medio del comando ‘ddamp(A)’, lo que entrega:

λ1 = 0 λ2 = -50.85 + 20.366j λ3 = -50.85 – 20.366j

La ecuación característica obtenida de los autovalores es la siguiente:

a (s) = s(s + 50.85 + 20.366j)(s + 50.85 - 20.366j) ⇒ a (s) = s3 + 101.7s2 + 3000.5s ⇒ a1 = 101.7 ; a2 = 3000.5 ; a3 = 0.

A lazo cerrado los polos se desean ubicar en: -200 ± 200j y el tercero es el que se desconoce. Por lo tanto la ecuación característica a lazo cerrado es: α (s) = (s + 200 + 200j)(s + 200 – 200j)(s + p) ⇒ α (s) = (s2 + 400s + 80000)(s + p) ⇒ α (s) = s3 + (p + 400)s2 + (400p + 80000)s + 80000p. ⇒ α1 = (p + 400) ; α2 = (400p + 80000) ; α3 = 80000p.

En donde p representa la ubicación del tercer polo. Aplicando la forma canónica de control para el cálculo de las ganancias: KC1 = α1 – a1 = (p + 400) – 101.7 = p +298.3 KC2 = α2 – a2 = (400p + 80000) – 3000.5 = 400p + 77000 KC3 = α3 – a3 = 80000p – 0 = 80000p

En donde: KC = [KC1 KC2 KC3] = [(p + 298.3) (400p + 77000) (80000p)] La matriz Controlabilidad se define como C = [B’ AB’ A2B’], por lo que queda de la siguiente manera:

C =

−−

−

9800980847168330

702611980098

Expresando el sistema en su forma canónica de control se tiene:

=

−−=

−−−=

001

B;01000105.30007.101

010001aaa

A C

321

C

Además la matriz Controlabilidad del sistema en la forma canónica de control es:

CC = [BC ACBC AC2BC] =

−

−

1007.101104.73427.1011

Por otra parte, la matriz T se define como: T = CC x C-1, en donde K = KC x T.

−

−=

006.0000706.0000012.00

00006.000205.00102.0T

Finalmente reemplazando KC y T en la ecuación K = KC x T, se tiene:

K = [(p + 298.3) (400p + 77000) (80000p)]*

−

−

006.0000706.0000012.00

00006.000205.00102.0

Por lo tanto, al efectuar la multiplicación: K1 = 0.0102*(p + 298.3) K2 = -3.4 = -0.00205*(p + 298.3) + 0.0012*(400p + 77000) – 0.000706*(80000p) K3 = 0.00006*(p + 298.3) + 0.006*(80000p) Lo cual es un sistema de ecuación lineal, con tres incógnitas y tres ecuaciones. Al resolver este sistema, se obtiene: p = 1.6998 ≈ 1.7 K1 = 3.06 K3 = 816.018 Por lo tanto la ubicación del tercer polo debe estar en: s = -1.7, y las ganancias de realimentación son: K = [K1 K2 K3] = [3.06 -3.4 816.018]. A continuación se presenta la implementación en Simulink incluyendo las ganancias de realimentación encontradas para cuando los autovalores se ubican en: s1,2 =-200±200, s3 = -1.7.

w

w

t

t

i

i

S tep

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

Sta te-Space

816 .32

Ki

-3.398

K2

3.0612

K1

s

1

In teg rator1em

Clock

1

T l

Figura 5

Implementación del controlador de corriente. Al efectuar la simulación, se obtiene la siguiente respuesta en el tiempo para la corriente:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050

5

10

15

20

25

30

35Respuesta en el Tiempo para el Lazo de Corriente

Tiempo (Seg)

Co

rrie

nte

(A

)

Figura 6

Respuesta en el Tiempo para la Corriente.

Se aprecia en la Figura 6, que la respuesta de la corriente responde a las

especificaciones dadas de estabilización de 2% en 20 (ms). Por lo tanto, los autovalores para determinar el control de corriente son:

s1,2 =-200±200j, s3 = -1.7. Y las ganancias de realimentación respectivas son:

K = [K1 K2 Ki] = [3.0612 -3.398 816.3265]. Finalmente se procederá a comprobar los autovalores utilizando el comando ‘linmod’ ([A,B,C,D]=linmod(‘name’)), para determinar en primer lugar las matrices A, B, C y D, y luego el comando ‘ddamp’ (ddamp(A)). De esta forma se obtienen las siguientes matrices en el sistema:

=

=

−−=

−

−−=

000000

D;100010001

C;01

5.2000

B;001028

800000400A

Y los autovalores obtenidos de la matriz ‘A’ son los siguientes: s1 = -200 + 200j

s2 = -200 – 200j s3 = -1.7.

Sin embargo al observar la tensión se aprecia que esta supera los 400 (V) nominales de la máquina, como se aprecia en la Figura 7, llegando a un valor aproximado de 540 (V), lo cual no es conveniente pues la máquina estaría trabajando con una sobretensión.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

100

200

300

400

500

600Respuesta en el Tiempo para la Tensión

Tiempo (Seg)

Te

ns

ión

(V

)

Figura 7

Respuesta en el Tiempo para la Tensión. Para superar este problema se debe instalar un esquema anti-windup, que limite la tensión a un valor de ±400 (V).

El esquema de conexionado se presenta en la Figura 8.

3

Out3

2

Out2

1

Out1

w

w

t

t

v

i1 i

i

e i

e i

T able

Stepx' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space

Prod.1L im i tador1

816.32

K i

-3.398

K2

3 .0612

K1

s

1

Integrator1em

Clock

1

T l2

Figura 8

Implementación del esquema Antiwind Up. Al efectuar la simulación se consiguen los siguientes resultados para la tensión y corriente:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

50

100

150

200

250

300

350

400

Respuesta en el Tiempo para la Tensión

Tiempo (Seg)

Te

ns

ión

(V

)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

5

10

15

20

25

30

35Respuesta en el Tiempo para la Corriente

Tiempo (Seg)

Co

rrie

nte

(A

)

Figura 9

Respuestas en el tiempo para la tensión y corriente al implementar el esquema Anti windup.

El hecho de que la corriente disminuya cuando la tensión llega a los 400 (V), se produce por la implementación del anti-windup, el cual desactiva la acción del integrador cuando la salida del controlador alcanza su valor límite de ±400 (V). Al desactivar el integrador el error en estado estacionario pasa a ser distinto de cero, razón por la cual se aprecia que al inyectar una referencia de 30 (A), la salida en estado estacionario no alcanza ese valor. Si se implementa el limitador sin anti windup, la respuesta para la tensión, corriente y para velocidad se mantiene igual que para el caso con sistema anti windup.

Diseño para el lazo de velocidad.

Es necesario ahora agregar el lazo de velocidad. Las especificaciones para la respuesta de velocidad a lazo cerrado es que el tiempo de estabilización al 2% debe ser 0.5 (seg) y además es necesario cero error en estado estacionario para un entrada escalón (eSS = 0). Ejercicio 3 Aumente el sistema de modo que la velocidad posea un estado extra. El sistema entonces toma la siguiente forma:

4

e i de w

3

e i de i

2

w

1

i

t

t

x' = Ax+Bu y = Cx+Du

State-Space

s

1

Integrator

em

Clock

2

I*

1

T l

Figura 10

Implementación de las ecuaciones de estado del Motor DC para el control de velocidad.

En donde las matrices A, B, C y D originales son las siguientes:

=

=

−−=

−

−−=

000000

D;100010001

C;01

5.2000

B;001028

800000400A

Y las matrices ampliadas son:

=

=

−−

=

−

−−

=

00000000

'D;

1000010000100001

'C;

0001

5.2000

'B;

0010000100280800000400

'A

Es necesario entonces seleccionar cuatro autovalores para posteriormente utilizar el comando place de modo de obtener las respectivas ganancias K. Los dos primeros autovalores se obtienen de la condición de TS (2%) = 0.5 (seg), y seleccionando un coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.707. Entonces:

)srd(315.11w)seg(5.0w4%)2(T 1

nn

S−⋅=⇒=

⋅ξ=

Si se reemplaza ξ y wn en la ecuación (3), se obtienen los dos primeros polos o autovalores, tal como se efectuó en el Ejercicio 2.

Por lo tanto, al reemplazar dichos valores en la ecuación (3), se tiene:

003.128s16s2 =++⇒ . Luego los dos primeros polos (autovalores) son:

s1 = -8 + 8j s2 = -8 – 8j

Los dos autovalores siguientes deben representar la dinámica del estado de la corriente y del estado integral de corriente, por lo tanto se ubican en:

s3 = -200 + 200j s4 = -200 – 200j

Con estos valores se utiliza el comando ‘place’, teniendo presente que la entrada TL es igual a 0 para el diseño del controlador. Esto implica que es necesario modificar la matriz ‘B’ a una nueva matriz ‘B1’ la cual toma la siguiente forma:

−=

00010000

1B

Con estos datos las ganancias de realimentación para el control de velocidad

son las siguientes: K = [K1 K2 K3 Ki] = [0.0012 1.8122 -14 16].

La representación del sistema incluyendo las ganancias de realimentación es:

3

e i de i

2

w

1

i

t

t

w

Velocidad

Step

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

Sta te -Space

16

K i

-14

K3

1.81

K2

0.0012

K1

s

1

Integ rador

em

i ref

Corriente1

i

Corriente

Clock

1

T l

Figura 11

Implementación del control de velocidad. La respuesta al implementar el control de velocidad en el tiempo para la velocidad y la corriente es mostrada en la Figura 12.

0 0.5 1 1.5-50

0

50

100

150Velocidad v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.5 1 1.50

20

40

60

80Corriente v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Co

rrie

nte

(A

)

0 0.5 1 1.5-150

-100

-50

0

50Error de Velocidad v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.5 1 1.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Error de Corriente v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Co

rrie

nte

(A

)

Figura 12.

Respuesta en el Tiempo para la Velocidad y para la Corriente y sus respectivos errores.

Antes de hacer un análisis del sobrepaso inicial de la corriente, se hace una prueba haciendo las ganancias de realimentación de la corriente y de la integral de corriente cero (K1=K3=0), apreciando que el sistema mantiene su comportamiento con muy poca diferencia. La razón de la pequeña diferencia, es que en primer lugar la ganancia de corriente posee un valor muy pequeño (0.0012), por lo que al multiplicarlo por la corriente que en este caso es 30 (A) da un valor que no altera mayormente la respuesta de velocidad. En cuanto a la ganancia asociada al error de la integral de corriente que es -14, no altera mayormente el sistema debido a que el error en estado estacionario de corriente es prácticamente cero. Ahora bien, de la Figura 12, se ve que la corriente tiene un sobrepaso inicial muy alto (aproximadamente 3 veces el valor en estado estacionario), por lo que es necesario implementar un controlador anti-windup de modo de limitar la corriente a un valor establecido, que se establecerá en 50 (A). El controlador anti-windup posee el esquema de implementación mostrado en la Figura 13.

3

e i de i

2

w

1

i

t

t

w

Velocidad

T ab le

Step

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space

Prod .1

L im i tador116

K14

-14

K13

1.8122

K12

0.0012

K11

s

1

Integrador

em

i

Corrien teClock

1

T l

Figura 13.

Implementación del control de velocidad mediante un esquema Anti-windup.

Y las respuestas que entrega el esquema anti-windup para la velocidad y

corriente son las siguientes:

0 0.5 1 1.5-50

0

50

100

150Velocidad v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.5 1 1.50

10

20

30

40

50

60Corriente v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Co

rrie

nte

(A

)

0 0.5 1 1.5-150

-100

-50

0

50Error de Veloc idad v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.5 1 1.5-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0Error de Corriente v/s Tiempo

Tiempo (seg)

Co

rrie

nte

(A

)

Figura 14.

Respuesta en el Tiempo para la Velocidad y para la Corriente del Motor y sus respectivos errores usando Anti-windup.

De la Figura 14, se aprecia que efectivamente se logra controlar el sobrepaso inicial de la corriente a un valor definido de modo de no tener problemas con la máquina. En tanto la respuesta de velocidad se hace un poco más lenta, pero esta variación es despreciable, pues en aproximadamente 0.6 (seg.) ya se cumplen las especificaciones dadas con respecto al tiempo de estabilización. Nuevamente la influencia del estado de la corriente y del estado integral de la corriente no alteran mayormente la respuesta, debido a que la ganancia de corriente (0.0012) es muy pequeña y a que el error de la corriente también posee un valor bastante bajo (≈-0.13).

Control de Velocidad mediante Eje Flexible. Asumiendo ahora que el eje es flexible, de la siguiente forma:

Figura 15.

Representación de un Motor DC con Eje Flexible. Los valores para los diferentes parámetros son los siguientes: Jm Momento de Inercia del Motor 0.2 kgm2 JL Momento de Inercia de la Carga 0.2 kgm2 Bm Coeficiente de roce del Motor 0.1 Nm/rads-1 BL Coeficiente de roce de la Carga 0.582 Nm/rads-1 K Coeficiente de torsión del Eje 91 Nm/rad (Torque a torcer en el eje = 91 (θm - θL)) θm , θL : Ángulos instantáneos del motor y de la Carga. wm , wL : Velocidad instantánea del Motor y de la Carga. θ = (θm - θL) Ángulo actual de torsión. Ejercicio 4

La idea es realizar el control de velocidad de la carga (wL). Si se asume que el lazo de corriente es muy rápido se puede asumir que i* = i, es decir, la función de transferencia entre la corriente y su demanda en simplemente una ganancia unitaria. Luego el sistema se puede modelar de acuerdo a lo siguiente: x = [wm wL θ] y u = [i* TL]. Con esta definición y v = x, muestre que:

u0050

017x

0114559.2045505.0

x.

−+

−−

−−=

Recordando algunas ecuaciones se tiene lo siguiente:

θ⋅+⋅+⋅=⋅= KwBdt

dwJ*iKT mmm

mam (4)

LLLL

L TwBdt

dwJK +⋅+⋅=θ⋅ (5)

LmLm ww

dtd

dtd

dtd −=θ−θ=θ

(6)

Desarrollando la ecuación (4):

θ⋅+⋅+⋅= KwBdt

dwJT mmm

mm

*i17455w5.0w

455w5.0*i17w

JKw

JB*i

JKw

KwBwJ*iKT

m

.

m

m

.

m

mm

m

m

m

am

.

mm

.

mam

⋅+θ⋅−⋅−=⇒

θ⋅−⋅−⋅=⇒

θ⋅−⋅−⋅=⇒

θ⋅+⋅+⋅=⋅=⇒

Desarrollando la ecuación (5):

LLLL

L TwBdt

dwJK +⋅+⋅=θ⋅

LL

.

L

LL

.

L

LL

LL

L

L

.

L

LLL

.

LL

T5455w91.2w

T5w91.2455w

TJ1w

JB

JKw

TwBwJK

⋅−θ⋅+⋅−=⇒

⋅−⋅−θ⋅=⇒

⋅−⋅−θ⋅=⇒

+⋅+⋅=θ⋅⇒

Desarrollando la ecuación (6):

LmLm ww

dtd

dtd

dtd −=θ−θ=θ

Lm

.ww −=θ

Por lo tanto:

⋅

−+

θ⋅

−−

−−=

θ

=L

L

m

.

.

L

.

m.

T*i

0050

017ww

0114559.2045505.0

w

w

x , y como v = x:

θ⋅

= L

m

ww

100010001

v

Al ingresar el sistema a Simulink y verificar los autovalores, el sistema queda de

la siguiente manera:

O

3

2

wL

1

wm

t

t

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space

em

Clock

2

I*

1

T l

Figura 16.

Implementación de las ecuaciones de estado del Motor DC para el control de velocidad con Eje Flexible.

Al llevar las matrices a Matlab por medio del comando ‘linmod’ y al calcularle los autovalores mediante el comando ‘ddamp’ se obtiene:

=

=

−=

−−

−−=

000000

D;100010001

C;0050

017B;

0114559.2045505.0

A

Autovalores:

λ1 = -0.8487+30.1304j λ2 = -0.8487-30.1304j λ3 = -1.7027

Es necesario ahora aumentar el sistema con un estado integral de wL. Decida la ubicación de los autovalores a lazo cerrado de modo que la respuesta ante una entrada escalón tenga un tiempo de estabilización al 2% de 0.5 a 1 (seg). Obtenga la matriz de realimentación e implemente el sistema con las ganancias respectivas.

O

4

ei wL1

3

2

wL

1

wm

t

t

x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State-Space

s

1

Integrator

em

Clock

2

T l

1

I*

Figura 17.

Implementación de las ecuaciones de estado del Motor DC para el control de velocidad con Eje Flexible con Control Integral.

Las matrices aumentadas son las siguientes:

=

=

−

=

−−

−−

=

00000000

'D;

1000010000100001

'C;

000050

017

'B;

0010001104559.20045505.0

'A

En donde los autovalores de la matriz ‘A’ aumentada son:

λ1 = -0.8487+30.1304j λ2 = -0.8487-30.1304j λ3 = -1.7027 λ4 = 0

Nuevamente la ubicación de los dos primeros autovalores se obtienen de la condición de TS (2%) = 0.5 (seg), y seleccionando un coeficiente de amortiguamiento ξ = 0.707. Entonces:

)srd(315.11w)seg(5.0w4%)2(T 1

nn

S−⋅=⇒=

⋅ξ=

Si se reemplaza ξ y wn en la ecuación (3), se obtienen los dos primeros polos o autovalores. Por lo tanto, al reemplazar dichos valores en la ecuación (3), se tiene:

003.128s16s2 =++⇒ . Luego los dos primeros polos (autovalores) son:

s1 = -8 + 8j s2 = -8 - 8j

Como con estos dos polos ya se cumple la condición requerida en el enunciado del problema en cuanto al tiempo de estabilización, los dos polos restantes se deben ubicar de modo que no alteren la respuesta estática y dinámica del sistema. De esta forma una buena opción es colocarlos alejados del origen. Por lo tanto una opción válida es colocarla en:

s3 = -100 + 100j s4 = -100 - 100j

Nuevamente para el diseño del controlador se hace TL = 0, por lo que la matriz B, queda como:

=

000000017

B

Al utilizar el comando el comando ‘place’ (K = place(A,B,p)), se obtienen las siguientes ganancias de realimentación:

K1 = 12.5 K2 = 23.8 K3 = 1282.4 Ki = 331

En donde K = [K1 K2 K3 Ki] = [12.5 23.8 1282.4 331].

Al implementar el sistema incluyendo las ganancias en Simulink toma la

siguiente forma:

O

3

2

wL

1

wm

wl

wL1

t

t

S tep x' = Ax+Bu

y = Cx+Du

State -Space

s

1

Integra to r

1282.4

Ga in3

23 .8

Ga in2

12.5

Gain1

331

Gain

em

Clock

1

T l

Figura 18.

Implementación de las ecuaciones de estado del Motor de DC incluyendo las ganancias de realimentación del controlador de velocidad.

Y al efectuar la simulación, se obtiene la siguiente respuesta en el tiempo para la velocidad wL:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Tiempo (seg)

Ve

loci

da

d (

rd/s

)

Respuesta en el Tiempo para la Velocidad

Figura 19.

Respuesta en el Tiempo para wL.

Se aprecia en la Figura 19, que la respuesta de velocidad responde a las especificaciones dadas de estabilización al 2% en aproximadamente 0.5 (seg). Por lo tanto, los autovalores para determinar el control de velocidad son:

s1,2 = -8 ± 8j, s3,4 = -100±100j. Y las ganancias de realimentación respectivas son:

K = [K1 K2 K3 Ki] = [12.5 23.8 1282.4 331].

Al analizar la corriente de referencia obtenida al aplicar el mismo escalón de velocidad se ve que tiene la siguiente respuesta:

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70

20

40

60

80

100

120Corriente de Referenc ia en el Tiempo

Tiempo (seg)

Co

rrie

nte

(A

)

Figura 20.

Respuesta de la Corriente de Referencia. Si bien es cierto que la corriente a la partida posee un valor bastante alto (aproximadamente 110 (A)) lo que es casi 3 veces la corriente nominal, esta dura un instante de tiempo muy pequeño por lo cual se decide no tomar ninguna acción correctiva. A pesar de esto se puede implementar una estructura anti-windup que limite la corriente a un valor definido por el diseñador, siguiendo el mismo procedimiento del Ejercicio 2 y del Ejercicio 3.

Finalmente se obtiene la matriz ‘A’ aumentada del sistema, de modo de efectuar la comprobación de los autovalores:

−−

−−−−

=

00100011045530

562722256405213

A

Y los autovalores obtenidos de esta matriz son los siguientes: s1 = -100 + 100j.

s2 = -100 – 100j. s3 = -8 + 8j. s4 = -8 – 8j.

Ejercicio 5

El diseño efectuado en el Ejercicio 4, asumía que wm, wL y θ eran medibles. Ahora sólo se considerará que sólo wL es medible. Se desea diseñar un observador de orden completo o de orden reducido para observar los otros estados. Implemente el observador junto a la ley de control para producir una respuesta a lazo cerrado observador-controlador. Verifique el diseño a través de la simulación.

Se diseñará un observador de orden completo, a pesar de que una variable pueda ser medida. Se sabe que los autovalores del observador deben ser unas 10 veces más rápidos que los autovalores más significativos del controlador. Además para el observador se debe tomar la matriz ‘A’ original (no la aumentada). Otro aspecto importante es que para simplificar el problema, el observador dependerá sólo de wL por lo que la matriz C toma la siguiente forma:

=

000010000

C

Teniendo presente lo anterior, se procedió a ubicar los polos de observador en: s = -80 + 80j, -80 – 80j y en -100, utilizando el comando ‘place’ (place(At,C,p)): obteniéndose los siguiente valores para el observador:

L1 = 2522.7 L2 = 256.6 L3 = 61

Con estos valores se tiene que para el observador:

Lt = [L1 L2 L3]

t = [2522.7 256.6 61]t Y para el controlador las ganancias de realimentación son:

K = [K1 K2 K3 Ki] = [12.5 23.8 1282.4 331],

Por lo tanto, ahora es posible implementar el sistema controlador–observador.

Esquemáticamente el sistema posee la siguiente forma:

Figura 21.

Sistema Controlador – Observador (Esquemático).

Por lo tanto, el sistema queda como lo muestra la Figura 22:

x3_ob

x3_ob

x3

x3

x2_ob

x2_ob

x2

x2

x1_ob

x1_ob

x1

x1

t

t

Step

61L3

256.6

L2

2522.7

L1

-0.5

K8

-1282.4

K7-1

K6

-455

K5

-23.8

K4

-12.5

K3

-2.9

K2

-1

K16

-455

K 15

-2.9

K 12

-0.5

K1

s

1

In teg rato r

s

1

I6

s

1

I5

s

1

I4

s

1

I3

s

1

I2

s

1

I1

17

Ga in4

1

Gain3

-5

Gain2

17

Gain1

-331

Gain

Clock

1

T l

x1

x2

x3

u2

rx1 ob

x2 ob

x3 ob

u1

Figura 22.

Sistema Controlador – Observador para el Motor.

Al efectuar las simulaciones para el sistema de la Figura 22, colocando diferentes condiciones iniciales para la planta y para el observador, se obtienen las siguientes respuestas en el tiempo para los diversos estados (wm, wL y θ respectivamente):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

-1000

-500

0

500Respuesta en el Tiempo para wm

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

Respuesta en el Tiempo para wl

Tiempo (seg)

Ve

loc

ida

d (

rad

/se

g)

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-15

-10

-5

0

5

10

15

20Respuesta en el Tiempo para el Ángulo de Tors ión

Tiempo (seg)

Án

gu

lo (

rad

)

Figura 23. Respuesta en el Tiempo para wm, wL y θ reales y observados usando el sistema

Controlador – Observador. NOTA: En la Figura 23, los estados reales son los mostrados en color ‘azul’, mientras que en color ‘rojo’ se aprecian los estados observados. Todos los valores observados tienen como condición inicial un valor de 20 y los valores reales comienzan con valor de 0, de modo que se logre apreciar una cierta diferencia inicial. Es apreciable de la Figura 23, que los valores obtenidos para el observador reflejan de buena manera a los estados reales, a pesar de ingresarles condiciones iniciales diferentes. En el peor de los casos (para la simulación efectuada) se ve que en aproximadamente 0.05 (seg) el estado observado se hace igual al estado real. Por otra parte, al probar diferentes condiciones iniciales los resultados obtenidos son muy similares a los entregados en la Figura 23. Es decir, los estados observados en un tiempo de 0.05 a 0.1 (seg) ya se hacen iguales a los estados reales o medidos.

Conclusiones

Del trabajo efectuado para el control de velocidad en la carga de un motor de corriente continua, es posible obtener las siguientes conclusiones:

• Para efectuar el control de velocidad en una máquina DC es conveniente separar el sistema en un lazo interno de corriente y uno externo de velocidad, en donde la dinámica del lazo interno debe ser mucho más rápida que la del externo.

• Para el diseño del control de corriente, es necesario elegir la ganancia asociada

a la velocidad igual a la constante de la máquina Ka (con signo contrario), de modo de compensar el efecto de la f.e.m. (E = Kaw).

• Cuando la corriente o tensión supera los valores nominales de la máquina es

necesario implementar diseños que limiten esos valores, de manera de no dañar la máquina por sobrecorrientes o sobretensiones.

• Las ganancias de realimentación en ciertos casos no tienen mayor influencia en

la respuesta del sistema debido a que, o tienen valores muy pequeños o bien las variables asociadas a estas ganancias también poseen valores despreciables (Por ejemplo, cuando se trata de errores que generalmente poseen valores muy cercanos a cero o bien son cero).

• En aquellos casos en que las variables no se puedan medir físicamente, es

posible efectuar el diseño de un observador que nos permita estimar el valor de aquellos estados difíciles de medir.