Convergencia y Divergencia en Series

Matematicas DiscretasAbelardo Rodríguez González

Convergencia y Divergencia

Convergencia.-Cuando una sucesión tiene límite finito a se dice que es convergente y converge a a.

Divergencia.-Una sucesión que tiene límite infinito se llama divergente.

Criterios de Convergencia y Divergencia:

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge( u oscilante). Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

CONVERGENCIA DE UNA SERIE INFINITA

Se dice que una serie infinitaes convergente si su sucesión de sumas parciales es convergente. Esto es,

El número S es la suma de la serie.

Si no existe, se dice que

la serie es divergente.

1kka

SSn

Lima n

kk

1

nSn

Lim

PRUEBAS DE COMPARACIÓN

En las pruebas de comparación, la idea es comparar una serie dada con una serie conocida que sabemos puede ser convergente o divergente y a partir de ello, llegar a alguna conclusión con respecto a la serie dada.

TEOREMA Suponga que y son series

de términos positivos.Entonces:

Si converge y an<bn para toda n, entonces también converge.

Si diverge y an>bn para toda n, entonces también diverge.

1kka

1kkb

1kkb

1kka

1kkb

1kka

PRUEBA DE COMPARACIÓN EN EL LÍMITE

Suponga que y son series con términos positivos.

Si: donde c es un número finito y c>0, entonces las series convergen o divergen simultáneamente.

1kka

1kkb

cb

a

n

Lim

n

n

PRUEBA DE LA RAÍZ Si , entonces la serie

es absolutamente convergente (y, en consecuencia, convergente).

Si o , entonces la serie es divergente.

1

Lan

Limn

n

1nna

1

Lan

Limn

n n

nan

Lim

1nna