Conversión de Energía

Captulo 2

CONVERSIN DE ENERGA.MODELOS ESTTICOS YMODELOS DINMICOS DE LASMQUINAS ROTATIVAS.

Programa Conversin de energa en sistemas magnticos.

Conversin de energa en s.m. con movimiento de traslacin. Electroimanes.( 1.8).

Conversin de energa en s.m. con movimiento de rotacin. Mquinas elc-tricas rotativas. ( 1.8).

Par electromagntico en las mquinas elctricas. ( 2.10 y 4.16).

Dinmica de la combinacin motor-carga. Estabilidad. ( 4.12 y 7.10.3).

Modelos de la mquina de corriente continua. ( 6.6, 6.7 y 6.8).

Modelos para las mquinas sncrona y asncrona.

Modelos de la mquina sncrona. ( 5.5, 5.6, 5.8 y 5.14). Modelos de la mquina asncrona. ( 4.4, 4.13 y ejemplos de aplicacin

7.16 y 7.17).

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Gua complementaria de estudio de Accionamiento y control de mquinas elctricas.

INDICACIONES.

2.1. Conversin de energa en sistemas magnti-cos.

La ecuacin fundamental que debe tomarse como punto de partida es la(1.88), pgina 50 de la referencia [1]:

dWe = dWm + dWmec + dWp

La ecuacin anterior se simplifica en la (1.89) cuando se suponen nulas lasprdidas.

2.1.1. Conversin en sistemas magnticos con movimientode traslacin. Electroimanes.

Debe estudiarse el apartado 1.8 de [1] prestando atencin a la forma en laque se produce el movimiento desde el punto de vista energtico, a flujo constanteo a corriente constante.

En el ejemplo de aplicacin 1.9 se presenta el estudio del rel electromagnticoaunque realmente se refiere a un actuador electromecnico ya que el trmino relrealmente suele emplearse para denominar aquellas funciones que partiendo de lamedida de diversas magnitudes elctricas (frecuencia, tensin, intensidad, etc.)determinan la actuacin de sistemas de proteccin en sistemas elctricos.

Ejercicio de estudio propuesto.

Se propone a los estudiantes que utilicen la figura 1.43 de [1] para calcular y dibujarsobre una misma grfica flujo/f.m.m. (similar a la figura 1.37) las lneas de magnetiza-cin para cuatro casos: sin entrehierro en la figura 1.43, con un entrehierro x =0,5 cm;x =1 cm y x =1,5 cm. Para cada uno de esos cuatro casos, calcule la energa alma-cenada en el circuito magntico si la intensidad de corriente es de 5A, en corrientecontinua.

2.1.2. Conversin en sistemas magnticos con movimientode traslacin. Mquinas elctricas rotativas.

Este apartado presenta los fundamentos para el estudio de las mquinas rota-tivas. En la prctica, al menos en el anlisis en rgimen permanente, se empleanmtodos que simplifican este estudio.

En los ejemplos de aplicacin de este apartado se estudian diversos tipos demquinas rotativas como motores de reluctancia y motores paso a paso. La teoradel motor bifsico tiene cierto inters como base para la obtencin de los modelosdinmicos para las mquinas elctricas.

Dpto. de Ingeniera Elctrica, Electrnica y de ControlGrado en Ingeniera Elctrica.

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Repita el ejercicio propuesto anterior para el caso de la figura 1.44 de [1], donde ahorax es la distancia entre los contactos y suponiendo que la intensidad de corriente escontinua e igual a 10mA.

2.2. Par electromagntico en las mquinas elc-tricas.

Este es un apartado de gran importancia para poder analizar el control delas mquinas elctricas y su comportamiento dinmico.

Posiblemente el estudio-repaso de este apartado debera iniciarse con los ep-grafes 4.4 y 4.71 del texto [1]. Resulta interesante observar el modelo estticoo estacionario utilizado para describir el comportamiento de las mquinas asn-cronas en lo referente al par mecnico de la carga. Dicho modelo consta de unasimple resistencia variable que depende de la velocidad de giro a travs del des-lizamiento de la mquina. Puede apreciarse que, con este modelo, la mquinapodra cambiar instantneamente de velocidad si la reactancia de los devanadosfuese nula. Sin embargo, an con la mquina a rotor libre, ste posee una iner-cia que debe tenerse en cuenta. Por tanto, la ecuacin de par producido por lamquina (2.140) o (4.73) debe completarse con la ecuacin fundamental de ladinmica de la mquina, (4.137).

Las ecuaciones (2.137) muestran que el par motor de una mquina elctricarotativa es funcin de tres elementos: la amplitud del campo magntico del in-ducido, la amplitud del flujo del campo, inductor o excitacin y, finalmente, delngulo existente entre los campos inductor e inducido, sen . Obsrvese que estaecuacin justifica, por ejemplo, que un motor sncrono presente un par motoroscilante al conectarlo a una fuente trifsica, dando lugar a un par neto nulo,motivo por el que la mquina no puede arrancar por s sola. En el caso de losmotores de induccin, tambin aparece un par motor oscilante, pero rpidamente(en unos ciclos) aparece un par neto no nulo y la mquina acaba arrancando.Curiosamente los motores de corriente continua son las que presentan en el arran-que el mayor par neto (apenas oscilante) y ofrecen el arranque ms rpido: estose debe a que el colector de delgas se encarga de que los campos inductor e in-ducido estn aproximadamente en cuadratura en cualquier instante, resultandosen 1.

2.3. Dinmica de la combinacin motor-carga. Es-tabilidad.

Siguiendo con lo indicado en el prrafo anterior, la dinmica del conjuntomquina-carga mecnica, viene dada por la ecuacin (4.137). Resulta inmediatoobservar que resulta una ecuacin diferencial de primer orden que determina una


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constante de tiempo, denominada constante de tiempo mecnica, por lo que unescaln de par motor o de par resistente da lugar a una evolucin exponencial dela velocidad de giro.

Antes de continuar con el estudio de la materia, debera repasarse la resolucinde ecuaciones diferenciales de forma numrica. No se trata de profundizar endichos conceptos sino que bastara con que el estudiante pueda resolver casosconcretos en su ordenador (de forma recursiva, utilizando una calculadora o,mejor, un programa de clculo como Excel, Scilab o Matlab, por ejemplo). Aspuede lograrse simular estos sistemas elctricos de forma relativamente sencilla.La utilizacin de SPICE puede ser de ayuda, en especial en el caso de inversores,pero presenta la dificultad de no disponer de modelos para la mayora de lasmquinas elctricas. El apndice adjunto dedicado a simulacin puede servir deintroduccin.

Intente simular el circuito RLC de dicho apndice y cuyas ecuaciones son:

iC(t) = Cduc(t)

dt=U1 uC(t)

R1 iL(t)

iL(T ) =1

L

T0

uC(t)dt

resoluble con el algoritmo:

iL(k) k uC(k)L

iC(k) U1 uC(k 1)R1

iL(k 1)

uC(k) k iC(k)C

2.4. Modelos de la mquina de corriente continua.

El modelo estacionario se explica en 6.6 a 6.8. aunque conviene revisarsus ecuaciones (7.120a-e) ya que son la base para obtener el modelo resolublemediante simulacin.

Para obtener el modelo dinmico, aparte de incluir la ecuacin mecnica delsistema (4.137), debe tener presente que tanto el flujo inductor como el flujoinducido se produce mediante bobinas reales (con resistencia e inductancia). Portanto, a la figura del modelo esttico (figura 6.19), debemos aadir:

en el inductor tendremos la asociacin serie:

Re Ie + Lexc Iedt

en el inducido tendremos la asociacin serie:

Ri Ii + Lind Iidt


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Para la mquina del problema 6.11 (pgina 594 de [1]), suponga que el flujo magnticodel esttor es de 40mWb y que la inductancia de inducido es 50 veces menor que la dela excitacin. Suponga adems que la cada de tensin en las escobillas es despreciable,que las prdidas mecnicas son nulas y que el momento de inercia de la mquina esde 0,2 kgm2. En esas condiciones, Estime el tiempo de arranque cuando se conectala tensin asignada de forma instantnea. Realice la simulacin mediante Scilab omediante Excel y compare los resultados.

2.5. Modelos para la mquinas sncrona y asn-crona.

Los modelos estticos, estacionarios o de rgimen permanente para estas m-quinas son los modelos tradicionales que el estudiante debera conocer.

Modelo esttico para la mquina sncrona. El modelo esttico o en r-gimen permanente para una mquina sncrona es similar al de la mquina decorriente continua y puede verse (para una fase, segn el equivalente YY) en lafigura 5.17 (pgina 445 de [1]).

Modelo esttico para una mquina asncrona o de induccin. El modeloesttico o en rgimen permanente para una mquina asncrona utiliza el modelode un transformador y puede verse en la figura 4.14 (pgina 307 de [1]).

Figura 2.1: Evolucin de la velocidad y del par motor durante el arranque de un motorde induccin trifsico.


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Modelos dinmicos para las mquinas sncrona y asncrona. Los mode-los estacionarios funcionan correctamente en rgimen permanente, pero en con-diciones de arranque, frenado, cambios de carga, de alimentacin, etc., stospresentan notables errores.

En este apartado se propone una introduccin a los modelos dinmicos, sibien su estudio detallado queda fuera de los objetivos de esta asignatura.

En la figura 2.1 anterior puede verse, a modo de ejemplo, un aspecto de estosmodelos que slo se puede estudiar con un modelo dinmico. Se aprecia quedurante un cambio de rgimen (aqu el arranque) el par puede oscilar llegando aser negativo durante algunos instantes de tiempo.

El punto de partida para el estudio de estos modelos se encuentra en lageneracin del campo rotatorio (2.8.3, pgina 130 de [1] y siguientes). Con estaidea en mente, puede comprobarse que la transformacin de Clarke (vase elejemplo de aplicacin 7.16 de [1], pgina 734 y siguentes) transforma un sistemade magnitudes trifsico (a, b y c) en un sistema bifsico (vase la pgina 139de [1]). Sin embargo, la transformacin de Park (ejemplo de aplicacin 7.17 de[1]) permite la transformacin en un sistema bifsico mvil y sncrono con elcampo magntico rotatorio que explica el Teorema de Ferraris y que se proponaanteriormente como punto de partida.

Esta descomposicin en unos ejes d y q mviles permite obtener un modelosimilar al mostrado en la figura 4.60 de [1] (pgina 393) pero para cada uno deesos ejes y no para las secuencias directa e inversa que es lo mostrado en dichafigura y que se detalla en los esquemas mostrados en la figura siguiente (Fig.2.2).En (a) aparece el esquema equivalente segn el eje directo d mientras que en (b)aparece el eje q, en cuadratura con el anterior.

Figura 2.2: Modelo d-q para el motor de induccin (las magnitudes rotricas estnreferidas al esttor).


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El par electromagntico del motor, segn este modelo, resulta ser igual a

Te =3

2

(P2

)LM(dsiqs qsids)

donde P/2 es el nmero de pares de polos y es el flujo. Bajo algunas hiptesissimplificadoras, se puede reducir esta expresin a la siguiente:

Te 32

(P2

)LM iqs = kt iqs

donde podra considerarse que es el flujo promedio en el entrehierro.

Esta expresin, aunque muy simplificada, tiene el inters de mostrar unacierta similitud con el par motor de una mquina de corriente continua y muestrala clave del control vectorial de los motores de induccin, que realmente intentaimitar el control de las mquinas de corriente continua. Se apreciar que estaexpresin es similar a la (7.173) de [1].

Por otra parte, estas transformaciones presentan otra caracterstica impor-tante y que se va a comentar aqu aunque su anlisis queda fuera del alcance deesta asignatura.

La expresiones generales para las variables tensin, intensidad y flujo paraestas mquinas son bastantes complejas y presentan una dificultad adicionalpara su anlisis y consiste en que las inductancias involucradas dependen de laposicin del rotor (reluctancia variable en mquinas de polos salientes) y deltiempo (el acoplamiento entre un devanado estatrico y uno rotrico sigue unafuncin senoidal). Sin embargo, las transformaciones como la de Park permiteneliminar esta dependencia respecto del tiempo, lo que facilita el anlisis de estasmquinas en condiciones no estacionarias y/o con alimentacin no equilibrada.


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