Conversión de Sistemas de Numeración.
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SISTEMAS NÚMERICOS Sistemas binario octal y hexadecimal Conversiones entre sistemas numéricos
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 2
También llamado sistema de numeración Base 10, utiliza diez dígitos para representar cualquier cifra. Ellos son:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Combinando estos dígitos, podemos construir cualquier número.
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Sistema de numeración decimal
Ejemplo
El número 348 es un dato representado en sistema de numeración decimal.
Se construye de la siguiente forma:
Centena Decena Unidad
Sistema de numeración decimal
3 x 102 + 4 x 101 8 x 100 = 348+ 300 40 8+ + =3 4 8
¿Por qué no utilizar el sistema decimal?
Resulta muy difícil diseñar un equipo electrónico que pueda funcionar con 10 diferentes niveles de voltaje para representar los dígitos del 0 al 9.
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EL SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO
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¿Qué es el bit?
En el sistema binario, al término dígito binario se abrevia como bit (binary digit).
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Sistema Binario (Base 2)
En el sistema binario solo hay dos símbolos o posibles valores de dígitos, 0 y 1.
Es un sistema de numeración en el que la base es 2 y con el que se puede representar cualquier cantidad
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CONVERSIÓN BINARIO A DECIMAL
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Sistema Binario
Conversión de binario a decimal:
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 10
•
… 24
x23
x22
x21
x20
x• 2-1
x2-2
x…
Punto del número binario
… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125
Multiplicandoy sumando
Sumando
Ejemplo
Convertir 10110.1102 a decimal.
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 11
1 0 1 1 0 • 1 1 1
… 24
x23
x22
x21
x20
x• 2-1
x2-2
x…Multiplicando
y sumando
0x23 + 1x24 + 1x22 + 1x21 + 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3
16 + 0 + 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0.25 + 0.125
22.875 10
Ejemplo
Convertir 11101.1012 a decimal.
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 12
1 1 1 0 1 • 1 0 1
8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.125
29.625 10
… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125Sumando
MSB-LSBEl bit más significativo (MSB) es aquel que se ubica más a la izquierda (el que tiene el mayor valor). El bit menos significativo (LSB) es aquel que esta más a la derecha y que posee el menor valor.
04/22/2023 13
1 1 1 0 1 • 1 0 1
8 + 16 + 4 + 1 + 0.5 + 0.12529.625 10
… 16 8 4 2 1 • 0.5 0.25 0.125
… 24
x23
x22
x21
x20
x• 2-1
x2-2
x…
MSB LSB
Secuencia de números binarios 23=8 22=4 21=2 20=1
0 0 0 00 0 0 1
0 0 0 0 1
10 1 0 0 1 0 1 11 1 0 01 0
1 0 1 1 1 1 0 1 11 1 1
0
0
0
0 0 0
0
00
0
1
1
1
11
1
11
11
0
11 0
Decimal0123456789
101112131415
¿Cuál es el número más grande que se puede representar con 16 bits?
Para resolver esta pregunta se emplea:2N-1
En donde N es el número de bits.Entonces,
04/22/2023 15
Número mayor representadocon 16 bits
= 216- 1= 2N - 1
= 65535
¿Qué hora es?
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CONVERSIÓN DECIMAL A BINARIO
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Conversión decimal a binarioConvertir 28110 a binario
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División Cociente Residuo Número binario
281/2 140 1 LSB = 1
140/2 70 0 0
70/2 35 0 0
35/2 17 1 1
17/2 8 1 1
8/2 4 0 0
4/2 2 0 0
2/2 1 0 0
1/2 0 1 MSB = 1
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA
Representación de 28110 en binario (base 2) :
1000110012
Conversión decimal a binarioConvertir 23310 a binario
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División Resultadoexacto Residuo Número
binario
233/2 116.5 1 LSB = 1
116/2 58 0 0
58/2 29 0 0
29/2 14.5 1 1
14/2 7 0 0
7/2 3.5 1 1
3/2 1.5 1 1
1/2 0.5 1 MSB = 1
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA
Representación de 23310 en binario (base 2) :
111010012
Ejercicios (Tocci):
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 20
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 21
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SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL
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Sistema de numeración octal
Cada dígito de un número octal tiene 8 posibles valores: 0,1,2,3,4,5,6,7.La conversión de octal a decimal se realiza como se muestra a continuación:
04/22/2023 M. C. JAIME ALVARADO M. 24
•
… 84
x83
x82
x81
x80
x• 8-1
x8-2
x…
Punto del número octal
Multiplicandoy sumando
Conversión de octal a decimal
Convertir 7056.378 a decimal.
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7 0 5 6 • 3 7
… 84
x83
x82
x81
x80
x• 8-1
x8-2
x…Multiplicando
y sumando
7 x 83 + 0 x 82 + 5 x 81 + 6 x 80 + 3 x 8-1 + 7 x 8-2
3584 + 0 + 40 + 6 + 0.375 + 0.1093
3630.484 10
Conversión decimal a octalConvertir 3233110 a octal
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División Cociente Residuo Número octal
32331/8 4041 3 LSB = 3
4041/8 505 1 1
505/8 63 1 1
63/8 7 7 7
7/8 0 7 MSB =7
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA
Representación de 3233110 en octal (base 8) :
771138
Conversión decimal a octalConvertir 3233110 a octal
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División Cociente Residuo Número octal
32331/8 4041 3 LSB = 3
4041/8 505 1 1
505/8 63 1 1
63/8 7 7 7
7/8 0 7 MSB =7
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA
Representación de 3233110 en octal (base 8) :
771138
Conversión decimal a octalConvertir 2536610 a octal
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División Resultado Residuo Número octal
25366/8 3170.75 .75x8 LSB = 6
3170/8 396.25 0.25x8 2
396/8 49.5 0.5x8 4
49/8 6.125 0.125x8 1
6/8 0 6 MSB =6
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA
Representación de 2536610 en octal (base 8) :
614268
Conversión de octal a binario
Se lleva a cabo convirtiendo cada dígito octal en su equivalente binario de 3 bits.
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Octal Binario0 0001 0012 0103 0114 1005 1016 1107 111
Conversión de binario a octal
Es la operación inversa del proceso anterior.
1. Los números se agrupan en conjuntos de 3 bits comenzando por el LSB.
2. Luego, cada grupo se convierte en su equivalente octal.
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Convertir 4728 a binario.
Convertir 0100101012 a octal.
Ejemplos
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Conteo en octalCon N dígitos octales se puede contar de 0 a 8N-1 lo que da un total de diferentes 8N conteos.
¿Hasta qué valor se puede contar con 3 dígitos octales?Desde 0008 a 7778.¿Cuántos números octales diferentes se pueden representar con 3 dígitos?
Un total de 83 = 51210 diferentes
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Utilidad del sistema octal
Cuando se trabaja con una gran cantidad de números binarios de muchos bits, es más conveniente escribirlos en octal y no en binario.
Sin embargo, no se debe olvidar que los circuitos y sistemas digitales trabajan estrictamente en binario.
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Conversión decimal a binarioConvertir 273510 a binario
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División Resultado Residuo Dígito octal
2735/8 341 0.875x8 LSD = 7
341/8 42 0.625x8 5
42/8 5 0.25x8 2
5/8 0 5 MSD = 5
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA
Representación de 273510 en octal: 5 2 5 78
En binario 1112101 101010
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SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL
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Sistema de numeración hexadecimal
Base 16.16 símbolos posibles.0 al 9, A, B, C, D, E, y F.
El sistema hexadecimal utiliza grupos de 4 bits.
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Hexadecimal Decimal Binario0 0 0000 1 1 00012 2 00103 3 00114 4 01005 5 01016 6 01107 7 01118 8 10009 9 1001A 10 1010B 11 1011C 12 1100D 13 1101E 14 1110F 15 1111
Conteo hexadecimal
Cada posición de los dígitos se puede incrementar en 1 unidad de 0 a F.
Cuando se alcanza el valor F, se vuelve a poner en 0 y se incrementa en la siguiente posición.
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38
3C
40
393A3B
3D3E
41
3F
6F8
6FC
700
6F96FA6FB
6FD6FE
701
6FF
Conversión de hexadecimal a decimal
Convertir 357A16 a decimal.
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3 5 7 A
163
x162
x161
x160
xMultiplicandoy sumando
3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + A x 160
12288 + 1280 + 112 + 10 13690 10
3 x 163 + 5 x 162 + 7 x 161 + 10 x 160
Conversión decimal a hexadecimal y binario
Convertir 4497810 a hexadecimal y binario.
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División Cociente Residuo Número hexadecimal
44978/16 2811 2 LSB = 2
2811/16 175 11 B
175/16 10 15 F
10/16 0 10 MSB = A
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA
Representación de 4497810 en hex: A F B 216
En binario: 001021010 10111111
Conversión decimal a hexadecimal y binario
Convertir 1273510 a hexadecimal y binario.
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División Resultado Residuo Número binario
12735/16 795.9375 0.9375x16 LSB = 15 = F
795/16 49.6875 0.6875x16 11 = B
49/16 3.0625 0.0625x16 1
3/16 0.1875 0.1875X16 MSB = 3
MÉTODO DE DIVISIÓN REPETIDA CON CALCULADORA
Representación de 1273510 en hex: 3 1 B F16
En binario: 111120011 10110001
Conversión de binario a hexadecimal
El número binario se agrupa en conjuntos de 4 bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente.
Convierta 10110111111111012 a hexadecimal.
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Binario, grupos de 4 bits: 110121011 11110111
B
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
En hexadecimal: 7 F D16
Conversión hexadecimal a octal
Convierta 31BF en octal.Solución.
Es más fácil convertir primero a binario y luego a octal.
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31BF en hex: 3 1 B F16
En binario: 111120011 10110001
En grupos de 3 bits: 0 000011 11111000 111
0En octal: 6 7 7830
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