Examen Matemáticas II junio 2019 Evau UCLM

CONVOCATORIA 2019 MATEMÁTICAS II

PROPUESTA A

a) Para ser derivable ha de ser continua, para ello:

������ ∃��∃ ���→ ��� → ���→� ��� � ���→������ � ���→ ���

� f1� � a � b � 2lim�→�� fx� � a � b � 2 � lim�→��fx� � a ! b → "a � b � 2 � a ! b → " #$ � !#$ � !%,'(�)(*+ Para ser derivable:

f´(a) ¯=�´�- f′x� � /2ax ! 1six 1 1a2√x ! 2x3 six 4 1 → /

f′1� � 2a ! 1f′1� � a2 ! 2 → 2a ! 1 � a2 ! 2 → 4a ! 2 � a ! 4 → � !#6 Luego si � 7#6 y b = -1 la función es derivable, queda ��� � 87#6 �# ! � � #9� : %7#6 √� � %�# 9� 4 % b) Debemos probar que es derivable en (-3,3), continua en [-3,3] y que f(-3) = f(3).

Es derivable y continua en todo R porque se trata de un polinomio.

Es fácil ver que f(-3) = f(3) = 5

Luego hay al menos un punto del intervalo en el que la derivada se anula. En

este caso es x = 0 pues f’(x) = 2x=0

1A. a) Determina el valor de a y de b para que la siguiente función f(x) sea derivable en todo R.

;

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g(x) es una parábola que corta al eje X en (-1,0) y en (3,0) y a la recta x = -2 en (-2,-5)

Ver gráfico

Lo primero es igualar las funciones para sacar los puntos de corte que serán

límites para la integral definida, en este caso la parábola con el eje de abscisas que

es la función y=0:

!xB � 2x � 3 � 0 → Ex � !1x � 3 ; g!2� � !5 Luego el área pedida es A � !J !xB � 2x � 3�dx � J !xB � 2x � 3�dx37� � !L! �M3 � xB �7�7B3xN7B7� � L! �M3 � xB � 3xN7�3 � 2,33 � 10,67 Q %6 u2 La fórmula de la ecuación de la normal es: y – g(a) = ! %RS� � ! �

" g4� � !16 � 8 � 3 � !5g′x� � !2x � 2 → g′4� � !6 → U � V � %W � ! A� → U � �W ! %X6

2A. a) Calcula razonadamente el área de los recintos limitados por la función Y

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Estudiamos el rango de la matriz de coeficientes, C y el rango de la ampliada, A, y

aplicamos el Teorema de Rouché Fróbenius que básicamente dice;

• Si el rango de la matriz de coeficientes, C y el rango de la ampliada, A, son iguales a 3 el sistema es compatible determinado,

• si son iguales pero menores que 3 el sistema es compatible indeterminado.

• Si son distintos el sistema es incompatible.

En este caso como C es de orden 3x3 y A de orden 3x4 se empieza estudiando el rango de

C al ser el que se completa primero la matriz cuadrada, para ello calculamos su

determinante:

C � [ a 2 0!1 1 11 !a !1\ A � [a 2 0 aB!1 1 1 51 !a !1 !4 � a�\ →

� |C| � aB ! a � aa ! 1� → / a � 0a � 1|C| � 0a ^ 0,1 → |C| ^ 0 → rC� � rA� � 3 Caso I: ∀a^ 1 y a^ 0→ |a| ^ b → Rango (C) = Rango (A) =3 , el sistema es compatible determinado (solución única).

Sabemos que el Rango (A) =3 ,ya que el mayor rango que puede tener A es tres y ya sabemos

de seguro con C que es un determinante que pertenece a A y da distinto de cero.

3A. a) Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro = ∈ d =< � #e � =#!< � e � f � V< ! =e ! f � !A � =�g%, Vhijkl?� b) Resuélvelo razonadamente para el valor a = 1. (1 punto)

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Caso II: ∀a� 0 → |m| � b → Rango (C) =2 ^ Rango (A) =3 , el sistema es incompatible no tiene solución (Como muchos de vosotros queridos lectores, y SÍ, no me cansaré de repetíroslo, así que haber estudiado)

a � 0 →����� |m|lnopj# � q 0 2!1 1q � 2 ^ 0|r|lnopj6 � s 0 2 0!1 1 51 0 !4s � 2 ^ 0

→ "rC� � 2rA� � 3 → Sistemaincompatible Caso III: ∀a� 1→ |m| � b → Rango (C) =2 =Rango (A) =2 , el sistema es compatible determinado de infinitas soluciones, que depende de número de incógnitas – rango=número de parámetros→ 3 incógnitas – 2 rango= 1 parámetro

a � 1 →����� |m|lnopj# � q 1 2!1 1q � 3 ^ 0|r|lnopj6 � s 1 2 1!1 1 51 !1 !5s � 0

→ "rC� � 2rA� � 2 → Sistemacompatibleindeterminado Nota: Sé que puede haber el típico listill@ de turno y me encanta darle la razón ya

que para el rango de la ampliada hay que probar con todos los determinantes que

se puedan formar de orden 3. En este caso todos dan cero, confiad en mí, y que

sepáis que no lo hago por solidarizarme con vuestra generación y la pereza que os

caracteriza.

Cuando a =1 el sistema es equivalente al siguiente sistema de dos ecuaciones.

a � 1 →����� x � 2y � 1!x � y � z � 5 → ���

�� 3y � 6 ! z → y � 2 ! z3x � 1 ! 4 � 2z3 � !3 � 2z3 → �����x � !3 � 2λ3y � 2 ! λ3z � λ

La solución es: !6 � #~6 , # ! ~6 , ~� Nota: prometo no meterme con vosotros. Solo decir que a la hora de resolver un

sistema compatible indeterminado debe de haber el mismo número de ecuaciones

que de valor del rango. En este caso como el rango analizado daba 2, necesito dos

ecuaciones y quito la que no he utilizado para calcular el determinante que me

daba rango 2, es decir la última.

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a) Con el punto A y los vectores AB y CD tenemos los elementos necesarios para

obtener la ecuación pedida, es decir un punto del plano y dos vectores contenidos o paralelos:

8 A1, 2, 0�AB � !1,!3, 2�CD � !1, 1, !2� → /sx ! 1 !1 !1y ! 2 !3 1z 2 !2s � 0 → 4x ! 4z ! 4y � 4 � 0 → " � ! U ! � % � b*9*��*

b) Los vectores AB, AC y AD nos permiten calcular el volumen pedido.

�AB � !1,!3, 2�AC � 1,!3, 3�AD � 0,!2, 1� → /V ��!1 !3 21 !3 30 !2 1 � � #6 u3

4A. Dados los puntos A(1, 2, 0), B(0, -1, 2), C(2, -1, 3) y D(1, 0, 1): a) Encuentra razonadamente la ecuación general del plano que contiene a la

recta que pasa por A y B y es paralelo a la recta que pasa por C y D. (1,25 puntos)

b) Calcula razonadamente el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A, B, C y D. (1,25 puntos)

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La probabilidad de no defectuoso es 1-P(D)

a1�PD� � PA ∩ D� ∪ B ∩ D� ∪ C ∩ D� � PA� PD A � � PB� PD B � � PC� PD C � � 30100 4% � 20100 10% � 50100 2% � 12 � 20 � 10100 � 42100 � 4,2% → % ! � � V, % a2�PC D � � PC ∩ D�PD� �

50100 2%4,2% � 14,2 � 23,8% → % ! a �� XW, %%*9�+$$�*.

b) Se trata de una distribución binomial B(n,p) con n = 5 y p = 4/20 = 1/5.

b1) Nos piden (si salen 3 chicas han salido 2 chicos). La p utilizada es para chicos

así que solo lo hago con chicos. Usando las fórmulas de la Binomial

� #� � V# % V #A V 6 � b, #bA*+$�� b2) Si calculamos la probabilidad de que salgan 3 y la probabilidad de que salgan 4 y las

sumamos nos quedará la probabilidad pedida. 6� � � 6� � � A� � b, bV%# � b, bbWA � b, bVXW

5A. a) Una fábrica A produce el 30% de los tractores que se demandan en una Comunidad Autónoma, una fábrica B produce el 20% y la fábrica C el resto. El controlador de calidad sabe que son defectuosos el 4% de los tractores fabricados por A, el 10% de los fabricados por B y el 2% de los fabricados por C. Elegido un tractor al azar, calcula razonadamente la probabilidad de: a1) No salga defectuoso. (0,75 puntos) a2) Si resultó defectuoso, que no fuera fabricado por C. (0,5 puntos) b) En una clase hay 16 chicas y 4 chicos. Cada día elijo a un estudiante al azar para que salga a la pizarra. Calcula razonadamente la probabilidad de que los cinco días laborables de la semana salgan a la pizarra: b1) Tres chicas. (0,75 puntos) b2) Al menos tres chicos. (0,5 puntos)

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PROPUESTA B

a) lim�→� B �¡�-�   �¡ � %¢ � e£¤¥ →¡   �¡¦§¨ �¡ �¡ 7�© � *%#

lim�→� xx ! 1ª2e�7�x � 1 ! 1« � lim�→�2xe�7� ! xB ! xxB ! 1 � L′Ho®pital�lim�→�2e�7� � 2xe�7� ! 2x ! 12x � 12

b) lim�→7� 7 §�¡7��§-�-3 � ¯̄ � L′Ho®pital� lim�→7� 7B� §�¡7�B�- � %#

Ojo, hay que hacer el dominio siempre, en los dos casos el dominio son todos los

reales puesto que no hay ningún número que anule el denominador, hacedlo si no

me creéis anda

����������fx� � 11 � xB → f Sx� � !2x1 � xB�B � 0 → ���

�� f Sx� � 0cuandox � 0f0� � 1f´´0� � !2 1 � xB�B � 2± 2 2±1 � xB�1 � xB� � !2'��´´b� 1 b → ²á��*b, %�gx� � xB2 → f Sx� � x � 0 → "f Sx� � 0six � 0�SS�� � % 4 b → ²í�*b, b�

1B. Calcula razonadamente los siguientes límites:

a) µ@¶

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b) Lo primero es igualar las funciones para sacar los puntos de corte que serán límites para la integral definida:

�§B � ��-�§ → xB � x � 2 → � t � xBtB � t ! 2 � 0 → � t � 1 → x � ·1t � !2∄Solución → � Secortanen!1, �B yen 1, �B

El área encerrada es J ��-�§ !�§B dx�7� � Larctanx� ! �M N7�� � ºB ! �3 Q %, #A u2

a) Para calcular la inversa empleamos la fórmula »7% � %|»|»¼ |A| � s!1 !1 !1!1 1 02 !1 0 s � 1, A½ � [

!1 !1 2!1 1 !1!1 0 0 \ → Adj½ � [0 1 10 2 1!1 !3 !2\

LuegoA7� � [ 0 1 10 2 1!1 !3 !2\ b) AX – 2B = C→ »7%»¿ � »7%a � #À� → ¿ � »7%a � #À� OJO RESPECTAS LOS LADOS DE LA INVERSA PARA DESPEJAR CORRECTAMENTE

C � 2B �[2 5 51 3 22 !1 6\ , A7� � [0 1 10 2 1!1 !3 !2\

3B. Dadas matrices

r � [!% !% !%!% % b# !% b \ ,Á � [% # #b % %% !% #\ em � [

b % %% % bb % #\ a) Calcula razonadamente la matriz inversa de A. (1 punto) b) Calcula razonadamente la matriz X que verifica que r ∙ Ã ! #Á � m. (1,5

puntos)

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[ 0 1 10 2 1!1 !3 !2\[2 5 51 3 22 !1 6\ � [

6 # A V %b! !%# !#6\ � ¿

8Unvectordirectorderesu � 3, 1, 2�UnpuntodelarectaresA1, 0, !1�AP � 2, 1, 0� → , +� � Æ(�»Æ|(| � |!#, A, %�||(| � √A � %W � %√ � % � A � Ç6#

NOTA: (�» � È @→ É→ Ê→6 % ## % bÈ � q% #% bq , !q6 ## bq , q6 %# %q= (-2,4,1)

Los planos paralelos Ë son de la forma 2x + y – z = k puesto que tienen el mismo vector normal, y sustituimos las coordenadas del punto 6, %,!%� → W � % � % � → � →2x + y – z = 8 Para encontrar Q resolvemos el sistema / �7�3 � Ì� � Í-�B2x � y ! z � 8 → /x � 4y � 1z � 1 → Î � A, %, %� El punto P y el vector PQ nos permiten escribir las ecuaciones paramétricas de la recta

pedida

/ 6, %, !%�Î � %, b, #� → / � � 6 � ~U � % � !% � #~

4B. Sean la recta n ≡

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a��PS�� � 0,98, PSB� � 0,96 → PS� ∪ SB� � PS�� � PSB� ! PS� ∩ SB�� 0,98 � 0,96 ! 0,98 0,96 � 0,9992 Esta fórmula la hemos podido aplicar al decirnos de forma independiente→ Ò% ∩ Ò#� � b, b, W aB�PS� ∩ SB�′ � 1 ! PS� ∩ SB� � 1 ! 0,9408 � 0,0592 PÓÔÕÔÖ×Ô� � PS� ∩ S´B� � PS´� ∩ S´B� � 0,98 0.04 � 0,96 0,02 � b, bVA

b�N10,2�b1��P6,5 : x : 13�z � x ! 102→ � ¦!6, V# : : 6#© � P¦z : 32© ! [1 ! P¦z : 3,52 ©\1 ! Pz : 1,75� � Pz : 1,5� � 0,9332 ! 1 � 0,9594 � b, 6%

b2�Px 1 7� � 1 !6# � � 1 ! Pz 1 32� � 1 ! 0,9332 � b, bWW

5B. a) Una alarma de seguridad tiene instalados dos sensores. Ante una emergencia los sensores se activan de forma independiente. La probabilidad de que se active el primer sensor es de 0.98 y de que se active el segundo es de 0,96. Calcula razonadamente la probabilidad de que ante una emergencia: a1) Se active al menos uno de los dos sensores. (0,75 puntos) a2) Se active solo uno de los sensores. (0,5 puntos) b) El tiempo, en horas, empleado en realizar cierta intervención quirúrgica sigue una distribución normal N(10, 2). Calcular razonadamente el porcentaje de estas intervenciones que se pueden realizar: b1) Entre 6,5 y 13 horas. (0,75 puntos) b2) En menos de siete horas. (0,5 puntos)