140

Unidad 4

Consideremos una combinacin lineal de ellos igual a cero, entonces a1 + a2x + a3x

2 + a4x3 = 0, esto implica que a1 = a2 = a3 = a4 = 0 por lo cual

tambin son linealmente independientes.

Esto nos lleva a asegurar que {1, x, x2, x3} es una base para P3, llamada base cannica de P3.

Ejercicio 1

1. Detemina si el conjunto de vectores dado es base para el espacio vectorial referido:

a) En P2, {x21, x22, x2 3}

b) En M22 3 10 0

3 20 0

5 10 6

0 10 7

, , ,

2. Encuentra una base para cada uno de los espacios vectoriales:

a) {(x, y, z) en R3 tales que 2x y z = 0}b) {(x, y) en R2 tales que x + y = 0}

3. Encuentra una base para el espacio solucin del sistema homogneo dado:

a) x yx y 2 0

3 0

b) x y zx y zx y z

3 02 2 3 04 8 5 0

4. Encuentra una base cannica para el espacio vectorial M22.

5. Encuentra una base cannica para el espacio vectorial R4.

4.3. Coordenadas de un vector, relativas a alguna base

Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al menos una base que genera a todo el espacio vectorial, entonces cualquier vector se puede escribir como combinacin lineal de los vectores de la base; sin embargo, surge

lgebralineal

141

la pregunta: esta combinacin lineal es nica o hay varias? Consideremos el siguiente resultado.

Teorema 4.1. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base para el espacio vectorial V y si v est en V, entonces existe un conjunto nico de escalares c1, c2, . . ., cn tales que

v = c1v1 + c2v2 + . . . + cnvn

Este teorema nos indica que la expresin de un vector como combinacin lineal de los vectores de una base es nica. A continuacin veremos algunos ejemplos de ello.

Ejemplo 2

a) En R2 {(1, 0), (0, 1)} forman la base cannica, por lo tanto

(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1)

Supongamos que hay otra combinacin lineal de estos vectores que nos dan el vector (x, y)

(x, y) = a (1, 0) + b(0, 1), como ambas combinaciones dan el mismo vector tenemos que x (1, 0) + y (0, 1) = a (1, 0) + b(0, 1) de donde tenemos que (x, y) = (a, b) por lo tanto x = a, y = b y la combinacin lineal es nica.

b) Veamos ahora cmo podemos encontrar las coordenadas de un vector con respecto a una base dada.

Consideremos el conjunto {(1, 3), (1, 2)}, veremos que es base de R2. Para ello lo nico que tenemos que hacer es mostrar que es linealmente independiente, ya que el teorema 3.9. nos indicara que generan R2.

Sea a (1, 3) + b(1, 2) = 0 una combinacin lineal, entonces a b= 0, 3a + 2b = 0 de donde obtenemos que a = b = 0; por lo que es linealmente independiente y por tanto base de R2.

Tomemos ahora un vector cualquiera de R2 (x, y), por el teorema 4.1. existen escalares c1 y c2 nicos de manera que (x, y) = c1 (1, 3) + c2 (1, 2). Entonces tenemos que

142

Unidad 4

x c c y c c 1 2 1 23 2, ; al resolver el sistema para c1 y c2 obtenemos que c x y c x y1 2

25

35

, que son las coordenadas de (x, y) con respecto a la base {(1, 3), (1, 2)}.

c) Usando el ejemplo anterior vamos a encontrar las coordenadas del vector (1, 2) con respecto a la base {(1, 3), (1, 2)}.

Sean c1 y c2 las coordenadas, entonces c12 1 2

545

( ) y c2

3 1 25

15

( ) , de tal manera que, para (x, y) = (1, 2) obtenemos (1, 2) = 4/5 (1, 3) 1/5 (1, 2).

Ejercicio 2

1. Encuentra las coordenadas de los vectores dados relativas a la base indicada:

a) x = (3, 2); {(1, 3), (1, 2)}b) x = (2, 4); {(2,5), (0, 3)}c) x = (3, 5, 1); {(1, 0, 3), (0, 2, 0), (0, 0, 1)}

4.4. Dimensin de un espacio vectorial

Si hablamos de que un espacio vectorial puede tener muchas bases surge la pregunta: contienen todas las bases el mismo nmero de vectores? La respuesta para Rn es s, ya que el teorema 3.9. nos indica que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en Rn lo generan, y el corolario 3.1. nos dice que un conjunto linealmente independiente contiene a lo ms n vectores. Al unir ambos resultados obtenemos que todas las bases de Rn contienen n vectores.

El siguiente teorema nos da la respuesta para todos los espacios

vectoriales.

Teorema 4.2. Si {u1, u2, . . ., um} y {v1, v2, ..., vn} son bases de un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo nmero de vectores.

lgebralineal

143

Y debido a l podemos definir el siguiente concepto que es uno de los ms importantes del lgebra lineal.

Definicin 4.2. Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensin de V es el nmero de vectores de todas sus bases y se dice que V es un espacio vectorial de dimensin finita. A la dimensin de V se le denota por dim V.

En los siguientes ejemplos encontraremos la dimensin de varios espacios

vectoriales.

Ejemplo 3

a) Si V = {0} entonces se dice que V tiene dimensin cero y dim V = 0. ste es el nico espacio con esta dimensin.

b) Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, P3.

Probaremos que el conjunto {1, x, x2, x3} es una base para P3.

Consideremos una combinacin lineal de ellos igual a cero, entonces a(1) + b(x) + c(x2) + d(x3) = 0, entonces a = b = c = d = 0, por lo tanto es linealmente independiente. Es obvio que el conjunto genera P3; por lo tanto podemos afirmar que {1, x, x2, x3} es una base para P3 y por lo tanto dim P3 = 4.

c) Como las bases de Rn contienen n vectores podemos afirmar que dim Rn = n.

d) Consideremos el espacio vectorial de las matrices de orden 32, (M32) y el conjunto formado por las matrices

1 00 00 0

0 10 00 0

0 01 00 0

0 00 10 0

, , ,

, ,0 00 01 0

0 00 00 1

, comprobaremos que

son una base para M32.

Tomemos una combinacin lineal igual a cero.

144

Unidad 4

a bc de f

a b c

1 00 00 0

0 10 00 0

0 01 00 0

d e f

0 00 10 0

0 00 01 0

0 00 00 1

lo que indica que generan a M32.

a b c d1 00 00 0

0 10 00 0

0 01 00 0

0 00 10 0

e f

0 00 01 0

0 00 00 1

a bc de f

0 00 00 0

esto implica claramente que a = b = c = d = e = f = 0 y que el conjunto es linealmente independiente.

Por lo anterior podemos afirmar que forma una base para M32 y que dim M32 = 6.

Consideremos en R3 el subespacio vectorial H = {(x, y, z) tales que 2x y +3z = 0

En el ejemplo 1 de la seccin 4.2. se demostr que 120

031

y son una base

para H; podemos concluir que dim H = 2 y sabemos que dim R3 = 3; suceder esto con todos los subespacios vectoriales? El siguiente resultado nos da la respuesta.

Teorema 4.3. Sea H un subespacio de un espacio vectorial V de dimensin finita. Entonces H es de dimensin finita y dim H dim V.

Usaremos el teorema anterior para encontrar todos los subespacios de R3.

Ejemplo 4

Como dim R3 = 3, entonces los subespacios de R3 tendrn dimensiones 0, 1, 2 y 3.

El nico subespacio de dimensin 0 es {0}.

lgebralineal

145

Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensin 1.

Sea H un subespacio de R3 de dimensin 1, por lo tanto tiene una base formada por un solo vector v = (a, b, c). Sea x = (x, y, z) en H, entonces existe t escalar tal que x = t (a, b, c), por lo tanto (x, y, z) = t (a, b, c) = (ta, tb, tc) de donde x = ta, y = tb, z = tc. Pero esta es la ecuacin de una recta en R3 que pasa por el origen.

Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensin 2.

Sea H un subespacio de R3 de dimensin 2, por lo tanto tiene una base formada por dos vectores v1 = (a1, b1, c1) y v2 = (a2, b2, c2) . Sea x = (x, y, z) en H, entonces existen escalares s y t tales que x = s (a1, b1, c1) + t (a2, b2, c2), por lo tanto (x, y, z) = s (a1, b1, c1) + t (a2, b2, c2) de donde x =sa1+ ta2, y = sb1 + tb2, z = sc1+ tc2.

Esta es la ecuacin de un plano en R3 que pasa por el origen.

Por lo tanto los nicos subespacios de R3 son los vectores que estn en una recta o en un plano que pasa por el origen.

Ser necesario probar que un conjunto de vectores linealmente independientes genera a un espacio vectorial para asegurar que es una base? El siguiente teorema nos da una condicin para asegurarnos que tenemos una base.

Teorema 4.4. Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensin n forman una base para V.

Veamos algunos ejemplos donde usaremos este resultado para encontrar bases de espacios vectoriales.

Ejemplo 5

Consideremos a R3, el conjunto {(2, 3, 5), (1,0,0), (2, 1, 0)} es una base de R3?

Por el teorema anterior basta probar que es linealmente independiente ya que dim R3 = 3.