“COORDENADAS POLARES Y RECTANGULARES”.

En este apartado se explicaran las características de las coordenadas polares y rectangulares,

así mismo, se explicara el procedimiento para convertir de coordenadas polares a

rectangulares y viceversa.

Coordenadas rectangulares

Sea P cualquier punto del plano de los ejes. Su distancia ortogonal al eje y se denomina

coordenada x o abscisa. La abscisa y la ordenada juntas, se denominan coordenadas

cartesianas o rectangulares de P. Las coordenadas de un punto se escriben como par

ordenado, entre paréntesis, escribiendo la coordenada x al principio. Así, las coordenadas de P

en la figura 1-5 son (2,5, 3.5) y las de P y Q, en la figura 1-6, son, respectivamente, (3,4) y (-2,-

5). (Por convencionalismo, el sentido positivo se toma hacia la derecha en el eje x y hacia

arriba en el eje y.)

El procedimiento para localizar y marcar un punto cuyas coordenadas se dan, se denomina

graficar el punto.

En el sistema de coordenadas a cada par de números reales (x, y) corresponde a un punto

definido del plano, y a cada punto del plano corresponde un par único de coordenadas.

Los ejes de coordenadas cortan el plano en cuatro zonas separadas, que se denominan

cuadrantes y se numeran como se indica en la figura 1-7. En esa figura se muestran los signos

de las coordenadas para cada cuadrante.

Ejemplos de coordenadas rectangulares

En un sistema de ejes rectangulares, situar los siguientes puntos:

a) (3, 7) y (17, -5)

b) (0, -9) y (9, 0)

c) (-2, 2) y (-11,7)

d) (-4, -6) y (-2, -1)

Coordenadas polares

Tomemos en cuenta ahora un sistema de coordenadas, en el cual se localiza un punto,

definiendo su distancia y su dirección a un punto fijo. Este es el sistema que se emplea al decir,

por ejemplo: que cierto pueblo B se halla 30 km al noroeste de otro pueblo A; donde

conocemos la distancia y la dirección de B a A (noroeste), en vez de conocer las distancias

norte y este.

Al trazar puntos cuyas coordenadas (𝝆, 𝜽) se conocen, 𝝆 será la distancia dirigida del

origen al punto. El ángulo 𝜽 se ha medido desde OA en el sentido opuesto al movimiento

de las agujas de un reloj.

Ejemplos de coordenadas polares

Conversión de coordenadas

Aplicaciones

De rectangular a polar

Si tienes un punto en coordenadas cartesianas (x, y) y lo quieres en coordenadas polares (r, θ), necesitas resolver un triángulo del que conoces dos lados.

Ejemplo: ¿qué es (12,5) en coordenadas polares?

Usamos el teorema de Pitágoras para calcular el lado largo (la hipotenusa):

r2 = 122 + 52

r = √ (122 + 52)

r = √ (144 + 25) = √ (169) = 13

Usa la función tangente para calcular el ángulo:

tan( θ ) = 5 / 12

θ = atan( 5 / 12 ) = 22.6°

Así que las fórmulas para convertir coordenadas cartesianas (x, y) a polares (r, θ) son:

r = √ (x2 + y2)

θ = atan( y / x )

De polares a rectangulares

Si tienes un punto en coordenadas polares (r, θ) y lo quieres en coordenadas cartesianas (x, y) necesitas resolver un triángulo del que conoces el lado largo y un ángulo:

Ejemplo: ¿qué es (13, 23 °) en coordenadas cartesianas?

Usamos la función coseno para x: cos( 23 °) = x / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: x = 13 × cos( 23 °) = 13 × 0.921 = 11.98

Usamos la función seno para y: sin( 23 °) = y / 13

Cambiamos de orden y resolvemos: y = 13 × sin( 23 °) = 13 × 0.391 = 5.08

Así que las fórmulas para convertir coordenadas polares (r,θ) a cartesianas (x,y) son:

x = r × cos( θ ) y = r × sin( θ )

Referencias:

Murphy Johnson y L., Steffensen Arnold R. Algebra con trigonometría con aplicaciones.

México: Editorial Trillas, 2004.

Guzmán Herrera, Abelardo. Cien problemas de geometría analítica. México: Publicaciones

Cultural, 1994.

Middlemiss Ross R, Marks John L y Smart James R. Geometría Analítica. México: McGRAW-

HILL, 1994

Bailon Romero Abraham

Grupo 347