COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA...
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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS
C O P A D I
PROBLEMARIO COPADI DE CÁLCULO DIFERENCIAL
COORDINADORES
ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL
ESTUDIANTES AUTORES
RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ RAÚL PULIDO MARTÍNEZ BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS ALEJANDRO FELIX REYES GABRIEL CALDERÓN OCHOA DANIELA GARCÍA RUBÍ
IRENE RUBALCABA MONTSERRAT RAFAEL LIMA GUERRERO HUGO MENDIETA PACHECO PABLO LORENZANA GUTIÉRREZ DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA GABRIELA BERENICE VERA PADILLA RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
JUNIO DE 2005
ESTA OBRA SE REALIZÓ GRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME
PRÓLOGO La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica (PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno considera una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas con mayor grado de dificultad para los estudiantes en la División de Ciencias Básicas. Estos ejercicios son planteados y resueltos por estudiantes del PARA, y revisados por nosotros. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros los siguientes:
Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa de la asignatura, en este caso, CÁLCULO DIFERENCIAL, y poder así acreditarla y seguir adelante en sus estudios de ingeniería.
Reafirmar los conocimientos de los estudiantes autores en asignaturas que ya
acreditaron. Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso de los estudiantes del PARA.
Es importante comentar que este Problemario consta de 320 ejercicios de los temas de CÁLCULO DIFERENCIAL y, además de que se ha revisado el material, se ha pretendido dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya que básicamente se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Sólo en ciertos casos tuvimos que incluir ejercicios cuando se consideró que hacían falta para cubrir un determinado tema. Hay ejercicios de Funciones (66), Límites y continuidad (76), La derivada y algunas de sus aplicaciones (78), Variación de funciones (máximos y mínimos) (45) y Sucesiones y series (60). Agradecemos la entusiasta ayuda de la Lic. Ana María Vieyra Ávila para el logro de esta obra, con sus labores de seguimiento, organización y convocatoria de los estudiantes autores. Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan Cálculo Diferencial y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que participaron en su realización, así como lo es para nosotros.
Ing. Francisco Barrera García Ing. Pablo García y Colomé Ing. Jorge A. Rangel Rangel
ÍNDICE Tema Página Funciones 1 Límites y continuidad 54 La derivada y algunas de sus aplicaciones 92 Variación de funciones 130 Sucesiones y series 170
1
FUNCIONES 1. Trazar la gráfica de la función f dada por ( ) 23f x x= − . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de f ? Solución. La función dada es una parábola cuya ecuación se escribe como: 23y x− = − . Su vértice está en el punto ( )0,3 , abre hacia abajo y su eje de simetría es el eje " "y . Su gráfica es:
Su dominio es: fD = y su recorrido es: ( ],3fR = −∞
ALUMNA: REYES CHAVEZ DAISY TESSIE 2. Dada la función 2( ) 5( 2) 4g x x= − − , determinar su dominio, recorrido y gráfica. Solución. Si se analiza esta función a través de la Geometría Analítica, se obtiene:
( ) ( )2 25 2 4 4 5 2y x y x= − − ⇒ + = − que es una parábola con vértice en ( )2, 4− , que abre hacia arriba y cuyo eje de simetría es la recta 2x = . Como es una función polinomial su dominio es: fD = y su recorrido: ( )4,fR = − ∞ . La gráfica es:
x
y
3 23y x= −
2
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
3. Sea ( ) 22, 93
R x y y x⎧ ⎫= = +⎨ ⎬⎩ ⎭
. Indicar si la relación :R → es una función o no. En caso
afirmativo, determinar su dominio, contradominio y recorrido.
Solución. Se analiza la expresión 22 93
y x= +
( ) ( )2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 4 9 99 9 9 9 93 3 9 4 4
1 14 9 2 3
y x y x y x y x y x
y x y x
⎛ ⎞= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
− = ∴ − =
La relación es una hipérbola con centro en el origen, su eje de simetría es el eje de las ordenadas y sus semiejes son 2 en x y 3 en y . Y como solamente se consideran los valores positivos de la variable " "y , entonces sólo se toma en cuenta la rama superior y por lo tanto se concluye que es una función y su dominio contradominio (o codominio) y recorrido son:
( ] [ ) ( ); , 2 2, 2,2f f fD C y R= = = −∞ − ∪ ∞ = − −
ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA
x
y
( )2, 4−
3
4. Determinar el dominio de la función 2 1 1 2 4y x x= + + Solución. El radicando debe ser mayor o igual a cero. Se factoriza y obtenemos:
( )( )2 11 24 8 3x x x x+ + = + + . Por lo que hay que resolver la desigualdad ( )( )8 3 0x x+ + ≥ . Y para esto se utiliza la siguiente tabla en la que se colocan las raíces de los factores, su producto y se analiza el signo del mismo a lo largo del eje de las abscisas.
( 8 )( 3) 0 8 3x x x y x+ + = ⇒ = − = −
x 8x + 3x + ( )( )8 3x x+ +
( ), 8−∞ − − − + ( )8, 3− − + − − ( )3,− ∞ + + +
Observamos que en el intervalo ( )− −8, 3 tenemos signos negativos para x , por lo cual no podemos darle esos valores dado que es una raíz cuadrada. Entonces el dominio es: ( ] [ )= ∈ −∞ − ∪ − ∞, 8 3,fD x
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 5. Obtener el dominio y recorrido de la siguiente función 2( ) 7 12f x x x= − + + , y trazar aproximadamente su gráfica. Solución. Esta función se puede analizar de dos formas. La primera si se atiende únicamente al hecho de que el radicando debe ser mayor o igual a cero y que es factorizable; y la segunda desde el punto de vista de la Geometría Analítica ya que se trata de una cónica. De la primera forma se tiene que:
( )( )2 7 12 3 4 0x x x x+ + = + + ≥ . De donde tenemos tres opciones:
1a) ( )14 0 3 0
3 ,4 3
x xx x
φ+ > + >
∴ = − ∞> − > −
2a) ( )24 0 3 0
, 44 3
x xx x
φ+ < + <
∴ = −∞ −< − < −
3a) 3
4
44 0 3 034 3
x xx x
φφ
= −+ = + =∴
= −= − = −
Por lo tanto el dominio es: φ φ φ φ= ∪ ∪ ∪1 2 3 4fD ; ( ] [ ){ }= ∈ −∞ − ∪ − ∞ ∈, 4 3 , ;fD x x x Para el recorrido, se observa que el máximo valor que toma " "y es 0 y todos los demás valores son los reales negativos. Por lo tanto: ( ]{ }= ∈ −∞ ∈, 0 ;fR y y y . Por la Geometría Analítica se tiene que:
4
x
y
3− 4−
22 2 2 2 2 249 49 7 17 12 ; 7 12 ; 7 12 ;
4 4 2 4y x x y x x y x x y x⎛ ⎞= + + = + + = + + − + = + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 22
77 1 2 11 12 4
4 4
xyx y
⎛ ⎞+⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠+ − = ∴ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
luego es una hipérbola con centro en 7 ,02
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
, eje de
simetría el eje " "x y semiejes vertical y horizontal iguales a 12
. Y sus vértices son los puntos
( ) ( )4,0 3,0y− . Con lo cual se comprueba que el dominio y el recorrido obtenidos son correctos y como el signo indica la parte inferior de la hipérbola, entonces la gráfica es la siguiente:
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
6. Dada la función =−
1( )1 2
g xx
, determinar su dominio , recorrido y gráfica.
Solución. Como el denominador no puede ser cero, la " "x no puede tomar el valor de 12
; entonces el
dominio es: 1; ;2fD x x x x⎧ ⎫= − ∞ < < ∞ ≠ ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭
Para obtener el recorrido se despeja la variable " "x , de donde:
1 1 1 11 2 2 11 2 2
yy x x xx y y y
−= ⇒ − = ⇒ − = − + ⇒ =
−
con lo cual se aprecia que " "y no puede tomar el valor de "0" , y por lo tanto, el recorrido es: { }; 0 ;fR y y y y= − ∞ < < ∞ ≠ ∈ .
5
Ahora se traza en forma aproximada la gráfica, tomando en consideración que en el valor de 12
x = tiene una
asíntota vertical.
Nota. En el valor que hace cero el denominador se presenta una asíntota vertical y, cuando se obtuvo el recorrido se vio que también hay una asíntota horizontal en 0y = .
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
7. Dada la función 2 9( )
3xg xx
−=
− , determinar su dominio, recorrido y gráfica.
Solución. Al factorizar el numerador y simplificar se tiene que:
( 3)( 3)( ) ( ) 3 ; 33
x xg x g x x xx
− += ⇒ = + ≠
−
por lo tanto el dominio es: { }3fD = − , el recorrido es: { }6fR = − y la gráfica está dada en la siguiente figura, donde se observa que en el valor correspondiente a 3x = la función presenta un “hueco” o un “vacío”, es decir, que ahí no existe valor de la función.
x
y
1 12
6
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
8. Obtener el dominio de la siguiente función: =+ +2
37 1 0
xyx x
Solución. La x del numerador puede tomar cualquier valor; buscamos los valores para los cuales el denominador sea igual a cero para eliminarlos del dominio; entonces,
2 7 1 0 0 ( 5 )( 2 ) 05 2
x x x xx y x
+ + ≠ ⇒ + + ≠∴ ≠ − ≠ −
Luego el dominio de la función es: { } { }; 2, 5 2, 5fD x x x x= ∈ ≠ − ≠ − = − − − . Cabe hacer notar que en los valores 2 5y− − la gráfica de esta función presenta dos asíntotas verticales.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
9. Obtener dominio, recorrido y gráfica de la siguiente función: ( ) 212
xf xx x
+=
−
Solución. Se obtienen los valores para los cuales el denominador se anula
2 2 0x x− = ⇒ ( )2 0x x − = ⇒ 1 20 2x y x= = Por lo que el dominio de esta función es { }; 0,2fD x x x= ∈ ≠ En estos valores de 0 2x y x= = se presentan asíntotas verticales. La gráfica de la función es:
x
y
3
6
7
Al darle valores a " "y y afinar la tabulación se determina el recorrido aproximado de esta función que es:
( ] [ ), 1.87 0.134,fR = −∞ − ∪ − ∞
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
10. Obtener el dominio de la siguiente función: 23
xyx+
=−
Solución. La raíz no puede tomar valores negativos, y el denominador debe ser diferente de cero. Luego,
tenemos que resolver la desigualdad 2 0 ; 33
x xx+
≥ ≠−
. Entonces se analizan los dos casos:
a) 2 02
xx+ ≥≥ −
3 03
xx− >>
( )∴ ∈ ∞3,x
b) + ≤≤ −
2 02
xx
− <<
3 03
xx
( ]∴ ∈ −∞ −, 2x
Por lo tanto el dominio está dado por: ( ] ( ), 2 3,fD = −∞ − ∪ ∞
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
y
x20
8
11. Obtener el dominio, el recorrido y la gráfica de la siguiente función:
2 4 1 s i 4 x 22( ) 4 2 s i 2 x 0
2 s i 0 x 4
x x
f x x x
⎧ + + − < < −⎪⎪= − − − − < <⎨⎪ ≤ ≤⎪⎩
Solución. Para: = + +2 4 1y x x :
( )22 4 4 4 1 3 2y x x y x= + + − + ⇒ + = + es una parábola con vértice en el punto ( )2, 3− − , abre hacia arriba y su eje de simetría es la recta 2x = − . Para : = − − −2 4 2y x x :
( ) ( ) ( )22 24 2 4 4 4 2 2 2y x x y x x y x= − + + ⇒ = − + + − + ⇒ − = − +
es una parábola con vértice en el punto ( )2,2− , abre hacia abajo y su eje de simetría es la recta: 2x = − . La tercera regla de correspondencia es una función constante: 2y = . Por lo que el dominio es: ( ) ( ]{ }4, 2 2,4fD x= ∈ − − ∪ − . La gráfica está dada por.
y el recorrido es: ( ]{ }3,2fR y= ∈ −
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
x
y
4
2
−4 −2
−2
−3
9
12. Obtener el dominio, el recorrido y trazar la gráfica de la función:
⎧ − − − < < −⎪
= + + − < <⎨⎪ ≤ ≤⎩
2
2
1 4 5 2( ) 4 2 2 0
2 0 2
x x s i xf x x x s i x
s i x
Solución. Se grafican las tres reglas de correspondencia que definen a la función
De la figura y sabiendo que se trata de funciones polinomiales (parábolas) y una función constante, se deduce que el dominio es ( ] { }5 , 2 2fD = − − − y el recorrido es ( )= − 4 , 5fR
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 13. Obtener el dominio, el recorrido y dibujar la gráfica de la siguiente función:
2
2 1 0 s i 6 3
( ) 2 5 s i 3 0x + 1 0 s i 0 4
2
x x
f x x x
x
⎧+ − ≤ < −⎪
⎪= + − − ≤ <⎨⎪⎪ ≤ ≤⎩
Solución. Si se analizan las tres reglas de correspondencia, se observa que la primera y la tercera son dos segmentos de rectas y la segunda es un segmento de circunferencia con centro en el origen y radio igual a 5 . De donde la gráfica es como sigue y en ella se puede observar cómo para cada regla de correspondencia se considera el intervalo dado en su definición, teniendo presente cuándo toma o no los valores de los extremos.
y
5
2
2−2−5
−4
−2
x
10
De los intervalos de las reglas de correspondencia y de la gráfica de cada una de ellas, obtenemos que el dominio y el recorrido de la función son:
[ ] [ ]6,4 2,7f fD y R= − = −
ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H. 14. Obtener el dominio, el recorrido y trazar la gráfica de la función
( )
( )
( )
( )
2
2
66 2
88 9 2 2 534 5 5
xsi x
f x x si x
x si x
⎧ +− ≤ ≤⎪
⎪⎪⎪= + − − < ≤⎨⎪
− >⎪⎪⎪⎩
Solución. La primera regla de correspondencia es una sección de parábola con vértice en el punto ( )6,0− que abre hacia arriba y corresponde a una función polinomial por lo que toma todos los valores reales de su intervalo de definición. La segunda regla es una función algebraica y, como se trata de una sección de cónica, se procede como sigue:
x
y
7
5
−6 −3
−2
4
11
28( ) 9 ( 2)
3f x y x= = + − − ⇒ 28 9 ( 2)
3y x− = − − ⇒
228 9 ( 2)
3y x⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒
( )2
2 82 93
x y⎛ ⎞− + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
que es la ecuación de una circunferencia con centro en el punto 82,3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
y radio igual a 3 ; su intervalo de
definición está contenido en su dominio. La tercera regla es una función polinomial, corresponde a una recta, por lo que no presenta problemas en su intervalo de definición. Así, se concluye que el dominio de la función es: [ ){ } [ )= ∈ − ∞ ∈ = − ∞6, ; 6,fD x x x . Y su gráfica es la que se muestra en la siguiente figura:
El recorrido de esta función es ( ){ } ( )= ∈ ∞ ∈ = ∞0, ; 0,fR y y x
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 15. Sea la siguiente función:
( ) ( )
cos 02
0
cos 22
x s i x
f x sen x s i x
x s i x
π π
π ππ π π
⎧ ⎛ ⎞− − < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎪⎪= − < ≤⎨⎪ ⎛ ⎞⎪ − < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
Determinar su dominio y recorrido, y trazar en forma aproximada su gráfica.
y
x 2 5
12
Solución. Las reglas de correspondencia son tres funciones trascendentes, cuyos dominios de definición son los reales. Luego el dominio en este caso es la unión de los intervalos, esto es:
{ }2 ;fD x x xπ π= − < ≤ ∀ ∈ Para graficarla se consideran los intervalos y se tiene la siguiente figura:
Como podemos apreciar, la función no toma valores positivos ni toma valores más negativos que –1 (que resulta evidente pues las funciones son trigonométricas). Por lo tanto, el recorrido es:
{ }| 1 0 ;fR y y y= − ≤ ≤ ∀ ∈
ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO 16. Sea :f → con regla de correspondencia ( ) 32 += xxf . Determinar si la función es biyectiva. En caso afirmativo obtener la regla de correspondencia de 1f − y dar dominio, recorrido, codominio y gráfica de la función y de su inversa. Solución. Si es inyectiva, se debe cumplir que:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
; 2 3 ; 2 32 3 2 3 2 2
f x f x x x f x x f x xf x f x x x x x x x
= ⇒ = = + = +
= ⇒ + = + ⇒ = ⇒ =
Por lo tanto la función es inyectiva, lo que quiere decir que a diferentes valores del dominio les corresponden diferentes valores del codominio. Como está definida, esta función tiene como dominio a los reales y como codominio también a los reales, y al tratarse de una función polinomial (una recta), su recorrido son los reales. Entonces, como el codominio es igual al recorrido, la función será suprayectiva, lo que quiere decir que todos los elementos del codominio están asociados con elementos del dominio. Y al cumplir con ser inyectiva o “uno a uno” y suprayectiva o “sobre”, entonces es biyectiva y entonces admite función inversa, la que se obtiene de la siguiente manera:
x
y
π− π 2π
−1
13
x
y
f
1f −
32 3 ; 2 32
xy x x y y −= + = + ⇒ =
luego ( )1 32
xf x− −=
Y los dominios recorridos y codominios de ambas son los reales, es decir: 1 1 1; ;f f ff f f
D R R R C C− − −= = = = = = Las correspondientes gráficas son:
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 17. Determinar el valor de k que hace que la función f sea la misma que su función inversa. Obtener también el dominio y recorrido de ambas.
4( ) xf xx k+
=−
Solución. Como se dice que la función f y su función inversa 1f − deben ser la misma, entonces se cumple lo siguiente:
1( ) ( )f x f x−=
( ) ( )14 4 4 4; 4 1 41 1
x y kx kxy x xy kx y y x kx y f xx k y k x x
−+ + + += = ⇒ − = + ⇒ − = + ⇒ = ∴ =
− − − −para que las dos funciones, original e inversa, sean iguales, el valor de " "k debe ser igual a "1" . El dominio de la función original, recorrido de la función inversa, es { } 11f f
D R −= − = . Y, como 1f y f − son iguales, entonces { }1 1 ff
D R− = − =
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.
14
18. Determinar si la función dada es biyectiva; si lo es, obtener su función inversa y dar dominio, recorrido y gráfica de la función y de su inversa.
2( ) 1 ; [0, )f x x x= − ∈ ∞ Solución. La ecuación 2 21 1y x y x= − ⇒ + = es una parábola con vértice en el punto ( )0, 1− , eje de simetría el eje " "y y que abre hacia arriba. Su dominio, que está establecido en la formulación del ejercicio, es: [ )0,fD = ∞ y resulta evidente que su recorrido está dado por: [ )1,fR = − ∞ . Como se trata de la mitad de la parábola, es decir, de la parte de la derecha del vértice, entonces es inyectiva y si se considera su codominio igual que su recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Luego admite función inversa y la regla de correspondencia de ésta es:
2 21 ; 1 1y x x y y x= − = − ⇒ = + Y el dominio y recorrido de la función inversa son: [ ) [ )1, 0,f fD y R= − ∞ = ∞ . Las gráficas de ambas funciones se muestran en la siguiente figura:
ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H.
x
y
f
1f −
15
19. Dada la función ( ) ( ) ( ){ }→ = = − − −2: 3,9 ; , 9 36 3 f R f x y y x , verificar que es biyectiva y
determinar su función inversa, así como los dominios, recorridos y gráficas de la función y de su inversa. Solución. Se analiza la regla de correspondencia dada y se ve que:
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
= − − − ⇒ − = − − −
⇒ − = − − ⇒ − + − =
2 2
2 2 2 2 2
9 36 3 9 36 3
9 36 3 3 9 6
y x y x
y x x y
Se trata de la parte inferior de la gráfica (por el signo del radical) de una circunferencia con centro en el punto ( )3,9 y radio igual a 6 . Y, dado su dominio de definición como ( )3,9fD = , entonces es la parte de la derecha. Luego cualquier recta horizontal corta a su gráfica en un sólo punto y entonces es inyectiva. Si se fija su codominio igual a su recorrido, es suprayectiva y por consiguiente biyectiva; por lo que tiene función inversa, cuya regla de correspondencia está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 29 36 3 ; 9 36 3 9 3 36 3 36 9y x x y x y y x= − − − = − − − ⇒ − + − = ⇒ = + − −
( ) ( ) [ ]21 3 36 9 ; 3,9f x x x−∴ = + − − ∈
y los dominios y recorridos quedan como: [ ] [ ]1 13,9 3,9f ff fD R y R D− −= = = =
ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA
x
y
f
1f −
16
x
y
f
1f −
C
'C
20. Dada la función:
{ }2( , ) 3 16 ( 1) ; 1 5f x y y x x= = − − − ≤ ≤
investigar si es biyectiva, y en caso afirmativo determinar su función inversa, los dominios y recorridos de ambas funciones y trazar sus gráficas. Solución. Se analiza la regla de correspondencia y,
23 1 6 ( 1)y x= − − − ⇒ 2 2( 3 ) 16 ( 1)y x− = − − ⇒ 2 2( 1) ( 3) 16x y− + − = Se trata de una circunferencia con: 4r = y (1,3)C . Por lo tanto su dominio es { }1 5fD x x= ∈ ≤ ≤
y por el signo negativo sólo se toma la parte inferior, por lo que su recorrido es { }1 3fR y y= ∈ − ≤ ≤ Además, si se fija su codominio igual al recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Se gráfica esta función y; Luego el dominio y el recorrido de la función inversa son:
{ }1 1 3f
D x x− = ∈ − ≤ ≤ y { }1 1 5f
R y y− = ∈ ≤ ≤ y la regla de correspondencia es:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 23 16 1 ; 3 16 1 3 1 16 1 16 3y x x y x y y x= − − − = − − − ⇒ − + − = ⇒ = − − −
{ }1 2( , ) 1 16 ( 3) ; 1 3f x y y x x−∴ = = − − − − ≤ ≤
ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO
17
21. Sea la función:
( )
2 4 1 4 21 6 2 02
24 0 44
x x s i x
f x x s i x
x s i x
⎧⎪ + − − ≤ ≤ −⎪⎪= − − − < <⎨⎪
− −⎪ ≤ <⎪⎩
Investigar si es biyectiva y en caso afirmativo, obtener su función inversa, así como dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − Solución. La primera regla de correspondencia es la siguiente parábola:
( ) ( )2 22 24 1 4 4 4 1 2 5 5 2y x x y x x y x y x= + − ⇒ = + + − − ⇒ = + − ⇒ + = + cuyo vértice es ( )2, 5− − , se extiende hacia arriba y la recta 2x = − es su eje se simetría. Está definida en el intervalo [ ]− −4, 2 . La segunda es una recta por lo que es una función continua en su intervalo. La tercera es una recta también, es continua y tampoco tiene problema en su intervalo de definición. Por lo tanto, el dominio de la función es: [ )4,4fD = − . Se graficará ahora:
El recorrido de la función es: ( ]7, 1fR = − −
x
f
1f −
−4 −6 −7 −5
−6−7
−5
−4
y
18
Se observa en la figura que en toda la función, para cada valor de " "y hay uno y sólo uno de " "x , por lo que es inyectiva y si se hace el codominio igual al recorrido, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva. Entonces tiene función inversa. Para obtenerla se hace lo siguiente:
( )22 24 1 ; 4 1 2 5 2 5y x x x y y y x y x= + − = + − ⇒ + = + ⇒ = − − + 1 16 ; 6 2 12 2 122 2
y x x y x y y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −
24 24; 4 24 4 244 4
x yy x x y y x− − − −= = ⇒ = − − ⇒ = − −
por lo que finalmente la función inversa se puede definir como sigue:
( )1
4 24 7 62 12 6 52 5 5 1
x si xf x x s i x
x si x
−
⎧ − − − < ≤ −⎪
= − − − < < −⎨⎪ − − + − ≤ ≤ −⎩
Finalmente, el dominio de la función inversa es ( ]1 7, 1
fD − = − − y su recorrido es [ )1 4,4
fR − = − .
LOS COORDINADORES
22. Determinar la regla de correspondencia de la función inversa, si existe, de la función f definida por:
2
1( ) 1 2
2 2 2
x si xf x x si x
x si x
<⎧⎪
= ≤ ≤⎨⎪ + >⎩
En caso de existir, dar dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − . Solución. Las tres reglas de correspondencia corresponden, respectivamente, a la función identidad, una parábola con vértice en el origen, eje de simetría el eje " "y y que abre hacia arriba, y otra parábola con vértice en el punto ( )2,0− y con eje de simetría el eje " "x y abre hacia la derecha. Por sus intervalos de definición, se ve que la función es inyectiva y siendo su recorrido, los reales, igual a su codominio, es suprayectiva y por lo tanto biyectiva, por lo que sí tiene función inversa. Su dominio y su recorrido son todos los valores reales, esto es, f fD R= = . La gráfica de ambas funciones se muestra en la siguiente figura:
19
Para definir la función inversa se procede de la siguiente manera con cada regla de correspondencia:
;y x x y y x= = ⇒ = 2 2;y x x y y x= = ⇒ = ±
( )2
2 82 2 ; 2 2 4 24
xy x x y x y y −= + = + ⇒ = + ⇒ =
Entonces la función inversa queda definida como:
( )1
2
11 4
8 44
x si x
f x x si xx si x
−
⎧⎪ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪ −⎪ >⎪⎩
ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL
23. Sea la siguiente función:
( ) ( )2
2
5 1 4 43 1 3
8 1 2 4 2
4 2 04 2 0
x x
x x xf x
x xx x
⎧ − − −∞ < < −⎪⎪⎪ − + + − ≤ < −= ⎨⎪− − − ≤ <⎪
⎪ − − ≤ < ∞⎩
x
y
f
1f −1 2
4
1
20
x
y
f
1f −
1f −
f
Determinar si esta función es biyectiva y en caso de serlo, obtener su función inversa y determinar dominio, recorrido y gráfica de 1f y f − Solución. Se analiza cada regla de correspondencia y se llega a:
5 143 13
y x= − − es una recta por lo que está definida en el intervalo considerado.
( )2 8 12y x x= − + + es la ecuación de una cónica y para saber sus características hacemos lo siguiente:
( ) ( ) ( )2 22 2 2 28 16 16 12 4 4 4 4y x x y x x y= − + + − + ⇒ = − + ⇒ + + =
Es una circunferencia con centro en ( )4,0− y radio igual a 2 . Por lo que en el intervalo dado está definida.
24y x= − − es la parte inferior de la circunferencia 2 2 4x y+ = , con centro en el origen y radio igual a 2 . Luego está definida en el intervalo considerado.
4 2y x= − − es una recta por lo que está definida en su intervalo. Por lo tanto el dominio de la función es: { }= ∈fD x x . Al graficar la función podremos determinar, de una manera más sencilla, su recorrido: Como se ve en la gráfica y tomando en cuenta que las dos rectas no tienen limitaciones a la izquierda y a la derecha respectivamente, el recorrido es: ( ] ( ){ }= ∈ −∞ ∪ ∞ ∈,2 5.6, ;fR y y y .
21
Como podemos apreciar, para cada " "y existe un y sólo un valor de " "x . Esto hace que la función sea inyectiva. De igual manera podemos definir como codominio al recorrido con lo que la función que estamos estudiando también es suprayectiva. Debido a que la función es suprayectiva e inyectiva, llegamos a la conclusión de que es biyectiva y por lo tanto tiene inversa, y es la que se presenta en la gráfica de manera punteada (para el caso de la circunferencia con centro en el origen, la gráfica de la función y su inversa coinciden). Procederemos a desarrollar su inversa. En estos casos se recomienda hacer un cambio de variables en cada regla de correspondencia y luego despejar a " "y , con lo que se tendrá para cada caso la regla de correspondencia de su función inversa. Así,
5 14 5 14 5 14 3 42;3 13 3 13 3 13 5 65
y x x y y x y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 28 12 ; 8 12 8 12 8 12y x x x y y x y y x y y= − + + = − + + ⇒ = − + + ⇒ = − − −
( )+ + − + = − ⇒ + = − + ⇒ + = ± − ⇒ = + − −22 2 2 2 28 16 16 12 4 4 4 4 4 4y y x y x y x y x
2 2 24 ; 4 4y x x y y x= − − = − − ⇒ = − − 1 14 2 ; 4 2 4 24 2
y x x y y x y x= − − = − − ⇒ = − − ⇒ = − −
Para determinar la función inversa, debemos determinar el dominio de cada regla de correspondencia, esto se logrará con facilidad observando la gráfica de la función. Recordemos que el recorrido de una función es el dominio de su función inversa. Basándonos en esto la función inversa queda de la siguiente forma:
( )2
1
2
1 1 24 24 2 0
4 4 0 23 42 5 .65 65
x s i x
x s i xf x
x s i x
x s i x
−
⎧ − − − ∞ < < −⎪⎪⎪ − − ≤ <⎪= ⎨
+ − ≤ ≤⎪⎪⎪− − < ≤ ∞⎪⎩
Finalmente, el domino de la función inversa es: ( ] ( ){ }− = ∈ −∞ ∪ ∞ ∈1 ,2 5.6, ;
fD x x x y el recorrido
es: { }− = ∈1fR y y
ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO
24. Para la función f , determinar su función inversa así como el dominio, recorrido y gráfica de la función y de su inversa.
3 02( )
0 4
senx si xf x
x si x
π⎧− − ≤ ≤⎪= ⎨⎪− < <⎩
22
x
y
f
1f −
Solución. La primera regla de correspondencia es una función trascendente con dominio en los reales. La segunda es la parábola de ecuación 2y x= , con vértice en el origen, eje de simetría el eje " "x y abre hacia la derecha; está definida con el signo menos en la raíz por lo que se trata de la rama inferior. Si se grafica se tiene que: En la gráfica se puede apreciar que la función es inyectiva y si su codominio se fija igual que su recorrido, entonces es suprayectiva y por lo tanto biyectiva por lo que su inversa es función, y sus respectivos dominios y recorridos son:
( ]1 1,4 2,32f ff f
D R y R Dπ− −
⎡ ⎞= − = = − =⎟⎢⎣ ⎠
y las reglas de correspondencia se obtienen como:
3 ; 33 3x xy senx x seny seny y angsen ⎛ ⎞= − = − ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2;y x x y y x= − = − ⇒ =
Por lo que la función inversa queda como: ( )2
12 0
0 33
x si xf x xangsen si x−
⎧ − < ≤⎪= ⎨ ⎛ ⎞− < ≤⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL
25. Determinar si la función f expresada en forma paramétrica es biyectiva. Si lo es, obtener su función inversa, el dominio y recorrido de ambas y trazar las gráficas correspondientes.
1 ; 1: cosx-2
2
y sen yf
θθ
= + ≤⎧⎪⎨
=⎪⎩
23
Solución. Si se aplica la identidad trigonométrica: θ θ+ =2 2cos 1sen : θ = −2 2( 1)sen y y θ = −2cos 4( 2)x .
De donde 2 2 2cos ( 1) 4( 2) 1sen y xθ θ+ = − + − = ⇒ 2( 1) 1 4 8y x− = − + ⇒ 2 9( 1) 4
4y x⎛ ⎞− = − −⎜ ⎟
⎝ ⎠ ;
Es una parábola con vértice en 9 ,14
V ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
, con eje de simetría el eje 1y = ; el signo negativo del coeficiente
de x indica que abre hacia la izquierda, por lo que su dominio y recorrido son:
{ }9 ; 1 ;4f fD x x x y R y y y⎧ ⎫= ≤ ∈ = ≤ ∈⎨ ⎬
⎩ ⎭ .
Como se tiene sólo la rama inferior de la parábola, entonces es inyectiva y si su codomino se fija igual a su recorrido, entonces es biyectiva por lo que tiene función inversa, donde el dominio y el recorrido son:
{ }1 1
91 ; ;4f f
D x x x y R y y y− −
⎧ ⎫= ≤ ∈ = ≤ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
Sus gráficas son:
Como la regla de correspondencia de la función dada en coordenadas cartesianas es: 1 4 9y x= − − + con
1y ≤ , entonces la regla de correspondencia de la función inversa estará dada por:
( ) ( )22 9 1
1 4 9 ; 1 4 9 1 4 94x
y x x y x y y− −
= − − + = − − + ⇒ − = − + ⇒ =
Por lo tanto la función inversa es: ( ) ( )21 9 1
; 14x
f x x− − −= ≤
ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO
y
x
f
1f −
24
26. Para la función dada, verificar si es biyectiva y, en caso de serlo, obtener su función inversa y determinar dominio, recorrido y gráfica de −1f y f
2
cos 2 ; 0
( ) 1 ; 0 1ln ; 1
x x
f x x xx x
π− − ≤ <⎧⎪
= − − ≤ ≤⎨⎪ <⎩
Solución. La primera regla de correspondencia es una función trascendente, en su intervalo de definición es inyectiva, y si su codominio se iguala a su recorrido entonces es suprayectiva y por lo tanto biyectiva, por lo que tiene función inversa. La segunda regla de correspondencia es parte de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a 1 .
21y x= − − ⇒ 2 21y x= − ⇒ 2 2 1x y+ = La tercera regla de correspondencia es la función logaritmo natural, por lo que es inyectiva (uno a uno) y si se considera que su codominio es igual a su recorrido es una función suprayectiva (sobre), por lo tanto es biyectiva y tiene función inversa. En la gráfica se puede observar si la función en su conjunto (con las tres reglas de correspondencia) es biyectiva, lo que se comprueba si cualquier recta horizontal la toca en un solo punto.
En la figura se observa que la fundón es inyectiva, luego, con lo dicho anteriormente, admite inversa, cuya gráfica se muestra en la figura. El dominio y el recorrido de cada uno de ellas es:
[ ) 1,f fD Rπ −= − ∞ = ; [ )3,f fR D= − ∞ =
x
y
1f −
f
−3
−1
1−1
1
25
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a la función inversa, se cambian las variables y se despeja la nueva variable independiente “y”. Así se llega a: Primera regla: cos 2x y= − ⇒ cos 2y x= + ⇒ ( )cos 2y ang x= −
Segunda regla: 21x y= − − ⇒ 2 21x y= − ⇒ 2 21y x= − ⇒ 21y x= − (se toma el signo positivo de la raíz porque se trata de la parte de la circunferencia localizada en el cuarto cuadrante.) Tercera regla: como se sabe, la función inversa de la función logaritmo natural es la función exponencial.
lnx y= ⇒ xy e= finalmente, la función inversa está definida como:
1 2
cos( 2) 3 1
( ) 1 1 00x
ang x si x
f x x si xe si x
−
+ − ≤ < −⎧⎪
= − − ≤ ≤⎨⎪ < < ∞⎩
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
27. Dadas ( ) 4 2f x x= − + y ( ) 4g x x= − , obtener gf o , fg o y sus respectivos dominios. Solución. El dominio y el recorrido de cada función es:
{ }= ∈fD x x ; { }= ∈fR y y
{ }= ≤ ∈4 ;gD x x x ; { }= ≥ ∈0 ;gR y y y Para obtener gf o se hace lo siguiente:
( )( ) 2 4 4f g f g x x= = − −o
( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como g fR D⊂ , entonces ( ], 4f g gD D= = −∞o Para obtener fg o se procede como sigue:
( )( ) ( )4 4 2 2 4g f g f x x x= = − − + = +o
( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o Para obtener el dominio de la composición, se debe investigar qué valores del dominio de " "f conducen al
recorrido ( ],4−∞ . Si ( ) 4f x = , entonces 14 4 2 4 22
x x x= − + ⇒ = − ⇒ = − .
Luego, el dominio de la composición está dado por: 1 ,2g fD ⎡ ⎞= − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠
o
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
26
28. Sean las funciones ( ) 1 ( ) 3 1.f x x y g x x= − = + Obtener las funciones f g y g fo o y dar sus respectivos dominios. Solución. Los dominios de las funciones son:
[ )1, ;f gD D= ∞ =
( )( ) 3 1 1 3f g f g x x x= = + − =o
[ )0,CD = ∞ . Luego [ )0,f g C gD D D= ∩ = ∞o ; donde CD es el dominio de 3x
( )( ) 3 1 1g f g f x x= = − +o
[ )1,CD = ∞ . Luego [ )1,g f C fD D D= ∩ = ∞o ; donde CD es el dominio de − +3 1 1x
ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL 29. Obtener f go y g fo si ( ) ( )2f x x y g x x= = Solución: Los dominios y recorridos de ambas funciones son:
[ ); 0,f gD D= = ∞
[ ) [ )0, ; 0,f gR R= ∞ = ∞
( )( ) ( )2f g f g x x x= = =o
( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como [ )0,g f f g gR D D D⊂ ⇒ = = ∞o
( )( ) 2g f g f x x x= = =o
( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Como f g g f fR D D D⊆ ⇒ = =o
ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO 30. Obtener las composiciones f g y g fo o , así como sus respectivos dominios, para las funciones:
( ) ( ) 2 1f x x y g x x= = + Solución:
[ )0, ;f gD D= ∞ =
[ ) [ )0, ; 1,f gR R= ∞ = ∞
27
( )( ) 2 1f g f g x x= = +o
( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Como g f f g gR D D D⊂ ∴ = =o
( )( ) ( )21 1g f g f x x x= = + = +o
( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Como [ )0,f g g f fR D D D⊂ ∴ = = ∞o
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 31. Dadas las siguientes funciones:
2( ) 4 ( ) 8 2f x x y g x x= = − determinar f g y g fo o , así como el dominio de las composiciones.
Solución. Los dominios de las dos funciones son, respectivamente
[ )0,f gD y D= ∞ = La primera composición pedida es igual a: ( )( ) ( )2 24 8 2 32 8f g f g x x x= = − = −o
De donde ( )( )2 232 8 0 4 0 2 2 0x x x x− ≥ ⇒ − ≥ ⇒ − + ≥ Las dos posibilidades son:
( ] [ ) [ ]2 0 2 2 0 2, 2 2, ; 2,2
2 0 2 2 0 2x x x x
x xx x x x
φ− ≤ ⇒ ≥ − ≥ ⇒ ≤
∴ ∈ −∞ − ∩ ∞ = ∴ ∈ −+ ≤ ⇒ ≤ − + ≥ ⇒ ≥ −
Por lo que el dominio CD es igual a: [ ]2,2CD = − Luego el dominio de la composición es: [ ]2,2f g C gD D D= ∩ = −o La otra composición es: ( )( ) ( )2
8 2 4 8 8 ; Cg f g f x x x D= = − = − =o
Luego [ )0,g f C fD D D= ∩ = ∞o
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 32. Sean las funciones f y g definidas por:
( ) ( )21f x x y g x x= − = obtener las reglas de correspondencia y los dominios de las composiciones f g y g fo o . Solución.
28
[ ] [ )1,1 ; 0,f gD D= − = ∞
[ ] [ )0,1 ; 0,f gR R= = ∞
( )( ) ( ) ( ]2
1 1 ; ,1Cf g f g x x x D= = − = − = −∞o
( ] [ ) [ ],1 0, 0,1f g C gD D D= ∩ = −∞ ∩ ∞ =o
( )( ) [ ]2 241 1 ; 1,1Cg f g f x x x D= = − = − = −o
[ ] [ ] [ ]1,1 1,1 1,1g f C fD D D= ∩ = − ∩ − = −o
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 33. Sean las funciones f y g , definir f g y g fo o y dar sus respectivos dominios.
[ )3 3( ) 1 0 , ( ) 1f x x si x y g x x si x= + ∈ ∞ = − ∈ Solución. Resulta conveniente conocer los dominios y recorridos de ambas funciones, por lo que:
[ )[ )0,1,
gf
gf
DDy
RR== ∞== ∞
Se obtiene la regla de correspondencia de la composición f go y:
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )3
3 1 1 1 1f g x f g x x f g x x f g x x= = − + ⇒ = − + ⇒ =o o o
El dominio se expresa a través de ( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o . Las imágenes de g que pertenecen
a fD son [ )0,∞ ; luego se deben determinar los valores del dominio de g que conducen a esas imágenes. Para ello se hace lo siguiente:
30 ; 0 1 1y x x= = − ⇒ = . Luego el dominio de la composición es [ )1,f gD = ∞o . Se obtiene la regla de correspondencia de la composición g fo y:
( )( ) ( )( ) ( )( )3 3 1 1g f x g f x x g f x x= = + − ⇒ =o o El dominio se expresa a través de ( ){ };g f f gD x x D f x D= ∈ ∈o . Las imágenes de f que son parte del
gD son todas las de su recorrido, es decir, [ )1,∞ , luego el dominio de la composición es [ )0,g fD = ∞o
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
29
34. Dadas las siguientes funciones, obtener f g y g fo o y determinar sus respectivos dominios.
( ) ( ) 19f x x y g xx
= − =
Solución.
[ ) { }9, ; 0f gD D= ∞ = −
( )( ) 1 1 99 xf g f g xx x
−= = − =o
1 9 0 ; 0x xx−
≥ ≠
x 1 9x− x 1 9x
x−
( ),0−∞ + − − 10,9
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + +
1 ,9
⎛ ⎞∞⎜ ⎟⎝ ⎠
− + −
10 ,9CD ⎛ ⎤∴ = ⎜ ⎥⎝ ⎦
. Por lo que 10,9f g C gD D D ⎛ ⎤= ∩ = ⎜ ⎥⎝ ⎦
o
( )( ) 19
g f g f xx
= =−
o
( )9 0 9 9,Cx x D− > ⇒ > ∴ = ∞ . De donde ( )9,g f C fD D D= ∩ = ∞o
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 35. Dadas las funciones siguientes, determinar y gf g fo o y dar los dominios respectivos.
2( ) ; g(x) 21
f x xx
= = −−
Solución.
{ } ( ]1 ; ,2f gD D= − = −∞
[ ){0} ; 0,f gR R= − = ∞
( )( ) 22 1
f g f g xx
= =− −
o
30
Para obtener el dominio de " "C , es decir, de la expresión 22 1x− −
, se hace lo siguiente:
2 1 0 2 1 1x x x− − ≠ ⇒ − ≠ ⇒ ≠ ; además 2 0 2x x− ≥ ⇒ ≤ .Por lo tanto ( ] { },2 1CD = −∞ −
luego, el dominio de la composición f go es: ( ] { }, 2 1f g C gD D D= ∩ = −∞ −o
( )( ) 2 2 421 1
xg f g f xx x
−= = − =
− −o
Para obtener el dominio de " "C , es decir, de 2 41
xx−−
, se puede proceder como sigue:
2 4 0 ; 11
x xx−
≥ ≠−
x 1x − 2 4x − 2 4
1xx−−
( ),1−∞ − − + ( )1,2 + − − ( )2,∞ + + +
Luego ( ) [ ),1 2,CD = −∞ ∪ ∞ . Por lo que ( ) [ ), 1 2,g f C fD D D= ∩ = −∞ ∪ ∞o
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
36. Dadas las siguientes funciones 26( )
9xf x
x=
− y ( ) 3g x x= , obtener f go y g fo señalando
sus respectivos dominios. Solución.
{ } [ )3,3 ; 0,f gD D= − − = ∞
( ( ))f g f g x= =o 2
6 3 6 3 2 33 9 3( 3 ) 9
x x xx xx
= =− −−
[ ) { }0, 3CD = ∞ − . Por lo tanto [ ) { }0, 3f g C gD D D= ∩ = ∞ −o
Por otro lado,
( )( ) 2 26 183
9 9x xg f g f x
x x⎛ ⎞= = =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
o
31
218 0 ; 3,3
9x x
x≥ ≠ −
−
x 18x 3x − 3x + ( )( )183 3
xx x− +
( ), 3−∞ − − − − − ( )3,0− − − + + ( )0,3 + − + − ( )3,∞ + + + +
( ] ( )3,0 3,CD∴ = − ∪ ∞ . Luego ( ] ( )3,0 3,C fD D∩ = − ∪ ∞ .
ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL
37. Dadas las funciones siguientes, determinar f go y g fo y dar los respectivos dominios.
( )3 2
xf xx
=+
2g (x )x
=
Solución. Los dominios de las dos funciones son:
23
D f⎧ ⎫= − −⎨ ⎬⎩ ⎭
y { }0Dg = −
Si se procede como en el ejercicio anterior, se obtiene:
( )( )2
2 12 6 2 33 2xf g f g x f g f g
x xx
= = ⇒ = ⇒ =+ +⎛ ⎞ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
o o o
{ }{ } { } { }
33,0 3,0
0c
c g f gg
DD D D
D= − −
⇒ ∩ = − − ∴ = − −= − o
Y la otra composición es
( )( ) 2 6 4
3 2
xg f g f x g fx xx
+= = ⇒ =
+
o o
{ }02 2,0 ,02 3 3
3
c
c f g ff
DD D D
D
= −⎧ ⎫ ⎧ ⎫⇒ ∩ = − − ∴ = − −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎧ ⎫= − − ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎨ ⎬
⎩ ⎭o
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
32
38. Sean las funciones f y g definidas por :
( ) ( )2 11
xf x x y g xx
= − =−
Obtener las reglas de correspondencia y los dominios de las funciones f g y g fo o Solución.
{ }; 1f gD D= = −
( )( )2 2 2 2
2 2 22 1 2 11 1
1 2 1 2 1 2 1x x x x x xf g f g x
x x x x x x x− + − −⎛ ⎞= = − = − = =⎜ ⎟− − + − + − +⎝ ⎠
o
Como { }1CD = − , luego { }1f g C gD D D= ∩ = −o
( )( )2 2
2 21 1
1 1 2x xg f g f x
x x− −
= = =− − −
o
Como { }2 , 2CD = − − , luego { }2, 2g f C fD D D= ∩ = − −o
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 39. Dadas las funciones ( )f x y ( )g x , determinar ( )( ) ( )( )f g x y g f xo o así como sus respectivos dominios.
2 21 1( ) ; ( )
1f x g x
x x= =
+
Solución. Los dominios y recorridos de ambas funciones son:
{ }{ } { }
000
gf
gf
DDy
RR== −
= −= −
Se obtiene la regla de correspondencia de f go :
( )( ) ( )222
2
1 11
1
f g f g x f g x
x
= = ⇒ = +⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
o o
Para obtener el dominio de la composición que es ( ){ };f g g fD x x D g x D= ∈ ∈o , cuando los dominios de las funciones involucradas no son modificados sino que son los debidos a su definición, se puede utilizar la expresión siguiente: f g c gD D D= ∩o , donde cD es el dominio de la expresión obtenida al realizar la composición. En este caso, como c g f g f gD y D D D= = ⇒ = ∩ ⇒ =o o Ahora se obtiene la regla de correspondencia de g fo :
33 4
2 4 4
4 42
1 1 1( )( ) ( )( ) 1 1 11 11
xg f x g f x g f g fx x
x xx
= = ⇒ = ⇒ =+ +⎛ ⎞ ++⎜ ⎟
⎝ ⎠
o o o o
Para el dominio de esta composición se procede como en el caso anterior y se llega a:
{ } { } { }0 00
cc f g f
f
DD D D
D=
⇒ ∩ = − ∴ = −= − o
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
40. Dadas ( ) 42
xf xx+
=−
y ( )2
211
xg xx
+=
− obtener f go y g fo con sus respectivos dominios y
recorridos. Solución. { } { }; 2 ; ; 1, 1f gD x x x D x x x x= ∈ ≠ = ∈ ≠ − ≠
2 2 2
22 2
2 2 2 2
2 2
1 1 4 44 5 31 11 1 2 2 321 1
x x xxx xf g
x x x xx x
+ + + −+ −− −= = =+ + − + −−− −
o
{ }3 , 3CD = − − . Por lo que { }3, 1,1, 3f g C gD D D= ∩ = − − −o
2 2 2 2
2 22 2
2 2 2 2
2 2
4 8 16 8 16 4 41 1 2 4 20 2 102 4 4 4 48 16 8 16 4 4 12 12 6 64 11 4 4 4 42
x x x x x x xx x x xx x x x xg f
x x x x x x x xxx x x xx
+⎛ ⎞ + + + + + − ++ +⎜ ⎟ + + + +−⎝ ⎠ − + − += = = = =+ + + + − + − + ++⎛ ⎞ −−⎜ ⎟ − + − +−⎝ ⎠
o
{ }1CD = − − . Por lo que { }1,2g f C fD D D= ∩ = − −o
ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO 41. Sean las funciones siguientes. Determinar y g f f go o , así como sus respectivos dominios.
( ) ( )20 1;
2 0 5 1x si x x si xf x g xx si x x si x
< ⎧ ≤ −⎧= =⎨ ⎨+ ≥ − > −⎩ ⎩
Solución. Los dominios y recorridos de ambas funciones son: ( ) ( )( ) [ ) ( )
, ,,0 2, 6,
f g
f g
D D
R R
= −∞ ∞ = −∞ ∞
= −∞ ∪ ∞ = − ∞
Luego f go está dada por:
34
( )( )( )
2 15 1 0
5 2 0f g C g
x si xf g f g x x si x D D D
x si x
⎧ ≤ −⎪= = − − < < = ∩ = ∩ =⎨⎪ − + ≥⎩
oo
Por otro lado, g fo está dada por:
( )( )( )
2 15 1 0
2 5 0g f C f
x si xg f g f x x si x D D D
x si x
⎧ ≤ −⎪= = − − < < = ∩ = ∩ =⎨⎪ + − ≥⎩
oo
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
42. Para la función dada en forma paramétrica, determinar su dominio y recorrido, dar su expresión cartesiana y graficarla.
( )3
3
4;
2 2x t t
f t ty t t⎧ = + +⎪= ∈⎨
= − −⎪⎩
Solución. De la expresión paramétrica de x : 3 4t t x+ = − y de la expresión de y , ( )32y t t= − + . Si se
sustituye el valor de 3 4t t x+ = − en " "y , se llega a ( )2 4y x= − − ⇒ 2 8y x= − + que es la forma cartesiana de la función. Como se observa se trata de una recta, por lo que su dominio y recorrido son:
( ),fD = −∞ ∞ ; ( ),fR = −∞ ∞ y su gráfica es la siguiente:
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
y
x4
8
35
43. Para la función dada en forma paramétrica, dar su expresión cartesiana, determinar su dominio y recorrido, y graficarla.
( )2
4 23 1x t
f ty t t⎧ =⎪= ⎨
= + −⎪⎩ , t∈
Solución. Primero se sustituye la expresión paramétrica de x en y : 2 3 1y x x= + − Del análisis de esta ecuación se puede ver que se trata de una parábola y para ver sus características se hace lo siguiente:
21 3y x x+ = + ⇒ 29 91 34 4
y x x+ + = + + ⇒ 213 3
4 2y x⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⇒
23 132 4
x y⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
luego la parábola tiene su vértice en 3 13,2 4
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
, su eje de simetría es paralelo al eje “y” y abre hacia arriba. Si
se analiza la expresión paramétrica de x , dado que t∈ , el valor de x siempre será positivo o igual a cero ( )0x ≥ , razón por la cual, la función ( )f t es solamente la parte de la parábola que se encuentra a la derecha del eje " "y . Entonces su dominio es [ ),0fD = . De la ecuación cartesiana 2 3 1y x x= + − , se tiene que para el valor mínimo de x ( )0x = , 1y = − , y dado que la parábola abre hacia arriba, el recorrido de la función
( )f t es: [ )1,R = − ∞ . Para terminar, se grafica la parábola 2 3 1y x x= + − .
Nota. Se utilizan escalas diferentes en los ejes coordenados y la gráfica es aproximada.
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
44. Dada las ecuaciones paramétricas 2
23
x ty t t= +⎧
⎨= +⎩
x
y
1−
36
indicar si determinan paramétricamente una función. En caso afirmativo, obtener el dominio, el recorrido y su gráfica. Solución. Se despeja el parámetro en ambas ecuaciones: 2t x x= − ⇒ ∈
2 3 9 4 93 0 ,2 4
yt t y t y− ± + ⎡ ⎞+ − = ⇒ = ⇒ ∈ − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠
Ecuación cartesiana:
( ) ( )2 2 2
22 2
2 2 ; 2 3 2 4 4 3 6 2
1 1 9 12 24 4 4 2
x t t x y x x y x x x y x x
y x x y x x y x
= + ⇒ = − = − + − ⇒ = − + + − ⇒ = − −
⎛ ⎞+ = − ⇒ + + = − + ⇒ + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Se trata de una parábola cuyo vértice es el punto 1 9,2 4
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
con eje de simetría la recta 12
x = y que abre
hacia arriba. La gráfica es:
El dominio y recorrido son: 9 ,
4f fD y R ⎡ ⎞= = − ∞ ⎟⎢⎣ ⎠
ALUMNA: DÁVILA MERCADO MARÍA PAULA 45. Para la función f representada en forma paramétrica, determinar su dominio y recorrido, dar su expresión cartesiana y graficarla.
y
x 1− 2
2−1 9,2 4
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
37
( )cos 2
x senf
yθ
θθ
=⎧= ⎨ =⎩
; 0 2θ π≤ ≤
Solución. Se hace uso de la identidad trigonométrica ( )2 1 1 cos 22
sen θ θ= − , de la cual se despeja el término
cos2θ : 22 1 cos 2sen θ θ= − ⇒ 2cos 2 1 2senθ θ= − . Se sustituye en las expresiones paramétricas que definen a la función, se obtiene su forma cartesiana:
2 21 2 1y sen y xθ= − ⇒ = − que es una parábola, y para determinar sus características se hace lo siguiente:
22 1x y= − ⇒ ( )2 1 12
x y= − ⇒ ( )2 1 12
x y= − −
luego su vértice está en el punto ( )0,1 y su eje de simetría es el eje “y”. Si se asignan al parámetro " "θ algunos valores dentro del intervalo de definición de la función, se tiene
θ 0 4π
2π 3
4π π 5
4π 3
2π 7
4π 2π
x 0 0.7071 1 0.7071 0
0.7071−
1−
0.7071−
0
y 1 0 1− 0 1 0 1− 0 1
Con estos valores, la gráfica de la función es la siguiente:
El dominio y el recorrido de esta función son, respectivamente [ ] [ ]1, 1 1,1f fD y R= − − = − .
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS 46. Dada la función definida por las siguientes ecuaciones paramétricas, obtener su dominio, recorrido, gráfica y dar su expresión cartesiana.
4 ; 4 cos ; 02
x sen y πα α α= = ≤ ≤
y
x
22
− 22
1
38
Solución. Si se procede primero a obtener su expresión cartesiana, despejando a senα y cosα
cos4 4x ysen yα α= =
Se elevan al cuadrado ambas ecuaciones y se suman, obteniendo 2 2
2 2cos16 16x ysen α α+ = + . Como
2 22 2 2 2cos 1 1 16
16 16x ysen x yθ θ+ = ⇒ + = ⇒ + = , que es una circunferencia con centro en el origen y
radio igual a 4. Si se considera el intervalo dado, se concluye que se trata de un cuarto de circunferencia, en el primer cuadrante, como se observa en la figura.
Por lo que el dominio y el recorrido son: [0,4] [0,4]f fD y R= =
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN 47. Para la siguiente función obtener su dominio, recorrido y trazar su gráfica.
( ){ }, | 3 cos , 4 ; 0F x y x t y sent t π= = = ≤ ≤ Solución. Si se despeja el parámetro " "t en ambas ecuaciones, se tiene que:
cos ;3 4x yt ang t ang sen= =
Se transforma su ecuación a su forma cartesiana, mediante la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen t t+ = ; se llega a:
2 2
; cos ; 14 3 9 16y x x ysent t= = + =
que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en el origen y semiejes "3 4"y respectivamente. De acuerdo con el intervalo de definición se trata sólo de la parte superior de la curva. Su gráfica es:
x
y
39
En la gráfica aproximada se observa que: Dominio [ ]3,3fD x= ∈ − y Recorrido [ ]0,4fR y= ∈
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 48. Para la función dada en forma paramétrica, obtener su dominio, recorrido y su ecuación cartesiana. Hacer un trazo aproximado de su gráfica.
2 4 3: ;3 3 cos 2 2
x senf
yα π παα
= +⎧≤ ≤⎨ = − +⎩
Solución. Se procede a obtener la ecuación cartesiana, despejando senα y cosα como sigue:
2 3cos4 3
x ysen yα α− += =
Si se hace uso de la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen α α+ = , se obtiene: ( ) ( )2 22 31
16 9x y− +
+ = ,
que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en ( )2, 3− , semieje mayor igual a 4 y semieje menor 3 . Para definir dominio, recorrido y gráfica, se construye la siguiente tabla con el intervalo dado:
α 2π 3
4π π 5
4π 3
2π
x 6 4.8 2 0.8− 2−
y 3− 5.1− 6− 5.1− 3−
x
y
3−
4
3
40
El dominio y el recorrido de esta función son, respectivamente, [ ] [ ]2,6 6, 3f fD y R= − = − −
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN 49. Para la siguiente función expresada en forma paramétrica, obtener su expresión cartesiana, su dominio, recorrido y trazar su gráfica.
sec; 0
2 tan 2x t πty t=⎧
< <⎨ =⎩
Solución. Se obtiene la ecuación de la función en su forma cartesiana y para ello se hace lo siguiente:
2 2secx t= ; 2 24 ta ny t=
Por identidad trigonométrica, 2 2sec tan 1t t− = ; luego 2
2 14
yx − =
Para su dominio y recorrido se tiene que: 1
0 ;0 2
x xt t
y yπ= → ∞⎧ ⎧
= ⇒ = ⇒⎨ ⎨= → ∞⎩ ⎩ ;
{ [ ) }; 1,fD x x x= ∈ ∈ ∞ ; [ ){ }; 0,fR y y y= ∈ ∈ ∞ Y la gráfica está dada por:
y
x 2− 6
6−
3−
41
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 50. La función dada es biyectiva y está expresada en forma paramétrica. Obtener su función inversa en forma cartesiana, así como el dominio, el recorrido y la gráfica de ambas funciones.
2 3 ; 1cos 1
x sen yy
θθ
⎧ = +≥⎨
= +⎩
Solución. Se obtiene la forma cartesiana de la función dada. Entonces
( ) ( )
2
2 2
3
1 cos cos 1
x sen
y y
θ
θ θ
− =
− = ⇒ = −
Por la identidad trigonométrica 2 2cos 1sen θ θ+ = se llega a: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 23 1 1 1 4 1 4x y y x y x− + − = ⇒ − = − + ⇒ − = − −
ecuación que corresponde a una parábola con centro en ( )4,1 y que abre hacia la izquierda. Para pasarla a su forma explícita se despeja la variable " "y , de donde: ( ) ( ) ( )21 4 1 4 1 4 1 4y x y x y x f x x− = − − ⇒ − = − ⇒ = + − ⇒ = + − . De esta expresión se obtiene el dominio que es: ( ] 1, 4f f
D R −= −∞ = . Para obtener la regla de correspondencia de la función inversa, que existe porque la función original es biyectiva, se hace lo siguiente:
x
y
1
42
( ) ( )2 21 4 ; 1 4 4 1 4 1 4 1y x x y y x y x y x= + − = + − ⇒ − = − ⇒ − = − ⇒ = − −
Luego la función inversa es ( ) ( )21 4 1f x x− = − − . Las gráficas de ambas funciones son:
El recorrido de la función es [ ) 11,f f
R D −= ∞ =
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G. 51. Expresar el área de un círculo en función únicamente de su perímetro. Solución. El modelo geométrico de este problema es el siguiente:
El área del círculo es igual a 2A rπ= y su perímetro se obtiene a partir de la expresión 2P rπ= . Del perímetro se despeja el radio " "r y se sustituye en la expresión del área, con lo que se llega a la función pedida. Así,
2 2
2;2 2 4P P Pr A Aππ π π
⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID H.
r
x
f
1f −
y
1
3
3 4
43
52. Dado el siguiente triángulo rectángulo, escribir la longitud de su cateto adyacente en función únicamente del seno del ángulo x .
Solución. Se utilizan los símbolos A OC y C para los catetos adyacente y opuesto, respectivamente.
1O
OCsenx C senx= ⇒ =
Mediante el Teorema de Pitágoras se tiene que 2 21 O AC C= + , de donde:
2 21 1A O AC C C sen x= − ∴ = −
ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO 53. Un granjero planea colocar una valla en un terreno de forma rectangular, uno de cuyos lados coincide con un la orilla de un río recto. Cuenta con 2000 m de valla. Definir el área del terreno rectangular en términos solamente de la longitud de los lados que no coinciden con el río y que son perpendiculares a él. Solución. Una figura que representa el problema es:
El área del terreno equivale a: A ab= . La longitud de valla en términos de las longitudes de la figura, sin tomar el lado que coincide con el río y que no es cercado, es:
2 2000 2000 2a b b a+ = ⇒ = − Se sustituye este valor de " "b en la expresión del área " "A y finalmente se llega a:
( ) 22000 2 2000 2A a a A a a= − ∴ = −
LOS COORDINADORES
a a
b
río
x
1
44
54. Para el triángulo isósceles dado, expresar su área " "A en función exclusivamente de " "x .
Solución. El área del triángulo está dada por
2x aA = .
Para obtener una relación entre x y a se utiliza el teorema de Pitágoras en uno de los triángulos rectángulos que forman el triángulo isósceles:
2 22 210 100
2 4x xa a⎛ ⎞= + ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Se sustituye este valor en el área y se tiene finalmente: 2
1004
2
xxA
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠=
ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO
55. En la figura se muestran las posiciones relativas de un avión y una torre de control en un aeropuerto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 90 m de la base de la torre, sobre la perpendicular. Expresar la distancia " "d de la aeronave a la torre de control como una función de la distancia " "x que el avión ha recorrido sobre la pista.
torre
90 m
x
d
10
2x
a
45
Solución. Como en la figura se forma un triángulo rectángulo, es posible utilizar el Teorema de Pitágoras, por lo que
2 2 2 290 8100d x d x= + ⇒ = +
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 56. Se tienen 30 cm de alambre del cual, al cortarlo en dos partes, con una se construye un cuadrado y con la otra una circunferencia. Obtener una función que exprese la suma de las áreas de las dos figuras en términos únicamente del lado del cuadrado. Solución. El modelo geométrico es:
La suma de las áreas " "AS de las dos figuras está dada por 2 2
AS x rπ= + . Para relacionar el lado del cuadrado con el radio de la circunferencia se utiliza la longitud del alambre que equivale a la suma de los perímetros de las figuras. Así,
15 24 2 30 2 15 xx r x r rπ ππ−
+ = ⇒ + = ⇒ =
Se sustituye esta expresión en la función AS y se tendrá ésta en términos sólo del lado del cuadrado:
( )222 2 15 215 2
A A
xxS x S xππ π
−−⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
57. Una recta que pasa por el punto ( )3,4 forma con los ejes coordenados, en el primer cuadrante, un triángulo rectángulo. Definir una expresión del área del triángulo formado en términos exclusivamente de la longitud desde el origen de coordenadas al punto donde la recta corta el eje de las ordenadas, es decir, en términos de la ordenada al origen. Solución. Se representa gráficamente el problema planteado y,
x
x
r
46
Como se observa, el área del triángulo está dada por
2abA =
Por triángulos semejantes es posible escribir que
( )3 34 3 4 34 4
a a ba ab b a b b ab b
−= ⇒ = − ⇒ − = ⇒ =
−
Se sustituye este valor en el área y se llega finalmente a: 2
334
2 2 8
b b bbA Ab
−= ∴ =−
Otra forma de relacionar a y b , que son la abscisa y la ordenada al origen, respectivamente, es la ecuación de la recta en su forma simétrica es:
( )1x y bxbx ay ab a b y bx aa b b y+ = ⇒ + = ⇒ − = ⇒ =
−
En el punto ( )3,4 se tiene que 34
bab
=−
, por lo que al sustituir se llega a: 23
2 8bA
b=
−
LOS COORDINADORES
58. Un rectángulo está limitado por el eje " "x , con el cual coincide y por el semicírculo 225y x= − , en cuya gráfica tocan dos de sus vértices. Expresar el área del rectángulo en función únicamente de su base. Solución. El modelo geométrico es:
x
( )3,4
a
b
y
47
El área del rectángulo es A ab= . De la ecuación de la semicircunferencia a la que satisface el punto
,2a b⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
, se puede escribir que: 2
252ab ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟
⎝ ⎠ . Por lo que finalmente:
2 2 2210025 25 100
2 4 4 2a a a aA a A a A a A a−⎛ ⎞= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
59. Un cono circular recto de dimensiones variables se encuentra inscrito en otro también circular recto de dimensiones fijas, con radio y altura de 5 y 10 unidades respectivamente. Obtener una función que represente el volumen del cono inscrito en términos de su radio. Solución. La figura es la siguiente:
Se sabe que 21
3V r hπ= ; entonces, por triángulos semejantes se obtiene lo siguiente:
10 h
5
x
y
225y x= −
b
2a
,2a b⎛ ⎞
⎜ ⎟⎝ ⎠
5 5−
5
r
48
10 10 50 1050 5 10 10 2
5 5h rh r h h r
r− −
= ⇒ − = ⇒ = ⇒ = −
expresión que se sustituye en el volumen y 21 (10 2 )
3V r rπ= −
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.
60. Dos postes verticales de 6 8.5m y m de altura se encuentran a 10 m de distancia uno del otro. Se deben sujetar con cables fijados en un sólo punto, desde el suelo hasta los extremos de los postes. Expresar la longitud total del cable en función sólo de la distancia de la base del primer poste (de 6 m ) al punto del suelo donde están fijados los cables. Solución. En primer lugar se traza un modelo geométrico como sigue:
Si se representan con " " "10 "x y x− las respectivas distancias de las bases de los postes al punto del suelo, entonces se pueden determinar las longitudes de los cables mediante el Teorema de Pitágoras al aplicarlo en los dos triángulos rectángulos. De esta forma:
( )22 2 26 8.56 10 8.5L x y L x= + = − +
Por lo que finalmente la longitud total del cable, en función de la distancia " "x es:
( )22 2 2 236 10 8.5 36 20 172.25L x x L x x x= + + − + ∴ = + + − +
LOS COORDINADORES 61. Obtener el volumen del cono circular recto inscrito en una esfera de radio R, como función únicamente de su altura: Solución. Es conveniente una figura con el cono inscrito en la esfera y también una sección transversal.
6 8.5
x 10 x−
cables
49
El volumen del cono está dado por 21
3V r hπ= . En el triángulo rectángulo que se forma con ,R r y h R−
se aplica el Teorema de Pitágoras para relacionar el radio y la altura del cono, de donde ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2r h R R r R h R r R h hR R r hR h+ − = ⇒ = − − ⇒ = − + − ⇒ = −
Se sustituye esta expresión en la del Volumen y se obtiene la función de éste en términos únicamente de la altura.
( ) ( ) ( )2
2 2 31 2 2 23 3 3
hV h hR h V h R h V R hπ ππ= − ⇒ = − ⇒ = −
Otra forma para resolver el ejercicio parte de relacionar al radio del cono con su altura mediante los triángulos semejantes ABD y BCD . Luego
2h rr R h=
− ; 2 (2 )r h R h= −
Al sustituir en el volumen se tiene que: 1 [ (2 )]3
V h h R hπ= − ⇒ 21 (2 )3
V h R hπ= −
ALUMNO: CALDERÓN OCHOA GABRIEL
62. Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene dimensiones 20 30cm cm× . Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área, uno en cada esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes (véase la figura).Expresar el volumen " "V de la caja como función del lado " "x de los cuadrados recortados.
r
h2R
2R h−
A
B
C
D
C
r
R
Rh R−
h
50
Solución. El volumen de la caja que se construye es igual a V = área de la base × altura Las dimensiones de la base, después de los recortes son, respectivamente: 20 2 30 2x y x− − y la altura de la caja es " "x . Luego el volumen, en términos de " "x es:
( )( ) 2 3 220 2 30 2 600 40 60 4 4 100 600V x x x V x x x V x x x= − − ⇒ = − − + ⇒ = − +
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 63. Un tanque de base cuadrada y con tapa debe construirse o fabricarse con un volumen 3200V m= . Si el costo por metro cuadrado de la base y de la tapa es de $ 10.00 y el de las caras laterales de $ 5.00 ; obtener una expresión para definir el costo total C de fabricación de dicho tanque en función exclusivamente del lado de la base.
Solución. El área y costo de la tapa y base están dados por:
( )( )2 2 2; 2 10 20Tapa Base B BA A x C x C x= = = ⇒ = El área de las caras laterales es:
( )( )4 ; 4 5 20Lateral L LA xy C xy C xy= = ⇒ = Luego el costo total es: 220 20B LC C C C x xy= + ⇒ = + El valor de y se obtiene de la siguiente manera:
22 2
200;VV x y y yx x
= ⇒ = =
Se sustituye este valor en el costo " "C y se obtiene el costo en función exclusivamente del lado " "x de la base.
xx
y
30
x
x
20
51
2 22
200 400020 20 20C x x C xx x
⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
ALUMNO: ESPINOSA VARGAS BOGDAD ROBERTO
64. Un fabricante necesita elaborar vasos de aluminio en forma de cilindro circular recto, cada uno con un volumen de 316 cm . Formular una función que represente la cantidad de material necesario para construir un vaso en términos únicamente de su altura. Solución. El modelo geométrico con sus magnitudes es el siguiente:
Se utilizarán los siguientes símbolos
V = Volumen del cilindro = 316 cm r = Radio de la base del cilindro. a = Altura del cilindro. MA = Cantidad de Material necesario. De aquí:
2 316V r a cmπ= = ; 2 16r aπ = ; 2 16raπ
= ⇒ 4 (1)raπ
= L
Por otro lado, el área del vaso, que equivale al área de la base más el área de la superficie lateral, está dada por: ( )2 2 2MA r raπ π= + L
Se sustituye ( )1 en ( )2 y se tiene la cantidad de material necesario en términos únicamente de la altura. 24 4 162 8M MA a A a
aa aπ π π
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
65. Un tanque en forma de cilindro recto con tapa debe contener 10,000 litros de una determinada substancia química. Los materiales para su construcción tienen el costo siguiente: 2$ 200 / m para la base, 2$ 100 / m para la tapa y 2$ 180 / m para la superficie lateral. Obtener una expresión que defina la cantidad de material empleado en la construcción del tanque en función solamente del radio de su base. Solución. El tanque con sus dimensiones es el que se muestra en la siguiente figura:
a
r
52
El costo de los materiales para la construcción del tanque se da como el producto de las áreas (base, tapa y superficie lateral) por sus respectivos costos. Entonces el costo total de los materiales es:
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2200 100 2 180 300 360C x x xy C x xyπ π π π π= + + ⇒ = + Para tener este costo en función sólo del radio de la base, se utiliza el dato del volumen.
3 3 22
1010000 10000 10 ; 10V litros dm m x y yx
ππ
= = = = ⇒ =
Se sustituye esta expresión en el costo y se logra que esté en función solamente del radio " "x 2 2
210 3600300 360 360C x x C xx x
π π ππ
⎛ ⎞= + ∴ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
66. Un hombre " "H se encuentra mar adentro a dos kilómetros de la playa y desea llegar tierra adentro al
punto " "P como se muestra en el diagrama. El hombre puede nadar a un ritmo constante de 2 kmh
y
caminar con una rapidez constante de 4 kmh
. Expresar el tiempo " "t que emplea en llegar a " "P en
función únicamente de la distancia " "x mostrada en la figura.
x
2
1
3
Mar Tierra
3 x−
P
H
y
x
53
Como se observa, el hombre recorrerá la distancia de H a P en una trayectoria rectilínea para llegar a su destino. Esta línea forma dos triángulos rectángulos con la costa y las líneas perpendiculares a ella; con ellos se podrá determinar la distancia que recorre por Mar y por Tierra. Por Mar se ve que la distancia que recorre es: 2 22Md x= + .
Por Tierra se tiene que esta distancia es: ( )2 23 1Td x= − + . Ahora que ya se tienen las distancias habrá que calcular los tiempos correspondientes con la expresión conocida
para velocidad constante, que es d dv tt v
= ⇒ = .
Por lo que para el Mar: 2 42M
d xtv
+= =
Y por Tierra: ( )2 23 1 10 6
4 4T
xd x xtv
− + − += = =
Finalmente se suman los tiempos para obtener el tiempo total:
T Mt t t= + ⇒ 2 24 10 62 4
x x xt + − += +
ALUMNO: FELIX REYES ALEJANDRO
54
LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Calcular el siguiente límite:
134lim 2
2
1 ++++
−→ xxxx
x
Solución. Al sustituir el valor al que tiende la variable " "x , se tiene que:
134lim 2
2
1 ++++
−→ xxxx
x= ( ) ( )( ) ( )
2
2
1 4 1 3 0 011 1 1
− + − += =
− + − +
que es el valor numérico del límite.
ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN 2. Obtener el límite siguiente:
2
32
2 5 6lim8x
x xx→
− +−
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a
( ) ( )( )
2
3
2 2 5 2 6 408 2
− += → ∞
−
por lo tanto el límite no existe.
LOS COORDINADORES 3. Calcular el límite:
124lim 24 −−
−→ xx
xx
Solución. 00
1241644
124lim 24
=−−
−=
−−−
→ xxx
x (indeterminado)
Se factoriza, se simplifica y se llega a:
( )( ) 134
13
1lim34
4lim12
4lim4424
=−
=−
=+−
−=
−−−
→→→ xxxx
xxx
xxx
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
55
4. Resolver el límite:
2
2 23
6 7 2lim 49
x
x x
x→ −
+ +
−
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a:
2
2
2 2 8 146 7 2 2 03 3 3 34 4 04 29 99 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = =
⎛ ⎞ −− −⎜ ⎟⎝ ⎠
, que es una indeterminación. Para eliminarla se factorizan
numerador y denominador, se simplifica y se tiene que:
( )2 23 3
2 26 3 6 36 3 1 33 3lim lim 2 42 2 2 2 43 33 3 3 3
x x
x xx
xx x→ − → −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = = −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞−+ − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
5. Calcular el límite:
2
2r 3
2 3lim7 12
r rr r→−
+ −+ +
Solución. Se sustituye el valor al que tiende r y:
2
2r 3
2 3 0lim7 12 0
r rr r→−
+ −=
+ +(indeterminado)
Al factorizar numerador y denominador y simplificar, se obtiene:
44313
)4()1(lim
)3)(4()3)(1(lim
12732lim
332
2
3−=
+−−−
=+−
=+++−
=++−+
−→−→−→ rr
rrrr
rrrr
xxx
Otra forma de proceder es si se usa el hecho de que el valor de 3− es raíz de los dos polinomios, por lo que se realizan las divisiones algebraicas correspondientes:
2 22 3 7 121 43 3
r r r rr y rr r+ − + +
= − = ++ +
con lo que se llega al mismo resultado.
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
56
6. Determinar el valor del siguiente límite:
2
22
3 10lim3 5 2x
x xx x→
+ −− −
Solución. 2
22
3 10 0lim3 5 2 0x
x xx x→
+ −=
− − (indeterminado). Se factorizan ambos polinomios y se llega a:
( )( ) ( )( )2 23 10 5 2 3 5 2 2 3 1x x x x y x x x x+ − = + − − − = − + luego, el límite queda como:
( )( )( )( )
2
22 2 2
5 23 10 5 7lim lim lim 13 5 2 2 3 1 3 1 7x x x
x xx x xx x x x x→ → →
+ −+ − += = = =
− − − + +
LOS COORDINADORES
7. Calcular el siguiente límite:
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
++
−→
361
123
61
65
lim2
2
31 xx
xx
x
Solución. Se efectúa la correspondiente sustitución y:
22
21 23
1 5 1 15 1 1 5 1 2 5 303 6 3 66 6 9 18 6 18lim 3 1 1 1 1 4 3 1 01 3 1 1
12 36 9 12 36 363 12 3 36x
xx
xx→ −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − +⎛ ⎞ − + − ++ + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = = =⎜ ⎟ − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟+ − − −− + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(indeterminado)
Se factorizan numerador y denominador, y se calcula el valor del límite:
13
1 13 2lim1 1
12 3x
x x
x x→ −
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟− +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
=13
1 1 1 112 22 3 2 6lim 1 1 51 30 5
3 12 1212x
x
x→ −
⎛ ⎞⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ = = = − = −⎛ ⎞⎜ ⎟ − − −−⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN
8. Calcular el siguiente límite:
( )3 3
0limh
x h xh→
+ −
Solución. Al sustituir se tiene:
57
( )3 3
0
0lim0h
x h xh→
+ −= (indeterminado)
Se desarrolla, factoriza y:
( ) ( )
2 23 2 2 3 3 2 2 32 2 2
0 0 0 0
3 33 3 3 3lim lim lim lim 3 3 3h h h h
h x xh hx x h xh h x x h xh h x xh h xh h h→ → → →
+ ++ + + − + += = = + + =
ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN
9. Calcular el límite: 327lim
3
3 −−
→ xx
x.
Solución. 3
3
27 27 27 0lim3 3 3 0x
xx→
− −= =
− −(indeterminado)
Se factoriza el numerador, se simplifica y:
( )( ) ( )23
2
3 3 3
3 3 927lim lim lim 3 9 9 9 9 273 3x x x
x x xx x xx x→ → →
− + +−= = + + = + + =
− −
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
10. Calcular el siguiente límite: 3
2
8lim2h
hh→−
++
Solución. Se sustituye y:
3
2
8 8 8 0lim2 2 2 0h
hh→−
+ − += =
+ − +(indeterminado)
Se factoriza el numerador como “suma de cubos” y:
124)2(2)2()42(lim2
)42)(2(lim28lim 22
2
2
2
3
2=+−−−=+−=
++−+
=++
−→−→−→hh
hhhh
hh
hhh
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
11. Determinar el valor del siguiente límite:
3
23
2 7lim6 2 7x
xx x→ −
+− −
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a
58
3
23
2 7lim6 2 7x
xx x→ −
+=
− −( )
( ) ( )
3
2
27 3 003 6 3 27
+ −=
− − − −
que es una indeterminación. Para eliminarla se factorizan numerador y denominador y se tiene que:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )22 2
3 3 3
3 9 3 9 3 3 39 3 9 9 9 27 9lim lim lim3 9 9 3 9 12 12 4x x x
x x x x xx x x→− →− →−
+ − + − − + −− + + += = = = = −
+ − − − − − −
LOS COORDINADORES
12. Sea 4
16)(−
−=
xxxf . Calcular ( )xf
x 16lim→
.
Solución. Cuando se sustituye 16=x , se llega a la indeterminación
16
16 16 16 0lim04 16 4x
xx→
− −= =
− −
Para obtener el límite, se racionaliza el denominador de )(xf y se tiene:
( ) ( )( ) ( ) 84lim16
416lim44
416lim
416limlim
1616161616=+=
−+−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
⋅−
−=
−−
=→→→→→
xx
xxxx
xx
xxxf
xxxxx
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
13. Sea ( )7
7−−
=xxxf . Calcular el límite de ( )xf cuando x tiende a 7 .
Solución. Se sustituye el valor al que tiende " "x en la función para ver si se presenta una indeterminación o se tiene un resultado determinado. Así,
00
7777
77lim
7=
−−
=−−
→ xx
x (indeterminado)
Se tiene una indeterminación, así que se debe usar algún artificio para eliminarla. Se emplea el binomio conjugado para racionalizar el numerador ya que se tienen raíces cuadradas en su binomio.
( )( )7 7 7
7 7 7 1 1lim lim lim7 7 7 2 77 7x x x
x x xx x xx x→ → →
− + −⋅ = = =
− + +− +
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
14. Obtener el límite: 42lim
4 −−
→ xx
x.
59
Solución. Se sustituye el valor de "4" y:
4
2 4 2 0lim4 4 4 0x
xx→
− −= =
− −(indeterminado)
Se multiplican numerador y denominador por el binomio conjugado del numerador y se obtiene: ( )( )( )( ) ( )( )4 4 4 4
2 22 4 1 1 1lim lim lim lim4 42 4 24 2 4 2x n x x
x xx xx xx x x x→ → → →
− +− −= = = =
− + +− + − +
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
15. Obtener el valor del siguiente límite:
24
8 5 9lim2 3 2x
xx→ −
+ −−
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a
( )( )2
85 4 9 81 9 032 32 02 4 32
+ − − −= =
−− − , que es una indeterminación. Para eliminarla se factoriza el denominador y se
multiplican, numerador y denominador por el binomio conjugado del numerador. Así se llega a: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
4 4
4
85 9 85 9 85 81lim lim2 4 4 85 9 2 4 4 85 9
1 1 1lim2 8 9 9 2882 4 85 9
x x
x
x x xx x x x x x
x x
→ − → −
→ −
+ − + + + −=
+ − + + + − + +
= = = −− +− + +
LOS COORDINADORES
16. Resolver:
5
1 6lim2 0 5x
xx→
− −+ −
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a 1 6 5 1 1 05 5 05 20 5
− − −= =
−+ −,
que es una indeterminación. Para quitarla se multiplican al mismo tiempo, numerador y denominador, por el binomio conjugado del numerador y del denominador. Así se llega a:
60
( ) ( )( )( )
( )( )( )( )
5 5
5 5
1 6 20 51 6 1 6 20 5lim lim20 5 1 6 20 5 20 25 1 6
5 20 5 20 5 5 5 10lim lim 51 1 21 65 1 6
x x
x x
x xx x xx x x x x
x x xxx x
→ →
→ →
⎡ − − ⎤ + +− − + − + + ⎣ ⎦⋅ ⋅ =+ − + − + + + − + −
− + + + + += = = = =
++ −− + −
LOS COORDINADORES
17. Obtener el valor del siguiente límite:
2
0
1 1limx
x xx→
+ + −
Solución. 2
0
1 1 0lim0x
x xx→
+ + −= (indeterminado). Se multiplican, numerador y denominador, por el binomio
conjugado del numerador y se obtiene el valor del límite. Así:
( )( )
( )
2 2 2
20 0
2
20 0 02 2
1 1 1 1 1 1lim lim1 1
11 1 1 1lim lim lim21 11 1 1 1
x x
x x x
x x x x x xx x x x
x xx x xx xx x x x x x
→ →
→ → →
+ + − + + − + + += ⋅ =
+ + +++ + − +
= = = =+ + ++ + + + + +
LOS COORDINADORES
18. Calcular el límite:
3
2
1 0 2lim2x
xx→
− −−
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a 3 8 2 02 2 0−
=−
, que es
una indeterminación. Para eliminarla se multiplican, numerador y denominador, por el trinomio que transforma el numerador de la expresión original en una diferencia de cubos. Así se tiene que
( )( )
( )( ) ( )
2 333
22 2 23 33 3
10 2 10 4 10 810 2lim lim2 10 2 10 4 2 10 2 10 4x x
x x xxx x x x x x→ →
− + − + − −− −⋅ =
− ⎛ ⎞− + − + − − + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
61
( )22 33
1 1 1lim4 4 4 1210 2 10 4x x x→
= = =+ +− + − +
Otra forma de resolver este límite es mediante el siguiente cambio de variable:
( ) ( )3 3
3 3 3332 ? 2 2
2 210 10 ; lim 10 lim 2 lim lim82 10x u u u
u uu x x u x u uuu→ → → →
− −= − ⇒ = − − = ⇒ → ∴ =
−− −
( )( ) 222 2
2 1 1 1lim lim2 4 4 4 4 122 2 4u u
uu uu u u→ →
−= = = =
+ + + +− + +
LOS COORDINADORES
19. Obtener el valor del límite:
3
1
1lim1x
xx→
−−
Solución. 3
1
1 0lim01x
xx→
−=
− (indeterminado). En este caso, se puede hacer un cambio de variable. Se
cambia el radicando, que es común, por otra variable a la que se le coloca como exponente el mínimo común múltiplo de los índices de los radicales, que en este caso es 6 . Así,
( )( )( )( )
3 6 26 6 6
361 ? 1 1
221 1
1 1; l im lim 1 1 lim lim11
1 1 1 2lim lim1 31 1
x u u u
u u
u ux u x u u uuu
u u uu uu u u
→ → → →
→ →
− −= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
−−− + +
= = =+ +− + +
Este ejercicio también se podría haber resuelto multiplicando numerador y denominador de la expresión original por las expresiones 3 2 3 1 1x x y x+ + + para lograr la diferencia de cubos y de cuadrados y así eliminar la indeterminación.
LOS COORDINADORES 20. Calcular el valor del siguiente límite:
1313lim
2
4 2
2 −−
−−→ x
xx
Solución. Se hace el cambio de variable ( )2 4 2 4 3
2 ?3 ; lim 3 lim 2 3 4 1
x ux u x u u
→ →− = − = ⇒ − = ∴ →
( )( ) 21
111
11lim
111lim
11lim
11lim
11214
4 4
1=
+=
+=
+−−
=−−
=−
−→→→→ uuu
uuu
uu
uuuu
LOS COORDINADORES
62
21. Determinar el valor del límite siguiente:
4
6
22 2lim4 22x
xx→
− −− −
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a
4 22 6 2 2 2 04 4 04 22 6
− − −= = =
−− − , que es una indeterminación. Para eliminarla se cambia el radicando común de
ambas raíces por una nueva variable elevada a un exponente que es el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces. Así, se tiene que:
( )44
4 4 4246 ? 2 2
2 222 ; lim 22 lim 22 6 2 lim lim44x u u u
u ux u x u u uuu→ → → →
− −− = − = ⇒ − = ⇒ = ∴ =
−−
( )( )( )
( )( ) ( )2 2 2
22 1 1lim lim lim2 2 2 2 2 4u u u
uuu u u u u→ → →
− −− −= = = = −
− + − + +
LOS COORDINADORES
22. Calcular el límite:
1111lim
3
4
0 −+−+
→ xx
x
Solución. Se hace la sustitución y:
4 4
3 30
1 1 1 1 0lim01 1 1 1x
xx→
+ − −= =
+ − −(indeterminado)
Se hace un cambio de variable, dado que se presentan raíces con índices diferentes pero con el mismo radicando:
( )12 12 12
0 ?1 ; lim 1 lim 1 0 1 1
x ux u x u u u u
→ →+ = + = ⇒ + = ⇒ = ∴ →
Se realiza el cambio y se efectúan las operaciones requeridas para obtener el resultado:
11lim 4
3
1 −−
→ uu
u=
( )( )( )( )
2
2 21
1 1lim
1 1u
u u uu u→
− + +=
− +
( )( )( )( )( )
2
21
1 1lim
1 1) 1u
u u uu u u→
− + +=
− + +( )
( )( )2
21
1lim
1 1u
u uu u→
+ +=
+ +
2
2(1 1 1) 3
(1 1)(1 1) 4+ +
=+ +
4
30
1 1 3lim41 1x
xx→
+ −=
+ −
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
63
23. Obtener el valor del límite:
3752lim 2 +−
+∞→ xx
xx
Solución. 22 5lim
7 3x
xx x→∞
+ ∞=
− + ∞(indeterminado)
Se divide entre la variable de mayor exponente y se obtiene el valor del límite:
2
2
2
2
222
2
22
2 3lim7lim1lim
5lim2lim
371
52
lim37
52
lim37
52lim
xx
xx
xx
xx
xxx
xx
xxx
xxx
xxx
xx
xxx
∞→∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→∞→+−
+=
+−
+=
+−
+=
+−+
0001
0037
52lim 2 =+−
+=
+−+
∞→ xxx
x
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
24. Calcular el valor del siguiente límite:
26123lim 2
2
+++−
∞→ xxxx
x
Solución. 2
23 2 1lim6 2x
x xx x→∞
− + ∞=
+ + ∞ (indeterminado)
Se divide entre la variable con mayor exponente y se obtiene:
=+++−
∞→ 26123lim 2
2
xxxx
x
222
2
222
2
26
123
lim
xxx
xx
xxx
xx
x++
+−
∞→
2
2
2 13lim 1 26x
x x
x x→∞
− +=
+ +
3 16 2
= =
2
23 2 1 1lim6 2 2x
x xx x→∞
− +∴ =
+ +
ALUMNO: MENDIETA PACHECO HUGO
25. Calcular el siguiente límite:
( )344
733lim 2
2
−++−−
∞→ xxxx
x
Solución. ( )2
2
3 3 7lim
4 4 3x
x xx x→ ∞
− − + ∞=
+ − ∞(indeterminado)
64
Se desarrolla el binomio del numerador, se simplifica y se obtiene: ( )2 2
2 2
6 9 3 7 9 16lim lim4 4 3 4 4 3x x
x x x x xx x x x→ ∞ →∞
− + − + − +=
+ − + −
Se dividen entre la variable de mayor exponente, numerador y denominador y se obtiene: 2
2 2 2
2
2 2 2
9 16lim
4 4 3x
x xx x xx x
x x x→ ∞
− +
+ −⇒
2
2
9 161 1 0 0 1lim 4 3 4 0 0 44xx x
x x→ ∞
− + − += =
+ −+ −
ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN
26. Calcular: 6344lim 2
2
−+−−
∞→ xxxx
x.
Solución. 2
24 4lim3 6x
x xx x→ ∞
− − ∞=
+ − ∞(indeterminado)
Se divide entre la variable de mayor exponente:
111
001001
631
441lim
63
44
lim2
2
222
2
222
2
==−+−−
=−+
−−=
−+
−−
∞→∞→
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
Por lo tanto: 16344lim 2
2
=−+−−
∞→ xxxx
x
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
27. Calcular el valor del siguiente límite:
)(lim xfx ∞−→
donde 2
21 2 3( ) 12 5 3
x xf xx x− −
= −+ −
Solución.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−−
−+−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−−
∞−→∞−→ 352321
352352lim
3523211lim 2
2
2
2
2
2
xxxx
xxxx
xxxx
xx
se suman las dos fracciones:
65
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−+
∞−→ 352475lim 2
2
xxxx
x
se divide tanto el numerador como el denominador entre 2x
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−+
−+
∞−→∞−→
2
2
222
2
222
2
352
475lim
352
475
lim
xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
xx
por lo tanto 25
3523211lim 2
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
−−−
∞−→ xxxx
x
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
28. Calcular el valor del siguiente límite:
22835lim 2
3
++++
∞→ xxxx
x.
Solución. 3
25 3 8lim
2 2x
x xx x→∞
+ + ∞=
+ + ∞(indeterminado)
Se divide entre la variable con mayor exponente y se llega a: 3
3 3 3 2 3
2
2 33 3 3
5 3 8 3 85 5 0 0 5lim lim 1 2 22 2 0 0 0 0x x
x xx x x x xx x
x x xx x x→ ∞ → ∞
+ + + + + += = = → ∞
+ ++ ++ +
por lo tanto no existe el límite.
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
29. Calcular el siguiente límite: xxx
xxx 235
123lim 23
2
+−−+
∞→.
Solución. 2
3 23 2 1lim
5 3 2x
x xx x x→∞
+ − ∞=
− + ∞(indeterminado)
Para calcular este límite se dividirá el numerador y el denominador de la función entre la variable de mayor potencia, en este caso 3x :
2 2
2 3 3 3 3 2 3
3 2 3 23 2
23 3 3 3
3 2 1 3 2 1 3 2 13 2 1lim lim lim lim 3 25 3 2 5 3 25 3 2 5x x x x
x x x xx x x x x x x x x
x x x x x xx x xx xx x x x
→∞ →∞ →∞ →∞
+ − + − + −+ −= = =
− +− + − +− +
Se valúa el límite y finalmente se llega a:
66
050
235
123
235
123
lim235123lim
2
32
23
2
==
∞+
∞−
∞−
∞+
∞=+−
−+=
+−−+
∞→∞→
xx
xxxxxx
xxxx
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
30. Obtener el valor del siguiente límite:
xxxxxx
x 2521376lim 23
23
−+−+−
∞→
Solución. 3 2
3 26 7 3 1lim
2 5 2x
x x xx x x→ ∞
− + − ∞=
+ − ∞(indeterminado)
Se divide entre la variable de mayor exponente:
=−+
−+−∞→ xxx
xxxx 252
1376lim 23
23
=−+
−+−
∞→
3
23
3
23
252
1376
lim
xxxx
xxxx
x
2
32
252
1376lim
xx
xxxx
−+
−+−
∞→
Por lo tanto; 326
2521376lim 23
23
==−+
−+−∞→ xxx
xxxx
ALUMNA: IRENE RUBALCABA M.
31. Sea ( )xxx
xxxxf925
63723
23
−++−+−
= . Calcular el límite de ( )xf cuando x tiende a ∞ .
Solución. Al sustituir se tiene que:
( )3 2
3 27 3 65 2 9x x xf xx x x
− + − + ∞= =
+ − ∞(indeterminado)
Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente y se realiza la sustitución nuevamente en la expresión simplificada:
3 2
3 3 3 3 2 3
3 2
23 3 3
7 3 6 3 1 67 7lim lim 2 95 2 9 55x x
x x xx x x x x x x
x x xx xx x x
→∞ →∞
− + − + − + − += = −
+ −+ −
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
67
32. Calcular el siguiente límite:
3
32 1lim
2x
x xx x→∞
− +− −
Solución. 3
32 1lim
2x
x xx x→∞
− + ∞=
− − ∞(indeterminado)
3
3 2 33 3 3 2 3
33
2 3 2 33 3 3
1 12 1 1 1 lim 222 1lim lim lim 1 2 1 222 1 lim 1
x
x x x
x
x xx x x xx x x x x
x xx xx x x xx x x
→∞
→∞ →∞ →∞
→∞
⎛ ⎞− +− + − + ⎜ ⎟− + ⎝ ⎠= = =− − ⎛ ⎞− − − −− − ⎜ ⎟
⎝ ⎠
2001002
2lim1lim1lim
1lim1lim2lim
32
32=
−−+−
=−−
+−
∞→∞→∞→
∞→∞→∞→
xx
xx
xxx
xxx
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
33. Calcular el valor del siguiente límite:
1lim1x
xx→∞
−+
Solución. 1lim1x
xx→∞
− ∞=∞+
(indeterminado)
Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente para poder calcular el límite:
1 11 1lim lim 11 1 11
x x
xx x
xxx
→∞ →∞
−−
= = =+
+
LOS COORDINADORES
34. Calcular x
xx
19lim +−∞→
.
Solución. 9 1limx
xx→ ∞
− + ∞=∞
(indeterminado)
68
Mediante operaciones algebraicas se obtiene:
2 29 1 9 1 1 9 1lim lim lim 0
x x x
x xx x x x x x→ ∞ → ∞ → ∞
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + −= + = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
También su pudo haber dividido numerador y denominador entre la variable de mayor exponente, de donde:
2
2
9 19 19 1 1 9 1lim lim lim lim 0
1x x x x
xxx x xx
xx x x xx
→∞ →∞ →∞ →∞
−− + +− += = = − + =
9 1lim 0x
xx→ ∞
− +∴ =
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
35. Calcular 24 1lim
10 3x
xx→ ∞
++
.
Solución. 24 1lim
10 3x
xx→ ∞
+ ∞=
+ ∞(indeterminado)
Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente, que es " "x , y se obtiene: 2
2 24 1 14 2lim lim10 3 10 33x x
xx x
xx x
→∞ →∞
+ += =
+ +
LOS COORDINADORES
36. Calcular el siguiente límite:
2
3 3
3lim1x
xx→∞
−
+
Solución. 2
3 3
3lim1x
xx→∞
− ∞=∞+
(indeterminado).
Se dividen numerador y denominador entre la variable elevada de mayor exponente. Esto es con la finalidad de lograr cocientes con el infinito como denominador lo que conduce a valores de tendencia cero. Así, en este caso, habrá que dividir entre x donde se obtiene:
69
22
2 2
33 3 333
33
3 33 1 1 0l im l im l im 11 1 01 1 1
x x x
xxx xx
x xxx x
→ ∞ → ∞ → ∞
−− − += = = =
++ + +
LOS COORDINADORES
37. Calcular 3
2lim1 6x
x xx→ ∞
+
+ −.
Solución. 3
2lim1 6x
x xx→ ∞
+ ∞=∞+ −
(indeterminado)
Se dividen numerador y denominador entre la variable de mayor exponente que es 32" "x y así se puede
calcular el valor numérico del límite: 32
3 3 32 2 2
3 3
3 33 3 322 2
2 2 211lim lim lim 1
1 6 11 6 1 6 1x x x
x x x
x x xx x
xx xx x
→ ∞ →∞ →∞
+ + +
= = = =+ − − + −+
LOS COORDINADORES
38. Obtener:
6
35 2 1lim4 3x
xx→ ∞
−−
Solución. Se sustituye el valor al que tiende la variable independiente x y se llega a ( )
( )
6
3
5 214 3
∞ − ∞=∞− ∞
.
que es una indeterminación. Para quitarla se dividen, numerador y denominador , entre la variable de mayor exponente que en este caso es 3x . El objeto de esto es lograr que la variable aparezca como denominador y así la división entre ella, cuando tiende x a tiende a ∞ , el cociente tiende a cero. De esta forma, se tiene que:
66
6 6 63
3 3
33 3 3
5 2 1 2 15 2 1 5 5 5lim lim lim 44 3 4 3 3 33x x x
xxx x xx
x xxx x x
→ ∞ ← ∞ → ∞
− − −= = = = −
− −−−
LOS COORDINADORES
70
39. Determinar: xxx
xx
++∞→
lim
Solución. limx
x
x x x→ ∞
∞=∞+ +
(indeterminado)
Se multiplican numerador y denominador por 1x
y se obtiene:
xxx
xx
++∞→
lim =
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
x
x1
1
=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∞→
xxxx
x 11lim
xxx
x+
+∞→
1
1lim
2 3
1 1 1lim lim 111 11 1
x xx x
x x x
→∞ → ∞= = = =
++ + +
Por lo tanto 1lim =++
∞→xxx
xx
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
40. Sea f la función definida por: ( )⎩⎨⎧
>+
<−=
1112
2 xsixxsix
xf .
Obtener ( ) ( ) ( )xfyxfxfxxx 111limlim,lim→→→ +−
.
Solución. Los límites laterales pueden existir por separado pero el límite de la función implica necesariamente su igualdad. Así:
( ) ( ) 12limlim11
=−=−− →→
xxfxx
y ( ) ( )2
1 1lim lim 1 2
x xf x x
+ +→ →= + =
Como el limite por la izquierda es diferente al limite por la derecha el ( )xfx 1lim→
no existe.
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ
41. Sea la función:
( )xg =⎩⎨⎧
=
≠
020
xsixsix
Determinar si )(lim0
xgx →
existe.
71
Solución. Se calculan los límites laterales y: ( )
0lim
xg x
−→= ( ) 0lim
0=−
−→x
x y ( )xg
x +→ 0lim = ( ) 0lim
0=
+→x
x
Como ( )xgx −→ 0lim = ( )xg
x +→ 0lim , se concluye que ( )xg
x 0lim→
existe y es igual a 0 . Obsérvese que ( ) 20 =g , lo cual
no afecta al valor del )(lim0
xgx →
.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA M. 42. Dada la siguiente función:
⎩⎨⎧
>+≤−
=2 ,12 ,9)( 2
2
xsixxsixxf
Determinar ( )2
limx
f x→
Solución. Se calculan los limites laterales y, en caso de existir y ser iguales, ése será el valor del límite de la función. Así:
( ) 59lim 2
2=−
−→x
x y ( ) 51lim 2
2=+
+→x
x
Como ( )xf
x −→ 2lim = 5)(lim
2=
+→xf
x, entonces ( ) 5lim
2=
→xf
x
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
43. Sea la función ( )( )
3
3
8 3 2.523 3
2.5 103
x si xxf xx x
si xx
⎧ −− ≤ <⎪ −⎪= ⎨
− + −⎪ ≤ ≤⎪ −⎩
Calcular: ( )
2) lim
xa f x
→ ; ( )
3) lim
xb f x
→ ; ( )
2.5) lim
xc f x
→
Solución.
a) Si se sustituye directamente, se obtiene ( )00
2282lim
3
2=
−−
=→
xfx
, que está indeterminado. Al factorizar se
obtiene: ( )( ) ( )
232
2 2 2
2 2 48lim lim lim 2 4 122 2x x x
x x xx x xx x→ → →
− + +−= = + + =
− −
b) Si se sustituye directamente, se obtiene ( ) ( )3
3
3 3 3 3 0lim3 3 0x
f x→
− + −= =
−, resultado indeterminado. Al
factorizar se obtiene:
72
( ) ( ) ( )( )
232
3 3 3
3 3 13 3lim lim lim 3 1 1
3 3x x x
x xx xx
x x→ → →
⎡ ⎤− − +− + − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= = − + =⎣ ⎦− −
c) Para que este límite exista, los límites laterales deben existir y ser iguales. Así:
( ) ( ) ( ) ( )3 3
2.5 2.5
2.5 8 2.5 3 2.5 3lim 15.25 lim 1.25
2.5 2 2.5 3x xf x y f x
− +→ →
− − + −= = = =
− −
Como los límites laterales no son iguales, entonces el límite ( )2.5
limx
f x→
no existe.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 44. Determinar, si existe, el límite de la siguiente función:
( )xfπx=
→lim si ( ) ( )
⎩⎨⎧
≤<≤≤+
=πxπeπxxsen
xf x 201
2
Solución. Como se trata de una función con dos reglas de correspondencia, se tendrá que verificar si existen los límites para cada una de ellas cuando x y xπ π− +→ → y éstos deberán ser iguales para que el límite de la función exista. De esta forma:
( ) ( ) 84147.011lim −=+=+−→
ππ
senxsenx
Ahora se calculará el límite lateral por la derecha con la segunda regla de correspondencia: 2 2
lim 19333.6x
xe eπ
π +→= =
Como se aprecia los valores de los límites laterales son distintos; por lo tanto, no existe límite para esta función.
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES
45. Para la función, ( )
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
<<
≤≤
<≤−
=
ππ
π
xsix
xsixsen
xsix
xf
2tan
20
03
Calcular los siguientes límites )(lim
0xf
x→ y )(lim
2
xfx π→
.
Solución.
0lim)(lim00
==−− →→
xxfxx
; 0lim)(lim00
==++ →→
xsenxfxx
como ( )xfxf
xx +− →→=
00lim)(lim , entonces: 0)(lim
0=
→xf
x
73
2 2
lim ( ) lim 1x x
f x sen xπ π− −
→ →
= = ; 2 2
lim ( ) lim tanx x
f x xπ π+ +
→ →
= → ∞ (no existe).
Como ; x
x
tanlim2
+
→π
no existe, el )(lim2
xfx π→
no existe.
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
46. Calcular: 0
lim5x
xse n x→
.
Solución. 0
0lim5 0x
xsenx→
= (indeterminado)
=→ senx
xx 5lim
0
senxx
x 0lim
51
→
Se divide numerador y el denominador entre x y se tiene que:
0 0 0
0
1 1 1 1 1 1 1 1 1lim lim lim5 5 5 5 5 1 5limx x x
x
xx x
senx senx senxsenxx x x
→ → →
→
= = = = ⋅ =
Por lo tanto 0
1lim5 5x
xsenx→
=
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.
47. Calcular ( )
6lim6x
sen xxπ π→ −
.
Solución. ( )
6 0lim6 0x
sen xxπ π→
=−
(indeterminado).
Se realiza el siguiente cambio de variable: ππ +=⇒−= uxxu ; si 0x uπ→ ⇒ → ( )
( )( )
0 0
6 6 6lim lim
6 6u u
sen u sen uu u
π ππ π→ →
+ +=
+ −
como ( )6 6 6sen u sen uπ+ = por identidades trigonométricas, entonces: ( )
0 0
6 6 6lim lim 16 6u u
sen u sen uu u
π→ →
+= =
por lo tanto ( )
6lim 16x
sen xxπ π→
=−
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
74
48. Sea la función 2( )7
sen xf xsen x
= . Calcular el )(lim0
xfx →
.
Solución. Se realiza el siguiente manejo algebraico en la función:
21 2 2 2 22 2 221 7 7 7 77 7 77 7
sen xsen x sen xsen x sen x xx x x
sen x sen x sen xsen x sen xx x x x
⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟
⎝ ⎠= ⋅ = = =⎛ ⎞⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
De esta forma
( )0
222 2lim
77 77
x
sen xsen x xf x
sen xsen xx
→
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
→
→
xxsen
xxsen
x
x
77lim7
22lim2
0
0=
72
1712=
⋅⋅
ALUMNA: IRENE RUBALCABA M.
49. Calcular el valor del siguiente límite:
0
4lim2x
sen xsen x→
Solución. 0
4 0lim2 0x
sen xsen x→
= (indeterminado)
Por identidades trigonométricas: 2 2 cossen A senA A= Entonces se sustituye en el límite y:
( )0 0 0
2 2 cos 2lim lim 2cos2 2 lim cos2 2 1 22x x x
sen x x x xsen x→ → →
= = = =
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
50. Calcular x
xx
tanlim0→
.
Solución. Al valuar directamente se obtiene: ( )00
00tantanlim
0==
→ xx
x (indeterminado).
Se emplean identidades trigonométricas y:
0 0 0 0 00
tan 1 1coslim lim lim lim limcos cos lim cosx x x x x
x
sen xx sen x sen x sen xx
x x x x x x x x→ → → → →→
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦
75
Como 1lim0
=→ x
senxx
y 0
lim cos 1x
x→
= , entonces:
0
tan 1lim 1 11x
xx→
= ⋅ =
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
51. Calcular el valor del siguiente límite:
2
0
1 cos 2limx
x xsen x→
− +
Solución. 2
0
1 cos 2 0lim0x
x xsen x→
− += (indeterminado). Se multiplican numerador y denominador por 1
x y:
2 2
20 0
0 0 0
0
1 1 cos 2 1 cos 2 1 coslim lim 21 cos 2lim lim lim1 lim
x x
x x x
x
x x x x x xx x x x x x xsen x sen x sen xsen x
x x x x
→ →
→ → →
→
− + − −+ +− +⋅ = = =
Ahora se multiplican numerador y denominador del primer límite por el binomio conjugado de 1 cos x− y se obtiene que:
( ) ( )2 2
0 0
0 0 00 0
lim lim1 cos 1 cos 1 cos 0 1lim lim lim 01 cos 1 cos 1 cos lim1 lim cos 1 1
x x
x x xx x
senxsenxx x x sen x xx x x x x x x
→ →
→ → →→ →
⋅− + − ⋅⋅ = = = = =+ + + + +
de donde: 2
0
1 cos 2 0 0 0lim 01 1x
x xx sen x→
− + += = =
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
52. Sea ( ) cos2 1fsen
θθθ−
= . Calcular el límite de ( )θf cuando θ tiende a 0 .
Solución. Se sustituye el valor de 0θ = en la función para determinar si se llega a una indeterminación.
0
cos2 1 0lim0senθ
θθ→
−=
Se tiene una indeterminación, por lo que se utilizan identidades trigonométricas.
Dado que 2
2cos1cos2 θθ += , se despeja θ2cos y se llega a: 1cos22cos 2 −= θθ , de donde
2 2 2
0 0 0
2cos 1 1 2cos 2 2(cos 1)lim lim limsen sen senθ θ θ
θ θ θθ θ θ→ → →
− − − −= =
76
Como 2 2cos 1senθ θ+ = ∴ ( )2
0 0
2( )lim lim 2 0sen sensenθ θ
θ θθ→ →
−= − =
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
53. Calcular el valor del siguiente límite:
xxsenxsenx
x cos1coslim
2
0 +−
→
Solución. 2
0
cos 1 1 1 0limcos 0 0 1 0x
xsen x sen x x→
− −= =
+ + ⋅(indeterminado)
2 2 2 2cos 1 cos 1sen x x x sen x+ = ⇒ − = − ; de donde 2
0lim
cosx
sen xsen x sen x x→
−+
ahora se factoriza y:
011
0cos1
limcos1
lim)cos1(
lim00
2
0=
+−=
+−=
+−
=+
−→→→ x
xsenxxsen
xxsenxsen
xxx
Por lo que finalmente 0cos1coslim
2
0=
+−
→ xxsenxsenx
x
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.
54. Calcular
30
tanlim senα
α αα→
− .
Solución. 30
tan 0lim0
senα
α αα→
−= (indeterminado) . Con identidades trigonométricas se tiene que:
=−
→ 30
coslimα
ααα
α
sensen
=
−
→ 30cos
cos
limαα
ααα
α
sensen
αααα
α cos)cos1(lim 30
−→
sen
Se multiplica por el binomio conjugado de 1 cosα− y se llega a:
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++−
→ αα
αααα
α cos1cos1
cos)cos1(lim 30
sen=
+−
→ )cos1(cos)cos1(lim 3
2
0 ααααα
α
sen)cos1(cos
)(lim 3
2
0 ααααα
α +→
sensen
( ) ( )
3
3 0
300 0 0
lim 1 1limcos (1 cos ) 1 1 1 2lim cos lim 1 lim cos
sensen α
α
α α α
αα α
α α α α α
→
→
→ → →
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
+ ++
77
Por lo tanto 21tanlim 30
=−
→ ααα
α
sen
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
55. Calcular el siguiente límite con funciones trigonométricas:
xx
x 3tan4tanlim
0→
Solución. 00
3tan4tanlim
0=
→ xx
x (indeterminado) . Por identidades trigonométricas y operaciones algebraicas se
puede escribir que:
xx
3tan4tan
xxsenxxsen
3cos34cos4
=xxsenxxsen
4cos)3(3cos)4(
=xx
xxsen
xxsen
4cos3cos
43
44
= xx
x
xsenx
xsen
4cos3cos
)3(34
34
4
=
por propiedades de los límites:
xx
x 3tan4tanlim
0→
0 0
0
0 0 0
4 4cos3 lim lim cos3 1 1 44 4lim 3 3 33 3 3cos4 1 1lim lim lim cos44 3 44 3
x x
x
x x x
sen x sen xx xx x
sen x sen xx xx x
→ →
→
→ → →
⎡ ⎤⋅ ⋅⎢ ⎥ ⋅= = = =⎢ ⎥ ⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⋅ ⋅⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠
Por lo tanto existe límite y su valor es 43
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
56. Calcular, si existe, el valor del siguiente límite:
0
seclimtanθ
θ θθ→
Solución. 0
sec 0limtan 0θ
θ θθ→
= (indeterminado)
Mediante identidades trigonométricas se obtiene:
( )0
0 0 0 0 0
0
1 1lim 1sec 1 1coslim lim lim lim lim 11tan 1lim
cossen sen sen sensen
θ
θ θ θ θ θ
θ
θθθ θ θθ θ θθ θ θ θθ θθ θ θ θ θ
→
→ → → → →
→
⋅= = ⋅ = = = = =
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
78
57. Calcular el siguiente límite:
θθθ
θ sec1seclim
0
−→
Solución. 0
sec 1 0limsec 0θ
θθ θ→
−= (indeterminado)
Se multiplican numerador y denominador por 1sec1sec
++
θθ y se llega a:
( )( ) ( )( )1secsectanlim
1secsec1seclim
1sec1sec
sec1seclim
sec1seclim
2
0
2
000 +=
+−
=++
⋅−
=−
→→→→ θθθθ
θθθθ
θθ
θθθ
θθθ
θθθθ
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ →→→ 1seccos
lim1seccos
lim1sec
cos1
coslim0
2
0
2
2
0 θθθ
θθ
θθθθ
θθ
θ
θθ
θθθ
sensensensen
0 0 0
tan tan 0lim lim lim 1 0sec 1 sec 1 1 1
sen senθ θ θ
θ θ θ θθ θ θ θ→ → →
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Entonces 0sec
1seclim0
=−
→ θθθ
θ
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
58. Calcular el siguiente límite:
xsenx
x 411lim
0
−−→
.
Solución. 0
1 1 0lim4 0x
xsen x→
− −= (indeterminado) . Se multiplica por el binomio conjugado de 11 −− x y
después se dividen numerador y denominador entre "4 "x :
( )( )( ) ( )( )0 0 0 0
1 11 1 1 1 1 1 4lim lim lim lim4 4 1 1 4 1 1 4 1 1
4
x x x x
xxx x x x
sen x sen x x sen x x sen x x
x
→ → → →
−⎛ ⎞ − −− − − − − +
= ⋅ = =⎜ ⎟⎜ ⎟− + − + − +⎝ ⎠
( ) ( )( )0
0 0 0
1 1lim 14 44 1 1 1 8lim lim 1 lim1
4
x
x x x
sen x xx
→
→ → →
⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠= = = −
+⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
79
Por lo tanto 0
1 1 1lim4 8x
xsen x→
− −= −
ALUMNA: BERENICE VERA PADILLA GABRIELA
59. Determinar el valor del límite:
xxxxx
x coscos1tancoslim
2
0
−+→
Solución. 2
0
cos tan 1 cos 0limcos 0x
x x xx x→
+ −= (indeterminado)
Se considera la identidad trigonométrica en el radicando y se separan los términos:
xxxsen
xx
xxx
xx
xxxxx
costan
coscos1tan
coscos1tancos 22
+=−
+=−+
Por lo tanto el límite queda:
0 0
0 00
2 lim 2 lim 2 1lim lim 2cos cos cos lim cos 1
x x
x xx
senxsenx senx senxxx x x
x x x x→ →
→ →→
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠+ = = = =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES
60. Calcular los valores reales de a y b , tales que hagan a la función continua en todo su dominio de definición dado.
( )522113
341
2
≤≤<≤−−<≤−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−
−−−
=xxx
sisisi
xbx
axxf
Solución. Si se observan los intervalos de cada regla de correspondencia, así como el hecho de que se trata de funciones polinomiales, entonces su dominio de definición es: [ 3, 5]fD = − . Sólo habrá que garantizar que hay continuidad en los puntos donde 1 2x y x= − = .
( ) 2111 −=−−=−f aaxxf
xx−=−−=
−− −→−→2)2(lim)(lim
11 y 211)1(lim)(lim
11−=−−=−=
++ −→−→xxf
xx
se igualan ambos límites y se tiene que : 422 =⇒−=− aa
Ahora se analiza el siguiente punto de discontinuidad, esto es, en 2x = : 38)2(
34)2( −=−= bbf
80
2 2 2 2
4 8lim ( ) lim ( 1) 2 1 1 lim ( ) lim ( )3 3x x x x
f x x y f x b x b− − + +→ → → →
= − = − = = − = −
se igualan los límites por la derecha y por la izquierda:
3111
38
=⇒=− bb
Por lo tanto, los valores de " " " "a y b para los cuales la función es continua en todo su dominio son:
3114 == bya
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA G.
61. Dada la siguiente función:
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠−
−=
31
333
xsi
xsixx
xf
Trazar su gráfica y determinar si es continua en 3x = . Solución.
Como se observa en la gráfica y en las reglas de correspondencia de la función, se cumple la primera condición de continuidad, es decir, ( )3 1f =
pero el límite cuando 3x → no existe, ya que los límites laterales no son iguales:
y
x
1
1−3
81
( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3
lim 1 ; lim 1 lim limx x x x
f x f x f x f x− + − +→ → → →
= − = ⇒ ≠
Por lo tanto la función no es continua en 3x = .
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 62. Calcular los valores de las constantes a y b tales que hagan a la siguiente función continúa en todo su dominio.
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
<<+≤+
=
52 53
312)(
2 xsixxsibax
xsixxf
Solución. Las tres reglas de correspondencia son funciones polinomiales, continuas en los reales y por lo tanto en los intervalos dados. Luego, sólo habrá que asegurar la continuidad en los puntos 3 5x y x= = . Así: Para: 3x =
a) ( ) ( ) 71323 =+=f b) ( )
3lim 7
xf x
−→= y ( ) ( )
3lim 3 7 1
xf x a b
+→= + = L
c) ( ) ( )3
3 limx
f f x→
= Para: 5=x
a) ( ) ( ) 27255 2 =+=f b) ( )
5lim 5
xf x a b
−→= + y ( ) ( )
5lim 27 ; 5 27 2
xf x a b
+→= + = L
c) ( ) ( )5
5 limx
f f x→
= Se resuelve el sistema de ecuaciones:
3 7 5 27 2 20
a ba ba
− − = −+ =
= ⇒ 10=a ⇒ 27)10(5 =+ b ⇒ 23−=b
Por lo tanto, los valores que hacen continua a la función son: 10=a y 23−=b y la función queda como;
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥+
<<−≤+
=
52 532310
312)(
2 xsixxsix
xsixxf
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
82
63. Para la siguiente función, estudiar su continuidad, indicando en qué puntos es discontinua y por qué.
( )
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−≤≤<<−+
=3 1
30 4012
)(
2
xsixxsixsix
xf
Solución. Se determina primero si las reglas de correspondencia son continuas en los intervalos indicados.
a) ( ) ( ) 012 2 <<−+= xsixxf . Sí es continua ya que es un polinomio. b) ( ) 4 0 3f x si x= < < . Sí es continua ya que es una constante. c) ( ) 1 3f x x si x= − > . Sí es continua ya es un polinomio.
Ahora se estudiará la continuidad en los puntos donde 0 3x y x= = En 0=x :
( )0 4f = ( )
0lim 4
xf x
−→= y ( ) ( )
00lim 4 lim 4
xxf x f x
+ →→= ∴ =
( ) ( )0
0 limx
f f x→
=
por lo tanto ( )xf es continua en 0=x . En 3=x :
( )3 4f = ( )
3lim 4
xf x
−→= y ( ) ( )
33lim 2 lim
xxf x f x
+ →→= ∴ no existe
por lo que la función ( )f x no es continua en 3x = . Finalmente se dice que la función ( )f x es continua en ( ) ( )1,3 3,y− ∞ .
ALUMNA: RODRÍGUEZ DE LA TORRE RHAMID HORTENSIA 64. Determinar los valores de " " " "a y b de tal forma que la función sea continua en el intervalo [ ]2,2− y trazar su gráfica.
( ) 2
; 2 1
1 ; 1 134 ; 1 2
ax b x
f x a x x
x xa
⎧+ − ≤ ≤ −⎪
⎪= − − − < ≤⎨⎪⎪ − < ≤⎩
Solución. Como se observa, las tres reglas de correspondencia, por sí solas y considerando sus dominios, no tienen problemas de discontinuidad en sus respectivos intervalos de definición. Dos puntos de posible dicontinuidad son " 1" "1"y− . Si se busca que se cumplan en ellos las condiciones de continuidad se tendrá lo siguiente:
83
Para ( ) ( ) ( ) ( )
1 11 ; 1 ; lim ; lim ; 2 1
x xx f a b f x a b f x a a b a b a
− +→− →= − − = − + = − + = ⇒ − + = = L
Para ( ) ( ) ( ) 2
1 1
3 31 ; 1 ; lim ; lim 4 4 ; 4 3 0x x
x f a f x a f x a a aa a− +→ →
= = = = − ⇒ = − − + =
1 1
2 2
3 64 16 12 4 21 22 2
a ba a
a b= =± − ±
= ⇒ = ⇒ ⇒= =
Para los primeros valores, la función es:
( ) 2
3 6 ; 2 1
3 1 ; 1 14 ; 1 2
x x
f x x xx x
+ − ≤ ≤ −⎧⎪
= − − − < ≤⎨⎪ − < ≤⎩
La gráfica de la función es por tanto;
Para los segundos valores, la función es:
( ) 2
2 ; 2 1
1 1 ; 1 14 3 ; 1 2
x x
f x x xx x
+ − ≤ ≤ −⎧⎪
= − − − < ≤⎨⎪ − < ≤⎩
y la gráfica de la función será ahora:
y
x
1
2− 1− 1 2
y
x2− 1− 1 2
2
3
84
Por lo que se observa que para ambas parejas de valores " " " "a y b , las respectivas funciones son continuas en el intervalo [ ]2,2− .
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES 65. Estudiar la continuidad de la siguiente función:
( )( )
2
2
25 4 05 2 0 2
3 2 6
x si xf x x si x
x si x
⎧+ − − < <⎪⎪= − ≤ <⎨⎪
− ≤ ≤⎪⎩
Solución. ( ) 225 xxf −+= es continua en 04 <<− x porque es una función algebraica (semicircunferencia) cuyo dominio es [ ]5,5x∈ − . ( ) xxf 25−= es continua en 20 << x porque es un polinomio. ( ) ( )23−= xxf es continua en 62 << x porque es un polinomio. Ahora se estudiará la continuidad en 0 2x y x= = . a) En 0=x
( )0 5f = ( )xf
x −→ 0lim 5= y ( )
0lim
xf x
+→( )
05 lim 5
xf x
→= ∴ =
( ) ( )0
0 limx
f f x→
= por lo que la función es continua en 0x = . b) En 2=x
( )2 1f = ( )
2lim
xf x
−→1= y ( ) ( )
22lim 1 lim 1
xxf x f x
+ →→= ∴ =
( ) ( )2
2 limx
f f x→
= por lo que la función es continua en 2=x . Se concluye que la función es continua en ( ]4,6− .
ALUMNA: IRENE RUBALCABA M 66. Analizar la continuidad de la siguiente función en su dominio de definición:
( )
2 1 3 0 1 0
32
x si xf x si x
xsen si x
π
π π
⎧⎪ + − ≤ <⎪
= ≤ <⎨⎪⎪ ≤ <⎩
85
Solución. Puntos de análisis: 0=x , π=x . Intervalos de análisis: [ ) [ ) [ )3,0 , 0, ,3yπ π π− En el intervalo [ ) ( ) 23,0 1f x x− ⇒ = + es una función continua por ser una función polinomial. En el intervalo [ ) ( )0, 1f xπ ⇒ = es una función continua por ser una función constante.
En el intervalo [ ) ( ),32xf x senπ π ⇒ = es una función trascendente continua.
Luego sólo se investigará la continuidad de la función en los puntos donde 0x y x π= = . Análisis en 0=x .
a) ( ) 10 =f b) ( )
0lim 1
xf x
+→= y ( ) 2
0lim 0 1 1
xf x
−→= + =
c) ( ) ( )0
lim 0x
f x f→
= Por lo tanto, f es continua en 0=x Análisis en π=x .
a) ( ) 12==
ππ senf
b) ( )lim 1x
f xπ +→
= y ( )lim 1x
f xπ −→
=
c) ( ) ( )limx
f x fπ
π→
= Por lo tanto; f es continua en π=x . Entonces, f es continua en todo su dominio
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 67. Estudiar la continuidad de la siguiente función:
( )
3 0
02
tan2
x si x
f x sen x si x
x si x
π
π π
⎧⎪ − ≤ <⎪⎪= ≤ ≤⎨⎪⎪ < ≤⎪⎩
Solución. Esta función está definida por tres reglas de correspondencia, las cuales son continuas en el intervalo de definición de cada una. Sin embargo la función en su conjunto puede ser no continua en los puntos donde se presenta el cambio de regla de correspondencia. Estos puntos son los que se analizarán: Para 0=x .
( )0 0f = ( )
0lim 0
xf x
−→= y ( )
00lim 0 lim 0
xxf x
+ →→= ∴ =
( ) ( )0
0 limx
f f x→
= Como el límite y el valor de la función existen y son iguales, la función es continua en este punto.
86
Para 2π
=x .
12
f π⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2
lim 1x
f xπ −
→
= y ( )2
limx
f xπ +
→
no existe. Por lo tanto ( )xfx
2
limπ
→ no existe.
Por lo tanto la función ( )xf no es continua en 2π
=x .
Luego, la función es continua en 3, ,2 2
yπ π π⎡ ⎞ ⎛ ⎤− ⎟ ⎜⎢ ⎥⎣ ⎠ ⎝ ⎦ , pero no es continua en todo su dominio.
ALUMNO: ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS BOGDAD
68. Determinar el valor de A y B para que ( )xf sea continua en todo su dominio:
2 2
( )2 2
cos 2
x sen x si x
f x Asen x B si x
x si x
π
π π
π
⎧ < −⎪⎪⎪= − − − ≤ <⎨⎪⎪− ≥⎪⎩
Solución. Las tres reglas de correspondencia contienen funciones trascendentes continuas en sus intervalos de
definición, por lo que únicamente habrá que lograr que la función sea continua en " " " "2 2
yπ π− para que
sea continua en .
Para 2π
−=x ; 2 2
f A sen B A Bπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( )2 2
lim 2 ; lim2 2 2x x
f x sen f x Asen B A Bπ π
π π ππ− +
→ − →−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = = − − − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )1A B π⇒ − = L
( )2
lim2 x
f f xπ
π→−
⎛ ⎞− =⎜ ⎟⎝ ⎠
luego la función es continua en 2
x π= −
Para 2
x π= ; cos 0
2 2f π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )2
lim ;2x
f x Asen B A Bπ
π−
→
⎛ ⎞= − − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠
( )2
lim cos 02x
f xπ
π+
→
⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )0 2A B⇒ − − = L
( )2
lim2 x
f f xπ
π→
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
87
por lo que la función es continua en 2
x π=
Se resuelve el sistema de ecuaciones ( ) ( )1 2y y se obtiene:
20 2 2
A BB B y A
A Bπ π ππ
− =⇒ − = ⇒ = − =
− − =
Por lo tanto se tiene que:
2 2
( )2 2 2 2
cos 2
x sen x si x
f x sen x si x
x si x
π
π π π π
π
⎧ < −⎪⎪⎪= − + − ≤ <⎨⎪⎪− ≥⎪⎩
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
69. Determinar por medio de límites las ecuaciones de las asíntotas horizontales y verticales de la siguiente función dada y trazar su gráfica.
( ) 42
xf xx+
=−
.
Solución. Para obtener las asíntotas verticales se hace lo siguiente:
2
4lim 22x
x xx→
+→∞ ∴ =
− (ecuación de la asíntota vertical)
Para las asíntotas horizontales se evaluará el límite de la función cuando x tiende a infinito. 4 414 1lim lim lim 1 12 22 11x x x
xx x x yxx
x x→∞ →∞ →∞
+++
= = = = ∴ =−− −
(ecuación de la asíntota horizontal)
En la siguiente gráfica se puede observar a la curva que representa a la función, junto con sus asíntotas vertical y horizontal, cuyas ecuaciones, respectivamente son: 2 1x y y= =
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
12 x
y
88
70. Determinar para la siguiente función la ecuación de las asíntotas horizontales y verticales.
( ) ( )( )27 −+=
xxxxg
Solución.
( )( )( )( )
7
2
7 0 7 lim7 2 0 ;
2 0 2 limx
x
x x f xx x
x x f x→−
→
⎧ + = ⇒ = − ⇒ →∞⎪+ − = ⎨− = ⇒ = ⇒ →∞⎪⎩
por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 7 2x y x= − =
Por otro lado, ( )( ) 2
2
10lim lim lim 0 05 147 2 5 14 1 0 01x x x
x x x yx x x x
x x→∞ →∞ →∞
= = = = ∴ =+ − + − + −+ −
es la ecuación
de la asíntota horizontal.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 71. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función:
( )4
12 −−
=θ
θθf
Solución. Se puede escribir la función dada como:
( ) ( )( )221
+−−
=θθθθf
( ) ( )2 2
lim limf y fθ θ
θ θ→ →−
→∞ →∞
por lo tanto, las ecuaciones de las asíntotas verticales son: 2 2.yθ θ= = − por otro lado:
2
2
2
1 11lim lim 044 1θ θ
θ θ θθ
θ→+∞ →+∞
−−= =
− − y
2
2
2
1 11 0lim lim 044 11θ θ
θ θ θθ
θ→−∞ →−∞
−−= = =
− −
por lo que la ecuación de la asíntota horizontal es 0=y
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 72. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la función:
( )2
2 64xg x
x=
−
89
Solución.
( )( )2 864 0 8 8 0 ;
8x
x x xx= −⎧
− = ⇒ + − = ⎨ =⎩
2 2
2 28 8lim lim
64 64x x
x xyx x→− →
→∞ →∞ ∴− −
asíntotas verticales: 8
8xx= −⎧
⎨ =⎩
2
2 2
22
22 2
1lim lim lim 1646464 1x x x
xx x
xxxx x
→∞ →∞ →∞= = = ∴
− −−asíntota horizontal: 1y =
ALUMNO: RAFAEL NOLASCO CASTREJÓN
73. Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función:
( )32
32
2
−−=
xxxxf
Solución. ( )32
32
2
−−=
xxxxf = ( )( )13
3 2
+− xxx
En este caso las asíntotas verticales son: 3=x y 1−=x ya que:
2 2
2 23 1
3 3lim lim2 3 2 3x x
x xyx x x x→ →−
→∞ →∞− − − −
Las asíntotas horizontales se obtienen con el límite cuando la variable independiente tiende a infinito, es decir;
2
23lim 32 3x
xx x→ ∞
=− −
, luego la ecuación de la asíntota horizontal es 3=y .
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
74. Determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales de la siguiente función:
( ) 28
4f x
x=
−
Solución. Para asíntotas horizontales:
28lim 0
4x x→ ∞=
− ∴ asíntota horizontal: 0=y
Para asíntotas verticales:
( ) 28
4f x
x=
− ( )( )8 ; 2 0 2 ; 2 0 2
2 2x x x x
x x= − = ⇒ = + = ⇒ = −
− +
90
22
8lim4x x→±
⎡ ⎤→∞⎢ ⎥−⎣ ⎦ : asíntotas verticales: 2x = y 2−=x
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
75. Para la función 99
2
2
−+
=xxy , obtener las ecuaciones de sus asíntotas verticales y de sus asíntotas
horizontales, y trazar su gráfica. Solución. Para las asíntotas verticales se hace lo siguiente:
( )( )2 9 0 ; 3 3 0 ; 3 3x x x x y x− = + − = = − = 2 2
2 23 3
9 9lim lim9 9x x
x xyx x→− →
+ +→∞ →∞ ∴
− −asíntotas verticales:
33
xx= −⎧
⎨ =⎩
Para las asíntotas horizontales se calcula el siguiente límite: 2
2 2 2
22
22
9 919 1lim lim lim 1 999 11x x x
xx x x
xxxx
→∞ →∞ →∞
+ ++= = = = ∴
−− − asíntota horizontal: 1y =
ALUMNA: BERENICE VERA PADILLA GABRIELA 76. Para la siguiente función, determinar las ecuaciones de las asíntotas verticales y horizontales.
( )1
32 −
+=
xxxf
y
x3− 3 1
91
Solución. Asíntotas horizontales:
2 2 2
22 2
3 3 313lim lim lim lim 111 1 1 1
x x x x
x xx x x x xx x x
xx x x
→∞ →∞ →∞ →∞
+ + ++= = = =
− − −−
por lo tanto, la única asíntota horizontal es la recta de ecuación 1=y . Para obtener las asíntotas verticales se iguala a cero el denominador de la función:
( )( )2 2 11 0 ; 1 0 ; 1 1 0
1x
x x x xx= −
− = − = + − = ∴=
por lo tanto, las asíntotas verticales son las rectas cuyas ecuaciones son 11 =x y 12 −=x .
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
92
LA DERIVADA Y ALGUNAS DE SUS APLICACIONES 1. Obtener la derivada de la siguiente función, mediante la definición de derivada.
3xy = Solución. Por la definición de derivada:
( ) ( )2 33 3 2( ) 3 3y y x x x x x x x x+ Δ = + Δ = + Δ + Δ + Δ
( ) ( )2 33 2 33 3y y y x x x x x x x+ Δ − = + Δ + Δ + Δ −
( ) ( )2 323 3y x x x x xΔ = Δ + Δ + Δ
( ) ( )2 323 3x x x x xyx x
Δ + Δ + ΔΔ=
Δ Δ ⇒ ( )223 3y x x x x
xΔ
= + Δ + ΔΔ
( )( ) ( )22
0 0 0 0 0lim lim 3 lim 3 lim limx x x x x
y x x x xxΔ → Δ → Δ → Δ → Δ →
Δ= + Δ + Δ
Δ
0033 2 +⋅+= xxdxdy ∴ 23 x
dxdy
=
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
2. Determinar la derivada por la definición de 943 +−= xxy . Solución. Se sustituyen x por xx Δ+ y y por yy Δ+ :
( ) ( ) 943 +Δ+−Δ+=Δ+ xxxxyy ( ) ( )2 33 23 3 4 4 9y y x x x x x x x x+ Δ = + Δ + Δ + Δ − − Δ +
( ) ( )2 33 2 33 3 4 4 9 4 9y y y x x x x x x x x x x+ Δ − = + Δ + Δ + Δ − − Δ + − + −
( ) ( )2 33 2 33 3 4 4 9 4 9y x x x x x x x x x xΔ = + Δ + Δ + Δ − − Δ + − + −
( ) ( )2 323 3 4y x x x x x xΔ = Δ + Δ + Δ − Δ Se divide entre xΔ y:
( ) ( ) ( )2 32
223 3 43 3 4
x x x x x xy x x x xx x
Δ + Δ + Δ − ΔΔ= = + Δ + Δ −
Δ Δ
Ahora se calcula el límite
( )22 2
0 0lim lim 3 3 4 3 4x x
y x x x x xxΔ → Δ →
Δ= + Δ + Δ − = −
Δ ∴ 43 2 −= x
dxdy
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
93
3. Sea ( ) x xxf 23
3
+= , obtener ( )x'f mediante la definición.
Solución. Se emplea directamente la definición:
( ) ( ) ( )xxxxxxf Δ++Δ+
=Δ+ 23
3
( ) ( ) ( ) ( )3 3
2 23 3
x x xy f x x f x x x x+ Δ ⎛ ⎞
Δ = + Δ − = + + Δ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( )2 33 2 33 32 2 2
3 3x x x x x x xy x x x+ Δ + Δ + Δ ⎛ ⎞
Δ = + + Δ − +⎜ ⎟⎝ ⎠
( )( )221 3 3 23
x x x x xΔyΔx Δx
⎛ ⎞+ Δ + Δ + Δ⎜ ⎟⎝ ⎠=
( ) ( )( )2
22
0 0
1 3' lim lim 3 3 2 23 3x x
y xf x x x x xxΔ → Δ →
Δ= = + Δ + Δ + = +
Δ ∴ ( ) 2' 2f x x= +
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
4. Obtener la derivada de la función ( ) xxf = , empleando la definición.
Solución . De la definición de derivada se tiene que ( ) ( )
hxfhxf
dxdf
h
−+=
→0lim ; entonces;
( ) hxhxf +=+ ( ) ( ) xhxxfhxf −+=−+
( )xhxhxhx
xhxxhx
hxhx
hxhx
dxdf
hhh ++−+
=++++
⋅−+
=−+
=→→→ 000
limlimlim
( )0 0
1 1lim lim2h h
df hdx x h x xh x h x→ →
= = =+ ++ +
Por lo tanto: ( ) 1
2df x
dx x=
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
5. Determinar la derivada de la siguiente función xy += 1 mediante la definición de derivada.
Solución. Se usará la definición de derivada que es: ( ) ( )0 0
lim limx x
f x x f xdy ydx x xΔ → Δ →
+ Δ −Δ= =
Δ Δ
94
De donde: ( ) xxf += 1
( ) xxxxf Δ++=Δ+ 1 ( ) ( )
xxxx
xxfxxf
Δ+−Δ++
=Δ
−Δ+ 11
0 0
1 1 1 1 1 1lim lim1 1x x
dy x x x x x x x x xdx x x x x xΔ → Δ →
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + Δ − + + + Δ − + + + Δ + += =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟Δ Δ + + Δ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )0 0 0
1 1 1lim lim lim1 11 1 1 1x x x
dy x x x xdx x x xx x x x x x x xΔ → Δ → Δ →
+ + Δ − − Δ= = =
+ + Δ + +Δ + + Δ + + Δ + + Δ + +
1 11 1 2 1
dydx x x x
= =+ + + +
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
6. Determinar )(' xf para 2)( −== xxfy utilizando la definición:
Solución. De la definición de derivada: 0
( ) ( )'( ) limx
f x x f xf xxΔ →
+ Δ −=
Δ
2)()( −Δ+=Δ+ xxxxf 22)()()( −−−Δ+=−Δ+ xxxxfxxf
xxxx
xxfxxf
Δ−−−Δ+
=Δ
−Δ+ 22)()()(
( )0 0
( ) 2 2( ) ( )' lim limx x
x x xf x x f xf xx xΔ → Δ →
+ Δ − − −+ Δ −= =
Δ Δ
Se multiplican denominador y numerador por 22)(22)(
−+−Δ+
−+−Δ+
xxxxxx
y se tiene:
( )0
( ) 2 2 ( ) 2 2' lim( ) 2 2x
x x x x x xf xx x x xΔ →
+ Δ − − − + Δ − + −= ⋅
Δ + Δ − + −
( ) [ ] ( )( ) ( )0 0
( ) 2 2' lim lim
( ) 2 2 ( ) 2 2x x
x x x xf xx x x x x x x xΔ → Δ −
+ Δ − − − Δ= =
Δ + Δ − + − Δ + Δ − + −
( )0
1' lim( ) 2 2x
f xx x xΔ →
=+ Δ − + −
∴ 22
1)('
−=
xxf
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
95
7. Obtener la derivada de la siguiente función por medio de la definición.
( ) xxf 23 −=
Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( )h
xfhxfxfh
−+=
→ 0lim'
( ) ( )h
xhxxf
h
2323lim'0
−−+−=
→
( )( )( ) ( )( )
( )( )0
3 2 3 2 3 2 3 2' lim
3 2 3 2h
x h x x h xf x
h x h x→
− + − − − + + −=
− + + −
( ) ( )[ ] ( )( )( )xhxh
xhxxfh 2323
2323lim'0 −++−
−−+−=
→ ⇒ ( )
( )( )xhxhxhxxf
h 232323223lim'
0 −++−+−−−
=→
( )( )( )xhxh
hxfh 2323
2lim'0 −++−
−=
→ ⇒ ( )
( )0
2' lim3 2 3 2h
f xx h x→
−=
− + + −
( ) 2'3 2 3 2
f xx x−
=− + −
⇒ ( )x
xf232
2'−
−= ∴ ( )
xxf
231'−−
=
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
8. Sea ( )13f x x= y 0≠a . Obtener ( )'f a mediante la definición.
Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( ) ( )1 13 3
' lim ' limx a x a
f x f a x af a f ax a x a→ →
− −= ⇒ =
− −
Se expresa el límite como: ( )1 13 3
3 31 13 3
' limx a
x af a
x a→
−=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Se factoriza el denominador como diferencia de cubos y:
( )1 13 3
2 1 1 21 1 2 1 1 23 3 3 33 3 3 3 3 3
1' lim limx a x a
x af ax x a ax a x x a a
→ →
−= =
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +− + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Finalmente se simplifican términos y se aplica el límite que conduce a la derivada:
( ) ( )2 1 1 2 23 3 3 3 3
1 1' '3
f a f aa a a a a
= ∴ =+ +
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
96
9. Obtener la derivada de la siguiente función por medio de la definición ( ) 3 2 15 −= xxf
Solución. De la definición de derivada: ( ) ( ) ( )h
xfhxfxfh
−+=
→ 0lim'
( ) ( )h
xhxxf
h
3 23 2
0
1515lim'
−−−+=
→
( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −−−+
=→ 2
3 23 222
3 2
23 23 22
23 23 23 2
015151515
151515151515lim'
xxhxhxh
xxhxhxxhxxf
h
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
−−−+=
→ 23 23 222
3 2
22
015151515
1515lim'xxhxhxh
xhxxfh
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+−−+=
→ 23 23 222
3 2
22
015151515
1515lim'xxhxhxh
xhxxfh
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
−++=
→ 23 23 22
23 2
222
015151515
525lim'xxhxhxh
xhxhxxfh
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
−++=
→ 23 23 22
23 2
222
015151515
55105lim'xxhxhxh
xhxhxxfh
( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+=
→ 23 23 22
23 2
2
015151515
510lim'xxhxhxh
hxhxfh
( ) ( )
( ) ( )( )( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+=
→ 23 23 222
3 2015151515
510lim'xxhxhxh
hxhxfh
( )( ) ( )( )( ) ( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−++⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
+=
→ 23 23 22
23 20
15151515
510lim'xxhxhx
hxxfh
( )( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −+−+−
=2
3 23 222
3 2 151515
10'xxx
xxf
( )( )223
1 0'3 5 1
xf xx
∴ =−
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
97
10. Obtener la derivada de la siguiente función a través de la definición:
11
xyx
+=
−
Solución. Se aplica la definición mediante los cuatro pasos conocidos y se llega a:
11
xyx
+=
−
( )( )
1 11 1
x x x xy yx x x x
+ + Δ + + Δ+ Δ = =
− + Δ − − Δ
1 11 1
x x xyx x x
+ + Δ +Δ = −
− − Δ −
( )( ) ( )( )( )( )
1 1 1 11 1
x x x x x xy
x x x+ + Δ − − + − − Δ
Δ =− − Δ −
( )( )( )
2 21 11 1
x x x x x x x x x x x xyx x x x x
+ + Δ − − − Δ − − − Δ + − − ΔΔ=
Δ Δ − − Δ −
( )( )2 21 1
1 1y x x x x x x x xx x x x x
Δ + Δ − − Δ − + Δ + + Δ=
Δ Δ − − Δ −
( )( )0 0
2lim lim1 1x x
y xx x x x xΔ → Δ →
Δ Δ=
Δ Δ − − Δ −
( )( ) ( )20 0
2 2lim lim1 1 1x x
y dyx x x x dx xΔ → Δ →
Δ= ∴ =
Δ − − Δ − −
LOS COORDINADORES
11. Obtener la derivada de la siguiente función empleando la definición.
291
xy
−=
Solución. Se incrementa x en xΔ tal que este incremento corresponde a un incremento de la función en
yΔ .
( )291
xxyy
Δ+−=Δ+
Se resta al valor final el inicial y queda una expresión para yΔ .
( )⇒
−−
Δ+−=−Δ+
22 91
91
xxxyyy
( )( )
22
2 2
9 9
9 9
x x xy
x x x
− − − + ΔΔ =
− + Δ −
Se multiplican numerador y denominador por el conjugado del numerador:
98
( )( )
( )( )
2 22 2
2 22 2
9 9 9 9
9 9 9 9
x x x x x xy
x x x x x x
− − − + Δ − + − + ΔΔ = ⋅
− + Δ − − + − + Δ
( )( ) ( )
22
2 22 2
9 9
9 9 9 9
x x xy
x x x x x x
− − + + ΔΔ =
⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )( )( ) ( )( )
22 2
2 22 2
9 9 2
9 9 9 9
x x x x xy
x x x x x x
− − + + Δ + ΔΔ =
− + Δ − − + − + Δ
( )( )( ) ( )( )
2
2 22 2
2
9 9 9 9
x x xy
x x x x x x
Δ + ΔΔ =
− + Δ − − + − + Δ
De donde xy
ΔΔ ; ( )
( ) ( )
2
2 22 2
2
9 9 9 9
x x xyx x x x x x x x
Δ + ΔΔ=
Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Al simplificar: ( ) ( )2 22 2
2
9 9 9 9
y x xx x x x x x x
Δ + Δ=
Δ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + Δ − − + − + Δ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Finalmente se calcula el límite:
( )0 2 2 2 2
2lim9 9 9 9x
y xx x x x xΔ →
Δ=
Δ − − − + − ∴
( )( ) ( )23
2229929
2
x
xxx
xdxdy
−=
−−=
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
12. Obtener la derivada de la función ( ) xxf cos= , empleando la definición.
Solución. De la definición de derivada se tiene que ( ) ( )
hxfhxf
dxdf
h
−+=
→0lim , entonces:
( ) ( )hxhxf +=+ cos ( ) ( ) ( ) ( )xhxxfhxf coscos −+=−+
( )h
xhsenxsenhxh
xhxdxdf
hh
coscoscoslimcoscoslim00
−−=
−+=
→→
( ) ( )h
hsenxsenh
hxh
hsenxsenhxdxdf
hhh 000lim1coscoslim1coscoslim→→→
−−
=−−
=
( ) ( )( ) ( )( )0 0
cos 1cos lim lim cos 0 1
h h
hdf sen hx senx x sen xdx h h→ →
−= ⋅ − ⋅ = −
Por lo tanto: xsendxdf
−=
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
99
13. Derivar la siguiente expresión: ( ) ( ) 245 −−= ttN . Solución. Se hace ( ) 245 −=⇒−= uuNtu y se emplea la regla de la cadena
dN dN dudt du dt
=
32dN udu
−= − ; 5=dtdu ; ( ) ( ) ( )
( )3 3
3102 5 4 5 10 5 4
5 4dN dN dNt tdt dt dt t
− −= − − ⇒ = − − ∴ = −
−
También se podría haber realizado de manera directa como:
( ) ( )( )
33
102 5 4 55 4
dN dNtdt dt t
−= − − ∴ = −
−
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
14. Obtener dmdr de la siguiente función ( ) 2
113⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=mmr .
Solución. Por la regla de la cadena:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=1
)1(3mmu
( )dmduu
dmdyuy 22 =⇒=
( )( ) ( )( ) ( )2 2
1 3 3 1 61 1
m mdu dudm dmm m
+ − −= ⇒ =
+ +
Por lo tanto: ( )
( )( )
( )32 1136
16
1132
+−
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=m
mmm
mdmdr
De manera directa se puede obtener la derivada como sigue:
23 31
mrm
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟+⎝ ⎠
( )( ) ( )( )( )2
1 3 3 3 13 321 1
m mdr mdm m m
⎡ ⎤+ − −−⎛ ⎞= ⎢ ⎥⎜ ⎟+⎝ ⎠ +⎢ ⎥⎣ ⎦ ;
( )( )
( )2 3
36 13 3 621 1 1
mdr m drdm m dmm m
−−⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟+⎝ ⎠ + +
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
15. Determinar ( )xf ' para ( ) ( )427 6f x x x= + + .
Solución. Se procede de manera semejante con la regla de la cadena:
100
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2 2 2' 4 7 6 7 6 ' 4 7 6 7 6x x xf x x x D x x f x x x D x D x⎡ ⎤= + + + + ⇒ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦
∴ ( ) ( )32
2' 4 7 6 7
6xf x x x
x⎡ ⎤
= + + +⎢ ⎥+⎣ ⎦
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
16. Derivar la siguiente expresión: 033622 =−+++− yxxyx . Solución. Se despeja la variable dependiente y ;
( ) 36323632 22 +−=+⇒+−=+ xxyxxxyxy ⇒ 32
362
++−
=x
xxy
De donde ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2 2
2 2
2 3 2 6 6 3 2 4 6 18 2 12 62 3 2 3
x x x xdy dy x x x xdx dxx x
+ − − − + − − − + −= ⇒ = ∴
+ + ( )2
2
322462
+−+
=x
xxdxdy
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
17. Obtener la derivada de xxy
2= .
Solución. ( ) ( )
( )2
2 2'
2
d dx x x xdx dxy
x
−= ⇒ 24
22
12'
x
xx
xy
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= ⇒ 22'
4x xy
x−
=
322
1' '4 4
xy yx x
−= ∴ = −
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
18. Obtener la segunda derivada de y con respecto a x de la función:
xxy 2
2−=
Solución. 1 12 21 2
2y x x
−= −
1011 1 1 31 12 2 2 21 1 1 1' 2 '
2 2 2 4y x x y x x
− − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 3 3 51 12 2 2 2
2
1 1 3 1 3 1 3'' '' ''4 2 2 8 2 8 2
y x x y x x yx x x x
− − − − − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − ⇒ = − − ∴ = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
19. Calcular la derivada de 2
2
9 xxy−
= .
Solución. ( )( )
( )
2 22 2 3
2
322 2
22 9 2 9 92 99 9
xx x x x x x xdy dyxdx x dx x
⎛ ⎞−− − ⎜ ⎟ − − +−⎝ ⎠= ⇒ =
− −
( )( ) ( )
2 3 3 3
3 32 22 2
2 9 18 2
9 9
x x xdy dy x x xdx dxx x
− + − += ⇒ = ∴
− − ( )23
2
3
9
18
x
xxdxdy
−
−=
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
20. Obtener la derivada de ( ) xxf tan=
Solución. Como xxsenx
costan =
( ) ( )( ) ( ) ( )22
22
2 cos1
coscos
coscoscos
costan
xxxsenx
xxsenxsenxx
xxsen
dxd
dxxd
=+
=−−
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
( )( )
xxdx
xd 22 sec
cos1tan
==
Luego, si ( ) ( ) 2tan ' secf x x f x x= ⇒ =
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 21. Obtener la derivada de ( ) xxf csc=
Solución. Como 1csc xsenx
=
102
( ) ( )( ) ( )( )xsenxsen
xxsenx
xsenxxsen
xsendxd
dxxd 1coscoscos101csc
22 ⋅−
=−
=−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
( )csccot csc
d xx x
dx= −
Luego ( ) ( )csc ' csc cotf x x f x x x= ∴ = −
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 22. Derivar respecto a x , la siguiente expresión: ny sen nx sen x=
Solución. =dxdy xnsen
dxd nsenx)( xsen n+
dxd xnsen ; ( ) ( ) xnxsennxxsennxnsen
dxdy nn coscos1 += −
( )1 cos cosndy nsen x sen nx x senx nxdx
−= + ∴ ( ) ( )1 1ndy nsen x sen n xdx
−= +
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
23. Obtener la derivada de xxxseny tancos=
Solución. ( ) ( )2 2 2' cos tan tan cos ' cos sec tan cosd dyy senx x x x senx x y senx x x x sen x xdx dx
= + ⇒ = + − +
xxxxsenxxxseny tancostanseccos' 222 +−=
( )2 2 2 22cos' tan tan cos ' tan 1 cos
cossenx xy x sen x x x y x sen x x
x= − + ⇒ = − +
( )2
2 2 cos' tan 2cos ' ' 2 cos ' 2cos
senx xy x x y y senx x y sen xx
= ⇒ = ⇒ = ∴ =
También se pudo haber obtenido la derivada como
2coscos tan ; ; ; ' 2 cos ' 2cos
senx x senxy senx x x y y sen x y senx x y sen xx
= = = = ∴ =
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
24. Obtener la derivada de 2cosy x senx= .
Solución. ( ) ( )xdxdsenxsenx
dxdxy 22 coscos' += ⇒ ( ) ( )( )senxxsenxxxy −+= cos2coscos' 2
xxsenxy cos2cos' 23 −=
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
103
25. Obtener la derivada de xangxy 2tan2= .
Solución. 22 2tan2tan' xdxdxangxang
dxdxy +=
( ) xangxx
xyxxangx
xy 2tan241
2'22tan412' 2
2
22 +
+=⇒+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
26. Para la función x
xycos
cot1+= , calcular
4' π
=xy
Solución. xxxsenx
xxxx
xxxy cscsec
cos1cossec
coscot
cos1
coscot1
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅+=+=
+=
xxy cscsec += ⇒ ' sec tan csc coty x x x x= −
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
= 4cot
4csc
4tan
4sec'
4
πππππx
y ; 4
' 2 1 2 1 2 2 0 ' 0x
y y π=
= ⋅ − ⋅ = − = ∴ =
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
27. Obtener la derivada de 14tan 2 −= xy
Solución. ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−=
142814sec
222
xxx
dxdy ∴
1414sec4
2
22
−
−=
xxx
dxdy
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
28. Derivar la siguiente función: 3 2 3cos xy =
Solución. Esta función también se puede expresar como ( )1
2 3cos 3y x= , la que se deriva como sigue:
( ) ( )( )( )2
2 31 cos 3 2cos3 3 33
dy x x sen xdx
−= ⋅ −
( )2 1
2 3 3
2 3 cos3 2 3
cos 3 cos 3
dy sen x x dy sen xdx dxx x
= − ⇒ = −
Otra forma de obtener esta derivada es si se maneja algebraicamente la función
104
( )2 13 3
13
2 2 3cos 3 cos 3 3 33 cos 3
dy dy sen xy x x sen xdx dx x
−= ⇒ = ⋅ − ∴ = −
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
29. Derivar la siguiente función: )1tan(1 −+= xy . Solución. La función se puede escribir también como:
( )1
1 221 tan 1y x
⎡ ⎤= + −⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
121 12
22 2sec 11 11 tan 1 tan 1 sec 1
2 2 4 1 tan 1 tan 1
xdy dyx x xdx dx x x
−− −⎡ ⎤
= + − ⋅ − ⋅ − ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦ + − −
Como )1tan(1 −+= xy , se tiene finalmente que: ( )2sec 14 tan( 1)
xdydx y x
−=
−
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
30. Sea tseny = , t p= , qp tan2π= y 4
q x π= + , obtener
dxdy para 0=x .
Solución. Se expresa " "y en términos de " "x :
⇒= tseny ⇒= pseny
2 2tan tan tan4 4
y sen q y sen x y sen xπ ππ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⇒ = + ⇒ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Se deriva con respecto a x :
2sec4cos tan
42 tan
4
xdy xdx
x
ππππ
π
⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟= +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
En 0=x
2
0
sec4cos tan
42 tan
4x
dydx
ππππ
π=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎝ ⎠⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
( )0 0
2cos 1
2 1x x
dy dydx dx
ππ π
= =
⎛ ⎞⇒ = ∴ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
105
31. Obtener la derivada de la siguiente función:
1y angsen x= −
Solución. ( ) 2
11 12 1
2 11 1 2dy dy dyxdx dx dxx xx x x
−−= ⇒ = − ∴ = −
−− − −
LOS COORDINADORES
32. Derivar
( ) 1tanf x angx
=
Solución. ( ) ( ) ( )( )2
1 112 2' ' '1 2 111
x x x xf x f x f xx x xxx
−= ⇒ = − ⇒ = −
+ +⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
33. Calcular la derivada de la función:
2
2csc1
xy angx
=−
Solución.
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 2
22 3 3
2 24 22 2 2222 2 22 2
1 2 2
1 2 2 2
11 11 1 1 1
x x x x
xdy dy x x xdx dx x xx x xxx x x x
− − −
− − += − ⇒ = −
⎛ ⎞ − −− −⎜ ⎟− − −⎝ ⎠ −
( )( )
4 2 4 22 2
22
2 2 1;21 2 2 11
1
dy x dy xdx dxx x x x xx x
x
= − ∴ = − >− + − −
−−
LOS COORDINADORES
106
34. Por derivación implícita obtener dydx
para xyyx 833 =+ .
Solución. ( ) 2222 38838833 xydxdyxyy
dxdyx
dxdyyx −=−⇒+=+ ∴
xyxy
dxdy
8338
2
2
−−
=
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
35. Demostrar que para la expresión
, , , ,Ax By K A B C D KCx Dy
+= ∀ ∈
+
se cumple que yxy =' . Solución. Se deriva implícitamente la expresión dada y:
( ) ( )
( )02 =
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
DyCxdxdyDCByAx
dxdyBADyCx
( ) ( ) 0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
dxdyDCByAx
dxdyBADyCx
( ) ( ) ( ) ( ) 0dy dyA Cx Dy B Cx Dy C Ax By D Ax Bydx dx
+ + + − + − + =
( ) ( ) ( ) ( )DyCxAByAxCdxdyByAxD
dxdyDyCxB +−+=+−+
( ) ( )( ) ( ) BDyADxBDyBCx
ADyACxBCyACxByAxDDyCxBDyCxAByAxC
dxdy
−−+−−+
=+−++−+
=
( )( ) x
yxADBCyADBC
dxdy
=−−
== ⇒ ' 'yy xy yx
= ∴ =
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
36. Obtener la segunda derivada 2
2d yd x
de:
22 yxyx −=+
Solución. dxdyy
dxdyxyx 22 −=++ ⇒ yx
dxdyy
dxdyx −−=+ 22 ⇒ ( ) yxyx
dxdy
−−=+ 22 ⇒
22
dy x ydx x y
− −=
+
107
Se deriva nuevamente y: ( ) ( )
( )22
2
2
21222
yxdxdyyx
dxdyyx
dxyd
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −−+
=
( )
2
22
2 4 2 2 4 2
2
dy dy dy dyx x y y x x y yd y dx dx dx dxdx x y
− − − − + + + +=
+ ⇒
( )22
2
2
33
yx
ydxdyx
dxyd
+
−=
ahora se sustituye el valor de dydx
y:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2 2
2 2 32 2 2
2 6 3 3 63 32 6 6 622 2 2
x y x xy xy yx yx yd y d y d y x xy yx y
dx dx dxx y x y x y
− −⎛ ⎞ − − − −−⎜ ⎟+ − − −+⎝ ⎠= ⇒ = ∴ =+ + +
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
37. Determinar ''y para 1543 34 +=−+ xxyy Solución. Se deriva implícitamente la ecuación y se tiene:
3 24 ' 3 ' 12 5y y y x+ − = ⇒ ( )34512'512'34 3
223
++
=⇒+=+yxyxyy
Se deriva nuevamente 'y : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )23
3223
343451251234'''
+
++−++==
yyDxxDyyDy xx
x
( )( ) ( )( )( )23
223
34'125122434''
+
+−+=
yyyxxyy
ahora se sustituye el valor de 'y de donde se obtiene:
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
23 2 2 2 23 2 23
2 33 3
12 54 3 24 12 5 12 4 3 24 12 5 124 3'' ''4 3 4 3
xy x x y y x x yyy yy y
⎛ ⎞++ − + ⎜ ⎟ + − ++⎝ ⎠= ⇒ =+ +
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
38. Dada la expresión ( ) 2cos3 2 =+ yx , demostrar que 1−=dxdy .
Solución. Se obtiene la derivada por derivación implícita:
( ) ( ) 01cos6 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +++−
dxdyyxsenyx ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )yxsenyx
dxdyyxsenyx ++=++− cos6cos6
Por lo tanto, 1−=dxdy
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
108
39. Realizar la derivada implícita de:
a) xyy =tan b) ( ) byxa =+2cos
Solución. a) ( ) ( ) ( ) ( ) yxyyyyxyyyyxyyy =−⇒+=⇒+= ''sec''sec1''sec 222
( )xy
yyyxyy−
=⇒=− 22
sec'sec'
b) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )( ) ( )
cos2 cos 1 0 ' ' 1
cossen x y x y
a x y sen x y y' y ysen x y y
+ ++ − + + = ⇒ = ∴ = −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − + +
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
40. Obtener dxdy de: ( ) ( ) 7cos 324 =++ yxyxsen
Solución. ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 34 cos 1 3 2 0dy dysen x y x y x y xy sen x ydx dx
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )yxyxsenyxsenxydxdyyxsenyxyxyxsen ++−=−++ cos423cos4 332332223
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )32223
3323
3cos4cos42
yxsenyxyxyxsenyxyxsenyxsenxy
dxdy
−++++−
=
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
41. Derivar con respecto a x la siguiente función: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
yx
xy csc1 .
Solución. ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−22
'cotcsc'y
xyyyx
yx
xyxy
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
yx
yx
yxy
yx
yx
yxy
xy cotcsc'cotcsc1'
22
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
yx
yx
yxyy
yx
yx
yx
xcotcsc1'cotcsc1
22
109
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
yx
yx
yx
x
yx
yx
yxy
ycotcsc1
cotcsc1
'
2
2
se multiplican numerador y denominador por xy y se tiene que:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
yx
yx
yxy
xy
yx
yx
yxy
xy
yx
yx
yx
x
xy
yx
yx
yxy
ycotcsc1
cotcsc1
cotcsc1
cotcsc1
'
2
2
2
2
∴ xyy ='
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
42. Obtener 2
2
dxyd para la función dada por
⎩⎨⎧
==
3 tytx .
Solución. De la derivación en forma paramétrica se sabe que
dtdxdtdy
dxdy
=
23
23
1 1 1y 3 23
dy dxtdt dt tt
−= = =
⇒ 1
12236
2233
12 2 23
1 33 32
dy dy t dy t dyt tdx dx dx dxt tt
−= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
ahora se deriva nuevamente para obtener la segunda derivada; así:
76 22 2 2 2
32 2 2 2 3 2
12
22 218
1 9 92
d dytd y d y d y d ydt dx tdxdx dx dx dx t
dt t
−
−
⎛ ⎞−⎜ ⎟
⎝ ⎠= ⇒ = ∴ = − ⇒ = −
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
43. Dadas las siguientes ecuaciones paramétricas: 3
2
4tan
tx t
y ang t
⎧= +⎪
⎨⎪ =⎩
110
Obtener dydx
para el valor 4π
=y .
Solución. 4
322tt
dtdx
+= y 1
12 +
=tdt
dy
Entonces:
( )( )2
2 2 2
141
3 1 8 324
dydy dydt t
dx tdx dx t t ttdt
+= = ⇒ =+ ++
Para 4π
=y ; 14
tantan4
=⇒=⇒= tttang ππ
( )1 1
4 22 11 11t t
dy dydx dx= =
= ∴ =
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
44. Obtener la derivada de la función:
2 6x xy e −=
Solución. ( ) ( )2 6 2 6 2 612 6 22 6 6
x x x x x xdy dye x x edx dxx x
− − ⎡ − + − ⎤−⎡ ⎤= ⋅ + − ⇒ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) 2 62 6 12 312 2
6 6
x xx x x edy x x dye
dx dxx x
−− −− + −⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟− −⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
45. Obtener la derivada de la siguiente función para 1x = − :
1xy e
−=
Solución. 1
122
1 1' 'x
x
y e yx x e
− −⎛ ⎞= − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( )11 12 1
1' '1
x xy y e
e=− =−
−
= ∴ =−
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
111
46. Determinar la derivada de la función:
( ) ( )2 21 3sen xf x e −=
Solución. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 21 3 1 32 2 2' 2 1 3 cos 1 3 6 ' 6 2 1 3sen x sen xf x e sen x x x f x x e sen x− −= − − ⋅ − ∴ = − −
LOS COORDINADORES
47. Derivar la función:
cot5 ang xy =
Solución. ( ) ( )( )
cotcot
2
1525 ln 5 ln5
2 11
ang xang xdy dyx
dx dx x xx
⎛ ⎞⎜ ⎟
= − ∴ = −⎜ ⎟+⎜ ⎟+⎜ ⎟
⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
48. Calcular la derivada de la función:
1cos =+ senxeye yx
Solución. 0coscos =+++−dxdyxsenexeye
dxdysenye yyxx
( ) cos cosx y x ydye seny e senx e y e xdx
− + = − −
cos cos cos cosx y x y
x y x ydy e y e x dy e y e xdx e seny e senx dx e seny e senx
+ += − ∴ =
− + −
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
49. Derivar la siguiente función:
2 3ln4 7
xyx
−=
+
112
Solución.
( )( ) ( )( )( )
( )( )
2
2
4 7 3 2 3 74 7 12 21 14 21 262 3 4 7 2 3 8 2 214 7
x xxdy dy x x dyxdx dx x x dx x xx
+ − − −
+ − − − += ⇒ = ∴ = −
− + − + −+
LOS COORDINADORES
50. Obtener la derivada de la función:
2ln sec 2y x= +
Solución.
2 222
2 2
2sec 2 tan 2tan 22 2
sec 2 2
xx xdy dy x xxdx dxx x
+ + ⋅++= ∴ =
+ +
LOS COORDINADORES
51. Determinar la derivada de
( ) 1 cosln1 cos
xf xx
−=
+
Solución. Se aplica la derivada de una función dentro de una raíz cuadrada y:
( )
( )( ) ( )( )( )
( )( )
2
2
1 cos 1 cos1 cos
1 cos2 cos cos1 cos' ' 1 cos1 cos 2 1 cos1 cos1 cos
x senx x senxx
xsenx senx x senx senx xxf x f x xx x
xx
+ − − −
+−
+ + −+= ⇒ =−− +++
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 22' ' ' ' csc
2 1 cos 1 cos 1 cossenx senx senxf x f x f x f x xx x x sen x
= ⇒ = ⇒ = ∴ =+ − −
Otra forma de obtener la derivada es mediante las propiedades de la función logarítmica. Así:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 cos 1 1ln ln 1 cos ln 1 cos '2 1 cos 2 2 1 cos 1 cos
x senx senxf x f x x x f xx x x
− −⎛ ⎞= ⇒ = ⎡ − − + ⎤ ⇒ = −⎜ ⎟⎣ ⎦+ − +⎝ ⎠
( ) ( )21 cos cos' ' csc2 1 cos
senx senx x senx senx xf x f x xx
+ + −⎛ ⎞= ∴ =⎜ ⎟−⎝ ⎠
LOS COORDINADORES
113
52. Obtener la derivada de:
( ) 3log cotf xx
=
Solución. De manera directa se tiene que:
( ) ( ) ( )2 2
2
22
13 3 3csc 3 3' log ' log ' log3 3 3 3cot cos cos
3
senx x xf x e f x e f x ex x sen
x x x xsen
x
−⎛ ⎞− ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠= ⇒ = − ⋅ ∴ =
LOS COORDINADORES
53. Obtener la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función x
xy 63 −= en el punto ( )9,4P .
Solución. Se deriva y:
( ) 10 6 32' 3 ' 3x
xy yx x x
−= − ⇒ = +
se evalúa en el punto dado y se obtiene: 3 3 27' 3 3
8 84 4Py = + = + = que es la pendiente de la recta tangente en el punto dado.
mediante la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, se obtiene:
( ) =− 1yy m ( )1xx − ⇒ ( ) ( )48279 −=− xy ⇒ 8 72 27 108 27 8 36 0y x x y− = − ∴ − − =
ALUMNA: DANIELA GARCÍA RUBÍ
54. Sea ( ) ( )42 1f x x= − . Determinar la pendiente de la recta normal a f en el punto ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21,
21 fP .
Solución. Aplicando la derivada a la función f se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )3 32 2' 4 1 2 8 1f x x x x x= − = −
La pendiente Tm de la recta tangente en P es: 31 1 3 27' 8
2 2 4 16Tm f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Por lo tanto la pendiente de la recta normal es: 1 1 16 1627 27 2716
N NT
m mm− −
= = = ∴ =−
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
114
55. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las curvas siguientes en los puntos indicados:
a) 342 23 −−+= xxxy en el punto ( )5,2− . b) tan2y x= en el punto ( )0,0 .
Solución.
a) ( )2 2
2,53 4 4 ; 3 4 4 ; 0T Tdy x x m x x mdx −
= + − = + − =
Ecuación de la recta tangente: ( )0 0 5 0 5Ty y m x x y y− = − ⇒ − = ∴ =
Ecuación de la normal:
( )0 01 1;
0N N NT
y y m x x m mm
− = − = − ⇒ = − no existe. Entonces 2x = −
b) ( )2 2
0,02sec 2 ; 2sec 2 ; 2T Tdy x m x mdx
= = =
Ecuación de la recta tangente: ( ) ( )0 0 0 2 0 2Ty y m x x y x y x− = − ⇒ − = − ∴ =
Ecuación de la recta normal:
( ) ( )0 01 1; ; 0 02 2 2N N
xy y m x x m y x y− = − = − − = − − ∴ = −
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
56. Determinar las ecuaciones de las rectas tangente y normal, así como las longitudes de la subtangente y la subnormal en el punto ( )3,3P , de la curva que tiene por ecuación:
09 =−xy Solución. La gráfica de la curva, con su tangente y su normal en el punto dado son:
Ecuación de la recta tangente: Se despeja la variable " "y y se deriva:
y
x
( )3,3
9 0xy − =
N T
SN ST
115
x9y = ó ⇒= −19xy 211 x9x9'y −−− −=−= ⇒ ( )
( )2
29' 9 3 1 ; 13 TP
y m−= − = − = − = −
la ecuación de la recta tangente es: ( )o T oy y m x x− = − ⇒ ( ) ⇒−−=− 313 xy 33 +−=− xy ∴ 06 =−+ yx
Ecuación de recta la normal: 1 1; 11N N N
T
m m mm
= − = − ⇒ =−
Entonces, la ecuación de la normal es: ( )313 −=− xy ; 0=− xy ó 0=− yx
Las longitudes de la normal y la tangente, así como las de la subtangente y la subnormal, son, de acuerdo con la figura:
2 23 3 3 2 ; 3 2 ; 3N T ST SN= + = = = =
ALUMNA: RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE 57. Determinar las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva de ecuación xangy 3cos= , en
el punto 1 0,2
P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Solución. Primero se obtendrá la derivada de la función.
2913
xdxdy
−−= ⇒
1
TP
dymdx
=
de donde ( )11 xxmyy −=− y para 1 0,2
P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
; 31
3−=−=Tm por lo que la ecuación de la recta
tangente es:
( )3 0 32 2
y x y xπ π− = − − ⇒ − = − ⇒ 0
23 =−+
πyx ⇒ 026 =−+ πyx
TN m
dxdym 11
−=−= ⇒ 31
=Nm
entonces la ecuación de la recta normal es:
( ) ⇒−=− 031
2xy π
⇒=− xy2
33 π 02
33 =+−πyx ∴ 0362 =+− πyx
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
58. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal a la curva de ecuación 3x
ey = , en el punto ( )1 3,P e .
Solución. Primero se obtiene la derivada de la función.
116
33x
edxdy
= ⇒ 1
TP
dymdx
= ; para ( )eP ,31 = 33
33
eem T ==
y la ecuación de una recta esta dada por ( )11 xxmyy −=− ; ( )33
−=− xeey
eexey 333 −=− ∴ 03 =− yex ecuación de la recta tangente.
Además T
N mdxdym 11
−=−= ⇒ e
m N3
−=
( ) 9333 2 +−=−⇒−−=− xeeyxe
ey ∴ 093 2 =−−+ eeyx ecuación de la recta normal.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
59. Determinar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por las ecuaciones paramétricas dadas, en el punto 2=t .
ttx+
=1
; 21 ty −=
Solución. Para 2=t ; 32
212
=+
=x y 3)2(1 2 −=−=y
Para las ecuaciones paramétricas se sabe que:
dtdxdtdy
dxdy
=
tdtdy 2−= ; 2 2
1 1(1 ) (1 )
dx t tdt t t
+ −= =
+ +
2 3 2 3 2
2
2 ( 2 )(1 ) 2 4 2 2 4 21(1 )
Tdy t dy dyt t t t t m t t tdx dx dx
t
−= ⇒ = − + ⇒ = − − − ⇒ = − − −
+
3 2
2
2(2) 4(2) 2(2) 36Tt
dymdx =
= = − − − = −
Entonces la ecuación de la recta tangente es: 2( 3) 36 3 36 24 36 213
y x y x x y⎛ ⎞− − = − − ⇒ + = − + ∴ + =⎜ ⎟⎝ ⎠
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
60. Obtener los puntos donde la recta tangente a la gráfica de la función es horizontal y donde es vertical. La función está expresada paramétricamente por:
117
tx −= 2
6 2 4 2y t t= − − − Solución.
Para las ecuaciones paramétricas se sabe que:
dtdxdtdy
dxdy
= .
1−=dtdx , 21
4 2dydt t
= − +−
, entonces
21 24 2 11 4 2
dy dytdx dx t
− +−= ⇒ = −
− −
Para que la recta tangente sea horizontal:
0dydx
= ⇒ ⇒=−
− 024
21t
⇒−
=t24
21 ⇒=− 224 t 4 2 4t− =
002 =⇒=− tt Para que la recta tangente sea vertical: ⇒=− 024 t ⇒=− 024 t ⇒= t24 2=t Se sustituye en x y y , se llega a:
0 2 0 2t x= ⇒ = − = ; 2)0(24206 =−−−=y ∴ En )2,2(P la tangente es horizontal. 2t = ⇒ 022 =−=x ; 4)2(24226 =−−−=y ∴ En (0, 4)Q la tangente es vertical.
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
61. Calcular el valor del ángulo agudo de intersección entre las curvas 2 2 2 4y x y x y= + = y trazar las curvas y los ángulos considerados. Solución. Primero se grafican las curvas y en los puntos de intersección se trazan las tangentes, cuyas pendientes determinarán los ángulos agudos de intersección entre ellas.
Se obtienen las pendientes de las tangentes a las curvas dadas en el punto ( )1.25,1.56 y:
( )
2
1.25,1.56
; 2 ; 2.5dy dyy x xdx dx
= = =
y
x
2 2 4x y+ =
2y x=
( )1.25,1.56 θ
118
( )
2 2
1.25.1.56
4 ; 2 2 0 ; ; 0.8dy dy x dyx y x ydx dx y dx
+ = + = = − = −
mediante la fórmula para calcular el ángulo entre dos rectas si se conocen sus pendientes, se tiene que:
( )( )02 1
2 1
0.8 2.5 3.3tan ; tan tan 73.141 1 0.8 2.5 1m mang ang ang
m mθ θ θ θ− − − −= = ⇒ = ∴ =
+ + − −
En el otro punto, en el segundo cuadrante, por simetría el ángulo agudo, es el mismo.
LOS COORDINADORES 62. Obtener el ángulo agudo θ de intersección entre las curvas de ecuaciones:
123 2 ++= xxy y 72 2 ++= xxy Solución. Las curvas se cortan en;
2 23 2 1 2 7x x x x+ + = + + ; 071223 22 =−+−+− xxxx ( )( )2 6 0 2 3 0x x x x+ − = ⇒ − + = ⇒ 31 −=x y 22 =x
Con los puntos obtenidos, se determina la pendiente de las rectas tangentes a las curvas para 1x : 123 2
1 ++= xxy ; ⇒+= 26'1 xy ⇒−=+−=− 16218)3('1y 1 16m = − 72 2
2 ++= xxy ; ⇒+= 14'2 xy ⇒+−=− 112)3('2y 2 11m = − El ángulo de intersección entre las curvas está dado por:
2 1
1 2
11 16 5tan 0.0281 1 ( 16)( 11) 177m m
m mθ − − += = = =
+ + − − ; ⇒= 028.0tanθ 0
1 1.618θ =
Para 22 =x : 123 2
1 ++= xxy ; ⇒+= 26'1 xy ⇒=+= 14212)2('1y 1 14m = 72 2
2 ++= xxy ; ⇒+= 14'2 xy ⇒+= 18)2('2y 2 9m = El ángulo de intersección entre las curvas está dado por:
2 1
1 2
9 14 5tan 0.03941 1 (9)(14) 127m m
m mθ − − −= = = =
+ + ; 0
2tan 0.0394 2.255θ θ= ⇒ =
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
63. Determinar el ángulo agudo θ de intersección entre las curvas de ecuaciones:
xyxy cscsec 21 ==
en el punto de intersección del primer cuadrante. Solución. Se debe obtener el punto de intersección:
1 1sec csc 1 tan 1cos cos
senxx x xx senx x
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
119
( )tan 1 454
x ang x π= ⇒ = ° = ; 2
211
4cos
14
sec ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ππy ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛= 2,
41πP
Ahora se obtiene la pendiente de la recta tangente a cada curva en el punto de intersección:
xxdxdy tansec1 = ; ( )( ) 212
4tan
4sec1 ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ππm
xxdx
dy cotcsc2 −= ; ( )( ) 2124
cot4
csc2 −=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
ππm
Se sabe que 21
12
1tan
mmmm
+−
=θ ; ( )( ) 221
222122
22122tan =
−−
=−
−=
−+−−
=θ
( )tan 2 2 70.528angθ∴ = = °
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
64. Un balón esférico pierde aire a razón constante de 3
2 cms
. ¿Con qué rapidez decrece el radio del balón
cuando su diámetro es de m1 ? Solución. Una figura con el balón se muestra acontinuación:
De los datos proporcionados y de la gráfica, se tiene que 3
3423
dv cm y v rdt s
π= =
2dv; 4dr
dv dv dr rdt dr dt
π= = ; 22
144
dv dr dr dVrdt dt dt r dt
ππ
= ⇒ =
De los datos dados cmrmD 50y 1 == , entonces;
( ) ( ) πππ 50001
2500212
5041
2 ===dtdr
Por lo tanto, la rapidez a la que decrece el radio del balón cuando su diámetro es de m1 es:
0.00006366dr cmdt s
=
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
r
120
65. Para aproximar un bote al muelle se emplea un cabrestante. La cuerda está atada al bote en un punto a
4.5 m por debajo del cabrestante. Si éste tira de la cuerda a razón de 10minm . Determinar la rapidez a la que
se está aproximando el bote al muelle cuando falta un minuto para llegar a él. Solución. La siguiente figura representa gráficamente el problema.
Las variables involucradas se relacionan mediante el teorema de Pitágoras, es decir: 2 2 24.5w u= +
Se deriva implícitamente con respecto al tiempo y: 2 2dw du du w dww udt dt dt u dt
= ⇒ =
De los datos se tiene que 10min
dw mdt
= ; además en min1=t ⇒ 10w m=
Entonces 2 210 4.5 8.93u u m= − ⇒ ≈
Se sustituyen valores en dudt
y:
10 10 11.28.93 min min
du w dw m m du mdt u dt m dt
= = ∴ ≈
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
66. Un tumor en el cuerpo de una persona es de forma esférica y cuando el radio del tumor es de cm5.0 éste crece a una taza de cm001.0 por día. Determinar la taza de crecimiento del volumen del tumor en ese tiempo. ¿Cuál es la taza de crecimiento del área de su superficie?
Solución. Se considera una esfera con radio igual a 0.5 cm y como se sabe 3
34 rV π=
se tiene una taza de crecimiento de 0.001 cm por día; entonces 0.001dr cmdt d=
Por lo tanto si se deriva el volumen con respecto al tiempo, se obtiene lo siguiente: 24dV dV dr dVy r
dt dr dt drπ= =
dtdrr
dtdV 24π= ; al sustituir valores )001.0)(25.0(4π=
dtdV ∴
3
0.00314dV cmdt d
≈
4.5w
u
121
Para calcular la taza de crecimiento del área de su superficie, se toma la expresión para calcular el área y se deriva. Así:
224 8 8 (0.5)(0.001) 0.01256dA dr dA dA cmA r r
dt dt dt dt dπ π π= ⇒ = ⇒ = ⇒ ≈
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ
67. A un tanque cónico de radio [ ]4R m= y altura 16 [ ]H m= , como se muestra en la figura, le entra un
volumen de agua a razón de 3
2minm⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
. Determinar la rapidez de cambio de la altura " "h del agua cuando
ésta se encuentra a [ ]5 m del vértice.
Solución. La rapidez de cambio de la altura h , que es lo que se pide calcular, se puede expresar como:
dtdh
para calcular el volumen de un cono se utiliza la expresión: hrV 2
31π=
para relacionar a las variables h y r , a partir de la figura, se usan triángulos semejantes. Luego: 4 1
16 4 4r r hrh h= ⇒ = ⇒ =
Se sustituye la relación anterior en la fórmula del volumen:
hhV2
431
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= π ⇒ hhV
1631 2
π= ⇒ 3
481 hV π=
Se deriva esta última expresión con respecto a h con lo que se obtiene: 2116
dV hdh
π=
Y a partir de la regla de la cadena se establece que:
4
16
r
h
122
dtdh
dhdV
dtdV
⋅= ⇒
dhdVdtdV
dtdh
=
Como dato del problema se tiene que: 3
2min
dV mdt
= ; luego 22
32
161
2hdt
dh
hdtdh
ππ=⇒=
dado que la rapidez de cambio pedida es para una altura mh 5= ;
( )25 5 5
32 32 0.407425 min5h h h
dh dh dh mdt dt dtππ= = =
= ⇒ = ⇒ ≈
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
68. Un hombre camina hacia la base de una torre de m18 de altura a razón de 7.5 kmh
. Determinar la
rapidez de variación de la distancia con que se acerca al extremo superior de la torre cuando está a m24 de la base. Solución. La figura modela este problema, con los datos proporcionados.
La rapidez de cambio de la distancia con que se acerca el hombre al extremo superior de la torre se puede
expresar como: dtdy . Se establece una relación entre las variables x y y por medio del teorema de
Pitágoras, esto es, ( ) 222 32418 xyxy +=⇒+=
Se deriva la expresión anterior con respecto a x ; se obtiene 2 2
22 324 324
dy x dy xdx dxx x
= ⇒ =+ +
A partir de la regla de la cadena establecemos la siguiente relación: dtdx
dxdy
dtdy
⋅=
como dato del problema, se tiene que: 7.5 7500dx km mdt h h
= =
ahora se sustituye 2324 x
xdtdy
+= y 7500dx m
dt h= en
dtdx
dxdy
dtdy
⋅= :
x
y18
123
( )22 324
75007500324 x
xdtdy
xx
dtdy
+=⇒⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+=
Dado que la rapidez de cambio pedida es para una distancia mx 24= de la base, entonces: ( )( )2
24
7500 24 180000 180000 180000 600030324 576 900324 24x
dy mdt h=
= = = = =++
∴ 24
6x
dy kmdt h=
=
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
69. Un globo de aire caliente que se eleva verticalmente es rastreado por un localizador que se encuentra a
m500 del punto del despegue medidos horizontalmente. En el instante de que el ángulo localizador es 4π , el
ángulo se está incrementando a razón de 0.14minrad . ¿Con qué velocidad se eleva el globo en ese instante?
Solución. La siguiente figura muestra en forma gráfica el problema:
De acuerdo con los datos proporcionados, 0.14
mind raddtθ= ; se tiene que determinar
dtdy
De la figura se tiene que 500
tan y=θ ; entonces se despeja “ y ” y se obtiene
dtdy ; luego,
θtan500=y ; 2 2500sec 500(sec )(0.14) 1404 min
dy d dy dy mdt dt dt dt
θ πθ= ⇒ = ∴ =
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ
70. Una piedra se deja caer a un estanque y produce ondas de agua que forman círculos concéntricos. El radio de una curva es de t40 centímetros a los t segundos. Calcular la rapidez de cambio del área del círculo en:
1 ; 2 ; 3t s t s t s= = = . Solución. Un modelo geométrico sería:
500 m
θ
y
124
El radio viene dado por: cmtr 40=
Se deriva con respecto a t para obtener su variación: 40dr cmdt s=
Por otro lado, el área del círculo está dado por: 2A rπ= Se deriva implícitamente y se sustituyen valores, de donde:
2 80 3200dA dr dA dr dAr t tdt dt dt dt dt
π π π= ⇒ = ⇒ =
La rapidez de cambio pedida es entonces;
Para 1t s= ; ( )2
3200 1 3200dA cmdt s
π π= =
Para 2t s= ; ( )2
3200 2 6400dA cmdt s
π π= =
Para 3t s= ; ( )2
3200 3 9600dA cmdt s
π π= =
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
71. En una placa metálica en forma de triángulo rectángulo, sometida a cambios de temperatura, el cateto horizontal disminuye 1 cm por minuto y el vertical aumenta 2 cm por minuto. Determinar la rapidez de variación de su área a los 2 minutos. Solución. La figura de la placa se muestra a continuación:
Sea " "x la base del triángulo, " "y su altura y " "t el tiempo transcurrido. De los datos proporcionados se
conoce 1min
dx cmdt
= − y 2min
dy cmdt
= . Además, el área es igual a: xyA21
=
6 m
8 m
r
125
Se deriva con respecto al tiempo y:
( )yxdtdA
dtdxy
dtdyx
dtdA
−=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 2
21
21
Al considerar min2=t ; 6 0.02 5.98x m= − = y 8 0.04 8.04y m= + =
( )2
2 2
1 2 5.98 8.04 1.962 mint t
dA dA mdt dt= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎡ − ⎤ ∴ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT
72. Una mujer que trota con una rapidez constante de 10 kmh
pasa por un punto P hacia el norte; 10
minutos más tarde un hombre que trota a 9 kmh
pasa por el mismo punto hacia el Este. Determinar qué tan
rápido varía la distancia entre los dos corredores, 20 minutos después de que el hombre pasa por el punto P . Solución. De manera esquemática se tiene que:
Se requiere determinar
20=tdtdz . La relación de velocidad es
tdv = , por lo que despejando a la distancia,
vtd = . Esta relación permite obtener la distancia C que se recorre la mujer transcurridos 10 minutos
después de pasar por el punto P , es decir 1 10 5106 6 3
kmC h km C kmh
⎛ ⎞⎛ ⎞= = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
20 minutos después de que el hombre pasa por el punto P , la mujer ha recorrido una distancia de 53
y km+ y
el hombre una distancia de kmx . Si se relacionan las distancias recorridas se obtiene 2
2 2 5z3
x y⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠
Ahora se deriva con respecto al tiempo: 5
dz 5 32z 2 2dt 3
ydx dy dz x dx dyx ydt dt dt z dt z dt
+⎛ ⎞= + + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
De los datos se sabe que 10dy kmdt h
= y 9dx kmdt h
= ; de donde
x
y
C
z
P
126
Como la rapidez es constante, dv d v tt
= ⇒ = ; luego 9 10x t y y t= = . Por lo que:
22
5 59 10 81 10 10dz 3 3dt 581 10
3
x y t t
zt t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎝ ⎠
Valuando en ht31min20 == :
3477
35
3110
3181
35
311010
3181
dtdz
22=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
= ∴ dz 13.2dt
kmh
=
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
73. Una rueda de la fortuna con un radio m10 da una vuelta cada min3 . Si el centro de la rueda está a m12 del piso, determinar la rapidez con que asciende el pasajero cuando se encuentra a m18 del piso. Solución. La figura con los datos correspondientes, es la siguiente:
Solución. La velocidad angular es: 1 2 2.0943 min 3 min min
d rev d rad d raddt dt dtθ θ π θω = = ⇒ = ⇒ ≈
En la figura se aprecia que el radio es igual a 10r m= , que 6h m= y que la abscisa del punto donde se
encuentra el pasajero es igual a 2 210 6 8x m= − = . De la misma figura se puede obtener: θsenh 10= ⇒ θseny 1012+= .
Se tiene que determinar [ ]mydt
dy18=
. Se emplea la regla de la cadena dtd
ddy
dtdy θ
θ⋅=
810 cos 10 810
dyd
θθ
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
y 2.094min
d raddtθ ω= ≈
Por lo tanto, ( )8 2.094 16.752min
dy dy mdt dt
= ∴ ≈
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
22
1218
θ h
( ),x yy
x
127
74. Por medio de diferenciales, obtener un valor aproximado de 27 . Solución. La función a utilizar es y x= , para la cual se hace: 25 25 5 2x y y dx= ⇒ = = = Por lo que:
5 27y dy x dx dy+ = + ⇒ + = se calcula la diferencial, se determina su valor y se le suma 5 , para obtener 27 . Entonces:
2 0.22 2 25dxy x dy dy dy
x= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
5 0.2 27 27 5.2+ = ∴ = En la calculadora el valor es 5.196 , con una diferencia de 6 milésimas con respecto al valor obtenido con la diferencial.
LOS COORDINADORES 75. Por medio de diferenciales obtener el valor aproximado de tan44º . Solución. La función a aproximar es xy tan= . Si se hace:
45º tan45º 1 1º 0.01745x y y dx rad= ⇒ = = = = ( )tan tan 1 tan44ºy x y dy x dx dy= ⇒ − = − ⇒ − =
Luego, se obtiene la diferencial de la función, se evalúa y se resta al valor de 1 para obtener el valor buscado. ( )2 2tan sec sec 45º 0.01745 0.0349y x dy x dx dy dy= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
tan44º 1 0.0349 tan44º 0.9651= − ∴ = En una calculadora, el resultado con cuatro cifras decimales es de 0.9657, por lo que el error al utilizar la diferencial es de 6 diezmilésimas.
LOS COORDINADORES 76. Mediante la diferencial, calcular la cantidad aproximada de material de un cascarón esférico cuyo radio interno mide 25 cm y cuyo espesor es de 1cm . Solución. Una sección transversal es la siguiente:
r
dr
128
El volumen del cascarón esférico es: 3
34 rV π= .
Con diferenciales se obtiene el incremento de volumen que es la cantidad aproximada de material necesario para su construcción; de esta forma:
( )2 2 34 4 (25) 1 7,853.98dV r dr dV dV cmπ π= ⇒ = ⇒ =
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ 77. Un tubo cilíndrico tendrá un espesor metálico de 6 cm . El radio interno es de 3 m y la altura de m10 . Obtener la cantidad aproximada del material que se empleará para su construcción, empleando diferenciales. Solución. La figura con sus datos y magnitudes variables es:
La fórmula de un volumen del cilindro es 2 2; 10 ; 10V r h h V rπ π= = = . Se calcula la diferencial 20dV rdrπ= y se sustituyen los valores dados; luego:
( )( )20 20 3 0.06 11.31dV rdr dV dVπ π= ⇒ = ∴ = Por lo tanto, la cantidad aproximada de material es de 311.31m .
ALUMNO: PABLO A. LORENZANA GUTIERREZ 78. A una cúpula semiesférica con radio exterior de 5 m , se le aplica un impermeabilizante especial que tiene un espesor de 1cm . ¿Cuánto se gasta de manera aproximada (mediante diferenciales) en impermeabilizante si el litro cuesta $ 100.00 ? Calcular también la cantidad exacta que se invierte, así como el porcentaje de error que se comete al utilizar la diferencial en lugar del valor exacto. Solución. Una sección de la cúpula es:
impermeabilizante x
dr r
10
dx
129
La cantidad aproximada de impermeabilizante se obtiene con el incremento aproximado del volumen, que se obtiene con la diferencial del volumen. Entonces:
( ) ( )23 2 22 2 2 5 0.01 1.57083
V x dV x dx dV dV mπ π π= ⇒ = ⇒ = ⇒ = 3 31.5708 1570.8 1570.8dV m dV dm dV litros= ⇒ = ⇒ = ( ) 1570.8 100 $157,080.00G aprox = × =
Ahora se calcula el valor exacto del volumen de material de la siguiente forma:
( ) ( )3 33 3 31 2 2 1
2 25 261.7994 5.01 263.3733 ; 1.57393 3
V m y V m V V V mπ π= = = = Δ = − = 3 31.5739 1573.9 1573.9V m V dm V litrosΔ = ⇒ Δ = ⇒ Δ = ( ) 1573.9 100 $ 157,390.00G exacto = × =
El error que se comete se calcula como: ( ) ( )
( )157390 157080100 ; 100 0.2 %
157390E E EG E G A
P P PG E− −
= × = × = de error.
LOS COORDINADORES
130
VARIACIÓN DE FUNCIONES 1. Demostrar que la función 29204)( 2 +−= xxxf satisface el teorema de Rolle en el intervalo [ ]4,1 y determinar el o los valores que lo satisfacen. Solución. La función es derivable en cada punto de su dominio (por ser un polinomio) y es continua. Se verifica que ( ) ( )41 ff = :
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2
1 4 1 20(1) 29 33 20 13
4 4 4 20 4 29 64 80 29 13
f
f
= − + = − =
= − + = − + =
Por lo tanto se cumple con las condiciones del teorema; entonces existe [ ]4,0∈c tal que; ( )' 0f c = . Se deriva y se iguala a cero:
( ) 20 5' 8 20 ; '( ) 8 20 08 2
f x x f c c c= − = − = ⇒ = =
Por lo tanto el valor que cumple con el teorema de Rolle es [ ]5 1,42
c = ∈ .
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
2. Determinar si el teorema de Rolle es aplicable a las funciones dadas en el intervalo [ ]4,0 ; en caso de serlo, determinar el o los valores de x en que se verifica. De no ser aplicable, explicar por qué.
( )24)
2
−−
=x
xxxfa ; ( )24)
2
+−
=x
xxxfb
Solución. ( )24)
2
−−
=x
xxxfa es discontinua para 2=x y [ ]4,02∈ ; por ello no es aplicable el Teorema
de Rolle.
24)()
2
+−
=x
xxxfb es una función racional continua para todo valor 2−≠x , además es continua en el
intervalo [ ]4,0 , por lo tanto se satisface la primera condición del teorema de Rolle. Al derivar se obtiene
( )2
2
284)('
+−+
=x
xxxf , donde se observa que la función es derivable para todo valor 2−≠x , por lo cual es
derivable en el intervalo ( )4,0 y se cumple la segunda condición del Teorema.
Finalmente, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 00 0 ; 4 0 0 42 6
f a f f b f f f= = = = = = ⇒ = , se cumple la tercera condición
del teorema de Rolle, por lo cual sí es aplicable. Se iguala a cero la derivada y:
( )
212
22
2 2 3 1.464 8 4 48'( ) ; 4 8 0 ;22 2 2 3 5.46
xx xf x x x xx x
⎧ = − + ≈+ − − ± ⎪= + − = = ⇒ ⎨+ = − − ≈ −⎪⎩
131
Como se observa, solamente el valor [ ]1 1.46 0,4x ≈ ∈ , luego en él se cumple el teorema.
ALUMNO: PABLO LORENZANA GUTIERREZ 3. Dada la función ( ) xxxf 94 3 −= , verificar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para el
intervalo ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
23,
23 , determinar en qué puntos se cumple.
Solución. Por ser una función polinomial es continua y diferenciable para todos los valores; para determinar si se satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle, falta verificar que se cumpla que ( ) ( )bfaf =
( )33 3 3 27 274 9 4 0
2 2 2 8 2f a f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − − = − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )33 3 3 27 274 9 4 0
2 2 2 8 2f b f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴ se cumple
Se deriva y se iguala a cero por lo que:
( ) 912´ 2 −= xxf ; ( ) 2 21 2
9 3 3 3´ 12 9 012 4 2 2
f x x x x y x= − = ⇒ = = ⇒ = − =
para este caso los dos valores están en el intervalo y se verifica en ellos el teorema: 23
1 −=c y 23
2 =c .
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ
4. Verificar que la función ( ) 22 23 +−−= xxxxf satisface las hipótesis del teorema de Rolle para [ ]2,1− , y determinar él o los valores para los cuales se verifica el teorema. Solución. La función ( ) 22 23 +−−= xxxxf es continua para toda Rx ∈ , por tanto es continua para [ ]2,1− . Se deriva la función dada y se obtiene que ( ) 2' 3 4 1f x x x= − − . Se observa que ( )'f x existe para toda Rx ∈ , y por lo tanto ( )xf es derivable en ( )1,2− . Los valores en los extremos son:
( ) ( ) ( ) ( ) 021121 23 =+−−−−−=af y ( ) ( ) ( ) ( ) 022222 23 =+−−=bf . Por lo tanto; ( ) ( )bfaf = Se determinan los valores donde la derivada se hace cero y:
01430143)(' 22 =−−⇒=−−= xxxxxf
6284
)3(2)1)(3(4)4()4( 2 ±=
−−−±−−=x ⇒
4 28 1.556
4 28 0.226
x
⎧ +≈⎪⎪= ⎨
−⎪ ≈ −⎪⎩
que son los valores para los cuales se cumple el teorema de Rolle.
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
132
5. Determinar si es aplicable el Teorema de Rolle a la función ( )816
24 xxxf −= en el intervalo [ ]2,2− , y en
caso afirmativo, obtener los valores de x donde se satisface. Solución. Para ( )f x debe cumplir con ser continua y derivable en el intervalo; y además, debe cumplir que ( ) ( )f a f b= .
Se trata de una función polinomial por lo que es continua en [ ]2,2− y derivable en ( )2,2− .
( )21
84
16162 =−=−f ; ( )
21
84
16162 =−=f ; Por lo tanto ( ) ( )22 ff =− .
De acuerdo con el teorema de Rolle debe existir por lo menos un valor [ ]2,20 −∈x tal que, ( )0' 0f x = Se deriva la función dada y se iguala a cero:
( ) ( ) ( )3 21' 0 1 0 0, 14
f x x x x x x x= − = ⇒ − = ⇒ = = ±
Como estos valores se encuentran dentro del intervalo, son los que satisfacen el teorema de Rolle.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 6. Determinar si es aplicable el teorema de Rolle a la función dada en el intervalo [ ]ππ 2,2− , en el caso afirmativo, determinar el o los valores de x donde se verifica el teorema. Si no es aplicable explicar por qué no lo es.
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22 xsenxf
Solución. La función ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
22 xsenxf es continua para toda Rx ∈ ; por lo tanto es continua para
[ ]ππ 2,2− .
La derivada es ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2cos
21
2cos2)(' xxxf , en donde ( )xf ' existe para toda Rx ∈ ; por lo tanto
( )xf es derivable en ( )ππ 2,2− . Además:
( ) ( ) ( ) 0022222 ==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=−=
ππ senfaf y ( ) ( ) ( ) 0022
222 ==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==ππ senfbf
por lo tanto: ( ) ( )bfaf = . Se buscan los valores donde la derivada se hace cero:
( ) 02
cos' =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
xxf ⇒ ( )0cos2angx = ⇒ ⎩⎨⎧−
=π
πx
valores para los cuales se cumple el teorema de Rolle.
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
133
7. Investigar si se cumplen las condiciones del teorema de Rolle para la función:
( )⎩⎨⎧
≥−<−
=132122
si xx si xxxf
en el intervalo ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
25,2 ; si es así, determinar el o los valores de x para los cuales se satisface el teorema.
Solución. Las funciones polinomiales son continuas en ; se analiza el punto con 1=x , que es donde podría presentarse discontinuidad; tenemos:
( ) ( ) 13121 −=−=f ; ( ) 132limlim11
−=−=+→→
xxx
y ( ) 12lim 2
1−=−
−→x
x ∴ ( ) ( )1lim
1fxf
x=
→
por lo tanto es continua en el intervalo: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−
25,2 .
Se determina si la función es derivable: Por la izquierda: ( ) ( ) ( )2 ' '2 2 1 2f x x f x x f− −= − ⇒ = ⇒ = Por la derecha: ( ) ( ) ( )' '2 3 2 1 2f x x f x f+ += − ⇒ = ⇒ =
Luego ( ) ( )' 'f x f x+ −= , por lo que es derivable en ; por tanto derivable en el intervalo 52,2
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Para que cumpla con las condiciones del teorema de Rolle se debe cumplir que ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−
252 ff
( ) ( ) 2222 2 =−−=−f y 23252
25
=−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛f ; por lo tanto ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=−
252 ff .
Entonces por el teorema de Rolle, existe ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈
25,2c , tal que; ( ) 0' =cf ; se deriva la función dada y:
( ) 2 1'
2 1x si x
f xsi x
<⎧= ⎨ ≥⎩
; ( ) 002' =⇒== cccf
Por lo tanto, el valor donde la derivada ( ) 0' =cf es en 0=x , que pertenece al intervalo dado.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 8. Dada la función ( ) xxxxf 35 23 −−= verificar que es aplicable el Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial para el intervalo [ ]1, 3 . Solución. Como la función es continua en el intervalo dado y su derivada existe en cualquier punto del intervalo (ya que se trata de una función polinomial), por el teorema del valor medio, existe un valor c en el intervalo dado, tal que:
( ) ( ) ( )'f b f a
f cb a−
=−
, es decir,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 23 1 3 5 3 3 3 1 5 1 3 1 20' 103 1 2 2
f ff c
− − − − + + −= = = = −
−
134
Se deriva la función dada para obtener el valor c que satisface ( )' 10f c = − ;
( ) 2 2 10 100 84' 3 10 3 10 3 10 7 06
f c c c c c c ± −= − − = − ⇒ − + = ⇒ =
1 1 2 210 4 7 10 4 1
6 3 6c c y c c+ −= ⇒ = = ⇒ =
Ambos valores pertenecen al intervalo por lo que en ambos se cumple el torema.
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 9. Investigar si la siguiente función cumple las condiciones del Teorema del Valor Medio del Cálculo Diferencial y en caso afirmativo, decir en qué puntos del intervalo se cumple.
( ) [ ]1 ; 2,5f x x= + − Solución. Se trata de una función algebraica cuya domino está dado por: [ )1 0 1,fx D− ≥ ⇒ = ∞ y, como las funciones algebraicas son continuas en su dominio, entonces es continua en el intervalo [ ]2,5 fD⊂ . También es posible afirmar, dadas las condiciones de la función, que es la parte superior de la parábola
2 1y x= − , que es derivable en el intervalo ( )2,5 . Entonces cumple las condiciones del teorema y debe
existir cuando menos un valor " "α , en el intervalo, para el cual se cumpla que: ( ) ( ) ( )'f b f a
fb a
α−
=−
Se obtienen los valores de α correspondientes a esta expresión:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 13 ; 5 1 2 2 1 13
f b f ab a f b f b y f a f a
b a−
− = = + − ⇒ = = + − ⇒ = ⇒ =−
( ) 1 1 1 9 13' ; 2 1 3 1 3.253 4 42 1 2 1
f α α α αα α
= = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ = =− −
Por lo tanto el teorema se cumple para [ ]3.25 2,5α = ∈
LOS COORDINADORES 10. Determinar para qué puntos la curva definida por ( ) xxxxf 96 23 +−= tiene máximos y/o mínimos, así como el valor de éstos. Solución. Se determinan los valores para los cuales la primera derivada de la función es igual a cero.
( ) 2 2 23 12 9 3 12 9 0 4 3 0f x x x x x x x′ = − + ⇒ − + = ⇒ − + = ( )( ) 13013 21 ==⇒=−− xyxxx
Estos valores se sustituyen en la función original a fin de determinar las coordenadas de los puntos críticos. ( ) ( ) ( ) ( ) 0275427393633 23 =+−=+−=f y ( ) ( ) ( ) ( ) 4961191611 23 =+−=+−=f
Con lo que se tiene: ( ) ( )1 23, 0 1, 4P y P
135
Para cada punto se tomará un valor de x anterior y uno posterior con el fin de ver los cambios de signo en el valor de la derivada. Para 31 =x se toma 2=x y 4=x :
( ) ( ) ( )2' 2 3 2 12 2 9 12 24 9 3f = − + = − + = − y ( ) ( ) ( )2' 4 3 4 12 4 9 48 48 9 9f = − + = − + = Por lo que para ( )1 3, 0P la función tiene un mínimo relativo. Para 12 =x se toma 0=x y 2=x :
( ) ( ) ( )2' 0 3 0 12 0 9 9f = − + = y ( ) ( ) ( )2' 2 3 2 12 2 9 12 24 9 3f = − + = − + = − Por lo que para ( )2 1, 4P la función tiene un máximo relativo.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 11. Determinar, por el método de la primera derivada, los máximos y mínimos de la función:
( )3 2
6 83 2x xf x x= − − −
Solución. Derivando la función dada e igualando a cero para obtener los puntos críticos:
( ) 2' 6f x x x= − − ; ( )( ) 2,302306 212 −==⇒=+−⇒=−− xxxxxx
Para determinar la naturaleza de los puntos críticos, se obtiene el signo de la derivada en el entorno de dichos puntos. Así:
Para 1x 3= ;( )( )
' 2 4 2 6 4' 4 16 4 6 6
ff
= − − = −
= − − = ; por lo que en 1x 3= se tiene un valor mínimo.
Para 2 2x = − ;( )( )
' 3 9 3 6 6' 1 1 1 6 4
ff
− = + − =
− = + − = − ; por lo que en 2 2x = − se tiene un valor máximo.
Para estos puntos críticos la función toma los siguientes valores:
( )2
4381829
3273 −=−−−=f , por lo que el mínimo relativo se encuentra en el punto ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
243,31P .
( )32812
24
382 −=−+−−=−f , por lo que el máximo relativo se encuentra en el punto 2
22,3
P ⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎝ ⎠
.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
12. Para la función ( ) 123 +−+= xxxxf , determinar los extremos absolutos con el criterio de la primera derivada. Trazar la gráfica de la función. Solución. La función dada es continua en todo su dominio; se obtiene su derivada y se iguala a cero para obtener sus puntos críticos:
( ) ( )( )21 2
1' 3 2 1 0 3 1 1 0 , 13
f x x x x x x x= + − = ⇒ − + = ⇒ = = −
Se sustituyen estos valores en la función dada con lo que se obtiene:
136
27221
31
31
31
31 23
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛f ; ( ) ( ) ( ) ( ) 211111 23 =+−−−+−=−f ;
( )
1
2
1 2 2,3 2 7
1, 2
P
P
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠− −
Para ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
2
22
2 ' 2 3 2 2 2 1 7 > 01 ; 1, 2
0 ' 0 3 0 2 0 1 1< 0
x fx P
x f
= − ⇒ − = − + − − == − ∴ − −
= ⇒ = + − = − ( rM , máximo relativo)
Para ( )( ) ( ) ( ) 12
0 ' 0 1< 01 1 22; ,3 3 271 ' 1 3 1 2 1 1 4 > 0
x fx P
x f
= ⇒ = − ⎛ ⎞= ∴ ⎜ ⎟= ⇒ = + − = ⎝ ⎠
( rm , mínimo
relativo)
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 13. Sea la función ( ) ( )( )3 221 −−= xxxf . Determinar los intervalos en que es creciente y decreciente, así como los valores donde hay máximos y mínimos.
y
x
rM
rm
137
Solución. Se deriva la función dada:
( )( )( ) ( )( ) ( )
22 231 2 2 1 2 2
'3
x x x x xf x
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − − − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⇒ ( )
( )( ) ( )
( )( )
2
223
2 1 2 2'
3 1 2
x x xf x
x x
⎡ ⎤− − + −⎣ ⎦=⎡ ⎤− −⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )2 23 3
2 1 2 2 2 2 2' '2 3 1 2 3 1 2
x x x x xf x f xx x x x x
⎡ − + − ⎤ − − + −⎣ ⎦= ⇒ =− − − − −
⇒ ( )( ) ( )23
3 4'3 1 2
xf xx x
−=
− −
Se iguala a cero ( )'f x para obtener los valores críticos:
( )( ) ( )23
3 4' 03 1 2
xf xx x
−= =
− − ; ⇒=⇒=− 43043 xx
34
=x
Si se iguala a cero el denominador, se llegaría a valores donde la derivada no existe, que también puede conducir a puntos críticos y a extremos relativos. Así
( ) ( ) ( ) ( )2 231
3 1 2 0 1 2 02
xx x x x
x=
− − = ⇒ − − = ⇒=
Por lo tanto los puntos críticos son: 234,1 321 === xyxx
Se analizan los intervalos donde la función es creciente o decreciente
Intervalo 43 −x ( )21−x 2−x ( )'f x Creciente o decreciente
( )1,∞− − + − + Creciente 41,3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
− + − + Creciente
4 , 23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
+ + − − Decreciente
( )∞,2 + + + + Creciente
Por lo tanto, la función es creciente en ( )4, 2,3
y⎛ ⎞−∞ ∞⎜ ⎟⎝ ⎠
, y decreciente en 4 , 23
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
Para 1=x la función no tiene máximo ni mínimo.
Para 43
x = la función tiene un máximo relativo en el punto 34 4,
3 3⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Para 2=x la función tiene un mínimo relativo en el punto ( )2,0
ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA
14. Obtener los valores máximos y mínimos de la función ( ) ( )8232
−= xxxf , mediante el criterio de la primera derivada. Trazar la gráfica de la función. Solución. Se deriva la función dada, se iguala a cero o bien se determina para qué valores no existe; se obtiene:
138
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 1 2
23 31 13 3
6 2 82 8 16' 2 8 ' '3 3 3
x x xx x x x f x f xf xx x
− + −⎛ ⎞ −+ − ⇒ = ⇒ == ⎜ ⎟
⎝ ⎠
22
3
8 16 0 8 16 0 23x x x
x−
= ⇒ − = ⇒ = ± ; 2
33
8 16 0 3 0 03x x x
x−
= ⇒ = ⇒ =
Los valores críticos son 1 2 ; 0 ; 2x x x= − = = y sus correspondientes valores de la función son:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12
33 32 2 2 2 8 2 2 2 8 2 6 2 7.56x f f f⎡ ⎤= − ⇒ − = − − − ⇒ − = − ⇒ − = − ≈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
( ) ( ) ( )2
230 0 0 0 8 0 0x f f= ⇒ = − ⇒ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 12
33 32 2 2 2 8 2 2 2 8 2 6 2 7.56x f f f⎡ ⎤= ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − ≈ −⎢ ⎥⎣ ⎦
Se analizan los intervalos siguientes para ver si la función es creciente o decreciente en ellos:
( )2−∞− , ; ( ) ( )( )
( ) ( )2
13
8 8 16 496 248' 8 ' 8 ' 86 33 8
f f f− −
− = ⇒ − = ⇒ − = − ∴−−
es decreciente
( )02,− ( ) ( )( )
( ) ( )2
13
8 1 16 8 8; ' 1 ' 1 ' 13 33 1
f f f− − −
− = ⇒ − = ⇒ − = ∴−−
es creciente
( )20, ( ) ( )( )
( ) ( )2
13
8 1 16 8 8; ' 1 ' 1 ' 13 33 1
f f f− −
= ⇒ = ⇒ = − ∴ es decreciente
( )2 ;, ∞ ( ) ( )( )
( ) ( )2
13
8 8 16 496 248' 8 ' 8 ' 86 33 8
f f f−
= ⇒ = ⇒ = ∴ es creciente
Por lo tanto la función tiene un mínimo relativo en ( )1.414, 7.56− − , un máximo relativo (en forma de pico) en ( )0,0 y un mínimo relativo en ( )1.414, 7.56− .
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
rM
rm rm
139
15. Mediante el criterio de la primera derivada, determinar los máximos y mínimos de la función:
( )4 13 34f x x x= +
Solución. Se deriva la función dada:
( ) ( ) ( )1 2 13 3 3
2 3 23
4 4 4 4 4 4' ' '3 3 3 33
xf x x x f x x f xxx
− += + ⇒ = + ⇒ =
( )3 2
4 4' 0 0 4 4 0 13xf x x x
x+
= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = −
( ) 3 23 2
4 4' ; 3 0 03xf x x x
x+
→ ∞ ⇒ → ∞ = ⇒ =
Por lo que 1 0x y x= − = dan origen a los puntos críticos ( ) ( )1, 3 0,0P y Q− −
Análisis en ( )( )
( )2 ' 2 < 0
1, 3 ; 1, 31 1' > 02 2
r
x fP m
x f
⎧ = − ⇒ −⎪− − ∴ − −⎨ ⎛ ⎞= − ⇒ −⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩
Análisis en ( )( )
1 1' > 02 20,0 ;1 ' 1 > 0
x fQ
x f
⎧ ⎛ ⎞= − ⇒ −⎪ ⎜ ⎟ ∴⎝ ⎠⎨⎪ = ⇒⎩
no hay extremos
Por lo que en ( )3,1 −−P hay un mínimo relativo.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 16. Obtener los valores críticos de la función ( ) cosf β β β= + y determinar si hay un máximo o mínimo absoluto en el valor de 0β = . Solución. Como βcos y β son derivables en { }0− , entonces la función f no es derivable en 0 . Por lo que en ese valor se presenta un punto crítico. La derivada es igual a: Para ( ) ( )0 ; ´ cos ' 1f senβ β β β β> = + = − + Pero para ( ) ( )0 ; ´ cos ' 1f senβ β β β β< = − = − −
De donde ( )' 0 ; 1 0 1 0 1f sen ó sen senβ β β β= − + = − − = ⇒ = ± ∴ 2 ;2
n nπβ π= ± + ∈
Por lo tanto los puntos críticos son: 0 2 ;2
y n nπβ β π= = ± + ∈
Se analiza el signo de la derivada antes y después del valor 0β = y se tiene que:
' < 0 ' > 04 4 4 4
f y fπ π π πβ β⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − ⇒ − = ⇒ ∴⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
mínimo relativo ( )0,1
140
Y como 2 2 >1 ;2 2
f n n nπ ππ π⎛ ⎞± + = ± + ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
, esto demuestra que ( ) 10 =f es un mínimo absoluto.
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
17. Determinar los máximos y mínimos de la función ( )⎩⎨⎧
≤−<−
=θθ
θθθ
38342
sisif .
Solución. Se deriva y se tiene que:
( ) 2 3'
1 3si
fsi
θ θθ
θ<⎧
= ⎨− ≤⎩
Se obtienen los puntos críticos; ' 0f = cuando 0=θ ; por lo tanto, en cero hay un punto crítico de f .
Como ( ) ( )' '3 6 3 1f y f− += = − , ( )' 3f no existe, por lo que en 3θ = hay un punto crítico de f . Se aplica el criterio de la primera derivada y el resultado se resume en la siguiente tabla.
Intervalo y puntos ( )f θ ( )'f θ Característica ( ),0−∞ − Decreciente
0θ = 4− 0 Mínimo local ( )0, 4−
( )0,3 + Creciente 3θ = 5 No existe Máximo local ( )3,5
( )3,∞ − Decreciente
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 18. Determinar los valores extremos absolutos de la función ( ) 23121 ααα −+=f en el intervalo [ ]4,1− . Solución. La función f es derivable en { }0− , porque α no es derivable en 0=α . Esto demuestra que 0 es un valor crítico. También 1 4y− son valores críticos porque son puntos extremos del intervalo, donde pudiera presentarse un máximo o un mínimo absoluto. La derivada está dada por:
( ) ( ) ( ) ( )2 2' 1 12 3 ' 12 6 0 ' 1 12 3 ' 12 6 0f si y f siα α α α α α α α α α= + − = − > = − − = − − < de donde 22 21 =−= αα y El conjunto de valores críticos es { }2,4,1,0 − , porque 2− está excluido del dominio dado de f . Se evalúa la función en cada punto crítico y: ( ) ( ) ( ) ( )0 1 ; 1 10 ; 4 1 2 13f f f y f= − = = =
Por lo tanto se tiene el máximo absoluto en ( )2,13 y los mínimos absolutos en ( ) ( )0,1 4,1y .
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
141
19. Determinar los máximos y mínimos de la función ( ) 2 2 3f x x x= − − . Graficar los resultados obtenidos. Solución. Cabe recordar cómo se calcula la derivada de la función valor absoluto. Considérese la función siguiente:
( ) 2 22
; ; dy u du dy u duy u u f x u u y udx dx dx u dxu
= = = ⇒ = ⇒ = ∴ =
Si se aplica esto a la función dada, entonces la derivada está dada por:
( ) ( ) ( )( )( )2
2
12 3' 2 2 ; 1 3 2 2 0 12 3 3
xx xf x x x x x xx x x
= −⎧− − ⎪= − + − − = ⇒ =⎨− − ⎪ =⎩
( ) ( ) ( )1 1 0 ; 1 1 4 ; 3 3 0x f x f x f= − ⇒ − = = ⇒ = = ⇒ = Luego, los puntos críticos son: ( ) ( ) ( )1,0 ; 1,4 ; 3,0− Se utiliza el criterio de la primera derivada para analizar la naturaleza de los puntos críticos y se llega a:
Para ( )( )
2 ' 2 <01 ;
0 ' 0 >0x f
xx f
⎧ = − ⇒ −⎪= − ∴⎨ = ⇒⎪⎩mínimo relativo ( )1,0−
Para ( )( )
0 ' 0 >01 ;
2 ' 2 <0x f
xx f
⎧ = ⇒⎪= ∴⎨ = ⇒⎪⎩Máximo relativo ( )1,4
Para ( )( )
2 ' 2 <03 ;
4 ' 4 >0x f
xx f
⎧ = ⇒⎪= ∴⎨ = ⇒⎪⎩mínimo relativo ( )3,0
La gráfica de la función con los extremos se muestra a continuación:
LOS COORDINADORES 20. Para la función definida por ( ) 3 2 1f x x x= − + , obtener los puntos críticos y determinar la naturaleza de los mismos.
y
x
( )1,4Mr
( )1,0mr − ( )3,0mr
142
Solución. Se deriva la función y se iguala a cero:
( ) ( )21 2
2' 3 2 0 3 2 0 03
f x x x x x x y x= − = ⇒ − = ⇒ = =
Se evalúan los valores encontrados en la función dada:
( ) 3 20 0 0 1 1f = − + = y 3 22 2 2 1 0.85185
3 3 3f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Por lo cual, los puntos críticos son: ( )1 220, 1 , 0.851853
P y P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
Por el criterio de la segunda derivada se tiene: ( )'' 6 2f x x= −
( ) ( )'' 0 6 0 2 2 0f = − = − < , por lo tanto, en el punto ( )1 0, 1P se tiene un valor máximo. 2 2'' 6 2 2 03 3
f ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
, por lo tanto, para el punto 22 , 0.851853
P ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
se tiene un valor mínimo.
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA
21. Para la función definida por ( ) 4 28 7f x x x= − + , obtener los puntos críticos, así como los máximos y mínimos relativos, mediante el criterio de la segunda derivada. Solución. Se deriva la función y se iguala a cero:
( ) ( ) ( )( )3 3 2' 4 16 0 4 0 4 0 2 2 0f x x x x x x x x x x= − = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ + − = Los valores de x que anulan la derivada son:
1 2 32 ; 0 ; 2x x x= − = = Se evalúan en la función dada obteniendo:
( ) ( ) ( )4 22 2 8 2 7 9f − = − − − + = − ; ( ) ( )240 0 8 0 7 7f = − + = ; ( ) ( )242 2 8 2 7 9f = − + = − Por lo tanto, los puntos críticos son: ( ) ( ) ( )1 2 32, 9 ; 0, 7 2, 9P P y P− − − Por el criterio de la segunda derivada se tiene:
( ) 2'' 12 16f x x= − Entonces: ( ) ( )2'' 2 12 2 16 32 0f − = − − = > ∴ el punto ( )1 2, 9P − − corresponde a un mínimo relativo.
( ) ( )2'' 0 12 0 16 16 0f = − = − < ∴ el punto ( )2 0, 7P corresponde a un máximo relativo.
( ) ( )2'' 2 12 2 16 32 0f = − = > ∴ el punto ( )3 2, 9P − corresponde a un mínimo relativo.
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA 22. Sea ( ) 2 412 2f x x x= + − . Usar el criterio de la segunda derivada para determinar los máximos y mínimos relativos de f .
143
Solución. Se obtienen la primera y segunda derivadas y:
( ) ( )3 2' 4 4 4 1f x x x x x= − = − Y ( ) ( )2 2'' 4 12 4 1 3f x x x= − = − Se emplea la expresión de 'f para obtener los valores críticos que resultan ser: 0 , 1 y 1− . Los valores de ''f en estos números son:
( )'' 0 4 0f = > ; ( )'' 1 8 0f = − < ; ( )'' 1 8 0f − = − < Los valores correspondientes de la función son ( )0 12f = , ( )1 13f = y ( )1 13f − = . Por el criterio de la segunda derivada, la función tiene un mínimo relativo en ( )0,12 y dos máximos relativos en
( ) ( )1,13 1,13y − .
ALUMNA: DANIELA IVETTE GARCÍA RUBÍ 23. Obtener los máximos y mínimos de la función con el criterio de la segunda derivada.
( ) cosf x senx senx x= +
Solución. Derivando la función dada:
( ) ( )( ) ( )( ) 2 2' cos cos cos cos cosf x x senx senx x x x sen x x= + − + = − +
( ) ( )2 2 2' cos 1 cos cos 2cos cos 1f x x x x x x= − − + = + +
( ) 2' 0 2cos cos 1 0f x x x= ⇒ + + = Realizando el cambio de variable cosu x= :
( )( )2 1 1 4 2 1 1 32 1 04 4
u u u− ± − − − ±
+ − = ⇒ = = ; 1 21 12
u y u= = −
con 11 1 cos 2 2 3
u x x π= ⇒ = ⇒ = y con 2 1 1 cos u x x π= − ⇒ − = ⇒ = .
Sustituyendo los valores de x en la función para obtener sus correspondientes ordenadas, tenemos:
3 3 1 3 3cos3 3 3 3 2 2 2 4
f sen senπ π π π⎛ ⎞ = + = + =⎜ ⎟⎝ ⎠
, el punto crítico es 13 3,
3 4P π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
.
( ) cos 0f sen senπ π π π= + = , el punto crítico es ( )2 , 0P π
Por el criterio de la segunda derivada:
( ) ( ) ( )'' 4cos 4cos 4cos 1f x x sen x sen x xsen x sen x sen x x= − − = − − = − + Evaluando los puntos críticos en la segunda derivada:
3 1 3 3'' 4 cos 1 4 1 03 3 3 2 2 2
f senπ π π ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + = <⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠, se trata de un valor máximo.
144
( ) ( )'' 4 cos 1 0f senπ π π= − + = , por lo tanto se tiene un posible punto de inflexión, no es máximo ni mínimo.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 24. Determinar, por el método de la segunda derivada, los máximos y mínimos de la función dada y graficarla:
( )8232
−= xxy Solución. Se obtiene la primera y segunda derivada de la función:
8 2 5 1 2 43 3 3 3 3 38 16 40 168 ; ' ''
3 3 9 9y x x y x x y y x x
− −= − = − = +
Para determinar los puntos críticos, se hace 0y'= ; 25 2
311 133 3
8 16 0 2 28 16 8 160 0 ;3 3 0 03 3
x x y xxxx xx x
⎧ − = ⇒ = − =− ⎪− = ⇒ = ⎨⎪ = ⇒ =⎩
Los valores de la función para estos resultados son los siguientes:
Para ( ) ( )8 23 32 1.4142 8 1.4142 2.52 10.08 7.56x y= − ⇒ = − − − = − = −
Para ( ) ( )8 23 32 1.4142 8 1.4142 2.52 10.08 7.56x y= ⇒ = − = − = −
Por el criterio de la segunda derivada:
( ) ( )( )
23
43
40 16'' 2 1.4142 5.6 1.12 6.72 09 9 1.4142
y = + = + = > ∴ se trata de un mínimo.
( ) ( )( )
23
43
40 16'' 2 1.4142 5.6 1.12 6.72 09 9 1.4142
y − = − + = + = > ∴−
se trata de un mínimo.
Para el caso en que 0x = , y' y 'y' no existen. Se utiliza el método de la primera derivada y:
Para 81 '3
x y= − ⇒ = (positivo) y para 81 '3
x y= ⇒ = − (negativo)
Luego en 0x = se tiene un máximo relativo en forma de “pico”. Por lo que su gráfica es:
145
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
25. Obtener dos números positivos cuya suma sea 120 , de tal manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo. Solución. El producto 2P ab= debe ser máximo. De los datos del problema se tiene: 120=+ ba ⇒ ba −= 120 Se sustituye el valor de " "a en el producto, se deriva éste y se iguala a cero, de donde:
( ) ( )2 2 3 2 0120 120 ; 240 3 ; 3 80 0
80bdPP b b P b b b b b b
db b=⎧
= − ⇒ = − = − − = ⎨ =⎩
El valor de 0b = no tiene sentido ya que el producto es nulo, luego, para el valor 80b = , la segunda derivada y su signo son:
( )2 2
2 280
240 6 ; 240 6 80 240<0b
d P d Pbdb db
=
= − = − = − ∴ máximo relativo
Por lo tanto: 4012080 =−=⇒= bab
ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 26. La reacción a dos drogas como función del tiempo (horas) está dada por:
( ) ( ) xx xexRyxexR 2
21−− ==
Determinar cuál tiene la reacción máxima.
rm rm
x
rM
y
146
Solución. Para ( ) xxexR −=1 , se obtienen las dos primeras derivadas y: ( )1 ' x xR x xe e− −= − + = ( )1xe x− −
( ) ( )1 '' 1 x xR x x e e− −= − − − = ( )[ ]11 +−− − xe x = ( )xe x −− − 2 Se iguala la primera derivada a cero para obtener los puntos críticos
(1 ) 0 1xe x x− − = ⇒ = se sustituye ese valor en la segunda derivada y se tiene que:
( ) ( )11 '' 1 2 1 0.36788R e−= − − = − valor que como es negativo se concluye que hay un máximo
Para ( ) xxexR 2
2−= , derivando se obtiene:
( ) 2 22 ' 2 x xR x xe e− −= − + ( )2 'R x⇒ = )21(2 xe x −−
( ) ( ) ( )2 22 2'' 2 1 2 2 ''x xR x x e e R x− −= − − − ⇒ = ( )[ ]1212 2 +−− − xe x ( )2 ''R x⇒ = )44(2 −− xe x
Se iguala la primera derivada a cero para obtener los puntos críticos
( )2 1 2 0xe x− − =12
x⇒ =
Se sustituye ese valor en la segunda derivada y se tiene que:
( )12
1'' 2 4 0.735762
R e−⎛ ⎞ = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
valor que como es negativo se concluye que hay un máximo
Se evalúan ( ) ( )1 2R x y R x en sus respectivos valores obtenidos y se llega a:
( ) ( )12
1 21 2
1 1 1 11 1 1 ;2 2 2
R e R R ee e
⎛ ⎞− ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎛ ⎞= ⋅ ⇒ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Por lo tanto 1R tiene la reacción máxima
ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 27. Una empresa de computadoras calcula que el costo semanal de producir x computadoras personales, está dado por ( ) 500803 23 +−−= xxxxC . Cada computadora producida se vende en 2,800 dólares. Determinar la producción mensual que rendirá las máximas utilidades y la mayor ganancia posible por semana. Solución. Los ingresos están dados por la función ( ) 2800G x x= y la función de utilidades U está dada por la diferencia entre los ingresos y los costos ( ) ( ) ( )xCxGxU −= Es decir ( ) ( )3 2 3 22800 3 80 500 3 2880 500U x x x x x x x x= − − − + = − + + − Al derivar la función de utilidades se obtendrán los puntos críticos de U para obtener la ganancia máxima, por lo que se tiene:
( ) 2' 3 6 2880U x x x= − + + Ahora se iguala la derivada a cero para obtener los puntos críticos:
( ) ( )2' 3 2 960 0U x x x= − − − = ; ( )( )2 2 960 32 30 0x x x x− − = − + = Los puntos son 301 −=x y 322 =x . Se toma el resultado positivo debido a que el negativo no es posible. Se evalúa el resultado en la segunda derivada para verificar que efectivamente es el máximo:
( )'' 6 6U x x= − + , al evaluar resulta que: ( )'' 32 176U = −
147
Dado que el resultado es negativo se confirma que se tiene un máximo. Las 32 computadoras que se producen semanalmente hacen que se obtenga la siguiente máxima ganancia por semana: ( )32 61,964U = Dólares. Pero la producción mensual deberá de ser cuatro veces la semanal, por lo que se tiene una producción de 128 computadoras personales al mes
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ 28. Se quiere construir una caja cuadrada, de acuerdo al diseño mostrado, Determinar cuánto debe medir cada corte para que el volumen de la caja sea máximo.
Solución. De la figura mostrada se tiene que el volumen de la caja es:
( ) ( ) ( )( )2 2 2 310 2 100 40 4 100 40 4V x x V x x x V x x x= − ⇒ = − + ⇒ = − + Se deriva y se iguala acero:
( )( )2 2 2' 12 80 100 12 80 100 0 3 20 25 5 3 5 0V x x x x x x x x= − + ⇒ − + = ⇒ − + = − − =
Por lo tanto 1 2553
x y x= =
Se calcula la segunda derivada de V y se sustituyen los valores de x para determinar su naturaleza: ( )'' 24 80 ; '' 5 40>0V x V= − = ∴ mínimo relativo. No es el valor buscado.
5 5'' 24 80 40<03 3
V ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − ∴⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
máximo relativo (volumen máximo).
Por lo tanto 53
x cm= debe medir cada corte para que el volumen de la caja sea máximo
ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA 29. Se debe construir un recipiente metálico en forma de cilindro circular recto, con 364 cm de volumen. Calcular sus dimensiones para que la cantidad de metal requerido para su construcción sea mínima: )a para el recipiente sin tapa y )b para el recipiente con tapa. Solución. A continuación se muestra el modelo geométrico:
10 cm
10 cm
x
x
148
)a Recipiente sin tapa: hrV 2π= ⇒ 22
64rr
Vhππ
==
El área de la lata sin tapa, que es la cantidad de material, es igual a: hrrA ππ 22 += Se sustituye el valor de h , se tiene que:
2 22
64 1282A r r A rr r
π π ππ
⎛ ⎞= + ⇒ = +⎜ ⎟⎝ ⎠
Para obtener el área mínima, que equivale a cantidad mínima de material, se deriva con respecto a r y se iguala a cero. Así,
2128' 2A rr
π= − ⇒3
22 128' 0rA
rπ −
= = ⇒ 7311.2=r y ( )
7311.27311.264
2 ==π
h
Para este valor de " "r , la derivada segunda determina la naturaleza. Así: ( ) ( )( )2 2 3 4
4 4 2.7311
6 2 128 2 2 256'' '' ; '' >0r
r r r r r rA A Ar r
π π π=
− − += ⇒ = ∴
mínimo relativo 2.73112.7311
r cmh cm=⎧
⎨ =⎩
)b Para el recipiente con tapa: hrV 2π= 2 264;Vh h
r rπ π⇒ = =
El área de la lata con tapa es igual 22 2A r r hπ π= + Se sustituye h y se tiene que:
( )2 22
64 1282 2 ' 2A r r A rr r
π π ππ
= + ⇒ = +
Se deriva con respecto a r y se iguala a cero:
2128' 4A rr
π= − ⇒3
24 128' 0rA
rπ −
= = ; 1677.2=r y ( )
3354.41677.264
2 ==π
h
La segunda derivada es: ( ) ( )( )2 2 3 4
4 4 2.1677
12 4 128 2 4 256'' '' ; '' >0r
r r r r r rA A Ar r
π π π=
− − += ⇒ = ∴
mínimo relativo 2.16774.3354
r cmh cm=⎧
⎨ =⎩
ALUMNA: IRENE MONTSERRAT RUBALCABA
r
h
149
30. Se desea construir una caja de 3108 dm de volumen sin tapa y de base cuadrada. Determinar las dimensiones que debe de tener dicha caja para que la cantidad de material ocupado en su construcción sea mínima.
Solución. Primero se debe determinar la función a minimizar; en este caso será la función que define el área total de las caras de la caja. El área de la base queda definida por: 2xAbase = Ahora se determinará el área de una de las caras de la caja. Primero se necesita el valor de la altura y en función del lado de la base x .
222 108
xxVyyxV ==⇒= ;
xxxAcara
1081082 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Finalmente el área de la caja es:
( ) ( )x
xxAx
xAAxA TcarabaseT43210844 22 +=⇒⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=+=
A continuación se busca el valor de x para el cual la función anterior es mínima:
( ) ⇒=⇒=⇒=−⇒−=′2
4324322043224322 3222 x
xx
xx
xxxAT dmx 62163 ==
Ahora se verificará si este valor corresponde a un mínimo:
( ) ( )( )
( ) 066422168642
6864268642 33 >′′⇒=+=+=+=′′⇒+=′′ TTT AA
xxA
Por lo tanto con dmx 6= se tiene el área mínima. Ahora se obtendrá el valor de y .
( )dmy 3
36108
6108
2 ===
Con lo cual el área mínima es de: ( ) 22min 1087236
64326 dmAT =+=+=
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
xx
y
150
31. Los puntos A y B están en la riveras opuestas de un rió de km3 de ancho. El punto C esta en la misma rivera que B , pero 4 km a la derecha de B . Telmex quiere tender cable telefónico de A a C , pero es 50 % más caro el cable que va por debajo del agua que el superficial. Determinar la ruta más económica, así como el precio total del cableado si el cable que va por debajo del agua cuesta $200,000 por km y $100,000 el superficial.
Solución. De los datos que proporciona el problema se tiene que: P será el punto de la rivera donde el cable pasa de acuático a superficial y estará a x km de B , y a ( )4 x km− de C . El costo ( )xC del cable está dado por:
( ) ( )2200000 9 100000 4C x x x= + + −
Al derivar se encuentra que: ( )2
200000' 1000009
xC xx
= −+
Se iguala la derivada a cero para determinar los puntos críticos: 2 2
2
200000 100000 0 200000 100000 9 2 99
x x x x xx
− = ⇒ = + ⇒ = ++
2 2 2 2 22 9 4 9 3 9 3x x x x x x= + ⇒ = + ⇒ = ⇒ = Por lo tanto los puntos críticos están en:
1 23 1.732 3 1.732x y x= = − − La respuesta negativa no daría sentido al problema, por lo tanto en 1 1.732x se tendrá el mínimo costo que es de:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )21.73 200000 9 1.73 100000 4 1.73 200000 3.463 100000 2.27C = + + − = + ∴ ( ) $ 919,600C x Por lo tanto el puntoP esta a 1.73 km de B , y el costo del cableado será de $ 919,600 aproximadamente.
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 32. Un campo rectangular a la orilla del río debe ser cercado. Del lado del río no es necesaria ninguna reja pero de su lado opuesto la reja cuesta 120$ por metro. En los lados perpendiculares al río cuesta sólo 80$ por
A
B C
3
x P4
151
metro. Si se tienen 000,36$ pesos y se nos dice que todo lo que cerquemos será nuestro, determinar el máximo terreno rectangular que podemos cercar con ese dinero.
Solución. Sea " "x el lado perpendicular al río y " "y el lado paralelo al río, el área del terreno está dada por: A xy=
El costo de la cerca es: xxyyxx34300
12016036000360001208080 −=
−=⇒=++ . Se sustituye el valor
de y en la ecuación del área y se tiene que: ( ) 2
34300
34300 xxxxxA −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
Hay que determinar el valor para el cual el área es máxima, por lo tanto se deriva la expresión del área y se
iguala a cero, de donde: ( ) 8 8 900' 300 0 300 112.53 3 8
A x x x x m= − = ⇒ = ⇒ = = , valor que
pertenece al punto crítico. Y como la segunda derivada es: ( ) 8'' <03
A x = − , entonces el, área es máxima.
Con lo cual 4 900300 300 150 1503 8
y ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠
.
El terreno que se puede cercar es de 112.5 150m m× y un área de ( )( ) 2168751505.112 mÁrea ==
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ 33. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en un círculo de cm5 de radio. Solución. Obsérvese la siguiente figura:
Si x es la base del rectángulo, su altura y es igual a: 2100y x= −
x
y10
y
x x
152
Por lo que su área está dada por 2100A x x= − , que será la función ( )f x que se pretende maximizar. Luego
( ) 2100f x x x= − ; ( ) ( )2
22 2
100 2' 100 ´100 100
x xf x x x f xx x
− −= + − ⇒ =
− −
( ) 2' 0 100 2 0 5 2 7.07f x x x= ⇒ − = ⇒ = ± ≈ ±
( ) 2' 100 0 10f x x x→∞ ⇒ − = ⇒ = ± Con los valores negativos no tiene sentido trabajar y con el valor de 10 no hay rectángulo, luego, con el valor
7.07x ≈ se tiene el área máxima. Para verificar esto, se evalúa la derivada antes y después del valor. Así: 07.725 ==x
cuando ,25<x 1002 2 <x y ( )xf ´ es positiva. cuando ,25>x 1002 2 >x y ( )xf ´ es negativa
Puesto que el signo de la derivada cambia de −+ a , la función tiene un valor máximo
( ) ( ) ( )25 2 5 2 100 5 2 50f = − = por lo tanto, las dimensiones de este rectángulo de área máxima son:
5 2 7.07 5 2 7.07x cm y y cm= ≈ = ≈ , con lo cual dicho rectángulo es en realidad un cuadrado.
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 34. Calcular las dimensiones del rectángulo de área máxima que se encuentra inscrito en la región limitada por la parábola 212 xy −= y el eje de las abscisas, si se sabe que uno de los lados se encuentra alojado en dicho eje y los vértices del lado paralelo están sobre la parábola. Solución. En la figura se observa un rectángulo inscrito en la parábola.
De los datos del problema se sabe que ⇒−= 212 xy 2 ( 12)x y= − − es una parábola vertical que abre hacia abajo y cuyo vértice es ( )12,0V . El área del rectángulo está dada por 2A xy= ; como; 212y x= − , se sustituye en la expresión del área y se llega a: ( )2 32 12 24 2A x x A x x= − ⇒ = − Se deriva con respecto a x y se iguala a cero:
2 224 6 ; 6 24 2 8dA x x x y ydx
= − = ⇒ = ± =
y
x
212y x= −
( ),x y
2
12
2−
1532
2 12d A xdx
= − ⇒2
22
12(2) 24x
d Adx
=
= − = − por lo tanto es un máximo.
Dimensiones del rectángulo de área máxima: 2 4base x u= = y 8altura u= El área máxima es: 2
max 32)8(4 uA == ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO
35. Se requiere construir un recipiente cilíndrico circular recto que tenga un volumen de 324 cmπ , de tal manera que su costo sea mínimo. Se sabe que el recipiente no tiene tapa y el costo del material de la base es 3 veces mayor que el material del cuerpo. Determinar las dimensiones del recipiente y decir cuál será su costo mínimo si el material del cuerpo cuesta 2$ 2 / cm .
Solución. Tenemos los siguientes datos: 3 224 $ 2 /c CV π cm y C cm= = El costo total es el costo de las piezas multiplicado por sus respectivas áreas: ( ) 22 2 6TC r h rπ π= + De la expresión del volumen de un cilindro circular recto, se tiene que:
22 2
24 2424r h h hr rππ π
π= ⇒ = ⇒ =
resultado que se sustituye en el costo y: ( ) ( ) 2 22
24 962 2 6 6TC r r r rr r
ππ π π= + = +
Se deriva la ecuación del costo para obtener los valores críticos y empleando el criterio de la segunda derivada para determinar su naturaleza, tenemos:
( )3
32 2
96 96 12' 12 0 0 12 96 2TrC r r r r
r rπ π ππ π π− +
= − + = ⇒ = ⇒ = ∴ =
( ) ( )3192'' 12 ; 2 '' 2 0TC r r C
rπ π= + = ⇒ > ∴ Costo mínimo
De donde 24 64
h = =
Luego las dimensiones del recipiente son 2 6r cm y h cm= =
y el costo mínimo: min
96( ) 6 4 48 24 72 $ 226.192T TC r Cπ π π π π= + ⋅ = + ⇒ = ≈
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
36. Una cuerda de cm60 de largo se va a partir en dos trozos. Una de las partes va a doblarse en forma de circunferencia y la otra en forma de triángulo equilátero. Determinar cómo se debe cortar la cuerda para que la
r
h
154
suma de las áreas del círculo y del triángulo que se forman se máxima, y cómo se debe cortar para que sea mínima. Solución. Se denotará a " "x como el pedazo de cuerda que corresponde a la circunferencia, por lo tanto la otra parte será de longitud x−60 , la cual corresponde al triángulo equilátero.
Para obtener el área de la circunferencia se tiene que el perímetro es igual a: xr =π2 , de donde:
π2xr =
por lo que el área queda como: ππ
ππ42
222 xxrAC =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛==
Para obtener el área del triángulo se tiene que el perímetro es igual a: xs −= 603 , donde: 3
60 xs −=
por fórmula se tiene que: ( )2
223 3 60 3 604 4 3 36t t
xA s A x−⎛ ⎞= = ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
Entonces la suma de las áreas es: ( )22
6036
34
xxAT −+=π
Se deriva esta suma, se iguala a cero para obtener los puntos críticos:
( )3 1 3 10 3' 60 ; ' 02 18 2 18 3T TxA x A xπ π
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − = + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∴
3103
22.611 3
2 18
x
π
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= ≈
⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Se obtiene la segunda derivada y se evalúa en el valor crítico obtenido: '' 1 3
2 18TAπ
= + ; como siempre es positiva, el punto critico es un mínimo.
Para que la suma de las áreas sea mínima 22.61x cm= y el otro pedazo de cuerda debe ser de 37.39 cm , para el triángulo. Luego, la suma mínima de las áreas es:
( ) ( )2
2 222.61 3 60 22.61 40.681 67.262 107.9434 36T T TA A A cmπ
= + − ⇒ = + ∴ ≈
A debe alcanzar su máximo valor en la frontera al no haber otros número críticos. Si 0=x , entonces la cuerda se usa para formar un triangulo
22 21.173)60(36
3 cmA ==
y si 60=x toda la cuerda se usa para formar una circunferencia
2xrπ
= 60
3x−
603
x−
603
x−
155
2 21 (60) 286.484
A cmπ
= = que conduciría al valor máximo, es decir,
2286.48 0 286.48T TA A cm= + ∴ ≈
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ
37. Algunas aves vuelan más lento sobre agua que sobre tierra. Un ave vuela con velocidades constantes de
hkm /6 sobre agua y de hkm /10 sobre tierra. Emplear la información de la figura para determinar la trayectoria que debe seguir el ave a fin de minimizar el tiempo total de vuelo entre la playa de una isla y su nido situado en la playa de otra isla.
Solución. La distancia recorrida por el ave que se mueve a velocidad constante en función del tiempo está dada
por la relación vtd = , de donde se obtiene que vdt = .
El tiempo de vuelo entre la playa y el nido está dado por tmT ttt += , en donde Tt es el tiempo total, mt es el tiempo que vuela sobre el mar y tt el tiempo que vuela sobre la tierra.
A partir de la figura se tiene que: 29 xdm += y xdt −= 20 Se sustituyen las distancias y los valores dados de velocidad sobre el agua y sobre la tierra en la función del tiempo y:
⇒+=t
t
m
mT v
dvdt
1020
69 2 xxtT
−+
+=
Se deriva la función del tiempo con respecto a la variable x y se iguala a cero:
2
1106 9
Tdt xdx x
= −+
; 222
9610101
960
101
96xx
xx
xx
+=⇒=+
⇒=−+
( ) ( )222 935 xx += ⇒ ( )22 9925 xx += ⇒ 49
16818116 2 ±==⇒= xx
3 km
20 km
x
156
Como no puede haber distancias negativas, la distancia x buscada es 9 2.254
x km= =
Se sustituye el resultado anterior para obtener las distancias sobre el agua y sobre la tierra,
( )29 2.25md = + ⇒ 3.75md km= y 20 2.25td = − ⇒ 17.75td km= Con la segunda derivada se verificaría que se trata de un tiempo mínimo.
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS 38. Determinar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en el triángulo de la figura:
Solución. La función a maximizar es xyA = Se deja dicha función en términos de una sola variable. Con el teorema de Pitágoras se obtiene la altura " "h del triángulo
6366410064100 2 ==−=⇒+= hh Por medio de triángulos semejantes se tiene que:
6 3 3 48 324 4 48 3 88 4 2 88 8
2 2
y y xx y x y yx x−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =− −
Así la función queda:
( ) ( ) ( ) xxxAxxxAxxxA 683
8348
8348 2
2
+−=⇒−
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
Ahora se obtiene el valor de x para el cual la función es máxima.
( ) 3 3 3' 6 6 0 6 84 4 4
A x x x x x= − + ⇒ − + = ⇒ = ⇒ =
Se comprueba si este valor corresponde a un máximo.
( ) ( )3'' '' 8 02
A x A= − ⇒ <
Por lo tanto con 8=x se tiene el área máxima.
Ahora se obtiene el valor de y, que equivale a: ( ) 38
248
24488
8348==
−=
−=y
Con lo cual el área máxima es: ( )( ) 2max 8 3 24A u= =
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
10 10
16
xy
157
39. Determinar el radio r y la altura h del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto cuyo radio de la base es 30 cm y su altura 50 cm . Solución. Para determinar la función volumen del cilindro, que relacione a las variables y a los datos, se analiza la siguiente figura.
Por triángulos semejantes se tiene que: ( )50 5 30
30 30 3h h r
r= ⇒ = −
−
Se sustituye este valor en la expresión del volumen del cilindro y tenemos: 2
CV r hπ= ⇒ ( ) ( )2 3
2 25 5 530 30 503 3 3C C C
r rV r r V r V rπ ππ π⎡ ⎤= − ⇒ = − ⇒ = −⎢ ⎥⎣ ⎦
Se deriva la función del volumen del cilindro con respecto al radio r y se iguala a cero, de donde: 25100 rr
drdVC ππ −= ; ⇒=− 05100 2rr ππ ( ) ⇒=− 05100 rrπ ( ) 05100 =− rr
las dos soluciones posibles son: 0=r y ⇒=− 05100 r 205
100==r
La primera solución se descarta, ya que si el radio del cilindro fuera igual a cero el volumen del cilindro sería también igual a cero, es decir, que no habría cilindro. Luego 20r cm= es el radio que hace máximo el volumen del cilindro. Para obtener la altura del cilindro se utiliza la función que relacionaba ambas variables:
( ) ( )5 5 5030 ; 30 20 16.673 3 3
h r h h= − = − ⇒ = ≈
Para verificar si este volumen es máximo, se obtiene 2
2d Vdr
y se determina su signo. Así:
2 2
2 220
100 10 ; 100 0C C
r
d V d Vrdr dr
π π π=
= − = − < ∴ volumen máximo
ALUMNO: EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS
h
r 30
50
158
40. Estudiar la variación de la función ( ) 11xy 3 +−= . Solución. Intersecciones. Para determinar las intersecciones de la curva que representa a la gráfica de la función con cada uno de los ejes coordenados, se hace cero por separado cada una de las variables. Así se tiene:
i) Con el eje y : ⇒= 0x 0=y ∴ Corta al eje y en el origen ii) Con el eje x : ⇒= 0y 0=x ∴ Corta al eje x en el origen
Simetrías. Para estudiar la posible simetría de la curva con respecto a cada uno de los ejes coordenados o con respecto al origen, se sustituyen las variables x y y por x− y y− y si la función no se altera, entonces existe simetría. Así,
i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene ( ) 11 3 +−=− xy Como se altera la función, no hay simetría.
ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene ( ) 11 3 +−−= xy Como se altera la función, no hay simetría.
iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene ( ) 11 3 +−−=− xy Como se altera la función, no hay simetría.
Asíntotas. Estas, si existen, se determinan de la siguiente forma:
i) Asíntotas verticales. No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x que haga que el límite de la función no exista.
ii) Asíntotas horizontales. No tiene, ya que el límite de la función, cuando la variable x tiende a infinito, no existe.
Extensión. Aquí, lo que se hace es despejar cada una de las variables y determinar el dominio de la función obtenida. De esta manera
i) Extensión en x : ( ) 11 3 +−= xy x⇒ ∈ ii) Extensión en y : De la función, se puede ver que y∈ .
Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
Se obtienen la primera y la segunda derivadas. De esta forma se tiene que
( ) 11 3 +−= xy ; ( )23 1dy xdx
= − ; ( )23 1 0 1x x− = ⇒ = (Valor crítico)
( )162
2
−= xdx
yd ; ( ) 1016 =⇒=− xx (Posible punto de inflexión)
Ahora se construye la tabla:
x y 'y ''y Característica ( )1,∞− creciente + −
1=x P. de Inflexión 0 0 P.I ( )1,1 ( )∞,1 creciente + +
De la tabla se puede apreciar que la curva es creciente en el intervalo ( )∞∞− , ; es cóncava hacia abajo en el intervalo ( )1,∞− , y cóncava hacia arriba en ( )∞,1 . No se tienen máximos ni mínimos relativos. Finalmente, tiene un punto de inflexión en ( )1,1 .
159
Representación gráfica.
Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 41. Estudiar la variación de la función 422 xxy −= . Solución. Intersecciones.
i) Con el eje y : ⇒= 0x 0=y ∴ Corta al eje y en el origen
ii) Con el eje x : ( )4 2 2 2
20 2 0 2 0 0
2
xy x x x x x
x
⎧ = −⎪
= ⇒ − = ⇒ − = ⇒ =⎨⎪ =⎩
(donde corta al eje x)
Simetrías. i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 422 xxy −=−
Como se altera la función, no hay simetría. ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 422 xxy −=
Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al eje y . iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 422 xxy −=−
Como se altera la función, no hay simetría. Asíntotas.
i) Asíntotas verticales: No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x y que haga que el límite de la función no exista.
( )1,1PI
x
y
160
ii) Asíntotas horizontales: No tiene, ya que el límite de la función, cuando la variable tiende a infinito, no existe.
Extensión. i) Extensión en x : ⇒−= 422 xxy x∈ iii) Extensión en y : De la función, se puede ver que y∈ .
Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
42 xx2y −= ; 3x4x4dxdy
−= ; ( )3 24 4 0 4 1 0x x x x− = ⇒ − = ⇒1
01
xxx
= −⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
(puntos críticos)
22
2
124 xdx
yd−= ; 2 2
14 34 12 0
12 13
xx x
x
⎧= −⎪⎪− = ⇒ = ⇒ ⎨
⎪ =⎪⎩
(posibles puntos de inflexión)
Ahora se construye la tabla:
x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( )1, −∞− creciente + −
1−=x máximo 0 − M.r. ( )1,1−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−3
1,1 decreciente − −
31
−=x P. de inflexión 0 P.I.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 5556.0,3
1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 0,3
1 decreciente − +
0=x mínimo 0 + m.r. ( )0,0
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3
1,0 creciente + +
31
=x P. de inflexión 0 P.I.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 5556.0,3
1
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 1,3
1 creciente + −
1=x máximo 0 − M.r. ( )1,1
( )∞,1 decreciente − −
De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en los intervalos ( )1, −∞− y ( )1,0 ; decreciente en los intervalos ( )0,1− y ( )∞,1 . Es cóncava hacia abajo en los intervalos
161
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −∞−3
1, y ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∞,3
1 , y cóncava hacia arriba en ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−3
1,3
1 . Tiene dos máximos relativos en
( )1,1− y ( )1,1 y un mínimo relativo en ( )0,0 . Finalmente tiene dos puntos de inflexión en ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 5556.0,3
1 y
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 5556.0,3
1 .
Representación gráfica. Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
42. Estudiar la variación de la función 1x
1y 2 −= .
Solución. Intersecciones.
Con el eje y : 10 −=⇒= yx Con el eje x : 0=y ∴ No hay intersección
Simetrías.
Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 1x
1y 2 −=−
Como se altera la función, no hay simetría.
Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 1x
1y 2 −=
Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al eje y .
x
yMr
MrPIPI
mr
162
Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 1x
1y 2 −=−
Como se altera la función, no hay simetría. Asíntotas.
Asíntotas verticales. 1,101 212 −==⇒=− xxx . Estas dos rectas son asíntotas verticales ya
que 2 21 1
1 1lim lim1 1x x
yx x→− →
→∞ →∞− −
(no existen)
Asíntotas horizontales. Se obtiene el límite 01x
1lim 2x=
−∞→
por lo que la recta 0=y es una asíntota horizontal de la función. Extensión.
Extensión en x : { }21 1, 1
1y x
x= ⇒ ∈ − −
−
Extensión en y :
2 1yx y− = ( ]1 1, 0yx yy+
= ⇒ ∈ − −
Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
Se obtienen la primera y la segunda derivadas.
1x1y 2 −
= ; ( )22 1x
x2dxdy
−
−= ; 0x2 =− y ( ) 1,1,001 321
22 =−==⇒=− xxxx
( )32
2
2
2
1x2x6
dxyd
−
+= ; ( ) 1,101 21
32 =−=⇒=− xxx
Se construye la tabla correspondiente
x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( ), 1−∞ − creciente + +
1−=x Asíntota ( )0,1− creciente + −
0=x máximo 0 − M.r. ( )1,0 − ( )1,0 decreciente − −
1=x Asíntota ( )∞,1 decreciente − +
De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en el intervalo ( )0,∞− ; decreciente en el intervalo ( )∞,0 . Es cóncava hacia abajo en el intervalo ( )1,1− y cóncava hacia arriba en ( )1, −∞− y ( )∞,1 , y tiene un máximo relativo en ( )1,0 − .
Representación gráfica.
Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.
163
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
43. Estudiar la variación de la función 1
42 +
=x
xy .
Solución. Intersecciones.
i) Con el eje y : 00 =⇒= yx ∴ Corta al eje y en el origen ii) Con el eje x : 00 =⇒= xy ∴ Corta al eje x en el origen
Simetrías.
i) Simetría con el eje x : Se cambia y por y− . Se tiene 1
42 +
=−x
xy
Como se altera la función, no hay simetría.
ii) Simetría con el eje y : Se cambia x por x− . Se tiene 1
42 +−
=x
xy
Como se altera la función, no hay simetría.
iii) Simetría con el origen: Se cambia x por x− y y por y− . Se tiene 1
42 +
=x
xy
Como no se altera la función, la curva es simétrica con respecto al origen. Asíntotas.
i) Asíntotas verticales. No tiene, ya que no existe ningún valor real al cual tienda x y que haga que el límite de la función no exista.
ii) Asíntotas horizontales. Se obtiene el límite 01
4lim 2 =+∞→ xx
x por lo que la recta 0=y es una asíntota
horizontal de la función. Extensión. Aquí, se despeja cada una de las variables y se determina el dominio de la función obtenida. De esta manera:
i) Extensión en x : 24
1xy x
x= ⇒ ∈
+
y
x Mr1− 1
164
ii) Extensión en y : 042 =+− yxyx ⇒ y2
y4164x
2−±=
⇒≥− 0416 2y 24 0y− ≥ ⇒ ( )( )2 2 0y y− + ≥ 2 0 2
2 22 0 22 0 2
no tiene2 0 2
y yy
y yy yy y
− ≥ ⇒ ≤∴ − ≤ ≤
+ ≥ ⇒ ≥ −− ≤ ⇒ ≥
∴+ ≤ ⇒ ≤ −
Por lo tanto, [ ]2,2y ∈ − . y por el denominador, 0y ≠ Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
Se obtienen la primera y la segunda derivadas; de esta forma se tiene: ( ) ( )
( )
2
22 2
4 1 4 24 ;1 1
x x xx dyyx dx x
+ −= =
+ + ; ( )
( )22
2
114+
−=
xx
dxdy ; ( )21 0 1 ; 1x x x− = ⇒ = = −
( ) ( ) ( )( )( ) ( )
22 2 22 2 3
4 32 22 2
8 1 4 1 2 1 2 8 241 1
x x x x xd y d y x xdx dxx x
− + − − + −= ⇒ =
+ + ;
( )3 28 24 0 8 3 0 0 ; 3 ; 3x x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ = = = − Ahora se construye la tabla correspondiente
x y 'y ''y CARACTERÍSTICA ( )3, −∞− decreciente − −
3−=x P. de inflexión 0 P.I. ( )3,3 −− ( )1,3 −− decreciente − +
1−=x mínimo 0 + m.r. ( )2,1 −− ( )0,1− creciente + +
0=x P. de inflexión 0 P.I. ( )0,0 ( )1,0 creciente + −
1=x máximo 0 − M.r. ( )2,1 ( )3,1 decreciente − −
3=x P. de inflexión 0 P.I. ( )3,3 ( )∞,3 decreciente − +
De la tabla se puede decir que la curva que representa a la función dada es creciente en los intervalos ( )1,1− ; decreciente en los intervalos ( )1, −∞− y ( )∞,1 . Es cóncava hacia abajo en los intervalos ( )3, −∞− y ( )3,0 , y cóncava hacia arriba en ( )0,3− y ( )∞,3 . Tiene un máximo relativo en ( )2,1 y un mínimo relativo en ( )2,1 −− . Finalmente tiene tres puntos de inflexión en ( )3,3 −− , ( )0,0 y ( )3,3 .
a) Representación gráfica. Con la información obtenida en los puntos anteriores se procede al trazo aproximado de la gráfica.
165
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE 44. Estudiar y analizar la variación de la función:
12
2
−=
xxy
Solución. Intersecciones.
Con el eje y : 00 =⇒= yx Con el eje x : 00 =⇒= xy
Simetrías.
Simetría con el eje x : ⇒−→ yy12
2
−=−
xxy ∴ no hay simetría
Simetría con el eje y : ⇒−→ xx12
2
−=
xxy ∴ sí hay simetría
Simetría con el origen: ,xx −→ ⇒−→ yy12
2
−=−
xxy ∴ no hay simetría
Asíntotas.
Asíntotas verticales: 2
21
1lim1 0x
xx=
= → ∞−
y 2
21
1lim1 0x
xx→ −
= → ∞−
Por lo tanto 11 −== xy x son asíntotas verticales Asíntotas horizontales.
2
2 2
22
2 2
1lim lim 111 1 0x x
xx x
xxx x
→∞ →∞= = =
− +− por lo que 1=y es una asíntota horizontal.
PI
PI
PI
mr
Mr
x
y
166
Extensión.
Extensión con el eje x ; 12
2
−=
xxy , por lo tanto { }1, 1x∈ − −
a) Extensión con el eje y
1
01
222
2
−±=⇒=−−⇒
−=
yyxxyyx
xxy ⇒ 0
11≥
−⇒
−±=
yy
yyx
Por lo tanto ( ] ( )∞∪∞−∈ ,10,y Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
Se deriva la función y se obtienen los puntos críticos: ( )( ) ( )( )
( ) ( )
2 2
2 22 2
1 2 2 21 1
x x x xdy dy xdx dxx x
− − −= ⇒ =
− − ;
( )00
12
22=⇒=
−
− xx
x
( ) 10101 222 ±=⇒=−⇒=− xxx Se evalúan los puntos críticos en la ecuación original:
( ) ( )( )
010
00 2
2
=−
=y y, como ya se determinó, en 1 1x y x= − = no hay valor de la función ya que
se presentan asíntotas verticales. Se obtiene la segunda derivada y redeterminan los posibles puntos de inflexión:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
22 22 2 2 2 2 2
4 3 32 2 22 2 2
1 2 2 2 1 2 2 2 8 6 21 1 1
x x x xd y d y x x d y xdx dx dxx x x
− − + ⋅ − − + + += ⇒ = ⇒ =
− − −
No existen valores reales que anulen la segunda derivada, por lo que no hay puntos de inflexión. Tabla:
x y 'y ''y Característica ( )1, −∞− Creciente + +
1x = − Asíntota vertical
( )1, 0− Creciente + −
0 x = − Mr ( )0,0 ( )1,0 Decreciente − −
x 1= Asíntota vertical
( )∞,1 Decreciente − +
Representación gráfica.
167
ALUMNO: HUGO MENDIETA PACHECO 45. Estudiar la variación de la siguiente función:
42
3
−=
xxy
Solución. Intersecciones.
Con el eje y : 00 =⇒= yx ∴ corta al eje y en el origen. Con el eje x : 00y =⇒= x ∴ corta al eje x en el origen.
Simetrías.
Con el eje x : 42
3
−=−
xxy , por lo que no hay simetría.
Con el eje y : 42
3
−−=
xxy , por lo que no hay simetría
Con el origen: 42
3
−=
xxy , por lo que sí hay simetría con el origen.
Asíntotas.
Asíntotas verticales: ⎩⎨⎧
=−=
⇒=−22
042
12
xx
x ; 3 3
2 22 2lim lim
4 4x x
x xyx x→− →
→ ∞ →∞− −
por lo que las asíntotas verticales son: 2 2x y x= − = .
Asíntotas horizontales: 3
2lim4x
xx→∞
→∞−
(no existe) ∴ no tiene asíntotas horizontales.
Mr
11−
1
168
Extensión.
Extensión en x : { }3
2 2,24
xy xx
= ⇒ ∈ − −−
.
Extensión en y : R∈y Extremos relativos, puntos de inflexión y concavidad.
Se obtiene la primera y segunda derivada de la función:
( )( ) ( )( ) ( )
2 2 3 4 2 4
2 22 2
4 3 2 3 12 2' '4 4
x x x x x x xy yx x
− − − −= ⇒ =
− − ⇒
( )( )
( )( )
2 22 2
2 22 2
12 012'
4 4 0
x xx xy
x x
⎧ − =− ⎪= ⇒ ⎨− − =⎪⎩
Por lo que hay puntos críticos en: 12 3.46 ; 0 ; 12 3.46x x x= − ≈ − = = ≈ ; en 2 2x y x= − = hay asíntotas verticales.
Se deriva nuevamente para obtener los posibles puntos de inflexión:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
22 3 4 2 2 5 3 3 5 3
4 32 2
4 4 24 12 2 4 2 4 16 24 96 4 48'' ''4 4
x x x x x x x x x x x x xy yx x
− − − − − − − + − += ⇒ =
− −
( )( )
32
32
3.468 96'' ; 8 12 0 0
4 3.46
xx xy x x xx x
≈ −⎧+ ⎪= + = ⇒ =⎨− ⎪ ≈⎩
(posibles puntos de inflexión)
Ahora se construye la tabla:
x y 'y ''y Características
( )3 46, .−∞ − creciente + − Cóncava hacia abajo
3.46x = − Máximo 0 − Mr
( )3.46, 5.18− −
( )3 46, 2.− − decreciente − − Cóncava hacia abajo
2−=x Asíntota ( )0,2− decreciente − + Cóncava hacia
arriba 0=x Punto de Inflexión 0 0 P. I. ( )0,0
( )2,0 decreciente − − Cóncava hacia abajo
2=x Asíntota ( )2, 3.46 decreciente − − Cóncava hacia
abajo 3.46x = Mínimo 0 + mr ( )3.46, 5.18
( )3.46, ∞ Creciente + + Cóncava hacia arriba
La gráfica aproximada de la función es:
169
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
PI
Mr
mr
170
SUCESIONES Y SERIES 1. Escribir los 5 primeros términos y el décimo de la siguiente sucesión
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−− +
131
21
nnn
Solución. Para determinar los términos sólo se sustituye n por el término que se busca, es decir, se sustituye n por: 105,43,2,1 y .
⇒= 1n ( ) ( ) 21
11311
211 =
−− +
⇒= 2n ( ) ( ) 54
12321
212 −=
−− +
⇒= 3n ( ) ( ) 89
13331
213 =
−− +
⇒= 4n ( ) ( ) 1116
14341
214 −=
−− +
⇒= 5n ( ) ( ) 1425
15351
215 =
−− +
⇒= 10n ( ) ( ) 29100
1103101
2110 −=
−− +
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ
2. Determinar si converge o diverge la siguiente sucesión:
21 4
nn
⎧ ⎫⎨ ⎬−⎩ ⎭
Solución. Se tiene que { } 21 4n
nan
⎧ ⎫= ⎨ ⎬−⎩ ⎭ . Se calcula el límite del término enésimo:
2lim1 4n
nn→∞
∞=
− −∞ (indeterminado)
22 2 2 1lim lim lim1 4 11 4 4 24n n n
nn n
nnn n n
→∞ →∞ →∞= = = − = −
− − −
Por lo tanto, la sucesión { }na converge a 12
− .
LOS COORDINADORES
171
3. Determinar si la sucesión { } 11nan
⎧ ⎫= +⎨ ⎬⎩ ⎭
converge o diverge
Solución. Para que una sucesión sea convergente debe existir su límite cuando ∞→n , es decir:
1011lim1lim11limlim =+=+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
∞→∞→∞→∞→ nna
nnnnn
Por lo tanto la sucesión converge al valor 1 .
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 4. Determinar si las siguientes sucesiones convergen o divergen.
( ){ } ( ){ }2 2
21 3 2 7 6) ; )
2 2 4 5 1n n ni f n ii f n
n n n n⎧ ⎫ ⎧ ⎫+ − +
= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬− +⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Solución. Si ( )lim
nf n L
→∞= ∈ , entonces la sucesión es convergente y converge al valor L . Si el límite no
existe, entonces la sucesión es divergente.
( ){ }2 1)2
ni f nn
⎧ ⎫+= ⎨ ⎬⎩ ⎭
; ( )
2
2 2 2 2
2
1 111 1 0 1lim lim lim lim2 22 0 0n n n n
nn n n nf n nn
n n→∞ →∞ →∞ →∞
+ ++ += = = = = → ∞
Como el límite no existe entonces la sucesión diverge.
( ){ }2
23 2 7 6)
2 4 5 1n nii f n
n n n⎧ ⎫− +
= +⎨ ⎬− +⎩ ⎭ ; ( )
154672lim
23lim
154672
23limlim 2
2
2
2
+−+−
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−+−
+=∞→∞→∞→∞→ nn
nnnnn
nnn
nfnnnn
( )21
0040020154
672lim
2
3
lim154
672
lim2
3
limlim2
2
222
2
222
2
=+−+−
+=+−
+−+=
+−
+−+=
∞→∞→∞→∞→∞→
nn
nnn
nnn
nn
nnn
nn
nnnnf
nnnnn
Por lo tanto, la sucesión converge al valor 21 .
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
5. Determinar la naturaleza de la siguiente sucesión:
{ }2
63
3 58 7
nncn
⎧ ⎫−= ⎨ ⎬
+⎩ ⎭
Solución. Se investiga si existe el límite y en caso afirmativo su valor:
1722
63
3 5lim8 7n
nn→ ∞
− ∞=∞+
(indeterminado)
2
2 2 2 2 2
36 6 63 333
62 6 6
3 5 5 53 33 5 3 3lim lim lim lim27 88 7 8 7 8 7 8
n n n n
nn n n n nn n n
nn n n
→∞ →∞ →∞ →∞
− − −−= = = = =
+ + ++
Luego, la sucesión converge al valor de 32
.
LOS COORDINADORES
6. Dada la sucesión 21n
, determinar su naturaleza, dar sus primeros diez términos y determinar si es acotada.
Solución. Primero se determinará si existe el límite de dicha sucesión:
011lim 2 =∞
=∞→ nn
Como existe el límite la sucesión es convergente al valor 0 . Se desarrollan los primeros términos de la sucesión y tenemos:
1 1 1 1 1 1 1 1 11, , , , , , , , ,4 9 16 25 36 49 64 81 100
Con esto se observa que la sucesión es monótona decreciente También se observa que la sucesión es acotada inferiormente por 0 y superiormente por 1 ; por lo tanto la sucesión es acotada.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
7. Dada la sucesión 12 +n
n , determinar si es convergente o divergente, dar sus primeros diez términos e
investigar si es acotada. Solución. Se determina si existe el límite de dicha sucesión:
21
12
112
1lim12lim12
lim =
∞+
=+
=+
=+ ∞→∞→∞→
nnnn
nn
nn
nnn
Sí existe el límite, por lo tanto la sucesión es convergente al valor 21 .
Se desarrollan los primeros términos de la sucesión y se tiene que: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10, , , , , , , , ,3 5 7 9 11 13 1 5 17 19 21
Se observa que la sucesión es monótona creciente.
173
También se ve que la sucesión es acotada inferiormente por 31 y superiormente por
21 , por lo que es
acotada.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 8. Determinar el término enésimo de la sucesión que tiene como primeros cinco términos los siguientes:
1 7 2 5 7 9 2 4 1, , , ,1 2 6 2 4 1 2 0
− −
Solución. Aquí se trata de realizar ejercicios numéricos hasta lograr la fórmula que define a los términos de la sucesión. En este caso, se ve que los numeradores equivalen a 3 2n − y los denominadores son producto de
!n . Luego la sucesión queda definida como:
( ) 1 3 21!
nn
n− −
−
LOS COORDINADORES
9. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:
1
1 01 0 1n
nn
∞
=
++∑
Solución. Cuando se presenten este tipo de series, en ocasiones es conveniente separarla para proceder a su análisis:
∑∑∞
=
∞
= ++
+ 11 11010
110 nn nnn
Si se calcula el límite del término enésimo de la primera, se obtiene que: 1lim 010 1 10n
nn→∞
= ≠+
; por lo tanto
es divergente. Por lo que, independientemente del carácter de la segunda, la serie en estudio es divergente.
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES 10. Demostrar que las siguientes dos series son divergentes:
2
21
1 5 10 17) 24 9 16n
nin
∞
=
+= + + + +∑ K y 1
1) ( 1) 3 3 3 3 3 3 3n
nii
∞+
=
− = − + − + − +∑ K
Solución. Se obtiene en ambas series el límite del término enésimo cuando ∞→n y se llega a:
174
nnu
∞→lim = 2
2 1limn
nn
+∞→
2
2 2
2
2
1limn
nn n
nn
→ ∞
+= 01 ≠= y nn
u∞→
lim ( )lim 3 3 0n→∞
= = ≠
Como en ambos casos el límite es diferente de cero, por la prueba de la divergencia se concluye que las series son divergentes.
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 11. Aplicar la prueba de la divergencia a cada una de las siguientes series y determinar si son divergentes:
21 1 1 1
1 1) ; ) ; ) ; )2 1
n
n n n n
n ei ii iii ivn n nn
∞ ∞ ∞ ∞
= = = =+∑ ∑ ∑ ∑
Solución. Se obtiene el límite del término enésimo na . Tenemos:
1) lim 02 1 2n
nin→∞
= ≠+
, por lo que la serie diverge.
21) lim 0
nii
n→∞= , luego el criterio no decide, por lo que la serie puede ser convergente o divergente.
1) lim 0n
iiin→∞= , luego el criterio no decide, por lo que la serie puede ser convergente o divergente.
) limn
n
eivn→∞
→ ∞ , por lo que la serie diverge.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
12. A partir de la prueba de la divergencia, determinar si la siguiente serie es divergente:
3
31 1n
nn
∞
= +∑
Solución. Como el límite del término enésimo de la serie es:
3
3 3
33
33 3
1 1lim lim lim 1 0111 11n n n
nn n
nnnn n
→∞ →∞ →∞= = = = ≠
+ ++
Por lo tanto, la serie es divergente ya que el límite de su término enésimo es diferente de cero.
LOS COORDINADORES
175
13. Demostrar que la serie infinita ( )∑∞
=
−−1
11n
n es divergente.
Solución. Si se desarrolla la serie queda como: ( ) ( ) ( ) ...11...1111 +−+++−++−+ . Se obtienen las sumas parciales y se llega a:
1 2 3 41 ; 1 1 0 ; 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 0S S S S= = − = = − + = = − + − = L Nótese que 1=kS si k es impar y 0=kS si k es par. Como la sucesión de sumas parciales { }nS oscila entre 0 y 1, resulta que nn
S∞→
lim no existe y por lo tanto, la serie infinita diverge.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
14. Determinar si la serie 1
12 n
n
∞
=∑ es convergente o divergente.
Solución. Se obtienen algunos términos de la sucesión de sumas parciales:
21
1 =S ; 43
41
21
2 =+=S ; 87
81
41
21
3 =++=S ; 1615
161
81
41
21
4 =+++=S
Después se obtiene una función que describa el comportamiento de los resultados anteriores:
n
n
nS2
12 −= que equivale a la suma parcial enésima. Se obtiene el límite de la función anterior cuando
n→∞ :
1211lim
212lim =−=
−∞→∞→ nnn
n
n
Como el límite existe se asegura que la serie es convergente y que el resultado de su suma es 1.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS 15. Para la serie dada, obtener los primeros cuatro términos de la sucesión de sumas parciales y determinar una expresión para la suma parcial enésima nS . Analizar el carácter de la serie.
( )1
11n n n
∞
= +∑
Solución. Los primeros cuatro términos de la sucesión { }ns son:
1 2 3 41 1 1 2 1 1 1 3 1 1 1 1 4; ; ;2 2 6 3 2 6 12 4 2 6 12 20 5
S S S S= = + = = + + = = + + + =
Se descompone el término enésimo en fracciones racionales como sigue:
( ) ( ) 0 11 1 1 11 1 1 1
A B AA B A n Bn An A Bnn n n n A B
+ = =⎧ ⎧= + ⇒ = + + ⇒ = + + ⇒ ∴⎨ ⎨+ + = = −⎩ ⎩
Luego
( )1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 2 2 3 3 4 1n nn n n n n n
∞ ∞
= =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ L L
176
Como se observa es una serie telescópica y en el desarrollo de sus sumandos se ve que su suma parcial
enésima y el límite de ésta son 11 ; lim lim 11 1 1 1n n n n
n n nS Sn n n n→∞ →∞
= − ⇒ = = =+ + + +
Por lo tanto la serie es convergente al valor 1 .
ALUMNA: IRENE RUBALCABA MONTSERRAT 16. Para la serie dada, identificar qué tipo de serie es, determinar su carácter y, en caso de ser convergente, calcular su suma.
( )( )1
12 1 2 3n n n
∞
= + +∑
Solución. Se procede a descomponer esta expresión en la suma de dos fracciones racionales, con el siguiente procedimiento:
( )( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 12 1 2 3 2 1 2 3
A B A n B nn n n n
= + ⇒ = + + ++ + + +
10 2 2 2 2 0 21 2 3 2 4 21 3 6 2 2 1
2
AA B A BAn A Bn B A
A B A B B
⎧ =⎪= + + =⎧ ⎪= + + + ⇒ ⇒ ⇒ − = − ∴⎨ ⎨= + − − = −⎩ ⎪ = −⎪⎩
Luego, algunos términos de la serie son: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 23 5 5 7 7 9 9 11 2 1 2 3n n
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
− + − + − + − + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
L L
El segundo sumando de cada término se cancela con el primero del siguiente por lo que la suma parcial enésima " "nS es igual a la suma del primer sumando del primer término más el segundo del término enésimo. Así, se llega a:
( )
1 11 1 4 6 6 42 2
3 2 3 6 4 6 6 4 6 24 36 6 9n n n n nn n nS S S S S
n n n n n+ −
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = ∴ =+ + + + +
Se trata de una “serie telescópica” convergente cuya suma es:
1 1lim lim lim lim6 9 96 9 66nn n n n
nn nS S nn
n n n→∞ →∞ →∞ →∞
= = = = =+ + +
LOS COORDINADORES
177
17. Determinar el carácter de la serie 11
43 n
n
∞
−=∑ .
Solución. La serie se puede rescribir como 1
1 314
−∞
=∑ ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
nnS y se observa que es una serie geométrica de la
forma 1
1
n
na r
∞−
=∑ donde 4=a y
31
=r . Como 1<r entonces la serie es convergente.
El valor de la suma está dado por 62
12
324
311
41
===−
=−
=r
aS n .
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
18. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.
13 33 ...4 4 n −+ + +
Solución. Algunos de sus términos son:
2 3
2 3 4
2
3 3 33 3 3 3 1 1 14 4 43 ; ; ;3 34 4 4 4 3 4 4 4
4 4
S = + + + + = = =
Es la serie geométrica 11
34 n
n
∞
−=∑ con 13 1
4a y r= = < y por lo tanto es convergente. Su suma es:
3 3S 41 31 14 4
a S Sr
= ⇒ = ⇒ = =− −
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
19. Probar que la serie cuyos primeros términos son los siguientes, es geométrica y calcular su suma:
5 5 5 52 4 8 16+ + + +L
Solución. Si se divide cada término entre el inmediato anterior se tiene que;
5 551 1 18 164 ; ;5 5 52 2 2
2 4 8
= = =
178
por lo que se trata de una serie geométrica con su razón 1 52 2
r y a= = . Como 1 12
r = < ∴ se trata
de una serie convergente y su suma es igual a: 5 52 2; ; 51 11 1
2 2
aS S S Sr
= = = ∴ =− −
LOS COORDINADORES
20. Demostrar que la siguiente serie converge y calcular su suma.
2 3 12 2 2 22 ...3 3 3 3 n−+ + + + +
Solución. Si se divide cada término entre el inmediato anterior, se tiene que:
2 3
2
2 2 21 1 13 3 3; ;2 22 3 3 3
3 3
= = = L
por lo que la serie es una serie geométrica con 2=a y 131<=r , entonces la serie es convergente y su
suma está dada por: 2 2 31 21 1
3 3
aS Sr
= ⇒ = = =− −
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
21. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.
( ) ( )1
37 370 37 0.0037 0.000037100 100n n
n.
∞
=
= + + + +∑ L L
Solución. Se divide cada término entre el anterior y: 0.0037 0.0000370.01 0.01
0.37 0.0037= ⇒ =
La serie converge por que es una serie geométrica con r 0.01 1 = < y 37.0a = . La suma es 0.37 0.37 37S
1 1 0.01 0.99 99a
r= = = =
− −
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
179
22. Determinar la suma de la siguiente serie geométrica
...1000
5100
5105
+++
Solución. La serie se puede expresar también como
...1000
5100
5105
101
105
0+++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∑
∞
=
n
n
Se trata de una serie geométrica cuya razón es 1 110
r = < y por lo tanto convergente. Como 510
a = ,
entonces su suma es 5 5
510 101 91 91
10 10
aS S S Sr
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =− −
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
23. Verificar que se cumpla lo siguiente
32....666666666.0 =
Solución. El número anterior se puede expresar como
...1000
6100
6106...666666666.0 +++=
que a su vez, se puede expresar como;
...1000
6100
6106
101
106
0+++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∑
∞
=
n
n
que es una serie geométrica con 6 1 110 10
a y r= = < ; por lo tanto convergente. Su suma entonces es:
1aS
r=
− ⇒
6 66 210 10
1 9 9 3110 10
S S S= ⇒ = ⇒ = =−
ALUMNA: RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE
24. Determinar la fracción que representa el número racional 2.351. Solución. Este decimal periódico se puede expresar como una serie de la siguiente forma:
23 51 51 51 51 ...10 1 000 100 000 10 000 000 1 000 000 000
+ + + + +
la cual, después del primer término, tiene la forma de una serie geométrica
180
∑∞
=
−− +++++=1
1321 ...n
nn ararararaar , con r dado por:
251 51
1 1100 000 10 000 000;51 51100 1001 000 100 000
ar arr ra ar= ⇒ = = = ⇒ =
luego 51 1 11000 100
a y r= = < por lo que es convergente y su suma está dada por:
51 51511000 1000
1 99 9901100 100
S S S= ⇒ = ⇒ =−
Así que 23 51 23 17 759 17 776 3882.351 2.35110 990 10 330 330 330 165
+= + = + = = ∴ =
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
25. Mediante la serie geométrica convergente 2 4 67 7 7
10 10 10+ + +L y su suma " "S , expresar como
un cociente de enteros el decimal periódico 0.070707... Solución. Para conocer la razón de la serie geométrica dada se hace lo siguiente:
4 6
2 2 2
2 4
7 71 1 110 10; 17 710 10 10
10 10
r= = ∴ = < (convergente) . Además, 27
1 0a =
La suma " "S de la serie que representa al decimal periódico dado como un cociente de enteros es entonces:
2
2
77 7100.070707... 0.070707...11 99 991
10
aSr
= = = = ∴ =− −
LOS COORDINADORES
26. Determinar si la siguiente serie diverge o converge.
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
1
151
nn n
Solución. Esta serie se puede separar como {
21
1
1
151
Serien
Serie
nn n∑∑
∞
=
∞
=
+321
181
Se tiene que la serie 1 es una serie geométrica convergente con 11 15
a y r= = < , y la serie 2 es una serie
armónica divergente. Por lo tanto la suma de ambas da como resultado una serie divergente.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO
27. El tercer término de una serie geométrica es 4
63 y el sexto es 32
1701 . Calcular el quinto término.
Solución. Como esta es una serie geométrica, su enésimo término se determina por la expresión 1−= n
n ara . Así,
3 1 2 6 1 53 6a ar ar y a ar ar− −= = = =
con los valores conocidos para estos dos términos, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones.:
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
5
2
3217014
63
ar
ar ;
23
827
46332
17013
2
5
=⇒=⇒= rrarar
Se sustituye el valor de r en la primera ecuación, 2
463 ar= , se obtiene: 7
23
463 2
=⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= aa
Por lo tanto el enésimo término de esta serie es: 1
237
−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
n
na
De donde el quinto término es: 16
567237
15
5 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
−
a
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO
28. Una pelota se suelta desde m16 de altura. Cada vez que llega al suelo rebota 81.0 de la altura anterior. Determinar cuánto recorre la pelota hasta detenerse. Solución. Cada vez que la pelota bota recorre el 0.81 de la distancia anterior, esto es: Después del primer rebote la pelota alcanza una altura de: 81.016 ⋅=d Después del segundo rebote la pelota alcanza una altura de: ( ) 81.081.016 ⋅⋅=d Después del tercer rebote la pelota alcanza una altura de: ( ) 81.081.081.016 ⋅⋅⋅=d Por lo tanto sólo se multiplica n veces por 0.81 ; esto equivale a elevarlo a la enésima potencia.
( )1 6 0 .8 1 nd = Además, se debe sumar al total cada nueva parte de la serie, por lo tanto:
( )0
1 6 0 .8 1 n
nd
∞
=
= ∑
Como se puede apreciar, se tiene una serie geométrica con 16 0.81 1a y r= = < por lo que es convergente. Su suma es toda la longitud que recorre la pelota, esto es:
182
( )1
1616 0.81 84.211 1 0.81
n
n
ad S d mr
∞
=
= = = ⇒ = =− −∑
que es la respuesta buscada. ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES
29. Determinar el carácter de la serie 31
1n n
∞
=∑ .
Solución. La serie anterior es una serie " "p de la forma ∑∞
=
=1n
pn nkS donde 1=k y 3=p .
Como 1>p la serie es convergente.
ALUMNO: BOGDAD ROBERTO C. ESPINOSA VARGAS
30. Determinar si la serie n
S 5...5
54
53
52
55 ++++++= converge o diverge.
Solución. La serie dada es una serie “ p ” con 121<=p , por lo tanto es divergente.
ALUMNO: RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN
31. Determinar si la siguiente serie infinita converge o diverge.
3 33
7 7 772 3
sn
= + + + + +L L
Solución. De acuerdo con las series tipo p , se tiene que ∑∞
= 13
1n n
, es divergente ya que 131<=p .
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA
32. Determinar si las siguientes series convergen o divergen:
1 1
1 3) ; )2 5 1n
n ni ii
n
∞ ∞
= =+ −∑ ∑
Solución. Se aplica el criterio de comparación en las dos series y se tiene que:
1
1 1 1 1) ; 1 ;2 5 2 5 5 5
n
n n nn
i n∞
=
⎛ ⎞∀ ≥ < = ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠∑
183
Como 1
15
n
n
∞
=
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ es una serie geométrica convergente con 1 15
r = <
Por lo tanto, la serie en estudio es convergente.
11 2
3 3 1 1) ; 2 ;1 1n
ii nn n n n
∞
=
∀ ≥ > =− −
∑
Como 11 2
1n n
∞
=∑ es una serie " "p divergente con 1 1
2p = <
Por lo tanto, la serie en estudio es divergente.
ALUMNO: RAFAEL LIMA GUERRERO 33. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:
1
1 12n n n
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠∑
Solución. Se analizan los sumandos como dos series por separado:
∑∑∞
=
∞
= −−
11 211
nn nn
El primer sumando corresponde a la serie armónica divergente y para el segundo se utiliza el criterio de comparación, de donde:
1 12n n>
−
entonces la serie 1
12n n
∞
= −∑ es una serie divergente ya que su término enésimo es mayor al de la serie
armónica divergente. Este tipo de series al llegar a valores muy grandes el sumando " 2"− no resulta significativo, por lo que es una resta que tiende a cero. Por lo anterior se puede asegurar que llega a un límite y que por lo tanto la serie
1
1 12n n n
∞
=
⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠∑ es convergente.
ALUMNO: ALEJANDRO FÉLIX REYES
34. Determinar el carácter de la siguiente serie, mediante el criterio de comparación:
31
11n n
∞
= +∑
Solución. La serie 31 2
1n n
∞
=∑ es una serie " "p , con 3 1
2p = > , por lo que es convergente.
184
Si se compara su término enésimo con el de la serie en estudio, se tiene que:
33 3 32
1 1 1 11 1n n n n< ⇒ <
+ +
Como los términos de la serie 3
1
11n n
∞
= +∑ son menores que los de la serie 3
1 2
1n n
∞
=∑ ; entonces, la
suma de la primera serie es menor que la suma de la segunda y si ésta última es convergente, entonces la primera también será convergente.
LOS COORDINADORES 35. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie, mediante el criterio de comparación:
1
12 n
n n
∞
=∑
Solución. La serie 1
12 n
n
∞
=∑ es una serie geométrica con 1 1
2r = < y por lo tanto convergente. Si se
comparan los términos enésimos, se llega a: 1 12 2n nn
<
Dado que el término 12 n es mayor que el término 1
2 nn , entonces la serie en estudio es convergente.
LOS COORDINADORES
36. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie mediante el criterio de la comparación:
1
l nn
nn
∞
=∑
Solución. Si se compara su término enésimo con el correspondiente de la serie armónica divergente 1
1n n
∞
=∑ se
tiene que: ln 1nn n
> ; entonces la suma de la serie en estudio es mayor que la suma de la serie armónica y
como ésta es divergente, entonces la serie estudiada es divergente.
LOS COORDINADORES
185
37. Determinar la convergencia o divergencia de la siguiente serie, mediante el criterio del límite de la comparación:
1
12 1n n
∞
= −∑
Solución. Si se compara esta serie con la serie armónica divergente, 1
1n n
∞
=∑ , se llega a:
112 1lim lim 01 2 1 2n n
nnn
n→∞ →∞
− = = >−
por lo tanto la serie en estudio es divergente.
LOS COORDINADORES 38. Determinar la naturaleza de la siguiente serie a partir del criterio del límite del cociente de la comparación:
1
12 n
n n
∞
= −∑
Solución. Si se compara con la serie 1
12 n
n
∞
=∑ , que es una serie geométrica convergente con 1 1
2r = < ,
se obtiene: 1
22lim lim 1 01 22
nn
nn nn
nn→∞ →∞
− = = >−
, por lo tanto la serie dada es convergente.
LOS COORDINADORES
39. Investigar la naturaleza de la siguiente serie, a través del límite del cociente de la comparación:
1
12 6n
n
∞
= +∑
Solución. La serie 1
12 n
n
∞
=∑ es una serie geométrica cuya razón 1 1
2r = < , por lo que es convergente. Y
si se calcula el límite l i m nn
n
ab→ ∞
, se tiene que:
186
1 22 1 12 6 2lim lim lim lim 1 01 62 62 6 11
2 22 2
n
nn n
nnn n n nn nn n
→∞ →∞ →∞ →∞
+ = = = = = >+ ++
Por lo tanto, la serie en estudio es convergente.
LOS COORDINADORES 40. Utilizar el criterio de las series de signos alternados para determinar si la siguiente serie, conocida como la armónica alternada, es convergente o divergente:
( ) 1
1
11 n
n n
∞−
=
−∑
Solución. El límite del término enésimo es 1lim 0n n→∞
= . Además, se debe cumplir que 1n na a +≥ ; esto implica
que el término enésimo como función es decreciente para todo valor de la variable mayor o igual a uno. Así:
( ) ( ) 21 1; ' 0 1f x f x xx x
= = − < ∀ ≥ . Por lo tanto la serie es convergente.
LOS COORDINADORES
41. Determinar el carácter de la siguiente serie alternada:
( ) 2
21
12
n
n
nn
∞
=
−+∑
Solución. Una de las condiciones de convergencia de las series de signos alternados es que el límite del término enésimo debe ser igual a cero; entonces:
2
2 2
22
22 2
1 1lim lim lim 1 0222 11n n n
nn n
nnnn n
→∞ →∞ →∞= = = = ≠
+ ++
se concluye que la serie en estudio es divergente.
LOS COORDINADORES 42. Determinar el carácter de la serie dada mediante el criterio de Leibniz, y en caso de ser convergente, investigar si es absoluta o condicionalmente convergente.
( ) 12
1
2 11 n
n
nn n
∞−
=
+−
+∑
187
Solución. Se calcula el límite del término enésimo:
2 2 2
22
2 2
2 1 2 12 1 0lim lim lim 01 11n n n
nn n n n n
n nn nnn n
→∞ →∞ ←∞
+ ++= = = =
+ ++
Al cumplirse esta condición, ahora se tendrá que ver si se cumple que 1n na a +≥ , lo que se puede verificar al analizar la función cuya regla de correspondencia viene dada por el término enésimo de la serie y ver que se trate de una función decreciente. Así:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )( )
( )( )
2 2
2 22 2 2
2 2 1 2 12 1 2 2 1; ' ; ' 0 1x x x xx x xf x f x f x x
x x x x x x
+ − + ++ − − −= = = < ∀ ≥
+ + +
Por lo tanto, la serie en estudio es convergente. Si se analiza el valor absoluto del término enésimo de la serie, se
tiene la serie 21
2 1n
nn n
∞
=
++∑ . Si se compara con la serie
1
1n n
∞
=∑ que es la armónica divergente, se tiene
que:
( )2
2
2 12 1 2 1lim lim lim 2 01 1n n n
nn n nn n
n n nn
→∞ →∞ →∞
++ ++ = = = >+ +
Por lo que la serie es divergente. Finalmente se concluye que la serie ( ) 12
1
2 11 n
n
nn n
∞−
=
+−
+∑ es
condicionalmente convergente.
LOS COORDINADORES
43. Determinar por el criterio del cociente si la siguiente serie converge o diverge: ∑∞
= +1 14
n nn
Solución. Por el límite del término enésimo, se tiene que: 4lim 4 01n
nn→∞
= ≠+
por lo que es divergente. De
acuerdo con el criterio del cociente o de D’Alembert, se tiene que:
2)1(4
1 ++
=+ nna n ;
14+
=n
na n
=+
n
n
aa 1
( )=
+
++
14
214
nn
nn
( )( ) nn
nnnn
n2
122
12
22
+++
=++
121
121lim
2
12
lim2
12lim2
22
2
222
2
2
2
=+
++=
+
++=
+++
∞→∞→∞→
n
nn
nn
nn
nnn
nn
nnnn
nnn
Por lo tanto el criterio del cociente no decide. ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA
188
44. Determinar si la siguiente serie converge o diverge:
∑∞
=
+
1 31
nn
n
Solución. Por el criterio de D’Alembert se tiene que:
( )( ) ( )
11
1
23 2 2 2 13lim lim lim lim lim 11 3 1 3 1 3 3 3
3
nnn
nn n n n nn
n
nna n n
na n n n+
++→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
++ + +
= = = = = <+ + + +
Como 131<=L , entonces la serie es convergente.
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA
45. Determinar el carácter de la serie:
1
!1 0 n
n
n∞
=∑
Solución. Se aplica el criterio de D’Alembert y tenemos:
11 10)!1(
+++
= nnna y nn
na10
!=
( )1
1
1 !1 0
!1 0
nn
nn
na
na+
+
+
= = =+
+ !)(10)!1(10
1 nn
n
n
!10)!1(
nn + = ( )1 ! 1
1 0 ! 1 0n n n
n+ +
=
1 1lim lim10
nn n
n
a na+
→ ∞ → ∞
+= = ∞
El límite no existe, por lo tanto la serie es divergente.
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA
46. Determinar el carácter de la serie ∑∞
= 0 !n
n
nn .
Solución. Para determinar su convergencia o divergencia se aplicará el criterio de D’Alembert. Entonces:
189
( )( ) ( )
( )( )( )
1
1 11
11 ! 1 ! 1 ! 1 1lim lim lim lim lim lim 1
1 ! 1 !!
n
n n n nn
n n nn n n n n nn
nn n n n na n ena n n n n n n nn
+
+ +
+
→ ∞ →∈ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞
++ + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
y como 1>e la serie diverge.
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ
47. Determinar si la serie ∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
1 43
n
n
n converge.
Solución. Se utiliza el criterio de convergencia del cociente o de D’Alembert:
1l im nn
n
a La
+
→ ∞= ; ( )
1
1 431
+
+ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
n
n na ; n
n na ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
43
( ) ( ) ( )1
1
3 31 1 3 1 3 34 44 43
4
n
nn
n
n n na na n n n
n
+
+
⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ + +⎝ ⎠= = = =⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3 3 3lim lim 14 4
nn n
n
a na n+
→ ∞ →∞
+= = <
Como 1<L , por lo tanto la serie converge.
ALUMNA: MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO 48. Determinar el carácter de la siguiente serie:
1
8!
n
n
nn
∞
=∑
Solución. Se utiliza el criterio del cociente o de D’Alembert y se tiene que:
( )( )
( )( ) ( )
( )
1
1 1
1
1 81 8 1 ! ! 1 88 ; ; lim lim
8! 1 ! 1 ! 8!
n
n nn
n n n nn n
nn n n nna a
nn n n nn
+
+ +
+ →∞ →∞
++ + +
= = =+ +
( )( )
! 1 8 8 8lim lim 0 11 ! 8
n
nn n
n nn n n n→∞ →∞
+= = <
+ ∴ la serie en estudio es convergente.
LOS COORDINADORES
190
49. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la naturaleza de la siguiente serie de signos alternados:
( )( )1
212 1
nn n nn
− ⎛ ⎞− ⎜ ⎟−⎝ ⎠
Solución. Se obtiene el límite de la raíz y:
1 1lim lim lim lim 112 1 2 1 22
n
n nnn n n n
n nan n
n→∞ →∞ →∞ →∞
⎛ ⎞= = = = <⎜ ⎟− −⎝ ⎠ −
Por lo que la serie es absolutamente convergente y por lo tanto convergente.
LOS COORDINADORES 50. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie, mediante el criterio de la raíz:
( )∑∞
=
−
1
2n
n
n
nx
Solución. Sea ( )n
n
n nxa 2−
= . Entonces por el criterio de la raíz:
( )2 1lim lim lim 2 0 1n
n nn nn n n
xa x
n n→∞ →∞ →∞
−= − = <
Por lo tanto, al ser este límite menor que 1 independientemente del valor de x , la serie converge en x∈ .
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
51. Determinar el intervalo de convergencia de la serie de potencias:
∑∞
= −12 3n
n
nx
Solución.
32 −=
nxa
n
n ; ( ) 31 2
1
1−+
=+
+ nxa
n
n ; ( ) ( )( )
( )22
331
3
3
312
2
2
2
2
2
1
1
−+−
=−+
−=
−
−+=
+
+
nnnx
nnx
nx
nx
aa
n
n
n
n
191
( ) x
nn
nx
nnn
nn
nnn
xnn
nxnnn
=−+
−=
−+
−=
−+−
∞→∞→∞→
2
2
222
2
22
2
2
2
221
31lim
22
3
lim22
3lim
Si 1 1 1x x< ⇒ − < < , entonces la serie es convergente. Si 1 1 1x x x> ⇒ < − ∪ > , entonces la serie es divergente
Si 1
11
xx
x= −⎧
= ⇒ ⎨ =⎩ el criterio no decide; entonces habrá que determinar la naturaleza de la serie con
estos dos valores. Entonces: ( )
21
11
3
n
nx
n
∞
=
−= − ⇒
−∑
( ) ( )( )22 2 2
1 1 2lim 0 ; ; ' 0 13 3 3n
nf n f n nn n n→∞
= = = − < ∀ ≥− − −
por lo que la serie es convergente.
21
113n
xn
∞
=
= ⇒−∑
Si se compara con la serie 21
1n n
∞
=∑ que es una serie " "p con 2 1p = > convergente. Entonces,
como 22
2
2
13lim lim 1 01 3n n
nnn
n→ ∞ → ∞
− = = >−
, la serie es convergente.
Se concluye entonces que el intervalo de convergencia de la serie ∑∞
= −12 3n
n
nx es [ ]1,1x ∈ −
ALUMNA: DANIELA GONZÁLEZ RUBIO-MENDOZA
52. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie
( )∑∞
=+
+
0132
nn
nxn
Solución. ( ) ( )( ) 1
11 2
2 1 23 3
n n
n nn n
n x n xa y a
+
++ +
+ + += = . Por el criterio de la razón o de D’Alembert se
tiene: ( )( )
( )( )1 1
12
1 2 13 1 1 1lim lim lim 2 lim 2 23 3 3 32
n nn
nnn n n nn
n x na nx x xa n nn x
+ ++
+→∞ →∞ →∞ →∞
+ + + += = + = + = +
+.
192
1 2 1 2 3 3 2 3 5 13
x x x x+ < ⇒ + < ⇒ − < + < ⇒ − < < ∴ intervalo de convergencia y el
radio de convergencia es "2" . 1 2 1 2 3 2 3 2 3 5 13
x x x x x x+ > ⇒ + > ⇒ + < − ∪ + > ⇒ < − ∪ > ∴ divergente
Para determinar qué sucede en los extremos de este intervalo, se sustituyen los valores en el término general. Así:
Para 5−=x , ( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑∞
=
+∞
=+
+∞
=+
∞
=+ −−=
−−=
−=
+−
0
1
01
1
01
01 1
31
33
31
33
325
n
n
nn
n
nn
n
nn
n
nnnn , que resulta ser una
serie divergente, según el criterio del término enésimo. Si 1=x , se obtiene la serie ( )1
0 0
3 13 3
n
nn n
nn
∞ ∞
+= =
=∑ ∑ ,
la cual es divergente . De modo que el intervalo de convergencia de la serie original es ( )1,5− .
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 53. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias:
( )0
31
n n
n
xn
∞
=
−
+∑
Solución. Sea ( ) ( ) 1 1
13 3
1 2
n nn n
n n
x xa y a
n n
+ +
+
− −= =
+ + . Entonces, por el criterio de la razón o de
D’Alembert: ( )
( )
1 11 3 1 1lim lim 3 3
22 3
n nn
n nn nn
xa n n x xa nn x
+ ++
→∞ →∞
− + += ⋅ = =
++ −
1 1 13 13 3 3
x x x< ⇒ < ⇒ − < < ∴ intervalo de convergencia
1 1 13 13 3 3
x x x x> ⇒ > ⇒ < − ∪ > ∴ divergente
El radio de convergencia es de 31 , y por lo tanto la serie converge en ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
31,
31 . Ahora se analiza que ocurre
en los extremos de este intervalo; se tiene que:
1)1(
131)3(
31
+−
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−
=⇒=nn
axn
nn
n . Éste es el término general de una serie alternada, por lo que
aplicando el criterio correspondiente tenemos:
( )( )
32
11 12 1lim 0 ' 0 1
11 2 1n
ny f n xnn n
→∞
+= = − = − < ∀ ≥++ +
por lo tanto es una serie alternada convergente.
193
11
131)3(
31
+=
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
=⇒−=nn
ax
nn
n . Éste es el término de una serie positiva que, por el criterio
de comparación, se tiene que:
11 2 2
1 1;1n nn n
∞ ∞
= =+∑ ∑ es una serie " "p con 1 1
2p = < por lo que es divergente. Y como
1 11n n>
+ , entonces la serie
1
11n n
∞
= +∑ es divergente.
Finalmente, el intervalo de convergencia de la serie original es ⎥⎦⎤
⎜⎝⎛ −
31,
31 .
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA
54. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias:
( ) ( )1
1
1 66
n n
nn
xn
+∞
=
− −∑
Solución. Al aplicar el criterio del cociente, tenemos:
( )( )( )
( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1
111
1
61 6 6 6 6 6 6
lim lim lim lim6 1 6 6 1 6 6 6
6
n
n nn n nn
n n nn nn n n nn
n
xn n x n x xa
a x n x n xn
+
+++
+→∞ →∞ →∞ →∞
−+ − − −
= = =− + − + −
( )( )
6 1lim lim 6 66 1 6 6 6n n
n x n x xn n→∞ →∞
−= = − = −
+ +
De acuerdo con el criterio: 1 6 1 6 6 6 6 6 0 126
x x x x− < ⇒ − < ⇒ − < − < ⇒ < < , intervalo de convergencia
Si 1 6 1 6 6 6 6 6 6 0 126
x x x x x x− > ⇒ − > ⇒ − < − ∪ − > ⇒ < ∪ > , divergencia
Si 6 6 01 6 1 6 6
6 6 6 12x x
x xx x− = − ∴ =⎧
− = ⇒ − = ⇒ ⎨ − = ∴ =⎩ , entonces el criterio no decide.
Se analizará ahora la serie en estos valores extremos:
Si 0x = la serie resultante es 1
1n n
∞
=∑ que es la serie armónica divergente.
Si 12x = la serie resultante es ( ) 1
1
1 n
n n
+∞
=
−∑ que es la serie armónica alternada que es convergente.
194
Finalmente se concluye que el intervalo de convergencia de la serie en estudio es ( ]0 ,1 2x ∈ .
LOS COORDINADORES 55. Determinar el intervalo de convergencia de la siguiente serie
∑∞
= +−02 1n
xn
nne
Solución. Sea ( )
( ) ( )
1
1 22 1 1 1 1
n xn x
n ne ea y a
n n n n
+
+= =− + + − + +
. Se aplica el criterio de la razón o de
D’Alembert y se tiene:
( ) ( )
( 1) 2 2 21
2 2 21 1 1lim lim lim lim
2 1 1 1 11 1 1
n xx x xn
nxn n n nn
a e n n n n n ne e ea e n n n n nn n
++
→∞ →∞ →∞ →∞
− + − + − += ⋅ = = =
+ + − − + + ++ − + +
1 0 1 0x xe e x< ⇒ < < ⇒ < ∴ intervalo de convergencia
1 1 0x xe e x> ⇒ > ⇒ > ∴ divergente
1 1 0x xe e x= ⇒ = ⇒ = ∴ criterio no decide
Para 0=x la serie toma la forma de ∑∞
= +−12 1
1n nn
.
Por el criterio de comparación, empleando la serie " "p convergente con 2=p y se tiene que:
22
2
2
11lim lim 1 01 1n n
nn nn n
n→∞ ←∞
− + = = ∴− +
f la serie ∑∞
= +−12 1
1n nn
es convergente
Por lo tanto, el intervalo de convergencia es: ( ]0,∞− .
ALUMNO: GABRIEL CALDERÓN OCHOA 56. Determinar la función f que esté representada por la serie de potencias:
( )2 31 ... 1 n nx x x x− + − + + −
Solución. Si 1x < , entonces la serie es una serie geométrica con r x= − y tiene como suma
( )1 1
1 1 1aS
r x x= = =
− − − +
Por lo tanto se tiene que:
( )2 31 1 11
n nx x x xx= − + − + + − +
+L L
195
Esta serie corresponde a la representación de serie de potencias para la función ( )x+
=1
1xf , en el intervalo
( )1 1,− .
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 57. Determinar la serie de Maclaurin para la función ( )f x senx= y determinar para qué valores de " "x es convergente. Solución. Para determinar la serie de Maclaurin, se determinan las primeras derivadas de la función y se evalúan en 0=x , es decir;
( )f x senx= ; ( )0 0f =
( )' cosf x x= ; ( )' 0 1f = ''f (x) senx= − ; ( )'' 0 0f =
( )''' cosf x x= − ; ( )''' 0 1f = −
( )IVf x senx= ; ( )0 0IVf = Las siguientes derivadas de la función se repiten, siguiendo el mismo patrón. Por lo tanto, si se sustituyen en la serie de Maclaurin:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 30 ''' 00 0
2 3!
nnf '' f f n
f x f f ' x x x x! n!
= + + + + + +L L
( ) ( ) ( ) ( )3 5 7 2 1 2 1
01 1
3 ! 5 ! 7 ! 2 1 ! 2 1 !
n nn n
n
x x x x xsenx xn n
+ +∞
=
= − + − + + − + = −+ +∑L L
Se utiliza el criterio de D’Alembert y ( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
2 1 1
2 321
2 1 2 1
2 1 1 ! 2 1 ! 1lim lim lim lim 0 12 3 ! 2 3 2 2
2 1 !
n
nn
n nn n n nn
xn n xa xxa n x n nn
+ +
++
+ +→∞ →∞ →∞ →∞
⎡ + + ⎤ +⎣ ⎦= = = = <+ + +
+
por lo que la serie obtenida es convergente x∀ ∈ .
ALUMNA: GABRIELA BERENICE VERA PADILLA 58. Obtener la serie de Maclaurin para la función ( ) xf x e= y probar que es convergente para todo valor real de " "x .
Solución. Si ( ) xexf = , entonces la enésima derivada de f es ( ) ( ) xk exf = y ( ) ( ) 00 1kf e= = , por lo tanto la serie de Maclaurin será:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 32 3'' 0 ''' 0 0
0 ' 0 12! 3! ! 2! 3! !
n nx nf f f x x xf x e f f x x x x x
n n= = + + + + + + = + + + + + +L L L L
196
Por lo tanto ( )0 !
nx
n
xf x en
∞
=
= = ∑
Si se aplica el criterio de D’Alembert se tiene que:
( )( )
1
11 1 ! ! 1lim lim lim lim 0 1
1 ! 1!
n
nn
n nn n n nn
xna n x x
xa n x nn
+
++
→∞ →∞ →∞ →∞
+= = = = < ∴
+ +serie convergente x∀ ∈
Entonces, la serie representa a la función ( ) xf x e= para todo valor real de " "x .
ALUMNA: DAISY TESSIE REYES CHAVEZ 59. Obtener el desarrollo de la serie de potencias de Maclaurin para representar a la función ( ) cos2f x x= y determinar para qué valores de " "x la representa: Solución. La Serie de Maclaurin está dada por:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 4'' 0 ''' 0 0 00 ' 0
2! 3! 4! !
IV n nf x f x f x f xf x f f x
n= + + + + + + +L L
Para la función dada: ( ) cos 2f x x= ⇒ ( )0 1f =
( )' 2 2f x s e n x= − ⇒ ( )' 0 0f =
( )' ' 4 c o s 2f x x= − ⇒ ( )'' 0 4f = −
( )' ' ' 8 2f x s e n x= ⇒ ( )''' 0 0f =
( ) 1 6 c o s 2IVf x x= ⇒ ( )0 16IVf =
( ) 32 2Vf x sen x= − ⇒ ( )0 0Vf =
( ) 64 cos 2VIf x x= − ⇒ ( )0 64VIf = − Entonces la serie es la siguiente:
( )( )
( )( )
2 2 2 22 4 6
0
1 2 1 24 16 64cos 2 1 cos 22! 4! 6! 2 ! 2 !
n nn n n n
n
x xx x xx xn n
∞
=
− −= − + − + + + ⇒ = ∑L L
Si se utiliza el criterio del cociente para determinar su intervalo de convergencia, se tiene que:
( )
( )
( )( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 22
2 2 2 2 2
22 2 ! 2 ! 2 2 4lim lim lim lim 0 12 2 2 ! 2 2 2 2 1 4 6 2
2 !
n n
n n
n n n nn n n n
xn n x x x
x n x n n n nn
+ +
+ +
→∞ →∞ →∞ →∞
+= = = = <
+ + + + +
Por lo tanto, la serie de potencias representa a la función para todo valor real de " "x .
LOS COORDINADORES
197
60. Obtener los primeros cuatro términos de la serie de Taylor con 1=a para la siguiente función:
( )x
xf−
=3
1
Solución. De acuerdo con la serie de Taylor, se obtienen las primeras derivadas de la función.
( ) 13
f xx
=−
⇒ ( ) 112
f =
( )( )2
1'3
f xx
=−
⇒ ( ) 1' 14
f =
( )( )3
2''3
f xx
−=
− ⇒ ( ) 1'' 1
4f = −
( )( )4
6'''3
f xx
=−
⇒ ( ) 3''' 18
f =
La serie de Taylor está dada por:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 3'' '''
'2! 3! !
nnf c f c f c
f x f c f c x c x c x c x cn
= + − + − + − + + − +L L
luego:
( ) ( ) ( ) ( )2 31 11 1 1 1 313 2 4 4 2 8 3 !
x xf x x
x− −
= = + − − +−
( ) ( ) ( ) ( )2 31 1 1 1 11 1 13 2 4 8 16
f x x x xx
= = + − − − + −−
ALUMNO: RAÚL PULIDO MARTÍNEZ