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COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS

MATEMÁTICAS 3º E.S.O.

AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 1: LOS NÚMEROS REALES

CORRECCIÓN

1.- Indica cómo se llaman las siguientes expresiones decimales y cuál es su fracción generatriz: a) 325,625625625... ; b) 89,134 ; c) 15,03333... SOL: a) 325,625625625... Expr. decimal inexacta periódica pura.

Fracción generatriz: 325625 325

999

− =

325300

999

b) 89,134 Expr. decimal exacta.

Fracción generatriz: 89134

1000 =

44567

500

c) 15,03333... Expr. decimal inexacta periódica mixta.

Fracción generatriz: 1503 150

90

− =

1353

90 =

451

30

2.- Calcula tomando en cuenta las prioridades en las operaciones. Puedes comprobar el resultado, utilizando Wiris.

a) 5

1

5

1223

3

4

6

1

9

2 −−+

−

−::� b)

3

2

4

7

2

11

4

3

8

34

23

9

8:

15

7

5

9

1:−⋅−

−

−+−

c) 9

7

7

8

7

155

7

4

5

3

7

2

5

1

7

41

11

91

−−

−⋅+−

−

+⋅−−

SOL:

a) = ( ) ( )

2 1�3 12�5� 23

9 6� 4 5� 1

−+ −

− − =

2 1 12� 23

9 8 1

−+ −

− − =

2 1� 23 12

9 8+ + =

89

2

� + 35 =

= 36

1 + 35 =

36

36351 �+ =

36

2611 = 35

36

1

b) =

24

37

24

113

8

34

23

9

8:

15

727

1

⋅⋅

−⋅⋅

−

−

−

+− =

8

21

8

33

8

34

23

9

8:

15

20

1−−

−+− =

8

213334

23

83

94

1−−

−⋅⋅

+− =

8

514

23

2

3

1−

−+− =

2

=

8

514

236

1−

−

+− =

8

514

17

1−

−

+− = 451

8171

⋅−⋅−

+− = 3

21+− =

3

23 +− =

3

1−

c) =

+− − ⋅ −

−−

− + −

9 7 4 11 711 7 5

2 3 20 15 8 97 5 7 7

= 9

7

7

8

7

5

5

3

7

25

1

7

11

11

91

−−+−

−⋅−− =

− − −−

− + −

9 11 77 5

10 21 25 40 935

=

= 9

7

35

2635

74535

−−

−−−

= 9

7

35

2635

87

−−

−

= 9

7

3526

3587−

⋅−⋅−

= 9

7

26

87− =

= 234

267

234

987 ⋅−

⋅ =

−783 182

234 =

601

234

3.- Fulanito sale de compras y gasta la cuarta parte del dinero que lleva en comida, y más tarde la mitad de lo que le queda en ropa. Si vuelve a casa con 30 €, ¿con cuánto dinero salió? SOL:

Si gasta la cuarta parte del dinero que lleva, gasta 1

4 del mismo; le queda

11

4− =

3

4

del dinero que lleva.

A continuación gasta la mitad de lo que le queda, es decir 1 3�

2 4 =

3

8 del dinero inicial;

le queda ahora 3 3

4 8− =

3

8 del dinero que lleva.

Esta fracción corresponde al dinero con que regresa a casa, con lo que, llamando x al dinero con que salió de casa: 3

�8

x = 30 € ⇒ x = 3038

€ = 30�8

3 € = 80 €

4.- Representa en esta recta los siguientes números: 4

7− y 17

SOL:

Primero situamos el “cero”, de modo que podamos distinguir el signo de cada número. Después representamos la fracción dada, teniendo en cuenta que es impropia (numerador mayor que denominador), con lo que tenemos que separar la parte

entera de la decimal: 74− = 31 4− . Teniendo en cuenta el método de

representación, tendremos que dividir el segmento que une –1 y –2 en cuatro partes iguales y tomar tres de ellas.

Para representar el número irracional 17 necesitamos encontrar dos números cuyos cuadrados sumados den su radicando. Intentamos los enteros, teniendo en cuenta que 17 puede conseguirse con las siguientes combinaciones:

3

1 + 16 2 + 15 3 + 14 4 + 13 5 + 12 6 + 11 7 + 10 8 + 9

De ellas, sólo la primera corresponde a números que son cuadrados perfectos: 1 = 12 y 16 = 42.

Aplicando el teorema de Pitágoras, 2

17 = 1 2 + 4 2. Dibujamos sobre la recta un cateto (el mayor, por comodidad) y perpendicularmente sobre su extremo el otro cateto; la hipotenusa abatida sobre la recta será la representación buscada.

5.- Haz una aproximación de estos números 16

1, π, 3 ,

9

5 para que el error cometido sea menor que una

centésima.

SOL:

Calculamos primero el valor de cada uno de estos números con unos cuantos decimales (con la calculadora): 1

16= 0,0625 (es una expresión decimal exacta)

π = 3,14159265358... (es una expresión decimal inexacta no periódica, es decir, irracional)

3 = 1,7320508075... (es una expresión decimal inexacta no periódica, es decir, irracional) 5

9= 0,5555... (es una expresión decimal inexacta periódica pura)

Para dar la aproximación a las centésimas (error menor que una centésima) tenemos que truncar el número en dicho orden de magnitud. Así: 1

16= 0,06 (por defecto) = 0,07 (por exceso)

π = 3,14 (por defecto) = 3,15 (por exceso)

3 = 1,73 (por defecto) = 1,74 (por exceso) 5

9= 0,55 (por defecto) = 0,56 (por exceso)

6.- Expresa en notación científica:

a) Radio del Sol: 695 990 000 = b) Virus del resfriado: 0,0000000022 = SOL: a) Radio del Sol: 695 990 000 = 6,96�108 b) Virus del resfriado: 0,0000000022 = 2,2�10−9

7. Las 3

10 partes de los libros de una pequeña biblioteca están en la sección de ficción y aventura. Las

2

5

partes son libros relacionados con la educación. De la parte restante, un tercio son de divulgación científica.

−2 −1 0 1 2 3 4 5 7

4−

1 17

17

4

Aún sobran 130 libros repartidos en otras secciones. a) ¿Qué fracción del total son de divulgación científica? b) ¿Cuántos libros tiene en total la biblioteca? SOL:

Considerando la biblioteca formada por x libros, los de ficción y aventura serán 3

10

x;

los relacionados con la educación, 2

5

x; la parte restante estará formada por el total

menos los libros conocidos, es decir: − − =3 2 3

10 5 10

x x xx , de los que a) de divulgación

científica serán ⋅ =3 1

10 3 10

x x; sumando todas las cantidades, obtendremos el total: x =

+ + +3 2

13010 5 10

x x x, y despejando, obtenemos b) x = 650 libros

8. Realiza las siguientes operaciones con potencias. Dejando el resultado, con exponentes positivos:

a) 2342

336

7

2

7

2

7

2

7

2

7

2

−

⋅

−

:

:

b) ( )

( ) 4322

3232

−−

−

⋅⋅

⋅⋅

xxy

yyx

SOL:

a) = −

−

6 9

36 2

2 2:

7 7

2 2:

7 7

= −

6 9

18 2

2 2:

7 7

2 2:

7 7

=

−

3

20

27

27

= −

232

7 =

237

2

b) = − −

− − −

⋅ ⋅⋅ ⋅

4 6 3

2 8 12

x y y

y x x =

− −

− −

⋅⋅

4 3

2 20

x y

y x = −⋅16 1x y =

16x

y

9.- Realiza estas operaciones en notación científica:

a) 1,2�1099 + 9�1099 = b) 3�1011 – 2,5�1010 = c) (6�1011)�(1,3�1012) = d) (6�1011):(1,5�1012) = e) 6,6�1010:0,6�104 – 2,7�108

SOL:

a) 1,2�1099 + 9�1099 = (1,2 + 9)� 1099 = 10,2�1099 = 1,02�10100 b) 3�1011 – 2,5�1010 = 30�1010 – 2,5�1010 = (30 – 2,5)�1010 = 27,5�1010 =

= 2,75�1011 c) (6�1011)�(1,3�1012) = (6�1,3)�(1011�1012) = 7,8�1011 + 12 = 7,8�1023 d) (6�1011):(1,5�1012) = (6:1,5)�(1011:1011) = 4�10−1

e) 6,6�1010:0,6�104 – 2,7�108 = (6,6:0,6)�(1010:104) – 2,7�108 = 11�106 – 2,7�108 = = 1,1�107 – 2,7�108 = (1,1 – 27)�107 = −25,9�107 = −2,59�108

10.- Realiza las siguientes operaciones con radicales:

a) =−++ 802500520 b) =6 23 2 3�2 aba

5

c) =10 29:3 xx d) =

43 65

SOL:

Conociendo las propiedades de los radicales y las condiciones para operarlos, en el apartado a) tendremos que extraer todos los factores posibles y agrupar los radicales semejantes; en los apartados b) y c) tendremos que homogeneizar los radicales (pasar a índice común) para poder multiplicar o dividir; en el apartado d) operaremos aplicando las propiedades de las operaciones con potencias. En todos los casos, tendremos en cuenta la obligación de dar el resultado simplificado al máximo.

a) 20 5 500 2 80+ + − = 2 2 3 42 �5 5 2 �5 2 2 �5+ + − =

= 22 5 5 2�5 5 2�2 5+ + − = ( )2 1 10 8 5+ + − = 5 5

b) [m.c.m.(3, 6) = 6]; 3 62 22 � 3a ab = ( )2 62 26 2 � 3a ab = 6 2 4 22 � �3a ab = 6 5 212a b

c) [m.c.m.(2, 10) = 10]; 10 23 : 9x x = ( )5 10 210 3 : 9x x = 5 5

102 2

3 �

3 �

x

x = 10 3 33 �x

d) ( )4

3 65 = ( )463 5 = 3 6�45 = 3 245 = 24

35 = 5 8

11. Opera y simplifica al máximo:

a) ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

3 5 26 3

12 5 4 64

x y y x

x y x b) 328450

15

198

21

2⋅−⋅−⋅−

SOL:

a) = ( ) ( )

( )

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

2 43 5 212 12

312 5 4 612

x y y x

x y x

= ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅

2 6 20 8

125 12 18

x y y x

x y x = ⋅

⋅

10 26

1223 12

x y

x y =

14

1213

y

x = ⋅

2

12y y

x x

b) = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅2 2 2 3 52 12 7 2 3 5 2 2

21 15 = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − 82 1

7 2 3 5 2 221 15

=

= − ⋅ − − 422 2 2

3 =

− − ⋅ −

21 2 16

3 = − ⋅ −

52 16

3

12. Racionaliza:

a) 217

73 b)

15

52 c)

615

32

SOL:

a) = ⋅3 7 21

7 21 21 =

⋅⋅

3 7 21

7 21 =

⋅⋅

23 7

7 7 =

2

7 3

7 =

3

7

b) = ⋅2 5 15

15 15 =

⋅2 5 15

15 =

⋅ 22 3 5

15 =

⋅2 5 3

15=

2 3

3

c) = ⋅2 3 6

15 6 6 =

⋅⋅

2 3 6

15 6 =

⋅⋅ ⋅

2

2

2 2 3

2 3 5 =

⋅2

3 2

3 5 =

⋅2

3 5 =

2

15