Corriente alterna (1)

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  • 1. CORRIENTE ALTERNAEn la vida cotidiana el uso de la energa elctrica es cada da msindispensable, siendo una de las razones su forma limpia, encomparacin con otras formas de energa, sobre todo la provenientede combustibles fsiles. Este hecho provoc que en algn momentode la historia tuviese que decidirse si se utilizaba la corrientecontinua (CC), estudiada anteriormente o la corriente alterna (CA),objeto de este captulo, para el suministro domestico, industrial ycomercial.Est discusin como es de conocimiento general, cedi la razn a lacorriente alterna, una de las razones es el fcil transporte de grandescantidades de energa entre puntos distantes, a grandes diferencias depotencial y bajas corrientes, lo que lleva consigo el hecho de unabaja prdida energtica por efecto Joule, lo que no ocurre con lacorriente continua.La CA una vez generada y distribuida a grandes distancias, esdisminuida en su diferencia de potencial y aumentada su corriente, loque permite su uso domstico, comercial e industrial. Esteprocedimiento es posible gracias a la existencia de una grandiversidad de transformadores que se encuentran instalados en lasredes elctricas de las ciudades.

2. GENERADORES CORRIENTE ALTERNALos generadores de corriente alterna tal como su nombre lo indica, son aquellos en que lacorriente en el circuito no es constante, y su forma variable es de tipo alternada, es decir enun sentido y en otro, repetidamente. La figura muestra un esquema de generador decorriente alterna.Al observar la figura se aprecia una espira de rea A y N vueltas, donde los extremos estnunidos a dos anillos separados y conectados por contacto con el circuito externo.Esta espira gira en un campo magntico uniforme B, lo que indica que el rea proyectadaperpendicular al campo vara, provocando que el flujo magntico correspondiente seavariable y cambie alternadamente dado el giro sobre el eje.Este efecto de acuerdo a la ley de Faraday Lenz, produce una fem inducida en la espira, esdecir, una fem alterna 3. GENERADORES CORRIENTE ALTERNAEn primer lugar el flujo magntico sobre la espira es: = A B cos En segundo lugar el flujo magntico sobre las N espiras es variable dado que el ngulovara peridicamente y la espira gira con MCU, es decir = t + donde es la rapidez angular y es el ngulo en t=0 (desfase)Derivando el flujo respecto del tiempo y aplicando la Ley de Faraday Lenz se obtiene d = N A B cos( t + ) = N A B sen( t + ) dt = N A B sen( t + )La expresin muestra que la fem inducida es funcin del tiempo y sta dependencia esadems alterna, propiedad dada por la funcin senoLinks de intershttp://www.walter-fendt.de/ph14s/http://micro.magnet.fsu.edu/electromag/java/ 4. GENERADORES CORRIENTE ALTERNA = N A B sen( t + )Analizando la expresin de la fem inducida y teniendo presente las caractersticas de lafuncin seno se observa que su amplitud es constante NAB, valor que corresponde a lafem mxima y su perodo T=2/ equivalentemente de frecuencia f=/2.De lo que se deduce que la diferencia de potencial pico-pico es 2mx , siendo mx=NAB,por lo que podemos escribir la expresin de la fem inducida alterna como:t = max sen( 2 f t + ) Ecuacin y Grfico del generador de CAT max0 5. CIRCUITO R en C. A.El primer circuito que se analizar es una resistencia R conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente es ideal, que la resistencia estconectada directamente a la fem de ella y que el ngulo dedesfase inicial es /2, se tiene: = max sen( t + / 2 ) R VR = = max sen( 2 f t + / 2 ) = VR max cos( 2 f t )VR = VR max cos( t)donde es la frecuencia angular de la fuente, TVRmax= max y la fase de la fem es la misma en laresistencia y la fuente. 0 t VRmax VR 6. CIRCUITO R en C. A.Por otra parte aplicando la ley de Ohm, se puede obtener la corriente del circuito.VR max VR max IR = VR = VR max cos( t ) I = cos( t ) donde: I max = RRI = I max cos( 2 f t ) Tt 0 Ecuacin y Grfico de la corriente en un circuito alimentado por un generador de CAImax INota: La corriente y la diferencia de potencial en una resistencia conectada a un circuito de CA estn en fase 7. CIRCUITO R en C. A.La potencia disipada en el circuito por efecto Joule (calor), varia con el tiempo debido aque la corriente es variable en el tiempo t P = RI 2 = R(I max cos( t )) 20P = RI 2 cos 2 ( 2 f t ) max 2 I max R 1 2La grfica muestra la potencia en funcin deltiempo, donde se observa que vara desde 0 aI max Rsu valor mximo I2maxR:2PEl valor que se utiliza en la prctica de la potencia instantnea, es su valor promedio P m,por lo que utilizando el valor promedio de la funcin coseno, se obtiene: 1 2Pm = I max R 2 8. VALORES EFICACES en C. A.Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendra una corriente continuaque produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una mismaresistencia. Este valor corresponde a la raz cuadrada de los cuadrados de los promedios(rms sigla en ingles) de la funcin seno o coseno.Valor eficaz de una corriente alterna Ief 1 1[ Imax cos(t) ] m Ief =2Ief = I 2 =m= (I 2 cos 2 (t)) m = I 2max maxI max 22Valor eficaz de una diferencia de potencial alterna V ef 1 1 [ Vmax cos(t) ] m Vef = 2Vef = V = 2m= (V2 max cos (t)) m = V22 max Vmax 22Valor eficaz de la potencia alterna Pef 1Pef = (VI) m = [ (Vmax cos(t))(I max cos( t)) ] m = Vmax I max (cos 2 ( t)) m Pef = Vmax I max 2 9. CIRCUITO L en C. A.El segundo circuito que se analizar es una inductancia L conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente y la inductancia son ideales, esto esno tienen resistencia propia, que la inductancia est conectada Ldirectamente a la fem y que el ngulo de desfase inicial es /2,se tiene: = max sen( t + / 2 ) = max cos(t) dIPor su parte la diferencia de potencial en un inductor V L esta dada por: VL = L dtAplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene:VL = 0 VL = = max cos(t) = VL,max cos(t) donde: max = VL,max dIreemplazando en la ecuacin de VL queda:VL,max cos(t) = L dt 10. CIRCUITO L en C. A.reordenando los trminos se puede obtener la expresin de la corriente en el circuito dI VL,max VL,maxVL,max cos(t) = L dt LdI = VL,max cos(t)dt : dI = L cos(t)dt I =Lsen(t) + CteEl valor de la constante de integracin, debe ser tal que cumpla con la condicin de laley de las mayas, donde resulta que para este caso es cero.Por lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en el inductor son, respectivamente:T VL = VL,max cos(t)Dado que: sen t + = cos(t) 2t0 VL,maxVL = VL,max sen t + I=sen(t) Imax 2LmaxNtese la diferencia de potencial en la inductancia est desfasadaen /2 (adelantada) respecto de la corriente en el circuito 11. CIRCUITO L en C. A.VL,maxPor otra parte el valor mximo de la corriente en el circuito es: Imax = LDonde se define la reactancia o impedancia inductiva, por: X L = LNota: A diferencia de la resistencia la impedancia inductiva depende de la frecuencia dela fuente, y la unidad de medida es el Ohm.La potencia instantnea en la inductancia del circuito es P L=VLI es decir: 1PL = VL I = VL,max sen t + I L,max sen(t) = VL,max I L,max cos(t) sen( t) = VL,max I L,max sen(2t) 2 2 PL = PL,max sen(2t)de donde se deduce que para un ciclo de oscilacin de la corriente, la potencia oscila dosveces, siendo adems la potencia media nula, hecho que indica que la induccin no disipaenerga, por lo menos para una inductancia ideal donde la resistencia de ella sea cero 12. CIRCUITO C en C. A.El tercer circuito que se analizar es una capacitancia C conectada a una fuente de CA,como el mostrado en la figura.Suponiendo que la fuente y la capacitancia son ideales, esto esCno tienen resistencia propia, que la capacitancia est conectadadirectamente a la fem y que el ngulo de desfase inicial es /2,se tiene: = max sen( t + / 2 ) = max cos(t)QPor su parte la diferencia de potencial en la capacitancia V C esta dada por: VC =CAplicando la Ley de las mayas al circuito se tiene:VC = 0 VC = = max cos(t) = VC,max cos(t)donde: max = VC,maxreemplazando en la ecuacin de VC queda: Q = CVC,max cos(t) 13. CIRCUITO C en C. A.reordenando los trminos se puede obtener la expresin de la corriente en el circuito dQI== CVC,max sen(t)siendo: Imax = CVC,maxI = I max sen(t) dtPor lo tanto, la diferencia de potencial y la corriente en la capacitancia son,respectivamente: VC = VC,max cos(t) Dado que: sen t = cos(t) 2 VC = VC,max sen t I = I max sen(t) max 2ImaxNtese la diferencia de potencial en la reactancia esta 0 tdesfasada en -/2 (retrasada) respecto de la corrienteen el circuitoT 14. CIRCUITO C en C. A.VC,maxPor otra parte el valor mximo de la corriente en el circuito es: Imax = CVC,max =1/ C1Donde se define la reactancia o impedancia capacitiva, por: X C = CNota: Anlogamente al caso anterior la impedancia capacitiva depende de la frecuenciade la fuente, y la unidad de medida es el Ohm.La potencia instantnea en la capacitancia del circuito es P C=VCI es decir: 1PC = VC I = VC,max cos(t)( I max sen(t)) = VC,max I max cos(t) sen(t) = VC,max I maxsen(2t) 2 PC = PC,max sen(2t)de donde se deduce que para un ciclo de oscilacin de la corriente, la potencia oscila dosveces, siendo adems la potencia media nula, hecho que indica que la capacitancia nodisipa energa, por lo menos para una capacitancia ideal donde la resistencia de ella seacero 15. CIRCUITO LRC en C. A.En cuarto lugar se analizar un circuito serie compuesto por una inductancia L, unaresistencia R y una capacitancia C, conectados a una fuente de CA, como se muestra en lafigura.Suponiendo que la fuente entrega una diferencia de potencial: R = max cos(t)LCal aplicar la ley de las mayas al circuito se obtiene: dI Q VL VR VC = 0 max cos(t) L IR = 0 dt C d 2 Q dQQ d 2Q dQQ max cos(t) L 2 R = 0 max cos(t) = L 2 +R+ ec. del circuito dtdtC dt dtCal resolver la ecuacin diferencial lineal no homognea de segundo orden, se obtiene lacorriente del circuito, siendo sta