Corriente Alterna

BORRADOR DE APUNTES. A. BARRAGAN

4. Anlisis de corriente alterna.

INDICE

4.1 INTRODUCCIN. ................................................................................................................ 3

4.2 CARACTERSTICAS DE LAS ECUACIONES SENOIDALES....................................................... 3

4.3 RETRASO Y ADELANTO. ..................................................................................................... 3

4.4 CONVERSIN DE SENOS EN COSENOS. ............................................................................. 4

4.5 CORRIENTE Y TENSIN EN UN RESISTOR. ......................................................................... 5

4.6 CORRIENTE Y TENSIN EN UN INDUCTOR. ....................................................................... 6

4.7 CORRIENTE Y TENSIN EN UN CAPACITOR. ...................................................................... 7

4.8 RESPUESTA COMPLETA EN UN CIRCUITO. ........................................................................ 8

4.9 FUNCIN FORZADA COMPLEJA. ........................................................................................ 9

4.9.1 Plantear una alternativa algebraica ........................................................................ 10

4.10 ALTERNATIVAS ALGEBRAICAS A ECUACIONES DIFERENCIALES ...................................... 11

4.11 EL FASOR ......................................................................................................................... 13

4.12 REPRESENTACIN FASORIAL: .......................................................................................... 14

4.13 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA: ....................................................................... 16

4.13.1 Impedancia compleja. ............................................................................................. 16

4.13.1.1 Tringulo de impedancias ............................................................................... 16

4.13.2 Admitancia Compleja. ............................................................................................. 17

4.13.2.1 Tringulo de Admitancias ................................................................................ 17

4.13.3 Relaciones entre las componentes y . ................................................................ 17

4.14 RELACIONES FASORIALES RLC. ........................................................................................ 18

4.14.1 Resistor: ................................................................................................................... 18

4.14.2 Inductor: .................................................................................................................. 20

4.14.3 Capacitor: ................................................................................................................ 21

4.15 DOMINIO DE LA FRECUENCIA ......................................................................................... 23

4.16 LEYES DE KIRCHHOFF CON FASORES. .............................................................................. 23

4.16.1 Ley de Tensiones de Kirchhoff en el dominio del Tiempo. ..................................... 23

4.16.2 Ley de Corrientes de Kirchhoff en el dominio del Tiempo. ..................................... 23

4.17 DIAGRAMAS FASORIALES ................................................................................................ 28

4.17.1 Caso RLC Serie ......................................................................................................... 29

4.17.2 Caso RLC Paralelo .................................................................................................... 32

4.18 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .......................................................................... 38

4.19 BIBLIOGRAFA .................................................................................................................. 38


Resumen La respuesta completa de un circuito en general va a estar

compuesta de dos partes, una respuesta natural y una respuesta forzada. La

respuesta natural o transitoria1 es una respuesta de corta vida en un circuito y

la respuesta forzada es una respuesta de estado permanente y est

caracterizada por fuentes independientes. La nica respuesta forzada que ha

sido objeto de estudio se ha debido a fuentes de corriente continua; pero otro

tipo de funcin forzada comn es la del tipo senoidal que describe la tensin

1 Cuando se hace pasar a un circuito de una condicin a otra, sea por un cambio en la tensin aplicada o por una modificacin de uno de sus elementos,

se produce un periodo de transicin, durante el cual, las corrientes en las ramas y las cadas de tensin en los elementos varan desde sus valores

iniciales hasta otros nuevo (3).


disponible en las tomas de corriente elctrica domestica as como tambin la

tensin de las lneas de potencia, etc. La respuesta transitoria en el anlisis

senoidal es de poco inters y se tomara en cuenta la respuesta forzada o

respuesta de estado permanente (1).

Palabras clave Alterna, Fasor, Impedancia, Admitancia, Reactancia, Frecuencia.

4.1 INTRODUCCIN.

El objetivo principal del anlisis de circuitos en corriente alterna es el de reducir los

clculos estudiando los circuitos en el dominio de la frecuencia; considerando su

magnitud como fasores (nmeros complejos) y trabajando con impedancias

complejas que nos llevaran al anlisis de un circuito con tcnicas utilizadas para

circuitos de corriente continua (1) (2).

4.2 CARACTERSTICAS DE LAS ECUACIONES SENOIDALES.

Figura 4.1: Funciones peridicas

Considerando la siguiente tensin variable:

( ) Ecuacin 4.1

La amplitud de la onda senoidal es y el argumento es . La frecuencia

corresponde a las relaciones:

Ecuacin 4.2

En la Fig.4.1. ( ) . Se grafica como funcin del argumento , resulta evidente la naturaleza peridica de la onda senoidal. La funcin se repite cada 2 radianes y su periodo es en consecuencia 2 radianes.

4.3 RETRASO Y ADELANTO.


Figura 4.2: Funciones Desfasadas

Una forma ms general de la senoide2:

( ) ( ) Ecuacin 4.3

Incluye un ngulo de fase en su argumento, el ngulo de fase aparece como el

nmero de radianes mediante los cuales la onda senoidal original se corre hacia la

izquierda o al tiempo anterior. La Ec.4.3 se grafica en la Fig4.2. A (lnea roja) esta

adelantada con respecto a B (lnea verde), de forma ms general ( ) ( )

est adelantada a ( ) en En cualquier caso, adelantada o retrasada, se dice que las senoides estn fuera de fase3.

4.4 CONVERSIN DE SENOS EN COSENOS.

En general los senos y cosenos son una misma funcin pero con diferencia de fase

de

; se puede obtener la siguiente relacin (1).

( )

( )

( )

( )

Ecuacin 4.4

En consecuencia se podra afirmar que:

( ) ( ) Ecuacin 4.5

( )

( )

Esto conduce a:

( ) ( ) Ecuacin 4.6

2 En matemticas, se entiende por sinusoide u onda sinusoide la curva mediante la que se representa grficamente la funcin seno o a dicha funcin en

s. 3 El desfase entre dos ondas es la diferencia entre sus dos fases que se mide en un mismo instante para las dos ondas.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticashttp://es.wikipedia.org/wiki/Seno_%28matem%C3%A1ticas%29


Figura 4.3: Atrasos y adelantos de funciones fasoriales

Se supone que y son cantidades positivas en la Fig.4.3. Se observa que la

frecuencia de ambas senoides debe ser la misma, o la comparacin no tiene sentido.

4.5 CORRIENTE Y TENSIN EN UN RESISTOR.

)( ti

)( tv

Figura 4.4: Corriente y tensin en un resistor

La resistencia es el caso ms simple. En el dominio del tiempo est dado por

definicin como4

( ) ( ) Ecuacin 4.7

( ) ( ) Ecuacin 4.8

Remplazando la Ec.4.8 en Ec4.7 tenemos:

( ) ( ) Donde; = ; as tenemos que

( ) ( ) Ecuacin 4.9

En la Fig4.5. Se puede ver que la corriente y la tensin estn en fase (1).

4 Utilizando la ley de ohm .


Figura 4.5: Grafica de la Corriente y la Tensin en un resistor

4.6 CORRIENTE Y TENSIN EN UN INDUCTOR.

)( ti

)( tv

Figura 4.6: Corriente y tensin en un inductor

La tensin en un inductor est dada por la relacin5:

( )

Ecuacin 4.10

Sea

( ) ( ) Ecuacin 4.11

Reemplazando Ec.4.11 en Ec.4.10 tenemos:

( ) ( ) ( )

Utilizando Ec.4.10: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) Ecuacin 4.12

Comparando Ec.4.11 y Ec.4.12; el voltaje adelanta a la corriente como se

muestra en la Fig4.7. (1).

5 Representacin del voltaje en forma de ecuacin diferencial con respecto al inductor L.


Figura 4.7: Grafica de la Corriente y la Tensin en un inductor

4.7 CORRIENTE Y TENSIN EN UN CAPACITOR.

)( ti

)( tv

Figura 4.8: Corriente y tensin en un capacitor

La tensin en un capacitor est dada por la relacin6:

( )

( )

Ecuacin 4.13

Sea

( ) ( ) Ecuacin 4.14

Reemplazando Ec.4.14 en Ec.4.13 tenemos:

( )

( ) Ecuacin 4.15

( ) ( )

En un capacitor la corriente se adelanta a la tensin .

Figura 4.9: Grafica de la Corriente y la Tensin en un capacitor

6 Representacin del voltaje en forma de ecuacin diferencial con respecto al capacitor C.


4.8 RESPUESTA COMPLETA EN UN CIRCUITO.

)cos()( tVmtVs

)(ti

R L

Figura 4.10: Respuesta completa de un circuito

En el circuito de la Fig4.10. Utilizando la ley de Kirchhoff de tensiones7 tenemos que

la solucin natural que est ligada a la ecuacin diferencial homognea que modela

el circuito est dada por:

( )

Ecuacin 4.16

De donde se tiene que ( )

Para la respuesta forzada que est ligada a las fuentes se soluciona la ecuacin

diferencial no homognea que estada dada por:

( )

( ) Ecuacin 4.17

Se considera que la fuente ( ) se conmuto en algn momento anterior y la

respuesta natural se amortiguo por completo por lo que esta respuesta no forma parte

de la solucin del circuito.Por lo tanto se debe esperar que la respuesta forzada tenga

la forma:

( ) ( ) ( ) Ecuacin 4.18

Donde son constantes reales cuyo valor depende de .Al sustituir Ec.4.18

en Ec.4.17 tenemos que:

( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

( )

Derivando y agrupando los trminos ( ) ( ), resulta que:

( ) ( )

Esta ltima expresin es cierta para todo los valores de t, lo cual se logra si los

factores que multiplican a ( ) ( ) son cero (1).

( ) Ecuacin 4.19

( ) Ecuacin 4.20

Resolviendo simultneamente Ec.4.19 y Ec.4.20 tenemos que:

( ) Ecuacin 4.21

7 En toda malla la suma de todas las cadas de tensin es igual a la tensin total suministrada. De forma equivalente, En toda malla la suma algebraica

de las diferencias de potencial elctrico es igual a cero.


( )

Remplazando las ecuaciones Ec.4.21 en Ec.4.18 tenemos:

( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) (

( ) ( )

( ) ( ))

R

L

2

2

)(

L

R

Figura 4.11: Triangulo de impedancias

De la Fig.4.11.8 Tenemos la siguiente relacin:

( )

( ) ( ( ) ( ))

( )

( ) ( )

De la Fig.4.11. Se puede ver que (

) ; reemplazando en la expresin

anterior tenemos:

( )

( ) ( (

)) Ecuacin 4.22

As se puede ver que la amplitud de la respuesta es proporcional a la amplitud de

la funcin forzada, la amplitud de la respuesta disminuye tambin cuando se

incrementa R, L, , aunque no en forma proporcional. La corriente est retrasada

respecto de la tensin un ngulo .

4.9 FUNCIN FORZADA COMPLEJA.

La funcin forzada compleja va a estar compuesta de una parte real y una parte

imaginaria, la parte real de la funcin forzada originar la parte de la respuesta; en

tanto que la parte imaginaria de la funcin forzada dar como resultado la parte

imaginaria de la respuesta. El uso de cantidades complejas en el anlisis senoidal

origina mtodos mucho ms simples (1).

8 Utilizando el Teorema de Pitgoras y las relaciones trigonomtricas del seno y coseno.


RED

)( tv

)( ti

Figura 4.12: Funcin forzada compleja

En la Fig.4.12. Una fuente de tensin:

( )

Producir una respuesta de la forma:

( )

De forma anloga una fuente imaginaria:

( )

Producir una respuesta una respuesta:

( )

Se aplica una fuente real y se obtiene una respuesta real, se aplica una fuente

imaginaria y se obtiene una respuesta imaginaria; como se trabaja con un circuito

lineal; utilizando el teorema de superposicin podemos encontrar la respuesta de la

funcin forzada compleja dada la fuente (1):

( ) ( ) Ecuacin 4.23

La expresin anterior tendr como respuesta:

( ) ( ) Ecuacin 4.24

Utilizando la identidad de Euler: ( ) ( ) ( ) tenemos que la

expresin Ec.4.23 puede ser colocada como:

( ) Ecuacin 4.25

Y su respuesta:

( ) Ecuacin 4.26

4.9.1 Plantear una alternativa algebraica

)cos()( tVmtVs

)(ti

R L

}{Re etj

Figura 4.13: Respuesta completa de un circuito (Alternativa Algebraica)


( ) ( )

( )

( ( ))

( )

( )

[ ]

( )

( ) ( (

))

4.10 ALTERNATIVAS ALGEBRAICAS A ECUACIONES DIFERENCIALES

)cos()( tVmtVs

)(si

R L

}{Re etj

Figura 4.14: Respuesta completa de un circuito (Alternativa Algebraica)

Para poner en prctica esta idea observemos el circuito de la Fig.4.14. Para nuestro

caso la fuente compleja que se necesita es:

Ecuacin 4.27

Se expresa la respuesta compleja que se produce en trminos de una amplitud

desconocida y un ngulo de fase desconocido :

( ) Ecuacin 4.28

Al describir la ecuacin diferencial de este circuito tenemos:


Al introducir las expresiones complejas de e , Ec.4.27 y Ec.4.28 dentro la ecuacin

diferencial del circuito tenemos:

( )

( ( ))

Al encontrar la derivada, se obtiene una expresin algebraica, la cual al dividirse

todo entre el factor comn , y al factorizar el lado izquierdo de la expresin y reordenando, tenemos:

Ecuacin 4.29

En la Ec.4.29 podemos identificar , expresando el lado derecho de la ecuacin en forma exponencial o polar, basndonos en la Fig.4.15.

R

L

2

2

)(

L

R


Desarrollamos entonces las siguientes expresiones algebraicas en forma polar.

(

)

( )

( )

( ) (

( )

( ) )

( ) ( )

Por lo tanto tenemos:

( )

(

)

De esta manera al despejar , valindonos del valor de , tenemos:

( )

(

)

( ) ( )

De acuerdo a las igualdades anteriores podemos decir que la respuesta compleja

est dada por la Ec.4.30.


( )

( ) ( (

))Ecuacin 4.30

4.11 EL FASOR

Una corriente o una tensin senoidal a una frecuencia determinada se caracteriza

por solo dos parmetros: Amplitud y ngulo de fase. La representacin compleja de la

tensin o corriente se caracteriza tambin por ambos parmetros (1).

Dominio del tiempo.

La expresin:

( ) ( )

Se puede representar en forma compleja como:

Esta representacin abreviada recibe el nombre de fasor.

Puede escribirse tambin como:

( )

( ( ) ( ))

( )

( ) Ecuacin 4.31

Donde las expresiones y

son:

(Voltaje complejo)

(Voltaje conjugado)

Donde la Ec.4.31 quedar expresada de la siguiente manera:

( )

( ) Ecuacin 4.32

Podemos representar estas funciones complejas como se muestra en la Fig.4.16.

Figura 4.16: Funciones conjugadas

FASOR: Los trminos exponenciales variables en el tiempo. (2)


No es necesario mostrar explcitamente los dos fasores. Por convencin solo se

considera el fasor que va en sentido contrario de las manecillas del reloj.

Adicionalmente se suprime

4.12 REPRESENTACIN FASORIAL:

El voltaje y la corriente en forma fasorial se representa de la siguiente manera:

Ejercicios:

Representar en forma fasorial el siguiente voltaje:

( ) ( )

Obtener el valor instantneo de j10.

= 2000

( ) ( )

( ) ( )

( )


Figura 4.17: Valores Instantneos y representacin de fasores (j10)

Representar en forma fasorial (20+j10):

( ) ( )

( ) (

)

( )


Figura 4.18: Representacin de fasores (20+j10)

4.13 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJA:

4.13.1 Impedancia compleja.

El voltaje y la corriente a travs de una rama cualquiera, se puede representar

fasorialmente por (2):

El cociente es:

Ecuacin 4.33

Definimos entonces la Ec.4.33 como la impedancia de una Rama.

La impedancia esta medida en ohmios. Z no vara con el tiempo si la corriente y el

voltaje son senoidales (2).

La impedancia de una rama se puede considerar como un operador que

multiplicado por el fasor de la corriente cambia la magnitud y rota el fasor de modo

que el fasor resultante sea el fasor voltaje (1).

Siendo Z un nmero complejo, se puede escribir tanto en forma rectangular como en

forma polar, lo cual se encuentra definido en la Ec.4.34.

| | Ecuacin 4.34

(R resistencia y x la reactancia)

4.13.1.1 Tringulo de impedancias


Eje

imaginario

Eje

RealR

jXZ


La ventaja de usar el triangulo de impedancia Fig.4.19. Radica en que al ser

conocidos dos lados y un ngulo se puede conocer todos los lados y ngulos del

triangulo.

4.13.2 Admitancia Compleja.

La admitancia es la inversa de la impedancia.

De la Ec.4.33 tambin podemos escribir:

() Ecuacin 4.35

La Ec.4.35 nos representa la definicin de admitancia.

(G conductancia y B la suceptancia.)

4.13.2.1 Tringulo de Admitancias

Eje

imaginario

Eje

Real

j

Y

G

Figura 4.20 Tringulo de admitancias

La admitancia se mide en mhos y tal como la impedancia no vara con el tiempo si

la corriente y el voltaje son senoidales (2) (1).

Al igual que el tringulo de impedancias el tringulo de admitancias Fig.4.20. nos da

una mejor perspectiva de los lados y ngulos del mismo.

4.13.3 Relaciones entre las componentes y .

Si:


(

)

Al igualar la parte real y la parte imaginaria tendremos:

Ecuacin 4.36

Ecuacin 4.37

Para las relaciones inversas ser:

(

)

Igualando las partes real e imaginaria tendremos:

Ecuacin 4.38

Ecuacin 4.39

R y G son siempre de signos iguales, en cambio X y B son por el contrario de signos

opuestos.

4.14 RELACIONES FASORIALES RLC.

El poder real de la tcnica de anlisis basada en fasores radica en el hecho de que

se pueden definir relaciones algebraicas entre la tensin y la corriente en inductores y

capacitores, del mismo modo que siempre se ha podido hacer en el caso de las

resistencias. (2)

4.14.1 Resistor:

)( ti

)(tv R

Figura 4.21: Corriente y voltaje en un resistor en el dominio del tiempo.

La resistencia es el caso ms simple. En el dominio del tiempo, como se indica

mediante la Fig.4.21. La ecuacin de definicin es:

( ) ( )

Se aplicar ahora la tensin compleja

( ) ( ( )) Ecuacin 4.40


Y se supone la respuesta de corriente compleja

( ) ( ( )) Ecuacin 4.41

Por lo que:

( ( )) (

( ))

Dividiendo entre , se encuentra que:

( ) (

)

O, representado en forma polar tenemos:

La impedancia compleja definida en el dominio de la frecuencia como la relacin

entre el voltaje y la corriente ser:

Impedancia en un Resistor

La impedancia de un resistor slo posee parte real y est es igual al valor de su

resistencia.

El diagrama fasorial que relaciona V e I se muestra en la Fig.4.22.

Ejercicio:

Escribir las representaciones fasoriales de: ( ) ( ) con R = 4.

( ) ( )

Eje Real

Eje

imaginario

I

V


Figura 4.22: Diagrama fasorial en un resistor

4.14.2 Inductor:

)( ti

dt

tdiLtv

)()( L

Figura 4.23: Voltaje y corriente en un inductor

Ahora consideramos el Inductor. La red en el dominio del tiempo se muestra en la

Fig.4.23. Y la ecuacin de definicin en el dominio del tiempo es:

( )

Ecuacin 4.42

Al sustituir la Ec.4.40 y la Ec.4.41 en la Ec.4.42, y al tomar la derivada indicada se

tiene que:

( ( ))

( )

Y al dividir entre :

( )

En forma polar:

Se obtiene la relacin fasorial que se desea

Ecuacin 4.43

La corriente debe estar retrasada

con respecto al voltaje.


Eje Real

Eje

imaginario

IV

Figura 4.24: Diagrama fasorial en un inductor

Impedancia en el inductor:

La impedancia de un inductor ser el cociente entre el voltaje y la corriente.

Ecuacin 4.44

Reactancia Inductiva ()

El diagrama fasorial es mostrado en la Fig.4.24.

La impedancia de un inductor solo tiene parte imaginaria.

4.14.3 Capacitor:

dt

tdvCti

)()(

)( tv C

Figura 4.25: Voltaje y corriente en un capacitor


Ahora consideramos el capacitor. La red en el dominio del tiempo se muestra en la

Fig.4.25.

El desarrollo para las ecuaciones para el capacitor es anlogo a los anteriores que

son de la resistencia y el inductor. (2)

Al considerar el elemento de la capacitancia, es decir el condensador, nos

encontramos con la definicin de capacidad, una expresin familiarizada con el

dominio del tiempo:

( )

A continuacin mostramos la ecuacin de la corriente compleja, relacionada con

la capacitancia.

( )

( )

( )

( )

La expresin equivalente en el dominio de la frecuencia, se obtiene partiendo de la

ecuacin de la corriente y tensin complejas, hallando la derivada indicada,

suprimiendo ( )y reconociendo los fasores V e I, tenemos la siguiente expresin. (2)

Ecuacin 4.45

[ ]

El diagrama fasorial es mostrado en la Fig.4.26.

Eje Real

Eje

imaginario

I

V

Figura 4.26: Diagrama fasorial en un capacitor

La representacin del voltaje en forma polar es:


La representacin de la corriente en forma polar es:

4.15 DOMINIO DE LA FRECUENCIA

Para hacer el estudio de una red, trabajando con las transformadas V e I; debemos

realizar primero el paso denominado dominio de tiempos a dominio de

frecuencias, que consiste en los siguientes cambios (1) (2).

a) Cambiar todas las inductancias L, por su reactancia b) Cambiar todas las capacitancias C, por sus reactancias

c) Cambiar todas las fuentes por sus transformadas fasoriales

d) Cambiar todas las incgnitas por sus transformadas (2).

4.16 LEYES DE KIRCHHOFF CON FASORES.

4.16.1 Ley de Tensiones de Kirchhoff en el dominio del Tiempo.

Serie

V

1Z 2Z

3Z

Figura 4.27: Malla de impedancias con una fuente senosoidal

La ley de Kirchhoff de tensin en el dominio del tiempo establece que (1)

Ecuacin 4.46

Se utiliza ahora la identidad de Euler para sustituir cada tensin real por una tensin compleja que tenga la misma parte real, se suprime en todos lados y se

obtiene (1):

Ecuacin 4.47

4.16.2 Ley de Corrientes de Kirchhoff en el dominio del Tiempo.

Por un razonamiento anlogo, se muestra que la ley de corrientes de Kirchhoff es

vlida para fasores corriente. (1)


Paralelo:

1Z 2

Z3Z

4Z

5Z

6Z

7Z

8Z

Figura 4.28: Nodo comn de impedancias

De esta manera podemos decir que la ley de Kirchhoff en el dominio del tiempo al

realizar las operaciones anlogas a las realizadas en la ley de tensiones de Kirchhoff

tenemos:

CA

o

ms VV 0

R

RV

I

L

LV

Figura 4.29: Circuito RL en dominio de la frecuencia

Considerando ahora brevemente el circuito RL en serie que se ha estudiado varias

veces, el cual se muestra en la Fig.4.29. y se indican una corriente fasorial y varias

tensiones fasoriales. Se obtendra la respuesta deseada, una corriente en el dominio


del tiempo, mediante la determinacin, en primer lugar, de la corriente fasorial. A

partir de la ley de Kirchhoff de tensin, se tiene que (1):

Y las relaciones V-I obtenidas recientemente para los elementos

Ahora hayamos el factor corriente en trminos de la tensin de la fuente .

( )

( )

Mediante las resoluciones algebraicas y despejando tenemos:

(

)

( )

R

LX

2

2

)(

LX

R

Figura 4.30: Triangulo de impedancia caso RL

(

)

Figura 4.31: Diagrama fasorial caso RL

(

)

De esta manera tenemos, la corriente en el dominio del tiempo de forma polar.


(

)

Figura 4.32: Diagrama fasorial de los elementos R, L, C

De una manera analgica podemos encontrar el voltaje en el dominio del tiempo

en forma polar teniendo como resultado las siguientes ecuaciones.

(

)

(

)

(

)

Ejercicios:

En el siguiente circuito encontrar ( ) permanente

( )

1e H101

2

1

H5

1

2

1

F10

1

1

0e


Figura 4.33: Grfica del ejercicio

20101 E

1j

2

1

2j

2

1

1j

1

Figura 4.34: Transformacin a impedancias

20101 E

1j

11 j

21 j

Figura 4.35: Simplificacin del circuito

20101 E

1j

1eqZ



( )( )

( )

20101 E

2eqZ

I

Figura 4.37: Circuito reducido

( ) ( )

( ) ( )

4.17 DIAGRAMAS FASORIALES

Este es el nombre dado a una representacin grfica en el plano complejo de los

fasores tensin y corriente de un circuito especfico. Este diagrama proporciona un

mtodo grfico para resolver ciertos problemas para los que los clculos algebraicos

complejos resultan molestos; con estos diagramas se pueden facilitar dichos clculos

algebraicos (1).


Los fasores se pueden representar por:

- Nmeros complejos.

- Vectores.

- Operaciones vectoriales.

Puesto que los fasores tensin y corriente son nmeros complejos, es claro que

podrn identificarse como puntos en un plano complejo (3).

4.17.1 Caso RLC Serie

Un diagrama tpico para una conexin en serie se muestra en la Fig.4.38 y la Fig.4.39.

R L

C

)(te

I

Figura 4.38: Circuito para diagrama fasorial caso RLC serie

Figura 4.39: Diagrama fasorial caso RLC serie

Asumiendo:

Ecuacin 4.48

Podemos hacer un diagrama vectorial en donde las magnitudes y los ngulos pueden ser

aproximados (2).

Los voltajes fasoriales son:


( )

Lo mismo se puede asumir para las corrientes fasoriales.

Para una resistencia, el ngulo de E y de I es idntico, el voltaje y la corriente estn

en fase.

Para una inductancia, el ngulo de E es 90 ms positivo que el de I, es decir el

voltaje adelanta a la corriente en 90 (3)

La corriente a travs de una capacitancia adelanta al voltaje en 90

A continuacin se dan algunas caractersticas de los dipolos.

- Circuito R-L La tensin adelanta a la corriente entre (0 y 90) grados (2).

- Circuito R-C La tensin atrasa a la corriente entre (0 y -90) grados (2).

- Circuito R-L-C La tensin o corriente pueden adelantarse o atrasarse (2).

I RV

CV V

Eje imaginario

Eje real

Figura 4.40: Diagrama fasorial caso RLC serie

- | | | |


Figura 4.41: Diagrama fasorial caso | | | |

- | | | |


- | | | |



Ecuacin 4.49

Figura 4.44: Lugar geomtrico de Diagrama fasorial caso RLC serie

|

Ecuacin 4.50

4.17.2 Caso RLC Paralelo

El dual del circuito serie es otro en paralelo Fig.4.45. Y la Fig.4.46.


)(ti V R L C

Ri Li Ci

Figura 4.45: Circuito para diagrama fasorial caso RLC paralelo

Figura 4.46: Diagrama fasorial caso RLC paralelo

En la red seleccionamos V como la referencia, ya que las otras cantidades son

fcilmente relacionables con l, y as determinamos cada una de las corrientes (2) (3).

Obsrvese que:

Ecuacin 4.51

(

)

Aplicacin en un ejercicio.


)(ti V R L C

Ri Li Ci

Figura 4.47: Circuito para diagrama fasorial caso RLC paralelo

Ecuacin 4.52

Ejercicio:

)(tiSV

RiLiCi3,0jC 1,0jL 2,0G

Xi



Figura 4.49: Grfica del ejercicio, diagrama fasorial para C en caso

En un circuito capacitivo el voltaje se encuentra atrasado con respecto a la

corriente.

En un circuito inductivo la corriente se encuentra retrasada con respecto al

voltaje.

Figura 4.50: Grfica del ejercicio, diagrama fasorial del voltaje y corrientes en L y C


Figura 4.51: Grfica del ejercicio, diagrama fasorial de las corrientes del circuito

( ) ( )

Ejercicio:

Encontrar En el siguiente circuito.

Ao01 5 10j 5j 10

Ao905,0

10j

5j


1. Transformacin de Fuentes

Ao01 Ao905,0

1eqZ

2eqZ

3eqZ

Figura 4.53: Transformacin en impedancias


1eqV 2eqV

24 j 10j 42 j

I

2V


( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2. Con Kirchhoff

Ao01 Ao905,0 24 j

42 j

10j1I a

2I

3I

4I

5Ib

I


Nodos

a.

b.

c. Este nodo es dependiente de a y b.

Mallas

( ) ( ) ( )


( )( ) ( ) ( ( ))( )

[ ]

( )

[ ]

( )( )

[ ]

4.18 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En definitiva se ha podido ver la importancia del anlisis senoidal permanente en la

resolucin de circuitos con elementos pasivos, tomado en cuenta solo la respuesta

debido a las fuentes ya que como se mencion anteriormente la respuesta transitoria

se desvanece con el tiempo .Tambin se pudo observar el uso de los fasores para

describir cantidades como las corrientes y la tensiones caracterizados por solo su

magnitud y ngulo de fase a una frecuencia dada en las fuentes de un circuito.

Cuando se transforma en el dominio del tiempo al de la frecuencia los elementos

pasivos como resistencias inductores y capacitores se pueden reemplazar por una

cantidad comn denominada impedancia; agrupndose en combinaciones serie y

paralelo de forma anloga a las resistencias y utilizando todas las tcnicas de

resolucin de circuitos resistivos se pueden encontrar de manera sencilla parmetros

como la corriente y tensin en un circuito.

4.19 BIBLIOGRAFA

1. William H. Hayt, Jr, E.Kemmerly, Jack y Durbin., Steve M. Anlisis de Circuitos en

Ingeniera. Mexico D.F : McGraw-Hill, 2007.

2. Vass, Helena. Circuitos Electicos. Quito : Escuela Politcnica Nacional , 1978.

3. Joseph A. Edminister, M. S. E. Circuitos Elctricos. Naucalpan de Jurez : McGraw-Hill

INC, 1970.

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