Corriente, resistencia y FEM

Captulo 4

Corriente, resistencia y fuerza electromotriz (FEM)

4.1 Introduccin

Se ha estudiado anteriormente las cargas en estado de reposo, las cuales definan campos

elctricos. Ahora se estudiarn las cargas en movimiento que adems de campos elctricos

definirn campos magnticos. En un proceso de polarizacin o de distribucin de carga, se

produce un flujo de cargas momentneo. Ahora se estar interesado en el flujo continuo de

cargas elctricas.

Si se tiene un cuerpo neutro conductor entre dos cargas de signos opuestos, se verificar un

movimiento de cargas hasta que la diferencia de potencial entre sus extremos se anule. Para

lograr mantener esa diferencia de potencial y por lo tanto mantener las cargas en movimiento,

se deber conectar entre sus extremos un elemento que mantenga la diferencia de potencial.

Este elemento viene a ser una batera.

En general, cuando el movimiento de cargas elctricas se realiza dentro de una trayectoria

conductora que forma un circuito cerrado, a la trayectoria conductora se le denomina circuito

elctrico. Estos circuitos elctricos son medios de transporte de energa de un punto mediante

la transferencia de energa potencial elctrica desde una fuente (batera o generador) hacia

elementos que la almacenen o la conviertan en otras formas de energa.

4.2 La corriente

Definicin de corriente

Una corriente es cualquier movimiento de cargas de una regin a otra. Se define como el

flujo de cargas elctricas que, por unidad de tiempo, atraviesan un rea transversal.

Para un conductor que tiene una diferencia de potencial entre sus extremos, la carga positiva

se mover del potencial mayor al potencial menor. A travs de una seccin transversal del

conductor en un instante dt fluye una carga neta dq establecindose una corriente elctrica i

dt

dqi

La unidad SI de la corriente elctrica viene a ser una unidad fundamental denominada

Amperio que se define como carga por unidad de tiempo:

sCA 11

Captulo 4: Corriente, resistencia y fuerza electromotriz

2

Velocidad de Arrastre y corriente convencional Si no hay campo elctrico dentro de un material conductor, las partculas cargadas se mueven

al azar dentro de material. Un electrn libre cualquiera se desplazar siguiendo una

trayectoria aleatoria de tal modo que pasar de un punto P1 a otro P2 en un tiempo t.

Como el movimiento de los otros electrones tambin es aleatorio, no existir flujo neto de

carga en ninguna direccin. Si ahora se le somete a un campo elctrico E

(como

consecuencia de la diferencia de potencial aplicada) la fuerza elctrica EF

q provocar un

pequeo arrastre en el movimiento aleatorio de modo que se puede pensar que el punto P2

final en la trayectoria del electrn ahora se ubica en P2 situado a una distancia vt en la

direccin de la fuerza elctrica como se muestra en la figura 4.1.

Figura 4.1 Movimiento de un electrn sin campo elctrico (trayectoria P1P2)

y con campo elctrico (trayectoria P1P2).

En un medio conductor debido a la gran cantidad de electrones libres alrededor de los ncleos

de los tomos, los electrones avanzan con cierta dificultad al rebotar con cada tomo, por lo

cual se puede considerar que la velocidad de movimiento es constante. A dicha velocidad v se

le denomina velocidad de arrastre. Como se sabe, en realidad son los electrones los que

fluyen. Pero como el movimiento de una carga positiva a travs de la seccin de un

conductor es equivalente desde el punto de vista de balance de carga al movimiento de una

carga negativa en direccin contraria a travs de dicha seccin, se tomar por convencin que

el flujo de cargas es de cargas positivas. Esto origina la corriente convencional, la cual es de

las cargas positivas como se ve en la figura 4.2.

De aqu en adelante se le llamar corriente a la corriente convencional.

Figura 4.2 (a) La corriente real es de cargas negativas mientras que (b) la corriente convencional es de cargas

positivas.

vt

E

P1

P2

P2

v v

v v

v v

E

E

E

E

v v

v v

v v

(a) (b)


3

Densidad de corriente

Ahora, si se considera un conductor con n cargas libres por unidad de volumen y que en un

volumen determinado V de carga pasa por una seccin del conductor en un determinado

tiempo t como se ve en la figura 4.3.

Figura 4.3 Corriente elctrica a travs de un conductor

las carga neta que pasa por la seccin S de rea A del conductor ser:

nVeQ

Donde e es la carga de un protn. Se tiene entonces que la corriente i es:

nAevdt

dlnAe

dt

nAled

dt

nVed

dt

dQi

)()(

Donde v es la velocidad de arrastre y es igual a t

l

dt

dlv con lo cual:

La densidad de corriente j

es un vector cuya magnitud representa cuanta corriente por

unidad de rea est pasando en ese momento en un punto dentro de un conductor.

Vectorialmente se tiene que el vector densidad de corriente se puede representar por:

en vj

A nivel diferencial se tiene: Aj

ddi

nAvei

nveA

ij

Aj

di


4

Si se tiene un cuerpo con seccin transversal variable (representada en la figura 4.3 por reas

diferentes A1, A2 y A3), la corriente i no vara porque la cantidad de carga por unidad de

tiempo que fluye ser la misma ya que en un conductor no hay concentracin de carga. As

mismo, se muestra un corte longitudinal de un conductor de seccin variable. En realidad

pueden existir fugas de corriente por las paredes del conductor que se disminuyen si se le

rodea con un medio dielctrico.

Figura 4.4 Cuerpo atravesado por una corriente constante. Se puede ver que la densidad de corriente es distinta

para diferentes puntos del cuerpo.

4.3 La resistencia

4.3.1 La resistividad

La resistividad es una propiedad de un material que indica el grado de dificultad que

encuentran los electrones en sus desplazamientos. Esta propiedad se cumple slo para

materiales isotrpicos, es decir, para aquellos cuyas propiedades elctricas son las mismas en

todas direcciones. Se designa por la letra griega rho minscula () y se mide en ohms por metro (m, a veces tambin en mm/m).La conversin de m a mm/m resulta de multiplicar la unidad inicial por 1x10

-6.

Su valor describe el comportamiento de un material frente al paso de corriente elctrica, por

lo que da una idea de lo buen o mal conductor que es. Un valor alto de resistividad indica que

el material es mal conductor mientras que uno bajo indicar que es un buen conductor.

Definicin la resistividad en funcin del campo elctrico y la densidad de corriente

La densidad de corriente j

depende del campo elctrico E

y de las caractersticas del

material. A una determinada temperatura, es casi directamente proporcional al campo

elctrico E

y el cociente de las magnitudes E y j es una constante.

La resistividad de un material es el cociente de las magnitudes del campo elctrico y la densidad de corriente que es generada por dicho campo.

i i i A1

A2 A3

j

E

DianaResaltado

DianaResaltado

DianaResaltado

DianaResaltado

DianaResaltado


5

Los buenos conductores poseen valores de resistividad muy pequeos lo que significa que

necesitan un campo muy pequeo para producir grandes valores de densidad de corriente, es

decir, tienen una mayor facilidad para que los electrones fluyan. Por el contrario los aislantes

tienen valores de resistividad muy pequeos. Un material conductor perfecto

(superconductor) tendra una resistividad de cero y un aislante perfecto tendra una

resistividad de valor infinito.

El recproco de la resistividad es la conductividad que tiene unidades SI de 1 m

Algunos valores de resistividad se pueden ver en la tabla 4.1.

Tabla 4.1 Algunos valores de resistividad de diferentes materiales a 20oC.

Material Resistividad (m)

Plata 1,55 x 10-8

Cobre 1,70 x 10-8

Oro 2,22 x 10-8

Aluminio 2,82 x 10-8

Wolframio 5,65 x 10-8

Nquel 6,40 x 10-8

Hierro 8,90 x 10-8

Platino 10,60 x 10-8

Estao 11,50 x 10-8

Acero inoxidable 72,00 x 10-8

Grafito 60,00 x 10-8

Variacin de la resistividad dependiendo de la temperatura

La resistividad depende de la temperatura. Esta resistividad variar tan solo si es un material

conductor. Se estudiar cuatro casos de materiales conductores: cuando es metlico, cuando

es no metlico, cuando es superconductor y cuando es una aleacin

Un material metlico

La resistividad de un conductor metlico casi siempre aumenta al aumentar la temperatura.

Al aumentar la temperatura, los iones de un conductor vibran con mayor amplitud, lo que

hace ms probable que un electrn choque con un ion lo que impide el arrastre de los

electrones por el conductor y por lo tanto la corriente.

Generalmente la resistividad de los metales aumenta con la temperatura, mientras que la

resistividad de los semiconductores disminuye ante el aumento de la temperatura. La forma

como vara la resistividad conforme a la temperatura se puede ver en la figura 4.5 a).

Sin embargo, esta caracterstica puede aproximarse a una variacin lineal que cumple:

00 1 TTT


6

Se lleva la curva cuadrtica a una recta aproximada a la temperatura T0, la cual es 20oC. As

mismo, el valor de 0 es la resistividad del material a 20oC. Esto ayuda en el caso que se

trabaja a temperaturas parecidas a la temperatura ambiente. En casos extremos esta

aproximacin no es vlida.

A se le conoce como coeficiente de temperatura de la resistividad, siendo positivo para el caso de un material metlico, tal como se ve en la figura 4.5 a).

Un material no metlico

Para el caso de un no metal (por ejemplo del grafito) la resistividad disminuye al aumentar la

temperatura pues a mayor temperatura, mayor cantidad de electrones son arrancados de sus

tomos, por esto sera negativo.

Un material superconductor

Algunos materiales presentan un fenmeno conocido como superconductividad. Cuando

disminuye la temperatura, la resistividad disminuye suavemente hasta llegar a cierta

temperatura crtica Tc, donde se produce una transicin de fase y la resistividad cae a cero

sbitamente tal como como se muestra en la figura 4.5 b). Por lo tanto una vez establecida la

corriente, sta se mantendr sin necesidad de que exista una fuente que mantenga el campo

elctrico. La superconductividad ocurre en una gran variedad de materiales, incluyendo

elementos simples como el estao y el aluminio, diversas aleaciones metlicas y algunos

semiconductores fuertemente dopados. La superconductividad no ocurre en metales nobles

como el oro y la plata, ni en la mayora de los metales ferromagnticos.

Hasta ahora no se conoce ningn caso de superconductor cuya temperatura crtica sea superior

a los 185K, unos -88oC, a presin ambiente.

Figura 4.5 Caracterstica de la resistividad en funcin de la temperatura para un material conductor y un

superconductor.

En las aleaciones

La resistividad de las aleaciones es prcticamente independiente de la temperatura.

T0 T

0

(T) Aprox. Lineal

Pendiente =0

a) Metlico

Tc T

(T)

(b) Superconductor


7

4.3.2 La resistencia

La resistencia es la oposicin que presenta un cuerpo al paso de corriente, la cual depende del

material y de la geometra del cuerpo.

El diferencial de resistencia es definido por: dlA

dR

De manera que la resistencia total est definida por:

La unidad SI para la resistencia es el ohm que se representa por la letra griega .

La representacin grfica de un elemento con una determinada resistencia se muestra en la

figura 4.6.

Figura 4.6 Representacin simblica de la resistencia

4.3.3 La ley de Ohm Cuando las cargas elctricas se desplazan a velocidad constante, son llevadas por un campo

elctrico E

, desde un potencial positivo a un potencial negativo o en general de un punto de

mayor potencial a otro de menor potencial, por lo cual pierden energa potencial elctrica

como se esquematiza en la figura 4.7.

Figura 4.7 Variacin del potencial de una carga en su recorrido a travs de un conductor

dlAR

V

A

dl

dl E

1 2

V

+ -

R

DianaResaltado


8

El trabajo de la fuerza elctrica por unidad de cargas ser igual a la prdida de energa

potencial por unidad de carga:

dVdqdW lE

Integrando se tiene:

VV-VVVdW 2112 2

1

lE

Conociendo que jE y Aij se tiene:

2

1

2

1

2

1

dlA

idljdlEV

La corriente i no vara en el conductor, y A pueden variar en funcin de la longitud del conductor, por lo tanto:

2

1

dlA

iV

Se ha visto que dlAR

, llegando de esta manera a la siguiente expresin:

iRV

La cual representa la Ley de Ohm. Esta expresin puede ser reescrita de la siguiente manera:

R

Vi

De esta manera se llega a la siguiente interpretacin: La intensidad de la corriente elctrica que circula por un dispositivo es directamente proporcional a la diferencia de potencial

aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo:

De la Ley de Ohm, se obtiene la siguiente equivalencia:

AV11

Esto significa que para cualquier punto la relacin entre la diferencia de potencial aplicado y

la corriente establecida es una constante. Se ve que a mayor resistencia del conductor, para

una misma diferencia de potencial, se establecer una corriente pequea y viceversa.

Por ejemplo en el filamento muy fino de en una bombilla elctrica tiene una resistencia de

140 por lo que al establecerse una diferencia de potencial, se desarrolla una pequea corriente que calienta al filamento al rojo vivo y la energa proporcionada se convierte en luz

y en calor. Un alambre conductor para una instalacin domstica (calibre 12 y 100 m de

longitud) tiene por ejemplo una resistencia de 0.5 . Se emplean entonces conductores de baja resistividad y seccin transversal grande para minimizar la generacin de calor y

aumentar la cantidad de corriente conducida.


9

Se haba visto que la resistividad de un material variaba con la temperatura, luego, la

resistencia de un conductor especfico tambin lo hace y se puede aproximar (tal como se hizo

para la resistividad) la variacin a una tendencia lineal:

Un material que depende de la ley de Ohm se conoce como conductor hmico o lineal donde

es constante e independiente del valor de E. Por el contrario aquellos materiales cuyo comportamiento se aleja de la ley de Ohm se conocen como no hmicos o no lineales

La unidad SI para la resistividad ser:

A

mV

mA

mV2

De la ley de Ohm, se obtiene que:

AV11

Con lo cual, la unidad SI de la resistividad ser m (ohm-metro).

Si una resistencia es parte de un circuito elctrico, un campo elctrico E

producir un flujo

de carga. Sin embargo se ha visto que las cargas se mueven a una velocidad v constante (la

velocidad de arrastre), por lo tanto debe existir una fuerza f

, como se muestra en la figura

4.8) que anule al campo elctrico. Esta fuerza f

tiene carcter de fuerza de rozamiento, de

ah la generacin de calor en una resistencia.

Figura 4.8 Resistencia sometida a una diferencia de potencial elctrico.

En un elemento resistivo entonces V=IR representa el calor generado por unidad de carga.

00 1 TTRTR

A B

+ -

E

f

v


10

4.4 La fuerza electromotriz (FEM)

Viendo la figura 4.9. En un conductor aislado con una resistividad , la accin de un campo elctrico E

producir flujo de cargas con densidad de corriente Ej

(a). Se acumular

carga en los extremos del conductor produciendo un campo contrario 'E

que crece a medida

que se acumula la carga y disminuye el campo resultante (b). Cuando el campo contrario 'E

llega a ser igual al campo E

, entonces la densidad de corriente ser cero y la corriente dejar

de fluir.

Figura 4.9 Conductor sometido a un campo elctrico.

Si se desea que por un conductor exista una corriente estacionaria en el tiempo, el conductor

debe formar parte de una trayectoria cerrada o circuito elctrico completo, en el cual se

necesitar de un dispositivo que mantenga la diferencia de potencial entre los extremos del

conductor. Normalmente las cargas en el circuito se mueven del potencial mayor al potencial

menor. El dispositivo toma cargas con bajo potencial y las lleva a un potencial mayor para lo

cual suministra la diferencia de potencial requerida gastando una energa interna. A este

dispositivo se le llama fuente o generador y se representan en un circuito como se muestra en

la figura 4.10. El signo + indica el extremo a mayor potencial y el signo el de menor potencial.

Figura 4.10 Representacin de una fuente de tensin o potencial constante.

Definicin

La fuerza electromotriz es toda causa capaz de mantener una diferencia de potencial entre dos

puntos de un circuito abierto o de producir una corriente elctrica en un circuito cerrado. Es

una caracterstica de cada generador elctrico.

Se define como el trabajo que el generador realiza para pasar por su interior la unidad de

carga positiva del polo negativo al positivo, dividido por el valor en Coulombs de dicha carga.

Esto se justifica en el hecho de que cuando circula esta unidad de carga por el circuito exterior

al generador, desde el polo positivo al negativo, es necesario realizar un trabajo o consumo de

energa (mecnica, qumica, etc.) para transportarla por el interior desde un punto de menor

potencial (el polo negativo al cual llega) a otro de mayor potencial (el polo positivo por el

cual sale).

E j

(a)

E j E

(b)

DianaResaltado


11

Representacin de una fuente de tensin constante.

Las propiedades puramente elctricas de una fuente de tensin constante se modelan en su

forma ms sencilla por una fuente de tensin ideal (sin prdida alguna). Esto se puede ver en

la figura 4.11 (a). Sin embargo, en la realidad hay una disminucin de energa por unidad de

carga debido a las consecuencias elctricas de las complejas reacciones qumicas que existes

cuando circula carga por dentro de la fuente. Para representar esto, se utiliza una fuente de

tensin constante real, la se modela mediante una fuente de tensin constante ideal en serie

con una resistencia, la cual es llamada resistencia interna. Esto se puede ver en la figura 4.11

(b).

Figura 4.11 Representacin de una fuente de tensin o potencial constante ideal (a) y real (b).

Conforme la fuente se va gastando, su resistencia interna va aumentando, lo que hace que la

tensin disponible sobre la carga vaya disminuyendo, hasta que resulte insuficiente para los

fines deseados, momento en el que es necesario reemplazarla. Para dar una idea, una pila

nueva de las ordinarias de 1,5 V tiene una resistencia interna de unos 0,35 , mientras que una vez agotada puede tener varios. Esta es la razn de que la mera medicin de la tensin

con un voltmetro no sirva para indicar el estado de una pila, en circuito abierto incluso una

pila gastada puede indicar 1,4 V, dada la carga insignificante que representa la resistencia de

entrada del voltmetro, pero, si la medicin se hace con la carga que habitualmente soporte, la

lectura bajar a 1,0 V o menos, momento en que esa pila ha dejado de tener utilidad. Las

actuales pilas alcalinas tienen una curva de descarga ms suave que las previas de carbn; su

resistencia interna aumenta proporcionalmente ms despacio.

Se puede analizar el trabajo por unidad de carga en la fuente al trasladarse una carga desde le

terminal con menor potencial al terminal de la siguiente manera:

: energa no elctrica por unidad de carga generada por la fuente o generador : fuerza electromotriz (fem):

MNV : energa elctrica por unidad de carga

: diferencia de potencial entre terminales

rI : energa calorfica generada en el interior de la fuente

: cada de potencial en la resistencia interna de la fuente r.

Luego como la energa se conserva, se deber cumplir en el interior de la fuente:

a) b)

IrVMN


12

Por lo tanto, cuando una fuente est en vaco, es decir, no tiene conectado ningn utilizador,

la corriente I ser nula por lo tanto:

Para una fuente ideal, r sera cero con lo cual la relacin anterior se cumplira. En la realidad

existe un valor de r, como se ve en la figura 4.12, y es necesario hacerla lo ms pequea

posible para disminuir al mximo la generacin de calor y por tanto tener una VMN ms

cercana a . Por lo tanto desde que se establece una corriente en el circuito y por lo tanto a travs de la fuente, la diferencia de potencial entre terminales disminuye

Figura 4.12 Generador ideal vs. Generador real.

De la expresin hallada para una fuente conectada a un circuito se despeja el valor de la

diferencia de potencial entre terminales de la batera, la ecuacin caracterstica V I de la fuente ser:

Tipos de acoplamientos:

Conexin en serie: La conexin de varias fuentes en serie permite multiplicar la tensin en los

bornes externos del conjunto cuanto se quiera.

Conexin en paralelo: Cuando se necesita una corriente mayor que la que puede suministrar

un elemento nico, siendo su tensin en cambio la adecuada, se pueden aadir otros

elementos en la conexin llamada en paralelo, es decir, uniendo los polos positivos de todos

ellos, por un lado, y los negativos, por otro. Este tipo de conexin tiene el inconveniente de

que si un elemento falla antes que sus compaeros, o se cortocircuita, arrastra

irremisiblemente en su cada a todos los dems.

Capacidad total

La capacidad total de una pila se mide en amperios x hora (Ah), siendo esta magnitud el

nmero mximo de amperios que el elemento puede suministrar en una hora. Indica la

cantidad de carga que una fuente puede movilizar.

Cuando se extrae una gran corriente de manera continuada, la pila entrega menos carga total

que si la carga es ms suave.

MNV

Generador ideal

M

I

N r

Generador real

M N

I

IrVMN


13

4.5 Las leyes de Kircchoff

Antes de entrar a estudiar las leyes, se definir lo qu es un nodo y una malla.

Nodo: Es un punto donde se encuentran tres o ms elementos.

Rama: Es cualquier trayectoria cerrada en un circuito.

En la figura 4.13 a, b, c y d seran nodos, e y f no. Algunas mallas seran acdefa, abcdefa,

abdefa.

Figura 4.13 Circuito elctrico

Las leyes de Kircchoff son dos: Ley de Nodos y Ley de Mallas.

Ley de los nodos de Kircchoff

Esta ley dice lo siguiente: La suma algebraica de las corrientes que entran a un nodo es cero. Esto debido a que la carga no puede acumularse en un nodo, por lo tanto la carga total que entra en un nodo por unidad de tiempo debe ser igual a la que sale:

0 I

Se puede definir un sentido convencional para la corriente positiva, por ejemplo, la corriente

que sale de un nodo se la toma como positiva y la que entra al nodo como negativa. Ntese

que esta convencin es arbitraria, se podra asumir el caso inverso y no alterara la regla.

Ley de las mallas de Kircchoff

Esta ley dice lo siguiente: La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier trayectoria cerrada es cero. Esta regla indica que la fuerza electrosttica es conservativa.

0V

a

b c

d e

f

V

R1 R2

R4 R3

R5

R6

R7


14

Fuente: Proporciona una tensin constante entre sus

terminales y entrega energa elctrica

Resistencia: Disipa energa en un circuito

Conductor: Permite el transporte de carga elctrica y

es considerado como equipotencial

Interruptor: Tambin llamado switch. Permite

alterar la continuidad del circuito al abrirse o cerrarse.

Cuando se pasa a travs de un elemento utilizador de energa (resistencias, condensadores),

se pasa de potencial mayor a potencial menor y por lo tanto la diferencia de potencial ser

negativa. Si por el contrario se pasa de menor potencial a mayor potencial (fuentes, fem), la

diferencia de potencial ser positiva.

Se puede seguir una convencin de signos cuando ser recorre una trayectoria cerrada en un

circuito utilizando las Reglas de Kircchoff como se muestra en la figura 4.14

Figura 4.14 Convencin de signos.

Tambin se puede utilizar una regla mas general que diga lo siguiente: la variacin de potencial es aquella que se tendr cuando se sigue el camino que recorre la corriente.

Como repaso veremos que para disposiciones discretas de elementos elctricos vistos hasta el

momento en la tabla 4.2.

Figura 4.2 Dispositivos utilizados en los circuitos elctricos.

Cabe indicar que se considera al Conductor como un cable equipotencial debido a que su

resistencia es muy pequea y prcticamente despreciable respecto al resto de resistencias.

Esto trae consigo que cualquier corriente que circule por l ocasionar una cada de potencial

prcticamente nula.

Recorrido

+ -

I

+IR

Recorrido

+ -

I

- IR

Recorrido

+ - -

Recorrido

+ - +


15

4.6 Arreglo de resistencias: la resistencia equivalente

El considerar diferentes resistencias puede tener sus propias complejidades. A continuacin se

expondr la metodologa para llevar todo un conjunto de resistencias a una resistencia

equivalente.

4.6.1 Resistencias en serie

Suponiendo que se tiene un conductor en forma de un paraleleppedo cuya resistividad vara a

lo largo de su longitud. Entre sus extremos se va a establecer una diferencia de potencial

segn lo mostrado a continuacin:

Si la resistividad es variable como se muestra en la figura 4.15 a), se puede coger

diferenciales de volumen dlA donde la resistividad es constante. Entre los extremos de este

elemento diferencial habr una diferencia de potencial dV por lo cual se puede decir que el

elemento diferencial mostrado en la figura 4.15 b) tendr una resistencia igual a:

I

dVdR

Figura 4.15 Modelo empleado para la deducir la resistencia equivalente en serie

Entonces:

B

A

B

A

B

A

AB dRIdRIdVV

Se puede hallar una resistencia equivalente serie que cumpla:

serieAB RIV

Por lo tanto, la resistencia equivalente serie ser:

l s

s

A

B dl

A

(+)

B

(-)

a

b

a)

dl

j A

b

c

dV

(+) (-)

b)

I

B

A

serie dRR


16

Para un sistema discreto de n resistencias en serie como se muestra en la figura 4.16 se tiene

que por todas las resistencias pasa la misma corriente I, y la diferencia de potencial V se

distribuye en los n elementos.

De esto se llega a lo siguiente:

El partidor de tensin

Si se tiene un circuito como el mostrado en la figura 4.16, se aprecia que todas las resistencias

son atravesadas por la misma corriente.

Figura 4.16 Resistencia dispuestas en serie.

Debido a esto, se llega a lo siguiente:

n

ieqnRnRRTOTAL RIRIIRIRIRVVVV1

2121 *......

Si se quiere halla la tensin en una resistencia n, osea RnV ,

sabiendo que

n

iR

VI

1

, se obtiene que nn

i

nRn R

R

VIRV *

1

De esto se llega al enunciado del partidor de tensin, el cual se expresa de la siguiente

manera:

nn

i

TOTALRn R

R

VV *

1

n

iserie RR1

R1

R2 Rn

V

I


17

4.6.2 Resistencias en paralelo

Para deducir el valor de la resistencia equivalente en paralelo se toma el mismo

paraleleppedo con resistividad variable. Ahora la diferencia de potencial se ha aplicado entre

la parte superior e inferior del conductor como se muestra en la figura 4.17 a). Tomando un

elemento diferencial de material de tal forma que en l se mantenga constante la resistividad

como se muestra en la figura 4.17 b). La corriente I se va a distribuir en cada elemento

diferencial sobre el cual se aplica VMN de manera que por cada uno pase una corriente dI:

dR

VdI MN

Figura 4.17 Modelo utilizado para deducir el valor de la resistencia equivalente en paralelo

Entonces la corriente total ser: B

A

MN

B

AdR

VdII

B

AMNdRV

I 1

Para cumplir la ley de ohm se tiene:

1

1

B

A

MN

dRI

V

Con esto, la resistencia equivalente cuando la conexin es en paralelo ser:

l s

s

A

B

a) b)

dl

j

b

c

(+)

(-)

VMN

dl

M

(+)

N

(-)

a

b

I

A B

11

dR

Rparalelo


18

Si se tiene un sistema de n resistencias en paralelo como se muestra en la figura 4.14, todas

las resistencias tienen la misma diferencia de potencial V y la corriente I se reparte entre todas

las n resistencias:

El partidor de tensin y el partidor de corriente son dos leyes que ayudan como herramientas

para resolver circuitos elctricos.

El partidor de corriente

Si se tiene un circuito como el mostrado en la figura 4.18, se aprecia que todas las resistencias

estn sometidas a la misma diferencia de potencial.

Figura 4.18 Resistencias dispuestas en paralelo.

Debido a esto, se llega a lo siguiente:

n

i

eqn

RnRRTOTAL

R

V

R

V

R

V

R

V

R

VIIII

1

121

21

)1

(

......

Si se quiere halla la corriente que pasa en una resistencia n, osea RnI ,

sabiendo que RnIR

IRIV Rn

n

i

TOTALeqTOTAL *)1

(**1

1 , se llega al enunciado del partidor

de corriente, el cual se expresa de la siguiente manera:obtiene que

Rn

RII

n

iTOTALRn

1

1)1

(

*

1

1

1

n

i

paraleloR

R

R1 R2 Rn V

I


19

4.7 La resistencia del terreno

La aplicacin de una diferencia de potencial en los extremos de un conductor mediante dos

electrodos crear un campo elctrico y un movimiento de cargas del potencial mayor al

potencial menor. El campo elctrico representado a travs de sus lneas de campo tendr una

cierta forma dependiendo de la configuracin del conductor como se muestra en la figura

4.19.

Figura 4.19 Formacin de campo elctrico en un medio al cual se le aplica una diferencia de potencial.

Se tiene una corriente producida por una fuente ubicada muy lejos que es inyectada al terreno

mediante un dispositivo denominado dispersor, un elemento conductor para nuestro caso en

forma de un conductor semiesfrico, tal como se muestra en la figura 4.20. Si se tiene que el

potencial del punto 1 donde se inyecta la corriente es V entonces este potencial ser el de

todos los puntos sobre el dispersor pues por se conductor ser equipotencial. El campo

elctrico E

sobre la superficie del dispersor deber ser perpendicular a la superficie y

saliendo del dispersor. El campo elctrico radial provocar movimiento de carga en sentido

radial y se definirn vectores de densidad de corriente j

tambin radiales. El efecto del

dispersor entonces ser de distribuir la corriente en el terreno de forma radial.

Figura 4.20 Inyeccin de corriente al terreno a travs de un dispersor hemisfrico

Si se desea hallar la resistencia que presenta el terreno a la inyeccin de corriente, se deber

conocer la resistencia del terreno en el punto donde se produce la inyeccin. Para eso se

define elementos diferenciales de resistencia en forma de cascarones semiesfricos de ancho

diferencial:

)(

)(

sA

dssdR

Se asume una resistividad uniforme, en este caso se tiene un ancho dr de modo que:

1

I

E

a Terreno

E

A

(+)

B

(-)


20

22 r

drdR

Como es una misma corriente I al que atraviesa a todos los dR entonces se tiene elementos

diferenciales de resistencia dispuestos en serie, la resistencia total ser:

r

arr

drdRR

22

Desarrollando la integral se obtiene:

Es la resistencia del terreno desde le punto donde se inyecta la corriente I.

La tensin de paso y tensin de contacto La distribucin radial del campo elctrico E

en el terreno definir superficies equipotenciales

de forma de cascarones semiesfricos, tal como se ve en la figura 4.21. Por lo tanto sobre la

superficie del terreno se definirn puntos con diferencias de potencial.

Figura 4.21 Forma de las superficies equipotenciales ante la inyeccin de corriente.

El paso de corriente a travs del terreno define potenciales en distintos puntos de ste. As

por ejemplo se puede hallar la diferencia de potencial entre dos puntos A y B:

B

A

B

A

lE drEdVVV BAAB

Adems se sabe que jE y que 22 rIj (densidad de corriente uniforme a travs del

elemento diferencial), por lo tanto llamando rA y rB a las distancias desde el punto de

inyeccin de corriente a los puntos A y B respectivamente se obtiene:

B

A

r

r

ABr

drIV

22

aR

2

BA

ABAB

rr

rrIV

2

jE

,

a

1

r

dr

I

Terreno


21

Si una persona est en contacto con el terreno en los puntos A y B al momento de inyectar

corriente al terreno, la diferencia de potencial VAB entre sus pies se denominar tensin de

paso. En trminos de seguridad para la persona, sta no debe pasar los 50 V. Ver figura 4.22.

La funcin del dispersor ser distribuir la corriente en el terreno con una resistencia pequea,

evitando valores de tensin de paso inadmisibles.

Figura 4.22 Esquema de la tensin de paso.

La tensin de contacto

La tensin de contacto es la tensin que hay entre una parte metlica unida al dispersor y un

punto cualquiera del terreno. La tensin mxima que se puede tener de tensin de contacto es

igual a tierramax R*IVcontacto y es la tensin que se presenta en el dispersor. Si se tuviese un terreno de resistividad 250 ohm-m (arena arcilloso), y un dispersor tipo

semiesfrico de 0.25m. de radio e ingresa una corriente de 1A se tendro la grfica que se

muestra en la figura 4.23. En ste se puede ver cmo vara la tensin conforme vara el radio.

Se aprecia que si alguien se para en R=5m y en R=11m estar sometida a una tensin de paso

de 1736.23V. As mismo, si toca una parte metlica unida al dispersor, tendr una tensin de

contacto de 14 468.63V. Ver figura 4.23.

r dr

a

Terreno A B

VA VB

F

u

e

n

t

e

:

P

r

o

p

o

r

c

i

o

n

a

u

n

a

t

e

n

s

i

n

c

o

n

s

t

a

E , j


22

Figura 4.23 Evolucin de la tensin a lo largo del radio cuando se tiene un dispersor

semiesfrico de 0.25m dentro de un terreno y se inyecta 10A.

4.8 Elementos generadores y utilizadores

Elemento utilizador:

Se dice que un elemento es utilizador cuando la corriente va de un potencial mayor a uno

menor. Este elemento consume energa elctrica

Elemento generador:

Se dice que un elemento es utilizador cuando la corriente va de un potencial menor a uno

mayor. Este elemento consume energa elctrica

Un esquema de un elemento utilizador y de un elemento generador se puede ver en la figura

4.24.

Figura 4.24 Representacin esquemtica de (a) un generador y (b) de un utilizador.

CONTACTOV

PASOV

I I

(a) (b)


23

4.9 Curvas V-I de la resistencia y de la fuente

4.9.1 Caracterstica V-I de la resistencia La resistencia de un cuerpo no slo depender de las caractersticas del cuerpo sino tambin

de la forma cmo se aplique la diferencia de potencial. En la grfica a continuacin se

muestra la caracterstica V-I de una resistencia que es una recta con pendiente R y con puntos

en el cuadrante I y III, tal como se muestra en la figura 4.25. Se ve en el cuadrante I que al

aplicar una diferencia de potencial positiva, la corriente fluir del extremo de mayor potencial

al de menor potencia y la relacin entre los valores de potencial y corriente es constante e

igual al valor de R. Si se cambia el signo de la diferencia de potencial (se intercambian los

extremos de mayor y menor potencial del conductor), la corriente invertir su direccin

Figura 4.25 Caracterstica V-I de una resistencia.

Puntos sobre el eje I de la caracterstica indicarn una R=0 que significa que existir corriente

por un conductor an si no hay diferencia de potencial entre sus extremos. Puntos sobre el eje

V indicarn un valor de resistencia infinita que significa que no habr corriente por el

conductor ante cualquier diferencia de potencial.

Segn la diferencia de potencial aplicada la corriente se establecer del punto de mayor

potencial (+) al de menor potencial (-) como se muestra en la figura 4.26.

Figura 4.26 Direccin de la corriente segn la aplicacin de la diferencia de potencial

(a) I cuadrante (b) III cuadrante

I

V

O

III

I

R

R

V

I

+ -

V

R - +

I

(a) (b)


24

4.9.2 Curva V-I de un generador La caracterstica V-I consiste en la recta que sigue la ecuacin de la fuente:

IrVMN

Se ve en la figura 4.27, que se puede obtener puntos de funcionamiento en los cuadrantes I, II

y IV.

Figura 4.27 Caracterstica V-I de una fuente

I Cuadrante

Corresponde al funcionamiento de la fuente como generador de energa. En general esta

energa generada por la fuente es aprovechada por un utilizador y una pequea parte se

convierte en calor al interior de la fuente. A medida que la corriente aumenta se ve que la

diferencia de potencial entre terminales va a disminuir.

Se puede resaltar los siguientes puntos de funcionamiento:

a) Fuente en vaco: Se dice que el generador se encuentra en vaco cuando no tiene carga

alguna conectada, esto implica que I=0 y que VMN = .

b) Fuente alimentando a utilizador: Esto se realiza cuando se conectar una carga al

generador. En este caso se tiene: IrVMN

c) Fuente en cortocircuito: Una situacin de cortocircuito se presenta cuando la

diferencia de potencial entre los terminales de un elemento elctrico se anula. En el caso de la

fuente puede obtenerse esto uniendo los terminales mediante un cable equipotencial con lo

cual:

NM VV , 0MNV

Reemplazando en la ecuacin caracterstica y despejando la corriente, se obtiene el valor de la

corriente de cortocircuito Icc de la fuente:

Icc = /r

I

Generacin de energa

II

Consumo de energa:

Fuente en recarga

IV

Ms de una fuente

generando

VMN

I

Icc=/r

VMN = - Ir

Fuente en vaco

Fuente en

cortocircuito


25

Como el valor de la resistencia interna de la fuente r es pequeo, el valor de Icc resulta muy

grande. Durante la situacin de cortocircuito una corriente muy grande a travs de la

resistencia interna producir una gran generacin de calor, lo que llevara a la destruccin de

la fuente.

En la fuente, las cargas se mueven debido al la fuerza no elctrica, pero como el movimiento

es a velocidad constante y no hay presencia de campo elctrico (VMN es cero), entonces la

fuerza de rozamiento en el interior de la fuente se equipara en valor a la fuerza no elctrica.

Luego, toda la energa de la fuente se convierte en calor.

II Cuadrante

En el segundo cuadrante se ve que el sentido de la corriente cambi y se mantiene el sentido

de la diferencia de potencial, eso quiere decir que la fuente se est comportando como un

utilizador. ste es el caso de las fuentes recargables. La disposicin para cargar la fuente ser

con otra fuente cuya FEM sea mayor a la FEM de la fuente a cargar, osea 22 .

Representndolos en un circuito como se muestra en la figura 4.28.

Figura 4.28 Representacin circuital de una fuente recargando a otra.

Utilizando la Ley de Mallas de Kircchoff se tiene:

- - Ir Ir2 + 2=0 2 - = I(r + r2)

Como el segundo trmino de la igualdad es positivo, entonces el primer trmino debe serlo,

por lo tanto 2 - > 0, de lo que se deduce que se deber cumplir que:

En el segundo cuadrante se ve que el sentido de la corriente cambi y se mantiene el sentido

de la diferencia de potencial, eso quiere decir que la fuente se est comportando como un

utilizador. ste es el caso de las fuentes recargables.

M

I

r

2 r2

+ +

+

R

e

si

st

e

n

ci

a:

D

is

i

p

a

e

n

e

r

g

a

e

n

u

n

+

_ _

_ _

N

2 >


26

IV Cuadrante

Para puntos en el IV cuadrante, se ve que la diferencia de potencial entre terminales es ahora

negativa, eso quiere decir que se invirti la polaridad de la fuente. Ahora se ve que en la

ecuacin de la fuente se tiene:

- VMN = - Ir I = ( + VMN )/ r

Por lo tanto en esta situacin se genera una corriente mayor que la de cortocircuito y por lo

tanto ms calor que en condicin de cortocircuito. Esta es una situacin no deseada que

conlleva a la destruccin de la fuente.

Representando las fuentes como un circuito como se ve en la figura 4.29.

Figura 4.29 Representacin circuital de la fuente en el IV cuadrante.

De acuerdo a la Ley de Mallas de Kircchoff se tiene que si se parte de M y se regresa al

mismo punto los incrementos de potencial sern iguales a cero.

- Ir2 + 2 - Ir + =0 2 + = I (r + r2)

La ecuacin anterior indica que hay ms de una fuente generando energa. Para que se

produzca este efecto, ya se ha visto que I > /r pero adems: (2 + ) / (r + r2) = I

(2 + ) / (r + r2) > /r 2 / r2 > /r

Por lo tanto, para que una fuente se encuentre en el cuarto cuadrantes, la corriente de

cortocircuito de la segunda fuente debe ser mayor a la corriente de cortocircuito de nuestra

fuente.

M

I

+

_ r

+ _

2 +

_

r2

+ _

Icc2 > Icc


27

4.9.3 Intercepcin de la curva caracterstica de un generador con el de una

resistencia

Si se tiene una fuente que se conecta a un utilizador (representado por su resistencia R) la

diferencia de potencial entre los terminales de la fuente se aplica en los extremos de la

resistencia, cerrndose as el circuito y establecindose una corriente I. Se muestra esto como

un circuito en la figura 4.30.

Figura 4.30 Representacin de una fuente y de un utilizador en un circuito.

Para conocer el valor de la corriente I se puede remitir a las caractersticas V-I de la

resistencia y de la fuente. El punto en que las dos caractersticas V-I se intersequen ser el

punto de funcionamiento del circuito (punto P) y proporcionar el valor de la corriente I y de

la diferencia de potencial V en la resistencia como se muestra en la figura 4.31.

Figura 4.31 Representacin grfica de la ecuacin de circuito.

Hallando los incrementos de potencial:

- IR + - Ir = 0

Otra forma es expresando matemticamente las caractersticas de la fuente y de la resistencia

e igualando en ambos casos la diferencia de potencial V:

I R = - Ir I = / (R + r)

Se ve que la corriente que se establezca depender de la fem total del circuito y de la

resistencia total del circuito.

M

I

+

_ r

+

F

u

e

nt

e:

P

r

o

p

o

r

ci

o

n

a

u

n

a

te

n

si

n

c

o

n

st

a

n

te

e

n

tr

e

s

_

R +

_

N

VMN

I

P

V

i

V = i R

V = - i r


28

4.10 Potencia en los circuitos elctricos Cuando una carga pasa a travs de un elemento de circuito, el trabajo total realizado sobre la

carga ser el producto del valor de la carga q por la diferencia de potencial entre sus

terminales. Si la corriente que fluye a travs de dicho elemento es I entonces en un tiempo

diferencial dt fluir una carga dtIdq con lo cual:

IdtVdQVdW

La transferencia de energa (trabajo) por unidad de tiempo se conoce como potencia y se

representa por la letra P ser:

La unidad SI de la potencia es el watt o vatio:

s

JW 11

4.10.1 Potencia consumida en un elemento utilizador Si se asume que la corriente I es positiva para un sentido arbitrario a travs de un elemento

utilizador como se muestra en la figura 4.32, la potencia ser positiva si la corriente fluye de

un punto de mayor potencial a otro de menor potencial y la diferencia de potencial ser

positiva (VAB > 0).

Figura 4.32 Representacin esquemtica de un utilizador.

En este caso se habla de un utilizador de energa elctrica y la energa elctrica se trasfiere

hacia dentro del elemento.

- Si se tiene entre Ay B un motor, la energa aparece en gran parte como trabajo mecnico realizado por el motor.

- Si se tiene entre A y B una resistencia, entonces la energa elctrica absorbida se aumenta la energa interna o aumenta la temperatura de la resistencia o ambos manifestndose

como calor.

Conociendo que por la ley de Ohm RIV , se puede despejar V o I en la expresin de la

potencia disipada en un elemento utilizador de la siguiente manera:

IVdt

dWP

A B

I

VAB

R

VRIVIP

22


29

- Si entre A y B hay una fuente que se encuentra en proceso de recarga, entonces la energa elctrica absorbida aumenta la energa qumica de la fuente y una parte se disipa como

calor por efecto de la resistencia interna. Conociendo que la ecuacin caracterstica de la

fuente es V = - I r , pero como la corriente fluye en sentido contrario realmente se tiene

V = + I r , reemplazando en la expresin de la potencia de entrada de la fuente se tiene:

4.10.2 El Efecto Joule Si en un conductor circula corriente elctrica, parte de la energa cintica de los electrones se

transforma en calor debido a los choques que sufren con los tomos del material conductor

por el que circulan, elevando la temperatura del mismo. Este efecto es conocido como "Efecto

Joule"

Este efecto fue definido de la siguiente manera: "La cantidad de energa calorfica producida

por una corriente elctrica, depende directamente del cuadrado de la intensidad de la

corriente, del tiempo que sta circula por el conductor y de la resistencia que opone el mismo

al paso de la corriente". Toda la energa que se entrega a la resistencia se convierte en calor.

4.10.3 Potencia entregada por un elemento generador

Si por el contrario, para el mismo sentido de corriente, sta fluye de un potencial menor a un

potencial mayor, como se ve en la figura 4.33, la diferencia de potencial ser negativa

(VAB < 0, - VAB = VBA). Por lo tanto la potencia ser negativa, es decir la energa elctrica ser

transferida hacia fuera del circuito y el elemento es un generador de energa elctrica.

Figura 4.33 Representacin esquemtica de un generador

Para el caso de una fuente actuando como generador de energa elctrica, la energa de la

fuente (generalmente energa de carcter qumico) se convierte en energa elctrica, una parte

de la cual sale de la fuente y otra parte se disipa en forma de calor por la resistencia interna.

La ecuacin caracterstica ser: V = - I r con lo cual reemplazando en la expresin de la potencia de salida de la fuente queda:

A B

I

VBA

P = VI = I - I2 r

P = VI = I + I2 r


30

4.10.4 Rendimiento de un circuito elctrico

Si bien se tiene que la energa entregada es igual a la energa consumida, no toda la energa

consumida es igual a la energa utilizada ya que dentro de todo sistema se producen mermas

de energa debido a prdidas. Tenindose as que:

Energa consumida = Energa utilizada + prdidas

Debido a esto, siempre se tendr que la energa utilizada es menor a la energa entregada. Para

poder saber cunto de la energa entregada llega a ser utilizada se define el concepto de

rendimiento, el cual es representado por la siguiente expresin:

entregadaEnerga

utilizadaEnerga

Corriente, resistencia y FEM

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