CR-MAT-cub07-2ESO-A REF (TRAMA):07

Actividades

I Números enteros

Escribe el valor absoluto de los siguientes nú-meros:

a) (�5) ⇒

b) (�8) ⇒

c) (�12) ⇒

Calcula:

a) (�6) � (+4) � (�9) �

b) (�4) � (�10) � (�7) �

Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está?

Halla el valor de estas expresiones:

a) �7 � (�4 � 9 � 5) � (�3 � 6) �

b) (�8 � 10 � 7) � (�12 � 3 � 2) �

c) �15 � (9 � 3 � 6 � 2) � 4 � (5 � 7) �

Halla el valor de las siguientes expresiones:

a) (�4) · [(�3) � (�2) � (�5)] �

b) [(�2) · (�6)] : (� 4) �

c) [(�8) : ( �2)] · (�4) �

Calcula aplicando la propiedad distributiva:

a) (�4) · (5 � 3 � 8) �

b) (7 � 6 � 2 � 5) · (�3) �

c) (�10) · (�6 � 4 � 12 � 3) �

d) [(�29) � (�34)] � [(�47) � (�73)] �

e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] �

Daniel pide prestado 5 € a cada uno de suspadres y cada uno de sus 4 abuelos para irse deexcursión. ¿A cuánto asciende su deuda?

Calcula:

a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) �

b) 3 · ( –2) : (–3) �

c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) �

d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) �

Halla las sumas:

a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) �

b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) �

9

8

7

6

5

4

3

2

1

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A. 1

Ma

te

má

ti

ca

s

0S2MTCR-AR2 (NL2007).qxd 4/7/07 10:26 Página 1

Escribe el valor absoluto de los siguientes nú-

meros:

a) (�5) ⇒ |�5| � 5

b) (�8) ⇒ |�8| � 8

c) (�12) ⇒ |�12| � 12

Calcula:

a) (�6) � (+4) � (�9) ��11

b) (�4) � (�10) � (�7) ��1

Un ascensor parte del segundo sótano, sube 10

plantas y luego baja 3. ¿En qué planta está?

(�2) � (�10) � (�3) � �5

Está en la quinta planta.

Halla el valor de estas expresiones:

a) �7 � (�4 � 9 � 5) � (�3 � 6) �

� �7 � 4 � 9 � 5 � 3 � 6 � �4

b) (�8 � 10 � 7) � (�12 � 3 � 2) �

� 8 � 10 � 7 � 12 � 3 � 2 � �16

c) �15 � (9 � 3 � 6 � 2) � 4 � (5 � 7) �

� �15 �9 �3 �6 �2 �4 �5 �7 �

� �13

Halla el valor de las siguientes expresiones:

a) (�4) · [(�3) � (�2) � (�5)] �

� (�4) · (�4) � �16

b) [(�2) · (�6)] : (� 4) �

� (�12) : (�4) � �3

c) [(�8) : ( �2)] · (�4) �

� (�4) · (�4) � �16

Calcula aplicando la propiedad distributiva:

a) (�4) · (5 � 3 � 8) �

� �20 � 12 � 32 � �40

b) (7 � 6 � 2 � 5) · (�3) �

� �21 � 18 � 6 � 15 � �18

c) (�10) · (�6 � 4 � 12 � 3) �

� �60 � 40 � 120 � 30 � �170

d) [(�29) � (�34)] � [(�47) � (�73)] �

� (�5) � (�120) � �115

e) [(+63) + (–42) + (+31)] + [(–12) + (+45)] �

� (�52) � (�33) � �85

Daniel pide prestado 5 € a cada uno de suspadres y cada uno de sus 4 abuelos para irse deexcursión. ¿A cuánto asciende su deuda?

(�5) · (�6) � �30; Daniel debe 30 €.

Calcula:

a) 15 : (– 8 + 9 – 6 ) � 15 : (�5) � �3

b) 3 · ( –2) : (–3) � (�6) : (�3) � �2

c) [(–10) : (+5)] · (–5 + 8) �

� (�2) · (�3) � �6

d) (9 – 4) · (–5 – 2) : (–5) �

� (�35) : (�5) � �7

Halla las sumas:

a) (+43) + (+61) + (–38) + (+24) + (–50) �

� (�128) � (�88) � �40

b) (–31) + (–18) + (+64) + (+12) + (–53) �

� (�102) � (�76) � �26

9

8

7

6

5

4

3

2

1

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

I Números enteros

Solución de las actividades

2

Ma

te

má

ti

ca

s


Actividades

XV Estadística

Di de qué tipo es cada una de las siguientesvariables estadísticas:

a) El color del pelo.

b) Los valores de la tirada de un dado.

c) Las causas de los incendios forestales.

d) La estatura de un determinado colectivo.

e) Las notas obtenidas en un examen.

Se ha preguntado a 50 socios de una asociacióncultural formada por 2 000 socios acerca de unanueva propuesta de actividades para el año pró-ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente.

a) ¿Cuál es la población?

b) ¿Cuál es la muestra?

c) ¿Qué porcentaje de la población suponeesta muestra?

d) ¿Cuántos individuos de los encuestados hanrespondido afirmativamente?

e) ¿A cuántos socios representan los que hanaceptado las propuestas de las actividadesdel próximo año?

Gloria ha estado esperando a su amiga duranteun rato y se ha entretenido en ir anotando elcolor del vestido de las chicas que pasabandelante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo, 4de azul, de verde solo ha anotado 1, y de negro,6. Muestra estos datos en una tabla indicandolas frecuencias absolutas, las relativas y elporcentaje.

Representa los datos de la actividad anterior enun diagrama de sectores, calculando previa-mente la amplitud de cada sector.

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


XV Estadística

Rodríguez está muy contento con su nuevaagencia de viajes. Ya en la primera semanaha gestionado las vacaciones de 5 familiasque irán a las Islas Canarias, 4 han preferidolas Baleares, 3 han optado por los Pirineos y5 prefieren las costas valencianas.Para poder planear mejor las ofertas quiereconfeccionar un gráfico de barras y detectar losdestinos más solicitados. Confecciónaselo tú.

El profesor de Matemáticas acaba de termi-nar de corregir los últimos exámenes de susalumnos y ha anotado los resultados en estatabla. Complétala y calcula la nota media dela clase, la mediana de la distribución y lamoda.

Representa los datos de la actividad anterior enun diagrama de barras y otro de sectores.

En la gráfica se muestran las temperaturasmáximas diarias de 20 días. Calcula la tempera-tura media.

8

7

6

5


Actividades

34

Ma

te

má

ti

ca

s

xi ni xi· ni Ni fi

3 4

5 5

6 6

7 8

8 5

10 2

Tot

014º

123

4

5

67

temperatura13º 12º 11º 9º

días



Di de qué tipo es cada una de las siguientesvariables estadísticas:

a) El color del pelo.

Cualitativa

b) Los valores de la tirada de un dado.

Cuantitativa

c) Las causas de los incendios forestales.

Cualitativa

d) La estatura de un determinado colectivo.

Cuantitativa

e) Las notas obtenidas en un examen.

Cuantitativa

Se ha preguntado a 50 socios de una asociacióncultural formada por 2 000 socios acerca de unanueva propuesta de actividades para el año pró-ximo, y el 60 % ha respondido favorablemente.

a) ¿Cuál es la población?

La población la forman los 2 000

socios.

b) ¿Cuál es la muestra?

La muestra está formada por los

50 socios encuestados.

c) ¿Qué porcentaje de la población suponeesta muestra?

La muestra representa al 2,5 % de

la población.

d) ¿Cuántos individuos de los encuestados hanrespondido afirmativamente?

Han respondido afirmativamente

30 individuos.

e) ¿A cuántos socios representan los que hanaceptado las propuestas de las actividadesdel próximo año?

Representan a 1 200 socios.

Gloria ha estado esperando a su amiga duranteun rato y se ha entretenido en ir anotando elcolor del vestido de las chicas que pasabandelante de ella. Finalmente, 7 vestían de rojo,4 de azul, de verde solo ha anotado 1, y denegro, 6. Muestra estos datos en una tablaindicando las frecuencias absolutas, lasrelativas y el porcentaje.

Representa los datos de la actividad anterior enun diagrama de sectores, calculando previa-mente la amplitud de cada sector.

El sector rojo (A) : 360 · 7

–––18

� 140º

El sector azul (C) : 360 · 4

–––18

� 80º

El sector verde (D) : 360––––

18 � 20º

El sector negro (B) : 360 · 6

–––18

� 120º

4

3

2

1


XV Estadística

35

Ma

te

má

ti

ca

s

Modalidadxi

Frecuenciaabsoluta, ni

Frecuenciarelativa, fi

Porcentaje%

Rojo 7 0,39 39 %

Azul 4 0,22 22 %

Verde 1 0,05 5 %

Negro 6 0,34 34 %

Total 18 1 100 %

(B)

(C)

(D) (A)


Rodríguez está muy contento con su nuevaagencia de viajes. Ya en la primera semanaha gestionado las vacaciones de 5 familiasque irán a las Islas Canarias, 4 han preferidolas Baleares, 3 han optado por los Pirineos y5 prefieren las costas valencianas.Para poder planear mejor las ofertas quiereconfeccionar un gráfico de barras y detectar losdestinos más solicitados. Confecciónaselo tú.

El profesor de Matemáticas acaba de termi-nar de corregir los últimos exámenes de susalumnos y ha anotado los resultados en estatabla. Complétala y calcula la nota media dela clase, la mediana de la distribución y lamoda.

La nota media de la clase es:

� 6,3 puntos.

La mediana es: 6 � 7��

2� 6,5 puntos.

La moda es 7 puntos.

Representa los datos de la actividad anterior enun diagrama de barras y otro de sectores.

Sector de 3 puntos: 360 ·4

�30

� 48º


�30

� 60º

Sector de 6 puntos: 360 ·6�

30� 72º

Sector de 7 puntos: 360 ·8�

30� 96º


�30

� 60º


�30

� 24º

En la gráfica se muestran las temperaturasmáximas diarias de 20 días. Calcula la tempera-tura media.

La media es:

�

� 225––––

20 � 11,25 ºC

8

7

6

5


XV Estadística


36

Ma

te

má

ti

ca

s

0Canarias

1

2

3

4

5

6

Baleares Pirineos C. Valenciana

xi ni xi � niNi fi

3 4 12 4 0,13

5 5 25 9 0,17

6 6 36 15 0,2

7 8 56 23 0,26

8 5 40 28 0,17

10 2 20 30 0,07

Tot. 30 189 1

50

8

3 6 87 10

1

2

3

4

5

6

7

014º

123

4

5

67

temperatura13º 12º 11º 9º

días

18930

14 · 2 � 12 · 3 � 13 · 4 � 11 · 5 � 9 · 6

20

60º

60º

72º96º

48º24º


Actividades

II Fracciones y decimales

Escribe la expresión decimal:

a) �1238� �

b) �1340� �

c) �185� �

Halla la fracción generatriz:

a) 25,8��

b) 250,61��

Simplifica:

a) �13266

� �

b) �112305

� �

c) �18045

� �

d)630

–––––1008

�

Calcula las sumas:

a) �79

� � �34

� � �52

� �

b) �54

� � �25

� � �38

� �

c) �23

� � �56

� � �1214� �

d) �65

� � �83

� � �74

� �

Resuelve:

a) �1137� � �

45

� �

b) �6215� : �

152� �

c) �34

� � �72

� : �53

� �

d) �372� � �

83

� �

Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra-do un CD que le ha costado las dos quintas par-tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda?

Calcula:

a) 3,782 � 0, 51 �

b) 50,04 � 8,301 �

c) 5,38 � 44,9 �

d) 63,78 : 3,123 �

e) 80,39 : 5,2 �

Ordena de mayor a menor las siguientes frac-ciones:

a) �74

�; �35

�; �27

�

b) �183�; �

191�; �

154�

c) �56

�; �12000

�; �3301�

Redondea a las centésimas:

a) 408,3207 �

b) 6,049 78 �

c) 726,5843 �

Averigua el valor de x para que estas fraccionessean equivalentes

a) �1185� � �

x5

� ⇒

b) ��83

� � �6x� ⇒

c) ��48x� �

32��10

⇒

Una familia de tres personas consume cada día

para desayunar �34

� de litro de leche. ¿Cuántos

litros necesitan para toda la semana?

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s



a) �1238� � 0,464...

b) �1340� � 0,46

��

c) �185� � 1,875


a) 25,8�� 258

9

� 25� � �

23

9

3�

b) 250,61�� 25 06

9

1

9

� 250��

24

99

811�

Simplifica:

a) �13266

� � �1

4

4�

b) �112305

� � �2

2

4

7� � �

8

9�

c) �18045

� � �3

28

5� � �

4

5�

d)630

–––––1008

� 70–––112

� 35–––56

� �5

8�

Calcula las sumas:

a) �79

� � �34

� � �52

� ��28 �

3

2

6

7 �90��

1

3

4

6

5�

b) �54

� � �25

� � �38

� ��50 �

4

1

0

6 �15��

4

8

0

1�

c) �23

� � �56

� � �1214� ��

16 �

2

2

4

0 �11��

2

4

4

7�

d) �65

� � �83

� � �74

� � � �337

60�

Resuelve:

a) �1137� � �

45

� � �8

5

5

2�

b) �6215� : �

152� � �

3

3

0

0

0

5� � �

6

6

0

1�

c) �34

� � �72

� : �53

� � �4

6

0

3�

d) �372� � �

83

� �256��

21

Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra-do un CD que le ha costado las dos quintas par-tes de sus ahorros. ¿Cuanto dinero le queda?

�2

5� � 120 � 48

Alfonso ha gastado 48 € y le quedan72 €

Calcula:

a) 3,782 � 0, 51 � 4,292

b) 50,04 � 8,301 � 41,739

c) 5,38 � 44,9 � 241,562

d) 63,78 : 3,123 � 20,422...

e) 80,39 : 5,2 � 15,459...


a) �74

�; �35

�; �27

� �4

7� � �

3

5� � �

2

7�

b) �183�; �

191�; �

154� �

1

5

4� � �

1

9

1� � �

1

8

3�

c) �56

�; �12000

�; �3301� �

3

3

0

1� � �

6

5� � �

1

2

0

0

0�


a) 408,3207 � 408,32

b) 6,049 78 � 6,05

c) 726,5843 � 726,58


a) �1185� � �

x5

� ⇒ x � 6

b) ��83

� � �6x� ⇒ x � 2,25

c) ��48x� � �

3102� ⇒ x � 15



� litros de leche. ¿Cuántos


�4

3� � 7 �

21–––

4 que son 5 litros y �

4

1�

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


II Fracciones y decimales


4

Ma

te

má

ti

ca

s


a) �1238� �

b) �1340� � 0,46

��

c) �185� �


a) 25,8�� 258

9

� 25��

23

9

3�

b) 250,61�� 25 06

9

1

9

� 250��

24

99

811�

Simplifica:

a) �13266

� � �1

4

4�

b) �112305

� � �2

2

4

7� � �

8

9�

c) �18045

� � �3

28

5� � �

4

5�

d)630

–––––1008

� 70–––112

�35–––56

� �5

8�

Calcula las sumas:

a) �79

� � �34

� � �52

� ��28 �

3

2

6

7�90��

1

3

4

6

5�

b) �54

� � �25

� � �38

� ��50 �

4

1

0

6 �15��

4

8

0

1�

c) �23

� � �56

� � �1214� ��

16 �

2

2

4

0 �11��

2

4

4

7�

d) �65

� � �83

� � �74

� ��72 �

60

160�105� �

337

60�

Resuelve:

a) �1137� � �

45

� � �8

5

5

2�

b) �6215� : �

152� � �

3

3

0

0

0

5� � �

6

6

0

1�

c) �34

� � �72

� : �53

� � �4

6

0

3�

d) �372� � �

83

� �256��

21

Alfonso tenía 120 € en su hucha. Se ha compra-do un CD que le ha costado las dos quintas par-tes de sus ahorros. ¿Cuánto dinero le queda?

�2

5� � 120 � 48

Alfonso ha gastado 48 € y le quedan72 €

Calcula:

a) 3,782 � 0, 51 �

b) 50,04 � 8,301 �

c) 5,38 � 44,9 �

d) 63,78 : 3,123 �

e) 80,39 : 5,2 �


a) �74

�; �35

�; �27

� �4

7� � �

3

5� � �

2

7�

b) �183�; �

191�; �

154� �

1

5

4� � �

1

9

1� � �

1

8

3�

c) �56

�; �12000

�; �3301� �

3

3

0

1� � �

6

5� � �

1

2

0

0

0�


a) 408,3207 �

b) 6,049 78 �

c) 726,5843 �


a) �1185� � �

x5

� ⇒ x � 6

b) ��83

� � �6x� ⇒ x � 2,25

c) ��48x� �

32��10

⇒ x � 15



� de litro de leche. ¿Cuántos


�4

3� � 7 �

21–––

4 que son 5 litros y �

4

1�

11

10

726,58

6,05

408,32

9

8

15,459...

20,422...

241,562

41,739

4,292

7

6

5

4

3

2

1,875

0,464...

1


Actividades

III Potencias y raíces


Ma

te

má

ti

ca

s

Calcula las potencias:

a) (�4)2 � d) (�4)4 �

b) (�3)2 � e) (�5 )3 �

c) (�2)3 � f ) (�6 )2 �

Expresa y calcula las siguientes potencias:

a) 6�3 �

b) (�4)�4 �

c) �3––5�

2

�

d) �6––7�

5

�

Calcula:

a) (+4)2 · (+4)3 �

b) (–3) · (–3)3 �

c) (+5)4 : (+5)2 �

d) (–2)5 : (–2)2 �

Halla el resultado de estas potencias:

a) (4 – 6)3 �

b) (2 + 3)2 �

c) [(–3) · (+2)]3 �

Calcula:

a) 380 �

c) � 3––7 �

1

�

d) 421 �

Escribe las potencias de la unidad seguida oprecedida de ceros:

a) 107 � d) 10�4 �

b) 1003 � e) 10�3 �

c) 1 0002 � f ) 10�2 �

Expresa en notación científica:

a) 7 353 000 �

b) 0,00421 �

c) 40 200 000 �

Escribe con todas las cifras:

a) 3,4 · 10– 4 �

b) 2,6 · 107 �

c) 7,02 · 10– 6 �

d) 5,389 · 109 �

e) 6,001 · 10– 5 �

Halla las raíces posibles:

a) √––+4 � d) 3√–––8 �

b) √–––4 e) 5√–––––2––43 �

c) 4√––––16 f ) 3√––+8 �

Calcula aproximando a las décimas:

a) √––––345 �

b) �

c) √––––7,32 �

d) √––––94––––3,28 �

e) √––––0,0–––481 �

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

e) � 2––5�

0

�

b) � 1––3 �

–2

=

� 4��

7


Calcula las potencias:

a) (�4)2 � �16 d) (�4)4 � �256

b) (�3)2 � �9 e) (�5 )3 � �125

c) (�2)3 � �8 f ) (�6 )2 � �36

Expresa y calcula las siguientes potencias:

a) 6�3 �

b) (�4)�4 �

d) �6––7�

5

�

Calcula:

a) (+4)2 · (+4)3 � (�4)5 � 1 024

b) (–3) · (–3)3 � (�3)4 � 81

c) (+5)4 : (+5)2 � (�5)2 � �25

d) (–2)5 : (–2)2 � (�2)3 � �8

Halla el resultado de estas potencias:

a) (4 – 6)3 � (�2)3 � �8

b) (2 + 3)2 � (�5)2 � 25

c) [(–3) · (+2)]3 � �27 · 8 � �216

Calcula:

a) 380 � 1

c) � 3––7 �

1

�

d) 421 � 42

Escribe las potencias de la unidad seguida oprecedida de ceros:

a) 107 � 10 000 000 d) 10�4 � 0,0001

b) 1003 � 10 000 00 e) 10�3 � 0,001

c) 1 0002 � 1 000 000 f ) 10�2 � 0,01

Expresa en notación científica:

a) 7 353 000 � 7,353 · 106

b) 0,00421 � 4,21 · 10�3

c) 40 200 000 � 4,020 · 107

Escribe con todas las cifras:

a) 3,4 · 10– 4 � 0,000 34

b) 2,6 · 107 � 26 000 000

c) 7,02 · 10– 6 � 0,000 007 02

d) 5,389 · 109 � 5 389 000 000

e) 6,001 · 10– 5 � 0,000 060 01

Halla las raíces posibles:

a) √––+4 � 2 d) 3√–––8 � �2

b) √–––4 No es posible e) 5√–––––2––43 � �3

c) 4√––––16 No es posible f ) 3√––+8 � 2

Calcula aproximando a las décimas:

a) √––––345 � 18,57 � 18,6

b) � � � 0,80

c) √––––7,32 � 2,70

d) √––––94––––3,28 � 30,7

e) √––––0,0–––481 � 0,2

10

9

8

7

6

3––7

5

4

3

2

1

2,64

� 32 � 9


III Potencias y raíces


6

Ma

te

má

ti

ca

s

65

7 776––7

5� –––

16–––8

–––07

c) �3––5�

2

�3

29–––

52 = –––

25

22–––√–

7

e) � 2––5�

0

� 1

b) � 1––3 �

–2

=

� 1––3�

2

1

� 4�7

1 1–––(�4)4

= ––––256

1 1––6

3= –––

216


Actividades

IV Proporcionalidad


Ma

te

má

ti

ca

s

Expresa en forma de razón las siguientes afirma-ciones:

a) 70 de cada 100 personas utilizan el transporte público para ir a trabajar.

b) 16 de los 20 alumnos de una clase están apuntados a un equipo deportivo.

Interpreta estas razones:

a) En un equipo de fútbol, �164� son extranjeros.

b) En una tienda de mascotas, �3620� son perros.

Escribe las razones inversas a las dadas:

a) �85

�

b) �1274�

c) ��191�

d) ��3572�

e) ��33102�

Comprueba que los siguientes pares de razonesforman una proporción aplicando la propiedadfundamental de las proporciones:

a) �85

� � �3220�

b) �34

� � �1284�

c) �132� � �

14

�

d) �174� � �

12

�

Calcula el valor de x:

Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos

litros verterá en �34

� de hora?

Para extraer el agua de una cisterna utilizando uncubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar-lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle-nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L.

Una fuente que vierte 15 L por hora llena undepósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda-ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle-nar un depósito el doble de grande.

8

7

6

5

4

3

2

1

a) �5x

� � �1251�

b) �2350� � �

1x2�

c) �2x0� � �

2150�


Expresa en forma de razón las siguientes afirma-ciones:

a) 70 de cada 100 personas utilizan el transporte público para ir a trabajar.

b) 16 de los 20 alumnos de una clase están apuntados a un equipo deportivo.

Interpreta estas razones:

a) En un equipo de fútbol, �164� son extranjeros.

b) En una tienda de mascotas, �3620� son perros.

Escribe las razones inversas a las dadas:

Comprueba que los siguientes pares de razonesforman una proporción aplicando la propiedadfundamental de las proporciones:

a) �85

� � �3220� ⇒ 8 � 20 � 32 � 5 � 160

b) �34

� � �1284� ⇒ 3 � 24 � 18 � 4 � 72

c) �132� � �

14

� ⇒ 3 � 4 � 12 � 1 � 12

Calcula el valor de x:

Un grifo vierte 42 L de agua en 5 min. ¿Cuántos

litros verterá en �34

� de hora?

La cantidad de agua y el tiempo son

magnitudes directamente

proporcionales.

Para extraer el agua de una cisterna utilizando uncubo de 15 L de capacidad, Juana tiene que llenar-lo 200 veces. Calcula cuántas veces tendría que lle-nar el cubo si este tuviera una capacidad de 25 L.

La capacidad del cubo y el número de

veces que tiene que llenarlo son

magnitudes inversamente

proporcionales.

Una fuente que vierte 15 L por hora llena undepósito en 7 horas. Calcula el tiempo que tarda-ría otra fuente, que vierte 17,5 L por hora, en lle-nar un depósito el doble de grande.El tiempo es directamente

proporcional al volumen del depósito

e inversamente proporcional

a la cantidad de agua.

8

7

6

5

4

3

32 son perros.

De cada 60 animales,

6 son extranjeros.

De cada 14 jugadores,

2

��2

16

0�

�1

7

0

0

0�

1


IV Proporcionalidad


8

Ma

te

má

ti

ca

s

a) �5x

� � �1251� x � �

5

1

�

5

21� � 7

b) �2350� � �

1x2� x � �

25

30

� 12� � 10

c) �2x0� � �

2150� x � �

25

1

�

0

20� � 50

�2

15

5� ��

20

x

0� ⇒

⇒ x ��15 �

2

2

5

00��120 veces

1 depósito � 7 h � 15 L/h

2 depósitos � x h � 17,5 L/h

�7

x� � �

2

1� � �

1

1

7

5

,5� ⇒ x � �

7 �

1

2

7,5

� 15� � 12 h

�

42 L � 5 min

x L � 45 min⇒ ⇒

⇒ x ��42

5

� 45� � 378 L

�4

x

2� � �

4

5

5��

d) �174� � �

12

� ⇒ 7 � 2 � 14 � 1 � 14

15 L � 200 veces

25 L � x veces⇒�

a) �85

� �8

5�

b) �1274� �

2

17

4�

c) �191� �

1

9

1�

d) �3572� �

5

3

2

7�

e) �13032

� �1

3

0

3

2�


Actividades

V Aplicaciones de la proporcionalidad

Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno deestas expresiones:

a) 6 de cada 20

b) 18 de cada 25

Calcula mentalmente:

a) 25 % de 800 �

b) 40 % de 1 500 �

Halla en cada caso el valor de x:

a) 33 % de x � 501,60 ⇒

b) 0,65 % de x � 5,85 ⇒

c) 125 % de x � 437,5 ⇒

Para elegir al presidente de una comunidad devecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de losvotos emitidos fue contrario al candidato elegi-do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor?

Calcula el precio de estos objetos rebajados:

a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento.

b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento.

Calcula el coste de estas facturas después deaplicarles el IVA del 16 %:

a) Mudanza: 760 €

b) Pintura de paredes y techos: 525 €

¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresadosal 2,5 % durante 6 años?

¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % paraobtener unos intereses de 600 € en 50 meses?

Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo queen 7 años ha producido unos intereses de 336 €.

¿Cuántos días estuvo depositado un capital de38 450 € al 5 % si proporcionó unos interesesde 1 869 €?

Se debe repartir una donación de 64 kg depatatas entre 3 familias en partes proporciona-les al número de hijos de cada una. Si tienen 3,4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra-mos recibirá cada familia?

El plano de una casa está realizado a una escalade 1:150. Averigua las dimensiones del salón-comedor si en el plano mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho.

¿Cuál es la escala de un plano si 250 km realesestán representados por 12,5 cm?

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Calcula el tanto por ciento y el tanto por uno deestas expresiones:

a) 6 de cada 20 �2

6

0� � 0,3 ⇒ 30 %

b) 18 de cada 25 �2

18

5� � 0,72 ⇒ 72 %

Calcula mentalmente:

a) 25 % de 800 � 200

b) 40 % de 1 500 � 600

Halla en cada caso el valor de x:

a) 33 % de x � 501,60 ⇒ x � 1 520

b) 0,65 % de x � 5,85 ⇒ x � 900

c) 125 % de x � 437,5 ⇒ x � 350

Para elegir al presidente de una comunidad devecinos, votaron 75 personas. Si el 36 % de losvotos emitidos fue contrario al candidato elegi-do, ¿cuántos vecinos votaron a su favor?

100 � 36 � 64; luego votó a su favor

el 64 %

Es decir, � 75 � 48 personas

Calcula el precio de estos objetos rebajados:

a) Frigorífico: 450 € con un 15 % de descuento.

15 % de 450 � 67,50 €. Luego

el precio rebajado es de 382,50 €

b) Lavadora: 375 € con un 12 % de descuento.

12 % de 375 � 45 €. Por tanto, la

lavadora en rebajas cuesta 330 €

Calcula el coste de estas facturas después deaplicarles el IVA del 16 %:

a) Mudanza: 760 €

16 % de 760 � 121,60.

Factura: 881,60 €

b) Pintura de paredes y techos: 525 €

16 % de 525 � 84. Factura: 609 €

¿Qué intereses producirán 3 000 € ingresadosal 2,5 % durante 6 años?

i ��3 000

10

�

0

2,5 � 6�� 450 €

¿Qué capital se debe depositar al 3,5 % paraobtener unos intereses de 600 € en 50 meses?

C ��60

3

0

,5

�

�

1

5

2

0

00�� 4 114,29 €

Calcula el rédito aplicado a 1200 € sabiendo queen 7 años ha producido unos intereses de 336 €.

r � �3

1

3

2

6

00

� 1

�

0

7

0� � 4 %

¿Cuántos días estuvo depositado un capital de38 450 € al 5 % si proporcionó unos interesesde 1 869 €?

t ��

� 355 días

Se debe repartir una donación de 64 kg depatatas entre 3 familias en partes proporciona-les al número de hijos de cada una. Si tienen 3,4 y 6 hijos, respectivamente, ¿cuántos kilogra-mos recibirá cada familia?

�3

x� � �

4

y� � �

6

z� � �

10

13

4� � 8

1.ª familia: x � 3 � 8 � 24 kg

2.ª familia: y � 4 � 8 � 32 kg

3.ª familia: z � 6 � 8 � 48 kg

El plano de una casa está realizado a una escalade 1:150. Averigua las dimensiones del salón-comedor si en el plano mide 4 cm de largo y 3 cm de ancho.

Largo: 150 � 4 � 600 cm � 6 m

Ancho: 150 � 3 � 450 cm � 4,5 m

¿Cuál es la escala de un plano si 250 km realesestán representados por 12,5 cm?

250 km � 25 000 000 cm

x � � 2 000 000

Luego el plano está realizado a una

escala de 1 : 2 000 000.

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

MATERIAL FOTOCOPIABLE \ © Oxford University Press España, S. A.

V Aplicaciones de la proporcionalidad


10

Ma

te

má

ti

ca

s

64

100

25 000 000

12,5

38 450 � 5

1 896 36 000


Actividades

VI Expresiones algebraicas

Expresa algebraicamente:

a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo que es 3 años menor que Raúl, que tiene x años.

b) El precio inicial de unas zapatillas deporti-vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salenpor x euros.

Escribe el enunciado de estas expresiones alge-braicas:

a) 3x2 � x

b) 5 � (x � y)2

Reduce términos semejantes:

a) 4x2 � 2x3 � 5x2 � 7x3 � x �

b) z2 � 3z � �z3

2

� � �52z� �

Calcula los siguientes productos:

a) 4x2 � (2x)2 �

b) 3xy2 � 5x2y �

c) �3x

� � �x4y2

� �

Realiza las siguientes operaciones:

P(x) � x3 � 2x � 5

Q(x) � 3x3 � 6x2 � 4x � 8

R(x) � 7x3 � 4x2 � x � 3

a) P(x) � Q(x) � R(x) �

b) �Q(x) �P(x) �

c) Q(x) � R(x) �

d) R(x) � P(x) �

e) R(x) � Q(x) � P(x) �


a) (x2 � 3x) � (x � 2x3) �

b) 5x2 � (3x2 � 4x � 5) �

c) (2x4 � 6x3 � 4x2 � x) � �2x

� �

d) (3x3 � 4x2) � (2x2 � 5x � 4) �

e) (2x3 � 3x2 � x � 4) � (x � 2) �

Aplica los productos notables:

a) (2x � 3y) � (2x � 3y) �

b) (5x � 6y)2 �

c) ��2x

� � �3y

��2

�

Opera y reduce:

a) 3x � (x � 2) � 4 � (x2 � 6x) �

b) (2x2 � 3x) � x � 2x � (x � 3x3) �

c) 2x2 � (x2 � 3x) � 3x � (x � 2) �

d) x3 � (2x � 2x2) � x2 � (2x3 � 2x) �

Saca factor común:

a) 3x3 � �x3

2

� � 6x �

b) 2x2y � 4xy2 � x2y2 �

c) 4x3y2 � 12x2y3 � 8x2y2 �

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Expresa algebraicamente:

a) La edad de Eva dentro de 5 años, sabiendo que es 3 años menor que Raúl, que tiene x años.

Edad de Eva: x � 3 � 5

b) El precio inicial de unas zapatillas deporti-vas, sabiendo que rebajadas un 15 % salenpor x euros.

Precio inicial:

Escribe el enunciado de estas expresiones alge-braicas:

a) 3x2 � x

El triple del cuadrado de un

número menos ese mismo número.

b) 5 � (x � y)2

Cinco veces el cuadrado de la

suma de dos números.

Reduce términos semejantes:

a) 4x2 � 2x3 � 5x2 � 7x3 � x � �x2 � 9x

3 � x

b) z2 � 3z � �z3

2

� � �52z� � �

2

3

z2

� � �1

2

1z�


a) 4x2 � (2x)2 � 4x2 � 4x

2 � 16x4

b) 3xy2 � 5x2y � 15x3

y3

c) �3x

� � �x4y2

� � �x

1

2

2

y2

�

Realiza las siguientes operaciones:

P(x) � x3 � 2x � 5

Q(x) � 3x3 � 6x2 � 4x � 8

R(x) � 7x3 � 4x2 � x � 3

a) P(x) � Q(x) � R(x) � 11x3 � 10x

2 � 3x � 6

b) �Q(x) �P(x) � �4x3 � 6x

2� 2x � 3

c) Q(x) � R(x) ��4x3 � 2x

2 � 3x � 5

d) R(x) � P(x) � 6x3 � 4x

2 � 3x � 8

e) R(x) � Q(x) � P(x) � 5x3 � 2x

2 � 5x � 10


a) (x2 � 3x) � (x � 2x3) �

� x3 � 3x

2 � 2x5 � 6x

4

b) 5x2 � (3x2 � 4x � 5) �

� 15x4 � 20x

3 � 25x2

c) (2x4 � 6x3 � 4x2 � x) � �2x

� �

� x5 � 3x

4 � 2x3 � �

x

2

2

�

d) (3x3 � 4x2) � (2x2 � 5x � 4) �

� 6x5 � 15x

4 � 12x3 � 8x

4 � 20x3 �

� 16x2 � 6x

5 �23x4 � 32x

3 � 16x2

e) (2x3 � 3x2 � x � 4) � (x � 2) �

� 2x4 � 3x

3 � x2 � 4x � 4x

3 �

� 6x2 � 2x � 8 � 2x

4 � x3 � 7x

2 �

� 6x � 8

Aplica los productos notables:

a) (2x � 3y) � (2x � 3y) � 4x2 � 9y

2

b) (5x � 6y)2 � 25x2 � 60xy � 36y

2

c) ��2x

� � �3y

��2

� �x

4

2

� � �x

3

y� � �

y

9

2

�

Opera y reduce:

a) 3x � (x � 2) � 4 � (x2 � 6x) �

� 3x2 � 6x � 4x

2 � 24x � 7x2 � 18x

b) (2x2 � 3x) � x � 2x � (x � 3x3) �

� 2x3 � 3x

2 � 2x2 � 6x

4 �

� 2x3 � 5x

2 � 6x4

c) 2x2 � (x2 � 3x) � 3x � (x � 2) �

� 2x4 � 6x

3 � 3x2 � 6x

d) x3 � (2x � 2x2) � x2 � (2x3 � 2x) �

� 2x4 � 2x

5 � 2x5 � 2x

3 � 2x4 � 2x

3

Saca factor común:

a) 3x3 � �x3

2

� � 6x � x � (3x2 � �

3

x� � 6)

b) 2x2y � 4xy2 � x2y2 � xy � (2x � 4y � xy)

c) 4x3y2 � 12x2y3 � 8x2y2 �

� 4x2y

2 � (x � 3y � 2)

9

8

7

6

5

4

3

2

1


VI Expresiones algebraicas


12

Ma

te

má

ti

ca

s

x

0,85


Actividades

VII Ecuaciones

Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro-puestas:

a) x � 5 � 7 � 2x

b) 4 � (2x � 3) � 10

Comprueba cuál de los valores propuestos essolución de la ecuación:

a) �2x � 1 � 7; x � 2; x � �3; x � �2

b) 6 � 4x � �6; x � �1; x � 2; x � �3

Encuentra una solución para las siguientesecuaciones:

a) 5 � x � 3 ⇒

b) 3x � 4 � 11 ⇒

c) 8 � 2x � 4 ⇒

Resuelve estas ecuaciones:

a) (x � 2) � 4 � 5x � 8

b) 3 � (3x � 2) � 4x � (2x � 4) � 2 � 3x

c) 5x � 2 � (2x � 1) � 3x � 4

Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) 2x � �35

� � �72

�

b) �2x

3� 4� � �

32x� � 8

Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) 3x2 � 48

b) x2 � 12x � 0

c) 4x2 � 45 � �x2

d) 7x2 � 14x � 0

e) x2 � x � 12 � 0

f ) 3x2 � 5x � 2 � 0

El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene-dores de recogida de vidrio de dos barrios de laciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene-dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo-res hay en cada barrio?

El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Siuno de los lados es 10 cm mayor que el otro,calcula la longitud de los lados del rectángulo.

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Escribe dos ecuaciones equivalentes a las pro-puestas:

a) x � 5 � 7 � 2x

b) 4 � (2x � 3) � 10

Comprueba cuál de los valores propuestos essolución de la ecuación:

a) �2x � 1 � 7; x � 2; x � �3; x � �2

x � �3

b) 6 � 4x � �6; x � �1; x � 2; x � �3

x � �3

Encuentra una solución para las siguientesecuaciones:

a) 5 � x � 3 ⇒ x � 2

b) 3x � 4 � 11 ⇒

c) 8 � 2x � 4 ⇒ x � 2

Resuelve estas ecuaciones:

a) (x � 2) � 4 � 5x � 8

4x � 8 � 5x � 8 ⇒ x � �16

b) 3 � (3x � 2) � 4x � (2x � 4) � 2 � 3x

9x � 6 � 4x � 4x � 8 � 3x ⇒

⇒ 14 � 2x ⇒ x � 7

c) 5x � 2 � (2x � 1) � 3x � 4

5x � 4x � 2 � 3x � 4 ⇒

⇒ 6x � 6 ⇒ x � 1

Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:

a) 2x � �35

� � �72

�

20x � 6 � 35 ⇒ 20x � 29 ⇒

b) �2x

3� 4� � �

32x� � 8

4x � 8 � 9x � 48 ⇒ 13x � 40 ⇒

Resuelve las ecuaciones de segundo grado:

a) 3x2 � 48

b) x2 � 12x � 0

x � (x � 12) � 0 ⇒ x � 0 y x � 12

c) 4x2 � 45 � �x2

5x2 � 45 � 0 ⇒ x

2 � �9

No tiene solución.

d) 7x2 � 14x � 0

7x � (x � 2) � 0 ⇒ x � 0 y x � 2

e) x2 � x � 12 � 0

f ) 3x2 � 5x � 2 � 0

El camión de Agustín ha vaciado ya 45 contene-dores de recogida de vidrio de dos barrios de laciudad. Si en uno de los barrios hay 5 contene-dores más que en el otro, ¿cuántos contenedo-res hay en cada barrio?

Llamamos x al número de contenedores

de un barrio, luego en el otro habrá x � 5.

x � x � 5 � 45 ⇒ 2x � 40 ⇒ x � 20

En uno de los barrios hay 20

contenedores, y en el otro, 25.

El perímetro de un rectángulo es de 60 cm. Siuno de los lados es 10 cm mayor que el otro,calcula la longitud de los lados del rectángulo.

Llamamos x al lado menor, luego el otro

lado medirá x � 10.

P � 2x � 2 � (x � 10) � 60 ⇒⇒ 4x � 20 � 60 ⇒ 4x � 40 ⇒ x � 10

Los lados miden 10 cm y 20 cm.

8

7

⇒ x � �3

1� y x � �2

x ��5 �

6

25 ��24�� ⇒

x ��1 �

2

1 � 48�� ⇒ x � 4 y x � �3

x2 � �

4

3

8� � 16 ⇒ x � 4 y x � �4

6

⇒ x � �4

13

0�

⇒ x � �2

2

0

9�

5

4

x � 5

3

2

RESPUESTA ABIERTA

RESPUESTA ABIERTA

1


VII Ecuaciones


14

Ma

te

má

ti

ca

s


Actividades

VIII Sistemas de ecuaciones

Expresa en la forma general las siguientes ecua-ciones:

a) 5 � 2y � 4x � 0

b) 3y � 6 � 2x

Encuentra tres soluciones para cada una deestas ecuaciones:

a) x � 3y � 6

b) 2y � 3x � �4

Expresa mediante una ecuación con dos incóg-nitas las siguientes afirmaciones:

a) La suma de dos números menos su diferen-cia es igual a 10.

b) La mitad del producto de dos números es120.

Comprueba cuál de estas parejas de valores sonsolución de las ecuaciones propuestas:

1) x � �1, y � �22) x � �3, y � 13) x � 1, y � 0

a) 2x � 5y � �1

b) �7y � x � 13

c) 6y � 4x � 4 � 0

Resuelve los siguientes sistemas de ecuacionesaplicando el método de sustitución:

a) 3x � y � 5 ⇒

5x � 3y � 13�⇒

b) 4x � 2y � 6 ⇒

4x � y � 9� ⇒

Encuentra las soluciones de estos sistemas deecuaciones, empleando el método de reduc-ción:

a) 2x �4y �10 ⇒

4x �2y �15 � ⇒

40

b) 3x�5y�21 ⇒�

2x�4y�16 �⇒

En un garaje hay motos de dos cilindros ycoches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin-dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hayen el garaje?

Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas unagricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg dearroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €,¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de losproductos que vende el agricultor?

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Expresa en la forma general las siguientes ecua-ciones:

a) 5 � 2y � 4x � 0 4x � 2y � �5

b) 3y � 6 � 2x 2x � 3y � 6

Encuentra tres soluciones para cada una deestas ecuaciones:

a) x � 3y � 6 RESPUESTA ABIERTA

b) 2y � 3x � �4 RESPUESTA ABIERTA

Expresa mediante una ecuación con dos incóg-nitas las siguientes afirmaciones:

a) La suma de dos números menos su diferen-cia es igual a 10.

(x � y) � (x � y) � 10

b) La mitad del producto de dos números es120.

Comprueba cuál de estas parejas de valores sonsolución de las ecuaciones propuestas:

1) x � �1, y � �22) x � �3, y � 13) x � 1, y � 0

a) 2x � 5y � �1 La solución 2

b) �7y � x � 13 La solución 1

c) 6y � 4x � 4 � 0 La solución 3

Resuelve los siguientes sistemas de ecuacionesaplicando el método de sustitución:

a) 3x � y � 5 ⇒y�3x�5

5x � 3y � 13�⇒ 5x�3 �(3x�5)�13�⇒ 5x � 9x � 15 � 13 ⇒ x � 2

⇒ y � 3 � 2 � 5 ⇒ y � 1

b) 4x � 2y � 6 ⇒ y � 9 � 4x

4x � y � 9� ⇒4x�2 �(9 �4x) �6�⇒ 4x � 18 � 8x � 6 ⇒ x � 2

⇒ y � 9 � 4 � 2 ⇒ y � 1

Encuentra las soluciones de estos sistemas deecuaciones, empleando el método de reduc-ción:

a) 2x �4y �10 ⇒2x�4y�10

4x �2y �15 � ⇒8x�4y�30

10x � 40�

⇒ x � 4 ⇒ y � ��2

1�

b) 3x�5y�21 ⇒�6x�10y �42

2x�4y�16 �⇒�6x�12y ��48

�2y��6�

⇒ y � 3 ⇒ x � 2

En un garaje hay motos de dos cilindros ycoches de seis cilindros. En total, hay 80 cilin-dros y 58 ruedas. ¿Cuántas motos y coches hayen el garaje?

Llamamos x al número de motos e y al

número de coches.

2x�6y�80 ⇒ 2x�6y� 80

2x�4y�58� ⇒�2x�4y��58�2y�22 ⇒ y � 11 ⇒ x � 7

Por tanto, hay 7 motos y 11 coches.

Si por 3 kg de arroz más 6 kg de lentejas unagricultor ha cobrado 9,75 €, y por 1 kg dearroz más 3 kg de lentejas le han pagado 4 €,¿cuánto vale el kilogramo de cada uno de losproductos que vende el agricultor?

Llamamos x al precio del arroz e y al de

lentejas.

3x �6y � 9,75 ⇒

x � 3y � 4 �⇒

⇒ x � 4 � 3y

⇒ 3(4 � 3y) � 6y �9,75

⇒ y � 0,75 ⇒ x � 1,75

Luego el kilogramo de arroz cuesta

1,75 €, y el de lentejas, 0,75 €.

8

7

6

5

4

�x

2

� y� � 120

3

2

1


VIII Sistemas de ecuaciones


16

Ma

te

má

ti

ca

s

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

2y � 22

40


Actividades

IX Funciones

La relación entre el radio de una circunferenciay su longitud es una función. Indica cuál es lavariable independiente, la variable dependien-te y expresa algebraicamente la función.

Realiza una tabla de valores de la función de laactividad anterior y represéntala gráficamente.

Calcula el valor de f ( –3), f (4) y f� 1––2 � para las

siguientes funciones:

a) f (x) � –––––2x + 3–––––

3⇒

b) f (x) �4

–––––x + 2

⇒

c) f (x)� 3x2 � 4 ⇒

Halla los puntos de corte con los ejes de coor-denadas de la función y � x2 – x – 6

Representa gráficamente la función de la activi-dad anterior e indica las zonas de crecimiento ydecrecimiento, así como los puntos máximos ymínimos.

Indica los valores de la pendiente y la ordenadaen el origen de las siguientes funciones. Luegorepreséntalas en los ejes de coordenadas.

a) y � 4x – 2

b) y � –3x + 1

c) y �1––2

x + 3

¿Qué tipo de funciones son las de la actividadanterior? ¿Cómo es su representación gráfica?

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


IX Funciones

Indica dos magnitudes que se relacionenmediante una función lineal.

Analiza la siguiente gráfica.

Representa la función y �

Halla los valores que toma la función y � �x2 + 4 para los siguientes valores de x:

a) x � �3 y �

b) x � 4 y �

c) x � �6 y �

d) x �1––2

y �

En las siguientes funciones señala la ordenadaen el origen y la pendiente.

a) y � x �1––3

b) y � �2x

c) y � 15 x – 10

d) y � – 2

––5

x

Representa la función y � . ¿Qué tipo de

función es? ¿Cómo se llama su gráfica?

13

12

11

10

9

8


Actividades

18

Ma

te

má

ti

ca

s

5x + 1

32x

8

6

4

2

-2

-4

-6

-2-4-6 642



La relación entre el radio de una circunferenciay su longitud es una función. Indica cuál es lavariable independiente, la variable dependien-te y expresa algebraicamente la función.

La variable independiente es el radio y

la variable dependiente es la longitud

de la circunferencia: y � 2x

Realiza una tabla de valores de la función de laactividad anterior y represéntala gráficamente.

Calcula el valor de f ( –3), f (4) y f� 1––2 � para las

siguientes funciones:

a) f (x) � –––––2x + 3–––––

3⇒ f (�3) � �1,

f (4) � 11

–––3

, f � 1––2 � �

4––3

b) f (x) �4

–––––x + 2

⇒ f (�3) � �4,

f (4)�2––3

, f � 1––2 � �

8––5

c) f (x)� 3x2 � 4 ⇒ f (�3) � 23,

f (4) � 44, f � 1––2 � � �

13–––

4

Halla los puntos de corte con los ejes de coor-denadas de la función y � x2 – x – 6

Corte con el eje X : y � 0 x � 3 y x ��2

Corte con el eje Y : x � 0 y ��6

Corta a los ejes en: (3, 0), (�2, 0) y (0, 6)

Representa gráficamente la función de la acti-vidad anterior e indica las zonas de crecimien-to y decrecimiento, así como los puntos máxi-mos y mínimos.

La función es decreciente hasta x � 1

––2

y creciente en el resto. Presenta un

mínimo en el punto �25–––

4 .

Indica los valores de la pendiente y la ordenadaen el origen de las siguientes funciones. Luegorepreséntalas en los ejes de coordenadas.

a) y � 4x – 2

Pendiente 4, ordenada en el origen �2.

b) y � –3x + 1

Pendiente �3, ordenada en el origen 1.

c) y �1––2

x + 3

Pendiente 1

––2

, ordenada en el origen 3.

¿Qué tipo de funciones son las de la actividadanterior? ¿Cómo es su representación gráfica?

Son funciones afines. Sus

representaciones gráficas son rectas.

7

6

5

4

3

2

1


IX Funciones

19

Ma

te

má

ti

ca

s

20181614

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4

x 0 1 2 3

y 0 6,28 12,56 18,84

1

4O 1 2

Y

X

234

3�2�4

�2�3�4�5�6

X

Y

O 1 2�6�5�4

1

�2

23

�3

�3�2


Indica dos magnitudes que se relacionenmediante una función lineal.

Respuesta libre.

Analiza la siguiente gráfica.

Corta al eje de abcisas en el punto

(�4, 0) y al eje de ordenadas en el

punto (0, 2). Presenta un máximo en el

punto (�2,5, 9) y un mínimo en el

punto (0, 2).

Es creciente hasta el punto (�2,5, 9)

y desde el punto (0, 2), y es decreciente

entre estos dos puntos.

Representa la función y �

Halla los valores que toma la función y � �x2 + 4 para los siguientes valores de x:

a) x � �3 y � �9 � 4 � �5

b) x � 4 y � �16 �4 � �12

c) x � �6 y � �36 � 4 � �32

d) x �1––2

y � � � 4 �

En las siguientes funciones señala la ordenadaen el origen y la pendiente.

a) y � x �1––3

Pendiente 1 y ordenada en el origen 1

––3

b) y � �2x

Pendiente �2 y ordenada en el origen 0

c) y � 15 x – 10

Pendiente 15 y ordenada en el origen �10

d) y � – 2

––5

x

Pendiente �2

––5

y ordenada en el origen 0

Representa la función y � . ¿Qué tipo de

función es? ¿Cómo se llama su gráfica?

Es una función de proporcionalidad

inversa, y su gráfica es una hipérbola.

13

12

11

10

9

8


IX Funciones


20

Ma

te

má

ti

ca

s

8

6

4

2

-2

-4

-6

-2-4-6 642

2 X

Y

O 4 6�8�6�4

�4�6�8

246

�10

�10

8

8

8

6

4

2

-4

-6

642 8 10

-8

-2-2-4-6-8

x �11 �6 0 4

y � �1 5 1

9

x �3 � � �

y � �3 � 3�

�3

5x + 1

1

2

32x

1

2

1

2

1

2

1

2

3

2

1

21

1

4

15

4


Actividades

X La medida del tiempo y de los ángulos

Expresa en minutos:

a) 59º �

b) 16 h �

c) 22,43 h �

Expresa en forma compleja:

a) 829 s �

b) 128,81� �

c) 2 568,29 min �

Expresa en la unidad indicada:

a) En minutos 3 h 29 min 48 s �

b) En horas 48 min 15 s �

c) En segundos 2 h 25 min 17 s �

d) En minutos 213º 38� 29��

Calcula las sumas y diferencias:

a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s �

b) 73º 39� 52�� + 102º 27� 31’’ �

c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s �

d) 153º 28� 12�� – 74º 32� 43��

Calcula los productos y cocientes:

a) (7º 12� 34��) · 18 �

b) (15 h 31 min 42 s) : 6 �

c) (22 h 24 min 17 s) · 9 �

d) (208º 33� 47��) : 11 �

Calcula y expresa en grados:

(132º 51� 18��) : 4 �

Uno de los ángulos de un trapecio isóscelesmide 132º 45� 28��. Dibuja la figura y averiguala medida de la amplitud de los otros ángulos.

Ana y su madre salen en avión, desde Frank-furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan ala ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día15 de junio a las 16 h 40 min hora local.Sabiendo que entre las dos ciudades hay unadiferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿quéhora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura-do el vuelo?

Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió deBarcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, ydespués de hacer varias escalas llegó a Valenciael día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán-tos días horas y minutos duró el crucero?

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Expresa en minutos:

a) 59º � 3 540�

b) 16 h � 960 min

c) 22,43 h � 1 345,8 min

Expresa en forma compleja:

a) 829 s � 13 min 49 s

b) 128,81� � 2º 8� 48,6��

c) 2 568,29 min � 42 h 48 min 17,4 s

Expresa en la unidad indicada:

a) En minutos 3 h 29 min 48 s � 209,8 min

b) En horas 48 min 15 s � 0,804 16 h

c) En segundos 2 h 25 min 17 s � 8 717 s

d) En minutos 213º 38� 29�� 12 818,483�

Calcula las sumas y diferencias:

a) 8 h 48 min 29 s – 6 h 52 min 44 s �

� 1 h 55 min 45 s

b) 73º 39� 52�� + 102º 27� 31’’ � 176º 7� 23��

c) 35 h 41 min 39 s + 28 h 47 min 26 s �

� 64 h 29 min 5 s

d) 153º 28� 12�� – 74º 32� 43�� 78º 55� 29��

Calcula los productos y cocientes:

a) (7º 12� 34��) · 18 � 129º 46� 12��

b) (15 h 31 min 42 s) : 6 � 2 h 35 min 17 s

c) (22 h 24 min 17 s) · 9 � 201 h 38 min 33 s

d) (208º 33� 47��) : 11 � 18º 57� 37��

Calcula y expresa en grados:

(132º 51� 18��) : 4 � 33º 12� 49,5��

� 33,213 75º

Uno de los ángulos de un trapecio isóscelesmide 132º 45� 28��. Dibuja la figura y averiguala medida de la amplitud de los otros ángulos.

En un trapecio isósceles los lados son

iguales dos a dos, luego:

A � B � 132º 45� 28��

La suma de los ángulos es igual a 360º

360º � 2 · (132º 45� 28��) �94º 29� 3��

C � D � � 47º 14� 31,5��

Ana y su madre salen en avión, desde Frank-furt, el 14 de junio a las 22 h 35 min y llegan ala ciudad de Ho Chi Minh, en Vietnam, el día15 de junio a las 16 h 40 min hora local.Sabiendo que entre las dos ciudades hay unadiferencia horaria de 6 horas, averigua: ¿quéhora marcará el reloj de Ana? ¿Cuánto ha dura-do el vuelo?

El reloj de Ana marcará:

16 h 40 min � 6 h � 10 h 40 min

La duración del vuelo será:

24 h � 22 h 35 min � 2 h 25 min

10 h 40 min � 2 h 25 min � 13 h 5 min

Jacobo y Prisela fueron a un crucero que salió deBarcelona el 23 de agosto a las 20 h 30 min, ydespués de hacer varias escalas llegó a Valenciael día 6 de septiembre a las 11 h 45 min. ¿Cuán-tos días horas y minutos duró el crucero?

Días de agosto: 31 � 23 � 8.

Días de septiembre, 5.

Total: 8 � 5 � 13 días.

Horas del 23 de agosto: 3 h 30 min.

Horas del 6 de septiembre: 11 h 45 min.

Total horas: 15 h 15 min. Duración del

crucero: 13 días 15 h 15 min.

9

8

7

6

5

4

3

2

1


X La medida del tiempo y de los ángulos


22

Ma

te

má

ti

ca

s

A B

DC

94º 29� 3��

2


Actividades

XI Semejanza


Ma

te

má

ti

ca

s

O

A B

D

C

Construye y calcula el segmento cuarto propor-cional a los tres dados:

a) m � 2 cm, n � 3 cm y p � 4 cm

b) m � 5 cm, n � 3 cm y p � 4 cm

Observa la siguiente figura y completa las pro-porciones indicadas:

a)AC–––AE

�

b)AE

–––CE

�

c) CE–––AC

�

De dos segmentos proporcionales cuya razón

es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá-

les pueden ser las medidas del otro.

Indica si los siguientes pares de triángulos son,o no semejantes:

a) AB � 3 cm, AC � 9 cm y CB � 5 cmA�B�� 5 cm, A�C�� 13 cm y C�B�� 7 cm

b) AB � 6 cm, AC � 3 cm y CB � 15 cmA�B� � 2 cm, A�C� � 1 cm y B�C�� 5 cm

Construye un polígono semejante al dado des-de un punto exterior con razón de semejanza 2.¿Qué relación tienen entre sí OA y OA�, OB yBB�, OC y CC�, OD y DD�?

En el plano que llevamos a la excursión la esca-la es de 1:500.

a) Dibuja una escala gráfica que la represente.

b) Calcula los kilómetros recorridos si en elplano la distancia es de 12 cm.

c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan-cia de dos puntos que en la realidad distan12 km entre sí?

Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º yotro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme-jantes? Razona la respuesta.

Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus ladosmiden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene unángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm.¿Son semejantes?

8

7

6

5

4

3

2

1

B

D

F

A

C

E

35


3 cm

5 cm

4 cm

x

Construye y calcula el segmento cuarto propor-cional a los tres dados:

a) m � 2 cm, n � 3 cm y p � 4 cm

2––3

�4––x

x � 6 cm

b) m � 5 cm, n � 3 cm y p � 4 cm

5––3

�4––x

x � 2,4 cm

Observa la siguiente figura y completa las pro-porciones indicadas:

a)AC–––AE

�BD–––BF

b)AE

–––CE

�BF–––DF

c) CE–––AC

�DF–––DB

De dos segmentos proporcionales cuya razón

es , uno de ellos mide 21 cm. Calcula cuá-

les pueden ser las medidas del otro.

3––5

�21–––

x; x � 35 cm

3––5

�y

–––21

; y � 12,6 cm

Indica si los siguientes pares de triángulos son,o no semejantes:

a) AB � 3 cm, AC � 9 cm y CB � 5 cmA�B�� 5 cm, A�C�� 13 cm y C�B�� 7 cm

No son semejantes, porque:3––5

�9

–––13

�5––7

b) AB � 6 cm, AC � 3 cm y CB � 15 cmA�B� � 2 cm, A�C� � 1 cm y B�C�� 5 cmSí son semejantes, porque:

6––2

�3––1

�15––5

Construye un polígono semejante al dado des-de un punto exterior con razón de semejanza 2.¿Qué relación tienen entre sí OA y OA�, OB yBB�, OC y CC�, OD y DD�?

OA � AA� , OB � BB�,

OC � CC�, OD � DD �

En el plano que llevamos a la excursión la esca-la es de 1:500.

a) Dibuja una escala gráfica que la represente.

b) Calcula los kilómetros recorridos si en elplano la distancia es de 12 cm.

Distancia: 500 · 12�6000 cm �

� 6 km

c) ¿Qué longitud tendrá en el plano la distan-cia de dos puntos que en la realidad distan12 km entre sí?

12 000 : 500 � 24 cm

Un triángulo tiene dos ángulos de 58º y 73º yotro triángulo de 73º y 49º. ¿Son, o no, seme-jantes? Razona la respuesta.

1.er

triángulo: 180 � (73 � 58) � 49

2.º triángulo: 180 � (73 � 49) � 58

Los dos triángulos son semejantespor tener los ángulos respectivamenteiguales.

Un triángulo tiene un ángulo de 80º y sus ladosmiden 18 cm y 24 cm. Otro triángulo tiene unángulo de 80º y sus lados miden 3 cm y 4 cm.¿Son semejantes?

Sí, son semejantes, por tener un

ángulo igual y los lados que lo

comprenden proporcionales.

18–––24

�3––4

8

7

6

5

4

3

2

1


XI Semejanza


24

Ma

te

má

ti

ca

s

3 cm

2 cm

4 cm

x

B

D

F

A

C

E

O

A

D

C

A’

D’

C’

B

B’

35

0 2 km


Actividades

XII Triángulos rectángulos


Ma

te

má

ti

ca

s

La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós-celes mide 54 cm. Calcula los catetos.

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula:

a) El otro cateto.

b) El área.

Comprueba en cada caso si los números dadosforman una terna pitagórica:

a) 5, 12, 13.

b) 6, 7, 10.

c) 8, 16, 17.

d) 7, 24, 25.

El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula:

a) Su diagonal.

b) Su perímetro.

c) Su área.

El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm.Calcula:

a) La altura.

b) El perímetro.

c) El área.

El lado de un hexágono regular mide 26 cm.Calcula:

a) Su apotema.

b) Su perímetro.

c) Su área.

Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y

16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula:

a) La medida de los lados oblicuos.

b) El perímetro.

c) El área.

Los catetos de un triángulo rectángulo miden15 y 20 cm. Calcula:

a) La hipotenusa.

b) Las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa.

c) La altura correspondiente a la hipotenusa.

d) Su área.

Las proyecciones de los catetos sobre la hipote-nusa de un triángulo rectángulo miden 12 y 15 cm. Calcula:

a) Los lados del triángulo.

b) La altura correspondiente a la hipotenusa.

c) El área del triángulo formado por el catetode 18 cm, su proyección sobre la hipotenusay la altura:

9

8

7

6

5

4

3

2

1


La hipotenusa de un triángulo rectángulo isós-celes mide 54 cm. Calcula los catetos.

Por ser isósceles los catetos son

iguales. 542 � 2 c

2 ⇒ c � 38,18 cm

La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide45 cm y uno de sus catetos 36 cm. Calcula:

a) El otro cateto.

C2 � 45

2 � 362 � 729 ⇒ c � 27 cm

b) El área. S �c · c�

�36 · 27

� 486 cm2

Comprueba en cada caso si los números dadosforman una terna pitagórica:

a) 5, 12, 13. Sí, porque: 132 � 12

2 � 52

b) 6, 7, 10. No, porque: 102 � 7

2 � 62

c) 8, 16, 17. No, porque: 172 � 16

2 � 82

d) 7, 24, 25. Sí, porque: 252 � 24

2 � 72

El lado de un cuadrado mide 24 cm. Calcula:

a) Su diagonal.

D2 � 2 I

2 � 1 152 ⇒ D � 33,94 cm

b) Su perímetro. P � 4l � 96 cm.

c) Su área. S � I 2 � 576 cm

2

El lado de un triángulo equilátero mide 12 cm.Calcula:

a) La altura.

a � l 2 � � 12

2 � 62 � 10,39 cm

b) El perímetro. P � 3l � 36 cm.

c) El área. S � l · � �

� 62,34 cm2

El lado de un hexágono regular mide 26 cm.Calcula:

a) Su apotema. A2 � l2� � 507 ⇒

l � 22,51 cm

b) Su perímetro. P � 6 · l � 156 cm

c) Su área. S � P · a

––2

� 1 755,78 cm2

, Las bases de un trapecio isósceles miden 10 y

16 cm, y la altura, 4 cm. Calcula:

a) La medida de los lados oblicuos.

� 3 cm

l2 � 4

2 � 32 � 25 ⇒ l � 5 cm

b) El perímetro. P�16 � 10 � 5 � 5 �36 cm

c) El área. S �(16 �10) · 4––2

�52 cm2

Los catetos de un triángulo rectángulo miden15 y 20 cm. Calcula:

a) La hipotenusa.

a2 � 15

2 � 202 � 625 ⇒ a � 25 cm

b) Las proyecciones de los catetos sobre la

hipotenusa. 152�25 · m ⇒m�9 cm

202 �25 · n ⇒ n �16 cm

c) La altura correspondiente a la hipotenusa.

h2 �9 · 16 �144 ⇒ h �12 cm

d) Su área. S � �150 cm2

Las proyecciones de los catetos sobre la hipote-nusa de un triángulo rectángulo miden 12 y 15 cm. Calcula:

a) Los lados del triángulo.

a �12 �15 �27 cm

b2 �27 · 15 �405 ⇒ b �20,12 cm

c2 �27 · 12 �324 ⇒ c �18 cm

b) La altura correspondiente a la hipotenusa.

h2 �12 · 15 �180 ⇒ h �13,41 cm

c) El área del triángulo formado por el catetode 18 cm, su proyección sobre la hipotenusay la altura:

S � �80,46 cm2

9

8

7

6

5

4

3

2

1


XII Triángulos rectángulos


26

Ma

te

má

ti

ca

s

2 2

� l––2�

2

a––2

12 · 10,39

2

12 · 13,41

2

� l––2�

2

16 � 10

2

25 · 122

�


Actividades

XIII Cuerpos geométricos

Responde a las siguientes cuestiones:

a) Si una recta r está contenida en el plano p yotra recta r� en el plano p� y son paraleloslos planos p y p�, ¿son paralelas también r yr�?

b) Considera una recta r contenida en un pla-no p. ¿Qué posición con respecto al plano ptendrá otro plano p� que contiene una rectar� paralela a r?

c) Si tres planos están formando un ángulotriedro, ¿se puede trazar una recta que ten-ga algún punto en cada uno de los planos?

Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calculala medida del ángulo opuesto por la arista.

Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli-nas de colores con forma de triángulo isósceles,cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos deellos puede unir por este ángulo para obtenerángulos poliedros?

En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto midenlos ángulos diedros que se forman en la uniónde las caras laterales?

Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices,¿cuántas aristas tiene?

Observa el siguiente cuerpo geométrico y res-ponde.

a) ¿Es cóncavo o convexo?

�

b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?

c) ¿Es poliedro o no?

�

d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todosiguales?

e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene?

Indica si los siguientes objetos tienen forma depoliedro o de cuerpos de revolución.

a) Un vaso.

�

b) Un libro.

c) Un obelisco.

d) Una campana.

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s



Describe los siguientes poliedros regularesexplicando cómo son sus caras, vértices, ángu-los diedros y poliedros.

a) Tetraedro:

b) Octaedro:

c) Icosaedro:

Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyasdimensiones sean diferentes.

¿En qué se semejan y en qué se diferencian unparalelepípedo y un ortoedro?

Dibuja el cuerpo geométrico de revoluciónengendrado al girar este rombo alrededor desu diagonal mayor.

¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismoradio? ¿Y los meridianos?

Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar-celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca deBarcelona, si la primera se encuentra en la lon-gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130ºOeste, y las dos están en el mismo paralelo?

Nombra los cuerpos geométricos que corres-ponden a estos desarrollos planos.

a)

b)

c)

14

13

12

11

10

9

8


Actividades

28

Ma

te

má

ti

ca

s



Responde a las siguientes cuestiones:

a) Si una recta r está contenida en el plano p yotra recta r� en el plano p� y son paraleloslos planos p y p�, ¿son paralelas también r yr�?

Solo serán paralelas si están en un

mismo plano p ��. En caso contrario,

se cruzarán.

b) Considera una recta r contenida en un pla-no p. ¿Qué posición con respecto al plano ptendrá otro plano p� que contiene una rectar� paralela a r?

El plano p�cortará al plano p y sus

puntos comunes serán la recta r.

c) Si tres planos están formando un ángulotriedro, ¿se puede trazar una recta que ten-ga algún punto en cada uno de los planos?

Un ángulo diedro cóncavo mide 210º. Calculala medida del ángulo opuesto por la arista.

El ángulo medirá:

360º � 210º � 150º

Emilia tiene muchos recortes iguales de cartuli-nas de colores con forma de triángulo isósceles,cuyo ángulo desigual mide 40º. ¿Cuántos deellos puede unir por este ángulo para obtenerángulos poliedros?

Puede unir desde 3 hasta 8 triángulos

por el ángulo de 40º, porque 40º · 9 �� 360º y ya no formaría ángulo

poliedro.

En un prisma hexagonal regular. ¿Cuánto midenlos ángulos diedros que se forman en la uniónde las caras laterales?

Medirán lo mismo que los ángulos del

polígono de la base, esto es:

180 · � 120º

Si un poliedro tiene 14 caras y 24 vértices,¿cuántas aristas tiene?

c � v � a � 2 ⇒ a � c � v � 2 � 36

Tiene 36 aristas.

Observa el siguiente cuerpo geométrico y res-ponde.

a) ¿Es cóncavo o convexo?

Es cóncavo. �

b) ¿Cuántas caras, vértices y aristas tiene?

Tiene 14 caras, 24 vértices

y 36 aristas.

c) ¿Es poliedro o no?

Sí es poliedro porque sus caras

son polígonos.�

d) ¿Cuántos ángulos diedros tiene? ¿Son todosiguales?

Tiene 36 ángulos diedros.

Hay 32 convexos que son rectos

y 4 cóncavos que miden 270º.

e) ¿Cuántos ángulos triedros y tetraédricos tiene?

Tiene 24 ángulos triedros, uno en

cada vértice. No tiene ángulos

tetraédricos.

Indica si los siguientes objetos tienen forma depoliedro o de cuerpos de revolución.

a) Un vaso.

Cuerpo de revolución�

b) Un libro.

Poliedro

c) Un obelisco.

Poliedro

d) Una campana.

Cuerpo de revolución�

7

6

5

4

3

2

No.

1



29

Ma

te

má

ti

ca

s

6 �2

6


Describe los siguientes poliedros regularesexplicando cómo son sus caras, vértices, ángu-los diedros y poliedros.

a) Tetraedro:

Formado por 4 caras que son

triángulos equiláteros, 4 vértices

donde concurren 3 caras formando

ángulos triedros iguales, y 6 aristas


ángulos diedros, todos ellos de 60º.

b) Octaedro:




ángulos tetraédricos, o de orden 4,

iguales y 12 aristas donde

concurren 2 caras formando

ángulos diedros iguales.

c) Icosaedro:



donde se unen 5 caras formando

ángulos poliedros de orden 5, y 30

aristas donde concurren 2 caras

formando ángulos diedros iguales.

Dibuja el desarrollo plano de un ortoedro cuyasdimensiones sean diferentes.

¿En qué se semejan y en qué se diferencian unparalelepípedo y un ortoedro?

Se parecen en que tienen sus caras

paralelas dos a dos y se diferencian en

que el ortoedro tiene los ángulos

diedros rectos.

Dibuja el cuerpo geométrico de revoluciónengendrado al girar este rombo alrededor desu diagonal mayor.

¿Tienen todos los paralelos terrestres el mismoradio? ¿Y los meridianos?

Los paralelos no tienen el mismo radio,

este va disminuyendo según se van

acercando a los polos. Los meridianos

sí tienen todos el mismo radio.

Considerando que el meridiano 0º pasa por Bar-celona, ¿qué ciudad se encontrará más cerca deBarcelona, si la primera se encuentra en la lon-gitud 130º Este y la segunda en la longitud 130ºOeste, y las dos están en el mismo paralelo?

Las dos ciudades se encontrarán a la

misma distancia de Barcelona.

Nombra los cuerpos geométricos que corres-ponden a estos desarrollos planos.

a) Pirámide pentagonal regular

b) Hexaedro regular

c) Cilindro recto

14

13

12

11

10

9

8




30

Ma

te

má

ti

ca

s


Actividades

XIV Áreas y volúmenes de cuerpos

Calcula la diagonal de un ortoedro cuyasdimensiones son 3, 4 y 5 cm.

Calcula el área total de un prisma triangularrecto, sabiendo que la base es un triánguloequilátero de 3 cm de lado y la altura del pris-ma es de 8 cm.

Averigua el área lateral de un tronco de pirámi-de hexagonal, sabiendo que la arista lateralmide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res-pectivamente.

Calcula el volumen de un cono de 2 m de radioy 3 m de altura.

Una taladradora hace un agujero de 10 cm deradio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula elvolumen extraido por la taladradora en unahora de trabajo.

Halla el volumen de una esfera sabiendo quesu circunferencia máxima mide 30 dm.

Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu-men e igual radio. Si la altura de cilindro es de8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera?

Completa las siguientes equivalencias:

a) 25 dm3 �

b) 13 m3 �

c) 100 cm3 �

d) 12 500 mm3 �

Una pirámide de base hexagonal mide de perí-metro básico 18 m y el área lateral de la pirá-mide es 10 veces el área de la base. Calcula laapotema de la pirámide.

Calcula el área y el volumen de una esfera de 5 dm de radio.

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


Ma

te

má

ti

ca

s


Calcula la diagonal de un ortoedro cuyasdimensiones son 3, 4 y 5 cm.

D = √–––––32 �

–––––42 �

–––52 � √–––

50 � 7,071 cm

Calcula el área total de un prisma triangularrecto, sabiendo que la base es un triánguloequilátero de 3 cm de lado y la altura del pris-ma es de 8 cm.

Área de la base � 3 · � 3,89 cm2

Área lateral � 3 · 3 · 8 � 72 cm2

Área total � 72 � 2 · 3,89 � 79,78 cm2

Averigua el área lateral de un tronco de pirámi-de hexagonal, sabiendo que la arista lateralmide 10 dm y las aristas básicas 12 y 2 dm, res-pectivamente.

Apotema de la cara lateral �� ap � √–––––

102 �––52 � 8,66 dm

Área de una cara lateral �

� �B � b–––––

2 � · ap � 7 · 8,66 � 60,62 dm2

Área lateral � 6 · 60,62 � 363,72 dm2

Calcula el volumen de un cono de 2 m de radioy 3 m de altura.

V � ab · h––3

� 22

· 3 · ––3

� 4 m3

Una taladradora hace un agujero de 10 cm deradio avanzando 0,2 mm por minuto. Calcula elvolumen extraido por la taladradora en unahora de trabajo.

El agujero tiene forma de cilindro de

radio 10 cm y altura:

0,02 · 60 cm � 1,2 cm

V � 102

· 1,2 · � 376,8 cm3

Halla el volumen de una esfera sabiendo quesu circunferencia máxima mide 30 dm.

Circunferencia � 2 · r · � 30

r � 15 dm

V � 4 · 153

· ––3

� 4 500 π dm3

Un cilindro y una esfera tienen el mismo volu-men e igual radio. Si la altura de cilindro es de8 cm, ¿cuánto mide el radio de la esfera?

Vc � r2

· h � r2

· 8

Ve � 4 · r3

––3

r2

· 8 � 4 · r3

· ––3

r � 8 · 3––4

� 6 cm

Completa las siguientes equivalencias:

a) 25 dm3 � 25 L

b) 13 m3 � 13 000 L

c) 100 cm3 � 0,1 L

d) 12 500 mm3 � 0, 0125 L

Una pirámide de base hexagonal mide de perí-metro básico 18 m y el área lateral de la pirá-mide es 10 veces el área de la base. Calcula laapotema de la pirámide.

Apotemabase � l√–

3––2

� 3 √–

3––2

� 2,59 m

Abase � 18 · 2,59––––

2 � 23,31m

2

Alateral � 233,1 m2

Apotemapirámide � 2 · Alateral–––––

p � 25,9

Calcula el área y el volumen de una esfera de 5 dm de radio.

A � 4r2 � 314,16 m

2

V �4r

3

––––3

� 523,4 m3

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1


XIV Áreas y volúmenes de cuerpos


32

Ma

te

má

ti

ca

s

3√32


CR-MAT-cub07-2ESO-A REF (TRAMA):07

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