Crecimiento y Salud - WordPress.com · 2020. 7. 5. · Crecimiento y Salud Martin Grandes...

Crecimiento y Salud

Martin Grandes

Universidad de Buenos Aires

Junio 2020

Martin Grandes Crecimiento y Salud Junio 2020 1 / 32

1 Outline del Modelo

2 Introducción

3 Solución del planificador central

4 Solución de mercado

5 Conclusiones


Outline del Modelo

Outline del Modelo

La historia de la humanidad ha sido inseparable de las enfermedadesinfecciosas, teniendo efectos adversos sobre la sociedad en suconjunto, teniendo a la viruela o la malaria como principalesexponentes.

La incidencia de las enfermedades infecciosas es tipicamente alta enlas econoḿıas en desarrollo, principalmente explicado por restriccionespresupuestarias mas ajustadas y falta de infraestructura.

En la literatura clásica del Crecimiento Económico, el progresotecnólogico, la acumulación de capital humano, expansión del ahorroson determinantes del crecimiento, pero la salud no jugaba ningún rolen estos modelos.


Outline del Modelo

Outline del modelo

Frente a esta disyuntiva, es que surge una nueva visión de estaliteratura hacia finales del siglo XX; en donde la salud ayuda alcrecimiento económico complementa y, en cierto grado, reordena lasideas que justifican el gasto en materia de salud y se fundamenta enargumentos humanitarios y de equidad.

Estos nuevos modelos buscan explicar como las enfermedadesinfecciosas, unidas al desempeño macroeconómico de un páıs,impactan en el crecimiento económico de largo plazo.

Para esta teoŕıa, el crecimiento económico no es totalmenteindependiente de la poĺıtica económica, pues esta tiene efectospermanentes sobre el crecimiento económico de largo plazo.

Por último, este campo es útil para los páıses porque ofrecerecomendaciones en poĺıticas sanitarias, buscando generaroportunidades de crecimiento y de reducción de la desigualdad.


Introducción

Modelo Goenka 2009

Vamos a introducir una función de tipo SIS(susceptible-infectado-susceptible, en castellano). Este tipo demecanismos provienen del ámbito de la epidemioloǵıa.

Estamos hablando de que los individuos nacen sanos y susceptibles ala enfermedad, siendo este el estado S.

Pero este individuo puede convertirse en infectado y contraer unaenfermedad, pasando al estado I. Luego este mismo individuo vuelvea convertirse en una persona susceptible, retornado al estado S.

Una de las preguntas a contestar será ¿Cuál es el impacto de unaenfermedad infecciosa en el Crecimiento Económico?


Introducción

Modelo Goenka 2009

Figura: Esquema de transferencia de estados del modelo SIS


Introducción

Modelo Goenka 2009

Las variables del modelo son:

h/k , también llamado x, es el ratio de capital sanitario y el capitalf́ısico.

S(t) es el número de sanos/susceptibles en el peŕıodo t.

I (t) es el número de infectados en el peŕıodo t.

N(t) corresponde a el número de personas durante el peŕıodo t.

El parámetro α representa dos aspectos diferntes de la transmisión deenfermedades: la infectividad biológica de la enfermedad y el patrónde interacción total. Esta función será decreciente de h/k.

Por último, γ representa a la recuperación de los individuos. Estafunción también será creciente de h/k.

(α/N)S representa al número de casos por unidad de tiempo.Además, γl(t) representa al número total de individuos que serecuperan de la enfermedad en el punto t.


Introducción

Modelo Goenka 2009. Supuesto: 1

Vamos a asumir que la tasa de nacimiento b y que la tasa de muertesd son positivas y que b - d ≥ 0:

Partiendo de la modelización SIS, dada por las siguientes ecuacionesdiferenciales:

dS/dt = bN − dS − αSI/N + γI (1)

dI/dt = αSI/N − (γ + d)I (2)

dN/dt = (b − d)N (3)

S , I ,N ≥ 0∀t,S0, I0,N0 ≥ 0


Introducción


Diferenciando y reemplazando se llega a:

ṡt = (1− st)(b + γ − αst) (4)

Entonces el equilibrio de estado estacionario bajo el estado endémico(ṡt = 0) esta dado por: s

∗2 =

b+γα . Mientras que el estado estacionario

libre de enfermedad esta dado por s∗1 = 1.


Introducción


Bajo una econoḿıa centralizada, la población N(t) crece en el tiempoa una tasa b-d. La mano de obra de cada individuo es indivisible y lafuerza de mano de obra consiste sólo en personas sanas con trabajo.

Entonces en el tiempo t la oferta de trabajo es: L(t) = N(t) - I (t) =S(t) y en adelante L(t) toma la dinámica de S(t) que es:

l̇t = (1− lt)(b + γ − αlt) (5)

La ecuación (5) nos muestra una doble interacción entre la econoḿıay al enfermedad. Por un lado, las enfermedades tienen efectosadversos en la econoḿıa al reducir la fuerza laboral de losparticipantes. Por otro lado, la econoḿıa también tendrá un impactosobre la transmisión de la enfermedad v́ıa mayor contaminación odebido a la aglomeración de personas.


Introducción


Entonces a mayor inversión en capital sanitario o menor capital f́ısico,las personas debeŕıan infectarse menos y esto implicaŕıa mayorcrecimiento. Véase filmina 11

Al igual que con la ecuación (4), bajo el equilibrio de estado estadoestacionario, tenemos que lograr que l̇ sea 0 y, para ello, tenemos dosposibles soluciones. Por un lado, tenemos el equilibrio endémico elcuál esta dado por: l∗2 =

b+γα . Mientras que el estado estacionario

libre de enfermedad esta dado por l∗1 = 1.

Es decir, pedimos principalmente que la variable α (tasa deinfectados) sea > 1 o que la cantidad de trabajadores total no seencuentre afectada por la enfermedad.


Introducción


La tasa de contacto α y la tasa de recuperación γ es una función deh/k, es decir, hay una relación entre salud y capital f́ısico.

Los parametros α y γ van a cumplir una serie de requisitos paraseguir la forma de un modelo “a la Lucas (1988)”de tipo learning bydoing dentro de una econoḿıa centralizada.

La función de producción viende dada por la siguiente forma, siendoet la productividad de los trabajadores:

Yt = AKβt (etLt)

1−β (6)

El producto se puede consumir (ctNt), invertir en capital f́ısico (Kt) ose contribuye con el capital sanitario (Ht).


Introducción


Estas últimas dos decisiones estarán modelizadas por las siguientesecuaciones:

K̇t = AKβt (etLt)

1−β − ctNt −mtNt (7)

Ḣt = mtNt (8)

Otro elemento útil es que el crecimiento promedio del capital humano(ėt) está determinado por el nivel ya alcanzado y el tiempo dedicadoa trabajar.

ėt = δet lt (9)

Ahora, asumiremos que hay un seguro completo y que cada individuotiene un mismo nivel consumo independientemente de su estado desalud. Con lo cual, utilizaremos una función de utilidad de tipo CES.

El planificador debe maximizar el bienestar total eligiendo tanto elconsumo como el gasto en salud a un ritmo constante.


Introducción


Ahora śı, podemos plantear el problema de optimización delplanificador central:

máx

∫ ∞0

e−(ρ−b+d)t(c1−θt −1

1−θ

)N0dt

s.a

k̇ = Akβ(le)1−β − c −m − k(b − d) (10)

ė = δel (11)

l̇ = (1− l)(b + γ(h/k)− α(h/k)l) (12)

ḣ = m − h(b − d) (13)

kt , ht , et ≥ 0,m ≥ 0, 0 ≤ lt ≤ 1∀t

k0, h0, e0, l0 > 0


Introducción

El camino del crecimiento equlibrado

Nos interesa ver el sendero del crecimiento equilibrado, donde elcapital f́ısico, humano y sanitario crecen de forma constante.

Definimos gk =k̇k , gh =

ḣh y ge =

ėe como la tasa de crecimiento de

las variables captal f́ısico, sanitario y laboral.

Además l debe ser estrictamente menor que 1 y m tiene que serestrictamente positivo ya que las enfermedades son recurrentes y esóptimo invertir en salud.

Entonces el problema de optimización, incluyendo a BGP, la tasa decrecimiento viene dada por g = δ.


Solución del planificador central


H =(c1−ρt −1

1−ρ

)+ λ1[Ak

β(le)1−β − c −m − k(b − d)] + λ2[δel ]

+λ3[(1− l)(b + γ(h

k)− α(h

k)l ] + λ4[m − h(b − d)] (14)

Las condiciones necesarias de maximización son:

c : c−σ = λ1 (15)

m : λ1 = λ4 (16)

k : λ̇1 = ρλ1 − λ1βAkβ−1(le)1−β + λ3(1− l)(γ − αl)(h/k2) (17)

e : λ̇1 = (ρ− b + d)λ2 − λ1A(1− β)kβ l1−βe−β − λ2δl (18)




l = λ̇3 = (ρ− b + d)λ3 − λ1A(1− β)kβ l1−βe−β − λ2δe

−λ3(2αl − α− γ − b) (19)

h = λ̇4 = ρλ4 − λ3(1− l)(γ − αl)/k (20)

ĺımt→∞

e−(ρ−b+d)λ1k = 0; ĺımt→∞

e−(ρ−b+d)λ2e = 0 (21)

ĺımt→∞

e−(ρ−b+d)λ3l = 0; ĺımt→∞

e−(ρ−b+d)λ4h = 0 (22)




Luego de hallar la ecuación de Euler y haciendo el álgebracorrespondiente:

βAl1−β(ek

)1−β= (ρ+ σgc)(1 + h/k) (23)

Despejando como hacemos habitualmente de las ecuaciones (10) y(13), encontramos la tasa de capital óptimo:

γk = Al1−β(ek

)1−β − ck− ḣ

h

h

k− (b − d)h

k− (b − d) (24)

Ahora introduciendo a (23) en la (24), pasando β dividiendo yoperando algebraicamente, dentro de la ecuación de arriba:

c

k= [

1

β(ρ+ σgc)− gk − (b − d)](1 +

h

k) (25)




Luego de más álgebra, y para simplificar diremos que x = hk , llegamosa:

[ρ− b + d − (1− σ)δl(x) + α(x)− b − γ(x)][ρ− b + d(1− σ)δl(x)](1 + x)[ρ− b + d + σδl(x)]

=1− ββ

(1− l(x))(γ′(x)− α′(x)l(x)l(x)

(26)

Siguiendo la estrategia de los autores, dividiremos a la ecuación endos: un lado izquierdo (el cuál representará al peso dado a la salud) yun lado derecho (que representa la importancia dada al capital f́ısico).

Cambios en ρ hara que crezca el lado izquierdo y, por lo tanto,disminuye la relación óptima entre capital f́ısico y salud. Mientras queun mayor β, implica una menor tasa de crecimiento.

Por último, una mayor tasa de natalidad implicara menor crecimiento.



El camino del crecimiento equilibrado

Las autoras establecen el siguiente supuesto matemático mostrado acontinuación:

ρ− b + d − (1− σ)δ > 0Pasando términos hacia la derecha:

ρ > b − d + (1− σ)δ

De acuerdo a esto, los dos lados de la ecuación (26) se puede resolveren base a la siguiente expresión:

l(x)∗ =b + γ(x)

α(x)(27)

Donde l* representa a Lt/Nt valuado en el óptimo. Además, estafunción es creciente respecto a x que, de acuerdo a lo mencionadopreviamente, es h/k. Es decir, a mayor capital sanitario, mayorcantidad de trabajadores. Tener en cuenta esto será clave para poderseguir adelante con el movimiento de las curvas.



Escenario 1

Siguiendo la estrategia de Goenka (2009), a continuación vamos a vera continuación que sucede, en el ĺımite, comparando a l∗ respecto a1, que significaria comparar las dos soluciones de estado estacionario(endémico y libre de enfermedad) con el objetivo de ver la cantidadde trabajadores disponibles en la econoḿıa. Véase filmina 11

Revisemos que sucede si ĺımx→∞b+γ(x)α(x) ≤ 1, es decir, si hubiera un

mayor peso del equilibrio libre de enfermedad.

A medida que x tiende a 0, el lado izquierdo de la ecuación (LHS) vahacia un numero finito positivo, mientras que si x tiende a ∞ el ladoizquierdo de la ecuación va hacia cero, pero con una velocidad cadavez mayor. Intituitivamente, esto se ve reflejado por un mayor nivel deinversión en salud.



Escenario 1

Para el lado derecho de la ecuación (RHS), cuando x tiende a 0, ésteva hacia +∞, mientras que cuando x tiende a ∞; este va a cero peroen una velocidad mayor que la del lado izquierdo, principalmenteexplicado al peso dado a la salud por sobre el crecimiento.

En resumen, RHS converge a cero con más velocidad que LHS.

Ahora pasaremos a representar gráficamente este escenario.



Escenario 1

En el eje x, tenemos al ratio de capital sanitario/ capital f́ısico. En eleje y, tenemos Lt/Nt como función de x (l(x)), representando a lacantidad de trabajadores disponibles en la econoḿıa. Esto se puedever en la figura de abajo.

Figura: Curvas LHS y RHS en el escenario 1



Escenario 2

Ahora existe una enfermedad llamada BGP, y suponiendo que se cumplenlos supuestos 1 y 2 vistos previamente, y el ratio óptimo de capitalsanitario y f́ısico está determinado por la ecuación (26)

Entonces, si no hay BGP. La acumulación de capital sigue el caminodel modelo de Lucas (1988).

Ahora si BGP es endémico, y suponiendo una tasa de natalidadrelativamente baja, la acumulación de capital se ve afectadaadversamente y, por lo tanto, la tasa de crecimiento a largo plazo.

Intuitivamente podemos pensar que los trabajadores no se puedenpresentar a trabajar con lo cual dejan de percibir capital humanoespećıfico.



Escenario 2

Ahora vamos a analizar el caso donde ĺımx→∞b+γ(x)α(x) > 1, es decir,

hay una mayor ponderación al crecimiento del capital f́ısico por sobrela salud. Aqúı existe una x̄ , que representa a este nuevo equilibrio, talque b+γ(x)α(x) = 1.

A medida que x va hacia 0 el LHS va hacia un número positivomientras que RHS va hacia +∞. Además, cuando x se acerca máshacia x̄ (equilibrio endémico), LHS se dirige hacia un número positivomientras RHS va hacia cero.

En la figura de abajo se puede ver la intersección entre ambas partesde la ecuación (26) en x* pero a diferencia del primer equilibrio, máshacia la derecha la brecha entre ambas curvas es mayor que en el casoinicial ya que la baja inversión en salud derivó en mayores contagios y,por lo tanto, menor crecimiento en el punto x̄ .

A continuación vamos a realizar la representación gráfica.



Escenario 2

En el eje X, podemos ver al ratio de capital sanitario y f́ısico. En el ejeY, tenemos a Lt/Nt como función de x (l(x)), representando a lacantidad de trabajadores disponibles en la econoḿıa.

Figura: Curvas LHS y RHS en el escenario 2


Solución de mercado

Econoḿıa descentralizada

Ahora veamos que sucede en el caso de una econoḿıa de mercado.

Vamos a suponer que los hogares están distribuidos de maneraidéntica y supondremos un agente representativo y podrán anticiparla evolución de una epidemia.

Los hogares toman como dada la proporción de los hogares que seráninfectados con la letra π. Con lo cual, los agentes no internalizan a losverdaderos contagiados.

El modelo SIS queda planteado de la siguiente manera:

dS/dt = bN − dS − αSπ + γI (28)

dI/dt = αSπ − (γ + d)I (29)




La ecuación (5) queda de la siguiente manera;

l̇t = (1− lt)(γ(h

k) + b)− α(h

k)πl (30)

El Hamiltoniano asociado es el siguiente:

H =(c1−ρt −1

1−ρ

)+ λ1[Ak

β(le)1−β − c −m − k(b − d)] + λ2[δel ]

+λ3[(1− l)(b + γ(h

k)− α(h

k)πl ] + λ4[m − h(b − d)] (31)

Las condiciones necesarias son:

c : c−σ = λ1 (32)

m : λ1 = λ4 (33)




k : λ̇1 = (ρ+ b − d)λ1λ1βAkβ−1(le)1−β

+λ3[(1− l)(γ − απl)(h/k2) (34)

e : λ̇2 = ρλ2 − λ1A(1− β)kβ l1−βe−β − λ2δl (35)

l = λ̇3 = ρλ3 − λ1A(1− β)kβ l1−βe−β − λ2δe + λ3(γ + b + απ) (36)

h = λ̇4 = (ρ+ b + d)λ4 − λ3(1− l)(γ − αl)/k (37)

ĺımt→∞

e−ρλ1k = 0; ĺımt→∞

e−ρλ2e = 0 (38)

ĺımt→∞

e−ρλ3l = 0; ĺımt→∞

e−ρλ4h = 0 (39)




Haciendo el supuesto de que π = 1 - l y siguiendo los mismo pasosque antes, llegamos a:

[ρ+ (1− σ)δl(x) + γ(x) + b + α(x)(1− l(x))][ρ(1− σ)δl(x)](1 + x)[ρ+ σδl(x)

=1− ββ

(1− l(x))(γ′(x)− α′(x)l(x)l(x)

(40)

Siguiendo la forma de resolución anaĺıtica vista para (26), podemosver que la solución de mercado (x∗d ), representada por la ecuación 40,tiene un óptimo menor en comparación a la solución del planner (x∗c ),ya que ante la externalidad negativa de una enfermedad, los hogaresignoran el comportamiento en la población en general. Por lo tanto,invierten menos en capital de salud. .



Economia descentralizada

Esto se puede ver en el siguiente grafico

Figura: Comparación entre las soluciones centralizadas y de mercado


Conclusiones

Resumen del Modelo

El efecto de las enfermedades infecciosas pueden ser visto de lasiguiente forma: los individuos enfermos no pueden trabajar y, a causade esto, no pueden acumular capital humano a traves del “learning bydoing”.

Esto afecta al capital humano y, por ende, al crecimiento económico.

Las enfermedades endémicas, incluso si no conducen a la muerte,afectan significativamente al crecimiento de largo plazo.

Los páıses pueden intervenir en el crecimiento a través parametros αy γ v́ıa mayor eficacia de las instituciones. Por lo tanto, los páıses conmayor inversión en la salud, tienen mayores oportunidades decrecimiento.


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