CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
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CRITERIOS DE LA PRIMERA Y LA SEGUNDA DERIVADA
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TABLA DE CONTENIDO
• Funciones crecientes y decrecientes, máximo y mínimos• Criterio de la primera derivada.• Criterio de la segunda derivada.
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FUNCIONES CRECIENTES
Una función f(x) es creciente, si para cualquier para de números a, b se cumple que:
Si a< b entonces f(a) < f(b)
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows
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FUNCIONES DECRECIENTES
Una función f(x) es decreciente, si para cualquier para de números a, b se cumple que:
Si a< b entonces f(a) > f(b)
Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows
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CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADASe conoce como criterio de la primera derivada, a el principio matemático que permite
determina cuando hay un mínimo o un máximo o un punto de inflexión en una función.
Sea c un punto de análisis de una función f continua y derivable en un intervalo abierto S, en donde c pertenece a S, puede darse que:
1. Si f´(x) cambia de signo (positiva a negativa) en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c))
2. Si f´(x) cambia de signo (negativa a positiva) en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c))
3. Si f´(x) es positiva o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) es un punto de inflexión. (ni máximo ni mínimo)
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Grafica realizada con el programa graphmatica para Windows
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CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADASe conoce como criterio de la segunda derivada, a el principio matemático que
permite realiza una prueba de verificación de los máximos y mínimos
Sea c un punto de análisis de una función f de tal forma que f´(x)=0 y f´´(x) exista en un intervalo abierto S, en donde c pertenece a S, puede darse que:
1. Si f´´(x) <0 entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x))
3. Si f´´(x) =0 entonces el criterio falla.
2. Si f´´(x) >0 entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x))
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EjemploDetermine los máximos y los mínimos para la función
Hallemos los puntos críticos.
𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2 + 1
𝑓´ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥 = 0
4𝑥3 − 4𝑥 = 04𝑥(𝑥2 − 1) = 0
𝑥 = 0 , 𝑣, 𝑥2 − 1 = 0
Los puntos críticos son entonces𝑥1 = −1 , 𝑥2 = 0 , 𝑥3 = 1
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Ahora aplicamos el criterio de la segunda derivada
Evaluemos los puntos críticos en f´´
f´´ x = 12𝑥2 − 4
f´´ −1 = 12(−1)2 − 4 = 12 − 4 = 8 un mínimo
f´´ 0 = 12(0)2 − 4 = 0 − 4 = −4 un máximo
f´´ 1 = 12(1)2 − 4 = 12 − 4 = 8 un mínimo
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BIBLIOGRAFIA
• Calculo; Jorge B. Thomas Jr; • Calculo Diferencial, Jorge Luis Gil Sevilla; E
• Introducción al cálculo diferencial; Garcia, Gomez y Larios;
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