ÁNGULOS ENTRE LAS MANECILLAS

(HORARIO Y MINUTERO)

PROF: JORGE HUASASQUICHE REYES.

Las posiciones de las manecillas de un reloj dependen

una de la otra.

1 división <> 1 minuto <> 6º

Análisis del recorrido de las agujas

º

Minutero Horario

x xº

12

x x min. div.

12

x x div. div.

12

RELACIÓN ENTRE EL RECORRIDO DEL MINUTERO

Y EL HORARIO

M =12 H

M : Recorrido del minutero en minutos

H : Recorrido del horario en minutos

Ejemplo Ilustrativo:

Grafique la posición de las agujas y el ángulo recorrido

por el horario, cuando son las 7:20

Para el análisis de los recorridos se inicia desde la hora

exacta, en este caso, empezamos desde las 7:00, se

observa que desde esa hora hasta la hora indicada han

transcurrido 20 minutos, entonces el minutero ha hecho

un recorrido de 20 minutos, mientras que el horario

habrá barrido un ángulo de 10º.

º

Minutero Horario

20 20 min =10º

2

A una determinada hora, las manecillas de un reloj

forman dos ángulos: " " y " " (ver figura);

convencionalmente el que se calcula es el menor

ángulo " " , pero si nos pidieran calcular el otro

ángulo " " , bastaría con recordar que:

" 360º" .

360º

Para calcular el ángulo que forman las manecillas

de un reloj a una determinada hora o para calcular

la hora conociendo el ángulo que forman las

manecillas, debemos tomar como punto de partida

la hora exacta más próxima, pero anterior a la

hora indicada como dato.

MÉTODO PRÁCTICO PARA CALCULAR EL ÁNGULO

ENTRE LAS MANECILLAS DEL RELOJ

I) CUANDO EL MINUTERO SE ENCUENTRA ANTES

QUE EL HORARIO

11 30H m

2

¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 4:10?

Solución:

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

10º

20 m

inutos

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

30º

30º

30º

12

111

30º

6º6º

6º6º6º

30º

30º

En el minutero se cumple:

"x" divisiones <> "x" minutos

MINUTERO MINUTERO HORARIO HORARIO

(div - min) (grados) (div-min) (grados)

60 360º 5 30º

30 180º 2,5 15º

15 90º 5 / 4 7,5º

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

II) CUANDO EL HORARIO SE ENCUENTRA ANTES

QUE EL MINUTERO

11 m 30H

2

¿Qué ángulo forman las agujas de un reloj a las 4:40?

Solución:

CRITERIOS A TOMAR EN CUENTA

Criterio 1: Cuanndo sean las 12:20, el valor de H

asumirá el valor de cero. ( H 0 y M=20 )

11

20 30 0

2

110º

Criterio 2: Si la hora es expresada en el formato de las

24 horas, ésta debe expresarse en notación de las 12

horas (su forma tradicional). Es decir, si son las 19:40

horas, por lo tanto: H 7 y M=40 .

11

40 30 7

2

10º

Criterio 3: Si nos dicen que las manecillas del reloj se

encuentran superpuestas, entonces el ángulo entre las

manecillas (“ ”) será cero (0º), podemos utilizar

cualquiera de las dos fórmulas

Criterio 4: Si nos indican que las manecillas están

opuestas, entonces el valor de “ ” es 180º.

Criterio 5: Si nos piden hallar una determinada hora

por primera vez, se considera que el minutero se

encuentra antes que el horario, utilizaremos:

11 30H m

2

Criterio 6: Si nos piden hallar una determinada hora

por segunda vez, se considera que el horario se

encuentra antes que el minutero, utilizaremos:

11 m 30H

2

Problema 1

¿Qué hora indica el reloj?

a) 2:51

b) 2:52

c) 2:53

d) 2:54

e) 2:54’ 30’’

Solución:

Problema 2

Observando el gráfico determinar qué hora es:

a) :5

25

7

6

b) : 25

7

5

6

c) : 25

12

5

6

d) : 25

4

7

6

e) : 25

3

4

6

Solución:

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

xº

2

30º

2

"x " min < > 6x º

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

2

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

2

12

6

39

2

1

4

57

8

10

1130º

2

30º

"x

" m

in <

>

6x

º

30º

30º

30º

30º

Problema 3

¿Qué hora indica el gráfico?

a) 3:38

b) 3:36

c) 3:37

d) 3:39

e) 3: 37’ 30’’

Solución:

Problema 4

¿Qué ángulo formarán las manecillas de un reloj a las

4:34?

a) 50º b) 67º c) 54º

d) 45º e) 34º

Solución:

Problema 5

¿A qué hora entre las 3 pm y las 4 pm, las manecillas de

un reloj forman un ángulo de 80º por primera vez?

a) 9

3 h 1 min

11

b) 4

3 h 6 min

11

c) 5

3 h 5 min

11

d) 3

3 h 7 min

11

e) 8

3 h 2 min

11

Solución:

Problema 6

¿Qué angulo formarán las manecillas de un reloj cuando

sean 54 minutos antes que la 1:20 pm?

a) 60º b) 36º c) 45º

d) 50º e) 33º

Solución:

Problema 7

¿A qué hora entre las 13 y las 14 horas, las manecillas de

un reloj se superponen?

a) 3

13 h 7 min

11

b) 5

13 h 6 min

11

c) 5

13 h 5 min

11

d) 7

13 h 3 min

11

e) 2

13 h 8 min

11

Solución:

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

ºx

2

"x" m

in <

>

6x

º

2

10º

12

6

39

2

1

4

57

8

10

11

2

10º

TIEMPO TRANSCURRIDO Y TIEMPO QUE FALTA

TRANSCURRIR

Para este tipo de problemas se emplean de manera

práctica, los siguientes esquemas:

Problema 1

El tiempo que falta para las 11 a.m. dentro de 10

minutos es excedido en 6 minutos por los 3/5 del tiempo

transcurrido del día. ¿Qué hora es?

a) 10:05 a.m. b) 6:50 a.m. c) 9:55 a.m.

d) 9:50 a.m. e) 10:15 a.m

Solución:

Problema 2

Son más de las 2 sin ser las 3 de esta madrugada, pero

dentro de 40 minutos faltarán para las 4 a.m., el mismo

tiempo que transcurrió desde la 1 hasta hace 40 minutos.

¿Qué hora es?

a) 2:20 a.m. b) 2:30 a.m. c) 2:30 a.m.

d) 4:15 a.m. e) 6:12 a.m.

Solución

Problema 3

Un alumno le dice a su amiga: “cuando la suma de las

cifras de las horas transcurridas sea igual a las horas por

transcurrir te espero donde ya tú sabes”. ¿A qué hora es

la cita?

a) 12 a.m. b) 10 p.m. c) 7 a.m.

d) 9 p.m. e) 11 p.m.

Solución:

Problema 4

Dentro de 4 h se verificará que el tiempo transcurrido del

día será 8/3 de lo que falta por transcurrir, más 2 horas.

¿Qué hora será cuando transcurran a partir de estos

momentos cierta cantidad de horas numéricamente igual

a la décima parte del ángulo que forman las agujas

actualmente (sexagesimales)?

a) 9: 00 p.m. b) 2:00 p.m. c) 6:00 p.m.

d) 8: 00 pm e) 10:00 p.m.

1 día < > 24 h

Tiempo

transcurrido

Tiempo que falta

transcurrir

Hora

exacta

Tiempo

transcurrido

Tiempo que falta

transcurrir

Hora

exacta

Hora

( 1 )

Hora

( 2 )

Dentro de

10 min

Tiempo transcurrido

Lo que faltará para

las 11, pero dentro

de 10 min.

0 : 00 11: 0 0 a.m.

5x 10 3x 6

11 horas <>11 60 min. <> 660 min.

Aquí está la

hora exacta

Esto es 6 menos

3 que los 5x

5

Aquí está la

hora exacta

Dentro de

40 min

Tiempo transcurrido

desde la 1:00 a.m.

hasta hace 40 min.

Lo que falta para

las 4:00 a.m. pero

dentro de 40 min.

0 : 00 4 :0 0 a.m.

x 40 min

3 horas < >3 60 min. < > 180 min.

40 min x

Hace

40 min

Horas Transcurridas

Horas por transcurrir

0:00 24:00

a b

1 día <> 24 horas

a b

Aquí está la

hora pedida

Solución:

Del enunciado, podemos construir el siguiente gráfico:

PROBLEMAS SOBRE ADELANTOS Y ATRASOS:

Surgen como consecuencia del funcionamiento de

aquellos relojes defectuosos (malogrados), los cuales

registran adelantos o retrasos respecto a la hora señalada

por un reloj de funcionamiento normal.

Para este tipo de problemas debemos

tener en cuenta las siguientes relaciones:

Hora Real=Hora Marcada Adelanto

Hora Real=Hora Marcada+Atraso

Para que un reloj vuelva a marcar la hora

exacta sus manecillas deben estar en la

misma posición, esto ocurrirá cuando el

horario dé una vuelta completa, por ello

tendrían que transcurrir 12 horas de

adelanto o atraso (720 minutos).

Problema 1

A partir de las 10 a.m. de hoy lunes, un reloj empieza a

atrasarse por cada hora, 3 minutos. ¿Qué hora estará

marcando el día martes a las 6 pm?

a) 3:26 p.m. b) 4:24 p.m. c) 5:06 p.m.

d) 3:56 p.m. e) 4:21 p.m.

Solución:

.

OBS

Puedes utilizar la regla de tres para tener el atraso total:

x 3 min 32=96 min

Luego se tiene que:

Hora marcada = Hora real Atraso Total

= 6:00 pm 96 min

= 4: 24 p.m. Rpta.

Problema 2

Un reloj se adelanta 1 min por hora, si empieza

correctamente a las 12 del mediodía del día jueves 16 de

setiembre. ¿Cuándo volverá el reloj a señalar la hora

correcta?

a) 10 de octubre b) 16 de octubre

c) 30 de setiembre d) 4 de octubre

e) 20 de octubre

Solución:

OBS

Si uno hace girar en cualquier sentido las manecillas

hasta que el horario complete una vuelta, retornando a la

posición en que se encontraba se verá que dicho reloj,

continúa marcando la hora correcta.

Problema 3

Un reloj se adelanta 7 minutos cada hora y otro se atrasa

13 minutos cada hora, ambos relojes se ponen a la hora

a las 12 del día ¿Después de cuánto tiempo el primero

estará alejado 30 minuos respecto al otro?

a) 20 min b) 70 min c) 90 min

d) 15 min e) 315 min

Horas Transcurridas

Horas por transcurrir

0:00 24:00

8x 2

1 día <> 24 horas

3x

La hora dentro

de 4 horas

Hora que

marca un

reloj que se

atrasa.

Hora

Real

Hora que

marca un

reloj que se

adelanta

ATRASO

TOTAL

ADELANTO

TOTAL

10 : 00 a.m. 6 : 00 p.m.

tiempo transcurrido 32 horas

Lunes Martes

Atraso Total Tiempo Transcurrido

3 min 1 H

x min 32 min

Tiempo Transcurrido Adelanto Total

1 H 1 min

x 720 min

Solución:

El primer reloj se adelanta 7 minutos en 1 hora

El segundo reloj se atrasa 13 minutos en 1 hora

Entonces se puede concluir que en una hora los dos se

alejarán: 7 13 20min

Problema 4

Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas y otro se

adelanta 2 minutos cada hora, si se malograron en el

mismo instante. A partir de este último momento,

después de cuántos días volverán a marcar

simultáneamente la hora correcta.

a) 20 b) 45 c) 120

d) 60 e) 95

Solución:

Debemos encontrar un tiempo en que ambos se

distorsionan 12 H o un múltiplo de 12 H, pero primero

hallemos por separado el tiempo en que se adelantan o

se atrasan 12 H o 720 min.

Primer reloj

Segundo reloj

Luego marcará la hora correcta cada 20 días y el otro

cada 15 días; por lo tanto para que ambos coincidan en

marcar la hora correcta, deberá transcurrir un tiempo

común que contenga exactamente a 20 y 15, el cual

será:

MCM 20,15 60 Rpta.

NOTA:

Unl caso sería, que ambos relojes coincidan con la hora

marcada y otro es que marquen ambos la hora correcta

(que en algunos casos pueden coincidir)

Problema 5

Según una leyenda hace mucho tiempo existía un pueblo

que el día lo dividía en 8 horas y cada hora en 80

minutos. Si ellos indicaban que eran las 5 horas con 30

minutos, ¿Qué hora sera realmente según un reloj actual?

a) 4:30 p.m. b) 4:20 a.m. c) 6:30 p.m.

d) 5:30 p.m. e) 4:7’30’’ p.m.

Solución:

3 435 H 30 min <> 5 H+ H H

8 8

Luego:

TE QUIERO VER:

1. ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un

reloj, a las: 12 h 20 min?

a) 98º b) 125º c) 110º

d) 136º e) 240º

2. Hallar el suplemento del complemento del ángulo que

forman las manecillas a las 4:20 p.m.

a) 90º b) 100º c) 110º

d) 80º e) 170º

3. Entre las 4 y las 5, a qué hora por primera vez se forma un

ángulo de 65º.

a) 4 h 10 min b) 7

4 h 33 min

11

c) 4 h 35 min d) 5

4 h 35 min

11

e) 3

4 h 29 min

11

4. ¿Cuántos minutos después de las 3 horas se forma un

ángulo de 53º, luego que el minutero sobrepasó al horario?

a) 20 min b) 22 min c) 18 min

d) 26 min e) 16 min

5. Heber le dice a su enamorada:”Te espero en el lugar de

siempre, cuando después de las 8 p.m. las manecillas de mi

reloj estén en línea recta”. ¿A qué hora exactamente es la cita?

a) 8

8 h 10 min 52 s

11

b) 9 h 10 min 50 s

c) 8 h 15 min d) 8

9 h 10 min 52 s

11

e) 6

8 h 10 min 54 s

11

6. El examen semanal del GRUPO PRE empieza a las 4:15

p.m. y debe terminar entre las 6 y las 7 p.m., cuando las

manecillas del reloj de la academia formen un ángulo de 40º

por segunda vez. ¿Cuánto tiempo dura el examen?

a) 2 h b) 2 h 15 min c) 2 h 20 min

d) 2 h 25 min e) 2 h 10 min

7. Rosita se dirige a su trabajo, cuando las manecillas de su

reloj están superpuestas entre las 8 y las 9 a.m., y llega a su

trabajo entre las 2 y las 3 p.m. ¿en cuánto tiempo Rosita llego a

su trabajo?

a) 2 h b) 3 h c) 4 h

d) 6 h e) 7 h

1

Tiempo Transcurrido Atraso Total

2 H 3 min

T 720 min

2

Tiempo Transcurrido Atraso Total

41 H 2 min

T 720 min

Actual Antigüedad

24 H 8

43x

8