Cuadernillo de actividades segundo bimestre
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Banco de Actividades Parciales Bloque II Matemáticas III
Escuela Secundaria Diurna No. 135“Unión de República Socialistas Soviéticas”
Autor: Profesor Jose Javier Ramos Ponce
Ciclo Escolar 2015-2016Alumno: _____________________
Grado: _______ Grupo: _______
Tema: Patrones y Ecuaciones
Contenido: Uso de Ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando factorización.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
Las ecuaciones de segundo grado son del tipo: ax2 + bx + c = 0 con a 0.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 2
Ecuaciones de segundo grado incompletas son aquellas en las que o b = 0 o c = 0.
Ejemplo: 2x2 - 32 = 0 (ecuación del tipo ax2 + c = 0, b = 0)
Se suma 32: 2x2 = 32
Se divide por 2: x2 = 16
Se extrae la raíz cuadrada: x = - 4, x = 4
Ejemplo: 2x2 + 3x = 0 (ecuación del tipo ax2 + bx = 0, c = 0)
Se extrae x como factor: x(2x + 3) = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 3
Primer factor nulo: x = 0
Segundo factor nulo: 2x + 3 = 0
x = -3:2
Actividad: Indica el valor de los coeficientes a, b y c de las siguientes ecuaciones de
segundo grado.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 4
a b c
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 5
a) 3x2 + 2x – 3 = 0
b) x2 + x = 0
c) 32 x – x2 + 5 = 0
d) 6 – x2 = 0
e) 2x – 3 = x2
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 6
f) 3 + 5x2 = 32
Actividad: ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones de segundo grado son incompletas?
¿Por qué?
a) 6x2 + 3x - 1 = 0 d) 2x - 4x2 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 7
b) 4x - x2 = 0 e) 3 - x = x2
c) 2x - 1 = x2 f) x2 - 3 + x = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 8
Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado:
a) x1 = 1, x2 = -1 de x2- 1 = 0
b) x1 = 4, x2 = -4 de 80 = 20x2
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 9
c) x1 = 9, x2 = -9 de 3x2 - 27 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 10
d) x1 = 1, x2 = -1 de -x2 + 1 = 0
Actividad: Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas,
empleando el método de los binomios conjugados
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 11
a) x2 - 16 = 0
b) 3x2 - 147 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 12
c) x2 - 144 = 0
d) 7x2 = 343
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 13
e) 3x2 = 243
f) x2 - 24 = 120
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 14
g) 3x2 + 12 = 0
h) 7x2 - 28 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 15
Actividad: Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado.
a) x1 = 1, x2 = -1 de x - x2 = 0
b) x1 = 0, x2 = 1 de x2 = x
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 16
c) x1 = 1, x2 = -10 de 3x2 = 30x
d) x1 = 0, x2 = 12 de 3x2 - 39x = 0
e) x1 = 0, x2 = -5 de 4x2 + 20x = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 17
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas, utilizando el método
de factorización común
a) 2x2 + 7x = 0
b) x2 - 64x = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 18
c) 5x2 - 40x = 0
d) 4x2 – 9x = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 19
e) x2
5 = x
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 20
Ecuaciones de segundo grado completas
La ecuación de segundo grado se dice que está completa cuando todos
los coeficientes son distintos de cero. En este caso las soluciones se obtienen aplicando la
regla:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 21
El valor del radicando de permite saber el número de soluciones sin necesidad
de hallarlas. se llama discriminante.
si D es positivo, tiene dos soluciones (signo +, signo -)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 22
si D es cero, tiene una solución (solución doble)
si D es negativo, no tiene soluciones
Ejemplo: en esta ecuación y aplicando la fórmula
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 23
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 24
Actividad: Calculando el discriminante, indicar el número de soluciones de las siguientes
ecuaciones:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 25
a) b) c)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 26
d) e) f)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 27
g) h) i)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 28
j) k) l)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 29
Actividad. Comprueba si los siguientes valores de x son las soluciones de las siguientes
ecuaciones de segundo grado:
a) x1 = 1, x2= -1 de x2 - x - 1 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 30
b) x1 = 3, x2 = 4 de x2 - 7x + 12 = 0
c) x1 = -6, x2 = 0 de x2 + 5x - 6 = 0
d) x1 = -2, x2 = 4 de x2 - 2x - 8 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 31
e) x1 = 0, x2 = 1 de x2 - 2x - 3 = 0
Actividad. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:
a) x2 - 5x + 6 = 0 g) 12 = x2 + x
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 32
b) x2 + 5x + 6 = 0 h) 3x + 10 = x2
c) x2 – x - 6 = 0 i) x2 - 4x + 4 = 0
d) x2 + x - 6 = 0 j) 9x2 - 6x + 1 = 0
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 33
e) 8x2 - 10x + 3 = 0 k) 100x2 + 20x = -1
Actividad. En cada uno de las siguientes situaciones, plantea la ecuación correspondiente y, resolviéndola, encuentre la solución correspondiente.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 34
1. El cuadrado de un número es igual al triple del mismo. ¿De qué número se trata?
2. El cuadrado de un número menos el doble del mismo número es igual a 24. ¿Cuál
es ese número?
3. El cuadrado de un número es igual a la tercera parte del mismo más 8. ¿Cuál es
ese número?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 35
4. El cuadrado de un número menos 5 es igual a 220. ¿Cuál es ese número?
5. El cuadrado de un número más el mismo número es igual a 306. ¿Cuál es ese
número?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 36
6. El producto de dos números consecutivos es 552. ¿Cuáles son esos números?
7. El largo de un rectángulo mide tres unidades más que el ancho y el área es 270 m 2,
¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 37
8. El producto de dos números es 270. Si uno es tres unidades mayor que el otro,
¿cuáles son los números?
9. Juan es tres años mayor que su hermano Luis. Si el producto de sus edades es
270, ¿qué edad tiene cada uno?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 38
Tema: Medida
Contenido: Análisis de las relaciones entre áreas de cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo
Contenido: Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras (Teorema Jónico de los Triángulos Rectángulos)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 39
Tipos de Triángulos según sus ángulos
“Si la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo, es igual al cuadrado
de la longitud de la hipotenusa, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo”.
Las siguientes propiedades nos permiten saber la clasificación de un triángulo según la
medida de sus ángulos, conociendo sólo la medida de sus lados:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 40
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 41
Si a, b y c representan las medidas de los lados de un triángulo, tal que c es la mayor medida, se cumple que:
Si c2=a2+b2 entonces el Δ es
rectángulo. Si c
2<a2+b2 entonces el Δ es acutángulo.
Si c2>a2+b2 entonces el Δ es
obtusángulo.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 42
Actividad. Indique en cada caso si las medidas de los lados corresponden a un triángulo acutángulo, obtusángulo o rectángulo.
a) 31, 40, 53 ______________________
b) 41, 38, 52 ______________________
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 43
c) 18, 30, 24 ______________________
d) 50, 48, 14 ______________________
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 44
e) 7, 8, 9 ______________________
f) 10, 26, 24 ______________________
g) 10, √3 , 12 ______________________
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 45
h) √2 , √3 , 1 ______________________
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 46
Actividad. Desarrolle y analice la manera de localizar ternas jónicas (¿ternas pitagóricas?)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 47
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 48
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 49
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 50
Actividad. Desarrolle y analice el teorema jónico de los triángulos rectángulos (¿Teorema de Pitágoras?)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 51
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 52
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 53
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 54
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 55
Actividad. Hallar la medida del lado que falta en cada uno de los siguientes casos.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 56
x8 cm
5 cm
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 57
x
37 20
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 58
20 cm
12 cm
x cm
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 59
x
3,2 cm
4,1 cm
Actividad. Utilizando el teorema jónico, resuelva las siguientes situaciones. (Puede realizar una figura auxiliar)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 60
1. Calcule la medida del lado de un cuadrado sabiendo que su diagonal mide 10 cm.
También se pide el área del cuadrado.
2. Calcular la medida de la diagonal de un rectángulo con lados 3 y 4 centímetros
respectivamente.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 61
3. Calcular la altura de un triángulo equilátero de 5 cm de lado.
4. Para sujetar una antena de 13 m de alto, se proyecta colocar tres cables de acero.
Si se desea que el punto de enganche del cable esté a una distancia de 4 m de la
base de la antena. ¿Cuántos metros de cable se necesitarán?.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 62
5. Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm,
respectivamente.
6. Los lados de un triángulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 63
7. Determinar la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los
catetos miden 6 cm y 3 cm respectivamente.
8. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 32 cm y la de uno de
sus catetos es 12 cm. Hallar la longitud del otro cateto.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 64
9. La hipotenusa de un tr iángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección
de un cateto sobre el la 10.8 cm. Hal lar e l ot ro cateto.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 65
10.En un tr iángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la
hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la al tura relat iva a la
hipotenusa.
11. La hipotenusa de un tr iángulo rectángulo mide 4056 m y la
proyección de un cateto sobre el la 60 m. Calcular:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 66
a) Los catetos.
b) La al tura relat iva a la hipotenusa.
c) El área del t r iángulo.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 67
12. Calcular los lados de un tr iángulo rectángulo sabiendo que la
proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es 6 cm y la
al tura relat iva de la misma cm.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 68
13. Una escalera de 10 m de longi tud está apoyada sobre la pared.
El p ie de la escalera dista 6 m de la pared. ¿Qué altura alcanza la
escalera sobre la pared?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 69
14. Determinar el lado de un tr iángulo equi látero cuyo perímetro es
igual a l de un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Serán iguales sus
áreas?
15. Calcular e l área de un t r iángulo equi látero inscr i to en una
circunferencia de radio 6 cm.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 70
16. Determinar el área del cuadrado inscr i to en una ci rcunferencia
de longitud 18.84 m.
17. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado si su lado mide 12 cm?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 71
18.Hallar el área y el perímetro de un rectángulo sabiendo que la medida del ancho
es 15 cm y la medida de la diagonal es 20 cm.
19.Las diagonales de un rombo miden 16 cm y 10 cm respectivamente. ¿Cuánto
mide cada uno de sus lados?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 72
Tema: Figuras y Cuerpos
Contenido: Propiedades de la traslación y la rotación de figuras.
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 73
Actividad: Elija la opción que responda cada uno de los siguientes cuestionamientos.
1. ¿Cuál de las siguientes letras de nuestro abecedario no tiene ningún eje de simetría?
a) C b) M c) A d) R e) X
2. Los triángulos 2, 3, 4 y 5 han sido obtenidos a partir del triángulo 1. ¿Cuál de ellos corresponde a la reflexión del triángulo 1?
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 74
a) triángulo 2 b) triángulo 3 c) triángulo 4 d) triángulo 5 e) Ninguno
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 75
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 76
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas no corresponde a una transformación isométrica?
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Reflexión e) Permutación
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 77
4. El movimiento de un ascensor panorámico es un ejemplo de:
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 78
5. ¿Cuántos ejes de simetría tiene la figura siguiente?
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 79
6. ¿Qué figura muestra todo los ejes de simetrías de un rectángulo?:
a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 80
7. Un carrusel de niños es un ejemplo de:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 81
a) Traslación b) Simetría c) Rotación d) Isometría e) Teselación
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 82
8. ¿Cuál de las alternativas representa la rotación de la figura dada?
a) b) c) d) e) Ninguna de las anteriores
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 83
9. Al trasladar el triángulo de vértices A(-1,5), B(2,0) y C(3,1), según el vector de traslación (4,1), el vértice homólogo correspondiente a B’ es:
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 84
a) (3,6) b) (2,1) c) (6,0) d) (6,1) e) (7,2)
10. Una circunferencia tiene como centro el punto (3,5). Si el vector de traslación de este punto es (-5, 1), ¿Cuál es el centro de la circunferencia trasladada?
a) (-2,6) b) (8,6) c) (-2,4) d) (-15,5) e) (8,4)
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 85
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 86
Autor: Profr. Jose Javier Ramos Ponce 87