Cuadernillo de algebra espe 12 12 12

ESCUELA POLITÉCNICA DEL EJÉRCITO

EXTENSIÓN - LATACUNGA

CUADERNILLO PARA

LA ASIGNATURA DE ÁLGEBRA

EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINOMIOS Y ECUACIONES

ING. IVÁN COLLANTES VÁSCONEZ

DOCENTE

Diciembre de 2012.

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ÍndiceÍndiceÍndiceÍndice

PRESENTACIÓN ………………………………………………………………………………… 3

GENERALIDADES ……………………………………………………………………………… 4

I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 Números Reales: Clasificación, definición y propiedades ……………… …………6

1.2 Exponentes y radicales ………………………………………………………………… 14

1.3 Polinomios, definición, grado, clases de polinomios y valor numérico ………… 19

1.4 Operaciones con polinomios: suma, resta, multiplicación y división……………… 23

1.5 Teoremas del residuo y del factor ……………………………………………………… 25

1.6 Productos y cocientes notables ………………………………………………………… 27

1.7 Binomio de Newton ……………………………………………………………………… 35

1.8 Descomposición factorial, métodos directos y por evaluación ……………………41

1.9 Máximo Común Divisor y mínimo común múltiplo ………………………………… 48

1.10 Fracciones algebraicas: definición, propiedades y operaciones…………………… 50

1.11 Racionalización…………………………………………………………………………… 53

1.12 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 58

II. ECUACIONES

2.1 Conceptos básicos, identidad, ecuación y clasificación ……………………………67

2.2 Ecuación de primer grado con una incógnita………………………………………… 70

2.3 Ecuación de segundo grado con una incógnita, análisis del discriminante y

propiedades de las raíces…………………………………………………………………75

2.4 Ecuaciones reducibles a segundo grado ……………………………………………… 73

2.5 Ecuaciones polinómicas, raíces reales de un polinomio …………………………… 74

2.6 Sistemas de ecuaciones lineales, métodos de resolución, reducción, igualación,

Sustitución ………………………………………………………………………………… 75

2.7 Sistemas de ecuaciones no lineales …………………………………………………… 83

2.8 Aplicaciones de las ecuaciones en problemas literales……………………………… 85

2.9 Ejercicios de repaso……………………………………………………………………… 87

BIBLIOGRAFÍA …………………………………………………………………………………… 94

3

PresentaciónPresentaciónPresentaciónPresentación

El fortalecimiento de la Escuela Politécnica del Ejército, Extensión Latacunga, en el

área de Matemática, se ha ido dando de manera sustentada en diversas

concepciones teóricas y metodológicas, orientadas al pensamiento lógico, crítico y

creativo de los jóvenes que conforman nuestra comunidad politécnica.

Este proceso de enseñanza – aprendizaje en el área de matemática se basa en un

sistema de desarrollo que combina conocimientos destrezas y habilidades a través

de situaciones en contexto y de métodos participativos, que posibiliten la

construcción del conocimiento esperado en el perfil de la carrera que cada uno de

los estudiantes a escogido como su futura profesión.

El fundamento integrador para entender matemáticas es desarrollar el pensamiento

lógico y crítico, para poder interpretar y resolver los problemas de la vida, es decir,

el proceso enseñanza – aprendizaje promueve en los estudiantes politécnicos la

habilidad de plantear y resolver problemas con tal variedad de estrategias,

metodologías y recursos que constituyan un hábito o costumbre para hacer frente a

todo tipo de actividad cotidiana.

Lo más importante es evitar que la resolución de un problema se convierta en un

simple proceso mecánico que se debe seguir cual si fuera una receta, sin un análisis

que genere otros conocimientos y que permita aplicar los conocimientos adquiridos

en otros contextos de la vida.

Es en este ámbito que el presente cuadernillo de álgebra pretende poner al alcance

tanto de docentes como estudiantes, varias metodologías, estrategias y técnicas en

la solución de problemas, que se evidencian de manera práctica en el desarrollo de

los ejercicios paso a paso, y en las sugerencias para resolver ciertos problemas de

manera directa o simplificando algunos pasos que resultan demasiado evidentes.

Estas técnicas y estrategias de solución estimulan el razonamiento y demostración

para alcanzar interpretaciones más acertadas y trabajen juntos por una mejor

calidad y competitividad en su formación profesional continua.

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GENERALIDADES

La matemática se apoya en un lenguaje simbólico formal que sigue una serie de convenciones propias, cuyos símbolos representan un concepto, una operación, una entidad matemática según ciertas reglas.

Estos símbolos no deben considerarse abreviaturas, sino entidades con valor propio y autónomo.

Uno de los usos más comunes de los símbolos matemáticos se encuentra en la Programación de Sistemas de Información, así como en la generación de circuitos eléctricos, y en general en cualquier sistema de toma de decisiones para la empresa o para la vida cotidiana.

En álgebra se utilizan muchos símbolos y algoritmos que permiten un desarrollo lógico para resolver un problema o un ejercicio. Algunos principios básicos que debemos considerar son:

• Los símbolos algebraicos de una constante o una variable se representan en letra cursiva:

a, b, i, k, x, y, n, etc.

• Los símbolos de una operación se representan en letra redonda:

cos x, ln y, sen a, log b, tan π , xcx→

lim , etc.

No debe escribirse lnx en lugar de ln x porque eso representaría el producto xnl ×× en lugar del logaritmo neperiano.

Nótese que la función seno se representa con letras redondas mientras que la variable a se representa con letra cursiva.

• Según la norma ISO 31 los operadores diferenciales y las constantes matemáticas universales (i, e), también se escriben con letra redonda: aex, ba + i, etc.

• La nomenclatura universalmente utilizada en matemáticas es la siguiente:

Operación Simbología Se lee

Pertenencia Ax∈ x pertenece a A

Ax∉ x no pertenece a A

Inclusión BA ⊂ A está contenido en B

BA ⊆ A está contenido en B o es igual a B

BA ⊃ A contiene a B

BA ⊇ A contiene a B o es igual a B

BA ⊄ A no está contenido en B

Conjuntos BA∪ A unión B

BA∩ A intersección B

A \ B A menos B

5

Ø Conjunto vacío

∞ Infinito

Igualdad yx = x es igual a y

yx ±= x es igual al valor positivo y negativo de y

yx = El valor absoluto de x es y

Congruencia yx ≡ x es congruente con y

Desigualdad yx > x es mayor que y (aunque también puede leerse y es menor que x)

yx < x es menor que y (pero también puede leerse y es mayor que x)

yx ≠ x no es igual a y

yx ≥ x es mayor o igual a y

yx ≤ x es menor o igual que y

yx ≈ x es aproximadamente igual a y

yx → x tiende a y

Cuantificadores x∀ Para todo x

x∃ Existe por lo menos un x

x!∃ Existe un único x

yx / x tal que y

∑ Sumatoria

∑

=

n

k 0

Sumatoria desde k = 0 hasta n

x ∴ y x por lo tanto y

yx⇒ x entonces y

yx ⇔ x si y sólo si y (condición sine qua non)

Negación p¬ Excepto p, no p

Conjunción qp ∧ p y q

Disyunción qp ∨ p o q

6

I. EXPRESIONES ALGEBRAICAS

1.1 LOS NÚMEROS REALES: CLASIFICACIÓN DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Los Números Naturales es el conjunto de números que sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N:

N = {1, 2, 3, 4,…}

El cero, por lo general, se excluye del conjunto de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo), 3º (tercero),…

Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.

Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.

La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.

Números enteros Z, son cualesquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus

opuestos incluyendo el cero. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, 0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a cero grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo, etc.).

Las operaciones suma, resta y multiplicación de números enteros son operaciones internas porque su resultado es también un número entero. Sin embargo, dos números enteros sólo se pueden dividir si el dividendo es múltiplo del divisor.

7

Número racional Q es el que se puede expresar como cociente o razón de dos números enteros, es decir, en forma de fracción. Los números enteros también son racionales, pues se pueden expresar como

cociente de ellos mismos por la unidad: 1

aa = .

Los números racionales no enteros se llaman fraccionarios. El conjunto de todos los números racionales se designa por Q.

Q = { ∈pq

p: Z ∈∧ q Z\{ }0 }

Si bien en el conjunto Z de los números enteros cada número tiene un siguiente (el siguiente al 7 es el 8, el siguiente al -5 es el -4), no pasa lo mismo con los racionales, pues entre cada dos números racionales existen infinitos números.

Los números racionales sirven para expresar medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el resultado es, frecuentemente, fraccionario. Al expresar un número racional, no entero, en forma decimal se obtiene un número decimal exacto o bien un número decimal periódico.

Si la fracción es irreducible y en la descomposición factorial del denominador sólo se encuentran los factores 2 y 5, entonces la fracción es igual a un número decimal exacto, pero si en el denominador hay algún factor distinto de 2 o 5 la expresión decimal es periódica; por ejemplo:

4.15

7 = decimal exacto

571428571428571428.27

15 = decimal periódico

331833333333.160

71 = decimal periódico

Número irracional, es el número no racional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros.

La necesidad de los números irracionales surge de medir longitudes sobre algunas figuras geométricas: la

longitud de la diagonal de un cuadrado tomando como unidad el lado del mismo es 2 ; la longitud de la diagonal de un pentágono tomando como unidad su lado es el número irracional φ llamado número áureo; la longitud de la circunferencia, tomando como unidad su diámetro es el número irracional π; el número e

es el valor de la expresión n

n)

11( + cuando n tiende al infinito, etc.

La expresión decimal de cualquier número irracional consta de infinitas cifras no periódicas.

Existen infinitos números irracionales. Todos ellos, junto con los racionales, los enteros y los naturales, forman el conjunto de los números reales.

El conjunto de todos los números reales, por lo general se denota mediante el símbolo R y se puede representar sobre una recta numérica, o recta real, del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le

8

asocia el cero, se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta. De este modo se establece una correspondencia biunívoca entre números reales y puntos de la recta (a cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa). El número real que corresponde a un cierto punto de la recta es su abscisa.

La recta real es la base de las coordenadas cartesianas y, por tanto, de la geometría analítica y de la representación gráfica de las funciones.

Una estrategia para entender los números es la utilización de la geometría, por ejemplo si se quiere representar un número al cuadrado, 2a , podemos usar la representación geométrica del área de una figura rectangular:

el área de un rectángulo es base por altura,

∴ el área de un cuadrado es 2aaa =×

Un número elevado al cubo, 3a , puede representarse como el volumen de un prisma recto o exaedro:

el volumen de un exaedro es base por altura y por profundidad,

∴ el volumen de un cubo es 3aaaa =××

También podemos representar en la recta numérica el punto exacto donde se encuentra la raíz de 2,

utilizando un arco de circunferencia donde el radio es 2 , así:

Por construcción, el triángulo rectán– gulo es también isósceles cuyos catetos son la unidad, y la hipotenusa por

Pitágoras es 2 .

Si se traslada la hipotenusa con un arco de circunferencia, se tiene la posición exacta en la recta numérica.

9

De manera similar podríamos obtener la posición en la recta de otros números irracionales como 5 , 8 ,

10 , 13 , etc., pero resulta imposible ubicar otros números como 3 , 6 , 7 , etc., ¿puede usted

advertir por qué?

Así tenemos:

Finalmente vamos a representar con figuras geométricas, rectangulares y cuadradas, los números naturales en la recta, de tal manera que podamos identificar cuáles son primos y cuáles cuadrados perfectos, así:

Los números que tienen una sola representación geométrica son primos, a excepción del 1 que es un número especial, el 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, etc. son primos.

Mientras que los que pueden representarse con figuras cuadradas, son cuadrados perfectos, a excepción del 1 que es un número especial, el 4, 9, 16, 25, etc. son cuadrados perfectos.

10

Clasificación:

Propiedades de los Números Reales.

En R hay dos operaciones, suma y producto, respecto de las cuales se cumplen las siguientes propiedades:

1) Propiedad clausurativa (o cerradura), si a y b son números reales, entonces, a + b y a.b son números reales únicos.

∈∀ ba, R ∈+⇒ ba R

∈∀ ba, R ∈⋅⇒ ba R

Este axioma garantiza que, cuando se realizan las operaciones de adición y multiplicación con números reales, la suma y el producto son números reales. A este axioma se le llama propiedad de cerramiento o cerradura debido a que se dice que un conjunto es cerrado respecto a una cierta operación, cuando al efectuar una operación con elementos del conjunto, se obtiene otro elemento del mismo conjunto, así:

El conjunto { }4,3,2,1=A no es cerrado respecto a la adición, pues al efectuar dicha operación aditiva con elementos del conjunto no se obtiene necesariamente un elemento del conjunto. Por ejemplo, 2 + 3 = 5, pero 5 no es un elemento de A.

Pero el conjunto de los números naturales pares es cerrado respecto a la adición y a la multiplicación, ya que cualquier suma o multiplicación de dos números naturales pares siempre da como resultado números naturales pares. Por ejemplo 6 + 8 = 14 y 6 . 8 = 48, en los dos casos son números naturales pares.

2) Propiedad asociativa de la suma:

( ) ( )cbacba ++=++ , ∈∀ cba ,, R

3) Propiedad conmutativa de la suma:

abba +=+ , ∈∀ ba, R

11

4) Propiedad modulativa o elemento neutro (cero) para la suma: hay un número real, que denotamos por 0, tal que aaa =+=+ 00 , expresado simbólicamente:

∈∀a R, ∈∃0 R/ aaa =+=+ 00

5) Elemento opuesto para la suma (inverso aditivo): hay un número real (y solo uno), que denotamos por −a, tal que (−a) + a = a + (−a) = 0

∈∀a R, ∈−∃ a R/ ( ) 0=+−=−+ aaaa

6) Propiedad asociativa del producto:

( ) ( )∈⋅⋅=⋅⋅ cbacba R

7) Propiedad conmutativa del producto:

ab = ba.

8) Propiedad modulativa o elemento neutro (identidad) para el producto: hay un número real distinto de 0, que denotamos por 1, tal que 1 ·a = a ·1 = a

∈∀a R, ∈≠∃ 1,01 R/ aaa =⋅=⋅ 11

9) Elemento inverso multiplicativo para el producto: si 0≠a , hay un número real (y solo uno) que

denotamos por 1−a o a

1, tal que 111 =⋅= −− aaaa

∈∀a R, ∈∃ −1a R/ 111 =⋅=⋅ −− aaaa

10) Propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

( ) cabacba ⋅+⋅=+⋅ , ∈∀ cba ,, R

11) Axiomas de orden:

En el conjunto de los números reales, existe un subconjunto llamado de los números positivos, para el que si a es un número real, exactamente uno de los tres siguientes enunciados es válido:

0=a 0>a 0<a

Puesto que el conjunto R de los números reales satisface el axioma de orden y los axiomas de

campo, decimos que R es un campo ordenado.

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Los opuestos de los números positivos forman el conjunto de los números negativos.

a) Propiedad de tricotomía:

∈∀ cba ,, R, se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

ba < ba = ba >

b) Propiedad transitiva:

Si a < b y cb < entonces a < c

c) Si ∈∀+<+⇒< cbacbcaba ,,, R

d) Si cbcacba ⋅<⋅⇒>< 0,

e) Si ∈∀+=+⇒= cbacbcaba ,,, R

f) Si ∈∀=⇒+=+ cbabacbca ,,, R

g) Si ∈∀⋅=⋅⇒= cbacbcaba ,,, R

h) Si ∈∀=⇒≠⋅=⋅ cbabaccbca ,,,0,

Conjuntos e intervalos.

Un conjunto es una colección de objetos que se denominan elementos del conjunto. Si S es un conjunto, la notación Sa∈ significa que a es un elemento que pertenece a S, y Sb∉ quiere decir que b no es un elemento de S. Por ejemplo si Z representa el conjunto de los enteros, entonces ∈− 3 Z pero ∉π Z.

Los conjuntos normalmente serán denotados por letras mayúsculas en tanto que se usarán minúsculas para representar a los elementos. Siempre se supondrá que todos los conjuntos en consideración están contenidos en un conjunto universo X.

A los conjuntos se los puede describir acomodando sus elementos dentro de llaves. Por ejemplo si un conjunto A consiste en todos los enteros positivos menores que 7 se expresa como { }6,5,4,3,2,1=A .

Pero también podemos escribir A en notación de conjuntos de la siguiente forma:

{ ∈= xxA / Z }70 <<∧ x

Si S y T son conjuntos, entonces la unión TS∪ es un nuevo conjunto que consta de todos los elementos que están en S o en T o en ambos. La intersección de S y de T es un nuevo conjunto TS∩ que consiste en todos los elementos que están tanto en S como en T. En otras palabras, TS∩ es la parte que es común a S y a T. El conjunto vacío denotado por Ø es el conjunto que no tiene elementos.

Representación gráfica.

Ciertos conjuntos de números reales, llamados intervalos, se presentan con mucha frecuencia en el cálculo y corresponden geométricamente a segmentos lineales. Si ba < , entonces el intervalo abierto desde a hasta b consta de todos los números entre a y b y se denota como ( )ba, . El intervalo cerrado

13

desde a hasta b comprende los extremos y se denota con [ ]ba, . Usando la notación de conjuntos podemos

escribir ( ) { }bxaxba <<= /, y [ ] { }bxaxba ≤≤= /, .

El símbolo ∞ (“infinito”) no es un número. La notación ( )∞,a indica simplemente que el intervalo no tiene punto final a la derecha, sino que se prolonga hacia el infinito en la dirección positiva. Mientras que la notación ( )∞∞− , representa a R, todo el conjunto de los números reales.

Intervalo abierto ( )ba, Intervalo cerrado [ ]ba,

Valor absoluto y distancia.

El valor absoluto de un número a denotado por a , es la distancia desde a hasta cero sobre la recta de los

números reales. La distancia es siempre positiva o nula, de modo que tenemos 0≥a para cada número a.

Se debe tener en cuenta que a− es positiva cuando a es negativa, y entonces tenemos la siguiente definición:

Si a es un número real, entonces el valor absoluto de a es

<−

≥=0

0

asia

asiaa

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo. Por ejemplo ( ) 333 −=−−=− πππ .

Propiedades del valor absoluto.

1) 0≥a El valor absoluto de un número es siempre positivo o cero.

2) aa −= Un número y su negativo tienen el mismo valor absoluto.

3) baba =⋅ El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos.

4) b

a

b

a = El valor absoluto de un cociente es el cociente de los valores absolutos.

Distancia entre puntos de la recta de los números reales.

Si a y b son números reales, entonces la distancia entre los puntos a y b en la recta numérica es

( ) abbad −=,

14

1.2 EXPONENTES Y RADICALES

Exponentes.

Se define un exponente como Pbn = , donde b es la base, n es el exponente y P es la potencia de nb .

Si ∈n N entonces nb consiste en multiplicar la base n veces por sí misma, así: 4484476 vecesn

n bbbbb ×××= ... .

Los exponentes se efectúan bajo las siguientes propiedades o leyes:

∈∀ cba ,, R ∈∧ yxmn ,,, R

1) Toda base elevada a la cero es 1, excepto el cero: 10 =b ; 0≠b

2) Toda base elevada a uno es igual a la misma base: bb =1

3) Un exponente negativo es el recíproco de la potencia positiva: nn

bb

1=− ; 0≠b

Nótese que 641

81

8 22 −=−=− −

4) En el producto con bases iguales, se mantiene la base y se suman los exponentes: mnmn bbb +=×

5) Para la división de bases iguales, se mantiene la base y se restan los exponentes: mnm

n

bb

b −= ; 0≠b

6) En una base con doble exponente, se multiplican los exponentes: ( ) nmmn bb =

7) Para un producto elevado a un exponente, cada factor se eleva a ese exponente: ( ) nnn baab =

8) En un cociente elevado a un exponente; cada factor se eleva a ese exponente: n

nn

b

a

b

a =

9) Un cociente con exponente negativo es el recíproco del cociente positivo: nn

a

b

b

a

=

−

10) Un cociente donde cada término tiene exponente negativo es el recíproco positivo de cada término:

m

n

n

m

a

b

b

a =−

−

; 0,0 ≠≠ ba

11) En un producto de varios exponentes agrupados en un solo exponente, cada factor se distribuye

con el exponente principal: ( ) xynxmxxynm cbacba =

15

Ejemplos:

Reducir a su mínima expresión:

1) ( )21

1

1

1

3

23

5

2

1

8

14−

−

−

−

−

−−

−−−=E

( )

−

−−−−

=

23

13

65

2

8

1

14

1

E

9

13

1

2

8

14

41 −−+

−

= 32

8

14

3

++−

= 56 +−= 1−=

2) ( )[ ] ( )21531 1033.03.03 −−−− ×−+×÷=x

−+

×÷=

−

2

1

5

5

3

3

10

3

10

3

3

10

3

1x

2

1

2

2

10

3

10

3

3

1 −

÷=

−

22

2

10

3

3

10

3

1 −÷= 22 10

3

10

3 −= 0=

3) 2

213

422

3

2−

−−

−−

=

cba

cbaK

2

422

213

2

3

= −−

−−

cba

cbaK

844

426

4

9−−

−−

=cba

cba

62

12

4

9

ba

c=

4) ( )11

2

5

3...303030.0...066666.0...33333.1 +

×−÷=E

11

2

5

3

99

30

90

6

9

31 +

×−

÷+=E 11

2

11

2

15

1

3

4 +

−

÷= 153

4 ×= 20=

16

5) 274

1232

32162

487

⋅−⋅⋅= +

+

nn

n

J

10474

2492

222227

⋅−⋅⋅= +

+

nn

n

37474

2492

222222227

⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= nn

n

( )374

411

21222249−⋅⋅

⋅⋅=n

n

81249 4

−⋅=

71649

−⋅= 427 ⋅−=

Radicales.

Se define un radical como n

kn k bb = que no es más que un exponente fraccionario Pbn

k

= , donde

b es la base, n es el índice de la raíz, k es el exponente de la base y P es la potencia de n

k

b .

Las propiedades y leyes de los radicales son básicamente las mismas de los exponentes, tomando en cuenta lo siguiente:

1) Las raíces impares de números negativos son negativas, mientras que las raíces pares de números negativos no existen para el conjunto de los números reales, así:

33 2222 −=− ; =−4 16 no existe ; 3433 129 22 yxyx −=− ; =− 4 no existe

2) La raíz cuadrada de todo número positivo tiene doble signo, así:

−=

3

33

3

36

x

xx ;

−=

2

24

5

525

x

xx ; 24 ±=

Sin embargo, por lo general se considera solamente la raíz positiva, aunque los dos signos son válidos, así decimos que la raíz cuadrada de 4 es 2 y la raíz cuadrada de 36 es 6, etc.

17

Radicales Dobles.

Se aplica una de las siguientes fórmulas, según sea el caso:

22

mamaba

−++=+ ; 22

mamaba

−−+=− , donde: bam −= 2

Así por ejemplo:

Descomponer en radicales simples los siguientes radicales dobles:

1) 245+=E 2) 3

2

6

5 +=P 3) 30211+=E

1

2425

=−=

m

m

6

13

2

36

25

=

−=

m

m 12011+=E

2

15

2

15 −++=E 2

6

1

6

5

26

1

6

5 −+

+=P

1

120121

=−=

m

m

23 +=E 3

1

2

1 +=P 2

111

2

111 −++=E

56 +=E Para los radicales dobles con raíz cúbica se utilizan las fórmulas:

mkkBA −+=+ 23 ; mkkBA −−=− 23

en donde 3 2 BAm −= y el valor de k es la raíz real en la fórmula kmkA 34 3 −= 034 3 =−− Akmk De las tres raíces de k solo una es real y las otras dos son complejas.

18

Ejemplos:

1) Descomponga en radicales simples el siguiente radical doble: 3 257 +

3 257 + 3 507 += 3 BA+= ∴ 3 5049−=m 1−=m mkk 347 3 −= 0734 3 =−+ kk ( ) ( ) 071314 =−+ (por tanteo) 1=k

mkkBA −+=+ 23 ⇒ ( )1115073 −−+=+

21+=

2) Obtenga el valor de

−

+ 33 3232

( )( )3 3232 −+=

3 34 −=

1=

19

1.3 POLINOMIOS, DEFINICIÓN, NOTACIÓN, GRADO, CLASES DE POLINOMIOS Y

VALOR NUMÉRICO

La terminología expresión algebraica se emplea para indicar una constante y una variable, o una combinación de variables y constantes, en la que interviene una cantidad finita de operaciones, como suma, resta, multiplicación , división, elevación a potencia, y extracción de raíz.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

yx

yxyxE

3

63 22

++−= ;

( ) 332

4

xz

yxJ

−+−+

= ; 285 2 +−= xxP

A una expresión algebraica que tiene únicamente potencias enteras no negativas de una o más variables y que no tiene variables en el denominador se le denomina polinomio.

Así, de los ejemplos arriba expresados sólo 285 2 +−= xxP puede considerarse un polinomio.

Otros ejemplos de polinomios son: xQ 2= ; 1364 235 −+−= xxxS ; 3783 52 −+−+= yxxyyxV .

Cada parte de un polinomio se denomina término y cada término puede estar compuesto por una constante y una variable o varias variables, de la siguiente manera:

Los términos que sólo difieren en sus coeficientes reciben el nombre de términos semejantes, los mismos que pueden combinarse algebraicamente usando la propiedad distributiva que no es más que el factor común de los términos semejantes:

54376 22 +−+++ xxxx ( ) ( ) ( )57436 22 ++−++= xxxx

( ) ( ) ( )1241362 +−++= xx

1239 2 +−= xx

Después de reducir los términos semejantes, el polinomio puede ser monomio si tiene un solo término, binomio si tiene dos, y trinomio si tiene tres términos.

El grado de un polinomio está dado por el exponente más alto de la variable en cualquiera de los términos; y si tiene más de una variable, su grado es la mayor suma de los exponentes de todas las

20

variables que tenga en cada término. Por consiguiente, ( ) 7542, 22 −−+= yyxxyxP es un polinomio de

grado es 3, pues el término con la suma más grande de exponentes es yx24 , cuyo grado es 3.

Valor numérico de un polinomio o de una expresión algebraica es el que se obtiene al reemplazar las variables y los coeficientes por números reales y efectuar sus correspondientes operaciones.

Puesto que las variables y los coeficientes de los polinomios pueden reemplazarse por números reales, podemos aplicarles las definiciones, axiomas y propiedades del conjunto R, así por ejemplo:

1) Calcule el valor numérico de

( ) ( )( ) yxyxyxyxE 222 57

1 −+−++= si

=

=

5

2

y

x

( ) ( )( ) 5255252527

1 ⋅⋅−+−++=

( ) ( ) 105277

1 −−+=

1031 −−=

12−=

2) Halle el valor numérico de b

a al igualar los polinomios ( ) 72338 +=+− xbxa

Correspondientemente cada término del polinomio de la izquierda es igual a cada término del de la derecha, así 238 =− a y 73 =b

Por lo tanto 2=a , y 3

7=b , luego 7

6=b

a

3) Halle el valor numérico de cba

ba

+−+

si el polinomio ( ) ( ) 122 ++++= cxbaxxP es igual

al polinomio ( ) 0=xQ

Cada coeficiente del primer polinomio es correspondientemente igual a cero, por lo tanto:

( ) ( ) 0122 =++++ cxbax

21

0=a ; 02 =+b ; 01=+c

2−=b ; 1−=c

2120

20 −=−+

−=+−

+cba

ba

4) Halle el valor de ( )( )pnnm −− al igualar 232556 222 −+−=+++−− xxpnxxxmx

( ) ( ) ( ) 232556 22 −+−=++−+− xxpnxmx

∴ 26 −=−m 35 =−n 25 −=+p

4=m 8=n 7−=p

( )( ) ( )( ) 607884 −=+−=−− pnnm

5) Halle el valor numérico de 6

3

12 −+⋅

−−+

f

e

d

ba al igualar los polinomios:

( )fexdxbxaxxxxxxx ++++−=

−+−+

−+− 2342423

2

5

4

1

3

25

2

1

3

1

4

1

fexdxbxaxxxxx −−−−−=−+−+ 234234

2

15

4

3

4

1

1=− a 4

1=− b 1−=− d 4

3=− e 2

15−=− f

1−=a 4

1−=b 1=d 4

3−=e 2

15=f

∴ 6

2

15

34

3

124

11

6

3

12 −

+−⋅

−−

−−=

−+⋅

−−+

f

e

d

ba

2

3

12

5 ⋅= 8

5=

22

6) Si 32=+ ba , 1=ab , entonces calcule el valor de 33 ba +

( ) 342 ×=+ ba 33 ba + ( )( )22 bababa +−+=

122 22 =++ baba ( )11032 −=

21222 −=+ ba 318=

1022 =+ ba

23

1.4 OPERACIONES CON POLINOMIOS, SUMA, RESTA, MULTIP LICACIÓN, DIVISIÓN

Suma y Resta de polinomios.

Se puede efectuar la suma y la resta en forma horizontal o colocándolos en filas paralelas con sus términos semejantes situados en una misma columna, así:

8374 23 −++ xxx

+ 23 26 xx − 4+

43510 23 −++ xxx

Se debe tener especial cuidado con el signo negativo al efectuar la diferencia de polinomios:

342 23 −++ xxx

– 684 23 ++− xxx

9392 23 −++− xxx

Es decir que puede agruparse en un paréntesis el polinomio precedido por el signo negativo y aplicar la propiedad distributiva para efectuar la sustracción:

( )62581326 23424 +−−−−+− xxxxxx

62581326 23424 −++−−+−= xxxxxx

7352 34 −++−= xxx

Multiplicación de polinomios.

Para los productos entre polinomios se utiliza la propiedad distributiva, respetando las leyes de los exponentes al momento de multiplicar las variables, así:

( ) ( )nnnn xxxx 243 423 +− si ∈n N

nnnn xxxx 3557 28312 −−+=

nnn xxx 357 2512 −−=

Existen productos cuyo resultado es tan evidente que no necesitan que se aplique la propiedad distributiva y su resultado se lo obtiene por la memorización de fórmulas, tal como se explica en el tema productos y cocientes notables.

24

División de polinomios.

Tradicionalmente la división entre números reales se la realiza entre el dividendo y el divisor hasta obtener un cociente y un residuo o resto que puede o no existir, es decir:

=3

47

En donde el cociente es la parte entera de la división y el residuo es la parte fraccionaria, así en el ejemplo anterior tenemos:

3

215

3

47 +=

La misma lógica de la división entre números reales se cumple en la división de polinomios, así tenemos:

23

562

3

−++−=

xx

xxE

∴ 23

153

23

5622

3

−+−+−=

−++−

xx

xx

xx

xx

Esto último nos permite formular un proceso mecánico donde intervienen los polinomios dividendo, divisor, cociente y resto, en donde:

( )( ) ( ) ( )

( )xD

xRxQ

xD

xP +=

15 17

2

47 3 dividendo divisor

cociente

resto

xxx 23 23 +−

5603 +−+ xx 232 −+ xx

3−x

–

543 2 +−− xx

693 2 −+ xx 15 −x

dividendo P(x) divisor D(x)

cociente Q(x)

resto R(x)

25

1.5 TEOREMAS DEL RESIDUO Y DEL FACTOR

Regla de Ruffini.

Puede utilizarse únicamente para divisiones cuyo denominador es de la forma ax ± y sigue un procedimiento mecánico, en donde se toman los coeficientes del dividendo en forma descendente completando con ceros de no existir los términos correspondientes y se divide para el término independiente del divisor cambiado de signo, obteniendo directamente los coeficientes del cociente y el residuo, siendo éste último un número real únicamente.

Así por ejemplo, podemos dividir usando la regla de Ruffini los siguientes polinomios:

2

3652 23

−−+−=

x

xxxE

Por lo tanto, 2

542

2

3652 223

−++−=

−−+−

xxx

x

xxx

Esto nos permite expresar los polinomios como:

( ) ( ) 54223652 223 ++−−=−+− xxxxxx

Que es el fundamento de los teoremas del residuo y del factor, como se indica a continuación.

Teorema del residuo.

Si P(x) es un polinomio y a es un número real, entonces cuando P(x) se divide entre ax ± se obtiene como cociente un polinomio único Q(x) cuyo residuo es un número real R, de tal manera que para todos los valores de x se cumple:

( ) ( ) ( ) RxQaxxP +±=

Así en la división del último ejemplo, tenemos:

2

3652 23

−−+−=

x

xxxE ; ( ) 3652 23 −+−= xxxxP

==−

2

02

x

x

( ) ( ) ( ) 3262522)2( 23 −+−=P

( ) 52 =P

2 – 5 + 6 – 3 2

2 – 1 + 4

4 – 2 + 8

+5 residuo

26

Que no es más que el residuo, por lo tanto se resume que, si P(x) es un polinomio y a es un número real, entonces P(x) dividido entre ax ± , da como resultado el residuo P(a) = R.

Ejemplo: Obtenga el residuo de la división 3

532 2

+++=

x

xxK

( ) 532 2 ++= xxxP

−==+3

03

x

x ∴ ( ) ( ) ( ) 533323 2 +−+−=−P

( ) 59183 +−=−P

14=R

Puede comprobarse por la regla de Ruffini o por la división tradicional que el residuo es 14.

Teorema del factor.

Es una consecuencia del teorema del residuo, el mismo que permite determinar si una expresión específica de la forma ax ± es un factor de un polinomio dado y se define como:

Si P(x) es un polinomio y a es un número real, entonces P(x) tiene a ax ± como factor si y sólo si ( ) 0=aP

Es decir que, cuando la división es exacta o el residuo es cero, el divisor es factor del polinomio dividendo.

Ejemplo: Diga si ( )2+x es un factor del polinomio ( ) 652 ++= xxxP

Calculamos el resto, ( ) ( ) ( ) 62522 2 +−+−=−P

( ) 61042 +−=−P

0=

Por consiguiente, de acuerdo con el teorema del factor, ( )2+x si es un factor de P(x).

27

1.6 PRODUCTOS Y COCIENTES NOTABLES

Se llama productos y cocientes notables a ciertas multiplicaciones y divisiones en las que se cumplen reglas determinadas y cuyo resultado puede darse directamente sin necesidad de realizar las operaciones respectivas.

Productos Notables

1. Aplicando la propiedad distributiva, el producto de un monomio por una suma algebraica es:

( ) mcmbmacbam ++=++

El producto de un monomio por una suma algebraica es igual a la suma de los productos del monomio por cada término del polinomio.

Ejemplos:

( ) 2222 3232 cxbxaxcbax −+=−+

( ) 222222 5555 pzpypxzyxp +−=+−

( ) 34523 3232 xxxxxx +−=+−

2. El producto de dos binomios:

( )( ) bdbcadacdcba +++=++

El producto de dos binomios cualquiera es un polinomio cuyos términos son los productos de cada uno de los términos del primer binomio multiplicados por cada uno de los del segundo binomio.

Ejemplos:

( )( ) bdbcadacdcba +++=++ 32632

( )( ) bybxayaxyxba +−−=−−

( )( ) bybxaxbayx 246232 +−=−−

Otra vez podemos representar geométricamente un producto ( )( ) bdbcadacdcba +++=++ utilizando segmentos y áreas, en este caso de una figura rectangular:

Son 4 áreas rectangulares. Cada una se obtiene con su correspondiente fórmula geométrica:

base por altura.

Así:

( )( ) bdadbcacdcba +++=++

28

Observe la representación geométrica del producto notable ( )( )dcba −− :

La diferencia de segmentos no debe confundirse con segmentos negativos, ya que geométricamente no existen segmentos negativos ni distancias negativas.

Más bien la diferencia de segmentos es recortar un segmento pequeño de uno más grande, y en el caso de áreas, recortar varias áreas rectangulares pequeñas de una más grande, así:

( )( )dcba −− ( ) ( )bdcdbabdac −−−−−=

bdbcbdadbdac +−+−−=

bdbcadac +−−=

3. El cuadrado de la suma de dos términos:

( ) 222 2 bababa ++=+

El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo término.

Ejemplos:

( ) bababa 4129232

++=+

( ) 6324232 2 bbaaba ++=+

Geométricamente ( )2ba + representa un cuadrado de lados ( )ba + cuya área es lado por lado y constituye la suma de 4 figuras, dos rectángulos y dos cuadrados:

( ) ( ) 22 bababababa +++=++

( ) 222 2 bababa ++=+

29

4. El cuadrado de la diferencia de dos términos:

( ) 222 2 bababa +−=−

El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primer término, menos el duplo del primero por el segundo término y más el cuadrado del segundo término.

La demostración geométrica nos permite visualizar la diferencia de segmentos. Recuerde que debe evitarse caer en el error de representar un segmento negativo, ya que no existen las distancias negativas:

Lo correcto es “cortar” el segmento b del a y su resultante es otro segmento ( )ba − cuyo valor por

lógica tiene que ser positivo, así:

La representación geométrica por lo tanto es un cuadrado de lado a, cuyo segmento ba − forma

otro cuadrado ( )2ba − que se marca en la figura con sombreado amarillo:

( ) ( ) ( ) 222 bbabbababa −−−−−=−

( ) 22222 bbabbababa −+−+−=−

( ) 222 2 bababa +−=−

5. El cuadrado de un trinomio:

( ) bcacabcbacba 2222222 +++++=++

El cuadrado de un trinomio es igual a la suma de los cuadrados de sus términos, más la suma de todos los duplos de cada término por cada uno de los términos que le preceden con sus propios signos.

Se deja al estudiante la demostración geométrica de ( )2cba ++ .

30

6. La suma por la diferencia de dos cantidades:

( )( ) 22 bababa −=−+

La suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de sus cuadrados.

Ejemplos:

( )( ) bababa 343232 −=−+

( )( ) 643232 2595353 yxyxyx −=+−

( )( ) 6322 yxyxxyxx −=−+

La representación geométrica implica una diferencia de segmentos:

Esta diferencia ( )ba − causa un segmento más

pequeño, mientras que la suma ( )ba + genera un segmento más grande, así la figura que se forma es un rectángulo de lados ( )ba − y ( )ba + , cuya área es base por altura o lado por lado.

El área sombreada en rojo es la solución del producto notable ( )ba + ( )ba − :

( )( )baba +− ( ) 2babbaa −−+=

22 bababa −−+=

22 ba −=

7. Multiplicación de dos binomios que tienen un término común

( )( ) ( ) abxbaxbxax +++=++ 2

El producto de dos binomios que tienen un término común es igual al cuadrado del término común, más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común y más el producto de los términos no comunes.

31

Ejemplos:

(x+2)(x+3) = x2+5x+6

(x+5)(x-3) = x2+2x-15

(x-5)(x-3) = x2-8x+15

8. Misceláneo ( )( )dcxbax ++ bdbcxadxacx +++= 2

( ) bdxbcadacx +++= 2

No tiene regla fija de resolución.

Ejemplos:

( )( ) 152285432 2 ++=++ xxxx

( )( ) 15285432 2 −+=−+ xxxx

( )( ) 152285432 2 +−=−− xxxx

( )( ) 31083214 2 −−=−+ xxxx

9. El cubo de la suma de dos cantidades

( ) 32233 33 babbaaba +++=+

El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el segundo, más el triplo del primero por el cuadrado del segundo y más el cubo del segundo.

Ejemplos:

( ) 32233 275436832 yxyyxxyx +++=+

( ) babbaaba 391537512535 3 23 2333 +++=+

Puesto que el grado 3 significa la tercera dimensión (longitud, ancho y profundidad) la

representación geométrica, en contraste con los cuadrados, es una figura en el espacio cuyo

volumen está expresado en unidades cúbicas (cm3, m3, etc.) y la figura geométrica que la

representa es el cubo (todos sus lados iguales).

32

Así podemos demostrar geométricamente ( )3ba + como el volumen de un cubo, que es la suma de

los volúmenes de varias figuras en tres dimensiones:

( ) baabbababbabaaba 223222233 +++++++=+

(8 volúmenes en total)

∴ ( ) 32233 33 babbaaba +++=+

10. El cubo de una diferencia

( ) 32233 33 babbaaba −+−=−

El cubo de una diferencia es igual al cubo del primer término, menos el triple producto del primero elevado al cuadrado por el segundo, más el triple del primero por el segundo elevado al cuadrado y menos el cubo del segundo; es decir que los signos de cada término están alternados.

Ejemplos:

( ) 32233 836542723 yxyyxxyx −+−=−

( ) 1331 233 −+−=− aaaa

( ) 64323 2323 61282 yyxyxxyx −+−=−

Se deja al estudiante la tarea de demostrar geométricamente el producto notable ( )3ba − .

11. Casos especiales:

( )( ) 3322 babababa +=+−+

( )( ) 3322 babababa −=++−

33

Cocientes Notables

De los productos notables estudiados anteriormente resultan cocientes correspondientes que llamaremos también notables, y que comprenden los siguientes:

1. ( )

cbam

cbam

m

mcmbma ++=++=++

2. ( )

baba

ba

ba

baba ++

+=+

++ 222 2

3. ( )

baba

ba

ba

baba −=−

−=−

+−.

2 222

4. ( )( )

baba

baba

ba

ba −=+

−+=+− 22

5. ( )( )

baba

baba

ba

ba +=−

−+=−− 22

6. ( )( ) 22

2233

bababa

bababa

ba

ba +−=+

+−+=++

7. ( )( ) 22

2233

bababa

bababa

ba

ba ++=−

++−=−−

8. Cociente de la suma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma o diferencia de dichas cantidades:

a) 43223455

babbabaaba

ba ++++=−−

322344

babbaaba

ba +++=−−

Es decir que nn ba − es siempre divisible por a – b, siendo n cualquier número entero par o impar.

34

b) 322344

babbaaba

ba −+−=+−

Por lo tanto, nn ba − es divisible por a+b, si y solo si n es un número entero par.

c) 43223455

babbabaaba

ba +−+−=++

Así, nn ba + es divisible por ba + , si y solo si n es un número entero impar.

d) 322344

babbaaba

ba +++≠++

(no es divisible si n es par)

322344

babbaaba

ba −+−≠−+

(no es divisible si n es par)

Para los dos últimos casos nn ba + nunca es divisible para ba + ni para ba − si n es un número entero par.

35

1.7 BINOMIO DE NEWTON

Factorial.

Si 0≥n es un entero, el factorial !n se define como:

0! = 1 ; 1! = 1 ; 2! = 12 ⋅ ; 3! = 123 ⋅⋅ ; 4! = !34 ⋅ ; … ; ( )!1! −⋅= nnn

Así, el factorial de 65 resulta ser un número sumamente grande: 65! = 8.24765x1090

Y el factorial de 70 resulta imposible obtener en una calculadora ya que es mayor que 10100.

Coeficiente binomial

j

n

Es la sucesión que se obtiene del factorial de n tomada de j en j para valores de nj ≤≤0 y se define con la fórmula:

( )!!

!

jnj

n

j

n

−=

Ejemplos:

Así tenemos que

1) ( )!38!3

!8

3

8

−=

( )1206

40320= 56=

2) ( ) ( ) 622

24

!24!2

!4

2

4==

−=

3) ( )!05!0

!5

0

5

−=

!51

!5

⋅= = 1

4) ( ) 1!0!7

!7

!77!7

!7

7

7=

⋅=

−=

36

Los dos últimos casos nos permiten definir que 10

=

n ∧ 1=

n

n

que son los coeficientes extremos de

j

n cuando nj ≤≤0 .

5) Para qué valor de n se cumple la igualdad

−=

4

1

66

nn

n

( )( )

( )!41!4

!1

!6!6

!6

−−−×=

−×

n

nn

n

n

( )

( )( )( )!5!4

!1

!6!456

!16

−−×=

−×××−×

n

nn

n

nn

( ) ( )( )!65

1

!65

1

−−=

−× xnn

5

1

5

1

−=

n ∴ 10=n

Triángulo de Pascal

Se forma al acomodar los diferentes valores de los coeficientes

j

n en forma triangular como se muestra

en la siguiente figura:

37

Los mismos que al desarrollar su factorial dan como resultado la siguiente sucesión:

1 n = 0

1 1 n = 1

1 2 1 n = 2

1 3 3 1 n = 3

1 4 6 4 1 n = 4

1 5 10 10 5 1 n = 5

1 6 15 20 15 6 1 n = 6

Que no son más que los coeficientes de los términos desarrollados en un binomio de la forma ( )nax + .

Teorema del binomio.

Si a y x son números reales y n un entero positivo, se cumple:

( ) jjnn

j

n axj

nax −

=

Σ=+

0

En donde el símbolo

j

n es el coeficiente de cada uno de los términos del desarrollo del binomio y

pueden obtenérselos del triángulo de Pascal o desarrollando la fórmula ( )!!

!

jnj

n

j

n

−=

Por lo tanto el desarrollo de

( ) 5554453352251150055

5

5

4

5

3

5

2

5

1

5

0

5axaxaxaxaxaxax −−−−−−

+

+

+

+

+

=+

( ) 543223455 510105 axaaxaxaxxax +++++=+

De lo que podemos sacar como conclusión que el número total de términos del binomio es: 1+= nN

El número de orden del término corresponde a: 1+= jT

El exponente de x en el término correspondiente es: jjn axjn

n −

−

38

Ejemplos:

1) Obtenga el tercer término en el desarrollo del binomio ( )5ax +

Sabemos previamente que el tercer término corresponde al valor j = 2 y es 2310 ax

Pero además podemos calcularlo utilizando la fórmula resumida en esta última parte, a saber:

En el tercer término j = 2, y el desarrollo está dado por: 225

25

5ax −

−

Cuyo desarrollo es: ( )2323

!35!3

!5

3

5axax

−=

2310 ax=

2) Encuentre el término de 8y en el desarrollo de ( )1032 +y

Para que y esté elevado al exponente 8, j = 2. Por lo tanto el orden del término es el tercero, y se lo obtiene con la fórmula:

( ) ( ) ( ) 92!810!8

!1032

210

10 882210 ⋅⋅−

=

−− yy

8925645 y⋅⋅=

8680.103 y=

3) Determine el sexto término en el desarrollo de ( )92+x

Para el sexto término j = 5, por lo tanto ( )4559 32

!49!4

!92

59

9xx ⋅

−=

−−

44032x=

39

4) El coeficiente de 6x en el desarrollo de ( )103+x

Si 6=− jn ; j = 4 ; la variable 6x está ubicada en el quinto término.

El coeficiente está implícito en la fórmula ( )64410 81

!610!6

!103

410

10xx ⋅

−=⋅

−−

6010.17 x=

Por lo tanto el coeficiente es 17.010

5) El término completo que contiene 4x en el desarrollo de 10

2

−x

x

Ahora necesitamos determinar cómo obtener 4x al combinar los dos términos del binomio pues tienen la misma base x, así:

j

jn

x

xx

= −

2

14 2

210

4j

jxx

−−=

2

2204

jj

xx−−

=

2

3204

j−=

∴ j = 4

El término correspondiente es el quinto.

Finalmente aplicando la fórmula tenemos: 2

4

4410 2

410

10

x

x ⋅

−−

( )416

!610!6

!10x⋅

−=

43360x=

40

6) En el desarrollo del binomio ( )nx232 + , el coeficiente de 24x es cuatro veces el coeficiente de 22x .

Calcule el valor de n.

( ) ( ) jjn xjn

n 232 −

− ⇒ jxx 224 = ∴ 121 =j

jxx 222 = ∴ 112 =j

( ) ( ) ( ) ( )11111212 3211

43212

−−

−=

−nn

n

n

n

n

( ) ( )11

1112

123

2

2

!11!11

!43

2

2

!12!12

! ×××−

×=×××−

nn

n

n

n

n

( )( ) 1

42

3

!1112!12

!11!11 =×

×××−

×−n

n

( ) ( )( ) 1

8

3

12!12

!1211 =××−

−×−n

nn

( ) 132

111 =×−n

3211=−n

43=n

41

1.8 DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL, MÉTODOS DIRECTOS Y PO R EVALUACIÓN

Si un polinomio es el producto de otros polinomios, entonces a cada uno de los polinomios se les denomina factor primo del original.

Ya que ( ) ( ) ( ) 2525155 23 +−−=−−+ xxxxxx

entonces los polinomios 5+x , 5−x , y 1−x son los factores primos de 252523 +−− xxx .

El proceso de obtención de los factores primos de un polinomio constituye la descomposición en factores o factorización de dicho polinomio. La factorización es importante al trabajar con fracciones y para resolver ecuaciones.

Factor Común.

Si todos los términos de un polinomio son divisibles por un mismo monomio, entonces por la propiedad distributiva el polinomio puede factorizarse como los productos entre el factor monomial común y el cociente obtenido al dividir el polinomio original para el factor común.

Ejemplos:

( )cbamcmbmam ++=++

( )2242 32264 xxxx −=−

( ) ( ) ( )( )baxybayybaxyba −−+=+−+ 22

( ) ( ) ( ) ( )( )111111 −+=+−+=−−+ xxxxxxxx

( )222 xxxxx nnnn +=+ +

Factorización por Agrupación.

En muchos casos la factorización puede realizarse por agrupación para luego volver a obtener un factor común.

Ejemplos:

1) yzxuyuxz +++ ( ) ( )yzyuxuxz +++=

( ) ( )zuyuzx +++=

( )( )yxuz ++=

2) cdacadbdaba −+−−+2 ( ) ( )cdadbdacaba ++−++= 2

( ) ( )cabdcbaa ++−++=

( )( )dacba −++=

42

Trinomio cuadrado perfecto.

Un trinomio cuadrado perfecto es un polinomio de tres términos en el que dos de ellos son positivos y cuadrados perfectos y el tercero positivo o negativo es el doble producto de las bases de dichos cuadrados.

Ejemplo:

xyyx

2

39

162

2

++

22

92

3

16yxy

x ++=

2

34

+= yx

Diferencia de cuadrados.

Toda diferencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma de sus bases por la diferencia de las mismas.

Ejemplos:

1) ( )( )bababa −+=− 22

2) ( )( )66362 −+=− xxx

3) kn xx 22 4925 − ( )( )knkn xxxx 7575 −+=

4) 22 yxyx +−− ( ) ( )22 yxyx −−−=

( ) ( )( )yxyxyx −+−−=

( )( )yxyx −−−= 1

5) Demuestre geométricamente la diferencia de cuadrados ( )( )bababa −+=− 22

Geométricamente hablando una diferencia de cuadrados es restar un cuadrado de otro, así:

El área sombreada en verde es la suma de las

áreas de las 3 figuras rectangulares:

( ) ( )( ) ( )babbabababba −+−−+−=− 22

( )( )bbabbaba +−+−=− 22

( )( )bababa +−=− 22

43

Factorización completando el cuadrado.

En algunos casos es posible transformar un trinomio que no es un cuadrado perfecto, en una diferencia de cuadrados, sumando y restando un término que cumpla con la condición de cuadrado perfecto.

Ejemplos:

1) 4224 yyxx ++ 22224224 yxyxyyxx −+++=

224224 2 yxyyxx −++=

( ) 22222 yxyx −+=

( )( )xyyxxyyx −+++= 2222

2) 44 +x 224 444 xxx −++=

( ) 222 42 xx −+=

( )( )xxxx 2222 22 −+++=

Trinomio de la forma cbxx ++2

Los factores de este trinomio se deben encontrar entre los sumandos lineales del segundo término, en donde se cumpla:

nmb +=

nmc ×=

( )( )nxmxcbxx ++=++2

Ejemplos:

1) ( )( )23652 ++=++ xxxx

2) ( )( )23652 −−=+− xxxx

3) ( )( )16652 −+=−+ xxxx

4) ( )( )16652 +−=−− xxxx

44

Trinomio de la forma cbxax ++2

Se factoriza de una manera similar a la anterior, teniendo cuidado de multiplicar al polinomio por el coeficiente de 2x para, finalmente, dividir por el mismo coeficiente.

Ejemplos:

1) 253 2 ++ xx ( ) ( ) ( )323533 2 ++= xx [ ]3÷

( ) ( ) 6353 2 ++= xx

( )( )2333 ++= xx ( )3÷

( )( ) 32313 ÷++= xx

( )( )231 ++= xx

2) 6136 2 +− aa ( ) ( ) 366136 2 +−= aa [ ]6÷

( )( ) 64696 ÷−−= aa

( ) ( ) 6232323 ÷−−= aa

( )( )2332 −−= aa

Cubo perfecto de binomios.

Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un binomio debe cumplir con las siguientes condiciones:

a) Tener cuatro términos.

b) Que el primero y el último términos sean cubos perfectos.

c) Que el segundo término sea positivo o negativo el triple de la base del primero elevado al cuadrado, por la base del último término.

d) Que el tercer término sea positivo el triple de la base del primer término, por la base del último elevado al cuadrado.

Ejemplos:

1) ( )33223 33 bababbaa +=+++

2) ( )33223 33 bababbaa −=−+−

3) 962346 2754368 yyxyxx −+− ( )332 32 yx −=

4) ( )332 416448121 aaaa +=+++

45

Factorización de binomios de la forma nn yx ±

a) Suma o Diferencia de dos cubos.

Se obtiene dos factores, el primero es la suma o diferencia de sus bases, y el segundo factor es el cuadrado de la primera base menos o más, respectivamente, el producto de las dos bases y más el cuadrado de la segunda base, así:

( )( )2233 babababa +−+=+

( )( )2233 babababa ++−=−

Ejemplos:

1) ( )( )2233 25104521258 yxyxyxyx +−+=+

2) ( )( )2233 91216342764 nmnmnmnm ++−=−

b) Suma o Diferencia de la forma nn yx + y nn yx −

Para la diferencia de binomios nn yx − en donde n es un entero par positivo, puede factorizarse como la diferencia de dos cuadrados.

Cuando n es impar positivo y divisible para 3, el binomio puede descomponerse como la diferencia de dos cubos.

Si n es divisible por 2 y 3 la descomposición se facilita tratando como diferencia de dos cuadrados.

Finalmente el binomio nn yx + donde n es un número positivo múltiplo de 3 se factoriza como la suma de dos cubos. Pero si n no es múltiplo de 3 puede o no tener descomposición factorial.

Ejemplos:

1) 44 yx − ( )( )2222 yxyx −+=

( )( )( )yxyxyx −++= 22

2) 93 yx − ( )( )6323 yxyxyx ++−=

3) 66 yx + ( )( )222422 yyxxyx +−+=

4) 66 yx − ( )( )3333 yxyx −+=

( )( )( )( )2222 yxyxyxyxyxyx ++−+−+=

5) 55 yx + ( )( )432234 yxyyxyxxyx +−+−+=

6) 99 yx + ( )( )633633 yyxxyx +−+=

( )( )( )633622 yyxxyxyxyx +−+−+=

46

Factorización de la forma cmxqxpxkx ++++ 234 o grado superior.

Por el teorema del resto, los números enteros que anulan a un polinomio se encuentran entre los divisores del término constante o independiente, es decir c.

Regla de Ruffini:

a) Se ordenan los polinomios dados.

b) Se escriben solamente los coeficientes, sin olvidar escribir el coeficiente cero cuando falte algún término en el orden de los polinomios dados.

c) Se coloca el primer término del dividendo en tercera fila, el cual se multiplica por el divisor, el mismo que se ubica bajo el segundo término del dividendo, se resta y el resultado va a la tercera línea, se multiplica por el divisor y el resultado se coloca bajo el tercer término de manera sucesiva.

d) Si la división da un resultado exacto la respuesta se coloca con signo cambiado en el primer factor y el segundo se inicia con el exponente siguiente al de la igualdad.

Ejemplos:

1) Factorizar por evaluación: 453 +− xx

4503 +−+= xx → 4501 +−+

divisores de 4 ( )4,2,1±=

Para 1=x ( ) ( ) 041501 3 =+−+

Al conseguir la anulación del polinomio realizamos la evaluación para el factor hallado ( )1=x , de la siguiente manera:

(Dividendo) 1 + 0 – 5 + 4 1 (Divisor)

1 + 1 - 4

1 + 1 – 4 + 0

Si el valor de 1=x entonces el factor es ( )1−x

Por lo tanto, 453 +− xx ( )( )41 2 −+−= xxx

47

2) Factorizar por evaluación 314136 23 −−− xxx

Para 3=x ⇒ ( ) ( ) ( ) 031431336 23 =−−

(Dividendo) 6 - 13 – 14 - 3 3 (Divisor)

18 + 15 + 3

6 + 5 + 1 + 0

314136 23 −−− xxx ( )( )1563 2 ++−= xxx

y tenemos: ( )( )( ) 626363 ÷++−= xxx

( )( )( )13123 ++−= xxx

48

1.9 MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más polinomios, es el mayor de los divisores comunes de dichos polinomios.

Una vez factorizados los polinomios, se lo obtiene el MCD de los factores comunes con su menor exponente, es decir que si no existe ningún factor común, el MCD será la unidad.

Mientras que el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más polinomios es el menor múltiplo común distinto de cero.

Es decir que el mcm se lo obtiene de todos los factores, comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplos:

Obtenga el MCD y el mcm de los siguientes grupos de polinomios:

1) 122 23 −−+ xxx ; 12 −x ; 122 ++ xx

Factores primos:

( )( )112 2 +− xx ; ( )( )11 −+ xx ; ( )21+x

∴ MCD: ( )1+x

mcm: ( )( ) ( )1112 22 −+− xxx

2) yyy 52 23 +− ; 30173 234 −+−− yyyy ; 573 23 −+− yyy

( )522 +− yyy ; ( )( )( )32522 −−+− yyyy ; ( )( )521 2 +−− yyy

MCD: ( )522 +− yy

mcm: ( )( )( )( )132522 −−−+− yyyyyy

3) 24102 +− xx ; 3242 −− xx ; 42132 ++ xx ; 2142 −+ xx

( )( )46 −− xx ; ( )( )48 +− xx ; ( )( )76 ++ xx ; ( )( )37 −+ xx

MCD: 1

Mcm: ( )( )46 −− xx ( )( )48 +− xx ( )( )( )376 −++ xxx

49

4) 164 6 −x ; 12 612 +− xx ; 168 −x

( )( )1818 33 −+ xx ; ( )26 1−x ; ( )( )44 44 −+ xx

( )( )12412 2 +−+ xxx ; ( ) ( )2323 11 −+ xx ; ( )( )( )2244 −++ xxx

( )( )12412 2 +−+ xxx ; ( ) ( ) ( ) ( )222222 1111 ++−+−+ xxxxxx ; ( )( )( )2244 −++ xxx

MCD: 1

mcm: ( )( )12412 2 +−+ xxx ( ) ( ) ( ) ( )222222 1111 ++−+−+ xxxxxx ( )( )( )2244 −++ xxx

5) Encuentre el MCD y el mcm entre 2637 xx +− ; xx 7122 −+ y xx 44 2 −+

376 2 −+ xx ; 1272 +− xx ; 442 +− xx

( )( ) 62696 ÷−+→ xx ( )( )34 −−→ xx ( )22−x

( )( )1332 −+→ xx

MCD : 1

mcm: ( )( )1332 −+ xx ( )( )34 −− xx ( )22−x

50

1.10 FRACCIONES ALGEBRAICAS: DEFINICIÓN, PROPIEDADE S Y OPERACIONES

Las fracciones algebraicas son expresiones racionales donde el numerador puede tomar cualquier valor y el denominador no puede ser cero.

Así en las fracciones 1

4

−x ;

9

532 −

−x

x ;

5112

12

4

+−+

xx

x , los valores de x quedan restringidos para

≠x 1, 3, 3− , 5 y 2

1, respectivamente. ¿Puede advertirse por qué?

Decimos que una fracción algebraica está reducida a su mínima expresión cuando el numerador y el denominador no tienen otro factor común diferente de 1 y –1. Si una fracción dada no está en sus términos mínimos, debe sustituirse por otra equivalente factorizando el numerador y el denominador para después simplificar los factores comunes. A este procedimiento se le llama reducción de la fracción a su mínima expresión y está basada en la propiedad de las fracciones que enuncia

b

a

bk

ak = si 0≠k

En todos los casos debe cuidarse de no tener división para cero, en cuyo caso la fracción no está definida.

El mínimo común denominador de expresiones racionales es el polinomio de grado más bajo que tiene a todos los denominadores como factor común. Para obtener tal polinomio, primero se factorizan completamente los polinomios de cada denominador hasta obtener sus factores primos y el mínimo es el producto de los diferentes factores que se presentan como comunes y no comunes, donde la potencia de cada factor es la más alta que aparezca.

Así por ejemplo:

1) Efectúe la adición de las siguientes fracciones:

22 232

3

12

12

xxxx

x

−−+

−++

( )( ) ( )( )122

3

121

12

−+−+

−++=

xxxx

x

( )( ) ( )( )122

3

121

12

−+−

−++=

xxxx

x

51

( )( ) ( )( )( )( )1221

13212

−+++−++=

xxx

xxx

( )( )( )1221

33252 2

−++−−++=

xxx

xxx

( )( )( )1221

122 2

−++−+=

xxx

xx

2) Reduzca a su mínima expresión:

xx

x

x

x

x

E

−+

−

−−+

−−

=

2

1

1

11

2

2

1

2

1

1

11

2

2

1

−−

−

−−−

−−

=

xx

x

x

x

x

( ) ( )( )( )

( )( )21

1212

21 22

−−+−−−−−−−

=

xx

xxxx

xx

( )( )1

2121

−+−−−+−= xxxx

( )32 −−= x

x23−=

52

3) Simplifique hasta sus términos mínimos:

yx

yxyx

yx

yx

yx

E

+−+

+−−

−+

=1

( ) ( )( )( )

yx

yxyxyxyx

yxyx

+−+++−−−+

=

22

( )( )( )( )xyx

yxyxyxyx

2−+−+−++=

yx

y

−= 2

4) Efectúe la simplificación de la expresión aaa

aaa

E333

33312

12

+−+−= −−

++

aaa

aaa

33333

3333312

2

+−+−= −−

13

1

9

1139

+−

+−=

9

77=

9=

5) Simplifique:

a

aaa

aa

E2

2

2

2

2

2

−−+

++−

=

a

aaaa

aaa

2

4222

422

2

2

+−+

++−

=

1=

53

1.11 RACIONALIZACIÓN

Cuando los radicales aparecen en cocientes es una práctica común transformar el cociente de manera que el denominador no contenga radicales. Este procedimiento se denomina racionalización del denominador.

En cálculo es muy común racionalizar también el numerador, por lo que la racionalización puede realizarse tanto para el numerador como para el denominador siendo lo más común racionalizar el denominador.

La idea es determinar un factor tal que al ser multiplicada por el radical su producto no tenga raíces. Este factor que transforma la expresión irracional en racional se denomina factor racionalizante o factor conjugado.

Algunos factores conjugados que podremos utilizar son los siguientes:

Factor Irracional Factor Conjugado Factor Racionalizado

a a a

3 b 3 2b b

7 3a 7 4a a

ba + ba − 2ba −

ba − ba + 2ba −

ba + ba − ba −

ba +3 233 2 baba +− 3ba +

33 ba − 3 233 2 baba ++ ba −

ba +3 ( )bbaa +− 33 2 bba +

( )( )bbabba −+=

32 ba −=

Está en lo correcto si advierte que en la tabla anterior a partir del cuarto factor conjugado, el producto notable para las diferencias de cuadrados y suma y diferencia de cubos son la base para determinar el factor racionalizante por el cual multiplicar.

Recuerde que el factor conjugado debe operarse tanto en el numerador como en el denominador, por lo que en realidad toda la fracción irracional se multiplica por la unidad para que no sea alterada en su valor original.

54

Ejemplos:

En los siguientes ejercicios simplifique hasta que sea posible y donde corresponda racionalice siempre el denominador:

1)

a

a

a

a

a

a

a

a

E

−+−

+−

+−+

−+

=

1

1

1

1

1

1

1

1

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )11

111

11

11

2

22

−+

++−−

+−

−++

=

aa

aaa

aa

aa

121

1212

++++−−+−+++=aaaaa

aaaa

a

a

4

22 +=

a

a

a

a ⋅+=2

1

( )a

aa

2

1+=

2) ( ) ( ) 11 22 −− −−−

−+−

−+

=xbxa

xb

xb

xa

xa

J

( )( ) ( )( )( )( )

( ) ( )( )( )xbxa

xaxbxbxa

xaxbxbxa

−−−−−

−−−+−−+

=22

55

xaxb

xaxbxabxbxaxab

2222

22

+−−+−+−−+−=

ab

bxax

22

22

−+−=

( )

( )ab

abx

−−=

2

2

x=

3) 311

321623 2

23

−+

+−−=x

xxxK ( )

( )( )

++++

++++

⋅−+

+−−=911311

911311

311

32162

3 23 22

3 23 22

3 2

23

xx

xx

x

xxx

Factorización por Ruffini: ( )( ) ( )

2711

911311162

2

3 23 222

−+

++++−−

=x

xxxx

32162 23 +−− xxx

321621 +−− 2 ( )( ) ( )

( )16

911311162

2

3 23 222

−

++++−−

=x

xxxx

3202 −++

01601 +−+ ( ) ( )

++++−= 9113112 3 23 22 xxx

( )( )162 2 −−= xx

4) xx

Q−

=3 22

1

xxxx

xxxx

xx ++

++×−

=3 23 4

3 23 4

3 2 24

24

2

1

32

3 23

2

24

xx

xxxxx

−++=

xxx

xxxxx

−++=

2

3 23

2

24

56

( )xxx

xxxxx

−

++=2

24 3 23

( )( )xx

xx

+

+×

2

2

( ) ( )( )xxx

xxxxxxx

−

+++=

2

3 23

4

224

( ) ( )( )14

2242

3 23

−+++

=xx

xxxxxxx

5) 25

1

−−

−=x

xS

25

25

25

1

+−

+−×−−

−=x

x

x

x

( )45

251

−−

+−−

=x

xx

( )x

xx

−

+−−

=1

251

( )x

x

x

xx

++×

−

+−−

=1

1

1

251

( ) ( )

x

xxx

−

+

+−−

=1

1251

( )xx +

+−= 125

6) 323 −

= xG

3324

3324

32 33

33

3 ++++×

−= x

( )

332

32744 63

−+×+= x

57

( )

332

332

332

32744 63

++×

−+×+= x

( )( )

274

33231084 63

−+++= x

( )( )

23

33231084 63 +++−= x

7) Obtenga el valor de x en la expresión 72200

985032

−++=x

26210

272524

−++=

610

754

−++=

4

16=

4=

58

1.12 EJERCICIOS DE REPASO

1. Ordene y coloque los siguientes elementos en la recta de los números reales:

(a)

−−−−−−= ...333.0,

10

3,

3

1,3,2,

3

2,7.0,

3

2,

2

7,1,3.0,

2

7,3 πA

Ordenando tenemos:

−−=−−−−= π2,2

7,3,3,7.0,

3

2,

10

3,3.0...,333.0

3

1,

3

2,1,

2

7A

(b)

−−−−−= ...333.0,10

3,

3

1,3,2,

3

2,7.0,

3

2,

2

2,

2

7,1,3.0,

2

7,3 πA

Ordenando tenemos:

−−−−−= π2,2

7,3,3,

2

2,7.0,

3

2,

3

1,

10

3,3.0...,333.0,

3

2,1,

2

7A

2. Resuelva: 347347 −++=E

⇒+ 487 48491 −=m 11 =m

59

2

17

2

17

22

−++=−++ mAmA

32 +=

⇒− 487 48492 −=m 12 =m

2

17

2

17

22

−−+=−−+ mAmA

32 −=

∴ 347347 −++

3232 −++=

4=

3. Exprese la respuesta en notación de intervalos, simbología de conjuntos y gráficamente:

≤<−∩

−≤<− πxxxx

2

7/

2

310/

−−2

3,10 ;

−≤<−=

2

310/ xxS

60

4. Divida y compruebe sumando su respuesta: nn

nnnnnn

yx

yyxyxx

−−+− 3223 2

nnnnnn yxyxyx 3223 2 −+− nn yx −

nnn yxx 23 +− nn yx 22 2+

0 nnn yxy 322 −+

nnn yxy 32 22 +−

ny3

nn

nnn

yx

yyx

−++=

322 2

Comprobación:

nn

nnnnnnnnn

nn

nnn

yx

yyyxyxx

yx

yyx

−+−+−=

−++

++ 32222322 22

2

nn

nnnnnn

yx

yyxyxx

−−+−=

3223 2

5. Realice la división completa para: 25

1035352102 3445

+−+−+−+=

x

xxxxxD

Regla de Ruffini:

( ) 10353521012 345 +−+−+ xxxx ÷

−=

=+−

25

025

x

x

( ) 521012 +−+ + 0 53− + 103 ( )25 −

210 −+ 25 +− + 3 2353 −+ 6103 +−

−2 1 + 25 + + 3 23− + 6 →Residuo

Respuesta: ( )25

6233252 234

+−+−+++−

xxxxx

61

6. Racionalice y descomponga en radicales simples los siguientes radicales dobles:

133337

2

−=X

314337

2

×−=X

133337133337 2 −=⇒− m 6=m

22133337

mAmA −−+=− 2

637

2

637 −−+= 2

31

2

43 −=

314337

2

×−=X

2

31

2

43

2

−=

3143

2

−=

3143

3143

3143

2

++×

−=

( )3143

31432

−+=

( )12

31432 +=

∴6

31

6

43 +=X

7. Obtenga un valor de k tal que ( )2−x sea un factor del polinomio ( ) 424 234 ++++= kxxkxxxP .

Por el teorema del factor:

==−

2

02

x

x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 042224222 234 =++++= kkP

04416816 =++++ kk

3612 −=k

12

36−=k

3−=k

62

8. Desarrolle cada producto notable y obtenga su resultado total:

(a)

2

63

1

+ a

a

aaaa

663

12

3

1 +××+=

aa

6223

1 ++=

a

aa

3

18261 2++=

(b)

++−

−−+ yxyxyxyx 23

1

3

12

( ) ( )yxyx −−+=9

14

9

3636 yxyx +−+=

9

3735 yx +=

9. Racionalice el denominador y simplifique:

(a) 32

8

x

xU

−−=

3 23

3 23

3 24

24

2

8

xx

xx

x

x

++++×

−−=

( )( )

x

xxx

−++−=

8

248 3 23

3 2324 xx −−−=

63

(b) xxxx

xW

−−+−

−+−−=

11

1

11

12

analice estas dos opciones de solución:

( )( ) xx

xx

xxxx

xx

xx

x

−++−++×

−−+−

−−−−−−×

−+−−=

11

11

11

1

11

11

11

12

2

2

( ) ( )( )

( ) xx

xx

xx

xxx

+−+−++−

−−−−−−−=

11

11

11

11122

2

( )( )

x

xx

xxx

xxxx

2

11

121

111122

−++−−+−−

−+−+−=

en el primer numerador existe un factor común:

( ) ( )( )[ ]

x

xx

xx

xxxx

2

11

22

11112

−++−−

−++−−=

( )( )

( ) x

xx

xx

xxx

2

11

12

111 −++−−

−++−=

x

xx

x

xx

2

11

2

11 −++−−++=

0=

Sin embargo, existe otra solución más simple si se opera como fracciones:

xxxx

xW

−−+−

−+−−=

11

1

11

12

( )( ) ( )( ) ( )xxxx

xxxxx

−−+−+−

−+−−−−+−=1111

111112

2

64

( )( ) ( )xxxx

xxxx

−−+−+−

+−−−−−−=1111

11112

22

( ) ( )xxxx

xxxx

−−+−+−

+−−−+−−=1111

11112

22

( ) ( )xxxx −−+−+−=

1111

02

0=

10. Factorice y simplifique las siguientes fracciones:

(a) 254

65223

23

−+−+−−=

xxx

xxxF

( )( )( )

( ) ( )21

2312 −−

+−−=xx

xxx

( )( )( )( )21

23

−−+−=

xx

xx

(b) 6

7

6

1

3

1

2

xx

xxG

−

−+=

−

−

+

=6

1

6

1

6

1

1

12

xx

xx

−

−

+

−=6

1

6

1

6

1

1

12

xx

xx

x

x 26 −−= x

x 26

1

+−=

65

11. Encuentre el término que contiene 4−x en el desarrollo del binomio 13

12

5

1

− −xx

( ) 412

5

113 −−−

⇒−

Cxxx

j

jjn

∴ 422 −−− = xxx jjn

( ) 42132 −−− = xx jj 4326 −=− j

3

30=j

10=j

( ) ( ) ( )1063

1011013

2

5

1

!1013!10

!13

5

1

10

13 −−−

⋅⋅−

=−

xxxx

106

125

1

!3!10

!10111213 −⋅×

×××= x

4

12523

111213 −

××××= x

4

125

286 −= x

12. Obtenga el término central del desarrollo del binomio 10

3

1

+ yy

Número de términos 1+= n = 11 Término central 6=

5=j

∴ ( )5510

3

1

5

10yy

−

( )2

55

53

1

!510!5

!10yy ××

−=

2

55

532345!5

!5678910 +

××××××××××= y

2

15

27

28y=

66

13. Calcule el valor de n que cumpla la igualdad y verifique su respuesta:

( ) ( )6677 162

!6!6

!8162

!7!7

! ⋅⋅⋅−

⋅=⋅⋅⋅−

−− nn

n

n

n

n

( )( ) 8

16

16

2

2

!7!7

!6!66

7

6

7

=×××−×−

−

−

n

n

n

n

( )( )

( ) 8162!67!7

!6!76 1 =××××−

×−− −

n

nn

18

16

2

1

7

6 =××−n

76 =−n ∴ 13=n

Verificación: ( ) ( )66137713 162

!6!613

!138162

!7!713

!13 ×××−

×=×××−

−−

2473286 22!6!7

!13222

!7!6

!13 ×××

×=×××

2473286 2!7!6

!132

!7!6

!13 +++ ××

=××

3434 2!7!6

!132

!7!6

!13 ××

=××

67

II. ECUACIONES

2.1 CONCEPTOS BÁSICOS, IDENTIDAD, ECUACIÓN Y CLASIF ICACIÓN

Hasta el momento hemos trabajado con expresiones algebraicas y polinomios que no es más que una combinación de números y símbolos (que representan números reales). Por ejemplo: 2322 35 yzxxyx +− .

Las ecuaciones son igualdades entre expresiones algebraicas. Nunca debemos olvidar esto.

Han existido métodos para resolver ecuaciones desde hace unos cuatro mil años en Babilonia, pero los avances para hallar soluciones de ecuaciones tuvieron lugar en Italia hacia el siglo XVI y en nuestra época se emplean computadoras para aproximar soluciones de ecuaciones muy complicadas.

Una ecuación algebraica en la variable x es un enunciado en el que se dice que dos expresiones de x son iguales. Algunas veces a la variable de una ecuación se le llama incógnita. El dominio de una variable en una ecuación es el conjunto de números para los que se definen las expresiones en una igualdad verdadera.

Cuando la variable de una ecuación se sustituye por un número específico, el enunciado resultante puede ser cierto o falso. Si es cierto, el número constituye una solución o raíz de la ecuación. El conjunto de todas las raíces recibe el nombre de conjunto de soluciones o dominio de la ecuación.

Debemos distinguir entre2 identidades, ecuaciones. Cuando dos expresiones son iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para determinados valores de la expresión es una ecuación (ecuación condicional).

Por ejemplo: 2222 852 xxxx =++ es una identidad y 532 2 =+ xx es una ecuación.

Para la primera ecuación cualquier valor de x da una igualdad verdadera, por lo que es una identidad; y

para la segunda sólo 1=x y 2

5−=x convierte a la ecuación en una igualdad verdadera.

A veces resulta difícil determinar si una igualdad es una ecuación o una identidad. La manera más práctica es realizando una demostración de cualquiera de los dos lados de la igualdad hasta conseguir el otro lado (en este caso no se puede realizar transposición de términos).

Por ejemplo, en una identidad trigonométrica debe demostrarse que el lado izquierdo de la igualdad resulta idéntico al lado derecho o viceversa:

( ) ( ) yxyxyx 22 sensensensen −=−+

Lado izquierdo: ( ) ( )yxyxyxyx sencoscossensencoscossen −+

es una diferencia de cuadrados, yxyx 2222 sencoscossen −

sabiendo que xx 22 sen1cos −= , ( ) ( ) yxyx 2222 sensen1sen1sen −−−

yy 22 sen1cos −= , yxyyxx 222222 sensensensensensen +−−

yx 22 sensen −

que es el lado derecho de la igualdad yx 22 sensen −=

demostrando que se trata de una identidad y no de una ecuación.

Las identidades tienen un conjunto infinito de soluciones ya que todos los valores de x y y dan una igualdad verdadera. Sus soluciones por lo tanto son infinitas.

68

Clasificación.

Las ecuaciones se pueden clasificar de varias formas:

Por el número de incógnitas:

Las ecuaciones pueden tener una o más incógnitas. Por ejemplo la ecuación 51043 32 −=+ xxx , tiene sólo una incógnita; la ecuación 53 =− yx , tiene dos; y 835 2 =+− zxxy , tiene tres incógnitas.

Las ecuaciones con una incógnita se puede imaginar como puntos sobre el eje x:

ecuación unidimensional (una sola incógnita)

Las de dos incógnitas como curvas en un plano:

ecuación bidimensional (dos incógnitas),

puntos en el plano (coordenadas en 2D)

Y las de tres incógnitas como curvas en un espacio de tres dimensiones:

ecuación tridimensional (tres incógnitas),

puntos en el espacio (coordenadas en 3D)

Más allá de la tercera dimensión no es posible representar gráficamente una ecuación.

69

Por el grado de la incógnita:

Las ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar por el grado de la incógnita (el grado es el exponente más alto de la incógnita).

Hay fórmulas generales para resolver las ecuaciones de grado 1 a 4 (pero las fórmulas son complicadas y difíciles de recordar para grado mayor que 2). Si no se puede descomponer la ecuación en factores, cualquier ecuación, sea del grado que sea, se puede resolver de manera gráfica:

Sea la ecuación 0...22

11 =++++ −−

nnnn axaxax , se grafica la ecuación convirtiéndola de unidimensional

a bidimensional, yaxaxax nnnn =++++ −− ...2

21

1 .

Si 1x , 2x , ..., nx son las soluciones de la ecuación cuando 0=y , entonces gráficamente las raíces son los

puntos de corte de la gráfica en dos dimensiones con el eje x.

El grado determina el número máximo de raíces reales o soluciones reales de la ecuación, pudiendo no existir soluciones si la gráfica no corta el eje x. Sin embargo en el conjunto de los complejos siempre existirá exactamente el número de raíces que el grado de la ecuación represente, es decir una ecuación de grado 5 tendrá como máximo 5 raíces reales pero exactamente 5 soluciones complejas.

A la ecuación de primer grado se le llama también lineal, pues su gráfica representa una línea recta en el plano.

A la ecuación de segundo grado se le denomina cuadrática o parabólica, ya que su gráfica representa una parábola en dos dimensiones.

Y a la ecuación de tercer grado se le denomina cúbica.

A las ecuaciones de grado superior también se les llama ecuaciones polinómicas.

Ecuaciones racionales e irracionales:

Son racionales si existe variable en el denominador, en cuyo caso existen valores de x que pueden producir divisiones para cero, lo cual no está definido, y ese valor de x queda excluido del dominio o conjunto solución, así:

14

7

5

32 −+

=+−−

x

x

xx

x es una ecuación racional dónde 5≠x , 0≠x , 4−≠x

312 =++− xx es una ecuación irracional.

70

2.2 ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA

Una ecuación de primer grado con una incógnita es también una ecuación lineal, ya que su representación gráfica es una línea recta, y consiste en encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.

Decimos en este caso que la ecuación tiene solución. Pero, ¿qué significa gráficamente esta solución?

El valor de x donde la recta corta al eje X será la solución gráfica y numérica de la ecuación.

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en cualquiera de los lados de la igualdad. Se suma o se resta una misma cantidad a cada miembro de la ecuación y se multiplica o se divide para una misma cantidad a cada miembro de la ecuación. A este proceso se denomina despeje de la variable por transposición de términos.

Así en la ecuación de primer grado 3x + 1 = x – 2, tenemos:

13 +x – 1 – x 2−= x – 1 – x

32 −=x

x2 /2 3−= /2

2

3−=x

Si representamos gráficamente la ecuación convirtiéndola en bidimensional tenemos:

213 −=+ xx

032 =+x

yx =+ 32

La solución o raíz de la ecuación está dada por el punto de corte de la línea recta con el eje X.

71

Ecuaciones que no tienen solución.

En la siguiente ecuación de primer grado: xx +=− 23

Rápidamente se obtendrá la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.

Decimos en este caso que la ecuación no tiene solución.

Si se trata de graficar esta ecuación, lo que resulta es que no representa ninguna línea recta, y por tanto no existe el punto de corte con el eje X, luego no existe la solución.

Así por ejemplo en la ecuación: 2

61

2

3

−+=

− xx

x , tenemos:

02

61

2

3 =−

−−− xx

x

02

623 =−

−+−x

xx

042 =−x

2

4=x

2=x

Pero 2 es un valor restringido para x ya que al reemplazar en la ecuación dada resulta una división para cero, lo cual no está definido, por lo que la solución es un conjunto vacío. Gráficamente esto significa:

yxx

x =−

−−− 2

61

2

3

72

Ecuaciones con infinitas soluciones.

Al resolver la siguiente ecuación: 43312 −−+=− xxx .

Ahora se habrá llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa esto?

La igualdad que se ha obtenido es cierta pero se ha eliminado la x. ¿Cuál es la solución?

Si la igualdad es cierta siempre, lo será para cualquier valor de x. En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).

Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que no es posible interpretar de ninguna forma la igualdad 0 = 0.

Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES.

Ejemplos:

1) Obtenga la ecuación lineal que define la gráfica dada y compruebe resolviendo la ecuación algebraicamente.

Las coordenadas exactas para obtener la ecuación (visualmente) son:

X Y

–5 3

2 –3

La ecuación bidimensional a obtener es de la forma yBAx =+

Sin tomar en cuenta la Geometría Analítica podemos obtener la ecuación con los valores de x y y:

( ) 35 =+− BA

( ) 32 −=+ BA

En donde al restar las dos ecuaciones tenemos:

35 =+− BA

[ ]32 −=+− BA

67 =− A

7

6−=A ∧ 7

9−=B

La ecuación bidimensional obtenida por lo tanto es: yx =−−7

9

7

6

Que puede verificarse tanto con las coordenadas como con la solución de la ecuación cuando 0=y .

73

2) Obtenga el conjunto de soluciones dada la siguiente ecuación: 76

5

43

2

−=

− xx

076

5

43

2 =−

−− xx

∴ 020151412 =+−− xx

Valores restringidos de x: 63 =x

x ≠ 4/3 ; x ≠ 7/6 2=x (cumple la verificación)

C.S. { }2=

Gráficamente la solución es:

76

5

43

2

−−

−=

xxy

Gráficamente la ecuación no es lineal, pero al cortar en un solo punto con el eje X puede resolverse algebraicamente como una ecuación de primer grado.

74

3) Obtenga algebraica y gráficamente el conjunto de soluciones de la siguiente ecuación:

2

3

8

433

2

+=

++

xx

x

( ) ( ) 2

3

422

432

2

+=

+−++

xxxx

x ∴

( ) ( ) 02

3

422

432

2

=+

−+−+

+xxxx

x

Restricciones de x: x ≠ –2 ( ) ( ) 0

422

1263432

22

=+−+−+−+

xxx

xxx

86 =x

3

4=x

C.S.

=3

4

Solución gráfica: 2

3

8

433

2

+−

++=

xx

xy

75

2.3 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA, AN ÁLISIS DEL DISCRIMINANTE Y PROPIEDADES DE LAS RAÍCES

La ecuación de segundo grado unidimensional, o cuadrática, es de la forma:

02 =++ CBxAx

Gráficamente representa el trazo de una parábola en plano, por lo que también se le denomina parabólica, y es el punto o los puntos de intersección de la parábola con el eje X, pudiendo no existir dicha intersección en cuyo caso no habrá solución para la ecuación en el campo de los reales, pero siempre existirán dos soluciones en el campo de los números complejos.

Así:

C.S. { }21 , xx= C.S. { }1x= C.S. = Ø , en ℜ

Soluciones complejas

Soluciones complejas.

Se representa una raíz compleja como el binomio biax +=1 en donde a es la parte real del número complejo y bi la parte imaginaria. Por ser un binomio se cumplen todas las propiedades algebraicas y

leyes de los exponentes, con la única diferencia que i tiene el valor numérico imaginario 1−=i e 12 −=i (real).

Si la unidad imaginaria i se eleva a otros exponentes enteros puede obtenerse sus valores de acuerdo a las propiedades de los exponentes:

iiii −=⋅= 23

( )( ) 111224 =−−=⋅= iii

iiiii =⋅⋅= 225 , etc.

De tal forma que el número complejo siempre tendrá la forma binomial bia + en todos los casos.

76

Factorización.

Si el trinomio de la forma CBxAx ++2 es factorizable, entonces la ecuación cuadrática puede resolverse factorizando el trinomio e igualando cada factor a cero hasta obtener las posibles dos soluciones reales, así:

0232 =++ xx

( ) ( ) 012 =++ xx

02 =+x 01=+x

21 −=x ∧ 12 −=x

C.S. { }1,2 −−=

Recordamos que toda ecuación puede resolverse gráficamente, no importa la forma ni el grado de la ecuación, convirtiendo la ecuación unidimensional en bidimensional y hallando los puntos de corte de la gráfica con el eje X, es decir cuando 0=y , así tenemos:

232 ++= xxy

77

Fórmula de Carnot.

La fórmula general de la ecuación de segundo grado permite resolver toda ecuación parabólica y obtener sus raíces reales o complejas inclusive:

02 =++ CBxAx

A

ACBBx

2

42 −±−=

Se deja al estudiante la tarea de obtener o demostrar la fórmula general de la ecuación cuadrática a partir de la igualdad 02 =++ CBxAx .

Análisis del Discriminante.

Se denomina discriminante de la ecuación cuadrática a la expresión ACB 42 −=∆ , en donde:

Si 042 >− ACB existen dos raíces reales (dos puntos de corte de la parábola con el eje X).

Si 042 =− ACB existe una sola raíz o solución real A

Bxx

221

−== (parábola tangente al eje X).

Si 042 <− ACB no existen raíces reales, pero si soluciones complejas (no hay corte con el eje X).

Propiedades de las raíces.

Existe una relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación cuadrática que nos permite resolver o verificar determinados problemas, a saber:

02 =++ CBxAx

Si 1=A ⇒ 02 =++A

Cx

A

Bx

02 =++ CBxx

C.S. { }21, xx=

Entonces se cumple: Bxx −=+ 21

Cxx =⋅ 21

78

Ejercios:

1) Si 1x y 2x son raíces de la ecuación 0362 =+− pxx , determine el valor de p si 12

511

21

=+xx

Solución: 02 =++ CBxx

0362 =+− pxx

( )pBxx −−=−=+ 21 ∴ pxx =+ 21 12

511

21

=+xx

3621 ==⋅ Cxx 12

5

21

12 =⋅+xx

xx

12

5

36=p

15=p

Verificación: 036152 =+− xx

( ) ( ) 0312 =−− xx

121 =x ∧ 32=x

2) Calcule el valor de k para que la ecuación 12 −+=+ xkxkx tenga raíces iguales.

Solución: ( ) 0112 =++−−+ kkxx

02 =++ CBxx , si 1=A

( ) ( ) 0141 2 =+−−−=∆ kk Verificación:

44120 2 −−++= kkk ( ) ( )13413 21 +−−−=∆ [ ]( ) ( )11411 2

2 +−−−−−=∆

0322 =−− kk 1616−= 0=

( )( ) 013 =+− kk 0=

31 =k ∧ 12 −=k

3) Si 1x y 2x son las raíces de la ecuación 032 =++ kxx , sabiendo que kxx 632

31 =+ , calcule el

valor de k.

Solución:

321 −=+ xx ( )( ) kxxxxxxxx 62221

2121

32

31 =+−+=+

kxx =⋅ 21 ( ) kkk 6293 =−−−

( ) 9221 =+ xx kk 6927 =+−

92 2221

21 =++ xxxx 273 =k

kxx 2922

21 −=+ 9=k

12

5

12

41

3

1

12

1 =+=+

79

4) Obtenga la ecuación cuadrática bidimensional que genera la siguiente gráfica:

Solución: La ecuación cuadrática bidimensional a obtener es de la forma CBxAxy ++= 2

Las coordenadas de la gráfica y la forma de la ecuación ayudan para resolverla, pero podemos aplicar las propiedades de las raíces cuando 0=y y 1=A , así:

02 =++ CBxx

Bxx −=+ 21 ⇒ 2

55.25.03 −=−=+−=− B ∴

2

5=B

Cxx =⋅ 21 ⇒ ( )( ) 5.15.03 −=−=C ∴ 2

3−=C

31 −=x

5.02 =x 02

3

2

52 =−+ xx

0352 2 =−+ xx x y

0352 2 =+−− xx –4 –9

∴ xxy 523 2 −−= ⇒ 1 –4

Observe como al cambiar el signo de la variable cuadrática el sentido de la parábola se invierte.

80

2.4 ECUACIONES REDUCIBLES A CUADRÁTICAS

Son ecuaciones de grado diferente a dos pero que pueden ser resueltas como una ecuación cuadrática de

la forma 02 =++ CBxAx

Las ecuaciones que, directamente o mediante transformaciones de equivalencia, se pueden reducir a la

forma: 02 =++ CBxAx nn, mediante el cambio de variable

nxz = se pueden expresar como una

ecuación de segundo grado así: 02 =++ CBzAz

Una vez resuelta esta ecuación, las soluciones de la ecuación original se determinan resolviendo nzx1

= .

Ejemplos:

1) Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 045 24 =+− xx

Solución: ( ) ( ) 014 22 =−− xx

4±=x 1±=x se verifica con los cuatro valores

C.S.={ }1,1,2,2 −−

Gráficamente tenemos: 45 24 +−= xxy

81

2) Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 14 24 −=− xx

Solución: 0324 =−− xx

( )2

34112 −−±=x ⇒

2

1312 ±=x se descarta el negativo debido a la raíz cuadrada:

∴2

1311

+±=x 2

1312

−±=x

C.S.( ) ( )

+

−+

=2

1312,

2

1312

aproximadamente: C.S.{ }52.1,52.1 −=

Representación gráfica: 324 −−= xxy

82

Ecuaciones irracionales.

Para su resolución se hace necesario elevar a una determinada potencia que elimine algún radical una o varias veces. Esto se consigue aislando en uno de los miembros de la ecuación a cualquiera de los radicales.

Esta transformación dará lugar a una nueva ecuación no necesariamente equivalente; es decir, a una nueva ecuación que tiene todas las soluciones de la primera, pero que puede tener alguna más, por lo tanto, será necesario comprobar, en la ecuación original, todas las soluciones obtenidas para verificar que no existan raíces extrañas.

Así por ejemplo:

1) Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 2232 =−−+ xx

Solución: 2232 −+=+ xx ⇒ 224432 −+−+=+ xxx

241 −=+ xx

( )216122 −=++ xxx

033142 =+− xx

( )( ) 0113 =−− xx

31 =x ∧ 112 =x ∴ C.S. { }11,3=

Verificación gráfica: 2232 −−−+= xxy

83

2) Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 032333 =−+−− xx

Solución: 32333 ++=− xx ⇒ 92362333 ++++=− xxx

23343 +=−− xx

( )23916249 2 +=++ xxx

0239 2 =−− xx

( )( ) 093969 =÷+− xx

3

21 =x ∧

3

12 −=x

Ninguna de las dos soluciones verifica una igualdad verdadera, por lo tanto C.S. = Ø

Esto se comprueba también gráficamente: 32333 −+−−= xxy

Al no existir puntos de corte de la gráfica con el eje X la solución es un conjunto vacío.

Las aparentes soluciones obtenidas de manera lógica se denominan raíces extrañas y no forman parte del conjunto solución.

84

3) Obtenga el conjunto de soluciones de la siguiente ecuación: 2

5

2

6

6

2 =−+− x

x

x

x

Solución: x

xz

−=

6

2 (el cambio de variable simplifica la resolución)

2

51 =+ −zz x

x

−=

6

22

x

x

−=

6

2

2

1

2

51 =+z

z xx

x

+−=

1236

44

xx

x

+−=

1236

4

4

1

zz 522 2 =+ xxx 4448144 =+− xxx 161236 =+−

0252 2 =+− zz x=3 xx 121536 =−

( )( ) 021242 =÷−− zz 91 =x 01245 =−+ xx

21 =z ∧ 2

12 =z ( )( ) 565105 ÷−+ xx

42 =x ∧ 25

363 =x

El valor x = 4 es una raíz extraña, por lo tanto C.S.

=

25

36,9

Gráficamente: 2

5

2

6

6

2 −−+−

=x

x

x

xy

85

4) Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 275232522 =−+++−+− xxxx

Solución: 22

523227522

−++−=

−+− xxxx

5232523221498522 −+++−+++=−+− xxxxxx

( )22

5152523227 +−=

−++− xxx

25152102525229419698 +−+−=−++ xxxx

( ) ( )2225522 xx −=−

22 5025208 xxx +−=−

645580 2 +−= xx

( )( ) 01543 =−− xx ⇒ 431 =x ∧ 152 =x

431 =x es una raíz extraña, no forma parte de la solución por lo tanto: C.S. = { }15

Gráficamente tenemos: 275232522 −−+++−+−= xxxxy

86

2.5 ECUACIONES POLINÓMICAS, RAÍCES REALES DE UN POL INOMIO

Las ecuaciones formadas por polinomios de grado superior a dos se denominan ecuaciones polinómicas y se resuelven igualando a cero y factorizándola hasta obtener las raíces o soluciones de la ecuación. El grado del polinomio nos indica el grado de la ecuación.

Así: 0... 001

22

11 =+++++ −

−−

− xaxaxaxaxa nn

nn

nn , en donde Ν∈n y considerando 3≥n

Factorización.

Si el polinomio de la ecuación es factorizable, entonces puede resolverse aplicando la Regla de Ruffini hasta obtener los factores lineales que den las raíces o soluciones de la ecuación, así por ejemplo:

Obtenga el conjunto de soluciones de la ecuación 0128151032 2345 =++−−+ xxxxx

El polinomio de la ecuación es factorizable por el método de Ruffini para 2,2,1,1 −==−== xxxx , (véase el tema Teorema del Factor y Regla de Ruffini), por lo tanto:

2 + 3 – 10 – 15 + 8 + 12 1

2 + 5 – 5 – 20 –12 (x – 1)

2 + 5 – 5 – 20 – 12 0

∴ 01220552 234 =−−−+ xxxx

2 + 5 – 5 – 20 – 12 2

4 +18+ 26 + 12

2 + 9 +13+ 6 0 (x – 2)

061392 23 =+++ xxx

2 + 9 + 13 + 6 –1

– 2 – 7 – 6

2 + 7 + 6 0 (x + 1)

0672 2 =++ xx

( )( ) 03242 =++ xx

(x + 2)(2x + 3) = 0

La ecuación factorizada completamente por lo tanto es ( )( )( )( )( ) 0322121 =+++−− xxxxx

Y el conjunto de soluciones entonces es: C.S.

−−−=

2

3,2,1,2,1

87

Recordando que toda ecuación puede resolverse gráficamente tenemos:

128151032 2345 ++−−+= xxxxxy

El análisis gráfico de este ejemplo nos permite determinar que el número de raíces de una ecuación polinómica de grado superior es exactamente igual al grado del polinomio, con al menos una solución real y el resto complejas, o como en este caso todas reales.

Cada solución representa un cero en la ecuación (punto de intersección con el eje X cuando 0=y ) aun cuando las raíces fueran complejas, los que algebraicamente se denominan ceros complejos y se enuncian en el siguiente teorema.

Teorema Fundamental del Álgebra.

Toda ecuación polinomial de grado 1≥n tiene al menos un cero complejo y puede ser factorizada exactamente en n factores lineales (no necesariamente diferentes) de la forma:

( )( )( ) ( ) 0...321 =++++ nrxrxrxrx

en donde, 1r , 2r , 3r , …, nr son números complejos o raíces complejas de la ecuación.

Ahora analice el siguiente ejemplo:

88

Aplique el Teorema Fundamental del Álgebra y obtenga las seis raíces de la ecuación 0646 =−x

Solución: Primero debemos obtener los 6 factores lineales de la ecuación,

( )( ) 088 33 =+− xx

( )( )( )( ) 0422422 22 =+−+−+− xxxxxx

Para los factores irreducibles tenemos:

2

1642 −±−=x ∧ 2

1642 −±=x

311 ix ±−= ∧ 312 ix ±=

La factorización completa por lo tanto es:

( )( )( )( )( )( ) 03131231312 =+−−−+++−+− ixixxixixx

Y el conjunto de soluciones (reales y complejas) es:

C.S. { }31,31,31,31,2,2 iiii −+−−+−−=

En realidad las 6 soluciones son complejas si consideramos el número real como un complejo bia + cuya parte imaginaria es cero.

Verificación: Si tomamos cualquiera de los valores del conjunto solución tenemos, 31 ix += 0646 =−x

( ) 64316

=+ i

64273969153320315361 65432 =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅++ iiiiii

642735413536045361 =−++−−+ iii 6427135451 =−+− 6464 =

89

2.6 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, MÉTODOS DE RESOLUCIÓN, REDUCCIÓN, IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN Y MATRICES

Muchas aplicaciones del álgebra en las diferentes ingenierías implican más de una ecuación con varias incógnitas. Un conjunto de estas ecuaciones constituye un sistema. El conjunto de soluciones o conjunto solución de un sistema de ecuaciones consiste en hallar todas las soluciones comunes a las ecuaciones del sistema.

Puede representarse como

=+=+

222

111

cybxa

cybxa

Que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas cuyo conjunto de soluciones es el punto de intersección entre las dos rectas, así:

Como el sistema es de tipo lineal, el conjunto solución es unitario y es el punto de intersección entre las rectas, sea que existan dos o más líneas.

En el caso del ejemplo, el número de incógnitas es 2, por lo que el conjunto de soluciones será el punto de coordenadas (x, y), es decir que el conjunto solución del sistema tiene un solo elemento, un punto, así:

C.S. ( ){ }yx,= .

90

De no existir un punto de intersección entre todas las rectas que conforman el sistema se dice que dicho sistema es inconsistente. Y si las rectas se sobreponen entre sí, entonces se trata de un sistema dependiente.

El número de ecuaciones no necesariamente debe ser igual al número de incógnitas, pero todas las rectas deben tener un punto de intersección, caso contrario se tratará de un sistema inconsistente.

Así por ejemplo:

1) Determine si el siguiente sistema de ecuaciones es consistente o inconsistente:

−=−=+=−

325

52

14

yx

yx

yx

Si existe un punto de intersección entre las 3 rectas entonces el sistema será consistente, pero si no hay un solo punto de intersección, entonces el sistema es inconsistente.

Podemos resolver el sistema tomando pares de ecuaciones y obteniendo los puntos de intersección entre las tres rectas:

52

14

=+=−

yx

yx (sumando las primeras dos ecuaciones)

x6 6=

∴ 1=x

3=y el primer punto de intersección es (1, 3)

Otro par de ecuaciones nos da el segundo punto de intersección, de ser igual al primero será un sistema consistente, caso contrario será inconsistente:

( ) 1024252 =+→→=+ yxyx (para eliminar la variable “y”)

325 −=− yx → 325 −=− yx

x9 7=

∴ 9

7=x

9

31=y

=9

31.

9

7P Este punto es diferente del anterior, por lo tanto el

sistema es inconsistente.

91

Geométricamente puede entenderse que las 3 rectas no tienen un solo punto común sino que forman un triángulo, como se indica en la siguiente gráfica:

2) Indique si el siguiente sistema es consistente o inconsistente:

−=−−=−

=−

143

523

452

yx

yx

yx

( )2452 →=− yx → 8104 =− yx

( )5523 −→−=− yx → 251015 =+− yx

x11− 33=

∴ 3−=x

2−=y Primer punto de intersección: ( )2,3 −−

452 =− yx → ( )4 → 16208 =− yx

143 −=− yx → ( )5− → 52015 =+− yx

x7− 21=

∴ 3−=x

2−=y Segundo punto de intersección: ( )2,3 −−

No hace falta un tercer punto de intersección pues el sistema es consistente y el conjunto solución es el punto común: ( )2,3 −−

92

Geométricamente se verifica:

3) Obtenga el conjunto solución del siguiente sistemas de ecuaciones:

−=+=+

7410

625

yx

yx

En la ecuación de la recta cbyax =+ la pendiente está dada por b

am −=

Si dos o más rectas tienen la misma pendiente significa que son paralelas y no tienen punto de intersección, por lo tanto su conjunto solución es vacío y el sistema también es inconsistente.

En este ejemplo las pendientes son iguales, por lo tanto las rectas son paralelas y el sistema es inconsistente:

1525 =+ yx → 2

51 −=m

7410 −=+ yx → 2

5

4

102 −=−=m

∴ C.S.= Ø

93

Una forma sencilla de resolver un sistema de ecuaciones con igual número de incógnitas es matricialmente.

En el sistema

=++=++

=++

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

se cumple

=

−

3

2

1

1

333

222

111

d

d

d

cba

cba

cba

z

y

x

En donde la matriz resultante o de soluciones es de orden 1×n (n filas y una sola columna) siendo n el número de ecuaciones o el número de incógnitas.

Actualmente resulta muy simple obtener la inversa de una matriz de orden nn× ya sea en una calculadora o en un programa de computadora, por lo que resolver un sistema de 12 ecuaciones con 12 incógnitas, o más, resulta sumamente fácil si se aplica la siguiente fórmula:

[ ] [ ] [ ]tkR 1−=

En donde [ ] 1−k es la matriz inversa de los coeficientes ordenados de cada una de las variables,

[ ]t es la matriz de orden 1×n de los términos independientes,

[ ]R es la matriz resultante o conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones.

Debe tenerse en cuenta las propiedades de las matrices, es decir si se va a multiplicar una matriz por otra debe tenerse cuidado de cual va primero, pues no se cumple la propiedad conmutativa.

En la Hoja Electrónica Excel es sencillo calcular la inversa de una matriz de cualquier orden y también multiplicar dos matrices o más.

Si se siguen estas indicaciones pueden resolverse sistemas lineales de cualquier orden:

1) Formar las matrices necesarias colocando en cada celda el valor correspondiente a los coeficientes y términos independientes.

2) Marcar todas las celdas donde se desea obtener la matriz resultante (recuerde que es de orden 1×n ).

3) Ingresar el comando para Excel en la primera de las celdas previamente marcadas donde se desea que aparezca la matriz resultante:

=MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)

4) Combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER

94

Recuerde que dependiendo de la versión de Excel debe usarse coma (,) o punto y coma (;) en la programación de la matriz.

La selección de la matriz se la realiza arrastrando el ratón o seleccionando con los cursores hasta obtener en la codificación el dato A1:C3 y E1:E3

Es totalmente imprescindible que para obtener la respuesta se combinen las teclas SHIFT CTRL ENTER ya que si solo se pulsa ENTER ( ↵ ) la respuesta es errónea.

Intente resolver el siguiente sistema utilizando Excel:

=−−=−+=−−

12546

4435

8324

zyx

zyx

zyx

Las matrices a ingresar en Excel son:

−−−

−−

546

435

324

que es la matriz [ ]k (todavía no es la inversa)

12

4

8

Aplicando la fórmula tenemos:

=

−−

−

−−−

z

y

x

12

4

8

546

435

3241

Que es lo que vamos a calcular en Excel en la zona seleccionada (celdas G5, G6, G7):

95

Ingresamos el comando =MMULT(MINVERSA(A1:C3),E1:E3)

Y finalmente combinamos las teclas SHIFT CTRL ENTER:

Que es la solución del sistema dado en forma de matriz:

=−=

=

2

1

3

z

y

x

96

Demás está decir que si sólo se quiere calcular una matriz inversa basta con digitar:

=MINVERSA( seleccionar la matriz)

e inmediatamente combinar las teclas SHIFT CTRL ENTER en las celdas previamente marcadas.

Ahora resuelva en Excel los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

1)

=−−=+−

−=−+

5322

16234

1

zyx

zyx

zyx

−

−−−

−

=

−

5

16

1

322

234

111

1

z

y

x

⇒

=−=

=

1

2

2

z

y

x

2)

=+−−+=+−+−

−=+−−=+−++

−=−++−

6324

33226

1043

174232

27452

wvzyx

wvzyx

vzyx

wvzyx

wvzyx

−

−

−−

−−

−−

−

−−

=

−

6

33

10

17

2

31214

21126

04131

42321

174521

w

v

z

y

x

⇒

=−=

=−=

=

1

6

3

5

2

w

v

z

y

x

97

2.7 SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

Gráficamente representan los puntos de intersección entre figuras lineales y no lineales, como parábolas, circunferencias, elipses, hipérbolas y rectas en el plano. Los problemas expresados en palabras se basan en conceptos que ya conocemos, pero los sistemas resultantes implican cuando menos una ecuación no lineal.

A diferencia de los sistemas lineales, las ecuaciones no lineales se representan únicamente en las dos dimensiones (longitud y ancho), es decir en el plano de coordenadas X, Y. Por lo tanto los sistemas serán únicamente con dos incógnitas.

Si no existen puntos de intersección entre las curvas el sistema es inconsistente.

Así por ejemplo:

1) Obtenga el conjunto de soluciones del sistema

=+−=+−

01

0122xy

yx

La primera ecuación nos sugiere una línea recta y la segunda una parábola, por lo que posiblemente el conjunto solución tenga dos elementos, dos puntos de intersección.

12 −=− yx → ( )1− → 12 =+− yx

12 −=+− yx → ( )2− → 222 2 =− yx

032 2 =−− xx

( )( ) 02232 =+− xx

2

31 =x ; 12 −=x

de la primera ecuación: 4

51 =y ; 02 =y ; ∴ C.S. ( )

−

= 0,1,4

5,

2

3

98

2) Resuelva el sistema y trace las gráficas utilizando un programa de computadora:

=+−

=+

032

1622

22

yxyx

yx

en la segunda ecuación: 032 22 =+− yxyx

( )( ) 0222 =−− yxyx

yx =1 ; 22

yx =

luego reemplazando en la primera ecuación:

( ) 1622 =+ yy 162

22

=+

y

y

162 2 =y 164

22

=+ yy

221 ±=y 645 2 =y

∴ ( ) ( )22,22,22,22 −− 5

58±=y

∴

−−

5

58,

5

54;

5

58,

5

54

Utilizando un programa como GeoGebra tenemos:

Obsérvese como la segunda ecuación traza la gráfica de dos rectas que junto con la circunferencia da 4 puntos de intersección o 4 elementos del conjunto solución.

C.S. ( ) ( )

−−

−−=

5

58,

5

54,

5

58,

5

54,22,22,22,22

99

2.8 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES EN PROBLEMAS LIT ERALES

El objetivo fundamental del álgebra es aplicar los fundamentos, leyes y principios en la resolución de problemas mediante el planteamiento de ecuaciones y sistemas de ecuaciones. En muchas de las aplicaciones los problemas se plantean en forma verbal. Se les llama también problemas literales.

No existe un método específico a utilizar en todos los casos, como una receta o una lista de pasos a seguir, por lo que cada estudiante debe esforzarse por leer detenidamente el problema para comprenderlo bien y formarse una idea en su mente y ayudarse de un gráfico o un diagrama para determinar cuáles son los valores conocidos y cuáles las incógnitas para plantear las ecuaciones.

Finalmente se deben resolver con precisión las ecuaciones y los sistemas planteados, recordando siempre que lo que prevalece aquí es el razonamiento, el sentido común y la lógica para dar la solución definitiva.

Ejemplos:

1) Un tren con velocidad uniforme, de longitud L pasa por un túnel de 200m de largo en un tiempo t

de 28 segundos. Una mosca fija en el tren, tarda 25 segundos en pasar el túnel. ¿Cuál es la longitud del tren?

Solución: Existen por lo menos 3 formas lógicas de razonar, cada una más fácil que otra:

(a) En física la fórmula de la velocidad constante es t

ev =

Cualquier punto del tren viaja a esa velocidad, como la mosca recorre 200m en 25seg., la velocidad es:

seg

mv

25

200= segm/8=

Cuando el punto extremo inicial del tren recorre los 200m (completamente el túnel), el punto extremo final todavía está dentro del túnel, a una distancia L y a un tiempo de 3 segundos de la salida, es decir que todavía no recorre los 200m, por lo tanto podemos calcular cuánto ha recorrido el punto final extremo del tren y ese valor restarlo de los 200m, eso nos dará la longitud L del tren.

vtd = ( ssst 22325 =−= ) ssmd 22/8 ×=

md 176=

Por lo tanto mmmL 24176200 =−=

100

(b) El punto extremo final llega a la salida 3 segundos después que el punto extremo inicial, por lo tanto la distancia total que recorre el punto extremo final es mayor a 200m, la diferencia dará la longitud del tren.

'' vtd = ( st 28'= )

ssmd 28/8' ×= md 224'=

Por lo tanto mmmL 24200224 =−=

(c) La distancia que recorre cualquier punto del tren en 3 segundos es la longitud del tren. vtL = ( st 3= ) ssmL 3/8 ×= mL 24=

2) Una campesina llegó al mercado a vender sandías. La primera clienta le compró la mitad de todas las sandías más media sandía. La segunda clienta adquirió la mitad de las sandías que le quedaban más media sandía. La tercera clienta sólo compró una sandía. Con esto terminó la venta. ¿Cuántas sandías llevó al mercado la campesina? Solución: Cantidad inicial de sandías: x

Primera venta: 2

1

2

1

2

+⇒+ xx

Lo que queda después de la primera venta es: 2

1

2

1 −⇒

+− xxx

Segunda venta: 4

1

2

1

22

1+

⇒+

−x

x

Lo que queda después de la segunda venta es: 4

3

4

1

2

1 −⇒

+−− xxx

En este momento (después de la segunda venta) sólo le queda una sandía, por lo tanto

14

3 =−x 7=⇒ x

La respuesta es 7 sandías.

101

2.9 EJERCICIOS DE REPASO

1. Si 1x ∧ 2x son las raíces de la ecuación cuadrática 0362 =+− kxx , calcule el valor del parámetro

k sabiendo que 2

511

21

=+xx

.

Solución:

0362 =+− kxx

( )kxx −−=+ 21 ⇒ kxx =+ 21

3621 =⋅ xx (por las fórmulas)

Por lo tanto podemos reemplazar en el dato del ejercicio: 2

511

21

=+xx

2

5

21

12 =+xx

xx

2

5

36=k

90=k

2. Calcule el valor del parámetro k si la suma de los cuadrados de las raíces es 2 en la ecuación:

kxkxx −=−− 322 Solución:

( ) 0232 =+−−−+ kkxx

222

21 =+ xx

( )kxx −−−=+ 321

kxx +−= 221

Como necesitamos 22

21 xx + desarrollamos el binomio al cuadrado ( ) 2

22121

221 2 xxxxxx ++=+

de donde ( )kxx −−−=+ 321 ⇒ kxx +=+ 321 ∴ ( ) 2122

21

2 23 xxxxk ++=+

Y reemplazando los valores tenemos: ( ) ( )2223 2 −+=+ kk

042269 2 =+−−++ kkk 01142 =++ kk (k es complejo)

2

44164 −±−=k

2

724 ik

±−= (dos soluciones)

721 ik +−= ∧ 722 ik −−=

102

3. ¿Cuál debe ser el valor del parámetro k para que una de las soluciones de la ecuación cuadrática 1022 =+− kxx sea 1?

Solución:

01022 =−+− kxx

( )221 −−=+ xx ⇒ si 11 =x , entonces 12 2 xx −= ∴ 12 =x también

1021 −=⋅ kxx ∴ 11=k

4. Betty estaba atendiendo a 30 invitados. Tenía 100 pastelillos para repartir entre ellos y decidió dar 4

pastelillos a cada uno de los invitados preferidos, y tres a cada uno de los demás invitados. ¿Cuántos eran sus invitados preferidos? Solución: Invitados preferidos: x Otros invitados: x−30 Pastelillos para los invitados preferidos: x4 Pastelillos para los demás invitados: ( )x−303 Ecuación: ( ) 1003034 =−+ xx (pastelillos) 1003904 =−+ xx 10=x (10 invitados favoritos)

5. Una actriz de cine, decidida a no revelar su edad, le dijo el siguiente acertijo a un reportero de

chismes: “Hace siete años yo tenía once veces la edad de mi hija, ahora tengo cuatro veces la edad de ella”. ¿Cuántos años tiene actualmente la actriz?

Solución: Edad actual de la actriz: x Edad actual de la hija: y Hace 7 años, la actriz: x – 7 Hace 7 años, la hija: y – 7

Ecuaciones: ( )

=−=−

yx

yx

4

7117

∴ añosx 40=

103

6. La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si al número se le resta 27, los dígitos se

intercambian. Halle el número.

Solución: Número de dos dígitos: yx +10 Número intercambiado: xy +10 Suma de los dígitos: 9=+ yx Si al número se resta 27: 2710 −+ yx Ecuación: xyyx +=−+ 102710

Debe resolver el sistema

=−=+

2799

9

yx

yx

los valores de x y y son los dígitos, luego debe ensamblar el número.

6=x ; 3=y El número es 63.

7. Calcule el valor de yx

y

x

yx

yx

yxE

++++−=

2

6

5

2332

33

si ( ) ( )222 2 yxyx +=+

Solución:

En la ecuación ( ) ( )222 2 yxyx +=+ tenemos: 2222 222 yxyxyx +=++

xyyx 20 22 −+=

( ) 02 =− yx 0=− yx

yx =

Si yx = ya se puede reemplazar en yx

y

x

yx

yx

yxE

++++−=

2

6

5

2332

33

E xx

x

x

xx

xx

xx

++++−=

2

6

5

2332

33

x

x

x

x

x

x

3

6

5

523

3

++=

212 ++= 5=

104

8. Si 71 =+x

x , halle el valor de 33 −+= xxE

Solución:

Una alternativa es resolver la ecuación 71 =+x

x hasta obtener el valor de x y reemplazarlo en

33 −+= xxE

Otra alternativa es obtener el valor de 33 −+ xx desde 71 =+x

x , así:

71 =+ −xx

( ) ( )331 7=+ −xx

7733 313 =+++ −− xxxx

( )133 377 −− +−=+ xxxx sabiendo que 71 =+ −xx , tenemos:

737733 −=+ −xx

74=E

9. El polinomio ( ) pnxmxxxxxP +++−−= 2345 62 es divisible por ( )( )13 2 −− xx . Calcule el

valor numérico de pnm ++ Solución: Si el polinomio es divisible por ( )( )( )113 +−− xxx , entonces para cualquiera de los tres valores de x

el residuo es cero: 1;1;3 −=== xxx

( ) 039363233 345 =+++⋅−⋅−=− pnmP

03936323 345 =+++⋅−⋅− pnm 8139 =++ pnm

( ) 06211 =+++−−= pnmP

0621 =+++−− pnm 3=++ pnm (es la solución)

( ) 06211 =+−++−−=− pnmP

3=+− pnm

105

Otra alternativa de solución, pero más complicada es:

nxmxxxx ++−− 2345 62 p+ 33 23 +−− xxx 2345 33 xxxx −++− 22 −+ xx

4x ( ) 23 35 xmx −+−

234 3 xxx ++− x3− ( ) ( )xnxmx 3132 23 −++−+−

23 62 xx − x2+ 6+ ( ) ( ) ( )623613 2 +++−+−+− pxnxm (Residuo cero)

∴ ( ) ( ) ( ) 0618 2 =++−+− pxnxm Para 1=x tenemos: ( ) ( ) ( ) 0618 =++−+− pnm

3=++ pnm

10. Encuentre el valor del parámetro k en la ecuación 4222 =−+ kxkx de tal forma que una de sus raíces aumentada en 2 sea el triple de la otra. Considere solo las raíces positivas.

042 22 =−+− kkxx

21 32 xx =+

23 21 −= xx

( )kxx 221 −−=+

kxx 223 22 =+−

0224 2 =−− kx

2

1

22 += kx

42

21 −=× kxx

( ) 0423 222 =+−− kxx

0423 22

22 =+−− kxx

Reemplazando 2x tenemos:

042

12

2

13 2

2

=+−

+−

+k

kk

( ) 041124

3 22 =+−−−++ kkkk

106

016444363 22 =+−−−++ kkkk 01522 =++− kk

01522 =−− kk ( )( ) 035 =+− kk

35 −=∧= kk

La ecuación es: 0425102 =−+− xx

021102 =+− xx ( )( ) 037 =−− xx

37 21 =∧= xx

Verificación:

21 32 xx =+ 3327 ×=+

99 = Verdadero

∴ 5=k 11. Resuelva la ecuación 83542 22 −+=+− xxkkxkx sabiendo que el producto de sus raíces es igual

al doble de su suma.

085432 22 =++−−− kxkxxkx ( ) ( ) 0851432 2 =++−−+− kxkxk

( )0

32

85

32

142 =−++

−−−+

k

k

k

kx

( )2121 2 xxxx +=×

022 2121 =−− xxxx

( ) 221 22 xxx =−

2

2

2

21 −

=x

xx

12. Obtenga el valor de x en la ecuación: 72200

985032

−++=x

26210

272524

−++=

610

754

−++=

4

16=

4=x

107

13. Resuelva planteando ecuaciones:

La longitud de uno de los lados de un rectángulo es un tercio del perímetro del rectángulo, entonces el otro lado ¿qué fracción del perímetro es?

LPP 223

1 +×= 3

62 LPP

+= 6

23 PPL

−= PL6

1=

14. Calcule el valor de y en el sistema de ecuaciones ( )

+++==+

2bbaabyax

ayx

( )

+++=

−=

a

bbaabyx

yax2

a

bababyya

22 +++=− 0222 =−−−−− bababyaya

( ) ( )babbay +=+−

by −= 15. ¿Cuál es la suma del 150% de 2 y el 200% de 3?

3100

2002

100

150 ×+× 622

3 +×= 63+= 9=

16. Si 32=+ ba , 1=ab , entonces calcule el valor de 33 ba +

( ) 342 ×=+ ba 33 ba + ( )( )22 bababa +−+=

122 22 =++ baba ( )11032 −=

21222 −=+ ba 318=

1022 =+ ba

108

BibliografíaBibliografíaBibliografíaBibliografía

1. Álgebra y trigonometría con geometría analítica, 12ª. Edición, Swokowski / Cole, 2009.

2. Precálculo Cuarta Edición, Michael Sullivan, 2007.

3. Álgebra Preuniversitaria, Eduardo Espinoza Ramos, 2003.

4. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica, Louis Leithold, 2006.

5. Precálculo Quinta Edición, James Stewart, 2009.

6. Apuntes de Álgebra, ESPE, Ángel Recalde Pérez, 2009.

7. Álgebra, teoría y ejercicios, ESPE, José Silva C, 2010.

8. http://nonosky.wordpress.com/2010/02/23/precalculo-quinta-edicion-james-stewart-lothar-redlin-saleem-watson/

9. http://webltga.espe.edu.ec/avirtual/

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