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COLEGIO SANTO DOMINGO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

CUADERNILLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE MATEMÁTICA PARA

CUARTO MEDIO 2017

NOMBRE: ________________________________

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Introducción: Una de las formas más fáciles para estudiar matemática es repasar y aplicar los conceptos analizados en clases a través de ejercicios y problemas; este cuadernillo pretende ser una ayuda que debes usar tanto en su casa como en el colegio con el fin de facilitar tu aprendizaje. Algunos de los ejercicios y problemas de las guías que forman parte del cuadernillo han sido cuidadosamente seleccionados de los texto de estudio existentes en el mercado y otros son creaciones de tus profesores. Esperamos que este conjunto de guías te sirva como un apoyo para tu aprendizaje de la matemática en el presente año. Muchos éxitos. Departamento de Matemática

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UNIDAD I: Estadística y Probabilidad con Variable Aleatoria Continua. Aplicando la distribución normal , resuelva los siguientes ejercicios:

1.- Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar: p(µ 3 σ ≤ X ≤ µ+3σ) tipificando y aplicando tabla de distribución normal N(0,1) entregada en clases. 2.- En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de x para que: P(4 x ≤ x ≤ 4+x) = 0.5934. 3.- En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°. 4.- La media de los pesos de 500 estudiantes de un Instituto es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan: a) Entre 60 kg y 65 kg. b) Más de 90 kg. c) Menos de 64 kg. d) 64 kg. e) 64 kg o menos. 5.- Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y varianza 36. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72? b) Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84? 6.- Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N( 65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de s er las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?. 7.- Se quiere obtener un intervalo de confianza para el valor de las ventas medias por hora que se producen en un kiosco . Para ello realizamos una muestra consistente en elegir al azar las ventas que se realizaron durante 1000 horas distintas ; muestra cuyos resultados fueron : ventas medias por hora 4000 pts, y varianza de dicha muestra 4000 pts al cuadrado . Obtener dicho intervalo con un nivel de confianza del 95.5 %. 8.- Se desea determinar un intervalo de confianza con nivel de confianza del 99% para la proporción de amas de casa que compran sólo una vez a la semana. Si se sabe que en una muestra aleatoria simple de 400 amas de casa sólo 180 de afirmaron comprar una vez a la semana. 9.- En una ciudad, el consumo diario de agua potable por personas tiene una media de 152 con una desviación estándar de 51.¿ Cuál es la cantidad mínima de litros diarios que tendría que consumir una persona para pertenecer al 5% de la población que más consume?.

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10.- Se ha tomado una muestra de los precios de un mismo producto alimenticio en 16 tiendas de la comuna de Santiago centro , elegidos al azar , y se han encontrado los siguientes precios: 9500, 10800, 9700, 11200, 9900, 10600, 10500, 10000, 9900, 9800, 10400, 11000, 10700, 11100, 10300, 11000.Suponiendo que los precios de este producto se distribuyen según una normal de varianza 25 y media desconocida: a) ¿Cuál es la distribución de la media muestral? b) Determine el intervalo de confianza, al 95%, para la media poblacional. 11.-Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 individuos a los que se ha medido el nivel de glucosa en sangre, obteniéndose una media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que la desviación típica de la población es de 20 mg/cc. ¿ Cuál es el intervalo de confianza, al 90%, para el nivel de glucosa en sangre en la población. ? 12.- Se sabe que la estatura de los individuos de una población es una variable aleatoria que sigue una distribución norma l con desviación típica 6 cm. Se toma una muestra aleatoria de 225 individuos y da una media de 176 cm.Obtenga un intervalo de confianza, con un 99% de confianza, para la media de la estatura de la población. 13.- En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono 14.- En un examen tipo test de 200 preguntas de elección múltiple, cada pregunta tiene una respuesta correcta y una incorrecta. Se aprueba si se contesta a más de 110 respuestas correctas. Suponiendo que se contesta al azar, calcular la probabilidad de aprobar el examen 15.- Un estudio ha mostrado que, en un cierto barrio, el 60% de los hogares tienen al menos dos televisores Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide: a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores? b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores? a) El 2% de los tornillos fabricados por una máquina presentan defectos. Si tenemos un lote de

2000 tornillos, cuál es la probabilidad que haya menos de 50 defectuosos? 16.- Se lanza una moneda al aire 400 veces.

e.1) Calcule la probabilidad de obtener menos de 250 caras e.2) Calcule la probabilidad de obtener más de 300 caras e.3) Calcule la probabilidad de obtener un número de caras comprendido entre 180 y 210

17.- Un tirador acierta en el blanco el 70% de sus tiros. Si el tirador participa en una competición y tira 25 veces. ¿Cuál es la probabilidad que acierte más de 10 tiros?

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UNIDAD II: INECUACIONES de Primer Grado

I) Representar en un gráfico los siguientes intervalos en el conjunto de los números reales.

1) 5,2

2) 2,1

3) 5,1;3

4) 3,6

5) 1,2

6) 8,3

7)

3,2,

2

1

8)

4

32,12

9) 96,4;5

10) ,7,

11) 2,1;

12) 1,

II) Representar usando notación de intervalo los siguientes diagramas 1) 5) 2) 6) 3) 7) 4) 8) III) Escriba los ejercicios de intervalos del ítem I como desigualdad y los diagramas del ítem II como intervalos. IV) Escribir como inecuación y como intervalo los siguientes conjuntos numéricos.

1) 6x2,IRx/xA

2) 5x,IRx/xB

3) 68,4x3,2 ,IRx/xC

4) 8,5x8,IRx/xD

5) 15x2,IRx/xE

6) 11x6 ,Zy/yF

7) 23x,IRx/xG

8) 3x4,IRx/xH

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V) Escribir una inecuación que corresponda a cada uno de las siguientes situaciones 1. El precio del kilo de pan es superior a los $ 600 2. La estatura de Roberto es inferior a 180 cm 3. El promedio de las edades de los apoderados no supera los 50 años 4. El edificio más alto de la ciudad mide al menos 300 metros 5. Tres Kilos de duraznos no alcanzan a costar $ 1.000 6. Una niño pequeño debe usar un bloqueador solar cuyo factor sea al menos 30 7. Un río tiene un caudal de entre 45 y 300 metros cúbicos por segundo 8. El puntaje de ingreso a una carrera no es mayor de 780 puntos y tampoco es menor de 620 VI) Resolver las siguientes inecuaciones y expresar el resultado como intervalo y forma gráfica. 1) x + 7 > 18 2) 2x – 3 < 17

3) 238x 4) 17x2 5) 2 +3x < 11 6) 7x > 28 7) 5x + 2 < 2x + 3

8) x247x2

9) 2x5x3

10) x81117x12 11) 3 – x> 7 12) 4x – 7 < 6x

13) 6x54

14) x373x2

15) 7x2

7

2x3

16) )5x2(41)9x(2

17) 3

x

7

)1x(2

18) (x–3)(x-8) > x2 –6

VII) Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones y dar el resultado como intervalo y en forma gráfica

1)

23x

35x3

2)

12x34

x3x5

3)

3x2

85x2

4)

73x2

1612x4

5)

12x2

366x7

6)

10)x32(x7

x162x3

7)

3

x)1x(21

4

3x

1x5

2

23

x

8)

x324

x23

5

1x3

7

x2

VIII) Resolver las siguientes inecuaciones con valor absoluto

1) 32x

2) 45x2

3) 33x

4) 22x3

5) 3x1

6) 3x25x

7) x16x3

8) 237x5

9) 2x43

10)

24

2x7

11) 8

3

9

x42

12) 5

x2

7

)1x3(2

IX) Resolver el siguiente problema

El índice de masa corporal de una persona está dado por la fórmula 2E

MIMC

donde M es la masa de la persona en kilos y E su estatura en metros; se dice que una persona se encuentra en

un rango de normalidad si su 25,20IMC si el IMC supera los valores del intervalo la persona tiene sobrepeso y si el IMC es inferior a los valor del intervalo la persona necesita ganar peso. La tabla ilustra la situación de un grupo de alumnos de un tercero medio. Indicar las distintas categorías a la que pertenece cada uno Alumno Masa Estatura IMC Categoría Valentina 48 1,61 Roberto 70 1,72 Angela 66 1,78 Sergio 81 1,80 Andrés 74 1,87 Ester 67 1,59 Verónica 59 1,67 Federico 68 1,86 Antonio 76 1,68 Inés 49 1,55

XI) Resolver:

1) Según el siguiente sistema de inecuaciones 41x

64x2

, ¿cuál es el gráfico solución?

A) B) C) D) E) 2) Si 7 veces un número se disminuye en 5 unidades resulta un número menor que 47, entonces el número debe ser menor que:

7

52)E

7

82)D

52)C

49)B

42)A

8

3) El gráfico que representa al conjunto solución del sistema de inecuaciones

6x24

36x3 es:

3.- ¿Cuál es el mayor numero entero que satisface el sistema de inecuacione: -1+x < 2x + 7 2x -6 < 8 A)-9 B)0 C)6 D)7 E) -8 4.- La solución es el conjunto vacio, si en el sistema de inecuaciones :

ax<-2 bx >2

(1) a =-1 (2) b=1

A) (1) Por sí sola. B) (2) Por sí sola C) Ambas Juntas (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) o (2) E) Se requiere información adicional.

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UNIDAD III: FUNCIONES

1) Determinar si cada una de las siguientes relaciones es función, considerándolas definidas en el conjunto de las pre- imágenes. Justifica tu respuesta.

)4,2();3,2(),4,1();3,1(f

)3,5();3,4();3,3(),3,2();3,1(g

)4,d();3,c(),2,b();1,a(h

)6,6();5,5();4,4();3,3(),2,2();1,1(j

2) Sea c,b,aA

y z,y,xB

. Sea f una relación definida en los siguientes diagramas: Determinar en que casos f es función y justifica tu respuesta:

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

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3) Sea f una función definida por el siguiente gráfico Encontrar:

a) f(-7) b) f(-5) c) f(-2)

d) f(-1) e) f(0) f) f(1)

g) f(3) h) f(4) i) f(7)

4) Sea f una función definida por f = { (1,3) ; (2,5) ; (3,5) ; (4,6)} determinar

a) Dom f b) Rec f

c) f(1) d) f(2)

e) f(3) f) f(4)

5) Sea f : Z Z, una función definida por f(x) = 2x + 3; encontrar:

a) f(1) b) f(-1)

c) f(-7) d) f(3)

e) f(15) f) f(5)

a b c

x y z

B A

f

a b c

x y z

B A

f

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6) Determinar si r : Z Z definida por r(x) = x es función o no; justificar

7) Sea f : IN IN definida por f(x) = 3x +2 ; encontrar las pre imágenes de: 11,23,32, 65 y 83

8) Sea A = {-2,-1, 0, 1, 2}. Sea f : A IR+ una función definida por f(x) = x2 +1. Determinar el recorrido de f.

9) La relación g : IR IR definida por 1x

1x)x(g

; no es una función ¿Qué restricción debe realizarse en el conjunto de partida para que sea una función?

10) Sea h : IR IR una función definida por

2 xsi 3x

2x3 six

3 xsi 1

)x(h

a) Determinar h(-7), h(-2) , h(0), h(1,5), h(4) y h(7) b) Contruir el gráfico de la función

11) Sea f IR IR una función definida por f (x) = 2x – 1; g: IR IR otra función definida por

7

5x2)x(g

y h: IR IR otra función definida por h(x) = 3x2 – 5x + 1; encontrar

a) (f o g) (6) b) (h o f) (-2) c) (g o f) (4) d) f (g (13)) e) g ( h (2))

f) f ( h (-5)) g) h (f ( 6)) h) f ( g (-1)) i) f ( g (x)) j) g ( h (x))

12) Dadas las siguientes funciones definidas por sus diagramas determinar cuales son inyectivas (1 a 1); epiyectivas (sobre) y biyectivas

a b c

1 2 3

B Af

a b c

1 2 3

B A g

x y z

1 2

D C h

x y

1 2

DC j

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13)Encontrar todas las inversas de las funciones del ejercicio anterior y determinar cuales de ellas son funciones

14) Sea f una función f : Z Z definida por f (x) = 2x + 1 ¿Qué tipo de función es? 15) Sea A = { 1,2,3,4,5 } , B { a, ,e, i, o, u} y C = {a, b, c, d } a) ¿Se puede establecer una función biyectiva de A en B? ¿y de A en C? b) Si se tiene una función 1 a 1 de B en A ¿Se puede decir que la función es también sobre? c) Que características deben tener dos conjuntos para establecer entre ellos funciones

biyectivas?

d) Sea f una función f : A B definida por f = {(1,u); (2,o); (3,e); (4, a); (5,i)}; encontrar la inversa de f; f-1

16) Encontrar las funciones inversas de las siguientes funciones en los números reales en caso que sean funciones f1 (x) = x –1 f2 (x) = 2x f3 (x) = 3x – 2 f4 (x) = x2

f5 (x) = 5

x

f6 (x) = 3

5x2

17) Sea f una función real, definida por f(x) = 4x – 1; encontrar f

-1 (x) y calcular

a) f ( f

-1(2))

b) f ( f-1

(-2)) c) f ( f

-1(3))

d) f ( f-1

(-4)) e) f ( f

-1(x))

f) f(f-1

(a–1))

a b c

1 2 3 4

E A

k

a b c

1 2 3 4

E A

l

a b c

1 2 3

B A m

a b c

1 2 3

B A n

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FUNCIONES POTENCIA, LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL

I) Utilizar el programa GEOGEBRA para graficar las funciones y situaciones que se pidan y luego poder responder las preguntas: 1) Graficar y establecer conclusiones (al menos dos por cada item)

a). Graficar las funciones y = x2; y = x

2 + 2; comparar ambos gráficos.

b) Graficar funciones de la forma y = ax2; y = ax

4 ; considerar valores de a positivos y

negativos. c) Graficar funciones de la forma y = ax

3; y = ax

3 ; considerar valores de a positivos y

negativos. 2) En un mismo sistema de coordenadas, graficar las siguientes funciones:

a). y = x5 ; y = (x + 1)

5; y = (x – 2)

5

b). y = x5 ; y = x

5 + 1; y = x

5 - 2

c) Analizar el rol que juegan los parámetros b y c en las expresiones de la forma y = (x + b)

n ; y = x

n + c

3) Conteste las siguientes preguntas:

a) Considere una función de la forma y= xn .

¿ En qué caso es creciente o decreciente ? ¿ Qué sucede con su concavidad ?; ¿ Es continua o discontinua ? ¿ Estas funciones pasa por el origen del sistema ?.¿ En qué puntos intercepta a los ejes ? b) Considere una función de la forma y= Log(x) . ¿ Es creciente o decreciente ? ¿Es asintótica ?; ¿ Es continua o discontinua ? ¿ Estas funciones pasa por el origen del sistema ?. ¿ En qué puntos intercepta a los ejes ? c) Describa tres similitudes y tres diferencia entre una función y su inversa?

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I.- Resuelva los siguientes ejercicios de Crecimiento Aritmético. 1.- Comprueba que el incremento de las siguientes sucesiones es constante y determina el termino que se pide: 2, 8, 14, 20, 26, .... Calcula el término 14vo b)3, 10/3, 11/3, 4 , 13/3, 14/3.... Calcula el término 23vo c)4, 30/7, 32/7, 34/7, 36/7... Calcula el término 50vo d)½, 5/6, 7/6, 3/2, 11/6, 13/6.... Calcula el término 45 2.- Una empresa desea ampliar su red de sucursales ; actualmente , dispone de 65 filiales . Si la meta es contar con 209 locales en tres años y el incremento debe ser constante.¿ Cuántas sucursales deben abrirse mensualmente. 3.- Un automóvil de carrera hace una prueba y sus velocidades se registran cada segundo en la siguiente tabla:

Segundos 0 1 2 3 4 5 6 Velocidad(Km/h) 0 25 50 75 100 125 150 a) Calcula el incremento de la velocidad en cada uno de los intervalos b)Escribe la función que describe la velocidad inicial y el incremento de la velocidad por segundo c)Calcula la velocidad del automóvil a los 7, 8 y 9 segundos. II.- Resuelva los siguientes ejercicios de Crecimiento geométrico. 1.- Comprueba si las siguientes sucesiones presentan crecimiento geométrico e indica la tasa de crecimiento. a)1, 3, 9, 27, 81, .... b)1,2/3, 4/9, 8/27, 16/81.... c)½, 1/10, 1/50, 1/250, 1/1250... d)4, 2, 1, ½, ¼, .... e)1, 10

6, 10

12,10

18,10

24....

f)7, 77, 7

14,7

21,7

28....

2.- Hallar el octavo término y la suma de los ocho primeros términos de la progresión : 4,8,16, 3.- El primer término de una progresión geométrica es 375y el cuarto 192. Hallar la razón y la suma de los cuatro primeros términos. 4.-El tercer término de una (p.g) es 144 y el sexto 1152. Hallar la suma de los cinco primeros términos de la progresión.

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III.- Resuelva los siguientes ejercicios de interés Compuesto. 1.- El profesor Vergara decide viajar a España y desea depositar un capital de 16000 euros a un interés compuesto del 3,25% durante 4 años. ¿ Cuál es el capital final si el periodo de capitalización es anual .? 2.- Se deposita un capital de 16000 € a un interés compuesto del 3,25% durante 4 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es mensual. 3.- Se deposita un capital de 8200 euros a un interés compuesto del 5,5% durante 6 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es anual. 4.- Se deposita un capital de 29000 euros a un interés compuesto del 1,75% durante 7 años. Calcular el capital final si el periodo de capitalización es trimestral.

5.-¿Qué tasa de interés compuesto anual es equivalente al 12.5 con capitalización semestral?

6.- Encontrar la tasa de interés compuesto anual equivalente al 14% de interés simple a 8 años?

7.-¿Qué tasa de interés compuesto con capitalización cuatrimestral es equivalente al 18% de interés simple en 7 años?.

8.- ¿ Qué tasa con capitalización cuatrimestral es equivalente al 13% de interés compuesto anual?

9.- Averiguar en qué se convierte un capital de 1 200 000 pesos al cabo de 5 años, y a una tasa de interés compuesto anual del 8 %.

10.- Un cierto capital invertido durante 7 años a una tasa de interés compuesto anual del 10 % se ha convertido en 1 583 945 pesos. Calcular el capital inicial, sabiendo que los intereses se han pagado semestralmente.

11.- Pregunta PSU (2012):

Una persona dispone de un capital inicial C0 y desea efectuar un depósito a plazo. En un banco le ofrecen duplicar su capital al cabo de 3 años con una tasa de interés compuesta anual, pero no le indican el valor de ella ¿Cuál sería el valor de dicha tasa de interés?

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UNIDAD IV : GEOMETRÍA VECTORIAL

I) Dados los vectores a

y b

como en la figura, representar los siguientes vectores

1) 2a

5) 3b

2) -3a

6) 2b

3) 2

1

a

7) 2

3

a

4) -b

8) -2,5a

II) Dados los vectores a

, b

, c

y d

como en la figura, resolver la siguientes operaciones

1) a

+ b

5) 2

1

a

+ 5

2

b

2) b

+ c

6) a

+ b

– c

3) d

– a

7) d

–2 a

– c

4) b

– d

8) 2c

– b

– d

III) Calcular el módulo de los vectores a

, b

, c

y d

del ejercicio II

IV) Dados los vectores ABu

, ADv

y AEw

, como en la figura, encontrar

1) v

+ w

5) u

– v

2) u

+ w

6) u

+ v

– w

3) u

+ v

+ w

7) u

– ( v

+ w

)

4) v

– w

a

b

a

c

b

d

D

A B

C

E F

G H

w

v

u

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V) Representar los siguientes vectores en un mismo plano cartesiano

1) a

= (-2,5) 2) b

= (3,2) 3) c

= (-5,-2) 4) d

= (3,7)

5) e

= (-8,6) 6) f

= (9,-12) 7) g

= (4,0) 8) h

= (0,-7) VI) Calcular el módulo de los vectores del ejercicio V VII) Determinar todas las parejas de vectores LD y LI que se encuentran en el siguiente grupo de vectores

1) a

= (7,2) 2) b

= (5,2) 3) c

= (-5,-2)

4) d

= (3,4) 5) e

= (6,8) 6) f

= (-14,-4)

VIII) Con los vectores a

= (2,-5), b

= (-1,4) y c

= (3,2) resolver las siguientes operaciones

1) a

+ b

5) 3a

– 2b

9) 2

1

a

+ 4

3

b

2) b

+ c

6) a

+ b

– c

10) 0,3b

+ 0,8c

3) c

– a

7) 2a

– c

11) 2 c

– (a

+ b

)

4) 2b

–a

8) 2c

– b

– a

12) 4 a

+ ( c

–b

) IX) Resolver los siguientes ejercicios y problemas usando vectores en IR

2

1) Encontrar la ecuación vectorial de la recta que contiene a los puntos a) (2,3) y (-1;2) c) (-2,-5) y (1,1) e) (4,0) y (2,-8)

b) (-1,3) y (0,-7) d) (-6,3) y (-4,2) f) (-1,1) y (1,-3)

2) Encontrar las ecuaciones paramétrica y analíticas de las rectas del ejercicio anterior 3) Si las ecuaciones paraméticas de una recta son x = 2 – ; y = -1 + entonces encontrar la ecuación vectorial de ella 4) Determinar si el punto (-1,4) pertenece cuyas ecuaciones paraméticas son x = -1 + 2 ; y = 3 + 5

X) Representar los siguientes vectores a

= (2,-3,6), b

= (1,3,0), c

= (3,0,-3) y d

=(4,-1,1) XI) Encontrar el módulo de los vectores del ejercicio X)

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XII) ) Con los vectores a

= (3,-1,1), b

= (-1,6,0), c

= (2,4,-3) y d

=(2,-2,2) resolver las siguientes operaciones

1) a

+ b

5) a

+ b

– d

9) 2a

– b

+ c

2) b

+ c

6) 2a

+ 3b

– 4 c

10) 2b

+ c

– 0,5 d

3) c

– d

7) 5b

– 2 a

– c

11) 2 d

– (3 a

– b

)

4) a

+ c

+ d

8) 2c

– b

– a

12) 4 d

+ ( c

–b

) XIII) Resolver los siguientes ejercicios y problemas usando vectores en IR

3

1) Encontrar la distancia entre los puntos A (2,4,5) y B(6,9,1) 2) Determinar el perímetro del triángulo de vértices A (-1,2,2), B (2,-3,1) y C (1,1,-1) 3) Encuentra la ecuación de la recta (en todas sus formas) que contiene al punto A(3,5,1) y que

lleva la dirección del vector )7,4,2(u

4) Dada la recta de ecuación vectorial )6,1,9()1,2,3(x

encuentra las otras formas de la ecuación 5) Dada la recta de ecuaciones paramétricas x = -3 +; y = 2 - 5 ; z = 4 + 3; encuentra las otras formas de la ecuación

6) Dada la recta de ecuación 7

3z

4

5y

1

2x

encuentra las otras formas de la ecuación 7) Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(3,2,4) y B(1,-4,-8) de todas las formas posibles 8) Encuentra la ecuación vectorial del plano que pasa por el punto (1,-1,0) y está determinado por

los vectores (3,2,4)v y)1,2,1(u

9) Encuentra las ecuaciones paramétricas y analítica del plano del ejercicio anterior 10) Dado el plano de ecuaciones paramétricas: x = 3 - 2 + ; y= 1 - ; z = 2 + ; encuentra la ecuación general del plano 11) Encuentra la ecuación de un plano en todas sus formas posibles si se sabe que contiene a los puntos A(1,2,3) B(4,5,6) y C(-1,3,4) 12) Encuentra la ecuación del plano en forma segmentaria y analítica si se sabe que corta a los ejes en los puntos A(2,0,0) B((0,9,0) y C(0,0,6) 13) Determina si los puntos A(3,1,0), B(5,2,4) y C(1,0,-4) son o no colineales

19

14) Encuentra las coordenadas de dos puntos que pertenezcan a la recta de

ecuación 3

3z

2

4y

1

2x

15) Encuentra las ecuaciones de las rectas portadoras de los lados del triángulo de vértices A(3,1,2), B(0,2,-1) y C(1,-2,0) 16) Encuentra la ecuación general del plano cuyos puntos de intersección con lo ejes son A(-5,0,0) B(0,3,0) y C(0,0,1) 17) Dado el plano de ecuación general 5x-3y-z+7= 0 encuentra la longitud de los segmentos que el plano determina sobre los ejes al cortarlos 18) ¿Cuánto tiene que valer el parámetro h para que el punto (h,3,1) pertenezca al plano de ecuación general 2x+3y+z-7=0?

19) Averigua si el punto A( 2,0,1) y los vectores )9,6,3(w y)3,2,1(v

determinan un plano

20) Encuentra las ecuaciones paramétricas y analítica del plano que contiene al punto A(2,0,3) y a

la recta de ecuación 3

2z

1

3y

2

1x

21) Encuentra las ecuaciones vectorial y paramétricas del plano que contiene a los puntos A (1,2,3) B (4,0,0) y C(-1,2,0) 22) Encontrar la ecuación general del plano determinado por las rectas L1 y L2 de ecuaciones: L1 (x,y) = (2,3,4) + ( 2,-1,2) L2 (x,y) = (2,3,4) + (1,0,-2)

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UNIDAD V: MEDICIÓN

I.- Sistema Métrico Decimal 1.- Completar de modo de establecer una equivalencia 100.000 cm = . m

25.000 . = 25 km

500 Há = 5.000.000 ___

320.000 . = 32 m2

64.000 mm = . m

3600 Cm2 = . m2

. Km2 = 240 Há

22 . = 22.000 Cm3

430 M3 = . l

2,6 . = 2.600.000 cm3

520 m3 = 0,52 .

. M2 = 0,023 Km2

. M3 = 453.000 Cm3

43.000 l = 43 .

832.930 Cm3 = . l

50 . = 50.000 M3

2.- Resolver los siguientes problemas usando transformación de unidades a) Un terreno rectangular mide 700 m de largo y 400 de ancho ¿Cuántas hectáreas tiene el terreno? b) Una comuna tiene un territorio de 24,6 km2 , de los cuales el 20% está destinado a parques ¿Cuántas hectáreas de parques tiene dicha comuna? c) En un envase de medio litro de bebida quedan las tres cuartas partes de líquido ¿A cuántos cm3 equivale lo que queda? d) El caudal de un canal es de 0,8 m3 por segundo ¿Cuántos litros pasan por el canal en tres segundos? e) Una piscina que tiene 4 metros de largo,3 de ancho y 1,5 de profundidad es llenada por una llave que arroja 30 litros por segundo ¿Cuánto tiempo se demora en llenar la piscina si no tiene agua?

21

II.-ÁREAS Y PERÍMETROS 1) El cuadrado de la figura tiene lado a a) ¿Cuál es el área sombreada? b) Si a = 6cm ¿Cuál es el área sombreada? c) ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada? d) Si a = 3m ¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada? 2) En un cuadrado cada lado aumenta en un 20% a) ¿En que porcentaje varía el perímetro? b) ¿En que porcentaje varía el área? 3) En un cuadrado dos de sus lados aumentan en un 50% y los otros dos disminuyen en un 50% formándose en rectángulo a) ¿Cómo varía el perímetro del rectángulo en relación al perímetro del cuadrado? b) ¿Cómo varía el área del rectángulo en relación al perímetro del cuadrado? 4) En la figura se presenta una cancha de fútbol con una pista de atletismo

a) Encontrar una expresión algebraica para el área de la superficie interior a la pista de atletismo

b) Encontrar una expresión algebraica para el área de la cancha de fútbol c) Encontrar una expresión algebraica para el perímetro de la pista de atletismo d) Encontrar una expresión algebraica para el perímetro de la pista de atletismo e) Si el largo de la cancha es 108 metros calcular: f) El área de la cancha de fútbol g) El largo de la pista de atletismo h) El perímetro de la cancha de fútbol i) ¿Cuál debe ser el valor de r para que el largo de la pista sea 400 metros? (2 decimales) j) Calcular el área de la cancha con el valor encontrado para r en la paso anterior (f)

5) En la figura los dos círculos menores son tangentes interiormente entre sí y tangentes exteriormente al círculo mayor. Demostrar que el área sombreada corresponde a la mitad del área del circulo mayor 6) Pablo tiene un terreno cuadrado en Chiloé, su amiga Paulina tiene otro terreno cuadrado contiguo al de Pablo. Si el frente del terreno de Paulina es 1,5 veces más grande que el frente del terreno de Pablo ¿Cuántas veces más grandes es el terreno de Paulina?

3r

r

22

7) Calcular fórmulas para el área de los siguientes triángulos 8) Si en las figuras del ejercicio 7 a = 8 cm; h = 5cm y c = 10cm calcular el valor numérico de las áreas de los triángulos 9) En los cuadrados que se presentan a continuación es lado es a. Encontrar una expresión para el área sombreada en cada figura

h

2h c

a

4a

3a

23

10) En las siguientes figuras el radio del círculo mayor es r . Encontrar una fórmulas para el área y el perímetro de la región sombreada en cada una de ellas

11) Leonardo tiene un patio rectangular como el de la figura; la parte sombreada representa la región donde el quiere sembrar pasto. a) Obtener una fórmula para el área y otra para el

perímetro de la región donde va a sembrar en términos de a

b) Si el kilo de semilla de pasto vale $ p y rinde k metros cuadrados. Calcular la expresión que nos da el costo del pasto para sembrar en términos de a, p y k.

c) Si los valores de a , p y k son 2m, $ 9.000 y 30m2 calcular el valor del pasto para el jardín de Leonardo

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III.- ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS 1) Calcular el volumen de los cuerpos representados en las siguientes figuras 2) Se dispone de una caja de 30 cm. de largo, 18 cm. de ancho y 25 cm. de alto llena de halado, el cual debe ser envasado en envases cónicos cuyo radio es 3 cm. y cuya altura es 14 cm. ¿Para cuántos helados alcanza el contenido de la caja? 3) Un estanque cilíndrico de agua que tiene un radio de 4 metros y una altura de 8 metros, es usado para abastecer a un gran sector de una ciudad; si el estanque es llenado cada dos horas y el consumo promedio por casa es de un metro cúbico ¿A cuántas casas puede abastecer el estanque diariamente? 4) Un tarro cilíndrico contiene tres pequeños balones esféricos tangentes entre sí y tangentes al cilindro por dentro. Si el radio de la esfera es R entonces: a) Encontrar una fórmula para el volumen del cilindro b) Encontrar una fórmula para el área del cilindro c) Encontrar una fórmula para el volumen que queda entre los balones y el tarro d) ¿Cuánto espacio queda desocupado en el interior del tarro si R = 3cm? e) ¿Qué tanto por ciento del volumen del tarro queda desocupado? 5) En el interior de un envase cúbico de arista a se guarda una esfera que es tangente por dentro con el envase. a) Encontrar una fórmula para el área de la esfera b) Encontrar una fórmula para el volumen de la esfera c) Encontrar una fórmula para el espacio que queda sin ocupar entre la esfera y el cubo 6) Un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 24 cm. y cuyo cateto menor mide 7 cm comienza a girar en torno a su cateto mayor a) Encontrar el volumen del cuerpo que se genera b) Encontrar el área del cuerpo que se genera 7) Un rollo de cinta adhesiva tiene un radio mayor R y un radio menor r y un ancho h a) Encontrar una fórmula para el volumen ocupado por la cinta b) Encontrar una fórmula para el área del cuerpo que forma el rollo de cinta c) Si R = 5 cm., r = 3 cm, y h = 5cm ¿Cuál es el volumen ocupado por la cinta? d) Si se sabe que el grosor de la cinta es 0,1 mm usando los datos de la parte c ¿Cuántas vueltas

de la cinta desde su inicio hasta si fin?

2,3m

3,5m

1,8m

R = 45 cm

R

1,8 m

25

8) Un tetraedro regular es una pirámide en que todas sus caras están formadas por triángulos equiláteros. Si la arista del tetraedro es a encontrar: a) La fórmula para la altura de una de las caras del tetraedro b) La fórmula para el área total del tetraedro c) La fórmula para la altura h del tetraedro d) La fórmula para el volumen del tetraedro e) Si la arista a de un tetraedro regular es 12 cm. Encontrar el área total y el volumen de él. f) Encontrar la medida del ángulo del tetraedro 9) Una pirámide de base cuadrada tiene una altura igual al lado de la base, si el valor del lado es a encontrar a) La fórmula para la altura de una de las caras triangulares de la pirámide b) La fórmula para el área total de la pirámide c) La fórmula para el volumen del tetraedro d) Si a = 8 cm. Calcular el área y el volumen de la pirámide. 10) En un cilindro el radio aumenta al doble y la altura disminuye a la mitad generándose un nuevo cilindro ¿Cómo varían el área y el volumen del nuevo cilindro en relación a los mismos elementos del primer cilindro? 11) En un prisma hexagonal la base es un hexágono regular de lado a y la altura es el triple de dicho lado encontrar a) La fórmula para calcular el área basal del prisma b) La fórmula para calcular el área total del prisma c) La fórmula para calcular el volumen del prisma d) Si a = 2m calcular el área total y el volumen del prisma 12) Un lápiz grafito esta formado por la unión de un cilindro y un cono calcular su volumen en centímetros cúbicos si el radio de ambos es 3 mm., el largo de la parte recta del lápiz es 18 cm. y la generatriz correspondiente a la parte cónica es 5 mm. 13) Una copa semiesférica tiene radio r; si el radio disminuye a la tercera parte ¿Cómo varía el volumen de la copa? 14) En una caja de vino vienen 4 botellas de 700 centímetros cúbicos cada una. Para una ceremonia se requiere servir 200 copas semiesféricas de 4 cm de radio pudiendo ser llenadas sólo hasta el 80% de su capacidad para evitar el rebalse ¿Cuántas cajas de vino es necesario comprar? 15) ¿Cuánto debe aumentar la arista de un cubo para que éste duplique su volumen? 16) La diagonal de un cubo mide 8 cm. Encontrar su área total y su volumen 17) ¿Cuánto debe aumentar la arista de un cubo para que su área se duplique?

26

IV.- ÁREA Y VOLUMEN DE CUERPOS EN ROTACIÓN 1.- La figura está formada por un cuadrado de lado 4 cm y su semi circunferencia inscrita.

1- ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al girar la figura sombreada en torno al lado del cuadrado?

2- Un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 10 cm se hace girar en torno al lado mayor. ¿Cuál es

el volumen del cuerpo generado? 3- En el rectángulo de la figura está inscrita una semicircunferencia. Si el largo del rectángulo

mide 12 cm, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar indefinidamente la figura sombreada en torno al lado AB?

Determinar el área de la figura rayada

4- El ABC equilátero de de la figura tiene una altura que mide 33 cm.

¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar el triángulo

en torno a su altura CD?

5- Si un cuadrado se traslada en una dirección perpendicular al plano que lo contiene, ,¿ Qué

cuerpo se genera?.

27

6- Si un rectángulo se rota en torno de uno de sus lados,¿ Qué cuerpo se genera?.

7- Si un círculo se traslada en dirección perpendicular al plano que lo contiene, ,¿ Qué cuerpo se

genera?.

8- Si un triángulo rectángulo se rota en torno a uno de sus catetos, se forma un cono recto

circular.

9- Un cuadrado de lado 3 metros, se traslada 3 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un

plano perpendicular a él, como se muestra en la figura 12. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado?

A) 6 m

3

B) 9 m3

C) 12 m3

D) 27 m3

E) 36 m3

10- Un rectángulo cuyas medidas de los lados son 4 cm y 6 cm respectivamente, gira en torno a

su lado menor El volumen del cuerpo generado es: A) 4π cm

3 B) 12π cm

3 C) 36π cm

3 D) 144π cm

3 E) 240π cm

3

28

11- ¿Cuál es el volumen del cuerpo que se genera al hacer girar la figura en torno a la recta L?

A) 10 cm3 B) 11 cm

3 C) 12 cm

3 D) 16 cm

3 E) 17 cm

3

12- La figura, está formada por el triángulo ADC, rectángulo en D y un cuarto de círculo de centro D. Si la figura se hace girar indefinidamente en torno al segmento AB, entonces el cuerpo que se genera está formado por:

A) un cono y una esfera. B) un cono y una media esfera. C) una pirámide y una media esfera. D) una pirámide y un cuarto de esfera. E) un cono y un cuarto de esfera.