Cuaderno de 2º ESO · Para imprimir unos folletos publicitarios, ... Extraer una carta de una...

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TRABAJO DE VERANO DE MATEMÁTICAS 2º E.S.O. CURSO 17-18

Este cuaderno debe entregarse el día del examen de octubre al profesor de la asignatura. El objetivo

es que al hacer estos ejercicios, le sirvan al alumno/a de repaso, sin embargo, para superar con éxito

la asignatura pendiente en octubre, además de hacer estos ejercicios debería estudiarse la materia a

través de los múltiples ejercicios que vienen en el libro y en el cuaderno que se ha utilizado durante

todo el año en matemáticas para superar el examen.

Esperamos que además de trabajar podáis disfrutar y descansar ya que en verano hay tiempo para

todo. Feliz verano y buen estudio.

Deseamos que podáis compatibilizar el descanso y disfrute del verano con el estudio necesario.

1 de julio de 2018 Departamento de Matemáticas

Seminario de Matemáticas 2º E.S.O. 2015 - 2016 2

Cuaderno de matemáticas de verano

2ºESO


PROPORCIONALIDAD DIRECTA, INVERSA, COMPUESTA

Y REPARTOS. 1.- Escribe D en los pares de magnitudes directamente proporcionales, I en las inversamente proporcionales y X en las que no sean ni una cosa ni otra.

. El número de personas que van en el autobús y la recaudación del autobús

. El número de páginas de un libro y su precio

. El número de vacas que posee un granjero y la cantidad de pienso que gasta a la semana

. El número de páginas de un libro y el peso que tiene

. El número de hijos de una familia y el número de días que tiene de vacaciones el padre

. El tamaño de una caja y el número de cajas iguales que se pueden almacenar en una nave

. El tiempo que tenemos colocado un cántaro en la fuente y la cantidad de agua que recogemos

. El caudal (litros/minuto) que arroja un manantial y el tiempo que tarda en llenar 20 litros

. El tiempo que está encendida una bombilla y el gasto de energía

. La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en cubrir la distancia entre dos ciudades

. El precio de un coche y el número de asientos que lleva

. El número de horas trabajadas y el salario percibido

. El número de operarios y el tiempo empleado en hacer determinado trabajo

2.- Completa la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es directa

A 4 2 7

B 20 60 100

¿Cuánto corresponde a 1? ................... 3.- Completa la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es inversa

A 4 2 16

B 20 16 100

¿Cuánto corresponde a 1? .................... 4.- Indica al lado si la tabla es de proporcionalidad directa o inversa

A 6 2 8 12 16

B 8 24 6 4 3 ...............................................

¿Por qué? .............................................................................................................................................

A 2 6 3 5 10

B 24 72 36 60 120 ...............................................

¿Por qué? ..............................................................................................................................................

5.- Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 € ¿Cuánto cobrará por 8 horas? 6.- Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros? 7.- Trescientos gramos de queso cuestan 6€ ¿Cuánto podré comprar con 4,5€?


8.- Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h? 10.- Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media? 13.- Un camión que carga 3 toneladas necesita 15 viajes para transportar cierta cantidad de arena. ¿Cuántos viajes necesitará para hacer transportar la misma arena un camión que carga 5 toneladas? 14.- Un padre le da la paga a sus tres hijas de forma que a cada una le corresponde una cantidad proporcional a su edad. A la mayor, que tiene 20 años, le da 50 euros. ¿Cuánto dará a las otras dos hijas de 15 y 8 años de edad? 15.- Un ganadero tiene 20 vacas y pienso para alimentarlas durante 30 días. ¿Cuánto tiempo le durará el pienso si se mueren 5 vacas? 16.- En un campamento de 25 niños hay provisiones para 30 días. ¿Para cuántos días habrá comida si se incorporan 5 niños a la acampada? 17. Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de 8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno? 18. Se asocian tres individuos aportando 5000, 7500 y 9000 €. Al cabo de un año han ganado 6 450 €. ¿Qué cantidad corresponde a cada uno si hacen un reparto directamente proporcional a los capitales aportados? 19. Se reparte una cantidad de dinero, entre tres personas, directamente proporcional a 3, 5 y 7. Sabiendo que a la segunda le corresponde 735 €. Hallar lo que le corresponde a la primera y tercera. 20. Se reparte dinero en proporción a 5, 10 y 13; al menor le corresponden 2500 €. ¿Cuánto corresponde a los otros dos? 21. Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto aporta cada uno? 22. Repartir 420 €, entre tres niños en partes inversamente proporcionales a sus edades, que son 3, 5 y 6. 23. En una cadena de producción, 3 personas trabajando 4 horas diarias, fabrican 240 piezas.

¿Cuántas piezas fabricarán 9 personas trabajando 5 horas diarias? 24. Para imprimir unos folletos publicitarios, 12 impresoras han funcionado 6 horas al día y han

tardado 7 días. ¿Cuántos días tardarán 3 impresoras funcionando 8 horas diarias? .


PROBABILIDAD.

1. En una urna hay 15 bolas numeradas de 2 al 16. Extraemos una bola al azar y observamos el número que tiene.

a. Describe los sucesos escribiendo todos sus elementos: i. A="Obtener par" B = "Obtener impar" ii. C="Obtener primo" D = "Obtener impar menor que 9"

b. ¿Qué relación hay entre A y B? ¿Y entre C y D? c. ¿Cuál es el suceso A U B? ¿y C D?

2. ¿Cuál es el espacio muestral asociado a cada uno de estos experimentos aleatorios?

a. Lanzar una moneda al aire y anotar el resultado.

b. Extraer una carta de una baraja española y anotar el resultado.

c. Preguntar en una encuesta si es Hombre (H) o Mujer (M) y si se es Trabajador (T) o

Parado (P) y anotar los resultados.

3. En el experimento “lanzar un dado al aire”, define los siguientes sucesos, señalando si alguno

de ellos es seguro o imposible:

a. Obtener un resultado par.

b. Obtener un múltiplo de 7.

c. Obtener un divisor de 6.

d. Obtener un número menor o igual que 6.

4. Andrés tiene una caja llena de tornillos. Unos son correctos (C) y otros defectuosos (D).

Pretende hacer la siguiente experiencia: “extraer tres tornillos de la caja, sin devolverlos a

ella, y observar cómo son.

¿Qué posibles resultados puede obtener para cada uno de los sucesos A y B? A: “El último tornillo es defectuoso”.

B: “Al menos dos tornillos son correctos”.

5. Se hace girar una ruleta numerada del 0 al 36. Define los sucesos:

P: “Obtener una potencia entera de 2 o de 3”.

Q: “Obtener un múltiplo de 2 o de 5”.

M: “Obtener un múltiplo de 7 o de 11”.

R: “Obtener un número mayor que 10 y menor que 15”.

6. Una persona dispone de 3 tiros para hacer blanco en una diana. En cada tiro puede acertar

(A) o fallar (F). Define los sucesos contrarios a cada uno de los siguientes:

A: “Hacer blanco en el primero o en el segundo intento”.

B: “ Fallar en los dos primeros intentos”.


7. En la siguiente experiencia “extraer una carta de una baraja española”, determina si los

siguientes pares de sucesos son compatibles o incompatibles:

a) b) c)

8. Escribe, utilizando un diagrama de árbol, el espacio muestral asociado al experimento “anotar

el sexo de los tres primeros hijos de una familia numerosa.

9. En una urna hay 2 bolas negras, 4 rojas y 3 verdes. Se sacan, simultáneamente dos bolas.

¿Cuál es el espacio muestral asociado a esta experiencia?. Calcula la probabilidad de

a. sacar cada uno de los colores

b. no sacar roja

c. no sacar ni negra ni verde

d. sacar o negra o verde

10. Se extrae una carta de un conjunto de doce figuras (reyes, caballos y sotas) de la baraja

española. Nos dan los sucesos A: Sacar oros, B: Sacar una sota o espadas. ¿Cuáles son los

sucesos siguientes?

A B= A B =

11. Clara tiene que realizar un examen sobre 12 temas, pero sólo ha estudiado 10. El examen

consta de 3 temas. ¿Qué probabilidad tiene de contestar bien a los tres temas?

12. En una baraja de 40 cartas se extrae una al azar.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que sea espadas?

b. ¿Y de qué sea figura?

c. ¿Y de qué no sea figura?

13. Se lanza una moneda hasta que salga cara. Halla la probabilidad de que esto suceda en el

primer lanzamiento, en el segundo, en el tercero.

Sacar oros. Sacar un as

Sacar una figura Sacar espadas

Sacar un rey Sacar un nº menor que 3.


TEOREMA DE PITÁGORAS Tenemos un triángulo de lados a, b y c, ordenados de mayor a menor. Sobre cada uno de los lados del triángulo construimos un cuadrado. Las áreas de estos cuadrados serán a2, b2 y c2. Observa estas tres situaciones. El número que aparece en el interior de cada cuadrado es su área

Triángulo obtusángulo: 37 > 16 + 9, es decir

𝑎2

> 𝑏2

+ 𝑐2

Triángulo rectángulo: 25 = 16 + 9, es decir

𝑎2

= 𝑏2

+ 𝑐2

Triángulo acutángulo: 24’75 < 16 + 13’94, es decir

𝑎2

< 𝑏2

+ 𝑐2

Un triángulo es rectángulo si y solo si el cuadrado de su lado mayor es igual a la suma de los cuadrados de los lados menores. En un triángulo rectángulo el lado mayor, a, situado siempre frente al ángulo recto, se llama hipotenusa. Los dos lados menores b y c, que forman siempre el ángulo recto, se llaman catetos. El Teorema de Pitágoras dice:

“En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”

𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂𝟐 = 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝟏𝟐 + 𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐𝟐

𝟐

8

P2 CÁLCULO DEL LADO DESCONOCIDO DE UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

Ejemplo 1: Calcula la hipotenusa de este triángulo rectángulo

Según el teorema de Pitágoras:

𝑎2

= 𝑏2

+ 𝑐2

𝑎2

= 32

+ 42

𝑎2

= 9 + 16

𝑎2

= 25

√𝑎2 = √25 𝒂 = 5

Ejemplo 2: Calcula el cateto desconocido de este triángulo rectángulo

Según el teorema de Pitágoras:

𝑎

2= 𝑏

2+ 𝑐

2 13

2= 5

2+ 𝑐

2 13

2− 5

2= 𝑐

2

𝟏𝟔𝟗 − 𝟐𝟓= 𝑐

2 𝟏𝟒𝟒 = 𝑐

2

√144 = √𝑐2 𝒄 = 12

Como ves, utilizar el teorema de Pitágoras nos lleva a calcular raíces cuadradas. Las efectuaremos de dos maneras distintas: Por el método de tanteo y por el método de factorización.

Método de tanteo:

Consiste en probar con los cuadrados de diversos números, hasta dar con el

radicando

Ejemplo 1: √1296=?

302 = 900, como 900 < 1296, la solución es

>30

402 = 1600, como 1600 > 1296, la sol. es <40

Probamos con 35: 352 = 1225. No llega.

Finalmente 362 = 1296, y por tanto √1296 =

36

Ejemplo 2: √175=?

102 = 100, como 100 < 175, la solución es

>10

202 = 400, como 400 > 175, la sol. es <20

Probamos con 13: 132 = 169. No llega.

Probamos con 14: 142 = 196. Se pasa.

En este caso la raíz no es exacta, pero

podemos dar un resultado aproximado:

√175 es un número entre 13 y 14,

Método de factorización:

Consiste en descomponer un número en el producto de varios cuadrados, y efectuar la

raíz de cada cuadrado.

Ejemplo 1: √36 36 = 22.32

√36 = √22. 32 = √22. √32 = 2.3 = 6

Ejemplo 2: √2025 2025 = 34.52 = 32.32.52

√2025 = √32. 32. 52 = √32. √32. √52 = 32. 5 = 45

Ejemplo 3: √175 175 = 52.7

√175 = √52. 7 = √52. √7 = 5√7

Como 7 no es un cuadrado, la raíz no es

exacta. Se deja √7 sin efectuar, y decimos

que el resultado de la operación √175 es el

número radical 𝟓√7.

Nota que (5√7)2

= 52

. √72

= 25.7 = 175.

Seminario de Matemáticas – 2º ESO 2017 - 2018 9

informalmente decimos √175 = 13’algo.

Ejemplo 3: √7=?

22 = 4. No llega. 32=9. Se pasa.

2’52 = 6’25. No llega. 2’62= 6’76. No llega.

2’72= 7’29. Se pasa. √7=2’6…(algo)

P3 RECONOCIMIENTO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS EN OTRAS FIGURAS.

Ejemplo 1:

Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 4

La altura pedida es el cateto del triángulo rectángulo extraído.

Según el Teorema de Pitágoras:

42

= ℎ2

+ 22

42

− 22

= ℎ2

16 − 4 = ℎ2

12 = ℎ2

√ℎ2 = √12

𝒉 = √12

Aproximación:

32 = 9. No llega. 42 = 16. Se pasa.

𝒉 = 3′𝑎𝑙𝑔𝑜

Número radical:

√12 = √22. 3

√12 = √22 . √3

𝒉 = 2√3


Ejemplo 2:

Calcula el radio de este cono, sabiendo que su altura y su generatriz miden

respectivamente 𝒉 = 𝟐√5 cm y 𝒈 = 6 cm.

El radio pedido es el cateto del triángulo rectángulo interior.


𝑔2

= ℎ2

+ 𝑟2

62

= (2√5)2

+ 𝑟2

62

− (2√5)2

= 𝑟2

36 − 20 = 𝑟2

𝟏𝟔 = 𝑟2

√𝑟2 = √16

𝒓 = 4

P4 DEDUCCIÓN DE FÓRMULAS UTILIZANDO EL TEOREMA DE PITÁGORAS.

Ejemplo:

Encuentra la fórmula para obtener el lado, L, de un triángulo equilátero, conociendo su altura h.

En el triángulo rectángulo extraído, el lado L es la hipotenusa, la altura es un cateto y el otro cateto mide la mitad de L.



𝐿2 = ℎ2 + (𝐿

2)

2

𝐿2 = ℎ2 +𝐿2

4

4𝐿2 = 4ℎ2 + 𝐿2

4𝐿2 − 𝐿2 = 4ℎ2

𝟑𝐿2 = 4ℎ2

𝐿2 =4ℎ2

3

√𝐿2 = √4ℎ2

3

𝑳 =√4√ℎ2

√3

𝑳 =2ℎ

√3

UNA DEMOSTRACIÓN GRÁFICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Dado un triángulo

rectángulo cualquiera

T

Área total =

4T + b2 + c2

Al desplazar los 4

triángulos el área total no

cambia

Al desplazar los 4

triángulos el área total no

cambia

Área total =

4T + a2

Como el área total no ha cambiado durante el proceso, la última expresión y la primera deben ser iguales:

4T + a2 = 4T + b2 + c2

eliminando 4T de ambos lados se obtiene

a2 = b2 + c2

que es lo que dice el Teorema de Pitágoras


EJERCICIOS PITÁGORAS

1. Un ángulo agudo de un triángulo rectángulo mide la mitad que el otro. ¿Cuánto

mide cada uno? 2. En un triángulo isósceles el ángulo desigual mide 40º. Se traza la altura sobre el

lado desigual. ¿Cuánto miden los ángulos de los triángulos rectángulos que se forman?

3. Un ángulo de un rombo mide 60º. Se trazan las diagonales. ¿Cuánto miden los

ángulos de los triángulos rectángulos que se forman? 4. Calcula los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno mide 20º

menos que el otro. 5. Calcula los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que uno es los 2/3

del otro. 6. Calcula el valor de x en cada caso. Pista para el apartado b): (Pega dos iguales)

7. Dadas las siguientes ternas de números, ¿cuáles pueden usarse para formar un triángulo? ¿Cuáles de los triángulos que se forman son rectángulos? (P1)

a) 1cm, 2cm, 3cm b) 2cm, 3cm, 4cm c) 3 cm, 4cm, 5 cm

d) 25 cm, 45 cm, 80 cm. e) 10cm, 24cm, 26cm f) 9cm, 12cm, 15cm.

8. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8cm. Calcula la Hipotenusa. 9. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 7cm y uno de los catetos 6cm.

Calcula la longitud del otro cateto. 10. Para las siguientes ternas de números, calcula el dato que falta, sabiendo que

siempre siguen el patrón: cateto, cateto, hipotenusa (P2) a) 12 , 16 , X b) X , 12 , 13 c) 7 , 24 , X d) 24 , X , 145

e) X , 55 , 73 f) 28 , 45 , X g) X , 75 , 85 h) 3 , X , 65

i) 4 , 6 , X j) 4 , X , 6 k) X , 7 , 9 l) 4 , X , 10

m) 32 , X , 4 n) 53 , X , 7 ñ) 292 , 295 , X o) 174 , 17 , X

p) 11, X , 19 q) 72 , X , 13


11. Calcula la diagonal del cuadrado cuyo lado mide: (P3 y P4) a) 5 cm b) 9cm c) L.

12. Calcula la diagonal del rectángulo cuyos lados miden: (P3 y P4)

a)3cm y 4cm b) 21cm y 28cm. c) a y b.

13. Calcula la altura del triángulo equilátero cuyo lado mide: (P3 y P4) a) 10cm b) 26cm c) L.

14. Los lados de un triángulo isósceles miden 5cm, 5cm y 6cm. Calcula la altura sobre el lado desigual. (P3)

15. Con los datos de la figura calcula el lado del cuadrado. (P3)

16. Calcula el lado del cuadrado inscrito en un circunferencia de radio: (P3 y P4) a) 8cm b) R

17. Calcula el lado del cuadrado sabiendo que la diagonal mide: (P3 y P4) a) 2cm b) D.

18. Calcula la apotema de un hexágono regular cuyo lado mide: (P3 y P4) a) 6cm b) 10cm c) L.

19. Con los datos de la figura calcula el lado del triángulo equilátero (radio = 10cm):


20. En la figura siguiente te dan unos datos del trapecio rectángulo. Calcula la medida del lado PQ. (P3)

21. En la figura te dan unos datos del trapecio isósceles. Calcula la medida de la altura.

22. Con los datos de la figura (las diagonales valen 16 y 20) calcula la medida de los lados. (P3)

23. Calcula la distancia del centro de la circunferencia al punto P, exterior a ella. (P3) Recuerda que en toda circunferencia el radio y la tangente son perpendiculares.

24. El centro de una circunferencia se encuentra a 25m de un punto, P. El brazo tangente a la circunferencia desde dicho punto mide 24m. Calcula el radio de la circunferencia. (P3)

P


25. Situamos una bombilla a 29m del centro de una circunferencia de radio 20m.

Calcula la longitud del rayo de luz más largo que toca a la circunferencia. (P3). 26. ¿Cuál de las dos parejas de cuadrados (rayados o lisos) tiene mayor área total?

¿Por qué?

27. Para salvar una altura de 12m hay que construir una escalera de tal manera que el primer peldaño debe situarse a 16m de la pared (P3)

a) ¿Cuántos peldaños deberá tener la escalera para que cada uno de ellos

permita avanzar 50 cm sobre el plano inclinado?

b) ¿Cuánto deberá medir de alto cada peldaño si avanza horizontalmente

40cm?

28. Las dimensiones de un vagoneta que va a circular por un túnel son 1,6m de ancho por 1,2m de alto. ¿Cuál es el mínimo radio que debe tener la sección de dicho túnel? (P3)

29. Una circunferencia de 26 cm de diámetro contiene una cuerda de 10 cm de largo.

¿Cuál es la mínima distancia que hay que recorrer desde el centro de la circunferencia hasta la cuerda? (P3)

30. Un triángulo rectángulo de hipotenusa 10cm tiene un cateto de longitud doble que el otro. Calcula sus catetos (P2)

31. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide el triple que uno de sus catetos. Si el

otro cateto mide 22 , calcula los otros dos lados del triángulo (P2)

32. En el terreno rectangular ABCD de la figura se ha elegido un punto P situado en el lado AB, siendo la distancia PB = 4m. Se pide: (P1,P2)

a) Calcular PD b) Calcular PC c) ¿Es rectángulo el triángulo PCD?


33. En la figura siguiente el lado del cuadrado ABDC es de 9cm. Además EC = 3cm, calcula: (P2,P3)

a) Longitud EB b) Área del trapecio ABDE c) Área del triángulo ABE

34. Halla la mayor distancia que la mosca Rigoberta puede recorrer volando en línea

recta dentro de una caja de dimensiones 10cm x 6cm x 8cm. (P3) 35. Verdadero o falso:

a) Dos triángulos rectángulos con la hipotenusa y un ángulo agudo respectivamente iguales, son iguales.

b) Dos triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo iguales, son iguales.

c) El triángulo de abajo la izquierda es equilátero d) El triángulo ABC, abajo a la derecha, es isósceles

36. ¿Conseguirá ponerlo de pie? (grosor del armario 45cm) (P3)

37. Obtener el perímetro del pentágono de la figura (P2)

17

SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES

S1 SEMEJANZA DE FIGURAS. RAZÓN DE SEMEJANZA O ESCALA.

Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque quizá distinto tamaño. La razón de semejanza entre dos figuras semejantes, F y F’, es el número de veces que hay que ampliar o reducir la figura F para obtener la figura F’. La razón de semejanza recibe también el nombre de escala.

Ampliación Reducción

Razón de semejanza r > 1 Razón de semejanza r<1

De los puntos, segmentos, regiones, etc., de F y de sus correspondientes en F’ se dice que son homólogos.

Para hallar la razón de semejanza entre F y F’ basta dividir la longitud de cualquier segmento de F’ entre la longitud de su segmento homólogo en F

Razón entre F y F’: 𝑟 =𝑎′

𝑎

La razón se semejanza entre F’ y F es siempre la inversa de las razón de semejanza entre F y F’

Razón entre F’ y F: �̅� =𝑎

𝑎′ =1

𝑟

2

1/2

r

r’


Lenguaje cotidiano Razón de semejanza r

decimal fracción porcentaje

Ampliar al doble 2 2 200%

Reducir a la mitad 0’5 1

2 50%

Reducir a la cuarta parte 0’25 1

4 25%

Ampliar 8 veces 8 8 800%

Reducir 10 veces 0,1 1

10 10%

Ampliar una vez y media 1’5 𝟏 +1

2=

3

2 150%

Ampliar el (en un) 25% 1’25 5

4 125%

Ampliar al 300% 3 3 300%

Ampliar al 25% sin

sentido sin

sentido sin

sentido

Reducir el (en un) 30% 0’7 7

10 70%

Reducir al 30% 0’3 3

10 30%

Reducir un 150% sin

sentido sin

sentido sin

sentido

Para las “maquetas” y para los mapas, suele utilizarse la palabra “escala” en lugar de “razón de semejanza”. Además se indica por lo general la razón o escala de reducción (r < 1). Ejemplo: Este es un mapa a escala r = 1 : 50 000, es decir,

𝑟 =1

50000= 0,00002 es la razón de reducción y r’ = 50 000 es la de ampliación.

En el mapa, la distancia entre los picos Cabeza de Hierro Mayor y La Najarra, medida a través de la Cuerda Larga, es de 22 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellos? Si d = distancia en el mapa y d’ = distancia real entonces

𝑑’ = 𝑑. 𝑟’ = 22𝑐𝑚 𝑥 50.000 = 1.100.000𝑐𝑚 = 1.100.000𝑐𝑚 (1𝑘𝑚

100.000𝑐𝑚) = 11𝑘𝑚

TERRENO

REAL

50 000

0’00002


S2 TEOREMA DE TALES

La razón entre dos números x y x’ es el cociente 𝑟 = 𝑥’

𝑥 .

Ejemplos: La razón entre 2 y 8 es 4. La razón entre 2 y 3 es 1’5.

Se dice que dos parejas de números son proporcionales si la razón entre los números de la primera pareja es igual a la razón entre los números de la segunda. Ejemplo:

2, 8, 10 y 40 son proporcionales porque 8

2= 4 𝑦

40

10= 4 , es decir,

8

2=

40

10.

Esta igualdad puede comprobarse sin calcular las razones correspondientes, multiplicando los términos “en cruz”: 8 .10 = 40 . 2.

El Filósofo y Matemático griego, Tales de Mileto, enunció y demostró en el siglo VI a.C. la siguiente propiedad geométrica, que se conoce como el “Teorema de Tales”.

“Si dos rectas secantes, s1 y s2, son cortadas por una familia de rectas, p1, p2, p3…, entonces:

Los segmentos a, b, c…, interceptados en s1 por dicha familia, y sus segmentos homólogos en s2, a’, b’ y c’, son proporcionales si y solo si las rectas p1, p2, p3… son

paralelas.”

En símbolos:

𝑎′

𝑎=

𝑏′

𝑏=

𝑐′

𝑐= ⋯ ↔ 𝑝

1|| 𝑝

2 || 𝑝

3…

Si p1, p2, p3… son paralelas hay una razón común, r, entre los

segmentos de s1 y s2.

Ejemplo 1: Sabemos que las rectas p1 y p2 son paralelas. ¿Cuánto mide el segmento b’?

Según el teorema de Tales:

3

2=

6

𝑏′ por lo tanto

𝑏′

=6.2

3= 4


Ejemplo 2: ¿Son paralelas las rectas r y t de la figura?

Según el teorema de Tales,

NO pueden serlo, pues

2´6

2´4≠

4´1

3´7 ya que

𝟐´𝟔 . 𝟑´𝟕 ≠ 𝟒´𝟏 . 𝟐´𝟒

𝟗´𝟔𝟐 ≠ 𝟗´𝟖𝟒

Si sumamos dos segmentos de s1 obtenemos un nuevo segmento z = a + b. Resulta que este, y su segmento homólogo z’= a’ + b’, son proporcionales a los originales.

𝑧′

𝑧=

𝑎′

𝑎=

𝑏′

𝑏 ,es decir,

𝑎′+𝑏′

𝑎+𝑏=

𝑎′

𝑎=

𝑏′

𝑏

Lo mismo pasa si restamos dos segmentos 𝑎′−𝑏′

𝑎−𝑏=

𝑎′

𝑎=

𝑏′

𝑏

Nota que:

𝑧′

𝑧=

9

6= 1’5

Exactamente igual que:

𝑎′

𝑎=

3

2= 1’5 =

6

4=

𝑏′

𝑏

Demostramos que es cierto en general con lenguaje algebraico: 𝑎′

𝑎= 𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎′ = 𝑟. 𝑎 y también

𝑏′

𝑏= 𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑏′ = 𝑟. 𝑏

Entonces: 𝑧′

𝑧=

𝑎′+𝑏′

𝑎+𝑏=

𝑟𝑎+𝑟𝑏

𝑎+𝑏=

𝑟(𝑎+𝑏)

𝑎+𝑏= 𝑟. Así que

𝑧′

𝑧=

𝑎′

𝑎=

𝑏′

𝑏 porque todas son iguales

a r.


S3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Se dice que dos triángulos T1 y T2 están “en posición de Tales” si T1 está dentro de T2, de forma que:

a) Comparten uno de sus ángulos b) El lado de T1 opuesto a ese ángulo y el lado de T2 opuesto a ese ángulo son

paralelos

Triángulos en posición de Tales ¡OJO!: No están en posición de Tales

Si tenemos dos triángulos T1 y T2 , las siguientes cuatro afirmaciones son equivalentes. Esto significa que si sabemos que una de las cuatro es cierta, entonces las otras tres son ciertas seguro. Y viceversa: si sabemos que una sola de ellas es falsa, entonces las otras tres seguro que son también falsas.

1

T1 y T2 son

semejantes

2

ángulos iguales

A = A'

B = B'

C = C'

3

posición de Tales

4

Lados homólogos proporcionales

a'/a=b'/b=c'/c


Paso de 1 a 2:

“Si dos triángulos T1 y T2 son semejantes, entonces sus ángulos homólogos son iguales”

Al ser T1 y T2 semejantes, T2 debe ser una ampliación o una reducción de T1, y al ampliar o reducir un triángulo sus ángulos no cambian.

Paso de 2 a 3:

“Si dos triángulos tienen los ángulos homólogos iguales, entonces pueden colocarse en posición de Tales”

Al ser A = A’ , T1 y T2 pueden dibujarse compartiendo ese ángulo, y como B = B’ y C = C’, estamos seguros que a y a’ son paralelos.

Nota: Los triángulos con ángulos iguales pueden colocarse en posición de Tales de 3 formas diferentes, encajando el triángulo menor en cada uno de los ángulos correspondientes del triángulo mayor.

r


Paso de 3 a 4:

“Si dos triángulos están en posición de Tales, entonces sus lados homólogos son proporcionales” Colocamos los triángulos compartiendo el ángulo en A=A’. Los lados b, b’, c y c’ son los segmentos que las dos rectas paralelas a y a’ interceptan en dos rectas secantes.

Por tanto, según el Teorema de Tales, 𝑏’

𝑏=

𝑐’

𝑐

Si colocamos los triángulos en posición de Tales, pero compartiendo el ángulo C, entonces son a, a’, b y b’ los segmentos interceptados en las rectas secantes por las

rectas paralelas c y c’. Según el Teorema de Tales, tenemos 𝑎’

𝑎=

𝑏’

𝑏

Uniendo ambas igualdades obtenemos 𝑎’

𝑎=

𝑏’

𝑏=

𝑐’

𝑐, que quiere justamente decir que los

lados homólogos del triángulo son proporcionales.

Paso de 4 a 1:

“Si los triángulos T1 y T2 tienen sus lados homólogos proporcionales, entonces son semejantes”

Vamos a llamar r a la razón común entre los lados de T1 y T2 : 𝑟 =𝑎’

𝑎=

𝑏’

𝑏=

𝑐’

𝑐

Si hacemos una ampliación (o reducción) de T1 con esa razón r, obtendremos un triángulo T2’, semejante a T1. Los lados de T2’ miden ra, rb y rc, respectivamente. Dado que ra = a’,rb = b’ y rc = c’, nuestro “nuevo” triángulo T2’ tiene sin embargo los mismos lados que T2. Pero entonces T2 y T2’ tienen que ser iguales, porque dados 3 segmentos a’, b’ y c’ no se pueden construir dos triángulos distintos con esos segmentos (rigidez del triángulo) En conclusión T1 y T2 son semejantes, porque T1 y T2’ lo son y T2=T2’. Ejemplo 1: Calcula los lados que faltan en los triángulos siguientes:

Comprobamos que los ángulos correspondientes son iguales: A=A’, B=B’, C=C’. Por tanto los triángulos son semejantes y sus lados correspondientes deben ser proporcionales. Para calcular los lados c y b’ podemos usar la proporcionalidad de dos formas:


Método 1: Usando la razón de semejanza común a todos los lados.

𝑟 =𝑎′

𝑎=

14

7= 2. Como también

𝑏′

𝑏= 2 → 𝑏′ = 2𝑏 = 2.5 = 10

También 𝑐′

𝑐= 2 →

𝑐

𝑐′ =1

2→ 𝑐 =

1

2. 𝑐′ =

1

2. 7 = 3′5

Método 2: A través de proporciones:

𝑎′

𝑎=

𝑏’

𝑏→

14

7=

𝑏′

5→ 𝑏′ =

14.5

7= 10

𝑎′

𝑎=

𝑐’

𝑐→

14

7=

7

𝑐→ 𝑐 =

7.7

14= 3′5

Ejemplo 2: Los triángulos de la figura “parecen semejantes”. Demuestra que efectivamente lo son.

Calculamos los ángulos que faltan en T2 :

α = 27º por ser opuestos φ = 180º - 48º - 27º = 105º

Por tanto todos los ángulos

de T2 son iguales a sus correspondientes en T1 y en consecuencia los triángulos

son semejantes.

Ejemplo 3: Los triángulos de la figura “parecen semejantes”. Demuestra que NO lo son.

Dividimos los lados que podrían corresponderse:

𝑎

𝑓=

4′3

2′6= 1′6

𝑏

𝑒=

5′4

3′5= 1′5

Dado que los lados homólogos no son proporcionales, los triángulos no son semejantes.


S4 SEMEJANZA DE POLÍGONOS

Observa estas dos figuras:

1) No son semejantes 2) Sus ángulos homólogos

son iguales (son todos rectos).

3) Sus lados homólogos no son proporcionales.

Observa también estas otras figuras

1) No son semejantes 2) Sus lados homólogos son

proporcionales 3) Sus ángulos no son iguales

Estos dos ejemplos indican que la “rueda de condiciones de la semejanza” que vale para los triángulos, NO VALE para los cuadriláteros. En realidad NO VALE para ningún polígono con más de tres lados.

Dos polígonos son semejantes si y solo si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos proporcionales. Es decir, no basta comprobar solo la condición 1 o solo la condición 2, sino que hay que comprobar las dos independientemente, porque podría ser una cierta y la otra falsa, como sucede en los ejemplos anteriores. En este caso no hay semejanza. Esta diferencia entre el triángulo y el resto de los polígonos se debe a que solo el triángulo es “rígido”. Cualquier otro polígono puede “cambiar de ángulos sin cambiar de lados, y viceversa”

Lados hom. proporcionales

ángulos homólogos iguales

POLÍGONOS SEMEJANTES


EJERCICIOS SEMEJANZA 1. ¿Cuáles de las siguientes figuras son semejantes? (S1)

2. Modifica una figura para que sean semejantes. (S1)

3. Utilizando una regla para medir, di cuál es la escala en la siguiente figura. (S1)

4. El siguiente rectángulo hecho a escala 1:2000 representa un terreno en el campo.

Calcula las dimensiones reales del terreno. (S1)

5. La distancia entre Madrid y Barcelona es de 600 km. ¿Cuál es la escala de un mapa

sobre el que estas ciudades salen representadas a 15 cm de distancia?. ¿A qué distancia real están Madrid y Córdoba si sobre dicho mapa aparecen representadas a

10 cm de distancia? (S1)

6. Una fotografía ocupa un rectángulo de 10 x 16 cm. Se ha fotocopiado a escala 150/100. ¿Cuáles son las dimensiones de la fotografía en la fotocopia? (S1)


7. Calcula los lados de los triángulos que se obtienen realizando una fotocopia con

“zoom” al 70% de los triángulos cuyos lados se dan a continuación: (S1)

a) 3 cm, 5 cm, 7 cm b) 6 cm, 8 cm, 12 cm c) 5 cm, 7 cm, 10 cm

8. Dibuja en tu cuaderno un triángulo de lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm. Si se amplía un 20 % en la fotocopiadora, ¿cuáles son los lados del nuevo triángulo? (S1)

9. En una foto aparece un edificio. Al medir su altura con una regla obtenemos un valor

de 8cm. ¿Cuál será la medida en una foto ampliada un 20%? ¿Y si reducimos la foto en un 40%? ¿Y si reducimos la foto al 40%? (S1)

10. Cercedilla está a 60km de Madrid. ¿Qué distancia (en cm) separa el pueblo de la

capital en un mapa de la Comunidad Madrid a escala 1:200.000? (S1) 11. Las dimensiones de un fotograma de una cámara fotográfica son 17 x 13 mm. (S1)

a) Si una ampliación sobre papel mide 34 cm de ancho ¿cuánto mide de largo? b) Un cliente pide ampliaciones de 51 x 26 cm. ¿es posible? (S1)

12. En un mapa a escala 1:25000, el Pico de la Miel y el Pantano de El Atazar están

separados 48 cm. Determina la distancia real entre esos dos lugares. (S1)

13. Observa la figura y contesta:

(S2) a) Sabiendo que r y r ’ son paralelas, calcula x.

b) ¿Es r ’’ paralela a r ’?

14. Los peldaños son paralelos ¿cuánto miden los tramos de las escaleras

marcados con letras? (S2)


15. Entre las 4 rectas que cortan a r y r’ hay tres que son paralelas y una que no es paralela a esas 3. ¿Cuáles son las paralelas? (S2)

16. ¿Son correctos los datos de las siguientes figuras? Fíate de la apariencia de

paralelismo. (S2)

17. Construye un segmento NC consecutivo de BN, de tal manera que al unir A con C,

el segmento AC sea paralelo a MN. (S2)

18. Calcula el perímetro del triángulo ABC sabiendo que PQ es paralela a AC.

19. Medio kilómetro del plano inclinado corresponde a 0,43 km del horizontal. Para

cubrir una distancia de 3,5 km sobre la horizontal, ¿cuántos kilómetros deberá subir un automóvil cuesta arriba? (S2)


20. Calcula OA’ en la figura DE ABAJO A LA IZQUIERDA. ¡Ojo! : OB = 6,3cm (S2)

21. Calcula x en la figura de ARRIBA A LA DERECHA. OA = 9,10cm (S2) 22. Calcula el valor de las variables x e y en la siguiente figura. OC = 10,0 cm. (S2)

23. Comprueba si estos triángulos son semejantes. (S3)

24. Averigua si los siguientes pares de triángulos son semejantes o no. (S3)

25. De las siguientes parejas de triángulos conoces lados o ángulos. Di cuales son

semejantes y cuáles no. (S3)

a) 300, 400, x0 b) 600, 600, 600 300, y0, 1100 7 cm, 7 cm, 7 cm


26. Responde Verdadero o Falso. Razona la respuesta. (S3)

a) Dos triángulos equiláteros son semejantes. b) Dos triángulos isósceles son semejantes. c) Un triángulo T con ángulos de 350 y 1000 es semejante a un triángulo T’ con

ángulos de 1000 y 450. d) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes. e) Un triángulo rectángulo con un ángulo de 500 es semejante a otro triángulo

rectángulo con un ángulo de 400.

27. Puedes colocar estos triángulos en posición de Thales? ¿Son sus lados

proporcionales? (S3

28. Contesta Verdadero o Falso. Razona la respuesta. (S3)

29. Calcula en cada caso las distancias indicadas. (S3)


30. En uno de los dos casos los valores marcados nos permiten calcular el valor de as letras. ¿en cuál? (S3)

31. El diámetro de un pozo cilíndrico es 1,8 m. Una persona humana se va

acercando al pozo y justo a 60 cm del borde consigue ver el agua. ¿A qué profundidad está el agua? (Altura de la persona humana, hasta los ojos, 180 cm? (S3)

32. Se ha quemado un trozo del triángulo ABC de la figura de arriba a la derecha.

Para calcular sus medidas hemos construido sobre él, un triángulo pequeño ARS con las medidas que se indican y el lado RS paralelo a BC. Sabiendo que AB = 30, halla los lados de ABC dañados por el incendio. (S3)

33. ¿Cuánto mide la altura del árbol? (S3)


34. ¿Cuánto mide el travesaño MN de la escalera (arriba a la derecha)? (S3)

35. ¿Cuánto mide la altura del árbol? (S3)

36. ¿Cuánto mide la sombra x que produce el objeto junto a la farola? (S3)

¿

37. ¿Puedes colocar estos triángulos en posición de Thales? ¿Son sus ángulos iguales? (S3)


38. Calcula x (figura de arriba a la derecha) (S3)

39. Calcula PQ (S3)

40. ¿Cuánto mide la altura h que alcanza la escalera? (S3)

41. Calcula las longitudes indicadas con letras: (S3)

a) b)


PERÍMETROS, ÁREAS y VOLÚMENES

Las figuras planas, y las fórmulas para el cálculo de sus perímetros y áreas, debes conocerlas de cursos anteriores. Al final de este cuaderno encontrarás una tabla resumen.

1. Calcula la longitud de la circunferencia y el área del círculo que contiene en cada

uno de los casos: (PAV1)

a) el radio es 5cm b) el radio es 10cm c) el diámetro es 8cm d) el radio es 8cm e) el diámetro es 10cm d) el radio es 2m

2. Calcula el radio y el diámetro de las circunferencias cuyas longitudes son: (PAV1)

a) 50,24cm b) 75,36m c) 62,8km d) 25m e) 200m

3. Calcula las longitudes de los siguientes arcos de circunferencia

4. Dada una circunferencia, de radio 2 m, calcula la longitud de los arcos cuyos

ángulos centrales se indican a continuación. Calcula también el área de los sectores circulares correspondientes (PAV1)

a) 30º b) 135º c) 330º d) 315º e) 180º

5. En una circunferencia de 31, 42 dm de longitud tenemos un arco cuyo ángulo

central abarca 90º ¿cuánto mide dicho arco en cm? (PAV1) 6. Un arco de una circunferencia de 125,6cm mide 15,7cm ¿cuántos grados abarca

dicho arco? (PAV1). ¿qué área tiene el sector circular correspondiente? 7. Un arco de una circunferencia de 5 cm de radio mide 11,79 cm. ¿cúal es el ángulo

central que lo abarca? (PAV1). ¿qué área tiene el sector circular correspondiente? 8. En una circunferencia un arco de 60º mide 14,65cm. ¿Cuál es el radio de la

circunferencia? (PAV1). ¿qué área tiene el sector circular correspondiente? 9. El minutero de un reloj recorre un arco de 25mm cuando pasa de marcar la hora en

punto a marcar 20 min. ¿Cuál es la longitud del minutero?¿Cuál es la longitud de la circunferencia del reloj? (PAV1)

10. En otra circunferencia el arco abarcado por un ángulo central de 135º mide 9,42 m.

Calcula el radio de la circunferencia. ¿Cuánto mediría un arco de 240º en esa misma circunferencia? (PAV1)

11. Halla la longitud de la mayor circunferencia que cabe en una hoja de papel de 22cm

de largo por 16cm de ancho. (PAV1)


12. El radio de la rueda de una bicicleta mide 65 cm. ¿Cuánto ha recorrido la rueda si los radios han girado 40º? ¿Y si la rueda ha dado 2 vueltas completas = 720º? ¿Cuántas vueltas ha dado la rueda si la bici ha avanzado 24,5m? (PAV1)

13. El aro de una canasta de baloncesto tiene una longitud de 1 m 41 cm

aproximadamente. ¿Cuánto mide el diámetro de la canasta? (PAV1) 14. Calcula el perímetro de las figuras (PAV1)

15. La pista de atletismo de un colegio tiene la forma de la figura. Halla la longitud del

borde la pista: (PAV1)

16. Calcula el área y el perímetro del siguiente trapecio isósceles (PAV3)

17. La diagonal de un cuadrado mide 25 m. Calcula su perímetro y su área. (PAV3)

18. Tenemos la mitad de un cuadrado de lado 16m, y tenemos también un cuadrado

entero de lado la mitad (es decir, 8m). ¿Cuál de las dos figuras tiene más área? (PAV3)

19. El área de un rectángulo es 72m2, y su base es el doble de su altura. Halla las

dimensiones y el perímetro del rectángulo. (PAV3) 20. Un rectángulo tiene 10m más de base que de altura y su perímetro es de 80m.

¿Cuál es su área? (PAV3)


21. Calcula el área de un triángulo equilátero de lado 12cm. Indicación: Tendrás que

calcular antes su altura. (PAV3) 22. Calcula la apotema y el área de un hexágono regular de radio 6cm(PAV3) 23. Calcula el área de un pentagono regular del que se han medido el radio y el lado,

obteniéndose: R = 10cm, L≈ 11,76cm. (PAV3) 24. Calcula el área de un octógono regular del que se han medido el lado y la apotema,

obteniéndose: L = 18cm, a ≈ 21,73cm. (PAV3) 25. Un trapecio de área 60dm2 y 5dm de altura tiene una base de 8dm. ¿Cuánto mide la

otra base? (PAV3) 26. Calcula el área de las siguientes figuras descomponiéndolas en paralelogramos:

(PAV3)

27. ¿Cuál es el radio de un círculo que contiene tanta área como un cuadrado de lado

1m?¿Y si el cuadrado tiene una superficie de 6,28 m2? (PAV3) 28. ¿Qué tiene más área, un semicírculo de radio 6m o un círculo de radio 3m? (PAV3) 29. ¿Qué tiene mayor perímetro, un cuadrado de área 16cm2 o un círculo de la misma

área? (PAV3) 30. Razona la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: “Si dos rectángulos

tienen el mismo perímetro, entonces tienen la misma área” (PAV3)


31. Calcula el área y el perímetro de los sectores circulares: (PAV3)

32. Un sector circular de 40º tiene un área de 8,73 cm2. Calcula su radio. (PAV3) 33. ¿Cuántos grados abarca un sector circular de 10m de radio y un área de 65,45 m2?

(PAV3) 34. Calcula el área de la corona circular y de sus fragmentos, sabiendo que el radio

exterior es de 3dm y el interior de 10cm. (PAV3)

35. Una corona circular tiene el radio exterior de longitud doble que el radio interior.

Sabiendo que su área es de 9 cm2 , calcula ambos radios.

36. Una corona circular está limitada por dos circunferencias de forma que la exterior

tiene un radio 2m mayor que el de la interior. Calcula dichos radios sabiendo que la corona contiene tanta área como un círculo de radio 8m. (PAV3)

37. Calcula el valor de las áreas sombreadas. Todos los cuadrados tienen 4 cm de lado:

(PAV3)

38. El área de un segmento corona circular es de 5π cm2, Sabiendo que la

circunferencia interior tiene un radio 12cm y la exterior un radio de 13cm, calcula qué fracción de la corona representa dicho segmento de corona circular(PAV3)

39. Calcula el radio de un círculo sabiendo que este es equivalente a una corona

circular cuyas circunferencias interior y exterior tienen radios de 15cm y 12cm respectivamente. (PAV3)


40. Calcula el área de las figuras sombreadas. (PAV3)

41. Calcula las áreas y perímetros de las siguientes figuras por descomposición en

otras figuras conocidas(PAV3)

a) b) c) (halla la parte blanca)

d) e) f)

39

1. POLIEDROS

Unión de polígonos planos, llamados caras. Cada lado y cada vértice de un polígono se unen con un lado y un vértice de otro polígono, formando respectivamente las aristas y vértices del poliedro.

1.1 POLIEDROS REGULARES

Todas las caras son polígonos regulares iguales

En cada vértice concurren el mismo número de caras,

Las caras forman los mismos ángulos diedros. (es decir, pueden inscribirse en una esfera)

Sólo hay 5 poliedros regulares

Tetraedro: 4 caras triangulares

Cubo o hexaedro: 6 caras cuadradas

Octaedro: 8 caras triangulares

Dodecaedro: 12 caras pentagonales

Icosaedro: 20 caras triangulares

1.2 PRISMAS

Dos caras son paralelas, y se llaman bases

Las otras caras son paralelogramos, y se llaman caras laterales

1.2.1 PRISMAS RECTOS

Prisma cuyas caras laterales son todas rectángulos


1.2.1.1 PRISMAS REGULARES

Prisma recto (tiene caras laterales rectangulares) cuyas bases son polígonos regulares

laterales caras las de árealateral Área

lateral áreabase área.2A

B.h abase.altur areaV

Prisma triangular

Prisma cuadrado

Prisma pentagonal

Prisma hexagonal

1.2.2 PARALELEPÍPEDOS

Prisma cuyas bases son también paralelogramos


1.3 PIRÁMIDES

1 Cara es un polígono con un número cualquiera de lados, y se llama base.

Las caras restantes son triángulos, y se llaman caras laterales.

1.3.1 PIRÁMIDES REGULARES

La base es un polígono regular

Las caras laterales son triángulos isósceles

laterales caras las de árealateral Área

lateral áreabase áreaA

3

B.H

3

abase.altur areaV

Pirámide triangular

Pirámide cuadrada

PirámIde pentagonal

2. CUERPOS REDONDOS

Figura geométrica que se obtiene al hacer rotar una línea, llamada generatriz, en torno a una recta, llamada eje

Esfera: generatriz = circunferencia cuyo diámetro se

encuentra sobre el eje

24A R 3

34 RV

Cilindro: generatriz = segmento paralelo al eje

HRALat .2 B.H abase.altur areaV Cono:

generatriz = segmento secante al eje

RgLatA .. 3

B.HV


CU

ER

PO

S G

EO

MÉ

TR

ICO

S

POLIEDROS

POLIEDROS REGULARES

tetraedro, cubo, octoedro, dodecaedro, icosaedro

PRISMAS

OBLICUOS

RECTOS

PRISMAS REGULARES

base REGULAR:cuadrada, pentagonal...

OTROS

PIRÁMIDES

OBLICUAS

RECTAS

PIRÁMIDES

REGULARES

base REGULAR:cuadrada, pentagonal...

OTRASOTROS

CUERPOS

REDONDOS

ESFERA

CILINDROS

OBLICUOS

RECTOS

CONOS

OBLICUOS

RECTOS

OTROS

PARALELEPÍPEDOS

(prisma de base paralelogramo)

OBLICUOS

RECTOS

(caras laterales rectangulares)

ORTOEDROS

(bases también rectangulares)

OTROS

43

NOMBRES Y CLASIFICACIÓN DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Indica en que se diferencian:

a) Un prisma de un pirámide b) Una pirámide recta de un pirámide oblicua c) Un poliedro regulas de uno semirregular

2. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

a) Una pirámide con 12 aristas tiene siempre la base hexagonal. b) Hay poliedros con tres caras. c) Un prisma con una base de 100 lados tiene 200 vértices. d) Un prisma con una base de 100 lados tiene 300 aristas. e) No existen pirámides con 7 aristas. f) En todo poliedro el número total de ángulos de las caras es el doble que el número de aristas.

3. Decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando tu respuesta:

a) Si duplicamos la arista de un cubo se duplica su volumen. b) Si dos prismas triangulares tienen el mismo volumen y la misma altura sus bases tienen que

ser exactamente iguales. c) En un cubo de 12cm de arista se pueden colocar 27 cubitos de 4cm de arista. d) Si duplicamos la altura de un cilindro se duplica su volumen.

UNIDADES 4. Completa estas equivalencias:

1l=……cm3 1kl=………..hm3 1hm3=……….l

1cl=………cm3 1dam3……..l 1ml=………cm3

5. ¿Cuántas botellas de tres cuartos de litro se pueden llenar de un depósito que contiene 2,7 m3 de aceite? 6. Transforma:

5m3 en l 1500 cm3 en l 2hm3 en l

20cl en cm3 8dm3 en ml 250 cm3 en l

0,4 hm3 en l 20cl en cm3 0,45 l en cm3

250 000 000 l en hm3 80 000 l en m3 2500ml en cm3


SÓLIDOS PLATÓNICOS (POLIEDROS REGULARES) 7. Halla el área total de todas las caras de un icosaedro regulas de 4 cm de arista

8. Calcula el área total de un tetraedro, de un octoedro y de un icosaedro de arista 10cm.

9. Calcula el área que suman en total todas las caras de un dodecaedro regular de 5 cm de arista y en el que la apotema de las caras mide 3,4 cm.

CUBOS Y ORTOEDROS 10. Las dimensiones de las caras laterales de un ortoedro son 8 cm y 4 cm ¿Cuáles son las dimensiones de

las bases? ¿Hay más de una solución?

11. Averigua si una varilla fina de 12 cm cabe en una caja ortoédrica de 10 cm de largo, 8 cm de ancho y 6 cm de alto.

12. La arista de un cubo mide 4 cm. ¿Cuál es la medida de la diagonal de sus caras y de la del cubo?

13. Calcula la altura mínima que debe tener un ortoedro cuya base es un

rectángulo de 12 por 16 cm si se quiere que en su interior quepa una varilla de 29 cm de diagonal

14. Calcula el área total y el volumen de un ortoedro de aristas 4, 7 y 24 cm. Expresa los resultados en metros cuadrados y en metros cúbicos, respectivamente(PAV5)

15. Una piscina debe ser embaldosada. Sus dimensiones son: 2m de profundidad, 1.8Dam de longitud y 120dm de ancho. ¿Cuántas baldosas de 1 metro cuadrado de superficie deben utilizarse? Si tuviéramos baldosas de dimensiones 20cmx20cm, ¿Cuántas necesitaríamos?

16. ¿Cuántos peces, pequeños o medianos, se pueden introducir en un acuario cuyas medidas interiores son 88 x 65 x 70 cm? (Se recomienda introducir, a lo sumo, un pez mediano o pequeño cada cuatro litros de agua)

17. Durante una tormenta se registraron unas precipitaciones de 80 litros por metro cuadrado. ¿Qué altura alcanzaría el agua en un recipiente cúbico de 10 cm de


PRISMAS 18. Las bases de un prisma recto son triángulos rectángulos cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm,

respectivamente. Si el prisma tiene una altura de 8 cm, ¿cuáles son las dimensiones de sus caras laterales? Calcula su área total y su volumen.

19. Halla las áreas lateral y total de un prisma regular hexagonal de 10 cm de altura en el que el lado de la base mide 4 cm. Aproxima a milímetros la medida de la apotema de la base.

20. El área lateral de un prisma regular octogonal recto es 336 m2. Sabiendo que su altura mide 12 m, halla su arista de la base.

21. Un estanque tiene forma de prisma hexagonal regular recto. Su arista básica mide 3 m y su arista lateral mide 4 m. Está lleno de agua y se quiere vaciar mediante un grifo que arroja 100 litros por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en vaciarse?

22. Las bases de un prisma recto de 8 cm de altura son rombos cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm, respectivamente. Calcula el área de cada una de sus caras laterales y el volumen del prisma

23. Calcula el área total y el volumen de un prisma pentagonal regular cuya altura es de 20m, la base tiene como radio 510cm y lado 60dm. (PAV5)

PIRÁMIDES 24. Indica razonadamente cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:

a) La base de todas las pirámides rectas es un polígono regular

b) Todas las caras de una pirámide regular tienen que ser triángulos equiláteros

c) Cualquier cara de una pirámide triangular puede ser considerada base de la pirámide

d) La apotema de una pirámide regular es el segmento que une la cúspide de la pirámide con el punto medio de la base cualquiera de sus caras

25. ¿Qué altura tiene una pirámide regular hexagonal de 8 cm de arista lateral, si el radio de la base mide 3 cm?


26. Establece la altura de una pirámide regular de base cuadrada, sabiendo que la diagonal de su base mide 30 cm, y la arista cuspidal, 3'9 m

27. Calcula el elemento desconocido en estas pirámides. Las medidas están dadas en centímetros.

28. Calcula el elemento desconocido en estas pirámides. Las medidas están dadas en centímetros.

29. Volumen de Una pirámide cuadrangular regular en la que la apotema mide 5 cm, y la arista básica, 6 cm

30. Volumen de Una pirámide regular que tiene una base cuadrada de 52 cm de altura y en la que el lado de la base mide 195mm

31. Averigua el área lateral de una pirámide triangular regular, cada una de cuyas aristas laterales mide 13 cm y cuya base es un triángulo equilátero de 10 cm de lado

32. La gran pirámide de Keops es recta, y su base, cuadrada. Tiene una altura de 161 my el lado de su base mide 230 m. Calcula el área lateral

33. Calcula el área lateral y total de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.

34. Halla el área total y el volumen de una pirámide hexagonal regular que tiene una arista básica de 10 cm y la altura de cuyas caras laterales mide 13 cm. Aproxima a los milímetros la medida de la apotema de la base

35. Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 5m tiene 40dm de altura. Halla la altura de cada cara lateral (también llamada apotema de la pirámide). A continuación halla el área total y el volumen de esta pirámide.

CILINDROS 36. En una fábrica de conservas se envasa el tomate frito en botes cilíndricos de 11 cm

de altura y 3,7 cm de radio. ¿Qué superficie tiene que tener una etiqueta que recubra toda la superficie lateral del bote?

37. Volumen de Un cilindro recto de 4 cm de altura, en el que la longitud de la circunferencia que delimita su base mide 6 pi cm


38. Se ha contratado a una empresa para que limpie las 24 columnas cilíndricas que flanquean la entrada de un edificio. Si cada columna tiene una altura de 12 m y el radio de la base mide 1,5 m. ¿Cuántos metros cuadrados hay que limpiar?

39. Halla el área lateral y total de estos cuerpos. Las medidas están dadas en centímetros

40. En un vaso cilíndrico de 5 cm de diámetro, el nivel de agua alcanza una altura de 8 cm. Si se vacía su contenido en un vaso de 4 cm de diámetro, ¿qué altura alcanza el agua?

41. Un cilindro es generado por el rectángulo de base 4cm y altura 14cm, que gira sobre uno de sus lados verticales. Calcula el área total del cilindro y su volumen. ¿Qué cambiaría si el cilindro fuese generado por rotación alrededor del eje vertical de simetría del rectángulo?

42. Calcula el volumen de un cilindro de radio 6m y área total A = 327,52cm2.

CONOS 43. Volumen de Un cono recto que mide 2m de altura y 300 m de diámetro

44. Si el radio de un cono recto mide 120mm y su altura, 35 cm. ¿Cuánto mide su generatriz?

45. Volumen de Un cono recto de 3,6 cm de radio y 39 mm de generatriz

46. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 65mm, y uno de sus catetos, 52 mm. Calcula el volumen del cono generado al girar el triángulo alrededor del otro cateto

47. Calcula el área lateral y total de los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros.

48. ¿Cuántas copas se pueden llenar con 6 litros de refresco, si el recipiente cónico de cada copa tiene una altura interior de 6,5 cm y un radio interior de 3,6 cm?

49. Un cono es generado por un triángulo rectángulo de catetos 5 y 12, al girar este sobre su cateto mayor . Calcula el área total del cono y su volumen. (PAV5)


50. Dibuja el cuerpo geométrico engendrado al girar un triángulo rectángulo de catetos 6 y 9 dm alrededor de su cateto mayor. Calcula sus áreas lateral y total.

ESFERA 51. Si una esfera tiene un radio de 10 cm, ¿a qué distancia del centro hay que

cortarla con un plano para determinar en ella una circunferencia de 8 cm de radio?

52. Calcula el área y el volumen de la Tierra, suponiendo que fuera una esfera perfecta de 6370 km de radio. Sabiendo que solo una cuarta parte del planeta es tierra firme y que la superficie de España es de 501.000 km2, ¿cuántos países del tamaño de España cabrían en el planeta?

53. Una esfera de 113,04 m3 de volumen, ¿Qué superficie tiene?

54. Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos

55. Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos

56. Calcula la cantidad de litros de agua que caben en un depósito esférico de 3m de diámetro

57. Una esfera tiene radio 4cm. Halla su área y volumen


58. Una circunferencia, cuya longitud es de 15,70 centímetros, gira alrededor de un diámetro generando una esfera. Calcula el volumen de dicha esfera.

59. Calcula el volumen de una esfera cuya superficie esférica mide 1 256 centímetros cuadrados.

60. Calcula el área y el volumen de este cuerpo

61. Calcula el área y el volumen de este cuerpo

62. La nave de un almacén tiene la forma indicada en la figura. Determina el volumen de la nave.

FRACCIONES Y POTENCIAS

Concepto de fracción

50

Una fracción es una expresión formada por el cociente de dos números enteros, 𝑎

𝑏.

El número b recibe el nombre de denominador de la fracción, e indica las partes iguales en las que se divide una cantidad cualquiera (el total) El número a recibe el nombre de numerador, e indica el número de partes de la cantidad total que se toman.

La fracción 2

5 indica que la unidad se ha dividido en 5 partes iguales,

y que se han tomado 2 de esas partes.

Equivalencia de Fracciones

Dos fracciones son equivalentes si representan la misma parte del total

Una fracción se transforma en otra equivalente multiplicando (ampliación) o dividiendo (simplificación) su numerador y su denominador por un mismo nº entero.

En el ejemplo, la fracción 3

4 se ha “ampliado” a la fracción

equivalente 6

8, multiplicando numerador y denominador por

2.

Criterios de equivalencia de fracciones

Simplificación Decimal Productos cruzados

Dos fracciones son equivalentes, si al simplificar ambas obtenemos la misma fracción.

8

10=

24

30

Porque ambas se

simplifican a 4

5

Dos fracciones son equivalentes si al realizar la división obtenemos el mismo número decimal.

8

10=

24

30

Porque ambas divisiones dan como resultado 0’8

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y viceversa, obtenemos el mismo resultado.

8

10=

24

30

Porque 8 . 30 = 24 . 10

Fracción - Decimal - Porcentaje

Fracción a decimal:

3

4= 0,75

Efectuando la división

Decimal exacto a porcentaje:

0,85 =85

100= 85%

0,6 =60

100= 60%

Porcentaje a fracción irreducible:

35% =35

100=

7

20

51

Fracciones y signos

+ ∙ + +

+ : +

− ∙ + −

− : +

+ ∙ − −

+ : −

− ∙ − +

− : −

Recuerda que es lo mismo:

1

4

que

1

4 o que

1

4

porque aplicando la regla de los signos, las tres fracciones equivalen a -0,25

Suma y resta de fracciones

La suma(resta) de dos fracciones del mismo denominador se efectúa conservando el denominador y sumando(restando) los numeradores:

5

8+

1

8=

6

8=

3

4

Para sumar o restar dos fracciones de diferente denominador las cambiamos por otras equivalentes y con denominador común. El denominador común más pequeño posible es el MCM (mínimo común múltiplo) de los denominadores de partida.

3

4−

1

6=

9

12−

2

12=

7

12

Si el numerador de una fracción es una suma, esta puede descomponerse como la suma de dos fracciones:

3 + 5

14=

3

14+

5

14

Multiplicación de Fracciones

Para multiplicar dos fracciones formamos una nueva fracción. En su numerador aparece el producto de los numeradores, y en su denominador el de los denominadores. En general no conviene realizar las multiplicaciones, sino simplificar antes

2

3.9

8=

2.9

3.8=

2.9

3.8=

1.9

3.4=

1.3

1.4=

3

4

¡OJO! SOLO EN MULTIPLICACIONES Y

DIVISIONES.

52

División de Fracciones

Para dividir dos fracciones multiplicamos la primera por la inversa de la segunda

15

26

53

213

5

2

3

13

2

5:

3

13

Para reducir una fracción de fracciones a una única fracción, los extremos se multiplican en el numerador y los medios en el denominador. Identificamos la fracción principal por ser la más larga o la que va a la altura del signo igual.

13

13 2 2635 3 5 15

2

55 5 4 2013 3 3 3

4 4

5 5

5 1 53 344 3.4 12

1

Potencia de un Fracción

Para efectuar la potencia de una fracción se distribuye el exponente a numerador y denominador:

(2

5)

3

= (23

53) =

8

125

Raíz de una fracción

Para efectuar la raíz de una fracción se distribuye la raíz a numerador y denominador:

√16

25=

4

5

EJERCICIOS DE FRACCIONES 1. Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones (FP1)

1)

15

7

10

3

5

2 2)

4

5

2

7

3

8 3)

4

5

2

7

3

8

30

11

12

59

12

25

4)

11

7

3

4

33

21 5)

6

5

8

3

2

1

4

7 6)

7

2

2

3

14

15

11

18

24

25

7

1

7)

2

3

1

3

1

2

1 8)

1

2

15

2

1

2

1 9)

3

2

2

1

2

1

4

3

6

11

2

15

12

11

53

2. Realiza las siguientes multiplicaciones de fracciones. Factoriza y simplifica. NO MULTIPLIQUES hasta el último paso. (FP2)

1)

14

13

8

7

13

6

6

5 2)

9

8

5

3

4

12 3)

4

7

15

32

4

25

10

9

3

2

16

5

15

4 14

4) 7

5

3

2)2(

25

283 5)

7

1

25

5

6

49

16

2410 6)

84

26)21(

3

1

5

16

2

7 1

3. Reduce las torres de fracciones a una sola fracción. Factoriza y simplifica. NO MULTIPLIQUES hasta el último paso. (FP2)

1)

5

7

2

2) 12

5

3

3)

9

21

14

7

10

20

1 6

4)

16

19:6 5)

3

5.

121

18:

11

12:

15

33 6)

10

3820

19

19

96

2

1

4

1

7)

14

337

6

8)

7

54

3

9)

49

187

1

3

2

11

4

20

21 -

27

7

10)

5

93

4:

5

2

11)

4

7:1

2

9:

7

3

12)

4

7

26

15

14

6

1

6

1

15

13

13)

22

25:10

11

14:

5

7

14)

9

13:

3

2

4:26

6

15)

6

145

7

:

25

35

9

54

8

1

8

1 25

16)

13

14:

11

291

121:77

17)

11

1

715

6521

13

25

33

5:

: 18)

3

25.4

5

7

:12

6

14

5

9

343 5

3

3

25

19)

3

7

25

191

26

1

10

9

:

:

20)

2

1:1

1

1:1

21)

169

325

13

1

5

3

5

3

2

1

125

13

4. Realiza las siguientes sumas y restas combinadas con productos y

cocientes.(FP3)

1) 7

5

14

13:3

21

76

2)

5

2:

2

31

5

11.

3

1 3)

3

2

1

2

1

3

1

21

1

20

11

12

19

4) 3

7:1

27

2

9

5

5)

4

5:

12

7

10

3

5

2 6)

2

1

4

4

5

1

5

4

21

20

10

11

4

3

7)

24

1

6

1

2

13

1

4

3

8)

24

16

13

5

31

3

11

9)

5

4

4

36

1:

4

3

:

8

1

6

16

1

4

3

7

10

21

73

15

4

5. Expresa en forma de producto de fracciones y calcula:

La mitad de 4/3 Las 3 cuartas partes de 18

La sexta parte de 9/5 Cuarto y mitad de 8 kg.

La mitad de la quinta parte de -4 El 50% de la sexta parte de 720 m2

El triple de la mitad de 2/3 El 20% del 10% de 150 euros

El 25% de 360 personas Las 3 quintas partes de 600

El doble de los 3/5 de 625 La mitad de triplicar el 18%

55

PROBLEMAS DE FRACCIONES (FP7)

Nivel I: Del todo a la parte. Un solo denominador. 1. Completa la tabla (usa números decimales si te hace falta):

400 50 12 80 16 300 150

2. En rebajas descuentan el 15% de un abrigo que costaba 180 euros. ¿Cuánto

descuentan?

3. Un camión que puede cargar 12 000 kg lleva 3/5 de su carga máxima. ¿Cuántos kg lleva?

4. Sergio debe 325 euros. Si paga los 4/5 de lo que debe, ¿cuántos euros le faltan

por pagar? 5. El agua líquida, al congelarse, aumenta su volumen en un 10% ¿cuánto

ocuparán 500 litros de agua líquida tras helarse?

6. Expresa en forma de fracción cada uno de los componentes del ordenador según el gráfico de sectores.

a) ¿Qué fracción de materiales de un ordenador es reciclable?

b) ¿Qué fracción es no reciclable?

c) Comprueba que la suma de las fracciones resultantes anteriores es la unidad. ¿Por qué?

Nivel II: Varios denominadores. 7. Un estudiante invierte 1/3 de su paga semanal en ir al cine, 3/5 en revistas

deportivas y el resto lo ahorra. ¿Qué fracción del dinero ahorra cada semana?. Si la paga fuera de 12 euros, ¿cuánto dinero dedica a cada apartado? ¿Cuántas semanas tendrían que pasar hasta ahorrar por lo menos 50 euros? (Sol = 1/15; 4 euros, 7,2 euros , 0,8 euros; 63 semanas)

40%

37%

17%

5% 1% Plástico

Metales

20%

56

8. Félix ha comprado una tela para tapizar dos muebles. Ha utilizado 2/3 para un tresillo y 2/7 para un sofá. ¿Qué fracción de tela le ha sobrado?

9. Una docena de pasteles está constituida así: 1/6 son de crema, 1/3 de

chocolate y 1/6 de nata ¿Cuántos pasteles hay de cada clase? (Sol. = 3, 6 y 3 pasteles)

10. Un grupo de ciclistas deciden hacer una excursión por los Picos de Urbión (bello

paraje). El primer día recorren los dos tercios de la ruta. El segundo día recorren los tres quintos de lo que les quedaba. El último día recorren los 40 km restantes.

a. Toma los datos de forma organizada (en una tabla) b. Realiza un dibujo del recorrido y representa en el las fracciones

indicadas. c. ¿Cuántos km recorrieron en total y cuántos cada día?

Nivel III: De la parte al todo. 11. Pedro ha comprado una bicicleta y ha pagado al contado 3/4 de su importe,

entregando 160 euros. ¿cuál es el precio de la bicicleta?

12. Un corredor de maratón lleva recorrido 1/5 de la distancia total. Si todavía le faltan 33'7 km, ¿cuántos km tiene la carrera?

13. ¡Cobramos sólo el 60% de su precio!

a. Si el precio era 1200 euros, ¿Cuánto me cobran? (sol = 720 euros) b. Si he pagado 1200 euros, ¿cuánto era el precio original? (sol = 2000 euros)

14. He resuelto los 2/5 del total de problemas que me han propuesto, es decir, 4 problemas. ¿Cuántos problemas había en total? (sol = 10 problemas)

15. Voy a La Zubia de convivencia al Cortijo Calasanz. El autobús me lleva 11/12 del camino y el resto lo hago andando. Si anduve 350 m., ¿qué distancia separa el Cortijo Calasanz de Granada? Expresa el resultado en km. (Sol. = 4,2 Km)

16. En una huerta hay 4 800 m2 dedicados al cultivo del maíz, lo que supone 3/5 de

la superficie total. ¿Cuál es la superficie total de la huerta? 17. Una piscina está llena hasta los siete novenos de su capacidad. Aún se

necesitan 880 litros para que esté llena. ¿Qué capacidad tiene la piscina?

18. Un escritor escribe una novela en cuatro meses. El primer mes escribe 2/5 del total, el segundo 1/6, el tercero 2/15 y el cuarto mes 54 páginas. ¿Cuántas páginas tiene la novela?

19. En la compra de un coche pagamos como entrada 2/5 de su precio total y el

resto en 12 plazos iguales

57

a) ¿Qué fracción del precio total se paga en cada plazo? b) Si cada plazo asciende a 150.00 ptas., ¿cuánto se pagó por la

entrada? Nivel IV: Fracción de fracción 20. Cada fracción indica la parte del caudal que se va distribuyendo en los distintos

brazos del delta del río. Es decir, si nos situamos en una rama cualquiera, la fracción indica la parte del caudal de la rama anterior que fluye por la rama en laque estamos situados.

a) Completa la figura con las fracciones que faltan en las ramas vacías b) Organiza las datos en una tabla cantidad – fracción c) Calcula el agua (en m3/s) que se vierte al mar por cada uno de los 4

brazos.

21. Carmen regala 3/10 de su herencia a Amnistía Internacional y 1/6 de lo que le sobra a Manos Unidas. Si la herencia era de 1200 e ¿cuánto se queda? (Sol. = 500 )

22. Un depósito tiene 120 litros de capacidad. Se gasta en regadío 1/3 y en consumo de los animales 1/5 de lo que sobra. ¿Cuántos litros quedan? (Sol. = 64 litros)

23. Dado un cordel, Juan coge la mitad. De lo que queda, Pedro coge la mitad. De

lo que queda, María coge la mitad; de lo que queda, Carmen coge 2/5. Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la longitud del cordel? (sol = 400 cm, o sea 4 metros)

24. Un transportista compra un camión. Paga 3/10 de su precio al solicitarlo, y en el

momento de la entrega, 3/5 del resto. Lo que le queda por pagar lo divide en 12 plazos mensuales. ¿Qué fracción del total del precio del camión representa cada plazo? (sol = 3/50)

25. Un recipiente está lleno de agua hasta los 4/5 de su capacidad. Se saca la

mitad del agua que contiene.

a) ¿qué fracción de la capacidad del recipiente se ha sacado?

b) Si la capacidad del recipiente es de 80 litros, ¿cuántos quedan en el

mismo?

2/3

1/2

3/4

120 m3/s

59

Potencia de un número entero

La potencia es una forma abreviada de expresar una multiplicación de factores iguales. Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo y por otro el exponente que nos indica el número de veces que se multiplica el número.

Se lee "tres elevado a la quinta" e indica claramente: 3.3.3.3.3=324, que es el valor de la potencia. Si la base es negativa, ésta tiene que aparecer entre paréntesis. (-5)4=(-5).(-5).(-5).(-5)= 625 sin embargo -54= - 5.5.5.5 = - 625

Números enteros en forma de potencia o producto de potencias

En numerosas ocasiones conviene escribir un número entero en forma de potencia o producto de potencias. Podemos conseguirlo mediante la descomposición en factores primos.

32 = 25 24 = 23.3

Producto de potencias (misma base)

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Partimos de un ejemplo: 23.22=2.2.2.2.2=25

Por lo tanto, podemos concluir: am · a n = am+n

Cociente de potencias (misma base)

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

Partimos de un ejemplo: 5

5 3 2

3

2 2.2.2.2.22 : 2 2.2 2

2 2.2.2

Por lo tanto, podemos concluir: am : a n = am — n

Potencia de una potencia.

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Partimos de un ejemplo: (23)2=(23). (23)=26

Por lo tanto, podemos concluir: (am)n = am · n

32

82

42

2

42

2 2412

2

62

32

60

Cambio de base.

Un mismo número puede escribirse como varias potencias, cada una con distinta base

64 = 𝟖𝟐 = (23)2 = 𝟐𝟔 = (22)3 = 𝟒𝟑

Producto de potencias con el mismo exponente. Exponente común.

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases

Partimos de un ejemplo: (2.5)3 = (2.5).(2.5).(2.5) = 2.5.2.5.2.5 = 2.2.2.5.5.5 = 23.53

Por lo tanto, podemos concluir: (a · b) n= an · b n

De igual manera, podemos agrupar dos potencias del mismo exponente en una única potencia:

34. 54 = (3.5)4 = 154

Cociente de potencias con el mismo exponente. Exponente común.

Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases.

Partimos de un ejemplo:

4 4

4

2 2 2 2 2 2.2.2.2 2. . .

3 3 3 3 3 3.3.3.3 3

Por lo tanto, podemos concluir: n

nn

b

a

b

a

De igual manera, podemos agrupar dos potencias del mismo exponente en una única potencia:

222 2

2

( 6) ( 6)( 6) 6 6 6. ( 2) 2

3 3.3. 3 3 3

Las potencias no pueden sumarse o restarse en forma de potencia

Es decir, no pueden operarse sumando o restando bases y/o exponentes

24 + 34 ≠ 54 porque 16+81=625 25 + 23 ≠ 28 porque 32 + 8 ≠ 256 Para sumar o restar potencias hay que efectuarlas primero, según indica la prioridad de operaciones

33 + 25 = 27 + 32 = 59 Caso especial: Si las potencias tienen la misma base, puede sacarse factor común

24 + 26 = 24 + 24. 22 = 24. (1 + 22) = 16.5 = 80

La potencia de una suma o resta no es la suma o resta de potencias

(3 + 4)2 ≠ 32 + 42 porque 49 ≠ 9 + 16 Para calcular el valor correctamente hay que realizar primero la operación entre paréntesis, según indica la prioridad de operaciones.

61

1. Realiza la potencia de potencias teniendo en cuenta el signo de la base y la paridad del exponente. El signo de los exponentes debe ser positivo en los resultados (FP4)

a1) (23)4 a2) (-23)4 a3) - (23)4 a4) [(-2)3]4

b1) (23)5 b2) (-23)5 b3) - (23)5 b4) [(-2)3]5

c1) (22)5 c2) (-22)5 c3) - (22)5 c4) [(-2)2]5

d1) (22)4 d2) (-22)4 d3) - (22)4 d4) [(-2)2]4

e1) (2-3)4 e2) (-2-3)4 e3) - (2-3)4 e4) [(-2) -3]4

f1) (23)-5 f2) (-23) -5 f3) - (23) -5 f4) [(-2)3] -5

g1) (2-2) -5 g2) (-2-2) -5 g3) - (2-2) -5 g4) [(-2)-2] -5

h1) (2-2)4 h2) (-2-2)4 h3) - (2-2)4 h4) [(-2) -2]4

2. Expresa sin exponentes negativos y simplifica: (FP4, FP5)

a)

3

4

7

b)

23 c) 23

d) 12

e)

1

2

1

f)

2

3

2

g)

0

7

9

h)

52

2

1

i) 3

5323

3. Opera utilizando las propiedades de las potencias, hasta obtener una fracción

irreducible. Las potencias siempre deben tener como base un número primo.(FP5)

a) 9

4

3

2:

3

23

b)

4

3

4

3:

16

974

c)

9

33

2

3

5

5

3:

3

1

d) 96

)2(32

2

e) 2433

4

3:

2

3 5

52

f)8

44

3

3

2)5(

5

6

3

1

g)

9

25

5

9:

2

3

12

4:

7

5

4

21

5

2

2

22

h)3

2

3

2

3

2

3

2:

3

2

1

45

i) 8

44

3

3

2)5(

5

6

3

1

62

j) 8

27

2

3:

2

3

2

3:

2

3

34

5

k)5

34

2

2

1

2

1:

2

1

4. Calcula utilizando el exponente entero. Debes dar el resultado de dos formas

distintas: Sin usar exponentes negativos y sin usar denominadores.(cada base siempre debe ser un número primo)(FP5)

a) 2

2

33

1

b)

3

1

2

3 2.5

1:2

c) 333

d)

3

1

2

2

3

c)

3

9

4:

3

1

e)

3

6

5:

4

3

f) 4

75

4

2.2

g)642

531

3.3.3

3.3.3

h) 124

25

6.)4.(2

3).9.(8.2

i)

1

3

53

4

2

4

6:

3

36

j)

1522

3232

329

443

k) 25

35

49.3

7.2

63

RAÍCES Y NÚMEROS RADICALES

RAÍCES de NÚMEROS ENTEROS ó FRACCIONARIOS

EXACTAS

0, 1, 2 soluciones enteras o

fraccionarias Expresiones equivalentes

Operaciones

A. Expte fraccionario.

Simplificación de índice y exponentes

B. Extracción Introducción de factores

C. Racionalización

C. Suma y resta de radicales semejantes

B. Producto y cociente.

Índice común.

A. Potencia y raíz de una

raíz

NO EXACTAS

Solución aproximada

NÚMEROS RADICALES

Por tanteo

Se calculan

Por factorización del radicando

64

Raíces exactas e inexactas. Número de soluciones.

La raíz n-ésima (cuadrada, cúbica, cuarta…) de un número real, A, es otro número real, a, que elevado a n (2, 3, 4…) de como resultado el nº original, A.

√𝑨𝒏

= 𝒂 ⇔ 𝒂𝒏 = 𝑨

El número A se llama radicando, y el número n se llama índice de la raíz.

Ejemplo: √83

= 2 porque 23 = 8. El radicando es 8 y el índice 3 (raíz cúbica)

Si el radicando, A, es un número entero o racional, decimos que la raíz es exacta si el resultado, a, también es entero o racional.

√104

no es exacta porque 14 = 1, que no llega a 10 24 = 16, que se pasa de 10

1,74 = 8,35 … no llega 1,84 = 10,4976 se pasa Si buscas un número decimal exacto, entre 1 y 2, que elevado a 4 de cómo resultado 10, verás que no puedes encontrarlo. Prueba con más decimales y la ayuda de la calculadora, y verás como ¡no hay manera de que salga 10!

Las raíces pueden no tener solución, ni exacta ni inexacta, tener una solución o tener dos soluciones:

Indice par Indice impar

Radicando positivo 2 soluciones: + y -

242

1 solución: +

3273

Radicando negativo 0 soluciones

¿?42

1 solución: -

3273

1. Calcula todas las soluciones de las siguientes raíces exactas

a) 25 b) 3 125 c) 3 216 d) 09,0

e) 5 32 f) 6 729 g) 3 729 h) 729

i) 3 0'729 j) 481

16 k) 0,0036 l) 1'44

m) 4 0,0016

n)

3 343

o) 4 16

p) 000081,0

q) 4 1024

r) 6 64 s)

3

125

8 t) 100

Observa: La raíz de un número entero o fraccionario es exacta si al descomponer en factores el numerador y el denominador del radicando, todos los factores tienen exponentes que son múltiplos del índice.

Raíz y potencia n-ésima son operaciones inversas: ( √𝐴𝑛

)𝑛

= 𝐴 y √𝑎𝑛𝑛= 𝑎

En consecuencia, si m es múltiplo de n, √𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚

𝑛 Ejemplo: √563= 52

65

A. Extracción e introducción de factores

Extracción: √1083

= √22. 333= √223

. √333= √4

3. 3 = 3√4

3

¡OJO, con sumandos no es cierto! √13 = √9 + 4 ≠ √9 + √4 = 3 + 2 = 5

Introducción: 3. √2

3= √32. √

2

3= √32.

2

3= √3.2 = √6

El número racional que aparece multiplicando a la raíz se llama coeficiente.

2. Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales.

a) 12 b) 16

27 c) 3 16 d) 288 e) 3 686

f) 4 768 g) 507 h) 121

128 i)

4 7a j) 3 17x

k) 72 l) 235 cba m) 3

1068 pnm n) 3 15129 cba o)

39

186

b

ca

p) 3

8

27 q) 1'25 r) 4

25

16 s) 72 t) 4 26

x

u) 4

81

32 v)

35

7 4..

d

cba w)

448

1284

16

81

ed

cba x)

3 56324 dcba y) 7729a

66

POLINOMIOS

POLINOMIOS

Conceptos básicos

MONOMIOS

Partes Grado

BINOMIOSTRINOMIOS

POLINOMIOS

TérminosGrado

CompletoOrdenación

Valor numéricoNotación funcional

Operaciones

SUMA Y RESTA

Términos semejantesParéntesis

PRODUCTO

DE MONOMIOSPor monomiosPor polinomios.

Propiedad distributiva

DE POLINOMIOS

POR POLINOMIOS

Propiedad distributiva

PRODUCTO NOTABLE

Suma por Diferencia

POTENCIASTransformación

en productos

POTENCIAS NOTABLESCuadrado de

una sumaCuadrado de una diferencia

DIVISIÓN

REGLA GENERALD = d.c + r

REGLA DE RUFFINI

divisor tipo x-a

FACTORIZACIÓNFactor común

Trinomios cuadrado perfecto

Diferencia de Cuadrados

67

Definición: una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidos por los signos de operaciones aritméticas. a las letras se les denomina incógnitas o variables.

9𝑥𝑡 𝑥2𝑦

7 4𝑥𝑦2

2

3𝑎

3

𝑥2 5√𝑥 𝑥 + 𝑦2

Definición: un monomio es una expresión algebraica formada por el producto de un número real y una o más variables elevadas a exponentes naturales.

La parte numérica es el coeficiente y la parte de las variables (con sus exponentes) es la parte literal.

El grado de un monomio es la suma de los exponentes de todas sus variables.

Dos monomios son semejantes si tienen la misma parte literal De las expresiones algebraicas anteriores son monomios:

9𝑥𝑡 𝑥2𝑦

7 4𝑥𝑦2

2

3𝑎

Definición: un polinomio es la suma (resta) indicada de varios monomios no semejantes.

Por ejemplo: P(x)=𝑥2 + 𝑥 + 2 Cada uno de los monomios que componen un polinomio se llama término. El monomio de grado 0 es el término independiente. El grado del polinomio es el mayor de los grados de sus términos. Un polinomio se dice ordenado si sus términos están escritos por orden de grado Un polinomio se dice completo si tiene un término no nulo de por cada uno de los grados desde el grado mayor hasta el grado 0

Definición: el valor numérico de un polinomio es el número que se obtiene al sustituir las variables por unos números concretos y realizar las operaciones correspondientes a la expresión.

Por ejemplo: Calcula el valor numérico para x=-2 de P(x)=𝑥2 + 𝑥 + 2,

P(-2)= (−2)2 + (−2) + 2 = 4 − 2 + 2 = 4, Si el valor de x es negativo, debe sustituirse entre paréntesis. Hay que tener cuidado es con los signos y las potencias.

Suma y resta de polinomios: para sumar (restar) polinomios, se suman o se restan los términos semejantes (sumando o restando los coeficientes y dejando la parte literal) y se deja indicada la suma o la resta de términos no semejantes.

Producto de polinomios: Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes y las

potencias de la misma base. Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada término del segundo aplicando la propiedad distributiva y se reducen términos semejantes. Caso especial: Para realizar la multiplicación de una suma de dos términos por la diferencia de los mismo términos, utilizaremos el producto notable

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 − 𝑏𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

División de polinomios. Método general:

Para dividir un monomio entre otro monomio usamos las propiedades de la división de potencias como en el caso siguiente:

o 14𝑥3𝑦5𝑧4

7𝑥2𝑦3𝑧= 2𝑥𝑦2𝑧3

Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio por el monomio usando también las propiedades de las potencias como en el caso siguiente:

o (12𝑥3𝑦 − 9𝑥2 + 6𝑥𝑧): 3𝑥 = 4𝑥2𝑦 − 3𝑥 + 2𝑧

Para dividir un polinomio entre otro (D(x) entre d(x)) hay que encontrar otros dos polinomios (C(x) y R(x)) que cumplan P(x)=d(x).C(x)+R(x) donde grado R(x)<grado d(x). Para esto dividimos "en caja" y hay que tener mucho cuidado con dejar un espacio vacío en aquel hueco en el que falte un término del polinomio, veamos el siguiente ejemplo:

68

División de polinomios. Método de Ruffinil:

Un caso particular de la división de polinomios, es la división de un polinomio cualquiera entre un binomio de grado uno de la forma (x-a) donde a es un número entero. Esta forma de dividir es más sencilla aunque si aplicáramos la forma general de la división tendría que darnos el mismo resultado. En este caso particular se utiliza la conocida Regla de Ruffini como método de la división. Veamos en un ejemplo cómo se utiliza.

Queremos dividir el polinomio )1(:)3425( 23 xxxx . Para ello seguimos los siguientes

pasos.

Escribimos los coeficientes del dividendo (completando con 0 si faltara algún término)

Hacemos "la caja" y ponemos el número "a" que aparezca en el divisor Bajamos el primer número tal como indica la flecha y vamos multiplicando "a"

por cada número de debajo de la raya y poniéndolo en el espacio siguiente encima de la raya

Sumamos los dos números de encima de la raya y volvemos a empezar Los números que queden debajo de la raya serán los coeficientes del polinomio

cociente y el último número que quede recuadrado será el resto de la división.

!Ojo! Igual que sucede en las divisiones con números naturales, cuando el resultado de la división da 0,diremos que la división es exacta y por lo tanto, eso significa que el divisor es un factor del dividendo o lo que es lo mismo que el dividendo es múltiplo del divisor.

Cociente

Resto

Dividendo

divisor

69

Potencias de polinomios:

Recuerda que el exponente no puede distribuirse en una suma (𝑥 + 3)3 ≠ 𝑥3 + 33 puedes comprobar que no son equivalentes cambiando x por un valor numérico de ejemplo.

En general las efectuamos convirtiéndolas en multiplicaciones (𝑥 + 3)3 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 3)(𝑥 + 3) = (𝑥2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 9)(𝑥 + 3)

= (𝑥2 + 6𝑥 + 9)(𝑥 + 3) = 𝑥3 + 6𝑥2 + 9𝑥 + 3𝑥2 + 18𝑥 + 27= 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27

En el caso especial de los cuadrados de un binomio, utilizaremos las expresiones notables

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) = 𝑎𝑎 + 𝑎𝑏 + 𝑏𝑎 + 𝑏𝑏

= 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏

(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 (𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎𝑎 − 𝑎𝑏 − 𝑏𝑎 + 𝑏𝑏

= 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏

1. Para cada monomio y/o polinomio siguiente indica con que letra se designa la

variable, qué grado tiene, si es completo y si es ordenado. (POL1) a) A(x)= 2x2 b) B(p)=5p3 c) C(y)=3+2y5 – y d) R(a)=2a + 5a3– 6 e) Q(m)=5m2 - 3m4 + 4m3

f) P(z)= 53532 234 zzzz

2. Efectúa las siguientes sumas y restas de polinomios: (POL1)

a) ( 3x2 - 9x + 1) + (x2 -2x + 4)

b) ( -3a2 - 4a + 2) - (5a3 + 2a - 6)

c) (1 – x - x2 – x3) + (3x +2x2) - (-3x2 – 5 +x) + (3x - x2- x3)

d) (27 a3 – 3 a2 - 7 a3 ) + (6a2 + 8 a3 -7 a4) - (-3 a3 + 10 a2 – a4 )

e) [( x2 - 2x3 -5x6 ) + (5x2 - 3 x4 + 4 x3)] – [(2 x3 - 7 x2 + 6 x ) - (6 x2 - 5 x3)]

3. Dado el polinomio P(x)=x3-3x2+2x-1, calcula los valores numéricos para P(-1)=; P(2); P(1/2)

4. El polinomio P(x)=x3-ax+1 tiene valor numérico 2 cuando x=-1, halla cuánto vale a 5. Dados los polinomios P(x)= x4-6x3-5x2+3x-2 ; Q(x)=x4-4x2+3x-5 ; R(x)=x3-6x2+4x-6,

calcula: a. P+Q+R

b. P-Q+R

c. P+Q-R

d. P-Q-R

6. Sean A(x) = 753 234 xxx , B(x) = 123 34 xxx y C(x) = xxxxx 2345 . Calcula : (POL1) a) A(x)+ B(x) b) A(x)-B(x) c) A(x) - C(x) d) A(x)-B(x)-C(x)

70

7. Calcula los siguientes productos:

a. (3x-1)(4x+2)

b. (2x-3)(4x-2)

c. (3x2-1)(2x2+3)

d. (x-2)(2x2-5x+3)

8. Efectúa los siguientes productos de polinomios (POL2) a) -2x( x2 - 4x - 3)

b) (y - 2)( y2 + 3y + 1)

c) (a2 - 3)( a + 5)

d) ( 2b3 - b + 1)( b+3)

e)

96202161222 aaaa

f)

2526332 xxxx

g)

14321 tttt

h) 4532221 tttt

9. Dados los polinomios P(x)=2x+3; Q(x)=x2+x-2; R(x)=x3-x2+2x-3

a. P.Q

b. Q.R

c. P-Q+R

d. R-P.Q

e. R+3xP

f. R-2x2.Q

10. Extrae factor común: (POL3)

a) 423 628 xxx b) axaxxa 754 22 c) 322

6

5

9

4

3

1xaaxx

d) 24 5kxx e) 22 2510 xyyx f) 322 422149 xaxx

g) 32 63 xbxax h) axaax 222 2714 i)

24 5axx

j) 32 36 yyx k) 22 2510 xhhx l) xaxbx 32

11. Calcula el polinomio que resulta de calcular las siguientes potencias

(x + 2)2 (x+2)3 (x+2)4 (2x+1)3

(x2 + x +3)2 (1-x2+x4)2 (x+y)2 (x-y)2

12. Desarrolla los siguientes cuadrados haciendo uso de las expresiones notables:

(POL4)

27x 212 a 26 x 22 23 ba 24x 25 x

2352 bb 223 xx 232 xx 2233 ax 23 ba 22 26 yab

71

226 yx 223 2xxy

2

2

3

3

4 44

yx

25

4

3 432

xyyx

13. Calcula los siguientes productos de suma por diferencia haciendo uso de la

expresión notable. (POL4)

xx 33 22 baba

yxyx 2323 baba pqqp baba 22 33

14. Desarrolla las siguientes potencias y productos mediante expresiones notables:

a) (x+1)2 b) (4x2+2)3 c) (2x+5)2

d) (x-2)2 e) (3x2-1)2 f) (4x2+5)2

g) (2x+2)2 h) (x+2)3 i) (x2+4)(x2-4)

j) (3x-2)2 k) (x-2)0 l) (x+3)(x-3)

15. Efectúa las siguientes operaciones combinadas

(x-4)2-(x-2)(x+3) 3(x+2)2-(x+2)(x-2)

(x+5)2-(x-2)2 (2x+3)2-3(x+1)(x-2)

4(x+2)(x-3)-3(x-1)2 (5x-1)2-2(4x+3)(x-1)

16. Realiza las siguientes divisiones de polinomios: (POL5)

a. )3)1234( 223(: xxxx

b. )1)13( 232(: sssss

c. )3)324( 2232(: hhh

d. )4)32( 252(: pp

e. ))4153( 243243(: mmmmm m

17. Realiza las siguientes divisiones mediante el algoritmo de Ruffini: (POL6)

a) )2)365( (:23 xxxx

b) ))32( 2(:5 dd

c) )3)( (:24 qqqq d) )3)53532( (:234 zzzzz

e) )1)8643( (:35 tttt f) )()( : 5363 235 xxxxx

18. Efectúa las siguientes operaciones de polinomios Utiliza expresiones notables

siempre que sea posible (POL7)

22 aa 11 xx

72

a) 222245332 xxx b) 222

2415323 xxxxxx

c)

22

2

1

2

1

aa d) 22 )1()1(11 xxxx

e) 2222 333 xxx f) 3352 xxx

g) )2(321072

xxx h) )1(1 5432 xxxxxx

i) 556622

xxxx j) 11 22 xxx

19. Desarrolla:

a. (x3+5)(x3-5)

b. (x+y)(x-y)

c. (3x4-5x2)2

d. (2x+3y)2

e. (x+2)(x-2)

f. (3x+7)2

g. (x3-4x2)2

20. Divide:

a. (3x5-3x3+7x2-2x):(x3+3x2-1)

b. (3x4-6x3+2x2-1):(x-4)

c. (3x3-2x2+x-1):(x2+x+1)

d. (3x4-2x2-5x+3):(x-2)

e. (7x3-3x2-x+1):(2x2-3x+2)

73

ECUACIONES

Definición: Una expresión algebraica es un conjunto de números fijos y variables(letras) relacionados por los símbolos de las operaciones matemáticas

Ejemplos 2 3x 25L 10

2

x 10A

Definición: Una igualdad algebraica es la igualdad entre dos expresiones algebraicas. Cada una de las expresiones igualadas se llama miembro de la igualdad.

Ejemplos 2 3x x x 2 6x x

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones.

2 10x y 3 15x son ecuaciones equivalentes, porque las dos tienen solución x=5

Si tenemos una ecuación y realizamos la misma operación en ambos miembros obtenemos una nueva ecuación equivalente.

x + 7 = 5 x + 7 -7 = 5 - 7 x = -2 Sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros. En la práctica, decimos que “+7 pasa al otro miembro como -7”

3x = 12 3𝑥

3=

12

3

x = 4 Multiplicar o dividir ambos miembros por la misma cantidad.”En la práctica decimos que “3 pasa al otro miembro dividiendo”

x2 = 25 √𝑥2 = √25 𝑥 = ±5 Sacar la raíz en ambos miembros.

Decimos que una ecuación está en forma canónica si uno de sus dos miembros es igual a 0. Toda ecuación tiene una ecuación equivalente en forma canónica.

5 7 4 2x x no está en forma canónica

5 2 7 4 0x x Pasamos todos los miembros a un lado

7 11 0x Reducimos, y obtenemos la forma canónica.

Una ecuación es de primer grado si en su forma canónica aparece un polinomio de

Clasificación de las igualdades algebraica: identidades y ecuaciones

Una identidad es una igualdad algebraica que se cumple para todos los valores de las variables que en ella aparecen.

Ejemplo: 2 3x x x

si x = 5 5 2 5 3 5

15 15

Si x = 7 7 2 7 3 7

21 21 Sospechamos que se trata de una identidad, pero es imposible comprobar con los infinitos valores que puede tener x. Si traducimos la igualdad: “el doble de un número más el propio número es igual al triple de ese número”. Nos damos cuenta de que se cumplirá sea cual sea el valor de x.

Una ecuación es una igualdad algebraica que se cumple solo para algún o algunos valores de la variable, a los que llamamos soluciones de la ecuación.

Ejemplo: 2 6x x

Si x = 3 3 2.3 6

9 6

Esto muestra que la igualdad no es una identidad, sino que es una ecuación, y que x = 3 NO es una solución.

74

grado 1; y es de segundo grado si en su forma canónica aparece un polinomio de grado 2

2 5 7 2x x es de primer grado, porque en forma canónica es 0 5 7x 2 24 5 1x x x es de primer grado, porque en forma canónica es 4 4 0x 2 4 5 1x x x es de segundo grado, porque en forma canónica es 2 5 4 0x x

Resolución de ecuaciones de Primer Grado

Ejemplo resuelto: 5

24

2

3

3

2 xxx

Mé

tod

o A

Quita denominadores: multiplica cada término por el MCM de los denominadores, y simplifica el MCM con cada denominador.

MCM = 30 2 3 4 2

30 30 303 2 5

x x x

Al eliminar las líneas de fracción, los numeradores que fueran sumas o restas quedan entre paréntesis

10 2 15 3 6 4 2x x x

Mé

tod

o B

:

Quita denominadores: Escribe todas las fracciones en ambos lados del igual con común denominador (MCM de los denominadores). Cambia también los numeradores según corresponda. Las sumas o restas que hubiera en el numerador, quedan entre paréntesis.

COMÚN DENOMINADOR = MCM = 30 10( 2) 15( 3) 6(4 2 )

30 30 30

x x x

Podemos eliminar el denominador común de todas las fracciones. (Si dos cantidades divididas por el mismo número son iguales, también los son si no las dividimos)

10 2 15 3 6 4 2x x x

Elimina paréntesis. Para ello utiliza la propiedad distributiva. OJO al “signo maligno”

10 20 15 45 24 12x x x

Reduce los términos con “x” en un lado, y los términos sin “x” en el otro

10 15 12 24 20 45x x x

7 1x

Despeja x, dividiendo por su coeficiente. 1

7x

Caso especial: Le ecuación es una igualdad de fracciones (proporción)

Ejemplo 2

3 5

x x

Quita denominadores: Multiplica “en cruz” (En toda proporción, el producto de extremos es igual a producto de medios) Las sumas o restas que hubiera en el numerador, quedan entre paréntesis.

5( 2) 3x x

Quita paréntesis, aplicando la propiedad distributiva 5 10 3x x

Reduce los términos con “x” en un lado, y los términos sin “x” en el otro

5 3 10

2 10

x x

x

Despeja x, dividiendo por su coeficiente. 5x

Signo cambiado al aplicar la prop.dist.

75

Resolución de ecuaciones de Segundo Grado

Incompletas (sin término de grado 1) Incompletas (sin término de grado 0) Completas

Ejemplo 22 9 41x Ejemplo 24 8x x Ejemplo 2 2 8x x

Quitar denominadores

22 9 41x Quitar denominadores

24 8x x Quitar denominadores

2 2 8x x

Quitar paréntesis 22 9 41x Quitar paréntesis 24 8x x Quitar paréntesis 2 2 8x x

Separar y reducir términos con y sin “x2”

22 41 9x 22 50x

Pasar a forma canónica

24 8 0x x Pasar a forma canónica

2 2 8 0x x

Despejar x2 2 50

2x

2 25x

Extraer factor común 4 ( 2) 0x x Identificar coeficientes

2 0ax bx c 2 2 8 0x x

a = 1 b = 2 c = -8

Despejar x, haciendo la raíz cuadra en ambos miembros

5x y 5x

Separar en dos ecuaciones (porque para que al multiplicar dos cantidades de 0, una de las cantidades debe ser 0)

4 0x 2 0x Sustituir coeficientes en la fórmula de Cardano

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

𝑥 =−2 ± √22 − 4.1. (−8)

2.1

Resolver cada ecuaciónde grado 1 por separado

0x 2x Operar la expresión numérica

𝑥 =−2 ± √4 + 32

2

𝑥 =−2 ± √36

2

𝑥 =−2 ± 6

2

𝑥 =−2 + 6

2

𝑥 =4

2

x=2

𝑥 =−2 − 6

2

𝑥 =−8

2

x = -4

76

1. Determina si las siguientes igualdades son identidades o ecuaciones

a) xxx 532 b) xxx 632 c) 52715 ppp

d) xyy 3223 e) 2224 xx f) hhh 211 22

2. Resuelve las siguientes ecuaciones de Primer Grado:

a) )4(5)5(2 xx b) 6(z-4)=3(z-3) c) 13

4

2

3

tt

d) 46

2

3

1

hh e)

3

44

5

)3(2

pp f)

2

4

6

)1(2

rr

g) 08

69

8

198

16

97

4

53

xxx

h) )4

1(3)3)(5(

2

3

2

5

xxxxx

3. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas.

a) 1223 22 xx b) )10(352 22 yy c) 2653

122 2

w

d) 082 k e) 2

2 x

x f) 084 2 zz g) 1

32

2

mm

h) )5(

7

5

)7(

x

x i) (x-3)(x+8)=0 j) (x-3)(x+8)=24

4. Resuelve las siguientes ecuaciones completando cuadrados

a) 2128 xx b) 291236 xx c) 27)2(2 2 xx

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la fórmula de Cardano.

a) 01272 xx b) 01582 xx c) 01242 xx d) 0156 2 xx

e) 015

8

15

142 xx f) 021183 2 xx g) 0464 2 xx h) 025102 xx

6. Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado reduciéndolas a su forma canónica y

aplicando la fórmula de Cardano.

a) )1(3

2

6

5

2

)1)(1(

x

xxx b)

x

x

x

12

2

4

c) 16

1

5

xx

x d)

6

1

3

1

2

12 2 xxx

SISTEMAS DE ECUACIONES Métodos De resolución de sistemas de ecuaciones (EC7) 1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución:

a) 22

112

yx

yx b)

64

123

yx

yx c)

285

136

yx

yx d)

18

6

yx

yx

sol: a) x = 3 ; y = 4 b) x = 1 ; y = 2 c) x = 2 ; y = -1 d) x =12 ; y = 6

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación:

a) 20

14

yx

yx b)

245

1032

yx

yx c)

42

1

yx

yx d)

12

72

yx

yx

sol: a) x = 17 ; y = -3 b) x = -2 ; y = 2 c) x = 1 ; y = -2 d) x = 1; y = 3

3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción:

a) 22

112

yx

yx b)

925

2143

yx

yx c)

1925

523

yx

yx d)

444

66

yx

yx

sol: a) x = 3 ; y = 4 b) x = 3 ; y = 3 c) x = 3 ; y = 2 d) x = 0; y = 1

4. Resuelve los siguientes sistemas por el método que te resulte más conveniente, o por una

mezcla de varios métodos.

a) 125

232

yx

yx b)

23

132

yx

yx c)

62

18

yx

yx d)

12210

1293

yx

yx

5. Escribe las ecuaciones de los siguientes sistemas en forma canónica y luego resuélvelos

por el método más conveniente.

a) 43

31

xy

yx b)

323

232

yx

yyxx

c)

37

532

yyx

yxyx

PROBLEMAS RESOLUBLES CON ECUACIONES Y

SISTEMAS

Números 1. Halla dos números tales que su suma es 160 y su diferencia 24.

2. Halla dos números consecutivos cuyo producto sea 182 Edades

3. La edad de Julio es 40 años, y las de sus tres hijos 10, 7 y 3 años. ¿Dentro de cuánto

tiempo las edades de los hijos sumarán la edad del padre?

4. El producto de las edades de Luisa y de su hermano, que tiene 5 años menos que ella, es 176. Calcula las edades de ambos

5. Halla las edades de 2 personas, sabiendo que hace 10 años la edad de la 1ª era 4 veces la edad de la 2ª y dentro de 20 años la edad de la 1ª será solo el doble.

Dinero y monedas 6. Pedro tiene billetes de 10 y de 5 euros. Si hay 4 billetes más de 5 que de 10, ¿cuántos son

de cada clase si en total hay 65 euros?

7. Varios amigos están jugando a los chinos con monedas de 5 y 20 céntimos. Al abrir las manos cuentan 12 monedas y 165 céntimos. ¿Cuántas monedas hay de cada clase?

8. Una persona cambia monedas de 1 céntimo por monedas de 5 céntimos sin ganar ni perder en el cambio, quedando después de dicho cambio con 60 monedas menos. Halla el dinero que tiene.

9. Dos amigos juntan dinero para comprar un videojuego que vale 60 euros. Al final, uno de ellos le pide 5 euros a sus padres para poner el doble que el otro ¿cuánto dinero pone cada uno?

10. Un amo promete a su sirviente, por un año de trabajo, 10 monedas de oro y una capa. Al séptimo mes lo despide, dándole la capa y 2 monedas de oro. Si el amo fue justo en el pago, ¿cuánto vale la capa?. (problema del Renacimiento. Italia siglo XVI)

Varios 11. María tiene 4 comics menos que Sara. Si María le diera 2 de sus comics, Sara tendría el

triple que ella. ¿Cuántos comics tienen en realidad cada una?

12. Por dos bolígrafos y tres cuadernos he pagado 7,80 euros. Mi hermano ha pagado en la misma tienda 13,2 euros por cinco bolígrafos y cuatro cuadernos. ¿Cuánto cuesta cada bolígrafo y cada cuaderno?

13. Un librero ha vendido 45 libros, unos a 32 euros y otros a 28. Obtuvo por la venta 1.368

euros. ¿Cuántos libros de cada clase ha vendido?

14. En un garaje hay coches y motos, haciendo un total de 29 vehículos y 92 ruedas (sin contar

las de repuesto). ¿Cuántos vehículos hay de cada tipo? 15. En un corral hay gallinas y conejos; si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134.

¿Cuántos animales hay de cada clase?

16. Un examen tipo test consta de 50 preguntas y no se puede dejar ninguna en blanco. Por cada acierto se obtiene 1 punto y por cada fallo se restan 0,5 puntos. Si mi nota ha sido 24’5, ¿Cuántos aciertos y fallos he tenido?

17. Una cooperativa ha envasado 2.000 litros de aceite en botellas de 1,5 litros y de 2 litros. Si

ha utilizado en total 1100 botellas ¿Cuántas hay de cada clase? 18. Salustiano y Hermenegilda están jugando con tazos. S le dice a H: Si me das un tazo,

entonces tendré el doble de tazos que tú?. H le contesta a S: Si me das uno a mí entonces tendremos el mismo número de tazos. ¿Cuántos tazos tiene cada uno?

19. Un hotel tiene habitaciones dobles (con 2 camas) y sencillas. Dispone de 50 habitaciones y

87 camas. ¿Cuántas habitaciones tiene de cada tipo? 20. En una fiesta hay chicas y chicos (¡si no, vaya fiesta!). 15 chicas se van de la fiesta,

quedando 2 chicos por cada chica. Entonces 45 chicos se van y quedan 5 chicas por cada chico. ¿Cuántas chicas había al principio en la fiesta?

Semejanza y Teorema de Tales 21. Los dos triángulos de la figura tienen sus

lados paralelos. Halla la medida de los lados que faltan.

22. En los dos triángulos de la figura:

El lado a’ es 10m mayor que el lado a El lado b es 20m mayor que el lado a. El lado b’ mide 60m. El lado c’ mide 7’15 m

a) Justifica que ambos triángulos son

semejantes.

b) Calcula los lados a, b y c

Teorema de Pitágoras. Perímetro y Área de Figuras Planas 23. El perímetro de un triángulo rectángulo mide 90 m y el cateto mayor mide 3 metros menos

que la hipotenusa. Halla los tres lados.

24. A right triangle has a perimeter of 24 cm and a hypotenuse of 10 cm. Find the sides x and y that make the right angle of the triangle. Un triángulo rectángulo tiene un perímetro de 24cm, y una hipotenusa de 10cm. Encuentra los lados que forman el ángulo recto del triángulo

25. Un lado el carné de la biblioteca mide 3cm más que el otro, y la diagonal mide 6cm más que

el lado corto. Calcula el área del carné. 26. Tenemos un poste que mide 32 palmos. Un día cae un mal rayo y lo parte. El trozo

quebrado queda apoyado en el suelo formando un triángulo de 16 palmos de base. ¿A qué altura se partió el poste? (del Libro de Lilavati, India siglo XI)

27. En un triángulo rectángulo un cateto es las ¾ partes del otro. Calcula el área del triángulo y su perímetro

28. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. Averigua las longitudes de los catetos

sabiendo que su diferencia es 7 cm.

29. Tres segmentos miden, respectivamente, 8, 22 y 24 cm. Si se añade a los tres una misma longitud, el triángulo construido con ellos es rectángulo. Halla la longitud.

30. A rectangle has a perimeter of 60 m and an area of 200 m2. Find the length x and width y of the rectangle. Un rectángulo tiene un perímetro de 60m y un área de 200m2. Halla la longitud x y la anchura y del rectángulo

31. Queremos hacer un mosaico cuadrado con azulejos también cuadrados. Si ponemos x

azulejos por cada lado, sobran 87, y si ponemos un azulejo más en cada lado, faltan 40. ¿Cuántos azulejos tenemos?

32. Con una determinada cantidad de baldosas cuadradas se forma un cuadrado de x baldosas por lado, sobrando 27 baldosas. Si se forma un cuadrado con una baldosa más por lado, faltan 40 baldosas. ¿Qué cantidad de baldosa se tenía?

33. Una piscina de dimensiones 9x15m está rodeada por un camino de cemento de ancho

uniforme, cuya área es de 81m2. Calcula el ancho del camino. 34. Calcula la medida de los lados de un rectángulo tal que si se aumenta la base en 5 m y se

disminuye la altura en 5 m, el área no varía, pero si se aumenta la base en 5 m y se disminuye la altura en 4 m, el área aumenta en 4 m.

35. En un triángulo isósceles el lado desigual mide lo mismo que la altura que le corresponde.

Otro de los lados mide 10cm. Calcula: a) El perímetro del triángulo

b) El área del triángulo

c) La altura del triángulo que corresponde al lado de 10cm

36. Determina las dimensiones de un rectángulo, cuya superficie mide 8cm2, sabiendo que su

diagonal mide 25cm

Área y Volumen de Cuerpos Geométricos 37. El suelo de una habitación es rectangular. Un lado del suelo mide 2m más que el otro. La

altura de la habitación es de 2,5m, y el volumen 37,5m3. Calcula los lados del suelo. 38. Calcula la altura de un cono sabiendo que mide la mitad que el radio y que su generatriz

mide 3√5𝑐𝑚 39. Los radios de dos esferas, medidos en metros, son números enteros consecutivos. La

diferencia de sus áreas es de 12π m2. Calcula los radios.

40. Una montaña en forma de cono y de 2000m de altura tiene su base sobre el fondo del océano. La parte emergida de la montaña representa 1/8 de su volumen total- ¿Cuál es la profundidad del océano en ese punto?

41. El área de una esfera es el triple de su volumen. Halla su radio.

42. Un cilindro tiene 4cm de altura, y su área lateral es igual al área conjunta de las dos tapas. Halla su radio.

PERÍMETROS Y ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS

NOMBRE DEFINICION FIGURA PERÍMETRO ÁREA

Cuadrado Cuadrilátero de cuatro lados y 4 ángulos iguales. l=lado d=diagonal

P = 4.l A = l2

Rectángulo Cuadrilátero con ángulos iguales y lados iguales dos a dos. b = base h = altura

P = 2b + 2h A = b.h

Romboide

Cuadrilátero cuyos lados opuestos son iguales y paralelos. h=altura b=base l = lado oblicuo

P = 2b + 2l A=b.h

Rombo Romboide con los 4 lados iguales. Sus diagonales se cruzan en ángulo de 90º d=diagonal mayor d'=diagonal menor

P = 4.l 𝐴 =𝑑. 𝑑′

2

Trapecio

Cuadrilátero que tiene dos de sus lados paralelos y los otros dos no. b=base mayor b'=base menor h=altura

P = suma de lados

𝐴

=𝑏 + 𝑏′

2. ℎ

Triángulo Polígono de tres lados. h=altura b=base

P = suma de lados

𝐴 =𝑏. ℎ

2

Polígono regular Polígono en el que todos los lados y ángulos son iguales. a=apotema l=lado n=número de lados

P = n.l 𝐴 =𝑃. 𝑎

2

Circunferencia y círculo

Circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro, llamado centro. Círculo es su interior r=radio

P = L= 2.π.r A = π. r2

Sector circular Porción de círculo limitada por dos radios α = ángulo central

larco = 𝛼

360°2𝜋𝑟

P = 2r + larco

A = 𝛼

360°𝜋. 𝑟2

ÁREAS Y VOLUMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE FIGURA DESARROLLO ÁREA VOLUMEN

Cubo

A = 6.a2 V = AB.H

V = a3

Ortoedro

A = 2ab + 2bc + 2ac

V = AB.H

V =a.b.c

Prisma

A = 2AB + AL V = AB.H

Cilindro

A = 2AB + AL

A = 2.πR2

+ 2πR.H

V = AB.H

V = πR2.H

Pirámide

A = AB + AL

𝑉 =

𝐴𝐵. 𝐻

3

Cono

A = AB + AL

𝐴 = 𝜋𝑅2

+

𝜋𝑅𝐺

𝑉 =𝐴𝐵. 𝐻

3

Esfera

No tiene 𝐴 = 4𝜋𝑅2 𝑉 =4𝜋𝑅3

3

Cuaderno de 2º ESO · Para imprimir unos folletos publicitarios, ... Extraer una carta de una...

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