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CUADERNO DE EJERCICIOS DE

PROBABILIDAD

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE ESTADÍSTICA

ITAM

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El presente documento es una compilación de ejercicios de los temas

comprendidos en el curso de probabilidad, y tiene como objetivo que el

alumno refuerce los conceptos vistos en clase con ejemplos concretos y

de un nivel de dificultad aproximado al necesario para aprobar el curso.

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INDICE

TEMA 1 FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD 3

TEMA 2 VARIABLES ALEATORIAS 11

TEMA 3 ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 20

TEMA 4 DISTRIBUCIONES MULIVARIADAS 31

TEMA 5. DISTRIBUCIÓN NORMAL MULTIVARIADA 40

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Tema 1: Fundamentos de probabilidad

1.- Construya el espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.

a) Se pregunta a una persona si la primera letra de su apellido es vocal o consonante

b) Se pregunta a una persona si el día del mes en que nació es non o par.

c) Se observa el comportamiento de 10 acciones de la Bolsa Mexicana de Valores y

se registra el número de éstas que finalizaron el día a la baja.

d) Se pregunta a una pareja el número de años cumplidos de escuela primaria

cursados por cada uno.

2.- Demostrar la verdad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones.

a) Si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) = 𝑝, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) ≤ 𝑝2

b) Si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵𝑐), entonces 𝐴 = ∅

c) Si 𝑃(𝐴) = 0, entonces 𝐴 = ∅

d) Si 𝑃(𝐴) = 0, entonces 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0

3.- Una urna contiene tres pelotas rojas, dos blancas y una azul. Una segunda urna contiene

una pelota roja, dos blancas y tres azules.

a) Una pelota es seleccionada al azar de cada urna.

a.1) Describe el espacio muestral para este experimento.

a.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color.

a.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la

probabilidad de que ambas pelotas sean blancas?

b) Se selecciona aleatoriamente una urna y se extraen dos pelotas.

b.1) Describa el espacio muestral para este experimento.

b.2) Encuentre la probabilidad de que ambas pelotas sean del mismo color.

b.3) ¿La probabilidad de que ambas pelotas sean rojas es mayor que la de

que ambas sean blancas?

4.- Dado que 0 < 𝑃(𝐴) < 1 y 0 < 𝑃(𝐵) < 1, probar la veracidad o falsedad de cada una de

las siguientes afirmaciones.

a) Si 𝑃(𝐴|𝐵) ≥ 𝑃(𝐴), entonces 𝑃(𝐵|𝐴) ≥ 𝑃(𝐵).

b) Si 𝑃(𝐵|𝐴𝑐) = 𝑃(𝐵|𝐴), entonces A y 𝐵 son independientes.

c) Si 𝑃(𝐴) = 𝑎 y 𝑃(𝐵) = b, entonces 𝑃(𝐴|𝐵) ≥𝑎+𝑏−1

𝑏.

d) Si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵), entonces 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴).

e) Si 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴), entonces 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵).

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5.- Un dado es lanzado tantas veces como sea necesario hasta obtener un seis. ¿Cuál es la

probabilidad de que se necesiten más de cuatro lanzamientos para obtener un seis, dado

que no se obtuvo un seis en el primer lanzamiento?

6.- a) Si 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) =1

2 , encontrar 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶).

b) Demuestre que si 𝐴, 𝐵 y 𝐶 son tres eventos tales que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ≠ 0 y

𝑃(𝐶|𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐶|𝐵), entonces 𝑃(𝐴|𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴|𝐵).

7.- a) Sean 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝑛 eventos mutuamente excluyentes y 𝐵 = ⋃ 𝐵𝑗𝑛𝑗=1 . Supongamos

que 𝑃(𝐵𝑗) > 0 y que 𝑃(𝐴|𝐵𝑗) = 𝑝 para 𝑗 = 1,2, … , 𝑛. Demostrar que 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑝.

b) Sean 𝐴 y 𝐵 dos eventos mutuamente excluyentes tales que 𝑃(𝐴) > 0 y 𝑃(𝐵) > 0

Demuestre que 𝐴 y 𝐵 no pueden ser independientes.

8.- Sean A y B dos eventos independientes en un espacio de probabilidad (Ω , 𝐴, 𝑃).

a) Demostrar la independencia entre 𝐴 y 𝐵𝑐 y entre 𝐴𝑐 y 𝐵 y finalmente entre 𝐴𝑐 y

𝐵𝑐.

b) Si 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵) =1

2, encontrar 𝑃[(𝐴 ∩ 𝐵𝑐) ∪ (𝐴𝑐 ∩ 𝐵)].

9.- Supóngase que un punto es escogido al azar en el cuadrado unitario. Sea 𝐴 el evento: el

punto esté en el triángulo delimitado por las líneas 𝑦 = 0, 𝑥 = 1 y 𝑥 = 𝑦, y sea 𝐵 el evento:

el punto esté en el rectángulo con vértices (0,0), (1,0), (1,1

2) , (0 ,

1

2). Calcule 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)y

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

10.- Suponga que los coches tienen la misma probabilidad de ser fabricados en lunes,

martes, miércoles, jueves o viernes. Los coches hechos en lunes tienen una probabilidad de

4% de ser amarillos; los coches hechos en martes, miércoles o jueves tienen una

probabilidad de 1 % de ser amarillos, y los coches hechos en viernes tienen una

probabilidad de 2% de ser amarillos. Si se compra un coche y resulta ser amarillo ¿Cuál es

la probabilidad de que haya sido fabricado el lunes?

11.- Suponga que hay una prueba para detectar cáncer con la propiedad de que el 90% de

aquellas personas con cáncer reaccionan positivamente y el 5% de aquellas sin cáncer

reaccionan positivamente. Si el 1% de los pacientes en un hospital tienen cáncer, ¿cuál es la

probabilidad de que un paciente seleccionado al azar reaccione en forma positiva a la

prueba?

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12.- Una máquina tiene 4 componentes que funcionan en paralelo, de tal forma que la

máquina falla si por lo menos tres componentes fallan. Suponga que las fallas en los

componentes son independientes entre sí. Si los componentes tienen probabilidades de 0.1,

0.2, 0.3 y 0.4 de fallar respectivamente cuando la máquina se pone a funcionar, ¿cuál es la

probabilidad de que la máquina funcione correctamente cuando empiece a funcionar?

13.- Un portafolio de inversión está formado por 10 acciones de las cuales 6 finalizaron a la

alza y 4 a la baja el día de hoy.

a) Se escogen aleatoriamente 3 acciones del portafolio, pero no se sabe si estuvieron

a la alza o a la baja el día de hoy. Encuentre la probabilidad de que una cuarta

acción seleccionada aleatoriamente del portafolio haya finalizado a la baja.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que las primeras tres acciones hayan finalizado a la

alza si la cuarta acción seleccionada finalizó a la baja?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres acciones escogidas hayan finalizado a la

alza si se sabe que al menos una de ellas terminó a la alza?

14.- Un punto es seleccionado aleatoriamente en el cuadrado unitario y se sabe que está en

el triángulo delimitado por 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1. Encuentre la probabilidad de que el

punto también se encuentre en el triángulo delimitado por 𝑥 = 1, 𝑦 = 0 y 𝑥 = 𝑦.

15.- La experiencia indica que el 20% de las personas que reservan una mesa en algún

restaurante nunca asisten. Si un restaurante tiene 50 mesas y acepta 52 reservaciones, ¿cuál

es la probabilidad de que se pueda acomodar a todas las personas que lleguen?

16.- Un autobús empieza su recorrido con 6 personas y realiza 10 paradas en diferentes

lugares. Suponga que todos los pasajeros tienen la misma probabilidad de bajarse en

cualquier parada. Encuentre la probabilidad de que no bajen dos o más pasajeros en la

misma parada.

17.- Sean 𝐴 y 𝐵 dos eventos tales que : 𝑃(𝐴) =1

4, 𝑃(𝐵|𝐴) =

1

2 𝑦 𝑃(𝐴|𝐵) =

1

4.

i) Demuestra que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) > 0.

ii) Demuestre que 𝐴 no es subconjunto de 𝐵.

iii) Calcule 𝑃(𝐴𝑐|𝐵𝑐).

iv) Calcule 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴|𝐵𝑐).

v) Calcule 𝑃(𝐴|𝐵) + 𝑃(𝐴𝑐|𝐵).

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18.- Sean 𝐴 y 𝐵 dos eventos independientes tales que 𝑃(𝐴) = 0.3, 𝑃(𝐵) = 0.2. Encuentre:

a) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵).

b) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵).

c) 𝑃(𝐴|𝐵).

19.- A 100 estudiantes del ITAM se les pregunta el tipo de transporte que utilizan para

llegar al ITAM. Los resultados de las entrevistas han sido clasificadas en la siguiente tabla

de contingencia:

Carro

propio

Otro

Hombre 40 22

Mujer 29 9

¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al azar:

a) Sea mujer?

b) Sea hombre y utilice carro propio?

c) Sea mujer o use carro propio?

d) Dado que es mujer no utilice carro propio?

e) Dado que no utilice carro propio no sea mujer?

f) Que no sea hombre ni utilice carro propio?

20.- En cierto banco se sabe que 1 de cada 10 personas tarda más de 1 hora en realizar

todos sus trámites. Cuatro personas llegan a este banco simultáneamente y el tiempo que se

va a tardar cada una es independiente del que se van a tardar las otras personas. ¿Cuál es la

probabilidad de que:

a) Todas salgan en menos de una hora?

b) Todas salgan en más de una hora?

c) Dos de las cuatro personas salgan después de una hora?

21.- ¿Cuáles de los siguientes eventos son independientes? Use el sentido común.

a) A-Persona que es jugador profesional de básquetbol B-persona cuya estatura es

mayor de 1.83m.

b) A- Persona con una estatura de más de 1.83m B-Persona cuyo padre mide más de

1.83m.

c) A-color de cabello B-sabor de helado favorito.

d) A- edad del individuo B-tipo de música favorita.

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22.- A partir de experiencias previas, una casa de bolsa considera que bajo las condiciones

actuales, un cliente invertirá en instrumentos de renta fija con una probabilidad de 0.6, en

instrumentos de renta variable con una probabilidad de 0.3 y en instrumentos de renta fija o

variable, o en ambos, con una probabilidad de 0.8. ¿Cuál es la probabilidad de que un

cliente escogido al azar invierta:

a) En ambos instrumentos?

b) En ninguno de estos instrumentos?

23.- En un salón de 28 alumnos, 7 miden al menos 1.80 metros. Se va a formar un equipo

de basquetbol (5 integrantes), pero como todos tienen muchas ganas de jugar, el equipo no

se escogerá de acuerdo a las estaturas, sino al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que al

menos tres miembros del equipo midan 1.80 metros o más?

24.- Tres eventos A, B y C se definen en un espacio muestral. Los 3 conjuntos

correspondientes a estos 3 eventos no se intersectan y la unión de los 3 es el espacio

muestral. El evento B es dos veces más probable que ocurra que el evento A, y el evento C

es dos veces más probable que ocurra que el evento B. Determine la probabilidad de cada

uno de estos eventos.

25.- Verifique la validez de las siguientes proposiciones. Si la respuesta es falsa, explique la

razón de que así sea.

a) Si 𝑃[𝐴] = 0.1, 𝑃[𝐵] = 0.3 y 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, entonces 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0.06.

b) Si 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ y 𝑃[𝐵] = 0.2, entonces 𝑃[𝐴|𝐵] = 0.

c) Si 𝑃[𝐵] = 0.05, 𝑃[𝐴|𝐵] = 0.80 y 𝑃[𝐴|𝐵𝑐] = 0.5, entonces 𝑃[𝐵|𝐴] = 0.0777.

d) Si 𝑃[𝐴] = 0.8 y 𝑃[𝐵] = 0.7, entonces 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] ≥ 0.5.

e) ¿Es posible que 𝑃[𝐴] = 0.7, 𝑃[𝐵] = 0.4 y 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅?

26.- Una compañía maneja 3 fondos de inversión diferentes. Sea 𝐴𝑖 el evento de que el i-

ésimo fondo de inversión incremente su valor cierto día. Algunas probabilidades

relacionadas con los fondos de inversión son:

𝑃[𝐴1] = 0.55 𝑃[𝐴2] = 0.6 𝑃[𝐴3] = 0.45 𝑃[𝐴1 ∪ 𝐴2] = 0.82

𝑃[𝐴1 ∪ 𝐴3] = 0.7525 𝑃[𝐴2 ∪ 𝐴3] = 0.78 𝑃[𝐴2 ∩ 𝐴2 ⋮ 𝐴1] = 0.2

a) ¿Son 𝐴1 y 𝐴2 independientes?

b) ¿Son 𝐴3 y 𝐴2 independientes?

c) ¿Son 𝐴1 , 𝐴2 y 𝐴3 eventos independientes?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor?

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e) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1, 2 y 3 aumenten su valor?

f) ¿Cuál es la probabilidad de que los fondos 1 y 2 aumenten su valor dado que el

fondo 3 incrementó su valor?

g) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los tres fondos de

inversión incremente su valor?

27.- Mr. Bandit, un conocido ranchero, pero no conocido ladrón de ganado; tiene 20

cabezas listas para vender. Dieciséis de estas cabezas son suyas y consecuentemente llevan

su propia marca. Las otras cuatro llevan marcas ajenas. Mr. Bandit sabe que el inspector de

marcas revisa el 20% del ganado de cualquier cargamento. Él tiene dos camiones, uno

puede cargar a las 20 cabezas a la vez, el otro puede cargar sólo 10. Mr. Bandit considera 4

estrategias en su intento de llevar el ganado al mercado para venderlo sin que sea

descubierto:

1) Enviar en un sólo cargamento las 20 cabezas.

2) Enviar dos cargamentos de 10 cabezas cada uno, en donde las cuatro cabezas

robadas se encuentran en uno de los viajes.

3) Se envían dos cargamentos de 10, uno con 3 cabezas robadas y el otro con una.

4) Se envían dos cargamentos de 10, cada uno con dos cabezas robadas.

¿Qué estrategia minimiza la probabilidad de que Mr. Bandit sea descubierto?

28.- Considere una urna que contiene 10 pelotas de las cuales 5 son negras. Primero se

escoge al azar un número n en 1,2,3,4,5,6 , y después se selecciona una muestra de

n pelotas sin reemplazo de la urna.

a) Descubra el espacio muestral asociado al número de pelotas negras en la muestra.

b) Encuentre la probabilidad de que todas las pelotas en la muestra sean negras.

c) Si se realizara un juego con este experimento en el cual tendrían que pagar $100

y por cada pelota negra obtenida se recibieran $50.

i) Describa el espacio muestral del dinero que se puede ganar en este juego.

ii) ¿Cuál es la probabilidad de que se ganen más de $100 en el juego?

iii) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $500?

29.- Un jugador tira un par de dados dos veces. Él gana si los dos totales obtenidos no

difieren en más de dos, con las siguientes excepciones: si obtiene un 3 en el primer tiro,

debe obtener un 4 en el segundo tiro; si obtiene un 11 en el primer tiro, debe obtener un 10

en el segundo ¿Cuál es la probabilidad de que gane?

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30.- Usted es dueño de un pequeño negocio y ha contratado la entrega de su producto a un

precio fijo de $20 por unidad. A usted le gusta la seguridad que proporciona un contrato

garantizado pero está preocupado por dos posibles catástrofes: a) que la Reserva Federal

declare una disminución en los créditos, el cual limitará el financiamiento que necesita para

la compra de materia prima y a la fabricación de su producto, o b) que la reserva federal

permita cierta inflación y aumente los costos de la materia prima y mano de obra lo que

impide a usted obtener utilidades al precio de $20 por unidad. En su opinión, la

probabilidad de disminución en los créditos es 0.2 y la probabilidad de inflación es 0.1. Si

estos dos sucesos son mutuamente excluyentes, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno

o el otro?

31.- En Wall Street la tradición dice que si un equipo de la NFC gana el súper tazón, los

precios de las acciones serán más altos un año después y si gana un equipo de la AGC el

mercado se desplomará. Un artículo de USA Today muestra que lo primero sólo ha

ocurrido 22 de 25 veces y lo segundo 9 de 14 veces. Suponga que la probabilidad de que

ganen los Vaqueros de Dallas de la NFC es de 0.75. Obtenga la probabilidad de los precios

de las acciones aumenten el siguiente año.

32.- Una compañía famosa de botanas en México lanzo una promoción en el año de 1999

en la cual en sus productos aparecía una tarjeta con 6 círculos para rascar. En cada círculo

podía aparecer una estrella o la palabra “PIERDE”. Los premios dependían del número de

estrellas que se encontraran sin tener un solo “pierde”, y eran:

No. De

estrellas

Premio

2 Participaba en la rifa de

$100000

3 Una bosa de botana de 40g

4 Una computadora

5 Un coche nuevo

Una tarjeta podía contener 3,4 o 5 estrellas cubiertas, si la probabilidad de que la tarjeta

tuviera 3 estrellas era 0.99, de que tuviese 4 era 0.009 y de que tuviese 5, 0.001:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 2 estrellas al rascar 2 círculos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentren 4 estrellas al rascar 4 círculos?

c) Si una persona encontró 4 círculos, ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera

encontrado la 5ª estrella?

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33.- Una persona tiene la siguiente estrategia de juego en las vegas. Apuesta $100 a que la

ruleta caerá en el rojo y si gana, se retira. Si pierde, entonces hace la misma apuesta pero

con $200 e independientemente del resultado se retira. Suponiendo que tiene una

probabilidad de ½ de ganar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane con esta estrategia?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de $100?

c) ¿Por qué no todas las personas usan esta estrategia?

34.- En un casino se juega de la siguiente manera:

Se lanzan 2 dados honestos de 6 caras, de los números impares obtenidos se gana la suma

en cientos de pesos y de los números pares se pierde el 75% de la suma en cientos de pesos.

Por ejemplo, si se obtiene (1,2) de gana (1 X 100) y se pierde -75(2) (100), es decir,

finalmente se pierden $50

a) ¿Cuál es el espacio muestral de lo que se gana en este juego?

b) ¿Cuál es la probabilidad de ganar $600?

c) ¿Cuál es la probabilidad de perder $600?

d) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en este juego?

e) ¿Cuál es la probabilidad de perder en este juego?

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Tema 2: Variables Aleatorias

1.- a) Enseguida se presentan unas funciones. Diga si éstas pueden ser de densidad de

probabilidad y si son continuas o discretas. Justifique su respuesta.

i) 𝑓(𝑥) = 3(1 − 𝑥)2, para 0 < 𝑥 < 1.

ii) 𝑓(𝑥) =𝑥2+5𝑥

20, para 𝑥 = 1,2,3,4,5.

iii) 𝑓(𝑥) =1

2√𝑥, para 0 < 𝑥 < 4.

iv) 𝑓(𝑥) =12

25𝑥, para 𝑥 = 1,2,3,4.

v) 𝑓𝑥(𝑥) =𝑒−𝜃

𝑥!𝜃𝑥, 𝑥 = 0,1,2, … , 𝜃 > 0

b) ¿Cuáles de las siguientes son funciones de probabilidad o de densidad?, justifique

su respuesta.

i) 𝑓(𝑥) = .02𝑥0.61−𝑥𝐼0,1(𝑥).

ii) 𝑓(𝑥) = 0.3(0.7)𝑥𝐼0,1,… (𝑥).

iii) 𝑓(𝑥) = 0.6𝑒−𝑥

4𝐼(0,∞)(𝑥).

iv) 𝑓(𝑥) = 𝑥−1𝐼[1,𝑒](𝑥).

2.- Sea N un número positivo y sea f una función dada por:

𝑓(𝑥) = 𝑐2𝑥, 𝑥 = 1,2, … ,𝑁0 𝑒. 𝑜. 𝑐

a) Encuentre el valor de c tal que 𝑓(𝑥) sea función de probabilidad.

b) Obtenga la función de distribución acumulada.

c) Obtenga la moda y el valor esperado de X.

d) Encuentre 𝑃(𝑋 = 1|𝑋 < 3).

3.- Un dado se tira hasta que un 6 aparece.

a) Obtenga la función de probabilidades de la variable aleatoria𝑌, que indica el

número de tiros necesarios hasta que un 6 aparezca.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más el dado se tire 6 veces?

c) ¿Cuántos tiros se necesitan para que la probabilidad de obtener un 6 sea al menos

.5?

d) Obtenga el valor esperado de 𝑌.

4.- Sea X una variable aleatoria cuya función de distribución acumulada está dada por:

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𝐹(𝑥) =

0 𝑥 < 0

𝑥

3 0 ≤ 𝑥 < 1

𝑥

2−1

6 1 ≤ 𝑥 <

7

3

1 𝑥 ≥7

3

a) Calcule:

i) 𝑃 (1

2≤ 𝑥 ≤

3

2).

ii) 𝑃 (1

2≤ 𝑥 ≤ 1).

iii) 𝑃 (1

2≤ 𝑥 < 1).

b) Encuentre 𝑓(𝑥) y grafíquela.

c) Obtenga el valor esperado, la mediana y la varianza.

d) Obtenga la función generadora de momentos.

5.- Pruebe la verdad o falsedad de la siguiente afirmación: si 𝑓1(𝑥) y 𝑓2(𝑥) son funciones de

densidad y si los valores 𝜃1 y 𝜃2 son tales que 𝜃1 + 𝜃2 = 1; 𝜃1, 𝜃2 ≥ 0 , entonces

𝜃1𝑓1(𝑥) + 𝜃2𝑓2(𝑥) es también una función de densidad.

6.- El individuo A tiene dos monedas y el individuo B tiene una. Ellos juegan volados hasta

que uno de los dos tiene las 3 monedas. Sea 𝑋 el número de volados requerido para que el

juego se acabe.

a) ¿Cuál es la función de probabilidad de 𝑋?

b) Obtenga la función generadora de momentos de X.

c) Obtenga los coeficientes de simetría y curtosis. Utilice la función generadora de

momentos.

7.- El número de solicitudes de apertura de crédito que se reciben diariamente en un banco

es una variable aleatoria 𝑊 con la siguiente función de distribución.

𝐹(𝑤) =

0, 𝑤 < 00.1, 0 ≤ 𝑤 < 10.3, 1 ≤ 𝑤 < 20.7, 2 ≤ 𝑤 < 4 1, 4 ≤ 𝑤

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a) Encuentre la probabilidad de que se reciban dos o más solicitudes en un día.

b) Si en la mañana de un día ya se recibió una solicitud, ¿cuál es la probabilidad de

que al final del día se hayan recibido tres o más solicitudes?

c) Encuentre la función de densidad de 𝑊.

8.- Suponga que la duración en minutos de cada llamada que se realiza en una empresa, es

una variable aleatoria 𝑋 cuya función de densidad de probabilidad está dada por:

𝑓(𝑥) = 1

4𝑒−

𝑥4 , 𝑥 > 0

0, 𝑒. 𝑜. 𝑐.

Obtenga:

a) La función de distribución de 𝑋 y grafíquela.

b) La función generadora de momentos.

c) El promedio de la duración de las llamadas.

d) La varianza y el coeficiente de variación de la duración de las llamadas.

e) el coeficiente de asimetría y curtosis. Interprete.

f) Obtenga los cuantiles .25, .5 y .75.

g) 𝑃(𝑥 > 4|𝑥 > 2).

h) En un grupo de llamadas de tamaño 𝑁 ¿Indique cuál es la probabilidad de que 𝑁

2

de ellas duren menos que el promedio?

9.- La proporción de declaraciones anuales del I.S.R. que se presentan correctamente a la

S.H.C.P., es una variable aleatoria W que tiene la siguiente función de densidad.

𝑓(𝑤) =3

2𝑤2 +𝑤, 0 ≤ 𝑤 ≤ 1

El costo (cientos de millones de $) del seguimiento que realiza la S.H.C.P. De las

declaraciones está dado por: 𝐶 = 𝐶(𝑤) = 5 − 0.5𝑤 − 0.1𝑤2.

a) Encuentre el valor esperado y la desviación estándar del costo.

b) ¿Qué relación debe darse entre 𝐸[𝐶(𝑤)] y 𝐶(𝐸[𝑤]) . Justifique su respuesta.

10.- Considere la variable aleatoria 𝑌 que representa el ingreso de las personas en cierta

localidad. Una posible forma de estudiar el comportamiento de 𝑌 es proponer que su

distribución es:

𝑓(𝑦) =∝ 𝛽𝛼

𝑦𝛼+1, 𝑦 ≥ 𝛽

En donde α, β son parámetros. Esta distribución se conoce con el nombre de distribución de

Pareto.

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a) Construya la gráfica de 𝑌 para diferentes valores de α, β. Analice estas gráficas,

¿qué se puede decir del comportamiento de la variable 𝑌?

b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al origen.

c) Obtenga el coeficiente de asimetría y de curtosis. Interprete.

11.- Un inversionista realiza dos inversiones independientes y piensa lo siguiente:

La inversión 1 tendrá una ganancia de $1000 con una probabilidad de 0.6 o una pérdida de

$400 con probabilidad de 0.4.

La inversión 2 tendrá una ganancia de $2000 con una probabilidad de .1, una ganancia de

$700 con una probabilidad de 0.4 y una pérdida de $500 con probabilidad de 0.5.

a) Obtenga la función de distribución de la ganancia o pérdida obtenida por las 2

inversiones y grafíquela.

b) Obtenga la probabilidad de que el inversionista no pierda.

c) Obtenga la ganancia esperada y la varianza.

12.- Si 𝑋 es una variable aleatoria continua con función de densidad 𝑓(𝑥) y función de

distribución 𝐹(𝑥), obtenga las funciones de densidad de las siguientes variables en términos

de 𝑓(𝑥) y 𝐹(𝑥).

a) 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋.

b) 𝑍 =1

1+𝑋.

c) 𝑊 = 𝑒𝑥.

d) Indique cómo se relacionan 𝐸[𝐺(𝑋)] y 𝐺(𝑒[𝑋]) para las funciones anteriores.

13.- Una persona está considerando tres estrategias para invertir $10000. Los rendimientos

probables fueron estimados como se presentan a continuación:

Estrategia 1: Una ganancia de $100000 con probabilidad de 0.15 y una pérdida de $10000

con probabilidad 0.85.

Estrategia 2: Una ganancia de $10000 con probabilidad de .5, una ganancia de $5000 con

probabilidad de 0.3 y una pérdida de $5000 con probabilidad de 0.2.

Estrategia 3: Una ganancia de $4000.

a) ¿Cuál es la estrategia que tiene la mayor ganancia esperada?

b) Obtenga la desviación estándar de los rendimientos de cada estrategia.

c) ¿Usted le recomendaría a esta persona escoger la estrategia de mayor ganancia

esperada? Justifique.

d) Un amigo le recomienda que combine las primeras dos estrategias de tal forma

que invierta una proporción de la inversión inicial en la primera estrategia y el resto

en la segunda, pero le advierte que los rendimientos que obtenga son directamente

proporcionales a lo que se invierta en cada una. Si invierte 50% en cada una, ¿le

está dando un buen consejo a su amigo? ¿Por qué?

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14.- Sea 𝑌 la proporción de un año que una persona se encuentra desempleada. La función

de densidad de 𝑓(𝑦) está dad a por:

𝑓(𝑦) = 12𝑦2(1 − 𝑦), 0 ≤ 𝑦 ≤ 1

a) Obtenga la función de distribución. Grafíquela.

b) Obtenga el valor esperado y la varianza.

Una transformación (logit) para pasar del intervalo (0,1) a los reales, y que es de mucha

utilidad en los modelos estadísticos lineales es:

𝑤 = 𝑙𝑜𝑔𝑦

1 − 𝑦

c) Obtenga la función de distribución de w.

d) Obtenga la función de densidad de w.

e) Obtenga el valor esperado y la varianza de w.

15.- Un inversionista piensa asignar cierto monto en cada una de 2 inversiones y cuenta con

un total de $200000 para invertir:

El primer instrumento de inversión tiene un rendimiento del 10%, mientras que el segundo

tiene un rendimiento esperado del 18% y una desviación estándar del 6%. Esta persona no

sabe qué monto de su dinero destinará a cada instrumento.

a) Cuál es el rendimiento total esperado y la desviación estándar si:

i) Todo lo destina al primer instrumento.

ii) Todo lo destina al segundo instrumento.

iii) Invierte la mitad en cada uno.

iv) Invierte $50000 en el primero y el resto en el segundo.

b) Proponga uno (o más) criterio(s) para decidir el monto a invertir en cada

instrumento. De acuerdo a estos criterios ¿cuánto le conviene invertir en cada

instrumento?

16.- Sea un número N entero positivo, y sea 𝑓(𝑥) la función definida por:

𝑓(𝑥) =2𝑥

𝑁(𝑁 + 1), 𝑥 = 1,2, … ,𝑁

Demuestre que 𝑓(𝑋) es una función de densidad y encuentre su valor esperado.

16

17.- La distribución dada por:

𝑓(𝑥) =1

𝛽2𝑥 𝑒

−12(𝑥𝛽)2

𝐼(0,∞)(𝑥)

Es llamada la distribución Raleigh. Demuestre que la media y la varianza existen y

encuéntrelos.

18.- La variable aleatoria 𝑍 tiene función de densidad dada por:

𝑓(𝑧) = 𝑐 + 𝑑𝑧, 0 < 𝑧 < 2

a) Calcule los valores de c y d tales que el valor esperado de la variable 𝑍 sea igual a

4/3.

b) Obtenga el valor esperado y la varianza de 𝑊 si 𝑊 = 7 − 2𝑧2 .

19.- Sea 𝑋 una variable aleatoria con la siguiente función de densidad.

𝑓(𝑥) =𝛤 (𝑘 +

12)

𝛤 (𝑘2)√𝑘𝜋

(1 + 𝑥2/𝑘)−(𝑘+1)/2, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑘 > 0

en donde k es el parámetro y 𝛤(∙) la función analítica Gamma dada por:

𝛤(𝑡) = ∫ 𝑦𝑡−1𝑒−𝑦𝑑𝑦∞

0

Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución t de Student.

Los momentos centrales de esta variable son:

𝜇𝑟 = 0, 𝑘 > 1, 𝑟 = 1,3,5, …

𝜇𝑟 = 𝑘𝑟2𝐵 (𝑟 + 12 ,

𝑘 − 𝑟2 )

𝐵 (12 ,𝑘2)

, 𝑘 > 2, 𝑟 = 2,4,6, …

a) Construya la gráfica de la función de densidad para k=1, 5,10.

b) ¿Cuál es el valor esperado de esta variable aleatoria?

c) Obtenga el valor de los primeros cuatro momentos centrales, el coeficiente de

asimetría y curtosis.

d) ¿Qué sucede con los coeficientes obtenidos si 𝑘 → ∞?

20.- Sea X una variable aleatoria con función de densidad:

17

𝑓(𝑥) =𝛤((𝑚 + 𝑛)/2)

𝛤 (𝑚2)𝛤 (

𝑛2)

𝑥(𝑚−2)/2

(1 + 𝑚𝑥/𝑛)(𝑚+𝑛)/2, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑘 > 0

en donde 𝑚, 𝑛 = 1,2, … son los parámetros de la distribución.

Los momentos con respecto al origen están dados por:

𝜇𝑟´ =

𝑛

𝑚

𝑟 𝛤 (𝑚2 + 𝑟)𝛤 (

𝑛2 − 𝑟)

𝛤 (𝑚2)𝛤 (

𝑛2)

, 𝑟 <𝑛

2

Esta distribución de probabilidad se conoce como distribución F.

a) Construya la gráfica de la función de densidad para m=1, n=2.

b) Obtenga la media y la varianza de la variable aleatoria.

c) ¿Qué signo debe tener el coeficiente de asimetría de la función F?

21.-a) Con relación al ejercicio 26 del tema “Fundamentos de probabilidad”. Considere que

al apostar a color en la ruleta el pago es uno a uno. Se define la variable aleatoria G como la

ganancia neta obtenida con esta estrategia.

1) Obtenga la distribución de probabilidad de 𝐺 .

2) Obtenga el valor esperado y la varianza para la ganancia neta de esta persona.

3) ¿Conviene jugar con esta estrategia?

b) Para el ejercicio 34 del tema “Fundamentos de probabilidad” sea 𝑋 la variable aleatoria

que indica la ganancia neta en el juego.

i) Obtenga la función de densidad de X y grafíquela.

ii) Obtenga la esperanza y la varianza de X .

iii) ¿Conviene jugar este juego?

c) En el ejercicio 28 del tema “Fundamentos de probabilidad” si 𝑌 es la ganancia neta

obtenida.

i) Obtenga la función de densidad de 𝑌 y grafíquela.

ii) Obtenga la esperanza y la varianza de𝑌.

iii) ¿Conviene jugar este juego?

22.- La cantidad diaria de agua demandada por la población de una ciudad grande del norte

del país durante los meses de verano es el resultado de una variable aleatoria X medida en

millones de litros y que tiene la siguiente función generadora de momentos.

𝑀𝑋(𝑡) = (1 − 0.5𝑡)−10, 𝑡 < 2

a) Obtenga la esperanza y la varianza.

18

b) Construya el intervalo a 2.5 desviaciones estándar de la media e indique qué

puede asegurarse de dicho intervalo.

c) ¿Es la función de densidad de la variable aleatoria 𝑋 simétrica? Justifique.

23.- Los primeros tres momentos con respecto al origen de la variable aleatoria 𝑌 son:

𝜇1′ = 0.5, 𝜇2

′ = 0.5, 𝜇3′ = 0.75

a) Obtenga los tres primeros momentos con respecto a la media.

b) ¿Es sesgada la densidad de 𝑌?

24.- Sea 𝑋 una variable aleatoria con función generadora de momentos 𝑀𝑥(𝑡) Demuestre

que:

a) 𝑀𝑥+𝑎(𝑡) = 𝑒𝑡𝑎𝑀𝑥(𝑡) .

b) 𝑀𝑏𝑥(𝑡) = 𝑀𝑥(𝑏𝑡) .

c) 𝑀𝑥+𝑎

𝑏

(𝑡) = 𝑒𝑡𝑎

𝑏𝑀𝑥(𝑡/𝑏) .

d) Utilice estas propiedades y obtenga la media y la varianza de:

i) 𝑌 = 𝑋 + 𝑎.

ii) 𝑍 = 𝑏𝑋.

iii) 𝑊 =𝑋+𝑎

𝑏.

expresadas en términos de la media y varianza de 𝑋 .

25.- El gerente de una pastelería está considerando cuántos pasteles de chocolate se deben

hacer cierto día. Él sabe que el número de pasteles de chocolate que son demandados por

los clientes en ese día es una variable aleatoria con función de probabilidad dada por:

𝑓(𝑥) =𝑥 + 1

15𝐼0,1,2,3(𝑥) +

7 − 𝑥

15𝐼4,5(𝑥)

La pastelería tiene una ganancia de $15 en cada pastel de chocolate que se vende. Si el

pastel no se vende en ese día, se tira (porque no está fresco) y la pastelería pierde $10. Si el

gerente desea maximizar la ganancia diaria esperada por la venta de pasteles de chocolate,

¿cuántos pasteles se deben hacer? , ¿cuál es la varianza de la ganancia diaria?

26.- Una clase de economía tiene un total de 20 estudiantes con la siguiente distribución de

edad.

19

Edad No.de estudiantes

19 10

20 4

21 4

24 1

29 1

El profesor seleccionará aleatoriamente y sin reemplazo a 2 estudiantes de la clase para

que realicen un reporte del estado de la economía del país.

a) Obtenga el espacio muestral de las edades de los estudiantes seleccionados.

b) Calcule las probabilidades de cada edad.

c) Defina una variable aleatoria que represente el promedio de edad de los dos

estudiantes seleccionados. Obtenga la distribución de probabilidad de esta variable y

represéntela en una gráfica.

d) ¿Cuál es el valor esperado, la varianza, el coeficiente de asimetría y de curtosis

esta variable aleatoria?, ¿qué indican estas medidas?

20

Tema3: Algunas distribuciones de probabilidad

1.- Si 𝑋 se distribuye como Binomial, obtenga las siguientes probabilidades:

a) 𝑃(𝑋 ≤ 2).

b) 𝑃(𝑋 > 5).

c) 𝑃 (2 < 𝑋 < 5).

d) 𝑃(𝑥 > 5|𝑥 ≥ 2).

i) con 𝑛 = 8 𝑦 𝑝 = 0.2.

ii) con 𝑛 = 8 𝑦 𝑝 = 0.5.

iii) con 𝑛 = 10 𝑦 𝑝 = 0.2.

2.- Si 𝑋 se distribuye Poisson, obtenga las siguientes probabilidades:

a) 𝑃(𝑋 ≤ 4).

b) 𝑃(𝑋 ≥ 6).

c) 𝑃 (2 < 𝑋 ≤ 6).

d) 𝑃(𝑥 ≤ 6|𝑥 ≥ 3).

i) con 𝜆 = 0.6.

ii) con 𝜆 = 15.

3.- Si 𝑋 se distribuye como una normal con parámetros 𝜇 = 3, 𝜎2 = 25 Obtenga las

siguientes probabilidades:

a) 𝑃(𝑋 > 0).

b) 𝑃(𝑋 < −1).

c) 𝑃 (. 5 < 𝑋 ≤ 3.9).

d) 𝑃(|𝑥| < 4).

e) 𝑃(𝑥 < 𝑎) = 0.93.

f) 𝑃(|𝑥 − 3| > 𝑑) = 0.12.

4.- Si 𝑊 se distribuye como una normal con varianza igual a 36 y se sabe que

𝑃(𝑊 > 2) = .85 encuentre el valor de la media.

5.- 𝑋 se distribuye como 𝑁(𝜇, 𝜎2) calcule las siguientes probabilidades:

a) 𝑃(𝑥 < 𝜇).

b) 𝑃(𝑋 ≥ 𝜇).

c) 𝑃(𝜇 − 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎).

d) 𝑃(𝜇 − 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎).

e) 𝑃(𝜇 − 1.96𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 1.96𝜎).

21

6.- Si 𝑋 se distribuye Normal con valor esperado 10 y una desviación estándar 10

compruebe si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) 2P(10 < X < 12) = P(2(10) < 𝑥 < 2(12)).

b) 2 + P(10 < X < 12) = P((2 + 10) < 𝑥 < (2 + 12)).

7.- Encuentre el área bajo la curva de la normal estándar entre los siguientes puntos:

a) (−1.2,0.5). b) (1.43,1.96).

c) (−1.5,∞). d) (−∞,−1.96).

8.- a) Sea 𝑋~𝑁(𝜇, .25)encuentre la constante c tal que 𝑃(|𝑥 − 𝜇| ≤ 𝑐) = .9.

b) Sea 𝑋 v.a. 𝑁(2,1) encuentre 𝑃(|𝑥 − 2| ≤ 1). c) Sea 𝑋 v.a. con distribución Poisson para la cual 𝑃(𝑥 = 0) = 𝑃(𝑥 = 1) ¿cuál es el

valor de 𝜆?

d) ¿Cuándo puede asegurarse que la distribución de 𝑋 es la misma que la de –𝑋?

9.- Sea 𝑡𝑝 el número tal que 𝜙(𝑡𝑝) = 𝑝, 0 < 𝑝 < 1, (𝜙(𝑥) es la función de distribución

acumulada de una 𝑁(0,1))

a) Si 𝑋 es una v.a. con distribución 𝑁(𝜇, 𝜎2) , demuestre que:

𝑃(𝜇 + 𝑡𝑝1𝜎 ≤ 𝑥 ≤ 𝜇 + 𝑡𝑝1𝜎) = 𝑝2 − 𝑝1, 0 < 𝑝1 < 𝑝2 < 1,

b) Encuentre 𝜙−1(𝑝) para 𝑝 = 0.1,0.2, … ,0.9 y use estos valores para graficar 𝜙

para X~N(μ, σ2)

10.- Sea 𝑋 una v.a. que se distribuye 𝐸𝑥𝑝(𝜃).

a) Encuentre F(x) y construya la gráfica de esta función para distintos valores de θ. b) Demuestre que 𝑃(𝑋 > 𝑥 + 𝑡|𝑋 > 𝑡) = 𝑃(𝑋 > 𝑥) para toda x, t > 0. Esta

propiedad se denomina pérdida de memoria, y caracteriza a la distribución

exponencial.

11.- Encuentre el valor 𝑄 tal que 𝑃(𝑋 ≤ 𝑄) =𝑗

4, 𝑗 = 1,2,3,4 en donde 𝑋 tiene una

distribución:

a) 𝑁(𝜇, 𝜎2). b) 𝑈(𝜃1, 𝜃2). c) 𝐸𝑥𝑝(𝜆).

22

12.- Existe un conjunto de funciones que se denomina familia exponencial. Los elementos

de esta familia son aquellas densidades 𝑓( ∙ ; 𝜃1, … , 𝜃𝑛) que pueden ser expresadas como:

𝑓( ∙ ; 𝜃1, … , 𝜃𝑛) = 𝑎(𝜃1⋯𝜃𝑛)𝑏(𝑥)∑𝑐𝑗

𝑛

𝑗=1

(𝜃1, … , 𝜃𝑛)𝑑𝑗(𝑥)

Para cualesquiera funciones 𝑎(∙), 𝑏(∙), 𝑐𝑗(∙), 𝑑𝑗(∙). Demuestre que las distribuciones Normal

y Poisson pertenecen a la familia exponencial.

13.-a) Si X se distribuye Binomial con parámetros (𝑛, 𝑝) cuál es la distribución de

𝑌 = 𝑛 − 𝑋.

b) Una persona que ha ingerido mucho alcohol realiza una “caminata aleatoria”

moviéndose a las posiciones 0,±1,±2,… de la siguiente manera: comienza en la posición

0, después se mueve sucesivamente con pasos de una unidad a la derecha con probabilidad

𝑝 y a la izquierda con probabilidad 1 − 𝑝 Cada movimiento es independiente de los demás.

Sea 𝑋 su posición después de n pasos, Encuentre la distribución de 𝑋+𝑛

2.

c) Sean 𝑋1 , 𝑋2 v.a. con distribución Binomial con parámetros (𝑛, 𝑝1), (𝑛, 𝑝2)

respectivamente. Si 𝑝1 < 𝑝2 demuestre que 𝑃(𝑋1 ≤ 𝑘) ≥ 𝑃(𝑋2 ≤ 𝑘) (Este resultado

muestra que entre más pequeño el valor esperado, más sesgada es la distribución Binomial).

14.- Dos dados se lanzan n veces. Sea 𝑋 el número de lanzamientos en los cuales el número

del primer dado es mayor al número del segundo dado.

a) ¿Cuál es la distribución de 𝑋 ?

b) ¿Cuál es el número esperado de lanzamientos en los cuales el primer dado es

mayor al segundo?

15.- Suponga que el número de accidentes fatales de automóvil, en cierta zona de la ciudad,

obedece una distribución Poisson con un promedio de un accidente por día.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 10 accidentes en una semana?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de 2 días entre 2 accidentes?

16.- Un distribuidor de semillas de frijol ha determinado, después de varios estudios, que el

5% de las semillas no germinan. Si esta persona vende paquetes de 200 semillas y garantiza

una germinación del 90% ¿Cuál es la probabilidad de que el paquete viole esta garantía?

23

17.- Sea 𝑋~𝑁(0,4) y sea 𝑌 una v.a. definida como 𝑌 = 𝑚 , si 𝑚 −1

2≤ 𝑋 < 𝑚 +

1

2 en

donde m es entero tal que −5 ≤ 𝑚 ≤ 5, 𝑌 = −6, si 𝑋 ≤ −5.5 y 𝑌 = 6 si 𝑋 ≥ 5.5

Encuentre la función de densidad de 𝑌 y grafíquela. Obtenga su valor esperado y su

varianza.

18.- Sea 𝑋 una v.a. cuyos posibles valores son enteros y su función de distribución

acumulada es 𝐹. Sea 𝑌~𝑈(0,1). Se define la variable 𝑍 como 𝑍 = 𝑚 si 𝐹(𝑚 − 1) < 𝑌, 𝑦 𝑌 ≥ 𝐹(𝑚)

, para todo entero 𝑚. Demuestre que 𝑍 tiene la misma densidad que 𝑋.

19.- Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea recta entre los puntos A y B

a) Encuentre la probabilidad de que esté más cerca de A que de B.

b) Encuentre la probabilidad de que la distancia con respecto al punto A sea más de

tres veces la distancia con respecto al puntoB.

c) Tres paracaidistas caen en forma aleatoria sobre la recta del inciso anterior, ¿cuál

es la probabilidad de que exactamente uno de los tres se encuentre más cerca de

A que de B?

20.- a) Sea 𝑿 una v.a. Que tiene una distribución 𝑩𝒊𝒏(𝟐𝟓, . 𝟐). Evalúe 𝑷(𝑿 < 𝝁 − 𝟐𝝈)

b) Si 𝑋 se distribuye uniformemente en el intervalo (1,2) , encuentre z tal

que: 𝑃(𝑋 < 𝑧 + 𝜇) =1

4 .

c) Suponga que 𝑋 se distribuye 𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) y que 𝐸[𝑋] = 5 y 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4 .

Encuentre 𝑛 y 𝑝. d) Suponga que X es una v.a. continua con distribución uniforme con media 1y

varianza 4/3 ¿Cuál es 𝑃(𝑋 < 0)?

21.- Sea 𝑋~𝑃𝑜(𝜆) y 𝑌(𝑋) = (1 + 𝑋)−1.

a) ¿Cómo es 𝐸[𝑌(𝑋)] en relación a 𝑌(𝐸[𝑋])?

b) Encuentre 𝐸[𝑌(𝑋)] y compruebe lo anterior.

22.- Para la distribución Poisson(λ) se sabe que los momentos alrededor del origen son:

μ1´ = λ

μ2´ = λ + λ2

μ3´ = λ + 3λ2 + λ3

μ4´ = λ + 7λ2 + 6λ3 + λ4

a) Obtenga los momentos centrales.

24

b) Obtenga los coeficientes de asimetría y curtosis.

c) Indique de qué parámetro dependen los coeficientes del inciso anterior. Analice el

comportamiento de estos coeficientes con respecto los parámetros.

23.- Sea 𝑋 una v.a. tal que 𝑋~𝐸𝑥𝑝(𝛽).

a) Obtenga la función de densidad de 𝑌(𝑋) = 𝑋1/2 . b) ¿Cómo es 𝐸[𝑌(𝑋)] con respecto a 𝑌(𝐸[𝑋]) ?

c) ¿Cuál es el valor esperado y a varianza de 𝑌 ?

24.- La función generadora de momentos de 𝑍~𝑁(0,1) es: 𝑀𝑧(𝑡) = 𝑒𝑡2

2

a) Si 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2), entonces 𝑋 = 𝜇 + 𝜎𝑍, aplicando las propiedades de la función

generadora de momentos del ejercicio 23 del tema 2, obtenga la función generadora

de momentos de X.

b) Obtenga los primeros cuatro momentos con respecto al origen.

c) Encuentre los coeficientes de variación, asimetría y curtosis.

25.- Si 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2). Obtenga la función de densidad de:

a) 𝑌(𝑋) = (𝑋−𝜇

𝜎)2

.

b) 𝑊(𝑋) = 𝑒𝑥.

c) 𝑍(𝑥) =𝑋−𝜇

𝜎.

d) Indique cómo se relaciona 𝐸[𝜁(𝑋)] con 𝜁(𝐸[𝑋]) considerando cada una de las

funciones anteriores es decir 𝜁 = 𝑋,𝑊, 𝑍.

26.- Un vendedor ha encontrado que el número de artículos de la marca 𝐴𝐵𝐶 que puede

vender en un día es una variable aleatoria 𝑃𝑜(4).

a) Construya una gráfica de la función de densidad correspondiente.

b) ¿Cuántos artículos de la marca debe tener el vendedor para estar 95% seguro de

que tiene los suficientes artículos para que le duren 5 días? Suponga independencia.

27.- Encuentre la moda para función de densidad de las siguientes distribuciones.

a) 𝑁(𝜇, 𝜎2)

b) 𝛤(𝛼, 𝛽)

25

28.- En un día dado 45% de las acciones en la Bolsa Mexicana de Valores aumentan su

valor.

a) Si se selecciona aleatoriamente cinco acciones ¿Cuál es la probabilidad de que

exactamente cuatro de ellas aumenten su valor?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos tres lo aumenten?

29.- Una tienda de discos ha aplicado encuestas que indican que el 25% de la gente que

entra a la tienda hace una compra. Una muestra obtenida de las cintas de las cajas

registradoras indica que el promedio de ingresos de una venta es de $55.00. Para el

siguiente año se espera que entren 100000 personas a la tienda.

a) ¿Cuál es el número esperado de personas que harán una compra?

b) ¿Cuáles son los ingresos esperados para el año?

30.- Un inversionista piensa que el precio de un stock aumentará mañana, y el aumento

(denotado con 𝑋 ) será algún valor entre $0 y $3. Además el cambio en precio está

uniformemente distribuido. Encuentre lo siguiente.

a) 𝑃(0.5 ≤ 𝑋 ≤ 1) . b) 𝑃(𝑋 ≤ 1.2) . c) 𝑃(0.25 ≤ 𝑋 ≤ 0.75|𝑥 > 0.1) . d) La media y la varianza de 𝑋.

31.- Un modelo para llegar a un pronóstico económico es por medio del consenso. El

pronóstico es obtenido de cada uno de los integrantes de un gran número de analistas; el

promedio de estos pronósticos individuales es el pronóstico del consenso. Suponga que los

pronósticos individuales de la tasa de interés para enero se puede aproximar a una normal

con media 17% y desviación estándar 2.6%. Si se selecciona aleatoriamente a un analista

del grupo ¿cuál es la probabilidad de que el pronóstico del analista:

a) exceda 21%?

b) sea menor del 19%?

c) sea menor que 21% si se sabe que es mayor que 19%?

32.- El operador de un abastecedor de agua ha observado que la demanda de ésta antes del

medio día tiene aproximadamente una distribución exponencial con media 100 pies cúbicos

por segundo (p.c.s).

a) Encuentre la probabilidad de que exceda 200 p.c.s antes del mediodía en un día

cualquiera.

26

b) ¿Qué capacidad de agua debe mantener el abastecedor para que la probabilidad

de que la demanda sea mayor en un día cualquiera sea solo de 0.01?

33.- Sully Blotnick notó que la mayoría de los inversionistas conservan sus acciones

perdedoras y esperan lograr a la larga una ganancia. Específicamente, dice que por cada

inversionista que ha recuperado una pérdida y después vende, otros 6 mantienen sus

acciones. Suponga que se selecciona aleatoriamente una muestra de 4 inversionistas y sea X

el número de inversionistas que venden sus acciones perdedoras una vez que han

recuperado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que X sea exactamente igual a 4?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que X sea mayor o igual que 1?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que X sea exactamente igual a 1?

34.- Sea Y una variaba aleatoria continua con función de densidad:

𝑓𝑌(𝑦) = 𝛽𝑦−(𝛽+1)𝐼[1,∞)(𝑦)

Demuestre que 𝑊 = 𝑙𝑜𝑔(𝑌) tiene una distribución exponencial con parámetro 1

β.

35.- Una máquina de refrescos se puede ajustar para que sirva un promedio de μ onzas por

vaso. Si las onzas de llenado se distribuyen de manera normal con desviación estándar 0.3

onzas, obtenga μ al cual debe estar la máquina para que el refresco en vasos de 8 onzas se

derrame sólo 1% de las veces por sobrellenado.

36.- En cierta localidad donde habitan 500 personas adultas se seleccionó al azar una

muestra de tamaño 100. Al preguntarle a cada persona seleccionada cuál era su opinión con

respecto a un proyecto municipal, resultó que 60% lo apoyaron y 40% se opusieron a él. Si

se supone que en toda la localidad la mitad de personas está a favor del proyecto y la otra

mitad está en contra, ¿cuál es la probabilidad de obtener una mayoría de 60% o más a favor

del proyecto en una muestra de tamaño 100?

37.- El gerente de una tienda de vinos garantiza que ninguna de sus cajas (de 12 botellas) de

Champagne contiene más de una botella en mal estado. En caso contrario el cliente recibe

otra caja y a demás se queda con la primera. La probabilidad de que una botella en

particular esté en mal estado es de 0.05.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el gerente tenga que reponer la caja?

b) ¿Si el costo por caja es de $6500.00 y el precio de venta por caja es de

$10000.00, cuál es la ganancia esperada?

27

38.- Muchas compañías de luz han comenzado a promover la conservación de energía y

ofrecen tasas de descuento a clientes que mantienen su consumo debajo de ciertos

estándares establecidos. Un reporte de la EPA hace notar que el 70% de los residentes de

Puerto Rico han reducido su uso de electricidad lo suficiente para tener derecho a la tasa de

descuento. Suponga que 5 clientes son seleccionados aleatoriamente. Encuentre las

siguientes probabilidades.

a) Que los 5 tengan derecho a la tasa de descuento.

b) Que por lo menos 4 tengan derecho a la tasa de descuento.

39.- Un criminólogo ha desarrollado un cuestionario para predecir si un adolescente será

un delincuente. Las puntuaciones en el cuestionario pueden tomar valores desde 0 hasta

100. Los valores altos reflejan una mayor tendencia a la delincuencia. Como regla, el

criminólogo decide clasificar a un adolescente como delincuente potencial si su puntación

excede de 75. Se sabe que entre adolescentes no delincuentes las puntuaciones se

distribuyen normalmente con media 60 y desviación estándar 10, y para los adolescentes

delincuentes se distribuye normal con media 85 y varianza 25.

a) ¿Qué proporción de las veces el criminólogo clasificará erróneamente a un

delincuente como no delincuente?

b) ¿Qué puntuación necesita tomar como referencia para clasificar erróneamente a

un no delincuente como delincuente sólo en un 5% de las veces?

c) Si se aplica el cuestionario a 10 delincuentes elegidos al azar. ¿Cuál es la

probabilidad de que sean clasificados erróneamente más de 8 delincuentes?

40.- En la sala de espera de un aeropuerto hay una máquina que vende café. Por

experiencias se puede afirmar que la cantidad de café vendida por día es una variable

aleatoria que sigue una distribución uniforme en el intervalo [7,10](en litros).

a) Si se sabe que al medio día ya se han vendido 8 litros, ¿cuál es la probabilidad de

que al final del día se vendan más de 9?

b) Cada vaso de café de 200 ml. se vende a $5. ¿Cuál es el ingreso esperado por las

ventas en un día, cuál es la varianza?

41.- Un Estado del gobierno de E.U. estudia las llamadas telefónicas hechas por sus

empleados y sugiere que 1 de cada 3 llamadas es personal. Suponga que usted es un

empleado del gobierno estadounidense y que 3 de cada 10 llamadas que hace son

personales. El gobierno hizo una muestra al azar de 10 números que marcó.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más una llamada fue personal?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que a lo más 5 llamadas fueron personales?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 llamadas fueron personales?

28

42.- Un empleado recibe un sueldo mensual de $2000. Sea 𝑊 la variable aleatoria que

denota el monto total (en $) que esta persona obtiene al mes por concepto de propinas. Si

𝑊 sigue una distribución uniforme en el intervalo [0,500].

a) Obtenga la función de distribución acumulada de la variable aleatoria que denota

el ingreso total mensual de este empleado.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso total al mes rebase los $2300 si ya se

sabe que es mayor a $2150?

c) Encuentre el intervalo [𝜇 − 1.3𝜎, 𝜇 + 1.3𝜎]¿Con qué probabilidad el ingreso

mensual caerá en este intervalo? Compare con el teorema de Tchebyshev.

43.- Cinco estudiantes realizarán un examen independiente unos de otros. El número de

minutos que cualquier estudiante necesita para terminar el examen tiene una distribución

exponencial con media 80. El examen empieza alas 9:00.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de los estudiantes termine el

examen antes de las 9:40?

b) El primer estudiante que terminó el examen lo hizo a las 9:25. ¿Cuál es la

probabilidad de que otro estudiante termine antes de las 10:00?

44.- El tiempo hasta la descompostura de una copiadora después de su último servicio de

mantenimiento tiene una distribución exponencial con media 30 días.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la copiadora se descomponga antes de 30 días

después de un servicio?

b) ¿Cuándo se le debe dar servicio a la copiadora para que la probabilidad de

descompostura antes del siguiente servicio sea 0.2 si hoy se le dio mantenimiento?

45.- Usted quiere encontrar a alguien con el mismo día de cumpleaños que el suyo. ¿Cuál

es el menor número de personas a las que tiene que preguntar para tener una probabilidad

de 50% de tener éxito?

46.- Se dice que una variable aleatoria Y tiene una distribución Lognormal si 𝑋 = 𝑙𝑜𝑔 (𝑌)

tiene una distribución Normal. La forma de la función de densidad Lognormal es:

𝑓(𝑦) =1

√2𝜋𝑦𝜎𝑒−[𝑙𝑜𝑔(𝑦)−𝜇]

2 2𝜎2⁄ 𝐼(0,∞)(𝑦)

𝑌~𝐿𝑛𝑁(𝜇, 𝜎2)

Puesto que 𝐿𝑜𝑔(𝑌) es una función monótona de 𝑌

𝑃(𝑌 ≤ 𝑦) = 𝑃(𝑙𝑜𝑔(𝑌) ≤ 𝑙𝑜𝑔(𝑦)) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑙𝑜𝑔(𝑦))

En donde 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎2) . Entonces se pueden obtener las probabilidades de una distribución

Lognormal utilizando la distribución Normal.

29

a) Si 𝑌~𝐿𝑛𝑁(4,1) encuentre 𝑃(𝑌 ≤ 4) y 𝑃(5 ≤ 𝑌 ≤ 8).

b) ¿Cómo es 𝐸[𝑒𝑋] con respecto a 𝑒𝐸[𝑋]?

47.- En cierto banco se desea tener una mejor planeación en la asignación de créditos

hipotecarios. Entre otras cosas se pretende entender el comportamiento de la variable

aleatoria 𝑊 : número de solicitudes de crédito aprobadas a la semana. Se propone una

distribución Poisson para esta variable.

a) ¿Qué supuestos tienen que cumplirse para justificar el uso de una distribución

Poisson?

b) El banco tiene dos tipos de sucursales. En las sucursales tipo 1 se sabe que el

promedio de solicitudes aprobadas es de 3,4 o 5 semanales. ¿Cuál será el valor de λ

(3, 4 o 5) si se sabe que la proporción de veces se han autorizado 2 créditos en una

semana es el doble de la proporción de veces que se ha autorizado un crédito?

c) Utilice el valor elegido en el inciso anterior para determinar el número de

semanas en un año en las que se espera que ocurra el evento 𝑊1 > 2. (Considere

que el año tiene 52 semanas).

48.- En la B.M.V. en un día, el 30% de las acciones incrementaron su valor, el 20% se

mantuvieron igual y el 50% disminuyeron su valor. Si se seleccionan 20 acciones al azar,

determina

a) La probabilidad de que por lo menos 10 hayan incrementado su valor.

b) Por lo menos 10 hayan disminuido su valor.

c) El número acciones que se espera que aumenten su valor ese día.

d) El número de acciones que se espera que no disminuyan su valor ese día y su

varianza.

49.- La cantidad demandada diaria de gasolina en un mercado regional se puede representar

como:

𝑄 = 100 − 10𝑝 + 𝐸, 𝑝 ∈ [0,8]

y donde 𝐸 es una variable aleatoria continua en el intervalo [−20,20] con función de

densidad uniforme. La demanda 𝑄 está dada en miles de litros y el precio p está medido en

pesos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada sea mayor a 70000 litros

si:

i) El precio es de $4?

ii) El precio es de $3?

b) Si el costo variable de ofrecer la cantidad 𝑄 de gasolina está dado por:

30

𝐶(𝑄) =𝑄0.5

2

Defina una variable aleatoria que se pueda usar para representar la ganancia diaria

sobre el costo de venta.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se tenga una ganancia positiva sobre el costo

variable en un día dado si:

i) el precio es de $4?

ii) el precio es de $3?

d) Si el precio es de $6 ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad demandada sea

de 4000 litros?

31

Tema4: Distribuciones multivariadas

1.- Demuestre que |𝜌| = 1 ⇔ ∃𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 ≠ 0, tales que 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋.

2.- Demuestre que,𝐶𝑜𝑣(𝑋 + 𝑎, 𝑌 − 𝑏) = 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) para cualquier par de constantes 𝑎, 𝑏.

3.- Dé un ejemplo para mostrar que covarianza cero no implica independencia.

4.- Si 𝑋 y 𝑌 son dos variables aleatorias discretas en donde:

𝐸[𝑋] = 2, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 4, 𝐸[𝑌] = −1, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 6, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 1/2

Obtenga el valor esperado y la varianza de las siguientes variables:

a) 𝑍 = 𝑋 + 𝑌

b) 𝑊 = 𝑋 − 𝑌

c) 𝑇 = 3𝑋 − 2𝑌 + 2

5.- Sean 𝑋1, … , 𝑋𝑛 variables aleatorias. Demuestre lo siguiente:

𝑉𝑎𝑟 (∑𝛼𝑖𝑋𝑖

𝑘

𝑖=1

) =∑𝛼𝑖2𝜎𝑖

2 + 2∑𝛼𝑗𝛼𝑖 𝜎𝑖𝑗

𝑘

𝑖<𝑗

𝑘

𝑖=1

6.- En una caja hay tres bolas con números 1, 2 y 3. Dos bolas son seleccionadas al azar y

sin reemplazo de la caja. Sea 𝑋 el número de la primera bola y 𝑌 el mayor de los dos

números.

a) Obtenga la función de densidad conjunta de 𝑋 y 𝑌.

b) Calcule 𝑃(𝑋 = 1|𝑌 = 3). c) Calcule 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) y 𝜌𝑋,𝑌.

7.- Don Chucho sabe que en promedio un alumno del ITAM se come 0.15 tortas de

milanesa y 0.3 tortas de jamón en un día. Si 𝑋 y 𝑌 son variables aleatorias independientes

que indican el número de tortas de milanesa y de jamón que se come un alumno del ITAM

y se sabe que tienen una distribución Poisson.

a) Obtenga la función de densidad conjunta de 𝑋 y 𝑌. (Suponga independencia).

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un día un alumno del ITAM se coma por lo

menos una torta de milanesa y una de jamón.

c) Si 𝑊 es el total de tortas que se come, obtenga la función de densidad, el valor

esperado y la varianza de 𝑊, ¿cuál es su distribución?

32

d) Si las tortas de jamón cuestan $6.00 y las de milanesa $9.00, ¿cuál es la función

de densidad, el valor esperado y la varianza del ingreso de Don Chucho por cada

alumno del ITAM?

8.- Suponga que el 15% de las familias en cierta comunidad no tienen hijos, 20% tienen

uno, 35% tienen dos y 30% tienen tres o más. Además, suponga que cada familia es

igualmente probable el que un hijo sea niño o niña. Si una familia se elige aleatoriamente

de la comunidad y X es el número de niños y 𝑌 es el número de niñas de dicha familia,

¿cuál es la distribución conjunta de 𝑋 y 𝑌?

9.- Considere un círculo de radio 𝑅 y suponga que un punto es elegido al azar dentro del

círculo de tal forma que todas las regiones del círculo con la misma área tienen la misma

probabilidad de contener al punto. Si el centro del círculo es el origen y las variables

aleatorias 𝑋 y 𝑌 son las coordenadas del punto elegido,

a) Determine la función de densidad conjunta de 𝑋 y 𝑌 .

b) Obtenga las densidades marginales.

c) Calcule la probabilidad de que la distancia del origen al punto seleccionado no

sea mayor que un nivel 𝑑.

d) Obtenga la función de densidad de 𝑍 : la distancia del origen al punto

seleccionado.

10.- En la siguiente tabla se presenta las distribuciones conjuntas y marginales de las

variables 𝑋 y 𝑌 donde,

X= número de años de estudio concluidos por el jefe de familia.

Y= estrato de ingreso del jefe de familia (según el # de salarios mínimos)

Y

1 2 3 4 5

0 .199 .124 .122 .005 0 .450

X 3 .177 .035 .009 .003 0 .223

6 .008 .025 .040 .049 .065 .187

9 .002 .005 .022 .041 .071 .141

.386 .188 .193 .098 .136

a) ¿Son independientes las variables 𝑋 y 𝑌 ?

b) Calcule:

i) 𝑃(𝑌 ≤ 3). ii) 𝑃(𝑌 ≥ 4). iii) 𝑃(𝑋 < 6).

33

iv) 𝑃(𝑌 = 5|𝑋 = 6)).

c) 𝑃(𝑋 = 3|𝑌 = 1). d) Calcule 𝐸[𝑋] y 𝐸[𝑌]. e) Calcule 𝑉𝑎𝑟(𝑋) y 𝑉𝑎𝑟(𝑌).

11.- El administrador de un restaurante de comida rápida está interesado en el

comportamiento conjunto de las variables 𝑌1, el tiempo total entre la llegada del cliente y la

salida del producto de la ventana de servicio; y 𝑌2, el tiempo que tardan en atenderlo. Como

𝑌1 incluye el tiempo que tarda en la fila, tenemos que 𝑌1 ≥ 𝑌2 . La distribución de la

frecuencia relativa de los valores observados 𝑌1 y 𝑌2 puede ser modelados por la siguiente

función de densidad:

𝑓(𝑦1, 𝑦2) = 𝑒−𝑦1𝐼0≤𝑦2≤𝑦1<∞

Con tiempo medido en minutos.

a) Encuentre 𝑃(𝑌1 < 2, 𝑌2 > 1). b) Encuentre 𝑃(𝑌1 ≥ 2𝑌2). c) Encuentre 𝑃(𝑌1 − 𝑌2 ≥ 1).Note que 𝑌1 − 𝑌2 denota el tiempo que tarda en la

ventana de servicio.

d) Si el tiempo transcurrido entre la llegada del cliente y su partida de la ventana de

servicio es de dos minutos encuentre la probabilidad de que espere en la fila menos

de un minuto antes de llegar a la ventanilla.

e) Obtenga el valor esperado y la varianza de 𝑌1 , 𝑌2 y 𝑌1 − 𝑌2.

12.- Sean 𝑌1 y 𝑌2 dos variables aleatorias no correlacionadas. Obtenga la covarianza y la

correlación entre 𝑈1 = 𝑌1 + 𝑌2 y 𝑈2 = 𝑌1 − 𝑌2 en términos de las varianzas de 𝑌1 y 𝑌2.

13.- Un supermercado tiene dos clientes esperando a pagar sus compras con el cajero I y a

tres con el cajero II. Sean 𝑌1 y 𝑌2 el número de clientes que gastan más de $500 en sus

compras en los cajeros I y II respectivamente. Suponga que 𝑌1 y 𝑌2 son variables aleatorias

Binomiales independientes, la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con el

cajero I es 0.2 y la probabilidad de que un cliente gaste más de $500 con el cajero II es 0.3.

a) Encuentre la función de densidad conjunta de 𝑌1 y 𝑌2.

b) Encuentre la probabilidad de que no más de uno de los dos clientes gaste más de

$500 en los dos cajeros.

c) Si 𝑌 = 𝑌1 + 𝑌2 , es decir, es el total de clientes que gastaron más de $500.

Obtenga la función de densidad, el valor esperado y la varianza de 𝑌.

d) ¿Qué puede decir de la distribución de 𝑌?

e) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales de 𝑌1 para cada

valor fijo de 𝑌2. Realice una gráfica para cada medida. Comente.

34

14.- Se eligen aleatoriamente algunas familias de un área dada. Sea 𝑋 el número de autos en

la familia y 𝑌 el número de conductores con licencia en una familia. Las distribuciones

marginales de 𝑋 y 𝑌 son:

X 1 2

𝑃 (𝑋 = 𝑥) 0.6 0.4

𝑌 1 2 3 4

𝑃 (𝑌 = 𝑦) 0.1 0.5 0.3 0.1

Además se sabe que:

i) La probabilidad condicional de que haya un auto en la familia dado que hay tres

conductores con licencia es de 0.4.

ii) La probabilidad condicional de que haya dos conductores con licencia en una

familia dado que hay dos autos es de 0.3.

iii) La probabilidad conjunta de que en una familia haya un automóvil y cuatro

conductores con licencia es 0.03.

a) Encuentre la distribución conjunta de 𝑋 y 𝑌.

b) Obtenga el coeficiente de correlación entre 𝑋 y 𝑌 e interprete.

c) ¿Son 𝑋 y 𝑌 independientes?

d) Obtenga el valor esperado y la varianza de 𝑍 = 𝑋 − 𝑌 , el número de conductores

sin auto.

e) Calcule el coeficiente de correlación entre 𝑍 y 𝑌.

15.- Cada semana un cliente compra indistintamente en una tienda bebidas ligeras en

botella o en lata. El vendedor registra el tipo de bebida que el cliente compra en cuatro

semanas consecutivas. Se dice que existe un cambio si el cliente compra un tipo diferente

de bebida que la semana anterior, es decir, si en una semana compró una bebida en lata y la

siguiente compró una en botella. Sea 𝑋 el número de cambios y 𝑌 el número de compras de

bebida en botella.

a) Obtenga el espacio muestral.

b) Encuentre la distribución de la probabilidad conjunta de 𝑋 y 𝑌.

c) Encuentre la distribución marginal de 𝑋 y 𝑌.

d) ¿Cuántos cambios de tipo de bebida se esperan? y ¿cuál es la varianza de los

cambios?

e) Obtenga la varianza condicional de los cambios para cada número de compras de

bebida embotellada.

f) ¿Existe relación entre 𝑋 y 𝑌? Justifique.

35

16.- Sean 𝑋 y 𝑌 dos variables aleatorias tales que 𝑋 toma valores 1, 2 y 3, y los valores de

𝑌 son 2, 3 y 4. La función de probabilidad conjunta está dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑥𝑦𝐼1,2,3(𝑥)𝐼2,3,4(𝑦)

a) Obtenga el valor de c. b) Calcule P(X ≤ 2, Y ≤ 3), P(X = 2|Y = 3), P(X ≥ 2|Y ≤ 3). c) Obtenga la distribución marginal de 𝑌, 𝐸[𝑌]y 𝑉𝑎𝑟(𝑌). d) Obtenga la covarianza y el coeficiente de correlación.

e) ¿Son independientes X y 𝑌?

17.- De un grupo de nueve estudiantes: cuatro mexicanos, dos españoles y tres franceses se

van a elegir tres estudiantes para otorgarle una beca. Sea 𝑋 el número de estudiantes

mexicanos elegidos y 𝑌 el número de estudiantes españoles.

a) Construya la tabla de probabilidad conjunta de 𝑋 y 𝑌.

b) Encuentre las distribuciones marginales de 𝑋 y 𝑌.

c) Calcule el valor esperado y la varianza de 𝑋 y 𝑌.

d) Obtenga el coeficiente de correlación entre 𝑋 y 𝑌.

e) Si Z es el número de estudiantes franceses a los que se lo otorgó la beca. Obtenga

el valor esperado y la varianza de 𝑍 . Note que 𝑍 = 3 − 𝑋 − 𝑌.

f) Obtenga la función de distribución de Z.

g) ¿Cuál es la probabilidad de que se las otorgue beca a 2 o más estudiantes

franceses?

h) Obtenga el valor esperado, la media y la varianza condicionales del número de

estudiantes elegidos por cada número de estudiantes españoles elegidos.

18.- Se seleccionan al azar 2 tabletas de un frasco que contiene 3 aspirinas, 2 sedantes y 4

laxantes. Sea X el número de aspirinas seleccionadas y Y el número de sedantes

seleccionados.

a) Determine todas las posibles parejas de pastillas X, Y que se pueden seleccionar

del frasco.

b) Construya la función de probabilidad conjunta para 𝑋 y 𝑌.

c) Calcule las siguientes probabilidades:

i) 𝑃(𝑌 = 0, 𝑋 = 2). ii) 𝑃(𝑋 = 2|𝑌 = 1). Iii (𝑋 + 𝑌 < 1) .

d) Construya la distribución condicional de X dado que 𝑌 = 1.

e) Si 𝑍 es el número de laxantes seleccionados, exprese a 𝑍 en términos de 𝑋 y 𝑌 y

obtenga su valor esperado y su varianza.

36

19.- Sean 𝑋 y 𝑌 variables aleatorias con función de densidad conjunta dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘𝑥(𝑥 − 𝑦)𝐼0<𝑥<1(𝑥)𝐼−𝑥<𝑦<𝑥

a) Obtenga el valor 𝑘.

b) Obtenga las funciones de densidad marginales para 𝑋 y para𝑌.

c) Sea 𝑊 = 2𝑋 − 3𝑌 ¿cuál es el valor esperado y la varianza de 𝑊?

d) ¿Son independientes 𝑋 y 𝑌?

20.- El P.N.B. (Y) se define como la suma del consumo (C) y de la inversión(I). Un

economista quiere predecir el P.N.B sumando las predicciones de C e I, estas últimas son

variables aleatorias. Se sabe que la varianza de C es 2600, la de I es 1000 y la covarianza es

de 1400. Las variables C e I se, miden en millones de pesos, por lo que las varianzas y la

covarianza se encuentran en millones de pesos cuadrados.

a) Explique el significado del término covarianza. ¿Existe significado económico

para la covarianza y su signo en este problema?

b) Encuentre un límite inferior para la probabilidad de que la predicción para Y de

este economista se encuentre a menos de $100 millones de pesos de su valor

esperado.

21.- Suponga que 𝑋, 𝑌 y 𝑍 son variables aleatorias con:

𝐸[𝑋] = 2, 𝐸[𝑌] = −1, 𝐸[𝑍] = 4

𝑉(𝑋) = 4, 𝑉(𝑌) = 6, 𝑉(𝑍) = 8

𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 1, 𝐶𝑜𝑣(𝑌, 𝑍) = 0, 𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) = −1

Obtenga 𝐸[3𝑋 + 4𝑌 − 6𝑍] y 𝑉(3𝑋 + 4𝑌 − 6𝑍)

22.- Sean X y Y variables aleatorias tales que 𝜇𝑋 = 3, 𝜎𝑋2 = 4, 𝜇𝑌 = 1, 𝜎𝑌

2 = 9 . Además se

sabe que la correlación entre 𝑋 y 𝑌 es de 0.25. Calcule el valor esperado y la varianza de

Z = 5X − Y − 10.

23.- Cierta universidad aplica pruebas de aptitudes en ciencias y humanidades a todos los

alumnos de primer ingreso. Si 𝑋 y 𝑌 son las proporciones de respuestas correctas que

obtiene un estudiante en cada una de las pruebas respectivamente, y la distribución conjunta

de respuestas correctas puede determinarse con la función de densidad:

𝑓(𝑥, 𝑦) =2

5(2𝑥 + 3𝑦)𝐼(0,1)(𝑥)𝐼(0,1)(𝑦)

a) ¿Qué proporción de estudiantes obtendrán.

37

i) Menos de 0.4 en ambas pruebas?

ii) Más de 0.8 en la prueba de ciencias y menos de 0.5 en la de humanidades?

b) Obtenga las funciones de densidad marginales para 𝑋 y 𝑌.

c) Calcule 𝑃 (𝑥 ≥1

2, 𝑌 ≥

1

2)

d) ¿Son independientes las variables aleatorias del problema?

e) Obtenga la media y la varianza condicionales de 𝑋|𝑌 = 𝑦

f) Si un alumno se inscribe a una licenciatura en el área de humanidades, su

calificación final en el examen de admisión está dado por 𝐶 = 30𝑋 + 70𝑌. Calcule

la función de densidad, el valor esperado, la desviación estándar, el coeficiente de

asimetría y el coeficiente de curtosis de la calificación.

24.- La función de densidad conjunta del tiempo en el que se realiza un tipo de transacción

en dos bancos diferentes está dada por:

𝑓(𝑥, 𝑦) =1

8𝑥 𝑒−

𝑥+𝑦2 𝐼(0,∞)(𝑥)𝐼(0,∞)(𝑌)

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 𝑋 < 𝑌?

b) ¿La eficiencia relativa de los dos bancos al realizar el tipo de transacción de mide

con 𝑈 = 𝑌/𝑋. Obtenga la función de densidad de 𝑈.

25.- El precio promedio de temporada P($ por libra) y la cantidad total Q vendida en

temporada (millones de libras) de cerezas en una región son variables aleatorias con

función de densidad conjunta dada por:

𝑓(𝑝, 𝑞) = 0.5𝑞𝑒−𝑞(0.5+𝑝)𝐼(0,∞)(𝑝)𝐼(0,∞)(𝑞)

a) Encuentre la función de densidad de 𝑄.

b) Obtenga el valor esperado y la varianza condicionales de 𝑃 para 𝑄 = 𝑞.

26.- Una persona quiere invertir $1000000 y está analizando dos posibles fondos de

inversión. El rendimiento neto por peso invertido se puede representar como dos variables

aleatorias 𝑋1, 𝑋2 para las cuales:

𝐸 [𝑋1𝑋2] = [

0.15

0.07] , 𝐶𝑜𝑣(𝑋1, 𝑋2) = (

0.04 −.001−.001 0.0001

)

a) Si la persona invierte $500000 en cada fondo. ¿Cuál es su rendimiento total neto

esperado y la varianza?

38

b) Si esta persona desea invertir su dinero de manera que su utilidad esperada se

maximice, y

𝐸[𝑈(𝑅)] = 𝐸[𝑅] − 0.01𝑉𝑎𝑟[𝑅]

𝑅 =∝1 𝑋1 +∝2 𝑋2, ; ∝1, ∝2≥ 0; ∝1+∝2= 1000000

c) ¿Cuánto dinero debe invertir en cada fondo?

27.- Si 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 son variables aleatorias independientes de una distribución uniforme

en el intervalo [3,7]. Obtenga la función generadora de momentos de:

=∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

28.- Si 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 son variables aleatorias independientes de una distribución Gamma

con parámetros α, β, obtenga la función generadora de momentos de:

𝑌 =∑𝑋𝑖

𝑛

𝑖=1

29.- Al solicitar un crédito para auto en un banco, el departamento de crédito realiza la

investigación de la persona, parte de la cual es un buró de crédito. El tiempo de la

investigación realizada en el departamento de crédito es una variable aleatoria 𝑋1 con

distribución Gamma(3,1). El tiempo de la investigación en el buró de crédito 𝑋2 también se

distribuye 𝛤(2,1), que es independiente del tiempo que le lleve al departamento de crédito.

Sean 𝑌1 = 𝑋1 + 𝑋2 , el tiempo total en el que se realiza la investigación del crédito y

𝑌2 =𝑋1

𝑋1+𝑋2, la proporción del tiempo total de la investigación que requiere el departamento

de crédito.

a) Derive la función de densidad conjunta de 𝑌1 y 𝑌2.

b) Obtenga las funciones de densidad marginales de 𝑌1 y 𝑌2 , ¿Tienen alguna

distribución conocida?

c) ¿Son 𝑌1 y 𝑌2 variables aleatorias independientes?

30.- Un juego al que llamaremos 3- bin se realiza en dos etapas. En la primera se elige al

azar una de tres bolas numeradas del uno al tres. Sea 𝑋 la v.a. que denota el número de la

bola seleccionada. En la segunda parte del juego se lanza una moneda (honesta) tantas

veces como lo indica el valor observado de 𝑋 . Un jugador gana cierta cantidad si al lanzar

39

la moneda obtiene sol. Sea 𝑌 la v.a. que corresponde al número de veces que un jugador

gana al participar en el juego.

a) Obtenga la distribución conjunta y las distribuciones marginales de 𝑋 y 𝑌.

b) ¿Existe alguna relación lineal entre 𝑋 y 𝑌?

c) Suponga que por $100 se puede jugar 5 veces, y que la cantidad que se gana al

obtener un sol es de $20. Con estas condiciones, ¿estaría usted dispuesto a pagar los

$100?

31.- Las variables aleatorias X, Y, Z tienen como función de densidad conjunta a

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 8𝑥𝑦𝑧𝐼(0,2)(𝑥)𝐼(0,2)(𝑦)𝐼(0,2)(𝑧)

a) Encuentre 𝑃(𝑋 < 𝑌 < 𝑍). b) ¿Cuáles son las funciones de densidad marginales de cada una de las tres

variables aleatorias?

c) Calcule el coeficiente de correlación entre 𝑌 y 𝑍.

32.- Sea (𝑢, 𝑣) un punto escogido aleatoriamente del cuadrado 0 ≤ 𝑢 ≤ 1, 0 ≤ 𝑣 ≤ 1 . Sea

𝑋 la variable aleatoria que asigna al punto (𝑢, 𝑣) el valor 𝑢 + 𝑣.

a) Encuentre la función de distribución de 𝑋 y demuestre formalmente que cumple

con todas las propiedades requeridas.

b) Encuentre la función acumulada de 𝑋.

33.- Sea 𝑋 la v.a. que indica el porcentaje del gasto de una familia destinado a la

alimentación y sea Y la variable aleatoria que indica el porcentaje del gasto de una familia

destinado a vivienda. Por consiguiente se debe cumplir que:

0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1, 0 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 1

Suponga que todos los subconjuntos de esta región tienen la misma probabilidad de

ocurrir y que Z es la variable aleatoria que indica el porcentaje de gasto que una familia

dedica a alimentación y vivienda.

a) Obtenga la función de distribución de 𝑍 y grafíquela.

b) Obtenga la función de densidad de 𝑍 y grafíquela.

40

Tema 5: Distribución Normal multivariada

1.- Sea 𝑍~𝑁(0.1) y 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑍 + 𝑐𝑍2 Demuestre que 𝜌(𝑍,𝑌) = 𝑏/(𝑏2 + 2𝑐2)1/2.

2.- Si 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛 son variables aleatorias independientes de una distribución normal con

parámetros 𝜇, 𝜎2 . Obtenga la función generador a de momentos de.

a) 𝑌 = ∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1 e indique la función de esta variable.

b) 𝑊 = ∑ 𝑎𝑖𝑋𝑖𝑛𝑖=1 con ai constantes. ¿Cómo se distribuye la variable 𝑊?

c) =∑ 𝑋𝑖𝑛𝑖=1

𝑛 , ¿Cuál es su distribución?

3.- Un comerciante vende dos tipos de café. El tipo 𝐴 tiene un promedio de ventas de

50.8kg., con una desviación estándar de 3 kg. El tipo 𝐵 tiene un promedio de ventas de

51.12 kg., con una desviación estándar de 4.3 y el coeficiente de correlación entre ambos

tipos de café es -0.7. Si 𝑋𝐴 es la venta del café tipo 𝐴 y 𝑋𝐵 es la del tipo 𝐵 y se distribuyen

normalmente.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo 𝐴?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo 𝐵?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que se vendan más de 50 kg del café tipo 𝐵 si se sabe

que se vendieron 48 kg del tipo 𝐴?

d) Si X es la venta total de los dos tipos de café, obtenga la función generadora de

momentos. ¿De que tipo de distribución se trata?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que la venta total sea mayor a 100 kg?

Hint: sea 𝑊𝑇 = (𝑊1,𝑊2), vector aleatorio distribuido 𝑁 (𝜇, 𝛴), en donde:

𝜇 = (𝜇1𝜇2) ; 𝛴 = (

𝜎12 𝜌𝜎1𝜎2

𝜌𝜎1𝜎2 𝜎22 )

Entonces, 𝑀𝑊(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝(𝑡1𝜇1 + 𝑡2𝜇2) +1

2(𝑡1𝜎1

2 + 𝑡2𝜎22 + 2𝜌𝜎1𝜎2𝑡1𝑡2)

4.- Las variables aleatorias 𝑋 y 𝑌 tienen distribución bivariada dada por:

41

𝑓(𝑥, 𝑦) =1

2𝜋𝜎𝑥𝜎𝑦√1 − 𝜌2𝑒𝑥𝑝 −

1

2(1 − 𝜌2)[(𝑥 − 𝜇𝑥𝜎𝑥

)2

+ (𝑦 − 𝜇𝑦

𝜎𝑦)

2

− 2𝜌(𝑥 − 𝜇𝑥)(𝑦 − 𝜇𝑦)

𝜎𝑥𝜎𝑦]

a) Compruebe que las distribuciones marginales son normales con parámetros

(𝜇𝑥, 𝜎𝑥2), (𝜇𝑦, 𝜎𝑦

2) respectivamente.

b) Compruebe que la función de densidad condicional de 𝑌 dado que 𝑋 = 𝑥 tiene

una función normal con parámetros:

𝐸[𝑌|𝑋 = 𝑥] = 𝜇𝑦 + 𝜌𝜎𝑦

𝜎𝑥(𝑥 − 𝜇𝑥)

Y

𝑉𝑎𝑟(𝑌|𝑋 = 𝑥) = 𝜎𝑦2(1 − 𝜌2)

5.- El rendimiento anual por peso invertido para dos diferentes instrumentos es el resultado

de dos variables aleatorias con función generadora de momentos conjunta dada por:

𝑀𝑥(𝑡) = 𝑒𝑥𝑝 (𝑢′𝑡 + 0.5𝑡´𝜙𝑡)

Donde:

𝑋 = [𝑋1𝑋2] , 𝑡 = [

𝑡𝑡] , 𝑢 = [

0.070.11

]

𝜙 = [0.000225 −.0003−.0003 . 000625

]

a) Encuentre la media del rendimiento real anual de cada instrumento.

b) Encuentre la matriz de covarianzas.

c) Obtenga la matriz de correlaciones.

d) ¿Cuáles son las distribuciones marginales de 𝑋1 y 𝑋2?

6.- Supón que 𝑋~𝑁(𝜇, Σ)

𝑋 = [𝑋1, 𝑋2], 𝜇 = [𝜇1, 𝜇2], Σ = (Σ11 Σ12Σ21 Σ22

)

Prueba que tanto 𝑋1 como 𝑋2 son distribuciones marginalmente normales y da su media y

varianza, ¿Cómo se puede generalizar este resultado para 𝑋 ∈ ℝ𝑛?

42

7.- Sea 𝑋´ = (𝑊,𝑋, 𝑌, 𝑍)~𝑁(𝜇, Σ) , con 𝜇 = (

551010

) , Σ = [

10 4 4 4 4 20 20 204 10 20 104 10 10 20

] cuál es la

distribución de:

a) 𝑈 = 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 + 5.

b) 𝑉 = 𝑊 − 2(𝑋 + 𝑌 + 𝑍).

8.- Sean 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 variables aleatorias independientes con distribución 𝑁(𝜇, σ2), ¿cuál

es la distribución de: 𝑈1 = 𝑋2 − 𝑋1, 𝑈2 = 𝑋3 − 𝑋2, 𝑈3 = 𝑋4 − 𝑋3 y cuál es su distribución

conjunta (especifica la covarianza entre cada par)?

9.- Sean 𝑋, 𝑌, 𝑍 con media nula y matriz de covarianzas:

Σ = [2 0 00 2 −10 −1 1

]

Encuentra la distribución conjunta de 𝑈 = 𝑋 + 𝑌 y 𝑉 = 𝑌 + 𝑍.

10.- Suponga que 𝑋~𝑁(𝜇, Σ) y que Ξ21 satisface que Σ21 − Ξ21Σ11 = 0, con:

𝑋 = [𝑋1, 𝑋2], 𝜇 = [𝜇1, 𝜇2], Σ = (Σ11 Σ12Σ21 Σ22

)

Además que Σ22.1 = Σ22 − Ξ21Σ12, y que 𝑋1 pertenece sólo al hiperplano del soporte de la

distribución 𝑁(𝜇1, Σ11).

a) Verifica que 𝑋1 y 𝑋2 − Ξ21𝑋1 son no correlacionadas.

b) Verifica que la densidad condicional de 𝑋2 dado 𝑋1 = 𝑥1 es

𝑁(𝜇2 − Ξ21[𝜇1 − 𝑥1], Σ22.1). c) Encuentra Ξ21 para el caso en el que Σ11 es una matriz cuadrada.

d) Encuentra una fórmula sencilla para el caso en el que 𝑋 ∈ ℝ2.

11.- Sea el vector aleatorio en ℝ3 𝑋 = (𝑋𝑌𝑍)~𝑁((

222) , (

3 2 12 4 11 1 2

)) determine la

distribución de:

a) [𝑋, 𝑌].

43

b) [𝑋 − 𝑌]. c) [𝑋 − 𝑌, 𝑋 + 𝑌].

Sean 𝐴 = [2 −1 −10 1 −1

] y 𝐵 = [1 1 11 −1 00 1 −1

].

Cómo se distribuyen:

d) 𝐴𝑋

e) 𝐵𝑋

12.- Suponga que el vector aleatorio en ℝ4, 𝑋~𝑁(0, Σ) con Σ = [

4 6 2 46 9 3 62 3 5 44 6 4 6

].

a) ¿Cuál es la distribución de 3𝑋1 + 4𝑋2 + 𝑋3 − 𝑋4? b) ¿Cuál es la distribución de 𝑋2 dado 𝑋1 = 𝑥1?

c) ¿Cuál es la distribución de 𝑌 = [𝑋3, 𝑋4] dado que 𝑋1 = 2 y 𝑋2 = 3.