Cuaderno I

2

1 Números reales

1 Representa en la recta y ordena de menor a mayor los siguientes números:

–2, +3, –5, +1, +8, –1, –4, +4, 0

2 Coloca el signo >, < ó = según corresponda:

a) –5 –3 b) +1 –3 c) +3 –5 d) I+2I I–2I e) I–2I –5

3 Completa la siguiente tabla:

4 ¿Verdadero o falso?

a) –1 > –9 b) I–2I < I–3I c) –5 > I–4I d) +2 < I–2I

+3 –1 0 –10

Opuesto

Valor absoluto

Anterior

Siguiente

–2 –1–5 –4 +3 +4 +8+10

NÚMEROS ENTEROS

El número opuesto de un número es el mismo número cambiado designo.

El valor absoluto de un número es el mismo número sin signo.

I–5I = 5 I+5I = 5

Un número entero es mayor que otro si se encuentra más a la derecha enla recta numérica.

3 3Opuesto⎯ →⎯⎯⎯ −− +⎯ →⎯⎯⎯5 5Opuesto

Representa en la recta los números enteros –2, 0 +2, +5 y –7 y ordénalosde mayor a menor.

+5 > +2 > 0 > –2 > –7

–8 –7 –2 +2 +50–6 –5 –4 –3 –1 +1 +3 +6 +7+4

Cuaderno Diver_1 C+T - Ud01.qxd 21/1/09 10:53 Página 2

3

5 Sin hacer las divisiones, señala:

a) Los números divisibles entre 2:

42, 87, 56, 43, 24, 30, 560, 36, 61, 40, 52, 66, 38, 70, 57, 21, 75, 60

b) Los números divisibles entre 3:

67, 89, 15, 98, 35, 18 ,72, 84, 39, 54, 120, 27, 93, 80, 42, 59, 74, 29

c) Los números divisibles entre 5:

45, 80, 46, 71, 82, 90, 75, 62, 57, 65, 80, 32, 86, 100, 125, 55, 70, 50

6 Escribe los números del 101 al 150 y ve suprimiendo los múltiplos de 2, 3, 5, 7... Indica losnúmeros que queden; estos serán los números primos entre 101 y 150.

CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

• Un número es divisible entre 2 si es par.

• Un número es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisibleentre 3.

• Un número es divisible entre 4 si sus dos últimas cifras forman unmúltiplo de 4.

• Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 ó en 5.

• Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3.

• Un número es divisible entre 10 si acaba en 0.

• Un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras que ocupan laposición par y restarle las que ocupan la posición impar resulta 0 u 11.

• Un número es primo si sus únicos divisores son el 1 y él mismo.

01 Cuaderno Divers. I.qxd 17/11/08 09:17 Página 3

4

7 Realiza las siguientes sumas:

a) (–2) + (–3) = e) (+4) + (–6) =

b) (+3) + (+3) = f) (–2) + (–2) =

c) (–4) + (+1) = g) (–3) + (+5) =

d) (+5) + (–4) = h) (+1) + (–5) =

8 Opera:

a) (–2) – (–5) = e) (+2) – (–3) =

b) (–1) – (–4) = f) (–5) – (–2) =

c) (+6) – (+2) = g) (+2) – (–8) =

d) (–1) – (+2) = h) (–2) – (+10) =

9 Resuelve como en el ejemplo:

a) 3 + 1 – 1 – 2 = +4 – 3 = +1 d) +2 – 5 + 3 – 1 =

b) –7 + 3 – 1 + 2 = e) –4 + 3 – 6 + 1 – 2 =

c) +8 – 2 – 5 + 2 = f) 8 – 2 – 4 + 5 – 2 =

10 Opera:

a) 5 – 6 + 2 – 8 + 4 – 1 = d) +10 – 8 + 4 – 7 – 1 + 6 =

b) + 9 – 3 – 2 + 7 + 8 – 10 = e) –4 + 3 – 7 + 5 – 3 + 2 – 6 =

c) +3 – 6 + 5 – 2 + 4 – 5 = f) +8 – 5 + 2 – 1 + 5 – 3 =

SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Suma de números enteros• Números del mismo signo: • Números de distinto signo:

I2–I > I6I res rop 4 = 2 – 6+ = )2–( + )6+(8 + = 2 + 6+ = )2+( + )6+(

I2I > I6–I res rop 4– = 6 – 2+ = )6–( + )2+( 8– = 7 – 1– = )7–( + )1–(

Resta de números enteros1. Se cambia la resta por una suma.

2. Se cambia el segundo número por su opuesto.

3. Se resuelve la suma.

(+5) – (–3) = (+5) + (+3) = (+8)


5

11 Realiza las siguientes multiplicaciones:

a) (–2) · (–3) = e) (+2) · (–6) =

b) (–5) · (+6) = f) (–2) · (+6) =

c) (+5) · (+4) = g) (–4) · (–3) =

d) (+8) · (–2) = h) (+3) · (+5) =

12 Realiza las siguientes divisiones:

a) (–15) : (–3) = e) (+60) : (–6) =

b) (–20) : (+4) = f) (+75) : (–5) =

c) (+12) : (–6) = g) (–24) : (–6) =

d) (+45) : (–9) = h) (+30) : (–10) =

13 Realiza las siguientes multiplicaciones como en el ejemplo:

a) (–5) · (–2) · (+1) = e) (–5) · (–1) · (+7) =

b) (+3) · (–2) · (–10) = f) (–6) · (–6) · (–6) =

c) (+4) · (–5) · (+2) = g) (+9) · (+1) · (–5) =

d) (–9) · (+2) · (+3) = h) (+2) · (–3) · (–5) =

14 Opera:

a) (–60) : (–6) · (–2) = e) (–120) : (–12) · (–2) =

b) (+20) · (–2) : (–10) = f) (+5) · (–2) : (–10) =

c) (+100) : (+5) · (–3) = g) (+50) : (–5) · (+6) =

d) (–45) : (–9) · (–3) = h) (–30) : (+3) · (–4) · =

Las multiplicaciones y divisiones encadenadas se calculan dos a dos deizquierda a derecha:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )− − + − = ++2 3 5 1 56⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ( ) ( )( ) ( )− = − =+ −1 130 30

(+) · (+) = (+) (–) · (+) = (–) (+) : (+) = (+) (–) : (+) = (–)

(–) · (–) = (+) (+) · (–) = (–) (–) : (–) = (+) (+) : (–) = (–)

Regla de los signos

PRODUCTO Y DIVISIÓNDE NÚMEROS ENTEROS


6

15 Calcula el máximo común divisor de los siguientes pares de números:

61 y 23 )c 654 y 801 )a

401 y 093 )d 05 y 09 )b

16 Un apicultor recoge tres tipos de miel diferentes: 30 kg de miel de flores, 15 kg de miel de rome-ro y 12 kg de miel de lavanda. Si quiere envasarlas en botes de igual peso sin mezclarlas y sinque sobre nada, ¿cuántos kilogramos tendrá cada bote?

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Para obtener el máximo común divisor, MCD, de un conjunto de núme-ros, realizamos la descomposición factorial y tomamos los factores primoscomunes de menor exponente.

Calcula el MCD de 68, 120 y 42.

68 2 120 2 42 2 68 = 22 · 17

34 2 60 2 21 3 120 = 23 · 3 · 5

17 17 30 2 7 7 42 = 2 · 3 · 7

1 15 3 1

5 5 MCD (68, 120, 42) = 2 · 3 = 6

1


7

17 Calcula el mcm, de los siguientes números:

4 y 43 )d 65 y 27 )a

52 y 08 )e 21 y 05 ,54 )b

52 y 51 ,001 )f51 y 09 )c

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Para obtener el mínimo común múltiplo, mcm, de un conjunto denúmeros, realizamos la descomposición factorial y tomamos los facto-res primos comunes y no comunes de mayor exponente.

Calcula el mcm de 45, 30, 90.

45 3 30 2 90 2 45 = 32 · 5

15 3 15 3 45 3 30 = 2 · 3 · 5

5 5 5 5 15 3 90 = 2 · 32 · 5

1 1 5 5

1 mcm (45, 30, 90) = 32 · 5 · 2 = 90


8

18 Doña Isabel tiene tres nietos que van a comer a su casa periódicamente. El pequeño, Carlitos,va cada 3 días, María cada 4 días y Javier cada 5 días. Si hoy han coincidido todos, ¿cuántosdías pasarán hasta que vuelvan a coincidir?

19 Un tonel que está lleno de vino se puede vaciar en garrafas de 8 l, de 3 l y de 5 l. Si nos dicenque contiene más de 200 l y menos de 300 l, ¿cuántos litros contiene?

20 Escribe los 10 primeros múltiplos de 12 y de 15. Recuadra los múltiplos comunes e indica cuáles el menor de todos ellos.

21 Escribe todos los múltiplos de 7 mayores que 70 y menores que 150. ¿Cuál es el menor núme-ro de tres cifras que es divisible a la vez entre 5 y entre 7?

22 Completa las series:

a) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14… 16, 18, 20…

b) 2, 3, 5, 7, 11, 13…

c) 5, 10, 15, 20, 25, 30…

d) 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88…

23 En una etapa de la vuelta ciclista de 176 km se instala para el público un puesto de bebidascada 8 km, uno de camisetas cada 20 km, uno de bocadillos cada 12 km y uno de heladoscada 50 km.

a) ¿En algún punto del recorrido coinciden los cuatro puestos, además del punto de partida?

b) ¿Y los puestos de bebidas y bocadillos?


9

24 Desarrolla como producto y calcula:

a) (–4)3 = (–4) · (–4) · (–4) = e) (–1)4 =

b) (–10)2 = f) (–1)5 =

c) 25 = g) (–10)3 =

d) –72 = h) (10)3 =

25 Indica cuál será el signo del resultado en cada caso:

26 Completa la tabla:

(–5)3 (–5) · (–5) · (–5) –125

(–1)10

–24

(–3)5

35

24

(–2)4

(–4)3

(–7)2

–82

Potencia (–2)4 (+4)3 (–5)2 (–6)7 (–2)5 (+3)4

Exponente

Base

Resultado

POTENCIAS DE NÚMEROS ENTEROS

• Para a > 0 el resultado siempre es positivo.

• Si a < 0 y n es par, (–a)n = an, el resultado es positivo.

• Si a < 0 y n es impar, (–a)n = –an, el resultado es negativo.

a a a an

n

= ⋅ ⋅ ⋅...

veces


10

CASOS ESPECIALES

27 Calcula:

a) 61 = 6 e) 111 =

b) 30 = f) 1450 =

c) 1250 = g) 50 =

d) 31 = h) 91 =

28 Expresa como potencia de base 10:

a) 10 · 10 · 10 · 10 = 104 e) 10 · 10 · 10 =

b) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = f) 10 =

c) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = g) 10 · 10 =

d) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = h) 1 =

29 Calcula:

a) 51 = e) 112 =

b) 34 = f) 40 =

c) 103 = g) 43 =

d) 72 = h) 101 =

30 Para celebrar su cumpleaños, Juan ha invitado a cuatro amigos, cada uno de los cuales a invi-tado a otros cuatro que a su vez han invitado a cuatro más cada uno. ¿Cuántos amigos se pre-sentarán en la fiesta?

Potencia de exponente 1Toda potencia con exponente 1 es igual a la base.

a1 = a

Potencia de exponente 0Cualquier número distinto de cero elevado a 0 vale 1.

a0 = 1

Potencia de base 10Una potencia de base 10 es igual a la unidad seguida de tantos ceroscomo indique el exponente.

10 1 000 0006

6

= . .

ceros


11

31 Expresa en forma de una única potencia:

a) 51 · 53 = 54 e) 102 · 103 =

b) 32 · 32 = f) 40 · 45 =

c) 95 · 96 = g) 28 : 23 =

d) 74 : 73 = h) 610 : 64 =

32 Expresa en forma de una única potencia:

a) (23)2 = 26 e) (53)3 =

b) (34)3 = f) (42)0 =

c) (103)5 = g) (14)3 =

d) (72)4 = h) (92)2 =

33 Resuelve:

a) 52 + 51 = 25 + 5 = 30 e) 27 : 25 =

b) 34 · 33 : 32 = f) 43 : 43 =

c) 55 : 52 · 53 = g) 22 + 23 =

d) 72 – 71 = 49 – 7 = h) 82 · 83 · 81 =

OPERACIONES CON POTENCIAS

Sumas y restas de potenciasPrimero se realizan las potencias y después las sumas y restas.

23 + 24 = 8 + 16 = 24

Producto de potencias de la misma baseLa base es la misma y el exponente es la suma de los exponentes.

an · am = an + m

Cociente de potencias de la misma baseLa base es la misma y el exponente es la diferencia de los exponentes.

an : am = an – m

Potencia de una potenciaEs igual a la base elevada al producto de los exponentes.

(an)m = an · m

10 :10 =10 10 10 10 10

10 10 10=10 10=10235 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

3 3 3 3 3 3 3 3 3 32 5

2 5

2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = +

veces veces

55 7

7

3=

veces


12

34 Escribe el numerador en cada caso:

)e )c )a

)f )d )b

35 Colorea las partes que indique el numerador:

)e )c )a

)d )b f)

36 Representa las siguientes fracciones:

)c )a

)d )b2

3⎯ →⎯

3

5⎯ →⎯

1

2⎯ →⎯

5

7⎯ →⎯

2

9

2

6

4

7

3

4

1

4

2

8

3

10=

6

7=

2

4=

2

3=

2

5=

6

6=

Un medio → Un cuarto → Tres octavos →

Dos séptimos → Cuatro quintos → Diez treintaitresavos →10

33

4

5

2

7

3

8

1

41

2

Una fracción expresa partes de la unidad.

Numerador

Denominador

→

→=

3

5

SIGNIFICADO DE FRACCIÓN


13

37 Calcula:

a) d)

b) e)

c) f)

38 Entre dos amigos pintan una valla. Uno pinta un cuarto y el otro tres doceavos. ¿Cuánto hanpintado en total? ¿Cuánto falta por pintar? Resuelve el problema dibujando.

39 Entre tres amigos se comen una pizza. Andrés se come un quinto, Juan se come dos quintosy Luis lo que queda. ¿Quién come más? Resuelve el problema dibujando.

40 Un pescador llega a puerto con 80 kg de pescado. Vende las tres quintas partes a un restau-rante y el resto lo vende en el mercado. ¿Cuántos kilogramos le compra el restaurante?¿Cuántos kilos de pescado lleva al mercado? Resuelve el problema dibujando.

2

9 de 18 =

2

5 de 15 =

8

3 de 60 =

5

4 de 12 =

6

2 de 20 =

3

7 de 35 =

La fracción como operador3

550

3

550

3 50

5

150

5 de = = =⋅

⋅


14

41 Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes entre sí:

a) → 2 · 10 = 4 · 5 ⇒ equivalentes c)

b) d)

42 Escribe tres fracciones equivalentes a las dadas:

)c )a

b) d)

43 Reduce hasta la fracción irreducible:

)c )a

)d )b600

90=

80

100=

36

12=

120

75

120 5

75 5

24 3

15 3

8

5= = =

:

:

:

:

1

2

2

7

15

9

4

3

3

12 y

5

20

2

7 y

5

15

4

9 y

2

4

2

5 y

4

10

FRACCIONES EQUIVALENTES

Dos fracciones equivalentes representan la misma cantidad.

son equivalentes →

La fracción equivalente más pequeña por simplificación se llama fracciónirreducible. El numerador y el denominador de estas fracciones son pri-mos entre sí.

Su único divisor común es el 1, por tanto, es irreducible.

Si al multiplicar en cruz dos fracciones los productos son iguales, enton-ces las fracciones son equivalentes.

6

12 y

4

8 son equivalentes 6 · 8 = 4 · 12 =→ 48

3

4→

1

2 y

4

8

• • 6

12

6 3

12 3

2

4→ =

:

:equivalente por simplificaciónn

1

2

1 4

2 4

4

8→ =

⋅

⋅ equivalente por amplificación


15

44 Ordena de forma decreciente las siguientes fracciones: ; ; ;

45 Reduce a común denominador y ordena de forma creciente los siguientes números racionales:

– ; ; ; – 2; – ; 1;

46 Ordena de mayor a menor estas fracciones:

a) ; y

b) ; y 3

1065

720

56

34

12

32

52

14

23

35

512

718

19

Para poder comparar fracciones debemos reducirlas a denominadorcomún que será el mínimo común múltiplo de los denominadores detodas las fracciones.

Obtenemos el numerador de cada fracción dividiendo el común denomi-nador entre cada uno de los correspondientes denominadores y multipli-cando el resultado obtenido por el numerador inicial de cada fracción.

COMPARACIÓN DE FRACCIONES


16

47 Realiza las siguientes sumas y restas de fracciones:

a) + =

b) – =

c) – + – =

48 Calcula las siguientes operaciones:

a) + =

b) – =

c) – + =

d) – + =

49 La suma de tres fracciones es . Una de ellas es y otra. ¿Cuál es la tercera?35

23

5330

1128

1514

317

72

53

34

114

47

72

15

28

58

38

138

84

234

35

85

Para sumar o restar dos fracciones que tienen el mismo denominador,se suman o restan los numeradores y se conserva el mismo denominador.

Para sumar o restar dos fracciones que tienen distinto denominador,las reducimos a denominador común y después sumamos o restamos losnumeradores y dejamos el denominador común.

SUMA Y RESTA DE FRACCIONES


17

50 Calcula los productos:

a) · = e) 4 · · =

b) · 8 = f) – · =

c) · = g) · (– ) =d) · = f) – 2 · =

51 Calcula los cocientes:

a) : = e) – : =

b) : = f) 7 : =

c) : = g) : 3 =

d) : – = h) : – =

52 Halla el valor de las siguientes expresiones:

a) · =

b) – : =65

34

57

34

613

114

25

23

58

67

52

34

34

25

45

37

35

14

72

25

13

45

92

104

72

75

37

514

34

85

65

23

El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es elproducto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de losdenominadores.

· =

Para dividir la fracción entre la fracción multiplicamos la fracción

por la inversa de la fracción .cd

ab

cd

ab

a · cb · d

dd

ab

PRODUCTO Y DIVISIÓN DE FRACCIONES


18

53 Calcula las siguientes potencias:

54 Simplifica las siguientes fracciones con potencias:

55 Simplifica como en el ejemplo:

c)−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1

3

5

2

9

5

5 2 3

b)5

2

4

3

6

5

4 2 3⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

a)2

3

3

5

5

2

2

3

33 2 3

3

3

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = ⋅

22

2

3

3

3

3

2

2 1

2 1

25

5

2

2

2

3

3

5

5

1

3

5

1

5

3⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = =

+

+

d)

2 5 7

2 5 7

5 5 4

2 6 5

⋅ ⋅

⋅ ⋅=b)

5 3 2

2 5 9

3 4 5

2 2 2

⋅ ⋅

⋅ ⋅=

c)

5 3 9

3 5 9

6 6 2

4 4 3

⋅ ⋅

⋅ ⋅=a)

5 3 2

2 5 3

2

2

5

5

3

35 3

5 3 2

2 2 2

2

2

2 3

2

3

2

3⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅= =

+

= 375

i) −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

1

2

4

f)5

2

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =c)

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

2

4

3

h)–7

3

3⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =e)

0

13

2⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =b)

−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

2

5

2

g)5

7

0⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =d)

6

10

1⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =a)

4

3

4

3

4

3

16

9

2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = =⋅

POTENCIAS DE FRACCIONES

Elevar una fracción a un exponente es elevar el numerador y el deno-minador a dicho exponente.

2

5

2

5

2

5

2

5

8

125

3⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = =⋅ ⋅


19

FORMAS DECIMALES DE LOSNÚMEROS FRACCIONARIOS

56 Indica el tipo de decimal con el que se corresponde cada fracción:

a) = 2’3333... c) = 0’83333...

b) = 0’2 d) = 0’545454...

57 Clasifica los siguientes decimales:

a) 12’2345 c) 6’123123123…

b) 0’555555… d) 2’34565656…

58 De los siguientes números decimales indica la parte entera, la parte decimal, el periodo y elanteperiodo.

a) 2’34121212…

b) 45’1232323…

c) 3’5466666…

59 Escribe dos números decimales periódicos puros y dos números decimales periódicos mixtos.

60 Indica el tipo de decimal asociado a cada fracción:

a) c)

b) d) 14

11127= ,

7

51 4= ‘

37

30123= ,

5

316= ‘

611

15

56

73

Al realizar la división en una fracción obtenemos su expresión decimal;esta puede ser de tres tipos:

Decimal exacto: cuando el número de cifras decimales es limitado.

Decimal periódico puro: cuando la parte decimal está formada por unconjunto de cifras decimales que se repite infinitas veces. A este conjun-to de cifras le llamaremos periodo.

Decimal periódico mixto: cuando el número tiene un periodo que se repi-te infinitas veces, pero entre dicho periodo y la parte entera existe unacifra o grupo de cifras llamada anteperiodo.


20

EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE NÚMEROS DECIMALES

61 Escribe en forma de fracción los siguientes números decimales:

21’32 )c 4’1 )a

)d)b

62 Halla la fracción generatriz:

a) c)

)d)b

63 Calcula la fracción generatriz de los siguientes números decimales periódicos:

a) 0’8 c)

)d)b

64 Fijándote en la composición del denominador indica el tipo de número decimal que represen-ta cada una de estas fracciones:

a)

b)

c)

d) 1390

89

3499

54100

11’87

0’77

5’211

4’12

9’14

6’125

12’45

1’23

0 6‘

Para obtener la fracción, denominada fracción generatriz, que representa a un número decimaltendremos en cuenta:

Decimal exacto =

Periódico puro =

Periódico mixto =Número sin coma – parte entera y anteperiodo

Tantos nueves como cifras del periodo seguidos de tantos ceros como cifras del anteperiodo

Número sin coma – parte enteraTantos nueves como cifras del periodo

Número sin comaUn uno seguido de tantos ceros como cifras decimales


21

EL CONJUNTO DE LOSNÚMEROS REALES

65 Encuentra dos números racionales comprendidos entre 5´31 y 5´311.

66 ¿Cuáles de los siguientes números decimales son racionales y cuáles irracionales?

a) 5´3131… c) 7´123123123…

b) 6´12345… d) 5´2222…

67 Clasifica los siguientes números en irracionales o racionales:

a) 0´123 c) π

b) 3´12342671... d) 89´22222…

68 Indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

a) Todos los números enteros son racionales.

b) Algunos números irracionales no son números reales.

c) Todos los números reales son racionales o irracionales.

d) Cualquier número decimal es racional.

Encontrar un número irracional entre 1´31 y 1´311

Si añadimos dos ceros a la derecha del número más pequeño y un ceroa la derecha del número mayor obtenemos:1´3100 y 1´3110

Cualquier número con la forma 1´310 está entre ambos números. Portanto, tomamos, por ejemplo, el siguiente número irracional:

1´310101001000100001000001…

El conjunto de los números racionales, Q, está formado por todas las frac-

ciones de la forma siendo p un número entero y n un número natural dis-

tinto de cero.

Todo número decimal exacto, periódico puro o mixto se puede expresarcomo una fracción.

Los números irracionales tienen una expresión decimal infinita no periódica.

El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los núme-ros racionales y el de los números irracionales. Este conjunto se representacon el símbolo R.

pn


22

APROXIMACIONES. ERRORES ABSOLUTO Y RELATIVO

69 Aproxima el valor del número 2´19486 a las milésimas y calcula el error relativo cometido encada caso:

a) Por defecto:

b) Por exceso:

c) Por redondeo:

70 Calcula el error cometido al aproximar 7´872 por redondeo a las décimas.

Aproximar el número 5´123864 a las milésimas por aproximación pordefecto, por exceso y redondeo.

Por defecto: 5´123 Por exceso: 5´124 Por redondeo: 5´124

Aproximación por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras deci-males a partir del orden considerado.

Aproximación por exceso: se eliminan las cifras decimales a partir delorden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal.

Redondeo: si la cifra siguiente al orden considerado es menor que 5 seeliminan todas las cifras decimales a partir del orden considerado. Encaso contrario, se eliminan igualmente las cifras decimales a partir delorden considerado y se añade una unidad a la última cifra decimal.

El error absoluto (Ea) de una aproximación Va de un número Vr es elvalor absoluto de su diferencia:

El error relativo (Er) de una aproximación Va de un número Vr es el valordel cociente entre el error absoluto y Vr multiplicado por 100:

EE

Vra

r

= ⋅100

E V Va r a= −


23

71 ¿Es el tiempo una magnitud? ¿Por qué? ¿Cuál sería su unidad de medida? ¿Qué unidad demedida utilizarías para medir el tiempo que has vivido en la misma casa?

72 ¿Cuáles de las siguientes características son magnitudes? En caso de que lo sean, ¿qué uni-dad de medida utilizarías para medirlas?

eria led osep lE )e seroloc soL )a

aicnegiletni aL )f arutarepmet aL )b

ejasiap nu ed azelleb aL )goñirac lE )c

ofirg nu rop eac euq auga lE )hotneiv led dadicolev aL )d

MAGNITUDES FÍSICAS Y MEDIDAS

La longitud es una magnitud porque se puede medir. Para medirla, lacomparamos con una cantidad fija, el metro, denominada unidad demedida.En la longitud, la medida es el número de metros contenidos en lo quemedimos.

Según representemos una medida con una única unidad o con varias,tenemos:

• Magnitud en forma incompleja: 3’2 m

• Magnitud en forma compleja: 3 m 2 dm

Magnitud Unidad de medida

Distancia Longitud Metro

Cantidad de arena Peso Gramo

Cantidad de Agua Capacidad o volumen Litro o metro cúbico

Área de un terreno Superficie Metro cuadrado

Tiempo Tiempo Segundo


24

MEDIDA DE LONGITUD: METRO

73 Pasa a metros:

a) 5 kilómetros = 5.000 m d) 9 hectómetros =

b) 10 decímetros = e) 70 decámetros =

c) 6 centímetros = f) 8 milímetros =

74 Pasa de forma incompleja a compleja:

a) 1’62 m = 1 m 6 dm 2 cm d) 7’42 m =

b) 23’5 km = e) 51’2 hm =

c) 8’2 cm = f) 6’3 cm =

75 ¿Qué unidad utilizarías para medir los siguientes elementos?

a) La distancia a una estrella: c) Un microbio:

b) El grosor de un neumático: d) La longitud de una hormiga:

76 Completa:

km hm dam m dm cm mm

0’51 5’1 51 510 5.100 51.000 510.000

9.500

4’3 43

1.000.000

Otras unidades de longitudMicra → 1 µm = 0’000001 m (millonésima de metro)

Nanómetro → 1 nm = 0’000000001 m (mil millonésima de metro)

Año luz → 9’4605 · 1012 km = Distancia que recorre la luz en un año

Múltiplos Unidad Submúltiplos

Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

km hm dam m dm cm mm

1.000 m 100 m 10 m 1 0’1 m 0’01 m 0’001 m

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

mmcmdmmdamhmkm


25

77 Pasa a gramos:

a) 12 kilogramos = d) 25 decigramos =

b) 3 toneladas = e) 3 hectogramos =

c) 500 decagramos = f) 450 miligramos =

78 Pasa de forma incompleja a compleja:

a) 1’7 kg = 1 kg 7 hg c) 67’2 hg =

b) 3’56 g = d) 4’25 dg =

79 ¿Qué unidad utilizarías para medir el peso de los siguientes elementos?

a) Una naranja: c) Una sandía:

b) Un camión: d) Un clip:

80 Completa:

kg hg dag g dg cg mg

15 150 1.500 15.000 150.000 1.500.000 15.000.000

4

25

500

7.000

MEDIDA DE MASA: GRAMO

Otras unidades de masaTonelada → 1 t = 1.000 kg = 1.000.000 g


Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

kg hg dag g dg cg mg

1.000 g 100 g 10 g 1 0’1 g 0’01 g 0’001 g

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

: 10

x 10

mgcgdggdaghgkg


26

mm2cm2dm2m2dam2hm2km2

: 100

x 100

: 100

x 100

: 100

x 100

: 100

x 100

: 100

x 100

: 100

x 100

MEDIDA DE SUPERFICIE: METRO CUADRADO Y ÁREA

81 Pasa a metros cuadrados:

a) 4 km2 = d) 53 cm2 =

b) 5 a = e) 2 dam2 =

c) 80 ca = f) 70 mm2 =

82 ¿Qué unidad utilizarías para medir la superficie de los siguientes elementos?

:síap nU )c:lobtúf ed opmac nU )a

:olles nU )d:euqsob nU )b

83 Completa:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

0’000001 0’0001 0’01 1 100 10.000 1.000.000

5

6

400


Hectárea Área Centiárea

ha a ca

100 a10.000 m2 = 1 hm2

1100 m2 = 1 dam2

0’01 a1 m2


Kilómetrocuadrado

Hectómetrocuadrado

Decámetrocuadrado

Metrocuadrado

Decímetrocuadrado

Centímetrocuadrado

Milímetrocuadrado


1.000.000 m2 10.000 m2 100 m2 1 0’01 m2 0’0001 m2 0’000001 m2


27

84 Pasa a metros cúbicos:

a) 15 km3 = c) 5 hm3 =

b) 6 dm3 = d) 4.500 mm3 =

85 ¿Qué unidad utilizarías para medir el volumen de los siguientes elementos?

:obuc nU )c:eslabme nU )a

:satog ne oiriloc nU )d:añapmac ed adneit anU )b

86 Completa:

87 Completa:

m3 dm3 cm3 mm3

80 80.000 80.000.000 800.000.000.000

4 4.000

7

3

km3 hm3 dam3 m3

0’00000008 0’00008 0’08 80

5.000

2

600

MEDIDA DE VOLUMEN: METRO CÚBICO

mm3cm3dm3m3dam3hm3km3

: 1.000

x 1.000

: 1.000

x 1.000

: 1.000

x 1.000

: 1.000

x 1.000

: 1.000

x 1.000

: 1.000

x 1.000


Kilómetrocúbico

Hectómetrocúbico

Decámetrocúbico

Metrocúbico

Decímetrocúbico

Centímetrocúbico

Milímetrocúbico


1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000 m3 1 0’001 m3 0’000001 m3 0’000000001

m3


28

88 Expresa en segundos:

a) 5h 12 min 26 s = 18.726 s c) 12h 8 min 7 s =

5 · 60 · 60 = 18.000 s

12 · 60 = 720 s

18.000 + 720 + 26 = 18.726 s

b) 1h 1 min 1 s = d) 59 min 60 s =

89 Expresa en horas, minutos y segundos:

a) 600 s = c) 6.000 s =

b) 32.000 s = d) 7.383 s =

90 Una persona tiene 70 pulsaciones por minuto. ¿Cuántas pulsaciones tendrá en una hora? ¿Yen un cuarto de hora?

91 ¿Cuántos minutos son de hora?3

4

UNIDADES DE TIEMPO

Múltiplos Unidad

Hora Minuto Segundo

h min s

3.600 s 60 s 1


29

92 Expresa los siguientes números pequeños en notación científica:

a) 0’0002 c) 0’003

b) 0’0000001 d) 0’000012

93 Expresa los siguientes números grandes en notación científica:

a) 20.000 c) 3.400.000.000

b) 13.000.000 d) 789.000.000.000

94 Escribe en notación científica las siguientes cantidades:

a) 25 millones de euros

b) Trescientos mil dólares

c) Cuatrocientos treinta y dos mil metros

d) Treinta milímetros (en metros)

95 Calcula las siguientes operaciones:

a) 0’00034 + 25’2 · 10- 2

b) 12’7 · 109 – 0’65 · 107

c) (34 · 103) · (25’2 · 10- 2)

d) (48 · 106) : (70’4 · 10- 3)

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica consiste en expresar los números en forma deci-mal, con la parte entera formada por un solo número no nulo seguido dela parte decimal, y multiplicado por una potencia de diez.

Para operar números en notación científica:

• Operamos por un lado los números reales y por otro las potencias de10.

• Si es una suma o una resta y las potencias de 10 son distintas, las igua-lamos para poder operar.

Expresar en notación científica:

• 86.000.000.000 = 8’6 · 1010

• 5.102.000 = 5’102 · 106

• 0’0000003 = 3 · 10– 7

Expresar con todas sus cifras:

• 7’64 · 1011= 764.000.000.000

• 8’01 · 10– 9= 0’00000000801

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