CUADERNO MANUAL DE TRABAJO

CUADERNO MANUAL DE TRABAJO

ALGEBRA

MATEMTICAS II

JORGE LUIS HERNNDEZ TORRESCONTENIDO:

INTRODUCCIN

CAPTULO 1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

CAPTULO 2

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

CAPTULO 3

FUNCIONES

CAPTULO 4

ESTADSTICA

INTRODUCCIN

Hola!En este manualito he condensado todos los aos que he trabajado en la asignatura de esta materia, mi intencin no ha sido otra que la de facilitar al alumno (y por ende al profesor) el enseanza-aprendizaje de la materia de Algebra.

No es un compendio exhaustivo, pero tiene todo lo ms importante y lo posible por el tiempo y la asignatura de matemticas II dentro del plan de estudios del bachillerato general de la Universidad de Guadalajara, que es donde he realizado la mayor parte de mi trabajo con alumnos.

Todas mis esperanzas son que te sirva y que te introduzcas en el maravilloso mundo de las matemticas por medio de una rama que es de las ms importantes.

El contenido est dividido en cuatro unidades y separado por los ejes temticos en el nivel de profundidad que se requiere para ir ascendiendo al conocimiento ms generalizado; iniciando con los Sistemas de Ecuaciones Lineales, enseguida las Ecuaciones Cuadrticas, seguidas de un tema tan interesante como es el de las Funciones; para terminar con el tema tan actual y necesario en todas las actividades cientficas y comunes como es el de Estadstica, siendo esta una pequea introduccin.

Por ltimo slo resta esperar que los frutos del estudio de este libro sean amenos y formativos para ti y facilite el trabajo de tu profesor.

Atte. El autorCAPTULO 1

ECUACIONES LINEALES

Origen de las Ecuaciones Lineales.

Planteamiento de las Ecuaciones a partir de un enunciado verbal.

Sistema de Ecuaciones Lineales: 2x2, 3x2, 3x3, 4x4, n x m.

Mtodos de solucin.

Eliminacin suma y resta

Igualacin

Sustitucin

Determinantes

Gauss

Mtodo Grfico

Desigualdades

ORIGEN:

El origen de las Ecuaciones Algebraicas es comn:

Desde un enunciado como el que sigue:

1. Un nmero menos tres es igual a catorce.

O desde la antigedad en el epitafio de la Tumba de Diofanto:

Se lee:

2. Caminante: Aqu fueron sepultados los restos de Diofanto y los nmeros pueden mostrar Oh milagro!

Cuan larga fue su vida,

cuya sexta parte constituy su hermosa infancia.

Haba transcurrido adems una duodcima parte de su vida

cuando de vello cubrise su barbilla,

y la sptima parte de su existencia transcurri en un matrimonio estril

Pas un quinquenio ms y le hizo dichoso el nacimiento

de su precioso primognito, que dur tan solo

la mitad de su padre en la tierra,

y con profunda pena descendi a la sepultura,

habiendo sobrevivido cuatro aos al deceso de su hijo.

Estos son ejemplos de enunciados que generan ecuaciones algebraicas; las cuales se distinguen por:

1. El signo de igual (igualdad = ecuacin).

2. Cantidades que no se conocen (incgnitas).

3. Cantidades que si se expresan (trminos independientes).

PLANTEAMIENTO:

Para resolver ecuaciones como las anteriores se necesita plantearlas en lenguaje algebraico.

Para esto vamos a recurrir a las letras o literales que representarn a las cantidades desconocidas y los verbos del enunciado se expresan por medio del signo igual.

EJEMPLO 1.

Un nmero menos tres es igual a catorce.

a) un nmero : x

b) menos tres : -3 x -3 = 14

c) es igual : =

d) a catorce : 14

Y ya tenemos una ecuacin algebraica. (con una incgnita).

EJEMPLO 2. DIOFANTOa) Longitud de su vida: x (no se sabe in-cgnita).

b) Duracin de su infancia: x/6 (un sexto de su vida).

c) Cuando el vello sali: x/12 (un doceavo de su vida).

d) Etapa de matrimonio estril: x/7 (una sptima parte).

e) Para cuando nace su hijo: 5 (un quinquenio).

f) Vida de su hijo: x/2

(la mitad de su vida).

g) Aos que le sobrevivi Diofanto: 4 (cuatro aos).

h) Uniendo todo con el signo igual: x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

Y tenemos otra Ecuacin Algebraica. (Con una incgnita aunque aparece muchas veces).

Algunos enunciados producen 2 3 ms ecuaciones e incgnitas relacionadas y a estas se les denomina Sistema. (Porque las incgnitas son equivalentes en unas y otras).

SOLUCIN:

Para resolver ecuaciones algebraicas con una incgnita:

1. Se resuelven operaciones indicadas: Si las hay (recuerda jerarqua y parntesis).

2. Se reducen trminos semejantes.

3. Se despeja la incgnita.

PARA DESPEJAR LA INCGNITA:

1. Quita lo que le estorba aplicando operaciones contrarias.

2. Procede al revs de la jerarqua.

3. Simplifica los parntesis que haya (primero el ms interior).

4. Aplica siempre El Axioma o Ley fundamental de las Ecuaciones

Aplicar operaciones iguales, con cantidades y signos iguales a los dos miembros de una ecuacin; la igualdad no cambia.

EJEMPLO 1.

X-3 = 14

X 3 + 3 = 14 + 3 (sumas 3 para quitar lo de x)

X = 17

EJEMPLO 2.

X = X/6 + X/12 +X/7 + 5 + X/2 + 4

X = 14X + 7X + 12X + 42X + 9 (Reduces trminos semejantes)

84

X = 75X + 9

84

84X = 75X + (9x84) (Multiplicar ambos miembros por 84)

84X = 75X + 756

84X 75X = 75X -75X +756 (Restas para quitar incgnitas de 2

miembro)

9X = 756

9 X = 756 (Divides ambos por 9) 9 9

X = 84 (Vida en aos de DIOFANTO)

MTODOS DE SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACIONES:

Cuando aparecen de un enunciado 2 o ms ecuaciones con 2 ms incgnitas se procede por diferentes mtodos a un fin comn; obtener una ecuacin con una sola incgnita; la cual se resuelve como se acaba de explicar.

Los mtodos pueden ser deductivos analticos: Empezaremos con los deductivos:ELIMINACIN SUMA O RESTA:

Este mtodo consiste en que teniendo ordenado el sistema:1. Se igualen los coeficientes de una literal multiplicando o dividiendo una o ambas ecuaciones por el nmero que se necesite.

2. Se sumen o resten miembro a miembro las ecuaciones para obtener una sola ecuacin con una sola incgnita, la otra se anul.

3. Se resuelva esta ecuacin nueva y con su resultado se despeja en cualquiera de las anteriores para encontrar el valor de la otra incgnita.

EJEMPLO 1.

2X Y = 4

3X + 3Y =15

Multiplicamos ecuacin 1 por 3 dividimos ecuacin 2 por 3 y obtenemos :

2X Y = 4 6X - 3Y = 12 (Sistemas de Ecuaciones X + Y = 5 3X + 3Y = 15 equivalentes)

2X Y = 4 6X 3Y = 12 (Sumamos miembro a

X + Y = 5 3X + 3Y = 15 miembro y despejamos) 3X = 9 9X = 27

X = 9/3 X = 27/9

X = 3 X = 3 (Con este valor sustituimos en cualquiera

para encontrar la otra incgnita)

En la 1 En la 2

2(3) Y = 4 3(3) + 3Y = 15

6 - Y = 4 9 + 3Y = 15

- Y = -6 +4 3Y = 15 9

Y = 2 Y = 6

3

Y = 2

EJEMPLO 2.

7Y 15 X = 1

- Y 6X = 8

Multiplicamos por 7

7Y 15X = 1

-7Y 42X =56

Sumando miembro a miembro

7Y 15X = 1

-7Y 42X =56

- 57X =57

Despejando

X = 57

- 57

X = -1 (Ntese que ya no se escriben todos los pasos).

Sustituyendo en la y despejando

- Y 6 ( -1) = 8

- Y = 8 6

- Y = 2

Y = - 2 (La incgnita despejada siempre debe ser positiva)

EJERCICIOS:

X = 3 3x 4y = 1 x = 2/5 3y -1 = 5x

Y = 2 2x y = 4

y = 1 5x + 3y = 5

X - 5Y = 11 X = 2 X + Y = 7 X = 6

2 2 3

4X - 3Y = 14 Y = -2 X + Y = 8 Y = 12

3 2

5Y 14 = 5X 4

Y + 3 X + 5 X = -2

Y = 0

Y + 7 = 2X 3

Y + 5 2X 1

35 Y + X = 26

7

X = 7

7X Y = 48 Y = 5

5

MTODO DE IGUALACIN:

En este mtodo no se necesita ordenar el sistema:

1. Se despeja cualquiera de las incgnitas en las dos ecuaciones.

2. Se igualan los dos despejes: queda una ecuacin con una sola incgnita

3. Se resuelve esta nueva ecuacin y el resultado se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales despejndola se obtiene la otra incgnita.

EJEMPLO 1.

7x +4y = 13

5x = 19 + 2y

x = 13 4y 7 1. Se despej x de las 2 ecuaciones.

X = 19 + 2y

5

2. Se igualaron los 2 despejes. 13 4y = 19 + 2y

7 5

5 (13 -4y ) = 7 ( 19 + 2y) Al resolver, se quitan los denominadores.

Se realizan operaciones indicadas. 65 - 20y = 133 + 14y

-20y -14y = 133 65 Se transpusieron trminos semejantes para

reducirlos.

-34y = 68 y = 68 se despeja la y

-34

y = -2 Se sustituye en cualquier 5x = 19 +2 (-2)

ecuacin original

(en la 2 por ejemplo) 5x = 19 - 4

x = 15/5 x = 3

Finalmente se comprueba sustituyendo los valores encontrados en cualquiera o en las dos ecuaciones originales que deben dar identidad.

7 (3) + 4 (-2) = 13

21 8 = 13

13 = 13 (identidad numrica)

5 (3) = 19 + 2 (-2) ( en la otra)

15 = 19 + 4

15 = 15 (identidad numrica)

EJERCICIOS: (Resuelve por igualacin o comparacin).

3x 7 = -5y x = -1

-y = -2x -4 y = 2

5x 4 = 12y x = 8

2x + 1 = 4y + 5 y = 3

2x = 6y x =

3x -1 = 5y + 7 y=

3x y = 4 x = 2

x + y = 4 y = 2

3x + y = 11 x =

2 y =

x + y = 7

2

y = -2x + 5 x =

x + 3y = 0 y =

MTODO DE SUSTITUCIN:

Tampoco necesitas ordenar el sistema, nicamente sigue estos pasos:

1. Despeja cualquier incgnita de una ecuacin

2. Sustituye el despeje en el valor de esa incgnita en la otra ecuacin. (queda una ecuacin con una solo incgnita).

3. Se resuelve despejando.

4. El valor de la otra incgnita se obtiene sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones originales.

EJEMPLO:

x + 3y = 6

5x 2y = 13

x = (6 -3y ) Se despej x de la primera ecuacin.

5(6 3y) - 2y = 13 Se sustituy ese despeje en la otra ecuacin.

30 15y 2y = 13 Se resuelven operaciones indicadas.

-17y = 13 - 30 Se reducen trminos semejantes y transponen

trminos.

y = -17 Se despeja la incgnita.

-17

y = 1 Se sustituye este valor en cualquiera

SE RESUELVE 5x 2 (1) = 13 ( en la segunda en este caso) 5x 2 =13

5x = 15

x = 15 ( x = 3 5

Finalmente se comprueba:

(3) + 3 (1) = 6

3 + 3 = 6

6 = 6 Identidad numrica.

5 (3) 2 (1) = 13

15 2 = 13

13 = 13 Identidad numrica.

Ejercicios:3x + 5y = 7

2x = y 4

5x 4 = y

12

2x = 4y + 4

y = 2x 6

x = 5y + 8 3

-y = 4 3xx = 4 - y

y = 11 3x 2x = 7 y 2

y = -2x + 5x = -3y

MTODO POR DETERMINANTES:

El determinante de segundo orden (ecuaciones 2 x2) es un arreglo de cuatro nmeros (coeficientes) colocados en un cuadro con rectas verticales a cada lado. Los cuatro nmeros forman dos filas y dos columnas ( a esto se llama matriz) .

El determinante es el valor obtenido al multiplicar el nmero de la primera fila y de la primera columna por el nmero diagonalmente opuesto (segunda fila y segunda columna) y restarle al producto el de los nmeros de la otra diagonal (segunda fila primera columna por primera fila segunda columna).

= a - b

= ad - bc

c - d

- +

EJEMPLO :

Si unimos una ecuacin en general de segundo orden:

COLUMNAS

r11 r12

1 FILA ax+ by = m = =r11r22r21tr12 r 11 r 12 r 13 r21 r22

2 FILA cx + dy = n

r 21 r 22 r 23

1 2 3

Para resolver por determinantes se procede de la siguiente forma:

En relacin al cuadro las columnasx = x a b = c d = 1 2

m b

x = n d x =3 2

y = y

a m

y = c n y = 1 3

Sistema deConcretamente: x + 7y = 26 Ecuaciones ordenadas 2x + 3y = 19

1 7

= 2 3 = (1) (3) (2) (7) = 3 14 = -11

26 7 x = 19 3 = (26) (3) (19) (7) = 78 -133 = -55

1 26

y = 2 19 = (1) (19) (2) (26) = 19 52 = -33

x = -55 y = -33 -11 -11

x = 5 y = 3

Comprobando:

(5) + 7 (3) = 26 2(5) + 3 (3) = 19

5 + 21 = 26 10 + 9 = 19

26 = 26 Identidad numrica 19 = 19

EJERCICIOS:

3x 4y = 1 x = 3

2x - y = 4 y = 2

3y 1 = 5x x = 2/5

5x + 3y = 5 y = 1

5x + 2y = 54 x = 8

2x + 5y = 51y = 7

x + y = 7x = 6

2 3 y = 12

x + y = 8

3 2

x 5y = 11

x = 2

2 y = -2

4x 3y = 14

x 3y = 2x + 7

x = -4

7y = 1

x + y = x y

3 5

MTODO GRFICO: (Interpretacin geomtrica de las soluciones)

Este mtodo consiste en graficar en un sistema coordenado ortogonal (x, y) cada una de las ecuaciones del sistema, por lo cual, en la grfica veremos lneas rectas, y la solucin del sistema corresponde exactamente al punto donde se cruzan dichas rectas.

Por partes:

a) Grfica de una lnea recta.

Pasos

1) Despeja la incgnita y en la ecuacin.

2) Forma una tabla de valores (x, y) suponindole valores a x (los que tu quieras).

3) Sustituye cada uno de esos valores en la ecuacin y resuelve (encuentra el valor numrico de y).

4) Grafica y une los puntos y resulta una lnea recta que corresponde a la ecuacin.

EJEMPLO:

2x y = 4 y = 2x 4 despejando y x y

-2-8

0-4

2 0

4 4

Y = 2 (-2) -4 y = -8

Y = 2 (0) -4 y = -4

Y = 2 (2) -4 y = 0

Y = 2 (4) -4 y = 4

Se construy la tabla con valores supuestos para x (los que quieras, no importa) y se sustituyeron esos valores encontrando los valores de y.

y

Se grafican los puntos

(-2 , -8)

( 0 , -4)

( 2, 0)

(4, 4)

x

Y unindolos se obtiene una

lnea recta.

b) Grfica de un sistema de ecuaciones.

Cuando tengas un sistema, con dos ecuaciones lineales, las debes graficar una a una siguiendo el mismo procedimiento anterior.

La solucin del sistema corresponde a las coordenadas del punto (x ,y) donde las rectas se cruzan.

EJEMPLO:

x + y = 12 (Ec. 1)

x y = 4 (Ec. 2)

Despejando y en la Ec. 1 y = 12 x

y en la Ec. 2 y = x 4

Tabulando

xY1Y2

-214-6

012-4

210-2

480

(Ec. 1) (Ec. 2)

y = 12 (-2) y = (-2) -4

y = 14 y = -6

y = 12 (0) =12 y = (0) 4 = -4

y = 12 (2) = 10 y = (2) 4 = -2

y = 12 (4) =8 Y = ( 4) 4 = 0

Grafica cada una de las ecuaciones:

y

x

(Se numeran de dos en dos en la grfica) Respuesta: Lee en la grfica que la solucin al sistema es x = 8 y y = 4

NOTA: Todos los mtodos. Tanto deductivos como analticos

producen el mismo resultado; comprubalo.

c) Posibles Soluciones:

Cuando grafiques diversos sistemas de segundo orden podrs ver que existen tres tipos de resultados. A saber:

1) Una solucin: Es el caso cuando las dos rectas que corresponden a cada ecuacin se cortan en un punto; ese punto coordenado es la solucin en dos nmeros, uno corresponde a x y a y

EJEMPLO:

Prueba:

x + y = 12

(Ec. 1) (8) + (4) = 12 sustituyendo valores

12 = 12 identidad

x y = 4

(Ec. 2) (8) (4) = 4 sustituyendo valores

4 = 4 identidad

x + 2y = 8 (Ec 1)

2x + 3y = 2 (Ec 2)

Despeje:

Tabulacin (Ec 1) (Ec 2)

x + 2y = 8 2x +3y = 2

xY1Y2

-25-2

04-2/3

232/3

422

Y = 8 x y = 2 2x

2 -3

Sustitucin:

Y = 8 (-2) = 5 y = 2 2 (-2) = -2 2 -3

Y = 8 (0) = 4 y = 2 -2 (0) = -2

2 -3 3

y = 8 (2) = 3 Y = 2 2 (2) = 2

2-3 3

y = 8 - (4) = 2 y = 2 2 (4) = 2

2-3

y

x

Resultado: x = 4

y = 2

A este tipo de sistema se le llama consistente.

2) Ninguna solucin: Cuando las dos rectas son paralelas, por lo tanto, nunca

se cortan. (Las ecuaciones no son sistema).

EJEMPLO:

4x + 6y = 12 ( Ec. 1)

2x + 3y = -6 (Ec. 2)

Despejando y :

(Ec 1) y = 12 4x (Ec 2) y = -2x - 6 6 3

Tabulacin:

X Y1Y2

-23.3-2/3

-12.6-4/3

02-2

11.3-4/3

20.6-10/3

Despejes:

Y =12-4(-2)= 3.3 y =-2(-2)-6= -2 6 33

y = 12-4(-1)= 2.6 y =-2 (-1)-6= -4

6 3 3

y =12-4(0)= 2 y =-2(0)-6= -2 6 3

y =12-4(1)=1.3 y =-2(1)-6= - 8 6 3 3

y =12-4(2)=0.6 y =-2(2)-6= - 10

6 3 3

y

x

Para comprobar que nunca se cortan:

Medir la distancia de cada recta en un eje paralelo a x o y y ser la misma distancia que la de dicho eje x y.

- A este tipo de sistema se le llama INCONSISTENTE.3) Nmero infinito de soluciones: cuando las dos rectas coinciden, se tocan en un nmero infinito de puntos y entonces hay infinitas soluciones (o pares ordenados (x, y) que satisfacen a las dos ecuaciones).

Ejemplo: 2x -3y= -6 (Ec 1)

-x + 3y= 3 (Ec 2)

2

Despejando y:

(Ec. 1) y =-6 -2x (Ec 2) y = 6+ 2x

-3 3

Tabulacin:

XY1Y2

-22/32/3

02 2

210/310/3

344

Y =-6-2(-2)= 2 y =6+2(-2)= 2 -3 3 3 3

y =-6-2(0)= 2 y =6+2(0)= 2

-3 3

y =-6-2(2)= 10 y =6+2(2)= 10

-3 3 3 3

y =-6-2(3)= 4 y =6+2(3)= 4 -3 3

y

x

- A este tipo de sistema se le llama DEPENDIENTE.

Ejercicios:

X + 2y=7 x =

X + y =4 y =

X y + y =6 x =

5

x + y + x =5 y =

3

2x + y = 14 x =

3x y = 11 y =

3x + 7y = 2 x =

4x + 9y = 3 y =

3x - 9y = -18 x =

x -3y + 6 = 8 y =

3x + y = 8 x = 3

5x y = 16 y = -1

DESIGUALDADES O INECUACIONES:

Son expresiones algebraicas cuyos trminos se relacionan no ya con el signo de igualdad (=) sino con signos de < (menor que), > (mayor que) < (menor o igual que) y > (mayor o igual que).

- Las propiedades de las desigualdades es igual a las de la igualdad en la suma y en la resta. En la multiplicacin y la divisin; si se realizan con un nmero negativo cambia, el sentido de la desigualdad.

Ejemplo:

3x x > 1 5x 1> 2x +8

2x > 1 5x -2x > 8 +1

x > 3x >9

x > 9/3

x > 3

Interpretacin geomtrica (en la recta numrica).

IIIIIIII

-9-8-7-6-5-4-3-2-10+1+2+3+4+5+6+7+8

; para < y > que si incluyen las cantidades se escribe un punto . un corchete )

Ejercicios:

5x 8 < 4x 5 x=9(5x 4) < 9 x=4(8x -5) > 20 x=7 (2x 3) > 2 (9x 5) x=3 (2x 1) < 2x 5 x=4x + 9 > 3x 2 x=DESIGUALDAD CON 2 INCGNITAS:

Pasos:

1. Se reemplaza el smbolo de desigualdad por el de igualdad.

2. Se grafica despejando y tabulando. (si la desigualdad tena los signos > < se traza con lnea punteada si los signos > < con una continua).

3. se selecciona cualquier punto que no est en la recta y se determina si es parte de la solucin de la desigualdad original. Si lo es se sombrea la parte del plano donde est dicho punto, si no la parte contraria.

Ejemplo: -3x -5 < -y

Despejando la ecuacin. Y = 3x + 5

Tabulando sustituyendo

XY

-2 -1

0 5

1 8

2 11

y = 3 (-2) + 5 = -1

y = 3 (0) + 5 = 5

y = 3 (1) + 5 = 8

Y = 3 (2) + 5 = 11

Se toma un punto (0, 0)

Se comprueba -3x -5 2(0) -4

(0) > -4

verdadero

Conjunto solucin y= Ejercicios:

Y > x + 1

Y < 3x + 2

3x -4y < 12

y > - x + 4

X + 3y > 6

2x y > 4

2x + 3y < 6

4x - 2y > 8SISTEMAS DE MS DE 2 ECUACIONES (2 x 3) (3 x 3) (n x m)

METODOS: ( Analtico, grfico, determinantes, Gaussiano).

ANALTICO: Se elimina una incgnita en las tres ecuaciones quedando un sistema 2 x 2 por combinacin de los mtodos analticos que ya aprendiste. A discrecin.

Ejemplo: x + 4y z = 6 (Ec 1)

2x + 5y 7z =-9 (Ec 2)

3x 2y + z = 2 (Ec 3)

Eliminando: x en 1 y 2:

2x + 8y - 2z = 12 (multiplicamos Ec 1 por dos).

-(2x +5y 7z = -9) (se resta Ec 2 de la anterior).

3y + 5z = 21 (se obtiene la Ec 4 equivalente al

al sistema).

Eliminando x en 2 y 3:

6x + 15y - 21z= -27 (multiplicamos Ec1 por dos).

-(6x 4y + 2z= -4) (multiplicamos Ec 3 por 2).

19y - 23z=-31 (y se resta a la anterior se

obtiene Ec. 5).

3y + 5z = 21 (Ec 4) Nuevo sistema 2x2 que es equivalente al

19y -23z=- 31 (Ec 5) original.

Se resuelve por cualquier mtodo que ya conoces:

*sustitucin, por ejemplo:

y = 21 5z (Ec 4)

3

19(21 5z) -23z = -31 (sustituyendo en Ec 5)

3

399 - 95z -23z = -31 Despejando y resolviendo.

3

399 95z 69z = -93

-164z = -492

z = -492 -164

Se sustituye 2 en despeje de Ec 4.

Y = 21 5(3) 3

y = 21 15 3

Se sustituye y y z en cualquiera original; por ej. en Ec 1.

X + 4(2) (3) = 6

X + 8 3 = 6

X + 5 = 6

Se comprueban los 3 valores en las ecuaciones originales, ejemplo Ec. 2.

2(1) + 5(2) 7 (3) = -9

2 + 10 21 = -9

-9 = -9 Identidad numrica.

DETERMINANTES: (3 er orden). (Algoritmo de Cramer).

El determinante de tercer orden es un arreglo de nueve nmeros (coeficientes ordenados del sistema) colocados en un cuadro de tres filas y tres columnas con rectas verticales a cada lado.

Para facilitar se aumenta la matriz de la siguiente manera. O las 1as dos filas abajo, o las 1as dos columnas a la derecha

Ejemplo: x + y + z = 7 Ec 1

3x 3 + y = z Ec 2

2x + 4y 12 = -z Ec 3

Ordenado: En matriz completa

X + y + z = 7 (Ec 1) 1 1 1 7

3x + y z = 3 (Ec 2) 3 1 -1 3

2x + 4y + z = 12 (Ec 3) 2 4 1 12

columnas A B C D

Matriz aumentada

1 1 1 1 1 Las flechas indican que a los productos de

= 3 1 -1 3 1 los nmeros con signo + se restan los

2 4 1 2 4 productos de los nmeros con signo - .

- - - + + +

= (1)(1)(1) + (1)(-1)(2) + (1)(3)(4) - (1)(1)(2) - (1)(-1)(4) - (1)(3)(1) =

1a flecha 2 flecha 3 flecha 1 flecha 2 flecha 3 flecha

De izquierda a derecha. De derecha a izquierda.

= (1) +(-2) + (12) (2) (-4) - (3) = 10

En general:

= r11 r22 r33 + r12 r23 r34 + r13 r24 r 35 r13 r22 r31 r14 r23 r32 r15 r24 r33

*Es decir tomando la matriz completa por columnas: A, B, C, D.

= A B C AB x = D B C DB Y = A D C AD

se repite se repite se repite

z= A B D AB se repite

X = x x = 7 1 1 7 1

3 1 - 1 3 1 aumentando

12 4 1 12 4

- - - + + +

x = (7) (1) (1) + (1) (-1) (12) + (1) (3) (4) (1) (1) (12) (7) (-1) (4) (1)(3)(1)

x = (7) + (-12) + (12) (12) (-28) (3) = 20

x = 20

x = 20 10

y = y y = 1 7 1 1 7

3 3 -1 3 3 aumentando

2 12 1 2 12

- - - + + +

y = (1) (3) (1) + (7) (-1) (2) +(1) (3) (12) (1)(3)(2) (1)(-1)(12) (7)(3)(1) =

y = (3) + (- 14) + (36) (6) (-12)-(21) = 10

y = 10

y = 10

10

z = z z = 1 1 7 1 1 3 1 3 3 1 aumentando

2 4 12 2 4 - - - + + +

z = (1) (1)(12) + (1)(3)(2) + (7)(3)(4) (7)(1)(2) - (1)(3)(4) - (1)(3)(12) =

z = (12) + (6) + (84) (14) (12) (36) = 40

z = 40

10

Comprobando: (en cualquier ecuacin original o todas).

(Ec 3) 2(2) + 4 (1) + (4) = 12

4 + 4 + 4 = 12

12 = 12 identidad numrica

Ejercicios:

Sol. x + y + z = 6 x = 1

2x + 3y z = 5 y = 2

3x 5y + 8z = 17 z = 3

Sol.2D + F = 2 D = 13/2

3E 2F = 22 E = 0

2D - E = 13 F = -11

Sol.4y + 3z =25 x = 3

2x +3y =9 y = 1

4x 2z = -2 z = 7

2x + 3y = 9 Sol. 4y + 3z =25 x = y = 4x 2z = -2 z = ALGORITMO DE GAUSS JORDAN. (ELIMINACIN GAUSSIANA).

Este mtodo consiste en usar repetidamente el mtodo de suma y resta en una matriz* para obtener un sistema de ecuaciones equivalentes al original pero de ms fcil solucin.

*Matriz de coeficientes: es un acomodo rectangular de nmeros donde los horizontales forman filas o renglones y los verticales se llaman columnas.

Para obtener matrices equivalentes se permite que:

Dos filas se pueden intercambiar.

Dos filas se pueden sumar miembro a miembro.

Una fila se puede multiplicar o dividir por un nmero distinto de cero.

*Matriz aumentada: Es una matriz en donde se escriben tambin los

trminos independientes tomados del 2 miembro de cada ecuacin.

Ejemplo:

Sistema original Matriz de coeficientes Matriz aumentada

x + y + z = 2 1 1 1 1 1 1 2 F1

2x + 5y + 3z = 1 2 5 3 2 5 3 1 F2

3x - y - 2z = -1 3 -1 -2 3 -1 -2 -1 F3

Se debe formar otra matriz en tringulo con ceros y unos de la siguiente forma

A (F1) (-2) y se suma a F2 se obtiene: Queda

(1 1 1 2) (-2) ~ (-2 -2 - 2 -4) 1 1 1 2 F1

+ (2 5 3 1) 0 3 1 -3 F2

(0 3 1 -3) 3 -1 -2 -1 F3

A (F1) (-3) y se suma A F3 se obtiene: Queda

(1 1 1 2) (-3) ~ (-3 -3 -3 -6) 1 1 1 2 F1

+ ( 3 -1 -2 -1) 0 3 1 -3 F2

( 0 -4 -5 -7) 0 -4 -5 -7 F3

A (F2) / (3) y se intercambia en F2 Queda:

(0 3 1 -3) / (3) ~ (0 1 1 -1) 1 1 1 2 F1

3 0 1 1/3 -1 F2

0 -4 -5 -7 F3

A (F2) (4) y se suma a F3 Queda

(0 1 1/3 -1) (4) ~ (0 4 4/3 -4) 1 1 1 2 F1

+ (0 -4 -5 -7) 0 1 1/3 -1 F2

(0 0 -11/3 -11) 0 0 -11/3 -11 F3

A (F3) ( -3/11) y se intercambia en F3 Matriz transformada

(0 0 -11/3 -11) (-3/11) ~ ( 0 0 1 3) 1 1 1 2 F1

0 1 1/3 -1 F2

0 0 1 3 F3

Queda una matriz equivalente que forma un sistema fcil de resolver. Sistema transformado.

X + y + z = 2 F1= Ec 1

Y + 1/3z = -1 F2= Ec 2 z = 3

Z = 3 F3= Ec 3

Sustituyendo y resolviendo

Y + 1/3(3) = -1

Y + 1 = -1

Y = -2 y = -2

X + (-2) + (3) = 2

X + 1 = 2

X =1 x = 1

Ejercicios:

Transforma que queden matrices equivalentes que contengan el tringulo de ceros y unos.

sol

5 -4 1 -4/5

10 -5 ~ 0 1

1 4

-1 3 ~

~

1 -2

-2 6 ~

-1 4 1

0 21 6

1 2 3 ~

1 1 1

-1 3 -3 ~ 2 4 1

x y z + w = -1 x + 4y z = 6

x + y z + w = -5 2x + 5y -7z = -4

x + y + z + w = 1 3x -2y + z = 2

x + y + z w = 9

x + y +z = 12 x 2y + 3z = -5

2x y +z = 7 3x + y = 1

x + 2y z = 6 2x -3y + z = -4Ejercicios de aplicacin verbales: (resuelve con el mtodo que prefieras).

1. Un rectngulo mide 5m ms de largo y 3m menos de ancho que un cuadrado de la misma rea. Encuentra el lado del cuadrado y las dimensiones del rectngulo.

DATOS ECUACIN RESULTADO COMPROBACIN

2. Un tercio menos un quinto de un nmero es igual a 24. Cul es el nmero?

DATOS ECUACIN RESULTADO COMPROBACIN

3. Un depsito de combustible se llena en 20 minutos con una llave y en 30 minutos con otra. En cuanto tiempo pueden llenar el depsito las dos llaves juntas?

DATOS ECUACIN RESULTADO COMPROBACIN

4. Cuntos kilos de un dulce de $70.00 kg. se deben mezclar con 160 kilos de otra variedad de dulce de $180.000 kg. para obtener una mezcla de $110.00 kg?

DATOS ECUACIN RESULTADO COMPROBACIN

5. Cuntos litros de insecticida al 25% se deben mezclar con 10 litros de insecticida al 15% para producir un tercero de 17%?

6. La suma de las edades de un padre, de su hijo y de su hija es de 65 aos. Si diez aos ms tarde el padre tiene el doble de la edad del hijo y hace cinco aos la edad de este era el doble de la de su hermana, encuentra la edad de c/u.

7. Si a 3 veces el mayor de dos nmeros se aade 8 veces el menor, la suma es 2296; y si a 6 veces el mayor se resta 5 veces el menor da 959. Encuentra los nmeros.

CAPITULO 2

ECUACIONES

CUADRATICAS

Origen

Planteamiento a partir de un enunciado verbal.

Productos algebraicos.

Potenciacin y radicacin.

Productos notables.

Factorizacin.

Completar el trinomio cuadrado perfecto.

Solucin de ecuaciones de segundo grado con una incgnita.

Directa. Factorizando, complementado el T. C. P.

Frmula general.

Planteamiento y resolucin de ecuaciones de 2 grado

Ejercicios varios.

RecordandoEjemplo:

a Si quieres expresar el rea del siguiente rectngulo De lado a + b y b + c.

b A: ac + ab +bc + b2 y se obtiene una variable (literal) al

b c cuadrado.

.

Productos algebraicos

Recuerda: multiplicacin algebraica

Monomio por monomio

Monomio por polinomio

Polinomio por polinomio

En productos de potencias de igual base, se conserva la base y el exponente es la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplo:

(a2) (a3) = a2+3 = a5

(x)(x3)(x5)= x1+3+5 = x9

(y2x)(yx)(y3x-1)= y 2x+x+3x-1 =y6x-1 (se realiza lo mismo en los exponentes que en

las expresiones algebraicas.)

factorizando

(5a2 ) (3 a4) = 5 . 3 . a .a . a . a . a . a = 15 a6

(-2y) (y3) (5y2) = -2 . 1 . 5 . y . y3 .y2 = -10y6

ORIGEN:

Las ecuaciones cuadrticas surgen como su nombre lo indica de las figuras cuadradas de las rectangulares en general; sobre todo de circunstancias en donde la incgnita se multiplica en algn caso por s misma.

Productos notables: el cuadrado de la suma de dos cantidades, calcula el rea de los siguientes cuadrados:

a b

Area = lado x lado

aArea = (a + b) (a + b)

Area = a2 + 2ab + b2 porque se compone de

b

b . b = a2 + 2 (a b) + b2 captaste?

AHORA T:

6 a

2X A = ____________ A = ___

Y

2b 3b

3a A =____________

2 y

5x A =____________

3y

6x A = ____________

Y tambin en el siguiente ejemplo:

El producto de 2 enteros impares consecutivos es 143.

2 nmeros impares consecutivos x, x + 2

Su producto es x2 + 2x

Su relacin es x2 + 2x = 143

Y surgi una ecuacin con una incgnita a la segunda potencia.

RESULVELA!!!POTENCIAS:

La potencia an significa que la base a . a . a .a, se multiplica por si misma n veces.

Las partes o elementos del trmino son: a es la base

1 es el exponente (si es 1 no se

escribe) +11 (+) es el signo ( no se escribe) 1 (1) es el coeficiente (1 no se escribe) (1 ) es el denominadorCasos:

Exponente entero positivo:

1. 23 = 2 . 2 . 2 =8

2. (-3)2 = (-3) (-3) = 9

3. (2/3)3 = (2/3) (2/3) (2/3) = 8/27

4. (2x)2 ( 3x)3 = (2x) (2x) (3x) (3x) (3x) = 108x5 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . x . x . x . x . x = 108 x55. (3/4x)2 = (3/4x) (3/4x) = 9/16x2 Exponente entero negativo:

1. x -a = 1 (Se escribe el coeficiente como numerador de una fraccin cuyo

xa denominador es la base con el exponente ya positivo)

2. 2-3 = 1 = 1 = 1

23 2 . 2 . 2 8

3. 3-1 = 1 = 1

31 3

4. -2x-3 = -2 (El coeficiente es -2, el exponente -3 afecta a x solo)

x3

5. (-2x)-3 = 1 = 1 = 1 (el exponente -3 afecta no solo

(-2x)3 (-2x)(-2x)(-2x) -8x3 a x sino todo el parntesis)

6. 6 = 6 = 6 1 = 6 1 = 6x2 = 6x2 x-2 1/x2 x2 1 x2 1

7. a-2 = 1/a2 = 1 3 = b3 3b-3 3/b3 a2 b3 3a2

Exponente cero:

1. x0 = 1 (Por definicin es 1 cualquier cantidad que tenga exponente 0 ya

que viene de la divisin de potencias de igual base y exponente).

2. 50 = 1

3. (2x)0= 1

4. (-x/3)0 = 1

5. (25, 000)0 = 1

6. (10x2y)0 = -1 (El signo esta fuera de la base).

7. (-3x)0 =1

Exponente fraccionario positivo:

1. xa/b = b xa = ( b x )a (el numerador del exponente es el

del radicando y el denominador pasa a ser el

ndice del la raz).

2. 41/2 = 2 41 = 4 = 2

3. 82/3 = 3 82 = 3 64 = 4

4. ( -1 ) 2/3 = 3 (-1)2 = 3 (-1) (-1) = 3 1 = 1 8 8 8 8 64 4

Exponente fraccionario negativo:

1. x-a/b = 1 = 1 = 1 (Primero quitamos lo negativo (resta) y

xa/b b xa ( b x )a despus lo fraccionario. O viceversa)

x-a/b = b x-a = ( b x )-a = 1

b x )a

2. 4 -1/2= 1 = 1 = 1 = 1

41/2 2 41 4 2

3. 8-2/3 = 1 = 1 = 1 = 1

82/3 3 82 3 64 4

4. -5 (27)-1/3 = -5 = -5 = -5 = -5 271/3 3 271 3 27 3

RADICALES:

Recuerdas si m an = x a Es el radicando.

m Es el indice.

n Es el exponente de a.

(+) Signo positivo no se pone. x Es la raz Multiplicacin:

1. n a n b = n ab

1 . 1 = ab1/n = n ab an bn

2. a3 b5 = a3 b53. 3 4 2 5 = 6 4.5 = 6 20

4. (2 10 ) ( -3 12 ) =(2) (-3) ( 10 . 12 ) = -6 120

Divisin:

n a1. = n a n b

b

2. 15 = 15/3 = 5

3

3. 2 3 24 = 2 3 24/13

3 3 13 3

4. 17/9 = 17 = 17 = 1 17

3 3

9

Potencias:

1. ( n am )r = ( am/n)r = am r/n = n am r2. ( 3 3 )2 = (31/3)2 = 32/3 = 3 32 = 3 9

3. ( 4a )3 = ( (4a)1/2)3 = (4a)3/2 = (4a)3 = 64a3 = 8 a3 Raices:

1. m n a = m n a (Se multiplican los ndices)

2. 3 3x2 = 6 3x2

3. 3

5a6 = 6 5a6 =a 6 51

Ejercicios: (Simplifica)

1. (2x)3 =

2. (3a)-2 =

3. (4x)1/2 =

4. (x/y)2 =

5. (9a2 /2x)1/2 =

6. a3 . a5 =

7. 34 . 35 =

8. x1/2 . x1/3 =

9. x5/3 . x-1/4 =

10. 74 =

73

11. 102 =

105

12. a3b = a2b

13. (23)2 =

14. (x8y5)3 =

15. (106)1/2 =

16. x3a . x-5a =

17. 32x . 35x+1 =

18. (22)3x =

19. abd2 =

acd

20. a =

a

Resumen de potencias: Resumen de radicales:

am an = am+n n a n b = n ab

(am) n = amn n a = n a/b

n b

(ab)m = am bm ( n am )r = n amr

m

am = am-n n a = mn a

an

a0 = 1 n a/b = n a .

n

b

xa/b = b xa b xa = xa/b

x-a = 1 1 = x-a

xa xa

x-a/b = 1 = 1 1 = x-a/b b xa (b x )a ( b x )a

xa/b . xc/d = xa/b + c/d a x + b x = (a+b) x

Adems ten en cuenta que en un producto o divisin algebraica se multiplican o dividen los coeficientes de los trminos aplicando la regla de los signos de la multiplicacin y la divisin.

Producto o cociente con signos iguales da positivo. Producto o cociente con signos diferentes da negativo. Ejercicios:

1. (2) (3x) =

2. (-7ab)(5a2) =

3. (6x3) ( -1 x4 ) =

5

4. a(a+b) =

5. 8(5 x) =

6. ab2 (-b+6a) =

7. (a + 3) (a 1) =

8. (3x Y) (x + 2y) =

9. (x2 + xy + y2) (x y) =

10. 2x (-3x) =

11. (-5x3y) (xy2) =

12. 2/3 a2b (-3/4a3m) =

13. (-a)(-b)(-c) =

14. (5ab) (7a+b) =

15. 3x2y (x2 + y2 -2x3 y3) =

16. (xy -8) (1 + x2y2) =

17. (a2 + b2- 2ab) (a+b) =

18. (x2 + 1 + x) (x2 x 1) =

19. 2(a-3) (a -1) (a + 4) =

20. (a + b)2 =

21. (a + b)3 =

22. (a + b)4 =

23. (a + b) (a + c) =

24. (a b)2 =

25. (a + b) (a b) =

Logaritmos: PRODUCTOS NOTABLES

Los productos notables son resultados de multiplicaciones algebraicas que se notan, porque su solucin es predecible y se puede memorizar. Fjate.

Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio al cuadrado. Ejemplo:

(3x + y)2 = (3x + y) (3x + y) = 9x2 + 6xy + y2(2x4 + 3y)2 = 4x8 + 12x4y + 9y2 =

(m + n) (m + n) = m2 + 2mn + n2

(x + 5)2 = x2 + 10x + 25

Pgina anterior de PN.

REGLA: Es igual al cuadrado del primer trmino, mas el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo trmino.

Ejercicios:

(2m + n)2 = (6a + b)2 =

(a + 2b)2 = (2x + 4)2 =

(3a + b)2 = (4x3 + 2y) (4x3 +2y) =

(5x + y) (5x + y) = (4x + xy)2 =

(x3 +y) (x3 + y) = (5y + 9) (5y +9) =

Cuadrado de la diferencia de dos cantidades:

Ejemplos:

(4x y)2 = (4x y) (4x y) = 16x2 8xy + y2

(3x3 - 2y)2 = (3x3 2y) (3x3 - 2y) = 9x6 +12x3y + 4y2Viene de. . .

Encuentra el rea del cuadro con signo de interrogacin.

A = L x L

A = (3a b) (3a b)

1b A = (3a - b)2 3a

4x A = _______________

y

5x A = ________________

2y

REGLA: Es igual al cuadrado del primer trmino, menos el doble del primer trmino por el segundo; mas el cuadrado del segundo trmino.

Ejercicios:

(2x 4y)2 = (a8 b4)2 =

(5x 4)2 = (b5 c2)2 =

(5x2 3x)2 = (3a - 5c) (-5c + 3a) =

(6x 8)2 = (-4b + 10a) (10a 4b) =

Producto de la suma de dos cantidades con su diferencia: (Binomio Conjugado).

Ejemplos:

(6x + 3y) (6x 3y) = 36x2 -18xy +18xy -9y2 = 36x2 9y2

(8x3 -5) (8x3 + 5) = 64x6 +40x3 40x3 - 25 = 64x6 - 25Geomtricamente:

6x 3y

6xA = ______________

3y

8x3 5

A = ________________

8x3

5

20 a 5b

20a A = ________________

5b

15y 3z

15y A = _______________

3z

REGLA: Es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo.

Ejercicios:

(7 a + b) (7 a b) = (8x3 -4y) (-8x3 -4y) =

(2 a 3) (2 a + 3) = (-3 + 8 a) ( 3 + 8 a) =

(5x2 7y) (5x2 + 7y) = (6 a3 4x2) (6 a3 + 4x2) =

(-4y + 5x) (5x + 4y) = (8x2y + 3) (8x2y 3) = Binomio con trmino comn:

Ejemplos: (x + 7) (x 3) = x2 + 7x 3x 21 = x2 + 4x 21

X 7

X A = ______________

3

(x 8) (x 2) = x2 8x -2x + 16 = x2 -10x + 16

x

A = _______________

x

2

8

2 a 3b

2a A = _______________

b

3y z

3y A = _______________

2z

REGLA: Es igual al cuadrado del trmino comn, ms el producto del trmino comn con la suma algebraica de los no comunes; ms la multiplicacin algebraica de los trminos no comunes.

Ejercicios:

(x + 7) (x + 5) = (x + 11) (x 5) =

(x + 3) ( x 1) = ( x 9 ) (x 4) =

(x 6) (x 4) = ( x + 3) (x 8 ) =

(x + 4) ( x 3) = (x + 10 ) (x 6) =

Cuadrado de un polinomio:Ejemplo:

(x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2xy + 2xz +2yz

(x + y +z+ w)2 = x2 + y2 + w2 +z2 + 2xy + 2 xw +2xz + 2yw + 2yz + 2zwREGLA: Es igual a la suma de los cuadrados de cada trmino por separado, ms (algebraicamente) el doble producto de todos los trminos tomados de dos en dos.

Ejercicios:

(x + 3y 4)2 =

(2a + 3b c + 5d)2 =

(3m 2n 5p)2 =

El cubo de un binomio

Ejemplos:

(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2+ y3

(x y)3 = x3 3x2y + 3xy2 y3

REGLA: Salen cuatro trminos:

1. El cubo del primer trmino del binomio.

2. El triple producto del cuadrado del primero por el segundo trmino.

3. El triple producto del primero por el cuadrado del segundo trmino.

4. El cubo del segundo trmino del binomio ( si el binomio es suma todos positivos; si es resta, el primero y tercero positivo y el segundo y el cuarto negativos).

Ejercicios:

(x + 2)3 = (5a3 + 5b2)3=

(2x2 3y2)3 = (b2 3c3)3 =(a3 + 1)3 = (2 b2)3 =

(x5 2)3 = (2y4 + 1)3 =

(1 5y3)3 = (3 w4)3 =

BINOMIO A LA ENSIMA POTENCIA:

Observa:+(x y)1 = x + y + -

(x y)2 = x2 2xy + y2 + - +

(x y)3 = x3 3x2y +3xy2 y3 + - + -

(x y)4 = x4 4x3y + 6x2y2 4xy3 + y4 + - + - +

Conclusiones:

1. El nmero de trminos es igual al exponente ms uno (n + 1).2. El grado del primer trmino es igual al del binomio, disminuye de uno en uno de los siguientes hasta cero y el segundo inicia en cero hasta el grado del binomio. (Todos los trminos tienen el grado absoluto del binomio).

3. Los coeficientes se escriben del tringulo al Pascal:

1 cero grado

1 1 primer grado 1 2 1 segundo grado

1 3 3 1 tercer grado

1 4 6 4 1 cuarto grado

1 5 10 10 5 1 quinto grado

1 6 15 20 15 6 1 sexto grado

Se obtiene con:

(x + y)n = xny0+ nxn-1 y1 + n(n-1) xn-2 y2 + n(n-1)(n-2) xn-3 y3 +...+

1 2 3

4. Si el binomio es positivo, todos los trminos son positivos.

Si el binomio es una diferencia: los trminos tienen signo +, - , +, - sucesivamente: dependiendo del nmero de trminos.

Ejercicios:

(a+b)1= (am-bn)5=

(a+b)2= (a+b)6=

(a-b)3= (a+b)0=

(a+b)4= (a-b)2=

FACTORIZACIN:

Es la descomposicin de un producto en sus factores y dejar la operacin indicada (encontrar los factores cuando se da el producto).

NOTA: No todas las expresiones algebraicas se pueden factorizar con un factor distinto de 1. Aqu se tratarn las que se necesitan para resolver cuadrticas; especialmente los productos notables.)

Primer caso: FACTOR COMN:

Se utiliza cuando todos los trminos tienen un factor igual

REGLA: Un factor es el antes indicado y el otro el cociente del polinomio por el factor Comn.

Ejemplo:

2ay + 4by +6cy

Factorizando:

(1)(2) (a) (y) + (1) (2) (2) (b) (y) + (1) (2) (3) (c) (y)

El factor que aparece en todos los trminos es 2 y Se divide 2ay+ 4by+6cy = a + 2b+3c

2y

Resultado (PRIMER FACTOR) (2y) (a + 2b + 3c) (SEGUNDO FACTOR).

Ejercicios:

1. 3x2-6x=

2. x3+x5-x7=

3. 10ab+a-7a3=

4. 6x3y2+4x2y-8x+10y=

5. 18x+9x2=

6. 16x2+24x=

7. 8x5-3x3+2x=

8. 20x2-10x=

9. 8a4+3a 3-12a2+6a=

10. y2+y+1=

Segundo caso: FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

1. REGLA: Cuando se reconoce un T.C.P. se obtiene la raz cuadrada del primero y tercer termino separndolos con el signo del segundo; con esta suma se forma un factor elevado al cuadrado (binomio cuadrado).

2. Ejemplo:

a4+2a2+1= (T.C.P. porque el 1 y 3er trminos son cuadrados perfectos y el 2 trmino se puede dividir entre las raices del 1 y 3 trminos; y adems entre 2).

Raiz cuadrada del 1 a4 = a2

Raiz cuadrada del 3er 1 = 1

Segundo trmino divisible entre 2a2/a2; entre 2a2/1 y entre 2a2/2

Siendo el 2 (a2+1)2Geomtricamente:

a2

1

Lado = a2+1

a2 a4 por

Lado = a2+1

Ejercicios:

ab

b2 ab L = __________________

15xy

5y2 15xy L = __________________

5ay

y2 5ay L = __________________Ejercicios:

x2 10x + 10 =9x2 + 6xy + y2 =

4x8 + 12x4y + 9y2 =

m2 + 2mn + n2 =

x2 + 10x + 25 =

16x2 8xy + y2 =

9x6 + 12x3y + 4y2 =Tercer caso:FACTORIZACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

a2 b2 Se factoriza como la suma por la diferencia de las races de los dos trminos. ( a + b ) ( a b ).

Debes fijarte que los dos trminos sean cuadrados exactos.

Ejemplo: 36x2 81 = ( 6x + 9 ) ( 6x 9 )

36x2= 6x --- 81 = 9

Ejercicios:

36x2 9y2 =

64x6 25 =

49 a8 64 =

64 a2 9 =

-64x6 + 16y10 =

121x4y2 144 =

Cuarto caso: FACTORIZACIN DE LA FORMA x2+ bx + c:

Pasos:

1. Se separa en dos binomios la incgnita.

2. Al primer binomio se le pone el signo del segundo trmino del trinomio; al segundo factor, el signo que resulta del producto del segundo y tercer trminos del trinomio.

3. Cuando en los factores tenemos signos iguales se buscan dos nmeros que al sumarlos se obtenga el valor absoluto del segundo trmino del trinomio y el producto sea el valor absoluto del tercer trmino su trinomio.

4. Si en los factores tenemos signos diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea el valor absoluto del coeficiente del segundo trmino del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer trmino del trinomio.

Ejemplo:

Factorizar x2 - 13x + 30 (no es un T.C.P. y a = 1)

PASO PROCEDIMIENTO

1.- (X ) (X ) factor comn 2.- (X - ) (X - ) signo del 2 trmino y del 2 poe el 3 3.- (X - 10 ) (X - 3 ) dos nmeros que sumados den 13

y multiplicados den 30. 130 2 2 (2)(3) + 5 = 11

15 3 3,6 (2)(5) + 3 = 135 5 5,10 (3)(5) + 2 = 17

1 15, 30En este ejemplo:

10 - 3x

3

-10x x

x

Ejercicios:

1. x2+7x+6=

2. x2+9x+20=

3. a2-a-6=

4. x2+5x-24=

5. b2+14b+13=

6. y2-8y+12=

7. n2-6n-40=

8. a2+7a-60=

Quinto caso: FACTORIZACIN DE LA FORMA ax2+ bx + c:

Pasos:

1. Se multiplica el trinomio por el coeficiente de la incgnita al cuadrado. Dejndola indicada en el segundo trmino.

2. Se saca raz cuadrada al primer trmino, siendo el primer trmino en los dos binomios y se sacan los signos igual que en el caso anterior.

3. Se buscan dos nmeros que sumados o restados den el segundo coeficiente del trinomio y que multiplicados den el tercer trmino del trinomio.

4. Cuando se encuentren los binomios factores se dividen uno a uno entre el nmero factorizado por el cual se multiplic el trinomio al principio.

Ejemplo:

2x2+5x+3 (no es T.C.P. y a = 1 )2(2x2) + 2( 5x ) + 2(3) (primer paso) el coeficiente del 1er trmino es 24x2+5(2x)+6 (2) (5x)=5(2x)

(2x+ ) (2x+ ) (Paso dos) ( raz del 1er trmino)(2x+ 3 ) (2x+ 2 ) (Paso tres)(2x+ 3 ) (2x+ 2 ) (Paso cuatro: los factores se dividen. Los binomios donde

(1) (2) sea entero).(2x+3) (x+1) (Resultado)Comprobando: (2x+3)(x+1)= 2x2+5x+3

Geomtricamente:

1 a a b = 3 3 a+b = 5x

L= 2x+3

b por

L= x+1 (2x + 3 ) ( x + 1 )

Ejercicios:

1. 6x2+10xy-4y2=

2. 6y2+7y+2=

3. 12a2-5a-2=

4. 12y2-7y+1=

5. 4y2+13y+3=

6. 4b2+16b+7=

7. 8y2-5ay-3a2=

8. 3y2-y-2=

9. 8x2+14xy-15y2=

10. 6x2-7x-3=COMPLETAR EL T.C.P. :Si tienes una expresin binomio como a2+2ab se expresa geomtricamente as:

ab

?

Entonces a2 + 2ab + b2 =

ab (a + b) 2

En esto cosiste completar el T.C.P.

Regla:

Se extrae la raz cuadrada al trmino al cuadrado.

Se divide entre 2 el segundo trmino y entre la raz del primero.

Si tiene tercer trmino (trmino independiente) se pasa al segundo miembro del signo de igualdad. Se agrega a los dos miembros el cociente del 2 paso.

Se resuelven operaciones indicadas.Completa:

2xy

x2+2(2xy)+____ =

2xy (___________)2 =

8xy

4x2+16xy+____ =

8xy (___________)2 =

80ab

64a2+160ab+___ =

80ab (___________)2 =

Ejercicios:18x2 + 6x =

m2 + 7m + 6 =

14a2 + 6a + 1 =

12x2 6 =

y2 4x + 4 =

121a4 81 =

ECUACIONES CUADRTICAS CON UNA INCGNITA:

Definicin: Es una ecuacin de la forma ax2+bx+c=0Partes: a: Coeficiente de la incgnita al 2grado

b: Coeficiente de la incgnita al 1er grado c: Trmino independiente

x: Es la incgnita

+: Es suma algebraica (positiva o negativa)

=: igualdad

0: valor del 2 miembro de la ecuacin ordenada

Ejercicios: Ordena las ecuaciones listas para resolverse.

1. 9x2+2x=14-6x

2. 4x(x+7)-12=3x+3

3. 2x(x+6)=10x-6x24. 6x(x+5)=x(5x2+10)+44

5. 5x-7=(x)(3x+14)

6. 6x(x+3)-2=x(x+3)

7. x(6x-3)+11=8x

8. 10x2-5=8(x2+5)

9. 9x(x-2)+6=(3)(-6x+2)

10. 3x2-(x-11)+4=2x2+45

TIPOS DE ECUACIONES CUADRTICAS:

ax2=0 trivial INCOMPLETA ax2+c=0 pura ax2+bx=0 mixta ECUACIONES DE2 GRADO x2+bx+c=0 COMPLETA

ax2+bx+c=0

Ejercicio: Anota la letra correcta que corresponde a cada forma.

1. ax2+bx+c=0

( ) 18x2+6x=0

2. x2+bx+c=0

( ) 26x2=0

3. ax2+bx=0

( ) m2+7m-6=0

4. ax2+c=0

( ) 14a2+6a+7=0

5. ax2=0

( ) 12x2-6=0

ECUACIONES DE LA FORMA ax2 = 0

Se le llaman ecuaciones triviales porque sin necesidad de hacer alguna operacin se sabe que la raz es cero.

Ejemplo:

7x2=0

Despejando:

x2=

x2 =

EMBED Equation.3 x = 0

NOTA: FIJATE QUE SIEMPRE EL RESULTADO ES CERO!

Ejercicios:

4x2= 0

9x2=0

13x2=0

ECUACIONES DE LA FORMA ax2+c=0

Ecuaciones de este tipo (incompleta sin trmino de primer grado), se resuelven directamente, es decir: despejando la incgnita.

Ejemplo

8x2-72=0

8x2=72 (sumando 72 a los dos miembros)

x2= (dividiendo por 8 los miembros)

x2 = (extrayendo raz cuadrada a los dos miembros queda)

x = ( (realizando la divisin efectuada)

x = ( 3 (dos resultados uno + y otro -)

NOTA: fjate que es un mismo nmero pero positivo y negativo. Siempre!COMPROBACIN:

8(+3)2-72=0

8(9)-72=0

72-72=0

0=0

8(-3)2-72=0

8(9)-72=0

72-72=0

0=0

Ejercicios:

1. 6x2-224=0

2. 8x2-200=0

3. 4x2+9=0

4. 36x2+25=0

5. x2+9=0

6. 4x2+64=0

ECUACIONES DE LA FORMA ax2+ bx = 0 Se resuelven factorizando la expresin del primer miembro (el tipo de factorizacin que se realiza es el de factor comn.)

Ejemplo:

8x2-40x=0

(8x)(x-5)=0 (primer factor comn 8x; segundo factor comn x-5)

Factorizamos:

Se obtiene un producto de 2 factores cuyo resultado da cero. Por lo tanto.

Si 8x=0 entonces x1= x1=0

Si x-5=0 entonces x2= 5 x2=5

NOTA: fjate que un valor es cero y el otro un nmero ya sea positivo o negativo. Siempre!

Ejercicios:

1. x2-7x=0

2. 3x2+x=0

3. x2+2x=0

4. 4x2-16x=0

5. 2x2-2x=0

ECUACIONES DE LA FORMA x2+bx+c=0

Se resuelven factorizando, completando el T.C.P y frmula general (esta frmula se explicar al final).

Ejemplo:

FACTORIZANDO EL T.C.P.

x2+8x+16=0 (Reconoce que es un T.C.P.)

(x+ ) (x+ ) =0 (Factorizando)

(x+4) (x+4) = 0

(x+4)2=0

(x+4)2 = 0 (Despejando)

x+4=0 ( y despejando)

x=-4 x1=-4

x2=-4

NOTA: El resultado es un nmero con el mismo signo. Siempre!.

FACTORIZANDO SIN SER T.C.P. (SI SE PUEDE FACTORIZAR).

x2-x-2=0

(x- ) (x+ ) =0 (Factorizando)

(x-2) (x+1) =0 (Igualando a cero los dos factores)

(x-2)=0 y (x+1)=0 (Despejando)x1=2 x2=-1

Comprueba!

NOTA: El resultado son dos nmeros diferentes con igual o diferente signo. Comprubalo!......

COMPLETANDO EL T.C.P.

Se trata de forma expresiones de la forma

(x(d)2=

(x(d)(x+-d)= x2(2dx+d2=0Ejemplo:

X2-6x-2=0 (No es un T.C.P. FIJATE!)

X2-6x =2 (Se transpone el trmino independiente).

X2 = x (Se extra raz cuadrada del trmino cuadrado).

(Se divide el segundo trmino entre la raz del 1 y entre 2)

(-3)2 (Esa es la raz del tercer trmino)

x2-6x+(-3)2=2+(-3)2 (Se suma cada raz elevada al cuadrado a los dos

miembros de la ecuacin.)

x2-6x+9=11 (Se factoriza y resuelve la nueva ecuacin cuadrada completa).

(x-3) (x-3)=11 (Se resuelve)

(x-3)2=11 (Se despeja)

(x-3)2 = 11 (Se despeja)

x-3 = (

x=3(

x1=3+3.32 x2=3-3.32

x1=6.32 x2=-0.32

Comprubalo!

NOTA: Comprubala!!!!Ejercicios: Realiza la mitad completando el T.C.P. y la mitad factorizando.x2 10x + 25 = 0

x2 + 7x 60 = 0

x2 6x 40 = 0

x2 8x + 12 = 0

x2 + 14x + 13 = 0

x2 + 5x 24 = 0

x2 2 6 = 0

x2 + 9x + 20 = 0

x2 + 7x + 6 = 0

16x2 + 16x + 4 = 0

ECUACIONES DE LA FORMA ax2+bx+c=0

Se resuelven factorizando completando el T.C.P. y por frmula general:

Deduccin de la frmula general:

Si

ax2+bx+c=0

ax2+bx=-c (Transponemos c)

x2+= (Dividimos la ecuacin entre coeficientes de x2)

x2++ ()2= +()2 (Completamos el T.C.P.)

(x+)2= b2/4a2 - (Factorizamos)

(x+)2 = b2 4ac (Encontramos el comn denominador al segundo

4a2 miembro).

(x+)2 = b2 4ac (Sacamos raz cuadrada a ambos miembros).

4a2x + = ( b2 4ac (Desarrollando)

2

x= -b ( b2 4ac (Despejando obtenemos)

2a

Ejemplo

Pasos:

3x2+5x-2=0 (Reconocer los valores de a, b y c)

a=3 b=5 c=-2

x= -(5)( (5)2-4(3)(-2) (Sustituyendo valores)

2(3)

x= -5 ( (Resolviendo) 6

x= -5(

6

x= -5(7

6

x1= -5+7

6

x1=

x1=

x2=

x2=

x2= 2

Comprobando:

3(1/3)2+5(1/3)-2=0 3(2)2+5(-2)-2=0

3()+5()-2=0 3(4)+5(-2)-2=0

+-2=0 12-10-2=0

2-2=0 12-12=0

0=0 0=0

NOTA: Se obtienen dos nmeros con signo + indistintamente. SIEMPRE!

Con la frmula general se pueden encontrar los valores de cualquier tipo de ecuacin cuadrtica; slo recuerda que si es incompleta, a la letra del trmino que falte se le escribe como cero.

Ejercicios:

1. 6x2-5x=6 x1=3/2 x2=-2/3

2. 6x2+7x=-2 x1=-1/2 x2=-2/3

3. 3x2-5x=2

x1=2 x2=-1/3

4. 6x2-x=1

x1=1/2 x2=-1/3

5. x2+5x-6=0 x1=1 x2=-6

6. x2+-=0 x1=1 x2=-7/3

7. 9x2=16 x1=4/3 x2=-4/3

8. x2-7x=0 x1=0 x2=7

PROBLEMAS QUE SE RESULEVEN POR MEDIO DE ECUACIONES CUADRTICAS.

NOTA: Si al resolver una ecuacin de segundo grado se obtienen dos valore, slo se aceptar como solucin el o los valores que realmente satisfagan las condiciones del problema.

1) La longitud de un jardn rectangular es doble que el ancho. Si este se aumenta en 6 metros y la longitud en 40 metros, el rea ser el doble:

2) Las personas que asistieron a una reunin se estrecharon la mano. Una de ellas advirti que los apretones de mano fueron 66. Cuntas personas concurrieron a la reunin?

3) 102+112+122=132+142; es una caracterstica curiosa de esta sucesin de cinco nmeros; pero es la nica serie que la tiene? Encuentra el resultado.

4) Halla tres nmeros consecutivos en los que el cuadrado del nmero de en medio sea mayor en una unidad que el producto de los dos restantes:

5) La base de un rectngulo mide 5cm ms que su altura y su rea es igual a 204cm2. Calcule las dimensiones del rectngulo.

6) Se desea empastar un campo de ftbol con 2080m2 de pasto, si el permetro es de 194 mts. Cules son las medidas del campo?

7) Haya un nmero cuyo cuadrado sea igual a tres veces dicho nmero disminuido en dos unidades.

8) Halla dos nmeros enteros positivos consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 113.

9) La suma de las edades de Pepe y Almendra es 23 aos y su producto es 102. hallar ambas edades.

10) Halla las dimensiones de un terreno cuyo permetro es 52 m y su rea de 152 m2Captulo 3

FUNCIONES

Nocin

Tablas de Variacin

Graficas de Funciones

Funciones mas comunes

Funciones Polinomiales

Funciones constantes

Funciones lineales

Funciones cuadrticas

Funciones cbicas

Funciones de grado n (y = axn) Funciones Racionales

Funciones Exponenciales

De base b Natural

Funciones Logartmicas

De base b Natural

Decimal

Funciones Trigonomtricas

Variacin proporcional

directa e inversa

aritmtica y geomtrica

racional y exponencial

Frmulas y despeje de trminos

Nocin de Funcin:

La nocin de funcin es uno de los conceptos mas importantes en matemticas.

Surge cuando se estudian matemticamente magnitudes que se relacionan entre si de alguna manera y esta manera se puede medir y cuantificar. Se expresan por medio de cantidades fijas a las cuales llamamos constantes y a las cantidades que estn cambiando les llamamos variables; ya sean dependientes o independientes. Lo que une a las variables se les llama relacin.

Cuando se miden con presicin se utiliza u aplica un modelo algebraico que interpreta con exactitud la relacin que existe entre las variables de la situacin o fenmeno que se estudia. Este modelo algebraico es al que llamamos expresin funcional o funcin.

Por lo tanto:

Funcin es un modelo algebraico que contiene con exactitud la relacin que existe entre dos o ms variables.

Si consideramos nicamente a los nmeros reales podemos decir que:

Una funcin puede considerarse como la correspondencia entre un conjunto X de nmeros reales x, y otro conjunto Y de nmeros reales y , donde el nmero y es nico y dependiente para un valor de x.

En donde:

x es la variable independiente, porque puede tomar cualquier valor en R y el conjunto al que pertenece se llama Dominio.

y es la variable dependiente porque depende de los valores que toma x, y su conjunto se llama mbito o contradominio.

Entonces y = f (x)

Grafica de una Funcin

Si f es una funcin, entonces la grfica de f es el conjunto de todos los puntos (x,y) en R para los que (x,y) es un par ordenado de f.

Adems:

Toda funcin puede representarse por un modelo algebraico o expresin funcional.

A toda funcin le corresponde una tabla de valores, es decir una tabla de variaciones con puntos (x,y) de pares ordenados relacionados entre s.

La relacin que existe entre (x1, y1 ) es la misma que existe entre (x2, y2), y entre (x3, y3), y entre (xn, yn) en general.

Geomtricamente la grfica de una funcin solo puede ser cortada por una recta vertical en un punto.

El dominio de una funcin es evidentemente el conjunto R.

El contradominio casi siempre se determina con la grfica de la funcin.

Tablas de variacin:Elabora una tabla de variaciones para las siguientes funciones.

Ejemplo:

Dada la funcin y = -x si x = {-3,-2,-1,0,1,2,3}

Se sustituyen los valores sucesivos de x y se encuentran los valores de y.

As

xy

-33

-22

-11

00

1-1

2-2

3-3

y = - (-3) y = 3

y = - (-2) y = 2

y = - (-1) y = 1

y = - (0) y = 0

y = - (1) y = -1

y = - (2) y = -2

y = - (3) y = -3

Ejercicios:

1).- y = 7/3x -1 si x = {2,3,4,5,6,7,8}

2).- y = x2 si x = {-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8}

3).- y = 3.8 0.4x si x = { 0, -1, -2, -3, -4, -5.}

4).- A = 10 B si B = { 10, 9,8,7,6,5,4,3,2,1,0..}

2

5).- y = 200- x si x = { 71.4, 80.7, 90.3, 102.7, 111.9 }

6).- t = r2 r si r = { 0.01, 0.07, 0.11, 0.27, 0.38, 0.44 }

7).- y = 2x2 + x 1 si x = { -17, -15, -11, -8, -5, 2, 4, 5, 6, }

Evaluacin de una funcin:Aqu no se te proporciona el modelo algebraico; sin embargo con slo algunos pares ordenados debes encontrar la relacin que tienen entre s las variables y si existe alguna constante k; para ello puedes graficar, completar la tabla o inferirla directamente.

Ejemplo:

Dada la tabla: Los valores que faltan por simple inspeccin son:,

3, 6, 8, 9, y 11

AB

1

24

35

4

57

6

7

810

9

Y el modelo algebraico sera

B = A + 2

Contina

xy

-4-12

-3-9

-2-6

-1-3

0

1

26

3

4

515

6

7

8

xy

11

2000.005

2500.004

5000.002

10000.001

1200

1800

1,0000

15,000

Los valores que faltan Los valores que completan

Son: ____________ Son:_____________

El modelo algebraico es: El modelo algebraico es:

__________________ ____________________

xy

28-14.00

30-15.00

40

41-20.50

42

55

56-28.00

80

104-52.00

-8040.00

-7537.50

-56

-51

-33

-20

AB

-8

-7

-39

24

39

416

6

981

10

12144

13

16

Valores:____________ Valores:_____________

Modelo:_____________ Modelo:______________

ts

-7/249/4

-5/325/9

-1

00

11

5/3

39

7/2

5

Valores:_____________ Valores:_____________

((

-10-110

-5-105

0-100

5-95

10

15

20-80

25

1000

Modelo: _____________ Modelo:_____________

Grafica de una Funcin:

Como ya vimos anteriormente, toda funcin se puede graficar en un sistema de coordenadas ortogonal donde el eje de las abscisas corresponde a la variable independiente x y se escribe en el eje horizontal; y el eje de las ordenadas corresponde a la variable dependiente y que se escribe sobre el eje vertical.

Ejemplo:

Graficar la siguiente tabla de variacin;

x12340-1-2-3

y1357-1-3-5-7

Ubicando los pares ordenados (x,y); grafcalos (une todos los puntos que aparezcan de izquierda a derecha).

Grafica la funcin es y = x2 1

Tabulando

xy

1

2

3

0

-1

-2

-3

Los valores son: _0,3,8,-1,0,3,8._ Graficando

Ahora t!!!

Ejercicios:1).- y = x22).- y = -x23).- y = 1/x

4).- y = 1 x

5).- y = x

6).- y = 3

Funciones ms comunes:Ahora analizaremos algunos tipos de funciones que se estudian con mucha frecuencia y su conocimiento te servir para grados superiores.

Funciones polinomiales Funcin constanteEs la funcin cuyo contradominio o mbito est constituido por un solo valor o nmero y se expresa con la forma f (x) = c si c = { R } y su grafica es una recta horizontal a c unidades del eje de x.

Ejemplo:

f ( x) = 5

xY

-25

-15

05

15

25

Los valores son y = 5

Ahora t!!!

Ejercicios:

(Tabula y grafica)

1) f(x) = -3

2) g(x) = -4

3) f(x) =

4) f(y) = 1

5) t(x) = 8

Funcin lineal: Es una funcin definida como f(x) = bx + k

Si b y k son constantes y b 0; su grfica es

una recta con pendiente b y una interseccin

en y igual a c.

Ejempo:

f(x) = 3x 2

xy

-3-11

-1-5

0-2

11

37

Tabla

Observa que x = - (-2) si y = 0

3

Y que y = (-2) si x = 0

Despejando la ecuacin y = bx + c

Si x = 0 Si y = 0

y = b ( 0 ) + c ( 0 ) = bx + c

y = c -c = bx

-c = x

b

x = - c b

El valor de la pendiente b = y2 y1 x2 x1 La funcin lineal f (x) = x

Con ecuacin y = x

Recibe el nombre de funcin identidadCuya grfica es una recta que biseca el I y IIICuadrantes.

Ejercicios:

1).- f(x) = 2x -1

2).- f(x) = -3x +1

3).- f(x) = -x -2

4).- f(x) = x +1

5).- f(x) = 5x +2

Funcin Valor AbsolutoEs una funcin que se define con el valor absoluto de la variable independiente, esto es prescindiendo de signos; su forma es:

f (x) = | x |

Ejemplo:

y = |x|

xy

-33

-22

-11

00

11

22

33

Funcin cuadrticaLa funcin cuadrtica o de segundo grado se define como f(x) = ax2 +bx +c

Donde a, b, y c son constantes que representan nmeros reales y a 0.

Su grfica es igual a la de la ecuacin y = ax2 +bx +c

es decir, una parbola con eje vertical.

Ejemplo:

y = x2 -2

Tabulando: Graficando:

xy

-37

-22

-1-1

0-2

1-1

22

37

Ejercicios:

Tabula y Grafica

1) y = x2 -4x + 4 R, =, U

2) y = x2 -2x + 3 -E, i, U

3) y = -x2 +2x +8 , R, 4) y = x2 -5x + 4 , R,U

5) y = x2 6x +9 R, =, U

6) x = y2 + 2y -1 _________

Investiga y analiza:

Donde cruza el eje de las x?

Donde cruza el eje de las y?

Hacia donde abre la parbola?

Cul es el punto vrtice?

Problema de aplicacin:

Se dispone de 40 m de alambrado para cercar un jardn rectangular, sabiendo que slo debe colocarse sobre tres lado