Cuaderno Trabajo 2012(3)
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CUADERNO DE TRABAJO PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDA SECUENCIA DE APRENDIZAJE 4° SEMESTRE AVALADO POR: CUERPO ACADÉMICO DE INGENIERÍA AMBIENTAL PARTICIPANTES: Dra. Yunuén Canedo López M.I.A. Mirna Y. Sabido Pérez M.I.A. Silvia del Carmen Campos García M.I.A. Daisy Alamina Cruz CD. DEL CARMEN, CAMPECHE, MÉXICO; AGOSTO DE 2011 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN DEPENDENCIA ACADÉMICA DE INGENIERÍA QUÍMICA Y PETROLERA
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CUADERNO DE TRABAJO
PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
CURSO: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA SEGUNDA SECUENCIA DE APRENDIZAJE
4° SEMESTRE
AVALADO POR: CUERPO ACADÉMICO DE INGENIERÍA AMBIENTAL
PARTICIPANTES:
Dra. Yunuén Canedo López M.I.A. Mirna Y. Sabido Pérez
M.I.A. Silvia del Carmen Campos García M.I.A. Daisy Alamina Cruz
CD. DEL CARMEN, CAMPECHE, MÉXICO; AGOSTO DE 2011
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN
DEPENDENCIA ACADÉMICA DE INGENIERÍA QUÍMICA Y PETROLERA
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ÍNDICE DE EJERCICIOS
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 1
OBJETIVO ....................................................................................................................................... 1
1. PROBABILIDAD ........................................................................................................................... 2
1.1. OBJETIVO ............................................................................................................................ 2
1.2. SABERES A REFORZAR .......................................................................................................... 2
1.3. LECTURAS ............................................................................................................................ 2
1.4. EJERCICIOS .......................................................................................................................... 2
2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ......................................................................................... 22
2.1. OBJETIVOS ......................................................................................................................... 22
2.2. SABERES A REFORZAR ........................................................................................................ 22
2.3. LECTURAS .......................................................................................................................... 22
2.4. EJERCICIOS ........................................................................................................................ 23
2.4.1. VARIABLES ALEATORIAS .............................................................................................. 23
2.4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ........................................................................................... 34
2.4.3. DISTRIBUCIÓN POISSON.............................................................................................. 45
2.4.4. DISTRIBUCIÓN NORMAL ............................................................................................. 51
2.4.5. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL .................................................................................. 60
2.4.6. DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ...... 66
CLAVE DE RESPUESTAS ................................................................................................................. 70
EJERCICIOS 1.4. PROBABILIDAD ................................................................................................ 70
EJERCICIOS 2.4.1. VARIABLES ALEATORIAS ............................................................................... 71
EJERCICIOS 2.4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ............................................................................. 73
EJERCICIOS 2.4 .3. DISTRIBUCIÓN POISSON .............................................................................. 73
EJERCICIOS 2.4.4. DISTRIBUCIÓN NORMAL ............................................................................... 74
EJERCICIOS 2.4.5. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL .................................................................... 75
EJERCICIOS 2.4.6. DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ................................................................................................................................ 76
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BIBLIOGRAFÍA .............................................................................................................................. 77
Anexo 1. Formulario..................................................................................................................... 78
Anexo 2. Distribución normal estándar ........................................................................................ 80
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INTRODUCCIÓN
La estadística se define como la ciencia formada por un conjunto de teorías y técnicas cuantitativas, que tiene por objeto la organización, presentación, descripción, resumen y comparación de conjuntos de datos numéricos, obtenidos de poblaciones en su conjunto de individuos o fenómenos o bien de muestras que representan las poblaciones estudiadas, así como el estudio de su variación, propiedades, relaciones, comportamiento probabilístico de dichos datos y la estimación, inferencia o generalización de los resultados obtenidos de muestras, respecto a las poblaciones que aquéllas representan.
Es una herramienta indispensable para la toma de decisiones. También es ampliamente empleada para mostrar los aspectos cuantitativos de una situación; es por ello que la estadística es un potente auxiliar de muchas ciencias y actividades humanas como la sociología, psicología, geografía humana, economía y por supuesto, las ingenierías.
El análisis estadístico es un proceso que consta de varias partes: (i) Sistematización, recogida, ordenación y presentación de los datos referentes a un fenómeno que presenta variabilidad o incertidumbre para su estudio metódico – estadística descriptiva-, (ii) la deducción de las leyes que rigen esos fenómenos, lo que se basa en la probabilidad, y (iii) hacer previsiones sobre los mismos, tomar decisiones u obtener conclusiones – estadística inferencial.
Este cuaderno de trabajo se enfoca a la segunda parte del proceso estadístico: el estudio de la probabilidad y las distribuciones de probabilidad que rigen las leyes de los fenómenos aleatorios y que forma la base de la estadística inferencial. Estos temas constituyen la segunda secuencia de aprendizaje del curso de Probabilidad y Estadística, impartido en la Facultad de Química. Aquí, se presentan una serie de problemas, donde el estudiante podrá aplicar conceptos básicos de probabilidad, así como las reglas de la suma y la multiplicación, probabilidad condicional y prueba de independencia de eventos. También se enfoca a la realización de problemas de cálculos de probabilidades de distintas distribuciones de probabilidad como la Binomial, la Poisson y la Normal.
OBJETIVO Brindar a los estudiantes del curso de Probabilidad y Estadística una serie de
ejercicios que le ayuden a comprender y reforzar los conceptos vistos en clase, así como demostrar su aplicación y utilidad para facilitar al proceso enseñanza-aprendizaje.
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1. PROBABILIDAD 1.1. OBJETIVO
• Resolver problemas de probabilidad aplicando las reglas de la suma y la multiplicación, así como los conceptos de eventos dependientes e independientes, eventos exclusivos y probabilidad condicional.
1.2. SABERES A REFORZAR Los ejercicios propuestos es esta sección apoyan el “saber hacer”, específicamente porque trata de la aplicación procedimientos, estrategias y técnicas para la solución de problemas de probabilidad.
1.3. LECTURAS Realizar la lectura del capítulo 3 “Probabilidad” del libro “ESTADISTICA ELEMENTAL” disponible en la Biblioteca Universitaria (Triola, 2000).
1.4. EJERCICIOS
1) Una carta se extrae aleatoriamente de una baraja de 52. Encontrar la probabilidad de que sea: a. Un as
b. Diez de corazones
c. Un 3 de tréboles o un 6 de diamantes
d. Un corazón
e. Un 10 o una pica
f. Ni un 4 ni un trébol
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2) Una esfera se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 esferas rojas, 4 blancas y 5 azules. Determinar la probabilidad de que sea:
a. Rojo
b. Blanca
c. Roja o blanca
3) Una caja contiene 10 esferas rojas, 30 blancas, 20 azules y 15 naranjas, si se extrae aleatoriamente una de ellas determinar:
a. La probabilidad de que sea naranja o roja
b. La probabilidad de que sea blanca, roja o azul
4) Con los mismos datos del problema anterior, suponer que se extraen 2 esferas sucesivamente de la caja y que hay remplazamiento de la esfera extraída después de cada extracción para determinar:
a. La probabilidad de que ambas sean blancas
b. La probabilidad de que la 1era sea roja y la 2da sea blanca
c. La probabilidad de que sean rojas o blancas o de ambos colores ( rojas y blancas)
5) Se hacen 2 extracciones de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de que las 2 cartas extraídas sean ases, siendo las extracciones sin remplazamiento.
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6) Se extraen sucesivamente 3 esferas de una caja que contiene 6 esferas rojas, 4 blancas y 5 azules. Hallar la probabilidad de que sean extraídas en el orden roja, blanca y azul, si las extracciones son:
a. Con remplazamiento
b. Sin remplazamiento
7) Una caja A contiene 3 pelotas rojas y 2 azules en tanto que una caja B contiene 2 pelotas rojas y 8 azules. Daisy lanza una moneda honrada y si se obtiene cara saca una pelota de la caja A; si se obtiene sello se saca de la caja B. Hallar la probabilidad de que Daisy saque una pelota roja.
8) Suponga ahora que Daisy no revela si resulta cara o sello (de tal forma que la caja de la cual sacó la pelota no se revela), pero revela que se sacó una pelota roja. ¿Cuál es la probabilidad de que se escogiera la caja A? ( es decir, que el resultado de la moneda sea cara)
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9) Suponiendo que se tiene 3 cajas de las cuales se sabe que la caja I tiene 2 pelotas blancas y 3 negras; la caja II tiene 4 blancas y 1 negra y la caja III tiene 3 blancas y 4 negras. Se selecciona una caja aleatoriamente y una pelota extraída aleatoriamente es blanca. Hallar la probabilidad de haber escogido la caja I.
10) La compañía Microtel desea mejorar la resistencia de las computadoras personales que construye, con respecto a fallas en la unidad de disco y el teclado. En la actualidad, el diseño de sus computadoras es tal que las fallas de la unidad de disco significan un tercio de las fallas del teclado. La probabilidad de que se presente una falla conjunta en la unidad de disco y en el teclado es de 0.05.
a. Si la computadora es 80% resistente a fallas en la unidad de disco o en el teclado. ¿Qué tan baja debe ser la probabilidad de que se presente una falla en la unidad de disco?
b. Si el teclado mejoró de tal modo que sólo falla el doble de veces que la unidad de disco (y la probabilidad de falla conjunta sigue siendo de 0,05). ¿La probabilidad de que la unidad de disco del inciso (a) producirá una resistencia a fallas en la unidad de disco duro, en el teclado, o en ambos, es mayor o menor que 90%?
11) Susana Rivero es una consultora de una compañía publicitaria que lanzó recientemente una campaña para un nuevo restaurante. Susana acaba de instalar 4 anuncios panorámicos en la carretera a la entrada de la ciudad, y sabe, por su experiencia, la probabilidad de que cada anuncio sea visto por un conductor escogido aleatoriamente. La probabilidad de que el 1° anuncio sea visto por un conductor es de 0,75. La probabilidad de que el 2° sea visto es de 0,82 ; la probabilidad para el 3° es de 0,87 y la del 4° es de 0,9. Suponiendo que el evento, consistente en que un conductor vea cualquiera de los anuncios, es independiente de si ha visto o no los demás. Calcular la probabilidad de que:
a. Los 4 anuncios sean vistos por un conductor escogido aleatoriamente
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b. El 1° y el 4° anuncio sean vistos, sin que el 2° y el 3° sean notados
c. Exactamente uno de los anuncios sea visto
d. Ninguno de los anuncios sea visto
12) María Campos, gerente del departamento de crédito de un banco, sabe que la compañía utiliza 3 métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas morosas. De los datos que se tiene registrados, ella sabe que 70% de los deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir alguna cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos 3 métodos son 0,75 0,60; y 0,65 respectivamente. La señorita Campos acaba de recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Calcular la probabilidad de que la petición de pago se haya hecho:
a. Personalmente
b. Por teléfono
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c. Por correo
13) Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por 3 proveedores: el 45% de las piezas son compradas al 1er proveedor resultando defectuoso el 1%, el 2do proveedor suministra 30% de las piezas y de ellas es defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del 3er proveedor, siendo defectuoso el 3% de las mismas.
En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el 2do proveedor.
14) En un laboratorio se experimenta sobre una enfermedad que puede estar producida por 3 virus: A, B, C.
Hay 3 tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad es de , que la produzca B es de y que la produzca el virus C es de .
Se inocula un virus a un animal y contrae la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que el virus inoculado sea el C?.
15) Un conjunto normal de esferas de billar consta de 15 esferas numeradas del 1 al 15. Pegley Woodhull, el famoso jugador de billar ciego, está interviniendo en el juego conocido como bola 8, en el que esta esfera debe meterse de última.
Se le permiten tocar las esferas para determinar su posición antes de jugar, pero no sabe qué número tienen. Todos los tiros que hace Woodhull son buenos.
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a. ¿Cuál es la probabilidad de que meta en la buchaca la esfera 8 en su 1er tiro, perdiendo así el juego?.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la esfera 8 sea una de las tres primeras que meta?.
c. ¿Cuál es la probabilidad de que gane el juego, esto es, que la esfera 8 sea la última en entrar a la buchaca?.
16) Un transportista de productos tiene 10000 cajas de plátanos que vienen de Ecuador y de Honduras. Una inspección de la carga ha arrojado la información siguiente:
# de cajas # de cajas con Fruta dañada Fruta muy madura
6000 (E) 200 840 4000 (H) 365 295
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar contenga fruta dañada?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja seleccionada al azar sea ecuatoriana o de Honduras?.
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c. Dado que una caja seleccionada al azar contiene fruta muy madura, ¿cuál es la probabilidad de que venga de Honduras?
d. Si tener fruta dañada y fruta muy madura son eventos mutuamente excluyentes. ¿Cuál es la probabilidad de que una caja contenga fruta dañada o fruta muy madura?.
17) Un terapeuta físico que trabaja en la universidad sabe que el equipo de fútbol jugará 40% de sus juegos en campos con pasto artificial en la presente temporada. También sabe que las posibilidades de que un jugador de fútbol sufra una lesión en la rodilla son 50% más altas si juega en pasto artificial en lugar de hacerlo en pasto natural.
Si la probabilidad de que un jugador sufra una lesión en la rodilla mientras juega en pasto artificial es de 0,42.
a. ¿Cuál es probabilidad de que un jugador elegido aleatoriamente sufra una lesión en la rodilla?.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un jugador elegido aleatoriamente con lesión en la rodilla haya sufrido ésta mientras jugaba en un campo con pasto natural?
18) Si una moneda equilibrada se lanza al aire dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que caiga al menos una cara?
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19) Un bolsa contiene 6 metras azules, 2 rojas y 2 verdes. Si se selecciona una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea:
a. Roja
b. Blanca
c. Verde
d. Azul
20) Hallar la probabilidad de sacar al azar una bola que no sea roja de una caja que contiene 3 bolas blancas, 2 rojas y 5 verdes.
21) En una reunión se encuentran 10 personas de las cuales tres son educadores, 5 son contadores y dos economistas. Suponga que las personas tiene una sola profesión. Determinar la probabilidad de que una persona elegida al azar sea economista o contador.
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22) Calcular la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un número que sea múltiplo de dos o tres.
23) Si se lanzan dos dados, encontrar la probabilidad de obtener un 5 en el primero y 3 en el segundo.
24) En cierto estado, el 25% de los automóviles emiten una excesiva cantidad de contaminantes. Si la probabilidad de que un automóvil que emite excesiva cantidad de contaminantes no pase la prueba de revisión vehicular es de 0,99 y la probabilidad de que un automóvil que no emite cantidad excesiva de contaminantes repruebe es de 0,17. ¿Cuál es la probabilidad de que un automóvil que no pase la prueba en realidad provenga de los que emiten cantidades excesivas de contaminantes?
25) En una planta de electrónica se sabe, por experiencias pasadas, que la probabilidad de que un nuevo trabajador que ha asistido al Programa de Capacitación de la compañía cumpla con la cuota de producción es del 84%, y que la probabilidad de que un nuevo empleado cumpla con su cuota de producción sin haber asistido al Programa de Capacitación es de 0,49. Si el 70% de los trabajadores que ingresan como nuevos empleados asisten al Programa. ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo trabajador que cumpla con su cuota de producción, haya asistido al Programa de Capacitación?
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26) Una compañía de ventas por correo tiene tres empleados de almacén denominados U, V y W quienes toman productos de la bodega y los ensamblan para la subsiguiente verificación y empaquetado. U comete un error en un pedido (toma un producto equivocado o la cantidad equivocada del producto) una de cada 100 veces, V comete un error en un pedido 5 veces de cada 100 y W se equivoca tres de cada 100. Si U, V y W cubren respectivamente el 30%, el 40% y el 30% de todos los pedidos.
¿Cuál es la probabilidad de que si se encuentra un error en un pedido, éste haya sido cometido por V?
27) De una caja que contiene pelotas numeradas del 1 al 6 se eligen dos, de forma consecutiva, sin reemplazo. Hallar:
a. La probabilidad de que en la segunda extracción salga un 5.
b. La probabilidad de que salga un 2 en la 1ra extracción y un 5 en la 2da
c. Supongamos ahora, que después de anotar el resultado de la primera extracción, se devuelve la pelota a la caja y se saca nuevamente una pelota. Hallar la probabilidad de los dos casos anteriores.
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28) De cuarenta cartas se elige primero una carta y a continuación se toma una segunda carta sin haber devuelto la primera al mazo. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean oro? y ¿cuál es la probabilidad de que salgan dos ases?
29) Supóngase que nos interesa la conclusión de la obra de construcción de una autopista, la cual puede demorarse por una huelga. Además suponga que las probabilidades son de 0,60 de que habrá una huelga, del 85% de que el trabajo se concluirá a tiempo si no hay huelga y de 0,35 de que el trabajo se terminará a tiempo si ocurre la huelga; si nos encontramos con que la obra se terminó a tiempo. ¿Cuál es la probabilidad de que pese a ello hubiese estallado una huelga?
30) Suponga que la probabilidad de que un hombre de 25 años quiera celebrar su quincuagésimo cumpleaños es de 74,2% y la probabilidad de que una mujer de 22 años viva hasta su cuadragésimo séptimo cumpleaños sea de 0,902. Si ambas personas se casan este año, ¿cuál es la probabilidad de que esa pareja viva para celebrar sus bodas de plata?
31) Una caja contiene 8 esferas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 3 esferas aleatoriamente sin reemplazo, determinar la probabilidad de que se extraiga una de cada color.
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32) Un especialista en alergias afirma que el 50% de los pacientes que examina son alérgicos a algún tipo de hierba.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de sus siguientes 4 pacientes sean alérgicos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de sus 4 pacientes sea alérgico?
33) Se lanza una moneda con una probabilidad de 2/3 que el resultado sea cara; si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una caja que contiene 2 pelotas rojas y 3 verdes. Si el resultado es sello se extrae una pelota, de otra caja, que contiene 2 pelotas rojas y 2 verdes.
¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?
34) Se tienen 15 piezas de las cuales 5 son defectuosas. Si se seleccionan 3 piezas al azar, calcular la probabilidad de encontrar:
a. Ninguna defectuosa.
b. Al menos una defectuosa.
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35) Se seleccionan 2 fichas de dominó. ¿Cuál es la probabilidad de que queden encadenadas?
36) En un juego de dominó. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 4 seis en una mano?
37) Se lanza un dado 5 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4, un 5 o un 6?
38) En un estante hay 7 libros de historia y 3 de matemáticas. De los libros de historia, tres están empastados de amarillo y el resto de rojo; mientras que de los libros de matemáticas, uno está empastado en amarillo y dos en rojo. Suponiendo que del estante se elige un libro al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea matemáticas y rojo?
39) Hindy Poon se encuentra preparando un informe para la empresa en que trabaja, la cual es Aeropostal, que a su vez será entregado al Departamento Federal de Aviación de Venezuela. El informe deberá ser aprobado, en primer lugar, por el responsable del grupo del cual Hindy es integrante, luego por el jefe de su departamento y después por el jefe de división, en ese orden. Hindy sabe que los tres directores actúan de manera independiente, además sabe que su responsable de grupo aprueba el 85% de sus trabajos, el jefe de su departamento rechaza
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dos de cada diez informes preparados por Hindy, y el jefe de división aprueba el 82% de los trabajos de Hindy. Dado esto calcular:
a. Probabilidad de que la primera versión del informe sea enviada al Departamento Federal de Aviación de Venezuela.
b. Probabilidad de que la primera versión del informe sea aprobada por su responsable de grupo y por su jefe de departamento, pero no por el jefe de su división.
40) De un urna que contiene pelotas numeradas del 1 al 6 se eligen dos, de forma consecutiva, sin reemplazo. Hallar:
a. Probabilidad de que en la segunda extracción salga un 5
b. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 2 en la primera extracción y un 5 en la segunda?
41) ¿Cuál es la probabilidad de sacar menos de cinco puntos como resultado del lanzamiento de dos dados?
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42) Una caja contiene 10 tornillos, de los cuales 3 están defectuosos. Si se extraen 2 al azar, hallar la probabilidad de que los 2 estén buenos.
43) Una caja contiene 6 fichas numeradas del 1 al 6, si se extraen una por una sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de sacarlas en forma ordenada del 1 al 6?
44) En una encuesta entre alumnos de maestría en administración se obtuvieron los datos siguientes acerca de “el principal motivo del alumno para solicitar su ingreso a la escuela donde está matriculado”.
Tipo est. Motivo Totales Calidad de la escuela Costo o comodidad Otros
Tiempo completo 421 393 76 890 Tiempo parcial 400 593 46 1039 Totales 821 986 122 1929
a. Si un alumno es de tiempo completo. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela?.
b. Si un alumno es de tiempo parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que la calidad de la escuela sea el motivo para elegirla?
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c. Sea A el evento en que el alumno es de tiempo completo y sea B el evento que el alumno menciona que la calidad de la escuela es el 1er motivo de su solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B?. Justifique su respuesta.
45) En un mismo día, el equipo profesional de baloncesto de una ciudad juega como local, mientras que el equipo profesional de hockey de la misma ciudad juega como visitante. Según las probabilidades publicadas en la revista Chance, para los deportes profesionales, un equipo profesional de baloncesto tiene una probabilidad de 0,641 de ganar un juego cada día como local, y uno de hockey tiene una probabilidad de 0,462 de ganar un juego cuando es visitante. Históricamente, cuando ambos equipos juegan en el mismo día, la probabilidad de que la nota principal de los noticieros del día siguiente se refiera al juego de baloncesto es de 60% y la del juego de hockey es de 40%.
Suponga que a la mañana siguiente de un día con este tipo de encuentros el encabezado de la sección deportiva es “Ganamos”. ¿Cuál es la probabilidad de que la nota sea acerca del equipo de baloncesto?.
46) Antes de que un libro sea lanzado al mercado se recogen las reacciones de un grupo de personas a las que se les permite leer el libro previamente. Posteriormente a las ventas del libro se les asigna el calificativo de altas, moderadas o bajas de acuerdo a las noemas del mercado. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:
Ventas Reacciones
Favorables Neutral Desfavorables
Altas 173 101 61 Moderadas 88 211 70 Bajas 42 113 141
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a. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean altas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que las reacciones sean favorables?
c. Si la reacción del grupo es favorable?. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean altas?
d. Si las ventas son bajas ¿Cual es la probabilidad de que las opiniones hayan sido desfavorables?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que las opiniones sean favorables y las ventas sean altas?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean favorables o desfavorables?. ¿Son esos sucesos mutuamente excluyentes? Justifique
g. ¿Son los sucesos “Opiniones desfavorables” y “Ventas Bajas” independientes? Justifique.
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47) En un estudio realizado para un supermercado se clasifican los clientes en aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y de acuerdo a la frecuencia en que adquieren cierto alimento. En la siguiente tabla se presentan las proporciones correspondientes a cada uno de los grupos.
Frecuencia en las visitas Compra de productos Regular Ocasional Nunca
Frecuentes 0.12 0.48 0.19 No Frecuentes 0.07 0.06 0.08
a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el supermercado y compre regularmente el producto alimenticio?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra el producto visite el supermercado frecuentemente?
c. ¿Son los sucesos “Nunca compra productos alimenticios” y “Visita el mercado frecuentemente” independientes?. Justifique.
d. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente realice compras ocasionales?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no realice nunca compras del producto?
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f. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento frecuentemente o compre el producto regularmente?
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2. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 2.1. OBJETIVOS
• Aplicar el concepto de distribución de probabilidad en la resolución de problemas. • Realizar cálculos de probabilidad binomial para diversas variables aleatorias y calcular
media (µ), valor esperado (E) y varianza (2) de distribuciones binomiales. • Resolver problemas de distribución Poisson, identificando apropiadamente el valor de μ. • Calcular probabilidades de variables continuas con distribución normal, mediante el
empleo de tablas estadísticas. • Aplicar el concepto de distribución normal para resolver problemas del Teorema del Límite
Central y de aproximación de la distribución binomial.
2.2. SABERES A REFORZAR Los ejercicios propuestos es esta sección apoyan el “saber hacer”, ya que trata de la
aplicación procedimientos, estrategias y técnicas para la solución de problemas relacionados con los diferentes tipos de distribución.
Así mismo, refuerzan el “saber qué” ya que los estudiantes deben manejar conceptos para poder identificar el tipo de distribución al que se enfoca cada problema y deben ser capaces de interpretar los resultados obtenidos.
2.3. LECTURAS Para resolver los problemas de variables aleatorias y las distribuciones discretas binomial y poisson (2.4.1 a 2.4.3) se sugiere leer previamente el capítulo 4 “Distribuciones de Probabilidad Discreta” del libro “ESTADISTICA ELEMENTAL” disponible en la Biblioteca Universitaria (Triola, 2000) o su equivalente en cualquier otro texto de Estadística o Probabilidad y Estadística.
Para resolver los problemas de distribución normal y aplicaciones de la distribución normal (2.4.4 a 2.4.6) se sugiere leer previamente el capítulo 5 “Distribuciones de Probabilidad Normal” del libro “ESTADISTICA ELEMENTAL” disponible en la Biblioteca Universitaria (Triola, 2000) o su equivalente en cualquier otro texto de Estadística o Probabilidad y Estadística.
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2.4. EJERCICIOS
2.4.1. VARIABLES ALEATORIAS
1) A partir de la gráfica siguiente de una distribución de probabilidad:
a. Construya la tabla de la distribución de probabilidad.
b. Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria.
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2) La única información disponible que tiene usted con respecto a la distribución de probabilidad de un conjunto de resultados es la siguiente lista de frecuencias:
x 0 15 30 45 60 75 fi 25 125 75 175 75 25
a. Construya la distribución de probabilidad para el conjunto de datos.
b. Encuentre el valor esperado.
3) Suponga que alguien le propone un juego que consiste en lanzar al aire una moneda 3 veces, si consigue 3 caras ganará $20, si consigue 2 caras ganará $10, si consigue 1 cara perderá $12 y si son todos sellos perderá $20.
a. Determine la distribución de probabilidad siendo la variable aleatoria el número de caras.
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b. Con base a las probabilidades obtenidas anteriormente y siendo ahora la variable aleatoria la cantidad de dinero que gana o pierde en cualquier lanzamiento. ¿Aceptaría usted jugar?
4) Supóngase un juego con un dado, en este juego, el jugador gana $20 si obtiene un $2, 40 si obtiene un 4, pierde $30 si obtiene un 6, en tanto que ni pierde ni gana si obtiene otro resultado. Hallar la suma esperada de dinero ganado.
5) En una empresa de inversiones trabajan 20 analistas. Todas las mañanas se le encarga a cada analista que evalúe de uno a cinco valores.
Los encargos que se hicieron esta mañana fueron:
# de valores 1 2 3 4 5 # de analistas 4 2 3 5 6
a. Determinar la distribución de probabilidad para la variable aleatoria del número de valores asignados a los analistas esta mañana.
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b. Determinar la media y la varianza para la misma variable.
6) Se lanza una moneda 2 veces, represéntese por X el número de caras que pueden resultar. a. Hallar la distribución de probabilidad para la variable aleatoria.
b. Construir la gráfica de probabilidad.
c. Hallar la distribución de distribución acumulativa y obtener su representación gráfica.
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7) Suponga que se lanzan un par de dados honrados y que la variable aleatoria X denota la suma de los puntos.
a. Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria y construir la gráfica.
b. Hallar la distribución de distribución acumulativa y construir su gráfica.
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8) La tabla siguiente muestra la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X
x 1 2 3 4 F(x) 1/8 3/8 3/4 1
Determinar:
a. La distribución de probabilidad.
b. P(1≤ X ≤ 3)
c. P(X ≥ 2)
d. P(X < 3)
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e. P(X > 4)
9) Un analista de mercado de una compañía que fabrica aviones de combate, tiene la creencia de que el nuevo avión de la compañía tiene 70% de posibilidades de ser escogido para sustituir por completo a los aviones de combate de la fuerza aérea. Sin embargo, existe una posibilidad entre 5 de que la fuerza aérea compre sólo el número necesario de esos aviones para sustituir la mitad de sus 50 aviones de combate.
Por último, existe una posibilidad entre 10 de que la fuerza aérea sustituya toda su flotilla de aviones de combate por los aviones de esta compañía y que además compre el número suficiente de éstos para ampliar el número de sus unidades en 10%.
Hallar la distribución de probabilidad de la variable aleatoria y trace la gráfica.
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10) El director de una compañía de encomiendas, está preocupado respecto al número de cartas de 1ra clase que su compañía ha perdido. Debido a que estas cartas son transportadas en camión y por avión, el director de la compañía ha clasificado las cartas extraviadas durante los últimos 2 años como las que se perdieron en camión y las que se extraviaron en avión.
Los datos son los siguientes:
Medio Mes E F M A M J J A S O N D
Camión 4 5 2 3 2 1 3 5 4 7 0 1 Avión 5 6 0 2 1 3 4 2 4 7 4 0
El director planea investigar a uno de los dos departamentos, el de tierra o el de aire, pero no a ambos. Si decide abrir una investigación en el departamento que tenga el mayor número esperado de cartas perdidas por mes. ¿A cuál departamento deberá investigar?
11) De un estudio que se realizó en una determinada comunidad del área metropolitana de Caracas, se encontró que de cada 400 personas, 300 están alfabetizadas mientras que el resto no lo está. Si se extraen 3 personas sin reemplazo, considerando X como la variable que denote el total de personas alfabetizadas, construya la distribución de probabilidad.
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12) Una moneda está cargada de tal modo que hay 3 veces más probabilidad de que caiga cara que sello. Para 3 lanzamientos independientes de la moneda, Halle:
a. La distribución de probabilidad de X siendo ésta el número total de caras.
b. Probabilidad de que cuando mucho caigan dos caras.
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13) Un vendedor ambulante cuyo puesto está ubicado frente a un edificio de oficinas, tiene que determinar si en el día de hoy vende refrescos o helados; pues considera que la utilidad que realice en el día dependerá del clima. Adjunto se muestra la tabla de rendimiento:
Clima Venta de Refresco Helado
Frío 40 20 Cálido 55 80
El vendedor, con base a su experiencia, sabe que en esta época del año la probabilidad de que haga un clima cálido es de un 60%. Determine cuál de los dos bienes debe vender.
14) Un inversionista dispone de cierta cantidad de dinero para invertir de inmediato. Tiene 3 alternativas de inversión: A, B, C. En la siguiente tabla se representan las utilidades estimadas de cada cartera de acuerdo a las condiciones de la economía:
Evento A B C Economía en declive 500$ -2000$ -7000$ No hay cambios 1000$ 2000$ -1000$ Economía en expansión 2000$ 5000$ 20000$
Con base a su experiencia, el inversionista asigna las siguientes probabilidades a cada una de las condiciones de la economía:
o Probabilidad de economía en declive: 30% o Probabilidad de que no ocurran cambios: 50% o Probabilidad de expansión económica: 20% o Determinar la mejor elección de cartera para el inversionista.
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15) Considere el lanzamiento de un par de dados, la variable aleatoria de interés representa la suma de los dos números.
Si a ese experimento se asocia un determinado juego en el cual las apuestas están basadas en los resultados de ese par de dados y se tiene que por cada apuesta que se haga se puede perder $1 si la suma es 5, 6, 7, 8. Se puede ganar $1 si la suma es 3, 4, 9, 10, 11 y se puede ganar $2 si el resultado es 2 o 12.
a. Determinar la esperanza matemática y la desviación típica de la variable aleatoria.
b. Con relación a la apuesta, ¿cuánto se espera ganar o perder?.
16) Considere el lanzamiento de una moneda y después el de un par de dados, la variable aleatoria de interés representa la suma de los 2 números en los dados.
Si a ese experimento se asocia un determinado juego en el cual las apuestas están basadas en los resultados de ese par de dados, se puede ganar $2 si sale cara y la suma es 3, 4, 9, 10, 11 o se pueden ganar $40 si sale sello y el resultado es 2 o 12. De otra manera pierde 50 centavos.
¿Vale la pena jugar?
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2.4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1) Suponga que el 10% de las piezas que produce una máquina aleatoria sea defectuosa. Si se toma al azar una muestra de 20 piezas. Calcular:
a. Probabilidad de que en la muestra hayan dos piezas defectuosas
b. Probabilidad de que en la muestra hayan máximo 3 piezas defectuosas
c. Probabilidad de que en la muestra hayan 18 piezas defectuosas como mínimo.
d. Probabilidad de que en la muestra hayan entre 2 piezas y 5 piezas defectuosas.
e. Probabilidad de que en la muestra hayan mínimo 3 piezas defectuosas
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2) Suponga que en cierta población muy grande, el 52% de los nacimientos registrados son de varones. Si tomamos 5 registros, defina la variable que le permita calcular las siguientes probabilidades:
a. Que 2 registros correspondan a varones
b. Menos de 3 sean varones
3) Suponga que el 10% de los tornillos que produce una máquina son defectuosos. Halle la media y la varianza de X = número de tornillos defectuosos en una muestra de 100.
4) Una urna contiene 4 esferas rojas y 6 negras, se extraen de la urna 4 esferas. Suponiendo que el muestreo se hace con reemplazo, calcular la probabilidad de que:
a. Haya a lo más una esfera roja en la muestra
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b. No haya ninguna esfera negra en la muestra
5) El departamento de control de calidad de una empresa que fabrica pañuelos sabe que el 5% de su producción tiene algún tipo de defecto. Los pañuelos se empaquetan en cajas con 15 elementos. Calcule la probabilidad de que una caja contenga:
a. 2 pañuelos defectuosos
b. Menos de 3 pañuelos defectuosos
c. Entre 3 y 5 pañuelos defectuosos
d. Ningún pañuelo defectuoso
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e. El número esperado de pañuelos defectuosos en una caja
6) Suponga que una empresa produce 100 unidades de las cuales 90 son buenas y 10 son defectuosas. Se escogen 20 unidades sin reemplazo, halle la probabilidad de que resulten 5 defectuosas.
7) Una caja contiene 30 baterías para radio, de las cuales, 5 son defectuosas. De la caja se escogen al azar 6 baterías, halle la probabilidad de que:
a. 2 sean defectuosas b. Ninguna sea defectuosa c. Menos de 3 sean defectuosas
8) Una caja tiene 6 esferas blancas y 4 rojas. Se realiza un experimento en el cual se selecciona una esfera aleatoriamente y se observa su color, pero no se reemplaza la esfera.
Hallar la probabilidad de que después de 5 pruebas del experimento se hayan escogido 3 esferas blancas.
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9) Una caja contiene 5 esferas rojas y 10 blancas. Si se seleccionan 8 esferas aleatoriamente y no hay reemplazamiento, determinar la probabilidad de que:
a. 4 sean rojas
b. Todas sean blancas
c. Al menos una sea roja.
10) De 60 aspirantes a una universidad 40 son del oriente: Si se seleccionan 20 aspirantes aleatoriamente, hallar la probabilidad de que:
a. 10 sean del oriente
b. No más de 2 sean de oriente
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11) Si la probabilidad de que un individuo sufra una reacción por una inyección de un determinado suero es 0,001; determinar la probabilidad de que de un total de 2000 individuos:
a. Exactamente 3 tengan reacción
b. Más de 2 individuos tengan reacción
12) Cierto número de líneas aéreas dan servicio local entre las ciudades de Washington D.C. y New York, en los Estados Unidos. Debido al congestionamiento de tráfico en los aeropuertos de ambas ciudades, los vuelos locales se retrasan hasta 2 horas.
Datos recientes revelan que el 25% de los vuelos locales entre Washington y New York se retrasan por más de 30 minutos. Suponga que 5 personas toman diferentes vuelos entre Washington y New York (los vuelos son independientes entre sí).
a. Encuentre la probabilidad de que las 5 personas hayan llegado a New York con un retraso menor a 30 minutos.
b. Encuentre la probabilidad de que al menos 3 de las 5 personas hayan llegado a New York con un retraso menor a 30 minutos.
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13) El 20% de las ventas de automóviles nuevos en USA corresponde a los automóviles importados. Suponga que se seleccionan al azar 4 personas que han comprado un automóvil nuevo durante la semana pasada.
a. Encuentre la probabilidad de que las 4 personas hayan comprado un automóvil importado.
b. Encuentre la probabilidad de que sólo una de ellas haya comprado un automóvil importado.
c. Encuentre la probabilidad de que ninguna de ellas hayan comprado un automóvil importado
14) Los registros de mantenimiento revelan que solamente 1 de cada 100 máquinas de escribir de cierta marca requieren de una reparación mayor durante el 1er año de uso. El gerente de una oficina ordenó la compra de 10 máquinas de esta marca.
a. Encuentre la probabilidad de que ninguna de las máquinas requieran una reparación mayor durante el 1er año de uso.
b. Encuentre la probabilidad de que 2 máquinas requieran una reparación mayor durante el 1er año de uso.
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15) El centro de políticas energéticas de la agencia para la protección ambiental reporta que el 75% de las viviendas de Nueva Inglaterra utilizan quemadores de petróleo para calefacción.
Si se sabe que una comunidad de Nueva Inglaterra tiene 2500 viviendas, encuentre el número esperado de las que usan quemadores de petróleo para calefacción y la desviación estándar.
16) El reporte anual es uno de los documentos más importantes producidos por las empresas de propiedad pública y su producción representa un gasto de importancia considerable. Sin embargo, un estudio reciente revela que 40% de los accionistas dedican 5 minutos o menos a la lectura del reporte anual de su compañía. Suponga que se eligen al azar 100 accionistas de empresas de propiedad pública.
a. Encuentre el valor esperado del número de accionistas que dedican 5 minutos o menos a la lectura del reporte anual de su compañía.
b. Determine la desviación estándar.
c. Si se observa que 25 de los 100 accionistas seleccionados dedican no más de 5 minutos a la lectura del reporte anual. ¿Sería razonable pensar que la
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proporción de accionistas que dedican 5 minutos o menos a la lectura del reporte anual es 40%?
17) Suponga que una compañía de seguros vendió pólizas de seguros de vida a 5000 hombres de 42 años de edad. Si los estudios actuariales indican que la probabilidad de que un hombre de 42 años muera en un determinado año es 0,001. ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía pague 4 indemnizaciones en un determinado año?.
18) El gerente local de una compañía de renta de automóviles compra neumáticos en lotes de 500 para aprovechar los descuentos por compras al mayor.
El gerente sabe, por experiencias anteriores, que el 1% de los neumáticos nuevos adquiridos en un determinado almacén salen defectuosos y se deben reemplazar durante la 1ra semana de uso.
a. Encuentre la probabilidad de que en un envío de 500 neumáticos haya solamente uno defectuoso
b. no más de 3 defectuosos
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c. ninguno defectuoso. 19) Un determinado antibiótico se envía a las farmacias en cajas de 24 botellas, el farmacéutico
sospecha que la cantidad de antibiótico en algunos frascos es deficiente y decide analizar el contenido de 5 frascos.
Suponga que 10 de las 24 botellas tienen cantidad deficiente de antibiótico.
a. Encuentre la probabilidad de que ninguno de los frascos analizados tenga una cantidad deficiente de antibiótico.
b. Encuentre la probabilidad de que uno de los frascos analizados tenga una cantidad deficiente de antibiótico.
20) Un embarque de 10 artículos contiene 2 unidades defectuosas y 8 no defectuosas.
Al revisarlo, se tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra una unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque.
a. Si se selecciona una muestra de 3 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?.
b. Si se selecciona una muestra de 4 artículos. ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el embarque?
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c. Si la gerencia estuviera de acuerdo en que hubiese una probabilidad de 0,47 de rechazar un embarque con 2 unidades defectuosas y 8 no defectuosas. ¿De qué tamaño se debe seleccionar la muestra?
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2.4.3. DISTRIBUCIÓN POISSON
1. Suponga que el número de llamadas que llegan a un conmutador es de 0,5 por minuto en promedio, halle la probabilidad de que: a. En un minuto lleguen más de 3 llamadas
b. En un minuto no lleguen llamadas
c. En 3 minutos lleguen menos de 5 llamadas
d. En 5 minutos más de 2 llamadas
e. ¿Cuántas llamadas se espera que lleguen al conmutador en cinco minutos?
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2. El promedio de personas que llegan a la ventanilla de un banco por minuto durante las horas hábiles es una. Halle la probabilidad de que en un minuto dado:
a. No aparezcan clientes
b. Hayan 3 o más clientes
c. Hayan 3 o menos clientes
3. Se ha determinado que en una autopista se da en promedio 10 animales vagabundos muertos por kilómetro. Halle la probabilidad de que en 100 metros:
a. Se encuentren 2 o más animales muertos
b. No se encuentre ningún animal muerto
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c. Menos de 3 animales muertos
d. ¿Cuántos animales muertos se espera encontrar en un trayecto de 500 metros?
4. Según la National Office Of Vital Statistics Of Vital Statistics Of The U.S Department Of Health , Education and Wilfare, el promedio de ahogados en accidentes por año es 3 de cada 100.000 personas. Hallar la probabilidad de que en una ciudad cuya población es de 200.000 personas ocurran:
a. Ningún ahogado por año
b. 2 ahogados por año
c. 6 ahogados por año
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d. 8 ahogados por año
e. Entre 4 y 8 ahogados por año
5. Diez por ciento de las herramientas producidas en un proceso de fabricación determinado resultan defectuosas. Hallar la probabilidad de que en una muestra de 10 herramientas seleccionadas aleatoriamente exactamente 2 estén defectuosas, empleando:
a. La distribución binomial
b. La aproximación de Poisson a la distribución binomial
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6. La calidad aparente de un producto es por lo menos tan importante como la calidad real que se determina a través de laboratorios imparciales de prueba.
Los resultados de una investigación revelan que el 40% de los hombres de negocios de Japón piensan que los artículos eléctricos japoneses son de mayor calidad que los manufacturados en USA, pero únicamente el 5% de los hombres de negocios de USA tienen la misma opinión.
Es posible que esta diferencia se deba a la calidad aparente, usando la aproximación de Poisson a la binomial, estime la probabilidad de que exactamente 5 de una muestra de 100 hombres de negocios de USA prefieran los productos eléctricos japoneses.
Estime también, la probabilidad de que no más de 5 de los 100 prefieran los productos japoneses.
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7. La central telefónica de un edificio de consultorios médicos puede manejar un máximo de 5 llamadas por minuto. Si la experiencia indica que se recibe un promedio de 120 llamadas por hora, encuentre la probabilidad de que en un determinado minuto la central esté sobrecargada.
8. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de documentación en un gran aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es de 10 pasajeros por minuto.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen pasajeros en un minuto?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen 3 pasajeros en un minuto?
c. ¿Cuál es la probabilidad de no llegadas en período de 15 segundos?
d. ¿Cuál es la probabilidad de al menos una llegada en período de 15 segundos?
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2.4.4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
1) Hallar el área bajo la curva normal tipificada: a) Entre Z = 0 y Z = 1,2 b) Entre Z = -0,68 y Z = 0 c) Entre Z = -0,46 y Z = 2,21 d) Entre Z = 0,81 y Z = 1,94 e) A la derecha de Z = -1,28
2) Si "área" se refiere al área bajo la curva normal tipificada, hallar el valor o los
valores de Z tales que: a) El área entre 0 y Z sea 0,3770 b) El área a la izquierda de Z sea 0,8621 c) El área entre -1,5 y Z sea 0,0217
3) El peso medio de 500 estudiantes varones de una universidad es de 68,5 Kg. y la desviación típica es de 10 Kg. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el número de estudiantes que pesan:
a) Entre 48 y 71 kg b) Más de 91 kg
4) La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras producidas por una
máquina es 1,275 cm. y la desviación típica de 0,0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado las lavadoras permite una tolerancia máxima en el diámetro de 1,26cm. a 1,29 cm., de otra forma las lavadoras se consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas por la máquina, suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.
5) Si X está distribuida normalmente con media 5 y desviación típica 2, hallar P (X > 8).
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6) Se tiene un programador de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción. Debido a que el programa es auto administrativo, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de
500 h. para completar el programa?. b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h.
y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?. c) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome más de
700 h. en completar el programa?. d) Suponga que el director del programa de entrenamiento desea saber la
probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 h. para completar el trabajo requerido en el programa. ¿Cuánto ha de ser ese valor?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tomará menos de
580 h. para completar el programa? f) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato escogido al azar se tome entre
420h.y 570 h. para completar el programa?
7) Dada una variable con distribución normal de media µ=40 y desviación estándar =6 encuentre el valor de x que tiene:
a. El 34% del área a la izquierda.
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b. El 5% del área a la derecha.
8) Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de tres años, con una desviación estándar de 0,5 años. Suponga que las duraciones de las piezas son normalmente distribuidas y encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3,5 años.
9) Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están normalmente
distribuidos con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos.
10) En un proceso industrial el diámetro de una arandela es muy importante. El
comprador establece en sus especificaciones que el diámetro debe ser de 3,0 ± 0,01 mm. La condición es que no acepta ninguna arandela que se salga de estas especificaciones. Se sabe que en el proceso el diámetro de las arandelas tienen distribución normal con media de 3,0 mm y una desviación estándar de 0,005 mm. ¿Qué porcentaje de arandelas será rechazado?.
11) Determine el área situada debajo de la curva normal estándar que está:
a. A la izquierda de z = 0,94 b. A la derecha de z = - 0,65 c. A la derecha de z = 1,76 d. A la izquierda de z = - 0,85 e. Entre z = - 0,87 y z = - 1,28 f. Entre z = - 0,34 y z = 0,62
12) Determine las probabilidades de que una variable aleatoria tome un valor entre 12 y 15 dado que tenga una distribución normal con: a. µ= 10 y = 5
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b. µ = 20 y = 10
13) Obtenga Z si: a. El área de la curva normal entre 0 y Z es 0,2019 b. El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,8810 c. El área de la curva normal a la derecha de Z es 0,0336 d. El área de la curva normal entre -Z y Z es 0,2662
14) La cantidad de radiación cósmica a la cual está expuesta una persona mientras vuela en avión es una variable aleatoria que tiene una distribución normal con µ= 4,35 mrem y = 0,59 mrem. Determine las probabilidades de que una persona que va en este vuelo está expuesta a: a. Más de 5,00 mrem de radiación cósmica. b. Entre 3,00 y 4,00 mrem de radiación cósmica.
15) La cantidad real de café instantáneo que vierte una máquina en jarras de 4 onzas varía de una jarra a otra, y se puede fijar como una variable aleatoria que tiene una distribución normal con µ=0.04 onzas. Si sólo el 2% de las jarras va a contener menos de 4 onzas de café. ¿Cuál debe ser el contenido medio de estas jarras?.
17) Una empresa fabrica juntas teóricas para el trasbordador espacial de la NASA. Las cuales
se han diseñado para sellar conexiones y piezas en el sistema de combustible a fin de impedir fugas. Un tipo de juntas ha de tener 5 centímetros de diámetro para que encaje como es debido; no puede variar arriba o abajo en más de 0,25 cm. sin provocar una fuga peligrosa. La empresa afirma que esta junta tiene 5 cm. de media con una desviación típica de 0,17 cm. Si estas cifras son correctas y se supone una distribución normal de los diámetros, los funcionarios de la NASA desean determinar: a. La proporción de juntas que se adaptarán correctamente.
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b. La proporción de juntas que son defectuosas. c. La probabilidad de que cualquier junta tenga un diámetro superior a 5,3 cm. d. La probabilidad de que una junta tenga un diámetro comprendido entre 4,9 y 5,2 cm. e. La probabilidad de que una junta elegida al azar tenga un diámetro entre 5,3 y 5,5 cm.
16) Los gastos mensuales en alimentación para familias de cuatro miembros en una ciudad grande son en promedio de $420 con una desviación estándar de $80. Si los gastos mensuales en alimentación siguen una distribución normal: a. ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $350? b. ¿Qué porcentaje de estos gastos está entre $250 y $300? c. ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $250 o mayor de $450? d. ¿Cuál es el gasto mayor en dólares que hace una familia que está entre el 25% de
la familia que menos gastos realizan en alimentación?
17) Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11,9 por hora y la desviación estándar de $0,4. Si los salarios tienen una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar: a. Reciba salarios entre $10,9 y $11,9?
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b. Reciba salarios inferiores a $11? c. Reciba salarios superiores a $12,95? d. ¿Cuál debe ser el salario menor que gana un trabajador que se encuentra entre el
10% de los trabajadores que más ganan? e. Si el dueño de la industria va a aumentarle el salario al 15% de los trabajadores que
menos ganan. ¿Cuál será el salario máximo que deberá ganar un trabajador para ser beneficiado con el aumento?
18) Se encontró que en un conjunto de calificaciones de exámenes finales en un curso tenía distribución normal con media 73 puntos y desviación estándar de 8 puntos. a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una calificación no mayor de 91 puntos en este
examen? b. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo una calificación entre 65 y 89 puntos? c. ¿Cuál fue la calificación superada sólo por 5% de los estudiantes que hicieron el
examen? d. El profesor sigue el siguiente criterio: Le otorga A a los estudiantes que están
ubicados en el
19) 10% de las mejores notas del grupo y usted saca 81 puntos. Suponga que se realiza otro examen en el que la media es 62 y la desviación es 3 y usted saca 68 puntos. ¿En cuál de los 2 exámenes usted queda mejor calificado?. ¿Por qué?
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20) Un análisis indica que la duración de las llamadas telefónicas en cierta localidad tienen
una distribución normal con media de 240 segundos y varianza de 1600 segundos2 a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada cualquiera dure menos de 180 seg? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada dure entre 180 y 300 seg.? c. Si se consideran 1000 llamadas. ¿Cuántas cree usted que durarán menos de 180 seg.? d. ¿Cuál es la duración de la llamada más larga de aquellas que conforman el 1% de
las más breves? e. La central telefónica de la localidad ha decidido cobrar un impuesto adicional al 5%
de las llamadas de mayor duración. ¿Cuánto será el tiempo máximo que puede llamar una persona para que no le sea cobrado impuesto?
21) El estadounidense adulto hombre tiene una estatura promedio 5 pies y 9 pulgadas con una desviación estándar de 3 pulgadas. (Nota: 1 pie corresponde a 12 pulgadas) a. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre sea mayor de 6 pies? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un ahombre sea menor de 5 pies? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la estatura de un hombre esté entre 6 y 9 pies?
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d. ¿Cuál es la estatura menor de que tiene un hombre que está en el 10% de los hombres más altos?
e. Calcule el rango intercuantil de la estatura de los hombres estadounidenses.
22) El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye normal con una media de 80 minutos y una desviación de 10 minutos. a. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante termine el examen entre 60 y 85
minutos? c. Suponga que en el curso hay 60 alumnos y que el tiempo del examen es de 90
minutos. d. ¿Cuántos alumnos espera que no puedan terminar el examen en el tiempo indicado?
23) El volumen de acciones negociadas en la Bolsa es normal con una media de 646 millones de acciones y una desviación de 100 millones de acciones. a. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones? b. ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado de acciones oscile entre las
400 y las 600 acciones? c. Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos
¿Qué volumen publicará la prensa?
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24) Las calificaciones de las pruebas de admisión de una Universidad tienen distribución
normal con una media de 450 y desviación de 100 puntos. a. ¿Qué porcentaje de las personas presentan calificaciones entre 400 y 500 puntos? b. Suponga que la calificación de una persona es de 630. ¿Qué porcentaje de las
personas tienen mejores calificaciones? c. Si la Universidad no admite alumnos con menos de 480 puntos de calificación. ¿Qué
porcentaje de personas que presentan el examen califican para entrar a la Universidad?
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2.4.5. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
1) Una población tiene 200 de media y 50 de desviación estándar. Se tomará una
muestra aleatoria simple de tamaño 100, y se usará la media de la muestra 푥̅ para estimar la media de la población.
a . ¿Cuál es el valor esperado de 푥̅?
b. ¿Cuál es la desviación estándar de 푥̅ ? 2) Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50.
Supongamos que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño 100, y que se usa 푥̅ para estimar µ
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede dentro de ±5 de la media de la población?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de la muestra quede dentro de ±10 de la media de la población?
3) El precio de la media por galón de gasolina regular vendida en Estados Unidos es
de 1,20 dólares. Suponga que el precio de la media de la población es 1,20 dólares por galón, y que la desviación estándar de la población es 0,10 dólares. También suponga que se seleccionará una muestra aleatoria de 50 gasolineras y que se calcula un precio de la media de la muestra con los datos reunidos en esas gasolineras.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media de la muestra a menos de 0,02 dólares de la media de la población?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media de la muestra a menos de 0,01 dólares de la media de la población?
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4) En 1993 las mujeres tomaron un promedio de 8,5 semanas sin goce de sueldo en sus trabajos, después del nacimiento de su bebé. Suponga que 8,5 semanas es la media de la población y que 2,2 semanas es la desviación estándar de la población.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 50 mujeres arroje una media de muestra de permiso sin goce de sueldo entre 7,5 y 9,5 semanas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que esa muestra tenga una media de entre 8 y 9 semanas?
5) Se informa en la revista Business Week que entre sus suscriptores, los que planean
comprar un automóvil nuevo durante los próximos 12 meses pretenden gastar un promedio de 27100 dólares. Suponga que el precio del nuevo vehículo, para la población de suscriptores de Business Week, tiene una media de 27100 dólares y que su desviación estándar es de 5200 dólares. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de la media de la muestra del nuevo vehículo quede a 1000 dólares o menos de la media de la población, si la muestra es de 30 suscriptores?
6) Fortune publicó que el efecto de compras apalancadas es difícil de detectar. En 1988 el valor medio de las empresas de Fortune 500 que se compraron fue de 3,51 miles de millones de dólares. Con una desviación estándar de 1,92 miles de millones de dólares.
a. Si se toma una muestra de 64 empresas. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea superior a 3,65 miles de millones de dólares?
b. ¿Qué porcentaje de todas las muestras posibles de tamaño de 64 dará como resultado una 푥̅ >3,65?
c. Si se tomó una muestra de n = 64 y se obtuvo una 푥̅ = 3,90. ¿Qué se podría deducir?
62
d. Si los datos de Fortune son correctos. ¿Cuál es la probabilidad de que si se toma una muestra de 100 empresas, el error sea superior a 500 millones de dólares?
7) Autoridades de la administración de Washington acaban de expresar su preocupación
sobre el exceso de gasto en contratos militares. Estos gastos no planificados han costado a los contribuyentes norteamericanos miles de millones de dólares anuales. El presidente nombró un comité de expertos que estimase la cantidad media que cada contrato cuesta por encima de la cantidad acordada. El comité ha determinado ya que la desviación típica de los costos excesivos es de 17500 millones de dólares y que parecen seguir una distribución normal.
a. Si se elige una muestra de 25 contratos. ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra haga una estimación de la media poblacional que la supere en más de 10000 millones de dólares?
b. El presidente aceptará un error de 5000 millones de dólares en la estimación de µ ¿Cuál es la probabilidad de que reciba una estimación del comité dentro del intervalo especificado?
8) Un taller mecánico local factura 110 dólares de media cuando realiza una
reparación determinada. Los datos indican desviación típica de 21,50 dólares en las facturas. Hace poco un cliente se quejaba de que su factura de 115,50 dólares era excesiva. Después de mucho debatir, el mecánico estuvo de acuerdo en devolver el dinero si una muestra de 36 trabajos similares revelaba una facturación media inferior a la del cliente. ¿El mecánico fue prudente al ofrecer este arreglo?
9) En un ejercicio de informática que se encomienda a la clase de estadística de primer
curso los estudiantes tienen una media de errores de 14,2 con una desviación típica de 4,3
a. ¿Cuál es la probabilidad de que usted (o cualquier otro estudiante) tenga más de 13 errores en su ejercicio si se sabe que los errores siguen una distribución normal?
63
b. Si no se sabe si los errores están distribuidos normalmente. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 36 estudiantes tenga una media superior a 13 errores?
c. ¿Por qué son diferentes las 2 respuestas anteriores?
d. ¿Por qué era necesaria la hipótesis de normalidad en la parte (a) y no en la parte (b)?
10) En una muestra de 25 observaciones de una distribución normal con una media de
98,6 y una desviación de 17,2. a. ¿Cuál es P ( 92 < x < 102) ?
b. Encuentre la probabilidad correspondiente dada una muestra de 36. 11) En una distribución normal con media 375 y desviación estándar de 48. ¿Qué tan
grande se debe tomar una muestra para que la probabilidad sea al menos de 0,95 de que la media de la muestra caiga entre 370 y 380?
12) El costo promedio de un estudio en condominio en el desarrollo Cedar Lakers es de
62000 dólares con una desviación estándar de 4200 dólares. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un condominio en este desarrollo cuesta al
menos 65000 dólares?
64
b. ¿La probabilidad de que el costo promedio de una muestra de dos condominios sea al menos de 65000 dólares, es mayor o menor que la probabilidad de que un condominio cueste eso?. ¿En qué cantidad?.
13) Calvin Ensor, presidente de la General Telephone Corps., está preocupado por el
número de teléfonos producidos por su empresa que tienen auriculares defectuosos. En promedio, 110 teléfonos al día son devueltos por este problema, con una desviación estándar de 64. El señor Ensor ha decidido que a menos que pueda estar 80% seguro de que, en promedio, no se devolverán más de 120 teléfonos al día durante los siguientes 48 días, ordenará una reparación general del proceso. ¿Se ordenará la reparación general?.
14) Un técnico de laboratorio de rayos X toma lecturas de su máquina para asegurarse de
que ésta se apega a las guías de seguridad federal. Sabe que la desviación estándar de la cantidad de radiación emitida por la máquina es de 150 milirems, pero desea tomar lecturas hasta que el error estándar de la distribución de muestreo no sea mayor de 25 milirems. ¿Cuántas lecturas debe tomar?
15) Una refinería de aceite tiene monitores de apoyo para llevar un control continuo de
los flujos de la refinería y para impedir que los desperfectos de las máquinas interrumpan el proceso de refinado. Un monitor en particular tiene una vida promedio de 4300 horas con una desviación estándar de 730 horas. Además del monitor principal, la refinería ha instalado dos unidades de reserva, que son duplicados de la principal. En caso de un funcionamiento defectuoso de uno de los monitores, el otro tomará automáticamente su lugar. La vida operativa de cada monitor es independiente de la de los otros.
a. ¿Cuál probabilidad de que un conjunto dado de monitores dure al menos 13.000 horas?
b. ¿A lo más 12630 horas?
65
16) De una población de 125 elementos con una media de 105 y una desviación estándar de 17, se eligieran 64 elementos.
a. ¿Cuál es el error estándar de la media?
b. ¿Cuál es la probabilidad P (107,5 < x < 109)? 17) Un equipo de salvamento de submarino se prepara para explorar un sitio mar adentro,
frente a la costa de Florida donde se hundió una flotilla entera de 45 galeones españoles. A partir de registros históricos, el equipo espera que estos buques naufragados generen un promedio de 225000 dólares de ingresos cada uno cuando exploren, con una desviación estándar de 39000 dólares. El patrocinador del equipo, sin embargo, se muestra escéptico, y ha establecido que si no se recuperan los gastos de exploración que suman 2100000 dólares con los primeros nueve galeones naufragados, cancelará el resto de la exploración. ¿Cuál es la probabilidad de que la exploración continúe una vez explorados los nueve primeros barcos?
18) Sara Gordon encabeza una campaña de recolección de fondos para el Milford College.
Desea concentrarse en la actual reunión del décimo año, y espera obtener contribuciones de 36% de los 250 miembros de esa clase. Datos anteriores indican que aquellos que contribuyen a la donación de la reunión del décimo año donarán 4% de sus salarios anuales. Sara cree que los miembros de la clase tienen un salario anual promedio de 32000 dólares con una desviación estándar de 9600 dólares. Si sus expectativas se cumplen (36% de la clase dona 4% de sus salarios), ¿cuál es la probabilidad de que la donación esté entre 110000 y 120000 dólares?
66
2.4.6. DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1) Un estudio reciente reveló que el 64% de las mujeres mayores de 18 años, consideran a la nutrición la prioridad en su vida. Se seleccionó una muestra de 60 mujeres. Determinar la probabilidad de que: a. 32 o más consideren importante la dieta diaria.
b. 44 o más estimen que la alimentación es esencial.
c. Más de 32 pero menos de 43 consideren importante el aspecto dietético.
d. Exactamente 44 consideren fundamental la alimentación. 2) Supóngase que X tiene una distribución probabilística binomial, con n = 50 y p =
0,25. Calcule: a. La media y la desviación estándar de la variable aleatoria.
b. La probabilidad de que X valga 15 o más.
c. La probabilidad de que X valga 10 o menos. 3) La empresa de asuntos financieros Tax Service se especializa en las devoluciones de
importes de impuestos federales. Una reciente auditoría de las declaraciones indicó que se cometió un error en el 10% de las que manifestó el año pasado. Suponiendo que tal tasa continúe en este periodo anual y elabore 60 declaraciones. ¿Cuál es la probabilidad de que realice: a. Más de 9 errores?
67
b. Por lo menos 9 errores?
c. Exactamente 9 errores? 4) Un estudio realizado por el club de acondicionamiento físico Taurus Health Club,
reveló que 30% de sus nuevos socios tienen un sobrepeso considerable. Una promoción de membresía en un área metropolitana dio como resultado la inscripción de 500 nuevos ingresantes. a. ¿Cuál es la probabilidad de que 175 o más de los nuevos socios tengan sobrepeso?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 140 o más de los miembros recientes tengan sobrepeso?
5) Se sabe que el 10% de las unidades producidas por un proceso de fabricación
resultan defectuosas. De la producción total de un día se seleccionan 400 unidades aleatoriamente. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 35 de ellas sean defectuosas?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 40 y 50 de ellas (ambas inclusive) resulten defectuosas?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 34 y 48 de ellas (ambas inclusive) resulten defectuosas?
6) Se toma una muestra de 100 trabajadores de una gran empresa para estudiar su
actitud frente a un cambio en el método de trabajo. Si el 60% de todos los trabajadores de la empresa están a favor del cambio. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 50 de los miembros de la muestra estén a favor?
68
7) Una encuesta citó a los distribuidores de los automóviles Chevrolet y Toyota como
los dos mejores en lo que respecta a servicio al cliente. Sólo el 4% de sus clientes mostró cierta inconformidad con la agencia. Si se toma una muestra de 250 clientes a. ¿Cuál es la probabilidad de que 12 clientes o menos tengan cierta
inconformidad con la agencia?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 o más clientes estén descontentos con la agencia?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 6 y 10 clientes (ambas inclusive) estén descontentos con la agencia?
8) La tasa real de desempleo es de 15%. Suponga que se seleccionan al azar 100
personas en posibilidad de trabajar. a. ¿Cuál es la cantidad esperada de desempleados?
b. ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de los desempleados?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 6 estén desempleados?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 10 y 15 desempleados? 9) Un hotel tiene 120 habitaciones. En los meses de primavera, la ocupación del hotel
es de75%. a. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos se ocupe la mitad de los cuartos ese día?
69
b. ¿Cuál es la probabilidad de que se ocupen 100 o más cuartos ese día?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que se ocupen 80 cuartos o menos ese día? 10) Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en
cero sus saldos para no incurrir en intereses morosos. En una muestra de 150 poseedores de esa tarjeta: a. ¿Cuál es la probabilidad de que de 40 a 60 clientes paguen sus cuentas antes de
incurrir en el pago de intereses?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que 30 clientes o menos paguen sus cuentas antes de incurrir en pago de intereses?
70
CLAVE DE RESPUESTAS
EJERCICIOS 1.4. PROBABILIDAD
1) a. 1/13 b. 1/52 c. 1/26 d. 1/ 4 e. 4/13 f. 9/13
2) a. 2/5 b. 4/15 c. 2/3
3) a. 1/3 b. 4/5
4) a. 4/25 b. 4/75 c. 64/2251
5) 1/221 6)
a. 8/225 b. 4/91
7) 2/5 8) ¾ 9) 14/57 10)
a. 0.0625 b. menor (86.25%)
11) a. 0.481545 b. 0.015795 c. 0.0316 d. 0.000585
12) a. 0.739 b. 0.169 c. 0.092
13) 0.3333 14) 0.2343
15)
a. 1/15 b. 1/5 c. 1/15
16) a. 0.0565 b. 1 c. 0.2599 d. 0.17
17)
a. 0.336 b.0.5
18) 0.75 19)
a. 1/5 b. 0 c. 1/5 d. 3/5
20) 4/5 21) 0.70 22) 4/6 23) 1/36 24) 0.66 25) 0.80 26) 0.625 27)
a. 1/6 b. 1/30 c. 1/36
28) 0.0576 y 0.0076 respectivamente 29) 0.3818 30) 0.6693 31) 18/95 32)
a. ¼ b. 1/16
33) 13/30
71
34) a. 0.263 b. 0.737
35) 0.389 36) 0.039 37) 15/96 38) 0.20 39)
a. 0.5576 b. 0.1224
40) a. 1/6 b. 1/30
41) 1/6 42) 0.4666 43) 0.00138 44)
a. 0.47303 b. 0.3849 c. no
45) 0.675 46)
a. 0.303 b. 0.571 c. 0.476 d. 6.38 x 10-4 e. 0.575 f. Eventos dependientes
47) a. 0.15 b. 0.704 c. Eventos dependientes d. 0.54 e. 0.27 f. 0.98
EJERCICIOS 2.4.1. VARIABLES ALEATORIAS
1) a. x P(x) 8 0.05 9 0.15 10 0.25 11 0.3 12 0.2 13 0.05
b. E(X) = 10.6
2) a. x P(x) 0 0.05 15 0.25 30 0.15 45 0.35 60 0.15 75 0.05
b. E(X) = 36.75
3) a. x P(x) 0 0.125 1 0.375 2 0.375 3 0.125
b. no
4) una ganancia de $5
72
5) a. x P(x) 1 0.2 2 0.1 3 0.15 4 0.25 5 0.3
b. E(X) = 3.35 valores Var (X) = 2.23 valores2
6) a. x P(x) 0 0.25 1 0.5 2 0.25
b.
c. 7) a.
b. 8)
a.
x P(x) 1 0.125 2 0.25 3 0.375 4 0.25
b. ¾ c. 7/8 d. 3/8 e. 7/8
9) x P(x)
Sustituir la flota 0.7 Sustituir la mitad de la flota
0.2
Ampliar la flota 0.1 10) al aéreo 11)
x P(x) 0 0.015625 1 0.140625 2 0.421875 3 0.421875
12) a. x P(x) 0 0.015625 1 0.140625 2 0.421875 3 0.421875
b. 0.578
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 1 2
Variable aleatoria
Prob
abili
dad
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 1 2
Variable aleatoria
Prob
ab A
cum
ulat
iva
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Variable aleatoria
Prob
abili
dad
0
0.2
0.4
0.60.8
1
1.2
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Variable aleatoria
Pro
b. A
cum
ulat
iva
73
13) helados 14) B 15)
a. E(X) = 7; Desviación típica: 2.4152 b. Se espera una pérdida de
$0.055 16) E(X) = $1.11; sí vale la pena
EJERCICIOS 2.4.2. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1. a. 0.285 b. 0.867 c. ≈ 0 d. 0.781 e. 0.320
2. a. 0.2990 b. 0.4625
3. 10 y 9 4.
a. 0.4752 b. 0.0256
5. a. 0.1348 b. 0.9634 c. 0.0362 d. 0.4633 e. 0.7500
6. 0.0215 7.
a. 0.2130 b. 0.2982 c. 0.9586
8. 0.4761 9.
a. 0.1631 b. 0.0069 c. 0.9930
10. a. 0.0373 b. 3.5 x 10-11
11. a. 0.180 b. 0.323
12. a. 0.2373 b. 0.8964
13. a. 0.0016 b. 0.4096 c. 0.4096
14. a. 0.90438 b. 0.00168
15. E(X) = 1875 viviendas (X) = 21.651 viviendas
16. a. 40 accionistas b. 4.898 accionistas c. No
17. 0.1755200 (Por binomial), 0.1745 (Por aproximación de Poisson)
18. a. 0.03368 b. 0.2650 c. 0.006737
19. a. 0.0471 b. 0.2355
20. a. 0.5333 b. 0.6666 c. 7
EJERCICIOS 2.4 .3. DISTRIBUCIÓN POISSON
1.
a. 0.0017 b. 0.607 c. 0.9814 d. 0.456 e. 2.5
74
2. a. 0.3678 b. 0.0804 c. 0.9810
3. a. 0.2643 b. 0.3678 c. 0.9196 d. 5
4. a. 0.0024 b. 0.0446 c. 0.1606 d. 0.1032 e. 0.696
5. a. 0.19 b. 0.18
6. 0.1754; 0.6159 7. 0.0168 8.
a. 0.000045 b. 0.0103 c. 0.0820 d. 0.918
EJERCICIOS 2.4.4. DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. a. 0,3849 b. 0,2517 c. 0,6636 d. 0,1828 e. 0,8997
2. a. Z = ±1,16 b. Z = 1,09 c. Z = -1,695 y Z = -1,35
3. a. entre 289 y 290 estudiantes. b. entre 6 o 7 estudiantes.
4. 23,02% 5. 0,0668 6.
a. 0,5 b. 0,4332 c. 0,0228 d. 0,2417 e. Sol; 0,7881 f. 0,5461
7. a. 37,54 b. 49,87
8. 0,1587 9. 0,8585 10. 4,56% 11.
a. 0,8264 b. 0,7422 c. 0,0392 d. 0,1977 e. 0,0919 f. 0,3655
12. a. 0,1859 b. 0,0966
13. a. Z = ±0,53 b. Z = -1,18 c. Z = 1,83 d. Z = ±0,34
14. a. 0,1357 b. 0,2666
15. = 4,082 onzas 16.
a. 0,8584 b. 0,1416 c. 0,0392 d. 0,6034 e. 0,0376
17. a. 18,94% b. 5,02% c. 36,86% d. 366,4 dólares
18. a. 0,4938
75
b. 0,0122 c. 0,0043 d. $12,412 e. $11,484
19. a. 0,9878 b. 81,85% c. 86,16 puntos d. En el segundo examen, que
obtuvo A 20.
a. 0,0668 b. 0,7745 c. 67 d. 146,8 e. 306 seg.
21. a. 0,1587 b. 0,0014 c. 0,1587 d. 6,07 pies e. 0,335 pies
22. a. 0,0228 b. 0,6687 c. entre 9 y 10 alumnos
23. a. 0,0069 b. 0,3159 c. 810,5 millones
24. a. 38,3% b. 3,59% c. 38,21%
EJERCICIOS 2.4.5. TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL
1. a. 200 b. 5
2. a. 0,6826 b. 0,9544
3. a. 0,8472 b. 0,5222
4. a. 1 b. 0,8926
5. 0,7062 6.
a. 0,2810 b. 28,10% c. Como la probabilidad de
elegir una muestra que dé una 푥̅ mayor que 3,9 es muy pequeña(0,0516) entonces pudo ocurrir cualquiera de las 3 situaciones (i) La muestra está sesgada; (ii) Los datos de Fortune están equivocados y; (iii) La muestra es muy rara ya que sólo existirá el 5,16% de las veces.
d. 0,0094 7.
a. 0,0021 b. 0,8472
8. No. P (푥̅ <115,5) = 0,9382 9.
a. 0,6103 b. 0,9525 c. la distribución de las 푥̅ es
menor en la parte b porque 휎 > 휎 ̅
d. con n > 30, el teorema central del límite admite la hipótesis de normalidad.
10. 1 a. 0,8115 b. 0,8703
11. Al menos de 355 12.
a. 0,2389 b. Menor (0,1562), a disminuido
en 0,0827
76
13. No se ordenará la reparación general (0,8599 > 0,8)
14. como mínimo 36 lecturas. 15.
a. 0,4681 b. 0,4168
16. a. 1,49 b. 0,0428
17. 0,2389 18. 0,9120
EJERCICIOS 2.4.6. DISTRIBUCIÓN NORMAL COMO APROXIMACIÓN DE LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1.
a. 0,9678 b. 0,0853 c. 0,8084 d. 0,0348
2. a. 3.06 y 12.5 b. 0,2578 c. 0,2578
3. a. 0,0655 b. 0,1401 c. 0,0746
4. a. 0,0084 b. 0,8461
5. a. 0,8212 b. 0,4918 c. 0,7821
6. 0,0158 7.
a. 0,7910 b. 0,9591 c. 0,4901
8. a. 15 b. 12,75 y 3,75 c. 0,9961 d. 0,4939
9. a. 1 b. 0,0228 c. 0,0228
10. a. 0,8336 b. 0,0049
77
BIBLIOGRAFÍA Triola M. 2000. Estadística Elemental. 7ª. Ed. Editorial Addison Wesley Longman. México
D.F. 791 p. Walpole R.E. 1999. Probabilidad Y Estadística para Ingenieros. Prentice Hall. México D.F.
739 p.
78
Anexo 1. Formulario Reglas Básicas de Probabilidades Para Eventos Simples
1. Ley Fundamental de Probabilidad. Una probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y 1.
0 P(A) 1 2. P(A) = 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples posibles
del espacio muestral es 1. 3. Ley del Complemento. Si Ac es el complemento de A, entonces:
P (Ac) + P (A) = 1 P (Ac) = 1 - P (A) P (A) = 1 - P (Ac)
Probabilidad Condicional e Independencia En muchas ocasiones la probabilidad de que ocurra un evento depende de lo que ha ocurrido con otro evento. En este caso tenemos lo que se llama probabilidad condicional. Definición La probabilidad condicional de A, dado que ha ocurrido el evento B, se escribe P(A/B). O sea, es la probabilidad de que ocurra un evento A cuando se conoce cierta información relacionada con la ocurrencia de otro evento B. P(A/B) probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido. P(B/A) probabilidad de que ocurra B dado que A ha ocurrido. P(A/B) = P(A y B) / P(B) probabilidad condicional de A P(B/A) = P(A y B) / P(A) probabilidad condicional de B P(A_B). Es la probabilidad conjunta porque denota la intersección de dos eventos, A y B. P(A) y P(B) se denominan probabilidades marginales. Eventos Independientes y Dependientes Se dice que dos eventos son independientes si y solo si, P(A/B) = P(A) Se dice que dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos afecta la ocurrencia del otro. P(A/B) P(A) Regla de Multiplicación de Probabilidad Esta regla de probabilidad se deriva de la definición de probabilidad condicional y utiliza el concepto de interseccion de eventos para su aplicación. a. Si A y B son eventos independientes, entonces, P(A y B) = P(A) • P(B) b. Si A y B son eventos dependientes, entonces, P(A y B) = P(B) • P(A/B) P(A y B) = P(A) • P(B/A)
79
Regla intuitiva de la Multiplicación Para obtener la probabilidad de que el suceso A ocurra en un ensayo y B ocurra en el siguiente ensayo, multiplique la probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B, pero asegurese que la probabilidad del suceso B tenga en cuenta la ocurrencia previa del suceso A. Distribuciones de probabilidad 휇 = 푥 ∙ 푃(푥) Media (dist. de probabilidad)
휎 = [∑푥 ∙ 푃(푥)] − 휇 Desviación estándar (dist. de probabilidad)
푃(푥) = !( )! !
∙ 푝 ∙ 푞 Distribución binomial
휇 = 푛 ∙ 푝 Media (binomial)
휎 = 푛 ∙ 푝 ∙ 푞 Varianza (binomial)
휎 = 푛 ∙ 푝 ∙ 푞 Desviación Estándar (binomial)
푃(푥) = ∙!
Distribución Poisson, donde 푒 ≈ 2.71828
Distribución Normal
푧 = ̅ ó 푧 =
휇 ̅ = 휇 Teorema del límite central
휎 ̅ = √ Teorema del límite central (Error estándar)
80
Anexo 2. Distribución normal estándar
