CUADERNOS DE ALGEBRA´ No. 10 Geometr´ıa...

CUADERNOS DE ALGEBRA

No. 10

Geometrıa algebraica

Oswaldo Lezama

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias

Universidad Nacional de ColombiaSede de Bogota

30 de junio de 2014

ii

Cuaderno dedicado a Nelson Leonardo, mi hermano.

Contenido

Prologo iv

1. Conjuntos algebraicos afines 11.1. Preliminares algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. El espacio afın y los conjuntos algebraicos . . . . . . . . . . . . . . . 51.3. El ideal de un conjunto de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Conjuntos algebraicos e hipersuperficies . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. Componentes irreducibles de un conjunto algebraico . . . . . . . . . . 111.6. Subconjuntos algebraicos del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.7. Teorema de ceros de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Variedades afines 262.1. Variedades y algebras afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2. Morfismos polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3. Cambio de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.4. Funciones racionales y anillos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5. Ideales con un numero finito de ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. Propiedades locales de curvas planas 533.1. Puntos multiples y rectas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2. Multiplicidades y anillos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3. Polinomio de Hilbert-Samuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.4. Numero de intersecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4. El espacio proyectivo 714.1. Espacios proyectivos, espacios afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2. Conjuntos algebraicos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 754.3. Variedades proyectivas y algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794.4. Algebraicos afines, algebraicos proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . 85

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iv CONTENIDO

4.5. Producto cartesiano de espacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5. Curvas planas proyectivas 1015.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.2. Sistemas de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.3. Teorema de Bezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6. Topologıa de Zariski, haces y esquemas 1156.1. La topologıa de Zariski de un anillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.2. Espacios noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.3. Dimension de espacios y anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276.4. Prehaces y haces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.5. Esquemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1406.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Bibliografıa 145

Prologo

La coleccion Cuadernos de algebra consta de 10 publicaciones sobre los principalestemas de esta rama de las matematicas, y pretende servir de material para prepararlos examenes de admision y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado en matematicas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material basico delos cursos de estructuras algebraicas y algebra lineal de los programas de maestrıa;los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de losexamenes de candidatura, a saber: anillos y modulos; categorıas; algebra homologica;algebra no conmutativa; algebra conmutativa y geometrıa algebraica. Cada cuadernoes fruto de las clases dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombiaen los ultimos 25 anos, y estan basados en las fuentes bibliograficas consignadas encada uno de ellos, como tambien en el libro Anillos, Modulos y Categorıas, publi-cado por la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuyaedicion esta totalmente agotada (vease [18]). Un material similar, pero mucho mascompleto que el presentado en estas diez publicaciones, es el excelente libro de SergeLang, Algebra, cuya tercera edicion revisada ha sido publicada por Springer en el2004 (vease [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de algebra sea su pre-sentacion ordenada y didactica, ası como la inclusion de muchas pruebas omitidasen la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teorıa. Los cuadernos son:

1. Grupos 6. Anillos y modulos2. Anillos 7. Categorıas

3. Modulos 8. Algebra homologica

4. Algebra lineal 9. Algebra no conmutativa

5. Cuerpos 10. Algebra conmutativa y geometrıa algebraica

Los cuadernos estan dividido en capıtulos, los cuales a su vez se dividen ensecciones. Para cada capıtulo se anade al final una lista de ejercicios que deberıa sercomplementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen lasprincipales monografıas relacionadas con el respectivo tema.

Cuaderno de geometrıa algebraica . El presente cuaderno esta dedicadoa los temas introductorios y basicos de la geometrıa algebraica. Se estudian lasvariedades afines y proyectivas desde la perspectiva de la teorıa de anillos y modulosconmutativos. El material presentado podrıa servir de base para emprender estudios

v

vi PROLOGO

posteriores en aspectos avanzados de la geometrıa algebraica, tales como la resolucionde singularidades, la teorıa abstracta de las variedades, las tecnicas constructivas ola geometrıa algebraica no conmutativa.

El capıtulo 1 esta dedicado a los objetos que estudia la geometrıa algebraicaelemental: los conjuntos algebraicos del espacio afın, es decir, los conjuntos de ceroscomunes de polinomios fi(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn], 1 ≤ i ≤ m, K un cuerpo.Se probara el teorema posiblemente mas importante de la geometrıa algebraica, elteorema de ceros de Hilbert. En el capıtulo 2 estudiaremos los algebraicos irredu-cibles del espacio afın An(K), los cuales llamaremos variedades, ası como las algebrasafines y los anillos locales asociados. Se introducen tambien los morfismos polinomia-les entre variedades ası como los cambios afınes de coordenadas. El analisis de lassingularidades de curvas planas es considerado en el capıtulo 3 a traves de la nocionde multiplicidad de una curva plana y del numero de intersecciones. Las variedadesproyectivas y las curvas planas proyectivas son estudiadas en los capıtulos 4 y 5,se incluye el teorema de Bezout sobre el calculo del numero de intersecciones dedos curvas planas proyectivas. En el ultimo capıtulo se hace una introduccion a lateorıa de haces y esquemas lo cual dara las bases para estudios posteriores de lasvariedades abstractas.

El autor desea expresar su agradecimiento a Claudia Milena Gallego Joya, dis-cıpula y amiga, por la revision cuidadosa de todo el contenido.

Oswaldo LezamaDepartamento de Matematicas

Universidad Nacional de ColombiaBogota, Colombia

[email protected]

Capıtulo 1

Conjuntos algebraicos afines

1.1. Preliminares algebraicos

Salvo que se advierta lo contrario, K denotara un cuerpo arbitrario. En algunaspartes asumiremos adicionalmente que K es algebraicamente cerrado.

En esta seccion concentramos algunos preliminares algebraicos requeridos en elpresente cuaderno.

Proposicion 1.1.1. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito.

Demostracion. Sobre cualquier cuerpo K existe un numero infinito de polinomiosmonicos irreducibles. En efecto, supongamos lo contrario y sean f1, . . . , fn los poli-nomios irreducibles de K[x], entonces f1 · · · fn + 1 es reducible y se debe factorizaren la forma f1 · · · fn + 1 = f r11 · · · f rnn , donde al menos un ri es positivo. De estaforma, fi | 1, lo cual es falso.

Pero si K es algebraicamente cerrado, los polinomios irreducibles son de la formax− a, con a ∈ K. Esto muestra que K es infinito.

Ejemplo 1.1.2. R es infinito pero no es algebraicamente cerrado.

Teorema 1.1.3. Sea L un cuerpo que contiene un cuerpo algebraicamente cerradoK y supongase que existe un homomorfismo sobreyectivo de K[x1, . . . , xn] en L queactua identicamente sobre K. Entonces, L = K.

Demostracion. Tenemos por hipotesis que K ⊆ L. Vamos a probar que L ⊆ K.(a) Como primer paso veamos que si z ∈ L es algebraico sobre K, entonces z ∈ K:

existe un polinomio monico p(x) ∈ K[x] tal que p(z) = 0, es decir, z es una raız dep(x), pero como K es algebriacamente cerrado entonces z ∈ K.

(b) La idea ahora es ver que todos los elementos de L son algebraicos sobreK. Vamos a suponer que L es una extension finita de K, es decir, L es un espaciovectorial de dimension finita m ≥ 1 sobre K. Sea z ∈ L, entonces 1, z, z2, . . . , zm son

1

2 CAPITULO 1. CONJUNTOS ALGEBRAICOS AFINES

linealmente dependientes sobre K y existen a0, a1, . . . , am ∈ K no todos nulos talesque a0 + a1z + · · · + am−1z

m−1 + amzm = 0. Esogemos el mayor ındice r tal que ar

sea no nulo. Entonces a0 +a1z+ · · ·+ar−1zr−1 + zr = 0, y por tanto, z es algebraico

sobre K. Segun (a), z ∈ K.

(c) Debemos ahora demostrar que L es una extension finita de K. Basta de-mostrar que L es finitamente generado sobre K. Sea α : K[x1, . . . , xn] → L unhomomorfismo sobreyectivo de anillos que actua identicamente sobre K. Esto impli-ca que α es un homomorfismo sobreyectivo de K-algebras, es decir, el homomorfismoα es tambien una transformacion lineal. Sea α (xi) = vi, 1 ≤ i ≤ n. Entonces noteseque L = K[v1, . . . , vn], y podemos entonces decir que L es una extension del cuerpoK que se obtiene adjuntando a K los elementos v1, . . . , vn ∈ L. Debemos demostrarque L es finitamente generado como espacio vectorial sobre K. La prueba se hara porinduccion sobre n.

Paso 1. Sea L = K[v], entonces en este caso el homomorfismo sobreyectivo α :K[x] → L implica que L ∼= K[x]/ ker(α). Notese que ker(α) es no nulo ya que de locontrario K[x] serıa un cuerpo. De manera similar, ker(α) es propio ya que α actuaidenticamente sobre K. En conclusion, ker(α) es generado por un polinomio monicoirreducible de grado mınimo r. Se observa entonces que dimK (L) = r. Esto completala prueba en el caso n = 1.

Paso 2. Vamos a analizar la prueba en el caso n = 2 para comprender mejor laprueba de induccion. Sea α : K[x1, x2] → L sobreyectivo actuando identicamentesobre K. Entonces, L = K[v1, v2] = K[v1][v2] ⊂ K(v1)[v2] ⊂ L[v2] = L, donde K(v1)es el cuerpo de fracciones de K[v1] (notese que K(v1) ⊂ L ya que K[v1] ⊂ L).Entonces, L es un cuerpo que contiene a K(v1) y obtenido adjuntando el elementov2 a este cuerpo. Segun el paso 1, L es finitamente generado sobre K(v1). Restarıademostrar que K(v1) es finitamente generado sobre K.

Paso 3. L = K[v1, . . . , vn] = K(v1)[v2, . . . , vn], luego L es una extension de K(v1)que se obtiene adjuntando v2, . . . , vn ∈ L a este cuerpo. Por induccion podemossuponer que L es finitamente generado sobre K(v1), y otra vez, si probamos queK(v1) es finitamente generado sobre K, entonces la prueba de (c) habrıa terminado.

Tenemos pues que demostrar que K(v1) es finitamente generado sobre K, paraello demostremos que v1 es algebraico sobre K, es decir, satisface un polinomio p(x)monico irreducible con coeficientes en K, de ser ası, entonces razonamos como en elpaso 1 y K[v1] ∼= K[x]/〈p(x)〉 es un cuerpo, y en consecuencia K(v1) = K[v1] es dedimension finita sobre K.

Vamos entonces a suponer que L = K[v1, . . . , vn] = K(v1)[v2, . . . , vn] es finita-mente generado sobre K(v1) y vamos a demostrar que v1 es algebraico sobre K.Supongamos contrariamente que v1 no es algebraico sobre K, es decir, K[v1] es iso-morfo a K[x] y K(v1) es isomorfo al cuerpo de fracciones racionales K(x) (este esel cuerpo de fracciones de K[x]). Si obtenemos una contradiccion la prueba de (c)habrıa terminado.

1.1. PRELIMINARES ALGEBRAICOS 3

Puesto que K(v1)[v2, . . . , vn] es finitamente generado sobre K(v1), entonces L =K(v1)[v2, . . . , vn] es una extension finita de K(v1), por tanto, cada elemento de L =K[v1, . . . , vn] es algebraico sobre K(v1). Esto implica que para cada vi, 1 ≤ i ≤n, existe un polinomio monico pi(x) con coeficientes en K(v1) tal que pi(vi) = 0.Entonces, vrii +ari−1,iv

ri−1i +· · ·+a1,ivi+a0,i = 0, donde los coeficicientes aji ∈ K(v1).

Podemos escoger un polinomio comun a ∈ K[v1] multiplo de todos los denominadoresde todas las fracciones aji tal que (avi)

ri + aari−1,i (avi)ri−1 + · · · + ari−1a1,i (avi) +

aria0,i = 0, 1 ≤ i ≤ n , y ahora todos los coeficientes son de K[v1]. Es decir, tenemosun polinomio a ∈ K[v1] tal que av1, . . . , avn son enteros sobre K[v1]. Si tomamosahora cualquier elemento z ∈ K[v1, . . . , vn], es decir, cualquier expresion polinomicaen v1, . . . , vn , encontraremos un entero s > 0 dependiente de z tal que asz es enterosobre K[v1] (la suma y producto de elementos enteros es un elemento entero). Enparticular, esto debe ser cierto para cada z ∈ K(v1), pero esto es una contradiccionsegun la propiedad que se demuestra en el siguiente y ultimo paso.

Paso 4. No existe polinomio no nulo a ∈ K[x] tal que para cada z ∈ K(x), aszsea entero sobre K[x] para un cierto s entero dependiente de z. En efecto, sea b unpolinomio irreducible de K[x] que no divide a a, entonces tomando z = 1

bse tiene que

as

bno es entero sobre K[x] para ningun entero s > 0: supongamos que existe s > 0

entero tal que as

bes entero sobre K[x]. Entonces existe un polinomio monico q(z)

con coeficientes en K[x] tal que q(as

b) = 0, resulta entonces que b divide a ats, donde

t es el grado de q(z). Puesto que b es irreducible , entonces b divide al polinomio a,lo cual es falso.

Proposicion 1.1.4. Sea L = K (x) el cuerpo de fracciones de K[x]. Entonces,L es un cuerpo extension de K finitamente generado, pero no es anillo extensionfinitamente generado de K.

Demostracion. Para comenzar recordemos un par de definiciones: sea L un cuerpoextension del cuerpo K, se dice que L es un cuerpo extension de K finitamentegenerado, si existen elementos v1, . . . , vr ∈ L tales que L = K (v1, . . . , vr). De otraparte, se R un anillo y sea S un anillo extension de R, se dice que S es un anilloextension de R finitamente generado, si existen elementos v1, . . . , vr ∈ S tales queS = R[v1, . . . , vr].

Obviamente K (x) es una extension finitamente generada del cuerpo K. Veamosque considerados como anillos, K(x) no es una extension finita de K. En efecto,supongamos que existen v1, . . . , vr ∈ K(x) tales que K(x) = K[v1, . . . , vr], con vi =pi(x)qi(x)

, 1 ≤ i ≤ r y sea q = q1 (x) · · · qr (x). Sea z ∈ K(x), entonces z es de la forma

z =∑a(i)

(p1(x)q1(x)

)i1· · ·(pr(x)qr(x)

)ir, podemos encontrar un n suficientemente grande tal

que zqn ∈ K[x]; si f es un polinomio irreducible que no divide a q, entonces 1f∈ K(x)

pero 1fqn /∈ K[x] para cada n ≥ 1, lo cual es una contradiccion.


Proposicion 1.1.5. Sea K un subcuerpo algebraicamente cerrado del cuerpo L.Entonces,

(i) Cualquier elemento de L que sea algebraico sobre K esta en K.

(ii) Si L es una extension finita de K, entonces L = K.

Demostracion. (a) Si z ∈ L es algebraico sobre K entonces z es raız de un polinomiomonico con coeficientes en K, pero como K es algebraicamente cerrado entoncesz ∈ K.

(b) Sea n = [L : K] y sea z ∈ L, entonces 1, z, . . . , zn son linealmente dependi-entes y por lo tanto existen a0, . . . , an ∈ K tal que a0 + a1z + · · · + anz

n = 0, esdecir, z es algebraico sobre K. Segun (a), z ∈ K. Por lo tanto, [L : K] = 1, es decir,L = K.

Definicion 1.1.6. Sea R un dominio de integridad (DI) que no es un cuerpo, se diceque R es un dominio de valuacion discreta (DVD) si R es local, noetherianoy su ideal maximal es principal.

Teorema 1.1.7. Sea R un DI que no es un cuerpo. Entonces, R es un DVD si ysolo si existe un elemento irreducible t ∈ R tal que cada elemento no nulo z ∈ Rpuede ser escrito de manera unica en la forma z = utn, donde u ∈ R∗ y n es unentero no negativo. Se dice que t es un parametro uniformizante de R.

Demostracion. ⇒) Sea M el maximal de R y sea M = 〈t〉. Sea z ∈ R no nulo, si zes invertible entonces z = ut0, sea entonces z no invertible, por lo tanto z ∈M , conlo cual z = z1t. Si z1 es invertible, hemos terminado. Si z1 no es invertible, entoncesz1 = z2t con lo cual z = z2t

2. Se tiene la cadena

〈z〉 ⊆ 〈z1〉 ⊆ 〈z2〉 ⊆ · · ·

Esta cadena se detiene cuando zn−1 = znt, con zn invertible. Pero como R es noethe-riano la cadena debe detenerse, por lo tanto, existe n tal que zn−1 = znt, con zninvertible. Esto implica que z = znt

n, con zn invertible. Veamos ahora la unicidad:si znt

n = zmtm con n > m, entonces z−1

m zntn−m = 1, de donde t resulta invertible en

M , pero esto no es posible. Por lo tanto, n = m y tambien zn = zm.⇐) Vamos a probar que M = 〈t〉 es el unico ideal maximal de R y ademas que

R es un dominio de ideales principales (DIP ). Sea I un ideal maximal de R, comoR no es un cuerpo entonces I es no nulo, sea x ∈ I no nulo, entonces x = utn, dondeu ∈ R∗. De esto se sigue que I ⊆ M , pero como I es maximal, entonces I = M .Sea ahora J un ideal no nulo de R, y sea z no nulo de J , entonces z = utn, dondeu ∈ R∗, cada z determina un n, escojamos n mınimo y veamos que J = 〈tn〉: esclaro que 〈tn〉 ⊆ J , pero cualquier otro elemento de J es de la forma utm con m ≥ n,por lo tanto utm = utm−ntn ∈ 〈tn〉. Con lo anterior se tiene que R es un DI local ynoetheriano con su maximal principal.

1.2. EL ESPACIO AFIN Y LOS CONJUNTOS ALGEBRAICOS 5

1.2. El espacio afın y los conjuntos algebraicos

En esta seccion presentamos los objetos que estudia la geometrıa algebraica ele-mental: los conjuntos algebraicos del espacio afın, es decir, los conjuntos de ceroscomunes de polinomios fi(x1, . . . , xn) ∈ K[x1, . . . , xn], 1 ≤ i ≤ m.

Definicion 1.2.1. Sea n ≥ 1 un entero. Entonces,

(i) El espacio afın de dimension n sobre el cuerpo K se define por

An (K) := (a1, . . . , an) | ai ∈ K, 1 ≤ i ≤ n.

(ii) El plano afın es A2 (K).

(iii) La recta afın es A1 (K).

(iv) Un cero de un polinomio f ∈ K[x1, . . . , xn] es un elemento (a1, . . . , an) ∈An (K) tal que f (a1, . . . , an) = 0.

(v) Una hipersuperficie es el conjunto de todos los ceros de un polinomio noconstante f y se denota por V (f):

V (f) := (a1, . . . , an) ∈ An (K) | f (a1, . . . , an) = 0.

(vi) Un hiperplano de An (K) es una hipersuperficie, donde f es de la formaf = b0 + b1x1 + · · ·+ bnxn.

(vii) Una curva plana afın es una hipersuperficie del plano afın.

(viii) Un hiperplano de A2 (K) es una recta.

Definicion 1.2.2. Un subconjunto X de An (K) es algebraico si X es la coleccionde ceros de un conjunto S de polinomios de K[x1, . . . , xn]. En otras palabras, losconjuntos algebraicos del espacio afın son los conjuntos de la forma

V (S) := (a1, . . . , an) ∈ An (K) | f (a1, . . . , an) = 0 para cada f ∈ S

donde S ⊆ K[x1, ..., xn].

Notese que

V (S) =⋂f∈S

V (f) .


Ejemplo 1.2.3. Algunos ejemplos de conjuntos algebraicos son los siguientes:(i) V (y2 − xy − x2y + x3) = V (y (y − x)− x2 (y − x)) = V ((y − x) (y − x2)) =

(x, y) ∈ A2 (R) | y = x o y = x2 = (x, y) ∈ A2 (R) | y = x ∪ (x, y) ∈ A2 (R) |y = x2. (ii) V (y2 − x (x2 − 1)) = (x, y) ∈ A2 (R) | y =

√x (x2 − 1) ∪ (x, y) ∈

A2 (R) | y = −√x (x2 − 1). (iii) V (x2 +y2−4, xy−1) = V (x2 +y2−4)∩V (xy−1)

(iv) V (z2 − x2 − y2)

Ejemplo 1.2.4. Veamos que

X = (x, y) ∈ A2 (R) | y = sen(x)

no es un conjunto algebraico del plano afın. Supongamos que X es algebraico,entonces existe un conjunto no vacıo de polinomios no constantes S ⊆ R[x, y]tal que X = V (S). Sea f(x, y) = f0(y) + f1(y)x + · · · + fm(y)xm ∈ S, dondefi(y) ∈ R[y], 0 ≤ i ≤ m. Para un y0 fijo, −1 ≤ y0 ≤ 1, el polinomio f(x, y0) =f0(y0) + f1(y0)x + · · · + fm(y0)x

m tiene infinitas raıces ya que la funcion seno esperiodica. Entonces, fi(y0) = 0 para cada −1 ≤ y0 ≤ 1 y cada 1 ≤ i ≤ m. Estoindica que fi tiene infinitas raıces, luego fi = 0 para cada 1 ≤ i ≤ m, i.e., f = 0, locual es una contradiccion.

El siguiente teorema muestra las principales propiedades de los conjuntos al-gebraicos. En particular, se demostrara que el espacio afın An(K) es un espaciotopologico.

Teorema 1.2.5. El espacio afın An(K) tiene las siguientes propiedades basicas:

(i) Si S ⊆ K[x1, . . . , xn], entonces V (S) = V (I), con I = 〈S〉. Todo conjun-to algebraico del espacio afın es de la forma V (I), donde I es un ideal deK[x1, . . . , xn]. Ademas, sean I, J ideales de K[x1, . . . , xn]. Entonces,

I ⊆ J ⇒ V (J) ⊆ V (I).

(ii) La interseccion de una coleccion arbitraria de conjuntos algebraicos es un con-junto algebraico: sea Ixx∈C una familia de ideales de K[x1, . . . , xn], entonces⋂

x∈C

V (Ix) = V (⋃x∈C

Ix) = V (∑x∈C

Ix).

(iii) Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn], entonces V (I) = V (√I).

(iv) Sean f, g ∈ K[x1, . . . , xn], entonces V (fg) = V (f) ∪ V (g).

(v) La union finita de conjuntos algebraicos es un conjunto algebraico, e.d., si I, Json ideales de K[x1, . . . , xn], entonces

V (I) ∪ V (J) = V (I ∩ J) = V (IJ) = V (fg | f ∈ I, g ∈ J) .

1.3. EL IDEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS 7

(vi) V (0) = An (K), es decir, An (K) es algebraico.

(vii) V (K[x1, . . . , xn]) = ∅, es decir, ∅ es algebraico.

(viii) (An(K), τ) es un espacio topologico en el cual los conjuntos algebraicos con-forman la coleccion de cerrados,

τ := V (I) | I es un ideal de K[x1, . . . , xn].

La topologıa τ se conoce como la topologıa de Zariski de An(K).

(ix) (a1, . . . , an) ∈ An (K)⇒ V (x1 − a1, . . . , xn − an) = (a1, . . . , an).

(x) Cualquier subconjunto finito del espacio afın es algebraico y, por lo tanto,cerrado.

Demostracion. Todas las afirmaciones del teorema son consecuencia directa de lasdefiniciones. Mostraremos a continuacion solamente la prueba de los numerales (iii),(v) y (ix).

(iii) Sabemos que I ⊆√I, luego V (

√I) ⊆ V (I); sea (a1, . . . , an) ∈ V (I),

entonces para cada f ∈ I se tiene que f (a1, . . . , an) = 0, y sea g ∈√I, entonces

existe r ≥ 1 tal que gr ∈ I, luego gr (a1, . . . , an) = 0 = (g (a1, . . . , an))r, por lo tanto

g (a1, . . . , an) = 0, es decir, (a1, . . . , an) ∈ V (√I).

(v) Puesto que I ∩ J ⊆ I, J , entonces V (I) ∪ V (J) ⊆ V (I ∩ J). De maneraanaloga, como IJ ⊆ I ∩ J , entonces V (I ∩ J) ⊆ V (IJ). Es claro que V (IJ) =V (fg | f ∈ I, g ∈ J). Para concluir veamos que V (IJ) ⊆ V (I∩J) ⊆ V (I)∪V (J):para la primera inclusion, sean P ∈ V (IJ) y h ∈ I ∩ J , entonces h2 ∈ IJ , de dondeh2(P ) = 0, es decir, h(P ) = 0, luego P ∈ V (I ∩ J); para la segunda supongamosque P /∈ V (I) ∪ V (J), entonces P /∈ V (I) y P /∈ V (J), luego existen f ∈ I andg ∈ J tales que f(P ) 6= 0 y g(P ) 6= 0. Por lo tanto, fg ∈ I ∩ J y fg(P ) 6= 0, esdecir, P /∈ V (I ∩ J).

(ix) Es claro que (a1, . . . , an) ⊆ V (x1 − a1, . . . , xn − an), sea (b1, . . . , bn) ∈V (x1 − a1, . . . , xn − an) = V (x1 − a1) ∩ · · · ∩ V (xn − an), entonces necesariamenteb1 = a1, . . . , bn = an.

1.3. El ideal de un conjunto de puntos

En la seccion anterior vimos que cada ideal de K[x1, . . . , xn] determina un algebraicode An(K), veremos en la presente seccion la asignacion recıproca, es decir, a cadasubconjunto de An(K) le asignamos un ideal de K[x1, . . . , xn].

Definicion 1.3.1. Sea X ⊆ An(K), se define el ideal de X por

I(X) := f ∈ K[x1, . . . , xn] | f(a1, . . . , an) = 0 para cada (a1, . . . , an) ∈ X.


El siguiente teorema puede ser considerado como el dual del teorema 1.2.5.

Teorema 1.3.2. Sean X,Y ⊆ An(K) y sea S ⊆ K[x1, . . . , xn]. Entonces,

(i) X ⊆ Y ⇒ I(Y ) ⊆ I(X).

(ii) S ⊆ I(V (S)).

(iii) X ⊆ V (I(X)).

(iv) V (I(V (S))) = V (S). Por lo tanto, si V es un conjunto algebraico del espacioafın An (K), entonces V (I(V )) = V .

(v) I (V (I (X))) = I (X). Por lo tanto, si I es el ideal de un conjunto de puntos,entonces I(V (I)) = I.

(vi) Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn], entonces I ⊆√I ⊆ I(V (I)).

(vii)√I(X) = I(X).

(viii) I (∅) = K[x1, . . . , xn].

(ix) I(An (K)) = 0⇔ K es infinito.

(x) I ((a1, . . . , an)) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉.

Demostracion. Las pruebas de las afirmaciones del teorema son consecuencia directade las definiciones. Veamos solamente las pruebas de (ix) y (x).

(ix) ⇒) Supongamos que K es finito, sea |K| = q, entonces An (K) tiene p = qn

elementos diferentes, digamos

(a(1)1 , . . . , a

(1)n ), (a

(2)1 , . . . , a

(2)n ), . . . , (a

(p)1 , . . . , a

(p)n ).

Notemos que el polinomio

f(x1, . . . , xn) = (x1 − a(1)1 ) · · · (xn − a(1)

n ) · · · (x1 − a(p)1 ) · · · (xn − a(p)

n )

es no nulo y se anula en todos los puntos de An(K), es decir, I(An (K)) 6= 0.⇐) Si K es infinito la prueba la realizamos por induccion sobre n. Para n = 1 se

tiene entonces un polinomio en una indeterminada con infinitas raıces, esto ocurresolamente cuando el polinomio es nulo. Supongamos que la propiedad es cierta paran − 1 indeterminadas y sea f ∈ K[x1, . . . , xn] tal que f (a1, . . . , an) = 0 para cada(a1, . . . , an) ∈ An (K). Podemos escribir f =

∑mi=1fix

in, donde fi ∈ K[x1, . . . , xn−1],

entonces dado (a1, . . . , an−1) ∈ An−1(K), el polinomio∑m

i=1fi (a1, . . . , an−1)xin tiene

infinitas raıces en K ya que K es infinito. Luego, fi (a1, . . . , an−1) = 0 para cada(a1, . . . , an−1) ∈ An−1(K). Aplicando induccion se tiene que fi = 0 para cada 1 ≤i ≤ m, y entonces f = 0.

1.3. EL IDEAL DE UN CONJUNTO DE PUNTOS 9

(x) La inclusion 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 ⊆ I ((a1, . . . , an)) es evidente. La otrainclusion la probamos por induccion sobre el numero n de indeterminadas. Paran = 1 la afirmacion es consecuencia directa del teorema del resıduo. Vamos a supon-er que el teorema es cierto para n − 1 indeterminadas. Sea f ∈ I(a1, . . . , an),f (x1, . . . , xn), podemos dividir f (x1, . . . , xn) entre xn − an y obtener la descom-posicion f (x1, . . . , xn) = (xn − an) gn (x1, . . . , xn) + h0 (x1, . . . , xn−1). Puesto quef (a1, . . . , an) = 0, entonces h0 (a1, . . . , an−1) = 0 y aplicamos induccion. Por lotanto, f = (xn − an) gn (x1, . . . , xn) + · · · + (x1 − a1) g1 (x1, . . . , xn−1), es decir, f ∈〈x1 − a1, . . . , xn − an〉.

Otra propiedad interesante de los ideales de conjuntos de puntos se presenta enla siguiente proposicion.

Proposicion 1.3.3. Sea Xii∈C una coleccion de subconjuntos de An (K). En-tonces, I

(⋃i∈CXi

)=⋂i∈CI (Xi).

Demostracion. Puesto que Xi ⊆⋃i∈CXi para cada i ∈ C, entonces I

(⋃i∈CXi

)⊆

I (Xi), para cada i ∈ C, luego I(⋃

i∈CXi

)⊆⋂i∈CI (Xi). Sea f ∈

⋂i∈CI (Xi) y sea

(a1, . . . , an) ∈⋃i∈CXi, entonces (a1, . . . , an) ∈ Xi0 para algun i0 ∈ C, luego se tiene

que f (a1, . . . , an) = 0 ya que f ∈ I (Xi0), esto indica que f ∈ I(⋃

i∈CXi

).

Ejemplo 1.3.4. Si X ⊆ An (K) no es un conjunto algebraico entonces puede ocurrirque X 6= V (I (X)): consideremos el conjunto X = (x, y) ∈ A2 (R) | y = sen (x),sabemos que X no es algebraico luego no se puede tener la igualdad X = V (I(X))(de tenerse X serıa algebraico).

Ejemplo 1.3.5. Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] no es un ideal de un conjuntos de puntosentonces puede ocurrir que I 6= I (V (I)): en efecto, sea I = 〈f〉, donde f es unpolinomio no constante de K[x], entonces V (I) es el conjunto de ceros que tiene fen K. Si V (I) = ∅, entonces I (V (I)) = K[x] y por lo tanto I $ I (V (I)). Estoocurre por ejemplo con f = x2 + 1 en R[x].

Ejemplo 1.3.6. En relacion con la propiedad (ix) del teorema 1.3.2, se tiene elsiguiente contraejemplo: sea p (x) = x2 + x ∈ Z2[x], entonces p (a) = 0 para cadaa ∈ A1 (Z2) = Z2, es decir, I(A1 (Z2)) 6= 0.

De los teoremas 1.2.5 y 1.3.2 resultan las siguientes funciones: sea I la coleccionde ideales de K[x1, . . . , xn], IP la coleccion de ideales de puntos, P la coleccion detodos los subconjuntos de An(K) y τ la coleccion de algebraicos de An(K). Entonces,sea v la funcion que asigna a cada ideal I el algebraico V (I) y sea i la funcion queasigna a cada subconjunto X el ideal I(X),

I v−→ τ ⊂ P P i−→ IP ⊂ II 7→ V (I) X 7→ I(X).


Notemos que Im(v) = τ y v no es inyectiva. En efecto, en A3(R) se tiene queV (x2 + y2 + 1) = ∅ = V (x2 + z2 + 1). De igual manera, Im(i) = IP pero i no esinyectiva (pruebese !). Sin embargo, sea v′ la restriccion de v a IP e i′ la restriccionde i a τ , entonces se tiene que i′ v′ = idIP y v′ i′ = idτ .

1.4. Conjuntos algebraicos e hipersuperficies

En esta seccion expresaremos los conjuntos algebraicos propios a traves de hiper-superficies. Ademas probaremos que si K es un cuerpo algebraicamente cerrado,entonces cada abierto no vacıo de An(K) es infinito.

Teorema 1.4.1. Sea K un cuerpo cualquiera. Entonces,

(i) Cada conjunto algebraico propio de An (K) es la interseccion de un numerofinito de hipersuperficies.

(ii) Si K es infinito, entonces An (K) no es la interseccion de un numero finito dehipersuperficies, y por lo tanto, no es una hipersuperficie.

(iii) Si K es finito, entonces An (K) es una hipersuperficie.

Demostracion. (i) Sea V (I) un conjunto algebraico propio de An (K), donde I esun ideal de K[x1, . . . , xn]. I 6= 0 ya que de lo contrario V (0) = An (K). Si I = 〈1〉,entonces V (〈1〉) = ∅ = V (x1 − a)∩V (x1 − b), donde a 6= b son elementos de K. Seaentonces I un ideal no nulo y propio, I es f.g, digamos I = 〈f1, . . . , fm〉, donde lospolinomios fi no son constantes, 1 ≤ i ≤ m. Entonces, I = 〈f1〉+ · · ·+ 〈fm〉 y por lotanto V (I) = V (〈f1〉+ · · ·+ 〈fm〉) = V (〈f1〉)∩· · ·∩V (〈fm〉) = V (f1)∩· · ·∩V (fm).

(ii) Supongamos lo contrario, si An (K) = V (f1) ∩ · · · ∩ V (fm), donde fi no esconstante, 1 ≤ i ≤ m, entonces An (K) = V (fi) para cada i. Resulta, I (An (K)) =I (V (fi)) ⊇ fi. Como K es infinito, I (An (K)) = 0 y por lo tanto fi = 0, lo cuales una contradiccion.

(iii) Si K es finito entonces An (K) = V (f), donde f es el polinomio no constantede la prueba del teorema 1.3.2.

Proposicion 1.4.2. Sean K un cuerpo infinito y f ∈ K[x1, . . . , xn] un polinomiono constante. Entonces,

(i) V (f)c es infinito.

(ii) El complemento de cualquier conjunto algebraico propio es infinito. Por lotanto, cada abierto no vacıo de An(K) es infinito.

(iii) Si K es algebraicamente cerrado y n = 1, entonces V (f) es finito no vacıo.

1.5. COMPONENTES IRREDUCIBLES DE UN CONJUNTO ALGEBRAICO 11

(iv) Si K es algebraicamente cerrado, entonces para n ≥ 2, V (f) es infinito.

Demostracion. (i) Existe (a1, . . . , an) ∈ An (K) − V (f), de lo contrario An (K) =V (f) y entonces 0 = I (An (K)) = I (V (f)) ⊇ f, lo que es falso ya que f es noconstante. Sea g1 := (x1 − a1) f + · · · + (xn − an) f , entonces V (f) $ V (g1) y g1

es no constante, luego existe (b1, . . . , bn) ∈ An (k) − V (g1) An (k) − V (f). Seag2 = (x1 − b1) g1 + · · ·+ (xn − bn) g1, entonces V (g1) V (g2) y g2 es no constante,podemos continuar indefinidamente de esta manera y concluir que An (k)−V (f) esinfinito.

(ii) Sea V (I) un algebraico no vacıo (para ∅ se tiene que ∅c = An (K) es infinito).Como es propio, entonces V (I) = V (f1)∩· · ·∩V (ft), donde I = 〈f1, . . . , ft〉 y cadafi es no constante. Por lo tanto, V (I)c = V (f1)

c ∪ · · · ∪ V (ft)c es union finita de

infinitos.(iii) Notese que si n = 1 entonces V (f) = a ∈ K | f (a) = 0 es finito no vacıo

ya que K es algebraicamente cerrado.(iv) Sea n ≥ 2, como f no es constante, entonces f es un polinomio en al

menos una variable xj, entonces digamos que f es de grado m ≥ 1 en esta va-riable, f = f0 + f1xj + · · · + fmx

mj , donde fi ∈ K[x1, . . . , xj−1, xj+1 . . . , xn−1],

1 ≤ i ≤ m y fm 6= 0. Si fm es una constante entonces fm evaluado en cada pun-to de An−1(K) es no nulo, si fm no es una constante entonces por la parte (i)ya probada existen infinitos valores (b1, . . . , bj−1, bj+1, . . . , bn) en An−1(K) tales quefm(b1, . . . , bj−1, bj+1, . . . , bn) 6= 0. Ası pues, en ambos casos, existen infinitos valores(b1, . . . , bj−1, bj+1, . . . , bn) en An−1(K) tales que fm(b1, . . . , bj−1, bj+1, . . . , bn) 6= 0.Pero para cada uno de estos valores el polinomio f(b1, . . . , bj−1, xj, bj+1, . . . , bn) tieneal menos una solucion bj ya que K es algebraicamente cerrado. Por lo tanto laecuacion f = 0 tiene infinitas soluciones, e.d., V (f) es infinito.

Ejemplo 1.4.3. En relacion con la proposicion anterior se tiene que si K es uncuerpo finito, entonces para cada polinomio f ∈ K[x1, . . . , xn], V (f)c y V (f) sonfinitos. De igual manera, todo abierto de An(K) es finito. De otra parte, si K esinfinito, pero no es algebraicamente cerrado, entonces en (iii) y (iv), V (f) puede servacıo. En efecto, podemos tomar K = R y considerar en (iii), f = x2 + 1 y en (iv),f = x2 + y2 + 1.

1.5. Componentes irreducibles de un conjunto al-

gebraico

En esta seccion expresaremos los conjuntos algebraicos a traves de algebraicos irre-ducibles.

Definicion 1.5.1. Un conjunto algebraico V = V (S) de An (K) es reducible si Vse puede expresar en la forma V = V1 ∪ V2, donde V1, V2 son conjuntos algebraicos


de An (K) y Vi 6= V para i = 1, 2. En caso contrario se dice que V es irreducible.El conjunto vacıo es por definicion irreducible.

Proposicion 1.5.2. An(K) es irreducible ⇔ K es infinito

Demostracion. Si K es finito, entonces An (K) es finito no vacıo, y por lo tanto, esunion finita de conjuntos algebraicos propios. Es decir, An (K) es reducible.

Sea K infinito, supongamos que An(K) es reducible, entonces An(K) = V (I) ∪V (J), con V (I) An(K), V (J) An(K). Entonces, V (I) = V (f1) ∩ · · · ∩ V (fs) yV (I) = V (g1) ∩ · · · ∩ V (gr), donde fi y gj son polinomios no constantes, 1 ≤ i ≤ s,1 ≤ j ≤ r. Resulta, An(K) =

⋂i,j V (figj), donde cada figj es no constante, e.d.,

An(K) es interseccion de un numero finito de hipersuperficies, pero esto es falso yaque K es infinito (teorema 1.4.1).

Observacion 1.5.3. Tal y como vimos en la demostracion anterior, An(K) es re-ducible cuando K es finito.

Proposicion 1.5.4. Sea V un conjunto algebraico de An (K). V es irreducible novacıo ⇔ I(V ) es primo.

Demostracion. ⇒) Sea V un conjunto algebraico no vacıo. Notese que I(V ) es pro-pio, de lo contrario I(V ) = 〈1〉, y entonces V = V (I(V )) = V (〈1〉) = ∅. Seanf, g ∈ K[x1, . . . , xn] tales que fg ∈ I(V ), entonces fg ⊆ I(V ) y V = V (I(V )) ⊆V (fg) = V (f) ∪ V (g). Se obtiene entonces V ∩ V ⊆ (V (f) ∪ V (g)) ∩ V , e.d.,V ⊆ (V (f)∩V )∪ (V (g)∩V ) ⊆ V , por lo tanto, V = (V (f)∩V )∪ (V (g)∩V ). ComoV es irreducible entonces V (f)∩ V = V o bien V = V (g)∩ V , de donde, V ⊆ V (f)o V ⊆ V (g). Esto implica que I(V ) ⊇ I(V (f)) ⊇ f o I(V ) ⊇ I(V (g)) ⊇ g, e.d.,f ∈ I(V ) o g ∈ I(V ).

⇐) Sea I(V ) primo, entonces I(V ) es propio, y en consecuencia V es no vacıo.En efecto, si V = ∅, entonces I(V ) = K[x1, . . . , xn]. Sea V = V (I)∪ V (J), entoncesI(V ) = I(V (I)∪V (J)) = I(V (I))∩I(V (J)) ⊇ I∩J ⊇ IJ , pero como I(V ) es primo,entonces I ⊆ I(V ) o bien J ⊆ I(V ), por lo tanto, V (I(V )) ⊆ V (I) o V (I(V )) ⊆V (J), e.d., V ⊆ V (I) o bien V ⊆ V (J), luego V = V (I) o V = V (J).

Proposicion 1.5.5. En cada coleccion no vacıa de conjuntos algebraicos de An (K)hay al menos un elemento minimal.

Demostracion. Sea Vii∈C una coleccion no vacıa de algebraicos de An (K), entoncesse tiene la coleccion no vacıa I (Vi)i∈C de ideales del anillo K[x1, . . . , xn], como esteanillo es noetheriano, entonces existe un elemento maximal I (Vi0) en la coleccionde ideales. En consecuencia, Vi0 es minimal en la coleccion dada de conjuntos alge-braicos.

1.6. SUBCONJUNTOS ALGEBRAICOS DEL PLANO 13

Teorema 1.5.6. Sea V un conjunto algebraico de An(K). Entonces, V tiene unadescomposicion unica como union finita de algebraicos irreducibles en la forma

V = V1 ∪ · · · ∪ Vm, con Vi * Vj para i 6= j. (1.5.1)

Demostracion. Existencia: sea

S = V ∈ τ | V no es union finita de algebraicos irreducibles.

Veremos que S = ∅. Supongamos lo contrario, y sea V un elemento minimal de S,entonces V es reducible, V = V1 ∪ V2, Vi V, i = 1, 2. Por la condicion de V setiene que Vi /∈ S, por lo tanto Vi = V (i)

1∪ · · · ∪ V (i)

mi , i = 1, 2, donde cada V(i)j es

irreducible. Esto indica que V /∈ S, lo cual es una contradiccion.Unicidad: sea V = V1 ∪ · · · ∪ Vm = W1 ∪ · · · ∪Wt, donde Vi,Wj son irreducibles

con las condiciones de (1.5.1), 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ t. Entonces, Vi = V ∩ Vi =(W1 ∪ · · · ∪Wt) ∩ Vi =

⋃tj=1 (Wj ∩ Vi); puesto que Vi es irreducible entonces existe

un ji tal que Vi = Wji ∩ Vi, por lo tanto, Vi ⊆ Wji . Simetricamente, existe l tal queWji ⊆ Vl, de donde Vi ⊆ Vl, y en consecuencia i = l. Se tiene pues que Vi = Wji .Por la simetrıa del problema se tiene tambien que cada Wj coincide con algun Vi.Esto muestra que las dos descomposiciones son identicas.

Otra prueba de este teorema es la siguiente. Sea V (I) un algebraico, si V (I) esirreducible hemos terminado. Si V (I) es reducible, entonces V (I) = V (I1) ∪ V (I2),con V (Ii) V (I), i = 1, 2. Se tiene entonces I(V (I)) I(V (Ii)). Si V (I1) y V (I2)son irreducibles hemos terminado. De lo contrario, por ejemplo, V (I1) es reducibley entonces V (I1) = V (I11) ∪ V (I12) con V (I1i) V (I1), i = 1, 2. Se tiene entoncesla cadena de ideales I(V (I)) I(V (I1)) I(V (I1i)). Una de estas cadenas seextenderıa infinitamente mientras hayan reducibles en la descompocision, pero comoK[x1, . . . , xn] es noetheriano, entonces V (I) se debe expresar como union finita deirreducibles. La prueba de la unicidad es la misma.

Definicion 1.5.7. Sea V un conjunto algebraico de An(K). Los irreducibles Vi delteorema 1.5.6 se denominan las componentes irreducibles de V .

Observacion 1.5.8. Mas adelante en la seccion 1.7 mostraremos ejemplos de des-composicion irreducible de un conjunto algebraico. Por ahora notemos que si Kes infinito, entonces An(K) es irreducible (proposicion 1.5.2), y por lo tanto, ladescomposicion irreducible de An(K) es An(K) = An(K). Si K es finito, entoncesla descomposicion irreducible de An(K) es la union finita de sus puntos. Para elalgebraico ∅ la descomposicion es ∅ = ∅.

1.6. Subconjuntos algebraicos del plano

En esta seccion describimos todos los algebraicos del plano afın A2(K). Segun elteorema 1.5.6, para caracterizar todos los algebraicos basta conocer todos los irre-


ducibles. Comenzamos con la siguiente propiedad.

Proposicion 1.6.1. Sean f, g ∈ K [x, y] sin factores comunes. Entonces, V (f, g) =V (f) ∩ V (g) es finito.

Demostracion. Sean f, g considerados como polinomios de K (x) [y], veamos que sip(x, y) ∈ K (x) [y] es un factor comun, entonces p(x, y) = p(x) ∈ K(x). En efecto,

sea f = pf1 y g = pg1 con f1, g1 ∈ K (x) [y]; se tiene entonces que p = p′(x,y)p′′(x)

, con

p′(x, y) ∈ K[x, y] y p′′(x) ∈ K[x]. En forma similar, f1 =f ′1(x,y)

f ′′1 (x), con f ′1(x, y) ∈ K[x, y]

y f ′′1 (x) ∈ K[x] y g1 =g′1(x,y)

g′′1 (x), con g′1(x, y) ∈ K[x, y] y g′′1(x) ∈ K[x]. Eliminando de-

nominadores encontramos que fp′′f ′′1 = p′f ′1 y gp′′g′′1 = p′g′1. Si en la descomposicionirreducible de p′ aparece algun factor que contiene a la variable y, entonces estefactor divide tanto a f como a g, pero esto es absurdo. Entonces, p′ ∈ K[x] y de estaforma p es un cociente de polinomios en la variable x, e.d., p ∈ K(x).

Como K (x) [y] es un DIP, existen r, s ∈ K (x) [y] tales que 1 = rf + sg , como

vimos antes r = r′(x,y)r′′(x)

, s = s′(x,y)s′′(x)

con r′(x, y), s′(x, y) ∈ K[x, y] y r′′(x), s′′(x) ∈ K[x].

Por lo tanto, r′′s′′ = r′s′′f+s′r′′g. Si (a1, a2) ∈ V (f, g), entonces (r′′s′′)(a1) = 0, peror′′s′′ tiene un numero finito de ceros. Esto prueba que el numero de posibilidadesde a1 en los arreglos (a1, a2) ∈ V (f, g) es finito. La simetrıa del problema garantizaque V (f, g) es finito.

¿Como es la hipersuperficie V (f) cuando f es irreducible? Sabemos que 〈f〉 es unideal primo, pero no necesariamente 〈f〉 y I (V (f)) coinciden, entonces no podrıamosgarantizar que V (f) es irreducible. Sin embargo, como veremos a continuacion, estose tiene cuando V (f) es infinito.

Corolario 1.6.2. Sea f ∈ K[x, y] un polinomio irreducible tal que V (f) es infinito.Entonces, 〈f〉 = I (V (f)) y V (f) es irreducible. En particular, si K es un cuerpoalgebraicamente cerrado y f ∈ K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces las doscondiciones anteriores se cumplen.

Demostracion. Sabemos que f ⊆ I (V (f)), luego 〈f〉 ⊆ I (V (f)). Sea g ∈I (V (f)), entonces g ⊆ I (V (f)), luego V (I (V (f))) ⊆ V (g), de donde V (f) ⊆V (g), de esta forma V (f, g) = V (f) ∩ V (g) = V (f) es infinito. Por la proposi-cion anterior, f y g tienen factores comunes, por lo tanto, g ∈ 〈f〉. Se tiene queI (V (f)) = 〈f〉, pero V (f) = V (〈f〉), es decir, I (V (〈f〉)) = 〈f〉 es primo, y por laproposicion 1.5.4, V (〈f〉) = V (f) es irreducible.

La ultima afirmacion es consecuencia de lo probado y de la proposicion 1.4.2.

Ejemplo 1.6.3. (i) Notemos que f = y2 + x2 (x− 1)2 ∈ R[x, y] es irreducible, peroV (f) es finito y reducible. En efecto, supongamos que f = pq con p, q ∈ R[x, y],consideremos estos polinomios en (R[x]) [y], entonces f = y2 + r2 = pq, donde r =

1.6. SUBCONJUNTOS ALGEBRAICOS DEL PLANO 15

x (x− 1) ∈ R[x]. Por razones de grado en la indeterminada y se tienen las siguientesposibilidades: gr (p) = 2 y gp (q) = 0, o gr(p) = 0 y gr(q) = 2 o gr(p) = 1 = gr(q).El primer caso es posible solamente si q es una constante ya que f no tiene terminosen xrys para r, s ≥ 1, en forma similar, en el segundo caso se debe tener que p esuna constante. Veamos finalmente que el tercer caso no es posible: p = p0 + p1y yq = q0 + q1y, donde p0, p1, q0, q1 ∈ R[x]; entonces p0q0 = r2, p0q1 + p1q0 = 0, p1q1 = 1,se tienen entonces dos opciones: (p1 = 1 = q1) o (p1 = −1 = q1), en ambos casosresulta p0 = −q0 con lo cual −q2

0 = r2, y esto es falso ya que r 6= 0. Se ha probadoentonces que f solo admite factorizacion trivial. De otra parte, V (f) = (x, y) ∈R2 | y2 + x2 (x− 1)2 = 0 = (0, 0) , (1, 0) = (0, 0) ∪ (1, 0), es decir, V (f) esreducible. Ademas, I(V (f)) = I(0, 0)∩ I(1, 0) = 〈x, y〉∩ 〈x−1, y〉 6= 〈f〉 ya quey /∈ 〈f〉.

(ii) f = x2 + y2 ∈ R[x, y] es irreducible y V (f) = (0, 0) es finito e irreducible.Ademas, I (V (f)) = 〈x, y〉 6= 〈f〉.

El siguiente teorema describe todos los irreducibles del plano afın.

Teorema 1.6.4. (i) Sea K un cuerpo infinito. Entonces, los conjuntos irreduciblesde A2 (K) son: A2 (K) , ∅, los conjuntos unitarios y las curvas planas irreduciblesV (f), con f irreducible y V (f) infinito.

(ii) Si K es un cuerpo finito, entonces los irreducibles de A2 (K) son ∅ y losconjuntos unitarios.

Demostracion. (i) Sea V un conjunto algebraico e irreducible de A2 (K). Si V esfinito entonces V = ∅ o V es unitario. Sea V infinito. Si I(V ) = 0, entoncesV (I(V )) = V = V (0) = A2 (K) es irreducible. Sea pues I(V ) 6= 0, entonces I(V )no contiene constantes no nulas, de lo contrario I(V ) = K[x, y] y en consecuenciaV = V (I(V )) = V (K[x, y]) = ∅, pero esto no es posible ya que asumimos que V esinfinito. Sea f un polinomio no constante que esta en I(V ), como I(V ) es primo,entonces al menos un factor irreducible de f esta en I(V ). Se puede entonces asumirque f es irreducible. De esta forma, 〈f〉 ⊆ I(V ). Supongamos que la contenencia esestricta, entonces existe g ∈ I(V ) y g /∈ 〈f〉, y en consecuencia V (I(V )) ⊆ V (g),tambien V (I(V )) ⊆ V (f), es decir, V ⊆ V (f) ∩ V (g), pero este ultimo conjuntoes finito, lo cual es imposible ya que V es infinito. Se tiene pues que 〈f〉 = I(V ), yentonces V (f) = V (〈f〉) = V (I(V )) = V .

(ii) Si K es un cuerpo finito entonces cada subconjunto de A2 (K) es finito . Losirreducibles de A2 (K) son pues ∅ y los conjuntos unitarios. En este caso A2 (K) esreducible por ser finito.

Corolario 1.6.5. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, los conjuntosirreducibles de A2 (K) son: A2 (K) , ∅, los conjuntos unitarios y las curvas planasV (f), donde f es irreducible.


Demostracion. Consecuencia directa del teorema anterior y del corolario 1.6.2.

Para cuerpos algebraicamente cerrados es facil calcular las componentes irre-ducibles de una hipersuperficie de A2(K), tal como se muestra en el siguiente teore-ma.

Teorema 1.6.6. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado y f ∈ K[x, y] un poli-nomio no constante. Sea f = fm1

1 · · · fmrr la descomposicion de f en producto de

irreducibles. Entonces, V (f) = V (f1) ∪ · · · ∪ V (fr) es la descomposicion de V (f)en sus componentes irreducibles. Ademas, I (V (f)) = 〈f1 · · · fr〉.

Demostracion. V (f) = V (fm11 · · · fmr

r ) = V (fm11 ) ∪ · · · ∪ V (fmr

r ) = V (f1) ∪ · · · ∪V (fr), segun la proposicion 1.4.2, cada V (fi) es infinito y, por el corolario 1.6.2,V (fi) es irreducible. Ademas, no hay inclusiones entre dos componentes diferentes(de lo contrario V (fi, fj) = V (fi) ∩ V (fj) = V (fi) es infinito, lo es contradictoriocon la proposicion 1.6.1). Finalmente, I (V (f)) = I (

⋃ri=1V (fi)) =

⋂ri=1I (V (fi)) =⋂r

i=1〈fi〉 = 〈f1 · · · fr〉.

Ejemplo 1.6.7. Los conjuntos algebraicos de A2 (R) son de la forma V (f) conf ∈ R[x, y]. En efecto, Sea V un conjunto algebraico de A2 (R) y V = V1 ∪ · · · ∪ Vmsu descomposicion en algebraicos irreducibles, cada Vi tiene una de las siguientesposibilidades: A2 (R) , ∅, (a, b) o V (f), donde f es irreducible y V (f) es infinito.Si V = A2 (R), entonces V = V (0); si V = ∅, entonces V = V (1); (a, b) =V ((x−a)2+(y−b)2). Puesto que V (f)∪V (g) = V (fg) para cualesquiera polinomiosf, g, entonces es suficiente considerar dos casos.

(a) V (f) ∪ (a, b) = V(f (x− a)2 + f (y − b)2) para cualquier polinomio f .

(b) En el caso de la union de dos puntos (a, b) ∪ (c, d) se tiene que

(a, b) ∪ (c, d) = V ((x− a)2 + (y − b)2) ∪ V ((x− c)2 + (y − d)2) =V ((x− a)2(x− c)2 + (x− a)2(y − d)2 + (y − b)2(x− c)2 + (y − b)2(y − d)2).

Ejemplo 1.6.8. (a) Notemos que V (y − x2) ⊆ A2 (C) es irreducible ya que y − x2

es irreducible y C es algebraicamente cerrado. De igual manera, V (y − x2) ⊆ A2 (R)es irreducible ya que y − x2 es irreducible y V (y − x2) es infinito. Tanto en el casocomplejo como en el caso real se tiene que I(V (y − x2)) =< y − x2 > (corolario1.6.2).

(b) Consideremos el algebraico V (y4 − x2, y4 − x2y2 + xy2 − x3) ⊆ A2 (C) y cal-

1.7. TEOREMA DE CEROS DE HILBERT 17

culemos sus componentes irreducibles:

V(y4 − x2, y4 − x2y2 + xy2 − x3

)=

V((y2 − x

) (y2 + x

), y2(y2 − x2

)+ x

(y2 − x2

))=

V((y2 − x

) (y2 + x

),(y2 − x2

) (y2 + x

))=

V((y2 − x

) (y2 + x

))∩ V

((y2 − x2

) (y2 + x

))=[

V(y2 − x

)∪ V

(y2 + x

)]∩[V(y2 − x2

)∪ V

(y2 + x

)]=[

V(y2 − x

)∩ V

(y2 − x2

)]∪[V(y2 − x

)∩ V

(y2 + x

)]∪[

V(y2 + x

)∩ V

(y2 − x2

)]∪[V(y2 + x

)∩ V

(y2 + x

)]=

(0, 0) , (1, 1) , (1,−1) ∪ (0, 0) ∪ (0, 0) , (−1, 1) , (−1,−1) ∪ V(y2 + x

)=

(1, 1) ∪ (1,−1) ∪ V(y2 + x

).

Estos tres ultimos conjuntos son irreducibles. Obtenemos la misma respuesta si enlugar del plano complejo consideramos el plano afın real.

1.7. Teorema de ceros de Hilbert

Esta seccion esta dedicada a probar el teorema de ceros de Hilbert y la correspon-dencia biyectiva que existe entre los conjuntos algebraicos irreducibles de An (K) ylos ideales primos de K[x1, . . . , xn], donde K un cuerpo algebraicamente cerrado. Laparte (ii) del teorema de ceros de Hilbert justifica completamente su nombre: seaK un cuerpo algebraicamente cerrado y sean f1, . . . , ft, g ∈ K[x1, . . . , xn] tales queg (a1, . . . , an) = 0 para cada cero comun (a1 . . . , an) de f1, . . . , ft. Entonces exister ≥ 1 tal que gr ∈ 〈f1 . . . , ft〉.

En esta seccion supondremos siempre que K es algebraicamente cerrado.

Teorema 1.7.1 (Teorema de ceros de Hilbert). Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn].Entonces,

(i) V (I) = ∅ ⇔ I = K[x1, . . . , xn].

(ii) I (V (I)) =√I.

Demostracion. (i) ⇒) Vamos a probar que si I es propio entonces V (I) 6= ∅. Pode-mos suponer que I es maximal (de lo contrario existe J maximal tal que I ⊆ J yentonces V (J) ⊆ V (I)). Sea L := K[x1, . . . , xn]/I, entonces L es un cuerpo quecontiene a K mediante la indentificacion a = a, para cada a ∈ K. Aplicamos aho-ra el teorema 1.1.3 y podemos asegurar que L = K de tal forma que para cada1 ≤ i ≤ n, xi = ai, con ai ∈ K, es decir, xi−ai ∈ I, luego 〈x1−a1, . . . , xn−an〉 ⊆ I.Pero notemos que 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 es maximal de K[x1, . . . , xn]. En efecto,


sea M un ideal de K[x1, . . . , xn] tal que N := 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 M , sea p ∈M −N , p puede ser considerado en K[x1, . . . , xn−1][xn] y ser escrito en la forma p =(xn − an) q1 (x1, . . . , xn)+ r1 (x1, . . . , xn−1), notemos que r1 (x1, . . . , xn−1) ∈M −N ,de lo contrario p ∈ N . Podemos repetir el procedimiento para xn−1−an−1, . . . , x1−a1

y obtener que rn−1 (x1) = (x1 − a1) qn (x1) + rn, con rn ∈ M − N . Esto signifi-ca que rn 6= 0 es una constante de K, luego M = K[x1, . . . , xn]. Resulta entoncesI = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 y de esta forma V (I) = (a1, . . . , an) 6= ∅.

Notemos adicionalmente que

K ∼= K[x1, . . . , xn]/〈x1 − a1, . . . , xn − an〉. (1.7.1)

⇐) Si I = K[x1, . . . , xn], entonces V (I) = V (K[x1, . . . , xn]) = ∅.(ii) Sabemos que

√I ⊆ I (V (I)) (vease el teorema 1.3.2). Sea g ∈ I (V (I)),

donde I := 〈f1, . . . , fr〉. Definimos J := 〈f1, . . . , fr, xn+1g−1〉 ≤ K[x1, . . . , xn, xn+1].Notemos que V (J) = ∅ (supongamos lo contrario, si (a1, . . . , an, an+1) ∈ V (J)entonces fi (a1, . . . , an) = 0 para cada 1 ≤ i ≤ r, luego (a1, . . . , an) ∈ V (I), dedonde g (a1, . . . , an) = 0 y de esta forma an+1g (a1, . . . , an)−1 = 0, es decir, −1 = 0,lo cual es falso). Segun (i), J = K[x1, . . . , xn, xn+1] y se tiene entonces la relacion

1 =∑r

i=1hi (x1, . . . , xn, xn+1) fi + b (x1, . . . , xn, xn+1) (xn+1g − 1) ,

con hi, b ∈ K[x1, . . . , xn, xn+1]. Consideremos el cuerpo de fracciones del anillo depolinomios K[x1, . . . , xn, xn+1] y sea y := 1

xn+1, entonces la ultima relacion toma la

forma

1 =∑r

i=1hi

(x1, . . . , xn,

1y

)fi + b

(x1, . . . , xn,

1y

)(1yg − 1

)en K(x1, . . . , xn, xn+1). Existe m suficientemente grande tal que

ym =∑r

i=1ci (x1, . . . , xn, y) fi + d (x1, . . . , xn, y) (g − y) ∈ K[x1, . . . , xn, y],

con ci, d ∈ K[x1, . . . , xn, xn+1]. Como y es una indeterminada, hacemos y = g yentonces gm ∈ 〈f1, . . . , fr〉 = I, es decir, g ∈

√I.

El teorema de ceros de Hilbert permite obtener algunas conclusiones interesantes.

Corolario 1.7.2. Si I es un ideal radical de K[x1, . . . , xn], entonces I (V (I)) =I. En consecuencia, los ideales radicales coinciden con los ideales de puntos y,por lo tanto, existe una correspondencia biyectiva entre los ideales radicales deK[x1, . . . , xn] y los conjuntos algebraicos.

Demostracion. La primera afirmacion se obtiene directamente del teorema de cerosde Hilbert y demuestra ademas que los ideales radicales coinciden con los idealesde puntos (vease el teorema 1.3.2). Para la segunda afirmacion podemos repetir el


razonamiento que vimos al final de la seccion 1.3: sea R := I | I es ideal radical deK[x1, . . . , xn] y sea τ = V | V es algebraico de An (K). Definimos entonces

R υ−→ τ

I 7→ V (I)

υ es inyectiva: si V (I1) = V (I2) entonces I (V (I1)) = I (V (I2)), luego I1 = I2. υ essobreyectiva: sea V algebraico, sabemos que I(V ) ∈ R, luego υ (I(V )) = V (I (V )) =V .

En relacion con la proposicion 1.5.4 se se tiene la siguiente propiedad.

Corolario 1.7.3. Si I es un ideal primo de K[x1, . . . , xn] entonces V (I) es irre-ducible no vacıo. Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales primos deK[x1, . . . , xn] y los conjuntos algebraicos irreducibles no vacıos de An (K). En estacorrespondencia los ideales maximales corresponden a conjuntos unitarios.

Demostracion. Si I es primo entonces I es un ideal radical y I (V (I)) = I, de dondeV (I) es irreducible no vacıo (proposicion 1.5.4). Sea Spec(K[x1, . . . , xn]) la coleccionde ideales primos de K[x1, . . . , xn] y sea V la coleccion de algebraicos irreduciblesno vacıos de An (K), denotemos tambien por υ la restriccion de la funcion υ en elcorolario 1.7.2 a Spec(K[x1, . . . , xn]), se tiene entonces la correspondencia

Spec(K[x1, . . . , xn])υ−→ V

I 7→ V (I) .

Por lo tanto, υ es inyectiva. Sea V (I) ∈ V , entonces I (V (I)) es primo y ademasυ (I (V (I))) = V (I (V (I))) = V (I).

Si (a1, . . . , an) ∈ An (K), entonces 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 es un ideal maximalde K[x1, . . . , xn] (vease la demostracion del teorema de ceros de Hilbert, (1.7.1)) yυ (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉) = V (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉) = (a1, . . . , an).

Recıprocamente, sea I un ideal maximal y sea (a1, . . . , an) ∈ V (I), entonces(a1, . . . , an) ⊆ V (I) y I (V (I)) ⊆ I ((a1, . . . , an)) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉, esdecir, I ⊆ 〈x1− a1, . . . , xn− an〉, luego 〈x1− a1, . . . , xn− an〉 = I. Se tiene pues queV (I) = V (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉) = (a1, . . . , an).

El siguiente corolario es una generalizacion del teorema 1.6.6 a dimension n.

Corolario 1.7.4. Sea f ∈ K[x1, . . . , xn] un polinomio no constante y sea f =fm1

1 · · · fmrr la descomposicion de f en producto de polinomios irreducibles. Entonces,

V (f) = V (f1)∪ · · · ∪V (fr) es la descomposicion irreducible de V (f) y I (V (f)) =〈f1 · · · fr〉. Ademas, existe una correspondencia biyectiva, salvo multiplicacion porconstantes no nulas de K, entre los polinomios irreducibles de K[x1, . . . , xn] y lashipersuperficies irreducibles de An (K).


Demostracion. Sea V (f) = V (fm11 · · · fmr

r ) = V (f1) ∪ · · · ∪ V (fr), como fi esirreducible entonces 〈fi〉 es primo y V (fi) es irreducible. Si V (fi) ⊆ V (fj), entoncesI (V (fj)) ⊆ I (V (fi)), es decir, I (V (〈fj〉)) ⊆ I (V (〈fi〉)), pero como 〈fj〉, 〈fi〉 sonprimos entonces son ideales radicales, luego, 〈fj〉 ⊆ 〈fi〉. Se tiene entonces que fidivide a fj, pero como ambos son irreducibles, entonces fi = fj.

Finalmente, I (V (f)) = I (V (f1) ∪ · · · ∪ V (fr)) = I (V (f1))∩ · · · ∩ I (V (fr)) =〈f1〉 ∩ · · · ∩ 〈fr〉 = 〈f1 · · · fr〉. La correspondencia mencionada viene dada por f →V (f), donde f es un polinomio irreducible de K[x1, . . . , xn].

El tamano de un conjunto algebraico finito V (I) guarda relacion con la dimensiondel K-espacio K[x1, . . . , xn]/I.

Corolario 1.7.5. Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn]. Entonces, V (I) es finito si, y solosi, K[x1, . . . , xn]/I es de dimension finita. Si esto ocurre,

|V (I)| ≤ dimK (K[x1, . . . , xn]/I).

Demostracion. ⇒) Sea V (I) finito, si V (I) = ∅, entonces√I = I (V (I)) = I (∅) =

K[x1, . . . , xn], es decir,√I = K[x1, . . . , xn], de donde 1 ∈ I, I = K[x1, . . . , xn]. En

este caso, dimK (K[x1, . . . , xn]/I) = 0 y el numero de puntos de V (I) coincide condimK (K[x1, . . . , xn]/I).

Sea pues V (I) = (a

(1)1 , . . . , a

(1)n

), . . . ,

(a

(r)1 , . . . , a

(r)n

), definimos los polinomios

fi =(xi − a(1)

i

)· · ·(xi − a(r)

i

)para cada 1 ≤ i ≤ n. Notemos que fi ∈ I (V (I)) =

√I, por lo tanto existem suficientemente grande tal que fmi ∈ I para cada 1 ≤ i ≤ n.

En el cociente se tiene entonces que fim

= 0 y de esta forma xirm es combinacion

lineal de 1, xi, . . . , xirm−1. Usando esto, y mediante induccion, se puede concluir que

xis es combinacion lineal de 1, xi, . . . , xi

rm−1 para cada s ≥ 0. Como esto es validopara cada 1 ≤ i ≤ n, se tiene que x1

m1 · · ·xnmn | 0 ≤ mi ≤ rm − 1 genera aK[x1, . . . , xn]/I.⇐) Sean v1, . . . , vr ∈ V (I) algunos puntos de V (I) (si V (I) = ∅, como vimos

antes, dimK (K[x1, . . . , xn]/I) = 0 y el numero de puntos de V (I) coincide condimK (K[x1, . . . , xn]/I)). Existen polinomios f1, . . . , fr ∈ K[x1, . . . , xn] tales que parai 6= j, fi (vj) = 0 y fi (vi) = 1, 1 ≤ i ≤ r. En efecto, veamos primero que siV un conjunto algebraico propio de An (K) y u ∈ An (K) − V , entonces existe unpolinomio f ∈ K[x1, . . . , xn] tal que f (v) = 0 para cada punto v ∈ V pero f (u) = 1:V V ∪ u, luego I (V ∪ u) I (V ), existe entonces un polinomio g tal queg (v) = 0 para cada v ∈ V pero g (u) = c 6= 0. El polinomio f := c−1g cumplelas condiciones pedidas. El conjunto finito v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vr es algebraicopropio; segun acabamos de ver, existe fi tal que fi (vj) = 0 para i 6= j pero fi (vi) = 1.Esto es valido para cada 1 ≤ i ≤ r.

Notemos que f1, . . . , fr ∈ K[x1, . . . , xn]/I son linealmente independientes sobreK: en efecto, sean c1, . . . , cr ∈ K tales que c1.f1+· · ·+cr.fr = 0, entonces c1.f1+· · ·+


cr.fr ∈ I y en consecuencia 0 = (c1.f1 + · · ·+ cr.fr) (vi) = ci, para cada 1 ≤ i ≤ n.Esto garantiza que r ≤ dimK (K[x1, . . . , xn]/I).

Observacion 1.7.6. En [1], proposicion 2.1.6 y teorema 2.2.7, se encuentra unaprueba de este corolario vıa bases de Grobner.

Ejemplo 1.7.7. El teorema de ceros de Hilbert y los corolarios que le siguen sonfalso si K no es algebraicamente cerrado. En efecto,

(a) La parte (i) del teorema falla: sea K = R, I = 〈x2 + 1〉 R[x] pero V (I) =V (x2 + 1) = ∅.

(b) La parte (ii) del teorema falla: sea K = R, I = 〈x2 +1〉, V (I) = ∅, I (V (I)) =R[x], 1 /∈

√〈x2 + 1〉 = 〈x2 + 1〉 (notemos que 〈x2 + 1〉 es maximal, y por lo tanto

primo).(c) El corolario 1.7.2 falla:

√〈x2 + 1〉 = 〈x2 + 1〉, pero I(V (〈x2 + 1〉)) = R[x] 6=

〈x2 + 1〉. Ası pues, 〈x2 + 1〉 es un ideal radical pero no es un ideal de puntos.(d) El corolario 1.7.3 falla: f = y2 + x2 (x− 1)2 ∈ R[x, y] es irreducible, con lo

cual < f > es primo, pero V (f) = (0, 0) ∪ (1, 0) es reducible.(e) El corolario 1.7.4 falla: el mismo ejemplo anterior, f es irreducible pero

V (f) = (0, 0) ∪ (1, 0) = V (x2 + y2) ∪ V((x− 1)2 + y2

)es reducible.

(f) El corolario 1.7.5 falla: f = y2 + 1 ∈ R[x, y], I = 〈y2 + 1〉, V (f) = ∅, perodimR (R[x, y]/I) =∞ ya que 1, x, x2, . . . son linealmente independientes sobre R.

Concluimos este capıtulo con otros ejemplos que ilustran los resultados y temastratados en el.

Ejemplo 1.7.8. Veamos que V (y2 − x (x− 1) (x− λ)) ⊆ A2 (K) es irreducible paracada λ ∈ K, donde K es algebraicamente cerrado. Basta probar que el polinomiof = y2 − x (x− 1) (x− λ) ∈ K[x, y] es irreducible. Supongamos que f es reducible,f = pq con p, q ∈ K[x, y], consideremos estos polinomios en (K[x]) [y], entonces f =y2−r = pq, donde r = x (x− 1) (x− λ). Por razones de grado en la indeterminada yse tienen las siguientes posibilidades: gr (p) = 2 y gr (q) = 0, o gr(p) = 0 y gr(q) = 2,o gr(p) = 1 = gr(q). El primer caso p = r0(x) + r1(x)y + r2(x)y

2 y q = s0(x), luegor2(x)s0(x) = 1, es decir, s0(x) es una constante no nula de K. En el segundo casose debe tener que p es una constante no nula. Veamos finalmente que el tercer casono es posible: y2 − r = (y + t(x)) (y + s(x)), se tiene entonces que t(x) + s(x) = 0 yt(x)s(x) = −r, luego t(x) = −s(x) y de esta forma s(x)2 = r, pero esto no es posibleya que r es de grado 3 y s(x)2 es de grado par. Por lo tanto, y2 − r es irreducible yV (y2 − r) es tambien irreducible.

Ejemplo 1.7.9. Sea I = 〈y2 − x2, y2 + x2〉 ⊆ C[x, y]. Queremos calcular V (I)y dimC (C[x, y]/I). Sea (a, b) ∈ V (I), entonces b2 − a2 = 0 = b2 + a2, resulta(a, b) = (0, 0). Ası, V (I) = (0, 0). De otra parte, dimC (C[x, y]/I) = 4. En efecto,y2 − x2 + y2 + x2 = 2y2 ∈ I, es decir, y2 ∈ I. Similarmente, x2 ∈ I, entoncesC[x, y]/I = 〈1, x, y, xy〉, y 1, x, y, xy son linealmente independientes sobre C.


Ejemplo 1.7.10. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado y V = V (I), donde Iun ideal de K[x1, . . . , xn]. Veamos que existe una correspondencia biyectiva entre lossubconjuntos algebraicos de V y los ideales radicales de K[x1, ..., xn]/I. Probemosademas que en esta correspondencia los irreducibles no vacıos corresponden a losprimos y los puntos a maximales: Notemos que I se puede tomar como un idealradical de tal forma que I(V (I)) = I y K[x1, ..., xn]/I = K[x1, ..., xn]/I(V ). SeaW un subconjunto algebraico de V , existe J ideal radical de K[x1, . . . , xn] tal queW = V (J). Sea W ⊆ V (I) algebraico, entonces J = I (V (J)) ⊇ I (V (I)) ⊇ I yJ/I es un ideal radical de K[x1, . . . , xn]/I. En efecto, veamos que

√J/I =

√J/I

= J/I. La primera igualdad se puede probar de la siguiente manera: sea f ∈√J/I,

entonces fm ∈ J/I, de donde f

m= g con g ∈ J , se tiene que fm− g ∈ I ⊆ J , luego

fm ∈ J y de esta manera f ∈√J/I. En el otro sentido se tiene que si f ∈

√J/I

con f ∈√J entonces fm ∈ J , luego fm ∈ J/I, de donde f

m ∈ J/I y ası f ∈√J/I.

Notemos que J es unico para W , en realidad J = I(W ), y la correspondencia sedefine entonces por

W = V (J)α−→ J/I.

Por el teorema de correspondencia de la teorıa de anillos, esta asignacion es inyec-tiva. Veamos que la correspondencia es sobreyectiva: sea J/I un ideal radical deK[x1, . . . , xn]/I, con I ⊆ J , veamos que J es un ideal radical de K[x1, . . . , xn]. Enefecto,

√J/I =

√J/I = J/I, luego

√J = J . Por lo tanto, W := V (J) ⊆ V (I) y

α(W ) = J/I.Sea ahoraW = V (J) irreducible no vacıo contenido en V , con J radical, entonces

I (V (J)) = J es primo, luego J/I es primo de K[x1, . . . , xn]/I. De otra parte, si J/Ies primo, entonces J es primo que contiene a I y en consecuencia W := V (J) esirreducible no vacıo contenido en V (I) tal que α(W ) = J/I.

Finalmente, sea (a1, . . . , an) ⊆ V (I) un punto, entonces (a1, . . . , an) =V (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉) y

α (V (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉)) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉/I.

Notemos que 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉/I es maximal de K[x1, . . . , xn]/I ya que 〈x1 −a1, . . . , xn − an〉 es maximal de K[x1, . . . , xn]. De otra parte, si J/I es maximal deK[x1, . . . , xn]/I, entonces J es maximal de K[x1, . . . , xn] que contiene a I y en talcaso, como vimos en la prueba del teorema de ceros de Hilbert, necesariamenteJ = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 para algun punto (a1, . . . , an) ∈ An(K). Luego, V (J) =V (〈x1 − a1, . . . , xn − an〉) = (a1, . . . , an) esta contenido en V (I) y α(V (J)) =J/I.

Ejemplo 1.7.11. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado y sean V1 y V2 alge-braicos de An(K). Veamos que

I(V1 ∩ V2) =√I(V1) + I(V2).

1.8. EJERCICIOS 23

En efecto, V (√I(V1) + I(V2) ) = V (I(V1)+ I(V2)) = V (I(V1))∩V (I(V2)) = V1∩V2,

ası I(V (√I(V1) + I(V2) )) =

√√I(V1) + I(V2) =

√I(V1) + I(V2) = I(V1 ∩ V2).

Veamos un contraejemplo para el caso en el cual el cuerpo K no es algebraica-mente cerrado: en el plano afın real A2(R) sean V1 = V (f), con f = y − x2 yV2 = V (g), con g = y+1. V1 es una parabola y V2 es una recta, por lo tanto V1 y V2

son infinitos, ademas f y g son ambos irreducibles. Luego I(V1) = 〈f〉 y I(V2) = 〈g〉.Como V1 ∩ V2 = ∅, entonces I(V1 ∩ V2) = R[x, y], pero

√I(V1) + I(V2) 6= R[x, y] ya

que 1 /∈ I(V1)+I(V2) = 〈y−x2, y+1〉. En efecto, si 1 = p(x, y)(y−x2)+q(x, y)(y+1),entonces tomando y = x2 se tiene que 1 = q(x, x2)(x2+1), pero por razones de gradoesto es imposible.

Ejemplo 1.7.12. Sea V = (t, t2, t3)|t ∈ C. Calculemos I(V ) y probemos que Ves irreducible. Notemos que V = V (y − x2, z − x3) = V (y − x2) ∩ V (z − x3), seanV1 = V (y−x2) y V2 = V (z−x3). Aplicamos el ejercicio anterior y obtenemos I(V ) =I(V1 ∩ V2) =

√I(V1) + I(V2) =

√〈y − x2 > + < z − x3〉 ya que y − x2 y z − x3

son polinomios irreducibles y C es algebraicamente cerrado. Por lo tanto, I(V ) =√〈y − x2, z − x3〉, pero 〈y − x2, z − x3〉 es primo. En efecto, este ideal es propio y

sean a, b ∈ C[x, y, z] tales que ab ∈ 〈y− x2, z− x3〉, entonces existen p, q ∈ C[x, y, z]tales que ab = p(y−x2)+q(z−x3). Resulta entonces que a(x, x2, x3)b(x, x2, x3) = 0,luego a(x, x2, x3) = 0 o b(x, x2, x3) = 0, es decir, a = p′(y − x2) + q′(z − x3) o b =p′′(y − x2) + q′′(z − x3) con p′, p′′, q′, q′′ ∈ C[x, y, z] (vease el ejercicio 1). Se tieneentonces que I(V ) = 〈y − x2, z − x3〉 y V es irreducible.

1.8. Ejercicios

1. Sean K un cuerpo, f ∈ K[x1, . . . , xn] y a1, . . . , an ∈ K.

(a) Pruebe que f =∑λ(i) (x1 − a1)

i1 · · · (xn − an)in , con λ(i) ∈ K.

(b) Si f (a1, . . . , an) = 0, pruebe que f =∑n

i=1 (xi − ai) gi para ciertos poli-nomios (no necesariamente unicos) gi ∈ K[x1, . . . , xn].

2. Pruebe que los siguientes conjuntos no son algebraicos:

(a) (z, w) ∈ A2 (C) | |z|2 + |w|2 = 1.(c) (cos (t) , sen (t) , t) ∈ A3 (R) | t ∈ R.

3. Calcule las componentes irreducibles de V (y2 − xy − x2y + x3) en A2(R) ytambien en A2(C). Haga lo mismo para V (y2 − x(x2 − 1)) y para V (x3 + x−x2y − y).

4. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Demuestre que dos ideales I, J deK[x1, . . . , xn] son comaximales si, y solo si, V (I) ∩ V (J) = ∅.


5. Dentro de An(C) se tiene el subconjunto An(Z) el cual consta de todos lospuntos con coordenadas enteras.

(a) Pruebe que si f ∈ C[x1, . . . , xn] es tal que f(v) = 0 para cada puntov ∈ An(Z), entonces f = 0.

(b) Sea f ∈ C[x1, . . . , xn] y sea M el exponente mas grande de cualquierade las variables que aparecen en f . Sea AnM+1(Z) el conjunto de puntosde An(Z) cuyas coordenadas estan entre 1 y M + 1. Demuestre que sif(v) = 0 para cada punto v ∈ AnM+1(Z), entonces f = 0.

6. Con la notacion del ejercicio anterior demuestre que An(Z) no es un subcon-junto algebraico de An(C).

7. Muestre a traves de un ejemplo que la union infinita de algebraicos no essiempre un conjunto algebraico.

8. Demuestre que el conjunto S = (x, y) ∈ A2(R)|y > 0 no es un subconjuntoalgebraico de A2(R).

9. Sean V ⊆ An(K) y W ⊆ Am(K) conjuntos algebraicos. Demuestre que

V ×W = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm) ∈ An+m(K)|(a1, . . . , an) ∈An(K), (b1, . . . , bm) ∈ Am(K)

es algebraico.

10. Sea K un cuerpo cualquiera. Demuestre que V (x+xy, y+xy, x2, y2) = V (x, y).

11. Calcule las componentes irreducibles de V (2x2+3y2−11, x2−y2−3) ⊆ A2(C).

12. Demuestre que 〈x2, y2〉 no es un ideal radical de K[x, y].

13. Sea J = 〈x2 + y2 − 1, y − 1〉. Encuentre un polinomio f ∈ I(V (J)) tal quef /∈ J .

14. Sea K un cuerpo cualquiera, demuestre que√〈xn, ym〉 = 〈x, y〉, para cua-

lesquiera enteros positivos n,m.

15. Sea J = 〈xy, (x− y)x〉. Describa V (J) y pruebe que√J = 〈x〉.

16. Demuestre que I(A2(Z2)) = 〈x2− x, y2− y〉 (Sugerencia: dado f ∈ I(A2(Z2)),divida f por x2 − x y luego divida por y2 − y).

1.8. EJERCICIOS 25

17. Usando los resultados de geometrıa algebraica vistos en el presente capıtulo,demuestre el siguiente resultado de algebra conmutativa. Sea K un cuerpoalgebraicamente cerrado y sea I un ideal radical de K[x1, . . . , xn]. Entonces Itiene una descomposicion unica, salvo el orden, en la forma I = P1 ∩ · · · ∩ Pt,donde cada Pi es primo, 1 ≤ i ≤ t.

Capıtulo 2

Variedades afines

En este capıtulo, salvo que se advierta lo contrario, K denota un cuerpo algebraica-mente cerrado. Estudiaremos los algebraicos irreducibles del espacio afın An(K), loscuales llamaremos variedades, ası como las funciones entre variedades. Muchos au-tores denominan variedad a los algebraicos que definimos en el capıtulo anterior,vease por ejemplo [1], de tal forma forma que distingen las variedades de las varie-dades irreducibles. Nosotros sin embargo mantendremos la denominacion dada en[4] en donde se asume que las variedades son los algebraicos irreducibles.

2.1. Variedades y algebras afines

En esta seccion mostraremos la correspondencia biyectiva que existe entre el conjun-to de los morfismos polinomiales de dos variedades y la coleccion de homomorfismosentre las algebras afines correspondientes.

Definicion 2.1.1. Una variedad afın de An (K) es un conjunto algebraico irre-ducible de An (K).

Las variedades afines de An (K) las llamaremos simplemente variedades. Sea Vuna variedad no vacıa, sabemos que I (V ) es un ideal primo de K[x1, . . . , xn], y porlo tanto, K[x1, . . . , xn]/I(V ) es un DI.

Definicion 2.1.2. Sea V una variedad no vacıa, K[x1, . . . , xn]/I(V ) es el anillode coordenadas o algebra afın de V , y se denota por A (V ).

Notemos que A(V ) es una K-algebra y K se sumerge de manera natural en A(V ),a 7→ a, a ∈ K.

Sea X un conjunto no vacıo cualquiera, notemos que el conjunto F (X,K) detodas las funciones de X en K es un anillo conmutativo con unidad respecto delas operaciones habituales: (F +G) (x) = F (x) + G (x), (FG) (x) = F (x)G (x),

26

2.1. VARIEDADES Y ALGEBRAS AFINES 27

x ∈ X. En realidad F(X,K) es una K-algebra y K se sumerge en F (X,K) mediantela identificacion de las funciones constantes con los elementos de K.

Definicion 2.1.3. F (X,K) se denomina el anillo de funcionales sobre X, otambien, el algebra de funciones racionales sobre X.

Definicion 2.1.4. Sea V una variedad no vacıa, un funcional polinomial sobreV es un elemento F ∈ F (V,K) tal que existe un polinomio f ∈ K[x1, . . . , xn] parael cual se tiene que F (a1, . . . , an) = f (a1, . . . , an) para cada (a1, . . . , an) ∈ V .

Es decir, un funcional es polinomial si viene definido por medio de un polinomio.Notemos que los funcionales polinomiales constituyen un subanillo (subalgebra) deF (V,K) que contiene a K, este anillo se denota por P (V,K). Ademas, con cadapolinomio f ∈ K[x1, . . . , xn] podemos definir un funcional polinomial F dado porF (a1 . . . , an) = f (a1 . . . , an). Notemos que dos polinomios f, g definen el mismofuncional polinomial si (f − g) (a1 . . . , an) = 0 para cada (a1 . . . , an) ∈ V , es decir,si f − g ∈ I (V ).

Se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 2.1.5. A (V ) ∼= P (V,K).

Demostracion. Consideremos la funcion α que asigna a cada polinomio f el funcionalF ∈ P (V,K), es decir,

K[x1, . . . , xn]α−→ P (V,K)

f 7→ F

Es claro que α es un homomorfismo de anillos, ademas, si α (f) = 0, entoncesF (a1, . . . , an) = 0 para cada (a1, . . . , an) ∈ V , es decir, f (a1, . . . , an) = 0 para cada(a1, . . . , an) ∈ V , pero esto significa que f ∈ I (V ). En otras palabras, ker (α) =I(V ). Finalmente, sea F ∈ P (V,K), entonces existe un polinomio f ∈ K[x1, . . . , xn]tal que F (a1, . . . , an) = f (a1, . . . , an), esto indica que α (f) = F y ası α es sobre.

Algunas propiedades de las algebras afines son las siguientes.

Proposicion 2.1.6. Sean V una variedad no vacıa. Entonces,

(i) Existe una correspondencia biyectiva entre los subconjuntos algebraicos de Vy los ideales radicales de A(V ). En esta correspondencia las subvariedades novacıas van en primos y los puntos en maximales.

(ii) Sea W 6= ∅ una subvariedad de V , es decir, una variedad no vacıa contenidaen V , y sea IV (W ) el ideal primo en la correspondencia del numeral anterior.Entonces,

28 CAPITULO 2. VARIEDADES AFINES

A (V ) /IV (W ) ∼= A (W ).

(iii) Las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) V es un punto

(b) A (V ) ∼= K(c) dimK (A (V )) <∞.

Demostracion. (i) En el ejemplo 1.7.10 vimos que a cada algebraico W contenido enV se le asigna el ideal radical J/I(V ), donde W = V (J) y J es un ideal radical deK[x1, . . . , xn]. Vimos que en realidad J es unico para W , J = I(W ), de esta manerala asignacion es

W → IV (W ) := I(W )/I(V ).

Segun vimos, los irreducibles de V , es decir, las subvariedades de V van en primosde A(V ) y los puntos en ideales maximales.

(ii) Si W = ∅, entonces I(W ) = K[x1, . . . , xn] y el cociente K[x1, . . . , xn]/I(W )es nulo, es decir, en este caso no definimos el algebra afın. Sea pues W 6= ∅, tenemosque

A(V )/IV (W ) = K[x1, . . . , xn]/I(V )/I(W )/I(V ) ∼= K[x1, . . . , xn]/I(W ) = A(W ).

(iii) (a)⇒(b): sea V = (a1, . . . , an), entonces I (V ) = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 esmaximal de K[x1, . . . , xn] y ademas A (V ) = K[x1, . . . , xn]/〈x1−a1, . . . , xn−an〉 ∼= K(vease la prueba del toerema de ceros de Hilbert).

(b)⇒(c): dimK (A (V )) = 1(c)⇒(a): si dimK (A (V )) < ∞, entonces V (I(V )) = V es finito (vease el coro-

lario 1.7.5), ademas, por hipotesis V es irreducible no vacıo, entonces V es un punto.

2.2. Morfismos polinomiales

Las funciones entre variedades estan gobernadas por polinomios e inducen homor-fismos entre las algebras afines correspondientes. En esta seccion estudiaremos talesfunciones.

Definicion 2.2.1. Sean V ⊆ An(K) y W ⊆ Am (K) variedades no vacıas. Unmorfismo polinomial de V en W es una funcion α : V → W definida porpolinomios f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn] de tal forma que

α (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an))

2.2. MORFISMOS POLINOMIALES 29

para cada (a1, . . . , an) ∈ V . Se dice que α es un isomorfismo polinomial si existeun morfismo polinomial β : W → V tal que αβ = iW y βα = iV .

Teorema 2.2.2. Cada morfismo polinomial define un homomorfismo entre las alge-bras afines A(W ) y A(V ). Recıprocamente, cada homomorfismo entre estos anillosinduce un morfismo polinomial entre las variedades. Ademas, cada morfismo poli-nomial entre V y W es la restriccion de un morfismo polinomial entre los espaciosafines An (K) y Am (K).

Demostracion. Sea α : V → W un morfismo polinomial definido por los polinomiosf1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn] de tal forma que

α (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an))

para cada (a1, . . . , an) ∈ V . El morfismo α da origen a un homomorfismo de K-algebras ϕα entre las K-algebras afines K[y1, . . . , ym]/I(W ) y K[x1, . . . , xn]/I(V )como sigue:

ϕα : K[y1, . . . , ym]/I(W )→ K[x1, . . . , xn]/I(V )

yi + I(W ) 7→ fi + I(V )

es decir,g (y1, . . . , ym) + I(W ) 7→ g (f1, . . . , fm) + I(V ).

Para ver que ϕα esta bien definido, necesitamos probar que dado g ∈ I(W ) entoncesg (f1, . . . , fm) ∈ I(V ). Pero para cada (a1, . . . , an) ∈ V tenemos que α (a1, . . . , an) ∈W , y por tanto

g (f1, . . . , fm) (a1, . . . , an) =g (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an))

=g (α (a1, . . . , an)) = 0,

como se anuncio. Tenemos entonces que ϕα es un homomorfismo de K-algebras.Recıprocamente, sea

ϕ : K[y1, . . . , ym]/I(W )→ K[x1, . . . , xn]/I(V )

un homomorfismo deK-algebras, y sea ϕ (yi) = fi, con fi ∈ K[x1, . . . , xn], 1 ≤ i ≤ m.Se define entonces el morfismo polinomial

αϕ : An (K)→ Am (K)

(a1, . . . , an) 7→ (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) .

Veamos que αϕ (V ) ⊆ W : en efecto, sea (a1, . . . , an) ∈ V , puesto queW es algebraico,W = V (I(W )) y basta probar que (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) ∈ V (I(W )).


Sea pues g ∈ I(W ), entonces ϕ (g) = 0 = g (f1, . . . , fm) y g (f1, . . . , fm) ∈ I(V ),luego g (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) = g (f1, . . . , fm) (a1, . . . , an) = 0.

Hemos probado entonces que la restriccion de αϕ a la variedad V es un morfismopolinomial, este morfismo lo denotamos tambien por αϕ.

Probemos ahora la ultima afirmacion del teorema. Sea α : V → W un morfis-mo polinomial definido por los polinomios f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn] de tal for-ma que α (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)), y sea ϕα el homo-morfismo correspondiente de algebras afines, entonces ϕα (yi) = fi. Notemos queϕα induce un morfismo polinomial αϕα : An (K) → Am (K) de tal forma queαϕα (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)), y para su restriccion sobreV se tiene que αϕα (a1, . . . , an) = α (a1, . . . , an), es decir, αϕα = α es la restricciondel morfismo polinomial αϕα : An (K)→ Am (K).

Usando la notacion de la prueba anterior, se tienen las siguientes conclusiones.

Corolario 2.2.3. Sean V ⊆ An (K), W ⊆ Am (K) y Z ⊆ Ar (K) variedades novacıas y sean α : V → W y β : W → Z morfismos polinomiales, entonces β α esun morfismo polinomial y ademas ϕβα = ϕα ϕβ.

Demostracion. Sean α y β definidos por los polinomios f1, . . . , fm ∈ K[x1, . . . , xn] yg1, . . . , gr ∈ K[y1, . . . , ym], de tal forma que

α (a1, . . . , an) = ((f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)))

y

β (b1, . . . , bm) = ((g1 (b1, . . . , bm) , . . . , gr (b1, . . . , bm))).

Entonces,

β α : V → Z

(a1, . . . , an) 7→ (h1 (a1, . . . , an) , . . . , hr (a1, . . . , an))

donde hi = gi (f1, . . . , fm), 1 ≤ i ≤ r.De otra parte, se tienen los homomorfismos de algebras afines

ϕα : K[y1, . . . , ym]/I(W )→ K[x1, . . . , xn]/I(V )

yi + I(W ) 7→ fi + I(V )

y

ϕβ : K[z1, . . . , zr]/I(Z)→ K[y1, . . . , ym]/I(W )

zi + I(W ) 7→ gi + I(V )


En consecuencia,

ϕα ϕβ : K[z1, . . . , zr]/I(Z)→ K[x1, . . . , xn]/I(V )

zi + I(W ) 7→ gi (f1, . . . , fm) + I(V )

es decir, (ϕα ϕβ) (zi + I(W )) = hi + I(V ) = ϕβα (zi + I(W )). Esto muestra queϕα ϕβ = ϕβα.

Corolario 2.2.4. Sean V ⊆ An (K), W ⊆ Am (K) y Z ⊆ Ar (K) variedades novacıas y sean ψ : A(Z) → A(W ) y ϕ : A(W ) → A(V ) homomorfismos de algebrasafines. Entonces, αϕψ = αψ αϕ.

Demostracion. Sean ϕ (yi) = fi y ψ (zj) = gj, donde fi ∈ K[x1, . . . , xn], 1 ≤ i ≤ my gj ∈ K[y1, . . . , ym], 1 ≤ j ≤ r. Entonces,

ϕ ψ : A(Z)→ A(V )

zj 7→ gj (f1, . . . , fm)

y por lo tanto, αϕψ viene definida de la siguiente manera:

αϕψ : V 7→ Z

(a1, . . . , an) 7→ (h1 (a1, . . . , an) , . . . , hr (a1, . . . , an))

donde hj = gj (f1, . . . , fm), 1 ≤ j ≤ r. Pero esta es la definicion de αψ αϕ.

Corolario 2.2.5. Sean V ⊆ An(K), W ⊆ Am (K) variedades no vacıas. Entonces,

(i) Existe una correspondencia biyectiva entre la coleccion de morfismos polino-miales de V en W y la coleccion de homomorfismos de A(W ) en A(V ).

(ii) En la correspondencia anterior los isomorfismos polinomiales corresponden aisomorfismos de las algebras afines.

Demostracion. (i) Sea Mor (V,W ) la coleccion de morfismos polinomiales de V enW y sea Hom(A(W ),A(V )) la coleccion de homomorfismos del algebra afın A(W )en el algebra afın A(V ). Definimos entonces las aplicaciones

Φ : Mor (V,W )→ Hom(A(W ),A(V ))

α 7→ ϕα

y

Λ : Hom(A(W ),A(V ))→Mor (V,W )

ϕ 7→ αϕ


Veamos entonces que Λ Φ = iMor(V,W ) y que Φ Λ = iHom(A(W ),A(V )). Al fi-nal de la prueba del teorema 2.2.2 vimos que (Λ Φ) (α) = α. Sea ahora ϕ ∈Hom(A(W ),A(V )), con ϕ (yi) = fi, entonces para cada (a1, . . . , an) ∈ V se tiene queαϕ (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) y por lo tanto ϕαϕ (yi) = fi.Esto significa que ϕαϕ = ϕ, es decir, (Φ Λ) (ϕ) = ϕ.

(ii) Sea ahora α : V → W un isomorfismo polinomial, entonces existe un mor-fismo polinomial β : W → V tal que αβ = iW y βα = iV . Segun el corolario 2.2.3,ϕαβ = ϕiW = iA(W ) = ϕβ ϕα y tambien ϕβα = ϕiV = iA(V ) = ϕα ϕβ. Hemosmostrado que ϕα es un isomorfismo de algebras.

Recıprocamente, si ϕ : A(W ) → A(V ) es un isomorfismo de algebras, entoncesexiste ψ : A(V )→ A(W ) tal que ψ ϕ = iA(W ) y ϕ ψ = iA(V ). Segun el corolario2.2.4, αψϕ = αϕ αψ = iW y αϕψ = αψ αϕ = iV , es decir, αϕ es un isomorfismopolinomial de variedades.

Usando lenguaje de categorıas y funtores (vease [15]), podemos resumir algunasde las propiedades anteriores de la siguiente manera.

Corolario 2.2.6. La coleccion de variedades afines es una categorıa equivalente ala categorıa de las algebras afines.

Demostracion. SeaK un cuerpo algebraicamente cerrado que fijamos. Sea V la colec-cion de las variedades afines sobre K y sea Mor (V,W ) el conjunto de los morfismospolinomiales de V en W . Entonces V es una categorıa. Sea A la coleccion de K-alge-bras afines, es decir, algebras de la forma K[x1, . . . , xn]/I, con n ≥ 1 e I un idealprimo de K[x1, . . . , xn] ( notemos que V (I) es una variedad no vacıa, corolario 1.7.3,e I = I(V (I))). Sea Hom(A(W ),A(V )) el conjunto de homomorfismos del algebraafın A(W ) en el algebra afın A(V ). Entonces es claro que A es una categorıa.

Se tiene el funtor contravariante G : V → A definido por G(V ) := A(V ),G(α) := ϕα tal y como vimos en la demostracion del teorema 2.2.2. El coro-lario 2.2.5 dice que G es fiel y pleno. Ademas, dada A un algeba afın, entoncesA = K[x1, . . . , xn]/I, con I ideal primo de K[x1, . . . , xn], luego V (I) es una variedadde An(K) y G(V (I)) = K[x1, . . . , xn]/I(V (I)) = K[x1, . . . , xn]/I. Esto demuestraque el funtor G es representativo.

Presentamos a continuacion una proposicion que util para demostrar que unconjunto algebraico es irreducible. El resultado es valido para cuerpos no necesaria-mente algebraicamente cerrados. Ademas, notemos que los morfismos polinomialespueden ser definidos entre conjuntos algebraicos no necesariamente irreducibles.

Proposicion 2.2.7. Sea α : V → W un morfismo polinomial y sea X un sub-conjunto algebraico de W , donde W no necesariamente es irreducible. Entonces,α−1 (X) es un subconjunto algebraico de V . Ademas, si α es sobreyectivo y α−1 (X)es irreducible, entonces X es irreducible.


Demostracion. Sea X = V (J), donde J es un ideal radical de K[y1, . . . , ym]. Vamosa probar que α−1 (X) = V ∩ V (I), donde I := 〈g (f1, . . . , fm) | g ∈ J〉 y f1, . . . , fmson los polinomios que definen α. En efecto, sea (a1, . . . , an) ∈ α−1 (X), entonces(a1, . . . , an) ∈ V y α (a1, . . . , an) = (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) ∈ X, deesta forma g (α (a1, . . . , an)) = g (f1, . . . , fm) (a1, . . . , an) = 0 para cada g ∈ J .Esto muestra que (a1, . . . , an) ∈ V (I). Recıprocamente, sea (a1, . . . , an) ∈ V ∩V (I), entonces para cada g ∈ J se tiene que g (f1, . . . , fm) (a1, . . . , an) = 0, luego(f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) ∈ V (J) = X y (a1, . . . , an) ∈ α−1 (X).

Supongamos ahora que X = X1∪X2 es union de algebraicos, entonces α−1 (X) =α−1 (X1) ∪ α−1 (X2), por la hipotesis α−1 (X) = α−1 (X1) o α−1 (X) = α−1 (X2), ycomo α es sobre entonces X = X1 o X = X2.

La proposicion 2.2.7 se puede complementar observando el comportamiento delos algebraicos a traves de imagen recıproca por morfismos polinomiales del espacioafın.

Corolario 2.2.8. Sea

α : An (K)→ Am (K)

(a1 . . . , an) 7→ (f1 (a1 . . . , an) , . . . , fm (a1 . . . , an))

un morfismo polinomial y sea

ϕα : K[y1, . . . , ym]→ K[x1, . . . , xn]

g 7→ g (f1, . . . , fm)

el homomorfismo correspondiente de algebras afines. Sea X = V (J) un algebraicode Am (K), donde J es un ideal radical de K[x1, . . . , xm], entonces α−1 (X) es unalgebraico de An (K). En forma mas precisa,

α−1 (X) = V (〈ϕα (J)〉) = V (〈g (f1, . . . , fm) | g ∈ J〉) .

En particular, si g es un polinomio de K[y1, . . . , ym] y V (g) es la correspondientehipersuperficie, entonces

α−1 (V (g)) = V (g (f1, . . . , fm)) .

Ademas, si α es sobre y α−1 (X) es irreducible, entonces X es irreducible.

Demostracion. Consecuencia directa de la proposicion 2.2.7.

Ejemplo 2.2.9. (a) (t, t2, t3) ∈ A3 (K) | t ∈ K es una variedad. En efecto, enla Proposicion 2.2.7, sea V = A1(K) y sea W = (t, t2, t3) ∈ A3 (K) | t ∈ K. Lafuncion

α : A1 (K)→ W

t 7→(t, t2, t3

)


es polinomial sobreyectiva. Notemos que W es algebraico. En efecto, W = V (y −x2, z − x3). Puesto que α−1(W ) = A1(K) es irreducible (basta suponer que K esinfinito ), entonces W es irreducible, es decir, W es una variedad.

(b) Veamos que V (xz − y2, yz − x3, z2 − x2y) ⊆ A3 (R) es una variedad. Enefecto, sea (a, b, c) ∈ W := V (xz − y2, yz − x3, z2 − x2y), entonces

ac = b2, bc = a3, c2 = a2b

luego

abc = b3, abc = a4, c3 = a2bc,

y de esta manera

b3 = a4, c3 = a5, c4 = b5.

Como vimos en la proposicion 2.2.7, es suficiente definir una funcion polinomial deA1 (R) sobre W . Necesitamos polinomios f1(x), f2(x), f3(x) ∈ R[x] tales que

α : A1 (R)→ W

t 7→ (f1(t), f2(t), f3(t))

sea sobreyectivo. Podemos tomar f1(x) := x3, f2(x) := x4 y f3(x) := x5. Veamosque α ası definida es sobre. Notemos primero que W = W ′ := (t3, t4, t5)|t ∈ R. Enefecto, es claro que W ′ ⊆ W ; si (a, b, c) ∈ W , entonces tomando t := 3

√a, obtenemos

α(t) = (t3, t4, t5) = (a, ( 3√a)4, ( 3

√a)5) = (a, b, c).

Ejemplo 2.2.10. El morfismo proyeccion definido por

π : An (K)→ Am(K), n ≥ m

(a1, . . . , an)→ (a1, . . . , am)

es un morfismo polinomial. En efecto, puesto que K es infinito, entonces An (K) yAm (K) son irreducibles, es decir, son variedades. Los polinomios de este morfismoson f1 = x1, . . . , fm = xm.

Ejemplo 2.2.11. Sea V una variedad no vacıa de An (K) y sea f ∈ A(V ), conf ∈ K[x1, . . . , xn]. Definimos el grafo de f por

G(f)

:= (a1, . . . , an+1) ∈ An+1 (K) | (a1, . . . , an) ∈ V y an+1 = f (a1, . . . , an).

Veamos que G(f)

es una variedad y que la funcion

(a1, . . . , an) 7→ (a1, . . . , an, f (a1, . . . , an))

2.3. CAMBIO DE COORDENADAS 35

es un isomorfismo entre V y G(f), donde la proyeccion es la inversa. En efecto, sea

V = V (I), donde I es un ideal radical de K[x1, . . . , xn]. Probaremos inicialmenteque G

(f)

= V (I+〈xn+1−f〉). Sea (a1, . . . , an+1) ∈ G(f), entonces (a1, . . . , an) ∈ V

y an+1 = f (a1, . . . , an), por lo tanto g (a1, . . . , an) = 0 para cada g ∈ I y an+1 −f (a1, . . . , an) = 0, luego h (a1, . . . , an+1) = 0 para cada h ∈ I + 〈xn+1 − f〉, con locual (a1, . . . , an+1) ∈ V (I + 〈xn+1 − f〉). La inclusion recıproca se prueba en formasimilar. Se tiene entonces que G

(f)

es algebraico. Definimos el morfismo polinomialsobreyectivo

Vα−→ G

(f)

(a1, . . . , an) 7→ (a1, . . . , an, f (a1, . . . , an))

Segun el la proposicion 2.2.7, G(f)

es una variedad.Consideremos ahora el morfismo proyeccion del ejercicio anterior:

An+1 (K)π−→ An(K)

(a1, . . . , an+1) 7→ (a1, . . . , an)

Podemos restringir este morfismo a G(f)

obteniendo un morfismo polinomial

G(f) π−→ V

de tal forma que πα = iV y απ = iG(f).

2.3. Cambio de coordenadas

Dentro de los morfismos polinomiales del espacio afın se destacan los cambios decoordenadas que estudiaremos en la presente seccion.

Definicion 2.3.1. Un cambio afın de coordenadas sobre el espacio afın An (K)es un morfismo polinomial biyectivo

α : An (K)→ An (K)

definido por polinomios lineales

f1 := f10 + f11x1 + · · ·+ f1nxn, . . . , fn := fn0 + fn1x1 + · · ·+ fnnxn.

Algunas propiedades de los cambios afines de coordenadas son las siguientes.

Proposicion 2.3.2. Sea α un cambio afın de coordenadas. Entonces,


(i) α es la composicion de dos cambios afines de coordenadas, α = α′′ α′, donde

α′ : An (K)→ An (K)

es definido por los polinomios

f ′1 = f11x1 + · · ·+ f1nxn, . . . , f′n = fn1x1 + · · ·+ fnnxn,

yα′′ : An (K)→ An (K)

es definido por los polinomios

f ′′1 = x1 + f10, . . . , f′′n = xn + fn0.

En otras palabras, α es la composicion de una transformacion lineal α′ conuna translacion α′′, i.e., α = α′′ α′

(ii) α′ es biyectivo.

(iii) La composicion de dos cambios afines de coordenadas es un cambio afın decoordenadas.

(iv) La funcion α−1 : An (K) → An (K) es un cambio afın de coordenadas, y enconsecuencia, α es un isomorfismo de variedades.

(v) Los polinomios f1, . . . , fn son linealmente independientes.

Demostracion. (i) Evidente.(ii) Notemos que α′′ es siempre biyectiva, en consecuencia, (α′′)−1 α = α′ y de

esta forma α′ es biyectivo.(iii) Sea X = e1, . . . , en la base canonica del K-espacio An (K), y consideremos

la matriz

F =

f11 · · · f1n...

...fn1 · · · fnn

.Notemos quemX (α′) = F , entonces α se puede definir matricialmente en la siguienteforma:

α (a1 . . . , an) = [a1 · · · an]F T + [f10 · · · fn0] .

De igual manera, si β es otro cambio afın de coordenadas definido matricialmentepor

β (a1 . . . , an) = [a1 · · · an]HT + [h10 · · ·hn0] ,


entonces β α es una funcion biyectiva de An (K) en An (K) definida matricialmentepor

β α (a1 . . . , an) = [a1 · · · an]F THT + [f10 · · · fn0]HT + [h10 · · ·hn0] .

Es decir, β α es la compuesta de la transformacion lineal biyectiva definida porHF con la translacion definida por [f10 · · · fn0]H

T + [h10 · · ·hn0]. Esto muestra queβ α es un cambio afın de coordenadas.

(iv) Usando notacion matricial veamos que

α−1 (a1 . . . , an) = [a1 · · · an](F−1

)T+ [−f10 · · · − fn0]

(F−1

)T.

En efecto,

α−1 α (a1 . . . , an) = α−1([a1 · · · an]F T + [f10 · · · fn0]

)= [a1 · · · an]F T

(F−1

)T+ [f10 · · · fn0]

(F−1

)T+ [−f10 · · · − fn0]

(F−1

)T= [a1 · · · an] .

Tambien,

α α−1 (a1 . . . , an) = α([a1 · · · an]

(F−1

)T+ [−f10 · · · − fn0]

(F−1

)T)= [a1 · · · an]

(F−1

)TF T

+ [−f10 · · · − fn0](F−1

)TF T + [f10 · · · fn0]

= [a1 · · · an] .

(v) Sean λ1, . . . , λn ∈ K tales que λ1f1 + · · ·+ λnfn = 0. Usando la notacion dela definicion 2.3.1 se obtiene en particular que f11 · · · fn1

......

f1n · · · fnn

λ1

...λn

=

0...0

.

Pero sabemos que la matriz de este sistema es invertible (parte (ii)), luego λi = 0para cada 1 ≤ i ≤ n.

Ejemplo 2.3.3. Notemos que en la definicion de cambio de coordenadas no senecesita que K sea un cuerpo algebraicamente cerrado. Ası pues, un cambio decoordenadas en el plano real afın es por ejemplo

α : A2 (R)→ A2 (R)

(x, y) 7→ (2x− 3y + 2, x+ 7y − 8)


La componente lineal de este cambio es[2 −31 7

]y la traslacion viene dada por [2 − 8].

Ejemplo 2.3.4. Sean P = (a1, . . . , an) y Q = (b1, . . . , bn) puntos distintos deAn (K). La recta a traves de los puntos P y Q se define por

(a1 + t (b1 − a1) , . . . , an + t (bn − an)) | t ∈ K.

Si L es la recta que pasa por los puntos P yQ y si α es un cambio afın de coordenadas,entonces α (L) es la recta que pasa a traves de los puntos α (P ) y α (Q). En efecto,sea α : An (K)→ An (K) un cambio afın de coordenadas definido por los polinomioslineales f1, . . . , fn, y sea L = (a1 + t (b1 − a1) , . . . , an + t (bn − an)) | t ∈ K larecta que pasa por los puntos P = (a1, . . . an) y Q = (b1, . . . , bn). Entonces utilizandonotacion matricial se tiene para cada t ∈ K que

α (a1 + t (b1 − a1) , . . . , an + t (bn − an)) =

[a1 + t (b1 − a1) · · · an + t (bn − an)]F T + [f10 · · · fn0] =

[a1 · · · an]F T + [f10 · · · fn0] + t([b1 · · · bn]F T − [a1 · · · an]F T

)=

[a1 · · · an]F T + [f10 · · · fn0] +

t([b1 · · · bn]F T + [f10 · · · fn0]−

([a1 · · · an]F T + [f10 · · · fn0]

))=

α (P ) + t (α (Q)− α (P )) ,

es decir, α (L) = α (P ) + t (α (Q)− α (P )) | t ∈ K, pero esta es la recta que pasapor los puntos α (P ) y α (Q).

Ejemplo 2.3.5. Sean P, P ′ ∈ A2 (K) dos puntos, L1, L2 dos rectas distintas a travesde P y L′1, L

′2 dos rectas distintas a traves de P ′. Veamos que existe un cambio afın

de coordenadas α de A2 (K) tal que α (P ) = P ′ y α (Li) = L′i, i = 1, 2.Sean P = (p1, p2) , P

′ = (p′1, p′2), L1 la recta a traves de los puntos P y Q =

(q1, q2), Q 6= P , L2 la recta a traves de los puntos P y R = (r1, r2), con R 6= P ,R 6= Q. De igual manera, sea L′1 la recta a traves de los puntos P ′ y Q′ = (q′1, q

′2),

Q′ 6= P ′, L′2 la recta a traves de los puntos P ′ y R′ = (r′1, r′2), con R′ 6= P ′, R′ 6= Q′.

Queremos encontrar a, b, c, d, e, f en K tales que

α : A2 (K)→ A2 (K)

(x, y) 7→ (a+ bx+ cy, d+ ex+ fy)

sea un cambio afın de coordenadas con

α (P ) = P ′, α (Li) = L′i, i = 1, 2.


Estas condiciones se pueden escribir de la siguiente manera:

(a+ bp1 + cp2, d+ ep1 + fp2) = (p′1, p′2)⇒

a+ bp1 + cp2 = p′1 , d+ ep1 + fp2 = p′2α (P ) + t (α (Q)− α (P )) = P ′ + t1 (Q′ − P ′)⇒ podemos tomar t = t1 y α (Q) = Q′

α (P ) + t (α (R)− α (P )) = P ′ + t2 (R′ − P ′)⇒ podemos tomar t = t2 y α (R) = R′.

Con estas condiciones se inducen los siguientes sistemas lineales: 1 p1 p2

1 q1 q21 r1 r2

abc

=

p′1q′1r′1

1 p1 p2

1 q1 q21 r1 r2

def

=

p′2q′2r′2

.Si la matriz de coeficientes tiene inversa, entonces cada uno de los sistemas tienesolucion unica y α se puede construir. La matriz de coeficientes se puede transformarpor medio de operaciones elementales de fila en la matriz

A =

1 p1 p2

0 q1 − p1 q2 − p2

0 r1 − p1 r2 − p2

.A tiene inversa si, y solo si, det(A) = (q1 − p1) (r2 − p2) − (r1 − p1) (q2 − p2) 6= 0.Supongamos que det(A) = 0, entonces

(q1 − p1) (r2 − p2) = (r1 − p1) (q2 − p2) (1)

Consideremos los siguientes casos:Caso 1. q1 − p1 6= 0, r1 − p1 6= 0, entonces

mQP =q2 − p2

q1 − p1

=r2 − p2

r1 − p1

= mRP

y por lo tanto P,Q,R son colineales, pero esto contradice la condicion L1 6= L2.Caso 2. q1 − p1 6= 0, r1 − p1 = 0. Ya que P 6= R, entonces r2 − p2 6= 0, pero esto

contradice (1).Caso 3. q1 − p1 = 0, r1 − p1 6= 0. Ya que P 6= Q, entonces q2 − p2 6= 0, pero esto

contradice (1).Caso 4. q1− p1 = 0, r1− p1 = 0. Esta situacion es imposible, de lo contrario P,Q

y R serıan colineales.Se obtiene entonces que existe el cambio afın α con las condiciones requeridas.


Ejemplo 2.3.6. Un subconjunto V de An (K) se dice que es una subvariedadlineal de An (K) si V = V (g1, . . . , gr) para ciertos polinomios g1, . . . , gr de grado 1.

(a) Veamos que si α es un cambio afın de coordenadas de An (K), entoncesα−1 (V ) es tambien una subvariedad lineal de An (K): Sea α definido por los poli-nomios f1, . . . , fn de grado 1 y sea J := 〈g1, . . . , gr〉. Por el corolario 2.2.8, α−1 (V ) =V (〈g (f1, . . . , fn) | g ∈ J〉), pero claramente

V (〈g (f1, . . . , fn) | g ∈ J〉) = V (g1 (f1, . . . , fn) , . . . , gr (f1, . . . , fn)),

y notemos que g1 (f1, . . . , fn) , . . . , gr (f1, . . . , fn) son polinomios de grado 1.(b) Veamos ahora que si V 6= ∅, entonces existe un cambio afın de coordenadas α

de An (K) tal que α−1 (V ) = V (xm+1, . . . , xn). La prueba la realizamos por induccionsobre r. Para r = 1, sea g := g0 +g1x1 + · · ·+gnxn de grado 1, luego existe 1 ≤ i ≤ ntal que gi 6= 0. Sin perdida de generalidad (es decir, mediante un cambio afın decoordenadas que intercambia el nombre de las variables) podemos asumir que gn 6= 0.Consideremos el cambio afın de coordenadas β definido por

β (a1 . . . , an) := [a1 · · · an]F T + [0 · · · g0] ,

donde

F :=

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

...g1 g2 · · · gn

.

Los polinomios de este cambio de coordenadas son f1 := x1, f2 := x2, . . . , fn := g.Sea (a1, . . . , an) ∈ V (g), entonces g0 + g1a1 + · · · + gnan = 0 y β(a1, . . . , an) =(a1, a2, . . . , 0) ∈ V (xn). Ası pues β(V (g)) ⊆ V (xn). Recıprocamente, si (a1, . . . , an) ∈V (xn), entonces an = 0 y notese que (a1, a2, . . . , 0) = β(b1, . . . , bn), donde

bn := −( g0gn

+ g1gna1 + · · ·+ gn−1

gnan), bi := ai para 1 ≤ i ≤ n− 1.

Pero (b1, . . . , bn) ∈ V (g), es decir, V (xn) ⊆ β(V (g)). Hemos pues demostrado queβ(V (g)) = V (xn). Por lo tanto tomamos α := β−1, y el caso r = 1 esta proba-do. Sea V = V (g1, . . . , gr), con g1, . . . , gr polinomios de grado 1. Entonces V =V (g1, . . . , gr−1) ∩ V (gr); por induccion existe un cambio afın de coordenadas θ talque θ−1(V (g1, . . . , gr−1)) = V (xm+1, . . . , xn). Se tiene entonces que

θ−1(V ) = θ−1(V (g1, . . . , gr−1)) ∩ θ−1(V (gr)) = V (xm+1, . . . , xn) ∩ V (g′),

donde g′ es un polinomio de grado 1 (vease la parte (a)). Como vimos en el ca-so r = 1, existe un cambio β de coordenadas tal que β(V (g′)) = V (xn). Noteseque β(V (xm+1, . . . , xn)) = V (xm+1, . . . , xn), luego βθ−1(V ) = V (xm+1, . . . , xn). En-tonces, tomando α := θβ−1 se tiene que α−1(V ) = V (xm+1, . . . , xn).

2.4. FUNCIONES RACIONALES Y ANILLOS LOCALES 41

(c) Probemos ahora que m en el literal (b) es independiente de α. Se ten-dra entonces que V es isomorfo como variedad a Am (K), y se dira que m es ladimension de V . Sean α, β dos cambios afines de coordenadas tales que α−1(V ) =V (xm+1, . . . , xn) y β−1(V ) = V (xs+1, . . . , xn). Entonces β−1α(V (xm+1, . . . , xn)) =V (xs+1, . . . , xn). Sea θ := α−1β, entonces θ−1(V (xm+1, . . . , xn)) = V (xs+1, . . . , xn).Supongamos que m 6= s, digamos m < s. Sean f1, . . . , fn los polinomios del cambioafın θ. Se puede probar que los polinomios fm+1, . . . , fn resultan linealmente depen-dientes (vease el ejercicio 6 del presente capıtulo), lo cual resulta contradictorio conla proposicion 2.3.2, parte (v).

2.4. Funciones racionales y anillos locales

Sea V una variedad no vacıa de An (K) y sea A (V ) = K[x1, . . . , xn]/I(V ) su algebraafın asociada (anillo de coordenadas). Recordemos que A (V ) es un DI ya que I(V )es primo.

Definicion 2.4.1. El cuerpo de fracciones K(V ) del dominio A (V ) se denomina

cuerpo de funciones racionales sobre la variedad V . Sea f ∈ K (V ) una

funcion racional y sea P ∈ V , se dice que f esta definida en el punto P siexisten g, h ∈ A (V ) tales que f = g

hcon h (P ) 6= 0. f no esta definida en P si para

cada representacion f = g

hse cumple que h(P ) = 0.

Observacion 2.4.2. (i) Notemos que existen diferentes maneras de expresar f como

cociente de funcionales polinomiales, decimos entonces que f esta definida en P sies posible encontrar un denominador para f el cual no se anula en P .

(ii) Segun la proposicion 2.1.5, los elementos de A(V ) se pueden identificar con

funciones (funcionales) de V en K. Notemos que si f = g

h∈ K(V ) esta definida en

un punto P ∈ V , entonces para otra representacion f = g′

h′se tiene que g(P )

h(P )= g′(P )

h′(P ).

En efecto, como g

h= g′

h′, entonces gh′ − hg′ ∈ I(V ), luego g(P )h′(P ) = h(P )g′(P ).

Esto hace que f(P ) := g(P )h(P )

sea una definicion correcta.

(iii) Si A (V ) es un DFU , entonces existe esencialmente una unica representacion

f = g

h, en la cual g y h no tienen factores comunes (la unicidad es salvo constantes

no nulas de K). En este caso f esta definida en el punto P si, y solo si, h (P ) 6= 0.

Teorema 2.4.3. Sea V una variedad no vacıa de An (K) y sea P ∈ V . Entonces,

(i) El conjunto LP (V ) de funciones racionales que estan definidas en P es unDI noetheriano local tal que K ⊆ A(V ) ⊆ LP (V ) ⊆ K(V ), y se denomina elanillo local de la variedad V en el punto P .


(ii) Sea f ∈ K(V ) una funcion racional, el conjunto de puntos Q ∈ V en los

cuales f no esta definida es un subconjunto algebraico de V y se denomina elconjunto de polos de f .

(iii) A (V ) =⋂P∈VLP (V ).

Demostracion. (i) Es claro que LP (V ) es un anillo y K ⊆ A(V ) ⊆ LP (V ) ⊆ K(V ),con lo cual LP (V ) es un DI. Sea I un ideal de LP (V ), sabemos que A(V ) es

noetheriano, sean f11, . . . , fr

1los generadores del ideal A(V ) ∩ I de A(V ). Veamos

que f11, . . . , fr

1generan a I como ideal de LP (V ). En efecto, sea f ∈ I, existen

g, h ∈ A (V ) tales que f = g

hy h (P ) 6= 0, de esta forma fh ∈ A (V ) ∩ I y f h

1=

g11f11

+· · ·+ gr

1fr

1, donde gi ∈ A (V ) , 1 ≤ i ≤ r. Se tiene entonces f = g1

hf1+· · ·+ gr

hfr,

con gi

h∈ LP (V ) , 1 ≤ i ≤ r.

Veamos ahora que LP (V ) es local: consideremos el conjunto

MP (V ) := f =g

h∈ LP (V ) | g (P ) = 0.

Notemos que si f = pq

entonces g

h= p

q, de donde gq = hp y de esta forma

(gq − hp) (P ) = 0, pero como g (P ) = 0 y h (P ) 6= 0, entonces necesariamentep (P ) = 0. MP (V ) es un ideal maximal de LP (V ). En efecto, es claro que LP (V )es un ideal. Veamos ahora que MP (V ) = LP (V ) − LP (V )∗: si g

h∈ MP (V ) en-

tonces g (P ) = 0, supongamos que g

hes invertible, entonces existe p

q∈ LP (V ) tal

que g

h

pq

= 11, por lo tanto gp = hq y de esta forma (gp− hq) (P ) = 0, pero como

g (P ) = 0, entonces h (P ) = 0 o q (P ) = 0, lo cual es falso. Recıprocamente, supon-

gamos que g

h/∈ LP (V )∗ pero g

h/∈MP (V ), entonces g (P ) 6= 0 con lo cual h

g∈ LP (V )

y ademas g

hhg

= 11, pero esto es una contradiccion.

Adicionalmente, consideremos la funcion evaluacion en el punto P :

LP (V )→ Kg

h7→ g (P )

h (P )

Esta funcion esta bien definida ya que si g

h= p

qentonces gq = hp y de esta forma

gq − hp ∈ I(V ), con lo cual (gq − hp) (P ) = 0, es decir, g(P )h(P )

= p(P )q(P )

. Esta funcion

es un homomorfismo sobreyectivo de anillos con nucleo MP (V ), por lo tanto, K ∼=LP (V ) /MP (V ).

(ii) Sea f = g

h∈ K(V ) y sea P(f) su conjunto de polos, consideremos el conjunto

Jf := p ∈ K[x1, . . . , xn] | pf ∈ A(V ).


Notemos que Jf es un ideal de K[x1, . . . , xn] que contiene a I(V ): Jf es no vacıo

ya que contiene a I(V ), sean p1, p2 ∈ Jf , entonces p1f , p2f ∈ A(V ), con lo cualp1 + p2 ∈ Jf . De igual manera, para cada u ∈ K[x1, . . . , xn] se tiene que up1 ∈ Jf .

Probemos entonces queP(f) = V (Jf ).

En efecto, sea Q ∈ P(f), entonces h (Q) = 0 para cada denominador h en la

representacion de f . Sea p ∈ Jf , entonces pf ∈ A(V ), es decir, p gh

= t ∈ A(V ), por

lo tanto, pg − ht ∈ I(V ), luego p (Q) g (Q) = 0. Si p (Q) 6= 0, entonces g

h= t

pserıa

otra representacion de f pero en la cual f si esta definida. Esto contradice el hechoque Q ∈ P(f), por lo tanto p (Q) = 0 y de esta forma Q ∈ V (Jf ). Recıprocamente,

sea Q ∈ V (Jf ), entonces para cada p ∈ Jf se tiene que p (Q) = 0, sea f = g

huna

representacion cualquiera de f , entonces como h ∈ Jf se tiene que h (Q) = 0, es

decir, Q ∈ P(f).(iii) Puesto que A(V ) ⊆ LP (V ) para cada P ∈ V , entonces A (V ) ⊆

⋂P∈VLP (V ).

Sea f ∈⋂P∈VLP (V ), entonces f esta definido en cada punto P ∈ V , es decir, P(f) =

V (Jf ) = ∅, luego Jf = K[x1, . . . , xn], de donde f ∈ A(V ).

Teorema 2.4.4. Sea LP (V ) el anillo local de la variedad V en el punto P . Existeuna correspondencia biyectiva entre los ideales primos de LP (V ) y las subvariedadesde V que contienen a P . El maximal MP (V ) corresponde al punto P .

Demostracion. Sea A := W | W ⊆ V es algebraico y sea R := I | I es un idealradical de A(V ). En la proposicion 2.1.6 vimos que a cada algebraico W contenidoen V se le asigna el ideal radical J/I(V ), donde W := V (J) y J es un ideal radicalde K[x1, . . . , xn]. Vimos que en realidad J es unico para W , J = I(W ), de estamanera la asignacion es

A β−→ RW 7→ IV (W ) := I(W )/I(V ).

Segun establecimos, los irreducibles de V , es decir las subvariedades de V , vanen primos de A(V ) y los puntos en ideales maximales. Sabemos que A(V ) es unsubanillo de LP (V ). Sea Spec(LP (V )) la coleccion de primos de LP (V ) y sea SPla coleccion de subvariedades de V que contienen al punto P . Definimos entonces lafuncion

Spec(LP (V ))β−→ SP

J 7→ β−1 (J ∩ A(V ))


Como J es primo entonces J ∩ A(V ) es primo en A(V ), y por lo tanto, W =β−1 (J ∩ A(V )) es una subvariedad de V . Veamos que W contiene a P : tenemos queV (I(W )) = W y ademas β(W ) = I(W )/I(V ) = J ∩ A(V ), sea f ∈ I(W ), entonces

f ∈ J ∩ A(V ), en particular f1∈ J ⊆ MP (V ), luego f(P ) = 0. Esto garantiza que

P ∈ W .β es inyectiva: sean J1, J2 primos de LP (V ) tales que

β−1 (J1 ∩ A(V )) = β−1 (J2 ∩ A(V )),

como β−1 es inyectiva entonces J1 ∩ A(V ) = J2 ∩ A(V ). Sea g

h∈ J1, entonces

h gh∈ J1 ∩ A(V ), luego h g

h∈ J2 ∩ A(V ), es decir, h g

h∈ J2, pero h(P ) 6= 0, en

consecuencia h /∈ MP (V ), es decir, h ∈ LP (V )∗, y por lo tanto, g

h∈ J2. Hemos

probado que J1 ⊆ J2, por la simetrıa del problema se tiene que J1 = J2.Resta probar que β es sobreyectiva: sea W = V (I(W )) una subvariedad de V que

contiene al punto P , es decir, para cada polinomio g ∈ I(W ), g(P ) = 0. Sabemos queI(W ) es primo de A(V ), consideremos la coleccion J de elementos g

hde LP (V ) tales

que g ∈ I(W ), notemos que J ⊆MP (V ). Veamos que J es un ideal primo de LP (V ):

sean g

h, pq∈ J , con g, p ∈ I(W ), entonces g

h+ p

q= gq+hp

hq= gq+hp

hqy gq+hp ∈ I(W ). De

igual manera, g

hab

= ga

hby ga ∈ I(W ). Notemos tambien que J es propio. En efecto,

si 11∈ J , entonces 1

1= g

hcon g ∈ I(W ), luego h− g ∈ I(V ) ⊆ I(W ), con lo cual h ∈

I(W ) y de esta forma h(P ) = 0, pero esto es falso. Ahora, sean g

h, ab∈ LP (V ) tales

que g

hab

= ga

hb∈ J , entonces ga

hb= p

q, con p ∈ I(W ), luego gaq−hbp ∈ I(V ) ⊆ I(W ), de

modo que gaq ∈ I(W ), pero q /∈ I(W ) ya que de lo contrario q(P ) = 0, por lo tanto,ga ∈ I(W ), de donde g ∈ I(W ) o a ∈ I(W ). Esto demuestra que g

h∈ J o a

b∈ J .

Finalmente veamos que β (J) = β−1 (J ∩ A(V )) = W : en efecto, J ∩ A(V ) constade los elementos de la forma g

htales que g ∈ I(W ) y ademas g

h∈ A(V ), esto indica

que g

h= a

1con a ∈ A(V ), luego g − ha ∈ I(V ) ⊆ I(W ), con lo cual ha ∈ I(W ),

pero h /∈ I(W ) ya que h (P ) 6= 0, por lo tanto, a ∈ I(W ). Se tiene entoncesque J ∩ A(V ) ⊆ I(W )/I(V ). Recıprocamente, si a ∈ I(W )/I(V ) con a ∈ I(W )entonces a

1∈ A(V ) ∩ J . Ası pues, hemos mostrado que J ∩ A(V ) = I(W )/I(V ),

con lo cual β−1 (J ∩ A(V )) = β−1 (I(W )/I(V )) = W . Esto completa la prueba dela sobreyectividad.

Veamos la ultima afirmacion del teorema. β(MP (V )) = β−1(MP (V ) ∩ A(V )) esirreducible y contiene a P , pero notemos que MP (V )∩A(V ) consta de los elementos

de la forma f1

con f(P ) = 0, es decir, f ∈ I(P ), por lo tanto, MP (V ) ∩ A(V ) =

I(P )/I(V ), con lo cual, β(MP (V )) = P.

Teorema 2.4.5. Sea α : V → W un morfismo polinomial de variedades afinesno vacıas y sea ϕα : A(W ) → A(V ) el homomorfismo correspondiente de algebrasafines. Sea P ∈ V y Q = α (P ) ∈ W . Entonces,


(i) ϕα se extiende de manera unica a un homomorfismo, denotado por ϕα, deLQ (W ) en LP (V ).

(ii) ϕα (MQ (W )) ⊆ MP (V ).

(iii) Si α es sobreyectivo, entonces ϕα se extiende de manera unica a K(W ).

(iv) Si α es un isomorfismo, entonces A(W ) ∼= A(V ), LQ (W ) ∼= LP (V ) conϕα (MQ (W )) = MP (V ), y K (W ) ∼= K(V ).

Demostracion. (i) Sea

α : V → W

(a1, . . . , an) 7→ (f1 (a1, . . . , an) , . . . , fm (a1, . . . , an)) .

Tenemos

ϕα : A(W )→ A(V )

t 7→ t (f1, . . . , fm)

Definimos entonces

ϕα : LQ (W )→ LP (V )

t

g7→ t (f1, . . . , fm)

g (f1, . . . , fm).

Notemos que g (f1, . . . , fm) (P ) = g (f1 (P ) , . . . , fm (P )) = g (α (P )) = g (Q) 6= 0.

Veamos ahora que ϕα esta bien definida: si tg

= t′

g′, entonces tg′ − gt′ ∈ I(W ), y

para cada punto R ∈ W se tiene que (tg′ − gt′) (R) = 0. De otra parte, t(f1,...,fm)

g(f1,...,fm)=

t′(f1,...,fm)

g′(f1,...,fm)ya que

t (f1, . . . , fm) g′ (f1, . . . , fm)− g (f1, . . . , fm) t′ (f1, . . . , fm) =(tg′ − gt′) (f1, . . . , fm) ∈ I(V ).

En efecto, si U ∈ V entonces α(U) ∈ W y

(tg′ − gt′) (f1, . . . , fm) (U) = (tg′ − gt′) (f1 (U) , . . . , fm (U))

= (tg′ − gt′) (α(U))

= 0.

Es claro que ϕα es un homomorfismo de anillos.Notemos que ϕα |A(W )= ϕα. Sea θ otro homomorfismo de anillos

θ : LQ (W )→ LP (V )

tal que θ |A(W )= ϕα, y sea tg∈ LQ (W ) con g (Q) 6= 0, entonces


θ(g1tg

)= θ

(g1

)θ(tg

)= ϕα (g) θ

(tg

)= θ

(t1

)= ϕα

(t).

Si ϕα (g) 6= 0, entonces, θ(tg

)=

ϕα(t)ϕα(g)

= t(f1,...,fm)

g(f1,...,fm)= ϕα

(tg

). Si ϕα (g) = 0 =

g (f1, . . . , fm), entonces g (f1, . . . , fm) ∈ I(V ), puego g (f1 (P ) , . . . , fm(P )) = 0, esdecir, g(Q) = 0, pero esto es una contradiccion.

(ii) Sea tg∈ MQ (W ), entonces t (Q) = 0, y por lo tanto t (f1, . . . , fm) (P ) =

t (f1 (P ) , . . . , fm (P )) = t (α (P )) = t (Q) = 0, es decir, ϕα

(tg

)= t(f1,...,fm)

g(f1,...,fm)∈

MP (V ). Esto muestra que ϕα (MQ (W )) ⊆ MP (V ).(iii) Veamos primero que si α no es sobreyectivo, entonces no necesariamente

ϕα se puede extender a todo K(W ). Sea θ un homomorfismo de anillos de K(W )

en K(V ) tal que su restriccion a A(W ) coincide con ϕα. Como antes, θ(g1

1g

)=

θ(g1

)θ(

1g

)= ϕα (g) θ

(1g

)= θ

(11

)= 1. Pero en este caso ϕα (g) = g (f1, . . . , fm)

podrıa ser nulo sin que g sea nulo. Es decir, g (f1, . . . , fm) podrıa anularse en todoslos puntos de V para g /∈ I(W ). Por tal razon, no siempre podrıamos extender ϕαhasta K(V ).

Si α es sobreyectivo, entonces ϕα se extiende de manera unica. En efecto, si ges no nulo, entonces g /∈ I (W ), es decir, existe R ∈ W tal que g (R) 6= 0, por ser αsobreyectivo existe S ∈ V tal que α (S) = R. En consecuencia, g (f1, . . . , fm) (S) =g (α (S)) = g (R) 6= 0, lo cual indica que g (f1, . . . , fm) 6= 0. De esta forma, tal y como

vimos antes, si θ extiende a ϕα, entonces necesariamente θ(tg

)= t(f1,...,fm)

g(f1,...,fm)= ϕα(t)

ϕα(g).

(iv) Por el corolario 2.2.5 sabemos si α es un isomorfismo de variedades, entoncesϕα es un isomorfismo de algebras afines. En forma mas precisa, si α−1 es el morfismoinverso de α definido por

α−1 : W → V

(b1, . . . , bm) 7→ (f ′1 (b1, . . . , bm) , . . . , f ′n (b1, . . . , bm)) ,

con f ′1 . . . , f′n ∈ K[y1, . . . , ym], entonces

ϕα−1 : A(V )→ A(W )

f 7→ f (f ′1, . . . , f′n)

es el homomorfismo inverso de ϕα, es decir, ϕα−1 ϕα = ϕαα−1 = ϕiW = iA(W ) ytambien ϕα ϕα−1 = ϕα−1α = ϕiV = iA(V ).

Para los anillos locales tenemos entonces

ϕα−1 : LP (V )→ LQ (W )

f

h7→ f (f ′1, . . . , f

′n)

h (f ′1, . . . , f′n)


de tal forma que

ϕα−1 ϕα(t

g

)= ϕα−1

(t (f1, . . . , fm)

g (f1, . . . , fm)

)

=t (f1 (f ′1, . . . , f

′n) , . . . , fm (f ′1, . . . , f

′n))

g (f1 (f ′1, . . . , f′n) , . . . , fm (f ′1, . . . , f

′n))

=t

g

y

ϕα ϕα−1

(f

h

)= ϕα

(f (f ′1, . . . , f

′n)

h (f ′1, . . . , f′n)

)

=f (f ′1 (f1, . . . , fm) , . . . , f ′n (f1, . . . , fm))

h (f ′1 (f1, . . . , fm) , . . . , f ′n ((f1, . . . , fm)))

=f

h.

Estas igualdades se cumplen ya que por ejemplo para cada punto B = (b1, . . . , bm) ∈W se tiene que

t (f1 (f ′1, . . . , f′n) , . . . , fm (f ′1, . . . , f

′n)) (B) g (B)−

g (f1 (f ′1, . . . , f′n) , . . . , fm (f ′1, . . . , f

′n)) (B) t (B) =

t (f1 (f ′1 (B) , . . . , f ′n (B)) , . . . , fm (f ′1 (B) , . . . , f ′n (B))) g (B)−g (f1 (f ′1 (B) , . . . , f ′n (B)) , . . . , fm (f ′1 (B) , . . . , f ′n (B))) t (B) =

t (B) g (B)− g (B) t (B) = 0.

De igual manera se tiene la otra identidad. Hemos mostrado entonces que ϕα es unisomorfismo y que (ϕα)

−1 = ϕα−1 . Segun el numeral (ii), ϕα (MQ (W )) ⊆ MP (V ),pero como ϕα es un isomorfismo de anillos, entonces un ideal maximal es enviadoen un ideal maximal, por tanto, ϕα (MQ (W )) = MP (V ).

Para el isomorfismo de los cuerpos de funciones racionales tenemos lo siguiente:al final de la prueba del numeral (iii) vimos que si α es sobreyectivo, entonces ϕα

se extiende a un homomorfismo θ = ˜ϕα : K(W ) → K(V ) dado por ˜ϕα ( tg) =

t(f1,...,fm)

g(f1,...,fm)=

ϕα(t)ϕα(g)

. De igual manera se tiene el homomorfismo ˜ϕα−1 . Al igual que

vimos hace un momento, ˜ϕα es un isomorfismo con (˜ϕα)−1 = ˜ϕα−1 .

Corolario 2.4.6. Sea α : An (K) → An (K) un cambio afın de coordenadas, seanP ∈ An (K) y Q = α (P ). Entonces,


(i) ϕα : LQ (An (K))→ LP (An (K)) es un isomorfismo.

(ii) Si V ⊆ An (K) es una variedad y P ∈ V , entonces existe un isomorfismo,tambien denotado por ϕα, de LQ (α (V )) en LP (V ) tal que ϕα (MQ (α (V ))) =MP (V ).

Demostracion. (i) Basta repetir los razonamientos de la prueba del teorema anteriorpero teniendo en cuenta que en este caso A (An (K)) = K[x1, . . . , xn]/I (An (K)) =K[x1, . . . , xn]/0 (ya que K es infinito por ser algebraicamente cerrado). Por tan-to, A (An (K)) = K[x1, . . . , xn] y K (An (K)) = K (x1, . . . , xn) es el cuerpo de lasfracciones racionales. Para ϕα se tiene entonces en este caso

ϕα : LQ (An (K))→ LP (An (K))

t

g7→ t (f1, . . . , fn)

g (f1, . . . , fn)

y para ϕα−1

ϕα−1 : LP (An (K))→ LQ (An (K))

f

h7→ f (f ′1, . . . , f

′n)

h (f ′1, . . . , f′n).

(ii) Para la segunda parte notemos que la restriccion de α a V es tambien unisomorfismo de variedades de V en α(V ), V

α−→ α(V ): en efecto, α(V ) es algebraico yaque α−1 es tambien un morfismo polinomial y (α−1)−1(V ) = α(V ) (vease el corolario2.2.8). Ademas, α(V ) es una variedad ya que α−1(α(V )) = V es una variedad. Elresto es aplicar la parte (iv) del teorema anterior.

2.5. Ideales con un numero finito de ceros

En el corolario 1.7.5 vimos que si V (I) es finito, el numero de puntos de V (I)esta acotado por dimK(K[x1, . . . , xn]/I). Veremos en la presente seccion una esti-macion precisa para esta dimension.

Teorema 2.5.1. Sea I un ideal propio de K[x1, . . . , xn] tal que V (I) = P1, . . . , Pres finito no vacıo. Entonces,

K[x1, . . . , xn]/I ∼=r∏i=1

LPi(An (K))/ILPi

(An (K)) .

En particular, si V (I) = P, entonces

K[x1, . . . , xn]/I ∼= LP (An (K)) /ILP (An (K)).

2.5. IDEALES CON UN NUMERO FINITO DE CEROS 49

Demostracion. Sea Li := LPi(An (K)). Puesto que I (An (K)) = 0, entonces para la

situacion que estamos estudiando se tiene que A (An (K)) = K[x1, . . . , xn]. Esto haceque los elementos de Li sean de la forma p

qcon q (Pi) 6= 0. Se tiene un homomorfismo

natural bien definido ϕ de K-algebras dado por

ϕ : K[x1, . . . , xn]/I →r∏i=1

(Li/ILi)

f 7→(f

1, . . . ,

f

1

)Veamos que ker (ϕ) = 0: sea f ∈ ker (ϕ), entonces para cada 1 ≤ i ≤ r se tiene

que f1

= 01. Luego f

1∈ ILi y f

1= a1

1h1

g1+ · · · + as

1hs

gs, donde los polinomios g1, . . . , gs

no se anulan en Pi y a1, . . . , as ∈ I. Racionalizando denominadores encontramos unpolinomio ui tal que fui ∈ I y ui (Pi) 6= 0. Es decir, por cada i hemos encontradoun polinomio ui ∈ K[x1, . . . , xn] tal que

fui ∈ I y ui (Pi) 6= 0. (2.5.1)

De otra parte, sabemos que existen polinomios f1, . . . , fr tales que fi (Pi) = 1 yfi (Pj) = 0 para cada j 6= i. Definimos

ei := 1−(1− fdi

)ddonde d ≥ 1 se define de la siguiente forma: consideremos los ideales Ii := I (Pi),estos ideales son maximales y contienen a I, ademas V (I) = P1, . . . Pr, luego√I = I (V (I)) = I (P1, . . . Pr) =

⋂ri=1 I (Pi) =

⋂ri=1 Ii. Como

⋂ri=1 Ii es f.g.

existe entonces d ≥ 1 tal que (⋂ri=1 Ii)

d ⊆ I. En efecto, se tiene la siguiente propiedad

general: sean I, J ideales de un anillo conmutativo S tales que J ⊆√I, con J f.g,

entonces existe un d ≥ 1 tal que Jd ⊆ I: para cada generador zi de J existe undi ≥ 1 tal que zdi

i ∈ I, si J = 〈z1, . . . , zt〉, entonces d := d1 + · · · + dt satisface lacondicion pedida. Tambien se puede probar que

r⋂i=1

Idi =

(r⋂i=1

Ii

)d

. (2.5.2)

Veamos la prueba de esta igualdad. Comencemos con la siguiente propiedad general:sean I, J ideales de K[x1, . . . , xn], I, J son comaximales si y solo si V (I)∩V (J) = ∅.En efecto, como I + J = K[x1, . . . , xn], entonces V (I + J) = ∅ = V (I) ∩ V (J);recıprocamente, si ∅ = V (I) ∩ V (J) entonces I(V (I) ∩ V (J)) = I(V (I + J)) =I(∅) = K[x1, . . . , xn]; como K es algebraicamente cerrado,

√I + J = I(V (I + J)) =

K[x1, . . . , xn], por lo tanto, 1 ∈ I+J , es decir, I, J son comaximales. Ahora notemos


que si m,n ≥ 1, entonces Im, Jn son tambien comaximales: en efecto, V (Im) ∩V (Jn) = (V (I) ∪ · · · ∪ V (I)) ∩ (V (J) ∪ · · · ∪ V (J)) = V (I) ∩ V (J) = ∅. Ası pues,retornando al problema original encontramos que Idi y Idj son comaximales parai 6= j. Para para una familia finita de ideales comaximales en un anillo conmutativoR el producto coincide con la interseccion; la prueba de esta afirmacion la realizamospor induccion: para n = 2 tenemos que I1I2 ⊆ I1∩I2, pero como I1+I2 = R, entonces(I1 + I2)(I1∩ I2) = I1∩ I2 = I1(I1∩ I2)+ I2(I1∩ I2) ⊆ I1I2. Supongamos el resultadocierto para n − 1 ideales y sean I1, . . . , In−1, In ideales comaximales dos a dos, seaJ := I1 · · · In−1 = I1 ∩ · · · ∩ In−1; como Ii + In = R para cada 1 ≤ i ≤ n − 1,1 = ai + bi con ai ∈ Ii y bi ∈ In, por consiguiente, a1 · · · an−1 = (1− b1) · · · (1− bn−1)y de aquı se obtiene que 1 − (1 − b1) · · · (1 − bn−1) ∈ In, es decir, J + In = R. Enconsecuencia, I1 · · · In = JIn = J ∩ In = I1 ∩ · · · ∩ In.

Con los ingredientes anteriores podemos completar la prueba de la relacion(2.5.2): se tiene (I1 ∩ · · · ∩ Ir)d = (I1 · · · Ir)d = Id1 · · · Idr = ∩ri=1I

di .

De lo anterior se tiene quer⋂i=1

Idi ⊆ I. (2.5.3)

Notemos que para cada j 6= iei ∈ Idj (2.5.4)

ya que ei = 1−(1− fdi

)d=(1−

(1− fdi

))wi = fdi wi y fi ∈ Ij. Tambien, para cada

j se tiene que1− ej ∈ Idj . (2.5.5)

En efecto, 1− ej = 1− (1−(1− fdj

)d) = (1− fdj )d ∈ Idj ya que 1− fdj ∈ Ij.

De esto se obtiene que

1− (e1 + · · ·+ er) ∈ I, (2.5.6)

pues, 1 − (e1 + · · ·+ er) = (1− ej) + (e1 + · · ·+ ej−1 + ej+1 + · · ·+ er) ∈ Idj paracada j, luego 1− (e1 + · · ·+ er) ∈

⋂rk=1 I

dk ⊆ I.

De otra parte, se tiene la siguiente propiedad:(P) Dado ui ∈ K[x1, . . . , xn] tal que ui (Pi) 6= 0 existe ti ∈ K[x1, . . . , xn] tal que

zi := uiti − ei ∈ I. En efecto, como ui (Pi) 6= 0 , podemos asumir que ui (Pi) = 1.Sea hi := 1− ui, entonces el elemento ti buscado es ti := ei + hiei + · · ·+ hd−1

i ei. Enefecto, zi = (1− hi)

(ei + hiei + · · ·+ hd−1

i ei)− ei = (1 − hdi )ei − ei = −hdi ei, pero

hi ∈ Ii = I (Pi) y de esta forma hdi ei ∈ Idi ei ⊆ Idi pero ei ∈ Idj con j 6= i, luegohdi ei ∈ Idk para todo k , por lo tanto, hdi ei ∈

⋂rk=1 I

dk ⊆ I.

Usando (P) se tiene entonces que f (1− (e1 + · · ·+ er)) ∈ I , de donde f−fe1−· · · − fer = f − f (u1t1 − z1)− · · · − f (urtr − zr) = f − fu1t1 − · · · − furtr − fz1 −· · · − fzr ∈ I, con lo cual f ∈ I (vease (2.5.1)), es decir, f = 0. Esto completa laprueba que ker (ϕ) = 0.

2.5. IDEALES CON UN NUMERO FINITO DE CEROS 51

ϕ es sobreyectivo: En primer lugar notemos que

ei2 = ei, para cada 1 ≤ i ≤ r

eiej = 0, para i 6= j

e1 + · · ·+ er = 1

En efecto, e2i − ei = ei (ei − 1), donde ei ∈ Idj para cada j 6= i (vease (2.5.4)),con lo cual ei (ei − 1) ∈ Idj para cada j 6= i, pero (ei − 1) ∈ Idi (vease (2.5.5)),con lo cual ei (ei − 1) ∈ Idi , es decir, ei (ei − 1) ∈ Idk para cada k. Esto implicaque ei (ei − 1) ∈

⋂rk=1 I

dk ⊆ I. Tambien, eiej ∈ I ya que ei ∈ Idj para cada j 6= i,

luego eiej ∈ Idj para cada j 6= i, pero ej ∈ Idi , luego eiej ∈ Idi , por lo tanto,

eiej ∈⋂rk=1 I

dk ⊆ I (vease (2.5.3)). La identidad e1 + · · · + er = 1 se obtiene de

1− (e1 + · · ·+ er) ∈ I (vease (2.5.6)).A partir de las anteriores identidades en el anillo Li/ILi se tiene que

ej1

=0

1para j 6= i

ei1

=1

1.

En efecto, como ei (Pi) = 1, entonces ei

1es invertible en Li, por lo tanto, ei

1es

tambien invertible en Li/ILi. Puesto que eiej = 0 en K[x1, . . . , xn]/I para j 6= i,

entonces aplicando ϕ se encuentra que ei

1

ej

1= 0

1en Li/ILi, y por la invertibilidad

de ei

1se deduce que

ej

1= 0

1para j 6= i. Aplicando ϕ a la identidad e1 + · · ·+ er = 1,

encontramos en Li/ILi que ei

1= 1

1.

Podemos ya probar la sobreyectividad. Sea z =(a1

u1, . . . , ar

ur

)∈∏r

i=1 (Li/ILi),con ui (Pi) 6= 0 para cada 1 ≤ i ≤ r, por (P) existe ti ∈ K[x1, . . . , xn] tal queuiti − ei ∈ I, es decir, uiti = ei en el anillo K[x1, . . . , xn]/I. En el anillo Li/ILi se

tiene entonces que ui

1ti1

= ei

1= 1

1, con lo cual ai

ui= ai

1ti1. Con esto se tiene que la

preimagen de z es a1t1e1 + · · ·+ ar trer: en efecto, en Li/ILi se tiene que

a1

1t11e11

+ · · ·+ ai

1ti1ei

1+ + · · ·+ ar

1tr1er

1= ai

1ti1ei

1= ai

1ti1

= ai

ui.

Corolario 2.5.2. Sea I un ideal propio de K[x1, . . . , xn] y sea V (I) = P1, . . . , Prfinito. Entonces, dimK (K[x1, . . . , xn]/I) =

∑ri=1 dimK (LPi

/ILPi).

Demostracion. Esto es consecuencia de que el isomorfismo del teorema anterior estambien una transformacion lineal.


2.6. Ejercicios

1. Sea f un polinomio irreducible de K[x, y] y supongase que f es monico en y:f = a0(x) + a1(x)y + · · ·+ an−1 (x) yn−1 + yn. Sea V = V (f). Demuestre queel homomorfismo natural de K[x] en A (V ) = K[x, y]/〈f〉 es inyectivo, y porlo tanto, K[x] puede ser visto como subanillo de K[x, y]/〈f〉. Ademas, pruebeque las clases 1, y, . . . , yn−1 generan a A (V ) como modulo sobre K[x] (vease[12]).

2. Demuestre que (t, t3, t2) ∈ A3 (K) | t ∈ K es una variedad.

3. Sea V = V (y2− x2 (x+ 1)) ⊆ A2 (K) y sean x, y los residuos de x, y en A(V ).

Sea f = yx∈ K(V ). Calcule P(f) y P((f)2).

4. Sean V := V (xw − yz) ⊆ A4(K) y x, y, z, w ∈ A(V ). Sea f := xy

= zw∈ K(V ).

Sea P cualquier punto en el cual f esta definida. Demuestre que f no se puederepresentar en la forma f = g

h, con g, h ∈ A(V ) y h(P ) 6= 0.

5. Para el ejercicio anterior, demuestre que P(f) = (a, b, c, d)|b = 0 y d = 0.

6. Complete la parte (c) del ejemplo 2.3.6.

Capıtulo 3

Propiedades locales de curvasplanas

El proposito central del presente capıtulo es estudiar los puntos singulares de unacurva plana y sus respectivas rectas tangentes.

3.1. Puntos multiples y rectas tangentes

Asumimos en este capıtulo que K es un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea fun polinomio no constante en K[x, y] y V (f) la curva plana correspondiente. Nosreferiremos a veces a la curva plana f para denotar V (f). Tambien escribiremosP = (a, b) ∈ f para indicar que P ∈ V (f).

Definicion 3.1.1. Sea P = (a, b) ∈ f , se dice que P es un punto simple de fsi ∂f

∂x(P ) 6= 0 o ∂f

∂y(P ) 6= 0. Tambien se dice en este caso que P es un punto no

singular de f . Si P es un punto simple de f se define la recta tangente a f enP por

∂f

∂x(P ) (x− a) +

∂f

∂y(P ) (y − b) = 0.

Un punto que no es simple se llama multiple, o tambien, punto singular.

Ejemplo 3.1.2. Calculemos los puntos singulares de las siguientes curvas planas:(a)

y − x2 = 0

∂f∂x

= −2x, ∂f∂y

= 1, por lo tanto, no existe P tal que ambas derivadas parciales seannulas, es decir, f no tiene puntos singulares. Notemos que la recta tangente a f enel punto P0 = (0, 0) es y = 0.

(b)y2 − x3 + x = 0

53

54 CAPITULO 3. PROPIEDADES LOCALES DE CURVAS PLANAS

∂f∂x

= −3x2 + 1, ∂f∂y

= 2y, entonces f no tiene puntos singulares. Notemos que en el

punto P0 = (0, 0) la recta tangente a f es x = 0.(c)

y2 − x3 = 0

∂f∂x

= −3x2, ∂f∂y

= 2y. Entonces el unico punto singular es P0 = (0, 0). En P0 la curvaf tiene dos rectas tangentes: y = 0, y = 0.

(d)y2 − x3 − x2 = 0

∂f∂x

= −3x2 − 2x, ∂f∂y

= 2y, entonces el unico punto singular es P0 = (0, 0). En P0 lacurva f tiene dos rectas tangentes y = x, y = −x.

(e) (x2 + y2

)2+ 3x2y − y3 = 0

∂f∂x

= 2 (x2 + y2) 2x + 6xy, ∂f∂y

= 2 (x2 + y2) 2y + 3x2 − 3y2. Sea P = (a, b) un puntosingular, entonces

4a(a2 + b2

)+ 6ab = 0 (1)

4b(a2 + b2

)+ 3a2 − 3b2 = 0 (2)(

a2 + b2)2

+ 3a2b− b3 = 0 (3)

Si a 6= 0, entonces de (1) se tiene que

2(a2 + b2

)= −3b (4)

reemplazando en (2) se obtiene

−9b2 + 3a2 = 0

es decir, a2 = 3b2. Podemos entonces reemplazar en (3) y obtener que 16b4+8b3 = 0,luego b = 0 o b = −1

2. En el primer caso obtenemos la contradiccion a = 0. En el

segundo caso a2 = 34

y entonces reemplazando en (4) se tiene que 2(34+ 1

4) 6= −3(−1

2).

Por lo tanto, b = 0 y a = 0. Es decir, el unico punto singular es P0 = (0, 0). Lasrectas tangentes a f en dicho punto son 3x2y − y3 = y (3x2 − y2) = 0, es decir,y = 0, y =

√3x, y = −

√3x.

Observando los ejemplos anteriores se puede presentar la siguiente definicion.

Definicion 3.1.3. Sea f = fm + fm+1 + fm+2 + · · · + fd una curva plana escritacomo una suma de formas (polinomios homogeneos) de grados m,m+1,m+2 . . . , d.La multiplicidad de f en P0 = (0, 0) es m y se denota por

mP0 (f) = m.

3.1. PUNTOS MULTIPLES Y RECTAS TANGENTES 55

Notemos queP0 ∈ f ⇔ mP0 (f) ≥ 1.

Ademas,P0 es un punto simple ⇔ mP0 (f) = 1.

En este caso la recta tangente a f en el punto P0 es de la forma f1 = ax+ by.Segun lo anterior,

P0 es un punto multiple⇔ mP0 (f) ≥ 2.

De esta forma, mP0 (f) es un parametro de f portador de informacion sobre lospuntos singulares y las respectivas rectas tangentes.

Definicion 3.1.4. Sea f = fm+ fm+1 + · · ·+ fd la descomposicion de la curva f ensuma de polinomios homogeneos, y sea fm ∈ k[x, y] de grado m ≥ 2, factorizado enun producto de polinomios lineales (posiblemente con multiplicidades) en la forma

fm = ps11 · · · pstt .

Las rectas tangentes a f en P0 se definen por pi = 0 cada una con multiplicidadsi, 1 ≤ i ≤ t.

Proposicion 3.1.5. Sea f = hr11 · · ·hrtt la descomposicion de una curva plana f enproducto de factores irreducibles. Entonces,

mP0 (f) = r1mP0 (h1) + · · ·+ rtmP0 (ht) .

Demostracion. Evidente.

La idea ahora es ampliar la nociones de multiplicidad y rectas tangentes a puntosP = (a, b) 6= (0, 0). Para esto consideremos el siguiente cambio afın de coordenadas(una traslacion en este caso)

α : A2 (K)→ A2 (K)

(x, y) 7→ (x+ a, y + b) .

Se tiene entonces que α (P0) = P y α(g) = f , donde g := f (x+ a, y + b). En efecto,seaQ := (x0, y0) ∈ g, entonces g(Q) = f (x0 + a, y0 + b) = 0 y α(Q) = (x0+a, y0+b),es decir, α(Q) ∈ f . Ası pues, α(g) ⊆ f . Recıprocamente, sea Q := (x0, y0) ∈ f ,entonces f(Q) = f(x0, y0) = 0 y α(Q′) = (x0, y0), con Q′ := (x0 − a, y0 − b) ∈ g, esdecir, f ⊆ α(g). Como P0 ∈ g = α−1(f), se induce entonces la siguiente definicion.

Definicion 3.1.6. Sea f una curva plana y P = (a, b) ∈ f , se define

mP (f) := mP0(g), donde g := f (x+ a, y + b) .


Notemos que sig = gm + gm+1 + · · ·+ gd

entoncesmP (f) = mP0 (g) = m.

Ademas, si gm = ps11 · · · pstt , donde pi = cix+qiy corresponde una tangente a g en P0,

entonces α(pi) = p′i, con p′i := ci (x− a)+qi (y − b). En efecto, sea Q := (x0, y0) ∈ pi,entonces, cix0 + qiy0 = 0 y α(Q) = (x0 + a, y0 + b) ∈ p′i. Ası pues, α(pi) ⊆ p′i.Recıprocamente, sea Q := (x0, y0) ∈ p′i, entonces ci (x0 − a) + qi (y0 − b) = 0, esdecir, Q′ := (x0 − a, y0 − b) ∈ pi y ademas α(Q′) = Q, luego p′i ⊆ α(pi). Se definenentonces las rectas tangentes a f en P = (a, b) por ci (x− a) + qi (y − b) = 0.Finalmente, notemos que P es un punto simple de f si, y solo si, mP (f) = 1. Enefecto, ∂f

∂x(P ) = ∂g

∂x(P0) y ∂f

∂y(P ) = ∂g

∂y(P0), luego P es un punto simple de f si, y solo

si, P0 es un punto simple de g si, y solo si, mP0(g) = 1 si, y solo si, mP (f) = 1.

3.2. Multiplicidades y anillos locales

Sea f una curva plana irreducible y sea P = (a, b) ∈ f , mostraremos en el teorema3.2.5 una estrecha relacion entre la multiplicidad de f en P y el anillo local LP (f) =LP (V (〈f〉)). Para la prueba del teorema requerimos algunos preliminares.

Proposicion 3.2.1. Sean P = (0, . . . , 0) ∈ An (K), L = LP (An (K)) y M =MP (An (K)). Sea I = 〈x1, . . . , xn〉. Entonces IrL = M r para cada r ≥ 1.

Demostracion. Por el teorema 2.5.1, L/IL ∼= K[x1, . . . , xn]/I ∼= K, y por lo tanto,IL es maximal en L, es decir, IL = M . Entonces,

IrL = Ir−1 (IL) = Ir−1M = Ir−1LM = Ir−2 (IL)M = Ir−2M2 = · · · = M r.

Proposicion 3.2.2. Sean V una variedad no vacıa de An (K), I = I (V ) y P ∈ V .Sea J un ideal de K[x1, . . . , xn] que contiene a I. Sea J ′ = J/I la imagen de J enA(V ). Entonces

LP (An (K)) /JLP (An (K)) ∼= LP (V ) /J ′LP (V ) .

En particular,LP (An (K)) /ILP (An (K)) ∼= LP (V ) .

Demostracion. La inclusion natural

Vι−→ An (K)

3.2. MULTIPLICIDADES Y ANILLOS LOCALES 57

es un morfismo polinomial, y por lo tanto, induce el siguiente homomorfismo so-breyectivo entre los anillos locales correspondientes

LP (An (K))ϕι−→ LP (V )

h

p7→ h

p

Resulta entonces el homomorfismo sobreyectivo

LP (An (K))ϕι−→ LP (V )

j−→ LP (V ) /J ′LP (V ) .

Notemos que ker (j ϕι) = JLP (An (K)). En efecto, sea (j ϕι)(hp

)= h

p= 0, luego

h

p=h1

p1

z1

1+ · · ·+ hr

pr

zr

1

donde hi

pi∈ LP (An (K)) y zi ∈ J, 1 ≤ i ≤ r. Se tiene entonces que (p1 · · · pr)h −

p (h′1z1 + · · ·+ h′rzr) ∈ I ⊆ J , luego (p1 · · · pr)h−p (h′1z1 + · · ·+ h′rzr) = v ∈ J , estohace que (p1 · · · pr)h = w ∈ J , luego h

p= w

pp1···pr= w

11

pp1···pr∈ JLP (An (k)) ya que

(pp1 · · · pr) (P ) 6= 0.Por el teorema de homomorfismo de anillos se tiene que

LP (An (K)) /JLP (An (K)) ∼= LP (V ) /J ′LP (V ).

El isomorfismo de la segunda parte se obtiene directamente de lo ya probado toman-do J = I. Notemos finalmente que a traves de este isomorfismo, el maximal MP (V )corresponde a MP (An(K))/ILP (An(K)).

Proposicion 3.2.3. Sea I = 〈x, y〉. Entonces para cada n ≥ 1

dimK (K[x, y]/In) = 1 + 2 + · · ·+ n = n(n+1)2

.

Demostracion. Notemos que In = 〈xn, xn−1y, . . . , xyn−1, yn〉, ademas, si f ∈ K[x, y],entonces f se puede escribir en la forma f = f0+f1+· · ·+fn−1+fn+fn+1+· · · , dondefi es homogeneo de grado i. Para i ≥ n, en el espacio K[x, y]/In se tiene que f =f0+f1+· · ·+fn−1+fn+fn+1+· · · = f0+f1+· · ·+fn−1+0+0+· · · . Pero entonces los ge-neradores l.i. de K[x, y]/In son 1, x, y, x2, xy, xy2, . . . , xn−1, xn−2y, . . . , xyn−2, yn−1,y en cantidad estos son 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n(n+1)

2.

Proposicion 3.2.4. Sea R un DVD con maximal M tal que existe un cuerpo Kincluido en R para el cual se tiene que R/M ∼= K. Entonces para cada n ≥ 0,dimK (Mn/Mn+1) = 1.


Demostracion. Sea M = 〈t〉, por lo tanto Mn = 〈tn〉. Consideremos la funcion

Mn → R/M

atn 7→ a

La funcion esta bien definida y es un homomorfismo sobreyectivo de R-modulos.El nucleo de esta funcion son los elementos atn tales que a ∈ M , luego el nucleoes Mn+1. Notemos que Mn/Mn+1 es un R/M -modulo ya que (Mn/Mn+1)M = 0,luego es un K-modulo y el R-isomorfismo Mn/Mn+1 ∼= R/M es tambien un R/M -isomorfismo, es decir, un isomorfismo de K-espacios.

Teorema 3.2.5. Sea f una curva plana irreducible y sea P ∈ f . P es un puntosimple de f si, y solo si, LP (f) es un dominio de valuacion discreta. En este caso,

un parametro uniformizante de LP (f) es l = l1, donde l es cualquier recta que pase

por P y no sea tangente a f en P .

Demostracion. ⇒) Sea L una recta que pasa por P y no es tangente a f en P ysea L′ una tangente a f en P . Segun el ejemplo 2.3.5, existe un cambio afın decoordenadas α de A2 (K) tal que

α : A2 (K)→ A2 (K)

(a1, a2) 7→ (f1 (a1, a2) , f2 (a1, a2))

α (0) = P

α (X) = L

α (Y ) = L′

donde f1, f2 son polinomios lineales. Se puede probar en forma similar a como vimosal final de la seccion 3.1 que α(g) = f , con g := f(f1, f2), y que P es un punto simplede f si, y solo si, P0 es un punto simple de g ya que mP (f) = m(0,0) (f (f1, f2)).Consideremos el cambio afın de coordenadas α−1 : A2 (K) → A2 (K), entonces conla notacion habitual para los algebraicos se tiene que (α−1)−1(V (g)) = V (f), luegoV (g) es una variedad y g es una curva plana irreducible. Aplicando el corolario 2.4.6a α se tiene que LP (f) ∼= LP0(g). Ası pues, LP (f) es un DVD si, y solo si, LP0(g)es un DVD. Tambien, mediante este isomorfismo se tiene que MP (f) correspondea MP0(g). Se puede entonces asumir que P = P0 = (0, 0), L = X y L′ = Y .⇒) Puesto que LP (f) es un DI local noetheriano (vease el teorema 2.4.3), solo

nos resta probar que MP (f) es principal. Probemos que MP (f) = 〈x〉 = 〈x1〉. Puesto

que K es algebraicamente cerrado y f es irreducible, entonces I (V (f)) = 〈f〉, y porla proposicion 3.2.2 se tiene que

LP (f) ∼= LP(A2 (K)

)/〈f〉LP

(A2 (K)

)t

g7→ t

g

3.2. MULTIPLICIDADES Y ANILLOS LOCALES 59

Ademas, el maximal MP (f) de LP (f) corresponde a traves del isomorfismo anteriora MP (A2 (K)) /〈f〉LP (A2 (K)), es decir,

MP (f) ∼= MP

(A2 (K)

)/〈f〉LP

(A2 (K)

), (3.2.1)

pero segun la proposicion 3.2.1, MP (A2 (K)) = 〈x, y〉LP (A2 (K)). De esta forma

MP (f) ∼= 〈x, y〉LP(A2 (K)

)/〈f〉LP

(A2 (K)

)= 〈 x

1,y

1〉.

Esto significa, a traves del isomorfismo, que MP (f) = 〈x1, y

1〉. Vamos entonces a

probar que 〈x1, y

1〉 = 〈x

1〉. De ser ası, entonces MP (f) resulta principal con generador

x1. La idea es mostrar que y

1∈ 〈x

1〉: como mP (f) = 1 y y es la tangente a f en el

punto P , entonces para f se presentan dos casos: f = y o f es de la forma

f = y + ( terminos de grado ≥ 2)

En el primer caso y ∈ 〈f〉 y entonces y1

= 01∈ 〈x

1〉 en LP (f). En el segundo caso

podemos escribir f en la forma

f = y + (yg + x2h),

con h ∈ K[x] y donde en g es nulo o todos los terminos son de grado ≥ 1. De estamanera y(1 + g) + x2h ∈ 〈f〉 = I (V (f)), luego y(1 + g) = x2h en A (f), puesto que

(1 + g) (P ) 6= 0, entonces y1

= x2h1+g

= x1xh1+g

y de esta manera y1∈ 〈x

1〉.

⇐) Debemos demostrar que P es un punto simple de f . Supongamos que lasiguiente identidad es cierta para cada n ≥ mP (f):

mP (f) = dimK(MP (f)n /MP (f)n+1) (3.2.2)

Entonces, como estamos suponiendo que LP (f) es un DVD, podemos aplicar laproposicion 3.2.4: K ⊂ LP (f), LP (f) /MP (f) ∼= K y este isomorfismo se puedeestablecer de la siguiente manera:

LP (f)→ Kg

h7→ g (P )

h (P )

es un homomorfismo de anillos sobreyectivo bien definido y su nucleo es MP (f)(vease tambien la demostracion del teorema 2.4.3). Aplicando la proposicion 3.2.4resulta dimK

(MP (f)n /MP (f)n+1) = 1. Por la identidad (3.2.2) podemos concluir

que P es un punto simple de f .Probemos entonces la identidad (3.2.2). La prueba la haremos en cuatro pasos.


Paso 1. Sea I = 〈x, y〉, para cada n ≥ 1 se tiene que

MP (f)n = InLP (f) .

En efecto, ILP (f) denota al ideal de LP (f) generado por I. Sean t ∈ I y hg∈ LP (f),

entonces t = t1x+t2y, con ti ∈ K[x, y], 1 ≤ i ≤ 2, y de esta forma t1hg

= thg

y th (P ) =

0, es decir, t1hg∈MP (f), lo cual prueba que ILP (f) ⊆MP (f). Supongamos ahora

que hg∈MP (f), entonces h (P ) = 0. El polinomio h puede escribirse como una suma

h = h0 + h1 + · · · + hd donde hr es un polinomio homogeneo de grado r. Resultaentonces que h0(P )+h1(P )+ · · ·+hd(P ) = h0 = 0, de donde h = h1 + · · ·+hd. Pero

para cada r se tiene que hr ∈ I, y de esta manera h ∈ I, con lo cual hg∈ ILP (f).

Finalmente, notemos que

InLP (f) =In−1 (ILP (f)) = In−1MP (f)

=In−1LP (f)MP (f) =In−2 (ILP (f))MP (f)

=In−2MP (f)2

...

=MP (f)n .

Paso 2. Se tiene el isomorfismo

K[x, y]/〈f, In〉 ∼= LP (f) /MP (f)n . (3.2.3)

Para establecer este isomorfismo notemos que V (〈f, In〉) = V (f) ∩ V (In) = P.Podemos entonces aplicar el teorema 2.5.1,

K[x, y]/〈f, In〉 ∼= LP(A2 (K)

)/〈f, In〉LP

(A2 (K)

).

Ahora podemos usar la proposicion 3.2.2, con J = 〈f, In〉 y donde la variedad esV = V (〈f〉), I (V ) = I (V (〈f〉)) =

√〈f〉 = 〈f〉 (f es irreducible y en consecuencia

〈f〉 es primo). Con esto se tiene que

LP(A2 (K)

)/〈f, In〉LP

(A2 (K)

) ∼= LP (f) / (〈f, In〉/〈f〉)LP (f)∼= LP (f) /InLP (f) .

Pero por lo probado en el paso 1 se tiene que

LP(A2 (K)

)/〈f, In〉LP

(A2 (K)

) ∼= LP (f) /MP (f)n .

De esta manera hemos demostrado (3.2.3).

3.3. POLINOMIO DE HILBERT-SAMUEL 61

Paso 3. Sea m = mP (f), entonces f ∈ Im y se tiene la siguiente sucesion exactade K-espacios

0→ K[x, y]/In−mψ−→ K[x, y]/In

ϕ−→ K[x, y]/〈f, In〉 → 0

donde ϕ es el homomorfismo natural y ψ viene dado por ψ (g) = fg. Estamosasumiendo que n ≥ m. Resulta entonces

dimK (K[x, y]/In) = dimK(K[x, y]/In−m

)+ dimK (K[x, y]/〈f, In〉)

es decir,

dimK (K[x, y]/〈f, In〉) = dimK (K[x, y]/In)− dimK(K[x, y]/In−m

)=n (n+ 1)

2− (n−m) (n−m+ 1)

2

= nm− m (m− 1)

2, con n ≥ m.

De (3.2.3) resulta

dimK (LP (f) /MP (f)n) = nm− m (m− 1)

2, con n ≥ m. (3.2.4)

Paso 4. Se tiene la siguiente sucesion exacta de K-espacios

0→MP (f)n /MP (f)n+1 → LP (f) /MP (f)n+1 → LP (f) /MP (f)n → 0

entonces

dimK(MP (f)n /MP (f)n+1) = dimK

(LP (f) /MP (f)n+1)− dimK (LP (f) /MP (f)n)

= (n+ 1)m− m (m− 1)

2− nm+

m (m− 1)

2= m = mP (f) .

3.3. Polinomio de Hilbert-Samuel

Definicion 3.3.1. Sean V una variedad no vacıa de Ar (K), P ∈ V y M el idealmaximal del anillo local L := LP (V ). Entonces,

χ (n) := dimK (L/Mn) (3.3.1)

se denomina el polinomio de Hilbert-Samuel del anillo local L, o tambien, dela variedad V en el punto P .


Se tienen las siguientes situaciones particulares.

Proposicion 3.3.2. (a) En la definicion 3.3.1 sea V = A2 (K). Entonces,

χ (n) =n (n+ 1)

2

(b) En la definicion anterior sea V = Ar (K). Entonces, χ (n) es un polinomio degrado r en la variable n cuyo coeficiente principal es 1

r!.

Demostracion. (a) Por el corolario 2.4.6 podemos suponer que P = (0, 0). Sea I :=〈x, y〉, entonces V (In) = P y del teorema 2.5.1 se tiene que

K[x, y]/In ∼= L/InL.

Ademas, por la proposicion 3.2.1, InL = Mn. Ası pues,

k[x, y]/In ∼= L/Mn.

Pero dimK (K[x, y]/In) = n(n+1)2

(proposicion 3.2.3). Por lo tanto, χ (n) = n(n+1)2

.(b) Nuevamente, por el corolario 2.4.6, podemos suponer que P = (0, . . . , 0). La

parte (a) se puede repetir pero para L = LP (Ar (K)) e I = 〈x1, . . . , xr〉 de tal formaque

dimK (L/Mn) = dimK (K[x1, . . . , xr]/In) .

Notemos que las clases en K[x1, . . . , xr]/In de los monomios de K[x1, . . . , xr] de

grado < n constituyen una K-base para K[x1, . . . , xr]/In, estos monomios se pueden

agrupar en monomios de grado 0, 1, 2, . . . , n − 1, luego para cada 0 ≤ l ≤ n − 1 setiene que la cantidad de estos monomios es

(l+r−1r−1

). Por lo tanto,

dimK (K[x1, . . . , xr]/In) =

(0 + r − 1

r − 1

)+

(1 + r − 1

r − 1

)+ · · ·+

(n− 1 + r − 1

r − 1

)=

n−1∑k=0

(k + r − 1

r − 1

)=

(n+ r − 1

r

)=

(n+ r − 1) (n+ r − 2) · · · (n+ r − r) (n+ r − (r + 1))!

(n− 1)!r!

=(n+ r − 1) (n+ r − 2) · · ·n

r!

=nr

r!+ terminos de grado < r.

3.4. NUMERO DE INTERSECCIONES 63

Proposicion 3.3.3. En la definicion 3.3.1 sea V = V (f), donde f es un polinomioirreducible de K[x1, . . . , xr] y sea P = (0, . . . , 0). Entonces, para n suficientemente

grande, χ (n) es un polinomio de grado r − 1 cuyo coeficiente principal es mP (f)(r−1)!

.

Demostracion. Al igual que en el paso 3 de la demostracion del teorema 3.2.5, setiene la siguiente sucesion exacta de K-espacios

0→ K[x1, . . . , xr]/In−m → K[x1, . . . , xr]/I

n → K[x1, . . . , xr]/〈f, In〉 → 0,

donde I := 〈x1, . . . , xr〉. En forma similar a como vimos en el paso 2 de la de-mostracion del mencionado teorema, se tiene el isomorfismo

LP (f) /MP (f)n ∼= K[x1, . . . , xr]/〈In, f〉,

luego

dimK (LP (f) /MP (f)n) = dimk (K[x1, . . . , xr]/〈In, f〉)= dimK (K[x1, . . . , xr]/I

n)− dimK(K[x1, . . . , xr]/I

n−m) .Segun la demostracion de la proposicion anterior

dimK (L/Mn) =

(nr

r!+ terminos de grado < r

)−(

(n−m)r

r!+ terminos de grado < r

)=

mnr−1

(r − 1)!+ terminos de grado < r − 1.

3.4. Numero de intersecciones

Definimos en esta seccion un nuevo parametro asociado a dos curvas planas f, g enun punto P ∈ A2 (K). Lo denotaremos por I (P, f ∩ g), y en cierta forma mide elnumero de intersecciones de f y g en el punto P . I (P, f ∩ g) esta caracterizado porsiete propiedades, como veremos a continuacion.

Definicion 3.4.1. Sean f, g dos curvas planas y P ∈ A2 (K). Entonces se define elnumero de intersecciones de f y g en el punto P por

I (P, f ∩ g) := dimK(LP(A2 (K)

)/〈f, g〉

).

Hemos simplificado la notacion en el cociente LP (A2 (K)) /〈f, g〉 de tal formaque 〈f, g〉 = 〈f, g〉LP (A2 (K)).


Teorema 3.4.2. I (P, f ∩ g) tiene las siguientes propiedades:

(i) I (P, f ∩ g) = I (P, g ∩ f).

(ii) I (P, f ∩ (g + hf)) = I (P, f ∩ g), para cada h ∈ K[x, y].

(iii) Sea α : A2 (K)→ A2 (K) un cambio afın de coordenadas. Entonces,

I (P, f ∩ g) = I (Q,α−1 (f) ∩ α−1 (g)), con α (Q) = P .

Por lo tanto, se puede asumir sin perdida de generalidad que P = (0, 0).

(iv) I (P, f ∩ g) = 0⇔ P /∈ f ∩ g.

(v) I (P, f ∩ g) = ∞ ⇔ f y g tienen al menos un factor irreducible comun quepase por P . Por lo tanto, I (P, f ∩ g) es un entero no negativo si, y solo si, fy g no tienen factores comunes irreducibles que pasen por P .

(vi) Si f = f r11 · · · f rtt es una factorizacion de f y g = gs11 · · · gsll es una factorizacion

de g, entonces

I (P, f ∩ g) =t∑i=1

l∑j=1

risjI (P, fi ∩ gj) .

(vii) I (P, f ∩ g) ≥ mP (f)mP (g). La igualdad se cumple si, y solo si, f y g notienen rectas tangentes comunes en P .

Demostracion. (i) Evidente.(ii) Se obtiene directamente a partir de la identidad 〈f, g〉 = 〈f, g + hf〉.(iii) Sean f1, f2 ∈ k[x, y] los polinomios que definen el cambio afın de coordenadas

α, entonces por el corolario 2.2.8 se tiene que

I(Q,α−1 (f) ∩ α−1 (g)

)=I (Q, f (f1, f2) ∩ g (f1, f2))

= dimK

(LQ(A2 (K)

)/〈f (f1, f2) , g (f1, f2)〉

).

Pero en el isomorfismo inducido por α se tiene que

ϕα(〈f, g〉) = 〈f (f1, f2) , g (f1, f2)〉

es decir, 〈f, g〉 ∼= 〈f (f1, f2) , g (f1, f2)〉 como K-espacios. Por lo tanto,

dimK(LQ(A2 (K)

)/〈f (f1, f2) , g (f1, f2)〉

)= dimK

(LP(A2 (K)

)/〈f, g〉

)= I(P, f ∩ g).

En particular, si α es el cambio afın definido por (x, y) 7→ (x + a, y + b), entoncesα(0, 0) = P y por lo tanto podemos asumir sin perdida de generalidad que P = (0, 0).


(iv) ⇒) Si I (P, f ∩ g) = 0, entonces LP (A2 (K)) = 〈f, g〉, luego 1 ∈ 〈f, g〉 yexisten u, v ∈ LP (A2 (K)) tales que 1 = uf + vg. Si P = (0, 0) ∈ f ∩ g, entonces1 = 0, lo cual es falso. Por lo tanto, P /∈ f ∩ g.⇐) Supongamos ahora que P /∈ f ∩ g, entonces f (P ) 6= 0 o g (P ) 6= 0. En el

primer caso, f1∈ LP (A2 (K))

∗y de esta forma 〈f, g〉 = LP (A2 (K)). Esto indica que

I(P, f ∩ g) = dimK(LP(A2 (K)

)/〈f, g〉

)= 0.

La misma conclusion se obtiene si g (P ) 6= 0.(v)⇒) Sea I (P, f ∩ g) =∞. Segun (iv), P ∈ f ∩g. Supongamos contrariamente

que f y g no tienen factores irreducibles que pasen por P . Si f y g tienen un factorirreducible comun h pero no pasa por P , entonces h es un invertible de LP (A2(K))y 〈f, g〉 = 〈f

h, gh〉. Por tal razon, f y g no tienen factores comunes irreducibles.

Luego, V (f, g) es finito (proposicion 1.6.1). Ademas, V (f, g) = V (〈f, g〉), y segunel corolario 1.7.5, dimK (K[x, y]/〈f, g〉) <∞, pero P ∈ f ∩ g = V (f, g) y V (f, g) esfinito, entonces por el corolario 2.5.2

dimK (K[x, y]/〈f, g〉) ≥ dimK (LP (A2 (K)) /〈f, g〉) = I(P, f ∩ g).

Esto dice que I(P, f ∩ g) es finito, lo cual es una contradiccion.⇐) Supongamos ahora que f y g tienen un factor comun irreducible h que pasa

por P , entonces 〈f, g〉 ⊆ 〈h〉, por lo tanto, se tiene un homomorfismo sobreyectivo

θ : LP(A2 (K)

)/〈f, g〉 → LP

(A2 (K)

)/〈h〉,

de donde, dimK (LP (A2 (K)) /〈f, g〉) ≥ dimK (LP (A2 (K)) /〈h〉). Pero por la proposi-cion 3.2.2,

LP (A2 (K)) /〈h〉 ∼= LP (h) ⊇ A(h) = K[x, y]/〈h〉.

Luego, dimK (LP (A2 (K)) /〈f, g〉) ≥ dimK (K[x, y]/〈h〉). Pero segun la proposicion1.4.2 V (〈h〉) es infinito, entonces dimK (K[x, y]/〈h〉) =∞ (corolario corolario 1.7.5).Ası, I(P, f ∩ g) = ∞ (que V (〈h〉) es infinito se puede probar tambien de la sigu-iente forma: como h es irreducible, entonces 〈h〉 es primo, y por lo tanto, V (〈f〉)es irreducible no vacıo. Entonces V (〈h〉) no puede ser finito, de lo contrario serıareducible).

(vi) Teniendo en cuenta la simetrıa del problema y su caracter recurrente, bastaprobar que I (P, f ∩ gh) = I (P, f ∩ g) + I (P, f ∩ h). Sin perdida de generalidadpodemos asumir que f y gh no tienen factores irreducibles comunes. Se tiene lasiguiente sucesion exacta

0→ L/〈f, h〉 α−→ L/〈f, gh〉 β−→ L/〈f, g〉 → 0

donde L = LP (A2(K)), α se define por α (z) := gz y β (u) := u. En efecto, α esta biendefinida ya que si z1 = z2 entonces z1 − z2 ∈ 〈f, g〉, de donde z1 − z2 = af + bh, y


por lo tanto, gz1 − gz2 = agf + bgh, con lo cual gz1 = gz2 en LP (A2 (K)) /〈f, gh〉.De igual manera, como 〈f, gh〉 ⊆ 〈f, g〉 entonces β esta bien definido. Es claroque α y β son homomorfismos de K-espacios. α es inyectivo porque si z es tal queα (z) = gz = 0, entonces gz ∈ 〈f, gh〉 y gz = uf + vgh. Como z, u, v ∈ LP (A2 (K)),entonces eliminando denominadores existe s ∈ K[x, y] tal que s (P ) 6= 0 y sz = c ∈K[x, y], su = a ∈ K[x, y], sv = b ∈ K[x, y]. Resulta, sgz = suf + svgh, es decir,gc = af +bgh, o sea que g (c− bh) = af . Esto quiere decir que f divide a g (c− bh),pero como f y g no tienen factores comunes, entonces f divide c − bh, con lo cualc− bh = df . De esto se tiene que z = c

s= bh+df

s= b

sh+ d

sf ∈ 〈f, g〉, de donde z = 0.

Claramente β es sobreyectivo. Veamos que Im (α) = ker (β): β (α (z)) = β (gz) =gz = 0. Tambien, si u ∈ ker (β), entonces u = 0, con lo cual u ∈ 〈f, g〉, es decir,u = af + bg, y de esta forma α

(b)

= bg = af + bg = u.La exactitud de la sucesion implica que

dimK (L/〈f, gh〉) = dimK (L/〈f, g〉) + dimK (L/〈f, h〉)

es decir,I (P, f ∩ gh) = I (P, f ∩ g) + I (P, f ∩ h) .

(vii) Sean m =: mP (f) y n =: mP (g); si P /∈ f ∩ g, entonces m = 0 o n = 0, ytambien I (P, f ∩ g) = 0. Supongamos entonces que P ∈ f ∩ g y consideremos lasiguiente sucesion y diagrama de funciones:

K[x, y]/In ×K[x, y]/Imψ−→ K[x, y]/In+m ϕ−→ K[x, y]/〈In+m, f, g〉 → 0

↓ αLP (A2 (K)) /〈f, g〉 π−→ LP (A2 (K)) /〈In+m, f, g〉 → 0

donde I := 〈x, y〉, ψ(a, b)

:= af + bg, ϕ (z) := z, α (z) := z1,π(ht

):= h

t. Veamos

que todas estas funciones estan bien definidas: si a1 = a2 y b1 = b2 entonces a1−a2 ∈In, b1 − b2 ∈ Im, pero como m = mP (f), entonces f ∈ Im y de igual forma g ∈ In,por lo tanto, (a1 − a2) f + (b1 − b2) g ∈ In+m, es decir, a1f + b1g = a2f + b2g. Siz1 = z2 entonces z1 − z2 ∈ In+m ⊆< In+m, f, g >, por lo tanto, z1 = z2. La pruebaspara α y π son similares a esta ultima.

Es tambien evidente que estas funciones son K-lineales. Sea z ∈ Im (ψ), entonces

z es de la forma z = af + bg y ϕ (z) = ϕ(af + bg

)= af + bg = 0; recıprocamente,

si z ∈ ker (ϕ), entonces z ∈ 〈In+m, f, g〉, de donde z = z′ + af + bg, con z′ ∈ In+m,luego ψ

(a, b)

= af + bg = z′ + af + bg = z. Hemos probado que Im (ψ) = ker (ϕ).ϕ es claramente sobreyectiva. Notemos que π es tambien sobreyectiva. Esto pruebaque la fila superior es exacta.

Puesto que V (〈In+m, f, g〉) = P, por el teorema 2.5.1 α es un isomorfismo.Con lo anterior se tiene lo siguiente:

dimK (K[x, y]/In) + dimK (K[x, y]/Im) ≥ dimK (Im (ψ)) = dimK (ker (ϕ)) .


Notemos que la igualdad anterior se cumple si, y solo si, ψ es inyectiva. De otraparte,

dimK(K[x, y]/〈In+m, f, g〉

)= dimK

(K[x, y]/In+m

)− dimK ker (ϕ) .

Se obtiene entonces que

I (P, f ∩ g) = dimK(LP(A2 (K)

)/〈f, g〉

)≥ dimK

(LP(A2 (K)

)/〈In+m, f, g〉

)= dimK

(K[x, y]/〈In+m, f, g〉

)≥ dimK

(K[x, y]/In+m

)− dimK (K[x, y]/In)− dimK (K[x, y]/Im)

=(n+m) (n+m+ 1)

2− n (n+ 1)

2− m (m+ 1)

2= nm.

La igualdad se tiene si, y solo si, ψ es inyectiva y dimK (LP (A2 (K)) /〈f, g〉) =dimK (LP (A2 (K)) /〈In+m, f, g〉). Esta ultima igualdad se cumple si, y solo si, π esun isomorfismo, es decir, si, y solo si, In+m ⊆ 〈f, g〉 en el anillo LP (A2 (K)).

La prueba de (vii) se completa con el siguiente lema.

Lema 3.4.3. (a) Sean f, g curvas planas las cuales no tienen tangentes comunesen P . Entonces, en el anillo LP (A2 (K)) se tiene que Ik ⊆ 〈f, g〉, para cada k ≥n+m− 1, donde I = 〈x, y〉, m = mP (f) y n = mP (g).

(b) Con la notacion utilizada en la prueba del toerema, ψ es inyectiva si, y solosi, f y g no tienen tangentes comunes en P .

Prueba. Vease el lema de la seccion 3.3 de [4].Podemos entonces completar la demostracion del teorema. Si la igualdad se

cumple, entonces ψ es inyectiva y por la parte (b) del lema se tiene que f y g no tienentangentes comunes. Recıprocamente, supongamos que que f y g no tienen tangentescomunes, entonces por la parte (b) del lema se tiene que ψ es inyectiva, y por laparte (a), Ik ⊆ 〈f, g〉 en el anillo LP (A2 (K)) para cada k ≥ n+m−1, en particular,In+m ⊆ 〈f, g〉, y en consecuencia se cumple la igualdad I (P, f ∩ g) = mn.

Teorema 3.4.4. Las siete propiedades del teorema 3.4.2 caracterizan unıvocamenteal parametro I (P, f ∩ g). En otras palabras, si J (P, f ∩ g) es otro parametro conlas mismas siete propiedades, entonces J (P, f ∩ g) = I (P, f ∩ g).

Demostracion. Segun la propiedad (iii) podemos asumir que P = (0, 0). Segun lapropiedad (v) podemos suponer que f y g no tienen factores comunes que pasen porP . Segun la propiedad (iv) podemos asumir que P ∈ f ∩ g. Segun la (vi) podemosasumir que todos los factores irreducibles de f y de g pasan por P (aquellos factoresque no pasan por P no aportan en la sumatoria).


Supongamos por induccion que J (P, f ∩ g) = I (P, f ∩ g) para todas las curvasf, g tales que J (P, f ∩ g) < n y sean f, g curvas tales que J (P, f ∩ g) = n. Con-sideremos los polinomios f (x, 0) , g (x, 0) ∈ K[x] con grados r ≤ s respectivamente.En vista de la propiedad (i) no hay necesidad de considerar la opcion s < r. Sepresentan dos posibles casos.

Caso 1. r = 0: entonces f (x, 0) es la constante nula ya que f (0, 0) = 0. Estoimplica que f (x, y) = yh, con h ∈ K[x, y]. Por la propiedad (vi),

J (P, f ∩ g) = J (P, y ∩ g) + J (P, h ∩ g) .

Sea g (x, 0) = b0xm + b1x

m+1 + · · · + bs−mxs = xm (b0 + b1x+ · · ·+ bs−mx

s−m), conb0 6= 0, entonces g (x, y) = g (x, 0) + ya, a ∈ K[x, y], y de esta manera

J (P, y ∩ g) = J (P, y ∩ g (x, 0))

= J(P, y ∩ xm

(b0 + b1x+ · · ·+ bs−mx

s−m))= J (P, y ∩ xm) + J

(P, y ∩ b0 + b1x+ · · ·+ bs−mx

s−m)= mJ (P, y ∩ x) + 0,

donde la ultima igualdad se desprende de (vi) y (iv) (como b0 6= 0, entonces P noanula a b0 + b1x+ · · ·+ bs−mx

s−m). Segun (vii), J (P, y ∩ x) = 1, por lo tanto,

J (P, y ∩ g) = m.

Este mismo razonamiento, pero usando las propiedades de I, muestra que tambienI (P, y ∩ g) = m. Por lo tanto,

n = J (P, f ∩ g) = J (P, y ∩ g) + J (P, h ∩ g) = I (P, y ∩ g) + J (P, h ∩ g) .

Ya que P ∈ y ∩ g, entonces m > 0, luego J (P, h ∩ g) < n, y por induccionJ (P, h ∩ g) = I (P, h ∩ g). Por lo tanto,

J (P, f ∩ g) = I (P, y ∩ g) + I (P, h ∩ g) = I(P, yh ∩ g) = I(P, f ∩ g).

Caso 2. r > 0: teniendo en cuenta (iv) y (vi), podemos multiplicar f y g porconstantes adecuadas de tal forma que f (x, 0) y g (x, 0) sean monicos. Sea

g′ := g − xs−rf,

entonces J (P, f ∩ g′) = J (P, f ∩ (g − xs−rf)) = J (P, f ∩ g), con gr (g′ (x, 0)) =s′ < s. Si r ≤ s′ podemos repetir este razonamiento: construimos g′′ := g′ − xs′−rf ,y entonces gr (g′′) = s′′ < s′ y ademas J (P, f ∩ g′′) = J

(P, f ∩ g′ − xs′−rf

)=

J (P, f ∩ g′) = J (P, f ∩ g). Podemos continuar de esta manera (intercambiando fy g∗, si es necesario, cuando s∗ < r), hasta que alguna de las curvas c sea tal


que gr (c(x, 0)) = 0 y estarıamos en el caso 1 ya probado. De esta forma, en-contramos curvas a, b tales que J (P, f ∩ g) = J (P, a ∩ b) = I (P, a ∩ b). Pero a, bfueron construidas a partir de f y g usando solamente las siete propiedades, en-tonces I (P, a ∩ b) = I (P, f ∩ g). Esto completa la prueba en el segundo caso, y porlo tanto, la prueba total del teorema.

Ejemplo 3.4.5. Calculemos I (P, f ∩ g), con f = (x2 + y2)2

+ 3x2y − y3, g =(x2 + y2)

3 − 4x2y2, con P = (0, 0). Notemos que efectivamente P ∈ f ∩ g. Cal-culemos ahora los puntos singulares de f y de g: vimos en la seccion 3.1 que el unicopunto singular de f es P = (0, 0). Veamos que tambien P = (0, 0) es el unico puntosingular de g: ∂g

∂x= 6x (x2 + y2)

2 − 8xy2 = 0; si x 6= 0 entonces 3 (x2 + y2)2

= 4y2.∂g∂y

= 6y (x2 + y2)2−8x2y = 0; si y 6= 0 entonces 3 (x2 + y2)

2= 4x2. Resulta, x2 = y2

y reemplazando en g se tiene que (x2 + x2)3 − 4x2x2 = 0, de donde, x = 0, lo cual

es una contradiccion. Por lo tanto, x = 0 = y. Las tangentes a f en P = (0, 0)son y = 0, y =

√3x, y = −

√3x, y las tangentes a g en P = (0, 0) son x = 0 y

y = 0, cada una con multiplicidad 2. Notemos que mP (f) = 3 y mP (g) = 4, luegoI (P, f ∩ g) ≥ 12, la igualdad se tiene si, y solo si, f y g no tienen tangentes comunesen P , pero precisamente hay una tangente comun, y = 0, por lo tanto no se tiene laigualdad y debemos calcular I (P, f ∩ g):

I (P, f ∩ g) = I(P, f ∩

(g −

(x2 + y2

)f))

= I (P, f ∩ yh) , donde h =(x2 + y2

) (y2 − 3x2

)− 4x2y

= I (P, f ∩ y) + I (P, f ∩ h)= I (P, f ∩ y) + I (P, f ∩ (h+ 3f))

= I (P, f ∩ y) + I (P, f ∩ yq) , donde q = 5x2 − 3y2 + 4y3 + 4x2y

= 2I (P, f ∩ y) + I (P, f ∩ q) ,

notemos que f = (x2 + y2)2+ 3x2y − y3 = x4 − y3 + y4 + 3x2y + 2x2y2 = x4 + yw,

con w = y3 − y2 + 3x2 + 2x2y, por lo tanto

I (P, f ∩ y) = I(P,(x4 + yw

)∩ y)

= I(P, y ∩

(x4 + yw

))= I

(P, y ∩ x4

)= 4I (P, y ∩ x)= 4.

Por otro lado, notemos que f y q no tienen tangentes comunes en P , luego

I (P, f ∩ q) = mP (f)mP (q) = 3× 2 = 6.

Por lo tanto, I (P, f ∩ g) = 2× 4 + 6 = 14.


3.5. Ejercicios

1. Sea K un cuerpo. Demuestre que el anillo de series formales K[[x]] es un DVD(vease [11]).

2. Factorice el polinomio homogeneo y3− 2xy2 +2x2y+x3 ∈ C[x, y] en productode factores lineales.

3. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado y sea m ≥ 1. Demuestre que cadapolinomio homogeneo de K[x, y] de gradom se puede factorizar en un productode factores lineales.

4. Determine los puntos singulares y las rectas tangentes en ellos para cada unade las siguientes curvas:

(a) y3 − y2 + x3 − x2 + 3xy2 + 3x2y + 2xy

(b) x4 + y4 − x2y2

(c) x3 + y3 − 3x2 − 3y2 + 3xy + 1

(d) y2 + (x2 − 5)(4x4 − 20x2 + 25)

5. Demuestre que una curva plana irreducible tiene solamente un numero finitode puntos singulares.

6. Calcule el numero de intersecciones de las siguientes curvas:

(a) f = y2 − x3 y g = (x2 + y2)2 + 3x2y − y3.

(b) f = y2 − x3 − x2 y g = (x2 + y2)3 − 4x2y2.

7. Demuestre que una recta L es tangente a una curva f en un punto P si, y solosi, I(P, f ∩ L) > mP (f).

Capıtulo 4

El espacio proyectivo

En este capıtulo introducimos el espacio proyectivo a traves de un estudio paralelode las propiedades consideradas en los capıtulos 1 y 2. La mayorıa de las pruebasde las afirmaciones son completamente analogas a las del caso afın. Se destaca laversion proyectiva del teorema de ceros de Hilbert.

4.1. Espacios proyectivos, espacios afines

Supondremos en este capıtulo que K es un cuerpo algebraicamente cerrado.Para definir el espacio proyectivo de dimension n ≥ 1 veamos inicialmente dos casosparticulares n = 1, 2.

n = 1: el espacio proyectivo de dimension 1, P 1 (K), consta de todas lasrectas de A2 (K) que pasan por el origen (0, 0) sin incluirlo:

P 1 (K) := L | L es una recta de A2 (K) que pasa por el origen sin incluirlo.

Sea L ∈ P 1 (K), entonces

L = λ (x1, x2) | λ ∈ K− 0,

donde (x1, x2) es un punto no nulo de L. P 1 (K) tambien se puede definir de lasiguiente manera: definimos en A2 (K)− 0 la relacion

(x1, x2) ≡ (x′1, x′2)⇔

(x1, x2) y (x′1, x′2) estan en la misma recta de A2 (K) que pasa por (0, 0)

⇔ (x′1, x′2) = λ (x1, x2) , λ ∈ K− 0.

Se tiene entonces que

P 1 (K) = A2 (K)− 0/ ≡,[x1, x2] := (x′1, x′2) ∈ A2 (K)− 0 | (x′1, x′2) ≡ (x1, x2)

= λ (x1, x2) | λ ∈ k − 0.

71

72 CAPITULO 4. EL ESPACIO PROYECTIVO

Los elementos de P 1 (K) son entonces clases de equivalencia, cada punto proyectivoP = [x1, x2] ∈ P 1 (K) es una clase de equivalencia, y de esta manera

P 1 (K) = [x1, x2] | (x1, x2) ∈ A2 (K)− 0.

Sea [x1, x2] ∈ P 1 (K); si x2 6= 0, entonces [x1, x2] = [x1

x2, 1]; si x2 = 0, entonces x1 6= 0,

y en este caso [x1, x2] = [1, 0]. Por lo tanto,

P 1 (K) = [x,1] | x ∈ K ∪ [1, 0]∼= A1 (K) ∪ [1, 0].

Podemos entonces decir que la recta proyectiva P 1 (K) es union de la recta afınA1 (K) (sin el origen) con un punto en el infinito. Notemos que si P 0 (K) := [1],con x ≡ x′ ⇔ x′ = λx, λ 6= 0, entonces

P 1 (K) ∼= A1 (K) ∪ P 0 (K) .

Es decir, la recta proyectiva es union de la recta afın con el punto proyectivo.n = 2: el espacio proyectivo de dimension 2, P 2 (K), consta de todas las

rectas de A3 (K) que pasan por el origen (0, 0, 0) sin incluirlo:

P 2 (K) := L | L es una recta de A3 (K) que pasa por (0, 0, 0) sin incluirlo.

Sea L una recta de P 2 (K), entonces

L = λ (x1, x2, x3) | λ ∈ K− 0,

donde (x1, x2, x3) es un punto no nulo de L. P 2 (K) tambien se puede definir de lasiguiente manera: definimos en A3 (K)− 0 la relacion

(x1, x2, x3) ≡ (x′1, x′2, x

′3)⇔

(x1, x2, x3) y (x′1, x′2, x

′3) estan en la misma recta de A3 (K) que pasa por (0, 0, 0)

⇔ (x′1, x′2, x

′3) = λ (x1, x2, x3) , λ ∈ K− 0.


P 2 (K) = A3 (K)− 0/ ≡,[x1, x2, x3] = (x′1, x′2, x′3) ∈ A3 (K)− 0 | (x1, x2, x3) ≡ (x′1, x

′2, x

′3)

= λ (x1, x2, x3) | λ ∈ K− 0.

Los elementos de P 2 (K) son entonces clases de equivalencia, cada punto proyectivoP = [x1, x2, x3] ∈ P 2 (K) es una clase de equivalencia, y de esta manera

P 2 (K) = [x1, x2, x3] | (x1, x2, x3) ∈ A3 (K)− 0.

4.1. ESPACIOS PROYECTIVOS, ESPACIOS AFINES 73

Sea [x1, x2, x3] ∈ P 2 (K);, si x3 6= 0, entonces [x1, x2, x3] = [x1

x3, x2

x3, 1]; si x3 = 0,

entonces [x1, x2, x3] = [x1, x2, 0]. Por lo tanto,

P 2 (K) = [x1, x2, 1] | (x1, x2) ∈ A2 (K) ∪ [x1, x2, 0] | [x1, x2] ∈ P 1 (K)∼= A2 (K) ∪ P 1 (K) .

Podemos entonces decir que el plano proyectivo P 2 (K) es union del plano afınA2 (K) con una recta en el infinito, o tambien, que el plano proyectivo es uniondel plano afın con la recta proyectiva.

Definicion 4.1.1. El espacio proyectivo de dimension n, P n (K), consta detodas las rectas de An+1 (K) que pasan por el origen (0, . . . , 0) sin incluirlo:

P n (K) := L | L es una recta de An+1 (K) que pasa por el origen sin incluirlo.

Sea L una recta de P n (K), entonces

L = λ (x1, . . . , xn+1) | λ ∈ K− 0,

donde (x1, . . . , xn+1) es un punto no nulo de L.P n (K) tambien se puede definir de la siguiente manera: definimos en An+1 (K)−0

la relacion

(x1, . . . , xn+1) ≡(x′1, . . . , x

′n+1

)⇔

(x1, . . . , xn+1) y(x′1, . . . , x

′n+1

)estan en la misma recta de An+1 (K)

que pasa por el origen⇔(x′1, . . . , x

′n+1

)= λ (x1, . . . , xn+1) , λ ∈ K− 0.


P n (K) = An+1 (K)− 0/ ≡,[x1, . . . , xn+1] =

(x′1, . . . , x

′n+1

)∈ An+1 (K)− 0 | (x1, . . . , xn+1) ≡

(x′1, . . . , x

′n+1

)

= λ (x1, . . . , xn+1) | λ ∈ K− 0.

Los elementos de P n (K) son entonces clases de equivalencia, cada punto proyectivoP = [x1, . . . , xn+1] ∈ P n (K) es una clase de equivalencia, y de esta manera

P n (K) = [x1, . . . , xn+1] | (x1, . . . , xn+1) ∈ An+1 (K)− 0.

Sea [x1, . . . , xn+1] ∈ P n (k); si xn+1 6= 0, [x1, . . . , xn+1] = [ x1

xn+1, . . . , xn

xn+1, 1]; si xn+1 =

0, [x1, . . . , xn+1] = [x1, . . . , xn, 0]. Por lo tanto,

P n (K) = [x1, . . . , xn, 1] | (x1, . . . , xn) ∈ An (K)∪[x1, . . . , xn, 0] | [x1, . . . , xn] ∈ P n−1 (K)∼= An (K) ∪ P n−1 (K) .


Podemos entonces decir que el espacio proyectivo P n (K) es union del espacio afınAn (K) con el espacio proyectivo P n−1 (K).

El conjunto [x1, . . . , xn, 0] | [x1, . . . , xn] ∈ P n−1 (K) ∼= P n−1 (K) se acostumbratambien a denotar por H∞, y se denomina el hiperplano en el infinito, de talforma que tambien podemos escribir

P n (K) ∼= An (K) ∪H∞.

Hay otra forma de descomponer el espacio proyectivo P n (K) como union de n + 1espacios afines. En efecto, procedamos en forma recurrente como lo hicimos arriba.

n = 1: En P 1 (K) consideremos los conjuntos

U1 := [x1, x2] | x1 6= 0 = [1, a2] | a2 ∈ KU2 := [x1, x2] | x2 6= 0 = [a1, 1] | a1 ∈ K

Se tienen las funciones biyectivas

ϕ1 : A1 (K) −→ U1

a2 7−→ [1, a2]

ϕ2 : A1 (K) −→ U2

a2 7−→ [1, a2].

LuegoP 1 (K) = U1 ∪ U2

∼= A1(K) ∪ A1(K).

n = 2: En este caso se tiene que

P 2 (K) = U1 ∪ U2 ∪ U3∼= A2(K) ∪ A2(K) ∪ A2(K),

donde

U1 := [1, a2, a3] | a2, a3 ∈ KU2 := [a1, 1, a3] | a1, a3 ∈ KU3 := [a1, a2, 1] | a1, a2 ∈ K.

En general, se tienen las funciones biyectivas

ϕi : An (K) −→ Ui

(a1, . . . , ai−1, ai+1, . . . , an+1) 7−→ [a1, . . . , ai−1, 1, ai+1, . . . , an+1].

y la descomposicion

P n (K) = U1 ∪ · · · ∪ Un+1∼= An(K) ∪ · · · ∪ An(K). (4.1.1)

4.2. CONJUNTOS ALGEBRAICOS PROYECTIVOS 75

4.2. Conjuntos algebraicos proyectivos

Veremos a continuacion que los algebraicos del espacio proyectivo se definen en formanatural y analoga a los algebraicos del caso afın. Probaremos ademas la versionproyectiva del teorema de ceros de Hilbert.

Definicion 4.2.1. Sea f ∈ K[x1, . . . , xn+1], decimos que P = [a1, . . . , an+1] ∈P n (K) es un cero de f si para cada

(a′1, . . . , a

′n+1

)∈ [a1, . . . , an+1] se tiene que

f(a′1, . . . , a

′n+1

)= 0 , es decir,

f (λa1, . . . , λan+1) = 0, para cada λ ∈ K− 0.

Proposicion 4.2.2. Sea f = fm + · · ·+ fd ∈ K[x1, . . . , xn+1] escrito como suma depolinomios homogeneos, y sea P = [a1, . . . , an+1] ∈ P n (K). Entonces, P un cero def si, y solo si, P es un cero de fi, para cada m ≤ i ≤ d. Ademas, m ≥ 1.

Demostracion. Es claro que si P anula a cada componente homogenea de f entoncesP es un cero de f .

Para cada λ ∈ K− 0 se tiene que

0 = f (λa1, . . . , λan+1)

= fm (λa1, . . . , λan+1) + · · ·+ fd (λa1, . . . , λan+1)

= λmfm (a1, . . . , an+1) + · · ·+ λdfd (a1, . . . , an+1)

= fm (a1, . . . , an+1) + · · ·+ λd−mfd (a1, . . . , an+1) ,

luego fm (a1, . . . , an+1) = 0 = · · · = fd (a1, . . . , an+1) (de lo contrario, la ultimaecuacion tendrıa infinitas raıces). Pero para cada m ≤ i ≤ d se tiene que

fi (λa1, . . . , λan+1) = λifi (a1, . . . , an+1) = 0, para cada λ ∈ K− 0,

es decir, P es un cero de fi, para cada m ≤ i ≤ d. Si m = 0, entonces f0 =f0 (a1, . . . , an+1) = 0, con lo cual f0 = 0. Esto completa la prueba.

Definicion 4.2.3. Un algebraico (proyectivo) de P n (K) es el conjunto de cerosde un subconjunto S de K[x1, . . . , xn+1], y se denota por Vp (S). En otras palabras,

Vp (S) := P ∈ P n (K) | f(P ) = 0 para cada f ∈ S.

Veremos a continuacion que los algebraicos de P n (K) pueden ser generados porideales homogeneos en el sentido de la siguiente definicion.

Definicion 4.2.4. Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn+1]. Se dice que I es homogeneosi para cada f = fm + · · · + fd ∈ I se cumple que fi ∈ I , para cada m ≤ i ≤ d. Elideal nulo es homogeneo.


Proposicion 4.2.5. Sea I un ideal de K[x1, . . . , xn+1]. I es homogeneo si, y solo si,I es generado por un conjunto de polinomios homogeneos.

Demostracion. ⇒) Sea I = 〈f (1), . . . , f (r)〉 un ideal homogeneo, con f (i) = f(i)mi +

· · · + f(i)di

, entonces f(i)mi , . . . , f

(i)di∈ I para cada 1 ≤ i ≤ r, y en consecuencia I =

〈f (1)m1 , . . . , f

(r)dr〉.

⇐) Sea I = 〈f (j)〉j∈Ω, donde cada f (j) es homogeneo de grado tj. Sea f ∈ I,con f = fm + · · · + fd, entonces existen r generadores f (1), . . . , f (r) ∈ f (j)j∈Ω ypolinomios g(1), . . . , g(r) ∈ K[x1, . . . , xn+1] tales que f = g(1)f (1) + · · ·+ g(r)f (r). Sea

g(i) = g(i)mi + · · ·+ g

(i)di

, con 1 ≤ i ≤ r. Entonces,

f = fm + · · ·+ fd =(g(1)m1

+ · · ·+ g(1)d1

)f (1) + · · ·+

(g(r)mr

+ · · ·+ g(r)dr

)f (r),

luego fm ∈ 〈f (1), . . . , f (r)〉 ⊆ I. Resulta, f − fm ∈ I y podemos repetir este razon-amiento para f − fm y obtenemos que fm+1 ∈ I. Por recurrencia se tiene que fi ∈ Ipara cada 1 ≤ i ≤ d.

En la prueba de esta segunda parte no se uso que el conjunto Ω sea finito, sinembargo, como K[x1, . . . , xn+1] es noetheriano, entonces se puede demostrar que Ω sepuede tomar finito: en efecto, sea I = 〈p1, . . . , pr〉 con pj ∈ K[x1, . . . , xn+1], entoncescada pj se puede expresar como una combinacion finta de algunos polinomios def (j)j∈Ω; la reunion de estos polinomios homogeneos es finita y por supuesto generaa I.

Corolario 4.2.6. Todo algebraico de P n (K) es de la forma Vp (Ih), donde Ih es unideal homogeneo de K[x1, . . . , xn+1].

Demostracion. Sea Vp = Vp (S) = Vp (〈S〉) un algebraico de P n (K); si S es vacıo,entonces Vp = Vp (0) y 0 es un ideal homogeneo de K[x1, . . . , xn+1]. Sea S no vacıo,

y sea 〈S〉 = 〈f (1), . . . , f (r)〉 con f (i) = f(i)mi + · · ·+ f

(i)di

, con 1 ≤ i ≤ r. Entonces, Vp =

Vp

(〈f (1)m1 , · · · , f

(r)dr〉).

Definicion 4.2.7. Sea X ⊆ P n (K), se define

Ih(X) := f ∈ K[x1, . . . , xn+1] | f(P ) = 0 para cada P ∈ X.

Proposicion 4.2.8. Ih(X) es un ideal homogeneo.

Demostracion. Sea f ∈ Ih(X) con f = fm + · · · + fd, entonoces para cada P ∈ Xse tiene que f (P ) = 0, y por la proposicion 4.2.2 tenemos que fi(P ) = 0 para cadam ≤ i ≤ d, es decir, fi ∈ Ih(X).

Teorema 4.2.9. Existe una correspondencia entre el conjunto de los ideales ho-mogeneos de K[x1, . . . , xn+1] y el conjunto de algebraicos de P n (K) que satisface lassiguientes propiedades:

4.2. CONJUNTOS ALGEBRAICOS PROYECTIVOS 77

(i) Vp (I) = Vp

(√I)

(ii) Vp (∪α∈ΩIα) = Vp(∑

α∈Ω Iα)

= ∩α∈ΩVp (Iα)

(iii) I ⊆ J ⇒ Vp (J) ⊆ Vp (I)

(iv) Vp (IJ) = Vp (I) ∪ Vp (J)

(v) Vp (0) = P n (K) , Vp (K[x1, . . . , xn+1]) = ∅

(vi) X ⊆ Y ⇒ Ih (Y ) ⊆ Ih (X)

(vii) S ⊆ Ih (Vp (S)) , Vp (S) = Vp (Ih (Vp (S)))

(viii) X ⊆ Vp (Ih (X)) , Ih (X) = Ih (Vp (Ih (X)))

(ix)√Ih (X) = Ih (X)

(x) Ih (∅) = K[x1, . . . , xn+1], Ih (P n (K)) = 0 ya que K es infinito.

Demostracion. La prueba de estas propiedades es similar al caso afın.

Definicion 4.2.10. Un algebraico X ⊆ P n (K) es irreducible si para cada par dealgebraicos V1, V2 de P n (K) se tiene que

X = V1 ∪ V2 ⇔ X = V1 o X = V2.

Un algebraico irreducible de P n (K) se dice tambien que es una variedad proyec-tiva.

Al igual que en el caso afın se tienen las siguientes propiedades.

Teorema 4.2.11. Sea Vp un algebraico de P n (K). Entonces,

Vp es irreducible no vacıo ⇔ Ih (Vp) es primo.

Teorema 4.2.12. Todo algebraico proyectivo tiene una unica descomposicion enunion finita de variedades proyectivas.

Pasamos ahora a estudiar el cono de un algebraico proyectivo.

Definicion 4.2.13. Sea Vp ⊆ P n (K) un algebraico proyectivo. Se define el cono deVp por

C (Vp) := (a1, . . . , an+1) ∈ An+1 (K) | [a1, . . . , an+1] ∈ Vp ∪ (0, . . . , 0).

Proposicion 4.2.14. Sea Vp 6= ∅ un algebraico de P n (K). Entonces, I (C(Vp)) =Ih (Vp).


Demostracion. Sea f ∈ I (C(Vp)), entonces f(P ) = 0 para cada punto P ∈ C(Vp).Sea [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp, entonces para cada λ 6= 0 se tiene que λ (x1, . . . , xn+1) ∈C(Vp), luego f (λ (x1, . . . , xn+1)) = 0, con lo cual f ([x1, . . . , xn+1]) = 0, es decir,f ∈ Ih (Vp).

Recıprocamente, sea f ∈ Ih (Vp), entonces para cada [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp setiene que f ([x1, . . . , xn+1]) = 0. Sea

(x′1, . . . , x

′n+1

)∈ C(Vp), se tiene entonces que

[x′1, . . . , x′n+1] ∈ Vp o

(x′1, . . . , x

′n+1

)= 0. En el primer caso f

(x′1, . . . , x

′n+1

)= 0.

En el segundo caso, como Vp 6= ∅, sea [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp, entonces se tiene quef ([x1, . . . , xn+1]) = 0 luego f0 = 0, con f = f0 + f1 + · · · + fd. Pero esto garantizaque f

(x′1, . . . , x

′n+1

)= f (0, . . . , 0) = 0.

Observacion 4.2.15. Si Vp = ∅, entonces C(Vp) = C (∅) = (0, . . . , 0), luegoI (C(Vp)) = 〈x1, . . . , xn+1〉. De otra parte, Ih (Vp) = K[x1, . . . , xn+1]. Ası pues, eneste caso I (C(Vp)) Ih (Vp).

Proposicion 4.2.16. Sea Ih un ideal homogeneo de K[x1, . . . , xn+1] tal que Vp (Ih) 6=∅. Entonces, C (Vp (Ih)) = V (Ih).

Demostracion. Si (x1, . . . , xn+1) ∈ C (Vp (Ih)), entonces [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp (Ih) o laotra opcion es (x1, . . . , xn+1) = 0. Sea f ∈ Ih, en el primer caso f ([x1, . . . , xn+1]) = 0,luego f (x1, . . . , xn+1) = 0, es decir, (x1, . . . , xn+1) ∈ V (Ih). Para el segundo caso,sea f = f0 + f1 + · · · + fd, entonces fi ∈ Ih, 1 ≤ i ≤ d. Si f0 6= 0, entoncesIh = K[x1, . . . , xn+1] y por lo tanto Vp (Ih) = ∅, pero esto contradice la hipotesis,ası pues f = f1 + · · ·+ fd y de esta forma f (x1, . . . , xn+1) = f (0) = 0.

Recıprocamente, sea (x1, . . . , xn+1) ∈ V (Ih), entonces f (x1, . . . , xn+1) = 0 paracada f ∈ Ih. Si (x1, . . . , xn+1) = 0, (x1, . . . , xn+1) ∈ C (Vp (Ih)). Sea (x1 . . . , xn+1) 6=0, sea f = f0 + f1 + · · · + fd ∈ Ih, entonces f0, f1, . . . , fd ∈ Ih, con lo cualf0 (x1, . . . , xn+1) = 0 y de esta forma f0 = 0. Tambien, fi (x1, . . . , xn+1) = 0 para1 ≤ i ≤ d. Esto implica que λifi (x1, . . . , xn+1) = 0 = fi (λx1, . . . , λxn+1). Estogarantiza que f ([x1, . . . , xn+1]) = 0, es decir, [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp (Ih), con lo cual,(x1, . . . , xn+1) ∈ C (Vp (Ih)).

Cerramos esta seccion probando la version proyectiva del teorema de ceros deHilbert.

Teorema 4.2.17 (Teorema de ceros de Hilbert: version proyectiva). Sea Ihun ideal homogeneo de K[x1, . . . , xn+1]. Entonces,

(i) Vp (Ih) = ∅ ⇔ 〈x1, . . . , xn+1〉 ⊆√Ih

(ii) Vp (Ih) 6= ∅ ⇒ Ih (Vp (Ih)) =√Ih.

Demostracion. (i) ⇒) Si Ih = K[x1, . . . , xn+1], entonces Vp (Ih) = ∅ y claramente〈x1, . . . , xn+1〉 ⊂

√Ih = K[x1, . . . , xn+1]. Sea Ih 6= K[x1, . . . , xn+1], por hipoteis

4.3. VARIEDADES PROYECTIVAS Y ALGEBRAS 79

Vp (Ih) = ∅, luego C (Vp (Ih)) = C (∅) = (0, . . . , 0). Pero notemos que V (Ih) ⊆C (Vp (Ih)). En efecto, basta repetir la prueba de la segunda parte de la proposicion4.2.8: si V (Ih) = ∅, entonces no debemos probar nada. Sea (x1, . . . , xn+1) ∈ V (Ih),entonces f (x1 . . . , xn+1) = 0 para cada f ∈ Ih. Si (x1 . . . , xn+1) = 0, entonces(x1, . . . , xn+1) ∈ C (Vp (Ih)). Sea (x1, . . . , xn+1) 6= 0, sea f = f0 + f1 + · · · + fd ∈Ih, entonces f0, f1, · · · , fd ∈ Ih, con lo cual f0 (x1, . . . , xn+1) = 0 y de esta for-ma f0 = 0. Tambien, fi (x1, . . . , xn+1) = 0 para 1 ≤ i ≤ d. Esto implica queλifi (x1, . . . , xn+1) = 0 = fi (λx1 . . . , λxn+1). Esto garantiza que f ([x1, . . . , xn+1]) =0, ası, [x1, . . . , xn+1] ∈ Vp (Ih), con lo cual, (x1, . . . , xn+1) ∈ C (Vp (Ih)).

Por lo anterior, V (Ih) ⊆ (0, . . . , 0), pero como Ih es homogeneo y propio,entonces (0, . . . , 0) ∈ V (Ih), es decir, V (Ih) = (0, . . . , 0). A partir de esta igual-dad obtenemos que I (V (Ih)) = I ((0, . . . , 0)) = 〈x1, . . . , xn+1〉, es decir,

√Ih =

〈x1, . . . , xn+1〉.⇐) De la hipotesis resulta Vp(

√Ih) ⊆ Vp(x1, . . . , xn+1) = ∅, es decir, Vp(Ih) =

Vp(√Ih) = ∅.

(ii) Sea Vp (Ih) 6= ∅, por la proposicion 4.2.16 C (Vp (Ih)) = V (Ih), por lo tantoI(C (Vp (Ih))) = I(V (Ih), y por la proposicion 4.2.14, Ih (Vp (Ih)) = I (V (Ih)). De laversion afın del teorema de ceros de Hilbert obtenemos que Ih (Vp (Ih)) =

√Ih.

Observacion 4.2.18. Si Vp (Ih) = ∅, entonces Ih(Vp(Ih)) = K[x1, . . . , xn+1] (veaseel teorema 4.2.9, parte (x)).

4.3. Variedades proyectivas y algebras

Definicion 4.3.1. Sea Vp ⊆ P n (K) una variedad proyectiva no vacıa y sea Ih (Vp)su ideal primo homogeneo, se define el anillo de coordenadas homogeneas dela variedad Vp por

Ah (Vp) := K[x1, . . . , xn+1]/Ih (Vp) .

Ah(Vp) se denomina tambien el algebra de la variedad proyectiva Vp. El cuerpode funciones homogeneas de Vp es el cuerpo de fracciones de Ah(Vp),

Kh (Vp) := fg| f, g ∈ K[x1, . . . , xn+1], g /∈ Ih (Vp).

El cuerpo de funciones racionales homogeneas sobre Vp se define por

K (Vp) := fg∈ Kh (Vp) | f, g son polinomios homogeneos del mismo grado ∪ 0

1.

Observacion 4.3.2. En relacion con lo que vimos en la observacion 2.4.2 para elcaso afın, aquı en el caso proyectivo se tiene lo siguiente:

(i) Sea g un polinomio homogeneo y sea P = [a1, . . . , an+1] ∈ P n(K), entonces


g(P ) 6= 0⇔ g(λa1, . . . , λan+1) 6= 0, para cada λ 6= 0.

En cambio, si g no es homogeneo, puede ocurrir que g(λa1, . . . , λan+1) 6= 0 yg(λ′a1, . . . , λ

′an+1) = 0 para valores λ 6= λ′. En efecto, sea g = x2 + y2 − x y seaP = [2, 0], entonces g (2, 0) = 2, pero g (1, 0) = 0. Ası pues, para polinomios no ho-mogeneos, g(P ) 6= 0 quiere decir, segun la definicion 4.2.1, que g(λa1, . . . , λan+1) 6= 0para algun λ 6= 0.

(ii) Sea z = fg∈ Kh(Vp) y sea P = [a1, . . . , an+1] ∈ Vp tal que g(P ) 6= 0; si f y

g son homogeneos del mismo grado d, es decir, si z ∈ K(Vp), entonces z(P ) := f(P )g(P )

esta bien definida. En efecto, f(a1,...,an+1)g(a1,...,an+1)

= f(λa1,...,λan+1)g(λa1,...,λan+1)

para cada λ 6= 0. Es claroque para polinomios no homogeneos o para polinomios homogeneos pero de diferentegrado, z en P no esta bien definida.

(iii) Al igual que en el caso afın (vease el ejemplo 1.7.10), existe una corres-pondencia biyectiva entre las variedades proyectivas Wp ⊆ Vp y los ideales primoshomogeneos de Ah (Vp).

Proposicion 4.3.3. Sea Vp ⊆ P n (K) una variedad proyectiva no vacıa. Entonces,

(i) K (Vp) es un subcuerpo de Kh (Vp).

(ii) K ( K (Vp) ( Kh (Vp), K ( Ah (Vp) * K (Vp) y se tiene el siguiente diagrama

K → K(Vp) Ah (Vp) → Kh (Vp)

Demostracion. (i)K (Vp) es no vacıo ya queK se sumerge enK (Vp) en forma natural,

λ 7→ λ1

(esto mismo establece que K se sumerge en Ah(Vp)). Sean ahora fg, f

′

g′∈

K (Vp), donde gr (f) = d = gr (g) , gr (f ′) = d′ = gr (g′). Entonces, fg

+ f ′

g′= fg′+gf ′

gg′,

notemos que si fg′ + gf ′ 6= 0, entonces gr (fg′ + gf ′) = d + d′ = gr (gg′), con lo

cual fg

+ f ′

g′∈ K (Vp). Si fg′ + gf ′ = 0, entonces f

g+ f ′

g′= 0

gg′= 0

1∈ K (Vp). De igual

manera, fgf ′

g′∈ K (Vp). Tambien, 1

1∈ K (Vp), y si f

ges no nulo, entonces f 6= 0, con

lo cual g

f∈ K (Vp) y f

gg

f= 1

1.

(ii) Probemos ahora que K (Vp) ( Kh (Vp) y Ah (Vp) * K (Vp) : existe i talque xi /∈ Ih(Vp). En efecto, si xi ∈ Ih(Vp) para cada 1 ≤ i ≤ n + 1, entonces〈x1, . . . , xn+1〉 ⊆ Ih(Vp) =

√Ih(Vp), luego por el teorema 4.2.17, Vp(Ih(Vp)) = ∅, es

decir, Vp = ∅, lo cual es falso. Notemos que xi

1∈ Kh(Vp), xi

1/∈ K(Vp). En efecto,

si xi

1∈ K (Vp), entonces xi

1= f

g, donde gr (f) = d = gr (g), se tiene entonces que

xig−f ∈ Ih(Vp), pero como Ih(Vp) es homogeneo, entonces en particular f ∈ Ih(Vp),


es decir, f = 0 y de esta manera xi

1= 0

1, luego xi ∈ Ih(Vp), falso. Este mismo

razonamiento establece que Ah (Vp) * K (Vp).Resta ver que K 6= Ah(Vp) y K 6= K(Vp). Notemos que xi

1∈ Ah (Vp) − K, de lo

contrario xi

1= λ

1y entonces xi − λ ∈ Ih(Vp), es decir, xi ∈ Ih(Vp), falso. De manera

similar,

Definicion 4.3.4. Sea Vp ⊆ P n (K) una variedad proyectiva no vacıa. Sea P ∈ Vp ysea z ∈ K (Vp). Se dice que z esta definida en el punto P si existen f, g ∈ Ah (Vp)

tales que z = fg

con g (P ) 6= 0. z no esta definida en P si para cada representacion

z = fg

se cumple que g(P ) = 0. Ademas, se define

LP (Vp) := fg∈ K(Vp) | g (P ) 6= 0.

Proposicion 4.3.5. Sea Vp ⊆ P n (K) una variedad proyectiva no vacıa. Entonces,LP (Vp) es un DI local de K(Vp) que contiene a K y cuyo maximal es

MP (Vp) = fg∈ LP (Vp) | f (P ) = 0.

Ademas, Ah (Vp) * LP (Vp) y se tiene el siguiente diagrama

K → LP (Vp) → K(Vp) ↓Ah (Vp) → Kh (Vp)

Demostracion. La prueba es como en la demostracion del teorema 2.4.3 y la dejamoscomo ejercicio al lector. No podemos repetir la prueba del teorema 2.4.3 para intentardemostrar que LP (Vp) es noetheriano ya que en el caso proyectivo que nos ocupaAh (Vp) * LP (Vp).

Veamos ahora como definir los morfismos polinomiales homogeneos (proyectivos).Sean Vp ⊆ P n (K) y Wp ⊆ Pm (K) variedades proyectivas no vacıas. Un morfismopolinomial homogeneo debe ser una funcion

α : Vp −→ Wp

[a1, . . . , an+1] 7→ [f1(a1, . . . , an+1), . . . , fm+1(a1, . . . , an+1)]

definida por medio de m+ 1 polinomios homogeneos f1, . . . , fm+1 ∈ K[x1, . . . , xn+1]del mismo grado d. En efecto, veamos un ejemplo en donde no todos los polinomiosson homogeneos:

α : P 1(K) −→ P 1(K)

[a1, a2] 7→ [a21 + a2

2 − a1, a21].


Entonces, [2, 0] = [1, 0], pero α([2, 0]) = [2, 4] 6= [0, 1] = α ([1, 0]), es decir, α noesta bien definida. Consideremos otro ejemplo pero con polinomios homogeneos dediferente grado:

α : P 1(K) −→ P 1(K)

[a1, a2] 7→ [a21 + a2

2, a1].

Entonces, [2, 0] = [1, 0], pero α([2, 0]) = [4, 2] 6= [1, 1] = α ([1, 0]).

Definicion 4.3.6. Sean Vp ⊆ P n (K) y Wp ⊆ Pm (K) dos variedades proyectivas novacıas. Un morfismo polinomial homogeneo es una funcion

α : Vp −→ Wp

[a1, . . . , an+1] 7→ [f1(a1, . . . , an+1), . . . , fm+1(a1, . . . , an+1)]

definida por medio de m + 1 polinomios homogeneos f1, . . . , fm+1 ∈ K[x1, . . . , xn+1]del mismo grado d. Se dice que α es un isomorfismo si existe un morfismo poli-nomial homogeneo β : Wp −→ Vp tal que α β = iWp y β α = iVp.

Proposicion 4.3.7. Sea α : Vp −→ Wp un morfismo polinomial homogeneo definidopor medio de m+1 polinomios homogeneos f1, . . . , fm+1 ∈ K[x1, . . . , xn+1] del mismogrado d. Entonces, α induce los siguientes homomorfismos de anillo:

(i)

Ah (Wp) ϕα−→ Ah (Vp)

t 7→ t (f1, . . . , fm+1)

(ii) Si P ∈ Vp y α (P ) = Q, entonces

LQ (Wp) ϕα−→ LP (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fm+1)

h (f1, . . . , fm+1)

(iii) Si α es sobreyectivo, entonces

K (Wp) ˜ϕα−→ K (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fm+1)

h (f1, . . . , fm+1)


es un homomorfismo de cuerpos. De igual manera,

Kh (Wp) ˜ϕα−→ Kh (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fm+1)

h (f1, . . . , fm+1)

es tambien un homomorfismo de cuerpos.

(iv) Si α es un isomorfismo, entonces Ah (Wp) ∼= Ah (Vp), LQ (Wp) ∼= LP (Vp),K (Wp) ∼= K (Vp) y Kh (Wp) ∼= Kh (Vp).

Demostracion. Las pruebas completas son analogas a las del caso afın (teorema2.4.5) y quedan como ejercicio al lector.

Un caso particular de los morfismos polinomiales homogeneos son los cambioshomogeneos de coordenadas del espacio proyectivo P n (K), es decir, cuando los poli-nomios sean de grado d = 1 y α es biyectiva.

Definicion 4.3.8. Sea

α : P n (K)→ P n (K)

[a1 . . . , an+1] 7→ [f1 (a1 . . . , an+1) , . . . , fn+1 (a1 . . . , an+1)].

un morfismo polinomial homogeneo biyectivo en el cual todos los polinomios sonhomogeneos de grado 1, entonces se dice que α es un cambio homogeneo (pro-yectivo) de coordenadas.

Teorema 4.3.9. Sea α : P n (K)→ P n (K) un cambio homogeneo de coordenadas ysea Vp = Vp (Jh) un algebraico de P n (K). Entonces,

(i) α−1 (Vp) = Vp (〈g (f1, . . . , fn+1) | g ∈ Jh〉) es algebraico en P n (k) . Ademas, siJh = 〈g(1), . . . , g(r)〉, donde g(i) es homogeneo de grado di, 1 ≤ i ≤ r, entonces

α−1 (Vp) = Vp(〈g(1) (f1, . . . , fn+1) , . . . , g

(r) (f1, . . . , fn+1)〉)

y g(i) (f1, . . . , fn+1) es tambien homogeneo de grado di, 1 ≤ i ≤ r.

(ii) Vp es una variedad ⇔ α−1 (Vp) es una variedad ⇔ α (Vp) es una variedad.

(iii) Sea Vp una variedad, entonces la restriccion de α a Vp,

Vp α−→ α (Vp)


induce los siguientes isomorfismos de anillo

Ah (α (Vp)) ϕα−→ Ah (Vp)

t 7→ t (f1, . . . , fn+1)

K (α (Vp)) ˜ϕα−→ K (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fn+1)

h (f1, . . . , fn+1)

Kh (α (Vp)) ˜ϕα−→ Kh (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fn+1)

h (f1, . . . , fn+1)

Si P ∈ Vp y α (P ) = Q, entonces

LQ (α (Vp)) ϕα−→ LP (Vp)

t

h7→ t (f1, . . . , fn+1)

h (f1, . . . , fn+1)

es tambien un isomorfismo.

(iv) Sea Vp una variedad, entonces la restriccion de α a la variedad α−1 (Vp),

α−1 (Vp) α−→ Vp

induce los siguientes isomorfismos de anillo

Ah (Vp) ϕα−→ Ah(α−1 (Vp)

)f 7→ f (f1, . . . , fn+1)

K (Vp) ˜ϕα−→ K(α−1 (Vp)

)f

g7→ f (f1, . . . , fn+1)

g (f1, . . . , fn+1)

Kh (Vp) ˜ϕα−→ Kh(α−1 (Vp)

)f

g7→ f (f1, . . . , fn+1)

g (f1, . . . , fn+1)

4.4. ALGEBRAICOS AFINES, ALGEBRAICOS PROYECTIVOS 85

Si P ∈ Vp y α (Q) = P , entonces

LP (Vp) ϕα−→ LQ(α−1 (Vp)

)f

g7→ f (f1, . . . , fn+1)

g (f1, . . . , fn+1)

es tambien un isomorfismo.

Demostracion. (i) Sea [a1, . . . , an+1] ∈ α−1 (Vp), entonces α ([a1, . . . , an+1]) ∈ Vp =Vp (Jh), con Jh = 〈g(1), . . . , g(r)〉, donde g(i) es homogeneo de grado di, 1 ≤ i ≤ r.Entonces, g(i) ([f1 (a1 . . . , an+1) , . . . , fn+1 (a1 . . . , an+1)]) = 0, es decir, para cada λ 6=0 se tiene que g(i) (λf1 (a1 . . . , an+1) , . . . , λfn+1 (a1 . . . , an+1)) = 0, luego

g(i) (f1 (λa1 . . . , λan+1) , . . . , fn+1 (λa1 . . . , λan+1)) = 0,

de donde, g(i) (f1, . . . , fn+1) (λa1 . . . , λan+1) = 0 para cada λ 6= 0. Esto significaque g(i) (f1, . . . , fn+1) ([a1 . . . , an+1]) = 0 para cada 1 ≤ i ≤ r, luego [a1, . . . , an+1]∈ Vp

(〈g(1) (f1, . . . , fn+1) , . . . , g

(r) (f1, . . . , fn+1)〉). Para establcer la otra contenencia

basta devolvernos (notemos que g(i) (f1, . . . , fn+1) es tambien homogeneo de gradodi, 1 ≤ i ≤ r. ).

(ii) Sabemos por el literal anterior que α−1 (Vp) es un algebraico, sean V1, V2 ⊆P n (K) algebraicos tales que α−1 (Vp) = V1 ∪ V2, entonces Vp = α (α−1 (Vp)) =α (V1) ∪ α (V2), pero como α es un cambio homogeneo de coordenadas, entoncesα−1 es tambien un cambio homogeneo de coordenadas, y por el literal anterior,α (Vi) = (α−1)

−1(Vi) es algebraico, i = 1, 2. Por lo tanto, α (V1) = Vp o α (V2) = Vp,

es decir, V1 = α−1 (Vp) o V2 = α−1 (Vp). Esto muestra que α−1 (Vp) es una variedad.El resto de la prueba es similar.

Notemos adicionalmente que si f ′1, . . . , f′n+1 son los polinomios homogeneos de

grado 1 que definen el cambio homogeneo de coordenadas α−1, entonces

α (Vp) =(α−1)−1

(Vp) = Vp(〈g(1)

(f ′1, . . . , f

′n+1

), . . . , g(r)

(f ′1, . . . , f

′n+1

)〉).

(iii) Segun vimos en la proposicion 4.3.3 ϕα, ϕα y ˜ϕα son homomorfismos biendefinidos. Pero como α es biyectivo, entonces razonando como en el caso afın, esdecir, teniendo en cuenta que α−1 es tambien un cambio homogeneo de coordenadas,

entonces ϕα, ϕα y ˜ϕα son isomorfismos.(iv) Lo mismo que en (iii).

4.4. Algebraicos afines, algebraicos proyectivos

En esta seccion vamos a construir un algebraico proyectivo a partir de un algebraicoafın, y viceversa. Esto se hara a traves de la homogenizacion y deshomogenizacion


de polinomios e ideales. Estableceremos tambien las relaciones entre los respectviosanillos y cuerpos asociados, cuando esta construccion se hace con variedades.

Definicion 4.4.1. Sea f = f0 +f1 + · · ·+fd ∈ K[x1, . . . , xn], donde fi es homogeneode grado i, 0 ≤ i ≤ d. La homogenizacion de f se define por

f ∗ := xdn+1f0 + xd−1n+1f1 + · · ·+ xn+1fd−1 + fd ∈ K[x1, . . . , xn+1].

Si f ∈ K[x1, . . . , xn+1], entonces se define

f∗ := f (x1, . . . , xn, 1) ∈ K[x1, . . . , xn].

Notemos que en general si f es homogeneo, f∗ resulta no homogeneo, pero ensituaciones particulares f∗ puede resultar nuevamente homogeneo: si f = x2 ∈K[x, y], entonces f∗ = x2.

Se tienen las siguientes propiedades.

Proposicion 4.4.2. (i) Sean f, g ∈ K[x1, . . . , xn], entonces

(fg)∗ = f ∗g∗.

(ii) Sean f, g ∈ K[x1, . . . , xn+1], entonces

(fg)∗ = f∗g∗.

(iii) Si f ∈ K[x1, . . . , xn], entonces

(f ∗)∗ = f.

(iv) Si f ∈ K[x1, . . . , xn+1] es un polinomio homogeneo y xrn+1 es la mayor potenciade xn+1 que divide a f . Entonces,

xrn+1 (f∗)∗ = f.

(v) Sean f, g ∈ K[x1, . . . , xn+1], entonces

(f + g)∗ = f∗ + g∗.

(vi) Sean f = f0 + f1 + · · · + fs y g = g0 + g1 + · · · + gr ∈ K[x1, . . . , xn], dondefi, gj son homogeneos de grado i, j, respectivamente, 0 ≤ i ≤ s, 0 ≤ j ≤ r. Seah = f + g y h = h0 + h1 + · · · + hd con hl homogeneo de grado l, 1 ≤ l ≤ d.Entonces,

xtn+1 (f + g)∗ = xrn+1f∗ + xsn+1g

∗.

con t = s+ r − d,


Demostracion. Veamos la demostracion del numeral (iv), dejamos la prueba de lasotras afirmaciones al lector.

En primer lugar veamos que la afirmacion no es cierta si f no es homogeneo.En efecto, consideremos el polinomio no homogeneo f = y + xy ∈ K[x, y], entoncesf∗ = 1 + x y (f∗)

∗ = y + x; y es la mayor potencia de y que divide a f , de dondey(f∗)

∗ = y2 + yx 6= f .Sea f homogeneo de grado d y sea xrn+1 la mayor potencia de xn+1 que divide a

f . Podemos escribir f en la forma

f = f0(x1, . . . , xn) + f1(x1, . . . , xn)xn+1 + · · ·+ fd(x1, . . . , xn)xdn+1,

donde fi ∈ K[x1, . . . , xn] es homogeneo de grado d − i, 0 ≤ i ≤ d. Pero como xrn+1

es la mayor potencia de xn+1 que divide a f , entonces f = fr(x1, . . . , xn)xrn+1 +

fr+1(x1, . . . , xn)xr+1n+1 + · · · + fd(x1, . . . , xn)x

dn+1, donde fi(x1, . . . , xn) es homogeneo

de grado d− i, r ≤ i ≤ d. De esta manera, f∗ = fr(x1, . . . , xn) + fr+1(x1, . . . , xn) +· · · + fd(x1, . . . , xn), . Resulta, (f∗)

∗ = xd−rn+1fd(x1, . . . , xn) + · · · + fr(x1, . . . , xn) yxrn+1(f∗)

∗ = xdn+1fd(x1, . . . , xn) + · · ·+ xrn+1fr(x1, . . . , xn) = f .

Definicion 4.4.3. Si I ⊆ K[x1, . . . , xn] es un ideal, entonces su homogenizacionse define por

I∗ := 〈f ∗ | f ∈ I〉.

Si I ⊆ K[x1, . . . , xn+1] es un ideal, entonces se define su deshomogenizacion por

I∗ := 〈f∗ | f ∈ I〉.

Notemos que I∗ es un ideal homogeneo de K[x1, . . . , xn+1] ya que esta generadopor un conjunto de polinomios homogeneos.

Definicion 4.4.4. Sean V ⊆ An (K) un algebraico afın e I = I (V ) ⊆ K[x1, . . . , xn].Se define la homogenizacion de V como el algebraico proyectivo

V ∗ := Vp(I∗) ⊆ P n (K) .

Sea Vp ⊆ P n (K) un algebraico proyectivo y sea Ih = Ih (Vp) el ideal homogeneoinducido. Se define la deshomogenizacion de Vp como el algebraico afın

(Vp)∗ := V ((Ih)∗) .

Se tienen las siguientes propiedades.

Teorema 4.4.5. (i) Sea V ⊆ An (K) un algebraico afın. Entonces,

(V ∗)∗ = V.


(ii) Sean V ⊆ W ⊆ An (K) algebraicos afınes. Entonces, V ∗ ⊆ W ∗.

(iii) Sean Vp ⊆ Wp ⊆ P n (K) algebraicos proyectivos. Entonces, (Vp)∗ ⊆ (Wp)∗.

(iv) Si V ⊆ An (K) es una variedad afın, entonces V ∗ ⊆ P n (K) es una variedadproyectiva.

(v) Si V ⊆ An (K) es un algebraico afın, entonces V ∗ es el menor algebraico deP n (K) que contiene a ϕn+1(V ), donde ϕn+1 es la biyeccion definida por

ϕn+1 : An(K)→ Un+1 ⊆ P n (K)

(a1, . . . , an) 7→ [a1, . . . , an, 1].

(vi) Si V = V1 ∪ · · · ∪ Vr es la descomposicion irreducible del algebraico afın V ⊆An (K), entonces V ∗ = V ∗

1 ∪ · · · ∪ V ∗r es la descomposicion irreducible de V ∗.

(vii) Si ∅ 6= V ( An(K) es un algebraico propio no vacıo de An (K), entoncesninguna componente irreducible de V ∗ yace ni contiene a H∞.

(viii) Si Vp ⊆ P n(K) y ninguna componente irreducible de Vp yace ni contiene a H∞,entonces ((Vp)∗)

∗ = Vp y ademas (Vp)∗ ( An(K).

Demostracion. (i) Para comenzar vamos a probar la identidad

ϕn+1(V ) = V ∗ ∩ Un+1,

donde ϕn+1 es la biyeccion definida por

ϕn+1 : An(k)→ Un+1 ⊆ P n (k)

(a1, . . . , an) 7→ [a1, . . . , an, 1].

Sea P = (a1, . . . , an) ∈ V y ϕn+1 (P ) ∈ ϕn+1(V ), entonces claramente ϕn+1 (P ) ∈Un+1; queremos probar que [a1, . . . , an, 1] ∈ V ∗ = Vp (I∗) con I = I (V ). Sea h ∈ I∗,entonces h = h1f

∗1 + · · · + htf

∗t , con fi = f

(i)0 + · · · + f

(i)di∈ I, hi ∈ k[x1, . . . , xn+1],

1 ≤ i ≤ t. Luego

h ([a1, . . . , an, 1]) = h1 ([a1, . . . , an, 1]) f ∗1 ([a1, . . . , an, 1])

+ · · ·+ ht ([a1, . . . , an, 1]) f ∗t ([a1, . . . , an, 1]) ,

pero como f ∗i = xdin+1f

(i)0 + · · ·+ f

(i)di

, entonces

f ∗i ([a1, . . . , an, 1]) =(f

(i)0 + · · ·+ f

(i)di

)(a1, . . . , an) = fi (P ) = 0.

Esto muestra que h ([a1, . . . , an, 1]) = 0, luego [a1, . . . , an, 1] ∈ V ∗.


Sea ahora [a1, . . . , an, 1] ∈ V ∗∩Un+1, entonces para P := (a1, . . . , an) se tiene queϕn+1 (P ) = [a1, . . . , an, 1], queremos mostrar que P ∈ V . Puesto que [a1, . . . , an, 1] ∈V ∗ = Vp (I∗), entonces h ([a1, . . . , an, 1]) = 0 para cada h ∈ I∗, en particular,

f ∗ ([a1, . . . , an, 1]) = 0

para cada f ∈ I. Sea f = f0 + · · ·+ fd, entonces f ∗ = xdn+1f0 + · · ·+ fd con lo cualf (P ) = 0, es decir, P ∈ V (I) = V (I (V )) = V .

Ahora ya podemos mostrar la identidad de (i). Consideremos inicialmente elcaso trivial V = ∅. Sea I = I(V ), entonces I = I(∅) = K[x1, . . . , xn], de donde I∗ =K[x1, . . . , xn+1], y en consecuencia, V ∗ = Vp (I∗) = Vp (K[x1, . . . , xn+1]) = ∅. Resultaentonces que (V ∗)∗ = ∅∗ = V ((Ih (∅))∗) = V (K[x1, . . . , xn+1]∗) = V (K[x1, . . . , xn])= ∅. Ası pues, en este caso la identidad se cumple trivialmente.

Sea V ⊆ An (K) no vacıo, y sea I = I (V ), entonces V ∗ = Vp (I∗) es no vacıoya que ϕn+1 (V ) = V ∗ ∩ Un+1. Sea J := Ih (V ∗), entonces (V ∗)∗ = V (J∗). Notemos

que Ih (V ∗) = Ih (Vp (I∗)) =√I∗ ⊇ I∗, es decir, I∗ ⊆ J , por lo tanto, (I∗)∗ ⊆ J∗,

luego I ⊆ J∗. De aquı se tiene que V (I) ⊇ V (J∗), es decir, V (I(V )) ⊇ V (J∗), luegoV ⊇ V (J∗) = (V ∗)∗.

Veamos la otra inclusion. Sea P = (a1, . . . , an) ∈ V , entonces ϕn+1 (P ) ∈ V ∗,probemos que P ∈ (V ∗)∗ = V (J∗). Basta mostrar que j∗ (P ) = 0 para cada j ∈ J .Como j ([a1, . . . , an, 1]) = 0, entonces j∗ (a1, . . . , an) = 0, luego j∗ (P ) = 0. Hemosprobado que V ⊆ (V ∗)∗, y en consecuencia, (V ∗)∗ = V .

(ii) De V ⊆ W ⊆ An (K) resulta I (W ) ⊆ I (V ), luego (I (W ))∗ ⊆ I (V )∗, y porlo tanto, Vp (I (V )∗) ⊆ Vp ((I (W ))∗), es decir, V ∗ ⊆ W ∗.

(iii) De Vp ⊆ Wp ⊆ P n (K) se tiene que Ih (Wp) ⊆ Ih (Vp), luego (Ih (Wp))∗ ⊆(Ih (Vp))∗. Resulta, V ((Ih (Vp))∗) ⊆ V ((Ih (Wp))∗), es decir, (Vp)∗ ⊆ (Wp)∗.

(iv) Sea I = I (V ), si V = ∅ entonces, como vimos en (i), V ∗ = ∅, y ası en estecaso la propiedad se cumple trivialmente.

Sea V irreducible no vacıo, entonces I es un ideal primo de K[x1, . . . , xn]. Veamosque I∗ es primo: en primer lugar I∗ es propio. En efecto, si I∗ = K[x1, . . . , xn+1],entonces V ∗ = Vp (I∗) = ∅, lo cual, como vimos en (i), es falso. Otra forma de probarlo mismo es: si I∗ = K[x1, . . . , xn+1], entonces I = (I∗)∗ = K[x1, . . . , xn], falso.

Sean f, g ∈ K[x1, . . . , xn+1] tales que fg ∈ I∗, debemos probar que f ∈ I∗ o g ∈I∗. Supongamos inicialmente que f y g son homogeneos. Entonces, (fg)∗ = f∗g∗ ∈(I∗)∗ = I, luego f∗ ∈ I o g∗ ∈ I, con lo cual xpn+1(f∗)

∗ = f ∈ I∗ o xqn+1(g∗)∗ = g ∈ I∗,

donde xpn+1 es la mayor potencia de xn+1 que divide a f y xqn+1 es la mayor potenciade xn+1 que divide a g.

Veamos ahora el caso general, y consideremos para f y g las descomposiciones ensuma de homogeneos, f = f0 + · · ·+fr, g = g0 + · · ·+gs. Entonces la descomposicionhomogenea de h := fg es h = h0 + · · ·+ hd, con h0 = f0g0 y hd = frgs. Como I∗ esun ideal homogeneo, entonces frgs ∈ I∗, luego fr ∈ I∗ o gs ∈ I∗. Si fr ∈ I∗, entonces(f − fr)g ∈ I∗, aplicando induccion sobre d se encuentra que f − fr ∈ I∗ o g ∈ I∗,


es decir, f ∈ I∗ o g ∈ I∗. El caso cuando gs ∈ I∗ se prueba de manera analoga. Estocompleta la prueba que I∗ es primo.

Como V ∗ = Vp (I∗) 6= ∅, entonces I∗ =√I∗ = Ih (Vp (I∗)) es primo, luego

Vp (I∗) = V ∗ es irreducible no vacıo.(v) Sea Wp ⊆ P n (K) un algebraico proyectivo que contiene a ϕn+1 (V ). Vamos

a probar que V ∗ ⊆ Wp. Sea como antes I = I(V ). En primer lugar notemos queIh (Wp) ⊆ I∗: en efecto, sea f ∈ Ih (Wp) y sea P = (a1, . . . , an) ∈ V , entonces[a1, . . . , an, 1] ∈ ϕn+1 (V ) ⊆ Wp, luego f ([a1, . . . , an, 1]) = 0, de donde f∗ (P ) = 0,esto garantiza que f∗ ∈ I(V ), en consecuencia (f∗)

∗ ∈ I∗ , y por lo tanto, xrn+1 (f∗)∗ =

f ∈ I∗, donde xrn+1 es la mayor potencia de xn+1 que divide a f .De lo anterior se tiene que Vp (I∗) ⊆ Vp (Ih (Wp)), es decir, V ∗ ⊆ Wp.(vi) Sea V = V1 ∪ · · · ∪ Vr la descomposicion irreducible del algebraico afın

V ⊆ An (K), entonces Vi ⊆ V para cada 1 ≤ i ≤ r, de donde V ∗i ⊆ V ∗, luego,

V ∗1 ∪ · · · ∪ V ∗

r ⊆ V ∗ y segun (iv) cada V ∗i es irreducible.

Por otro lado, ϕn+1 (Vi) ⊆ V ∗i , con lo cual ϕn+1 (V1)∪· · ·∪ϕn+1 (Vr) ⊆ V ∗

1 ∪· · ·∪V ∗r , es decir, ϕn+1 (V ) ⊆ V ∗

1 ∪ · · · ∪ V ∗r , pero por (v), V ∗ ⊆ V ∗

1 ∪ · · · ∪ V ∗r .

(vii) Sea ∅ 6= V ( An(K) es un algebraico propio no vacıo de An (K), sea V =V1 ∪ · · · ∪ Vr su descomposicion irreducible; segun vimos en (vi), la descomposicionirreducible de V ∗ es V ∗ = V ∗

1 ∪ · · · ∪ V ∗r . Supongamos que V ∗

i ⊇ H∞, entoncesV ∗ ⊇ V ∗

i ⊇ H∞. Vamos a probar que esto es una contradiccion.Entonces, Ih (V ∗) ⊆ Ih (H∞) = 〈xn+1〉, pero estamos asumiendo que V 6= An (K),

por lo tanto, I := I (V ) 6= 0. Entonces existe 0 6= f ∈ I y f ∗ ∈ I∗ ⊆ Ih(Vp(I∗)) =

Ih (V ∗), con lo cual, f ∗ ∈ 〈xn+1〉. Pero esto es imposible ya que f ∗ = xdn+1f0+ · · ·+fdy fd no incluye a xn+1 pues f ∈ I.

Para la segunda opcion sea V = V1 ∪ · · · ∪ Vr la descomposicion irreducible deV . Segun vimos en (vi), la descomposicion irreducible de V ∗ es V ∗ = V ∗

1 ∪ · · · ∪ V ∗r .

Supongamos que una de estas componentes irreducibles V ∗i yace en H∞, es decir,

V ∗i ⊆ H∞. Entonces, V ∗

i ∩ Un+1 = ∅, por lo tanto, ϕn+1 (Vi) = V ∗i ∩ Un+1 = ∅, es

decir, Vi = ∅, pero se supone que las componentes irreducibles se toman no vacıas.Para terminar la prueba de este literal veamos que sucede si V = ∅ o V =

An(K). En el primer caso tenemos que V ∗ = ∅∗ = Vp(I (∅)∗) = Vp (K[x1, . . . , xn]∗) =

Vp (K[x1, . . . , xn+1]) = ∅ ⊆ H∞. Si V = An(K). Entonces, I (V ) = I (An(K)) = 0,de donde, I (V )∗ = 0∗ = 0, con lo cual, V ∗ = Vp (I (V )∗) = Vp(0) = P n (K) ⊇ H∞.

(viii) Es suficiente demostrar esta afirmacion para Vp irreducible. Sea Vp ⊆P n (K) irreducible tal que Vp * H∞ y H∞ * Vp. Probemos que ((Vp)∗)

∗ = Vp y(Vp)∗ ( An (K).

Para simplificar la notacion denotamos W := (Vp)∗ e Ih := Ih(Vp), debemosentonces demostrar que W ∗ = Vp y que W ( An (K). Observemos que W ∗ = Vp(J

∗)con J := I(W ).

Probemos primero la inclusion W ∗ ⊆ Vp. Sea P = [a1, . . . , an+1] ∈ Vp (J∗),entonces para cada f ∈ J∗ se tiene que f (P ) = 0, en particular, para cada h ∈ J


se cumple que h∗ (P ) = 0, y por lo tanto, h∗ (P ) = 0 para cada h ∈ (Ih)∗ ya que(Ih)∗ ⊆ J (en efecto, J = I(W ) = I ((Vp)∗) = I (V ((Ih)∗)) =

√(Ih)∗ ⊇ (Ih)∗).

En consecuencia, si r ∈ Ih y h = r∗, entonces (r∗)∗ (P ) = 0 para cada r ∈ Ih.

Sea r un generador de Ih y consideremos la mayor potencia xtn+1 que divide a r,entonces r = xtn+1(r∗)

∗, luego r(P ) = xtn+1(P )(r∗)∗(P ) = 0. Esto demuestra que

P ∈ Vp (Ih) = Vp (Ih (Vp)) = Vp.Veamos ahora la prueba de Vp ⊆ W ∗: si probamos que Ih(W

∗) ⊆ Ih(Vp) en-tonces Vp(Ih(Vp)) ⊆ Vp(Ih(W

∗)), luego Vp ⊆ W ∗. Notemos primero que Ih(W∗) =

Ih(Vp(I(W )∗)) =√I(W )∗, luego sea h ∈ Ih(W

∗), entonces existe l tal que hl =h1j

∗1 + · · ·+ htj

∗t , donde ji ∈ I(W ), 1 ≤ i ≤ t. Pero

I(W ) = I((Vp)∗) = I(V (Ih(Vp)∗)) =√Ih (Vp)∗,

luego existen ni tales que jnii ∈ Ih (Vp)∗, con lo cual jni

i = l1g1∗ + · · · + lrgr∗, congj ∈ Ih (Vp). Pero jni

i = w∗, con w ∈ Ih (Vp), luego (jnii )∗ = (w∗)

∗, de donde existet tal que xtn+1 (w∗)

∗ = xtn+1 (jnii )∗ = w ∈ Ih (Vp), pero Ih (Vp) es primo, entonces

xtn+1 ∈ Ih (Vp) o j∗i ∈ Ih (Vp). Como Vp * H∞, entonces xn+1 /∈ Ih (Vp) (en efecto,si xn+1 ∈ Ih (Vp) entonces 〈xn+1〉 ⊆ Ih (Vp), de donde, Vp (Ih (Vp)) ⊆ Vp (xn+1), esdecir, Vp ⊆ H∞). Por lo tanto, j∗i ∈ Ih (Vp), luego, hl ∈ Ih (Vp). Nuevamente, comoIh(Vp) es primo, entonces h ∈ Ih(Vp).

Para terminar supongamos que (Vp)∗ = An(K), entonces por lo que acabamos deprobar Vp = ((Vp)∗)

∗ = An(K)∗ = Vp(I(An(K))∗) = Vp(0

∗) = Vp(0) = P n(K) ⊇ H∞,en contradiccion con la hipotesis.

Teniendo en cuenta que ϕn+1 es una funcion biyectiva y que ϕn+1 (V ) = V ∗ ∩Un+1 ⊆ P n (K), entonces podemos considerar que V esta incluido en P n (K) y,de acuerdo con los literales (iv) y (v) del teorema anterior, se tiene la siguientedefinicion.

Definicion 4.4.6. Sea V ⊆ An (K) una variedad afın. Entonces, V ∗ ⊆ P n (K) esla clausura proyectiva de V en P n (K).

Se tiene entonces el siguiente teorema.

Teorema 4.4.7. Sea V ⊆ An (K) una variedad afın no vacıa y sea V ∗ ⊆ P n (K) suclausura proyectiva. Entonces,

(i) Existe un homomorfismo sobreyectivo de K-algebras de Ah (V ∗) en A (V ).

(ii) K (V ∗) ∼= K (V ).

(iii) Si P ∈ V , entonces Lϕn+1(P ) (V ∗) ∼= LP (V ).


Demostracion. (i) Sabemos que I := I (V ) es primo. Segun la prueba del numeral(iv) del teorema 4.4.5, V ∗ es una variedad no vacıa, con lo cual Ih (V ∗) es primo.Definimos

Ah (V ∗)θ−→ A (V )

de la siguiente manera: sea f ∈ Ah (V ∗) = K[x1, . . . , xn+1]/Ih (V ∗), con V ∗ = Vp (I∗),entonces para f ∈ K[x1, . . . , xn+1] y f∗ ∈ K[x1, . . . , xn],

θ(f)

:= f∗.

Veamos que θ esta bien definido: si f = g, entonces f − g ∈ Ih (V ∗), veamos quef∗ − g∗ ∈ I. Sea P ∈ V , entonces ϕn+1 (P ) ∈ V ∗, luego (f − g) (ϕn+1 (P )) = 0,es decir, f (ϕn+1 (P )) = g (ϕn+1 (P )), luego, f ([a1, . . . , an, 1]) = g ([a1, . . . , an, 1]),con P = (a1, . . . , an). Se tiene pues que f (a1, . . . , an, 1) = g (a1, . . . , an, 1), es decir,f∗ (a1, . . . , an) = g∗ (a1, . . . , an), por lo tanto, f∗ − g∗ ∈ I.

Las propiedades (ii) y (v) de la proposicion 4.4.2 muestran que θ es un homo-morfismo de anillos (notemos que θ(1) = 1∗ = 1). Ademas, θ es sobreyectivo ya quesi h ∈ K[x1, . . . , xn], entonces θ

(h∗)

= (h∗)∗ = h.(ii) Definimos

˜θ : K (V ∗)→ K (V )

f

g7→ f∗

g∗

En primer lugar recordemos que f y g son homogeneos del mismo grado. Veamos

ahora que˜θ esta bien definido. Si g 6= 0, entonces g∗ 6= 0. En efecto, si g∗ = 0,

entonces g∗ ∈ I = I (V ), entonces (g∗)∗ ∈ I∗. La idea es probar que g ∈ Ih (V ∗).

Sea Q ∈ V ∗ = Vp (I∗), entonces g (Q) = xrn+1 (g∗)∗ (Q) = 0, donde xrn+1 es la mayor

potencia de xn+1 que divide a g. De otra parte, si fg

= f ′

g′, entonces fg′ − gf ′ ∈

Ih (V ∗). Veamos que f∗g∗

= f ′∗g′∗

, es decir, que f∗g′∗ − g∗f ′∗ ∈ I. Sea P = (a1, . . . , an) ∈

V , entonces ϕn+1 (P ) = [a1, . . . , an, 1] ∈ V ∗ y (fg′ − gf ′) ([a1, . . . , an, 1]) = 0, esdecir, fg′ ([a1, . . . , an, 1]) = gf ′ ([a1, . . . , an, 1]). De esot resulta fg′ (a1, . . . , an, 1) =gf ′ (a1, . . . , an, 1), y esto implica que (fg′)∗ (a1, . . . , an) = (gf ′)∗ (a1, . . . , an), por lotanto, (f∗g

′∗) (P ) = (g∗f

′∗) (P ), es decir, f∗g

′∗ − g∗f ′∗ ∈ I.˜

θ es un homomorfismo de anillos:˜θ(fg

+ f ′

g′

)=˜θ(fg′+gf ′

gg′

)= f∗g′∗+g∗f∗

′

g∗g′∗=˜θ(f

g)+˜

θ(f′

g′). De igual manera,

˜θ(fgf ′

g′

)=˜θ(f

g)˜θ(f

′

g′) y˜θ(

11

)= 1

1.˜

θ es sobreyectivo: sea ht∈ K (V ) y sean h = h0 + · · · + hr, t = t0 + · · · + ts.

Notemos entonces que xsn+1h∗ y xrn+1t

∗ son homogeneos de grado r + s. Ademas,notemos que xrn+1t

∗ /∈ Ih (V ∗). En efecto, supongamos que xrn+1t∗ ∈ Ih (V ∗), entonces

4.5. PRODUCTO CARTESIANO DE ESPACIOS 93

sea P = (a1, . . . , an) ∈ V , resulta ϕn+1 (P ) = [a1, . . . , an, 1] ∈ V ∗ y por lo tanto(xrn+1t

∗) (a1, . . . , an, 1) = 0, de donde, t∗ (a1, . . . , an, 1) = 0 y (t∗)∗ (a1, . . . , an) = 0,es decir, t (P ) = 0. Esto significa que t ∈ I = I(V ), lo cual es falso. Con lo anterior

obtenemos que θ(xs

n+1h∗

xrn+1t

∗

)=

(xsn+1h

∗)∗(xr

n+1t∗)∗

= ht.

˜θ es inyectivo: supongamos que

˜θ(fg

)= 0

1, entonces f∗

g∗= 0

1, de donde, f∗ = 0,

luego f∗ ∈ I; pero tal y como vimos al principio de la prueba del presente numeral,

esto implica que f ∈ Ih(V ∗). Esto muestra que˜θ es inyectivo.

(iii) Definimos

θ : Lϕn+1(P ) (V ∗)→ LP (V )

f

g7→ f∗

g∗

Notemos en primer lugar que si g (ϕn+1 (P )) 6= 0, entonces g∗ (P ) 6= 0. En efecto,sea P = (a1, . . . , an) y supongamos que g∗ (P ) = 0, sea g∗ = h = h0 + h1 + · · ·+ hd.Entonces,

g (ϕn+1 (P )) =xrn+1 (g∗)∗ ([a1, . . . , an, 1])

=xrn+1 ([a1, . . . , an, 1]) (g∗)∗ ([a1, . . . , an, 1])

= (g∗)∗ ([a1, . . . , an, 1])

=(xdn+1h0 + · · ·+ hd

)([a1, . . . , an, 1])

=h0 (a1, . . . , an) + · · ·+ hd (a1, . . . , an)

=g∗ (P )

=0,

lo cual es falso.

Como en (ii), θ es un homomorfismo inyectivo de anillos bien definido. Resta ver

que θ es sobreyectivo. Vimos en (ii) que dado ht∈ LP (V ) se tiene que θ

(xs

n+1h∗

xrn+1t

∗

)= h

t.

Solo debemos ver que xrn+1t∗ esta definido en ϕn+1 (P ): sabemos que t (P ) 6= 0; si

xrn+1t∗ ([a1, . . . , an, 1]) = 0, t∗ ([a1, . . . , an, 1]) = 0, con lo cual t (a1, . . . , an) = 0, pero

esto es falso. Esto completa la prueba del teorema.

4.5. Producto cartesiano de espacios

En esta seccion se consideran productos cartesianos de espacios afines y proyectivos.Comenzamos con el caso afın.


Proposicion 4.5.1. Sean V ⊆ An (K) y W ⊆ Am (K) algebraicos afines, entoncesel producto cartesiano

V ×W := (a1, . . . , an; b1, . . . , bm) | (a1, . . . , an) ∈ V y (b1, . . . , bm) ∈ W

es un algebraico del espacio afın An+m (K). Se dice que V × W es el productocartesiano de V y W .

Demostracion. Sabemos que V = V (I) y W = V (J), donde I es un ideal deK[X] := K[x1, . . . , xn] y J es un ideal de K[Y ] := K[y1, . . . , ym]. Consideremos elideal H de K[X, Y ] := K[x1, . . . , xn; y1, . . . , ym] definido por H := 〈I〉 + 〈J〉, donde〈I〉, 〈J〉 son los ideales en K[X,Y ] generados por I, J , respectivamente (notemosque se tienen las inyecciones canonicas de K[X] y K[Y ] en K[X, Y ]). Entonces,

V ×W = V (H).

En efecto, sea P = (a, b) = (a1, . . . , an; b1, . . . , bm) ∈ V ×W y sea h ∈ H, entoncesh = h1f1 + · · ·+ hrfs + h′ig1 + · · ·+ h′sgs, con hi, h

′j ∈ K[X, Y ] y fi ∈ I, gj ∈ J para

1 ≤ i ≤ r, 1 ≤ j ≤ s. Se tiene pues que

h (P ) = h1 (P ) f1 (P ) + · · ·+ hr (P ) fs (P ) + h′i (P ) g1 (P ) + · · ·+ h′s (P ) gs (P ) = 0,

es decir, V ×W ⊆ V (H).

Recıprocamente, sea P = (a, b) ∈ V (H), entonces dado f ∈ I se tiene que f ∈ Hy por lo tanto, f (P ) = f (a) = 0, es decir, a ∈ V (I) = V , de igual manera, b ∈ W ,de donde, P ∈ V ×W , es decir, V (H) ⊆ V ×W .

El producto anterior se puede extender tres o mas factores. Consideremos ahorael caso proyectivo.

Definicion 4.5.2. Sea f ∈ K[X, Y ], se dice que f es una biforma de grado (p, q), otambien que f es bihomogeneo de grado (p, q), si f considerado como polinomiode K[Y ][X] es homogeneo de grado p ≥ 0 y considerado como polinomio de K[X][Y ]es homogeneo de grado q ≥ 0.

Ejemplo 4.5.3. f = 2x21x2y1y2 +3x1x

22y

21−4x3

1y22 ∈ Q [x1, x2, y1, y2] es bihomogeneo

de grado (3, 2). En efecto,

f = −4y22x

31 + 2y1y2x

21x2 + 3y2

1x1x22 ∈ Q [y1, y2] [x1, x2]

= 3x1x22y

21 + 2x2

1x2y1y2 − 4x31y

22 ∈ Q [x1, x2] [y1, y2].


Proposicion 4.5.4. Todo polinomio f ∈ K[X, Y ] se puede escribir de manera unica,salvo sumando nulos, como una suma finita de polinomios bihomogeneos

f =t∑i=1

f(pi,qi),

donde f(pi,qi) es un polinomio bihomogeneo de grado (pi, qi), 1 ≤ i ≤ t.

Demostracion. En efecto, sea f = f0 + · · · + fr ∈ K[Y ][X] escrito como sumade polinomios homogeneos, y de igual manera, sea f = f ′0 + · · · + f ′s ∈ K[X][Y ]escrito como suma de polinomios homogeneos. Entonces podemos escribir f comouna suma de biformas, completando con coeficientes nulos, considerando todos losposibles grados (i, j), con 0 ≤ i ≤ r, 0 ≤ j ≤ s, es decir, f =

∑r,si=0,j=0 f(i,j)

Ejemplo 4.5.5. Consideremos el polinomio

f = 6x1y21 + 8x2

2y2 + 7x1y1 + 6x2y1 + 5x1 + 7y1 − 9x2 − 12y2 + 11+

2x21x2y1y2 + 3x1x

22y

21 − 4x3

1y22 ∈ Q [x1, x2, y1, y2] .

Entonces podemos escribir a f como

f = 11 + 7y1 − 12y2 grado 0

+ 5x1 + 7y1x1 + 6y21x1 − 9x2 + 6y1x2 grado 1

+ 8y2x22 grado 2

− 4y22x

31 + 2y1y2x

21x2 + 3y2

1x1x22 grado 3,

y tambien como

f = 11 + 5x1 − 9x2 grado 0

+ 7y1 + 7x1y1 + 6x2y1 − 12y2 + 8x22 y2 grado 1

+ 6x1y21 + 3x1x

22y

21 + 2x2

1x2y1y2 − 4x31y

22 grado 2

Entonces los posibles grados para las biformas son:

(0, 0) , (0, 1) , (0, 2), (1, 0) , (1, 1) , (1, 2), (2, 0) , (2, 1) , (2, 2), (3, 0) , (3, 1) , (3, 2),


y por lo tanto f se puede escribir en la forma

f = 11 grado (0, 0)

+ 7y1 − 12y2 grado (0, 1)

+ 0 grado (0, 2)

+ 5x1 − 9x2 grado (1, 0)

+ 7x1y1 + 6x2y1 grado (1, 1)

+ 6x1y21 grado (1, 2)

+ 0 grado (2, 0)

+ 8x22 y2 grado (2, 1)

+ 0 grado (2, 2)

+ 0 grado (3, 0)

+ 0 grado (3, 1)

+ 3x1x22y

21 + 2x2

1x2y1y2 − 4x31y

22 grado (3, 2) .

Definicion 4.5.6. Sea f ∈ K[X,Y ], se dice que P = [a, b] ∈ P n (K) × Pm (K) esun cero de f si f

(a′1, . . . , a

′n+1; b

′1, . . . , b

′m

)= 0 para cada

(a′1, . . . , a

′n+1

)∈ a =

[a1, . . . , an] y (b′1, . . . , b′m) ∈ b = [b1, . . . , bm], es decir,

f (αa1, . . . , αan+1; βb1, . . . , βbm+1) = 0, para cada α, β ∈ K− 0.

Proposicion 4.5.7. Sea f =∑t

i=1 f(pi,qi) ∈ K[X, Y ] escrito como suma de poli-nomios bihomogeneos, y sea P = [a, b] ∈ P n (K)× Pm (K). P es un cero de f si, ysolo si, P es un cero de f(i,j), para cada 1 ≤ i ≤ t.

Demostracion. ⇒) Para cada α, β ∈ K− 0 se tiene que

0 = f (αa1, . . . , αan+1; βb1, . . . , βbm+1)

=

r,s∑i=0,j=0

f(i,j) (αa1, . . . , αan+1; βb1, . . . , βbm+1)

=

r,s∑i=0,j=0

αiβjf(i,j) (a1, . . . , an+1; b1, . . . , bm+1) .

Fijando i, encontramos j + 1 ecuaciones cada una con infinitas soluciones en β, porlo tanto, f(i,j) (a1, . . . , an+1; b1, . . . , bm+1) = 0 para cada i, j. De aquı se tiene que

f(i,j) (αa1, . . . , αan+1; βb1, . . . , αbm+1) = 0,

para cualesquiera i, j y cualesquiera α, β no nulos, es decir, P es un cero de f(i,j),cualesquiera i, j.⇐) Evidente.


Definicion 4.5.8. Un algebraico (biproyectivo) de P n (K) × Pm (K) es el con-junto de ceros de un subconjunto S de K[X,Y ], y se denota por Vb (S). En otraspalabras,

Vb (S) := P ∈ P n (K)× Pm (K) | f(P ) = 0 para cada f ∈ S.

Veremos enseguida que los algebraicos de P n (K)×Pm (K) pueden ser generadospor ideales bihomogeneos en el sentido de la siguiente definicion.

Definicion 4.5.9. Sea I un ideal de K[X, Y ]. Se dice que I es bihomogeneo sipara cada f =

∑ti=1 f(pi,qi) ∈ I se cumple que f(pi,qi) ∈ I , para cada 1 ≤ i ≤ t.

Proposicion 4.5.10. Sea I un ideal de K[X, Y ]. I es bihomogeneo si, y solo si, Ies generado por un conjunto de polinomios bihomogeneos.

Demostracion. ⇒) Sea I = 〈f (1), . . . , f (r)〉 un ideal bihomogeneo, donde f (j) =∑tjij=1 f

(j)

(pij,qij)

, entonces f(j)

(pij,qij)∈ I para cada ij y cada j, en consecuencia I =

〈f (j)

(pij,qij)| 1 ≤ ij ≤ tj, 1 ≤ j ≤ r〉.

⇐) De manera similar a como vimos en la prueba de la proposicion 4.2.5, elideal I se puede generar por un conjunto finito de polinomios bihomogeneos, I =〈f (1), . . . , f (s)〉, donde cada f (v) es bihomogeneo de grado (pv, qv), 1 ≤ v ≤ s. Sea f ∈I, con f =

∑tu=1 f(pu,qu) escrito como suma de polinomios bihomogeneos comenzando

desde (0, 0) hasta (d1, d2) tal como vimos en la prueba de la proposicion 4.5.4. Existenentonces polinomios g(1), . . . , g(s) ∈ K[X, Y ] tales que f = g(1)f (1) + · · · + g(s)f (s).

Sea g(j) =∑tj

ij=1 g(j)

(pij,qij)

, con 1 ≤ j ≤ s. Entonces,

f =t∑

u=1

f(pu,qu) =

(t1∑i1=1

g(1)

(pi1,qi1)

)f (1) + · · ·+

(ts∑ir=1

g(s)(pis ,qis )

)f (s),

luego f(p1,q1) ∈ 〈f (1), . . . , f (s)〉 ⊆ I. Resulta, f − f(p1,q1) ∈ I y podemos repetir esterazonamiento para f − f(p1,q1) y obtenemos que f(p2,q2) ∈ I. Por recurrencia se tieneque f(pu,qu) ∈ I para cada 1 ≤ u ≤ t.

Corolario 4.5.11. Todo algebraico de P n (K)×Pm (K) es de la forma Vb (Ib), dondeIb es un ideal bihomogeneo de K[X, Y ].

Demostracion. Sea Vb = Vb (S) un algebraico de P n (K) × Pm (K), entonces Vb =Vb (〈S〉). Si S es vacıo, entonces Vb = Vb (0) = K[X, Y ], y 0 es un ideal bihomogeneo

de K[X, Y ]. Sea S no vacıo, y sea 〈S〉 = 〈f (1), . . . , f (s)〉 con f (j) =∑tj

ij=1 f(j)

(pij,qij)

,

con 1 ≤ j ≤ s. Entonces,


Vp = Vp

(〈f (j)

(pij,qij)| 1 ≤ ij ≤ tj, 1 ≤ j ≤ r〉

).

Definicion 4.5.12. Sea X ⊆ P n (K)× Pm (k), se define

Ib(X) := f ∈ K[X, Y ] | f(P ) = 0 para cada P ∈ X.

Proposicion 4.5.13. Ib(X) es un ideal bihomogeneo.

Demostracion. Sea f ∈ Ib(X) con f =∑t

i=1 f(pi,qi), entonoces para cada P ∈ X setiene que f (P ) = 0, y por la proposicion 4.5.7 tenemos que f(pi,qi)(P ) = 0 para cada1 ≤ i ≤ t, es decir, f(pi,qi) ∈ Ib(X).

Definicion 4.5.14. X ⊆ P n (K) × Pm (k) es irreducible si para cada par dealgebraicos V1, V2 de P n (K)× Pm (k) se tiene que

X = V1 ∪ V2 ⇔ X = V1 o X = V2.

Un algebraico irreducible de P n (K)× Pm (k) se dice tambien que es una variedadbiproyectiva.

Se tiene el siguiente resultado.

Teorema 4.5.15. Sea Vb un algebraico de P n (K)× Pm (K). Entonces,

Vb es irreducible no vacıo ⇔ Ib (Vb) es un ideal primo de K[X, Y ].

Demostracion. Se deja como ejercicio al lector.

Este teorema permite definir los siguientes anillos.

Definicion 4.5.16. Sea Vb una variedad no vacıa, entonces

Ab (Vb) := K[X, Y ]/Ib (Vb)

es un DI y se denomina el anillo de coordenadas bihomogeneas de la variedadVb. El cuerpo de fracciones de Ab (Vb) se denota por Kb (Vb) y se denomina cuerpode funciones bihomogeneas de la variedad Vb. De igual manera, se define

K (Vb) := fg∈ Kb (Vb) | f, g son polinomios bihomogeneos del mismo grado,

y se denomina el cuerpo de funciones racionales bihomogeneas de la variedadVp. Finalmente, sea P ∈ Vb, entonces

LP (Vb) := fg∈ K (Vb) | f (P ) 6= 0,

se denomina el anillo local de funciones racionales bihomogeneas.

Las definiciones y construcciones anteriores se pueden extender a 3 o mas factoresproyectivos, e inclusive, combinar factores proyectivos y afines.

4.6. EJERCICIOS 99

4.6. Ejercicios

1. Demuestre el teorema 4.5.15.

2. Sea Ih un ideal homogeneo propio de K[x1, . . . , xn+1] y consideremos A :=K[x1, . . . , xn+1]/Ih. Demuestre que para cada d ≥ 0, Hd := f ∈ A | f es unpolinomio homogeneo de grado d∪0 es un K-espacio vectorial de dimensionfinita.

3. Sea B := K[x, y, z] y f ∈ B un polinomio homogeneo irreducible de gradon ≥ 1. Sea Vp := Vp(f) 6= ∅. Entonces,

(i) Demuestre que la siguiente sucesion de K-espacios es exacta

0→ Bψ−→ B

π−→ Ah(Vp)→ 0,

donde ψ(g) := fg y π es el homomorfismo canonico.

(ii) Demuestre que si d > n, entonces

dimK(g ∈ Ah(Vp)|g es homogeneo de grado d ∪ 0) = dn− n(n−3)2

.

4. Demuestre que cada factor de un polinomio homogeneo es tambien homogeneo.

5. Demuestre que si I es un ideal homogeneo, entonces√I es tambien homogeneo.

6. Recuerde queP 2 (K) = U1 ∪ U2 ∪ U3.

Sea Vp un algebraico de P 2(K) y sea (Vp)i := Ui∩Vp, i = 1, 2, 3. Muestre que siVp = Vp(x

2 + y2 +2xz), entonces (Vp)1 es una parabola, (Vp)2 es una hiperbolay (Vp)3 es una elipse.

7. Sean P := [a1, . . . , an+1], Q := [b1, . . . , bn+1] dos puntos distintos de P n(K).La recta L a traves de los puntos P y Q se define por

L := [λa1 + µb1, . . . , λan+1 + µbn+1] | λ, µ ∈ K, λ 6= 0 o µ 6= 0.

Si α es un cambio homogeneo de coordenadas, demuestre que α (L) es la rectaque pasa a traves de los puntos α (P ) y α (Q).

8. Demuestre que las siguientes curvas proyectivas son irreducibles: (a) xy4 +yz4 + xz4 (b) xn + yn + zn, para cada n ≥ 1.

9. Sea V = V (y − x2, z − x3) ⊂ A3(K). Demuestre que:

(i) I(V ) = 〈y − x2, z − x3〉.


(ii) zw − xy ∈ I(V )∗ ⊂ K[x, y, z, w], pero zw − xy /∈ 〈(y − x2)∗, (z − x3)∗〉.

10. Demuestre que si V ⊆ W ⊆ P n(K) son variedades y V es una hipersuperficie,entonces W = V o W = P n(K).

11. Sean h1, . . . , hm hiperplanos de P n(K), con m ≤ n. Demuestre que

h1 ∩ · · · ∩ hm 6= ∅.

Capıtulo 5

Curvas planas proyectivas

El presente capıtulo corresponde a la version proyectiva de las propiedades es-tudiadas en el capıtulo 3. Asumimos nuevamente que K es un cuerpo algebraica-mente cerrado.

5.1. Definiciones

Definicion 5.1.1. Sean f, g dos polinomios homogeneos no constantes de K[x, y, z],se dice que f ≡ g si existe λ ∈ K − 0 tal que g = λf . La relacion ≡ es deequivalencia y la clase de f sera denotada tambien por f , es decir,

f= λf | λ ∈ K− 0.

Se dice que f es una curva plana proyectiva, su grado es el grado de f . Se diceque la curva es irreducible si f es irreducible.

Definicion 5.1.2. Sea f(x, y, z) una curva plana proyectiva y sea P ∈ P 2 (K), sedefine la multiplicidad de f en P de la siguiente manera:

(i) Si P = [p1, p2, 1], entonces mP (f) := mP ′ (f∗), donde P ′ = (p1, p2).

(ii) Si P = [p1, 1, 0], entonces mP (f) := mQ (g), donde g := f (x, z, y) y Q =[p1, 0, 1].

(iii) Si P = [1, 0, 0], entonces mP (f) := mQ (g), donde g := f (z, y, x) y Q =[0, 0, 1].

Notemos que la parte (ii) de la definicion anterior obedece al cambio proyectivode coordenadas α : P 2 (K)→ P 2 (K) gobernado por la matriz

F =

1 0 00 0 10 1 0

101

102 CAPITULO 5. CURVAS PLANAS PROYECTIVAS

Es decir, los polinomios homogeneos de grado 1 que gobiernan esta matriz sonf1 = x, f2 = z, f3 = y. Ademas notemos que α (Q) = P . En efecto, α (Q) =[p1, 0, 1]F T = P .

Para la parte (iii) el cambio proyectivo de coordenadas θ es gobernado por lamatriz

G =

0 0 10 1 01 0 0

y por tanto, por los polinomios f1 = z, f2 = y, f3 = x. Ademas notemos que θ (Q) =P . En efecto, θ (Q) = [0, 0, 1]GT = P .

Proposicion 5.1.3. Sea P = [p1, p2, p3] ∈ P 2 (K) y α : P 2 (K)→ P 2 (K) un cambioproyectivo de coordenadas definido por los polinomios lineales fi = ci1x+ ci2y+ ci3z,1 ≤ i ≤ 3. Sea Q ∈ P 2 (K) tal que α (Q) = P , entonces

mQ (f (f1, f2, f3)) = mP (f) .

Demostracion. La prueba se realiza siguiendo las ideas del caso afın y la dejamoscomo ejercicio a los lectores.

Proposicion 5.1.4. Sea f es una curva plana proyectiva y sea P = [a1, a2, a3] ∈P 2 (K). Entonces,

P ∈ f ⇔ mP (f) ≥ 1.

Demostracion. Consideremos los tres casos posibles.(i) Sea P = [a1, a2, 1]. Notemos que P ∈ f ⇔ P ′ = (p1, p2) ∈ f∗. En efecto, si P ∈

f , entonces f (P ) = 0, luego f∗ (P ′) = 0. Recıprocamente, si f∗ (P ′) = 0, entonceszr (f∗)

∗ = f , de donde zr (f∗)∗ (P ) = zr (P ) (f∗)

∗ (P ) = (f∗)∗ (P ) = f∗ (P ′) = 0.

Entonces, P ∈ f ⇔ P ′ ∈ f∗ ⇔ mP ′ (f∗) ≥ 1⇔ mP (f) ≥ 1.(ii) Sea P = [p1, 1, 0], entonces P ∈ f ⇔ Q ∈ g, donde g = f (x, z, y) y Q =

[p1, 0, 1]. Segun (i), Q ∈ g ⇔ mQ (g) ≥ 1, pero mQ (g) = mP (f), luego P ∈ f ⇔mP (f) ≥ 1.

(iii) Sea P = [1, 0, 0], entonces P ∈ f ⇔ Q ∈ g, donde g = f (z, y, x) y Q =[0, 0, 1]. Segun (i), Q ∈ g ⇔ mQ (g) ≥ 1, pero mQ (g) = mP (f), luego P ∈ f ⇔mP (f) ≥ 1.

Proposicion 5.1.5. Sea f es una curva plana proyectiva irreducible.

(i) Si P = [a1, a2, 1] ∈ f , entonces LP (f) ∼= LP ′ (f∗), donde P ′ = (a1, a2).

(ii) Si P = [p1, 1, 0], entonces LP (f) ∼= LQ (g), donde g = f (x, z, y) y Q =[p1, 0, 1].

(iii) Si P = [1, 0, 0], entonces LP (f) ∼= LQ (g), donde g = f (z, y, x) y Q = [0, 0, 1].

5.1. DEFINICIONES 103

Demostracion. (i) Como f es irreducible, entonces 〈f〉 es un ideal primo deK[x, y, z];como P ∈ f , entonces Vp (〈f〉) 6= ∅, luego por el teorema de ceros de Hilbert

Ih (Vp (〈f〉)) =√〈f〉 = 〈f〉,

por lo tanto, Vp (〈f〉) es irreducible.De otra parte, sea zr la mayor potencia de z que divide a f , entonces zr (f∗)

∗ = f ,pero como f es irreducible, entonces r = 1 y (f∗)

∗ = f . Notemos ademas que P ′ ∈ f∗.Veamos que f∗ es irreducible: sea f∗ = gh, entonces f = (f∗)

∗ = g∗h∗, de donde,g∗ = f o h∗ = f , y de esta forma, g = (g∗)∗ = f∗ o g = (h∗)∗ = f∗. Sea V := V (〈f∗〉)y sea I := I (V ) = I (V (〈f∗〉)) =

√〈f∗〉 = 〈f∗〉, por lo tanto, V ∗ = Vp (I∗), pero

notemos que I∗ = 〈f∗〉∗ = 〈(f∗)∗〉 = 〈f〉. A partir de esto, y mendiante el teorema4.4.7, parte (iii), se tiene que LP ′ (f∗) = LP ′ (V (〈f∗〉)) ∼= LP (V ∗) = LP (Vp (I∗)) =LP (VP (〈f〉)) = LP (f).

(ii) y (iii) son consecuencia del literal (iv) del la teorema 4.3.9, al considerarlos isomorfismos polinomiales dados por los cambios proyectivos de coordenadasgobernados por las matrices F,G que vimos despues de la definicion 5.1.2. Notemosque estos cambios de coordenadas son involuciones.

Segun los resultados precedentes, en adelante podremos considerar sin perdidade generalidad que P = [a1, a2, 1].

Corolario 5.1.6. Sea f una curva proyectiva irreducible y sea P ∈ f un puntosimple de f , es decir, mP (f) = 1. Entonces, P es un punto simple si, y solo si,LP (f) es un DVD.

Demostracion. Puesto que LP (f) ∼= LP ′ (f∗) y mP (f) = mP ′ (f∗), donde P ′ =(p1, p2), entonces LP ′ (f∗) es un dominio de valuacion discreta, luego LP (f) es tam-bien un dominio de valuacion discreta.

Cerramos esta seccion definiendo el numero de interseccion de dos curvas proyec-tivas en un punto P = [x, y, 1]. Sea f una curva plana proyectiva de P 2 (K) de gradod ≥ 1, recordemos que K (A2 (K)) ∼= K

((A2 (K))

∗)= K (P 2 (K)) y el isomorfismo

viene dado porf

g≡ f∗g∗.

En particular, si g = z, entonces fzd ∈ LP (P 2 (K)), y mediante el isomorfismo se

tiene quef

zd≡ f∗

(zd)∗=f∗1.

Notemos entonces que f∗1∈ LP (P 2 (K)) = LP (A2 (K)∗) ∼= LP ′ (A2 (K)), donde

P ′ = (x, y).


Definicion 5.1.7. Sean f y g dos curvas planas proyectivas y sea P = [x, y, 1] ∈P 2 (K), definimos el numero de intersecciones de f y g en el punto P por

I (P, f ∩ g) := dimK (LP (P 2 (K)) /〈f∗, g∗〉).

Notemos que Vp (z) = [a1, a2, 0] | a1,a2 ∈ K no son simultaneamente nulos, esdecir, Vp (z) = P 1 (K) es la recta en el infinito, es decir, el polinomio homogeneoz define la recta en el infinito. Si en f

zd cambiamos z por cualquier polinomio ho-mogeneo h de grado 1 que no contenga a P = [x, y, 1], entonces en LP (P 2 (K)) se

tiene que fhd =

(zh

)d fzd , pero

(zh

)des un elemento invertible, luego en la definicion de

I (P, f ∩ g) se puede cambiar f∗ por cualquier elemento de la forma fhd , esto mismo

vale para g∗.

Proposicion 5.1.8. I (P, f ∩ g) tiene las siguientes propiedades:

(i) I (P, f ∩ g) = I (P, g ∩ f).

(ii) I (P, f ∩ (g + hf)) = I (P, f ∩ g), con h ∈ K[x, y, z] homogeneo y gr (h) =gr (g)− gr (f).

(iii) Sea α : P 2 (K)→ P 2 (K) un cambio proyectivo de coordenadas tal que α (Q) =P . Entonces, I (P, f ∩ g) = I (Q,α−1 (f) ∩ α−1 (g)). Por lo tanto, se puedeasumir sin perdida de generalidad que P = [a1, a2, 1].

(iv) I (P, f ∩ g) = 0⇔ P /∈ f ∩ g.

(v) I (P, f ∩ g) = ∞ ⇔ f y g tienen al menos un factor irreducible comun quepase por P . Por lo tanto, I (P, f ∩ g) es un entero no negativo si, y solo si, fy g no tienen factores comunes irreducibles que pasen por P .

(vi) Si f = f r11 · · · f rtt es una factorizacion de f y g = gs11 · · · gsll es una factorizacion

de g, entonces

I (P, f ∩ g) =t∑i=1

l∑j=1

risjI (P, fi ∩ gj) .

(vii) I (P, f ∩ g) ≥ mP (f)mP (g). La igualdad se cumple si y solo si f y g no tienenrectas tangentes comunes en P (por definicion, una recta tangente a f en elpunto P es un polinomio homogeneo l de grado 1 tal que I (P, f ∩ l) > mP (f)).

Demostracion. La prueba se realiza siguiendo las ideas del caso afın y la dejamoscomo ejercicio a los lectores (vease la prueba del teorema 3.4.2).

5.2. SISTEMAS DE CURVAS PLANAS 105

5.2. Sistemas de curvas planas

Proposicion 5.2.1. Existe una correspondencia biyectiva entre las curvas planas

proyectivas de P 2 (K) de grado d ≥ 1 y el espacio proyectivo Pd(d+3)

2 (K).

Demostracion. Sea f una curva plana proyectiva de grado d ≥ 1, entonces f es unasuma de terminos de la forma λ(a,b,c)x

aybzc, donde λ(a,b,c) ∈ K y a, b, c son enterosno negativos tales que a + b + c = d. La cantidad de monomios M de la formaM = xaybzc es (d+1)(d+2)

2. Para un f dado, no necesariamente todos los coeficientes

λ(a,b,c) son distintos de cero pero tambien no todos son nulos. Sea n = (d+1)(d+2)2

,entonces cada f determina un juego de coeficientes (λ1, . . . , λn) ∈ An (K) de talforma que f =

∑ni=1 λiMi. Puesto que f es una curva proyectiva, entonces para

cada α 6= 0 en K se tiene que f = αf , luego a f le asignamos el punto proyectivo[λ1, . . . , λn] ∈ P n−1 (K).

Recıprocamente, dado un elemento [λ1, . . . , λn] ∈ P n−1 (K) construimos el poli-nomio homogeneo f =

∑ni=1 λiMi, el cual es de grado d. Finalmente notemos que

n− 1 = d(d+3)2

.

Ejemplo 5.2.2. (i) Si d = 1, entonces las rectas de P 2 (K) conforman P 2 (K).Recordemos que una recta en P 2 (K) es un polinomio homogeneo de grado 1, el cualse puede visualizar en A3 (K) como como todas las rectas contenidas en un planoque pasa por el origen.

(ii) Si d = 2, entonces las conicas ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz conformana P 5 (K).

(iii) Si d = 3, entonces las cubicas conforman a P 9 (K).(iv) Si d = 4, entonces las cuarticas conforman a P 14 (K).

Proposicion 5.2.3. Sea P 2 (K) el plano proyectivo.

(i) Sea P ∈ P 2 (K). El conjunto de curvas de P 2 (K) de grado d ≥ 1 que contienen

al punto P conforman un hiperplano de Pd(d+3)

2 (K).

(ii) Si α : P 2 (K)→ P 2 (K) es un cambio proyectivo de coordenadas mediante lospolinomios homogeneos f1, f2, f3 de grado 1, entonces la funcion

Curvas de grado d ∆−→ Curvas de grado df 7→ f(f1, f2, f3)

es un cambio proyectivo de coordenadas de Pd(d+3)

2 (K).

Demostracion. (i) Sea P = [p1, p2, p3] ∈ P 2 (K) y sea f una curva plana que pasa

por P , entonces f =∑n

i=1 λiMi, donde [λ1, . . . , λn] ∈ Pd(d+3)

2 (K). Entonces, f (P ) =


∑ni=1 λiMi (P ) = 0. No es posible que Mi (P ) = 0 para cada i ya que de lo contrario

P = 0. Esto entonces quiere decir que el punto [λ1, . . . , λn] pertenece al hiperplano∑ni=1Mi (P ) yi de P

d(d+3)2 (K).

Recıprocamente, si [λ1, . . . , λn] pertenece al hiperplano∑n

i=1Mi (P ) yi, entoncesf =

∑ni=1 λiMi es una curva plana de grado d en P 2 (K) que pasa por el punto P .

(ii) Sabemos que una curva f =∑n

i=1 λiMi de P 2 (K) de grado d es un punto

de Pd(d+3)

2 (K) identificado por [λ1, . . . , λn]; notemos que f(f1, f2, f3) es tambien una

curva plana de grado de d, es decir, es un punto del espacio proyectivo Pd(d+3)

2 (K).

Mas exactamente, f(f1, f2, f3) =∑n

i=1 λiMi (f1, f2, f3) ∈ Pd(d+3)

2 (K). Sean

f1 = c11x+ c12y + c13z

f2 = c21x+ c22y + c23z

f3 = c31x+ c32y + c33z

Existen n = d(d+3)2

polinomios hi de grado 1 que definen el cambio proyectivo decoordenadas

Pd(d+3)

2 (K)∆−→ P

d(d+3)2 (K)

[λ1, . . . , λn] 7→ [h1 (λ1, . . . , λn) , . . . , hn (λ1, . . . , λn)].

Se tiene ∆ ([λ1, . . . , λn]) =∑n

i=1 λiMi (f1, f2, f3), luego el coeficiente de Mi (x, y, z)en∑n

i=1 λiMi (f1, f2, f3) debe ser hi (λ1, . . . , λn). Comparando coeficientes se puedencalcular los polinomios hi, los cuales van a depender de cij.

∆ es biyectivo y su inverso viene dado por

f 7→ f(f ′1, f′2, f

′3)

donde f ′1, f′2, f

′3 son los polinomios que definen α−1.

Corolario 5.2.4. Sea P 2 (K) el plano proyectivo.

(i) Sean P1, . . . , Pr puntos distintos en P 2 (K). Entonces, el conjunto de curvasproyectivas de grado d ≥ 1 que pasan por estos puntos constituyen una subvar-

iedad lineal de Pd(d+3)

2 (K) (una subvariedad lineal proyectiva es el conjuntode ceros de un conjunto finito de polinomios homogeneos de grado 1).

(ii) Sea P ∈ P 2 (K) y sea r ≤ d + 1. El conjunto de curvas f de P 2 (K) de gradod tales que mP (f) ≥ r constituyen una subvariedad lineal VP con dimensiond(d+3)

2− r(r+1)

2.

Demostracion. (i) Segun (i) de la proposicon 5.2.3, el conjunto de curvas de grado

d en P 2 (K) que pasan por Pi constituyen un hiperplano Vp (hi) de Pd(d+3)

2 (K). Por

5.3. TEOREMA DE BEZOUT 107

tanto, el conjunto de curvas proyectivas de grado d en P 2 (K) que pasan por lospuntos P1, . . . , Pr viene dado por Vp (h1) ∩ · · · ∩ Vp (hr) = Vp (h1, . . . , hr).

(ii) Puesto que un cambio proyectivo de coordenadas de P 2 (K) induce un cambio

proyectivo de coordenadas en Pd(d+3)

2 (K), y como ademas la multiplicidad de unacurva es invariante mediante tales cambios, entonces se puede asumir que P =[0, 0, 1]. Sea f =

∑di=0 fi (x, y) z

d−i, donde fi (x, y) es homogeneo de grado i, unacurva proyectiva de P 2 (K) tal que mP (f) ≥ r. Recordemos que cada curva de estas

es un punto de Pd(d+3)

2 (K). Notemos entonces que mP (f) ≥ r es equivalente a quem(0,0) (f∗) ≥ r, pero f∗ =

∑i fi (x, y), luego mP (f) ≥ r ⇔ f0 = · · · = fr−1 = 0, pero

esto es equivalente a que los coeficientes de todos los monomios xiyjzk en f sean nulospara i+j ≤ r−1. Pero la cantidad de tales coeficientes es 1+2+3+ · · ·+r = r(r+1)

2.

Ası pues, la dimension de la subvariedad Vp, como espacio vectorial sobre K, esd(d+3)

2− r(r+1)

2.

5.3. Teorema de Bezout

El proposito central de esta seccion es demostrar el teorema de Bezout acerca delnumero de intersecciones de dos curvas planas proyectivas sin factores comunes.Necesitamos como preliminar la version proyectiva de la proposicion 1.6.1.

Proposicion 5.3.1. Dos curvas planas proyectivas sin componentes comunes tieneninterseccion finita.

Demostracion. Sean f y g dos curvas planas proyectivas de grados m ≥ 1 y n ≥ 1,respectivamente, entonces f ∈ K[x, y, z] es un polinomio homogeneo de grado m yg ∈ K[x, y, z] es un polinomio homogeneo de grado n. Consideremos a f y g comopolinomios de K (x, y) [z]. Supongamos que f y g tiene un factor comun p (x, y, z) ∈K (x, y) [z], veamos que entonces p (x, y, z) = p (x, y) ∈ K (x, y). En efecto, sea f =pf1 y g = pg1 con f1, g1 ∈ K (x, y) [z]; eliminando los denominadores en K (x, y)encontramos que ff2 = p′f ′1, gg2 = p′g′1, donde f2, g2 ∈ K[x, y] y p′, f ′1, g

′1 ∈ K[x, y, z].

Si en la descomposicion irreducible de p′ aparece algun factor que contiene a lavariable z, entonces este factor divide tanto a f como a g, pero esto es absurdo.Entonces, p′ ∈ K[x, y], y de esta forma p es un cociente de polinomios de K[x, y],es decir, p ∈ K (x, y). Esto quiere decir que el maximo comun divisor de f y g enK (x, y) [z] pertenece al cuerpo K (x, y), es decir, podemos suponer que el maximocomun divisor es 1. Como K (x, y) [z] es un DIP, entonces existen r, s ∈ K (x, y) [z]tales que 1 = rf+sg, eliminando denominadores encontramos d ∈ K[x, y]−0 tal quedr = a y ds = b, con a, b ∈ K[x, y, z], resulta entonces que d = af + bg. Se tiene quef ∩ g = Vp (〈f, g〉) ⊆ Vp (〈d〉). Sea d = ds + · · ·+ dt escrito como suma de polinomioshomogeneos de K[x, y]; segun la proposicion 4.2.2, Vp (〈d〉) = Vp (〈ds, . . . , dt〉) =


Vp (〈ds〉)∩ · · · ∩Vp (〈dt〉). Notemos que s ≥ m,n ya que cada termino de d = af + bges de grado ≥ m,n. Ası pues, s ≥ 1.

Entonces basta probar que si h (x, y) ∈ K[x, y] es un polinomio homogeneo degrado r ≥ 1, entonces Vp (〈h〉) ⊆ P 2 (K) es finito (notemos que esto no contradicela proposicion 1.4.2 ya que en la situacion presente los ceros son de P 2 (K)). De serası, entonces Vp (〈ds〉) ∩ · · · ∩ Vp (〈dt〉) es finito, y en consecuencia, f ∩ g es finito.

Si para cada cero [a, b, c] de h se tiene que a = b = 0, entonces Vp(h) es unitarioy consta solo del punto [0, 0, 1]. Sea pues a 6= 0, o, b 6= 0. Si c 6= 0, entonces [a, b, c] =[ac, bc, 1], luego, (a

c, bc) es un cero de h (x, y), pero como h es homogeneo, entonces

[ac, bc] es un cero proyectivo de h (x, y). Si probamos que los ceros de h (x, y) en

P 1 (K) son finitos, entonces las posibilidades de [ac, bc] son finitas, y en consecuencia,

las posibilidades de [a, b, c] son finitas. Si c = 0, pero b 6= 0, entonces [a, b, c] = [ab, 1, 0]

es un cero de h (x, 1) ∈ K[x], pero las posibilidades de ab

son finitas, y nuevamentelas posibiliades de [a, b, c] son finitas. Si c = 0 = b, entonces a 6= 0, y en este caso[a, b, c] = [1, 0, 0].

Probemos entonces lo anunciado. Sea [u, v] ∈ P 1 (K) un cero de h(x, y); si v 6= 0,entonces [u, v] = [u

v, 1], se tiene entonces que u

ves una raız de h(x, 1), luego las

posibilidades de uv

son finitas, en consecuencia las posibilidades de [u, v] son finitas.Si v = 0, entonces u 6= 0 y en este caso [u, v] = [1, 0].

Adicionalmente podemos mostrar que Vp (〈h〉) ⊆ P 2 (K) es no vacıo. En efecto,como suponemos que K es algebraicamente cerrado, entonces h(x, 1) tiene al menosun cero, digamos a, luego [a, 1] es un cero proyectivo de h. En efecto, sea h =c1x

α1yβ1 + · · ·+ cqxαqyβq , donde αi + βi = r para cada i, entonces

h (λa, λ) = c1λα1+β1aα1 + · · ·+ cqλ

αq+βqaαq = λr (c1aα1 + · · ·+ cqa

αq) = 0.

Otro preliminar para la prueba del teorema de Bezout lo constituyen la siguientedefinicion y propiedad.

Definicion 5.3.2. Una recta L en P n (K) que pasa por dos puntos distintos P =[p1, . . . , pn+1] y Q = [q1, . . . , qn+1] se define por

L = [αp1 + βq1, . . . , αpn+1 + βqn+1] | α, β ∈ K, con α 6= 0 o β 6= 0.

Notemos que esto en A3 (K) se puede visualizar como todas las rectas contenidasen un plano que pasa por el origen.

Proposicion 5.3.3. Para cualquier conjunto finito de puntos de P 2 (K) existe unarecta en P 2 (K) que no pasa por dichos puntos.


Demostracion. Antes de probar lo enunciado veamos que sucede en P 1 (K). Si P =[p1, p2] y Q = [q1, q2] son dos puntos distintos de P 1 (K), entonces la recta que pasapor P y Q coincide con P 1 (K). En efecto, sea [a, b] un punto de P 1 (K), debemosmostrar que existen α, β con α 6= 0 o β 6= 0 tales que [a, b] = [αp1 +βq1, αp2 +βq2].Planteamos entonces el sistema

a = αp1 + βq1

b = λαp2 + βq2

es decir, [p1 q1p2 q2

] [αβ

]=

[ab

].

Como P y Q son puntos distintos, entonces las columnas de la matriz de coeficientesdel sistema anterior es invertible, luego el sistema tiene solucion (α, β). Como a 6= 0o b 6= 0, entonces (α, β) es no nulo.

Sean ahora P1, . . . , Pr puntos distintos en P 2 (K). Comencemos considerando doscasos triviales.

(i) r = 1: sea P = [p1, p2, p3] ∈ P 2(K), si p3 6= 0, entonces P = [p1, p2, 1] y larecta a traves de Q = [1, 1, 0] y R = [1, 0, 0] no pasa por P . Si p3 = 0, entoncesP = [p1, p2, 0] y la recta a traves de Q = [0, 1, 1] y R = [1, 0, 0] no pasa por Pcuando p2 6= 0; si p2 = 0, entonces P = [1, 0, 0] y P no esta en la recta que pasa porQ = [0, 1, 0] y R = [0, 0, 1]. Esto completa la prueba de este primer caso trivial.

(ii) r = 2: sean P1 = [a1, b1, c1] y P2 = [a2, b2, c2] dos puntos distintos en P 2 (K),consideremos los siguientes casos posibles.

(ii-a) c1, c2 6= 0: podemos entonces asumir que P1 = [a1, b1, 1] y P2 = [a2, b2, 1],entonces la recta a traves de Q = [1, 1, 0] y R = [1, 0, 0] no pasa por ninguno de losdos puntos dados.

(ii-b) c1 6= 0, c2 = 0: los puntos dados son entonces de la forma P1 = [a1, b1, 1] yP2 = [a2, b2, 0].

Si b1, b2 son no nulos, entonces P1 = [a1, 1, 1], P2 = [a2, 1, 0] y la recta a travesde [0, 0, 1] y [1, 0, 0] no pasa por ninguno de los puntos dados.

Si b1 = 0 pero b2 6= 0, entonces P1 = [a1, 0, 1] y P2 = [a2, 1, 0] y la recta a travesde [1, 1, 1] y [0, 1, 1] no contiene a ninguno de los puntos dados.

Si b1 6= 0 pero b2 = 0, entonces P1 = [a1, 1, 1] y P2 = [1, 0, 0] y la recta a travesde los puntos [1, 1, 0] y [1, 1, 1] no pasa por los puntos dados en el caso en el cuala1 = 0; pero si a1 6= 0 entonces P1 = [1, 1, 1] y P2 = [1, 0, 0] y la recta que pasa por[1, 0, 1, ] y [0, 1, 1] no contiene ninguno de los puntos dados.

Si b1 = 0 = b2, entonces P1 = [a1, 0, 1], P2 = [1, 0, 0] y la recta a traves de [1, 0, 1]y [1, 1, 1] no pasa por ninguno de los puntos dados cuando a1 = 0; pero si a1 6= 0,entonces la recta buscada es la que pasa por [1, 1, 1] y [0, 0, 1].

(ii-c) c1 = 0, c2 6= 0: por simetrıa es analogo al caso anterior.


(ii-d) c1 = 0 = c2: entonces P1 = [a1, b1, 0] P2 = [a2, b2, 0] y la recta a traves delos puntos [0, 1, 1] y [1, 1, 1] no contiene ninguno de los puntos dados, ya que de locontrario b1 = 0 = b2. Esto completa la prueba del caso r = 2.

Teorema 5.3.4 (Teorema de Bezout). Sean f, g dos curvas planas proyectivasde grados m ≥ 1 y n ≥ 1, respectivamente, tales que Vp(f, g) 6= ∅ y no tienencomponentes comunes, es decir, en las factorizaciones de f y g en producto depolinomios irreducibles no hay factores comunes. Entonces,

∑P∈f∩g

I (P, f ∩ g) = mn.

Demostracion. Segun el literal (iv) de la proposicion 5.1.8, si f, g son dos cur-vas planas proyectivas de P 2 (K) y P ∈ P 2 (K) es tal que P /∈ f ∩ g, entoncesI (P, f ∩ g) = 0. Por lo tanto, para puntos P /∈ Vp(f, g) el ındice I (P, f ∩ g) = 0, y enla suma del enunciado del teorema solo se deben considerar puntos de f∩g. Ademas,segun la proposicion 5.3.1, f ∩g = Vp(f, g) es finito, digamos Vp(f, g) = P1, . . . , Pt(si Vp(f, g) es vacıo entonces

∑P∈f∩g I (P, f ∩ g) = 0 y el teorema de Bezout serıa

falso ya que m y n son no nulos).

Segun la proposicion 5.3.3, existe una recta L en P 2 (K) que no pasa por lospuntos de Vp(f, g); mediante un cambio proyectivo de coordenadas podemos asumirque L = z (la recta en el infinito). Ası pues, podemos asumir que todos los puntosde Vp(f, g) no estan en la recta z, y por lo tanto, tienen tercera coordenada igual a1. Se tiene pues que

∑P∈f∩g

I (P, f ∩ g) =t∑i=1

I (Pi, f ∩ g)

=t∑i=1

dimK(LPi

(P 2 (K)

)/〈f∗, g∗〉

).

Pero tenemos que LPi(P 2 (K)) = LPi

(A2 (K)∗) ∼= LP ′i(A2 (K)) y en este iso-

morfismo el ideal 〈f∗, g∗〉 = 〈f∗1, g∗

1〉 de LPi

(P 2 (K)) corresponde al ideal 〈f∗, g∗〉 deLP ′

i(A2 (K)), donde P ′

i ∈ A2 (K) tiene como coordenadas las primeras dos coor-denadas de Pi (vease el teorema 4.4.7). Ademas, notemos que si P = [a1, a2, 1] ∈Vp(f, g), entonces P ′ = (a1, a2) ∈ V (f∗, g∗), y viceversa. En efecto, si f (P ) = 0 =g (P ), entonces f∗ (P ′) = 0 = g∗ (P ′), y si P

′= (a1, a2) ∈ V (f∗, g∗), entonces

zm (f∗)∗ ([a1, a2, 1]) = f ([a1, a2, 1]) = f∗ (P ′) = 0, de igual manera, g ([a1, a2, 1]) = 0,

es decir, [a1, a2, 1] ∈ Vp(f, g).


Por lo tanto, aplicando el corolario 2.5.2, se tiene que

∑P∈P 2(K)

I (P, f ∩ g) =t∑i=1

dimK(LP ′

i

(A2 (K)

)/〈f∗, g∗〉

)= dimK (K[x, y]/〈f∗, g∗〉) .

Sea A∗ := K[x, y]/〈f∗, g∗〉, entonces debemos demostrar que dimK (A∗) = mn.Sean R := K[x, y, z],A := K[x, y, z]/〈f, g〉 y sean Rd y Ad los K-subespacios de

formas de grado d en R y A, respectivamente. Vamos a probar que para d ≥ m+ nse cumple

dimK (Ad) = mn,

dimK (A∗) = dimK (Ad) .

Paso 1. Consideremos la sucesion

0→ Rα−→ R×R β−→ R

π−→ A → 0,

donde α (r) := (gr,−fr), β (a, b) := af + bg y π es el homomorfismo canonico. Esclaro que α es inyectivo; tambien βα = 0, es decir, Im (α) ⊆ ker (β). Si (a, b) ∈ker (β) entonces af = −bg, pero como f y g no tienen componentes comunes se

debe tener que g | a, de donde α(ag

)= (a, b). Ası, ker (β) ⊆ Im (α) y en conclusion

Im (α) = ker (β). Tambien, Im(β) = ker(π). Como π es sobre, entonces la sucesionresulta exacta.

Si restringimos la sucesion a las formas que se indican a continuacion

0→ Rd−m−nα−→ Rd−m ×Rd−n

β−→ Rdπ−→ Ad → 0 (5.3.1)

entonces esta ultima sucesion es tambien una sucesion exacta de K-espacios vecto-riales. Resulta entonces que

dimK (Ad) = dimK (Rd)− dimK (Rd−m ×Rd−n) + dimK (Rd−m−n)

=(d+ 1) (d+ 2)

2− (d−m+ 1) (d−m+ 2)

2− (d− n+ 1) (d− n+ 2)

2

− (d−m− n+ 1) (d−m− n+ 2)

2= mn.

Paso 2. Veamos que la funcion

θ : A → Ah 7→ zh


es un homomorfismo inyectivo de K-espacios. θ esta bien definido: si h = h′, entoncesh − h′ ∈ 〈f, g〉, luego zh − zh′ ∈ 〈f, g〉. Claramente θ es un homomorfismo de K-espacios.

θ es inyectivo: sea h tal que zh = 0, existen a, b ∈ K[x, y, z] tales que zh = af+bg.Para j ∈ K[x, y, z] denotamos j0 := j (x, y, 0), entonces 0 = a0f0 +b0g0, luego a0f0 =−b0g0. Notemos que f y g se pueden expresar en la forma f = f0 + f1z+ · · ·+ fuz

u,con fi ∈ K[x, y] homogeneo de grado m− i, 0 ≤ i ≤ u, y g = g0 + g1z + · · ·+ gvz

v,con gl ∈ K[x, y] homogeneo de grado n− l, 0 ≤ l ≤ v. Ası pues, f0 es homogeneo degrado m ≥ 1 y g0 es homogeneo de grado n ≥ 1.

Veamos que f0 y g0 no tienen factores comunes en K[x, y]. Supongamos lo con-trario, sea h ∈ K[x, y] un polinomio no constante tal que f0 = hf ′0 y g0 = hg′0, conf ′0, g

′0 ∈ K[x, y]. Recordemos que h es tambien homogeneo (vease el ejercicio 4 del

capıtulo anterior). Sea [a, b] un cero de h (al final de la prueba de la proposicion 5.3.1vimos que Vp(h) es no vacıo), luego a 6= 0 o b 6= 0, y entonces [a, b, 0] es un elementode Vp (f, g), pero esto es imposible ya que estamos asumiendo que los puntos deVp (f, g) tienen tercera componente 1.

De la igualdad a0f0 = −b0g0 se tiene entonces que f0 divide a b0, por lo tanto,b0 = f0c, donde c ∈ K[x, y]. Luego, a0f0 = −f0cg0, es decir, a0 = −cg0. Definimos,a1 := a + cg y b1 := b − cf , se tiene entonces que (a1)0 = 0 = (b1)0, por lo tanto,a1 es de la forma a1 = za′ y de igual manera b1 = zb′. Se tiene entonces quezh = a1f − cgf + b1g + cfg = za′f + zb′g, y de esta manera h = a′f + b′g, es decir,h = 0.

Paso 3. Sean a1, . . . , amn ∈ Rd tales que a1, . . . , amn son un K-base de Ad. Seaai∗ = ai (x, y, 1) y sea a′i = ai∗ para 1 ≤ i ≤ mn. Veamos que a′1, . . . , a

′mn es una

K-base de A∗. Si restringimos θ a Ad obtenemos un isomorfismo de Ad sobre Ad+1:en efecto, θ es inyectiva, θ (Ad) ⊆ Ad+1 y ademas dimK (Ad) = dimK (Ad+1) = mn.De esto resulta que zra1, . . . , zramn es una K-base de Ad+r para cada r ≥ 0.

Probemos entonces que 〈a′1, . . . , a′mn〉 = A∗. Sea h ∈ A∗, entonces existe q talque zqh∗ es una forma de grado d+r en K[x, y, z], para algun r ≥ 0: en efecto si h =h0+· · ·+hp ∈ K[x, y] ⊆ K[x, y, z], entonces h∗ = zph0+z

p−1h1+· · ·+hp es homogeneode grado p; si p ≥ d, entonces z0h∗ es homogeneo de grado p = d+ (p− d), es decir,en este caso q = 0 y r = p− d ≥ 0; si p < d, entonces zd−ph∗ es homogeneo de gradod, es decir, en este caso q = d − p ≥ 0 y r = 0. Se tiene entonces que zqh∗ ∈ Ad+r,con lo cual existen escalares λi, 1 ≤ i ≤ mn tales que zqh∗ =

∑mni=1 λi z

rai; existenentonces polinomios b, c ∈ K[x, y, z] tales que zqh∗ =

∑mni=1 λiz

rai+ bf + cg. Resulta,(zqh∗)∗ = h =

∑mni=1 λiai∗ + b∗f∗ + c∗g∗, con lo cual, h =

∑mni=1 λiai∗ =

∑mni=1 λia

′i.

Para terminar veamos que a′1, . . . , a′mn son linealmente independientes: sean λi,

1 ≤ i ≤ mn tales que∑mn

i=1 λia′i = 0, entonces (

∑mni=1 λiai)∗ = bf∗ + cg∗, donde

b, c ∈ K[x, y]. Existen u, v, w ≥ 0 tales que zu (∑mn

i=1 λiai) = zvb∗f + zwc∗g (vease laproposicion 4.4.2, numeral (vi)); de aquı se tiene que

∑mni=1 λiz

uai = 0 en Ad+u, perocomo zua1, . . . , zuamn son linealmente independientes, entonces cada λi = 0. Esto

5.4. EJERCICIOS 113

completa la prueba del teorema de Bezout.

Corolario 5.3.5. Sean f, g dos curvas planas proyectivas de grados m ≥ 1 yn ≥ 1 respectivamente, las cuales no tienen componentes comunes. Si Vp(f, g) =P1, . . . , Pt, entonces

mn ≥t∑i=1

mPi(f)mPi

(g) .

Demostracion. Por el literal (vii) de la proposicion 5.1.8 se tiene que I (Pi, f ∩ g) ≥mPi

(f)mPi(g), sumando y aplicando el teorema de Bezout se tiene que

t∑i=1

I (Pi, f ∩ g) = mn ≥t∑i=1

mPi(f)mPi

(g).

Corolario 5.3.6. Sean f, g dos curvas planas proyectivas de grados m ≥ 1 yn ≥ 1 respectivamente, las cuales no tienen componentes comunes. Supongamosque V (f, g) = P1, . . . , Pt, donde t = mn. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ mn, Pi esun punto simple de f y de g.

Demostracion. Si para algun i se tiene que Pi no es un punto simple, por ejemplode f , entonces mPi

(f) > 1, pero esto contradice el corolario 5.3.5.

Corolario 5.3.7. Sean f, g dos curvas planas proyectivas de grados m ≥ 1 y n ≥ 1respectivamente. Supongamos que V (f, g) = P1, . . . , Pt, donde t > mn. Entoncesf y g tienen al menos una componente comun.

Demostracion.t∑i=1

mPi(f)mPi

(g) > mn, luego por el corolario 5.3.5, f y g tienen

al menos una componente comun.

5.4. Ejercicios

1. Demuestre la proposicion 5.1.3.

2. Complete la demostracion de la proposicion 5.3.3.

3. Para f := y2z − x(x − 2z)(x + z) y g := y2 + x2 − 2xz, calcule Vp(f, g) ytambien I(P, f ∩ g), para cada P ∈ Vp(f, g).

4. Demuestre que la sucesion (5.3.1) en la demostracion del teorema de Bezoutes exacta.


5. Sea f una curva plana de P 2(K) y sea P ∈ P 2(K). Demuestre que mP (∂f∂x

) ≥mP (f)− 1.

6. Sea f una curva plana irreducible de P 2(K). Demuestre que ∂f∂x, ∂f∂y

, o, ∂f∂z6= 0.

Capıtulo 6

Topologıa de Zariski, haces yesquemas

El proposito central del presente capıtulo es introducir los elementos necesarios paradefinir la nocion abstracta y general de esquema. Esto se hara a traves del lenguajede la topologıa de Zariski de un anillo conmutativo, los prehaces y los haces.

6.1. La topologıa de Zariski de un anillo

Sea R un anillo conmutativo arbitrario y sea Spec(R) la coleccion de todos los idealesprimos de R. En esta seccion presentamos la topologıa de Zariski para Spec(R) yla relacionaremos con las topologıas de Zariski de An(K) y P n(K) que vimos en loscapıtulos precedentes. Necesitamos como preliminares algunos hechos elementalesde anillos conmutativos (veanse [11] y [14]). Salvo que se advierta lo contrario, enadelante R denotara un anillo conmutativo.

Proposicion 6.1.1. Los idempotentes de R/rad(R) pueden ser levantados, es decir,si e es un idempotente de R/rad(R), entonces existe u ∈ R idempotente tal quee = u.

Demostracion. e − e2 ∈ rad(R), luego existe n ≥ 1 tal que (e − e2)n = 0. Si n = 1hemos terminado. Sea n ≥ 2. Entonces,

0 = (e+ (−e2))n =∑n

k=0

(nk

)en−k(−e2)k =

∑nk=0

(nk

)en−k(−1)k(e2)k =∑n

k=0

(nk

)(−1)k(e)n+k = en +

∑nk=1

(nk

)(−1)k(e)n+k =

en +∑n

k=1

(nk

)(−1)k−1(−1)ek−1en+1 = en − en+1

∑nk=1

(nk

)(−1)k−1ek−1 = en − en+1t,

con t :=∑n

k=1

(nk

)(−1)k−1ek−1. Resulta, en = en+1t. Sea u := entn, entonces u =

entn = en+1ttn = en+1tn+1 = · · · = e2nt2n = u2, es decir, u es idempotente. Notemos

115

116 CAPITULO 6. TOPOLOGIA DE ZARISKI, HACES Y ESQUEMAS

que e = en = en+1t = en+1 t = e t = et, por lo tanto e = (et)n = entn = u. Estocompleta la demostracion.

Definicion 6.1.2. Un anillo R se dice absolutamente plano si para cada a ∈ Rexiste b ∈ R tal que a = ba2.

Proposicion 6.1.3. Sea R un anillo. Entonces, las siguientes condiciones son equi-valentes:

(i) R es absolutamente plano.

(ii) Para cada P ∈ Spec(R), RP es un cuerpo.

(iii) Para cada P ∈ Spec(R) se tiene que si a ∈ P entonces existe c ∈ R − P talque ac = 0.

Demostracion. (i)⇒(ii): Sea as6= 0 un elemento de RP , entonces a 6= 0. Queremos

ver que as

es invertible. Puesto que as

= a1

1s

y 1s

es invertible, entonces basta probarque a

1es invertible. Es claro que a

16= 0. Si a /∈ P , hemos terminado. Supongamos

que a ∈ P , existe b ∈ R tal que a = a2b, luego a(1− ab) = 0, con lo cual a1

1−ab1

= 0.Pero 1− ab /∈ P , por lo tanto a

1= 0, resultando ası una contradiccion.

(ii)⇒(iii): Sea a ∈ P ; si a1

= 0, entonces existe c ∈ R − P tal que ac = 0. Sia16= 0, entonces existe b

utal que a

1bu

= 1, luego existe r ∈ R − P tal que abr = ur,lo cual es contradictorio ya que ur /∈ P , pero abr ∈ P .

(iii)⇒(i): Vease el ejercicio 1.

Definicion 6.1.4. Sea S un subconjunto de R, se definen

V (S) := P ∈ Spec(R)|S ⊆ P y V := V (S)|S ⊆ R.

La coleccion V tiene las siguientes propiedades.

Teorema 6.1.5. (i) V (∅) = Spec(R).

(ii) V (R) = ∅.

(iii) V (S) = V (〈S〉) = V (√〈S〉), para cada S ⊆ R. Ası, V (I) = V (

√I), para cada

ideal I de R.

(iv) ∩ω∈ΩV (Iω) = V (∪ω∈ΩIω) = V (∑

ω∈Ω Iω), donde Iωω∈Ω es una coleccion novacıa de ideales de R.

(v) V (I1) ∪ V (I2) = V (I1 ∩ I2) = V (I1I2), donde I1, I2 son ideales de R.

(vi) (Spec(R),V) es un espacio topologico definido por cerrados y se conoce comoel espectro primo del anillo R.La topologıa correspondiente se denomina latopologıa de Zariski.

6.1. LA TOPOLOGIA DE ZARISKI DE UN ANILLO 117

(vii) Sea S ⊆ R y X(S) := V (S)c el complemento de V (S). Entonces, (Spec(R),X )es un espacio topologico definido por abiertos, con X := X(S)|S ⊆ R.

(viii) Sea r ∈ R, se define Xr := X(r). Entonces, Xr|r ∈ R es una base paraSpec(R).

(ix) Si r, s ∈ R, entonces Xr ∩Xs = Xrs.

(x) Si r ∈ R, entonces Xr = ∅ ⇔ r es nilpotente.

(xi) Si r ∈ R, entonces Xr = Spec(R)⇔ r ∈ R∗.

(xii) Sean r, s ∈ R. Entonces, Xr = Xs ⇔√〈r〉 =

√〈s〉.

(xiii) Spec(R) es compacto.

(xiv) Sea Z ⊆ Spec(R). La clausura de Z, denotada por Z, es el menor cerrado deSpec(R) que contiene a Z, y coincide con la interseccion de todos los cerradosde Spec(R) que contienen a Z. Sea P ∈ Spec(R), entonces P = V (P ).Ademas, P es cerrado si, y solo si, P es maximal.

(xv) Sea W un espacio topologico y sea w0 ∈ W . Una vecindad de w0 es unsubconjunto Y ⊆ W que contiene un abierto U tal que w0 ∈ U ⊆ Y . Elespacio W se dice que es T0 si para cada par de puntos diferentes x, y ∈ Wexiste una vecindad de uno de ellos que no contiene el otro punto. Entonces,Spec(R) es un espacio T0.

(xvi) Un espacio topologico no vacıo W es irreducible si cada par de abiertos novacıos tienen interseccion no vacıa. Entonces, Spec(R) es irreducible si, y solosi, rad(R) es primo.

(xvii) Sea f : R −→ T un homomorfismo de anillos. Entonces, f ∗ : Spec(T ) −→Spec(R) definida por f ∗(Q) := f−1(Q) es una funcion continua.

(xviii) Sean Rf−→ T

g−→ U homomorfismos de anillos. Entonces, (gf)∗ = f ∗ g∗ ei∗R = iSpec(R), donde iR es la funcion identica de R. En consecuencia, Spec :Ring −→ Top es un functor contravariante de la categorıa de anillos conmu-tativos con unidad en la categorıa de espacios topologicos.

(xix) Sea f como en el numeral (xvii) con f sobreyectivo y sea I un ideal de T .Entonces, f ∗(V (I)) = V (f−1(I)).

(xx) Sea f como en el numeral anterior. Entonces, f ∗ es un homeomorfismo deSpec(T ) en V (ker(f)). En particular, si I es un ideal propio de R, entoncesSpec(R/I) y V (I) son homeomorfos.


(xxi) Spec(R) y Spec(R/rad(R)) son espacios homeomorfos. En particular, si R esartiniano, entonces Spec(R) y Spec(R/Rad(R)) son espacios homeomorfos.

(xxii) Sea W un espacio topologico. Un subconjunto Y ⊆ W es denso si Y = W .Sean f y f ∗ como en el numeral (xix). Entonces, f ∗(Spec(T )) es denso enSpec(R) si, y solo si, ker(f) ⊆ rad(R).

(xxiii) Un espacio topologico es conexo si no se puede expresar como reunion de dossubconjuntos cerrados no vacıos y disjuntos. Entonces, para un anillo R lassiguientes condiciones son equivalentes: (a) Spec(R) no es conexo (b) R es elproducto de dos anillos (c) R contiene idempotentes no triviales.

(xxiv) Si R es un anillo local, entonces Spec(R) es conexo.

(xxv) Sea S un sistema multiplicativo de R y sea ψ : R → RS−1 el homomorfismocanonico. Entonces, ψ∗ : Spec(RS−1) → Spec(R)S es un homeomorfismo,donde Spec(R)S es la coleccion de primos de R que tienen interseccion vacıacon S. En particular, si b /∈ rad(R), entonces Spec(Rb) es homeomorfo conXb. Ası, para cada b ∈ R, Xb es compacto.

Demostracion. (i) Cada ideal primo P de Spec(R) contiene al conjunto vacıo.(ii) Ningun ideal primo contiene al anillo R.(iii) Sea P un ideal primo que contiene a S, entonces P contiene tambien al

ideal generado por S. De igual manera, si 〈S〉 ⊆ P , entonces S ⊆ P . Esto muestraque V (S) = V (〈S〉). Puesto que 〈S〉 ⊆

√〈S〉, entonces V (

√〈S〉) ⊆ V (〈S〉)). Sea

P primo tal que 〈S〉 ⊆ P , y sea x ∈√〈S〉, entonces xn ∈ 〈S〉, luego x ∈ P . Esto

muestra que√〈S〉 ⊆ P , con lo cual V (S) ⊆ V (

√〈S〉).

(iv) Para cada ω ∈ Ω se tiene que Iω ⊆ ∪ω∈ΩIω, por lo tanto, V (∪ω∈ΩIω) ⊆ V (Iω)para cada ω ∈ Ω, luego V (∪ω∈ΩIω) ⊆ ∩ω∈ΩV (Iω). De otra parte, si P es un primotal que P ∈ ∩ω∈ΩV (Iω), entonces P contiene a cada Iω, luego P contiene a lareunion ∪ω∈ΩIω. Esto muestra que V (∪ω∈ΩIω) = ∩ω∈ΩV (Iω). La ultima igualdad esconsecuencia de 〈∪ω∈ΩIω〉 =

∑ω∈Ω〈Iω〉.

(v) Sea P primo tal que P ∈ V (I1) ∪ V (I2), entonces P ∈ V (I1), o, P ∈ V (I2),luego P contiene a I1, o, P contiene a I2, con lo cual, P contiene a I1 ∩ I2. Estomuestra que V (I1) ∪ V (I2) ⊆ V (I1 ∩ I2). Ahora, si P ∈ V (I1 ∩ I2), entonces Pcontiene a I1 ∩ I2, luego P contiene al producto I1I1, es decir, V (I1 ∩ I2) ⊆ V (I1I2).Finalmente, si P contiene al producto I1I2, entonces por ser P primo se tiene queP contiene a I1, o, P contiene a I2, es decir, P ∈ V (I1) ∪ V (I2).

(vi) Esto es consecuencia de (i)-(v).(vii) Esto es consecuencia de (vi).(viii) Sea X(S) un abierto de X . Entonces,

X(S) = V (〈S〉)c = (V (∪s∈S〈s〉))c = (∩s∈SV (〈s〉))c = ∪s∈SV (s)c = ∪s∈SXs.


(ix) Sea P primo tal que P ∈ Xr ∩Xs, entonces P no contiene ni r ni s, por lotanto, P no contiene al producto rs, es decir, P ∈ Xrs. El recıproco es evidente.

(x) Si Xr = ∅, entonces cada primo P contiene a r, es decir, r es nilpotente. Lorecıproco es tambien inmediato.

(xi) Si Xr = Spec(R), entonces r no esta en ningun primo, luego no esta enningun maximal, es decir, r es invertible. Lo recıproco es tambien evidente.

(xii) En efecto,

Xr = Xs ⇔ V (r) = V (s) = V (√〈r〉) = V (

√〈s〉),

pero√〈r〉 es la interseccion de todos los primos que contienen a 〈r〉; sea P uno

de tales primos, entonces P ∈ V (〈r〉) = V (√〈r〉) = V (

√〈s〉) = V (〈s〉), es decir, P

es uno de los primos que contiene a S. Este problema tiene simetrıa, por lo tanto,√〈r〉 =

√〈s〉.

(xiii) Sea ∪ω∈ΩX(Sω) un recubrimiento abierto de Spec(R), entonces podemosasumir que Spec(R) = ∪r∈ΥXr. Ası,

Spec(R) = ∪r∈ΥV (r)c = (∩r∈ΥV (r))c =

V (∪r∈Υr)c = V (∑r∈Υ

〈r〉)c = X(∑r∈Υ

〈r〉).

Esto implica que∑

r∈Υ〈r〉 = R, luego existen r1, . . . , rm ∈ Υ tales que 1 = s1r1+· · ·+ smrm, con si ∈ R, 1 ≤ i ≤ m. Por lo tanto, Spec(R) = X(〈r1〉+ · · ·+ 〈rm〉) =V (〈r1〉+ · · ·+ 〈rm〉)c = (V (〈r1〉) ∩ · · · ∩ V (〈rm〉))c = Xr1 ∪ · · · ∪ Vrm .

(xiv) Tenemos que P =⋂V (I)⊇P V (I); sea Q ∈ V (P ), entonces Q ⊇ P , pero

P ∈ V (I), es decir, P ⊇ I, luego Q ⊇ I. Esto dice que Q ∈ V (I), ası pues Q ∈⋂V (I)⊇P V (I), es decir, V (P ) ⊆

⋂V (I)⊇P V (I). Pero es claro que V (P ) ⊇ P,

luego⋂V (I)⊇P ⊆ V (P ). Esto completa la prueba de la igualdad.

P es cerrado si, y solo si, P = P, es decir, V (P ) = P. Por lo tanto,P es cerrado si, y solo si, P es maximal.

(xv) Sean P,Q puntos distintos en Spec(R), entonces por ejemplo existe r ∈P −Q, luego Q ∈ Xr y P /∈ Xr.

(xvi)⇒) Sean r, s ∈ R tales que rs ∈ rad(R), entonces Xrs = ∅ = Xr ∩Xs, porlo tanto, Xr = ∅ o Xs = ∅, es decir, r ∈ rad(R) o s ∈ rad(R).⇐) Supongamos que rad(R) es primo, debemos mostrar que la interseccion de dos

abiertos no vacıos cualesquiera de X es no vacıa. Basta mostrar que la interseccionde dos basicos no vacıos es no vacıa. En efecto, si X1 y X2 son dos abiertos no vacıos,entonces X1 ∩X2 = (∪a∈Ω1Xa) ∩ (∪b∈Ω2Xb) = ∪a∈Ω1,b∈Ωb

(Xa ∩Xb).Supongamos lo contrario, y sean a, b ∈ R tales que Xa y Xb son no vacıos pero

Xab = ∅. Entonces, ab ∈ rad(R), luego a ∈ rad(R) o b ∈ rad(R), es decir, Xa = ∅o Xb = ∅.


(xvii) Teniendo en cuenta que g−1(∪iMi) = ∪ig−1(Mi), para cualquier funcion g,entonces basta probar que (f ∗)−1(Xr) = Xf(r), para cada r ∈ R. SeaQ ∈ (f ∗)−1(Xr),entonces f ∗(Q) = f−1(Q) ∈ Xr, por lo tanto, r /∈ f−1(Q), y entonces f(r) /∈ Q, esdecir, Q ∈ Xf(r). Para la otra inclusion basta devolvernos.

(xviii) Evidente.

(xix) Veamos primero que f ∗(V (I)) ⊆ V (f−1(I)): Sea P ∈ f ∗(V (I)), entoncesP = f ∗(Q), con Q ∈ V (I). Resulta, P = f−1(Q) e I ⊆ Q, por lo tanto, f−1(I) ⊆f−1(Q), es decir, P ∈ V (f−1(I)). Con esto se obtiene que f ∗(V (I)) ⊆ V (f−1(I)).

Veamos ahora la inclusion V (f−1(I)) ⊆ f ∗(V (I)): Sea C cualquier cerrado quecontiene a f ∗(V (I)); probemos entonces que V (f−1(I)) ⊆ C. Sea P ∈ V (f−1(I)),entonces f−1(I) ⊆ P . De esto ultimo se obtiene que ker(f) ⊆ P , y como f essobreyectivo, entonces Q := f(P ) es un ideal primo de T . Se tiene entonces queI = f(f−1(I)) ⊆ f(P ) = Q, es decir, P = f−1(Q) ∈ f ∗(V (I)), luego P ∈ C.

(xx) Notemos que Im(f ∗) = V (ker(f)). En efecto, puesto que f ∗(Q) = f−1(Q) ⊇ker(f), entonces f ∗(Q) ∈ V (ker(f)); recıprocamente, si P ∈ V (ker(f)), entoncesP ⊇ ker(f), con lo cual f(P ) ∈ Spec(T ) (recordemos que f es sobreyectivo). Re-sulta f ∗(f(P )) = f−1(f(P )) = P . Ademas, f ∗ is inyectiva: Si f ∗(Q) = f ∗(Q′),entonces f(f−1(Q)) = f(f−1(Q′)), es decir, Q = Q′. Ası pues, tenemos una funcioncontinua biyectiva f ∗ : Spec(T ) → V (ker(f)). Observemos que la inversa de f ∗ estambien continua: Tenemos (f ∗)−1 : V (ker(f))→ Spec(T ), (f ∗)−1(P ) := f(P ), conP ⊇ ker(f). Como vimos en (xvii), (f ∗)−1(Xr) = Xf(r), donde Xr es un basico deSpec(R). Notemos que una base de V (ker(f)) es Xr∩V (ker(f))r∈R y Xf(r)r∈R esuna base de Spec(T ). Tenemos entonces que f ∗(Xf(r)) = Xr ⊆ Im(f ∗) = V (ker(f)),ası pues cuando f es sobreyectiva Xrr∈R es una base de V (ker(f)). Resulta en-tonces, ((f ∗)−1)−1(Xf(r)) = Xr, para cada r ∈ R, es decir, (f ∗)−1 es continua.

(xxi) Consideremos el homomorfismo canonico j : R → R/rad(R); ya queV (ker(j)) = V (rad(R)) = Spec(R), entonces esta propiedad es consecuencia di-recta de (xx). La segunda afirmacion de este numeral se obtiene del hecho que enun anillo artiniano rad(R) = Rad(R) (vease [14]).

(xxii) ⇒): Segun (xix), f ∗(V (0)) = V (f−1(0)) = V (ker(f)), pero f ∗(V (0)) =f ∗(Spec(T )), entonces de la hipotesis se tiene que Spec(R) = V (ker(f)), es de-cir, ker(f) ⊆ rad(R). Recıprocamente, si ker(f) ⊆ rad(R), entonces Spec(R) =V (ker(f)), es decir, f ∗(Spec(T )) = Spec(R), lo cual indica que f ∗(Spec(T )) es den-so en Spec(R).

(xxiii) (a)⇒(b): Supongamos que Spec(R) no es conexo, entonces Spec(R) =V (I) ∪ V (J), con V (I) ∩ V (J) = ∅, V (I), V (J) 6= ∅. Consideremos dos casos.

Caso 1. rad(R) = 0. Se tiene entonces que Spec(R) = V (I ∩ J), luego I ∩ J = 0.Ademas, ∅ = V (I)∩V (J) = V (I∪J), por lo tanto, 〈I∪J〉 = I+J = R. Del teoremachino de residuos (vease [11]) obtenemos R = R/(I ∩ J) ∼= R/I × R/J (notese queI, J son propios ya que V (I), V (J) 6= ∅).

Caso 2. Consideremos el anillo cociente R′ := R/rad(R). Segun (xxi), Spec(R′)


tampoco es conexo. Puesto que rad(R′) = 0, entonces, tal como vimos en el caso 1, setiene que R′ ∼= R′

1×R′2. Sea e ∈ R′ correspondiente al idempotente (1, 0) ∈ R′

1×R′2.

Notemos que e es idempotente no trivial de R′. Segun la proposicion 6.1.1 existeu ∈ R idempotente tal que u = e. Es claro que u 6= 0, 1 y ademas R ∼= uR×(1−u)R.Observemos que uR es un anillo con identidad u, de igual manera (1 − u)R es unanillo con identidad 1− u.

(b)⇒(c): Sea R ∼= R1 × R2. Entonces (1, 0) es un idempotente no trivial deR1 ×R2, luego R tiene idempotentes no triviales.

(c)⇒(a): Sea e 6= 0, 1 un idempotente de R. Entonces e(1−e) = 0 ∈ P para cadaP ∈ Spec(R). Resulta e ⊆ P , o, 1− e ⊆ P , es decir, P ∈ V (e), o, P ∈ V (1− e).Esto significa que Spec(R) = V (e) ∪ V (1− e). Ademas, V (e) ∩ V (1− e) = ∅ (de locontrario existirıa P primo tal que e, 1 − e ∈ P , es decir, 1 ∈ P ). Esto prueba queSpec(R) no es conexo.

(xxiv) Consecuencia directa de (xxiii) si se tiene en cuenta que los unicos idem-potentes de un anillo local son los triviales.

(xxv) Recordemos (vease [11]) que los ideales primos de RS−1 son de la formaPS−1, donde P es un ideal primo de P tal que P ∩S = ∅. Entonces, segun el numeral(xvii), ψ∗ : Spec(RS−1) → Spec(R), definida por ψ∗(PS−1) = ψ−1(PS−1) = P , esuna funcion continua con imagen Spec(R)S := P ∈ Spec(R)|P ∩ S = ∅. Tambiensabemos que ψ∗ : Spec(RS−1) → Spec(R)S es biyectiva. Veamos que la inversaθ : Spec(R)S → Spec(RS−1) de ψ∗ es tambien continua. Tenemos que θ(P ) = PS−1;sea Xa

sun abierto basico de Spec(RS−1), entonces θ−1(Xa

s) = Xa ∩Spec(R)S. Para

esto probemos que ψ∗(Xas) = Xa ∩ Spec(R)S: En primer lugar observemos que

Xas

= Xa1

para cada s ∈ S. Sea PS−1 ∈ Spec(RS−1) tal que a1/∈ PS−1, entonces

a /∈ P y ψ∗(PS−1) = ψ−1(PS−1) = P , es decir, P ∈ Xa∩Spec(R)S. Recıprocamente,si P ∈ Xa ∩ Spec(R)S, entonces a

1/∈ PS−1 y ψ∗(PS−1) = P , es decir, P ∈ ψ∗(Xa

1).

Esto completa la prueba ya que una base de Spec(R)S es Xa ∩ Spec(R)S|a ∈ R.Para la segunda afirmacion recordemos que (vease [11]) para Rb el sistema S es

bk|k ≥ 0 , luego Spec(R)S = Xb. Por ultimo, si b /∈ rad(R), entonces de (xiii) seobtiene que Xb es compacto; si b ∈ rad(R), entonces Xb = ∅ es compacto.

Consideremos ahora algunas propiedades de separacion y su conexion con pro-piedades de tipo algebraico.

Definicion 6.1.6. Un espacio topologico W es T1 si dados dos puntos distintosx, y ∈ W existen abiertos U, V tales que x ∈ U, y /∈ U, x /∈ V, y ∈ V . Ademas, sedice que W es Hausdorff si dados x, y ∈ W distintos, existen abiertos U, V talesque x ∈ U, y ∈ V con U ∩ V = ∅.

Proposicion 6.1.7. Un espacio topologico W es T1 si, y solo si, para cada puntox ∈ W se tiene que x = x.


Demostracion. ⇒): Si W es vacıo, entonces la condicion se cumple trivialmente. SiW es unitario, entonces W = x, con lo cual x = x. Sea W un espacio con almenos dos elementos. Para cada punto y 6= x existe un abierto Vy tal que y ∈ Vypero x /∈ Vy, por lo tanto W − x =

⋃y 6=x Vy, es decir, W − x es abierto, luego

x es cerrado, con lo cual x = x.⇐): Es claro que si W es vacıo o unitario, entonces W es T1. Sea W un espacio

topologico con al menos dos elementos. Sean x, y distintos; por hipotesis x y yson cerrados, luego U := yc es un abierto de W que contiene a x y no contiene ay, y de igual manera, V := xc es un abierto de W que contiene a y y no contienea x. Esto dice que W es T1.

Corolario 6.1.8. Todo espacio Hausdorff es T1.

Demostracion. Evidente.

Mostraremos a continuacion un teorema que establece una condicion algebraicapara que estas dos condiciones de separacion coincidan para el caso de Spec(R).

Teorema 6.1.9. Sea R un anillo y rad(R) su radical primo. Entonces las siguientescondiciones son equivalentes:

(i) Para cada P ∈ Spec(R) se tiene que si a ∈ P existe c ∈ R − P tal queac ∈ rad(R).

(ii) R/rad(R) es absolutamente plano.

(iii) Primos y maximales en R coinciden.

(iv) Spec(R) es T1.

(v) Spec(R) es Hausdorff.

Demostracion. (i)⇒(ii): Vamos a probar la condicion (iii) de la proposicion 6.1.3para el anillo R′ := R/rad(R). Sea Q un ideal primo de R′, entonces Q es de laforma Q = P/rad(R), con P primo de R. Sea a ∈ Q, con a ∈ P , entonces porhipotesis existe c ∈ R − P tal que ac ∈ rad(R), es decir, a c = 0. Notemos quec /∈ Q.

(ii)⇒(iii): Sea P un ideal primo de R y sea M un ideal maximal de R tal que P ⊆M . Supongamos que P ( M , entonces existe a ∈ M − P , es decir, a ∈ M/rad(R).Existe c /∈M/rad(R) tal que a c = 0, por lo tanto, ac ∈ rad(R), luego ac ∈ P , peroesto es absurdo ya que a, c /∈ P .

(iii)⇒(iv): Sea P primo, entonces P es maximal, luego por la parte (xiv) deltoerema 6.1.5, P es cerrado, con lo cual P = P. La proposicion 6.1.7 diceque Spec(R) es T1.

(iv)⇒(v): Vease el ejercicio 3.(v)⇒(i): Vease el ejercicio 2.

6.2. ESPACIOS NOETHERIANOS 123

Ejemplo 6.1.10. (i) Notese que Spec(Z) = 〈p〉|p es primo ∪ 0. Puesto queprimos y maximales no coinciden, entonces Spec(Z) no es T1. En general, si R es unDIP , entonces Spec(R) = 〈p〉|p es irreducible ∪ 0, luego Spec(R) no es T1. Enparticular, si K es un cuerpo, entonces Spec(K[x]) no es T1.

(ii) Sea K un cuerpo, entonces para cada n ≥ 1, Spec(K[x1, . . . , xn]) no es T1 yaque 0 es primo pero no es maximal.

(iii) De los ejemplos anteriores se puede notar que si R es un DI que no es uncuerpo, entonces Spec(R) no es T1 ya que 0 es primo no maximal.

(iv) Sea n ≥ 2, entonces Spec(Zn) = 〈p〉|p es primo y p|n. Entonces en estecaso primos y maximales coinciden (vease [11]), por lo tanto Spec(Zn) es T1, luegoHausdorff.

(v) Sea R semisimple, es decir, un producto finito de cuerpos (vease [14]), en-tonces primos y maximales coinciden, por lo tanto Spec(R) es T1, luego Hausdorff.

Ejemplo 6.1.11. Sea f una curva plana irreducible de A2(K) y sea P ∈ f un puntosimple. Entonces Spec(LP (f)) tiene solo dos puntos, el cero y el ideal maximal deLP (f): En efecto, segun el teorema 3.2.5, LP (f) es un DVD, esto hace que losideales no nulos de LP (f) sean principales y de la forma 〈tn〉, con t el generador deMP (f) y n ≥ 0 (vease la demostracion del teorema 1.1.7). Notese que el unico idealprimo no nulo se obtiene con n = 1. Ası pues, los primos de LP (f) son 0 y MP (f).Ası pues, LP (f) no es T1. Las msimas conclusiones podemos sacar para el caso deuna curva plana proyectiva (vease el corolario 5.1.6). De otra parte, y de maneramas general, si V es una variedad no vacıa de An(K), entonces la descripcion deSpec(LP (V )) esta dada, segun el teorema 2.4.4, en terminos geometricos a traves delas subvariedades no vacıas de V que contienen el punto P .

6.2. Espacios noetherianos

Definicion 6.2.1. Un espacio topologico X es noetheriano si cada cadena ascen-dente de conjuntos abiertos se estabiliza.

Notemos que la condicion anterior es equivalente a que cada cadena descendentede cerrados se estabiliza. Esta ultima condicion es equivalente a que en cada coleccionno vacıa de cerrados hay elemento minimal.

Teorema 6.2.2. Si R es noetheriano, entonces Spec(R) es noetheriano.

Demostracion. Consideremos una cadena descendente de cerrados de Spec(R),

V (I1) ⊇ V (I2) ⊇ · · ·

En R se tiene entonces la cadena ascendente de ideales

J1 ⊆ J2 ⊆ · · · , con Jk := I1 + · · ·+ Ik, k ≥ 1.


Como R es noetheriano, existe n ≥ 1 tal que Jn = Jn+i, para cada i ≥ 0. Estoindica que I1 + · · · + In = I1 + I2 + · · · + In+i, luego In+i ⊆ I1 + · · · + In, con locual V (I1 + · · ·+ In) ⊆ V (In+i), es decir, V (In) = V (I1)∩ · · · ∩ V (In) ⊆ V (In+i), dedonde, V (In) = V (In+i), para cada i ≥ 0.

Proposicion 6.2.3. Sea X un espacio topologico noetheriano y Y ⊆ X. Entonces,Y es noetheriano.

Demostracion. Consideremos una cadena ascendente de abiertos en Y ,

X1 ∩ Y ⊆ X2 ∩ Y ⊆ · · · , donde Xi es un abierto de X, i ≥ 1.

En X se tiene la cadena de abiertos

Z1 ⊆ Z2 ⊆ · · · , donde Zk := X1 ∪ · · · ∪Xk, k ≥ 1.

Como X es noetheriano, existe n ≥ 1 tal que Zn = Zn+i, para cada i ≥ 0. Estoindica que X1 ∪ · · · ∪Xn = X1 ∪X2 ∪ · · · ∪Xn+i, luego Xn+i ⊆ X1 ∪ · · · ∪Xn, conlo cual Xn+i ∩ Y ⊆ (X1 ∪ · · · ∪Xn) ∩ Y = (X1 ∩ Y ) ∪ · · · ∪ (Xn ∩ Y ) ⊆ Xn+i ∩ Y .De esto resulta Xn ∩ Y = Xn+i ∩ Y , para cada i ≥ 0.

Corolario 6.2.4. Si R es noetheriano, entonces

Max(R) := P ∈ Spec(R)|P es maximal es noetheriano.

Demostracion. Consecuencia directa del teorema 6.2.2 y de la proposicion 6.2.3.

Proposicion 6.2.5. Sea f : X → Y una funcion continua. Si X es noetheriano,entonces f(X) es noetheriano.

Demostracion. Consideremos una cadena ascendente de abiertos en f(X),

Y1 ∩ f(X) ⊆ Y2 ∩ f(X) ⊆ · · · , donde Yi es un abierto de Y , i ≥ 1.

Resulta,

f−1(Y1) ∩ f−1(f(X)) ⊆ f−1(Y2) ∩ f−1(f(X)) ⊆ · · · ,

de donde

f−1(Y1) ∩ f−1(f(X)) ∩X ⊆ f−1(Y2) ∩ f−1(f(X)) ∩X ⊆ · · · ,

luego,

f−1(Y1) ∩X ⊆ f−1(Y2) ∩X ⊆ · · · ,

es decir,

f−1(Y1) ⊆ f−1(Y2) ⊆ · · · .

Por la hipotesis, existe n ≥ 1 tal que f−1(Yn) = f−1(Yn+i), para cada i ≥ 0.Aplicando f encontramos que Yn ∩ f(X) = Yn+i ∩ f(X), para cada i ≥ 0.

6.2. ESPACIOS NOETHERIANOS 125

Proposicion 6.2.6. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, para cadan ≥ 1, Max(K[x1, . . . , xn]) y An(K) son espacios homeomorfos.

Demostracion. De acuerdo con el corolario 1.7.3 se tiene la siguiente correspondenciabiyectiva

An(K)µ−→Max(K[x1, . . . , xn])

(a1, . . . , an) 7→ 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉

Probemos que µ y µ−1 son continuas. Veamos primero que µ−1 es continua. SeaV (S)c un abierto no vacıo de An(K), demostremos que µ(V (S)c) = X(S) ∩M , conM := Max(K[x1, . . . , xn]). Sea (a1, . . . , an) ∈ V (S)c, entonces (a1, . . . , an) /∈ V (S).Existe un polinomio f ∈ S tal que f(a1, . . . , an) 6= 0, ademas, µ(a1, . . . , an) =〈x1 − a1, . . . , xn − an〉 := P . Sabemos que P es maximal, y notemos que P ∈ X(S)ya que f /∈ P . Hemos probado que µ(V (S)c) ⊆ X(S) ∩M . Recıprocamente, seaP un ideal maximal en X(S), entonces S * P y por lo tanto existe un polinomiof ∈ S tal que f /∈ P . Sabemos que cada maximal de K[x1, . . . , xn] es de la formaP = 〈x1 − a1, . . . , xn − an〉, para algun (a1, . . . , an) ∈ An(K) (vease la demostraciondel corolario 1.7.3), ademas µ(a1, . . . , an) = P . Pero el punto (a1, . . . , an) ∈ V (S)c

ya que f(a1, . . . , an) 6= 0 (si suponemos lo contrario, entonces f ∈ P , vease lademostracion de la parte (x) del teorema 1.3.2 ). Ası pues, P ∈ µ(V (S)c) y hemosdemostrado la igualdad µ(V (S)c) = X(S) ∩M . Esta igualdad indica que V (S)c =µ−1(X(S) ∩M), lo cual demuestra que µ es tambien continua.

Proposicion 6.2.7. Sea K un cuerpo. Entonces An(K) y P n(K) son espacios noe-therianos.

Demostracion. La propiedad para An(K) se puede establecer al menos de dos for-mas: del corolario 6.2.4 y de la proposicion 6.2.6 (usando que K es algebraicamentecerrado), o tambien, de manera directa, de la proposicion 1.5.5 (sin usar que K esalgebraicamente cerrado).

Para P n(K) podemos tambien hacer al menos dos pruebas. Consideremos unacadena descendente de algebraicos proyectivos

Vp(I(1)h ) ⊇ Vp(I

(2)h ) ⊇ · · · ,

resulta entonces

Ih(Vp(I(1)h )) ⊆ Ih(Vp(I

(2)h )) ⊆ · · · ,

es decir,

√I

(1)h ⊆

√I

(2)h ⊆ · · · , luego por la hipotesis existe n ≥ 1 tal que

√I

(n)h =√

I(n+i)h , para cada i ≥ 0. Ası pues, Vp(I

(n)h ) = Vp(I

(n+i)h ), para cada i ≥ 0 (en esta

prueba usamos que K es algebraicamente cerrado). La segunda forma de probar lanoetherianidad de P n(K) es teniendo en cuenta que la union disjunta (coproducto)


finita de espacios noetherianos es un espacio noetheriano y entonces aplicar la des-composicion (4.1.1). Para esta prueba no usamos que K es algebraicamente cerrado(la sola definicion de P n(K) no requiere dicha condicion).

La siguiente propiedad generaliza los teoremas 1.5.6 y 4.2.12 a espacios noethe-rianos arbitrarios.

Proposicion 6.2.8. Sea X un espacio noetheriano. Entonces existen cerrados irre-ducibles X1, X2, . . . , Xm ⊆ X tales que X = X1 ∪ · · · ∪ Xm, con Xi * Xj parai 6= j. Esta descomposicion es unica salvo el orden. Los cerrados Xi se denominanlas componentes irreducibles de X.

Demostracion. La prueba del teorema 1.5.6 se puede repetir cambiando algebraicopor cerrado.

Observacion 6.2.9. Para un espacio topologico arbitrario X es tambien posibledefinir sus componentes irreducibles. En efecto, una componente irreducible deX es un elemento maximal en la coleccion de irreducibles de X (un subconjuntoX ′ de X es irreducible si X ′ con la topologıa inducida es un espacio irreducible).Se puede probar que una componente irreducible es un conjunto cerrado. Ademas,mediante el lema de Zorn, es posible establecer que cada subconjunto irreducible deX esta contenido en una componente irreducible, y, puesto que cada subconjuntounitario x de X es irreducible, entonces X es union (no necesariamente finita) desus componentes irreducibles.

Terminamos esta seccion con un ejemplo de espacio topologico noetheriano aso-ciado a un anillo graduado (vease [17]).

Ejemplo 6.2.10. Sea R un anillo, recordemos que R se dice graduado si posee unafamilia de subgrupos Rkk∈Z de su grupo aditivo R+ que satisface las siguientescondiciones:

(i) RkRl ⊆ Rk+l, para cualesquiera k, l ∈ Z.

(ii) R =∑

k∈Z⊕Rk.

Para k ∈ Z, Rk se denomina la componente homogenea de grado k y los ele-mentos de Rk se dice que son homogeneos de grado k. La familia Rkk∈Z sedenomina una graduacion de R. Si Rk = 0 para k < 0, es decir, R =

∑k∈N⊕Rk,

se dice que R es un anillo graduado positivamente . Sea K un cuerpo, si R esuna K-algebra, se dice que R es graduada si ademas de las condiciones anterioresse tiene que Rk es un K-subespacio de R.

Un ejemplo clasico de algebra graduada es K[x1, . . . , xn] con graduacion positiva

K[x1, . . . , xn]k := f ∈ K[x1, . . . , xn]|f es homogeneo de grado k, k ≥ 0.

6.3. DIMENSION DE ESPACIOS Y ANILLOS 127

Un ideal I del anillo graduado R se dice graduado, o tambien, homogeneo, si paracada elemento a ∈ I, las componentes homogeneas de a estan en I. Esta condicion esequivalente a que I es generado por elementos homogeneos. Ademas, si I es propio,estas dos condiciones son tambien equivalentes a que R/I sea un anillo graduadocon graduacion (R/I)kk∈Z, con (R/I)k := (Rk + I)/I (vease [17]). Notemos quepara el caso particular del algebra de polinomios K[x1, . . . , xn], esta nocion de idealhomogeneo coincide con la que dimos en el capıtulo 4. Si Vp ⊆ P n (K) es una variedadproyectiva no vacıa e Ih (Vp) es su ideal primo homogeneo, el anillo de coordenadashomogeneas de la variedad Vp, Ah (Vp) = K[x1, . . . , xn+1]/Ih (Vp), es una algebragraduada positiva.

Consideremos nuevamente un anillo R graduado positivamente; notemos queR+ := ⊕k>0Rk es un ideal homogeneo de R. Se define Proj(R) como el conjuntode todos los ideales primos homogeneos P de R tales que R+ * P . Se dice tambienque P es un ideal primo relevante de R. Proj(R) se conoce como el espectrohomogeneo de R. Si Vp es como en el parrafo anterior, existe una correspondenciabiyectiva entre Proj(Ah (Vp)) y las subvariedades no vacıas de Vp (vease la obser-vacion 4.3.2 y el teorema 4.2.17).

Para concluir este ejemplo notemos que sobre Proj(R) se tiene la topologia deZariski inducida de la topologıa de Zariski de Spec(R). Ası pues, un cerrado C deProj(R) consta de todos los ideales primos relevantes de R que contienen un ciertoideal I de R. Si R es noetheriano, entonces de la proposicion 6.2.3 obtenemos queProj(R) es tambien noetheriano.

6.3. Dimension de espacios y anillos

En esta seccion se introduce y estudia la dimension de un espacio topologico, y demanera particular, la dimension de las variedades afines y proyectivas.

Definicion 6.3.1. Sea X un espacio topologico no vacıo. La dimension de Krullde X, tambien denominada dimension combinatoria, y denotada por dim(X),es el supremo de las longitudes n de todas las cadenas de la forma

X0 ( X1 ( · · · ( Xn, (6.3.1)

donde cada Xi es no vacıo, cerrado e irreducible, 0 ≤ i ≤ n. Si Y es un subconjuntode X no vacıo, cerrado e irreducible, se define la codimension de Y en X, deno-tada, codimX(Y), como el supremo de las longitudes n de todas las cadenas (6.3.1)con X0 = Y . Se define ademas dim(∅) := −1 y codimX(∅) :=∞.

Proposicion 6.3.2. Sea X un espacio topologico.

(i) Si Zii∈C es la familia de componentes irreducibles de X, entonces dim(X) =supdim(Zi)i∈C.


(ii) Si X = Z1 ∪ · · · ∪ Zm, con Zi cerrado, 1 ≤ i ≤ m, entonces dim(X) =supdim(Zi)mi=1.

(iii) Si Y es un subconjunto de X no vacıo, cerrado e irreducible, entonces

dim(Y ) + codimX(Y ) ≤ dim(X). (6.3.2)

(iv) Sea Y como en el numeral anterior. Si X es irreducible y dim(X) < ∞,entonces dim(Y ) < dim(X) si, y solo si, Y 6= X.

Demostracion. Comencemos probando la siguiente propiedad general: Sea Y un sub-conjunto cerrado no vacıo de X, entonces Y ′ ⊆ Y es cerrado e irreducible en Y si,y solo si, Y ′ es cerrado e irreducible en X.⇒): Y ′ es cerrado de X ya que los cerrados de Y son de la forma Y ∩C, donde C

es un cerrado de X. Veamos la prueba de este hecho bien conocido de la topologıageneral. Si Y ′ es un cerrado de Y , su complemento Y − Y ′ en Y es abierto, por lotanto, existe un abierto A de X tal que Y −Y ′ = A∩Y . Pero C := X−A es cerradode X y entonces Y ′ = Y − (Y −Y ′) = Y − (A∩Y ) = Y −A = Y ∩ (X−A) = Y ∩C.Recıprocamente, si C es un cerrado de X, probemos que Y ′ := Y ∩C es un cerradode Y : Tenemos que Y − Y ′ = Y − (Y ∩C) = Y −C = Y ∩ (X −C), pero X −C esun abierto de X, luego Y − Y ′ es un abierto de Y , es decir, Y ′ es cerrado de Y .

Veamos ahora la irreducibilidad de Y ′ en X: sean C1, C2 dos cerrados de X talesque Y ′ = C1 ∪ C2, entonces Y ′ = Y ′ ∩ Y = (C1 ∩ Y ) ∪ (C2 ∩ Y ), pero como vimosen el parrafo anterior, C1 ∩ Y,C2 ∩ Y son cerrados de Y , con lo cual C1 ∩ Y = Y ′,o, C2 ∩ Y = Y ′, pero C1, C2 ⊆ Y ′ ⊆ Y , luego C1 = Y ′, o, C2 = Y ′.⇐): Supongamos ahora que Y ′ es cerrado e irreducible en X. Y ′ es cerrado en

Y ya que Y ′ = Y ∩ Y ′. Sean C ′1, C

′2 dos cerrados de Y tales que Y ′ = C ′

1 ∪ C ′2,

existen entonces cerrados C1, C2 de X tales que C ′1 = Y ∩C1, C

′2 = Y ∩C2. Resulta,

Y ′ = (Y ∩ C1) ∪ (Y ∩ C2), pero Y ∩ C1, Y ∩ C2 son cerrados de X, por lo tanto,Y ′ = Y ∩ C1, o, Y ′ = Y ∩ C2, es decir, Y ′ = C ′

1, o, Y ′ = C ′2.

(i) Segun la propiedad general probada anteriormente, dim(Zi) ≤ dim(X) paracada i ∈ C, luego supdim(Zi)i∈C ≤ dim(X). De otra parte, para cualquier cadena(6.3.1), Xn esta contenido en alguna componente irreducible Zi(n) (vease la obser-vacion 6.2.9), luego dim(X) ≤ dim(Zi(n)), de donde dim(X) ≤ supdim(Zi)i∈C.

(ii) Como en (i), dim(Zi) ≤ dim(X) para cada 1 ≤ i ≤ m. Resulta entoncesque supdim(Zi)mi=1 ≤ dim(X). Por otro lado, para cualquier cadena (6.3.1), Xn

esta contenido en algun Zi. En efecto, Xn = (Z1 ∩Xn)∪ · · · ∪ (Zm ∩Xn), pero comoXn es irreducible, entonces existe i tal que Xn = Zi ∩ Xn, de donde Xn ⊆ Zi. Setiene entonces que dim(X) ≤ dim(Zi), con lo cual dim(X) ≤ supdim(Zi)mi=1.

(iii) Teniendo en cuenta la propiedad general probada al principio, basta juntaruna cadena (6.3.1) terminada en Y con otra comenzando en Y .

(iv) ⇒): Evidente por contrarecıproca.

6.3. DIMENSION DE ESPACIOS Y ANILLOS 129

⇐): Segun (iii), dim(Y ) ≤ dim(X). Supongamos que dim(Y ) ≮ dim(X), en-tonces dim(Y ) = dim(X). Como Y 6= X, entonces considerando cualquier cadenapara Y , y teniendo en cuenta que X es cerrado e irreducible con dimension finita,tendrıamos que dim(X) > dim(Y ).

Pasamos ahora a establecer la relacion entre la dimension de una variedad afın(proyectiva) y la dimension de Krull del algebra afın (homogenea) correspondiente.Para esto comencemos recordando la nocion de dimension de Krull de un anilloconmutativo R ([17]). La dimension de Krull de R, denotada dim(R), es elsupremo de las longitudes n de todas las cadenas de la forma

P0 ( P1 ( · · · ( Pn, (6.3.3)

donde cada Pi es un ideal primo de R, 0 ≤ i ≤ n. Si P ∈ Spec(R), se define la alturade P , denotada por h(P), como el supremo de las longitudes n de todas las cadenas(6.3.3) con Pn = P . Si I es un ideal propio de R, se define dim(I) := dim(R/I),y su altura, h(I), se define como el ınfimo de las alturas de los ideales primos quecontienen a I.

Ejemplo 6.3.3. (i) Si K es un cuerpo, entonces dim(K) = 0.(ii) Si R es un DIP que no es un cuerpo, entonces dim(R) = 1, ası por ejemplo,

dim(Z) = 1, dim(K[x]) = 1 y dim(K[[x]]) = 1.(iii) Para n ≥ 2, dim(Zn) = 0 ya que primos y maximales coinciden.(iv) Si R es semisimple, entonces dim(R) = 0 ya que primos y maximales coin-

ciden (vease el ejemplo 6.1.10).(v) Si S es un subanillo de R, entonces no necesariamente dim(S) ≤ dim(R):

considere S = Z y R = Q.

Algunas propiedades de la dimension de Krull se presentan a continuacion.

Proposicion 6.3.4. Sean R un anillo, I un ideal propio y P un ideal primo de R.

(i) dim(R) = dim(Spec(R)).

(ii) dim(R) = dim(R/rad(R)) = dim(rad(R)).

(iii) dim(I) = dim(V (I)).

(iv) h(P ) = codimSpec(R)V (P ) = dim(RP ).

(v) h(P ) + dim(P ) ≤ dim(R).

(vi) dim(R) = supdim(RM)M∈Max(R).


Demostracion. (i) Cada cadena de ideales primos P0 ( P1 ( · · · ( Pn en R induceuna cadena de cerrados irreducibles no vacıos de Spec(R), V (Pn) ( V (Pn−1) ( · · · (V (P0), luego dim(R) ≤ dim(Spec(R)). Recıprocamente, si V (I0) V (I1) · · · V (In) es una cadena de cerrados irreducibles no vacıos de Spec(R), entonces resultaen R la cadena de ideales primos

√In

√In−1 · · ·

√I1

√I0. En efecto,

notemos que si I es un ideal propio de R tal que V (I) es irreducible, entonces√I

es primo: sabemos que V (I) es homeomorfo a Spec(R/I) (teorema 6.1.5), luegorad(R/I) es primo, es decir,

√I/I es un ideal primo de R/I, luego

√I es primo.

Ademas, de V (Ii−1) ⊆ V (Ii) resulta√Ii ⊆

√Ii−1: como

√Ii−1 es un primo que

contiene a Ii−1, entonces√Ii−1 contiene a Ii, veamos que tambien contiene a

√Ii.

Sea x ∈√Ii, entonces, xn ∈ Ii, con lo cual xnm ∈ Ii−1, es decir, x ∈

√Ii−1. Por

ultimo, si√Ii =

√Ii−1, entonces V (Ii) = V (

√Ii) = V (

√Ii−1) = V (Ii−1). Lo anterior

demuestra que dim(Spec(R)) ≤ dim(R).(ii) Esto es evidente ya que los primos de R/rad(R) son de la forma P/rad(R),

con P primo de R.(iii) Por definicion, dim(I) = dim(R/I), luego dim(I) = dim(Spec(R/I)) =

dim(V (I)).(iv) Cada cadena de ideales primos P0 P1 · · · Pn = P induce la cadena

de cerrados, irreducibles no vacıos V (P ) = V (Pn) ( V (Pn−1) ( · · · ( V (P0), luegoh(P ) ≤ codimSpec(R)V (P ). Recıprocamente, si V (P ) V (I1) · · · V (In) esuna cadena de cerrados irreducibles no vacıos, entonces, tal como vimos en (i), setiene la cadena de primos

√In

√In−1 · · ·

√I1

√P = P , por lo tanto,

codimSpec(R)V (P ) ≤ h(P ).Para la segunda igualdad, basta recordar que los primos de RP son de la forma

QRP , donde Q es un primo de R tal que Q ⊆ P , con lo cual h(P ) = dim(RP ).(v) Consecuencia directa de (iv), (iii), (i) y de (6.3.2).(vi) De (v) y (iv) resulta dim(RM) ≤ dim(R), luego supdim(RM)M∈Max(R) ≤

dim(R). Sea P un ideal primo, entonces existe M maximal tal que P ⊆ M . Estoimplica que h(P ) ≤ h(M) = dim(RM), pero dim(R) = suph(P )P∈Spec(R), dedonde, dim(R) ≤ supdimRMM∈Max(R).

Podemos ya calcular la dimension de variedades afines y proyectivas.

Teorema 6.3.5. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado.

(i) Sea V una variedad no vacıa de An(K). Entonces,

dim(V ) = dim(A(V )).

(ii) Sea Vp una variedad proyectiva no vacıa de P n(K). Entonces,

dim(Vp) = dim(Proj(Ah (Vp))).

6.4. PREHACES Y HACES 131

Demostracion. (i) Esto es consecuencia del ejemplo 1.7.10 ya que a una cadena decerrados, irreducibles no vacıos de V corresponde una cadena de primos de A(V ), yviceversa.

(ii) Notese que no podemos aplicar la observacion 4.3.2 (iii) ya que en Ah (Vp))no podemos considerar todos los primos sino solamente los homogeneos, en otraspalabras, dim(Vp) 6= dim(Ah (Vp))). Sin embargo, tal como vimos al final del ejem-plo 6.2.10, existe una correspondencia biyectiva entre Proj(Ah (Vp)) y las subva-riedades no vacıas de Vp, ademas, la topologıa de Proj(Ah (Vp)) es la inducida deSpec(Ah (Vp)), por lo tanto, dim(Vp) = dim(Proj(Ah (Vp))).

6.4. Prehaces y haces

En esta seccion definimos las nociones de prehaz y haz sobre un especio topologicoarbitrario X y estudiaremos estas construcciones en dos casos particulares, a saber:cuando X = Spec(R), con R un anillo conmutativo arbitrario, y en el caso en queX = V es una variedad afın o proyectiva no vacıa.

Definicion 6.4.1. Sea X un espacio topologico. Un prehaz F sobre X se definepor:

(i) A cada abierto U ⊆ X se le asocia un conjunto F(U). F(∅) es unitario.

(ii) A cada par de abiertos U ⊆ V de X se asocia una funcion FVU : F(V )→ F(U)que satisface las siguientes condiciones:

(a) FUU = iF(U), para cada abierto U de X.

(b) Para cualesquiera abiertos U ⊆ V ⊆ W de X se tiene que FWU = FVU FWV

Los conjuntos F(U) se denominan las secciones del prehaz F .

Si los conjuntos F(U) son grupos, anillos o modulos, etc., se asume ademas quelas funciones FVU son homomorfismos de esas estructuras y F(∅) := 0. Si F esun prehaz sobre X y U ⊆ X es un abierto, entonces sobre U se induce de maneranatural una estructura de prehaz, denotada por F|U , tal que F|U(V ) := F(V ), paracada abierto V ⊆ U , y (F|U)V

′V := FV ′

V , con V ⊆ V ′ ⊆ U .Usando el lenguaje de las categorıas y funtores (vease [15]) un prehaz se puede

interpretar como un funtor contravariante: en efecto, si X es un espacio topologico,sea X la categorıa cuyos objetos son todos los abiertos de X y MorX (U, V ) es vacıosi U * V , y es unitario con unico elemento la inclusion si U ⊆ V . De esta manera,F es un funtor contravariante de la categorıa X en la categorıa de los conjuntos(grupos, anillos, modulos, etc.).

Sea R un anillo conmutativo, queremos ahora definir una estructura de prehaz Rpara Spec(R). Comenzamos asumiendo que R es un DI con cuerpo de fracciones K.


Sea U ⊆ Spec(R) un abierto no vacıo, definimos la seccion R(U) como el conjuntode fracciones z ∈ K tal que dado P ∈ U existe al menos una representacion dez = a

bcon b /∈ P . Ademas, definimos R(∅) := 0, el anillo trivial en el cual 1 = 0.

Podemos entonces probar la siguiente afirmacion.

Proposicion 6.4.2. Sea R un DI. Entonces R define un prehaz de anillos sobreSpec(R). Ademas,

(i) R(Xf ) = Rf para cada f 6= 0. En particular, R(Spec(R)) = R.

(ii) Para cada abierto no vacıo U de Spec(R),

R(U) = R(⋃

Xf⊆U

Xf ) =⋂

Xf⊆U

Rf . (6.4.1)

Demostracion. Probemos primero que efectivamenteR(U) es un anillo (un subanillode K). Para U = ∅, R(∅) = 0 es el anillo trivial. Sea U no vacıo, entonces0 = 0

1∈ R(U); sean z, z′ ∈ R(U) y sea P ∈ U , entonces z = a

b, z′ = a′

b′, con

b, b′ /∈ P , y claramente z+ z′ = ab+ a′

b′= ab′+ba′

bb′∈ R(U); tambien zz′ = a

ba′

b′∈ R(U);

obviamente 1 = 11∈ R(U).

Si U ⊆ V , con U 6= ∅, entonces RVU se define como la aplicacion identica de R(V )

en R(U), es decir, z = ab7→ z. Si U = ∅, entonces z 7→ 0. Es claro entonces que las

condiciones (a) y (b) de la definicion 6.4.1 se cumplen.Podemos ya probar la segunda parte de la proposicion.(i) Sea z ∈ R(Xf ) y sea P ∈ Xf , existen aP , bP tales que z = ap

bP, con bP /∈ P ;

consideremos en R el ideal I := 〈bP |P ∈ Xf〉 y en Rf consideremos el ideal IRf .Observemos que ningun primo de Rf contiene a IRf . Supongamos lo contrario, seaQ un primo de Rf tal que IRf ⊆ Q, sabemos que Q es de la forma Q = PS−1, con

P ∩ S = ∅ y S := fkk≥0, entonces P ∈ Xf y para bP se tendrıa bP1

= p′

fk , con

p′ ∈ P , y de esto resultarıa bP ∈ P , una contradiccion. Ası pues, IRf = Rf , con

lo cual 11

=bP1

1c1fk1

+ · · · + bPl

1clfkl

, luego existe k tal que fk = bP1c′1 + · · · + bPl

c′l, de

donde, zfk = aP1c′1 + · · ·+ aPl

c′l ∈ R, pero esto dice que z ∈ Rf . Hemos demostradoque R(Xf ) ⊆ Rf , pero claramente, Rf ⊆ R(Xf ). En total, R(Xf ) = Rf . Notemosque en particular X1 = Spec(R) y R1 = R.

(ii) Notemos que U se puede escribir como la union de todos sus abiertos basicos,es decir, U =

⋃Xf⊆U Xf , luego debemos demostrar queR(U) =

⋂Xf⊆U Rf . Podemos

probar de manera mas general que para cada coleccion de abiertos no vacıos Uii∈Cse cumple

R(⋃i∈C Ui) =

⋂i∈CR(Ui),

y luego aplicar (i). Sea z ∈⋂i∈CR(Ui) y sea P ∈

⋃i∈C Ui, entonces existe i ∈ C

tal que P ∈ Ui; puesto que z ∈ R(Ui), entonces z tiene una representacion en la


forma z = ab, con b /∈ P . Esto muestra que z ∈ R(

⋃i∈C Ui). Recıprocamente, sea

z ∈ R(⋃i∈C Ui), debemos probar que dado i ∈ C, z ∈ R(Ui). Sea P ∈ Ui, entonces

P ∈⋃i∈C Ui, luego z tiene una representacion en la forma z = a

b, con b /∈ P . Esto

prueba que z ∈ R(Ui).

Vamos ahora a estudiar el caso general de un anillo conmutativo. Sea U unabierto no vacıo; parece natural definir R(U), al igual que en el caso de un dominiode integridad, como la interseccion de todos los anillos Rf tal que Xf es un abiertobasico contenido en U Sin embargo, estos anillos no estan contenidos en un anillocomun, por lo tanto la interseccion carece de sentido. Cambiamos la interseccion porel lımite proyectivo, es decir, definimos

R(U) := lım←−Xf⊆URf . (6.4.2)

Si f es nilpotente, Xf = ∅ y R(Xf ) es el anillo trivial, asumiremos entonces eneste caso que Rf = 0. Recordemos (vease [15]) como se construye el anillo lımite.Consideremos la coleccion U de todos los abiertos basicos contenidos en U es decir,U := Xf |Xf ⊆ U; podemos ordenar U por inclusion y obtenemos un cojuntodirigido ya que Xfg = Xf ∩ Xg ⊆ Xf , Xfg ⊆ Xg. A cada Xf de U asignamos el

anillo Rf de tal forma que para Xf ⊆ Xg se tiene un homomorfismo RXg

Xf: Rg → Rf

definido como veremos a continuacion. Notemos que Xf ⊆ Xg si, y solo si, existek ≥ 1 tal que fk = gu, con u ∈ R: si Xf ⊆ Xg, entonces V (g) ⊆ V (f), es decir, cadaprimo que contenga a g contiene a f , en otras palabras, la imagen f de f en el anilloR/〈g〉 esta contenida en cada primo de este anillo cociente, es decir, f es nilpotentede R/〈g〉, por lo tanto, existe k ≥ 1 tal que fk ∈ 〈g〉, es decir, existe u ∈ R tal quefk = gu. Para la afirmacion recıproca basta devolvernos. Con esto, podemos definir

RXg

Xf: Rg → Rf , RXg

Xf(a

gl) :=

aul

fkl. (6.4.3)

Se puede demostrar que RXg

Xfes un homomorfismo de anillos bien definido, es decir,

no depende de n de u ni de la representacion de agl . Notemos que en el caso trivial

en el cual f es nilpotente, (6.4.3) tambien define el homomorfismo trivial tomandocomo k el ındice de nilpotencia de f y u = 0.

Para estos homomorfismos claramente se tiene RXf

Xf= iRf

y RXhXf

= RXg

Xf RXh

Xg,

con Xf ⊆ Xg ⊆ Xh. El lımite proyectivo del sistema RfXf∈U es el subconjuntodel anillo producto

∏Xf∈U Rf dado por

R(U) := (zf ) ∈∏Xf∈U

Rf |zh = RXg

Xh(zg), para Xh, Xg ∈ U , con Xh ⊆ Xg. (6.4.4)

Puesto que cada RXg

Xfes un homomorfismo de anillos, entonces R(U) es un subanillo

de∏

Xf∈U Rf . Como antes, definimos R(∅) := 0.


Para completar la construccion del prehaz R necesitamos definir un homomor-fismo de anillos de RV

U : R(V )→ R(U) para U ⊆ V abiertos de Spec(R). Sea U novacıo y sea (zf ) ∈ R(V ), con zf ∈ Rf y Xf ⊆ V , consideremos el subarreglo (zh) de(zf ) con la condicion Xh ⊆ U . Notemos que (zh) no es vacıo ya que todos los basicoscontenidos en U estan contenidos en V . Definimos entonces

RVU ((zf )) := (zh), (6.4.5)

es decir, como la proyeccion. Es obvio que RVU es un homomorfismo de anillos. Si

U = ∅, entonces definimos RVU trvialmente, es decir, a cada elemento de R(V ) le

asignamos 0. Es claro entonces que las condiciones (a) y (b) de la definicion 6.4.1se cumplen. En particular, si U es un abierto no vacıo y X ′ es un abierto basicocualquiera de Spec(R), entonces

RUX′((zf )) := (zh), con Xh ⊆ X ′. (6.4.6)

Con todo lo anterior ya tenemos practicamente demostrado el siguiente teorema.

Teorema 6.4.3. Sea R un anillo. Entonces, R en (6.4.4) define un prehaz sobreSpec(R). Ademas,

(i) R(Xf ) ∼= Rf para cada f ∈ R. En particular, R(Spec(R)) ∼= R.

(ii) Sea U un abierto no vacıo y Xf ′ un abierto basico contenido en U , entonces

RUXf ′

((zf )) = zf ′ . (6.4.7)

(iii) Si R es un DI, R coincide con el prehaz de la proposicion 6.4.2.

Demostracion. Solo resta demostrar las afirmaciones (i)-(iii).(i) Si f es nilpotente, el isomorfismo se tiene por definicion. Sea f no nilpotente,

por (6.4.4), R(Xf ) consta de todos los arreglos (zh) con Xh ⊆ Xf y zp = RXg

Xp(zg) si

Xp, Xg ⊆ Xf con Xp ⊆ Xg. La funcion definida por (zh) 7→ zf determina un isomor-fismo entre R(Xf ) y Rf . En efecto, esta funcion es claramente un homomorfismo deanillos; si zf = 0, entonces todas las entradas de (zh) son tambien nulas; la asignaciones obviamente sobreyectiva. En particular, R(X1) = R(Spec(R)) ∼= R1 = R.

(ii) Segun (6.4.6), RUXf ′

((zf )) es un arreglo, pero en vista de (i) este arreglo se

puede identificar con z′f .(iii) Para la tercera afirmacion notemos que si U = ∅ las cosas se cumplen trivial-

mente. Sea U no vacıo; recordemos (vease [15]) que el lımite proyectivo del sistemadirigido de subanillos Rf de K, con ∅ 6= Xf ⊆ U , es precisamente la interseccion,es decir, de (6.4.4) resulta R(U) =

⋂∅6=Xf⊆U Rf , lo cual concuerda con (6.4.1). Por

ultimo, observemos que la aplicacion RVU coincide con la de la proposicion 6.4.2.


Definicion 6.4.4. Sea X un espacio topologico y F un prehaz sobre X. Se dice queF es un haz sobre X si para cada subconjunto abierto U ⊆ X y cada cubrimientoabierto de U , U =

⋃i∈C Ui, se cumplen las siguientes condiciones:

(i) Si z, z′ ∈ F(U) son tales que FUUi(z) = FUUi

(z′) para cada i ∈ C, entoncesz′ = z.

(ii) Sea zi|zi ∈ F(Ui)i∈C una coleccion de elementos tal que para cualesquiera

i, j ∈ C se tiene que FUiUi∩Uj

(zi) = FUj

Ui∩Uj(zj). Entonces, existe un elemento

z ∈ F(U) tal que FUUi(z) = zi, para cada i ∈ C.

Segun (i), el elemento z de la condicion (ii) es unico. De otra parte, si F es unhaz sobre X y U ⊆ X es un abierto, entonces el prehaz inducido F|U es un hazsobre U .

Proposicion 6.4.5. Sea R un DI. Entonces el prehaz R de la proposicion 6.4.2define una estructura de haz sobre Spec(R).

Demostracion. Sea U un abierto no vacıo de Spec(R) con cubrimiento abierto U =⋃i∈C Ui. Sean z, z′ ∈ R(U) tales que RU

Ui(z) = RU

Ui(z′) para cada i ∈ C. Puesto

que los homomorfismos RUUi

son los identicos, entonces es claro que z = z′. Demanera similar se establece la condicion (ii) de la definicion 6.4.4. Para U = ∅ lasdos condiciones se cumplen trivialmente.

Veamos ahora el caso general. Para esto utilizaremos las identificaciones del teore-ma 6.4.3, es decir, asumiremos queR(Xf ) = Rf ,R(Spec(R)) = R y la identificacion(6.4.7). Cuando f es nilpotente, Rf es el anillo trivial.

Teorema 6.4.6. Sea R un anillo. Entonces el prehaz R del teorema 6.4.3 defineuna estructura de haz sobre Spec(R).

Demostracion. Debemos demostrar las condiciones (i) y (ii) de la definicion 6.4.4.(i) La prueba de esta parte incluye los mismos pasos que veremos a continuacion

para la demostracion de (ii), y se deja como ejercicio (vease tambien [19]).(ii) Si U = ∅ las dos condiciones se cumplen trivialmente. Sea U un abierto no

vacıo de Spec(R) con cubrimiento abierto U =⋃i∈C Ui. Dividimos la demostracion

de este numeral en tres pasos.Paso 1. Supongamos inicialmente que U = Spec(R) y el recubrimiento es con

abiertos basicos, es decir, Spec(R) =⋃i∈C Xfi

. Este caso lo podemos a su vez dividiren dos pasos.

Paso 1.1. Por compacidad, podemos considerar el caso Spec(R) = Xf1∪· · ·∪Xfr .

Sean zl ∈ R(Xfl) = Rfl

, 1 ≤ l ≤ r, de tal forma que RXfiXfi

∩Xfj(zi) = R

Xfj

Xfi∩Xfj

(zj),

es decir, tenemos


Rfi→ Rfifj

, zi = ai

fni7→ aif

nj

(fifj)n

Rfj→ Rfifj

, zj =aj

fnj7→ ajf

ni

(fifj)n

conaif

nj

(fifj)n =ajf

ni

(fifj)n (notese que podemos tomar el mismo n ya que solo tenemos un

numero finito r de abiertos basicos; ademas, si fifj es nilpotente, recordemos quedefinimos en este caso Rfifj

como el anillo trivial). Las asignaciones anteriores sonlas dadas por (6.4.3) al considerar por ejemplo Xfi

∩Xfj= Xfifj

⊆ Xfiy la relacion

fifj = fifj, es decir, allı f = fifj, g = fi, u = fj y k = 1.

Existe m ≥ 0 tal que (fifj)m(aif

nj −ajfni ) = 0, para 1 ≤ i, j ≤ r. Sea wi := aif

mi

y sea k := m + n, entonces zi = wi

fki

y ademas wifkj = wjf

ki . Notemos que el ideal

〈fk1 , . . . , fkr 〉 no esta contenido en ningun primo. En efecto, supongamos que existeP primo tal que 〈fk1 , . . . , fkr 〉 ⊆ P ; puesto que Spec(R) = Xf1 ∪ · · · ∪Xfr , entoncesexiste i tal que P ∈ Xfi

, luego fki /∈ P , contradiccion. Ası pues, 〈fk1 , . . . , fkr 〉 =R y existen elementos c1, . . . , cr ∈ R tales que 1 = c1f

k1 + · · · + crf

kr . Definimos

z := c1w1 + · · · + crwr ∈ R = R(Spec(R)) y observemos que fki z =∑r

j=1 cjwjfki =∑r

j=1 cjwifkj = wi, es decir, z = wi

fki

= zi para cada 1 ≤ i ≤ r (el elemento z en

cualquier Rf debemos entenderlo como z1). Por lo tanto, RSpec(R)

Xfi(z) = z

1= wi

fki

= zi,

para cada 1 ≤ i ≤ r. En efecto, Xfi⊆ X1 = Spec(R), aplicamos entonces (6.4.3)

con g = 1, f = fi, fi = 1fi, u = fi, k = 1, luego R(X1) = R(Spec(R)) = R,

R(Xfi) = Rfi

y RSpec(R)Xfi

(z) = RSpec(R)Xfi

( z1) =

zf0i

f0i

= z1

= z = wi

fki

= zi.

Paso 1.2. Utilicemos lo demostrado en el paso anterior y probemos (ii) para elrecubrimiento completo, Spec(R) =

⋃i∈C Xfi

. Sean zi := ai

fn(i)i

∈ R(Xfi) = Rfi

, con

i ∈ C, de tal forma queaif

n(i)j

(fifj)n(i) =ajf

n(j)i

(fifj)n(j) , para todo i, j ∈ C. En el paso anterior

encontramos i1, . . . , ir ⊆ C, con Spec(R) = Xfi1∪ · · · ∪ Xfir

, y z ∈ R tal que

RSpec(R)Xfi

(z) = z = zi si i ∈ i1, . . . , ir. Sea i /∈ i1, . . . , ir; entonces Spec(R) =

Xfi1∪ · · · ∪ Xfir

∪ Xfi, luego existe z′ ∈ R tal que RSpec(R)

Xfj(z′) = z′ = zj, si

j ∈ i1, . . . , ir, i. Por lo tanto, zi = z′ = zil = z para cada 1 ≤ l ≤ r. Ası pues, para

todo i ∈ C se tiene que RSpec(R)Xfi

(z) = zi.

Paso 2. Consideremos ahora el caso en que U = Xf es un abierto basico con unrecubrimiento basico, Xf =

⋃i∈C Xfi

. Sean zi := ai

fn(i)i

∈ R(Xfi) = Rfi

, con i ∈ C, de

tal forma que RXfiXfi

∩Xfj(zi) = R

Xfj

Xfi∩Xfj

(zj), es decir,aif

n(i)j

(fifj)n(i) =ajf

n(j)i

(fifj)n(j) , para todo

i, j ∈ C. Como hicimos en el paso 1, sea fi

1la imagen de fi en el homomorfismo

natural R → Rf ; notemos que X f1

=⋃i∈C X fi

1

: en efecto, sea Q un primo de X f1,

entonces Q es de la forma Q = PS−1, con P primo de R, P ∩S = ∅ y S := fkk≥0,esto implica que f /∈ P y por lo tanto P ∈ Xf . En consecuencia, existe i ∈ C


tal que P ∈ Xfi, lo cual a su vez indica que fi /∈ P , es decir, fi

1/∈ PS−1 = Q.

Se tiene entonces que Q ∈ X fi1

. Con esto hemos demostrado la inclusion X f1⊆⋃

i∈C X fi1

. Para la otra inclusion basta devolvernos. Puesto que f1

es un invertible

de Rf , entonces Spec(Rf ) = X f1

=⋃i∈C X fi

1

. Con esto, y con lo probado en el paso

1, podemos completar el paso 2. Pasando al anillo Rf y sus localizaciones (Rf ) fi1

,

tenemos z′i :=ai1

(fi1

)n(i)∈ R(X fi

1

) = (Rf ) fi1

, RX fi

1X fi

1

∩X fj1

(z′i) = RX fj

1X fi

1

∩X fj1

(z′j), es decir,

ai1

(fj1

)n(i)

(fi1

fj1

)n(i)=

aj1

(fi1

)n(j)

(fi1

fj1

)n(j). Por lo demostrado en el paso 1, existe z ∈ Rf = R(Xf ) tal que

RSpec(Rf )X fi

1

(z) = z′i, para cada i ∈ C. Luego, RXf

Xfi(z) = zi, para cada i ∈ C. En efecto,

recordemos que (Rf ) fi1

∼= Rffi, donde el isomorfismo viene dado por

afp

(fi1

)q7→ afqfp

i

(ffi)p+q .

En particular z′i 7→aif

n(i)

(ffi)n(i) ; pero por otro lado, para Xffi⊆ Xfi

el homomorfismo

(6.4.3) se define por zi = ai

fn(i)i

7→ aifn(i)

(ffi)n(i) . Lo afirmado se sigue entonces de (6.4.4).

Paso 3. Apoyado en los pasos anteriores, demostremos (ii) para el caso generalde un abierto U con recubrimiento U =

⋃i∈C Ui. Consideremos una coleccion de

elementos zi|zi ∈ R(Ui)i∈C tal que

RUi1Ui1

∩Ui2(zi1) = RUi2

Ui1∩Ui2

(zi2). (6.4.8)

Debemos encontrar un elemento z ∈ R(U) tal que RUUi

(z) = zi, para cada i ∈ C.Expresemos cada Ui como union de todos los abiertos basicos de Spec(R) que

estan contenidos en Ui, Ui :=⋃j∈C(i) V(i,j) (hemos modificado la notacion de (6.4.1)).

Al simplificar y escribir l := (i, j) se tiene entonces que Ui =⋃Vl⊆Ui

Vl. Sea wl :=

RUiVl

(zi); probemos inicialmente que

RVl1Vl1

∩Vl2(wl1) = RVl2

Vl1∩Vl2

(wl2), (6.4.9)

con l1 := (i1, j1), l2 := (i2, j2). Para esto observemos que Vl1 ∩ Vl2 ⊆ Vl1 ⊆ Ui1 ,Vl1 ∩ Vl2 ⊆ Vl2 ⊆ Ui2 , Vl1 ∩ Vl2 ⊆ Ui1 ∩ Ui2 ⊆ Ui1 , Ui2 , luego el lado izquierdo de(6.4.9) es

RVl1Vl1

∩Vl2(wl1) = RVl1

Vl1∩Vl2RUi1Vl1

(zi1) = RUi1Vl1

∩Vl2(zi1) = RUi1

∩Ui2Vl1

∩Vl2RUi1Ui1

∩Ui2(zi1),

y el derecho es

RVl2Vl1

∩Vl2(wl2) = RVl2

Vl1∩Vl2RUi2Vl2

(zi2) = RUi2Vl1

∩Vl2(zi2) = RUi1

∩Ui2Vl1

∩Vl2RUi2Ui1

∩Ui2(zi2),

luego basta aplicar (6.4.8).Con (6.4.9) podemos completar la demostracion. Sea Xf la coleccion de todos

los abiertos basicos contenidos en U ; sea Vl la coleccion de todos los abiertos


basicos con Vl ⊆ Ui e i recorriendo C, luego U =⋃l Vl. Entonces Xf = Xf ∩ U =⋃

l(Xf ∩Vl), es decir, el abierto basico Xf es union de abiertos basicos; consideremos

la coleccion de elementos zl ∈ R(Xf ∩ Vl), con zl := RVlXf∩Vl

(wl). Esta coleccion

satisface la condicion (ii) de la definicion 6.4.4. En efecto,

RXf∩Vl1Xf∩Vl1

∩Xf∩Vl2(zl1) = RXf∩Vl1

Xf∩Vl1∩Xf∩Vl2

RVl1Xf∩Vl1

(wl1) = RVl1Xf∩Vl1

∩Xf∩Vl2(wl1) =

RVl1∩Vl2

Xf∩Vl1∩Xf∩Vl2

RVl1Vl1

∩Vl2(wl1);

RXf∩Vl2Xf∩Vl1

∩Xf∩Vl2(zl2) = RXf∩Vl2

Xf∩Vl1∩Xf∩Vl2

RVl2Xf∩Vl2

(wl2) = RVl2Xf∩Vl1

∩Xf∩Vl2(wl2) =

RVl1∩Vl2

Xf∩Vl1∩Xf∩Vl2

RVl2Vl1

∩Vl2(wl2);

basta entonces usar (6.4.9). Aplicando el paso 2 al abierto basico Xf =⋃l(Xf ∩Vl),

obtenemos un elemento zf ∈ R(Xf ) tal que RXf

Xf∩Vl(zf ) = zl, para cada l. Con esto

podemos encontrar un z ∈ R(U) tal que RUXf

(z) = zf . En efecto, probemos que

el arreglo z := (zf ) satisface (6.4.4). Tenemos que RXg

Xg∩Vl(zg) = zl, para cada l,

pero un posible Vl de U es Xh con Xh ⊆ Xg ⊆ U , luego RXg

Xg∩Xh(zg) = zh, es decir,

RXg

Xh(zg) = zh. Por (6.4.7), RU

Xf(z) = zf .

Por ultimo, sea z′i := RUUi

(z); considerando nuevamente Ui =⋃Vl⊆Ui

Vl se tieneque

RUiVl

(z′i) = RUiVlRUUi

(z) = RUVl

(z) = zl = RVlXf∩Vl

(wl) =

RVlXf∩Vl

RUiVl

(zi) = RUiXf∩Vl

(zi) = RUiVl

(zi),

donde la ultima igualdad se obtiene de (6.4.4) y (6.4.7). Luego al aplicar (i) resultazi = z′i. Esto permite concluir la demostracion.

Pasamos ahora a construir una estructura de haz para V , con V una variedadafın (proyectiva) no vacıa. Recordemos que V tiene estructura de espacio topologicoinducida por la topologıa de Zariski de An(K) (P n(K)).

Teorema 6.4.7. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado.

(i) Sea V una variedad no vacıa de An(K), entonces sobre V existe una estructuracanonica de haz definida de la siguiente manera: si U es un abierto de V ,entonces F(∅) := 0, y para U 6= ∅ se toma

F(U) := z := fg∈ K(V )|z esta definida en cada punto P ∈ U.

Si U ′ ⊆ U son abiertos de V con U ′ 6= ∅, entonces FUU ′ : F(U) → F(U ′) sedefine por z 7→ z. Para U ′ = ∅, z 7→ 0.


(ii) Sea Vp una vaiedad no vacıa de P n(K), entonces sobre Vp existe una estruc-tura canonica de haz definida de la siguiente manera: Up es un abierto de Vp,entonces F(∅) := 0, y para Up 6= ∅ se toma

F(Up) := z := fg∈ K(Vp)|z esta definida en cada punto P ∈ Up.

Si U ′p ⊆ Up son abiertos de Vp con U ′

p 6= ∅, entonces FUp

U ′p

: F(Up)→ F(U ′p) se

define por z 7→ z. Para U ′p = ∅, z 7→ 0.

Demostracion. (i) Si U 6= ∅, es claro que F(U) es un subanillo de K(V ) que contienea A(V ); si U = ∅, F(U) tiene estructura trivial de anillo. Ademas, las condiciones(a) y (b) de la definicion 6.4.1 se cumplen trivialmente.

(ii) Si Up 6= ∅, es claro que F(Up) es un subanillo de K(Vp) que contiene a K; siUp = ∅, F(Up) tiene estructura trivial de anillo. Ademas, las condiciones (a) y (b)de la definicion 6.4.1 se cumplen trivialmente.

Observacion 6.4.8. (i) Segun vimos en la observacion 2.4.2, cada elemento z ∈F(U) define una funcion del abierto no vacıo U en el cuerpo K, esta funcion tambien

la podemos denotar por z, z(P ) := f(P )g(P )

, P ∈ U . La funcion z : U → K definida deesta manera se dice que es una funcion regular sobre U . Ası pues,

F(U) = z : U → K|z es regular.

(ii) Notemos que se tienen las siguientes inclusiones (vease el teorema 2.4.3):

K ⊆ A(V ) ⊆ F(U) ⊆ LP (V ) ⊆ K(V ), para cada P ∈ U .

Ademas,

F(U) =⋂P∈U LP (V ) y F(V ) = A(V ).

Observacion 6.4.9. (i) Segun vimos en la observacion 4.3.2 , cada elemento z ∈F(Up) define una funcion del abierto no vacıo Up en el cuerpoK, esta funcion tambien

la podemos denotar por z, z(P ) := f(P )g(P )

, P ∈ Up. En este caso f, g son polinomios

homogeneos del mismo grado. La funcion z : Up → K definida de esta manera sedice que es una funcion regular sobre Up. Ası pues,

F(Up) = z : Up → K|z es regular.

(ii) Notemos que se tienen las siguientes inclusiones (vease la proposicion 4.3.5):

K ⊆ F(Up) ⊆ LP (Vp) ⊆ K(Vp), para cada P ∈ Up.

Ademas,


F(Up) =⋂P∈Up

LP (Vp).

Definicion 6.4.10. Sea X un espacio topologico y sea F un haz sobre X. Para cadapunto x ∈ X se define el tallo (stalk) de F en x por

Fx := lım−→U3xF(U).

El lımite inductivo se toma sobre todos los cerrados U de X que contienen alelemento x y se toma como relacion de orden V ≤ U si, y solo si, U ⊆ V . Dela definicion de lımite inductivo se tiene que un elemento de Fx es una clase deequivalencia xU con representante xU ∈ F(U), para algun abierto U 3 x; dos clasesxU , xV son iguales si, y solo si, existe W 3 x, con W ⊆ U, V con FU

W (xU) = F VW (xV ).

Ejemplo 6.4.11. (i) Sea R un anillo y R el haz establecido en el teorema 6.4.6; seaP un punto de Spec(R), entonces RP = RP es un anillo local. En efecto,

RP = lım−→f /∈PRf = RP .

(ii) Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado, V una variedad no vacıa de An(K)y F el haz definido en el teorema 6.4.7. Entonces, para cada punto P ∈ V se tieneque FP = LP (V ) es un anillo local. De igual manera, si Vp es una variedad proyectivade P n(K) y P ∈ Vp, entonces FP = LP (Vp) es un anillo local.

6.5. Esquemas

Definicion 6.5.1. Un espacio anillado es una pareja (X,F), donde X es unespacio topologico y F es un haz de anillos sobre X. (X,F) es local si para cadax ∈ X el tallo Fx es un anillo local.

Un morfismo ϕ : (X,F)→ (Y,G) entre espacios anillados se define por:

(i) Una funcion continua ϕ : X → Y .

(ii) Dado un abierto U de Y , se tiene un homomorfismo de anillos ψU : G(U) →F(ϕ−1(U)).

(iii) Para cualesquiera abiertos U ⊆ V de Y el siguiente diagrama es conmutativo:

F(ϕ−1(V ))Fϕ−1(V )

ϕ−1(U)−−−−−→ F(ϕ−1(U))xψV

xψU

G(V )GV

U−−−→ G(U)

Un morfismo de espacios anillados locales debe cumplir ademas que para cadapunto x ∈ X, el ideal maximal del tallo Gϕ(x) debe ser enviado en el idealmaximal del tallo Fx a traves del homomorfismo lımite inducido por los ψU .

6.5. ESQUEMAS 141

Si (X,F) es un espacio anillado y U ⊆ X es un abierto, entonces (U,F|U) estambien un espacio anillado, donde F|U es el haz inducido sobre U .

Proposicion 6.5.2. La coleccion de espacios anillados es una categorıa.

Demostracion. Basta notar que la funcion identica i(X,F) es un morfismo de espaciosanillados y que la composicion de morfismos de espacios anillados es un morfismode espacios anillados. Ademas, esta composicion es claramente asociativa.

Definicion 6.5.3. Un morfismo ϕ de espacios anillados es un isomorfismo siexiste un morfismo ϕ′ de espacios anillados tales que ϕ′ ϕ = i(X,F) y ϕϕ′ = i(Y,G).

Proposicion 6.5.4. Sea R un anillo.

(i) Si R es el haz del teorema 6.4.6, entonces, (Spec(R),R) es un espacio anilladolocal.

(ii) Cada homomorfismo de anillos f : R→ S induce un morfismo

ϕ : (Spec(S),S)→ (Spec(R),R)

de espacios anillados locales.

Demostracion. (i) Consecuencia directa del teorema 6.4.3 y del ejemplo 6.4.11.(ii) Ya habıamos visto en el teorema 6.1.5 que la funcion ϕ : Spec(S)→ Spec(R)

definida por ϕ(Q) := f−1(Q), Q ∈ Spec(S), es continua. Consideremos un abier-to de Spec(R); si U = ∅, entonces ψU : R(U) → S(ϕ−1(U)) es trivialmente unhomomorfismo de anillos y el diagrama de la definicion 6.5.1 resulta trivialmenteconmutativo. Sea U no vacıo; supongamos inicialmente que U es basico de Spec(R),U := Xr, entonces ϕ−1(Xr) = Xf(r) (vease la demostracion del teorema 6.1.5). Setiene el homomorfismo de anillos

ψU : Rr = R(U)→ S(ϕ−1(U)) = Sf(r),arn 7→ f(a)

f(r)n .

Considerando ahora U =⋃Xr⊆U Xr como union de todos sus abiertos basicos, en-

tonces los homomorfismos anteriores inducen un homomorfismo de anillos de R(U)en S(V ), donde V := ϕ−1(U). De (6.4.5) se concluye que el diagrama de la definicion6.5.1 resulta conmutativo. En conlusion, ϕ es un morfismo de espacios anillados.

Dado Q ∈ Spec(S), sabemos que SQ = SQ con ideal maximal QSQ; ademas,ϕ(Q) = f−1(Q) := P , RP = RP . Tenemos el homomorfismo de anillos RP → SQ,ar7→ f(a)

f(r)para el cual se tiene que PRP 7→ QSQ. Esto muestra que ϕ es un morfismo

de espacios anillados locales.


Con la notacion del teorema 6.4.7 se obtienen otros ejemplos notables de espaciosanillados asociados a variedades afines y proyectivas. Estos ejemplos son tambien detipo local.

Proposicion 6.5.5. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado.

(i) Si V una variedad no vacıa de An(K), entonces (V,F) es un espacio anilladolocal.

(ii) Si Vp una variedad no vacıa de P n(K), entonces (Vp,F) es un espacio anilladolocal.

Demostracion. Consecuencia directa del teorema 6.4.7 y del ejemplo 6.4.11.

Con todos los ingredientes presentados en las secciones anteriores podemos yaintroducir la nocion de esquema.

Definicion 6.5.6. Un esquema es un espacio anillado (X,F) en el cual cadapunto x ∈ X tiene una vecindad U tal que el espacio anillado inducido (U,F|U) esisomorfo a (Spec(R),R), para algun anillo R.

Teorema 6.5.7. Si R es un anillo, entonces (Spec(R),R) es un esquema, deno-minado esquema afın.

Demostracion. En este caso trivial, dado el ideal primo P ∈ Spec(R), en calidadde vecindad U se puede tomar todo el espacio Spec(R) de tal forma que el espacioanillado inducido no solo es isomorfo sino igual a (Spec(R),R).

Proposicion 6.5.8. La coleccion de esquemas afines es una categorıa. Ademas,existe un funtor contravariante de la categorıa de los anillos en la categorıa de losesquemas afines.

Demostracion. Se obtiene de manera directa de la proposicion 6.5.4.

Concluimos el capıtulo asociando a cada variedad afın (proyectiva) no vacıa unesquema.

Teorema 6.5.9. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Sea V una variedad afın(proyectiva) no vacıa. Sea V la coleccion de variedades no vacıas contenidas en V .

Sea U ⊆ V un abierto y sea U la coleccion de variedades no vacıas contenidas enU . Entonces

(i) Los conjuntos U definen una topologıa para V .

(ii) La asignacion F(U) := F(U), con F(U) y FUU ′ como en el teorema 6.4.7,

define un esquema (V ,F).

6.5. ESQUEMAS 143

Demostracion. (i) ∅ = ∅; V = V ; U1 ∩ U2 = U1 ∩ U2; tambien es posible demostrarque la union arbitraria de abiertos es un abierto.

(ii) Realizaremos la prueba del caso afın, la del caso proyectivo es similar cam-biando A(V ) por Proj(Ah (Vp)) (vease el ejemplo 6.2.10).

Segun el teorema 6.4.7, (V ,F) es un espacio anillado. Sea W un elemento de

V , es decir, una variedad no vacıa contenida en V ; en calidad de una vecindad enV que contenga a W escogemos a V , y entonces notemos que (V ,F|V ) = (V ,F).

Solo resta demostrar que el espacio anillado (V ,F) es isomorfo a (Spec(A(V )),R):sabemos que existe una correspondencia biyectiva entre las variedades contenidasen V y los ideales primos de A(V ) (vease el ejemplo 1.7.10), en efecto, tenemos lafuncion biyectiva

Vϕ−→ Spec(A(V )), W := V (J) ⊆ V 7→ J/I(V ).

ϕ es continua. Sea X un abierto de Spec(A(V )), si X = ∅, entonces tenemos demanera trivial un homomorfismo de anillos ψX : R(X) → F(ϕ−1(X)); sea X 6=∅, puesto que A(V ) es un DI podemos utilizar la proposicion 6.4.2; supongamosinicialmente que X = Xf es basico, se tiene que R(Xf ) = A(V )f y

F(ϕ−1(Xf )) = z = g

h∈ K(V )|z esta definida en cada punto P ∈ U(f).

Por lo tanto, se tiene el homomorfismo de anillos

ψXf: R(Xf )→ F(ϕ−1(Xf )),

g

fn 7→ g

fn .

Si X es union de basicos, entonces la asignacion anterior induce un homomorfismo deanillos ψX de R(

⋃Xfi

) =⋂A(V )fi

en F(ϕ−1(⋃Xfi

)), z 7→ z. Este homomorfismohace conmutativo el diagrama de la definicion 6.5.1.

Todo lo anterior demuestra que ϕ es un morfismo de espacios anillados. Demanera analoga se puede establecer que ϕ−1 es tambien un morfismo de espaciosanillados. Esto completa la demostracion.

En la proposicion 6.2.6 habıamos visto que si K es un cuerpo algebraicamente ce-rrado, entonces, para cada n ≥ 1, Max(K[x1, . . . , xn]) y An(K) son espacios homeo-morfos. De la demostracion del teorema anterior se tienen las siguientes conclusiones.

Corolario 6.5.10. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, para cadan ≥ 1

(i) Spec(K[x1, . . . , xn]) y An(K) son espacios homeomorfos.

(ii) Proj(Ah (Vp)) y P n(K) son espacios homeomorfos.

Demostracion. Consecuencia directa de la demostracion del teorema 6.5.9.


6.6. Ejercicios

1. Sea R un anillo que satisface la siguiente condicion: Para cada P ∈ Spec(R)se tiene que si a ∈ P entonces existe c ∈ R−P tal que ac = 0. Demuestre queR es abosulutamente plano.

2. Sea R un anillo tal que Spec(R) es Hausdorff. Demuestre que para cada P ∈Spec(R) se tiene que si a ∈ P existe c ∈ R− P tal que ac ∈ rad(R).

3. Sea R un anillo. Demuestre que si Spec(R) es T1, entoncesSpec(R) es Hausdorff.

4. Sea K un cuerpo. Describa Spec(K[[x]]).

5. Describa Spec(Z[i]).

6. Describa Spec(Z[x]).

7. Sea R un anillo graduado y sea I un ideal propio homogeneo de R. Demuestreque R/I es un anillo graduado.

8. Sea X un espacio topologico arbitrario. Demuestre que cada componente irre-ducible de X es un conjunto cerrado. Ademas, pruebe que cada subconjuntoirreducible de X esta contenido en una componente irreducible, y que X esunion (no necesariamente finita) de sus componentes irreducibles.

9. Sea Vp ⊆ P n (K) una variedad proyectiva no vacıa. Demuestre existe unacorrespondencia biyectiva entre Proj(Ah (Vp)) y las subvariedades no vacıasde Vp.

10. Sea R un anillo. Demuestre que las funciones RXg

Xf: Rg → Rf , RXg

Xf( agl ) := aul

fnl

de la demostracion del teorema 6.4.3 estan bien definidas.

11. Complete la demostracion del teorema 6.4.6.

12. En la parte (i) de la demostracion del teorema 6.5.9 pruebe que la unionarbitraria de abiertos es un abierto.

13. Pruebe que la funcion ϕ en la demostracion del teorema 6.5.9 es continua.

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