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Cuadernos de Matematica

de la Escuela Politecnica Nacional

Diego Chamorro

Espacios de Lebesgue y de Lorentz

Volumen 1

Cuaderno de Matematica No. 4

Espacios de Lebesgue y de Lorentz, Volumen 1

Diego Chamorro

Responsable de la Edicion: Juan Carlos TrujilloRevision tecnica: Juan Carlos TrujilloAsistente: Maribel MontenegroPortada: Byron Reascos

Registro de derecho autoral No.Deposito Legal No.ISBN-

Publicado por la Unidad de Publicaciones de la Facultad de Ciencias de laEscuela Politecnica Nacional, Ladron de Guevara E11-253, Quito, Ecuador.

© Escuela Politecnica Nacional 2010

Tabla de contenidos

Prefacio vii

1 Espacios metricos, normados y de Banach 11.1 Espacios topologicos y espacios metricos . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Lımites y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Propiedades uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Compacidad en los espacios metricos . . . . . . . . . . . 151.2.3 Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Espacios localmente convexos y de Frechet . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Semi-normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.3 Espacios definidos por familias de semi-normas . . . . . 23

1.4 Espacios normados y espacios de Banach . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Tres ejemplos clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.4.3 Propiedades basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4.4 Equicontinuidad y teorema de Ascoli-Arzela . . . . . . . 40

1.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Teorıa de la medida 492.1 Algebras y funciones aditivas de conjuntos . . . . . . . . . . . . 50

2.1.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.2 Definiciones y ejemplos elementales . . . . . . . . . . . . 52

2.2 σ-algebras y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.2.1 σ-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Medidas sobre σ-algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.2.3 Clases monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.3 Medidas exteriores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.3.1 Definiciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.2 Teoremas de prolongacion de medidas . . . . . . . . . . 852.3.3 Completacion de medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

iii

TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS

2.4 Medidas Borelianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962.4.1 Rapida descripcion de los conjuntos Borelianos . . . . . 972.4.2 Regularidad de las medidas Borelianas . . . . . . . . . . 992.4.3 Construccion y propiedades de la medida de Lebesgue . 1052.4.4 Conjuntos no medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

2.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

3 Teorıa de la integracion 1233.1 Las limitaciones de la integral de Riemann . . . . . . . . . . . . 1243.2 Teorıa de la integracion de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . 127

3.2.1 Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.2.2 Propiedades validas en µ-casi todas partes . . . . . . . . 1363.2.3 Construccion de la integral de Lebesgue . . . . . . . . . 1393.2.4 Espacio de funciones integrables . . . . . . . . . . . . . 1483.2.5 Integracion en un subconjunto . . . . . . . . . . . . . . 153

3.3 Teoremas clasicos de la teorıa de la integracion . . . . . . . . . 1583.3.1 Convergencia monotona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.3.2 Lema de Fatou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.3.3 Convergencia dominada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1623.3.4 Integrales dependientes de un parametro . . . . . . . . . 1643.3.5 Modos de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

3.4 Integracion en los espacios producto . . . . . . . . . . . . . . . 1783.4.1 σ-algebras producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1793.4.2 Medidas producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.4.3 Teoremas de Fubini-Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . 1863.4.4 Integrales multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

3.5 Relaciones entre la integral de Riemann y la de Lebesgue . . . 1933.5.1 Cuando la integral de Riemann y de Lebesgue coinciden 1943.5.2 Teoremas fundamentales del calculo integral . . . . . . . 1963.5.3 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4 Espacios de Lebesgue 2074.1 Espacio de funciones esencialmente acotadas . . . . . . . . . . . 208

4.1.1 Supremo Esencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.1.2 Los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2104.1.3 Los espacios L∞, normabilidad y convergencia . . . . . 213

4.2 Espacios de funciones de potencia p-eme integrables . . . . . . 2174.2.1 Espacios Lp: definiciones, ejemplos y propiedades . . . . 2184.2.2 Espacios Lp: normabilidad, convergencia y completitud 2244.2.3 Desigualdades de Holder y aplicaciones . . . . . . . . . 2304.2.4 Los espacios de Lebesgue Lp (0 < p < 1) y L . . . . . . 244

4.3 Propiedades adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2504.3.1 Comparacion de modos de convergencia . . . . . . . . . 2514.3.2 Desigualdad de Jensen y aplicaciones . . . . . . . . . . . 2564.3.3 Convexidad y continuidad de la norma . . . . . . . . . . 261

iv

TABLA DE CONTENIDOS TABLA DE CONTENIDOS

4.4 Espacios de funciones localmente integrables . . . . . . . . . . . 2624.4.1 Definiciones y primeras propiedades . . . . . . . . . . . 2624.4.2 Estructura de los espacios locales . . . . . . . . . . . . . 2634.4.3 Relaciones de inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

4.5 Densidad y separabilidad de los espacios de Lebesgue . . . . . . 2664.5.1 Definiciones y propiedades generales . . . . . . . . . . . 2664.5.2 Densidad en los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞ . . . . . . 2714.5.3 Densidad en los espacios L∞ . . . . . . . . . . . . . . . 275

4.6 Espacios de Lebesgue discretos - espacios de sucesiones . . . . . 2794.6.1 Espacios de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2804.6.2 Propiedades de inclusion de los espacios ℓp . . . . . . . 2834.6.3 Relaciones de densidad y de separabilidad en los ℓp . . . 285

4.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

Bibliografıa 293

Indice alfabetico 296

v

Prefacio

Mi objetivo inicial al empezar a redactar estas lıneas era el de proporcionarun resumen, relativamente completo, sobre las diferentes propiedades, carac-terısticas y caracterizaciones de los espacios de Lebesgue. El hecho de escogerlos espacios de Lebesgue no es totalmente fortuito, pues estos espacios fun-cionales poseen, a mi parecer, un perfecto equilibrio entre varios factores: sonsencillos de definir, sus propiedades son interesantes y no triviales, permitenla construccion de muchos otros espacios funcionales y sus aplicaciones dentrode las diferentes ramas de las matematicas son extremadamente numerosas.Considero ademas que, para estudiar los espacios de Lebesgue, se necesita ha-ber asimilado algunas bases de las matematicas y, desde este punto de vista,este tema constituye un puente privilegiado entre matematicas elementales ymatematicas avanzadas, especialmente por las aplicaciones posteriores. Otrade las razones por la cual me concentre en ellos es la particularidad de que,para definirlos y para estudiarlos, no se necesita presentar aspectos relativosa la regularidad y diferenciabilidad de las funciones. En efecto, para tratar deforma seria y detallada la regularidad de las funciones, serıa necesario haceruna introduccion sobre la teorıa de distribuciones y ello no solo supondrıa unimportante desvıo, sino que ademas, desde el inicio, esta teorıa tenıa su lugaren otro texto dedicado exclusivamente a este tema. Pero estas paginas no soloestan dedicadas a los espacios de Lebesgue. Una vez que se han construido ydesarrollado las herramientas necesarias para la presentacion de estos espaciosde funciones, es posible estudiar los espacios de Lorentz que constituyen unageneralizacion y un refinamiento muy util de los espacios de Lebesgue y, paraconvencer al lector de la utilidad de estos espacios de Lorentz, presentare unasaplicaciones clasicas en donde estos espacios reemplazan exitosamente a los es-pacios de Lebesgue.

¿Como un texto que inicialmente debıa ser un “resumen” termino siendoun libro de mas de x× 100 paginas1? Lo interesante de esta pregunta es que surespuesta explicara, al menos parcialmente, la articulacion y la division entrelos diferentes capıtulos. Veamos muy rapidamente como se dieron las diferentesetapas y como se fueron anadiendo los capıtulos. Para empezar, las cantida-des ‖ · ‖Lp que permiten definir estos espacios nos proporcionan informacionesmuy precisas sobre las funciones y es necesario, para ello, utilizar la integral de

1En donde x debe reemplazarse por 2,3 o hasta 4.

Prefacio

Lebesgue. Era, por lo tanto muy natural empezar este programa hablando unpoco sobre la construccion de esta integral o, al menos, recordar sus propieda-des mas elementales. Pero dado que la nocion de integral se basa en la nocionde medida, me fue entonces necesario alargar la introduccion, anadiendo uncapıtulo mas, en donde se tratara de medidas y σ-algebras y en donde se expli-cara como construir medidas a partir de funciones aditivas de conjuntos. Peroesto no es todo. Si deseaba decir algo sobre el dual de los espacios de Lebes-gue, era indispensable exponer algunas propiedades de topologıa, de espaciosmetricos y normados, de espacios de Banach y de formas lineales. Anadase aesto un capıtulo sobre el producto de convolucion y otro reservado a las apli-caciones...de tal manera que nos alejamos cada vez mas y mas de la estructurainicial, especialmente porque deseaba obtener, en la medida de lo posible, untexto auto-contenido sin demasiadas referencias a libros ya existentes.

Finalmente este texto se dividira en dos volumenes y esta division tiene suorigen, principalmente, en un curso realizado en el verano 2009 en la EscuelaPolitecnica Nacional2 en Quito, Ecuador. Como se trataban de pocas horas declase, era totalmente imposible tocar todos estos temas y era necesario escogerlos topicos mas importantes; es decir, los cuatro primeros capıtulos que consti-tuyen la base mas elemental de la teorıa de la medida y de la integracion. Estaes la primera excusa. La segunda, mucho mas importante, es que los capıtulosrestantes aun no estaban totalmente terminados. De manera que, si los alum-nos deseaban tener unas notas de curso depuradas, era indispensable realizaresta division.

∗

Antes de terminar, es necesario explicar un poco el marco en el que se encuentrala redaccion de este texto. La asociacionAmarun tiene por objetivo desarrollarlas ciencias exactas en el Ecuador, y dentro de sus proyectos pedagogicos constala redaccion de textos academicos. Para mayor claridad, hemos dividido nuestralabor en tres diferentes niveles. El primero corresponde a temas basicos deciencias y es equivalente a los dos o tres primeros anos de estudios universitarios.El segundo nivel trata temas de un nivel intermedio, correspondiente a un tercero cuarto ano de universidad; y el tercer nivel se focaliza en temas cientıficosmas avanzados y especializados. Este texto, el primero de la serie, presentatemas de analisis intermedio, pues consideramos que la teorıa de la medida y lateorıa de la integracion de Lebesgue forman parte del bagaje mınimo de todomatematico. Este texto y los restantes estaran disponibles en el sitio web dela asociacion: www.amarun.org. Esperamos que este material sirva, tanto a losestudiantes como a los jovenes investigadores o profesores, como un manualen donde buscar de forma rapida las informaciones necesarias sobre los temaspresentados.

2Las notas del curso, resumenes y ejercicios estan disponibles aquı: www.amarun.org.

viii

http://www.amarun.net/index.php?option=com_content&view=article&catid=69&id=104&Itemid=54

http://www.amarun.net/index.php?option=com_content&view=article&catid=69&id=104&Itemid=54

Prefacio

Advertencia.

1) Este folleto esta destinado a estudiantes universitarios de la carrera dematematicas que ya tienen al menos dos o tres anos de estudios cursados.Es decir que estan familiarizados con las nociones de topologıa, distanciay espacios metricos, el calculo “ε-δ” para los lımites y continuidad, calculodiferencial e integral, la integral de Riemann, algebra lineal y estructurasalgebraicas.

2) Este folleto expone temas totalmente clasicos: ninguno de los teoremas,proposiciones, lemas o resultados es original. Existe una extensa literatu-ra, recopilada en la bibliografıa, y el autor de estas lıneas se ha basadolibremente en ella.

3) El primer capıtulo presenta las nociones de base necesarias y tiene porobjetivo el de fijar las notaciones. Sin duda la mayor parte de este materiales conocido del publico al cual esta destinado el folleto, me he permitidoentonces en esta primera version ser conciso y arido en la exposicion deeste capıtulo.

4) El lector encontrara en las pruebas o demostraciones comentarios del tipo“esta verificacion es sencilla” o “es facil ver que”, esto debe entendersecomo “no es muy difıcil comprender que” o “puede parecer complicado aprimera vista, pero en realidad no lo es”.

5) El objetivo de este folleto es el de servir de texto de base para el estudiode la teorıa de la medida y de la integracion. Sin embargo, un texto escritonunca podra suplantar a un curso vivo en el cual se tienen interaccionesentre el alumno y el profesor. Para remediar parcialmente este problemarogamos al lector dirigir sus dudas, comentarios y preguntas al autor poremail:

[email protected]

6) Este texto tiene un caracter teorico, es decir que me he concentrado enla demostracion de los teoremas y la exposicion de las propiedades masimportantes de los objetos estudiados. Sin embargo y por razones de es-pacio, no he podido incluir en estas primeras versiones todos los ejemplosdetallados y todos los calculos que serıa deseable presentar. A pesar deesto he tratado de dar despues de cada nueva definicion ejemplos simplesde los objetos definidos.

7) Este folleto pretende ser auto-contenido, entendiendose por esto que losresultados mas importantes estan demostrados completamente en el textobasandose en pocos conceptos anteriores.

8) Este texto no es exhaustivo y hay muchos temas que no son tratados aquı.Sin embargo tampoco es un texto minimalista: si algun curso se basa enestas lıneas, el profesor tendra necesariamente que escoger los temas quepresenta en clase y los temas que omite o deja en ejercicio.

ix

Prefacio

9) Por razones de exposicion, que espero que resulten pedagogicas, hay mu-chas repeticiones en este texto. Una presentacion mas directa es eviden-temente posible y una evolucion en este sentido puede ser considerada enversiones posteriores.

10) Cada capıtulo contiene al final una pequena lista de ejercicios que permi-ten verificar la asimilacion de las nociones expuestas. Esta lista de ejer-cicios es muy reducida y un folleto separado conteniendo exclusivamenteejercicios esta en proyecto.

11) El autor se considera el unico responsable por los errores y las faltasde este texto. Rogamos al lector enviar sus comentarios, sugerencias ycorrecciones a la direccion de email mencionada anteriormente.

Diego ChamorroParıs, julio 2010.

x

Capıtulo 1

Espacios metricos,normados y de Banach

En este primer capıtulo, exponemos las nociones necesarias que nos permitiranestudiar con comodidad los espacios de Lebesgue y de Lorentz desde el puntode vista de sus propiedades topologicas y metricas. Presentaremos unicamentelas nociones utilizadas en los cuatro primeros capıtulos que constituyen el volu-men 1; no es, por lo tanto, una exposicion exhaustiva. El resto de propiedadesrelativas a los espacios de Banach y a los espacios de aplicaciones lineales, comopor ejemplo las topologıas debiles y la nocion de dualidad, seran expuestas enel volumen 2.

En las secciones que siguen detallamos las diferentes estructuras con lascuales se pueden dotar estos espacios de funciones. La nocion mas general esla de espacio metrico en el sentido de que, fundamentalmente, todos los espa-cios funcionales que trataremos en este libro estan dotados de una estructurametrica. La utilidad de estos espacios esta dada por el hecho de que un espaciometrico nos proporciona un marco lo suficientemente adecuado para tratar as-pectos de convergencia uniforme y de completitud. Sin embargo, para estudiarotro tipo de resultados esenciales, es necesario conjugar esta estructura con lade espacio vectorial, e introducir los espacios de Frechet, los espacios norma-dos y los espacios de Banach. Estos ultimos son los que nos proporcionan elmayor numero de propiedades y es por esta razon que buscaremos, siempre ycuando sea posible, dotar los espacios considerados con este tipo de estructura.En efecto, tendremos la oportunidad de ver, en los capıtulos siguientes, que loscasos mas importantes en las aplicaciones estan dados cuando los espacios deLebesgue y de Lorentz son espacios de Banach.

Recordamos en las lıneas a continuacion las definiciones y propiedades ele-mentales de los espacios metricos y de los espacios compactos que seran tratadosen las secciones 1.1 y 1.2 respectivamente. Aquı tendremos la oportunidad deexponer algunos resultados en el marco de los espacios topologicos localmentecompactos cuya utilidad e importancia sera puesta en valor en los capıtulos 2y 4. Terminaremos este capıtulo introductorio con una pequena presentacion

2 Espacios metricos, normados y de Banach

de los espacios localmente convexos y los espacios de Frechet en la seccion 1.3y de los espacios normados y de los espacios de Banach en la seccion 1.4.

1.1 Espacios topologicos y espacios metricos

Una gran parte del material presentado a continuacion es, sin duda, bien cono-cido del lector y es por eso que nuestra exposicion sera relativamente rapida.Por comodidad la hemos dividido en tres partes. En la primera se trata sobrelas definiciones elementales de topologıa y de los espacios metricos; en la segun-da, se estudia los lımites y la continuidad, y en la tercera parte, se presentanlas propiedades uniformes que son esenciales para el desarrollo de los proximoscapıtulos.

1.1.1 Definiciones

Si X es un conjunto, notaremos P(X) el conjunto de partes de X . El cardinalde un conjunto X , que notaremos1 card(X), es el numero de elementos de X .Escribimos card(∅) = 0 y si se tiene card(X) = N , entonces card(P(X)) = 2N .Diremos que un conjunto X es numerable si existe una biyeccion de X sobreuna parte de N. Recuerdese ademas que en P(X) se dispone de una relacionde orden parcial determinada por la inclusion. Si A y B pertenecen a P(X),notamos Ac = X \A, el complementario de A, y escribimos A\B = A∩Bc. Ladiferencia simetrica de dos conjuntos A,B esta definida por (A \B) ∪ (B \A)y representada por A∆B.

Pasemos a la definicion de espacio topologico.

Definicion 1.1.1 (Espacio topologico). Una familia T de partes de un con-junto X define una topologıa sobre X si las tres condiciones son verificadas:

(T.1) El conjunto vacıo ∅ y el conjunto X pertenecen a T ;

(T.2) la interseccion finita de elementos de T pertenece a T ; y

(T.3) la reunion cualquiera de elementos de T pertenece a T .

Los elementos de T son llamados conjuntos abiertos, sus complementarios,cerrados; y el espacio (X, T ), espacio topologico.

Observemos que se tienen, trivialmente, dos topologıas sobre un mismo con-junto X : la topologıa gruesa determinada por T = ∅, X y la discreta, dadapor T = P(X). Si un conjunto X esta dotado de dos topologıas T1 y T2, dire-mos que T2 es mas fina que T1 si todo abierto de T1 es un abierto de T2 y loescribiremos T1 ⊂ T2. Cuando no hay ambiguedad sobre la topologıa utilizada,diremos simplemente que X es un espacio topologico sin explicitar la familia T .

1La notacion #(X) tambien es usual en la literatura matematica.

1.1 Espacios topologicos y espacios metricos 3

Fijemos ahora un poco de terminologıa. Una topologıa es separada si, paratodo par de puntos distintos x1 y x2, existen dos abiertos U y V tales quex1 ∈ U , x2 ∈ V y U ∩ V = ∅. Hablaremos, entonces, de espacio topologicoseparado o espacio de Hausdorff.

Para un punto x ∈ X , llamaremos una vecindad de x a un conjunto quecontiene un abierto que a su vez contiene x. Un punto x ∈ X es un puntode acumulacion de un subconjunto A de X si cada vecindad de x contiene almenos un punto y ∈ A diferente de x. En particular, un subconjunto A de Xes cerrado si contiene todos sus puntos de acumulacion.

Si A es un subconjunto de X , la reunion de todos los abiertos contenidos

en A se llama el interior de A y es notado porA, y se tiene que x ∈

A si y solo

si A es una vecindad de x. La interseccion de todos los cerrados que contienena A es llamada la adherencia o cerradura de A y es notada A. Es evidente verque A es cerrado y que A ⊆ A; ası mismo, tampoco es difıcil ver que A = A siy solo si A es cerrado.

Diremos, ademas, que un subconjunto A de X es denso en X , si A = X ; loque equivale a decir que todo abierto no vacıo de X tiene una interseccion conA. Un espacio X es separable si admite un subconjunto denso numerable2.

Finalmente, si (X, T ) es un espacio topologico y si B es una coleccion deabiertos de (X, T ), diremos que B es una base del espacio topologico (X, T ) sitodo abierto de (X, T ) es la union de elementos de B. Se dice, entonces, que labase B genera la topologıa T .

No nos detendremos aquı en exponer todas las propiedades de los espaciostopologicos generales, puesto que las topologıas que utilizaremos para describirlos espacios funcionales estaran, por lo general, determinadas por estructurasmas ricas, como las de los espacios metricos o las de los espacios normados,cuyas definiciones vamos a recordar a continuacion. Enunciemos, pues, la defi-nicion de espacio metrico.

Definicion 1.1.2 (Espacio metrico). Un espacio metrico (E, dE) esta dadopor un conjunto E dotado de una aplicacion dE : E × E −→ [0,+∞[, llamadadistancia o metrica, que verifica las siguientes propiedades:

(D.1) Simetrıa: para todo x, y ∈ E, dE(x, y) = dE(y, x).

(D.2) Separabilidad: dE(x, y) = 0 si y solo si x = y.

(D.3) Desigualdad triangular: para todo x, y, z ∈ E,

dE(x, y) ≤ dE(x, z) + dE(z, y).

A los elementos de un espacio metrico se los denomina puntos.

2El lector debe tener cuidado en no confundir las nociones distintas de espacio separado

y de espacio separable.

Un ejemplo sencillo de espacio metrico esta dado por el espacio euclıdeon-dimensional dotado con su metrica usual3 (Rn, dn), en donde

dn(x, y) =

(n∑

i=1

(xi − yi)2

)1/2

con x = (x1, ..., xn) y y = (y1, ..., yn). En el caso unidimensional (R, d1), nota-remos d1(x, y) = |x− y|.

Demos un segundo ejemplo. Consideremos el espacio de sucesiones infinitasformadas por ceros y unos notado Ω = 0, 1N∗

. Un elemento ω ∈ Ω es entoncesuna sucesion de la forma ω = (ω1, ω2, · · · ) en donde ωj es igual a 0 o 1 paratodo j. Sobre este espacio definimos una distancia de la siguiente forma:

dΩ(ω, ω′) =

+∞∑

j=1

2−j|ωj − ω′j|. (1.1)

La verificacion de que esta formula define una distancia es sencilla y se la dejaal lector.

Si (E, dE) es un espacio metrico, para todo subconjunto no vacıo A de E,la distancia del punto x al conjunto A esta definida por

dE(x,A) = ınfa∈A

dE(x, a). (1.2)

Definiremos el diametro de un subconjunto U ⊂ E de la siguiente forma:

diam(U) = supdE(x, y); x, y ∈ U.

Un conjunto es, entonces, acotado en el sentido metrico si su diametro es finito.Si (E, dE) es un espacio metrico y si A es un subconjunto de E; el conjunto

A dotado de la restriccion a A × A de la funcion dE es a su vez un espaciometrico. La aplicacion dA : A × A −→ [0,+∞[ definida por dA = dE |A×A esla metrica inducida por dE , y hablaremos del subespacio A de E en vez delsubconjunto A de E.

Llamaremos una bola abierta de centro x ∈ E y de radio r > 0 al conjuntodefinido por

B(x, r) = y ∈ E : dE(x, y) < r. (1.3)

Las bolas cerradas estan, en cambio, definidas por

B(x, r) = y ∈ E : dE(x, y) ≤ r.

Diremos que un subconjunto A de E es un abierto si para todo x ∈ A,existe una bola abierta centrada en x y contenida en A; un subconjunto de Ees cerrado si su complemento es abierto. Diremos tambien que un punto x0 ∈ E

3Llamada tambien distancia euclıdea.

es un punto de acumulacion de A si para todo ε > 0, existe al menos un puntoy 6= x0 de A tal que dE(x0, y) < ε.

Notemos, ademas, que la familia compuesta por los conjuntos abiertos defi-nidos por medio de la distancia dE es estable para la reunion (finita o infinita)y para la interseccion finita; simetricamente, la familia de conjuntos cerradoses estable por interseccion (finita o infinita) y por reunion finita. Dicho de otramanera, el espacio metrico (E, dE) esta naturalmente dotado de una topologıadeterminada por las bolas abiertas del tipo (1.3). Observese, en particular, queuna topologıa que se deduce de una estructura metrica es siempre separada.

1.1.2 Lımites y continuidad

Describimos ahora las nociones de lımite y continuidad en el marco de losespacios metricos.

Definicion 1.1.3 (Convergencia de una sucesion). Sea (E, dE) un espaciometrico, diremos que una sucesion de elementos (xn)n∈N de E converge haciax ∈ E si:

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N)[∀n ≥ Nε =⇒ dE(x, xn) ≤ ε].

Sean ahora (E, dE) y (F, dF ) dos espacios metricos, f una aplicacion de Een F , A un subconjunto de E, x0 ∈ A y y0 ∈ F . Diremos que el lımite de f(x),cuando x ∈ A y tiende o converge hacia x0, es igual a y0, y lo notaremos

lımx→x0x∈A

f(x) = y0,

si para cada vecindadW de y0, existe una vecindad V de x0 tal que f(V ∩A) ⊂W . Notese que si el lımite existe, es unico, puesto que la topologıa inducida poruna distancia es separada. Observese tambien que un subconjunto A de E escerrado si y solo si el lımite de toda sucesion de elementos de A que convergeen E pertenece a A.

Definicion 1.1.4 (Continuidad de una aplicacion). Sea f : (E, dE) −→ (F, dF )una aplicacion. Diremos que f es continua en x0 si

lımx→x0x∈E

f(x) = f(x0).

Es equivalente decir que la imagen recıproca de toda vecindad de f(x0) esuna vecindad de x0. En terminos de ε y δ esta definicion se escribe:

(∀ε > 0)(∃δε,x > 0)(∀x ∈ E) : dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(x0)) ≤ ε. (1.4)

Diremos que f es continua sobre E, o simplemente continua, si es continuaen cada uno de los puntos de E.

Proposicion 1.1.1. Una aplicacion f de (E, dE) en (F, dF ) es continua si ysolo si para toda sucesion convergente (xn)n∈N de elementos de E se tiene

f

(

lımn→+∞

xn

)

= lımn→+∞

f(xn).


La verificacion de este hecho no es muy complicada y se la deja al lector.La siguiente definicion nos dice como definir una distancia sobre el producto

cartesiano de dos espacios metricos.

Definicion 1.1.5. Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios metricos. Su productocartesiano E × F esta dotado de la distancia

dE×F

((x1, y1), (x2, y2)

)=(dE(x1, x2)

2 + dF (y1, y2)2)1/2

. (1.5)

La proposicion a continuacion nos explicita algunos resultados relativos ala continuidad de la aplicacion distancia.

Proposicion 1.1.2. Sea (E, dE) un espacio metrico. Entonces:

1) para todo punto z ∈ E, la aplicacion definida por x 7−→ dE(x, z) escontinua de E en [0,+∞[;

2) para todo subconjunto no vacıo A de E, la aplicacion x 7−→ dE(x,A)es continua de E en [0,+∞[;

3) la aplicacion (x, y) 7−→ dE(x, y) es continua de E × E en [0,+∞[.

Demostracion. La verificacion de estas proposiciones es una aplicacion directade la desigualdad triangular. Empecemos por la primera; fijemos z un puntode E. Dado que se tiene

|dE(x, z)− dE(x0, z)| ≤ dE(x, x0), (1.6)

es suficiente considerar δ = ε en la caracterizacion dada por la formula (1.4)para obtener la continuidad de esta aplicacion.

Las dos proposiciones restantes se deducen de manera muy similar. Enefecto, sea A un subconjunto no vacıo de E y sean x, x0 ∈ E. Se tiene entonces

dE(x,A) = ınfa∈A

dE(x, a) ≤ ınfa∈A

(dE(x, x0)+d(x0, a)) ≤ dE(x, x0)+ ınfa∈A

dE(x0, a);

es decir, dE(x,A) − dE(x0, A) ≤ dE(x, x0). Simetricamente, se obtiene

dE(x0, A)− dE(x,A) ≤ dE(x, x0),

lo que nos da|dE(x,A)− dE(x0, A)| ≤ dE(x, x0), (1.7)

y esta desigualdad implica la continuidad de la aplicacion x 7−→ dE(x,A).Dotamos el espacio E×E de la topologıa producto inducida por la distancia

(1.5). Observando que se tiene para todo (x, y) ∈ E ×E y (x0, y0) ∈ E ×E lasdos desigualdades

dE(x, y)− dE(x0, y0) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0)

ydE(x0, y0)− dE(x, y) ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0),


se obtiene

|dE(x, y)− dE(x0, y0)| ≤ dE(x, x0) + dE(y, y0)

≤√2(dE(x, x0)

2 + dE(y, y0)2)1/2

, (1.8)

lo que demuestra la continuidad de la aplicacion (x, y) 7−→ dE(x, y).

La siguiente nocion es de gran importancia en lo que sigue, pues concierne ala convergencia puntual, o punto por punto, y sera frecuentemente comparadaa la definicion 1.1.9.

Definicion 1.1.6 (Convergencia simple). Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espaciosmetricos, (fn)n∈N una sucesion de aplicaciones de E en F y A un subconjuntode E. Diremos que la sucesion (fn)n∈N converge simplemente sobre A hacia fsi

(∀x ∈ A) (∀ε > 0) (∃Nε,x ∈ N)[n ≥ Nε,x =⇒ dF (fn(x), f(x)) ≤ ε]. (1.9)

Esta nocion de convergencia es un criterio poco exigente y, por consecuen-te, en caso de convergencia, la definicion de convergencia simple es a menudoverificada. Consideremos, por ejemplo, la sucesion de funciones reales (fn)n∈N

definidas sobre [0, π] y determinadas por fn(x) = sinn(x). El lector obser-vara sin dificultad que esta sucesion converge simplemente para la distanciausual sobre R hacia la funcion f(x) = 0 si x ∈ [0, π] \ π/2 y f(π/2) = 1.

Lastimosamente, algunas propiedades (la continuidad en el caso del ejemploanterior) no se mantienen al pasar al lımite en el sentido de la convergenciasimple. Es por ello que es interesante exponer las propiedades de la seccion acontinuacion.

1.1.3 Propiedades uniformes

La estructura de espacio metrico nos permite disponer de ciertas propiedadesagradables, caracterizadas por el adjetivo uniforme, que reagrupamos en estaseccion.

Definicion 1.1.7 (Continuidad uniforme). Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espaciosmetricos y sea f una aplicacion de E en F . Decimos que f es uniformementecontinua si

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E) [dE(x, y) ≤ δ =⇒ dF (f(x), f(y)) ≤ ε].

Esta nocion de continuidad uniforme es mas restrictiva que la continuidadsimple. En efecto, la funcion f : ]0, 1] −→ R, x 7−→ 1/x es continua pero no esuniformemente continua.

Demos una caracterizacion equivalente de la continuidad uniforme.

Proposicion 1.1.3. Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios metricos y f unaaplicacion de E en F . Entonces las proposiciones siguientes son equivalentes

1) f es uniformemente continua;

2) para todo par de sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,

dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xn), f(yn)) −→ 0;

3) para todo par de sucesiones (xn)n∈N, (yn)n∈N,

dE(xn, yn) −→ 0 =⇒ dF (f(xϕ(n)), f(yϕ(n))) −→ 0,

en donde (xϕ(n)) y (yϕ(n)) son dos subsucesiones.

La demostracion de este resultado queda como ejercicio.Un caso importante de aplicaciones uniformemente continuas esta dado por

las aplicaciones lipschitzianas que se definen a continuacion:

Definicion 1.1.8 (Aplicacion k-lipschitziana, contractante). Sean (E, dE) y(F, dF ) dos espacios metricos y f una aplicacion de E en F . Si para todox, y ∈ E, existe una constante k > 0 tal que

dF (f(x), f(y)) ≤ k dE(x, y),

diremos que la aplicacion f es k-lipschitziana. En particular, si 0 < k < 1diremos que f es contractante.

Recuerdese que toda aplicacion k-lipschitziana es uniformemente continuay, por lo tanto continua, pero que no se tienen las implicaciones recıprocas (verel ejercicio 1.1).

Paralelamente a la proposicion 1.1.2, la aplicacion distancia dE definida so-bre E×E, ası como las aplicaciones x 7−→ dE(x, x0) y x 7−→ dE(x,A) definidassobre E para x0 ∈ E y A ⊂ E, son uniformemente continuas. La verificacionsigue los mismos argumentos utilizados anteriormente; en particular, las expre-siones (1.6), (1.7) y (1.8) muestran que estas aplicaciones son lipschitzianas.

Pasemos ahora a la definicion de convergencia uniforme.

Definicion 1.1.9 (Convergencia uniforme). Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espa-cios metricos, (fn)n∈N una sucesion de aplicaciones de E en F y A un subcon-junto de E. Diremos que la sucesion (fn)n∈N converge uniformemente hacia fsobre A si

(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N)[n ≥ Nε =⇒ (∀x ∈ A) dF (fn(x), f(x)) ≤ ε]. (1.10)

La expresion anterior es equivalente a

(∀ε > 0) (∃Nε ∈ N)

[

n ≥ Nε =⇒ supx∈A

dF (fn(x), f(x)) ≤ ε

]

. (1.11)

Observacion 1.1. Notese que la diferencia fundamental entre la convergenciasimple y la convergencia uniforme esta dada por el hecho que el parametro Nε

depende, en el caso de la convergencia uniforme, solamente de ε y no del puntox ∈ E; en el caso de la convergencia simple, Nε depende tambien de x.


Esta definicion de convergencia, propia de los espacios metricos, es mas fuer-te que la nocion de convergencia simple presentada en la seccion anterior. Masprecisamente, la convergencia uniforme implica trivialmente la convergenciasimple, pero no se tiene la implicacion recıproca. Para ilustrarlo, consideramosel ejemplo siguiente. Sea la sucesion de funciones (fn)n∈N definida por

fn : R −→ R

x 7−→ fn(x) =1

1+(x−n)2 .

Para todo x ∈ R, vemos que la sucesion (fn)n∈N tiende hacia cero si n→ +∞,de manera que esta sucesion de funciones converge simplemente hacia la funcioncero para la distancia usual de R. Sin embargo, para todo entero natural n, setiene que fn(n) = 1, de modo que

supx∈R

|fn(x)− 0| ≥ 1,

lo que contradice la formula (1.11) de la definicion 1.1.9. Concluimos que estasucesion de funciones no converge uniformemente hacia la funcion cero.

La principal propiedad de la convergencia uniforme esta dada por el impor-tante resultado siguiente.

Teorema 1.1.1. Sean (E, dE) y (F, dF ) dos espacios metricos y (fn)n∈N unasucesion de funciones de E en F que convergen uniformemente hacia una fun-cion f . Si todas las funciones fn son continuas en el punto x0 ∈ E, entoncesf es continua en x0.

Demostracion. Sea ε > 0. La sucesion de funciones (fn)n∈N converge unifor-memente hacia f , entonces existe un entero n ∈ N tal que para todo x ∈ E setiene dF (fn(x), f(x)) ≤ ε. Dado que fn es continua en x0 se tiene que

(∃δ > 0)(∀x ∈ E)[dE(x, x0) ≤ δ =⇒ dF (fn(x), fn(x0)) ≤ ε].

Se deduce de esto que, para todo x ∈ E, tal que dE(x, x0) ≤ δ, se tiene

dF (f(x), f(x0)) ≤ dF (f(x), fn(x)) + dF (fn(x), fn(x0)) + dF (fn(x0), f(x0))

≤ 3ε.

Observacion 1.2. Si las funciones fn son continuas sobre todo E, entonces lafuncion lımite f tambien es continua sobre todo E: la convergencia uniformepreserva la continuidad lo que hace que esta nocion sea absolutamente esencialen el analisis.

Recordemos ahora dos definiciones que son de gran importancia para losproximos capıtulos. En particular, el criterio a continuacion nos permite decirsi una sucesion converge, sin conocer necesariamente el lımite.


Definicion 1.1.10 (Sucesion de Cauchy4). Sea (E, dE) un espacio metrico.Diremos que una sucesion (xn)n∈N es de Cauchy si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n,m > N)[dE(xn, xm) ≤ ε.]

Equivalentemente, una sucesion de Cauchy verifica

lımn,m→+∞

dE(xn, xm) = 0.

Notese que toda sucesion convergente es de Cauchy. En efecto, si (xn)n∈N

es una sucesion que converge hacia x, entonces, por la desigualdad triangular,se tiene

dE(xn, xm) ≤ dE(xn, x) + dE(x, xm);

lo que permite concluir que (xn) es convergente. La recıproca es falsa como seobserva al considerar el ejemplo siguiente: sea E =]0,+∞[ dotado con la dis-tancia euclıdea, vemos que la sucesion xn = 1/n es de Cauchy pero no convergeen E, puesto que 0 /∈ E.

En el estudio de los espacios funcionales, el hecho de que toda sucesion deCauchy sea convergente es una propiedad muy agradable y amerita la impor-tante definicion a continuacion.

Definicion 1.1.11 (Espacio metrico completo). Diremos que un espacio metri-co (E, dE) es completo si toda sucesion de Cauchy es convergente.

No todo espacio metrico es completo como se puede ver al considerar elconjunto de los racionales Q dotado de la distancia usual d(x, y) = |x− y|.

En el resultado siguiente, se explicitan las relaciones existentes entre con-juntos cerrados y espacios completos.

Proposicion 1.1.4. Sean (E, dE) un espacio metrico y A ⊂ E.

1) Si E es completo y A es cerrado en E, entonces el subespacio A escompleto.

2) Si el subespacio A es completo, entonces A es cerrado en E.

Demostracion. Sea (xn)n∈N una sucesion de Cauchy en A; es, por lo tanto,una sucesion de Cauchy en E y converge hacia un elemento x ∈ E, por lahipotesis de completitud de E. Dado que el conjunto A es cerrado, el punto x,por ser lımite de elementos de A, pertenece al subconjunto A. Hemos, pues,demostrado que toda sucesion de Cauchy en el subespacio A converge hacia unelemento de A.

Para el segundo punto de la proposicion, debemos ver que si (xn)n∈N es unasucesion de elementos de A convergente en E, su lımite x pertenece a A. La

4Augustin Louis Cauchy (1789-1857), matematico frances, fue profesor de la Ecole Poly-technique.

1.2 Compacidad 11

sucesion convergente (xn)n∈N es de Cauchy en E, y por lo tanto, es de Cauchyen A. Puesto que este subespacio es completo, esta sucesion debe convergerhacia un elemento de A, que no es mas que x por la unicidad del lımite.

Para terminar esta seccion, damos una definicion que nos permite comparardos distancias.

Definicion 1.1.12 (Distancias uniformemente equivalentes). Sean E un con-junto, y d1 y d2 dos distancias definidas sobre E. Decimos que d1 y d2 sonuniformemente equivalentes si

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x, y ∈ E)[d1(x, y) ≤ δ =⇒ d2(x, y) ≤ ε],

y si se tiene la propiedad analoga al reemplazar d1 por d2.

El lector verificara que todas las nociones y propiedades definidas en estaseccion son invariantes al pasar de una distancia d1 a otra distancia d2 unifor-memente equivalente. Vease el ejercicio 1.3 para mas detalles.

Observacion 1.3. Ademas de la formula (1.5), existen otras formas de definirdistancias sobre el espacio producto E × F ; por ejemplo, si escribimos

dE×F

((x1, y1), (x2, y2)

)= dE(x1, x2) + dF (y1, y2),

dE×F

((x1, y1), (x2, y2)

)= max

(dE(x1, x2); dF (y1, y2)

),

obtenemos tambien distancias sobre E × F . El lector notara que todas estasmetricas son uniformemente equivalentes entre sı.

1.2 Compacidad

La compacidad es una de las caracterısticas topologicas mas importantes, puesun conjunto compacto posee una multitud de propiedades que hacen su estu-dio particularmente atractivo en muchas aplicaciones. En esta seccion, recor-daremos las nociones de base que no solo nos permitiran estudiar criterios decompacidad en los espacios de Lebesgue y de Lorentz, sino tambien algunosaspectos importantes en la teorıa de la medida.

Descompondremos nuestra exposicion en tres partes. En la primera, presen-taremos las principales caracterısticas de los espacios compactos generales; enla segunda, expondremos algunas propiedades de la compacidad en los espaciosmetricos; y finalmente, terminaremos esta seccion con una breve descripcion delos espacios localmente compactos, cuya utilidad sera apreciada cuando estu-diemos las medidas borelianas en el capıtulo siguiente.

En toda esta seccion, se designara con X un espacio topologico separado.

1.2.1 Espacios compactos

Recordemos algunas definiciones elementales que son, sin duda bien conocidasdel lector.


Definicion 1.2.1 (Recubrimiento). Sean X un espacio topologico y (Ui)i∈I

una coleccion de conjuntos. Decimos que (Ui)i∈I es un recubrimiento de X sise tiene la inclusion X ⊂ ⋃

i∈I Ui. Si los conjuntos Ui son abiertos para todoi ∈ I, hablaremos entonces de recubrimiento abierto.

A partir de esta nocion de recubrimiento, damos la definicion de espaciocompacto.

Definicion 1.2.2 (Espacio compacto). Un espacio topologico es compacto side cada recubrimiento abierto de X se puede extraer un subrecubrimiento fi-nito. Diremos, ademas, que un subconjunto A de un espacio topologico X escompacto si, de igual manera, de cada recubrimiento abierto de A, se puedeextraer un subrecubrimiento finito.

La siguiente nocion es muy util en algunas aplicaciones.

Definicion 1.2.3 (Compacidad relativa). Sea X un espacio topologico y Aun subconjunto de X. Diremos que A es relativamente compacto en X si sucerradura A es compacta.

Es importante observar que al utilizar los complementos de los conjuntos dela definicion 1.2.2, obtenemos una caracterizacion de la compacidad en terminosde conjuntos cerrados: un subconjunto de un espacio topologico es compactosi de toda familia de cerrados de interseccion vacıa, se puede extraer una sub-familia finita de interseccion vacıa. El lector puede ver otras caracterizacionesequivalentes en el ejercicio 1.4, en donde se demuestra la proposicion siguiente

Proposicion 1.2.1. Sean X un espacio topologico compacto y (An)n∈N unasucesion decreciente de cerrados no vacıos de X. Entonces se tiene

⋂

n∈N

An 6= ∅.

De forma equivalente, si (Bn)n∈N es una sucesion decreciente de cerrados deinterseccion vacıa, entonces los conjuntos Bn son todos vacıos a partir de uncierto ındice n suficientemente grande.

El caso mas sencillo de compacto se tiene cuando A es una parte finita deX . Por el contrario, la recta real R no es un espacio compacto. En efecto, losintervalos de la forma ]k − 1, k + 1[ para todo k ∈ Z forman un recubrimientoabierto de R del cual no se puede extraer ningun subrecubrimiento finito.

Demos otro ejemplo de espacio compacto. Si A es el conjunto definido porA = xn ∪ l en donde la sucesion (xn)n∈N tiende hacia l, se tiene, entonces,que A es compacto. Sean, en efecto, (Ui)i∈I un recubrimiento abierto de Ae i0 tal que l ∈ Ui0 y n0 tal que xn ∈ Ui0 para n > n0. Sea ademas, J unsubconjunto de I finito tal que los puntos x1, ..., xn0 pertenezcan a la union⋃

i∈J Ui. Tenemos, entonces, A ⊂ ⋃

i∈L Ui en donde L = J ∪ i0, lo quemuestra que este conjunto es compacto.

Este ultimo ejemplo es una motivacion suficiente para estudiar las relacionesexistentes entre conjuntos cerrados y conjuntos compactos. Mas precisamente,tenemos el resultado a continuacion:

1.2 Compacidad 13

Proposicion 1.2.2. Sea A un subconjunto de un espacio topologico compactoX. Entonces A es cerrado si y solo si A es compacto.

Demostracion. Supongamos que A es cerrado. Sea (Ui)i∈I un recubrimientoabierto de X . Como A es cerrado se tiene que (Ui ∪ Ac)i∈I sigue siendo unrecubrimiento abierto de X ; existe por lo tanto un conjunto finito J ⊂ I talque X ⊂ ⋃i∈J Ui ∪Ac de donde se deduce que A ⊂ ⋃i∈J Ui, es decir, que A escompacto.

Ahora suponemos que A es compacto, y vamos a verificar que Ac es abierto.Para ello, sea y ∈ Ac. Entonces para todo x ∈ A, existen dos abiertos disjuntos5

Ux y Vx tales que x ∈ Ux y y ∈ Vx. Como A es compacto, existe una partefinita J tal que A ⊂ ⋃

x∈J Ux; se tiene entonces que W =⋂

x∈J Vx es unabierto, puesto que es una interseccion finita de abiertos y, ademas, se tieneque W ⊂ Ac. Concluimos que para todo punto y ∈ Ac existe una vecindadabierta W tal que y ∈ W ⊂ Ac. Es decir, concluimos que Ac es abierto y, porlo tanto, que A es cerrado.

Notese que en la segunda parte de esta demostracion, no hemos utiliza-do ninguna propiedad del espacio X , y esto nos permite obtener el siguientecorolario.

Corolario 1.2.1. Sea A un subconjunto de un espacio topologico. Si A escompacto, entonces A es cerrado.

El siguiente teorema clasico nos indica que el producto cartesiano de conjun-tos compactos es un conjunto compacto. Si el producto es finito, la verificacionno causa mayor dificultad, por el contrario, si el producto es numerable, lademostracion es un poco mas delicada.

Teorema 1.2.1 (Tychonov6). Sea I un conjunto numerable y sea (Xi)i∈I unacoleccion de espacios compactos. Entonces el espacio producto

∏

i∈I Xi es com-pacto.

El lector puede ver una demostracion de este resultado en [5].

Para terminar esta pequena introduccion observamos que los conjuntos com-pactos poseen las siguientes propiedades de estabilidad.

Proposicion 1.2.3. Sean X un espacio topologico y (Ai)i∈I una familia desubconjuntos compactos de X. Entonces toda interseccion A =

⋂

i∈I Ai de com-pactos es compacta; ademas, toda union finita de subconjuntos compactos escompacta.

Demostracion. Sea A =⋂

i∈I Ai la interseccion de todos los compactos Ai.Fijemos un ındice i0 ∈ I. Dado que todo conjunto compacto es cerrado, pode-mos considerar esta interseccion como una interseccion de conjuntos cerrados,y por lo tanto, se obtiene que A es un conjunto cerrado. Como se tiene que A

5Esto es posible pues hemos supuesto que X es un espacio topologico separado.6Andreı Nikolaevitch Tychonov (1906-1993), matematico ruso.


esta contenido en el conjunto compacto Ai0 , entonces, por la proposicion 1.2.2,podemos decir que es un conjunto compacto.

Mostremos ahora que toda union finita de subconjuntos compactos es com-pacta. Sean A1 y A2 dos subconjuntos compactos de X y (Ui)i∈I un recubri-miento abierto de A1 ∪ A2. Se tiene, en particular, que (Ui)i∈I es un recubri-miento abierto de A1 y de A2 tomados por separado y por lo tanto, existen dosconjuntos finitos de ındices J1 y J2 tales que A1 ⊂ ⋃i∈J1

Ui y A2 ⊂ ⋃i∈J2Ui.

A partir de estas inclusiones se deduce que A1 ∪ A2 ⊂ ⋃i∈J1∪J2Ui, lo que

implica que A1∪A2 es compacto. Finalmente, por recurrencia finita, se obtieneel resultado deseado.

Vamos a ver ahora que los espacios topologicos compactos verifican unapropiedad de separacion mas fuerte que la propiedad de Hausdorff. Para ello,es necesario la siguiente definicion.

Definicion 1.2.4 (Espacio Normal). Un espacio topologico es normal si esun espacio separado, y si cada par de conjuntos cerrados disjuntos pueden serseparados por un par de conjuntos disjuntos abiertos.

Proposicion 1.2.4. Sean X un espacio topologico separado y K,L dos sub-conjuntos compactos disjuntos de X. Existen, entonces, dos abiertos disjuntosU y V de X tales que K ⊂ U y L ⊂ V .

Demostracion. Podemos suponer que K y L son dos conjuntos no vacıos yempecemos con el caso en el que K contiene solo un punto x. Puesto que elespacio X es separado, existe para todo y ∈ L un par de abiertos disjuntos Uy

y Vy tales que x ∈ Uy y y ∈ Vy . Dado que L es compacto, existe una familiafinita y1, ..., yn tal que los conjuntos Vy1 , ..., Vyn forman un recubrimiento de L.Definamos, entonces, U =

⋂ni=1 Uyi y V =

⋃ni=1 Vyi para obtener los conjuntos

deseados.

Pasemos ahora al caso cuando K tiene mas de un elemento. Hemos verifi-cado que para todo x ∈ K, existen dos conjuntos abiertos disjuntos Ux y Vxtales que x ∈ Ux y L ⊂ Vx. Dado que K es compacto, existe una familia finitax1, ..., xk tal que los abiertos asociados Ux1, ..., Uxk

forma un recubrimiento de

K. Esto nos permite terminar la demostracion si definimos U =⋃k

i=1 Uxi y

V =⋂k

i=1 Vxi .

Una consecuencia de esta proposicion es el resultado siguiente.

Proposicion 1.2.5. Todo espacio topologico separado compacto es normal.

Demostracion. Recuerdese primero que todo subconjunto cerrado de un con-junto compacto es compacto (proposicion 1.2.3). Luego, de la proposicion 1.2.4,se deduce el resultado facilmente.

La principal aplicacion del concepto de normalidad se encuentra en el re-sultado a continuacion.

1.2 Compacidad 15

Teorema 1.2.2 (Lema de Urysohn7). Sean X un espacio topologico normal yU , V dos subconjuntos cerrados disjuntos de X. Existe, entonces, una funcioncontinua

f : X −→ [0, 1]

tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo x ∈ X, f(x) = 0 para todo punto x ∈ U yf(x) = 1 para todo x ∈ V .

El lector puede ver una demostracion de este resultado en [25].

1.2.2 Compacidad en los espacios metricos

En el caso de los espacios metricos, tenemos la posibilidad de caracterizar losconjuntos compactos por medio de sucesiones con la definicion siguiente.

Definicion 1.2.5 (Bolzano-Weierstrass8). Un espacio metrico (E, dE) es se-cuencialmente compacto si de toda sucesion de elementos de E se puede extraeruna subsucesion convergente.

Es importante notar que esta ultima definicion de compacidad en terminosde sucesiones solo es valida en el marco de los espacios metricos, y es equivalentea la nocion expuesta en la definicion 1.2.2. En particular, tenemos el resultadosiguiente.

Teorema 1.2.3. Sea (E, dE) un espacio metrico. Las dos propiedades siguien-tes son equivalentes:

1) E es compacto.

2) E es secuencialmente compacto.

Demostracion. Empecemos por la implicacion 1) =⇒ 2). Sean E compacto y(xn)n∈N una sucesion de E. Para todo k ∈ N, notamos Ak = xn ∈ E : n ≥ k.No es difıcil darse cuenta que la sucesion (Ak)k∈N es una sucesion decrecientede cerrados no vacıos y que, por lo tanto, se tiene

⋂

k∈N Ak 6= ∅.Escojamos ahora un punto x ∈ ⋂k∈N Ak, y contruyamos una subsucesion

(xϕ(n))n∈N de la manera siguiente:

i) fijamos x0 ∈ A0,

ii) si xϕ(n) esta definido, tomamos xϕ(n+1) ∈ An+1 tal que

dE(xϕ(n+1), x) <1

2n+1,

esto es posible pues x ∈ An+1.

7Pavel Samouilovitch Urysohn (1898-1924), matematico ruso.8Bernard Bolzano (1781-1848), matematico tcheco; Karl Weierstrass (1815-1897), ma-

tematico aleman.

Esta subsucesion (xϕ(n))n∈N es una subsucesion convergente de la sucesion(xn)n∈N.

Pasemos ahora a la verificacion 2) =⇒ 1). Llevaremos a cabo esta demos-tracion utilizando un par de lemas y la siguiente definicion.

Definicion 1.2.6 (Precompacidad). Un espacio metrico (E, dE) es precom-pacto si para todo ε > 0 existe un recubrimiento finito de E por medio de bolasabiertas de radio ε.

Lema 1.2.1. Todo espacio metrico secuencialmente compacto es precompacto.

Demostracion. Razonemos por el absurdo, y supongamos que existe un ε > 0tal que no existe un subrecubrimiento finito de E formado por bolas de radioε.

Sea x0 ∈ E, entonces B(x0, ε) 6= E; ademas, existe un punto x1 ∈ E talque dE(x0, x1) ≥ ε, de donde se tiene B(x0, ε) ∪B(x1, ε) 6= E. Repetimos esteproceso y obtenemos x0, ..., xn puntos tales que para cada i < j ≤ n, se tienedE(xi, xj) ≥ ε.

Ademas, se tiene⋃

0≤i≤nB(xi, ε) 6= E, y existe un punto xn+1 ∈ E, tal quepara todo 0 ≤ i ≤ n se tenga dE(xi, xn+1) ≥ ε. Construımos ası una sucesion(xn)n∈N de E tal que dE(xi, xj) ≥ ε si i 6= j. Por lo tanto, la sucesion (xn)n∈N

no posee ninguna subsucesion convergente, de donde se obtiene la contradicciondeseada.

El segundo lema necesario para la demostracion del teorema 1.2.3 es elsiguiente.

Lema 1.2.2. Sean (E, dE) un espacio metrico secuencialmente compacto y(Ui)i∈I un recubrimiento abierto de E. Entonces

(∃α > 0)(∀x ∈ E)(∃i ∈ I) [B(x, α) ⊂ Ui].

Demostracion. Razonemos por el absurdo, y supongamos que para todo n ≥ 1,existe un punto xn ∈ E tal que para todo i ∈ I, se tiene B(xn,

1n ) 6⊂ Ui.

Sea (xn)n∈N una sucesion de elementos de E; por hipotesis existe una sub-sucesion (xϕ(n))n∈N que converge hacia un punto x ∈ E. Existe, ademas, i ∈ Ital que x ∈ Ui, y, como Ui es abierto, existe r > 0 tal que B(x, 2r) ⊂ Ui. Dadoque la subsucesion (xϕ(n))n∈N converge hacia x, existe N ∈ N tal que para todon ≥ N , se tiene

dE(x, xϕ(n)) < r y ϕ(n) >1

r.

Por lo tanto, para todo n ≥ N y para todo y ∈ B(xϕ(n),1

ϕ(n) ), se tiene

dE(x, y) ≤ dE(x, xϕ(n)) + dE(xϕ(n), y) < r + r = 2r.

Entonces la bola B(xϕ(n),1

ϕ(n)) esta contenida en Ui, de donde se obtiene la

contradiccion.

1.2 Compacidad 17

Volvamos a la demostracion del teorema 1.2.3.

Demostracion. 2) =⇒ 1). Sean (E, dE) un espacio metrico secuencialmentecompacto y (Ui)i∈I un recubrimiento abierto de E. Por el lema 1.2.2, sabemosque existe un real α > 0 tal que para todo x ∈ E, existe un ındice i ∈ I tal queB(x, α) ⊂ Ui.

Ahora, por el lema 1.2.1, podemos recubrir E por medio de una familiafinita de bolas de radio α; es decir, existen x0, ..., xn puntos de E tales queE ⊂ ⋃n

i=0 B(xi, α). Pero, como para todo j con 1 ≤ j ≤ n existe ij ∈ I tal queB(xj , α) ⊂ Uij , se concluye que E ⊂ ⋃n

j=0 Uij ; por lo tanto E, es compacto.

Corolario 1.2.2. Todo espacio metrico compacto es separable.

Demostracion. Sea (E, dE) un espacio metrico compacto. Para todo n ∈ N,

la union⋃

x∈E B(

x, 11+n

)

es un recubrimiento abierto de E del cual se puede

extraer un subrecubrimiento finito⋃Nn

k=1 B(

xk,n,1

1+n

)

. El conjunto xk,n : k ∈0, ..., Nn, n ∈ N es, entonces, un conjunto denso numerable de E.

Cuando X = R, disponemos de la caracterizacion siguiente para los con-juntos compactos. Generalizaremos este resultado en el teorema 1.4.2.

Teorema 1.2.4 (Heine9). Sea A un subconjunto de R. Las proposiciones si-guientes son equivalentes:

1) A es compacto si y solo si A es cerrado y acotado.

2) A es relativamente compacto si y solo si A es acotado.

Demostracion. Supongamos que A es compacto. Por el corolario 1.2.1, A escerrado, y solo debemos verificar que A es acotado. Puesto que A ⊂ ∪x∈A]x−1, x + 1[, existe un subconjunto finito B de A tal que A ⊂ ∪x∈B]x − 1, x + 1[,y esto implica que A es acotado.

Si suponemos ahora que A es cerrado y acotado, vemos que existe un inter-valo I = [a, b] con −∞ < a < b < +∞ tal que A ⊂ I. No es difıcil ver que I escompacto y, dado que A es cerrado, por la proposicion 1.2.2, tenemos que A escompacto.

Para el segundo punto, supongamos que A es relativamente compacto; esdecir, que A es compacto. Por la demostracion precedente, A es acotado, y,puesto que A ⊂ A, se tiene que A es acotado. Si en cambio A es acotado, setiene queA es cerrado y acotado; por lo tanto,A es relativamente compacto.

Veamos una aplicacion de este teorema en un par de resultados, en los queestudiamos las diferentes propiedades que poseen las funciones definidas sobreun espacio compacto. Estos resultados seran muy utilizados en la construccionde medidas y en la demostracion de teoremas importantes en los capıtulossiguientes.

9Eduard Heine (1821-1881), matematico aleman.


Proposicion 1.2.6. Sean X un espacio compacto, Y un espacio topologico yf : X −→ Y una funcion continua. Entonces f(X) es un compacto de Y .

Demostracion. Sea (Ui)i∈I un recubrimiento abierto de f(X). Puesto que fes continua, se tiene que (f−1(Ui))i∈I es un recubrimiento abierto de X ; perodado que X es compacto, existe un subconjunto finito J ⊂ I tal que

X ⊂⋃

i∈J

f−1(Ui),

y por lo tanto, f(X) ⊂ ⋃i∈J Ui; es decir, f(X) es compacto.

Teorema 1.2.5. Sean X un espacio compacto y f : X −→ R una funcioncontinua. Entonces la funcion f es acotada y sus cotas son alcanzadas.

Demostracion. Sabemos, por la proposicion anterior, que f(X) es un compactode R; es decir, que es cerrado y acotado, lo que implica que la funcion f esacotada.

Sean ahora m = ınfx∈X

f(x) y M = supx∈X

f(x). Por definicion de supremo e

ınfimo, m y M son puntos de adherencia del conjunto f(X), pero, al ser esteun conjunto cerrado, se tiene quem,M ∈ f(X), lo que termina la demostracion.

Este teorema tiene como aplicacion la demostracion del teorema de Rolle;(ver el ejercicio 1.5).

Volvamos por un instante a la nocion de normalidad que, en el caso de losespacio metricos, toma la siguiente formulacion.

Proposicion 1.2.7. Sean F,G dos conjuntos cerrados y disjuntos de un espa-cio metrico compacto (E, dE). Entonces F y G estan positivamente separados:

dE(F,G) = ınfx∈F,y∈G

d(x, y) > 0.

De manera mas general, se tiene esta propiedad si (E, dE) es un espacio metricocualquiera, y F es cerrado y G compacto.

Demostracion. Tenemos que dE(F,G) = ınfx∈G

ϕ(x), donde la aplicacion ϕ(x) =

dE(x, F ) es continua y positiva sobre el compacto G. Por el teorema 1.2.5, estafuncion posee un mınimo m > 0, y entonces, dE(F,G) = m > 0.

Terminamos esta seccion con un resultado de continuidad uniforme de lasfunciones definidas sobre espacios metricos compactos.

Proposicion 1.2.8. Sean (E, dE) un espacio metrico compacto y (F, dF ) unespacio metrico. Entonces toda aplicacion continua f : E −→ F es uniforme-mente continua.

1.2 Compacidad 19

Demostracion. Sean (xn)n∈N y (yn)n∈N dos sucesiones definidas sobre E talesque dE(xn, yn) −→

n→+∞0. Dado que el espacio metrico E es compacto, exis-

te una subsucesion (xnk)k∈N que converge hacia un punto x y, por lo tanto,

ynk−→ x si k → +∞. Puesto que f es una funcion continua, se obtiene que

dF (f(xnk), f(ynk

)) −→ dF (f(x), f(y)) = 0. Para terminar la demostracion,basta utilizar la proposicion 1.1.3 en la pagina 7.

1.2.3 Espacios localmente compactos

La nocion de compacidad proporciona, como hemos visto, una gran cantidad deresultados muy importantes en topologıa, pero es un concepto bastante restric-tivo. Los espacios topologicos mas utilizados no son necesariamente compactos,de manera que los resultados anteriores no son directamente aplicables, y estohace que la nocion de compacidad local sea interesante.

Limitaremos nuestra exposicion a dos resultados que seran utilizados en loscapıtulos siguientes.

Definicion 1.2.7 (Espacio localmente compacto). Un espacio topologico se-parado es localmente compacto si cada uno de sus puntos posee una vecindadcompacta.

La recta real es un espacio localmente compacto pues para todo puntox ∈ R el intervalo [x−1, x+1] es una vecindad compacta. Evidentemente, todoconjunto compacto es localmente compacto, pero no se tiene la recıproca; porejemplo, el espacio euclıdeo Rn es localmente compacto, pero no es un espaciocompacto. Otro ejemplo de espacio localmente compacto esta dado por el con-junto Z dotado de la topologıa discreta.

He aquı el primer resultado.

Proposicion 1.2.9. Sean X un espacio topologico separado localmente com-pacto, x ∈ X y U una vecindad abierta de x. Entonces x posee una vecindadabierta, cuya cerradura es compacta y esta contenida en la vecindad U .

Demostracion. Puesto que X es localmente compacto, existe una vecindadabierta de x, que notaremos W , cuya cerradura es compacta. Reemplazan-do W por W ∩ U , nos aseguramos que W esta contenido en U y podemossuponer, sin perdida de generalidad, que W ⊂ U .

Debemos verificar ahora que la cerradura de W no se extiende afuera de U .Para ello, utilizamos la proposicion 1.2.4 para escojer dos conjuntos abiertosdisjuntos V1 y V2 que separan los conjuntos compactos x y W \W , respecti-vamente. La cerradura de V1 ∩W es, entonces, compacta y esta contenida enW , y, por lo tanto, esta contenida en U . Se deduce de esto que V1 ∩W es lavecindad abierta de x que se buscaba.

El segundo resultado es el siguiente.


Proposicion 1.2.10. Sean X un espacio separado localmente compacto, Kun subconjunto compacto de X y U un subconjunto abierto de X que contieneK. Entonces existe un conjunto abierto V de X, cuya cerradura es compacta yK ⊂ V ⊂ V ⊂ U .

Demostracion. La proposicion anterior implica que cada punto de K posee unavecindad, cuya cerradura es compacta y esta contenida en U . Puesto que Kes compacto, se tiene que una coleccion finita de tales vecindades recubre K.Notamos, entonces, con V la union de los conjuntos de esta coleccion finita yası obtenemos el conjunto V buscado.

1.3 Espacios localmente convexos y de Frechet

La gran mayorıa de espacios funcionales, como ciertos espacios de Lebesgue yde Lorentz, o los espacios de funciones generalizadas, tambien llamados espaciosde distribuciones, o los espacios de Banach, que estudiaremos en la seccion 1.4de este capıtulo, son espacios vectoriales topologicos localmente convexos. Dadoque todos estos espacios comparten esta misma estructura, es importante pre-cisar aquı algunos resultados y propiedades relativas a los espacios vectorialeslocalmente convexos. Recordamos a continuacion algunas definiciones generalesy en las subsecciones 1.3.2 y 1.3.3 detallamos la estructura de estos espacios.

1.3.1 Preliminares

Antes de estudiar las nociones de semi-norma y de espacios definidos por unafamilia de semi-normas, presentamos aquı la estructura de base, que esta dadapor la nocion de espacio vectorial topologico.

Definicion 1.3.1 (Espacio vectorial (e.v.)). Un conjunto E es un espacio vec-torial sobre un cuerpo K si se tienen las siguientes condiciones:

1) E es un grupo conmutativo notado aditivamente por (E,+).

2) Se dispone de una multiplicacion escalar tal que a todo elemento dex ∈ E y a todo elemento α ∈ K, se les asocia un elemento de E notadoαx. Esta multiplicacion escalar verifica:

a) (∀α ∈ K), (∀x, y ∈ E) [α(x+ y) = αx+ αy].

b) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E) [(α + β)x = αx + βx].

c) (∀α, β ∈ K), (∀x ∈ E) [(αβ)x = α(βx)].

d) (∀x ∈ E) [1x = x], en donde 1 es el elemento neutro del cuerpo K.

En todo este libro, consideraremos unicamente espacios vectoriales sobre elcuerpo de los reales R o sobre el cuerpo de los numeros complejos C.

1.3 Espacios localmente convexos y de Frechet 21

Notacion: Escribiremos K para designar R o C cuando las diferencias entreestos dos conjuntos sean irrelevantes. El lector esta invitado a verificar que,en estos casos se pueden intercambiar estos dos conjuntos sin ningun proble-ma. Reservaremos las letras del alfabeto griego para designar los elementos delcuerpo K y las letras latinas para los elementos del espacio E.

El elemento inverso de un vector x sera notado −x. El elemento cero de E,es decir, el elemento unidad para el grupo abeliano (E,+), y el escalar ceroseran notados por el mismo sımbolo: 0, esto no causara mayor inconveniente,puesto que se tienen las identidades 0x = (α− α)x = αx− αx = 0.

Los elementos x1, ..., xn de E son linealmente independientes si la ecuacion∑n

i=1 αixi = 0 implica αi = 0 para todo i = 1, ..., n. Estos elementos son lineal-mente dependientes si esta ecuacion es verificada con, al menos, un coeficienteαi diferente de cero.

Un subconjunto A de un espacio vectorial E es un subespacio vectorial sipara todo x, y ∈ A y para todo α, β ∈ K, se tiene αx + βy ∈ A. El conjun-to A es, entonces, un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo de escalares que E.

La compatibilidad entre la estructura de espacio vectorial y la estructura deespacio topologico se define a continuacion.

Definicion 1.3.2 (Espacio vectorial topologico (e.v.t.)). Un espacio vecto-rial topologico (E, T ) es un espacio vectorial y, al mismo tiempo, un espaciotopologico tal que las dos aplicaciones

ϕ1 : E × E −→ E(x, y) 7−→ x+ y

yϕ2 : K× E −→ E

(α, x) 7−→ αx

son continuas. Decimos, entonces, que las estructuras de espacio vectorial y deespacio topologico son compatibles.

El espacio vectorial euclıdeo Rn, dotado de su topologıa usual, es un ejem-plo de espacio vectorial topologico. Sin embargo, observamos que la estructurade e.v.t. depende de la topologıa escogida. En efecto, si E 6= 0 es un e.v., latopologıa gruesa es una topologıa de espacio vectorial topologico mientras quela topologıa discreta no lo es; en este caso, si x 6= 0, la aplicacion ϕ2 : α 7−→ αxde K en E no es continua, pues 0 es una vecindad del vector 0 ∈ E, peroϕ−12 (0) = 0 no es una vecindad de 0 en K.

Una consecuencia inmediata de esta definicion es que la aplicacion trasla-cion, definida para un vector τ ∈ E, por

ψτ : x ∈ E 7−→ τ + x ∈ E

es un homeomorfismo de E sobre E. Se deduce, en particular, que el conjuntode abiertos y el conjunto de cerrados en un espacio vectorial topologico soninvariantes por traslacion.


1.3.2 Semi-normas

Las nociones de semi-norma y de espacio semi-normado apareceran muy rapida-mente al presentar los espacios de Lebesgue en el capıtulo 4. Como el adjetivosemi parece indicarlo, las propiedades y estructuras que se obtienen en estecaso no son suficientemente satisfactorias para nuestras necesidades, como loveremos posteriormente. Es por eso que, de ser posible -lo cual no siempre loes, y esto justifica ampliamente la presentacion de este concepto- se tratara defortalecer esta nocion por medio de argumentos tecnicos que explicitaremos asu debido tiempo.

Definicion 1.3.3 (semi-norma). Sean E un K-espacio vectorial y x un ele-mento de E. Una semi-norma es una funcion p : E −→ [0,+∞[ que verifica laspropiedades siguientes:

(SN.1) propiedad homogenea: p(αx) = |α|p(x) para todo α ∈ K,

(SN.2) desigualdad triangular: p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) para todo x, y ∈ E.

La dupla (E, p) se denomina espacio semi-normado.

De esta definicion, se deducen inmediatamente las dos propiedades siguien-tes.

Proposicion 1.3.1. Una semi-norma p verifica:

1) p(0) = 0,

2) |p(x) − p(y)| ≤ p(x+ y), en particular p(x) ≥ 0.

Demostracion. Tenemos facilmente p(0x) = 0 × p(x) = 0, lo que demuestra elprimer punto de la proposicion. Para el segundo, por la desigualdad triangular,se tiene p(x) ≤ p(x + y) + p(y) y p(y) ≤ p(x + y) + p(x), lo que nos permiteconcluir que

p(x) − p(y) ≤ p(x+ y) y p(y)− p(x) ≤ p(x+ y),

de donde |p(x) − p(y)| ≤ p(x+ y).

Es muy importante observar que para una semi-norma, no se tiene la recıpro-ca del primer punto de la proposicion 1.3.1, como lo muestra el ejemplo a con-tinuacion. Consideremos, pues, el espacio C∞([0, 1]) formado por las funcionesreales infinitamente derivables. La linealidad de este espacio esta dada por lasoperaciones usuales sobre funciones; es decir:

(f + g)(x) = f(x) + g(x), (αf)(x) = αf(x), α ∈ R. (1.12)

Definimos una semi-norma sobre este espacio al escribir para algun k ≥ 1:

pk(f) = supx∈[0,1]

∣∣∣f (k)(x)

∣∣∣ , (1.13)

en donde f (k)(x) = dk

dxk f(x). La verificacion de las propiedades (SN.1) y (SN.2)son sencillas y se dejan al lector.

Para mostrar que no se tiene la recıproca de la primera propiedad, obser-vemos que para todos los polinomios de grado inferior o igual a k − 1, se tienepk(f) = 0. Esto implica, en particular que una semi-norma no separa los puntos(en este caso, no podemos distinguir dos polinomios de grado menor que k), yeste es su principal inconveniente.

Notemos que un espacio semi-normado (E, p) puede ser dotado de unatopologıa no separada al considerar como conjuntos abiertos las semi-bolasBr,p(x) = y ∈ E : p(x − y) < r. No nos detendremos en este aspecto, pueslo que deseamos es construir una topologıa separada. Esto sera realizado acontinuacion.

1.3.3 Espacios definidos por familias de semi-normas

En esta seccion, vamos a considerar una familia de semi-normas que nos permi-tiran dotar, en ciertos casos, de una estructura metrica a los espacios localmenteconvexos (definicion 1.3.5). Veremos posteriormente como utilizar todo este for-malismo en el marco de los espacios funcionales. Mientras tanto, es necesariodefinir algunos conceptos importantes.

Definicion 1.3.4. Sea (E, p) un espacio semi-normado. Diremos que un sub-conjunto A de E es

1) convexo si para todo x, y ∈ A y 0 < α < 1, se tiene αx+(1−α)y ∈ A;

2) equilibrado si para todo x ∈ A y |α| ≤ 1, se tiene αx ∈ A;

3) absorbente si para todo x ∈ E existe un α > 0, tal que α−1x ∈ A.

Un ejemplo de conjunto convexo, equilibrado y absorbente esta dado por lasemi-bola

Br,p(0) = x ∈ E : p(x) < r. (1.14)

En efecto, que este conjunto sea equilibrado y absorbente se deduce de la ho-mogeneidad de la semi-norma p, mientras que la propiedad de convexidad seobtiene combinando la desigualdad triangular junto con la homogeneidad.

En virtud de la definicion de conjunto convexo, no es difıcil percatarse deque la interseccion de una familia cualquiera de conjuntos convexos es convexa.Esta particularidad es una caracterıstica muy util de los conjuntos convexos,como lo veremos muy pronto.

Definicion 1.3.5 (E.t.l.c.). Un espacio vectorial topologico (E, T ) es llamadoun espacio vectorial topologico localmente convexo, o, mas sencillamente, unespacio localmente convexo, si cada uno de sus conjuntos abiertos que conten-gan el vector 0, contienen un abierto convexo, equilibrado y absorbente.

En analisis funcional, los espacios localmente convexos son sin duda losejemplos mas importantes de espacios vectoriales, y tendremos la oportunidadde presentar muchos ejemplos10 de este tipo de espacios a continuacion.

Es importante notar que, en muchos casos, no es posible caracterizar unespacio funcional con una condicion caracterizada por una sola semi-norma, y esindispensable considerar una familia infinita de tales semi-normas. Por ejemplo,no es posible presentar toda la riqueza del espacio C∞([0, 1]) solamente con laformula (1.13), y es interesante ver que topologıa permite que este espacio tengauna estructura de espacio localmente convexo.

A partir de una familia de semi-normas, vamos a presentar como dotar unespacio vectorial E con una topologıa que haga de este espacio un vectorialtopologico localmente convexo. Puesto que estamos interesados en obtener unatopologıa separada, necesitaremos la siguiente definicion.

Definicion 1.3.6 (Axioma de separacion). Sea (pi)i∈I una familia de semi-normas definidas sobre un K-espacio vectorial E. Diremos que esta familiasatisface el axioma de separacion si para todo x 6= 0, existe una semi-normapij de la familia (pi)i∈I tal que pij (x) 6= 0.

Empecemos ahora la descripcion de esta topologıa. Sean, pues, E un es-pacio vectorial y (pi)i∈I una familia de semi-normas que verifica el axioma deseparacion. Fijemos un sistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistemade n numeros positivos ε1, ..., εn. Definimos el conjunto

U = x ∈ E : pik(x) < εk, k = 1, ..., n.

Este conjunto U es convexo, equilibrado y absorbente. Definamos este conjuntocomo una vecindad del vector 0 de E, y definamos una vecindad de cualquiervector x de E como la traslacion de U :

Ox = x+ U = y ∈ E : y = x+ u, u ∈ U. (1.15)

Notese que tanto el conjunto U como el conjunto Ox dependen del sistema desemi-normas escogido y de los reales (εk)k=1,...,n fijados. Diremos finalmenteque un subconjunto V de E es abierto si para cada punto x de V , existe unsistema finito de semi-normas pi1 , ..., pin y un sistema de n numeros positivosε1, ..., εn tales que Ox ⊂ V .

Proposicion 1.3.2. La familia de tales subconjuntos V , notada TV , define unatopologıa separada sobre el espacio vectorial E.

Demostracion. Mostramos primero que el conjunto V0 = x ∈ E : pi(x) < res abierto. Para ello, consideremos un punto x0 ∈ V0 tal que pi(x0) = α < r.Tenemos, entonces, que la vecindad de x0 determinada por x0 + U , con U =x ∈ E : pi(x) < 2−1(r − α) esta contenida en V0.

10El lector podra verificar sin problema que el espacio euclıdeo dotado de su metrica usuales un espacio vectorial localmente convexo.

Por lo tanto, para todo punto x0 ∈ E, existe un abierto x0 + V0 que con-tiene x0. Es evidente, entonces, que por la definicion de conjuntos abiertos, launion de abiertos y la interseccion finita de abiertos es tambien abierta, lo quedetermina que TV es una topologıa sobre E.

Nos queda por demostrar que esta topologıa es separada. Por la definicion(1.15) de vecindad de un punto general, es suficiente estudiar el caso x1 = 0y x2 6= 0. Puesto que la familia de semi-normas verifica el axioma de sepa-racion, escogemos una semi-norma pij tal que pij (x2) = α > 0. Entonces, elconjunto V1 = x ∈ E : pij (x) < α/2, es abierto y, ademas, x1 = 0 ∈ V1.Definamos V2 = x2 + V1 y verificaremos que estos dos conjuntos abiertos notienen interseccion comun. Supongamos que existe un punto y ∈ V1 ∩ V2. Siy ∈ V2, entonces y = x2 + z para algun z ∈ V1. Tenemos, por lo tanto,pij (y) ≥ pij (x2) − pij (z) ≥ α − 2−1α = α/2. Esto contradice la desigual-dad pij (y) < α/2, que se deduce del hecho de que y ∈ V1, lo que termina lademostracion.

Proposicion 1.3.3. Dotado de la topologıa descrita anteriormente, el espacio(E, TV ) es un espacio vectorial topologico separado y cada semi-norma pi esuna funcion continua sobre E.

Demostracion. Empecemos por estudiar la continuidad de la aplicacion

ϕ1 : (x, y) −→ x+ y

en el punto (x0, y0). Sean i0 ∈ I un ındice y V = z ∈ E : pi0(z−(x0+y0)) < r,una vecindad del punto ϕ1(x0, y0) = x0 + y0. Definamos U = x ∈ E : pi0(x −x0) < r/2 y W = y ∈ E : pi0(y − y0) < r/2, dos vecindades de x0 yy0, respectivamente. Entonces, para todo x ∈ U y todo y ∈ W , tenemos queϕ1(x, y) = x+ y ∈ V . En efecto,

pi0((x+ y)− (x0 + y0)) ≤ pi0(x− x0) + pi0(y − y0) < r/2 + r/2 = r,

de donde se deduce la continuidad de la aplicacion ϕ1.Estudiemos ahora la continuidad de la aplicacion

ϕ2 : (α, x) −→ αx

en el punto (α0, x0). Sea i0 ∈ I un ındice y consideremos V = z ∈ E :pi0(z−α0x0) < r, una vecindad del punto ϕ2(α0, x0) = α0x0. Sean U = α ∈K : |α − α0| < ε y W = x ∈ E : pi0(x − x0) < δ, dos vecindades de α0 yx0 respectivamente. Si fijamos δ < r

2|α0|y ε < r

2(pi0 (x0)+δ) , tenemos que para

todo α ∈ U y todo x ∈W , ϕ2(α, x) = αx ∈ V . En efecto,

pi0(αx− α0x0) ≤ |α− α0|pi0(x) + |α0|pi0(x− x0)

< εpi0(x) + |α0|δ <r pi0(x)

2(pi0(x0) + δ)+r

2< r,

puesto que pi0(x− x0) < δ implica pi0(x) < pi0(x0) + δ. Deducimos, entonces,que la aplicacion ϕ2 : (α, x) 7−→ αx es continua.

Finalmente, la continuidad de las semi-normas pi en el punto x0 esta dadapor la desigualdad

|pi(x)− pi(x0)| ≤ pi(x− x0).

Se tiene, entonces, por estas dos proposiciones, que el espacio (E, TV ) es unespacio vectorial topologico localmente convexo separado.

Demos una definicion adicional, que sera de utilidad en el teorema 1.3.1.

Definicion 1.3.7 (Funcional de Minkowski11). Sea E un K-espacio vectorialtopologico localmente convexo. A todo conjunto B convexo, equilibrado, y ab-sorbente que contiene el elemento cero se le asocia la funcional de Minkowski

pB(x) = ınfλ>0

λ−1x ∈ B. (1.16)

Proposicion 1.3.4. La funcional de Minkowski es una semi-norma sobre elespacio E. Ademas, si notamos con B la familia de todos los conjuntos conve-xos, equilibrados y absorbentes que contiene el elemento cero, y si consideramosla familia de semi-normas (pB)B∈B, entonces la topologıa determinada por estafamilia de semi-normas es separada.

Demostracion. Mostremos que para todo x, y ∈ E, se tiene pB(x+y) ≤ pB(x)+pB(y). Por la definicion de pB, se tiene que x

pB(x)+ε ,y

pB(y)+ε ∈ B para todo

ε > 0; luego, por la convexidad de la semi-bola (1.14), podemos escribir

pB(x) + ε

pB(x) + pB(y) + 2ε× x

pB(x) + ε+

pB(y) + ε

pB(x) + pB(y) + 2ε× y

pB(y) + ε∈ B

es decir,x+ y

pB(x) + pB(y) + 2ε∈ B.

Se tiene entonces la desigualdad

pB(x+ y) = ınfλ>0

λ−1(x+ y) ∈ B ≤ pB(x) + pB(y) + 2ε

para todo ε > 0, lo que implica la subaditividad de la funcional pB.Sea, ahora, α ∈ K, dado que la semi-bola B es equilibrada y absorbente, se

verifica, facilmente, la igualdad pB(αx) = |α|pB(x). Concluimos, entonces, quela funcional de Minkowski es una semi-norma sobre E.

Para ver que la topologıa es separada, fijemos x 6= 0. Existe, entonces, unabase (ei)i∈I de E tal que para algun i0, se tiene ei0 = x. Definamos, entonces,el conjunto A = y ∈ E : y =

∑

i∈I |αi|ei, con |αi| < 1. Se verifica, sinproblemas, que este conjunto es convexo, equilibrado y absorbente y, por lotanto, A ∈ B, pero x /∈ A.

Con las proposiciones 1.3.2, 1.3.3 y 1.3.4, hemos demostrado el teoremasiguiente.

11Hermann Minkowski (1864-1909), matematico aleman.


Teorema 1.3.1. Un espacio vectorial E, dotado de una topologıa determinadapor una familia de semi-normas (pi)i∈I que satisface el axioma de separacion,es un espacio localmente convexo separado en donde cada semi-norma pi escontinua.

Recıprocamente, un espacio vectorial topologico localmente convexo es unespacio vectorial topologico separado cuya topologıa esta determinada por la fa-milia de semi-normas definidas por la funcional de Minkowski de los conjuntosabiertos, convexos, equilibrados y absorbentes de E.

El hecho de disponer de una estructura de espacio topologico separado apartir de una familia de semi-normas que satisfacen el axioma de separaciones, de por sı, un hecho interesante; pero no es suficiente para nuestros fines.

Para dotar estos espacios de una metrica, necesitaremos una restriccion adi-cional sobre la familia de semi-normas (pi)i∈I , que se explicita en la proposicionsiguiente.

Proposicion 1.3.5. Sea (E, (pi)i∈I) un espacio vectorial topologico localmenteconvexo separado. Las dos propiedades siguientes son equivalentes.

1) El espacio E es metrizable.

2) La topologıa de E puede ser definida por una familia numerable desemi-normas.

Rogamos al lector ver una demostracion de este hecho en [5] o en [35].Esta propiedad nos proporciona de forma natural la siguiente definicion.

Definicion 1.3.8 (E.l.c.m.). Un espacio vectorial localmente convexo metri-zable es un espacio vectorial localmente convexo E dotado de una familia nu-merable de semi-normas (pk)k∈N que satisfacen el axioma de separacion. Si,ademas, este espacio esta dotado de una distancia d, diremos que esta distan-cia es invariante por traslacion si para todo x, y, z ∈ E se tiene

d(x + z, y + z) = d(x, y). (1.17)

Notese que la condicion (1.17) es equivalente a d(x− y, 0) = d(x, y).Esta definicion no nos indica como construir una distancia, pero el resultado

a continuacion, y su demostracion, nos explicitan la distancia con la cual sepuede dotar a estos espacios.

Teorema 1.3.2. Sea (E, (pk)k∈N) un espacio vectorial topologico localmenteconvexo metrizable. Existe entonces una distancia invariante por translaciondefinida sobre E que determina la misma estructura topologica, y tal que susbolas sean convexas. Esta distancia esta definida por

d(x, y) = supk∈N

dk(x, y), (1.18)

en donde12 dk(x, y) = ınfpk(x − y); 2−k

.

12El lector observara que la sucesion αk = 2−k puede ser reemplazada por cualquier otrasucesion (αk)k∈N que converge hacia cero.

Demostracion. Los dos primeros primeros axiomas, (D.1) y (D.2), de distanciano son difıciles de verificar y su demostracion queda a cargo del lector. Ladesigualdad triangular se deduce de las consideraciones siguientes:

ınfpk(x − y); 2−k

≤ ınf

pk(x− z) + pk(y − z); 2−k

≤ ınfpk(x− z); 2−k

+ ınf

pk(y − z); 2−k

;

es decir,

d(x, y) = supk∈N

dk(x, y) ≤ supk∈N

dk(x, z) + supk∈N

dk(y, z) = d(x, z) + d(y, z).

Obtenemos, pues, que la formula (1.18) determina una distancia sobre el espa-cio topologico localmente convexo metrizable (E, (pk)k∈N).

Pasemos ahora al estudio de las propiedades de esta distancia. La invarianciapor traslacion esta dada trivialmente por la identidad

dk(x+ z, y + z) = ınfpk(x − y); 2−k

= dk(x, y),

valida para todo x, y, z ∈ E y todo k ∈ N.Por esta invariancia por traslacion, es suficiente estudiar la convexidad de las

bolas centradas en el origen. Sea, pues, la bola Bk,r = x ∈ E : dk(x, 0) < r,verifiquemos que es un conjunto convexo. Para ello, observamos que, para todok ≥ 0, si r ≥ 2−k, tenemos que Bk,r = E y, si r ≤ 2−k, entonces la bolaBk,r esta formada por los puntos x ∈ E tales que pk(x) < r; de forma que,en cualquiera de estos dos casos, el conjunto Bk,r es convexo. Para terminar,notamos que la bola abierta B(0, r) = x ∈ E : d(x, 0) < r es igual a lainterseccion

⋂

k∈NBk,r y, por ser interseccion de conjuntos convexos, es convexa.Debemos mostrar ahora que la topologıa determinada por las bolas abiertas

asociadas a la distancia d definida anteriormente, es la misma que la topologıadada por la familia de semi-normas (pk)k∈N.

Sea B(0, r), con r > 0, una bola metrica, entonces el conjunto I = k ∈ N :r ≤ 2−k es finito, de forma que B(0, r) =

⋂

k∈I Bk,r es una vecindad abiertadel origen. Si j ∈ N es tal que r < 2−j, entonces para todo x ∈ B(0, r), se tieneque pj(x) < r; es decir, x pertenece a la semi-bola Bpj (0, r). Con esto terminala demostracion, pues la topologıa determinada por la familia de semi-normascoincide con la topologıa definida por la distancia (1.18).

Existen, evidentemente, otras formas de construir distancias a partir deuna familia de semi-normas; sin embargo el principal interes en la formula(1.18) esta dado por el hecho de que sus bolas son convexas, lo cual es unapropiedad muy agradable. Notemos que existen distancias, definidas a partirde una familia de semi-normas, cuyas bolas no son necesariamente convexas.Vease, por ejemplo, el ejercicio 1.8.

Una vez que tenemos a nuestra disposicion una distancia, todas las defini-ciones y propiedades de la seccion 1.1 cobran sentido en el marco de los espacios


localmente convexos metrizables. Sin embargo, y a pesar de todas las propie-dades expuestas, la distancia (1.18) presenta un inconveniente: no verifica laimportante propiedad de homogeneidad siguiente

d(αx, αy) = |α|d(f, g), (1.19)

y, a veces, es mucho mas conveniente caracterizar algunas nociones en terminosde semi-normas. Tenemos ası la proposicion siguiente.

Proposicion 1.3.6. Sea (E, (pk)k∈N) un espacio localmente convexo metrizabledotado con la distancia

d(x, y) = supk∈N

ınf(pk(x− y), 2−k

).

1) Una sucesion (xn)n∈N converge hacia x en el sentido de esta distanciasi y solo si para todo k ∈ N, se tiene lım

n→+∞pk(xn − x) = 0.

2) Una sucesion (xn)n∈N de elementos de E es de Cauchy para estadistancia si y solo si para todo k ∈ N: lım

n,m→+∞pk(xn − xm) = 0.

Demostracion. La verificacion no es complicada y se la deja al lector (vease elejercicio 1.7).

Los espacios localmente convexos metrizables, dotados de una distancia detipo (1.18) y que son completos para esta distancia, juegan un rol determinanteen el analisis funcional y reciben el nombre de espacios de Frechet.

Definicion 1.3.9 (Espacio de Frechet13). Un espacio de Frechet es un espaciolocalmente convexo metrizable completo para la estructura de espacio metrico.

Los espacios de Frechet que estudiaremos en los proximos capıtulos sonespacios funcionales que estan, generalmente, definidos como un conjunto defunciones que verifican algunas propiedades importantes, caracterizadas poruna familia de semi-normas. Demos un ejemplo. Sea el espacio C∞([0, 1]), defi-nido en la pagina 22, y consideremos la familia de semi-normas (pk)k∈N definidapor

pk(f) = supx∈[0,1]

∣∣∣f (k)(x)

∣∣∣ .

Tenemos, entonces, que el espacio (C∞([0, 1]), (pk)k∈N) es un espacio de Frechet.En efecto, si (fn)n∈N es una sucesion de Cauchy, tenemos que

lımm,n→+∞

pk(fm − fn) = 0

para todo k, lo que implica

supx∈[0,1]

∣∣∣f (k)

m (x) − f (k)n (x)

∣∣∣ = 0.

13Maurice Frechet (1878-1973), matematico frances, alumno de la Ecole Normale Superieu-re.


La sucesion (f(k)n )n∈N, es entonces, una sucesion de Cauchy para la conver-

gencia uniforme y tiende uniformemente hacia un lımite f (k). Dado que fnconverge uniformemente hacia f y, puesto que las derivadas f

(k)n son conti-

nuas y convergen uniformemente hacia funciones f (k), entonces la funcion fes de clase C1([0, 1]) y las derivadas del lımite son el lımite de las derivadas.Repitiendo este proceso con las derivadas sucesivas de f , obtenemos que la

convergencia uniforme de las funciones f(k)n hacia f (k) expresa, precisamente,

que pk(fn − f) −→n→+∞

0 para todo k ∈ N.

Estudiaremos mas propiedades de los espacios de Frechet en el volumen 2.Resumimos los principales resultados de esta seccion al decir que, cuando unespacio es caracterizado por una infinidad de condiciones -reflejada por unafamilia numerable de semi-normas- obtenemos un espacio de Frechet. Si, porel contrario, una sola condicion es suficiente se tiene un espacio de Banach quesera definido y estudiado en la seccion siguiente.

1.4 Espacios normados y espacios de Banach

El estudio de los espacios de Banach es indispensable para comprender co-rrectamente las importantes propiedades de los espacios funcionales, y de losespacios de aplicaciones lineales definidas sobre ellos. Despues de dar las defi-niciones necesarias y algunos ejemplos esenciales, expondremos, en los parrafossiguientes, algunas caracterısticas -elementales, pero importantes- de los espa-cios que disponen de la estructura de espacio normado y de espacio de Banach.

El material expuesto a continuacion no es mas que una pequena intro-duccion que nos permitira estudiar con comodidad los cuatro capıtulos queconforman este primer volumen. Hemos reservado, por motivos pedagogicos losteoremas mas importantes de la teorıa de los espacios de Banach al volumen 2,en donde seran aplicados inmediatamente al estudio de los espacios funcionales.

1.4.1 Definiciones

Dos conceptos son presentados: la nocion de norma y de espacio normado aso-ciado, y la nocion de espacio de Banach, los que permiten caracterizar de formaprecisa la convergencia de las sucesiones.

Definicion 1.4.1 (norma). Sean E un K-espacio vectorial topologico y x unelemento de E. Una norma sobre E es una funcion ‖ · ‖E : E −→ [0,+∞[ queverifica las propiedades:

(N.1) Separabilidad: ‖x‖E = 0 ⇐⇒ x = 0.

(N.2) Homogeneidad: ‖αx‖E = |α|‖x‖E para todo α ∈ K.

(N.3) Desigualdad triangular: ‖x+ y‖E ≤ ‖x‖E + ‖y‖E para todo x, y ∈ E.

Notaremos a los espacios vectoriales normados con (E, ‖ · ‖E).

1.4 Espacios normados y espacios de Banach 31

Observacion 1.4. Todo espacio normado es un espacio localmente convexometrizable. Ademas, un espacio localmente convexo metrizable, caracterizadopor una sola semi-norma, es un espacio normado. En efecto, las propiedades desemi-normas nos proporcionan las condiciones (N.2) y (N.3), mientras que elaxioma de separacion, aplicado a la unica semi-norma, nos da la condicion deseparabilidad (N.1).

Gracias a esta observacion, disponemos de todas las propiedades de losespacios localmente convexos metrizables explicitadas anteriormente para estetipo de espacios. En particular, notemos que todos los espacios normados estandotados naturalmente de una estructura de espacio metrico, definida por lasiguiente distancia invariante por traslacion:

d(x, y) = ‖x− y‖E. (1.20)

Decimos, entonces, que esta distancia esta inducida por la norma ‖ · ‖E. Veri-fiquemos, rapidamente, sus propiedades elementales. La invariancia por trasla-cion se verifica facilmente, pues se tiene, para todo x, y, z ∈ E,

d(x + z, y + z) = ‖x+ z − y − z‖E = ‖x− y‖E = d(x, y).

La simetrıa de esta distancia es evidente, puesto que d(x, y) = ‖x − y‖E =‖y − x‖E = d(y, x); la separabilidad esta dada por (N.1) y la desigualdadtriangular se deduce de

d(x, y) = ‖x−y‖E = ‖x−z+z−y‖E ≤ ‖x−z‖E+‖z−y‖E = d(x, z)+d(y, z).

Observese, ademas, que se tiene la propiedad de homogeneidad, valida paratodo α ∈ K y todo x, y ∈ E:

d(αx, αy) = |α|d(x, y).

Notamos, tambien, que la topologıa de espacio normado esta totalmente deter-minada por las bolas abiertas definidas por

B(x, r) = y ∈ E : ‖x− y‖E < r. (1.21)

Diremos, ası mismo, que una tal topologıa esta inducida por la norma ‖ · ‖E .

Paralelamente a la definicion 1.1.5, tenemos la

Definicion 1.4.2. Sean (E, ‖ · ‖E) y (F, ‖ · ‖F ) dos espacios normados. Elespacio producto E × F dotado de la aplicacion

‖(x, y)‖E×F =(‖x‖2E + ‖y‖2F

)1/2(1.22)

es un espacio vectorial normado.

La estructura de espacio vectorial es compatible con la topologıa inducidapor la norma en el sentido siguiente.

Proposicion 1.4.1. Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio vectorial normado. Entonceslas aplicaciones

ϕ1 : E × E −→ E(x, y) 7−→ x+ y

yϕ2 : K× E −→ E

(α, x) 7−→ αx

son continuas, ası como la aplicacion x 7−→ ‖x‖E.

Demostracion. La demostracion de estos hechos no es mas que la reescriturade la proposicion 1.3.3 con una sola semi-norma. Sin embargo, para la mayorcomodidad del lector, vamos a verificar que la primera aplicacion ϕ1 es continuautilizando las notaciones expuestas en esta seccion. Empecemos dotando elespacio producto E × E con la norma

‖(x, y)‖E×E =(‖x‖2E + ‖y‖2E

)1/2.

Tenemos entonces la mayoracion

‖ϕ1(x, y)− ϕ1(x0, y0)‖E = ‖(x+ y)− (x0 + y0)‖E≤

√2(‖x− x0‖2E + ‖y − y0‖2E

)1/2,

lo que muestra que esta aplicacion es lipschitziana y, por lo tanto, continua.

Tendremos la oportunidad de estudiar en los capıtulos posteriores muchosejemplos de espacios normados; nos limitaremos aquı a los cuatro ejemplossiguientes.

(i) El cuerpo de los numeros reales R esta siempre dotado de su normaeuclıdea usual, notada | · |, ası como de la topologıa inducida por estanorma.

(ii) En Rn podemos definir varias normas de la siguiente manera:

‖x‖1 =

n∑

i=1

|xi|, (1.23)

‖x‖p =

(n∑

i=1

|xi|p)1/p

(1 < p < +∞), (1.24)

‖x‖∞ = max1≤i≤n

|xi|. (1.25)

(iii) Similarmente, el cuerpo de los numeros complejos esta dotado de su nor-ma usual determinada por

| · | : C −→ [0,+∞[

x = a+ ib 7−→ |x| =√a2 + b2.

(iv) Si (E, dE) es un espacio metrico, definimos B(E,R) el conjunto de todaslas funciones acotadas definidas sobre E a valores en R. Es un espaciovectorial con las operaciones usuales sobre las funciones dadas en (1.12)y podemos dotarlo de una estructura de espacio vectorial normado me-diante

‖f‖∞ = supx∈E

|f(x)|. (1.26)

En efecto, probar la homogeneidad no causa mayor dificultad, pues

‖αf‖∞ = supx∈E

|αf(x)| = |α|supx∈E

|f(x)| = |α|‖f‖∞.

Luego vemos sin problema que ‖f‖∞ = 0 implica f(x) = 0 para todox ∈ E, de donde se deduce la propiedad de separabilidad y, finalmente,la desigualdad triangular se obtiene de

‖f + g‖∞ = supx∈E

|(f + g)(x)|

≤ supx∈E

(|f(x)| + |g(x)|)

≤ supx∈E

|f(x)| + supx∈E

|g(x)|

= ‖f‖∞ + ‖g‖∞.

Pasemos al estudio de la convergencia en los espacios normados retomandoalgunas definiciones.

Sean (E, ‖·‖E) un espacio normado y (xn)n∈N una sucesion de elementos deE. Diremos que la sucesion (xn)n∈N converge en el sentido de la norma ‖ · ‖Ehacia un punto x ∈ E si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N) [∀n ≥ N =⇒ ‖xn − x‖E ≤ ε],

lo que notaremos conlım

n→+∞‖xn − x‖E = 0. (1.27)

Escribiremos, entonces, lımn→+∞

xn = x y diremos que la sucesion (xn)n∈N conver-

ge fuertemente hacia x. El adjetivo fuerte ha sido introducido para diferenciarla convergencia debil, que sera estudiada posteriormente.

Diremos, ademas, que una sucesion (xn)n∈N es de Cauchy en el sentido dela norma ‖ · ‖E si

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n,m ≥ N)[‖xn − xm‖E ≤ ε].

Finalmente, diremos que una sucesion (xn)n∈N es acotada si

supn∈N

‖xn‖E < +∞.

El siguiente resultado nos indica algunas relaciones entre los conceptos queacabamos de definir.


Proposicion 1.4.2. Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio normado. Entonces toda suce-sion convergente es de Cauchy y toda sucesion de Cauchy es acotada. Ademas,si (xn)n∈N es una sucesion de Cauchy que admite una subsucesion convergentehacia un punto x, entonces (xn)n∈N converge hacia x.

Demostracion. Sea (xn)n∈N una sucesion que converge hacia un punto x ∈ E.Por la desigualdad triangular, tenemos la desigualdad

‖xn − xm‖E ≤ ‖xn − x‖E + ‖xm − x‖E ,

lo que implica que toda sucesion convergente es de Cauchy.Sea ahora (xn)n∈N una sucesion de Cauchy; existen, entonces, dos enteros

n,m ≥ N tales que ‖xn − xm‖E ≤ 1. Luego, por la desigualdad triangular, seobtiene que para todo m ≥ N ‖xm‖E ≤ 1 + ‖xN‖E . Es decir:

supj∈N

‖xj‖E ≤ max‖x0‖E, ..., ‖xN−1‖E , ‖xN‖E + 1.

Finalmente, sea (xϕ(n))n∈N una subsucesion de (xn)n∈N. Puesto que se tiene

‖xn − x‖E ≤ ‖xϕ(n) − x‖E + ‖xϕ(n) − xn‖E,

como xϕ(n) converge hacia x y (xn)n∈N es de Cauchy, se obtiene la convergenciade la sucesion (xn)n∈N hacia x, lo que termina la demostracion.

El siguiente resultado nos indica bajo que condiciones un espacio vectorialpuede ser dotado de una norma, este resultado sera muy utilizado cuandodeseemos comprobar que un espacio no es normable.

Teorema 1.4.1 (Condicion de normabilidad). Un espacio vectorial topologicoes normable si y solo si su origen admite una vecindad convexa acotada.

Rogamos al lector ver su demostracion en [26].Finalmente, el resultado a continuacion nos proporciona una caracterizacion

de los espacios normados localmente compactos, y corresponde a una generali-zacion del teorema 1.2.4.

Teorema 1.4.2 (F. Riesz14). Sea E un espacio vectorial normado. Las pro-piedades siguientes son equivalentes.

1) E es de dimension finita.

2) Todo conjunto acotado de E es relativamente compacto.

3) La bola unidad cerrada de E, B(0, 1) = x ∈ E : ‖x‖E ≤ 1, es unconjunto compacto.

4) E es localmente compacto.

14Frigyes Riesz (1880-1956), matematico hungaro.

En particular, si dimE = +∞, ningun punto de E posee una vecindadcompacta. Rogamos al lector ver la demostracion de este importante teoremaen [25].

Con esto hemos terminado la presentacion de los espacios vectoriales nor-mados. Presentamos ahora una de las definiciones mas importantes de estecapıtulo.

Definicion 1.4.3 (Espacio de Banach15). Un espacio vectorial normado(E, ‖ · ‖E) es un espacio de Banach si es completo para la distancia inducidapor la norma ‖ · ‖E.

Salvo mencion explıcita de lo contrario, cada espacio de Banach estara do-tado de la topologıa inducida por la norma ‖ · ‖E.

Por esta definicion, vemos que todo espacio de Banach es un espacio deFrechet aunque no se tiene necesariamente la recıproca. Ademas, no todoslos espacios vectoriales normados son completos y, para ilustrarlo, tenemosaquı el ejemplo siguiente. Sea C([0, 1],R) el conjunto de las funciones continuasa valores reales definidas sobre el intervalo [0, 1], que dotamos con la norma

‖f‖ =

∫ 1

0

|f(x)|dx.

Verificar que la anterior cantidad define una norma es un ejercicio simple, y se ladeja al lector. Se tiene, entonces, que (C([0, 1]), ‖·‖) es un espacio normado. Sinembargo, este espacio no es completo. Para verificar este hecho, consideramosla sucesion:

fn(x) =

1 si x ≤ 12 ,

12n+ 1− nx si 1

2 < x ≤ 12 + 1

n ,

0 si x > 12 + 1

n .

No es difıcil darse cuenta que esta sucesion es de Cauchy, pero que no convergehacia una funcion continua.

Observemos, para terminar esta subseccion, que todos los ejemplos dadosen la pagina 32 son espacios de Banach, puesto que son espacios completos paralas normas exhibidas. Si bien los tres primeros espacios son ejemplos clasicos,el ultimo esta tratado en la siguiente subseccion.

1.4.2 Tres ejemplos clasicos

Estudiamos aquı tres espacios de Banach que seran de constante uso en todoeste libro y que tienen la particularidad de estar dotados con la misma norma.En todo este parrafo, E representa un espacio metrico.

15Stefan Banach (1892-1945), matematico polaco.

A) Espacio de las funciones acotadas B(E,R)Ya hemos visto en la pagina 33 que este espacio, dotado de la norma‖f‖∞ = sup

x∈E|f(x)|, es un espacio normado, de manera que solo debemos

verificar que es completo. Sea, pues, (fn)n∈N una sucesion de Cauchy delespacio B(E,R), entonces

(∀ε > 0)(∃N ∈ N)[∀p, q ≥ N =⇒ supx∈E

|fp(x)− fq(x)| < ε].

Si fijamos un punto x0 ∈ E, tenemos

|fp(x0)− fq(x0)| ≤ supx∈E

|fp(x) − fq(x)| < ε,

lo que implica que la sucesion (fn(x0))n∈N es una sucesion de Cauchy enR, y por lo tanto, converge hacia un elemento de R, que lo notaremos conf(x0). Hemos, entonces, definido una aplicacion f : E −→ R, y debemosverificar que esta funcion es acotada. Sea ε > 0, existe un N tal que paratodo p, q ≥ N , se tiene |fp(x)−fq(x)| < ε para todo x ∈ E. Para un x0 fijo,podemos hacer tender q → +∞ en esta desigualdad y, con la continuidadde la aplicacion |·|, obtenemos la desigualdad |fp(x0)−f(x0)| < ε. Puestoque la funcion fp es acotada, el conjunto fp(E) esta contenido en una bolade centro y y de radio ρ. La desigualdad

|y − f(x0)| ≤ |y − f(x0)|+ |fp(x0)− f(x0)|

muestra, entonces, que el conjunto f(E) esta contenido en una bola decentro y y de radio ρ+ε, de donde se deduce que la funcion f es acotada,y por lo tanto, pertenece al conjunto B(E,R).Solo nos queda por demostrar que la sucesion (fn)n∈N tiende hacia f paran −→ +∞. Para ε > 0 y para un entero p, fijado de la misma forma queanteriormente, se tiene |fn(x) − f(x)| < ε para todo x ∈ E y para todon ≥ p, lo que muestra que ‖fn − f‖∞ < ε, y se obtiene la convergenciaen el sentido de la norma ‖ · ‖∞. Concluimos, por lo tanto, que el espacioB(E,R) es un espacio de Banach.

B) Espacio de las funciones continuas y acotadas Ca(E,R)Este espacio es un subconjunto del anterior, y si lo dotamos con la norma‖f‖∞ = sup

x∈E|f(x)|, obtenemos un espacio de Banach. La demostracion

sigue basicamente las mismas lıneas expuestas en el parrafo anterior. Ob-tenemos, en particular, que toda sucesion de Cauchy de funciones deCa(E,R) converge hacia una funcion acotada, de manera que solo nosqueda por verificar que la funcion lımite es continua, lo que se obtiene sinproblema puesto que la convergencia en norma ‖ · ‖∞ es la convergenciauniforme.

C) Espacio de funciones continuas definidas sobre un compactoC(K,R)Aquı suponemos que K es un subconjunto compacto de un espacio metri-co E. Este ejemplo no es mas que un caso muy particular del anterior.La sutilidad se encuentra en que no exigimos de forma explıcita que lasfunciones sean acotadas. Sin embargo, al estar estas funciones (que sontodas continuas) definidas sobre un conjunto compacto K, obtenemos,por el teorema 1.2.5, que son acotadas.

Observacion 1.5. Dado que la convergencia en la norma ‖ · ‖∞ correspondeexactamente con la nocion de convergencia uniforme, se suele denominar estanorma y a la topologıa asociada como la norma y la topologıa de la convergenciauniforme.

Observacion 1.6. Todas las propiedades de los tres espacios presentadasaquı se conservan si, en vez de considerar como espacio de llegada el conjuntoR, se toma el conjunto C.

1.4.3 Propiedades basicas

Un espacio de Banach debe ser considerado con una cierta cantidad de propie-dades agradables. En esta seccion, expondremos las caracterısticas mas elemen-tales de los espacios de Banach, reservando para el volumen 2 las propiedadesde las aplicaciones lineales definidas sobre espacios de Banach. De modo maspreciso, en esta seccion estudiaremos las nociones de series convergentes y de se-ries normalmente convergentes las que permiten dar un criterio de completitudpara los espacios de Banach.

Definicion 1.4.4 (Convergencia, convergencia normal). Sean (E, ‖ · ‖E) unespacio vectorial normado y (xn)n∈N una sucesion en E. Para todo k ∈ N,

construimos la serie o suma parcial de la sucesion escribiendo Sk =∑k

n=0 xn.

1) Diremos que la serie de termino general xn converge hacia S ∈ E,en el sentido de la norma ‖ · ‖E, si la sucesion (Sk)k∈N converge haciaS ∈ E:

lımk→+∞

‖S − Sk‖E = 0.

En este caso, el vector S es la suma de la serie y escribimos S =

+∞∑

n=0

xn.

2) Diremos, ademas, que una serie de termino general xn es normal-mente convergente o absolutamente convergente si

+∞∑

n=0

‖xn‖E < +∞.


Observacion 1.7. La nocion de serie en un espacio vectorial normado se rela-ciona con la nocion de sucesion en el sentido siguiente: una sucesion (xn)n∈N esconvergente de lımite x si y solo si la serie x0+(x1−x0)+ ...+(xn−xn−1)+ ...es convergente de suma x.

Como nos lo indica el teorema a continuacion, la nocion de convergencianormal permite caracterizar la completitud de los espacios normados.

Teorema 1.4.3. Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio vectorial normado. Entonces:

1) si E es un espacio de Banach, toda serie normalmente convergente esconvergente y se tiene

∥∥∥∥∥

+∞∑

n=0

xn

∥∥∥∥∥E

≤+∞∑

n=0

‖xn‖E. (1.28)

2) recıprocamente, si E es tal que toda serie normalmente convergentees convergente, entonces es un espacio de Banach.

Demostracion. Veamos la primera afirmacion. Dado que la serie de termino ge-neral xn converge normalmente, la sucesion de numeros reales αk =

∑kn=0 ‖xn‖E

es de Cauchy en R. Es decir, que para todo ε > 0, existe un entero N0 ∈ N talque

(∀p, q ≥ N0) =⇒ |αp − αq| ≤ ε.

Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que q > p. Se deduce, en-tonces, de la desigualdad anterior que ‖xp+1‖E + · · · + ‖xq‖E ≤ ε para todo

q > p ≥ N0, y esto implica que la sucesion Sk =∑k

n=0 xn es de Cauchy en E,puesto que se tiene la mayoracion

‖Sp − Sq‖E =

∥∥∥∥∥

q∑

n=p+1

xn

∥∥∥∥∥E

≤q∑

n=p+1

‖xn‖E ≤ ε.

Como el espacio E es completo, se concluye, sin problema, que la sucesion(Sk)k∈N es convergente. La desigualdad (1.28) se deduce del hecho que paratodo k ∈ N, se tiene

∥∥∥∥∥

k∑

n=0

xn

∥∥∥∥∥E

≤k∑

n=0

‖xn‖E .

Para demostrar la segunda afirmacion, debemos verificar que toda sucesionde Cauchy es convergente. Fijamos pues (xn)n∈N una sucesion de Cauchy enE. Entonces para todo entero k, existe un nk ∈ N tal que

(p, q ≥ nk) =⇒ ‖xp − xq‖E ≤ 1

2k.

Podemos suponer que la sucesion nk es creciente y esto nos permite considerarla serie

xn0 + (xn1 − xn0) + (xn2 − xn1) + · · · (1.29)


Observamos que la suma de las normas

‖xn0‖E + ‖xn1 − xn0‖E + ‖xn2 − xn1‖E + · · ·

es mayorada por la serie convergente ‖xn0‖E +∑+∞

k=0 2−k y, por lo tanto, esta

suma converge. Entonces, por hipotesis, la serie definida por (1.29) converge.Sin embargo, puesto que

SN = xn0 +

N∑

k=0

(xnk+1− xnk

) = xnN+1 ,

obtenemos que la sucesion (xnk)k∈N es convergente. Hemos mostrado que la

sucesion de Cauchy (xn)n∈N admite una subsucesion convergente (xnk)k∈N y

es, por lo tanto, convergente. Esto implica que el espacio E es completo.

Nos interesamos ahora en el comportamiento de una serie si modificamos elorden de sus terminos. Esto significa que, si tenemos una serie x0+x1+...+xn+... y consideramos una biyeccion ϕ : n 7−→ ϕ(x) de N en N, entonces queremosestudiar la convergencia de la nueva serie xϕ(0) + xϕ(1) + ...+ xϕ(n) + ....

Proposicion 1.4.3. Sean E un espacio de Banach y (xn)n∈N una sucesion deelementos de E. Si la serie

∑+∞n=0 xn converge en E y la serie de las normas

∑+∞n=0 ‖xn‖E converge, entonces una modificacion del orden de los terminos de

la serie inicial no altera la convergencia de la serie ni su suma.

Demostracion. Sea S la suma de la serie. Tenemos que para todo ε > 0, existem ∈ N tal que

∑

n>m ‖xn‖E ≤ ε/2. Existe, ademas, un entero m0 tal que elconjunto de enteros ϕ(0), ϕ(1), ..., ϕ(m0) contiene el conjunto 0, 1, ...,m,por lo tanto, la suma parcial xϕ(0) + xϕ(1) + · · · + xϕ(m0) es igual a la sumax0+x1+ ...+xm a la cual anadimos un numero finito de terminos cuyos ındicesson todos mayores que m.

En particular, la suma de estos terminos residuales tiene una norma mayo-rada por ε/2. Entonces, para todo n0 > m0, tenemos

∥∥∥∥∥

n0∑

n=0

xϕ(n) −m∑

n=0

xn

∥∥∥∥∥E

≤ ε

2.

Como, ademas, tenemos∥∥∥∥∥

m∑

n=0

xn − S

∥∥∥∥∥E

=

∥∥∥∥∥

∑

n>m

xn

∥∥∥∥∥E

≤∑

n>m

‖xn‖E ≤ ε

2,

podemos afirmar que para todo n0 > m0,∥∥∥∥∥

n0∑

n=0

xϕ(n) − S

∥∥∥∥∥E

≤ ε;

lo que muestra que la serie modificada es convergente y de suma S.


Terminamos esta seccion observando que, de la misma forma que se puedencomparar distancias, podemos comparar dos normas lo cual tiene algunas con-secuencias agradables. En efecto, si dos normas determinan una misma estruc-tura, podremos escoger la que presenta una mayor comodidad de utilizacion.

Definicion 1.4.5 (Normas equivalentes). Dos normas ‖ · ‖1 y ‖ · ‖2 definidassobre E son equivalentes si existe una constante C > 0 tal que

C−1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ C‖x‖1 (1.30)

para todo x ∈ E.

Notacion: Si ‖·‖1 y ‖·‖2 son dos normas definidas sobre un mismo espacioE, escribiremos ‖ · ‖1 ≃ ‖ · ‖2 para designar su equivalencia.

El lector no ignora que sobre un espacio vectorial de dimension finita, to-das las normas son equivalentes16. Por ejemplo, todas las normas definidas en(1.23-1.25) son equivalentes, pero esto deja de ser valido si la dimension es in-finita, como lo muestra el ejercicio 1.9.

Notacion: En el caso particular de Rn, utilizaremos de ahora en adelantela notacion | · | para designar la norma euclıdea canonica sobre este espacio; es

decir |x| =(∑n

i=1 x2i

)1/2.

Observese, finalmente, que todas las propiedades anunciadas anteriormente(convergencia, completitud, convergencia normal, etcetera.) son invariantes sise reemplaza la norma inicial por otra equivalente.

1.4.4 Equicontinuidad y teorema de Ascoli-Arzela

En esta ultima seccion estamos interesados en estudiar las partes compactas delespacio C(K,K) formado por las funciones continuas definidas sobre un espaciometrico compacto K a valores en K. Dado que este espacio es un espacio deBanach de dimension infinita, sabemos por el teorema de Riesz 1.4.2, que laspartes cerradas y acotadas no son suficientes para identificar los subconjuntoscompactos.

Para llevar a cabo esta identificacion, sera necesario introducir algunos con-ceptos con las definiciones 1.4.6 y 1.4.7, que seran directamente utilizados en elteorema de Ascoli-Arzela, que caracteriza las partes relativamente compactasdel espacio C(K,K).

Demos dos definiciones importantes.

Definicion 1.4.6 (Equicontinuidad). Sea (fn)n∈N una familia de funcionesdefinidas sobre un espacio metrico compacto (K, d) a valores en K. Esta familia

16Teorema de Riesz - 1918, vease una demostracion en [25].


es equicontinua si

(∀ε > 0)(∀x ∈ K)(∃δ > 0)(∀n ∈ N)(∀y ∈ K) :

d(x, y) ≤ δ =⇒ |fn(x)− fn(y)| ≤ ε.

Definicion 1.4.7 (Compacidad puntual). Sea (K, d) un espacio metrico com-pacto. Decimos que una parte A de C(K,K) es puntualmente compacta (relati-vamente puntualmente compacta) si para todo x ∈ K, el conjunto f(x), f ∈ Aes compacto (relativamente compacto) en K.

Podemos ahora enunciar el siguiente teorema, que nos proporciona condi-ciones necesarias y suficientes para caracterizar a los conjuntos relativamentecompactos del espacio C(K,K).

Teorema 1.4.4 (Ascoli-Arzela17). Sean (K, d) un espacio metrico compactoy C(K,K) el espacio de Banach formado de funciones continuas, dotado de lanorma ‖f‖∞ = sup

x∈K|f(x)|. Una parte A de C(K,K) es relativamente compacta

si y solo si es equicontinua y puntualmente relativamente compacta.

Observacion 1.8. Este teorema puede enunciarse de la siguiente manera: unafamilia de funciones continuas es relativamente compacta si y solo si podemoscontrolar uniformemente sus valores y sus oscilaciones.

Demostracion. Empecemos suponiendo que la parte A es relativamente com-pacta y mostremos que es equicontinua y puntualmente relativamente compac-ta.

Sea f ∈ A; como f es continua y definida sobre un compacto, su imagen escompacta. Como esto es valido para toda funcion f ∈ A, se obtiene, entonces,que A es puntualmente relativamente compacta.

Verifiquemos que esta parte es equicontinua. Sea, pues, ε > 0 un real;como A es un conjunto compacto, podemos encontrar una familia (fi)1≤i≤k

de elementos de A tal que A ⊂ ⋃ki=1B(fi, ε/3).

Sea f un elemento de A. Buscamos un real δ, independiente de f ∈ A, talque para todo x, y ∈ E que verifican dE(x, y) ≤ δ, se tenga |f(x) − f(y)| ≤ ε.Por la desigualdad triangular, se tiene, para todo 1 ≤ i ≤ k,

|f(x)− f(y)| ≤ |f(x)− fi(x)| + |fi(x) − fi(y)|+ |fi(y)− f(x)|.

Como f es un elemento de A y A puede ser recubierto por bolas de radio ε/3 yde centro fi, podemos encontrar j ∈ 1, ..., k tal que f ∈ B(fj , ε). Utilizamos,entonces, la desigualdad anterior, en el caso i = j, para mostrar que

|f(x)− f(y)| ≤ ε

3+ |fj(x) − fj(y)|+

ε

3.

17Giuilo Ascoli (1843-1896) y Cesare Arzela (1847-1912), matematicos italianos.


Las aplicaciones (fi)1≤i≤k son uniformemente continuas sobre E, puesto queson continuas sobre un compacto (por la proposicion 1.2.8), entonces, para todox, y ∈ E, podemos encontrar un real δi tal que

dE(x, y) ≤ δi =⇒ |fi(x)− fi(y)| ≤ ε/3.

Definimos ahora δ = ınf1≤i≤k δi de forma que si dE(x, y) ≤ δ, se tiene

|fi(x) − fi(y)| ≤ ε/3.

Esta desigualdad sigue siendo valida si i = j, lo que nos demuestra que

|f(x)− f(y)| ≤ ε.

Hemos, por lo tanto, demostrado que la familia A es equicontinua.Supongamos ahora que la familia A es equicontinua, puntualmente relati-

vamente compacta, y demostremos que A es compacto; es decir, que de todasucesion (fn)n∈N de A se puede extraer una subsucesion que converge unifor-memente sobre K hacia una funcion f ∈ C(K,K).

Como el espacio (K, d) es un espacio metrico compacto, por el corolario1.2.2, es separable y existe un conjunto D = (xk)k∈N denso en K. Para todok ∈ N, la sucesion (fn(xk))n∈N esta en un compacto Ak de K, de modo que

la sucesion de las restricciones(

fn|D

)

n∈Npuede ser vista como una sucesion

del espacio compacto metrizable∏

k∈NAk. Podemos, entonces, extraer unasubsucesion (fnl

)l∈N que converge puntualmente sobre D por el teorema deTychonov.

Estudiemos ahora la convergencia de esta subsucesion en un punto arbitra-rio de x ∈ K. Por hipotesis, la adherencia en K de f(x), f ∈ A es compacta;es decir, cerrada y acotada y, por lo tanto, completa. Entonces, para que estasubsucesion (fnl

)l∈N tenga un lımite f(x) ∈ K, basta verificar que esta subsu-cesion es de Cauchy. Sea, para ello, ε > 0. Como la parte A es equicontinua,sabemos que para δ > 0 suficientemente pequeno, se tiene

(∀x, y ∈ K)(∀l ∈ N) [d(x, y) ≤ δ =⇒ |fnl(x) − fnl

(y)| ≤ ε/3].

Como el conjuntoD es denso enK, tomamos xk ∈ D tal que d(x, xk) ≤ δ. Comola sucesion (fnl

(xk))l∈N converge en K, es de Cauchy, y se puede encontrar unentero Nε,k tal que

(∀l, p ≥ Nε,k) [|fnl(xk)− fnp(xk)| ≤ ε].

Hacemos ahora la mayoracion siguiente:

|fnl(x)− fnp(x)| ≤ |fnl

(x)− fnp(xk)|+ |fnl(xk)− fnp(xk)|

+|fnp(xk)− fnp(x)| ≤ε

3+ε

3+ε

3;

es decir, para todo l, p ≥ Nε,k, se tiene que |fnl(x) − fnp(x)| ≤ ε. Obtenemos,

entonces, que la subsucesion (fnl(x))l∈N converge en K para todo x ∈ K, y

notamos f(x) su lımite.

1.5 Ejercicios 43

Solo nos queda por ver que la convergencia de fnlhacia f es uniforme con

respecto a x ∈ K. Entonces, para un ε > 0 fijado, y utilizando las notacionesanteriores, sabemos que existe un entero M tal que K ⊂ ⋃M

k=0 B(xk, δ), puesK es un espacio metrico compacto. Tomamos, entonces Mε = max

k∈0,...,MNε,k y

obtenemos(∀l, p ≥Mε)(∀x ∈ K) [|fnl

(x) − fnp(x)| ≤ ε].

Al pasar al lımite p→ +∞, obtenemos

(∀l ≥ Nε) [‖fnl− f‖∞ ≤ ε];

es decir, que la subsucesion (fnl)l∈N converge uniformemente hacia f ∈ C(K,K),

lo que termina la demostracion.

Vamos a terminar este capıtulo con un ejemplo de aplicacion del teoremaque acabamos de demostrar. Sabemos, por el teorema de Riesz 1.4.2, que la bolaunidad del espacio C([0, 1],R) no es compacta, pues es un espacio de dimensioninfinita. Esta bola es, sin embargo, un conjunto cerrado y acotado, pero noes un conjunto equi-continuo. Mas precisamente, vamos a ver en las lıneasa continuacion, que la sucesion de funciones fn(x) = xn sobre [0, 1] no esequicontinua en el punto x = 1. En efecto, en el caso de serlo, tendrıamos que:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀n ∈ N)(∀y ∈ [0, 1]) [|1 − y| ≤ δ =⇒ |1− yn| ≤ ε].

Sean pues ε = e−12e (e = exp(1)) y N ∈ N tal que 1/N ≤ δ. Entonces, para todo

n ≥ N , el punto z = 1− 1/n, verifica 0 ≤ 1− z ≤ δ, y deberıamos tener

(∀n ≤ N) [0 ≤ 1− (1− 1/n)n ≤ e− 1

2e],

pero en el lımite, cuando n→ +∞, lo que obtenemos es la desigualdad

e− 1

e≤ e− 1

2e,

lo que es contradictorio. Concluımos que esta sucesion de funciones no es equi-continua.

1.5 Ejercicios

Ejercicio 1.1. El objetivo de este ejercicio es el de mostrar que la condicionde Lipschitz implica la continuidad uniforme la que, a su vez, implica la conti-nuidad simple, pero que no se tienen las recıprocas.

1. Verifique que la condicion de Lipschitz implica la continuidad uniforme, laque, a su vez, implica la continuidad simple.

2. Muestre que la funcion f : R −→ R, determinada por f(x) = x2, es continuasobre R, pero no es uniformemente continua.


3. Muestre que la funcion f : [0,+∞[−→ R, determinada por f(x) =√x, es

uniformemente continua pero no es lipschitziana.

Ejercicio 1.2 (Continuidad de las proyecciones canonicas). Aplicamos aquı losresultados del ejercicio anterior a un tipo muy especial de funciones. Conside-remos los espacios normados (Rn, ‖ · ‖1) y (R, | · |). Definamos las funcionesproyecciones canonicas πi para todo i = 1, ..., n por

πi : Rn −→ R

x = (x1, ..., xn) 7−→ πi(x1, ..., xn) = xi.

Muestre que estas funciones son continuas. ¿Son funciones lipschitzianas?

Ejercicio 1.3. La equivalencia uniforme entre dos distancias es una propiedadmuy fuerte. Existe una variante mas debil que estudiaremos en este ejercicio.Sea E un espacio metrico dotado de dos distancias d1 y d2; decimos que d1y d2 son topologicamente equivalentes si la aplicacion identidad IdE es unhomeomorfismo de (E, d1) sobre (E, d2).

1. Sea E =]0, 1[ y d1(x, y) = |x− y| una distancia sobre E. Definimos

d2 : E × E −→ [0,+∞[

(x, y) 7−→ d2(x, y) =∣∣∣1x − 1

y

∣∣∣ .

(a) Muestre que se tiene la desigualdad d1(x, y) ≤ d2(x, y).

(b) Mediante el item anterior, muestre que IdE es una biyeccion lipschit-ziana de (E, d2) en (E, d1).

(c) Sea F = [1,+∞[ el espacio metrico dotado de la distancia d(x, y) =|x− y|. Muestre que las aplicaciones

f : E −→ Fx 7−→ f(x) = 1

x

yg : F −→ E

t 7−→ g(t) = 1t

son biyecciones.

(d) Muestre que la aplicacion f es una biyeccion continua de (E, d1) sobre(F, d).

(e) Muestre que para todos los elementos x, y ∈ F , se tiene la identidadd2(g(x), g(y)) = d(x, y), y muestre que g es una biyeccion continua de(F, d) sobre (E, d2).

(f) Calcule g f y concluya que IdE es una biyeccion continua de (E, d1)sobre (E, d2); es decir, que d1 y d2 son topologicamente equivalentes.

2. Sea (un)n≥1 una sucesion de puntos de E tal que un = 1/n.

(a) Muestre que d1(un, un+1) =1

n(n+1) .

(b) Calcule d2(un, un+1).

1.5 Ejercicios 45

(c) Sea ε > 0 un real. Notese que para todo ε > 0, existe un entero Ntal que para todo n ≥ N , se tiene 1

n(n+1) < ε. Muestre que para todo

n ≥ N , se tiene d1(un, un+1) < ε y que d2(un, un+1) = 1.

(d) ¿Es la aplicacion IdE : (E, d1) −→ (E, d2) una aplicacion uniforme-mente continua?

(e) ¿Que puede decir sobre las distancias d1 y d2? ¿Son uniformementeequivalentes?

Ejercicio 1.4. El interes de este ejercicio esta en dar caracterizaciones equi-valentes del concepto de compacidad.

Sea (Ai)i∈I una familia de subconjuntos cerrados de un espacio topologicoX. Decimos que una familia posee la propiedad de la interseccion finita si paratodo subconjunto finito J de I se tiene

⋂

i∈J Ai 6= ∅.

1. Muestre que si X es compacto, entonces toda familia de cerrados con lapropiedad de la interseccion finita tiene una interseccion no vacıa.

2. Sea (An)n∈N una sucesion decreciente no vacıa de cerrados de un espaciocompacto X. Muestre que se tiene

⋂

n∈NAn 6= ∅. Esta ultima propiedad esmuy util en la practica.

3. Si (Bn)n∈N es una sucesion decreciente de cerrados de interseccion vacıa,muestre que los conjuntos Bn son todos vacıos a partir de un ındice n losuficientemente grande.

Ejercicio 1.5 (Teorema de Rolle18). En este ejercicio, estudiamos una apli-cacion del teorema 1.2.5. Sean −∞ < a < b < +∞ dos numeros reales yf : [a, b] −→ R una funcion continua sobre [a, b] y derivable sobre ]a, b[. Sif(a) = f(b), muestre que existe un punto c ∈]a, b[ tal que f ′(c) = 0.

Ejercicio 1.6 (Teorema de Dini). Sean X un espacio compacto y (fn)n∈N unasucesion de funciones continuas definidas sobre X a valores en R. Suponemosque esta sucesion es creciente y que converge simplemente hacia f . Muestre que(fn)n∈N converge uniformemente hacia f .

Este resultado es interesante, porque en el marco de un conjunto compac-to, las hipotesis de crecimiento y de convergencia simple de una sucesion defunciones implican la convergencia uniforme.

Ejercicio 1.7. Demuestre la proposicion 1.3.6. Verifique para ello, que

lımn→+∞

d(xn, x) = lımn→+∞

supk∈N

ınf(pk(xn − x), 2−k

)= 0

si y solo si

(∀k ∈ N) lımn→+∞

pk(xn − x) = 0.

18Michel Rolle (1652-1719), matematico frances.

Ejercicio 1.8. Consideremos el espacio C(R,R) de funciones continuas a va-lores reales. Definamos sobre este espacio una familia de aplicaciones (pn)n≥1

de la siguiente forma:pn(f) = sup

|x|≤n

|f(x)|.

1. Verifique que para todo n ≥ 1, las aplicaciones pn son semi-normas.

2. A partir de esta familia (pn)n≥1, construimos la funcion:

d(f, g) =

+∞∑

n=1

2−n pn(f − g)

1 + pn(f − g). (1.31)

Muestre que esta funcion determina una distancia sobre el espacio C(R,R)invariante por traslacion.

3. Muestre que si se reemplaza la sucesion (2−n)n≥1 en (1.31) por otra sucesion(αn)n≥1 tal que

∑

n≥1 αn < +∞, entonces se obtiene una nueva distancia,que es equivalente a (1.31).

4. Muestre que el espacio C(R,R), dotado de la distancia (1.31), es un espaciode Frechet.

5. Muestre que para todo ε ∈]0, 1/2[, existen dos funciones f, g ∈ C(R,R) talesque f, g ∈ B(0, ε), pero tales que h = (f + g)/2 /∈ B(0, ε). Indicacion:considere f(x) = αmax(0; 1− |x|) y g(x) = βmax(0; 1− |x− 2|).

Ejercicio 1.9. En este ejercicio, mostramos que en un espacio de dimensioninfinita, existen normas que no son equivalentes entre sı.

Definamos C([a, b],R) como el conjunto de funciones continuas sobre el in-tervalo [a, b] a valores en R. Definamos las tres aplicaciones siguientes

‖ · ‖1 : C([a, b];R) −→ [0,+∞[

f 7−→ ‖f‖1 =∫ b

a |f(x)|dx,‖ · ||2 : C([a, b];R) −→ [0,+∞[

f 7−→ ‖f‖2 =(∫ b

a |f(x)|2dx) 1

2

,

‖ · ‖∞ : C([a, b];R) −→ [0,+∞[f 7−→ ‖f‖∞ = sup

x∈[a,b]

|f(x)|,

1. Verifique que, en la definicion de la aplicacion ‖ · ‖∞, se puede reemplazarel supremo por el maximo.

2. Muestre que las aplicaciones ‖ · ‖i, para i = 1, 2,∞, son normas sobre elconjunto C([a, b]).

3. Demuestre las desigualdades siguientes para toda funcion f ∈ C([a, b]):

‖f‖1 ≤√b− a‖f‖2 y ‖f‖2 ≤

√b− a‖f‖∞.

1.5 Ejercicios 47

4. Considere la sucesion de funciones definidas por fn(x) =(x−ab−a

)n.

(a) Muestre que para todo n ∈ N, se tiene fn ∈ C([a, b]).(b) Verifique que ‖fn‖1 = b−a

n+1 .

(c) Verifique que ‖fn‖2 =√

b−a2n+1 .

(d) Verifique que ‖fn‖∞ = 1 para todo n.

(e) Muestre que ‖fn‖2 −→n→+∞

0, pero que no se tiene ‖fn‖∞ −→n→+∞

0.

5. Definamos una sucesion de funciones por gn(x) = n34 fn(x) para todo entero

n. Muestre que

‖gn‖1 −→n→+∞

0 y ‖gn‖2 ≈ n14

√

b− a

2.

6. Concluya que ninguna de las normas anteriores son equivalentes entre sı.

Ejercicio 1.10 (Espacios ultrametricos). En todo este ejercicio, p represen-ta un numero primo. Para todo entero relativo no nulo x ∈ Z, definamos lavaluacion p-adica de x por

γ(x) = maxr∈N

r : pr|x,

en donde pr|x significa: pr divide a x.Para todo numero racional x = a/b ∈ Q definamos la valuacion p-adica de

x por γ(x) = γ(a)− γ(b); por convencion: γ(0) = +∞.

1. Muestre que la valuacion p-adica verifica las proposiciones siguientes:

(a) γ(x) = +∞ ⇐⇒ x = 0.

(b) γ(xy) = γ(x) + γ(y).

(c) γ(x+ y) ≥ mınγ(x), γ(y) con igualdad si γ(x) 6= γ(y).

2. Para todo x ∈ Q, definamos la aplicacion | · |p : Q −→ [0,+∞[ por

|x|p =

p−γ si x 6= 0,p−∞ = 0 si x = 0.

Muestre que esta aplicacion es una norma sobre Q, es decir, que verifica lastres propiedades siguientes:

(a) |x|p ≥ 0 y |x|p = 0 ⇐⇒ x = 0.

(b) |xy|p = |x|p|y|p.(c) |x+ y|p ≤ |x|p + |y|p.

3. Muestre que se tienen las desigualdades |x+ y|p ≤ max|x|p, |y|p ≤ |x|p +|y|p. ¿Bajo que condicion se tienen las igualdades?


4. Definamos a partir de la norma | · |p una distancia con la formula d(x, y) =|x− y|p. Verifique que se tiene la desigualdad

d(x, y) ≤ maxd(x, z), d(y, z). (1.32)

5. ¿Es esta desigualdad mas fuerte o mas debil que la desigualdad triangu-lar usual? ¿Que se puede decir de todo triangulo en este tipo de espaciosmetricos?

Los espacios metricos que verifican la desigualdad (1.32) son llamados es-pacios ultrametricos.

Capıtulo 2

Teorıa de la medida

Ası como la topologıa nos permite hablar de lımites y de continuidad utilizandoel lenguaje de la teorıa de conjuntos, la teorıa de la medida nos permitira definirlos conjuntos medibles y las funciones medibles utilizando este mismo lenguaje.Mas precisamente, el objetivo que nos proponemos aquı es el de construir, gra-cias a este formalismo, un criterio que determine que conjuntos o que funcionesson medibles y que valor numerico asignar a estas medidas.

Nuestra exposicion se divide en dos etapas: en este capıtulo estudiaremoscomo medir los conjuntos, mientras que, en el capıtulo 3, nos concentraremosen como medir las funciones. Expondremos, pues, como asignar un “peso”o “medida” a los conjuntos sobre la base en observaciones naturales y quecorresponden, en el caso de R, a la nocion de longitud; de area para R2 y devolumen1 para R3. Por ejemplo, si nos concentramos en la nocion de longitud,la longitud del conjunto vacıo ∅ debe ser igual a cero y, si [a, b] y [c, d] son dosintervalos disjuntos (con −∞ < a < b < c < d < +∞) de longitud α y β,respectivamente, es muy natural exigir que la “medida” o longitud de la union[a, b] ∪ [c, d] sea igual a la suma α+ β. Veremos que estas consideraciones sonel punto de partida para la construccion de funciones aditivas de conjuntos yde medidas generales.

La presentacion de la teorıa de la medida que vamos a exponer en estecapıtulo es clasica, y la construccion de medidas se realizara en tres etapasdistintas en las secciones 2.1, 2.2 y 2.3, respectivamente. La primera etapa con-siste en presentar las nociones de base restringiendose a operaciones finitas; esdecir, a los conceptos de algebras de partes de conjuntos y de funciones aditivasde conjuntos. En la segunda etapa, mostraremos como generalizar las nocionesanteriores al considerar operaciones numerables, y esta particularidad sera re-presentada por la letra griega sigma “σ-”: hablaremos, entonces, de σ-algebras,σ-aditividad, σ-finitud, etcetera. Finalmente, en la tercera etapa, se presentaun teorema para la construccion de medidas generales. Terminaremos el capıtu-lo con la seccion 2.4, en donde expondremos la construccion de la medida deLebesgue sobre Rn y algunas de sus propiedades. Observemos para finalizar

1En dimensiones superiores, por abuso de lenguaje, seguiremos hablando de volumen.

50 Teorıa de la medida

esta pequena introduccion, que algunos detalles de la teorıa de la medida seranexpuestos en los capıtulos siguientes para mayor claridad de la exposicion; ası,por ejemplo, las medidas definidas sobre espacios productos seran estudiadas enel capıtulo 3, y el teorema de Radon-Nikodym sera demostrado en el volumen2.

2.1 Algebras y funciones aditivas de conjuntos

Exponemos aquı las ideas que serviran de base para los desarrollos posteriores.Nos concentraremos, en particular, en dos objetos llamados algebra de partesy funcion aditiva de conjuntos. La principal particularidad de estas nociones esque estan restringidas a las operaciones finitas, lo cual hace su estudio sencilloy, ademas, como tendremos la oportunidad de ver en las secciones siguientes, lasprincipales caracterısticas de estos conceptos se preservan al generalizarlas a lasoperaciones numerables. En el primer parrafo recordaremos algunas nociones dela teorıa de conjuntos y fijaremos unas notaciones, mientras que en la subsec-cion siguiente enunciaremos las definiciones mas importantes y presentaremosalgunos ejemplos que serviran de hilo conductor a medida que desarrollemos laexposicion.

2.1.1 Preliminares

Si f es una aplicacion de X en Y , la imagen directa f(A) de un conjuntoA ∈ P(X) es el conjunto de puntos y ∈ Y de la forma y = f(x) con x ∈ A; esdecir,

f(A) = y ∈ Y : y = f(x), x ∈ A.La imagen recıproca de B ∈ P(Y ) es el conjunto definido por

f−1(B) = x ∈ X : f(x) ∈ B.

La imagen recıproca sera muy utilizada, puesto que respeta las siguientes ope-raciones de conjuntos, ya sean estas finitas o infinitas:

f−1

(⋃

i∈I

Bi

)

=⋃

i∈I

f−1(Bi), (2.1)

f−1

(⋂

i∈I

Bi

)

=⋂

i∈I

f−1(Bi), (2.2)

f−1(Bc) = (f−1(B))c. (2.3)

Notese que, por el contrario, la imagen directa no verifica en toda generalidadlas identidades anteriores a excepcion de la primera que concierne a la reunionde conjuntos (vease el ejercicio 2.1).

Presentemos una definicion particularmente util para este y el proximocapıtulo.

2.1 Algebras y funciones aditivas de conjuntos 51

Definicion 2.1.1 (Funcion indicatriz2). Sea X un conjunto. Para todo sub-conjunto A de X, definamos su funcion indicatriz como:

1A : X −→ 0, 1

x 7−→ 1A(x) =

1 si x ∈ A

0 si x /∈ A.

Una de las particularidades de esta funcion es que se satisface la igualdadsiguiente:

1A∩B(x) = 1A(x)1B(x).

Esto nos induce a considerar la interseccion de conjuntos como un producto.En el ejercicio 2.2, veremos algunas aplicaciones de esta formula.

Introduzcamos ahora una notacion muy comoda. El conjunto de los numerosreales aumentado de los sımbolos +∞ y −∞ es representado por R o, a veces,por [−∞,+∞], y se lo denomina la recta real completada. Las reglas de calculosobre R son las reglas usuales sobre los numeros reales con las convenciones:

• para todo x ∈ R se tiene (+∞) + x = +∞ y (−∞) + x = −∞;

• para todo x ∈]0,+∞[, (+∞)× x = +∞ y (−∞)× x = −∞;

• para todo x ∈]−∞, 0[, (+∞)× x = −∞ y (−∞)× x = +∞;

• (+∞)× 0 = 0 y (−∞)× 0 = 0;

• si x, y, z ∈ R y z 6= +∞ y z 6= −∞, entonces x+ z = y + z =⇒ x = y.

• (+∞) + (+∞) = +∞ y (−∞) + (−∞) = −∞;

• (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.

Notese que la operacion (+∞) + (−∞) no esta definida y es, por lo tanto, in-determinada.

Los conjuntos R+ = [0,+∞] y R− = [−∞, 0] suelen ser muy utiles. La im-portancia del primero esta ilustrada por el hecho de que toda sucesion crecientees convergente. En efecto, sea (xn)n∈N una sucesion creciente de numeros realesde R+; si esta sucesion es mayorada por un numero real positivo, sabemos queconverge hacia un elemento de [0,+∞[; en el caso contrario, sabemos que tien-de hacia +∞. En consecuencia, la suma de una serie

∑+∞n=0 xn con xn ∈ R+

es siempre convergente en R+ puesto que es el lımite de la sucesion creciente

obtenida a partir de las sumas parciales SN =∑N

n=0 xn. Esta suma es finita siy solo si la serie converge en el sentido usual.

Fijemos una ultima notacion. En la recta real R, notaremos3 por (a, b), cona ≤ b, los intervalos abiertos, cerrados, semi-abiertos o semi-cerrados, infinitoso no (es decir ]a, b[, [a, b], [a, b[, [a,+∞[ o ]−∞, b]) cuando la naturaleza de susextremos sea irrelevante.

2Tambien llamada funcion caracterıstica y notada χA.3Atencion: en la literatura anglosajona se nota (a, b) al intervalo abierto ]a, b[.


2.1.2 Definiciones y ejemplos elementales

En esta subseccion comenzamos la descripcion de las nociones necesarias paraconstruir medidas con toda generalidad. Tenemos, pues, una primera definicion.

Definicion 2.1.2 (Algebra de partes). Un subconjunto A ⊂ P(X) es unaalgebra de partes sobre X si:

1) El conjunto vacıo ∅ y el conjunto X pertenencen a A.

2) A es estable al pasar al complemento: si A ∈ A entonces Ac ∈ A.

3) A es estable por reunion finita y, por lo tanto, por interseccion finita: siA y B pertenencen a A, entonces A ∪B y A ∩B pertenencen a A.

Notese que una algebra es estable por diferencia y por diferencia simetrica.En efecto, si A,B ∈ A, es suficiente darse cuenta de que A \ B = A ∩ Bc

para obtener la estabilidad por diferencia y diferencia simetrica. En el ejercicio2.2, explicamos brevemente la terminologıa de algebra utilizada en la definicion2.1.2.

Expongamos un ejemplo muy sencillo. Sea X = 0, 1, 2, 3 el conjunto sobreel cual se han definido A1 = ∅, 0, 1, 2, 3, X, A2 = ∅, 0, 1, 2, 3, X yA3 = P(X), el lector no tendra ninguna dificultad en verificar que estos tresconjuntos son algebras de partes sobre X . Observamos con esto que, al igualque en topologıa, un mismo conjunto puede estar dotado de varias algebras departes y que se dispone de una relacion de orden dada por la inclusion entrelas diferentes algebras definidas sobre un mismo conjunto. Tenemos ası, en elejemplo anterior, que A1,A2 ⊂ A3 pero que A1 6⊂ A2 y A2 6⊂ A1.

Demos ahora algunos ejemplos que seran utilizados a lo largo de todo estecapıtulo.

(i) El algebra mas grande, en el sentido de la inclusion, definida sobre unconjunto X , es P(X). La mas pequena, en cambio, contiene solo doselementos: ∅ y X . Notemos que estos dos extremos suelen ser poco utilesen la practica. Expondremos, en los ejemplos siguientes, como definiralgebras mas adaptadas a nuestras necesidades.

(ii) Si X es un conjunto cualquiera, diremos que π es una particion de X si esuna familia (Ai)i∈I de partes no vacıas, dos a dos disjuntas que recubrenX . Dada una particion π sobre X , es posible definir una algebra A alconsiderar los conjuntos A para los que existe J ⊂ I con A =

⋃

i∈J Ai. Porejemplo, dado un conjunto X y un subconjunto A, podemos considerar laparticion π = A,X \A y obtener el algebra A = ∅, A,X \A,X. Si laparticion es finita y posee N elementos, el algebra A tiene 2N elementos.

(iii) Consideremos la recta real R. Diremos que un conjunto I pertenece alalgebra A si I se puede escribir como una reunion finita de intervalosde la forma (a, b) con a, b ∈ R. Vemos, sin ninguna dificultad, que A es,


efectivamente un algebra, puesto que se tiene R =]−∞,+∞[ y ∅ =]a, a[y que el complementario de un intervalo (a, b) se escribe como unionfinita de intervalos. No es difıcil darse cuenta que todo elemento I de estaalgebra se puede escribir como reunion finita de intervalos disjuntos.

Diremos que dos intervalos son separados si su union no es un intervalo.Esta condicion exige que los intervalos sean disjuntos y, ademas, prohibeel caso (a, b] y ]b, c) ası como el caso (a, b[ y [b, c). Se puede ver que todoelemento del algebra descrita anteriormente se puede expresar de formaunica como la union finita de intervalos dos a dos separados (vease elejercicio 2.4).

(iv) Decimos que una familia C es estable por interseccion si la interseccionde dos elementos A y B de C pertenece a C. Sean X un conjunto y Cuna familia de partes de X , estable, por interseccion que contiene a X ,y tal que el complemento de todo elemento de C es una union finita deelementos de C. Podemos, entonces, considerar el algebra A formada portodas las uniones finitas de elementos de C.

(v) Sea (Xk)1≤k≤n una familia finita de conjuntos. Dotamos a cada Xk de unalgebra de partes Ak. Consideramos el espacio producto X =

∏nk=1Xk

y estudiamos la familia F formada por los adoquines, definidos por P =∏n

k=1 Ak, en donde cada Ak es un elemento de Ak. La familia F es,entonces, estable por interseccion y reunion finita y el complemento deun adoquın puede escribirse como la union finita de adoquines. La familiaF es, por lo tanto, un algebra.

(vi) El ejemplo mas importante de adoquines es, sin duda, el definido sobreRn como el producto cartesiano de intervalos (ak, bk):

A =n∏

k=1

(ak, bk). (2.4)

Un subconjunto Γ de Rn sera adoquinable si es una reunion finita deadoquines. Notese que todo conjunto adoquinable se puede expresar co-mo la reunion finita disjunta de adoquines. Los conjuntos adoquinablesconstituyen una algebra de partes (vease el ejercicio 2.5).

(vii) Consideremos, para terminar, el conjunto Ω = 0, 1N∗

y recordemos queun elemento de Ω es una sucesion infinita ω = (ω1, ω2, · · · ), en dondeωi es igual a 0 o 1 para todo i. Este conjunto tiene una interpretacionprobabilıstica importante. Podemos, por ejemplo, relacionar un punto ωcon un juego de “cara o sello” infinito: al lanzar i veces una monedadiremos que ωi vale 0 si es cara y 1 si es sello y, entonces, el conjunto Ωdescribe todas las posibilidades de este juego.

Para cada entero n ≥ 1, sean α = α1, ..., αn ∈ 0, 1n las sucesionesfinitas de longitud n; definamos Sα = ω ∈ Ω : ω1 = α1, ..., ωn = αncomo el conjunto de sucesiones infinitas que comienzan por α. El lector

puede notar, sin mayor dificultad, que los conjuntos Sα forman una par-ticion de Ω, y por lo tanto, podemos definir el algebra Fn asociada a estaparticion segun el ejemplo (ii) anterior. No es difıcil ver que la sucesionFn es creciente y que se tiene Fn ⊂ Fn+1. Ademas, la union

⋃

n≥1 Fn estambien un algebra sobre Ω.

La principal utilidad de una algebra de partes es el hecho de servir dedominio de definicion de las funciones aditivas de conjuntos. Estas funcionesconstituyen una primera etapa en la construccion de medidas de conjuntos.

Definicion 2.1.3 (Funcion aditiva de conjuntos). Sean X un conjunto y Aun algebra sobre X. Una funcion positiva aditiva de conjuntos sobre (X,A) esuna aplicacion

m : A −→ R+

que verifica las dos propiedades siguientes

1) m(∅) = 0;

2) para todo A y B en A, se tiene la implicacion

A ∩B = ∅ =⇒ m(A ∪B) = m(A) +m(B).

Diremos, ademas, que m es finita si m(X) < +∞, este numero se llama lamasa total de m.

Un primer ejemplo elemental de funcion aditiva de conjuntos esta dado porla funcion cardinal, definida en la pagina 2, sobre un conjunto X que poseeun numero finito de elementos y dotado del algebra A = P(X). Invitamos allector a verificar esta aseveracion; esto constituye un ejercicio simple pero muyinstructivo.

Presentemos tres ejemplos mas de funciones aditivas de conjuntos asociadasa las algebras dadas en los puntos (iii), (vi) y (vii), respectivamente.

(a) Consideremos el algebra A definida por la reunion finita de intervalos.Dado que todo elemento I ∈ A se escribe como reunion finita de inter-valos disjuntos I =

⋃ni=1(ai, bi); definimos la funcion ℓ que asocia a cada

elemento I su longitud por

ℓ(I) =

n∑

i=1

bi − ai. (2.5)

Notese que se tiene ℓ(∅) = 0, ademas, si uno de los extremos de losintervalos (ai, bi) es infinito, entonces ℓ(I) = +∞.

Mostremos que esta expresion no depende de la descomposicion adoptada.En efecto, si el conjunto I =

⋃pk=1Nk =

⋃ql=1Ml se escribe de dos

maneras distintas como union de intervalos disjuntos, podemos escribirentonces I =

⋃

kl Okl en donde los intervalos Okl = Nk∩Ml son disjuntos.


A partir de esta observacion no es difıcil verificar que, si un intervalo I esreunion finita de intervalos disjuntos (ai, bi), entonces la longitud de I esla suma de las longitudes de estos intervalos. Obtenemos ası una funcionaditiva de conjuntos.

Veamos dos ejemplos:

– si I = [0, 1], o si I =]0, 1[, se tiene ℓ(I) = 1; en particular, la longitudde los intervalos es independiente de la naturaleza de sus extremos.

– si a ∈ R y si I = [a, a] entonces ℓ(I) = 0; es decir, todo punto tieneuna longitud nula. De modo general, si I es una reunion finita depuntos, entonces ℓ(I) = 0.

(b) Estudiamos aquı el algebraA formada por los adoquines de Rn, y conside-ramos el analogo n-dimensional de la funcion anterior. SiA =

∏nk=1(ak, bk)

es un adoquın de Rn, diremos que su volumen, que notaremos vol(A), esnulo si uno de los intervalos es de la forma [aj , aj ] (hablamos, entonces,de un adoquın plano). En el caso contrario, su volumen esta dado por elproducto

vol(A) =

n∏

k=1

(bk − ak). (2.6)

El lector observara que, si n = 2, esta formula corresponde al area de unrectangulo y, si n = 3, corresponde al volumen de un paralelepıpedo.

Si Γ es un conjunto adoquinable, podemos expresarlo como la union finitade adoquines disjuntos Γ =

⋃Nj=1 Aj . Entonces, se define

vol(Γ) =

N∑

j=1

vol(Aj). (2.7)

El lector verificara sin mayor dificultad que esta funcion satisface lascondiciones de la definicion 2.1.3 y es, por lo tanto, una funcion aditivade conjuntos (las etapas son muy similares a las explicitadas en la parte(a), vease mas detalles en el ejercicio 2.6).

Demos un ejemplo. Si consideramos, en el plano R2, el conjunto ado-quinable Γ del grafico 2.1 y queremos calcular su area por medio de laformula (2.7), podemos expresarlo como la union finita de los adoquinesA1,...,A8, cuya area se evalua facilmente con la expresion (2.6).

(c) Tomemos el espacio Ω = 0, 1N∗

, al cual dotamos del algebra A =⋃

n≥1 Fn. Para todo A ∈ A, se tiene que A ∈ Fn para algun n. Porlo tanto, este conjunto A es la union de un cierto numero -que pode-mos suponer igual a k- de conjuntos de tipo Sα. Definamos, entonces, laaplicacion P de la siguiente manera:

P(A) = k2−n. (2.8)


Γ

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

Figura 2.1: Un conjunto adoquinable

Observese que el entero n no es unico puesto que el conjunto A pertenecetambien a Fm si m ≥ n; luego hay que verificar que la forma de calcularP(A) no depende del entero n escogido. En efecto, cuando se pasa de na n + 1, para cada α de longitud n, existen dos sucesiones de longitudn+1 que comienzan por α: (α, 0) y (α, 1). Dado que el conjunto Sα es launion disjunta de los conjuntos S(α,0) y S(α,1), se tiene que P(Sα) = 2−n

mientras que P(S(α,0)) y P(S(α,1)) valen exactamente la mitad, lo quemuestra que el calculo de P(A) no depende del n escogido.

Verifiquemos ahora que esta aplicacion P es una funcion aditiva de con-juntos. Vemos sin dificultad que P(∅) = 0 y que P(Ω) = 1, lo que muestraque la masa total de Ω es igual a 1. Ademas, si A y B son disjuntosy pertenecen a A, entonces pertenecen a un mismo Fn, para algun n,y basta contar el numero de Sα contenidos en A ∪ B para obtener queP(A ∪B) = P(A) + P(B).

Calculemos, a manera de ejemplo, la cantidad P(A) en donde A = ω ∈Ω : ω1 = 0. Puesto que todas las sucesiones ω comienzan por 0 o por 1,se tiene que A ∈ F1 y que P(A) = 1/2.

La manera de asignar la longitud y el volumen para estos conjuntos senci-llos (al menos para los dos primeros) es bastante natural, y sigue muy de cercala intuicion geometrica que podemos hacernos de una “medida”. Veremos, alo largo de este capıtulo, como generalizar estas ideas a otros conjuntos mascomplicados al introducir las herramientas adecuadas.

Para terminar, exponemos tres consecuencias simples, pero importantes, dela aditividad.

Proposicion 2.1.1. Sean X un conjunto, A un algebra sobre X y m : A −→R+ una funcion aditiva de conjuntos. Tenemos, entonces, las propiedades:

2.2 σ-algebras y medidas 57

1) Crecimiento: si A y B pertenecen a A con A ⊂ B, tenemos la mayora-cion

m(A) ≤ m(B).

2) Aditividad fina: si A1, ..., An son elementos de A disjuntos dos a dos,entonces se tiene la igualdad

m

(n⋃

i=1

Ai

)

=

n∑

i=1

m(Ai).

3) Aditividad fuerte: para todo A y B pertenecientes a A, se tiene

m(A ∪B) +m(A ∩B) = m(A) +m(B).

Demostracion. La verificacion es muy sencilla. Para la primera propiedad bastaobservar que, dado que se tiene la inclusion A ⊂ B, se puede escribir B =A∪B \A, lo que nos da la identidad m(B) = m(A) +m(B \A) y, por lo tanto,m(A) ≤ m(B). La segunda propiedad se obtiene razonando por recurrencia apartir de la definicion 2.1.3, mientras que la ultima se basa en las observacionessiguientes:

m(A ∪B) +m(A ∩B) = (m(A \B) +m(B \A) +m(A ∩B)) +m(A ∩B)

= m(A) +m(B).

2.2 σ-algebras y medidas

Para poder sacar todo el provecho y utilidad de los dos objetos que hemosdefinido en la seccion anterior, es necesario realizar una etapa adicional. Estaetapa consiste en generalizar, como habıamos anunciado en la introduccionde este capıtulo, las nociones de algebra y de funcion aditiva de conjuntos alas operaciones numerables. Veremos, en esta seccion como trabajar en estenuevo marco, y expondremos la generalizacion de estas nociones, sus diferentescaracterısticas y algunos ejemplos importantes en las secciones 2.2.1 y 2.2.2,respectivamente. En la seccion 2.2.3, estudiaremos las clases monotonas, cuyaspropiedades son de gran importancia y utilidad.

Antes de continuar, nos detendremos un momento para estudiar algunasconsideraciones relativas a los conjuntos numerables. Hemos presentado ya elconcepto de conjunto numerable en la pagina 2 del capıtulo 1; esta nociones esencial, porque vamos a construir objetos que son justamente estables alconsiderar operaciones numerables y, es por lo tanto, necesario precisar algunosaspectos de este tipo de conjuntos. En particular, necesitaremos el siguienteteorema.


Teorema 2.2.1. Sea (A1, ..., Ak) una familia finita de conjuntos numerables.Entonces el producto cartesiano A1 × · · ·×Ak es numerable. Se tiene, ademas,que si (An)n∈N es una familia numerable de conjuntos numerables, entonces launion tambien es numerable.

Demostracion. Para demostrar la primera asercion, es suficiente construir unainyeccion del conjunto N× · · · × N

︸︷︷︸

k veces

en N. Para ello, podemos considerar la apli-

cacion(n1, ..., nk) 7−→ 2n13n25n3 · · · pnk

en donde p es el k-esimo numero primo.Para la demostracion de la segunda asercion, observamos que el conjunto

numerable N×N es la union disjunta de los conjuntos N×n. Si los conjuntosAn son numerables, se puede encontrar una inyeccion de An en N × n yconstruir ası una inyeccion de

⋃

n∈NAn en N×N, con lo que tenemos concluidola demostracion del teorema.

Exponemos algunos ejemplos importantes de conjuntos numerables que sepueden construir utilizando el resultado precedente:

(i) El conjunto Q de los numeros racionales es numerable, pues la aplicacionque asocia a todo numero racional de la forma p/q (expresado en unafraccion irreductible) la pareja (p, q) es una inyeccion de Q en Z× N.

(ii) Ası mismo, el conjunto Qn formado por los puntos de Rn cuyas coorde-nadas son racionales es numerable.

(iii) El conjunto N es, evidentemente, numerable, mientras que el intervalo[0, 1] y el conjunto 0, 1N∗

no lo son; decimos entonces que estos dosultimos conjuntos tienen la potencia (o el cardinal) del continuo.

2.2.1 σ-algebras

Pasemos ahora a la generalizacion de la nocion de algebra con la definicionsiguiente.

Definicion 2.2.1 (σ-algebra, conjunto medible). Una σ-algebra (o tribu) A

sobre un conjunto dado X es un algebra definida sobre X, estable por reunionnumerable y por interseccion numerable. De manera mas precisa, un subcon-junto A ⊂ P(X) es una σ-algebra si se verifican las condiciones:

1) los conjuntos ∅ y X pertenecen a A ;

2) si A ∈ A , entonces Ac ∈ A ; y

3) para toda familia numerable (An)n∈N de elementos de A , tenemos

+∞⋃

n=0

An ∈ A y+∞⋂

n=0

An ∈ A .


Un conjunto X dotado de una σ-algebra A sera llamado espacio medible ysera notado por (X,A ). Los elementos de la σ-algebra A seran denominadosconjuntos A -medibles.

Observacion 2.1. Por esta definicion, los elementos de una σ-algebra sonjustamente los candidatos naturales de conjuntos medibles a los cuales se lesasignara un “peso” o “medida” en la siguiente seccion.

Notemos que existe una relacion de orden natural entre las σ-algebras defi-nida por la inclusion. En efecto, sean A y B dos σ-algebras; diremos, pues, queA esta contenida en B y lo notaremos por A ⊂ B si todo elemento A ∈ A ,pertenece a B. En particular, la σ-algebra mas grande esta dada por P(X) yla mas pequena por ∅, X.

Notese, ademas, que toda σ-algebra es, trivialmente, un algebra, pero queno se tiene la recıproca; observamos, sin embargo, que toda algebra que poseeun numero finito de elementos es una σ-algebra.

Dos de los ejemplos de algebras dados en la pagina 52, P(X) y ∅, X,son, trivialmente, σ-algebras. Pero, a la luz de la caracterizacion que acabamosde fijar de los conjuntos medibles, estos extremos no son muy utilizables; enefecto, por un lado tendrıamos que todo conjunto es medible; por el otro, solose dispondrıa de dos conjuntos medibles.

La proposicion 2.2.4 y el teorema 2.2.2, que presentamos a continuacion,nos indicaran como obtener σ-algebras mas utiles e interesantes. Veamos antesun primer resultado.

Lema 2.2.1. Si A es una σ-algebra sobre un conjunto X y Y es un subconjuntoA -medible de X, entonces el conjunto A|Y = A ∩ Y = B = A ∩ Y : A ∈ A es una σ-algebra sobre el conjunto Y .

Demostracion. No es difıcil ver que ∅ ∈ A|Y y que el conjunto A|Y es estableal pasar al complemento. En efecto, si B ∈ A|Y , entonces B = A ∩ Y , y comoBc = Y \ B = Y ∩ Ac y Ac ∈ A , se deduce que Bc ∈ A|Y . Finalmente, si(Bn)n∈N es una familia de elementos de A|Y , se tiene

+∞⋃

n=0

Bn =

+∞⋃

n=0

(An ∩ Y ) =

(+∞⋃

n=0

An

)

∩ Y ∈ A|Y

y+∞⋂

n=0

Bn =+∞⋂

n=0

(An ∩ Y ) =

(+∞⋂

n=0

An

)

∩ Y ∈,A|Y

lo que termina la prueba.

Antes de pasar a la exposicion de otros resultados concernientes a las σ-algebras, presentamos, en la observacion 2.2, algunos hechos generales de lateorıa de conjuntos que son de uso permanente.

Recordemos que una sucesion de conjuntos (An)n∈N es creciente si se tieneAn ⊂ An+1 para todo n, y es decreciente si la inclusion An ⊃ An+1 es validapara todo n.


Observacion 2.2. En la teorıa de la medida, es a veces necesario representarla union o la interseccion de una sucesion (An)n∈N de elementos de una σ-algebra A por medio de una reunion o interseccion de elementos dos a dosdisjuntos de A , o de una sucesion creciente o decreciente de elementos de A .

Para alcanzar estos objetivos, procedemos de la manera siguiente.

1. Para encontrar una sucesion de elementos de A , dos a dos disjuntos, demisma union que la de la sucesion original (An)n∈N, escribimos

B0 = A0, B1 = A1 \A0, ..., Bn = An \ (A0 ∪ A1 ∪ ... ∪ An−1), ...

Obtenemos, entonces, una nueva sucesion (Bn)n∈N de elementos de A

con las caracterısticas buscadas.

2. Para encontrar una sucesion creciente de elementos de A , cuya union seaigual a la de la sucesion inicial (An)n∈N, fijamos

C0 = A0, C1 = A0 ∪ A1, ..., Cn = (A0 ∪ A1 ∪ ... ∪ An), ...

Entonces la sucesion (Cn)n∈N de elementos de A es creciente, y su uniones⋃

n∈N

An.

3. Finalmente, para encontrar una sucesion decreciente de elementos de A ,cuya interseccion sea igual a la interseccion de la sucesion (An)n∈N, defi-nimos

D0 = A0, D1 = A0 ∩ A1, ..., Dn = (A0 ∩ A1 ∩ ... ∩ An), ...,

y obtenemos la sucesion (Dn)n∈N deseada.

Pasemos ahora a nuestro primer resultado, que nos da un criterio util paraverificar bajo que condiciones un algebra es una σ-algebra.

Lema 2.2.2. Sean X un conjunto y A un algebra sobre X. Entonces A es unaσ-algebra si una de las dos condiciones es verificada.

1) A es estable por reunion de sucesiones crecientes de conjuntos.

2) A es estable por interseccion de sucesiones decrecientes de conjuntos.

Demostracion. Supongamos que se tiene la condicion 1). Puesto que A es unaalgebra, es suficiente verificar que es estable por reunion numerable; en efecto,por paso al complemento se deducen las otras condiciones de la definicion 2.2.1.Sea, pues, (Ak)k∈N una sucesion de conjuntos de A, y, para cada j ∈ N, defina-

mos Bj =⋃j

k=0 Ak, de manera que la sucesion de conjuntos (Bj)0≤j≤n es cre-ciente y, dado que A es una algebra, cada Bj pertenece a A. Por la condicion 1),

tenemos que⋃+∞

j=0 Bj pertenece a A, pero, como se tiene⋃+∞

k=0 Ak =⋃+∞

j=0 Bj ,se deduce que la union numerable de los conjuntos (Ak)k∈N pertenece al algebraA y es, por lo tanto, una σ-algebra.


Para terminar la demostracion, vamos a verificar que 2) =⇒ 1). En efecto,si se tiene 2), y si (Ak)k∈N es una sucesion decreciente de conjuntos de A,entonces

⋂+∞k=0 Ak ∈ A. Dado que A es una algebra, se tiene

⋃+∞k=0 A

ck ∈ A.

Como la sucesion (Ack)k∈N es creciente, se obtiene que A es estable por reunion

de sucesiones crecientes de conjuntos. Hemos verificado la implicacion 2) =⇒ 1),lo que termina la prueba.

El comportamiento de las σ-algebras con respecto a las aplicaciones en-tre conjuntos esta explicado en los dos resultados a continuacion. Empecemosnotando que la imagen directa de una σ-algebra no es, por lo general, unaσ-algebra. Rogamos al lector ver un contra ejemplo en el ejercicio 2.7. Dispo-nemos, en cambio, de las proposiciones siguientes, que ilustran la utilidad delas imagenes recıprocas.

Proposicion 2.2.1. Sean X,Y dos conjuntos y f : X −→ Y una aplicacion. Laimagen recıproca de una σ-algebra B definida sobre Y determina una σ-algebraA definida sobre X.

Demostracion. La coleccion A ⊂ P(X) esta determinada por A = A =f−1(B) : B ∈ B. Debemos comprobar que (X,A ) es un espacio medible.Esta verificacion se deduce, inmediatamente, de las propiedades de la imagenrecıproca explicitadas en (2.1-2.3); usando estas formulas, no es difıcil ver que∅, X ∈ A y que la union o la interseccion numerable de elementos de A es,aun, un elemento de A .

Proposicion 2.2.2. Sean f una aplicacion de X en Y y A una σ-algebradefinida sobre X. El conjunto de las partes B de Y tales que f−1(B) ∈ A esuna σ-algebra sobre Y llamada la σ-algebra inducida de A por la aplicacionf .

Demostracion. Para ver que el conjunto B = B ∈ P(Y ) : f−1(B) ∈ A esuna σ-algebra es suficiente demostrar que es estable por paso al complementoy por union numerable. La demostracion se basa enteramente en las formu-las (2.1-2.3). Sea B un elemento de B; se tiene, entonces, que f−1(B) ∈ A

y (f−1(B))c ∈ A . Dado que se tiene la identidad (f−1(B))c = f−1(Bc), sededuce la estabilidad por complemento. Se procede de forma similar para com-probar la estabilidad por union numerable. En efecto, si (Bn)n∈N es una fa-milia numerable de elementos de B, mediante la identidad

⋃

n∈N f−1(Bn) =

f−1(⋃

n∈NBn

), se obtiene que

⋃

n∈NBn pertenece a B, lo que concluye lademostracion.

El siguiente resultado caracteriza la cardinalidad de las σ-algebras cuandoel conjunto de base utilizado es infinito. De manera mas precisa, tenemos laproposicion siguiente.

Proposicion 2.2.3. Toda σ-algebra infinita A definida sobre un conjunto in-finito X es no numerable.


Este hecho tiene consecuencias importantes; por ejemplo, si tenemos unaσ-algebra infinita definida sobre la recta real R, su cardinalidad nos impideestudiarla por medio de una recurrencia usual sobre los enteros.

Demostracion. Procedemos por contradiccion; es decir, consideremos una σ-algebra infinita A numerable. Para todo x ∈ X , definamos Ax = A ∈ A :x ∈ A y Ax =

⋂

A∈AxA. Notese que Ax es un elemento de A , puesto que

hemos supuesto que la σ-algebra A es numerable.Es posible, entonces, obtener una particion de X al definir F = (Ax)x∈X .

En efecto, se puede ver que si y ∈ Ax, entonces Ax = Ay. El conjunto F esinfinito; de no serlo, todo elemento de la σ-algebra A serıa la union disjunta deelementos de F y A serıa finita. Tenemos, pues, que F es al menos numerable,pero vemos que P(F ), cuyo cardinal es no numerable, se inyecta facilmente enA , de modo que el cardinal de A es no numerable.

La proposicion anterior nos muestra que la nocion de σ-algebra puede serun poco delicada de manipular, y quisieramos fijar, de una manera un poco masintuitiva, el tipo de conjuntos que consideramos medibles. Ası, por ejemplo, enel caso de la recta real R, nos gustarıa tener que al menos todos los intervalosde la forma (a, b), con a, b ∈ R, sean conjuntos medibles.

Dicho de otra manera, quisieramos estar seguros de que, en la σ-algebrasobre la cual queremos trabajar, no nos estamos olvidando ningun conjuntoimportante. Este objetivo puede alcanzarse por medio de la proposicion 2.2.4y del teorema 2.2.2, que exponemos a continuacion.

Proposicion 2.2.4. Sea (Ai)i∈I una familia de σ-algebras definidas sobre unconjunto X. Entonces su interseccion, definida por,

⋂

i∈I

Ai = A ∈ P(X) : A ∈ Ai para todo i ∈ I,

es una σ-algebra.

Demostracion. La verificacion no causa ninguna dificultad. Vemos, sin proble-ma, que los dos conjuntos X y ∅ pertenecen a

⋂

i∈I

Ai; ademas, si A ∈ Ai para

todo i ∈ I, se tiene, por definicion, que Ac ∈ ⋂

i∈I

Ai, lo que hace que esta inter-

seccion sea estable al paso del complemento. De manera similar, se prueba lapropiedad de estabilidad por interseccion y reunion numerables.

Observacion 2.3. La reunion de una familia de σ-algebras no es, en general,una σ-algebra.

Es suficiente considerar X un conjunto, A,B ⊂ X dos subconjuntos, y defi-nir las dos σ-algebras siguientes A1 = ∅, A,Ac, X y A2 = ∅, B,Bc, X paraver que A1 ∪ A2 no es una σ-algebra.

A partir de la proposicion anterior, tenemos el teorema siguiente.


Teorema 2.2.2 (σ-algebra engendrada). Sea K ⊂ P(X) un conjunto cual-quiera de partes de X. La interseccion de todas las σ-algebras que contienenK es una σ-algebra, que se denomina la σ-algebra engendrada por K, y quenotaremos σ(K). Esta es la mas pequena σ-algebra que contiene K.

Si, ademas, se tiene para J , un conjunto de partes de X, las inclusionesK ⊂ J ⊂ σ(K), entonces se tiene σ(J ) = σ(K).

Antes de pasar a la demostracion, demos un ejemplo muy simple de σ-algebra engendrada. Sea X un conjunto no vacıo y A un subconjunto de X ; siconsideramos K = A, entonces obtenemos σ(K) = ∅, A,Ac, X.

Demostracion. Sea C la coleccion de todas las σ-algebras sobre X que con-tienen K. Este conjunto no es vacıo, pues contiene P(X). Ahora, gracias a laproposicion 2.2.4, la interseccion de todas las σ-algebras de C es una σ-algebraque contiene K, y esta contenida en todas las σ-algebras que contienen K: σ(K)es, por lo tanto, la mas pequena σ-algebra que contiene K.

Ahora mostremos que se verifica la implicacion K ⊂ J ⊂ σ(K) =⇒ σ(J ) =σ(K). Por un lado, tenemos la inclusion σ(J ) ⊂ σ(K), dado que σ(J ) es la maspequena σ-algebra que contiene J . Por otro lado, σ(K) es la mas pequena σ-algebra que contiene K, y se tienen, entonces, las inclusiones K ⊂ J ⊂ σ(K) ⊂σ(J ), de donde se deduce la igualdad deseada.

Este teorema nos proporciona una gran libertad para la obtencion de σ-algebras. En particular, si seguimos las notaciones del teorema 2.2.2, tenemosque la σ-algebra σ(K) contiene por construccion el conjunto K que es, justa-mente, la familia de conjuntos que deseamos que sean medibles, de manera quehemos logrado nuestro objetivo.

Sin embargo, a pesar de que la definicion de σ-algebra engendrada es sen-cilla, no es constructiva y, por lo general, la σ-algebra σ(K) contiene muchosconjuntos, no solamente los que consideramos interesantes, sino tambien suscomplementos, sus intersecciones y uniones numerables, lo que hace que la des-cripcion de σ(K) pueda ser delicada, como tendremos la oportunidad de verloposteriormente.

Antes de dar la definicion de σ-algebra Boreliana, exponemos un resulta-do en donde mostramos como interactuan las σ-algebras engendradas con lasimagenes recıprocas.

Proposicion 2.2.5. Sean f una aplicacion de X en Y y K un conjunto departes de Y . La imagen recıproca por f de la σ-algebra σ(K) engendrada porK es la σ-algebra engendrada por la imagen recıproca de K. Es decir:

f−1(σ(K)) = σ(f−1(K)). (2.9)

Demostracion. Vamos a demostrar que se tiene la doble inclusion de conjuntos

f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)) y f−1(σ(K)) ⊂ σ(f−1(K)).

La primera inclusion no es difıcil, puesto que, por la proposicion 2.2.1, se tie-ne que f−1(σ(K)) es una σ-algebra sobre X que contiene f−1(K). Dado que


σ(f−1(K)) es la mas pequena de las σ-algebras que contiene f−1(K), se obtiene,entonces, la inclusion deseada f−1(σ(K)) ⊃ σ(f−1(K)).

Para obtener la inclusion en el otro sentido, notamos con C la σ-algebrasobre Y inducida por f de σ(f−1(K)); es decir, el conjunto de partes C de Yque verifican f−1(C) ∈ σ(f−1(K)). Se tiene que C contiene K y, en particular,σ(K), y por lo tanto obtenemos

f−1(σ(K)) ⊂ f−1(C ) ⊂ σ(f−1(K)),

con lo que concluye la demostracion.

El lector puede pensar, sobre la base de las definiciones de algebra 2.1.2y de σ-algebra 2.2.1 y de las diferentes manipulaciones que hemos presentadohasta ahora, que existe un paralelismo entre estos conceptos y la nocion de to-pologıa T sobre X . Hay sin embargo una diferencia esencial entre estos objetos:mientras que, en el primer caso, exigimos que el complemento de un conjuntopertenezca a la σ-algebra, el complemento de un abierto no es, por lo general,un abierto.

Puesto que para estudiar, entre muchas otras cosas, las nociones de lımite yde continuidad de las aplicaciones es indispensable disponer de una estructuratopologica, es muy importante combinar las caracterısticas de las σ-algebras conlos abiertos de un conjunto X . Esta combinacion de estructuras se realiza conla definicion siguiente, que constituye el ejemplo mas importante de σ-algebraengendrada.

Definicion 2.2.2 (σ-algebra Boreliana4). Sea X un espacio topologico. La σ-algebra engendrada por los abiertos de X se llama la σ-algebra Boreliana deX, y sera notada por Bor(X). Llamaremos conjunto boreliano (o una parteboreliana, o mas simplemente, un boreliano) de un espacio topologico X todoelemento de la σ-algebra Boreliana Bor(X).

Observacion 2.4. Dado que toda σ-algebra es estable por paso al complemen-to, se tiene que la σ-algebra Boreliana de un conjunto X tambien es engendradapor los cerrados de X .

Vamos a indicar dos ejemplos. En el caso de los borelianos de Rn, se tienela caracterizacion siguiente.

Proposicion 2.2.6. Los conjuntos adoquinables definidos por la formula (2.4)engendran la σ-algebra Boreliana Bor(Rn).

Demostracion. Vamos a ver que todo abierto puede expresarse como reunionnumerable de adoquines: esto implica entonces que la union o la interseccionnumerable de abiertos puede expresarse por medio de una familia numerablede conjuntos adoquinables. Ası habremos probado que esta familia engendra laσ-algebra Boreliana Bor(Rn).

4Emile Borel (1871-1956), matematico frances, alumno de la Ecole Normale Superieure.

Sean pues U un abierto de Rn y x un punto cualquiera de U . Por definicionde conjunto abierto, existe un real r > 0 tal que la bola abierta de centro x yde radio r esta contenida en U .

Fijemos ahora un punto y ∈ Rn, cuyas coordenadas sean racionales, tal quedn(x, y) < r/3, y fijemos un real ρ ∈]r/3, 2r/3[. Vemos entonces que la bolacerrada de centro y y de radio ρ contiene el punto x y hemos demostrado quetodo abierto es reunion numerable de bolas cerradas.

Basta ahora repetir el mismo razonamiento utilizando los adoquines deter-minados por extremidades racionales y centrados en los mismos puntos paraobtener el resultado deseado.

En la seccion 2.4.1, haremos una descripcion mas detallada de los conjuntosBorelianos de Rn. Nos limitaremos aquı a una exposicion muy sencilla con unospocos ejemplos de este tipo de conjuntos.

(i) El conjunto de los numeros naturales N y el conjunto de los enteros rela-tivos Z son conjuntos borelianos de Bor(R), puesto que se escriben comouna reunion numerable de cerrados.

(ii) El conjunto de los numeros racionales Q, ası como el conjunto Qn, sonconjuntos borelianos. En efecto, por el teorema 2.2.1, estos conjuntostambien pueden expresarse como una reunion numerable de cerrados.

(iii) Los complementos de los conjuntos anteriores son igualmente borelianos.En particular, el conjunto de los numeros irracionales I = R \ Q es unconjunto boreliano.

(iv) De modo mas general podemos decir que casi todo subconjunto de Rn

“interesante” en analisis es un conjunto boreliano.

(v) En el caso de la recta real completada R, todo abierto de esta recta esla union numerable de intervalos abiertos de tipo ]a, b[ con a, b ∈ R ode intervalos de tipo ]b,+∞] o [−∞, a[. Es posible entonces, adaptar sinproblema la demostracion de la proposicion anterior para mostrar que lacoleccion de este tipo de intervalos generan la σ-algebra Bor(R).

Veamos otro ejemplo de σ-algebra boreliana al considerar el conjunto Ω =0, 1N∗

. Recordemos que es un espacio metrico dotado de la distancia definidapor la formula

dΩ(ω, ω′) =

+∞∑

j=1

2−j |ωj − ω′j|,

de tal manera que las bolas cerradas estan determinadas por B(ω, r) = ω′ ∈Ω : dΩ(ω, ω

′) ≤ r y la σ-algebra de los borelianos Bor(0, 1N∗

) es, entonces,engendrada por este tipo de conjuntos. El lector observara que los conjuntosSα definidos en la pagina 53 pueden ser identificados con estas bolas cerradasy admiten las diferentes operaciones que se pueden efectuar sobre ellas; por

ejemplo, B(0, 1/16) = ω ∈ Ω : ω1 = 0, ω2 = 0, ω3 = 0 = Sα con α = 0, 0, 0,de forma que B(0, 1/16) ⊂ F3.

Observamos que el algebra⋃

n≥1 Fn definida en el ejemplo (vii) no es unaσ-algebra, y que la σ-algebra boreliana es mucho mas grande: en efecto, paraω ∈ Ω, el conjunto de un elemento ω no pertenece a ningun Fn, en cambio,si definimos las sucesiones αk = (ω1, ..., ωk), el conjunto ω es la interseccionde los conjuntos Sαk

, y pertenece, por lo tanto a Bor(Ω).

2.2.2 Medidas sobre σ-algebras

En esta seccion, generalizamos la nocion de funcion aditiva de conjuntos presen-tada anteriormente a las σ-algebras. A partir de esta definicion, no solamenteobtendremos un criterio para determinar que tipo de conjuntos son mediblesy cual es su tamano, sino que tambien consideraremos la estructura de basepara la construccion de la integral de Lebesgue que esta dada por los espaciosmedidos.

Definicion 2.2.3 (Medida, espacio medido). Sea (X,A ) un espacio medible.Una medida sobre (X,A ) es una funcion µ : A −→ R+ que verifica las pro-piedades siguientes.

1) µ(∅) = 0; y

2) para toda sucesion de elementos disjuntos (An)n∈N de A ,

µ

(⋃

n∈N

An

)

=∑

n∈N

µ(An). (2.10)

Esta propiedad se llama la σ-aditividad de µ.

La tripleta (X,A , µ) se denomina espacio medido. Para todo elemento Ade A , denominaremos la cantidad µ(A), la µ-medida de A.

La masa total de una medida µ es la cantidad µ(X), y si se tiene la de-sigualdad µ(X) < +∞, diremos que la medida µ es de masa total finita, o massimplemente, que la medida es finita.

La siguiente definicion es una variante de la anterior.

Definicion 2.2.4 (Medida de probabilidad). Sea (X,A , µ) un espacio medido.Si µ(X) = 1, diremos que (X,A , µ) es un espacio probabilizado y que lamedida µ es una medida de probabilidad. En este caso, los elementos A de A

se llaman eventos y µ(A), la probabilidad del evento A.

Definicion 2.2.5 (Conjunto de medida nula). Si A es un conjunto de unaσ-algebra A tal que µ(A) = 0, diremos que es un conjunto de µ-medida nulao de probabilidad nula, segun sea el caso.

Es evidente que toda medida es una funcion aditiva de conjuntos y posee,por lo tanto, las propiedades de crecimiento y de aditividad fuerte explicitadasen la proposicion 2.1.1. Estudiaremos en las lıneas que siguen muchas otraspropiedades, pero, por el momento, presentemos algunos ejemplos clasicos demedidas.

(i) Medida gruesa. Sea (X,A ) un espacio medible, la medida gruesa esla que asigna a cada conjunto no vacıo de A el valor +∞. Esta medidano tiene otra ventaja que la de servir para la construccion eventual decontra ejemplos simples.

(ii) Medida de Dirac5 en un punto a de X . Es la medida definida sobreuna σ-algebra A por

δa : A −→ R+

A 7−→ δa(A) =

1 si a ∈ A,

0 si a /∈ A.

Se demuestra sin problema que δa(∅) = 0; ademas, si (An)n∈N es unafamilia de conjuntos disjuntos, entonces

δa

(⋃

n∈N

An

)

=∑

n∈N

δa(An).

En efecto, si el punto a no pertenece a ninguno de estos conjuntos, los doslados de esta formula son nulos. En el caso contrario, existe un n0 tal quea ∈ An0 , pero como estos conjuntos son dos a dos disjuntos, entonces,para todo n 6= n0, se tiene δa(An) = 0; de donde se deduce la identidaddeseada.

(iii) Medida de conteo. Es la medida determinada por

µ : P(X) −→ R+

A 7−→ µ(A) =

Card(A), si Card(A) < +∞,

+∞ si no.

La verificacion de las propiedades de medida expuestas en la definicion2.2.3 no causan ninguna dificultad para esta aplicacion. Esta medida esla medida natural sobre los conjuntos N y Z.

(iv) Medida Discreta. Sea ϕ una funcion definida sobre X a valores realespositivos. La funcion µ : A −→ R+ definida por µ(A) =

∑

a∈A ϕ(a) esuna medida. Este ejemplo es una generalizacion del anterior. En efecto,si ϕ es identicamente igual a 1, se obtiene la medida de conteo.

5llamada tambien Masa de Dirac. (Paul Dirac (1902-1984), matematico y fısico ingles).

(v) Medida de Lebesgue6. Es la medida de referencia en el espacio euclıdeoRn y sera notada por la letra λ si n = 1 y λn si n > 1. Corresponde a lageneralizacion de las operaciones numerables de las funciones aditivas deconjuntos definidas en (2.5) y (2.6).

Haremos un estudio detallado de la medida de Lebesgue en la seccion2.4.3. Por el momento, nos limitaremos a presentar algunas propiedadeselementales.

En particular, nos focalizamos aquı en algunos conjuntos que son de me-dida de Lebesgue nula. Dado que la longitud de un punto es nula y queel conjunto de los numeros racionales Q es reunion numerable disjuntade puntos, entonces, por la propiedad de σ-aditividad (2.10), el conjuntoQ es de medida de Lebesgue nula. Este razonamiento sirve para mostrarque los conjuntos N, Z son de medida de Lebesgue nula. De la mismaforma, en el caso n-dimensional, se tiene que Zn, Qn son conjuntos demedida de Lebesgue (n-dimensional) nula. Veremos una generalizacionde este resultado en la proposicion 2.4.8.

Mostraremos, posteriormente, que es la unica medida definida sobre laσ-algebra de los Borelianos de Rn por las dos propiedades siguientes: esinvariante por traslacion y la medida del cubo unidad es igual a 1 (veaseel teorema 2.4.5).

La existencia de esta medida y su construccion no son triviales y detalla-remos sus propiedades en la seccion 2.4.

(vi) Medida de Haar7. Es una generalizacion de la medida de Lebesgue a losgrupos topologicos localmente compactos. Estudiaremos en detalle estasmedidas en el volumen 2.

Demos, para terminar con las definiciones iniciales, dos caracterısticas su-plementarias de las medidas que son de gran importancia.

Definicion 2.2.6 (Medida σ-finita, conjunto σ-finito). Sea (X,A , µ) un espa-cio medido.

1) Una medida de conjuntos µ : A −→ R+ es σ-finita si existe una sucesionnumerable (An)n∈N de elementos de la σ-algebra A tales que

X =⋃

n∈N

An

y tales que, para todo n ∈ N, se tiene µ(An) < +∞.

2) Un conjunto A ∈ A es σ-finito con respecto a la medida µ si es la unionnumerable de conjuntos de A de µ-medida finita.

6Henri Lebesgue (1875-1941), matematico frances. Estudio en la Ecole Normale Superieu-re.

7Alfred Haar (1885-1933), matematico hungaro.

Tenemos, por ejemplo, que la medida gruesa definida en la pagina anteriorno es una medida σ-finita, mientras que la medida de Dirac, definida sobreP(X), en donde X es un conjunto finito, sı lo es. La importancia de la σ-finitud sera puesta en evidencia en los teoremas que vienen a continuacion.

Observacion 2.5. Cuando µ es σ-finita, podemos suponer, segun lo que masnos convenga, que la sucesion (An)n∈N anterior es creciente, o que todos losconjuntos An son disjuntos; basta, para ello, proceder como en la observacion2.2.

Definicion 2.2.7 (Medida atomica). Sea (X,A , µ) un espacio medido. De-cimos que A ∈ A es un atomo para la medida µ si µ(A) > 0, y si todosubconjunto B de A, o tiene la misma medida que A, o es de medida nula.Una medida que admite atomos sera llamada una medida atomica. Diremosque una medida es no-atomica si para todo A ∈ A de medida positiva y todoβ tal que 0 < β < µ(A), existe un subconjunto B de A tal que µ(B) = β.

Esta terminologıa es muy intuitiva, puesto que un atomo es un conjuntoque no admite ningun subconjunto de medida positiva distinta. Por ejemplo, lamedida de conteo sobre N es una medida atomica y todo conjunto de la forman es un atomo. Vemos, por el contrario, que la medida de Lebesgue sobre Rn

es una medida no-atomica.

Se puede ver que una medida no-atomica que admite al menos un valorpositivo tiene en realidad una infinidad de valores distintos (vease el ejercicio2.15). Dicho de otra manera, una medida no-atomica toma valores continua-mente. Veremos la utilidad de las medidas no-atomicas en el volumen 2.

De la misma manera que sobre un subconjunto de un espacio metrico sepuede definir una distancia inducida, es posible considerar la medida induciday la restriccion de una medida a un subconjunto de la forma siguiente.

Proposicion 2.2.7 (Medida inducida, restriccion de medidas). Sea (X,A , µ)un espacio medido. Si Y ⊂ X es un subconjunto A -medible de X y si conside-ramos A|Y = A ∩ Y , podemos definir la aplicacion

µ|Y : A|Y −→ R+

A 7−→ µ|Y (A) = µ(A ∩ Y )

Entonces la tripleta (Y,A|Y , µ|Y ) es un espacio medido, y la medida µ|Y sedenomina la medida inducida de µ sobre el conjunto Y .

Ademas, si A y B son dos σ-algebras tales que A ⊂ B, y si µ : B −→ R+

es una medida, entonces la restriccion µ|A a la σ-algebra A determina unamedida y la tripleta (X,A , µ|A ) es un espacio medido.

Demostracion. Sabemos por el lema 2.2.1 que el conjunto A|Y es una σ-algebra.Verifiquemos, pues, que µ|Y es una medida. Se observa, sin problema, queµ|Y (∅) = 0. Ademas, si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de

A , se tiene

µ|Y

(⋃

n∈N

An

)

= µ

(

Y ∩⋃

n∈N

An

)

= µ

(⋃

n∈N

Y ∩ An

)

=∑

n∈N

µ(Y ∩ An)

=∑

n∈N

µ|Y (A),

lo que implica la σ-aditividad de µ|Y .

La segunda parte de esta proposicion no causa mayor dificultad, puesto quetodo elemento A ∈ A es un elemento de B y µ es una medida sobre B, sededucen, entonces, las propiedades que hacen de µ|A una medida sobre A .

Pasamos ahora al estudio de las principales propiedades verificadas por lasmedidas. Los primeros lemas explicitan algunas relaciones y desigualdades queson muy utiles en la practica. Exponemos con el teorema 2.2.3 el comportamien-to de las medidas en relacion con los lımites de sucesiones de conjuntos. Paraterminar, consideramos un ejemplo de gran importancia (llamado el conjuntotriadico de Cantor) en donde algunos de estos resultados seran inmediatamenteaplicados.

Lema 2.2.3. Sean (X,A , µ) un espacio medido y A,B dos subconjuntos de Xque pertenecen a A tales que A ⊂ B. Entonces µ(A) ≤ µ(B) y si, ademas, setiene µ(A) < +∞, disponemos de la identidad µ(B \A) = µ(B) − µ(A).

Demostracion. La desigualdad µ(A) ≤ µ(B) es evidente pues A ⊂ B y se ladeja la lector. Dado que (B\A)∪A = B, se obtiene, por la σ-aditividad de µ, queµ(B \A) + µ(A) = µ(B); se concluye utilizando el hecho que µ(A) < +∞.

Veamos una aplicacion interesante de este lema. Si (X,A , µ) un espaciomedido y si B ∈ A es de medida nula, entonces todo subconjunto A ∈ A deB es de medida nula, lo que puede ser util para calcular la medida de algu-nos conjuntos. Ilustremoslo con un ejemplo. Consideremos el espacio medido(R,Bor(R), λ). Fijamos los conjuntos A = Q ∩ [0, 1] y B = [0, 1]. El lectorverificara sin problema que estos dos conjuntos son borelianos y que λ(B) = 1.Dado que A ⊂ Q, se tiene que λ(A) = 0, y por lo tanto,

λ(B) = λ(B \A) + λ(A) = λ(B \A) = 1.

Concluimos que λ([0, 1]) = λ([0, 1] \Q) = λ([0, 1]∩ I); es decir, que el conjuntode los numeros irracionales I contenidos en el intervalo [0, 1] tiene la mismamedida de Lebesgue que el intervalo [0, 1].


Lema 2.2.4. Sean (X,A , µ) un espacio medido y (An)n∈N una sucesion deelementos de A . Se tiene, entonces, la desigualdad

µ

(+∞⋃

n=0

An

)

≤+∞∑

n=0

µ(An). (2.11)

Esta propiedad se llama la subaditividad numerable o σ-subaditividad de µ.

Demostracion. Sea (Bk)k∈N una sucesion de subconjuntos de X construidos apartir de la sucesion (Ak)k∈N de la siguiente forma

B0 = A0 y Bk = Ak \k−1⋃

j=0

Aj para k ≥ 1.

Se puede ver, entonces, que cada Bk pertenece a A y que es un subconjuntode Ak de manera que satisface µ(Bk) ≤ µ(Ak). Dado que los conjuntos Bk sondisjuntos y verifican

⋃

k∈N Bk =⋃

k∈N Ak (vease la observacion 2.2), se obtiene

µ

(⋃

k∈N

Ak

)

=∑

k∈N

µ(Bk) ≤∑

k∈N

µ(Ak).

Este resultado muestra que la σ-aditividad implica la subaditividad nume-rable de la medida µ.

Corolario 2.2.1. Sea (X,A , µ) un espacio medido. La reunion de una familianumerable de conjuntos A -medibles de medida nula es de medida nula.

Demostracion. La demostracion es una consecuencia directa de la estimacion(2.11), de manera que los detalles quedan a cargo del lector.

Recordemos ahora las nociones de lımites inferiores y superiores de unasucesion de conjuntos.

Definicion 2.2.8. Sea (An)n∈N una sucesion de conjuntos. Definimos los lımi-tes inferior y superior por

lım ınfn→+∞

An =

+∞⋃

n=0

+∞⋂

k=n

Ak y lım supn→+∞

An =

+∞⋂

n=0

+∞⋃

k=n

Ak.

Si se tiene la igualdad lım supn→+∞

An = lım ınfn→+∞

An, escribiremos, simplemente,

lımn→+∞

An.

A partir de estas definiciones, es claro que, si todos los conjuntos An per-tenecen a una σ-algebra A , entonces el lım ınf An y el lım supAn pertenecen aA . Demos un ejemplo sobre R. Consideremos los intervalos de la forma

An = [(−1)n − 2, (−1)n + 2];

tenemos, entonces, lım ınfn→+∞

An = [−1, 1] y lım supn→+∞

An = [−3, 3].

El comportamiento de una medida con los lımites esta dado por el resultadoa continuacion.

Teorema 2.2.3 (Continuidad de las medidas). Sea µ una medida definidasobre una σ-algebra A de partes de X. Entonces se tienen los puntos siguientes:

1) Si A0 ⊂ A1 ⊂ A2 ⊂ · · · es una sucesion creciente de elementos de A , setiene

µ

(

lımn→+∞

An

)

= lımn→+∞

µ(An).

2) Si B0 ⊃ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · es una sucesion decreciente de elementos de A

con µ(B0) < +∞, se tiene

µ

(

lımn→+∞

Bn

)

= lımn→+∞

µ(Bn).

3) Para toda sucesion (Cn)n∈N de elementos de A , se tiene

µ

(

lım ınfn→+∞

Cn

)

≤ lım ınfn→+∞

µ(Cn)

Demostracion. Veamos la primera proposicion. Como (An)n∈N es una suce-sion creciente, tenemos la identidad lım

n→+∞An =

⋃

n∈N

An. Podemos, entonces,

expresar esta union⋃

n∈N

An como una union disjunta de conjuntos escribiendo

A0 ∪+∞⋃

n=1

(An \An−1);

luego, por la σ-aditividad de la medida, obtenemos

µ( lımn→+∞

An) = µ

(+∞⋃

n=0

An

)

= µ(A0) ++∞∑

n=1

µ(An \An−1)

= lımk→+∞

(

µ(A0) +k∑

n=1

µ(An \An−1)

)

= lımk→+∞

(

µ

(

A0 ∪k⋃

n=1

(An \An−1

))

= lımk→+∞

µ(Ak),

lo que demuestra la primera afirmacion.

La demostracion de la segunda es similar. Sea A0 = ∅ y definamos An =B0 \Bn. Obtenemos una sucesion de conjuntos (An)n∈N creciente. Dado que

lımn→+∞

Bn =⋂

n∈N

Bn = B0 \⋃

n∈N

An,

tenemos

µ

(

lımn→+∞

Bn

)

= µ

(+∞⋂

n=0

Bn

)

= µ

(

B0 \⋃

n∈N

An

)

;

y, puesto que µ(B0) < +∞, podemos escribir

µ

(

B0 \⋃

n∈N

An

)

= µ(B0)− µ

(⋃

n∈N

An

)

= lımn→+∞

(µ(B0)− µ(An))

= lımn→+∞

µ(B0 \An)

= lımn→+∞

µ(Bn),

lo que demuestra la segunda afirmacion.Observese que la conclusion de esta propiedad puede ser falsa si la medida

de los conjuntos Bn es infinita. En efecto, sean X = N, µ la medida de conteosobre N y Bn = k ∈ N : k ≥ n el conjunto de enteros mayores o iguales an. Entonces se tiene, por un lado, que µ(Bn) = +∞ para todo n, de maneraque lım

n→+∞µ(Bn) = +∞. Sin embargo, por otro lado, no es difıcil ver que

lımn→+∞

Bn =⋂

n∈NBn = ∅, de forma que µ( lımn→+∞

Bn) = 0.

Para demostrar la ultima afirmacion definamos En =⋂+∞

k=n Ck; entonces lasucesion (En)n∈N es una sucesion de conjuntos en A creciente tal que

+∞⋃

n=0

En = lım ınfn→+∞

Cn.

Podemos usar la primera afirmacion para obtener

µ

(

lım ınfn→+∞

Cn

)

= µ

(+∞⋃

n=0

En

)

= lımn→+∞

µ(En) ≤ lım ınfn→+∞

µ(Cn),

con lo que termina la demostracion.

Expongamos un teorema muy importante en teorıa de probabilidades quehace intervenir el lımite superior de una sucesion de conjuntos.

Teorema 2.2.4 (Borel-Cantelli). Sean (X,A , µ) un espacio medido y (An)n∈N

una sucesion numerable de A . Entonces se tiene la siguiente implicacion:

+∞∑

n=0

µ(An) < +∞ =⇒ µ(lım supn∈N

An) = 0. (2.12)

Demostracion. Por definicion de lımite superior, tenemos

lım supn→+∞

An =

+∞⋂

n=0

+∞⋃

k=n

Ak.


Como toda medida µ es creciente, tenemos, para todo p, las desigualdades

µ(lım supn→+∞

An) ≤ µ

+∞⋃

k=p

Ak

≤+∞∑

k=p

µ(Ak) −→ 0

si p→ +∞, con lo que termina la demostracion.

Conjunto triadico de Cantor

Presentamos aquı un ejemplo clasico de conjunto, llamado el conjunto triadicode Cantor8, y que notaremos K, que posee propiedades muy especiales desdeel punto de vista de la teorıa de la medida. Este conjunto juega un rol prepon-derante, y es, a menudo, el origen de muchos otros ejemplos importantes, comoveremos un poco mas adelante.

Para su construccion, procedemos por recurrencia de la siguiente forma.Notemos K0 el intervalo [0, 1] y dividamoslo en tres partes: [0, 1/3], ]1/3, 2/3[ y[2/3, 1]. Construyamos el conjunto K1 al sustraer de K0 el intervalo intermedio]1/3, 2/3[; es decir, que K1 = [0, 1/3]∪ [2/3, 1]. El conjunto Kn se construye alretirar el segundo tercio (abierto) de cada uno de los intervalos que constituyenel conjuntoKn−1. El conjunto de CantorK es, entonces, el conjunto resultante;es decir, K =

⋂

n∈NKn.A pesar de que la construccion de este conjunto es sencilla, este conjunto

tiene una variedad de propiedades interesantes de orden topologico y analıtico.

0 1

0 1/3 2/3 1

0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .. .. .. .. .. .. .. .

K0

K1

K2

K

Figura 2.2: El conjunto triadico de Cantor, las primeras etapas de su construc-cion

Por construccion, el conjunto K es, evidentemente, acotado y cerrado. Es,por lo tanto, un conjunto compacto. Vemos, ademas, que K no contiene puntosinteriores. En efecto, si existiera un abierto contenido en K, entonces deberıaestar contenido en cada uno de los conjuntos intermediarios Kn, y tendrıa, porlo tanto, una longitud maximal (1/3)n, y esta ultima cantidad tiende a cerocuando n→ +∞. Es ademas, un conjunto totalmente discontinuo en el sentidode que todos sus puntos estan separados, los unos de los otros.

8Georg Cantor (1845-1918), matematico aleman.


Nos interesamos, ahora, en determinar el tamano del conjunto de CantorK. Vamos a ver que esta tarea es delicada y depende, en realidad, del puntode vista que se adopte:

Proposicion 2.2.8. El conjunto triadico de Cantor K tiene la cardinalidaddel continuo y es de medida de Lebesgue nula.

Esta proposicion nos indica que el conjunto K es “grande” en el sentidode la cardinalidad, pero que es muy “pequeno” en el sentido de la longitud.Tenemos, pues, por un lado, que para la medida de Lebesgue, todo conjuntocompuesto por union numerable de puntos es de medida nula; pero, por otrolado, tambien existen conjuntos de medida nula formados por una reunion nonumerable de puntos como el conjunto triadico de Cantor. Esto muestra quela distincion entre conjuntos numerables y no numerables es mas sutil cuandose los observa desde el punto de vista de la teorıa de la medida.

Demostracion. Para estudiar la cardinalidad del conjunto K, observamos quela aplicacion que asigna a cada sucesion (zn)n∈N con zn ∈ 0, 1 el numero∑

n 2zn/3n es una biyeccion9 del conjunto de todas las sucesiones de ceros

y unos sobre el conjunto K. Pero sabemos que el conjunto 0, 1N∗

tiene lapotencia del continuo, lo que demuestra que el conjunto triadico de Cantor Ktiene la cardinalidad del continuo.

Para ver que el conjunto K es de medida de Lebesgue nula, notamos que,para todo n ∈ N, el conjunto K esta contenido en los conjuntos de tipo Kn

que son uniones de intervalos y, entonces, λ(K) ≤ λ(Kn) = (2/3)n. Luego, sihacemos n → +∞, por una aplicacion directa del teorema de continuidad delas medidas 2.2.3, obtenemos que λ(K) = 0.

Observacion 2.6. Esta demostracion es interesante, pues, aunque no haya-mos construıdo de manera formal la medida de Lebesgue, gracias al teoremade continuidad de las medidas, podemos “medir” objetos complicados apro-ximandolos por conjuntos mas sencillos.

Con esto terminamos la exposicion de las propiedades mas elementales delas medidas.

2.2.3 Clases monotonas

En los casos mas importantes en la practica, es imposible obtener un procesoconstructivo para describir la σ-algebra engendrada por una coleccion de con-juntos. En esta seccion, vamos a presentar otro tipo de colecciones de conjuntosque nos permiten estudiar, desde un punto de vista diferente, la estructura delas σ-algebras engendradas y que facilita en muchos casos las verificaciones-especialmente cuando se trata de estudiar la unicidad de las medidas.

Obtendremos mas precisamente dos resultados de gran importancia. El pri-mero de ellos, dado por el teorema 2.2.5, estipula que la σ-algebra engendradapor una coleccion de conjuntos K coincide, bajo ciertas hipotesis, con la clase

9vease la demostracion de este hecho en [11].


monotona engendrada por K. Es decir, podemos escojer a nuestra convenienciacualquiera de estos dos puntos de vista: σ-algebra engendrada / clase monotonaengendrada.

El segundo resultado, enunciado en el teorema 2.2.6, nos proporciona, encambio, un criterio muy util para determinar la igualdad de medidas definidassobre una misma σ-algebra comparandolas, de una manera muy especial, quesera explicitada a continuacion.

Necesitaremos las dos definiciones siguientes para llevar a cabo los detallesde las demostraciones.

Definicion 2.2.9 (Clase monotona - π-sistema). Sea X un conjunto.

1) Una coleccion M de subconjuntos de X es una clase monotona o clasede Dynkin sobre X si satisface las tres propiedades siguientes.

a) X ∈ M;

b) M es estable por diferencia propia: si A,B ∈ M y A ⊂ B, entoncesB \A ∈ M; y

c) si (An)n∈N es una sucesion creciente de conjuntos de M, entonces⋃

n∈N

An ∈ M.

2) Una coleccion de subconjuntos de X es un π-sistema sobre X si es establepor construccion de intersecciones finitas.

Notemos que, si X es un conjunto y A es una σ-algebra sobre X , entoncesA es una clase monotona, lo que puede ser verificado sin ninguna dificultad.Obtenemos, ası, una gran cantidad de ejemplos de clases monotonas sin muchoesfuerzo. Demos ahora un ejemplo sencillo de un π-sistema. El lector verifi-cara sin problema que si X = a, b, c, entonces P(X) es un π-sistema; porel contrario, el conjunto Θ = b; a, b; a, c;X no es un π-sistema puesa /∈ Θ.

La proposicion que sigue nos muestra como construir un tipo de clasesmonotonas que seran de gran utilidad en los desarrollos posteriores.

Proposicion 2.2.9. Sean (X,A ) un espacio medido, y µ y ν dos medidasfinitas definidas sobre A tales que µ(X) = ν(X); entonces la coleccion Mformada por todos los conjuntos A que pertenecen a A , y que verifican µ(A) =ν(A), es una clase monotona.

Demostracion. Tenemos que M = A ∈ A : µ(A) = ν(A). Por hipotesis, setiene que X ∈ M, lo que demuestra la primera condicion de la definicion 2.2.9.Sean ahora A,B ∈ M tales que A ⊂ B. Dado que el conjunto B se puedeescribir como la union disjunta B = A ∪ (B \A), tenemos

µ(B) = µ(A) + µ(B \A)ν(B) = ν(A) + ν(B \A).


Dado que las medidas son finitas, se deduce, sin dificultad, que µ(B \ A) =ν(B\A) y que el conjunto M es estable por diferencia propia. Hemos, entonces,verificado la segunda condicion de la definicion 2.2.9.

La ultima condicion es demostrada mediante el teorema 2.2.3: si (An)n∈N

es una sucesion creciente de conjuntos de M, entonces

µ

(⋃

n∈N

An

)

= lımn→+∞

µ(An) = lımn→+∞

ν(An) = ν

(⋃

n∈N

An

)

,

y se concluye que⋃

n∈NAn ∈ M.

Observacion 2.7. La coleccion M definida en la proposicion anterior es unaclase monotona pero no es, necesariamente, una σ-algebra (vease el ejercicio2.16).

Sin embargo, y a pesar de esta observacion, el hecho de que las coleccionesM introducidas por la proposicion 2.2.9 formen precisamente clases monotonasjustifica, ampliamente, su presentacion por las importantes aplicaciones queexpondremos.

Observese, finalmente, que la interseccion de una familia no vacıa de clasesmonotonas sobre un conjunto X es tambien una clase monotona sobre X . Lacomprobacion de este hecho es sencilla, de manera que los detalles quedan acargo del lector. Por lo tanto, de la misma manera que habıamos presentado lasσ-algebras engendradas con la proposicion 2.2.4 y con el teorema 2.2.2, tenemosla definicion siguiente.

Definicion 2.2.10 (Clase monotona engendrada). Si K es una coleccion arbi-traria de conjuntos de X, la interseccion de todas las clases monotonas sobreX que contienen K es la mas pequena clase monotona que contiene K, y esllamada la clase monotona engendrada por K, y la notaremos M(K).

El siguiente teorema es de gran utilidad, como lo veremos posteriormente.

Teorema 2.2.5. Sean X un conjunto y K un π-sistema sobre X. Entonces laσ-algebra engendrada por K coincide con la clase monotona engendrada por K,es decir, σ(K) = M(K).

Demostracion. Vamos a verificar que se tienen las dos inclusiones

M(K) ⊂ σ(K) y σ(K) ⊂ M(K).

Empecemos por la primera. Puesto que toda σ-algebra es un clase monotona, laσ-algebra σ(K) es una clase monotona que contieneK y, por lo tanto, obtenemosla inclusion M(K) ⊂ σ(K).

Para verificar la inclusion recıproca, empezamos por mostrar que M(K) esestable por construccion de intersecciones finitas. Sea, pues, una familia M1(K)de subconjuntos de X definida por

M1(K) = A ∈ M(K) : A ∩ C ∈ M(K), para todo C ∈ K.


El hecho de que K ⊂ M(K) implica que X ∈ M1(K). Dado que las identidades

(A \B) ∩C = (A ∩ C) \ (B ∩ C) y (∪nAn) ∩C = ∪n(An ∩ C),

son validas para todo A,B,An, C ∈ M1(K), se tiene que M1(K) es establepor diferencia propia y por construccion de uniones crecientes de conjuntos.Tenemos ası que M1(K) es una clase monotona.

Puesto que K es estable por construccion de intersecciones finitas y esta con-tenido en M(K), se tiene que tambien esta incluido en M1(K). Es decir, queM1(K) es una clase monotona que contiene K y por lo tanto, debe contenerM(K). Y, dado que M1(K) una subfamilia de M(K) por definicion, obtenemosla identidad M(K) = M1(K). Definamos ahora la coleccion M2(K) por

M2(K) = B ∈ M(K) : A ∩B ∈ M(K), para todo A ∈ M(K).

El hecho de que M(K) = M1(K), implica que K ⊂ M2(K). Repitiendo losargumentos aplicados a M1(K), podemos concluir que M2(K) es una clasemonotona y que M(K) = M2(K).

Tenemos entonces que M(K) es estable por construccion de interseccio-nes finitas. Las dos primeras condiciones de la definicion 2.2.9 implican queX ∈ M(K) y que M(K) es estable por complementacion. Puesto que acaba-mos de probar que M(K) es estable por construccion de intersecciones finitas,hemos verificado que M(K) es una algebra. Sin embargo, puesto que M(K) esuna clase monotona, es estable por construccion de reuniones crecientes de su-cesiones de conjuntos y, entonces, por el lema 2.2.2, tenemos que M(K) es unaσ-algebra. Ahora, como M(K) es una σ-algebra que contiene K, debe contenerσ(K) con lo que termina la demostracion.

Es importante observar que este teorema no nos indica como construir unaσ-algebra engendrada a partir de una coleccion de conjuntos K que es establepor construccion de intersecciones finitas (o π-sistemas). Lo que sı nos dicees que, en lugar de estudiar la σ-algebra engendrada por K, es suficiente conestudiar la clase monotona engendrada por K; lo cual, en muchas aplicaciones,es relativamente facil de hacer.

Veamos ahora dos corolarios de este teorema.

Corolario 2.2.2. Sean (X,A ) un espacio medible y K un π-sistema sobre Xtal que A = σ(K). Si µ y ν son dos medidas finitas definidas sobre A , talesque µ(X) = ν(X) y µ(C) = ν(C) para todo C ∈ K, entonces µ = ν.

Demostracion. Consideremos la coleccionD = A ∈ A : µ(A) = ν(A): vemos,sin problema, por la proposicion 2.2.9, que esta coleccion es una clase monotona.Puesto que K es un π-sistema y esta incluido en D, se tiene, por el teoremaanterior, que A = σ(K) ⊂ D. Entonces, por definicion del conjunto D, se tieneµ(A) = ν(A) para todo A ∈ A con lo que se termina la demostracion.

El corolario a continuacion es una extension del anterior a las medidas σ-finitas.

Corolario 2.2.3. Sean (X,A ) un espacio medible y K un π-sistema sobre Xtal que A = σ(K). Si µ y ν son dos medidas definidas sobre A que coincidensobre K, y si existe una sucesion creciente (Cn)n∈N de conjuntos pertenecientesa K de medida finita con respecto a µ y ν que satisfacen

⋃

n∈NCn = X, entoncestenemos la identidad µ = ν.

Demostracion. Escojamos una sucesion de conjuntos (Cn)n∈N creciente quepertenecen a K, que tienen medida finita con respecto a µ y ν y que verifican⋃

n∈NCn = X . Para cada entero n ∈ N, definamos dos medidas finitas µn yνn sobre A por µn(A) = µ(A ∩ Cn) y νn(A) = ν(A ∩ Cn). Dado que µ y νcoinciden sobre K, el corolario anterior implica que, para cada n, tenemos laidentidad µn = νn. Ademas, puesto que se tiene

lımn→+∞

µn(A) = lımn→+∞

µ(A ∩ Cn) = µ(A)

para todo A ∈ A , obtenemos las identidades

µ(A) = lımn→+∞

µn(A) = lımn→+∞

νn(A) = ν(A),

de donde deducimos que las medidas µ y ν deben ser iguales.

Este resultado nos proporciona un criterio muy comodo para estudiar launicidad de medidas σ-finitas y sera utilizado sistematicamente. La utilidad deeste criterio ilustra la importancia de las clases monotonas y de los π-sistemas.Parafraseamos lo obtenido en estos dos corolarios en el siguiente teorema.

Teorema 2.2.6 (unicidad de medidas). Sean X un conjunto y K un conjuntode partes de X estable por intersecciones finitas. Sean µ y ν dos medidas de-finidas sobre una σ-algebra A definida sobre X que contiene K. Si suponemosque

1) µ(A) = ν(A) para todo A ∈ K;

2) existe una sucesion creciente (An)n∈N de elementos de K tal que⋃

n∈NAn =X y tal que, para todo n se tenga µ(An) = ν(An) < +∞,

entonces, las medidas µ y ν coinciden sobre la σ-algebra engendrada por K; esdecir, para todo A ∈ σ(K) se tiene µ(A) = ν(A).

Vamos a exponer ahora un ejemplo de utilizacion de este resultado. SeanX = R y K la coleccion de subconjuntos de X que se pueden expresar comouna reunion finita de intervalos (recordemos que esta coleccion es un algebrade partes; vease el ejemplo (iii) en la pagina 52). Vemos, sin dificultad, queK es estable por interseccion finita y, por la proposicion 2.2.6, que se tieneσ(K) = Bor(R).

Si asumimos la existencia de una medida µ definida sobre Bor(R) que asignaa cada intervalo su longitud en el sentido de la formula (2.5), entonces el teoremade unicidad de medidas nos asegura que esta medida es unica. En efecto, sisuponemos que existe otra medida ν definida sobre Bor(R) que asigna a cada


intervalo su longitud, se verifica la primera condicion del teorema anterior.Ademas, dado que los intervalos de tipo ] − 1 + k, 1 + k[, con k ∈ Z, son delongitud finita y recubren R, obtenemos que se verifica la segunda condicion:podemos, entonces, aplicar el teorema 2.2.6 para poder obtener la unicidad deuna tal medida.

2.3 Medidas exteriores

En esta seccion, presentamos una tecnica estandar de construccion de medidasy la aplicaremos a la construccion de la medida de Lebesgue al final de estecapıtulo. La idea principal que vamos a desarrollar es la siguiente: sobre unafamilia K de conjuntos “interesantes”, los intervalos abiertos de R por ejemplo,se define una funcion aditiva de conjuntos m. En el caso de este ejemplo parti-cular, la funcion ℓ, dada en (2.5) y que asigna a cada intervalo su longitud, esla funcion que nos interesa. Deseamos, entonces, prolongar esta funcion aditivam a la σ-algebra σ(K) engendrada por esta familia de conjuntos para obteneruna verdadera medida µ (es decir queremos prolongar ℓ a los Borelianos de R

y obtener la medida de Lebesgue λ). Este proceso es esencial en teorıa de lamedida, y se realizara esta prolongacion en varias etapas.

La primera etapa corresponde al teorema 2.3.3, que nos permite prolongarla funcion aditiva de conjuntos m a una aplicacion cuyo dominio de definiciones P(X); pero no obtendremos una medida sino una medida exterior, que no-taremos µ∗ (o λ∗ en el caso de P(R)), y cuya descripcion daremos en la seccion2.3.1.

La segunda etapa esta dada por un resultado fundamental (teorema 2.3.1)y nos asegura que existe un subconjunto Mµ∗ de P(X) en donde toda medidaexterior µ∗, restringida a este conjunto en el sentido de la definicion dada en laproposicion 2.2.7, es una medida. Dicho de otra manera, veremos que Mµ∗ esuna σ-algebra y que (X,Mµ∗ , µ∗) es un espacio medido con propiedades muyinteresantes. En el caso de R, la σ-algebra (R,Mλ∗ , λ∗) se llama la σ-algebrade Lebesgue.

Finalmente, la ultima etapa consiste en verificar si la σ-algebra Mµ∗ coin-cide con la σ-algebra σ(K) engendrada por la familia de conjuntos K utilizadainicialmente. Indiquemos desde ya que por lo general no se tiene esta propiedad.En el caso particular de los Borelianos y de la σ-algebra de Lebesgue, mostra-remos, posteriormente, que existen conjuntos medibles que no son Borelianosy que, por lo tanto, no se puede identificar en toda generalidad la σ-algebraengendrada con la σ-algebra que se obtiene por prolongacion.

Vamos a exponer en las lıneas que siguen todos los detalles necesarios pararealizar estas etapas. En la seccion 2.3.1, definiremos los objetos principalesque necesitaremos ası como algunas de sus propiedades basicas. Desarrollamosel proceso de prolongacion en la seccion 2.3.2, y terminamos nuestra exposicioncon la seccion 2.3.3, en donde estudiamos la completitud de las medidas en elsentido de la definicion 2.3.3.

2.3 Medidas exteriores 81

2.3.1 Definiciones y propiedades

Basicamente, necesitaremos cuatro nociones para poder atacar con comodidadlas etapas mencionadas anteriormente. Ademas del concepto de medida exteriorµ∗, daremos la definicion de conjunto despreciable, de espacio medido completoy de conjunto µ∗-medible.

Definicion 2.3.1 (Medida exterior). Sea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ :P(X) −→ R+ es una medida exterior si verifica las tres condiciones siguientes:

1) µ∗(∅) = 0.

2) Crecimiento: Para todo A,B ⊂ P(X), se tiene la implicacion

A ⊂ B =⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).

3) σ-subaditividad: Para toda sucesion (An)n∈N ∈ P(X), tenemos la de-sigualdad

µ∗

(⋃

n∈N

An

)

≤∑

n∈N

µ∗(An).

Mostremos un par de ejemplos sencillos de medidas exteriores. Si X es unconjunto arbitrario, se define µ∗ : P(X) −→ R+ por µ∗(A) = 0 si A = ∅ yµ∗(A) = 1 si no. Entonces µ∗ es una medida exterior, pero no es una medida(vease el ejercicio 2.11). El segundo ejemplo es muy similar. Si definimos unaaplicacion ν∗ : P(X) −→ R+ tal que ν∗(A) = 0 si A es numerable y ν∗(A) = 1si no, obtenemos tambien que ν∗ es una medida exterior.

Se observa tambien, sin mayor problema, que toda medida definida sobreel algebra P(X) es una medida exterior; sin embargo, como hemos visto en losejemplos anteriores, no se tiene la recıproca y, en general, una medida exteriorno es ni siquiera una funcion aditiva de conjuntos.

Dado que trabajamos con el conjunto de partes de X , es necesario dar unrefinamiento de la nocion de conjunto de µ-medida nula.

Definicion 2.3.2 (Conjuntos µ-despreciables). En un espacio medido (X,A , µ),una parte D de X es µ-despreciable si esta contenida en un conjunto A ∈ A

de µ-medida nula; es decir, si

D ⊂ A ∈ A y µ(A) = 0.

Notaremos Dµ el conjunto de las partes µ-despreciables.

Evidentemente, se tiene que todo conjunto contenido en un conjunto µ-despreciable es tambien µ-despreciable, y que la reunion numerable de conjun-tos µ-despreciables es, igualmente, µ-despreciable por la σ-subaditividad de lamedida.

Observese, sin embargo, que un conjunto µ-despreciable no pertenece ne-cesariamente a la σ-algebra A . Esta es la diferencia fundamental con los con-juntos de µ-medida nula, y este comentario nos conduce a enunciar la siguientedefinicion.

Definicion 2.3.3 (Espacio medido completo, medida completa). Diremos queun espacio medido (X,A , µ) es completo si todo conjunto µ-despreciable es A -medible. Por un abuso de lenguaje hablaremos tambien de σ-algebras completaso de medidas completas.

Veremos que no todas las medidas definidas sobre las σ-algebras de la sec-cion anterior son completas en el sentido de la definicion precedente. En par-ticular, mostraremos, en la seccion 2.4, que la medida de Lebesgue λ definidasobre la σ-algebra de los borelianos no es completa.

Desde este punto de vista, la importancia de las medidas exteriores esta da-da por el hecho de que siempre existe al menos una σ-algebra en donde la medi-da exterior se comporta como una medida completa. Este resultado esta demos-trado en el teorema 2.3.1, pero antes de pasar a las verificaciones, es necesariouna penultima definicion.

Definicion 2.3.4 (Conjunto µ∗-medible). Sea µ∗ : P(X) −→ R+ una medidaexterior; una parte A de P(X) es µ∗-medible si para todo E ∈ P(X) se tiene

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \A). (2.13)

Observamos, sin problema, que los conjuntos ∅ y X son, trivialmente, µ∗-medibles, y es posible ver los conjuntos E como conjuntos de “test” a partir delos cuales determinaremos si un conjunto es o no µ∗-medible.

Hay que notar, ademas, que, por la definicion misma de medida exterior, setiene siempre

µ∗(E) ≤ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \A);de manera que podemos restringir nuestra definicion de conjunto µ∗-mediblesa la desigualdad

µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \A). (2.14)

Notese que si µ(E) = +∞, entonces la condicion precedente esta trivialmenteverificada; debemos, pues, estudiar unicamente si se tiene (2.14) para cada Etal que µ∗(E) < +∞.

Definicion 2.3.5. Sean X un conjunto y µ∗ una medida exterior definida sobreP(X). El conjunto formado por las partes µ∗-medibles sera notado Mµ∗ .

Este conjunto posee muchas propiedades interesantes, en particular, contie-ne todos los conjuntos de medida exterior nula como nos indica el resultadosiguiente.

Lema 2.3.1. Sean X un conjunto y µ∗ una medida exterior sobre P(X). En-tonces todo subconjunto A de X tal que µ∗(A) = 0 o tal que µ∗(Ac) = 0pertenece a Mµ∗ .

Demostracion. Supongamos que A verifica µ∗(A) = 0 o µ∗(Ac) = 0, debemosdemostrar que para todo subconjunto E de X , se tiene

µ∗(E) ≥ µ∗(E ∩ A) + µ∗(E \A) = µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac).


Se tienen, por las propiedades de medida exterior, las desigualdades

µ∗(E ∩ A) ≤ µ∗(A) y µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(Ac).

Sin embargo, por las hipotesis hechas sobre A, al menos uno de los dos terminosde las formulas anteriores es nulo, mientras que el otro es menor que µ∗(E),puesto que se tiene

µ∗(E ∩ A) ≤ µ∗(E) y µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E);

y, por lo tanto, se obtiene la desigualdad deseada.

El teorema siguiente representa una de las mas importantes caracterısticasde las medidas exteriores y es fundamental para la construccion de medidasgenerales.

Teorema 2.3.1. Sean X un conjunto y µ∗ una medida exterior sobre X. En-tonces

1) el conjunto Mµ∗ de partes µ∗-medibles es una σ-algebra; y

2) la restriccion de µ∗ a Mµ∗ es una medida completa; es decir, la tripleta(X,Mµ∗ , µ∗) es un espacio medido completo.

Demostracion. Empecemos por demostrar la primera afirmacion. Vemos, in-mediatamente, por la definicion de conjunto µ∗-medible, que ∅, X ∈ Mµ∗ , demanera que el conjunto Mµ∗ no es vacıo. Verifiquemos, pues, que si A es µ∗-medible, entonces Ac tambien lo es. Esto se deduce de las siguientes formulasvalidas para todo E ∈ P(X):

µ∗(E) = µ∗(E \A) + µ∗(E ∩ A) = µ∗(E ∩ (X \A)) + µ∗(E \ (X \A)).= µ∗(E ∩ Ac) + µ∗(E \Ac).

Se tiene, entonces, que Mµ∗ es estable al pasar al complementario.Para mostrar que Mµ∗ es estable por union numerable, fijemos un conjunto

E y una sucesion de conjuntos (An)n∈N ∈ Mµ∗ . Al aplicar iterativamente laidentidad (2.13) a la sucesion (An)n∈N, obtenemos

µ∗(E) = µ∗(E ∩ A0) + µ∗(E \A0)

= µ∗(E ∩ A0) + µ∗ ((E \A0) ∩A1)

+µ∗(((E \A0) \A1) ∩ A2) + µ∗(((E \A0) \A1) \A2);

es decir:

µ∗(E) =

k∑

n=0

µ∗

E \n−1⋃

j=0

Aj

∩ An

+ µ∗

E \k⋃

j=0

Aj

.

Por la propiedad de crecimiento de µ∗, tenemos la desigualdad

µ∗(E) ≥k∑

n=0

µ∗

E \n−1⋃

j=0

Aj

∩ An

+ µ∗

E \+∞⋃

j=0

Aj

,


que es valida para todo k. Por lo tanto, podemos deducir la desigualdad si-guiente:

µ∗(E) ≥+∞∑

n=0

µ∗

E \n−1⋃

j=0

Aj

∩An

+ µ∗

E \+∞⋃

j=0

Aj

. (2.15)

Por la σ-subaditividad de la medida exterior, tenemos

µ∗(E) ≥ µ∗

+∞⋃

n=0

E \n−1⋃

j=0

Aj

∩ An

+ µ∗

E \+∞⋃

j=0

Aj

;

pero, dado que se tiene la identidad

+∞⋃

n=0

E \n−1⋃

j=0

Aj

∩ An

= E ∩+∞⋃

n=0

An,

obtenemos

µ∗(E) ≥ µ∗

(

E ∩+∞⋃

n=0

An

)

+ µ∗

(

E \+∞⋃

n=0

An

)

,

de manera que⋃+∞

n=0An ∈ Mµ∗ , y se concluye que Mµ∗ es una σ-algebra.Demostremos la segunda afirmacion; para ello, verifiquemos que la res-

triccion de µ∗ a Mµ∗ es una medida, para lo cual debemos comprobar laσ-aditividad de la aplicacion µ∗ : Mµ∗ −→ R+. Sea, pues, (An)n∈N una su-

cesion de conjuntos disjuntos de Mµ∗ . Si ponemos E =⋃+∞

n=0An en la formula(2.15), obtenemos la desigualdad

µ∗

(+∞⋃

n=0

An

)

≥+∞∑

n=0

µ∗(An) + µ∗(∅),

lo que, al combinar con la σ-subaditividad de la medida exterior, nos da laidentidad

µ∗

(+∞⋃

n=0

An

)

=

+∞∑

n=0

µ∗(An)

para toda sucesion de conjuntos disjuntos de Mµ∗ . Concluimos, entonces, quela restriccion µ∗ a Mµ∗ es una medida.

Pasemos, finalmente, al estudio de la completitud de (X,Mµ∗ , µ∗). Paraello, debemos verificar que todo conjunto µ∗-despreciable pertenece a Mµ∗ .Sea, pues, D un conjunto µ∗-despreciable, por lo tanto, existe un conjunto Ade µ∗-medida nula que contiene D. Por la propiedad de crecimiento de lasmedidas exteriores, tenemos µ∗(D) = 0 y, basta aplicar el lema 2.3.1, paraobservar que D pertenece a Mµ∗ .


Este teorema es esencial. En efecto, no solo se obtiene una medida sobrela σ-algebra Mµ∗ a partir de una medida exterior µ∗, sino que, ademas, setiene que esta medida es completa. Sin embargo, este resultado no nos dicecomo construir medidas exteriores interesantes, y es este aspecto el que vamosa desarrollar a continuacion.

2.3.2 Teoremas de prolongacion de medidas

En esta seccion, estudiamos como prolongar las funciones que nos permitieronasignar un peso a los conjuntos de las algebras de partes para obtener medidasverdaderas. Descomponemos este proceso de prolongacion en dos partes paramayor claridad de nuestra exposicion.

La primera consiste del teorema 2.3.2, el que nos permite asociar medidasexteriores a funciones de conjuntos muy generales definidas sobre una ciertafamilia de conjuntos. En particular, para determinar la medida exterior de unconjunto, consideraremos el ınfimo de todos sus recubrimientos por medio deesta familia de conjuntos, lo que justifica la terminologıa de medida exterior.

Es la segunda parte la que trata la prolongacion de funciones aditivas deconjuntos propiamente dicha. En el teorema 2.3.3, asociaremos a las funcionesaditivas de conjuntos, definidas sobre algebras de partes, una medida exteriorµ∗, y verificaremos que el conjunto de funciones µ∗-medibles contiene la σ-alge-bra engendrada por esta algebra de partes. Estudiaremos, igualmente, algunasvariantes de este mecanismo de prolongacion.

Teorema 2.3.2 (Medida exterior asociada a una aplicacion). Sean K ⊂ P(X)un conjunto de partes de X tal que ∅, X ∈ K, y µ : K −→ R+ una aplicaciontal que µ(∅) = 0. Definimos para todo A ∈ P(X),

µ∗(A) = ınfRA

+∞∑

n=0

µ(An), (2.16)

en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (An)n∈N deA por medio de conjuntos An pertenecientes a K. Entonces µ∗ : P(X) −→ R+

es una medida exterior llamada la medida exterior asociada a la aplicacion µ.

Antes de pasar a la demostracion, es necesario hacer algunas observacio-nes sobre los objetos que intervienen en este enunciado. Observemos, para co-menzar, que el conjunto K no posee ninguna propiedad particular, solo debecontener a ∅ y X . Notemos, ademas, que RA no es vacıo: se puede construirun recubrimiento de A fijando An = X para todo n. Finalmente, la funcion µes muy sencilla, y no verifica ninguna propiedad especial, simplemente, exigi-mos que µ(∅) = 0. De estas observaciones, vemos que la funcion µ∗ esta biendefinida para todo A ∈ P(X) y que toma sus valores en R+.

Demostracion. Debemos verificar que esta funcion satisface las tres propiedadesde una medida exterior. Vemos en primer lugar que, si tomamos An = ∅ paratodo n, se obtiene µ∗(∅) = 0. En segundo lugar, si tenemos A ⊂ B, entonces

todo recubrimiento (Bn)n∈N de B es un recubrimiento de A; es decir, queRB ⊆ RA, lo que implica

µ∗(A) = ınfRA

+∞∑

n=0

µ(Bn) ≤ ınfRB

+∞∑

n=0

µ(Bn) = µ∗(B),

de donde se deduce el crecimiento de la funcion µ∗.

Finalmente, nos queda por verificar la σ-subaditividad de µ∗. Para ello,consideremos (An)n∈N, una sucesion de partes de X de reunion A; ε > 0, unreal; y (εn)n∈N, una sucesion de reales positivos tales que

∑

n∈N

εn < ε.

Por la definicion de cota inferior, existen conjuntos An,p ∈ K, con n, p ∈ N,tales que

An ⊂+∞⋃

p=0

An,p y

+∞∑

p=0

µ(An,p) ≤ µ∗(An) + εn.

Como esta ultima desigualdad es valida para todo n, obtenemos

∑

n,p∈N

µ(An,p) ≤+∞∑

n=0

µ∗(An) ++∞∑

n=0

εn ≤+∞∑

n=0

µ∗(An) + ε.

Dado que (An,p)n,p∈N es un recubrimiento numerable de A por medio de con-juntos pertenecientes a K, se tiene, por la formula (2.16), la desigualdad

µ∗(A) ≤∑

n,p∈N

µ(An,p) ≤+∞∑

n=0

µ∗(An) + ε,

de donde se deduce la σ-subaditividad de µ∗ si se hace a ε tender hacia cero.

Medida exterior de Hausdorff

Vamos a ilustrar el proceder del teorema anterior con un ejemplo importante demedida llamada lamedida de Hausdorff 10. El conjunto de base que utilizaremoses el espacio euclıdeo n-dimensional Rn dotado de su distancia natural d(x, y) =(∑n

i=1 |xi − yi|2)1/2

.Antes de pasar a los detalles de la construccion de esta medida, es necesario

dar una definicion preliminar: si A es un subconjunto de Rn y si (Ui)i∈N esuna sucesion de conjuntos convexos tales que A ⊂ ⋃

i∈N Ui, en donde 0 <diam(Ui) ≤ δ, diremos que (Ui)i∈N es un δ-recubrimiento de A.

10Felix Hausdorff (1868-1942), matematico aleman.

Si A es un subconjunto de Rn y si s es un real positivo, se define para δ > 0,la aplicacion:

Hsδ(A) = ınf

Rδ,A

+∞∑

i=0

diam(Ui)s, (2.17)

en donde el ınfimo considera todos los δ-recubrimientos de A notados Rδ,A.Se puede verificar, sin mucha dificultad, que esta aplicacion es una medida

exterior: basta utilizar el teorema 2.3.2. Notemos que esta aplicacion es unafuncion decreciente del parametro δ; en efecto, sean δ1 ≤ δ2 dos reales positivos,entonces se tiene la inclusion Rδ1,A ⊂ Rδ2,A, de donde se deduce que

Hsδ2(A) ≤ Hs

δ1(A).

Definicion 2.3.6 (Medida exterior s-dimensional de Hausdorff). Para obtenerla medida exterior s-dimensional de Hausdorff de un subconjunto A de Rn,hacemos δ −→ 0, de manera que

Hs(A) = lımδ→0

Hsδ(A) = sup

δ>0Hs

δ(A). (2.18)

Observemos que el lımite anterior siempre existe, pero puede ser infinito,puesto que Hs

δ crece si δ decrece.

Ahora verifiquemos que esta cantidad es, efectivamente, una medida exte-rior. Como diam(∅) = 0, se tiene que Hs(∅) = 0. Ademas, si A,B son doselementos de P(X) tales que A ⊂ B entonces Rδ,B ⊂ Rδ,A; por lo tanto, tene-mos Hs

δ(A) ≤ Hsδ(B) y, en el lımite, se tiene Hs(A) ≤ Hs(B), lo que muestra

que Hs es creciente.Ahora mostremos que Hs es numerablemente subaditiva. Para ello, consi-

deremos una sucesion numerable (An)n∈N de conjuntos de X . Debemos, pues,comprobar la desigualdad

Hs

(⋃

n∈N

An

)

≤∑

n∈N

Hs(An).

Vemos que, si existe un entero n tal que Hs(An) = +∞, esta desigualdad estrivial, lo que nos permite suponer, sin perdida de generalidad, que para todon se tiene Hs(An) < +∞, y por lo tanto, que Hs

δ(An) < +∞ para todo δ > 0.Fijemos dos parametros reales δ > 0 y η > 0. Para todo n, existe una

familia numerable (Bn,k)k∈N de abiertos de diametro inferior a δ que forma unrecubrimiento numerable de An y tal que

∑

k∈N

diam(Bn,k)s ≤ Hs

δ(An) +η

2n.

Tenemos, entonces, (Bn,k)n,k∈N es una familia numerable de abiertos de diame-tro inferior a δ y es un recubrimiento de la union de los conjuntos An. Obtene-mos, entonces:

Hsδ(A) ≤

+∞∑

n=0

+∞∑

k=0

diam(Bn,k)s ≤

+∞∑

n=0

Hsδ(An) + η.


Dado que el parametro η es arbitrario, se tiene, finalmente,

Hsδ(A) ≤

+∞∑

n=0

Hsδ(An),

y, al pasar al lımite superior sobre δ, se obtiene

Hs(A) ≤+∞∑

n=0

Hs(An).

Concluimos, entonces, que Hs es una medida exterior.

Por el teorema 2.3.1, la restriccion de Hs a la σ-algebra formada por losconjuntos Hs-medibles es una medida que sera llamada la medida de Hausdorffs-dimensional. Hemos, entonces, construido una medida asociada a la aplica-cion diam, que asocia a todo conjunto su diametro, siguiendo los pasos delteorema anterior.

Demos unos ejemplos de calculo de medida de Hausdorff.

(i) Empecemos por un caso simple: fijemos s = 0 y calculemos H0(A) endonde A = x. Por la formula (2.17), tenemos

H0δ(A) = ınf

Rδ,A

+∞∑

i=0

diam(Ui)0 = ınf

Rδ,A

+∞∑

i=0

Vemos que esta formula no hace mas que contar el numero de conjun-tos Ui que pertenecen a los diferentes Rδ,A recubrimientos de A. Comodiam(A) = 0, si δ tiende hacia cero y como el mas pequeno recubrimientode A esta dado por el mismo conjunto A, se deduce que H0(A) = 1.

Por σ-aditividad, tenemos que para todo conjunto A ⊂ Rn numerable,la medida H0(A) representa el cardinal del conjunto A. Puesto que estaidentidad se mantiene en el caso de los conjuntos no numerables, conclui-mos que H0 no es mas que la medida de conteo.

(ii) Consideremos s > 0 y calculemos Hs(A) con A = x. Tenemos que,para todo δ > 0 y todo recubrimiento numerable (Ui)i∈N de A,

Hsδ(A) = ınf

Rδ,A

+∞∑

i=0

diam(Ui)s = 0;

de manera que, para todo s > 0, se tiene Hs(A) = 0 .

(iii) Veremos mas adelante que, si n = 1 y s = 1, la medida de HausdorffH1 sobre la recta real R coincide con la medida de Lebesgue. Veamos, sinembargo, un pequeno ejemplo. Si A =]0, 1[, no es difıcil ver que para todoδ > 0 se tiene H1

δ(A) = 1, de manera que, al pasar al lımite, se obtieneH1(A) = 1, lo que corresponde con la longitud del intervalo ]0, 1[.

El lector puede encontrar mas detalles y propiedades de esta medida en elejercicio 2.19.

Con los teoremas 2.3.1 y 2.3.2, vemos que es, relativamente, sencillo cons-truir medidas exteriores y obtener espacios medidos completos. Sin embargo,estos resultados no nos proporcionan ninguna informacion sobre el tamano dela σ-algebra Mµ∗ . Como habıamos dicho en la introduccion de esta seccion,nuestro objetivo es construir una medida que este definida sobre una σ-algebrasuficientemente rica. En este caso, es bastante natural exigir, por ejemplo, queMµ∗ contenga la σ-algebra engendrada por una cierta coleccion de conjuntosconsiderados interesantes.

El resultado a continuacion replantea la problematica del teorema 2.3.2 apartir de una funcion aditiva de conjuntos m : A −→ R+. Este punto es, talvez, el mas importante en el proceso de construccion de medidas a partir delos objetos que habıamos definido en la primera seccion de este capıtulo. Paralograrlo, necesitaremos, en particular, algunas hipotesis sobre la funcion aditivade conjuntos de manera que la medida obtenida coincida sobre el algebra departes A con la funcion m. El enunciado es el siguiente.

Teorema 2.3.3 (Prolongacion de Caratheodory11). Sean A una algebra departes sobre X y m : A −→ R+ una funcion aditiva de conjuntos. Bajo lacondicion:

(a) para toda sucesion decreciente (An)n∈N de elementos de A, se tiene laimplicacion:

(

m(A0) < +∞ y⋂

n∈N

An = ∅)

=⇒ m(An) −→n→+∞

0.

A esta condicion se anade la siguiente en el caso en que m(X) = +∞:

(b) X se puede expresar como la union de una sucesion creciente de conjuntos(Xn)n∈N ∈ A con m(Xn) < +∞ y tal que

(A ∈ A y m(A) = +∞) =⇒ m(A ∩Xn) −→n→+∞

+∞.

Se tiene que:

1) la medida exterior µ∗, asociada a la funcion aditiva m en el sentido delteorema 2.3.2; es decir,

µ∗(A) = ınfRA

+∞∑

n=0

m(An) (2.19)

(en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables(An)n∈N de A por medio de conjuntos An pertenecientes a A), prolongala aplicacion m en el sentido de que para todo conjunto A ∈ A, se tieneµ∗(A) = m(A).

11Constantin Caratheodory (1873-1950), matematico griego.

2) la σ-algebra Mµ∗ de los conjuntos µ∗-medibles contiene el algebra A y,por lo tanto, contiene la σ-algebra σ(A) engendrada por A.

3) si ν es una medida definida sobre σ(A), tal que para todo A ∈ A se tengaν(A) = m(A), entonces se tiene la identidad µ∗ = ν sobre σ(A).

Dicho de otra manera, este teorema nos asegura que, a partir de una funcionaditiva de conjuntos m, definida sobre una algebra de partes A, es posibleobtener una medida completa µ∗ definida sobre la σ-algebra Mµ∗ que contieneσ(A), y se tiene, ademas, que esta prolongacion es unica.

Antes de comenzar con la demostracion, demos otra formulacion de lashipotesis de este teorema.

Lema 2.3.2. Las dos condiciones (a) y (b) del teorema 2.3.3 implican la con-dicion siguiente: si (An)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de A talque

⋃

n∈NAn ∈ A, entonces

m

(⋃

n∈N

An

)

=∑

n∈N

m(An). (2.20)

Demostracion. Sea (An)n∈N una sucesion de conjuntos disjuntos de A tal que⋃

n∈NAn ∈ A. Si A =⋃

n∈NAn es tal que m(A) < +∞, definamos Bn =A\⋃n

j=0 Aj . Entonces estos conjuntos forman una sucesion decreciente y todospertenecen a A. Tenemos, entonces, la identidad

m(A) =

n∑

j=0

m(Aj) +m(Bn).

Hacemos n → +∞ y utilizamos la condicion (a), lo que nos asegura quem(Bn) −→

n→+∞0, de donde se deduce el resultado deseado.

Cuando m(A) = +∞, utilizamos la sucesion de conjuntos (Xn)n∈N de lacondicion (b). Sabemos, en particular, que se tiene m(A ∩ Xn) −→ +∞. Sinembargo, dado que m(A∩Xn) < +∞ y que A∩Xn =

⋃

i∈N Ai ∩Xn, podemosaplicar la primera parte de la demostracion de este lema para obtener

m(A ∩Xn) =

+∞∑

i=0

m(Ai ∩Xn) ≤+∞∑

i=0

m(Ai),

lo que implica que la parte derecha de esta expresion es infinita, con lo que setermina la demostracion.

Demostracion del teorema 2.3.3. Mostremos primero que la medida exterior µ∗

asociada a m prolonga efectivamente m.Sea, pues, A un elemento del algebra A. Si fijamos una sucesion A0 = A

y An = ∅ para todo n ≥ 1, obtenemos un recubrimiento de A y por laformula (2.19), deducimos la desigualdad µ∗(A) ≤ m(A). Para obtener ladesigualdad recıproca, vamos a utilizar el lema 2.3.2, que se deduce de las


hipotesis hechas sobre la funcion aditiva de conjuntos m. Sea A ∈ A, dadoque todo recubrimiento (que podemos suponer disjunto) (An)n∈N de A conAn ∈ A, puede ser reemplazado por (Bn)n∈N con Bn = A ∩ An, tenemos que∑

n∈N m(Bn) ≤∑

n∈Nm(An). Aplicamos, entonces, la formula (2.20) para obte-ner m(A) =

∑

n∈N m(Bn) ≤ µ∗(A). Obtenemos, ası, la identidad µ∗(A) = m(A)para todo elemento A del algebra de partes A.

Ahora verifiquemos que la σ-algebra Mµ∗ de los conjuntos µ∗-medibles con-tiene el algebraA. De modo mas preciso, demostremos que todo conjuntoA ∈ Aes µ∗-medible. Para ello, fijamos E ∈ P(X) un conjunto cualquiera y A ∈ A.Sea (Bn)n∈N una sucesion de elementos de A que recubre E. No es difıcil verque los conjuntos Bn ∩A recubren E ∩A y que los conjuntos Bn ∩Ac recubrenE ∩ Ac. Tenemos entonces, por definicion de la medida exterior asociada, ladesigualdad

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≤∑

n∈N

m(Bn ∩ A) +∑

n∈N

m(Bn ∩ Ac) =∑

n∈N

m(Bn).

Si tomamos el ınfimo sobre todos los recubrimientos (Bn)n∈N, obtenemos ladesigualdad

µ∗(E ∩ A) + µ∗(E ∩ Ac) ≤ µ∗(E).

Como la desigualdad recıproca es evidente por la subaditividad de las medidasexteriores, podemos concluir que A es un conjunto µ∗-medible. Ası, se tiene quela σ-algebra Mµ∗ contiene el algebra A y, por lo tanto, contiene la σ-algebraengendrada σ(A).

Finalmente, demostremos la unicidad de la prolongacion. Esta verificacionno es difıcil. En efecto, con las hipotesis asumidas para la funcion aditiva deconjuntos m y con el hecho de que para todo A ∈ A, se tiene ν(A) = m(A) =µ∗(A), tenemos todo lo necesario para la aplicacion del teorema de unicidad delas medidas 2.2.6, con lo que concluimos que µ∗ = ν sobre σ(A); es decir, existeuna unica medida definida sobre σ(A) que coincide con la funcion aditiva deconjuntos m sobre A.

Observacion 2.8. Gracias a este teorema, obtenemos dos resultados que con-viene distinguir al fijar un poco de terminologıa.

1. A partir de una algebra de partes A y de una funcion aditiva de conjuntosm definida sobre ella, obtenemos una prolongacion de estas estructurasal espacio medido (X,Mµ∗ , µ∗).

2. Dado que la σ-algebra Mµ∗ contiene la σ-algebra engendrada σ(A), ob-tenemos, adicionalmente, una extension del algebra A y de la funcionaditiva m al espacio medido (X, σ(A), µ∗

|σ(A)).

Notese que, al pasar de la prolongacion a la extension podemos perder al-gunas propiedades importantes. En particular, el espacio medido prolongado


(X,Mµ∗ , µ∗) es siempre completo por el teorema 2.3.1, mientras que no dispo-nemos, en general, de ningun resultado similar para el espacio medido extendido(X, σ(A), µ∗

|σ(A)).

El corolario siguiente nos muestra que, si aplicamos el teorema de prolon-gacion de Caratheodory 2.3.3 a una medida definida sobre una σ-algebra, po-demos simplificar sensiblemente la expresion (2.19) que determinaba la medidaexterior asociada.

Corolario 2.3.1. Sea (X,A , µ) un espacio medido. Entonces la medida exte-rior asociada a µ esta determinada por la formula

µ∗(A) = ınfµ(B) : A ⊂ B,B ∈ A . (2.21)

Demostracion. Sean A un elemento de P(X) y B ∈ A tales que A ⊂ B.Construimos un recubrimiento numerable de A escribiendo A0 = B y An = ∅para todo n ≥ 1, de manera que se tiene µ∗(A) ≤ µ(B) y esto muestra que

µ∗(A) ≤ ınfµ(B) : A ⊂ B,B ∈ A .

Recıprocamente, sea ε > 0 un real; existe, entonces, una sucesion (Bn)n∈N ∈ A

tal que A ⊂ ⋃n∈NBn y tal que∑

n∈N µ(Bn) ≤ µ∗(A) + ε.Escribamos ahora B =

⋃

n∈NBn ∈ A . Obtenemos, por la σ-subaditividadde la medida µ (vease lema 2.2.4), que µ(B) ≤ µ∗(A)+ε. Puesto que el parame-tro ε es arbitrario, obtenemos la desigualdad deseada.

Veamos otro resultado importante.

Corolario 2.3.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido y µ∗ la medida exteriorasociada a µ. Entonces para todo conjunto A ∈ P(X), existe un conjunto B ∈A tal que A ⊂ B y µ∗(A) = µ(B).

Demostracion. Sea (εn)n∈N una sucesion de reales positivos tal que εn −→n→+∞

0.

Existe por lo tanto, por la definicion de la medida exterior µ∗, un conjuntoBn ∈ A tal que A ⊂ Bn y µ(Bn) ≤ µ∗(A) + εn.

Definimos entonces B =⋂

n∈NBn ∈ A de manera que se tiene A ⊂ B. Pordefinicion de µ∗ y por la propiedad de crecimiento de la medida µ, obtenemos:

µ∗(A) ≤ µ(B) ≤ µ(Bn) ≤ µ∗(A) + εn,

lo que permite concluir que µ∗(A) = µ(B) al pasar al lımite en la sucesionεn.

Terminamos esta seccion con un breve recuento de los resultados obtenidos.El punto de partida es una funcion aditiva de conjuntos m definida sobre una

algebra de partes A de un conjunto X . El teorema 2.3.2 nos permite asociar aesta funcion una medida exterior µ∗ definida sobre P(X). Ahora, si considera-mos los conjuntos µ∗-medibles, obtenemos, gracias el teorema 2.3.1, un espaciomedido completo (X,Mµ∗ , µ∗). Finalmente, por el teorema de Caratheodory


2.3.3, sabemos que la medida exterior µ∗ prolonga la funcion aditiva de conjun-tos m, y es posible considerar la extension de esta funcion aditiva de conjuntosm, puesto que la σ-algebra σ(A) esta contenida en Mµ∗ .

Esta concatenacion de resultados, que visualizamos con el esquema a con-tinuacion, nos permite extender las funciones aditivas de conjuntos definidassobre algebras de partes a las σ-algebra engendradas por estas algebras departes.

(X,A,m)

(X,P(X), µ∗)

(X,Mµ∗ , µ∗)

(X, σ(A), µ∗|σ(A)

)

Prolonga

cion

Extension

Figura 2.3: Prolongacion y extension de funciones aditivas de conjuntos

2.3.3 Completacion de medidas

En lo que sigue, vamos a presentar dos resultados que nos permitiran completarlas medidas sin pasar, necesariamente, por la construccion de medidas exterio-res. Con el teorema 2.3.4, expondremos como construir esta completacion demedidas; con el teorema 2.3.5, estudiaremos las relaciones entre este metodo yla completacion de medidas realizada por medio de las medidas exteriores.

Como el lector tendra la oportunidad de apreciar, este proceso de comple-tacion de una medida es relativamente mas intuitivo y directo, pero tiene comopunto de partida un espacio medido y no, como en la seccion anterior, unaalgebra de partes y una funcion aditiva de conjuntos.

El primer enunciado es el siguiente.

Teorema 2.3.4 (completacion). Sean (X,A , µ) un espacio medido y Dµ elconjunto de partes µ-despreciables de X. Entonces

1) El conjunto A , determinado por

A = A ∪D en donde A ∈ A , D ∈ Dµ, (2.22)

es una σ-algebra sobre X.

2) Existe una unica medida µ : A −→ R+ que coincide con µ sobre A yque hace del espacio (X,A , µ) un espacio medido completo. Esta medi-da esta definida de la siguiente manera: dado que, para todo A′ ∈ A ,tenemos A′ = A ∪D con A ∈ A y D ∈ Dµ, definimos

µ(A′) = µ(A). (2.23)


La σ-algebra A es llamada la σ-algebra completada de A para la medidaµ, y la medida µ es la medida completada de la medida µ.

3) El espacio medido (X,A , µ) es la mas pequena extension completa de µ.

Demostracion. Verifiquemos la primera afirmacion. Dado que el conjunto vacıoes despreciable, no es muy difıcil ver que A contiene A y, por lo tanto, X ∈ A .Es evidente que A es estable por union numerable, puesto que los conjuntosA y Dµ lo son, de manera que solo debemos verificar que A es estable porcomplementacion.

Sea, pues, A′ = A ∪D con A ∈ A y D ∈ Dµ, entonces existe un conjuntoB ∈ A tal que D ⊂ B y µ(B) = 0. Tenemos, por lo tanto, que

A′c = X \ (A ∪D) = (X \A ∪B) ∪ C,

en donde X \ A ∪ B ∈ A y C = (B \ D) \ A ∈ Dµ, lo que muestra que, siA ∈ A , entonces Ac ∈ A . De donde obtenemos que A es una σ-algebra sobreX .

Pasemos a la segunda afirmacion. Veamos primero que la aplicacion µesta bien definida. Si A′ = A1 ∪ D1 = A2 ∪ D2 con Ai ∈ A y Di ∈ Dµ,debemos tener µ(A1) = µ(A2) = µ(A′). En efecto, dado que existen dos con-juntos Bi ∈ A , con i = 1, 2, tales que µ(Bi) = 0 y Di ⊂ Bi, se tiene que

A1 ⊂ A2 ∪D2 ⊂ A2 ∪B2,

y, por lo tanto, se obtiene µ(A1) ≤ µ(A2∪B2) = µ(A2). Si se razona de manerasimilar, se deduce que µ(A2) ≤ µ(A1), lo que implica la igualdad de estas doscantidades.

Veamos ahora que la aplicacion µ es en verdad una medida. Se tiene, sinproblema, que µ(∅) = 0 y, por las lıneas precedentes, que, si A′ ⊂ B′ conA′, B′ ∈ A , entonces µ(A′) ≤ µ(B′). Finalmente, si (A′

n)n∈N es una sucesiondisjunta de conjuntos de A , tenemos

µ

(⋃

n∈N

A′n

)

= µ

(⋃

n∈N

An ∪⋃

n∈N

Dn

)

= µ

(⋃

n∈N

An

)

=∑

n∈N

µ(An) =∑

n∈N

µ(A′n).

Obtenemos, pues, que µ es una medida definida sobre la σ-algebra A .Comprobemos la unicidad de la medida µ. Sea ν otra medida definida sobre

A que coincide con µ sobre A . Puesto que todo A′ ∈ A se expresa de la formaA′ = A ∪ D ⊂ A ∪ B, con D ∈ Dµ y µ(B) = 0, tenemos las desigualdadesν(A′) ≤ ν(A ∪B) = µ(A∪B) = µ(A). Dado que se tiene, ademas, la inclusionA ⊂ A ∪ D = A′, obtenemos µ(A) = ν(A) ≤ ν(A ∪ D) = ν(A′), de donde sededuce que ν(A′) = µ(A) para todo A′ ∈ A , y se obtiene, de esta forma, launicidad de la medida definida por la formula (2.23).

Mostremos que esta medida es completa. Para ello, consideramos E = A ∪D ∈ A un conjunto de µ-medida nula y F una parte de E. Puesto que µ(A) = 0,


por lo tanto, E es µ-despreciable, lo que implica que F tambien lo es. Tenemos,entonces, que F ∈ Dµ ⊂ A y que el espacio medido (X,A , µ) es completo.

Para terminar, verifiquemos que este prolongamiento es el mas pequeno.Consideremos (X, A , µ), otro espacio medido completo que contiene el espacio(X,A , µ) tal que µ coincide con µ sobre A . Tenemos, necesariamente, que

Dµ ⊂ A ; ademas, como A ⊂ A , se obtiene A ⊂ A . Finalmente, por la unici-dad que acabamos de establecer, se tiene que µ|

A= µ, con lo que terminamos

la demostracion.

Hemos visto que a partir de un espacio medido (X,A , µ), podemos cons-truir un espacio medido completo, si se utiliza la medida exterior µ∗ asociadaa la medida µ. Pero, por completacion de la medida inicial, obtenemos otroespacio medido completo, y es muy natural preguntarse aquı que relacionesexisten entre estos espacios y bajo que condiciones se tiene la identidad entrelos espacios medidos (X,Mµ∗ , µ∗) y (X,A , µ).

La situacion que tenemos ahora, despues de estos resultados, puede serilustrada con el grafico siguiente.

3

QQQs

6

?

(X,A , µ)

(X,Mµ∗ , µ∗)

(X,A , µ)

Figura 2.4: Prolongacion y completacion de medidas

Observemos que estos espacios no son, por lo general, iguales. En efecto, porel teorema anterior, se tiene la inclusion A ⊂ M

µ∗ (puesto que A es la maspequena σ-algebra completa que contiene A ), y esta inclusion puede ser estric-ta como nos lo muestra el ejemplo siguiente. Sea X un conjunto no numerable.Definimos una σ-algebra A al considerar las partes de X que son numerables ocuyos complemento son numerables. Consideramos la aplicacion µ : A −→ R+

como la restriccion a A de la medida de conteo. Vemos que esta medida escompleta y que toda parte de X es µ∗-medible, de modo que A 6= Mµ∗ .

El resultado a continuacion nos da una condicion necesaria para tener laidentidad entre A y Mµ∗ .

Teorema 2.3.5. Sea (X,A ) un espacio medible y sea µ : A −→ R+ unamedida σ-finita. Entonces el espacio medido (X,Mµ∗ , µ∗) es la completacion delespacio medido (X,A , µ). Es decir que se tiene la identidad entre (X,Mµ∗ , µ∗)y (X,A , µ).

Demostracion. Debemos demostrar que se tiene la identidad A = Mµ∗ . Te-nemos, por el teorema anterior, la inclusion A ⊂ Mµ∗ , de manera que solodebemos verificar que todo conjunto µ∗-medible A pertenece a la σ-algebra A .

Vamos a suponer primero que la cantidad µ∗(A) es finita. Sabemos, porcorolario 2.3.2, que existe un conjunto B ∈ A tal que A ⊂ B y µ∗(A) = µ(B).Como la restriccion de µ∗ a A es una medida que coincide con µ y µ∗(A) esfinito, se deduce que µ∗(B \ A) = 0. Utilizamos otra vez el mismo resultado:existe un conjunto C ∈ A tal que B\A ⊂ C y µ∗(C) = µ(B\A) = 0. Tenemos,entonces, A = (B \C)∪ (A∩C), en donde B \C ∈ A y A∩C ⊂ C, con C ∈ A

un conjunto de medida nula, lo que muestra que A se escribe como la union deun elemento de A y de un elemento de Dµ y, por lo tanto, pertenece a A .

En el caso general, el espacio X puede escribirse como la union de unasucesion creciente de conjuntos An ∈ A de medida finita. Tenemos, entonces,que todo elemento de Mµ∗ se escribe como A =

⋃+∞n=0(A ∩ An), en donde

(A ∩ An) ∈ Mµ∗ y µ∗(A ∩ An) ≤ µ∗(An) = µ(An) < +∞. Dado que losconjuntos A ∩ An pertenecen a A , por la primera parte, podemos concluirsin ningun problema y obtenemos, de esta forma, la identidad entre estos dosespacios medidos completos.

Concluimos esta seccion con un grafico que completa la figura 2.3:

(X,A,m)

(X,P(X), µ∗)

(X,Mµ∗ , µ∗)

(X, σ(A), µ∗|σ(A)

)

(X,A , µ)

Prolonga

cion

Extension

Comple

tacion

Figura 2.5: Prolongacion, extension y completacion de medidas

2.4 Medidas Borelianas

En todas las secciones anteriores, hemos expuesto como construir aplicacionesque miden conjuntos y sus diferentes propiedades, sin exigir ninguna propiedadespecial sobre el conjunto de base X utilizado. En esta seccion, vamos a pedirque el conjunto sobre el cual definiremos las medidas este dotado de una topo-logıa de espacio separado para trabajar sobre la σ-algebra de los Borelianos.

Como habıamos comentado en el primer capıtulo, los casos mas interesantespara nuestro estudio no son los espacios topologicos mas generales, sino los queposeen cierto tipo de propiedades adicionales, como los espacios topologicosseparados localmente compactos y es, en este contexto, que enunciaremos losprincipales teoremas de esta seccion.

Hemos organizado nuestra presentacion en cuatro subsecciones. En la pri-mera estudiaremos los conjuntos borelianos de Rn un poco mas en detalle; en lasegunda presentaremos las propiedades principales de las medidas borelianas;

2.4 Medidas Borelianas 97

en la tercera construiremos la medida de Lebesgue sobre Rn, y concluıremos,en la cuarta subseccion, con la exposicion de conjuntos que no son Lebesgue-medibles ilustrando de esta manera algunos fenomenos anunciados brevementeen las seciones anteriores.

2.4.1 Rapida descripcion de los conjuntos Borelianos

Veamos un poco mas en detalle los conjuntos que pertenecen a la σ-algebraboreliana Bor(Rn). Fijemos para ello algunas notaciones que nos serviran paradar una breve descripcion de estos conjuntos muy especiales.

Definicion 2.4.1. Notaremos con G la familia formada por todos los subcon-juntos abiertos de Rn y con F el conjunto de todos los cerrados de Rn. Se defineGδ como la coleccion de todas las intersecciones numerables de sucesiones deconjuntos de G y, simetricamente, con notamos Fσ la coleccion de todas lasuniones numerables de sucesiones de conjuntos de F . Un conjunto que perte-nece a Gδ sera denominado un Gδ-conjunto o conjunto de tipo Gδ y, de lamisma forma, un conjunto que pertenece a Fσ, Fσ-conjunto o conjunto de tipoFσ. Esta definicion se generaliza a todo espacio topologico X.

Por ejemplo, en el caso de R, la familia de los intervalos abiertos es unsubconjunto de G. Notemos que las letras “G” y “F”, utilizadas en las de-finiciones anteriores, provienen del aleman Gebiet, que significa region, y delfrances Ferme, que significa cerrado. Las letras σ y δ provienen en cambio delas palabras alemanas Summe y Durchschnitt, que significan suma y promedio,respectivamente.

La proposicion siguiente nos permite caracterizar los conjuntos abiertos ylos conjuntos cerrados de Rn en funcion de las familias Gδ y Fσ.

Proposicion 2.4.1. Todo subconjunto cerrado de Rn es un Gδ-conjunto y cadaconjunto abierto de Rn es un Fσ-conjunto.

Demostracion. Supongamos que F es un conjunto cerrado de Rn. A partir dela distancia euclıdea de Rn, definamos los conjuntos

Un = x ∈ Rn : d(x, y) < 1/n, con y ∈ F.

Es claro que cada Un es abierto y que F ⊂ ⋂n≥1 Un. La inclusion recıproca seobtiene por el hecho de que F es cerrado y de que cada punto en

⋂

n≥1 Un esel lımite de una sucesion de puntos de F . Por lo tanto, todo conjunto cerradode Rn es un conjunto de tipo Gδ.

Si U es un abierto, su complemento U c es cerrado y es, por lo tanto, unconjunto Gδ. Existe, entonces, una sucesion (Un)n≥1 de conjuntos abiertos talesque U c =

⋂

n≥1 Un. Los conjuntos U cn son cerrados y U =

⋃

n≥1 Ucn, lo que

significa que U es un conjunto de tipo Fσ.

Observamos que se tienen las identidades G = Gσ y F = Fδ, y que es posibleiterar las operaciones representadas por los sımbolos σ y δ para obtener, a partir

de la coleccion G, las clases Gδ, Gδσ, Gδσδ , etcetera. De la misma manera, a partirde la coleccion F , se obtienen las clases Fσ, Fσδ, Fσδσ, etcetera.

Todos estos conjuntos son borelianos y las clases que terminan en σ sonestables por union numerable e interseccion finita; estas propiedades se invier-ten para las clases que se terminan en δ. Es posible razonar por recurrencia,pero la union de estas clases es estrictamente mas pequena que la σ-algebraboreliana. Hay, entonces, que proceder mediante una recurrencia transfinita sise desea describir de esta manera todos los conjuntos borelianos. Por suerte, enla practica, no es necesario llevar a cabo este proceso. Demos un ejemplo. Sea(fn)n∈N una sucesion de funciones reales continuas sobre [0, 1]; tenemos que elconjunto

A =

x ∈ [0, 1] : fn(x) −→n→+∞

0

es de tipo Fσδ.En efecto, el conjunto AN,k = x ∈ [0, 1] : |fn(x)| ≤ 1/k; n ≥ N es

cerrado, pues las funciones son continuas. Si consideramos las uniones de estosconjuntos, y las notamos con Ak, no es muy difıcil ver que A es la interseccionde estos conjuntos Ak, de manera que A resulta de la union y de la interseccionde cerrados y, por lo tanto, es un conjunto de tipo Fσδ.

Veamos una variante de este ejemplo.

Proposicion 2.4.2. Si f : X −→ R es una funcion continua y c es un real,entonces los tres conjuntos siguientes:

x ∈ X : f(x) ≥ c, x ∈ X : f(x) = c y x ∈ X : f(x) ≤ c

son cerrados de tipo Gδ.

Demostracion. Como se tienen las identidades

x : f(x) ≥ c = x : −f(x) ≤ −c

yx : f(x) = c = x : f(x) ≥ c ∩ x : f(x) ≤ c,

es suficiente estudiar el conjunto x ∈ X : f(x) ≤ c. El hecho de que esteconjunto es cerrado, y que para todo n ∈ N∗ el conjunto x ∈ X : f(x) <c+ 1/n es abierto, se deduce de la continuidad de f . Finalmente, puesto quese tiene la identidad

x ∈ X : f(x) ≤ c⋂

n≥1

x ∈ X : f(x) < c+ 1/n,

se concluye que este conjunto es de tipo Gδ.

Observacion 2.9. Estos resultados no nos dicen nada sobre que tan grandees el conjunto de los borelianos de R en terminos de cardinalidad. Sin embargo,es posible demostrar que la σ-algebra Bor(R) tiene la potencia del continuo,(vease por ejemplo [30]).


El siguiente teorema es una generalizacion de la proposicion 2.4.1 a losespacios topologicos localmente compactos de base numerable.

Teorema 2.4.1. Sea X un espacio topologico separado localmente compacto debase numerable. Entonces cada abierto de X es un conjunto de la forma Fσ y esla union numerable de una sucesion de conjuntos compactos. Simetricamente,todo subconjunto cerrado de X es un conjunto de la forma Gδ.

Demostracion. Sean B una base numerable de la topologıa de X y U un con-junto abierto de X .

Notamos con BU la coleccion de conjuntos B de B tales que B es compactoy contenido en U . Si tomamos la coleccion de todos los abiertos contenidos enU , tenemos, por la proposicion 1.2.9, que, para todo punto x ∈ U , existe unavecindad V tal que V ⊂ U , lo que implica que U es la union de las clausurasde los conjuntos de BU . Obtenemos, entonces, que U es la union numerable deconjuntos cerrados.

Supongamos ahora que C es un conjunto cerrado de X ; luego, su comple-mento es abierto y es, entonces la union de una sucesion (Dn)n∈N de cerrados.Por lo tanto, C es la interseccion de los conjuntos abiertos Dc

n, con lo queterminamos la demostracion.

Con esto hemos terminado nuestra breve exposicion sobre los conjuntos bo-relianos. A continuacion, estudiaremos las propiedades de las medidas definidassobre este tipo muy especial de conjuntos.

2.4.2 Regularidad de las medidas Borelianas

Vamos a estudiar ahora algunas propiedades de las medidas definidas sobrelos conjuntos borelianos. Estas propiedades son de gran importancia en lasaplicaciones posteriores; en particular, la nocion de regularidad de una medidanos permitira hacer muchas aproximaciones y calculos que serıan imposiblessi no dispondrıamos de este concepto. Veremos en los capıtulos siguientes al-gunas aplicaciones de estas herramientas: por ejemplo, en el capıtulo 4, estanocion nos permitira obtener resultados de densidad entre espacios funciona-les. Veremos tambien que una gran variedad de funcionales lineales pueden serrepresentados de una forma muy util mediante medidas regulares (vease porejemplo el teorema de representacion de Riesz en el volumen 2).

La nocion de σ-compacidad nos sera de utilidad en los resultados siguientes.

Definicion 2.4.2 (Espacio σ-compacto). Diremos que un espacio topologicoX separado localmente compacto es σ-compacto si es la union de una coleccionnumerable de conjuntos compactos (Kn)n∈N.

Por ejemplo, la recta real R es un espacio σ-compacto, pues la coleccion decompactos

Ak = [k − 1, k + 1] : k ∈ Zrecubre R y es de cardinal numerable.

El siguiente resultado nos da una condicion suficiente para que un espaciotopologico sea σ-compacto.

Lema 2.4.1. Todo espacio topologico separado localmente compacto con unabase numerable es σ-compacto.

Demostracion. Este lema es una consecuencia directa del teorema 2.4.1 puestodo espacio topologico es un abierto. En efecto, dado que X es abierto, esposible expresarlo como la union de una sucesion numerable de conjuntos com-pactos.

Demos ahora la definicion mas importante de esta seccion.

Definicion 2.4.3 (Medida boreliana, medida regular). Sea X un espacio to-pologico separado.

1) Una medida boreliana sobre X es una medida cuyo dominio de definiciones la σ-algebra de los borelianos Bor(X).

2) Sea A una σ-algebra sobre X tal que Bor(X) ⊂ A . Una medida µ defi-nida sobre A es regular si verifica las condiciones siguientes:

(i) Cada subconjunto compacto K de X es de medida finita: µ(K) <+∞.

(ii) Cada conjunto A ∈ A verifica:

µ(A) = ınfµ(U); A ⊂ U con U abierto.

(iii) Cada subconjunto abierto U verifica:

µ(U) = supµ(K); K ⊂ U con K compacto.

Una medida boreliana regular sobre X es, entonces, una medida regular cuyodominio es el conjunto de los borelianos de X.

Observese que, como el espacio topologicoX es separado, los compactos soncerrados (vease el corolario 1.2.1 en la pagina 13) y, por lo tanto, son conjuntosborelianos. Verificaremos posteriormente que la medida de Lebesgue λ es unamedida regular. Por el contrario, el lector puede ver, sin mayor problema, quela medida gruesa definida en la pagina 67 no es una medida regular, pues noes finita sobre todo compacto.

Observacion 2.10. Una medida que satisface unicamente la segunda con-dicion es llamada regular exteriormente, mientras que, si verifica la terceracondicion, diremos que es una medida regular interiormente.

Los dos resultados que siguen nos muestran el comportamiento de la regu-laridad con respecto a las medidas exteriores y a la completacion de medidas.

Proposicion 2.4.3. Sean X un espacio topologico separado, A ⊃ Bor(X),µ : A −→ R+ una medida regular y µ∗ la medida exterior asociada a µ. En-tonces se tiene, para todo A ∈ P(X), la formula

µ∗(A) = ınf µ(U); A ⊂ U con U abierto .

Demostracion. Sean ε > 0 un real y A ∈ P(X). Existe, por definicion demedida exterior µ∗, una familia de conjuntos An ∈ A tales que

A ⊂+∞⋃

n=0

An y

+∞∑

n=0

µ(An) ≤ µ∗(A) + ε.

Sea (εn)n∈N una sucesion de reales positivos tales que∑+∞

n=0 εn < ε. Por laregularidad exterior de la medida µ, existen abiertos Un ⊃ An tales que µ(Un) ≤µ(An) + εn. Dado que el abierto U =

⋃

n∈N Un contiene A, se tiene que

µ(U) ≤+∞∑

n=0

µ(Un) ≤+∞∑

n=0

(µ(An) + εn) ≤ µ∗(A) + ε,

de donde se deduce el resultado deseado.

Proposicion 2.4.4. Sea µ : A −→ R+ una medida regular y σ-finita. Entoncesla medida completada µ es regular.

Demostracion. Como todo compacto pertenece a Bor(X) ⊂ A y µ coincidecon µ sobre A , se obtiene, sin problema, que µ es finita sobre los compactos.Por un razonamiento similar se deduce la tercera condicion de la definicion2.4.3.

La unica propiedad que queda por verificar es el punto (ii), pero dado queen este caso se tiene la identidad (X,A , µ) = (X,Mµ∗ , µ∗), esta propiedad deµ se deduce de la proposicion anterior.

Una de las principales caracterısticas de las medidas regulares es la posibi-lidad de aproximar la medida de un conjunto medible utilizando los conjuntosusuales en topologıa (es decir los conjuntos abiertos, cerrados y compactos)con un error mınimo desde el punto de vista de la teorıa de la medida, y estopermite relacionar la nocion de espacio medido a la de espacio topologico. Demodo mas preciso, tenemos el teorema siguiente.

Teorema 2.4.2 (Aproximacion de medidas regulares). Sea X un espacio to-pologico localmente compacto separado de base numerable (σ-compacto). Sea(X,A , µ) un espacio medido con Bor(X) ⊂ A . Si la medida µ es finita so-bre los compactos (por lo tanto, σ-finita), entonces la nocion de regularidad esequivalente a las dos condiciones siguientes.

1) Para todo A ∈ A y todo ε > 0, existe un abierto U tal que A ⊂ U y

µ(U \A) ≤ ε. (2.24)

2) Para todo A ∈ A y todo ε > 0, existe un cerrado C tal que C ⊂ A y

µ(A \ C) ≤ ε. (2.25)

Demostracion. Vamos a demostrar las implicaciones siguientes:

regularidad de la medida =⇒ (2.24) ⇐⇒ (2.25)=⇒ regularidad de la medida.

Para la primera implicacion, suponemos que la medida µ es regular. Dadoque la medida es σ-finita, existe una sucesion de conjuntos (An)n∈N A -mediblesque recubrenX de µ-medida finita. Sean A ∈ A un conjunto, ε y (εn)n∈N realespositivos tales que

∑+∞n=0 εn < ε; puesto que la medida es regular, existen

abiertos Un ⊃ A ∩ An tales que µ(Un) ≤ µ(A ∩ An) + εn. Como µ(A ∩ An) esfinito, se tiene que µ(Un \ (A ∩ An)) ≤ εn. Tenemos, ademas, que el abiertoU =

⋃+∞n=0 Un contiene A y que

µ(U \A) ≤+∞∑

n=0

µ(Un \ (A ∩An)) ≤ ε,

lo que muestra la formula (2.24).Veamos ahora que (2.24) ⇐⇒ (2.25). Como A ∈ A , se tiene tambien que

Ac ∈ A y, aplicando el razonamiento anterior, obtenemos que para todo ε > 0,existe un conjunto abierto V que contiene Ac tal que µ(V \Ac) ≤ ε. Dado queV \ Ac = A \ C, en donde C es un cerrado contenido en A, se tiene que laexpresion (2.24) es equivalente a µ(A \ C) ≤ ε.

Verifiquemos, para terminar, que (2.25) implica la regularidad de la medida.Tenemos por hipotesis que la medida es finita sobre los compactos, de maneraque solo hay que verificar las condiciones (ii) y (iii) de la definicion 2.4.3.

Como (2.25) es equivalente a (2.24), no es difıcil ver que se tiene la regula-ridad exterior. En efecto, si µ(U \ A) ≤ ε, se obtiene que µ(U) = µ(U ∩ A) +µ(U \A) ≤ µ(A) + ε, lo que implica (ii).

Para la regularidad interior, vamos a mostrar el resultado general se tiene(iii) para todo elemento de A (que contiene todos los abiertos pues contiene laσ-algebra boreliana). Sean A ∈ A y ε > 0; tenemos, entonces, por (2.25) queexiste un cerrado C ⊂ A tal que

µ(A) ≤ µ(C) + ε/2. (2.26)

Este cerrado puede escribirse en la forma C =⋃+∞

n=0Kn, en donde (Kn)n∈N

es una sucesion creciente de compactos, de manera que podemos aplicar elteorema 2.2.3 de continuidad de las medidas para obtener

µ(C) = lımn→+∞

µ(Kn).

Si µ(A) = +∞, entonces µ(C) = +∞ y lımn→+∞

µ(Kn) = +∞, lo que muestra

(iii) en este caso. Si µ(A) < +∞, entonces µ(C) < +∞ y existe un entero ntal que

µ(C) ≤ µ(Kn) + ε/2.

Por lo tanto se obtiene, juntando esta estimacion y la desigualdad (2.26), laformula µ(A) ≤ µ(Kn) + ε, de donde se deduce el resultado deseado.

Una aplicacion directa de este teorema es el siguiente corolario.


Corolario 2.4.1. Sean X un espacio topologico separado a base numerable,A una σ-algebra sobre X que contiene los borelianos y µ una medida regularsobre A . Si A ∈ A y es σ-finito con respecto a µ, entonces se tiene

µ(A) = supµ(K); K ⊂ A con K compacto.

Corolario 2.4.2. Bajo las mismas hipotesis que las del teorema 2.4.2 (es decir,X es un espacio σ-compacto, Bor(X) ⊂ A y la medida µ es finita sobre loscompactos), si la medida µ es regular y Y ∈ A , entonces la medida inducidaµ|Y es una medida regular.

Demostracion. Por hipotesis, tenemos la primera condicion de la definicion2.4.3. El corolario anterior implica la propiedad (iii), de manera que solo de-bemos preocuparnos por la regularidad exterior. Sea, pues, A ∈ A|Y ; entonces

µ|Y (A) = µ(A) = ınfA⊂U

µ(U) ≥ ınfA⊂U

µ(U ∩ Y ).

Dado que A ⊂ U ∩ Y , se tiene ınfA⊂U

µ(U ∩ Y ) ≥ µ(A), de donde se obtiene

que µ|Y (A) = ınfA⊂U

µ(U ∩ Y ). Cuando U recorre todos los abiertos de X que

contienen a A, U ∩Y recorre todos los abiertos de Y que contienen a A, lo quepermite obtener el resultado deseado.

Antes de terminar esta seccion, vamos a dar en el teorema 2.4.3, un criteriosimple que nos permite caracterizar las medidas regulares. Necesitaremos antesla proposicion siguiente.

Proposicion 2.4.5. Sean X un espacio topologico separado tal que cada con-junto abierto es de tipo Fσ y ν una medida boreliana finita definida sobre X.Entonces cada subconjunto boreliano A de X verifica

1) ν(A) = ınfν(U); A ⊂ U con U abierto; y

2) ν(A) = supν(C); C ⊂ A con C cerrado.

Demostracion. Notemos K la coleccion de subconjuntos borelianos de X queverifican 1) y 2). Para la demostracion de esta proposicion, vamos a mostrarque K es una σ-algebra que contiene todos los conjuntos abiertos de X y, porlo tanto, contiene todos los borelianos (es decir Bor(X) ⊂ K).

Veamos primero que K contiene todos los conjuntos abiertos. Si V es unabierto de X , se tiene entonces sin dificultad el punto 1). Para la segundacondicion, dado que, por hipotesis, todo abierto es un conjunto de tipo Fσ,existe, entonces, una sucesion de conjuntos cerrados (Cn)n∈N de X tales queV =

⋃

n∈NCn. Puesto que podemos suponer que la sucesion (Cn)n∈N es cre-ciente, podemos aplicar el teorema 2.2.3 de continuidad de las medidas paraobtener ν(V ) = lım

n→+∞ν(Cn), de manera que V satisface

ν(V ) = supν(C); C ⊂ V con C cerrado,


de donde se deduce que K contiene todos los conjuntos abiertos de X .Verifiquemos, ahora, que K es una σ-algebra. Empecemos notando que K

contiene X , puesto que X es abierto. Veamos que K es estable al pasar alcomplemento. Como ν es de masa total finita y, por el teorema 2.4.2, dadoque todo conjunto de K verifica las condiciones 1) y 2), obtenemos, para todoA ∈ K, la existencia de los conjuntos U y C que verifican (2.24) y (2.25).Puesto que U c y Cc son respectivamente, conjuntos cerrados y abiertos, setiene U c ⊂ Ac ⊂ Cc y ν(Cc \U c) ≤ ε; es decir, Ac cumple las condiciones 1) y2). Se deduce que Ac ∈ K y K son estables al pasar al complemento.

Estudiemos, finalmente, la estabilidad con respecto a las operaciones nume-rables. Sean (An)n∈N una sucesion de conjuntos de K y ε > 0, un real. Paracada n ∈ N, fijamos un conjunto cerrado Cn y un conjunto abierto Un talesque Cn ⊂ An ⊂ Un y

ν(Un \ Cn) ≤ε

2n+1.

Si ponemos U =⋃

n∈N Un y C =⋃

n∈N Cn, entonces obtenemos

C ⊂⋃

n∈N

An ⊂ U

y

ν(U \ C) = ν

(⋃

n∈N

(Un \ Cn)

)

≤∑

n∈N

ν(Un \ Cn) ≤ ε. (2.27)

Tenemos que el conjunto U es abierto, pero puede suceder que el conjunto Cno sea cerrado. Sin embargo, dado que para todo k, el conjunto

⋃kn=0 Cn es

cerrado y dado que

ν(U \ C) = lımk→+∞

ν

(

U \k⋃

n=0

Cn

)

,

obtenemos, de la expresion (2.27), que existe un entero k tal que

ν

(

U \k⋃

n=0

Cn

)

≤ ε.

Por lo tanto, U y⋃k

n=0 Cn son los conjuntos necesarios para mostrar que⋃

n∈NAn ∈ K, de donde se obtiene la estabilidad por union numerable. Hemos,pues, mostrado que K es una σ-algebra sobre X que contiene los conjuntosabiertos. Dado que Bor(X) es la mas pequena σ-algebra que contiene los con-juntos abiertos, hemos verificado que Bor(X) ⊂ K, con lo que terminamos lademostracion.

Teorema 2.4.3 (Condicion de regularidad, espacio medido regular). Sean Xun espacio topologico localmente compacto separado de base numerable, A ⊃Bor(X) una σ-algebra y µ : A −→ R+ una medida finita sobre los compactosde X. Entonces µ es una medida regular y, en este caso, diremos que el espaciomedido (X,A , µ) es un espacio medido regular.

Demostracion. Tenemos, por hipotesis, la primera condicion de la definicion2.4.3. Vamos a estudiar primero la regularidad interior de µ. Sea U un subcon-junto abierto de X ; tenemos, entonces, por el teorema 2.4.1, que U es la unionde una sucesion (Kn)n∈N de conjuntos compactos; por lo tanto, el teorema decontinuidad de las medidas 2.2.3 implica la identidad

µ(U) = lımk→+∞

µ

(k⋃

n=0

Kn

)

,

de donde se deduce la regularidad interior.Pasemos al estudio de la regularidad exterior de la medida µ. Para poder

aplicar la proposicion anterior, es necesario reemplazar la medida µ por unasucesion adecuada de medidas finitas. Como X es un espacio σ-finito, existe(Un)n∈N una sucesion de conjuntos abiertos tales que X =

⋃

n∈N Un y talesque se tiene µ(Un) < +∞ para todo n. Definamos, entonces, una familia demedidas borelianas por µn(A) = µ(A ∩ Un). Las medidas µn son finitas, demanera que, por la proposicion 2.4.5, tenemos que cada una de estas medidases regular exteriormente.

Por lo tanto, si A es un conjunto boreliano y si ε es un real positivo, entoncespara todo n, existe un abierto Vn que contiene A tal que

µn(Vn) ≤ µn(A) + ε/2n+1;

es decir:µn(Vn \A) = µ((Vn \A) ∩ Un) ≤ ε/2n+1.

No es, por lo tanto, difıcil darse cuenta que el conjunto V definido por V =⋃

n∈N(Un ∩ Vn) es abierto, contiene A y verifica

µ(V \A) ≤∑

n∈N

µ((Un ∩ Vn) \A) ≤ ε.

Por lo tanto, µ(V ) ≤ µ(A) + ε, lo que implica la regularidad exterior de lamedida µ.

Con este resultado, hemos terminado la descripcion de las principales pro-piedades de las medidas regulares y de las medidas en general. En las dos sub-secciones que siguen, aplicaremos todo el material desarrollado anteriormentea la construccion de la medida de Lebesgue sobre Rn y a la verificacion de suscaracterısticas mas importantes.

2.4.3 Construccion y propiedades de la medida de Lebes-gue

Vamos a construir en esta seccion la medida de Lebesgue n-dimensional y, unavez realizada esta construccion, expondremos sus caracterısticas principales.Para ello, utilizaremos la funcion aditiva de conjuntos vol, determinada por laformula (2.7) y definida sobre el algebra de partes formada por los conjuntos

adoquinables, y prolongaremos esta funcion a la σ-algebra engendrada, que porla proposicion 2.2.6, no es mas que la σ-algebra Boreliana de Rn.

Aplicaremos, para lograr nuestro objetivo, el formalismo hasta ahora desa-rrollado en las paginas precedentes, pero antes de verificar las hipotesis delteorema de Caratheodory 2.3.3, vamos a necesitar el pequeno lema siguiente.

Lema 2.4.2. Sean Γ un subconjunto adoquinable de Rn de volumen finito(vol(Γ) < +∞) y ε > 0, un real. Existe entonces un conjunto compacto Kcontenido en Γ tal que vol(Γ \K) ≤ ε.

Demostracion. Sabemos que todo conjunto adoquinable puede expresarse comola union disjunta de adoquines Γ =

⋃Ni=1Ai. Dado que todo adoquın es de la

forma A =∏n

j=1(aj , bj) y que los intervalos (aj , bj) son acotados, no es difıcil

escojer A′ =∏n

j=1[cj , dj ] con aj < cj < dj < bj de forma que vol(A\A′) ≤ ε/Ny tal que A′ ⊂ A.

Al definir K =⋃N

i=1A′i, obtenemos el conjunto compacto buscado, pues

vol(Γ \K) = vol

(N⋃

i=1

Ai \A′i

)

=N∑

i=1

vol(Ai \A′i) ≤, ε;

con lo que la demostracion se termina.

Teorema 2.4.4 (Construccion de la medida de Lebesgue). Sean A el algebra departes de Rn formada por los conjuntos adoquinables y la aplicacion vol : A −→R+, la funcion aditiva de conjuntos que asocia a cada adoquın su volumen.Entonces

1) existe una unica medida exterior λ∗n asociada a la funcion vol : A −→ R+

definida por medio de la formula

λ∗n(A) = ınfRA

+∞∑

n=0

vol(Γn), (2.28)

en donde RA es el conjunto de todos los recubrimientos numerables (Γn)n∈N

de A por medio de conjuntos adoquinables, que prolonga la aplicacion voly que coincide con ella sobre A; y

2) la σ-algebra L (Rn) de conjuntos λ∗n-medibles se denomina la σ-algebrade Lebesgue y contiene la σ-algebra de los Borelianos: Bor(Rn) ⊂ L (Rn).

La aplicacion λ∗n : L (Rn) −→ R+ se denomina la medida exterior n-dimensionalde Lebesgue.

Demostracion. Como se anuncio; este resultado es una aplicacion directa delteorema de Caratheodory, y debemos, por lo tanto, verificar las hipotesis nece-sarias. Para mayor comodidad del lector, las volvemos a exponer a continuacion.

(a) Para toda sucesion decreciente (Γn)n∈N de elementos de A, se tiene laimplicacion:

(

vol(Γ0) < +∞ y⋂

n∈N

Γn = ∅)

=⇒ vol(Γn) −→n→+∞

0.

(b) El conjunto Rn puede expresarse como la union de una sucesion creciente(Xn)n∈N ∈ A con vol(Xn) < +∞ y tal que

(Γ ∈ A y vol(Γ) = +∞) =⇒ vol(Γ ∩Xn) −→n→+∞

+∞.

Empecemos por la verificacion de la primera condicion. Vamos a razonarpor el absurdo. Suponemos, entonces, que existe una sucesion decreciente deconjuntos adoquinables (Γn)n∈N de volumen finito tal que

⋂

n∈N Γn = ∅ y talque

ınfn∈N

vol(Γn) = α > 0. (2.29)

Sea (αn)n∈N una sucesion de reales estrictamente positivos tales que

∑

n∈N

αn < α/2

(por ejemplo, αn < α/2n+2). Por el lema anterior, podemos encontrar conjuntosadoquinables compactos Kn ⊂ Γn tales que vol(Γn \ Kn) ≤ αn. Si definimoslos conjuntos Nn =

⋂nj=0Kj, tenemos Γn \ Nn ⊂ ⋃n

j=0(Γj \ Kj), pues unelemento de Γn \Nn esta afuera de uno de los Kn y pertenece a Γn; luego, porsubaditividad finita, obtenemos

vol(Γn \Nn) ≤ vol

n⋃

j=0

Γj \Kj

≤n∑

j=0

vol(Γj \Kj) ≤n∑

j=0

αj < α/2.

La sucesion de compactos Nn es decreciente y de interseccion vacıa, es decir quea partir de un cierto rango, los conjuntos Nn son vacıos (vease la proposicion1.2.1). Entonces, a partir de este rango, tenemos vol(Γn) = vol(Γn\Nn) < α/2,lo que contradice (2.29). Con esto hemos verificado la primera condicion.

La segunda condicion es mas sencilla de verificar. Podemos escribir Rn =⋃

n∈NXn, en donde Xn es el cubo centrado en el origen y de lado 2n. Si un con-junto adoquinable Γ es de medida infinita, contiene un adoquın A de volumeninfinito y, por lo tanto, se tiene la desigualdad

vol(Γ ∩Xn) ≥ vol(A ∩Xn) −→ +∞.

Con estas dos hipotesis verificadas, aplicamos directamente el teorema de Ca-ratheodory y obtenemos la existencia y la unicidad de la medida de Lebesgueλ∗n definida sobre la σ-algebra L (Rn), que coincide con la funcion aditiva deconjuntos vol que asocia a todo adoquın su volumen.


Observacion 2.11. Dado que todo intervalo separado I es convexo en R yque se tiene la igualdad ℓ(I) = diam(I), se puede ver, sin mayor complicacion,por la formula (2.28), que la medida de Lebesgue λ∗ coincide con la medidade Hausdorff 1-dimensional H1. Tambien existe una relacion entre las medidasde Hausdorff y la medida de Lebesgue en dimensiones superiores; sugerimos allector que vea los detalles en el ejercicio 2.20.

Pasamos ahora al estudio de las propiedades de la medida exterior de Le-besgue. Empezaremos por verificar la σ-finitud de esta medida, que es unapropiedad relativamente simple, pero de gran importancia por las numerosasimplicaciones que hemos explicitado anteriormente. Veremos luego otras desus principales particularidades, como su regularidad y algunas propiedades deinvariancia.

Lema 2.4.3. La medida exterior de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ es σ-finita.

Demostracion. En el caso n = 1, definamos el intervalo Im = [m,m + 1[,en donde m ∈ Z. Vemos entonces que λ∗(Im) = 1 para todo m y que R =⋃

m∈Z Im, lo que implica la σ-finitud de la medida λ∗.

Si n > 1, consideremos m = (m1, ...,mn), un vector de Zn, y construyamosun subconjunto de Rn de la siguiente forma:

Am =

n∏

j=1

[mj ,mj + 1[. (2.30)

No es difıcil ver que λ∗n(Am) = 1 y que Rn =⋃

m∈Zn Am. Por lo tanto, ob-tenemos que Rn puede expresarse como la union numerable de conjuntos demedida finita, lo que termina la demostracion.

Pasemos a la regularidad de la medida exterior de Lebesgue.

Proposicion 2.4.6. La medida exterior de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ esregular.

Demostracion. Basta aplicar el teorema 2.4.3. Tenemos, en efecto, que Rn esun espacio topologico localmente compacto de base numerable, que L (Rn)contiene la σ-algebra de los Borelianos y que la medida exterior de Lebesgueλ∗n es finita sobre los compactos (que, en este caso, son cerrados y acotados).Dado que tenemos todas las hipotesis del teorema 2.4.3, podemos concluir quela medida exterior de Lebesgue es regular.

Recordemos que el teorema 2.4.4 nos da dos espacios medidos distintos yla restriccion de λ∗n a la σ-algebra Bor(Rn), notada λn, sera denominada me-dida de Lebesgue. Si bien se tiene que λ∗n coincide con λn sobre los borelianosBor(Rn) (vease observacion 2.8), es necesario distinguir estos dos espacios me-didos. El resultado a continuacion permite aclarar las relaciones existentes entre(Rn,L (Rn), λ∗n) y (Rn,Bor(Rn), λn).

Proposicion 2.4.7. Se tiene la siguiente identidad

(Rn,Bor(Rn), λn

)= (Rn,L (Rn), λ∗n)

Es decir, la completacion de la σ-algebra Boreliana de Rn con respecto a lamedida de Lebesgue λn es la σ-algebra de Lebesgue.

Demostracion. La verificacion de este hecho no es muy difıcil una vez que setiene a disposicion el teorema 2.3.5. En efecto, la unica hipotesis que hay queverificar para poder aplicar este resultado es la σ-finitud de la medida λn, locual es evidente por el lema 2.4.3.

Proposicion 2.4.8. Todo subconjunto numerable de R es un conjunto bore-liano de medida nula.

Demostracion. Para demostrarlo, fijamos a, un numero real. Entonces se tiene

a = x : x = a =

+∞⋂

k=1

x : a ≤ x < a+1

k

,

y, por lo tanto, por el teorema de continuidad de las medidas, tenemos

λ∗(a) = lımk→+∞

λ∗(

[a, a+1

k[

)

= lımk→+∞

1

k= 0.

Obtenemos, entonces, que cada conjunto formado por un solo punto es unconjunto Boreliano de medida nula. Puesto que los borelianos forman una σ-algebra y que la medida λ∗ es σ-aditiva, se deduce el resultado buscado.

Corolario 2.4.3. La medida de Lebesgue λ∗n : L (Rn) −→ R+ no es atomica.

Demostracion. En el caso n = 1, esta propiedad de la medida λ∗ se deducede la proposicion 2.4.8, pues tenemos, para todo punto a ∈ R, la identidadλ∗(a) = 0. Para el caso n > 1, es necesaria una pequena modificacion. Seaa = (a1, ..., an) ∈ Rn, definamos el conjunto

Ak =

x ∈ Rn : aj ≤ xj < aj +1

k; j = 1, ..., n

.

Entonces a =⋂+∞

k=1Ak; por la continuidad de la medida, obtenemos

λ∗n(a) = lımk→+∞

λ∗n(Ak) = 0

con lo que la demostracion se termina.

Vamos a estudiar aquı una coleccion muy especial de adoquines cuyas apli-caciones se encuentran en varias ramas del analisis matematico. En lo que nosconcierne, utilizaremos esta familia de conjuntos para verificar algunas propie-dades de la medida de Lebesgue explicitadas en los resultados a continuacion.Veamos, pues, la definicion de estos conjuntos.


Definicion 2.4.4 (Cubos diadicos). Los intervalos diadicos son intervalos dela forma

[m2−k, (m+ 1)2−k[,

en donde m, k ∈ Z. Un cubo diadico es, entonces, el producto cartesiano deintervalos diadicos; es decir, es un subconjunto de Rn de la forma

Q =

n∏

j=1

[mj2−k, (mj + 1)2−k[, (2.31)

en donde m1, ...,mn, k ∈ Z.

Notese que hemos impuesto que los intervalos diadicos sean cerrados a laizquierda y abiertos a la derecha, de manera que dos intervalos diadicos demisma longitud son siempre disjuntos. SiQ es un cubo diadico de Rn, notaremoscon |Q| su medida de Lebesgue y con ℓ(Q) la longitud de sus lados.

Figura 2.6: Cubos diadicos en el plano R2

Expliquemos rapidamente el rol de los parametros que intervienen en ladefinicion de los cubos diadicos. Los enteros relativos m1, ...,mn sirven paraposicionar los cubos y el ındice k representa el tamano, o la escala para ser masprecisos, de estos cubos.

Las propiedades fundamentales de los cubos diadicos, y que justifica plena-mente su introduccion, son las siguientes:

• todos los intervalos diadicos que tienen el lado de la misma longitud oson disjuntos o coinciden;

• dos intervalos diadicos o son disjuntos o el uno esta contenido en el otro;y

• dos cubos diadicos o son disjuntos o uno esta contenido en el otro.

Lema 2.4.4. Para todo cubo diadico Q de Rn, se tiene la identidad |Q| =ℓ(Q)n.


Demostracion. La verificacion es inmediata pues, como todo cubo Q es unadoquın, tenemos, por definicion, la identidad siguiente (vease la formula (2.6)):

|Q| = vol(Q) =

n∏

j=1

((mj + 1)2−k −mj2

−k).

Dado que ℓ([mj2

−k, (mj + 1)2−k[)=((mj + 1)2−k −mj2

−k)y que la longi-

tud de cada uno de los lados de un cubo es la misma, se obtiene |Q| = ℓn(Q).

Una primera aplicacion de los cubos diadicos esta dada en el lema siguiente.

Lema 2.4.5. Todo conjunto abierto de Rn es la union disjunta numerable decubos diadicos de la forma (2.31).

Demostracion. Hemos visto en la proposicion 2.2.6 que todo abierto puedeexpresarse como una union numerable de adoquines. Basta repetir esta demos-tracion utilizando como extremos de los lados los numeros diadicos, y, dadoque dos cubos diadicos o son disjuntos o el uno contenido en el otro, obtenemosuna union numerable disjunta.

Figura 2.7: Aproximacion de abiertos por medio de cubos diadicos

Recordemos ahora que el espacio euclıdeo Rn es un espacio vectorial to-pologico (definicion 1.3.2); podemos, entonces, considerar la aplicacion trasla-cion (que es en este caso un homeomorfismo) de conjuntos, y estudiar su accionsobre los subconjuntos de Rn. Para todo vector τ ∈ Rn y todo subconjunto Ade Rn, definimos τ +A, el conjunto determinado por

τ +A = y ∈ Rn : y = τ + a, a ∈ A,

y decimos que el conjunto τ +A es la traslacion de A por τ .La medida de Lebesgue posee propiedades interesantes con respecto a la

traslacion como indica en el resultado a continuacion.


Proposicion 2.4.9. El espacio medido (Rn,Bor(Rn), λn) es invariante portraslacion en el sentido siguiente: para todo vector τ ∈ Rn y para todo conjuntoA ∈ Bor(Rn), τ +A es un conjunto medible y se tiene

λn(τ +A) = λn(A). (2.32)

Ademas, B es un subconjunto Lebesgue-medible de Rn si y solo si τ + B esLebesgue-medible.

Demostracion. Veamos primero que la σ-algebra de los borelianos Bor(Rn) esinvariante por traslacion. Este punto no es muy complicado, pues la traslacionde todo abierto es un conjunto abierto y se obtiene por lo tanto, que Bor(Rn)es invariante por traslacion.

Para verificar la identidad (2.32), empecemos por considerar conjuntos sen-cillos como los cubos diadicos. Entonces, para todo vector τ = (τ1, ..., τn) ∈ Rn

y para todo cubo diadicoQ, tenemos τ+Q =∏n

j=1[mj2−k+τj , (mj+1)2−k+τj [,

es decir,

λn(τ +Q) = vol

n∏

j=1

[mj2−k + τj , (mj + 1)2−k + τj [

=

n∏

j=1

ℓ([mj2−k + τj , (mj + 1)2−k + τj [)

=

n∏

j=1

ℓ([mj2−k, (mj + 1)2−k[) = λn(Q).

Dado que, por el lema 2.4.5, todo abierto U se expresa como la union disjuntade cubos diadicos, obtenemos, sin mayor dificultad, que λn(τ + U) = λn(U).Finalmente, como los abiertos engendran los borelianos, se deduce la expresion(2.32) para todo A ∈ Bor(Rn).

A partir de estas observaciones simples se deduce la segunda afirmacion,dado que las operaciones de interseccion y de traslacion conmutan la una conla otra.

Estudiemos otra propiedad importante de la medida de Lebesgue. Para todoα > 0, a partir de A ∈ Bor(Rn), definimos el conjunto

αA = x ∈ Rn : x = αy = (αy1, ..., αyn) ; y ∈ A.

El resultado a continuacion nos indica la relacion existente entre la medida deestos dos conjuntos.

Proposicion 2.4.10. La medida de Lebesgue λn es homogenea de grado n. Esdecir, para todo α > 0 y para todo A ∈ Bor(Rn) tenemos

λn(αA) = αnλn(A). (2.33)

Demostracion. La demostracion no es difıcil, verifiquemoslo para un cubo diadi-co:

λn(αQ) = |αQ| = ℓn(αQ) = (α2−k)n = αn|Q|.En el caso general, utilizando la aproximacion de los abiertos por medio decubos diadicos, obtenemos lo siguiente. Sea A ⊂ Rn un abierto, entonces A =⋃

j∈NQj , en donde (Qj)j∈N es una coleccion de cubos diadicos disjuntos y, porlo tanto,

λn(αA) = λn

⋃

j∈N

αQj

=∑

j∈N

λnαQj) = αn∑

j∈N

λn(Qj) = αnλn(A),

con lo que se termina la prueba.

Terminamos esta seccion con el siguiente teorema que nos proporciona unacaracterizacion de la medida de Lebesgue sobre (Rn,Bor(Rn)).

Teorema 2.4.5. Sea µ una medida no nula definida sobre el espacio medible(Rn,Bor(Rn)). Si suponemos que esta medida es invariante por traslacion yque es finita para todo subconjunto acotado boreliano de Rn, entonces existeuna constante positiva c > 0 tal que la igualdad

µ(A) = cλn(A)

es valida para todo boreliano A.

Demostracion. Sea Q1 = (x1, ..., xn) : 0 ≤ xi < 1 el cubo unidad de Rn

y notemos c = µ(Q1) < +∞. Definamos una medida ν sobre Bor(Rn) porν(A) = 1

cµ(A) para todo A ∈ Bor(Rn). Se tiene, entonces, que la medida νes invariante por traslacion y asigna al conjunto Q1 su volumen; es decir, sumedida de Lebesgue que es igual a 1.

Si D es un cubo diadico cuyos lados tienen longitud 2−k, entonces no esdifıcil ver que Q1 es la union de 2nk traslaciones de D y, por lo tanto, podemosescribir

2nkν(D) = ν(Q1) = λn(Q1) = 2nkλn(D);

por lo tanto, ν y λn coinciden en los cubos diadicos lo que implica, por elteorema 2.2.6, la igualdad entre las medidas ν y λn; es decir, se tiene µ =cλn.

2.4.4 Conjuntos no medibles

Vamos a terminar este capıtulo mostrando por medio del teorema 2.4.6 queexisten subconjuntos de la recta real que no son Lebesgue-medibles; esto impli-ca, en particular, que existen subconjuntos de R que no son Borelianos puestoque se tiene la inclusion Bor(R) ⊂ L (R) (esta inclusion es estricta, pero pos-ponemos su demostracion al capıtulo siguiente con el teorema 3.2.2).

Es importante notar que la existencia de conjuntos que no son medibles en elsentido de Lebesgue depende de los axiomas de base utilizados en matematicas:


si no se admite el axioma de eleccion en su version no numerable, la existenciade tales conjuntos es indecidible; este resultado de la logica matematica fuedemostrado por Solovay12 en 1966. Dicho de otra manera, si queremos exhibirun conjunto que no es Lebesgue medible, es necesario utilizar el axioma deeleccion como lo haremos a continuacion.

Teorema 2.4.6. Existe un subconjunto de R que no es Lebesgue medible.

Demostracion. Definamos una relacion de equivalencia sobre R: notaremos x ∼y si y solo si x − y es racional. Verifiquemoslo rapidamente: se tiene paratodo real x que x ∼ x; ademas se tiene que x ∼ y implica y ∼ x y se tiene(x ∼ y), (y ∼ z) =⇒ x ∼ z, lo que implica la transitividad.

Observamos, ademas, que cada clase de equivalencia bajo la relacion ∼ es dela forma Q+x para algun x de manera que el conjunto de clases de equivalenciases denso en R.

Puesto que estas clases de equivalencia son disjuntas y que cada una deellas intersecta el intervalo ]0, 1[, podemos utilizar el axioma de eleccion paraconstruir un subconjunto E de ]0, 1[ que contiene exactamente un elemento decada una de estas clases (Observese que el conjunto de clases de equivalencia esno numerable). Vamos a demostrar que este conjunto no es Lebesgue-medible.

Sea, pues, (rn)n∈N una enumeracion de los numeros racionales en el intervalo]− 1, 1[ y, para cada n, definamos En = E + rn. Verificaremos que los conjuntosEn son disjuntos, que su reunion esta incluıda en el intervalo ] − 1, 2[ y quecontiene el intervalo ]0, 1[.

Para demostrar la primera afirmacion, procedemos por el absurdo. Si Em ∩En 6= ∅, entonces existen al menos dos elementos α, β de E tales que α+ rm =β + rn; se deduce de esto que α ∼ β y, por lo tanto, se tiene α = β y Em = En,lo cual es una contradiccion, de manera que estos conjuntos son disjuntos.

La segunda asercion se deduce de la inclusion E ⊂]0, 1[ y del hecho de quecada termino de la sucesion (rn)n∈N pertenece a ]− 1, 1[.

Finalmente, para la demostracion de la ultima afirmacion, fijemos un puntox ∈ ]0, 1[ cualquiera, y sea e un elemento de E tal que x ∼ e. Entonces, pordefinicion, el punto x− e es un racional y pertenece a ]− 1, 1[; es, por lo tanto,de la forma rn para algun n. Se obtiene, entonces, que x ∈ En y, por lo tanto,pertenece a la union

⋃

n∈N En. Tenemos, entonces, las inclusiones

]0, 1[⊂⋃

n∈N

En ⊂]− 1, 2[. (2.34)

Para terminar la demostracion, vamos a proceder por el absurdo; para ellosupongamos que el conjunto E es Lebesgue-medible. Entonces, para cada n, elconjunto En es medible por construccion, pues es una traslacion de E , y, comoestos conjuntos son disjuntos, tenemos la identidad:

λ

(⋃

n∈N

En

)

=∑

n∈N

λ(En);

12Robert Solovay (1938- ), matematico norteamericano.


ademas, por la invariancia por traslacion de la medida λ, se tiene λ(En) = λ(E )para todo n.

Por lo tanto, si λ(E ) = 0 entonces λ(⋃

n∈N En

)= 0, lo que contradice la pri-

mera inclusion de (2.34); mientras que si λ(E ) 6= 0 se tiene λ(⋃

n∈N En

)= +∞,

lo que contradice la segunda inclusion de (2.34). Obtenemos ası una contradic-cion con lo que se termina la demostracion.

Observacion 2.12. Es muy importante notar aquı que estos resultados im-plican la imposibilidad de prolongar la medida de Lebesgue a la clase de todoslos subconjuntos de la recta real de manera que la funcion obtenida sea unamedida invariante por traslacion.

Resumen

Vamos a exponer en esta seccion, a manera de una proyeccion acelerada, lasdiferentes etapas expuestas en este capıtulo para la construccion de medidas.

El punto de partida esta dado por las nociones de algebras de partes A y defunciones aditivas de conjuntos m. Estas dos nociones poseen las propiedadesmas esenciales de la medidas generales, pero, por definicion, estan limitadas alas operaciones finitas lo cual es muy reductor. En este marco, es relativamentesencillo de visualizar las particularidades basicas de la teorıa de la medida; sinembargo, para obtener los resultados mas importantes, es fundamental consi-derar el paso a las operaciones numerables.

La generalizacion de estos dos conceptos se realiza por medio de las σ-algebras engendradas σ(A) y de las medidas µ definidas sobre ellas. Obtenemosası una aplicacion µ : A −→ R+ que verifica las propiedades de las funcionesaditivas de conjuntos extendidas a las operaciones numerables.

Sin embargo, a pesar de que el paso de una algebra de partes A a unaσ-algebra A puede comprenderse con relativa facilidad gracias a la nocion deσ-algebra engendrada σ(A), la generalizacion de la aplicacion m a una medidaµ es mucho mas delicada y requiere un cierto numero de conceptos importantes,como las medidas exteriores µ∗, los conjuntos µ∗-medibles y la σ-algebra Mµ∗ .

En este punto, es el teorema de Caratheodory el que relaciona la medidaexterior µ∗ asociada a la funcion aditiva de conjuntos m, y es el que nos permiteafirmar que estas dos funciones coinciden sobre el algebra de partes A, mientrasque la unicidad de esta prolongacion se obtiene utilizando las clases monotonas.

Finalmente, si dotamos al conjunto de base X de una estructura topologica,el hecho de trabajar con la σ-algebra engendrada por los abiertos de X , nospermite considerar ciertas particularidades de gran importancia: si la medida esregular, podemos aproximar la medida de un conjunto cualquiera por medio delos conjuntos usuales en topologıa; es decir, los abiertos, cerrados y compactos.


2.5 Ejercicios

Ejercicio 2.1. En este ejercicio, estudiamos las propiedades de las imagenesrecıprocas y directas. Demuestre las identidades expuestas en (2.1-2.3) y en-cuentre contra ejemplos en el caso de las imagenes directas para las identidades(2.2) y (2.3).

Ejercicio 2.2. Vamos a explicar aquı la terminologıa utilizada para las alge-bras de partes. Sea A una algebra de partes definida sobre un conjunto X.

1. Muestre que la operacion de diferencia simetrica ∆ entre dos conjuntos esconmutativa, asociativa, posee un elemento neutro y todo conjunto admiteun elemento inverso. Con estas propiedades, ¿que se puede decir de (A,∆)desde el punto de las estructuras algebraicas?

2. ¿Que sucede si esta vez consideramos (A,∩)?

3. Muestre que la operacion ∩ es distributiva con respecto a ∆; es decir, setiene la identidad

A ∩ (B∆C) = (A ∩B)∆(A ∩ C).

4. ¿Que podemos decir de la tripleta (A,∆,∩)?

Ejercicio 2.3. Sea X un conjunto. Muestre que toda algebra de partes finitaA sobre X es el algebra asociada a una particion finita de X.

Ejercicio 2.4. Sea A el algebra sobre la recta real determinada por la reunionfinita de intervalos (vease el ejemplo (iii) pagina 52). Muestre que cada ele-mento de esta algebra se escribe de manera unica como una reunion finita deintervalos dos a dos separados.

Ejercicio 2.5. Sea A el algebra de partes sobre Rn determinada por la reunionfinita de conjuntos adoquinables (vease el ejemplo (vi) pagina 53).

1. Muestre que el complemento de un adoquın es la union finita de adoquinesdisjuntos. ¿Cuantos adoquines se necesita si n = 2, n = 3?

2. Sean A y B dos adoquines. Notamos Ac =⋃

iAi y Bc =⋃

j Bj las des-composiciones precedentes. Muestre que A ∪ B es la union disjunta de losadoquines A ∩B, Ai ∩B y A ∩Bj.

3. Razone por recurrencia y concluya que los conjuntos adoquinables constitu-yen una algebra de partes.

Ejercicio 2.6. Sea A el algebra sobre Rn determinada por la reunion finita deadoquines. Muestre que la aplicacion vol definida por la formula (2.7) es unafuncion aditiva de conjuntos.

Ejercicio 2.7. Encuentre un ejemplo que ilustre la asercion siguiente: “laimagen directa de una σ-algebra no es una σ-algebra”.

2.5 Ejercicios 117

Ejercicio 2.8. Sean X un conjunto y A,B dos subconjuntos de X. PonemosK = A,B, calcule la σ-algebra engendrada σ(K).

Ejercicio 2.9. Sean X un conjunto, K un subconjunto de P(X) y C un subcon-junto de X. ¿Se tiene la siguiente identidad σ(K)∩C = σ(K∩C)? ¿Que sucedesi en vez de considerar la interseccion en la formula anterior se toma en cuentala reunion?

Ejercicio 2.10. Muestre que si A es una algebra de partes tal que para todasucesion (An)n∈N de conjuntos disjuntos de A ⋃n∈NAn pertenece a A, entoncesA es una σ-algebra.

Ejercicio 2.11. Sean X un conjunto y A una σ-algebra definida sobre X. Seaµ : A −→ [0,+∞[ una funcion definida por µ(A) = 1 si A 6= ∅ y µ(A) = 0 siA = ∅. ¿La funcion µ es una medida?

Ejercicio 2.12. Sea (X,A , µ) un espacio medido. Muestre que si A,B,C per-tenecen a una σ-algebra de partes A , entonces

µ(A∪B∪C) = µ(A)+µ(B)+µ(C)−µ(A∩B)−µ(A∩C)−µ(B∩C)+µ(A∩B∩C).

Deduzca una formula general para la medida de la union de n conjuntos.

Ejercicio 2.13. Sean (X,A ,P) un espacio probabilizado de medida P y (An)n∈N

una sucesion de elementos de A tal que An ↓ ∅ (es decir, la sucesion es decre-ciente y tiende hacia ∅). Muestre que P(An) ↓ 0.

Ejercicio 2.14. Sea (X,A , µ) un espacio medido; pongamos K = A ∈ A :µ(A) < +∞. Para todo A,B ∈ K se define

d(A,B) = µ(A∆B).

Muestre que la aplicacion d : K × K −→ R es una distancia sobre K .

Ejercicio 2.15. Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que la medida µ es no-atomica y tal que existe un conjunto A ∈ A de medida postiva (es decir,µ(A) > 0). Muestre que se puede construir una sucesion decreciente de conjun-tos medibles (An)n∈N tales que

A = A0 ⊃ A1 ⊃ ...

y tales que µ(A0) > µ(A1) > ... > 0.

Ejercicio 2.16. Sea el espacio medible (N,P(N)) sobre el cual consideramosla medida cardinal µ y la medida gruesa ν.

1. Determine el conjunto D = A ∈ P(N) : µ(A) = ν(A).

2. ¿Es el conjunto D una σ-algebra?

Consideremos ahora X = 1, 2, 3, 4 y A = P(X) con µ = card. Definamosuna aplicacion ν por

ν(A) = 0 si A = ∅, 1, 2, 1, 2;ν(A) = 2 si A = 3, 4, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 4;ν(A) = 4 si A = 3, 4, 1, 3, 4, 2, 3, 4, X.

Verifique que ν es una medida sobre (X,A ). Determine el conjunto D = A ∈P(X) : µ(A) = ν(A). ¿Es el conjunto D una σ-algebra?

Ejercicio 2.17. El objetivo de este ejercicio es el de estudiar las medidasexteriores asociadas a funciones de conjuntos y sus σ-algebras respectivas.

1. Sean X un conjunto cualquiera y K = ∅, X. Definamos una aplicacionµ : K −→ R+ de la siguiente manera:

µ : K −→ R+

∅ 7−→ µ(∅) = 0

X 7−→ µ(X) = 1.

Calcule la medida exterior µ∗ asociada a esta aplicacion y determine lacoleccion de conjuntos µ∗-medibles. ¿Que σ-algebra se obtiene?

2. Sea ν∗ : P(N) −→ [0,+∞[ una aplicacion definida por ν∗(∅) = 0, ν∗(N) = 2y ν∗(A) = 1 para todo A 6= ∅,N. Muestre que ν∗ es una medida exteriory determine la σ-algebra Mν∗ . Si definimos la sucesion de conjuntos An =k ∈ N : k ≤ n, ¿se tiene la relacion ν∗( lım

n→+∞An) = lım

n→+∞ν∗(An)?

3. Sea χ una aplicacion determinada por:

χ : P(N) −→ R+

A 7−→ χ(A) =

card(A)

card(A)+1 si card(A) < +∞,

1 si card(A) = +∞.

Muestre que χ es una aplicacion de conjuntos creciente. Para toda sucesioncreciente (An)n∈N, ¿se tiene χ( lım

n→+∞An) = lım

n→+∞χ(An)? ¿Y para toda

sucesion decreciente de conjuntos? Muestre que χ es una medida exterior ydetermine la coleccion Mχ.

Ejercicio 2.18 (Medidas exteriores metricas). Sea (X, d) un espacio metrico.Una medida exterior µ definida sobre X es una medida exterior metrica si setiene la identidad

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)

siempre y cuando los conjuntos A y B son positivamente separados en el sen-tido siguiente

d(A,B) = ınfd(x, y) : x ∈ A, y ∈ B > 0.

2.5 Ejercicios 119

Muestre que si µ es una medida exterior metrica, entonces la coleccion de con-juntos µ-medibles contiene los conjuntos borelianos. Para ello, siga las siguien-tes etapas.

1. Sean E ∈ P(X) tal que µ(E) < +∞ y C un conjunto cerrado. Considerandolos conjuntos Cn = x ∈ X : d(x,C) ≥ 1/n para que muestre que µ(E) ≥µ(E ∩Cn) + µ(E ∩C).

2. Pongamos Ak = x ∈ X : 1/(k + 1) ≤ d(x,C) < 1/k. Verifique lasinclusiones

E ∩ Cn ⊂ E \ C ⊂ (E ∩ Cn) ∪⋃

k≥n

(E ∩ Ak).

3. Muestre que∑

k≥1 µ(E ∩ Ak) ≤ 2µ(E) y deduzca que lımn→+∞

∑

k≥n µ(E ∩Ak) = 0.

4. Muestre mediante las dos afirmaciones anteriores que se tiene lımn→+∞

µ(E ∩Cn) = µ(E \ C).

5. Obtenga la desigualdad µ(E) ≥ µ(E \ C) + µ(E ∩ C) y concluya que unamedida exterior metrica contiene los conjuntos borelianos.

Ejercicio 2.19 (Dimension de Hausdorff). En este ejercicio, consideramos elespacio euclıdeo Rn dotado de su metrica usual. Recordemos, que si A ⊂ Rn ysi s, δ > 0, tenemos las definiciones siguientes:

Hsδ(A) = ınf

Rδ,A

+∞∑

i=0

diam(Ui)s y Hs(A) = lım

δ→0Hs

δ(A).

(vease los detalles en las formulas (2.17) y (2.18)).

1. Demuestre que la medida Hs es una medida exterior metrica en el sentidode la definicion dada en el ejercicio anterior.

2. Sea A un subconjunto de Rn y δ > 0 un real; si s < t, muestre que se tienela desigualdad

Hsδ(A) ≥ δs−tHt

δ(A). (2.35)

3. Muestre mediante la desigualdad anterior que si, para todo conjunto A, exis-te un valor, notado dim(A), tal que 0 < Hdim(A)(A) < +∞, entonces setiene

Hs(A) =

+∞ si 0 ≤ s < dim(A),

0 si dim(A) < s < +∞.

A la cantidad dim(A) se le denomina la dimension de Hausdorff del conjuntoA.

4. Muestre que la dimension de Hausdorff del conjunto triadico de Cantor K

verifica dim(K) ≤ log 2/ log 3 (Calcule, por ejemplo, Hdim(K)

3−j (K) y hagaj → +∞).

Ejercicio 2.20 (Relaciones entre Hausdorff y Lebesgue). Una clase de Vitalipara un conjunto A es una familia de conjuntos V tal que, para todo x ∈ A ytodo δ > 0, existe U ∈ V con x ∈ U tal que 0 < diam(U) ≤ δ. Admitimos elhecho siguiente:

[Teorema de recubrimiento de Vitali] Sean A ⊂ Rn un conjunto Hs-medible y sea V una clase de Vitali de A formada por conjuntos cerrados.Entonces podemos escoger una sucesion (finita o numerable) (Ui)i∈I de V talque: o se tiene

∑

i∈I diam(Ui)s = +∞ o se tiene Hs(A \⋃i∈I Ui) = 0.

Definamos la constante

cn =π

n2

2nΓ(n2 + 1),

en donde Γ es la funcion Gamma clasica: Γ(x) =∫ +∞

0tx−1e−tdt (notese que

c1 = 1 y que c2 = π4 ).

Vamos a verificar que si A ⊂ Rn, entonces se tiene la identidad

λn(A) = cnHn(A).

1. Muestre que sobre R las medidas λ y H1 coinciden.

2. Verifique que para todo δ > 0 y todo ε > 0, se puede recubrir un conjunto Apor una coleccion de conjuntos cerrados (Ui)i∈N tales que

∑

i∈N

diam(Ui)n ≤ Hn

δ (A) + ε.

3. Si para todo conjunto cerrado y convexo C ⊂ Rn, se tiene la mayoracion

λn(C) ≤ cn diam(C)n;

(en particular, se tiene la igualdad para las bolas cerradas).

Muestre que se tiene λn(A) ≤∑

i∈N λn(Ui) ≤ cnHnδ (A) + cnε y deduzca que

λn(A) ≤ cnHn(A).

4. Verificar que es suficiente estudiar los conjuntos A tales que

Hs(A) < +∞.

5. Para probar la desigualdad recıproca, considere (Qi)i∈N una coleccion decubos que recubren A tal que

∑

i∈N

vol(Qi) ≤ λn(A) + ε.

2.5 Ejercicios 121

Muestre que para todo i ∈ N, las bolas cerradas contenidas en Qi de radiomaximal δ forman una clase de Vitali de Qi.

6. Utilize el teorema de Vitali, para mostrar que existe una familia de bolasdisjuntas (Bi

j)j∈N de Qi de diametro maximal δ tales que

Hn(Qi \⋃

j∈N

Bij) = 0.

7. Muestre que se tiene la desigualdad

Hnδ (A) ≤

+∞∑

i=0

+∞∑

j=0

Hnδ (B

ij)

8. Muestre que

+∞∑

i=0

+∞∑

j=0

Hnδ (B

ij) ≤ c−1

n

+∞∑

i=0

vol(Qi) ≤ c−1n (λn(A) + ε)

Concluya que cnHn(A) ≤ λn(A).

Capıtulo 3

Teorıa de la integracion

Los espacios de funciones de Lebesgue y de Lorentz que vamos a estudiar en estelibro estan definidos a partir de la nocion de integral de Lebesgue y es, por ello,que es indispensable presentar de manera clara y detallada las etapas necesariaspara la construccion de tal integral. Hemos estudiado en el capıtulo anteriorcomo asignar una medida a los conjuntos y hemos expuesto sus principalespropiedades. Vamos ahora a sacar provecho de estos resultados pasando alestudio de la medibilidad de las funciones de donde se obtendra el concepto deintegral en el sentido de Lebesgue.

Este capıtulo se articula en torno a las tres grandes secciones 3.2, 3.3 y 3.4,en donde exponemos la teorıa de la integracion, los principales teoremas dela teorıa de la integracion y la integracion en los espacios producto, respecti-vamente. Reservaremos, sin embargo, la primera seccion a un breve recuentode la integral de Riemann, en donde mostraremos algunas de sus deficiencias.Nuestro objetivo con este primer parrafo es que, a la luz de este pequeno estu-dio, el lector pueda apreciar mejor las importantes propiedades de la integralde Lebesgue que hacen que este sea el marco natural para la definicion de losespacios funcionales que seran introducidos en los capıtulos siguientes.

El objetivo de la seccion 3.2 es construir paso a paso la integral de Lebesguey exponer sus principales propiedades. Empezaremos por definir las funcionesmedibles y presentaremos sus propiedades, entre las cuales constaran los resul-tados esenciales de paso al lımite. Seguiremos con la definicion de la integralde funciones simples y positivas para, finalmente, obtener el caso general porun argumento de paso al lımite. La seccion 3.3 esta, en cambio, reservada a lademostracion de los resultados mas poderosos de la teorıa de la integracion co-mo son los teoremas de convergencia dominada de Lebesgue, el lema de Fatou,ası como los diferentes modos de convergencia de funciones. Terminaremos estaseccion con el estudio, en el parrafo 3.3.4, de la continuidad y la derivabilidadbajo el signo integral.

La teorıa de la integracion en los espacios producto sera presentada en laseccion 3.4, en donde expondremos los teoremas de Fubini y de Tonelli, ası comoalgunos ejemplos de aplicacion de estos importantes resultados. En esta seccion

124 Teorıa de la integracion

volveremos a estudiar algunos aspectos de la teorıa de la medida para construirmedidas producto adaptadas a nuestras necesidades.

Finalmente, terminaremos este capıtulo con la seccion 3.5, en donde estu-diaremos mas en detalle las relaciones entre la integral de Riemann y la integralde Lebesgue.

3.1 Las limitaciones de la integral de Riemann

Vamos a describir en esta seccion, de forma muy rapida y sucinta, algunascaracterısticas generales de la integral de Riemann. Mostraremos, en particular,dos aspectos que muestran las deficiencias de la integral de Riemann y quejustifican la necesidad de construir un concepto de integral distinto. Podremosver, entonces, que el exito de la integral de Lebesgue se debe al hecho de queproporciona un marco suficientemente general; es decir, aplicable en diversassituaciones, en el cual se disponen de resultados muy poderosos cuyas hipotesisson faciles de verificar.

El marco clasico mas sencillo1 para definir la integral de Riemann es el delas funciones escalonadas sobre un intervalo [a, b] de la recta real R.

Recordemos su definicion. Diremos que una funcion ϕ : [a, b] −→ R es escalo-nada si existe una subdivision P = x0, ..., xn con a = x0 < x1 < ... < xn = btal que, para todo i ∈ 1, ..., n, ϕ es constante (digamos igual a ci) sobre]xi−1, xi[. Hablaremos de δ-subdivision si la distancia entre cada unos de lospuntos x0, ..., xn es constante e igual a δ.

La integral de este tipo de funcion esta entonces dada por la expresion:

∫ b

a

ϕ(x)dx =

n∑

i=1

ci(xi − xi−1). (3.1)

Veamos un ejemplo muy simple de funcion escalonada con el dibujo siguiente.

ϕ

x0 · · ·x10

c1

c2

c3

c4

Figura 3.1: Una funcion escalonada

1En la seccion 3.5, retomaremos un poco mas en detalle el estudio de la integral deRiemann.

3.1 Las limitaciones de la integral de Riemann 125

Tenemos, por la expresion (3.1), que la integral de esta funcion ϕ es iguala:

∫ b=x10

a=x0

ϕ(x)dx = c1(x1 − x0) + c2(x2 − x1) + c1(x3 − x2) (3.2)

+c3(x4 − x3) + c2(x5 − x4) + c1(x6 − x5)

+c3(x7 − x6) + c4(x8 − x7) + c2(x9 − x8) + c1(x10 − x9),

lo que corresponde, geometricamente, a recubrir el area bajo la curva de ϕ pormedio de rectangulos, de base (xi−xi−1) y de altura las cantidades ci, y sumarel area de cada uno de estos rectangulos.

De modo mas general, una funcion f : [a, b] −→ R sera integrable en elsentido de Riemann o Riemann-integrable si, para todo ε > 0, existen dosfunciones escalonadas ϕ y ψ tales que:

ϕ(x) < f(x) < ψ(x) para todo x ∈ [a, b] y

∫ b

a

(ψ − ϕ)(x)dx < ε. (3.3)

Esta formula, conocida como el criterio de Darboux 2, significa que una funciones Riemann-integrable si puede ser aproximada inferior y superiormente porfunciones escalonadas.

El grafico a continuacion ilustra esta situacion.

-

6

a = x0 δ b = xn

f

ψ1

ϕ1

-

6

a = x0 δ2

b = xn

f

ψ2

ϕ2

Figura 3.2: Aproximacion de una funcion f por medio de funciones escalonadasutilizando una δ-subdivision y una δ/2 subdivision.

Esta definicion de integral puede parecer muy general, pues autoriza, porejemplo, que una funcion sea discontinua en una cantidad numerable de pun-tos. Sin embargo, es muy facil construir ejemplos relativamente naturales defunciones acotadas que no son Riemann-integrables. Veamos justamente uno.

2Gaston Darboux (1842 - 1917), matematico frances.

Si el conjunto A es un intervalo sencillo de la forma [α, β] con a < α < β < b,obtenemos, entonces, la siguiente expresion

∫ b

a

1A(x)dx = β − α.

Sin embargo, si el conjunto A es apenas mas complicado, digamos Q (o surestriccion a un segmento, por ejemplo Q ∩ [0, 1]), no se pueden encontrardos funciones escalonadas tales que se tenga (3.3). La funcion 1Q∩[0,1] no es,entonces, una funcion Riemann-integrable. Esta es una primera limitacion, puesno todas las funciones naturales, como las funciones indicatrices de conjuntos,son Riemann-integrables.

Una segunda limitacion proviene del hecho de que la integral de Riemanntiene un mal comportamiento con respecto a los lımites. En efecto, para po-der intercambiar los signos “lım” y “

∫” es necesario que la sucesion (fn)n∈N

converja uniformemente hacia f . Como habıamos visto en el primer capıtulo,esta nocion de convergencia uniforme es una condicion muy fuerte de caractermetrico y es, por lo tanto, deseable el poder relajar esta hipotesis.

De manera mas detallada, tenemos los dos puntos siguientes.

1) Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones Riemann-integrables, el lımi-te f = lım

n→+∞fn no es necesariamente Riemann-integrable. Demos un

ejemplo. Sea (rn) una enumeracion de los racionales, entonces la funcionindicatriz del conjunto Rn = r1, r2, ..., rn es Riemann-integrable y se

tiene∫ b

a 1Rn(x)dx = 0 para todo n y para todo intervalo cerrado [a, b].Sin embargo, en el lımite, se tiene lım

n→+∞1Rn(x) = 1Q(x), y esta funcion

no es Riemann-integrable.

2) Si suponemos, ademas, que el lımite de esta sucesion de funciones esRiemann-integrable, tampoco se tiene siempre la identidad

lımn→+∞

∫ 1

0

fn(t)dt =

∫ 1

0

lımn→+∞

fn(t)dt. (3.4)

Ilustremoslo con un ejemplo. Sea (an)n∈N una sucesion de numeros reales;definimos sobre [0, 1] una sucesion de funciones (fn)n∈N a valores realesescribiendo:

fn(x) =

2nanx si 0 ≤ x ≤ 1/2n,

2an(1− nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,

0 si 1/n < x ≤ 1.

(3.5)

Esta sucesion (fn)n∈N converge simplemente hacia 0 para toda sucesion(an)n∈N y converge uniformemente si y solo si la sucesion (an)n∈N con-verge hacia 0. Ademas, tenemos que

∫ 1

0

fn(x)dx = an/2n,

3.2 Teorıa de la integracion de Lebesgue 127

y la sucesion de las integrales de las funciones fn converge hacia 0 si ysolo si la sucesion (an/n) tiende hacia 0, que es una condicion mas debilque la anterior. De modo mas explıcito, si fijamos an = n, vemos que laparte izquierda de (3.4) es igual a 1/2 mientras que la parte derecha esnula.

A la luz de estos ejemplos, el objetivo que nos proponemos en las seccio-nes siguientes es doble. El primer punto consiste en construir una nocion deintegral mas general que el concepto de integral de Riemann (en el sentido alque se pueda considerar un mayor numero de funciones), y que estas dos in-tegrales coincidan sobre el espacio de funciones continuas. Esto sera explicadoen la seccion 3.5. El segundo objetivo es obtener una serie de resultados y deteoremas que hacen que la nocion de integral que desarrollaremos sea mas ro-busta y mas eficiente que la nocion de Riemann, enfatizando especialmente enel comportamiento con respecto a los lımites.

3.2 Teorıa de la integracion de Lebesgue

El objetivo de esta seccion es la construccion de la integral de Lebesgue y, pa-ra ello, procedemos por algunas etapas. Empezaremos definiendo las funcionesmedibles y describiendo sus principales propiedades en la subseccion 3.2.1 acontinuacion. Veremos en particular que la nocion de medibilidad de una fun-cion f solo depende de las σ-algebras definidas en su dominio de definicion yde su conjunto de valores (usualmente K), y no de la medida utilizada. Dichode otra manera, para caracterizar la nocion de medibilidad de las funciones,sera suficiente trabajar con una estructura de espacio medible.

En la subseccion 3.2.2 siguiente, exponemos una propiedad relacionada conlos conjuntos de medida nula que es de gran importancia en la construccion dela integral de Lebesgue: se trata de estudiar las propiedades que son validas encasi todas partes. Daremos, en particular, una definicion precisa de las nocionesde convergencia y de igualdad en este sentido muy especial.

En la subseccion 3.2.3, construiremos la integral de Lebesgue pasando poralgunas etapas clasicas; es decir, considerando primero funciones simples y defi-niendo su integral para luego obtener el caso general por un argumento de pasoal lımite. En la subseccion 3.2.4, presentaremos el espacio de funciones integra-bles ası como sus propiedades mas elementales y cerraremos nuestra exposicioncon la subseccion 3.2.5 en donde estudiaremos la integracion en subconjuntos.

3.2.1 Funciones medibles

El conjunto de funciones medibles que definimos en las lıneas siguientes es elcandidato natural de funciones integrables y es, por lo tanto, importante estu-diar sus principales caracterısticas, pues estas se repercutiran en las propiedadesde la integral. Es interesante observar una vez mas que, en los resultados deesta seccion, solo necesitaremos la nocion de espacio medible, es decir que el


concepto de medibilidad de las funciones depende unicamente de la estructurade σ-algebra con la cual dotamos los espacios de salida y de llegada.

Luego de presentar las propiedades y ejemplos basicos de este tipo de funcio-nes, verificaremos que todas las operaciones usuales sobre las funciones mediblesdan como resultado una funcion medible. Obtendremos, en particular, un cri-terio de medibilidad bastante util y veremos que estas funciones son establesbajo operaciones numerables, lo cual tiene consecuencias muy agradables. Ter-minaremos finalmente esta seccion con una aplicacion de estos resultados paraobtener un ejemplo de subconjunto de la recta real que es Lebesgue-medible,pero que no es Boreliano.

Empezamos con la caracterizacion siguiente de las funciones medibles.

Definicion 3.2.1 (Funcion medible - Espacio de funciones medibles). Sean(X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles.

Decimos que una funcion f de X en Y es (A ,B)-medible (o simplementemedible si no hay ambiguedad) si para todo B ∈ B, tenemos f−1(B) ∈ A .

El conjunto de funciones (A ,B)-medibles sera notado por M(X,A , Y,B).Cuando el conjunto de llegada este claramente definido ası como su σ-algebranotaremos M(X,A , Y ), o mas simplemente M(X,A ), para designar este es-pacio de funciones.

Demos un ejemplo muy sencillo de funcion medible. Si consideramos losconjuntos X = a, b, c y Y = α, β, γ, dotados de las σ-algebras A =∅, a, b, c, X, y B = P(Y ) respectivamente, es facil ver que la funciondefinida por

f : X −→ Y, f(a) = f(b) = f(c) = α

es una funcion (A ,B)-medible.

Por el contrario, la funcion g : X −→ Y determinada por g(a) = α, g(b) = βy g(c) = γ no es (A ,B)-medible, puesto que no verifica la condicion de ladefinicion 3.2.1. En efecto, g−1(γ) = c, pero c /∈ A . Sin embargo, si envez de considerar la σ-algebra A utilizamos la σ-algebra C = P(X), no es difıcilcomprobar que esta funcion g es (C ,B)-medible, lo que ilustra, claramente, ladependencia de la nocion de medibilidad de las funciones con respecto a lasσ-algebras utilizadas.

Es importante observar que, ası como en el caso de los conjuntos mediblesdefinidos en el capıtulo anterior, si consideramos las σ-algebras P(X) y P(Y ),tenemos que toda funcion definida sobreX a valores en Y es medible, lo cual noes necesariamente deseable. Es, por lo tanto, indispensable definir con cuidadolas σ-algebras con las cuales deseamos trabajar para obtener un criterio demedibilidad de funciones que sea suficientemente estable bajo las operacionesusuales entre funciones. En este sentido, tenemos la definicion.

Definicion 3.2.2 (Funciones Borelianas). Si X,Y son dos espacios topologicosdotados de sus σ-algebras borelianas, las funciones (Bor(X),Bor(Y ))-mediblesseran llamadas funciones Borelianas. Por lo general, el espacio de llegada Ysera uno de los espacios topologicos R, C, R+ o R.


Un primer ejemplo de funcion boreliana esta dado por las funciones indica-trices 1A de las partes A de X que son Bor(X)-medibles.

Esta concepcion de funciones medibles es mas general y posee mas propie-dades de estabilidad que la nocion de funcion Riemann-integrable, como ten-dremos la oportunidad de verlo con los resultados explicitados en esta seccion.Sin embargo, es posible ver desde ya que la funcion f(x) = 1Q∩[0,1](x) definidasobre la recta real, dotada de su σ-algebra boreliana, es (Bor([0, 1]),Bor(R))-medible, pues el conjunto Q ∩ [0, 1] es un conjunto boreliano. En la teorıa deRiemann esta funcion es totalmente patologica, y esto muestra que estamos encapacidad de estudiar un mayor numero de funciones.

Detallemos ahora, con las proposiciones siguientes, las principales propieda-des de las funciones medibles. Los resultados que se presentan a continuacionmuestran, que el conjunto de funciones medibles posee caracterısticas interesan-tes de robustez y de flexibilidad, heredadas de la estructura de las σ-algebras,que se proyectaran en las propiedades de la integral de Lebesgue.

Proposicion 3.2.1. Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles y K un con-junto de partes de Y que engendra la σ-algebra B. Entonces, una aplicacionf : X −→ Y es (A ,B)-medible si y solo si la imagen recıproca de todo elementode K es un elemento de A . Simbolicamente tenemos f−1(K) ⊂ A .

Demostracion. Evidentemente, si f es (A ,B)-medible, se tiene f−1(B) ∈ A

para todo B ∈ K. La implicacion recıproca se basa en la proposicion 2.2.5. Enefecto, por la formula (2.9), tenemos

f−1(B) = f−1(σ(K)) = σ(f−1(K));

de donde se deduce la proposicion, puesto que, por hipotesis, tenemos que laimagen recıproca de todo elemento de K es un elemento de A .

Esta proposicion nos proporciona un criterio muy util para la verificacionde la medibilidad de las funciones: es evidentemente mucho mas comodo y facilde estudiar la definicion de medibilidad sobre un generador de una σ-algebraque sobre todos los conjuntos de esta σ-algebra.

Corolario 3.2.1. Toda aplicacion continua de un espacio topologico X enotro espacio topologico Y , dotados de sus σ-algebras borelianas respectivas, esboreliana.

Demostracion. Basta aplicar la proposicion 3.2.1 en el caso en donde A y B

son las σ-algebras borelianas de X y Y , respectivamente, y K es el conjunto delos abiertos de Y .

Este corolario es un primer paso para el estudio de la integral de funcionescontinuas: si todas estas funciones son medibles, son entonces candidatas paraser funciones integrables.

El resultado siguiente es, particularmente util, pues nos permitira, gracias ala composicion de funciones medibles, construir nuevas aplicaciones medibles:

Proposicion 3.2.2. Sean (X,A ), (Y,B) y (Z,C ) tres espacios medibles yf : X −→ Y y g : Y −→ Z dos aplicaciones (A ,B)- y (B,C )-medibles, respec-tivamente. Entonces la aplicacion g f : X −→ Z es (A ,C )-medible.

Demostracion. La verificacion es sencilla. Basta para ello considerar un elemen-to C de la σ-algebra C y ver que g−1(C) pertenece a B. Por lo tanto, se tiene(g f)−1(C) = f−1(g−1(C)) ∈ A , de donde se deduce la (A ,C )-medibilidadde g f .

El resultado siguiente (que no es mas que una ligera modificacion de laproposicion 3.2.1) nos proporciona un criterio simple para verificar cuando unafuncion a valores en R, Rn, C o R+ es medible.

Proposicion 3.2.3 (Criterio de medibilidad). Sea (X,A ) un espacio medible.

1) La aplicacion f : X −→ R o R+ es (A ,Bor(R))-medible o (A ,Bor(R+))-medible si y solo si, para todo real (o hasta para todo racional) α, elconjunto x ∈ X : f(x) > α es A -medible.

La condicion > puede ser reemplazada por cualquiera de los sımbolos ≤,≥ o <.

2) Una funcion f : X −→ Rn es (A ,Bor(Rn))-medible si y solo si cada unade sus componentes es (A ,Bor(R))-medible.

3) En particular, una funcion f : X −→ C sera medible si y solo si sus partesreales e imaginarias son medibles.

Demostracion. La primera parte de la proposicion se deduce de la proposicion3.2.1 y del hecho de que los intervalos ]α,+∞[ o ]−∞, α[ generan los borelianosde R o R+.

Para establecer la segunda parte, si f es (A ,Bor(Rn))-medible, entonceslas funciones componentes definidas por fi = πi f con i = 1, ..., n en dondeπi son las proyecciones canonicas, son (A ,Bor(R))-medibles por composicion(recuerdese que las proyecciones canonicas πi : R

n −→ R son aplicaciones con-tinuas3 y, por lo tanto, (Bor(Rn),Bor(R))-medibles).

Si, inversamente, las funciones fi son (A ,Bor(R))-medibles, entonces elconjunto

x ∈ X : f(x) ∈ I1 × · · · × In = f1(x) ∈ I1 ∩ · · · ∩ fn(x) ∈ In

es A -medible para todos los intervalos abiertos Ii. Dado que el conjunto deadoquines abiertos del tipo I1 × · · · × In generan la σ-algebra de los borelianosde Rn, tenemos, por la proposicion 3.2.1, que la funcion f es (A ,Bor(Rn))-medible.

Finalmente, observamos que C es homeomorfo a R2 y que, por lo tanto,este punto es un caso particular del anterior. Basta, entonces, considerar lasfunciones ℜe(f) = π1 f y ℑm(f) = π2 f y aplicar el mismo razonamientoutilizado en las lıneas precedentes.

3Vease el ejercicio 1.2.

Hacemos una pequena digresion para observar que esta proposicion se apli-ca naturalmente a las funciones semi-continuas inferiormente cuya definicionrecordamos a continuacion.

Definicion 3.2.3 (Funciones semi-continuas inferiormente). Una funcion fdefinida sobre un espacio topologico X a valores en R+ es semi-continua in-feriormente si los conjuntos de la forma x ∈ X : f(x) > α son abiertos, ode manera equivalente, si los conjuntos x ∈ X : f(x) ≤ α son cerrados paratodo α ∈ R.

Paralelamente, y de forma totalmente simetrica, una funcion sera semi-continua superiormente si los conjuntos de la forma x ∈ X : f(x) < α sonabiertos para todo α ∈ R.

Notemos que la funcion indicatriz de todo abierto es semi-continua infe-riormente, mientras que la funcion indicatriz de todo cerrado es semi-continuasuperiormente. Ademas, si (fn)n∈N es una sucesion de funciones semi-continuasinferiormente tales que f(x) = supn∈N fn(x), entonces la funcion f es semi-continua inferiormente.

Corolario 3.2.2. Toda funcion semi-continua definida sobre un espacio to-pologico X a valores en R es boreliana.

Demostracion. La verificacion se facilita si utilizamos el criterio de medibilidadexpuesto en la proposicion 3.2.3. En efecto, por definicion de funcion semi-continua inferiormente, el conjunto x ∈ X : f(x) > α es abierto y, por lotanto, Bor(X)-medible, de manera que la funcion es boreliana.

Veremos, posteriormente, la utilidad de este tipo de funciones. Observemosahora que el criterio de medibilidad admite la siguiente modificacion.

Proposicion 3.2.4. Sean (X,A ) un espacio medible, A un subconjunto de Xque pertenece a A y f, g dos funciones definidas sobre A a valores en R+ queson (A ,Bor(R+))-medibles. Entonces los conjuntos

x ∈ A : f(x) < g(x), x ∈ A : f(x) ≤ g(x) y x ∈ A : f(x) = g(x)

pertenecen a A .

Demostracion. Observese que la desigualdad f(x) < g(x) implica la existenciade un numero racional r tal que f(x) < r < g(x). Luego,

x ∈ A : f(x) < g(x) =⋃

r∈Q

(x ∈ A : f(x) < r ∩ x ∈ A : r < g(x)) ,

y el conjunto x ∈ A : f(x) < g(x) es la union numerable de conjuntos quepertenecen a A y, por lo tanto, pertenece a A . Similarmente, se obtiene que elconjunto x ∈ A : f(x) > g(x) pertenece a A . Dado que se tiene la identidad

x ∈ A : f(x) ≤ g(x) = A \ x ∈ A : f(x) > g(x),

se obtiene, sin problema, que el conjunto x ∈ A : f(x) ≤ g(x) pertenece aA .

Finalmente, la igualdad

x ∈ A : f(x) = g(x) = x ∈ A : f(x) ≤ g(x) \ x ∈ A : f(x) < g(x)

nos permite concluir que x ∈ A : f(x) = g(x) pertenece a A .

La proposicion que sigue nos muestra que todas las operaciones naturalesque se pueden efectuar sobre las funciones medibles nos conducen siempre auna funcion medible.

Proposicion 3.2.5. Sean (X,A ) un espacio medible y f, g : X −→ K dosaplicaciones medibles. Entonces:

1) las funciones suma f + g y producto fg son medibles;

2) si f no se anula, la funcion 1/f es medible;

3) si f y g son a valores reales, las funciones max(f, g) y mın(f, g) sonmedibles; y

4) para todo p > 0, la funcion |f |p es medible.

Demostracion. Para la primera afirmacion, podemos restringirnos, sin perdidade generalidad, al caso K = R. Tenemos, entonces, que f + g es la composicionde la aplicacion x 7−→ (f(x), g(x)) deX en R2, que es medible, y de la aplicacion(y1, y2) 7−→ y1 + y2 que es continua y, por lo tanto, medible. Para la aplicacionproducto fg se procede similarmente.

La segunda afirmacion se verifica pues la funcion 1/f resulta de la composi-cion de f y de 1/z que es continua de K \ 0 en K. Si f se anula, el enunciadono tiene sentido, pero es importante darse cuenta de que la funcion g definidapor g(x) = 1/f(x) si f(x) 6= 0 y g(x) = a si f(x) = 0, en donde a es unelemento cualquiera de K (cero, por ejemplo), es medible.

La tercera proposicion es evidente y se deja al lector como ejercicio. La ulti-ma afirmacion se deduce facilmente, puesto que |f |p es la aplicacion compuestade f , que es medible, y de z 7−→ |z|p que es continua en K y, por lo tanto,medible.

Corolario 3.2.3. El espacio de funciones medibles M(X,A ,K,Bor(K)) es unK-espacio vectorial.

Por la proposicion anterior, vemos que la suma de funciones medibles f yg es una funcion medible y se demuestra sin problema que, para todo λ ∈ K,el producto λf es tambien una funcion medible.

Corolario 3.2.4. Sea (X,A ) un espacio medible. Si f : X −→ [0,+∞] es unafuncion medible entonces las funciones determinadas por

f+(x) = max(f(x), 0) y f−(x) = max(−f(x), 0) (3.6)

son medibles.


Este corolario se deduce del hecho de que la funcion f+ resulta de la com-posicion de f con la aplicacion x 7−→ x+. Estas funciones nos serviran paradefinir la integral de funciones generales, como lo veremos un poco mas tarde.

Las ultimas propiedades de las funciones medibles que presentamos en elsiguiente teorema son las que muestran su comportamiento con respecto alos lımites. Estos puntos son fundamentales, pues son los que nos permitiranconstruir una nocion de integral que cumpla con los objetivos que nos hemosplanteado.

Teorema 3.2.1 (Estabilidad numerable de funciones medibles). Sean (X,A )un espacio medible y (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles definidas sobreX a valores en K. Entonces

1) Las funciones ınfn∈N

fn y supn∈N

fn son medibles.

2) Las funciones lım ınfn→+∞

fn y lım supn→+∞

fn son medibles.

3) La funcion f = lımn→+∞

fn es una funcion medible.

(cuyo dominio es de definicion es el conjunto x ∈ X : lım supn→+∞

fn =

lım ınfn→+∞

fn)

4) La suma numerable de una serie de funciones medibles que converge encada punto define una funcion medible.

Demostracion. Por la proposicion 3.2.3, basta considerar el caso real en cadauno de estos enunciados.

Para demostrar el primero, solo hay que estudiar la medibilidad de supn∈N

fn,

pues se tiene la relacion supn∈N

fn(x) = − ınfn∈N

(−fn(x)). Tenemos, entonces, para

todo t ∈ R, la identidad

x ∈ X : supn∈N

fn(x) > t =⋃

n∈N

x ∈ X : fn(x) > t

de donde se deduce que x ∈ X : supn∈N

fn(x) > t ∈ A . En efecto, los conjuntos

x ∈ X : fn(x) > t son A -medibles por el criterio de medibilidad y su unionpertenece a la σ-algebra A , por lo tanto, podemos decir que la funcion sup

n∈N

fn

es medible.Probemos el segundo enunciado. Dado que, por definicion, tenemos

lım ınfn→+∞

fn(x) = supn∈N

ınfk≥n

fk(x), (3.7)

lım supn→+∞

fn(x) = ınfn∈N

supk≥n

fk(x),

la medibilidad de estas funciones se deduce del enunciado anterior.

Para el tercero, notaremos con X0 el dominio de definicion de lımn→+∞

fn; de

manera que, por la proposicion 3.2.4, tenemos X0 ∈ A . Dado que se tiene

x ∈ X0 : lımn→+∞

fn(x) ≤ t = X0 ∩ x ∈ X : lım supn→+∞

fn(x) ≤ t,

se obtiene la medibilidad de f(x) = lımn→+∞

fn(x).

Para demostrar el ultimo enunciado, escribimos Sn(x) =∑n

k=0 fk(x). Comose tiene la identidad

∑

n∈N fn(x) = lımn→+∞

Sn(x), se obtiene el resultado deseado

por medio de la proposicion 3.2.5 y de la tercera afirmacion de este teorema.

Observacion 3.1. Este teorema de estabilidad numerable de las funcionesmedibles es fundamental en todo lo que sigue, pues nos permitira realizar ope-raciones de paso al lımite con toda serenidad.

Hemos terminado nuestra exposicion de las diferentes propiedades de lasfunciones medibles. Antes de continuar con nuestra presentacion, vamos a es-tudiar, en el parrafo siguiente, una aplicacion muy concreta de los conceptosexplicitados hasta aquı.

Un conjunto Lebesgue-medible pero no Boreliano

Como se prometio en la seccion 2.4.4, en las lıneas que siguen exhibimos unejemplo que ilustra el hecho de que la σ-algebra de los Borelianos de la rectareal no es completa. El enunciado preciso es el siguiente.

Teorema 3.2.2. Existe un subconjunto de la recta real que es Lebesgue-medible,pero que no es boreliano.

Para la verificacion de este hecho, utilizaremos una funcion muy especialllamada la funcion singular de Lebesgue4. Definamos esta funcion f : [0, 1] −→[0, 1] iterativamente.

Ası, en la primera etapa, fijamos f(0) = 0, f(x) = 1/2 para todo x ∈]1/3, 2/3[ y f(1) = 1 y juntamos por rectas los puntos extremos. Luego, apartir de la funcion anterior, fijamos f(x) = 1/4 sobre ]1/9, 2/9[ y f(x) = 3/4sobre ]7/9, 8/9[ y seguimos juntando los extremos por rectas.

Continuando de esta forma, f(x) toma los valores 1/2n, 3/2n, ... en los va-rios intervalos [0, 1] \Kn−1 en donde Kn−1 son los conjuntos que se obtienenen la construccion del conjunto triadico de Cantor K. Se obtiene, entonces,que la funcion f definida sobre [0, 1] \K es creciente y toma valores en [0, 1].Extendemos, entonces, a todo el intervalo [0, 1] fijando f(0) = 0 y escribiendo

f(x) = supf(t) : t ∈ [0, 1] \K, t < x si x ∈ K y x 6= 0.

4Llamada tambien funcion de Cantor o escalera del diablo. Estas denominaciones pue-den causar cierta confusion, pues, como bien dice J.M. Bony en [3], se tiende a atribuirerroneamente esta funcion a uno de estos dos autores.


1/3 2/3 1

1/2

1

9

2

91/3 2/3 7

9

8

91

1/4

1/2

3/4

1

Figura 3.3: Funcion de Lebesgue, las dos primeras etapas

Es facil ver que la funcion ası obtenida es creciente, continua y que f(0) = 0y f(1) = 1. Vamos a construir ahora una nueva funcion utilizando la funcionsingular de Lebesgue. Por el teorema del valor intermedio, para todo y ∈ [0, 1],existe al menos un x ∈ [0, 1] tal que f(x) = y, de manera que podemos definirla funcion g : [0, 1] −→ [0, 1] de la siguiente forma:

g(y) = ınfx ∈ [0, 1] : f(x) = y.

La continuidad de f implica, entonces, que se tiene f(g(y)) = y para todoy ∈ [0, 1] y por lo tanto g es una funcion inyectiva. El hecho de que f seacreciente hace de g una funcion creciente y una funcion borel-medible.

Con todas estas notaciones podemos concentrarnos ahora en la demostra-cion del teorema 3.2.2.

Demostracion. Sea g la funcion construıda en las lıneas precedentes. Sabemos,por el teorema 2.4.6, que existe un subconjunto E del intervalo [0, 1] que noes Lebesgue medible. Definimos, entonces, B = g(E ), de manera que B es unsubconjunto del conjunto triadico de Cantor y es, por lo tanto, un conjuntoLebesgue medible de medida nula, puesto que la σ-algebra de Lebesgue escompleta.

Si B es un conjunto Boreliano, entonces g−1(B) serıa un conjunto Boreliano,pero, por la inyectividad de la funcion g, se tiene que g−1(B) = E , que no esun conjunto Lebesgue medible y, en particular, no es un conjunto Boreliano.Se deduce, por lo tanto, que el conjunto Lebesgue medible B no es un conjuntoBoreliano.

Notese que hemos demostrado un enunciado un poco mas preciso que el ex-puesto en el teorema 3.2.2: hemos mostrado que el conjunto triadico de Cantorposee un subconjunto que no es un conjunto boreliano, de donde se deduce queel espacio medido (R,Bor(R), λ) no es un espacio medido completo.


Observacion 3.2. La imagen continua de un conjunto Boreliano no es, nece-sariamente, un conjunto Boreliano.

3.2.2 Propiedades validas en µ-casi todas partes

Esta seccion esta dedicada al estudio de las propiedades que sigen siendo validassi se omite de su dominio de definicion un conjunto de medida nula. Estaparticularidad tiene consecuencias muy importantes, como lo veremos en estey el siguiente capıtulo.

Definicion 3.2.4 (Propiedades validas µ-c.t.p.). Sea (X,A , µ) un espacio me-dido. Decimos que una propiedad P (x) que depende de un punto x ∈ X es validaµ-casi en todas partes (que abreviaremos µ-c.t.p. o simplemente c.t.p., si nohay ambiguedad sobre la medida utilizada) si el conjunto de los x ∈ X en dondeesta propiedad no esta verificada es un conjunto de µ-medida nula o si es unconjunto µ-despreciable.

Por ejemplo, para una funcion f definida sobre un espacio medido (X,A , µ)a valores reales, escribiremos f(x) = 0 µ-c.t.p. si el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0es µ-despreciable; es decir si µ(x ∈ X : f(x) 6= 0) = 0.

Observacion 3.3. Esta nocion depende, evidentemente, de la medida µ con-siderada; en efecto, si en la recta real consideramos un conjunto formado porun solo punto, la medida de conteo y la medida de Lebesgue nos daran dosresultados diferentes.

Un caso particular muy importante de propiedad valida en µ-casi todaspartes es el de la igualdad de funciones.

Definicion 3.2.5 (Funciones iguales µ-c.t.p.). Si (X,A , µ) es un espacio me-dido y f, g : X −→ K son dos funciones, diremos que f y g son iguales µ-casitodas partes, y lo notaremos “f = g µ-c.t.p.”, si el conjunto de puntos en dondedifieren es de µ-medida nula o µ-despreciable, es decir, si

µ(x ∈ X : f(x) 6= g(x)) = 0.

Ilustremos este concepto de igualdad con un ejemplo: la funcion indicatriz1I∩[0,1] es igual λ-casi en todas partes a la funcion 1[0,1] en donde λ es la medidade Lebesgue de la recta real. Por el contrario, la funcion indicatriz 1Q∩[0,1] esnula λ-casi en todas partes.

La proposicion a continuacion es de gran importancia, pues nos permiteconsiderar clases de equivalencia para las funciones que difieren solamente sobreun conjunto despreciable. Empecemos fijando una notacion: designaremos porF (X,K) el conjunto formado por todas las funciones definidas sobre el espaciomedido (X,A , µ) a valores en K.

Proposicion 3.2.6. Sean f, g : X −→ K. La relacion determinada por f = gµ-c.t.p. y notada fRµg es una relacion de equivalencia sobre las funcionesde F (X,K). Ademas, esta relacion de equivalencia Rµ es compatible con laestructura vectorial de K en el sentido siguiente:


1) si f = g µ-c.t.p., entonces αf = αg µ-c.t.p. para todo α ∈ K;

2) si f = g µ-c.t.p. y ψ = ϕ µ-c.t.p., entonces f + ψ = g + ϕ µ-c.t.p.

Demostracion. Verifiquemos que la relacion Rµ es, efectivamente, una relacionde equivalencia:

• Dado que, para toda funcion f ∈ F (X,K), se tiene fRµf , puesto quex ∈ X : f(x) 6= f(x) = ∅, se tiene que Rµ es reflexiva.

• La simetrıa de Rµ es inmediata pues, si fRµg ,se tiene gRµf por defini-cion.

• La transitividad de Rµ (es decir, fRµg y gRµh =⇒ fRµh) se deduce dela inclusion

x ∈ X : f(x) 6= h(x) ⊂ x ∈ X : f(x) 6= g(x)∪x ∈ X : g(x) 6= h(x);

y del hecho de que la union de conjuntos despreciables es despreciable.

El primer punto de la compatibilidad con la estructura vectorial se deduce dela identidad

x ∈ X : αf(x) 6= αg(x) = x ∈ X : f(x) 6= g(x).

El segundo punto se basa, en cambio, en la inclusion

x ∈ X : f(x) + ψ(x) 6= g(x) + ϕ(x) ⊂

x ∈ X : f(x) 6= g(x) ∪ x ∈ X : ψ(x) 6= ϕ(x).

Definicion 3.2.6. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f ∈ F (X,K). La clasede equivalencia de f con respecto a Rµ es el conjunto determinado por

g ∈ F (X,K) : fRµg.

Un elemento de esta clase de equivalencia sera notado [f ] (a f se le llama“representante de la clase [f ]”).

Proposicion 3.2.7. Sean (X,A , µ) un espacio medido y F (X,K) el conjuntode todas las funciones definidas sobre X a valores en K. El espacio cocienteF (X,K)/Rµ es un K-espacio vectorial.

Demostracion. Por la proposicion anterior, no es difıcil ver que la funcion nulaµ-c.t.p., [0], pertenece al espacio F (X,K)/Rµ. Ademas, si [f ], [g] pertenecena F (X,K)/Rµ, se tiene

α[f ] + β[g] = [αf + βg]

para todo α, β ∈ K, con lo que se termina la demostracion.


Veremos, al definir los espacios de Lebesgue en el capıtulo siguiente, lautilidad de esta proposicion. Observemos ahora que, cuando la medida utilizadaes completa, tenemos el resultado siguiente.

Proposicion 3.2.8. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g dos funcionesdefinidas sobre X a valores en K iguales µ-en casi todas partes. Si la medidaµ es completa y si f es medible, entonces g es medible.

Demostracion. Sean t un numero real y A un conjunto de A tal que µ(A) = 0 ytal que f y g coinciden en cada punto que no pertenece a A. Tenemos, entonces,que

x ∈ X : g(x) ≤ t = (x ∈ X : f(x) ≤ t ∩Ac) ∪ (x ∈ X : g(x) ≤ t ∩ A) .

La completitud de la medida µ implica que el conjunto x ∈ X : g(x) ≤ t ∩Apertenece a A lo que implica que el conjunto x ∈ X : g(x) ≤ t pertenecea A . Dado que habıamos fijado t arbitrario, se deduce la medibilidad de lafuncion g.

Terminamos esta seccion con una primera nocion de convergencia en dondeinterviene el concepto de medida.

Definicion 3.2.7 (Convergencia µ-c.t.p.). Si (fn)n∈N es una sucesion de fun-ciones definidas sobre un espacio medido (X,A , µ) a valores en K, y si f esuna funcion definida sobre (X,A , µ), entonces diremos que (fn)n∈N convergeen µ-c.t.p. si el conjunto de puntos en donde la relacion f(x) = lım

n→+∞fn(x)

falla es µ-despreciable. Notaremos este tipo de convergencia de esta manera:“fn −→ f µ-c.t.p.”.

Observacion 3.4. Es importante notar que la nocion de convergencia en µ-c.t.p. es muy diferente de la nocion de convergencia simple y de la convergenciauniforme.

Para verlo, podemos tomar, por ejemplo, la sucesion de funciones expuestaen el punto 1) de la pagina 126: sea (rn) una enumeracion de los racionalesdel intervalo [0, 1] y sea la sucesion (1Rn)n≥1 en donde Rn = r1, r2, ..., rn.Entonces, en el lımite, se tiene lım

n→+∞1Rn(x) = 1Q∩[0,1](x), en el sentido de la

convergencia simple; pero esta sucesion converge λ-casi en todas partes haciala funcion identicamente nula sobre [0, 1]. Este mismo ejemplo sirve para verque la convergencia en µ-c.t.p. no implica la convergencia uniforme.

Presentamos, finalmente, un resultado en donde la nocion de completitudde una medida juega un rol importante.

Proposicion 3.2.9. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f una funcion y unasucesion (fn)n∈N de funciones definidas sobre X a valores en [0,+∞] tales quefn converge µ-c.t.p. hacia f . Si la medida µ es completa y si cada funcion fnes A -medible, entonces f es A -medible.


Demostracion. Por el teorema 3.2.1, la funcion lım ınfn→+∞

fn es medible y, dado

que f y lım ınfn→+∞

fn coinciden en µ-casi todas partes, la proposicion 3.2.8 implica

que f es una funcion medible.

Veamos como construir la funcion f a partir de una sucesion (fn)n∈N queverifica las hipotesis de la proposicion anterior. Para ello, definamos

f(x) =

lımn→+∞

fn(x) si este lımite existe,

0 si no.

Si denotamos por N el conjunto en donde este lımite no existe, se puede escogercualquier valor constante como valor de f sobre N sin modificar el resultadode la proposicion 3.2.9. Este procedimiento sera muy util en todo lo que sigue.

3.2.3 Construccion de la integral de Lebesgue

Tenemos ahora los ingredientes necesarios para definir la integral de Lebesgue:es decir el concepto de funciones medibles, buenas propiedades de estabilidadcon respecto a las medidas y un manejo adecuado de los conjuntos de medidanula.

Como se anuncio, esta construccion se realizara en algunas etapas. La pri-mera consiste en construir la integral para las funciones simples positivas, quedefiniremos a continuacion, y que reemplazan, en cierto sentido, las funcionesescalonadas de la integral de Riemann. En la segunda etapa se obtendra pormedio de los resultados de paso al lımite, lo que nos permite generalizar lanocion intuitiva de integral de funciones simples a las funciones medibles po-sitivas. En cada una de estas diferentes etapas, verificaremos las propiedadeselementales de la integral como la aditividad, el crecimiento y la homogeneidad,y veremos los teoremas generales de paso al lımite.

Observese que nos restringiremos en esta seccion, de forma voluntaria, a laconstruccion de las funciones definidas sobre un conjunto X , dotado de unaestructura de espacio medido (X,A , µ), a valores en R+ (ver la definicion3.2.11). El caso cuando las funciones toman sus valores en R o C sera tratadoen la seccion 3.2.4, y expondremos el caso de las funciones a valores en Rn enla seccion 3.4.

Presentamos ahora los dos espacios de funciones que constituyen los ladrillosde base de la construccion de la integral de Lebesgue.

Definicion 3.2.8 (Funcion simple - Espacio de funciones simples). Sea unespacio medido de medida σ-finita (X,A , µ). Decimos que una aplicacion fdefinida sobre X a valores en K es una funcion simple si toma un numerofinito de valores α0, ..., αn ∈ K y si los conjuntos imagenes recıprocas f−1(αk)con 0 ≤ k ≤ n pertenecen a A .

Las funciones simples son, entonces, combinaciones lineales finitas de fun-ciones indicatrices de conjuntos medibles y se las puede escribir de la forma


siguiente:

f(x) =n∑

k=0

αk1Ak(x), (3.8)

con αk ∈ K y Ak una coleccion de conjuntos disjuntos de A .

Notaremos con S(X,A , µ,K) el conjunto de funciones simples definidassobre X a valores en K.

Por esta definicion, es posible ver que toda funcion escalonada es unafuncion simple, pero que no se tiene la recıproca (vease el ejemplo anterior:f(x) = 1Q∩[0,1](x)).

Este espacio de funciones posee algunas propiedades agradables con respectoa las operaciones naturales sobre funciones a valores enK. De modo mas preciso,tenemos el enunciado siguiente.

Proposicion 3.2.10. El conjunto S(X,A , µ,K) posee una estructura de K-espacio vectorial.

Demostracion. Sean f(x) =∑n

i=0 αi1Ai(x) y g(x) =∑m

j=0 βj1Bj (x) dos fun-ciones simples. Ver que la suma o el producto de estas funciones es una funcionsimple no causa ninguna dificultad, pues se tiene

(f+g)(x) =

n∑

i=0

m∑

j=0

(αi+βj)1Ai∩Bj (x) y (fg)(x) =

n∑

i=0

m∑

j=0

(αiβj)1Ai∩Bj (x).

Verificar que para todo λ ∈ K y toda funcion f ∈ S(X,A , µ,K), se tieneλf ∈ S(X,A , µ,K) es sencillo, puesto que λαk = βk ∈ K y

λf(x) = λ

n∑

k=0

αk1Ak(x) =

n∑

k=0

λαk1Ak(x) =

n∑

k=0

βk1Ak(x) ∈ S(X,A , µ,K),

para obtener el resultado deseado.

Un caso especial de las funciones simples, muy util para la construccion dela integral de Lebesgue, es el que presentamos en la definicion a continuacion.

Definicion 3.2.9 (Espacio de funciones simples positivas). Sea (X,A , µ) unespacio medido. Notaremos S+(X,A , µ) el conjunto de funciones simples po-sitivas definidas sobre X a valores en R+. Es decir, tales que los numeros αk

que intervienen en la definicion 3.2.8 son αk > 0 para todo 0 ≤ k ≤ n.

Este espacio es evidentemente un subconjunto del espacio de las funcionessimples y contiene, en el caso X = R y A = Bor(R), las funciones escalonadaspositivas.

Lema 3.2.1 (Descomposicion canonica de funciones simples). Para toda f enS+(X,A , µ) existe una unica familia finita (αk, Ak)0≤k≤n, con αk ∈ R+ y

Ak ∈ A , tal que 0 < α0 < ... < αn, Ak 6= ∅ para todo k, en donde los conjuntosAk son dos a dos disjuntos de manera que se tiene

f(x) =

n∑

k=0

αk1Ak(x).

Demostracion. Sea f(x) =∑m

k=0 αk1Ck(x) una funcion simple positiva. Nota-

mos αk los coeficientes αk reordenados de forma creciente sin repeticiones: esdecir 0 < α0 < ... < αn, con n < m si hay coeficientes αk repetidos, y n = msi todos los coeficientes αk son distintos. Definamos, entonces, los conjuntos

Ak = x ∈ X : f(x) = αk

para todo k = 0, ..., n. No es difıcil percatarse que estos conjuntos son novacıos, pertenecen a la σ-algebra A y son dos a dos disjuntos. Definamos,finalmente, la funcion f(x) =

∑nk=0 αk1Ak

(x) de manera que obtenemos todaslas propiedades del lema.

Esta descomposicion nos lleva, naturalmente, a definir la integral de lasfunciones simples positivas de la siguiente manera.

Definicion 3.2.10 (Integral de funciones simples positivas). Sea una funcionf ∈ S+(X,A , µ) una funcion simple positiva. La integral de f con respecto ala medida µ es el numero real definido por

∫

X

f(x)dµ(x) =

n∑

k=0

αk µ(f−1(αk)) =

n∑

k=0

αkµ(f = αk). (3.9)

Si el conjunto x ∈ X : f(x) = 0 es de medida infinita, utilizaremos laconvencion 0 × +∞ = 0, de modo que todos los terminos de la suma (3.9)tienen sentido. Notese que esta suma es igual a un numero positivo o a +∞ y,diremos, entonces, que una funcion simple positiva f es integrable si su integrales finita; es decir si y solo si el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0 es de medida finita.

Si bien la descomposicion canonica de las funciones simples nos sirvio demotivacion para la definicion de la integral, es imperativo verificar que el valorde∫

X f(x)dµ(x) no depende de la descomposicion adoptada. Tenemos pues laproposicion siguiente.

Proposicion 3.2.11. La integral de las funciones simples definida por la formu-la (3.9) no depende de la descomposicion adoptada para expresar las funcionessimples.

Demostracion. Sea (X,A , µ) un espacio medido y sea f ∈ S+(X,A , µ) tal que

f(x) =

n∑

i=0

αi1Ci(x) y f(x) =

m∑

j=0

βj1Dj (x).

Podemos suponer que las familias (Ci)0≤i≤n y (Dj)0≤j≤m son disjuntas dosa dos; es decir, Cl ∩ Cp = ∅ y Dl ∩ Dp = ∅ si l 6= p. Definamos, ahora,


para todo i = 1, ..., n y j = 1, ...,m, los conjuntos Aij = Ci ∩ Dj . Dado quex : f(x) > 0 =

⋃ni=0 Ci =

⋃mj=0Dj , podemos escribir Ci =

⋃nj=0 Aij y

Dj =⋃m

j Aij , y tenemos, entonces,

n∑

i=0

αiµ(Ci) =

n∑

i=0

m∑

j=0

αiµ(Aij) y

m∑

j=0

βjµ(Dj) =

m∑

j=0

n∑

i=0

βjµ(Aij).

Puesto que αi = βj cuando Aij 6= ∅, se obtiene la independencia del calculode la integral con respecto a la descomposicion adoptada para describir lasfunciones simples.

Observacion 3.5. La variable x que aparece en la parte izquierda de la formula(3.9) es una variable muda; es decir, puede ser reemplazada por cualquier otraletra que verifica las mismas condiciones. Ası mismo, la letra d que aparece enesta formula no tiene una significacion especial y solo sirve para indicar cual esla funcion y cual es la medida.

Calculemos, a modo de ejemplo, la integral de una funcion simple mediantela funcion de la figura 3.4. Suponemos, para fines pedagogicos, que la funcionϕ esta definida sobre R, dotado de la σ-algebra Boreliana, a valores en [0,+∞[.

ϕ

α1

α2

α3

α4

Figura 3.4: Una funcion simple positiva

Definamos, entonces, los conjuntos Ai = x ∈ R : ϕ(x) = αi para i =

1, ..., 4, de manera que ϕ(x) =∑4

i=1 αi1Ai(x). Luego, por la formula (3.9),tenemos

∫

R

ϕ(x)dλ(x) = α1λ(A1) + α2λ(A2) + α3λ(A3) + α4λ(A4). (3.10)

El lector podra darse cuenta, si compara esta formula con la expresion (3.2),que la forma de calcular una integral segun Riemann es totalmente distinta segnLebesgue, pero que el resultado es, evidentemente, el mismo en este ejemplosencillo.

Observacion 3.6. Notese, en particular, que la formula (3.9) aplicada a lafuncion f(x) = 1A(x) definida sobre X con A ∈ A nos permite escribir, me-diante un abuso de lenguaje, las relaciones siguientes:

∫

X

1Adµ =

∫

X∩A

dµ =

∫

A

dµ = µ(A).


Veremos en la seccion 3.2.5 una verificacion formal de estas notaciones

Veamos ahora algunas propiedades elementales que se deducen de la defini-cion de integral de las funciones simples.

Proposicion 3.2.12. Sean f, g dos funciones de S+(X,A , µ). Tenemos laspropiedades siguientes

1) Homogeneidad: si λ ∈ K, entonces∫

X

(λf)(x)dµ(x) = λ

∫

X

f(x)dµ(x);

2) Aditividad:∫

X(f + g)(x)dµ(x) =∫

X f(x)dµ(x) +∫

X g(x)dµ(x);

3) Crecimiento o monotonıa si f ≤ g µ-c.t.p, se tiene entonces∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x).

Demostracion. Sean, pues, f(x) =∑n

i=0 αi1Ai(x) y g(x) =∑m

j=0 βj1Bj (x)dos funciones simples. Podemos suponer, sin perdida de generalidad por laproposicion 3.2.11 y por el lema 3.2.1, que los conjuntos Ai son dos a dosdisjuntos y que se tiene

⋃

iAi =⋃

j Bj .La primera propiedad se deduce entonces de los calculos siguientes:

∫

X

(λf)(x)dµ(x) =

n∑

i=0

λαiµ(Ai) = λ

n∑

i=0

αiµ(Ai) = λ

∫

X

f(x)dµ(x).

Para demostrar la segunda, tenemos:

∫

X

(f + g)(x)dµ(x) =

n∑

i=0

m∑

j=0

(αi + βj)µ(Ai ∩Bj)

=

n∑

i=0

m∑

j=0

αiµ(Ai ∩Bj) +

n∑

i=0

m∑

j=0

βjµ(Ai ∩Bj)

=

n∑

i=0

αiµ(Ai) +

m∑

j=0

βjµ(Bj)

=

∫

X

f(x)dµ(x) +

∫

X

g(x)dµ(x).

La ultima propiedad se verifica sin dificultad, pues si f ≤ g, entonces g − f esuna funcion de S+(X,A , µ) y, por lo tanto, se tiene por las lıneas anteriores,que∫

X

g(x)dµ =

∫

X

(f + (g − f))(x)dµ(x)

=

∫

X

f(x)dµ(x) +

∫

X

(g − f)(x)dµ(x) ≥∫

X

f(x)dµ(x).


El siguiente teorema es el primero que nos presenta, en el marco restringidode las funciones simples positivas, la posibilidad de intercambiar los signos “lım”y “∫”. Veremos en las lıneas que vienen a continuacion como ir adoptando este

resultado en el caso de funciones mas generales.

Teorema 3.2.3. Sean un espacio medido (X,A , µ), f ∈ S+(X,A , µ), (fn)n∈N

una sucesion creciente de funciones de S+(X,A , µ) tales que para todo x ∈ X,se tenga f(x) = lım

n→+∞fn(x). Entonces, se tiene:

∫

X

f(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Demostracion. Dado que la sucesion es creciente, se tiene por, la proposicion3.2.12, la siguiente sucesion de desigualdades

∫

X

f0(x)dµ(x) ≤∫

X

f1(x)dµ(x) ≤ ... ≤∫

X

f(x)dµ(x),

lo que implica que lımn→+∞

∫

X fndµ existe y verifica

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤∫

X

f(x)dµ(x). (3.11)

Ahora verificaremos la desigualdad opuesta. Para ello, fijemos un real ε ∈]0, 1[;dado que f se escribe de la forma f(x) =

∑mi=0 αi1Ai(x), podemos definir, para

cada n y cada i, el conjunto

An,i = x ∈ Ai : fn(x) ≥ (1− ε)αi;

de manera que cada An,i es un conjunto A -medible. Se tiene, ademas, que lasucesion (An,i)n∈N es creciente y satisface Ai =

⋃

n∈NAn,i.Si definimos la funcion gn(x) =

∑mi=0(1 − ε)αi1An,i(x), entonces gn perte-

nece a S+(X,A , µ) y verifica gn ≤ fn. Obtenemos, por lo tanto, que

lımn→+∞

∫

X

gn(x)dµ(x) = lımn→+∞

m∑

i=0

(1− ε)αiµ(An,i),

y por el teorema de continuidad de las medidas, podemos escribir

m∑

i=0

(1 − ε)αi lımn→+∞

µ(An,i) =

m∑

i=0

(1− ε)αiµ(Ai) = (1− ε)

∫

X

f(x)dµ(x).

Se obtiene, entonces, por la propiedad de crecimiento de la integral, la desigual-dad siguiente

lımn→+∞

∫

X

gn(x)dµ(x) = (1− ε)

∫

X

f(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Como el real ε era arbitrario, se deduce de estas formulas la desigualdad

∫

X


∫

X

fn(x)dµ(x). (3.12)

Finalmente, de las desigualdades (3.11) y (3.12), obtenemos la igualdad reque-rida.

El teorema que viene a continuacion explicita la relacion de las funcionessimples positivas con las funciones medibles (positivas). Este resultado sera degran utilidad, pues es el que nos permitira generalizar la nocion de integraldada en la definicion 3.2.10 a las funciones medibles.

Teorema 3.2.4 (Aproximacion por funciones simples crecientes). Sean unespacio medido (X,A , µ) y A un subconjunto de X que pertenece a A . Sif : A −→ [0,+∞] es una funcion medible, entonces existe una sucesion cre-ciente (fn)n≥1 de funciones simples positivas tales que f(x) = lım

n→+∞fn(x)

para todo x ∈ A.

Demostracion. Para cada n y para cada k = 1, 2, ..., n2n, definamos los con-juntos

An,k = x ∈ A : (k − 1)/2n ≤ f(x) < k/2n.Observemos que la medibilidad de la funcion f implica que cada uno de estosconjuntos An,k pertenece a la σ-algebra A . Definamos, entonces, una sucesion(fn)n≥1 de funciones sobre A de modo que fn tome el valor (k− 1)/2n en cadapunto de An,k para todo k = 1, ..., n2n y que tome el valor n en cada puntode A \ ⋃k≥1An,k. Estas funciones son, por construccion, funciones simplespositivas, medibles que, ademas, son crecientes (fn ≤ fn+1 para todo x ∈ A) yverifican f = lım

n→+∞fn.

En la figura 3.5 ilustramos esta aproximacion por medio de funciones simplespositivas.

-

6

f

1

2nϕn

A

-

6

f

ϕn+11

2(n+1)

A

Figura 3.5: Aproximacion por funciones simples


Observacion 3.7. Notemos que el refinamiento de la aproximacion por mediode funciones simples se opera en el eje de las ordenadas contrariamente a laaproximacion por medio de funciones escalonadas en donde las subdivisionesestan en el eje de las abscisas.

Pasemos, sin tardar mas, a la definicion de la integral de las funciones me-dibles positivas. Si combinamos el teorema 3.2.1 y el teorema de aproximacion3.2.4, podemos enunciar la siguiente definicion de integral para estas funciones.

Definicion 3.2.11 (Integral de funciones medibles positivas). Sean (X,A , µ)un espacio medido, f una aplicacion A -medible definida sobre X a valores enR+, es decir, f ∈ M(X,A ,R+,Bor(R+)). Su integral es el elemento de R+

,notado∫

Xf(x)dµ(x), y definido por

∫

X

f(x)dµ(x) = sup

∫

X

ϕ(x)dµ(x) : ϕ ∈ S+(X,A , µ), ϕ ≤ f

. (3.13)

Notese que para las funciones f ∈ S+(X,A , µ), esta definicion coincide conla definicion 3.2.10.

La definicion que acabamos de enunciar es la base de la construccion de laintegral de Lebesgue; en efecto, como veremos un poco mas tarde, el conceptogeneral de integral de una funcion cualquiera se obtiene a partir de esta formulapor medio de manipulaciones elementales.

La proposicion que viene a continuacion es una generalizacion del teorema3.2.3 a la integral de las funciones medibles positivas que acabamos de definir.

Proposicion 3.2.13. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f : X −→ [0,+∞]una funcion A -medible y (fn)n∈N una sucesion creciente de S+(X,A , µ) talesque f(x) = lım

n→+∞fn(x) para todo x ∈ X. Entonces

∫

X


∫

X

fn(x)dµ(x).

Demostracion. La prueba de la existencia del lımite y la desigualdad

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤∫

X

f(x)dµ(x)

sigue los mismos pasos explicados en el teorema 3.2.3, de manera que dejamoslos detalles al lector.

Nos concentraremos entonces en la desigualdad siguiente:

∫

X


∫

X

fn(x)dµ(x). (3.14)

Puesto que, por definicion de la integral de las funciones medibles positivas,tenemos que

∫

Xfdµ es el supremo de los elementos de [0,+∞] de la forma

∫

X ϕ(x)dµ(x), en donde las funciones ϕ pertenecen a S+(X,A , µ) y verifican


ϕ ≤ f ; entonces, para verificar (3.14), es necesario verificar que, para unafuncion ϕ cualquiera de S+(X,A , µ) que satisface ϕ ≤ f , tambien verifica

∫

X

ϕ(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Sea, pues, ψ ∈ S+(X,A , µ) una funcion cualquiera que verifica ψ ≤ f . Dadoque la sucesion mın(ψ, fn) es creciente, pertenece a S+(X,A , µ) y verificalım

n→+∞mın(ψ, fn) = ψ, entonces, por el teorema 3.2.3, se tiene

∫

X

ψ(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

mın(ψ, fn)(x)dµ(x).

Sin embargo, puesto que∫

Xmın(ψ, fn)(x)dµ(x) ≤

∫

Xfn(x)dµ(x), por la pro-

piedad de crecimiento de la integral de funciones simples, se obtiene la desigual-dad ∫

X

ψ(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x).

Como esta desigualdad es valida para todas las funciones ψ se deduce la de-sigualdad (3.14), de donde se obtiene el resultado deseado.

Explicitemos algunas propiedades elementales que son la contraparte de laproposicion 3.2.12 para las funciones medibles positivas.

Proposicion 3.2.14. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f y g dos funcionesmedibles definidas sobre un conjunto X a valores sobre [0,+∞].

1) Homogeneidad: si λ ∈ K, entonces∫

X

(λf)(x)dµ(x) = λ

∫

X

f(x)dµ(x)

2) Aditividad:∫

X(f + g)(x)dµ(x) =∫

X f(x)dµ(x) +∫

X g(x)dµ(x)

3) Crecimiento: si f ≤ g µ-c.t.p, se tiene entonces∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x).

Demostracion. Podemos escoger dos sucesiones crecientes (fn)n∈N y (gn)n∈N

de funciones simples positivas tales que f = lımn→+∞

fn y g = lımn→+∞

gn, esto es

totalmente lıcito gracias al teorema 3.2.4.No es difıcil convencerse que las sucesiones (λfn)n∈N y (fn + gn)n∈N son

sucesiones crecientes que verifican λf = lımn→+∞

λfn y f + g = lımn→+∞

fn + gn,

de manera que podemos usar la proposicion 3.2.13 junto con la propiedad dehomogeneidad y de aditividad de las funciones de S+(X,A , µ) para obtener

∫

X

λf(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

λfn(x)dµ(x) = lımn→+∞

λ

∫

X

, fn(x)dµ(x)

= λ

∫

X

fn(x)dµ(x)


∫

X

(f + g)(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

(fn + gn)(x)dµ(x)

= lımn→+∞

(∫

X

fn(x)dµ(x) +

∫

X

gn(x)dµ(x)

)

=

∫

X

f(x)dµ(x) +

∫

X

g(x)dµ(x).

Finalmente, para la tercera propiedad, notamos que, si f ≤ g, entonces la clasede funciones ϕ ∈ S+(X,A , µ) que satisfacen ϕ ≤ f esta incluida en la clase defunciones ψ ∈ S+(X,A , µ) que verifican ψ ≤ g; de donde se deduce que

∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x).

3.2.4 Espacio de funciones integrables

Una vez que hemos presentado estos resultados basicos para las funciones me-dibles positivas, pasamos ahora al caso cuando f es a valores reales y complejostal como lo habıamos anunciado anteriormente. En el caso real, utilizaremoslas funciones f+ = max(f, 0) y f− = max(−f, 0) definidas en (3.6), mientrasque en el caso complejo , utilizaremos las partes reales e imaginarias.

De esta manera tenemos las identidades

f(x) = f+(x)− f−(x) y f(x) = Re(f)(x) + iIm(f)(x),

en todo punto y podemos dar la definicion a continuacion.

Definicion 3.2.12 (Funciones integrables - Espacio de funciones integrables).Sean (X,A , µ) un espacio medido y f : X −→ [−∞,+∞] una funcion medible.

1) Diremos que f es µ-integrable (o µ-sumable5) si las dos cantidades∫

X

f+(x)dµ(x) y

∫

X

f−(x)dµ(x) (3.15)

son finitas. La integral de esta funcion esta entonces definida por∫

X

f(x) dµ(x) =

∫

X

f+(x)dµ(x) −∫

X

f−(x)dµ(x). (3.16)

2) En el caso de que f sea a valores complejos, diremos que f es µ-integrablesi las cantidades

∫

X

ℜe (f)(x)dµ(x) y

∫

X

ℑm (f)(x)dµ(x)

son finitas. Definimos su integral como el numero complejo∫

X

f(x) dµ(x) =

∫

X

ℜe (f)(x)dµ(x) + i

∫

X

ℑm (f)(x)dµ(x). (3.17)

5Utilizaremos estos dos terminos como sinonimos.


Finalmente, el conjunto de funciones integrables sera notado I(X,A , µ,K).

Notacion: En el caso en el que el conjunto X sea igual al conjunto de losnumeros naturales N, dotado de su σ-algebra natural y de la medida de conteo,si tenemos una funcion f : N −→ K (una sucesion), utilizaremos la notacionhabitual

∑

n∈N

f(n) en vez de

∫

N

f(n)dµ(n).

Hablaremos, entonces, de sucesiones sumables y notaremos el conjunto de suce-siones sumables de la siguiente forma I(N,P(N), Card,K), o mas simplementeI(N,P(N)) si el contexto es claro. Evidentemente, estas notaciones se mantie-nen si X = Z.

Observacion 3.8. Para las funciones medibles positivas que no son µ - in-tegrables, hemos atribuido el sımbolo +∞ a su integral. Esta es una notacioncomoda y util, pero que no vuelve estas funciones sumables. En particular, parauna funcion f a valores reales o complejos, no existe, por lo general, una ex-tension de esta notacion, puesto que no se puede dar un sentido a la expresion∞ −∞6 y es, por eso, que es necesario verificar primero la sumabilidad de fantes de hablar de su integral. En el caso especial en el que una sola de las doscantidades de la formula (3.15) es finita, diremos que la integral definida por(3.16) existe y es infinita.

Por ejemplo, la funcion f(x) = x3 definida sobre R no es λ-integrable. Sibien la funcion g(x) = log(x) definida sobre ]0,+∞[ tampoco es λ-integrable,se tiene que f− es sumable y que f+ no lo es: diremos, entonces, que su integralexiste y es infinita.

Exponemos un lema que sera necesario posteriormente.

Lema 3.2.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f1, f2, g1, g2 funciones realespositivas integrables definidas sobre X tales que f1 − f2 = g1 − g2. Entonces setiene

∫

X

f1(x)dµ(x) −∫

X

f2(x)dµ(x) =

∫

X

g1(x)dµ(x) −∫

X

g2(x)dµ(x).

Demostracion. Si las funciones satisfacen la identidad f1 − f2 = g1 − g2, setiene tambien que f1 + g2 = g1 + f2 y, por lo tanto, se obtiene la identidad

∫

X

f1(x)dµ(x) +

∫

X

g2(x)dµ(x) =

∫

X

g1(x)dµ(x) +

∫

X

f2(x)dµ(x);

dado que todas las integrales anteriores son finitas, se deduce el resultado desea-do.

En la proposicion siguiente, generalizamos las propiedades de homogenei-dad, aditividad y crecimiento a las funciones integrables en el sentido de ladefinicion 3.2.12.

6Recuerdese que esta expresion es indeterminada, vease la pagina 51.

Proposicion 3.2.15. Sean (X,A , µ) un espacio medido, λ ∈ K y f, g dosfunciones de I(X,A , µ,K). Se tienen las propiedades siguientes.

1) λf es integrable y la integral es homogenea

∫

X

λf(x)dµ(x) = λ

∫

X

f(x)dµ(x). (3.18)

2) f + g es integrable y la integral es lineal

∫

X

(f + g)(x)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x) +

∫

X

g(x)dµ(x). (3.19)

3) Si f ≤ g, entonces la integral es creciente

∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x).

Demostracion. Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que las aplica-ciones y el escalar α son a valores reales. En efecto, por la formula (3.17), unavez que se tiene el resultado deseado sobre los reales, se deduce, facilmente, elresultado analogo sobre los complejos.

Empecemos por la primera propiedad. La integrabilidad de λf y la relacion(3.18) son evidentes si λ = 0. Suponemos, pues, que λ > 0 y vemos sin problemaque (λf)+ = λf+ y (λf)− = λf−. Entonces las funciones (λf)+ y (λf)− sonintegrables y, por lo tanto, λf es integrable. Tenemos, ahora, por la proposicion3.2.14, las identidades

∫

X

λf(x)dµ(x) =

∫

X

(λf)+(x)dµ(x) −∫

X

(λf)−(x)dµ(x)

= λ

∫

X

f+(x)dµ(x) − λ

∫

X

f−(x)dµ(x) = λ

∫

X

f(x)dµ(x),

lo que demuestra la identidad (3.18) si λ > 0.Si λ < 0, entonces (λf)+ = −λf− y (λf)− = −λf+, de manera que se

puede adaptar el razonamiento anterior para mostrar que λf es integrable yque

∫

X λf(x)dµ(x) = λ∫

X f(x)dµ(x), con lo que se termina la prueba de laprimera propiedad.

Consideremos ahora la suma de f y g. Puesto que se tienen las desigualdades

(f + g)+ ≤ f+ + g+ y (f + g)− ≤ f− + g−,

podemos utilizar la proposicion 3.2.14 para obtener

∫

X

(f + g)+(x)dµ(x) ≤∫

X

f+(x)dµ(x) +

∫

X

g+(x)dµ(x) < +∞,

∫

X

(f + g)−(x)dµ(x) ≤∫

X

f−(x)dµ(x) +

∫

X

g−(x)dµ(x) < +∞.


Deducimos, entonces, que f + g es integrable. Dado que f + g es igual a (f +g)+ − (f + g)− y a f+ + g+ − (f− + g−), obtenemos, por el lema 3.2.2, lasidentidades siguientes:

∫

X

(f + g)(x)dµ(x) =

∫

X

(f+ + g+)(x)dµ(x) −∫

X

(f− + g−)(x)dµ(x);

es decir, ∫

X

(f + g)(x)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x) +

∫

X

g(x)dµ(x),

lo que prueba la segunda propiedad.Finalmente, para demostrar la tercera propiedad, notamos que si f ≤ g,

entonces la funcion g − f es positiva y, por lo tanto, se tiene

0 ≤∫

X

(g − f)(x)dµ(x) =

∫

X

g(x)dµ(x) −∫

X

f(x)dµ(x);

es decir, ∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x),

con lo que concluye la demostracion.

Corolario 3.2.5. El espacio de funciones integrables I(X,A , µ,K) es un es-pacio vectorial.

Observacion 3.9. Es importante notar que si f, g ∈ I(X,A , µ,K), se puedetener el caso en el que el producto fg no pertenezca al espacio I(X,A , µ,K); esdecir, que el espacio I(X,A , µ,K) no es estable por la multiplicacion usual defunciones. Para convencerse de ello, basta fijar f(x) = g(x) con f : [0, 1] −→ R

y f(x) = x−1/2.

Todos los resultados expuestos en esta seccion 3.2.4 se mantienen si se exigeque las diferentes propiedades de crecimiento o de igualdad pedidas en lashipotesis lo sean en µ-casi todas partes. En este sentido, tenemos la proposicionsiguiente.

Proposicion 3.2.16. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f, g : X −→ [−∞,+∞]dos funciones (A ,Bor(R))-medibles iguales en µ-casi todas partes. Si una deestas funciones es sumable, entonces la otra tambien lo es y se tiene la identidad

∫

X

f(x)dµ(x) =

∫

X

g(x)dµ(x).

Este resultado se extiende al caso cuando f, g toman valores en K.

Demostracion. Consideremos primero el caso en donde f y g son funcionespositivas; definamos el conjunto N = x ∈ X : f(x) 6= g(x) y la funcion h:

h(x) =

+∞ si x ∈ N

0 si x /∈ N .


Tenemos, entonces, al aplicar la proposicion 3.2.13 a la sucesion hn(x) =n1N (x), que tiende de forma creciente hacia h, que

∫

X

h(x)dµ(x) = 0.

Gracias a este hecho, a la desigualdad f ≤ g + h y a la proposicion 3.2.15,obtenemos la desigualdad

∫

X

f(x)dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x) +

∫

X

h(x)dµ(x) =

∫

X

g(x)dµ(x).

Mediante un argumento totalmente similar al anterior, tenemos la desigualdad∫

X

g(x)dµ(x) ≤∫

X

f(x)dµ(x),

de donde se deduce la identidad deseada.Cuando f y g no son necesariamente positivas, el resultado buscado puede

ser obtenido de las lıneas precedentes mediante las descomposiciones f(x) =f+(x)−f−(x) y g(x) = g+(x)−g−(x). Cuando las funciones f, g toman valoresen K se procede de forma similar mediante la definicion (3.2.12), dejamos losdetalles al lector en el ejercicio 3.4.

Observacion 3.10. En particular, si se modifica una funcion sobre un conjuntode medida nula, el valor de su integral permanece el mismo.

La siguiente proposicion nos permite obtener una desigualdad que es de usoconstante por lo que siempre es til tenerla presente.

Proposicion 3.2.17. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f una funcion(A ,Bor(K))-medible definida sobre X con valores en K. Entonces f es in-tegrable si y solo si |f | es integrable, y se tiene la desigualdad

∣∣∣∣

∫

X

f(x) dµ(x)

∣∣∣∣≤∫

X

|f(x)|dµ(x). (3.20)

Demostracion. Recuerdese que, por definicion, en el caso real una funcion f esintegrable si y solo si las aplicaciones f+ y f− lo son. Dado que |f | = f++ f−,se obtiene, por la proposicion 3.2.14, la integrabilidad de |f |. La desigualdadbuscada se deduce, entonces, de los calculos siguientes:∣∣∣∣

∫

X

f dµ

∣∣∣∣=

∣∣∣∣

∫

X

f+ dµ−∫

X

f− dµ

∣∣∣∣≤∫

X

f+dµ+

∫

X

f−dµ =

∫

X

|f |dµ.

Corolario 3.2.6. Si el conjunto X es de µ-medida finita, entonces toda funcionf : X −→ K que es (A ,Bor(K))-medible y acotada es integrable, y se tiene ladesigualdad siguiente:

∣∣∣∣

∫

X

f(x)dµ(x)

∣∣∣∣≤ µ(X)sup

x∈X|f(x)|.


Demostracion. Por la proposicion anterior, escribimos

∣∣∣∣

∫

X

f(x) dµ(x)

∣∣∣∣≤∫

X

|f(x)|dµ(x)

Entonces, del hecho de que f(x) ≤ supx∈X

|f(x)| para todo x ∈ X y de la propiedad

de crecimiento de la integral, obtenemos la desigualdad buscada.

Observacion 3.11. Es importante notar que existen funciones que no sonmedibles y, por lo tanto, no sumables, pero cuyo valor absoluto es una fun-cion sumable. Es, por ello, que la hipotesis de medibilidad es importante en laproposicion 3.2.17.

Veamos un ejemplo de esta situacion. Sea el espacio medido (R,L (R), λ)y el conjunto no Lebesgue-medible E ⊂]0, 1[ contruido en la demostracion delteorema 2.4.6 pagina 114. Si definimos f(x) = 1E (x) − 1]0,1[\E (x), podemosver que esta funcion no es L (R)-medible y, sin embargo, se tiene que |f(x)| =1]0,1[(x) sı es una funcion sumable.

3.2.5 Integracion en un subconjunto

Hasta ahora hemos presentado la integral sobre todo el conjunto X , pero enmuchas ocasiones es necesario integrar solamente sobre un subconjunto de X .Veremos que hay dos puntos de vista de este problema que son equivalentes.

En lo que sigue, consideraremos (X,A , µ) un espacio medido, Y un conjuntoA -medible y f una aplicacion definida sobre Y que toma valores en K.

El primer punto de vista consiste en tomar en cuenta la medida inducidapor µ sobre el conjunto Y (vease la proposicion 2.2.7) y estudiar la integralcon respecto al espacio medido (Y,A|Y , µ|Y ): si la funcion f es A|Y -medible,podemos definir la integral sobre Y de la siguiente forma

∫

Y

f(x)dµ(x) =

∫

Y

f(x)dµ|Y (x);

de manera que dispondremos de todas las propiedades de la integral explicitadasanteriormente.

Vamos ahora a ver que este tipo de integral siempre puede expresarse comouna integral sobre todo el conjunto X , y esto corresponde al segundo punto devista posible. Para ello, introducimos la funcion fY definida sobre X ; igual a fsobre Y y a 0 sobre X \ Y ; tenemos, en este caso, el resultado siguiente.

Proposicion 3.2.18. Sean (X,A , µ) un espacio medido y Y un conjunto A -medible. Entonces la funcion f pertenece al espacio I(Y,A|Y , µ|Y ,K) si y solosi la funcion fY pertenece a I(X,A, µ,K) y se tiene

∫

Y

f(x)dµ|Y (x) =

∫

X

fY (x)dµ(x).


Demostracion. Verifiquemos primero que la funcion f es A|Y -medible si y solosi la funcion fY es A -medible. Sea A un abierto de K; tenemos, por un lado,que f−1(A) = f−1

Y (A) ∩ Y y, por otro lado, que f−1Y (A) = f−1(A) si 0 /∈ A y

f−1Y (A) = f−1(A) ∪ (X \ Y ) si 0 ∈ A.

Pasemos ahora a la igualdad entre las integrales. Sea f(x) = 1A(x) endonde A ⊂ Y es un conjunto A -medible. Tenemos, entonces, fY (x) = 1A(x),de donde se deduce la identidad

∫

Y

f(x)dµ|Y (x) = µ|Y (A) = µ(A) =

∫

X

1A(x)dµ(x) =

∫

X

fY (x)dµ(x).

Por la linealidad de la integral, se obtiene este resultado para toda funcionsimple positiva. Para las funciones reales utilizamos la descomposicion f+ yf−, y, para las funciones complejas, se considera en cambio Re(f) y Im(f).Dado que, en estos dos ultimos casos (funciones reales y complejas) las etapasson las mismas, dejamos los detalles al lector.

Exponemos ahora un resultado muy utilizado en la practica. Pero antesfijemos una notacion. Si f : X −→ K es una funcion y si Y ⊂ X , notaremosf|Y (x) = f(x)1Y (x) la restriccion de f sobre Y .

Corolario 3.2.7. Sean (X,A , µ) un espacio medido, A,B ∈ A dos conjuntosdisjuntos y f : A ∪B −→ K una funcion. Entonces

1) f es A|A∪B-medible si y solo si f|A y f|B son A|A y A|B -medibles, respec-

tivamente.

2) f es integrable sobre A∪B si y solo si f es integrable sobre A y sobre B,y se tiene la identidad

∫

A∪B

f(x)dµ(x) =

∫

A

f(x)dµ(x) +

∫

B

f(x)dµ(x).

Demostracion. Dado que se tienen las expresiones

f|A = f|A∪B1A y f|B = f|A∪B

1B,

obtenemos la identidad f|A∪B= f|A + f|B , de donde se deduce, sin mayor

dificultad, el resultado deseado.

La siguiente proposicion y sus corolarios seran muy utiles cuando deseemosrealizar estimaciones que hacen intervenir la integral y la medida del conjuntosobre el cual se integra.

Proposicion 3.2.19. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f una funcion A -medible definida sobre X que toma valores en [0,+∞]. Si t es un numero realpositivo y si definimos At = x ∈ X : f(x) ≥ t, entonces se tienen las dosdesigualdades siguientes:

µ(At) ≤1

t

∫

At

f(x)dµ(x) ≤ 1

t

∫

X

f(x)dµ(x). (3.21)

Demostracion. Sea t > 0 un real. Puesto que X = At ∪ Act , tenemos

1

t

∫

X

f(x)dµ(x) =1

t

∫

At

f(x)dµ(x) +1

t

∫

Act

f(x)dµ(x) ≥ 1

t

∫

At

f(x)dµ(x),

lo que demuestra la segunda desigualdad. Para demostrar la primera, tenemosque

1

t

∫

At

f(x)dµ(x) ≥ 1

t

∫

At

t dµ(x) = µ(At).

Corolario 3.2.8. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f ∈ I(X,A , µ,K);entonces el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0 es σ-finito con respecto a la medidaµ.

Demostracion. La proposicion 3.2.19 aplicada a la funcion |f | implica que losconjuntos An determinados por

An =

x ∈ X ; |f(x)| ≥ 1

n

con n ≥ 1 son de µ-medida finita. Observemos que el conjunto x ∈ X : f(x) 6=0 es igual a la union de estos conjuntos An. Tenemos ası que x ∈ X : f(x) 6=0 es σ-finito con respecto a la medida µ.

Corolario 3.2.9. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f ∈ I(X,A , µ,K).Entonces:

1) tenemos que |f(x)| < +∞ µ-casi en todas partes;

2) si, ademas, se tiene∫

X

|f(x)|dµ(x) = 0,

entonces la funcion f es µ-c.t.p. identicamente nula.

Demostracion. La proposicion 3.2.19, aplicada a la funcion |f |, implica la de-sigualdad

µ (x ∈ X : |f(x)| ≥ n) ≤ 1

n

∫

X

|f(x)|dµ(x),

valida para todo entero n ≥ 1. Entonces, tenemos

µ (x ∈ X : |f(x)| = +∞) ≤ µ (x ∈ X : |f(x)| ≥ n) ≤ 1

n

∫

X

|f(x)|dµ(x).

Por lo tanto, haciendo n→ +∞, podemos concluir que

µ (x ∈ X : |f(x)| = +∞) = 0

y hemos demostrado el primer enunciado.


El segundo enunciado se demuestra de forma similar. En efecto, por laproposicion 3.2.19, obtenemos para todo entero n ≥ 1:

µ

(

x ∈ X : |f(x)| ≥ 1

n

)

≤ n

∫

X

|f(x)|dµ(x) = 0.

Dado que

x ∈ X : f(x) 6= 0 =⋃

n≥1

x ∈ X : |f(x)| ≥ 1

n

,

la subaditividad numerable de la medida µ implica que µ(x ∈ X : f(x) 6=0) = 0 y, por lo tanto, se tiene que la funcion f es µ-c.t.p. identicamentenula.

Exponemos ahora una propiedad importante en donde vemos como varıa laintegral en funcion de la medida del conjunto sobre el cual se integra.

Proposicion 3.2.20 (Continuidad absoluta de la integral). Sean (X,A , µ)un espacio medido y f : X −→ [0,+∞] una funcion integrable. Entonces lacantidad

∫

Y fdµ tiende hacia cero si la medida de Y tiende hacia cero:

(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀Y ∈ A )[µ(Y ) ≤ δ =⇒∫

Y

f(x)dµ(x) ≤ ε].

Demostracion. Por la definicion de integral, existe una funcion simple positivaϕ tal que 0 ≤ ϕ ≤ f y

∫

X(f − ϕ)(x)dµ(x) ≤ ε. Podemos, entonces, escribir:

∫

Y

f(x)dµ(x) =

∫

Y

(f − ϕ)(x)dµ(x) +

∫

Y

ϕ(x)dµ(x) ≤ ε+

∫

Y

ϕ(x)dµ(x).

Esto nos permite concentrar nuestra atencion en las funciones simples. Comoϕ(x) =

∑nk=0 αk1Ak

(x), tenemos

∫

Y

ϕ(x)dµ(x) =

n∑

k=0

αkµ(Ak ∩ Y ) ≤(

n∑

k=0

αk

)

µ(Y )

y esta desigualdad nos permite obtener el resultado deseado.

Notacion especıfica de la integral de Lebesgue y dos propiedadesimportantes

En el caso en que X = R, A = Bor(R) y µ = λ, escribiremos, de ahora enadelante, dx en lugar de dλ(x) para designar la integracion con respecto a estamedida y si X = Rn, usaremos tambien dx en lugar de dλn(x). Para designarla medida de Lebesgue de un conjunto A, notaremos simplemente |A| en vezde λ(A) o de

∫

A dx.

Cuando a < b, escribiremos∫ b

af(x)dx, en lugar de

∫

(a,b)f(x)dx. Notese que

es inutil precisar la naturaleza del intervalo dado que los puntos son de medidanula. En el caso cuando b < a, escribiremos

∫ b

a

f(x)dx = −∫ a

b

f(x)dx = −∫

(b,a)

f(x)dx.

Vamos a utilizar ahora las proposiciones 2.4.9 y 2.4.10 del capıtulo anteriorpara presentar dos propiedades especialmente importantes de la integral conrespecto a la medida de Lebesgue. Indiquemos, desde ya, que estas propiedadesno son exclusivas de la medida de Lebesgue; el caso general sera estudiado enel volumen 2.

La primera propiedad esta relacionada con la aplicacion traslacion que defi-nimos de la siguiente forma para toda funcion f : Rn −→ K y para todo vectorτ ∈ Rn:

fτ (x) = f(τ + x). (3.22)

Tenemos, entonces, el resultado a siguiente.

Proposicion 3.2.21. Para toda funcion integrable perteneciente al espacioI(Rn,Bor(Rn), λn,K) y para todo vector τ ∈ Rn, tenemos la identidad:

∫

Rn

fτ (x)dx =

∫

Rn

f(x)dx. (3.23)

Demostracion. Empecemo considerando una funcion simple expresada en sudescomposicion canonica f(x) =

∑nk=0 αk1Ak

(x). Tenemos, entonces, que fτ (x) =∑nk=0 αk1Ak

(τ + x), y por lo tanto,

∫

Rn

fτ (x)dx =

n∑

k=0

αk

∫

Rn

1Ak(τ + x)dx =

n∑

k=0

αkµ(Ak − τ)

=

n∑

k=0

αkµ(Ak) =

∫

Rn

f(x)dx,

pues, para todo boreliano A y todo vector τ ∈ Rn, se tiene por la proposicion2.4.9, la identidad µ(τ +A) = µ(A). Siguiendo el proceso de construccion de laintegral, podemos generalizar, sin problema, este resultado a todas las funcionesintegrables.

La segunda propiedad explicita las relaciones entre la dilatacion y la integralcon respecto a la medida de Lebesgue. Definimos la dilatacion por un factorα > 0 de una funcion f : Rn −→ K por la formula

δα[f ](x) = f(αx) = f(αx1, ..., αxn). (3.24)

El resultado es el siguiente.


Proposicion 3.2.22. Para toda f : Rn −→ K del espacio I(Rn,Bor(Rn), λn,K)y para todo α > 0, se tiene la identidad

∫

Rn

δα[f ](x)dx = α−n

∫

Rn

f(x)dx. (3.25)

Demostracion. Empecemos, otra vez, considerando una funcion simple f(x) =∑n

k=0 βk1Ak(x). Tenemos δα[f ](x) =

∑nk=0 βk1Ak

(αx), de manera que

∫

Rn

δα[f ](x)dx =

n∑

k=0

βkµ(α−1Ak) = α−n

n∑

k=0

βkµ(Ak) = α−n

∫

Rn

f(x)dx,

pues, para todo boreliano A y todo α > 0, se tiene por la proposicion 2.4.10,la identidad µ(αA) = αnµ(A). La generalizacion a las funciones integrables esinmediata.

Con esto hemos terminado nuestra presentacion de la integral de Lebesguey de las propiedades mas elementales de los espacios de funciones medibles yde funciones integrables. El lector notara que de todos los resultados expuestosse deduce una gran estabilidad y una flexibilidad de la integral de Lebesgue,que hacen de este concepto una herramienta importante. Sin embargo, es enla seccion siguiente en donde estudiamos los teoremas que muestran toda lautilidad de la integral de Lebesgue.

3.3 Teoremas clasicos de la teorıa de la integra-

cion

Los resultados que se muestran a continuacion son fundamentales en las apli-caciones y justifican, por su utilidad e importancia indiscutible, el desarrollo delas secciones anteriores. Las tres primeras partes, 3.3.1-3.3.3, estan reservadasa los teoremas de convergencia que nos permiten intercambiar, bajo hipotesismenos restrictivas que en el caso de la integral de Riemann, los sımbolos deintegral y de lımite.

En el parrafo 3.3.4, consideraremos las integrales dependientes de un parame-tro y terminaremos esta seccion con el parrafo 3.3.5, en donde expondremosdiferentes modos de convergencia que hacen intervenir las nociones de mediday de integral.

En todo lo que sigue, y salvo mencion expresa de lo contrario, considerare-mos funciones medibles definidas sobre un espacio medido (X,A , µ) que tomanvalores sobre K, R o R+, dotados de sus σ-algebras naturales.

3.3.1 Convergencia monotona

El primer teorema importante que tratamos en esta seccion corresponde a unageneralizacion de un resultado ya utilizado en el teorema 3.2.3 y en la proposi-cion 3.2.13. De manera mas precisa, vamos a demostrar que, bajo las hipotesis

3.3 Teoremas clasicos de la teorıa de la integracion 159

de convergencia de una sucesion en µ-c.t.p. y de monotonıa, se pueden inter-cambiar los signos lımite e integral.

Teorema 3.3.1 (Teorema de la convergencia monotona de Beppo Levi7). Sea(X,A , µ) un espacio medido, f una funcion A -medible y (fn)n∈N una sucesioncreciente de funciones A -medibles, ambas definidas sobre X que toman valoresen R+, tales que f(x) = lım

n→+∞fn(x) µ-c.t.p. Entonces se tiene la identidad

∫

X


∫

X

fn(x)dµ(x). (3.26)

Demostracion. Supongamos que la convergencia de la sucesion (fn)n∈N se tieneen todo punto de X (veremos luego como deshacernos de esta hipotesis suple-mentaria). Por la monotonıa o crecimiento de la integral, tenemos las siguientesdesigualdades:

∫

X

f0(x)dµ(x) ≤∫

X

f1(x)dµ(x) ≤ · · · ≤∫

X

f(x)dµ(x);

por lo tanto, la sucesion(∫

X fndµ)

n∈Nconverge (eventualmente hacia +∞) y

su lımite satisface

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤∫

X

f(x)dµ(x). (3.27)

De manera que solo debemos verificar la desigualdad recıproca para de-mostrar (3.26). Para ello consideramos, para cada n, una sucesion creciente(gn,k)k∈N de funciones simples tales que fn = lım

k→+∞gn,k y definimos una fun-

cion hn : X −→ R+ por hn = max(g1,n, g2,n, ..., gn,n), de manera que la sucesion(hn)n∈N es una sucesion creciente de funciones simples positivas, A -mediblesque satisfacen hn ≤ fn y f = lım

n→+∞hn. Por estas observaciones, por la propo-

sicion 3.2.13 y por la monoticidad de la integral, se deduce que

∫

X


∫

X

hn(x)dµ(x) ≤ lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x). (3.28)

De (3.27) y (3.28) se obtiene el resultado deseado.

Consideremos, para terminar la demostracion, que solo se tiene la conver-gencia µ-c.t.p.; es decir, que existe un conjunto N que pertenece a A , deµ-medida nula, en donde no se tiene esta convergencia. Vemos entonces que lafuncion f1N c satisface las hipotesis hechas en la primera parte de la demostra-cion, de modo que se obtiene, sin problemas, que

∫

X

f(x)1N c(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

fn(x)1N c (x)dµ(x).

7Beppo Levi (1875-1961), matematico italiano, vivio a partir de 1939 en Argentina.


Dado que la funcion fn1N c coincide con fn µ-c.t.p. y que f1N c coincide conf µ-c.t.p., entonces podemos concluir, en virtud de la proposicion 3.2.16, quese tiene la identidad siguiente en µ-c.t.p.

∫

X


∫

X

fn(x)dµ(x).

Este teorema esta en el centro de muchos otros resultados como nos lomuestra el corolario que se presenta a continuacion, en el que se estudia larelacion entre los sımbolos “

∫” y “

∑”.

Corolario 3.3.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido y una serie S =∑

n∈N fn,cuyos terminos fn son funciones A -medibles definidas sobre (X,A , µ) que to-ma valores en R+. Entonces la suma es medible y se tiene la identidad

∫

X

∑

n∈N

fn(x)dµ(x) =∑

n∈N

∫

X

fn(x)dµ(x). (3.29)

Demostracion. Es suficiente aplicar el teorema de convergencia monotona a lasucesion de sumas parciales (Sn)n∈N definida por Sn =

∑nk=0 fk.

Mostremos ahora una aplicacion de este corolario para la construccion demedidas. La verdadera importancia de esta definicion sera presentada y anali-zada en el volumen 2.

Definicion 3.3.1 (Medida inducida por una funcion). Sean (X,A , µ) un es-pacio medido y f : X −→ [0,+∞] una funcion A -medible. Se define una nuevamedida sobre el espacio medible (X,A ) de la siguiente manera

ν(A) =

∫

A

f(x)dµ(x). (3.30)

El lector verificara, sin problema, que se tiene ν(∅) = 0 y que el resultadoanterior aplicado a la serie

∑

n∈N f1An implica que, si (An)n∈N es una sucesionde conjuntos disjuntos de A , entonces se obtiene la identidad ν(

⋃

nAn) =∑

n ν(An). De estos dos puntos se deduce que ν es una medida sobre (X,A ).Observese, en particular, que la medida ν es de masa total finita si y solo si lafuncion f es µ-integrable.

Demos un ejemplo sencillo. En el marco que acabamos de explicitar enlas lıneas precedentes, consideramos f(x) = 1Y (x), en donde el conjunto Ypertenece a la σ-algebra A . Obtenemos, entonces, gracias a la formula (3.30),una nueva medida ν escribiendo la formula

ν(A) =

∫

A

1Y (x)dµ(x) = µ(Y ∩ A) ∀A ∈ A .

El lector observara que, por la proposicion 2.2.7, la medida ν ası obtenida no esmas que la medida inducida por µ sobre el conjunto Y . Veremos otros ejemplosde construccion de medidas por medio de la formula (3.30) en el ejercicio 3.6.


Si g : X −→ [0,+∞] es una funcion A -medible, podemos definir su integralcon respecto a esta nueva medida ν de la siguiente manera:

∫

X

g(x)dν(x) =

∫

X

g(x)f(x)dµ(x).

Este procedimiento, que consiste en construir nuevas medidas y en considerarlas integrales asociadas sera utilizado en muchas ocasiones (vease por ejemplo,la demostracion de las desigualdades de Holder y de Minkowski mediante ladesigualdad de Jensen en el capıtulo 4).

3.3.2 Lema de Fatou

Este teorema es de gran utilidad cuando se trata de demostrar que una funciones integrable o cuando se necesita acotar el valor de la integral.

Teorema 3.3.2 (Lema de Fatou8). Sean (X,A , µ) un espacio medido y (fn)n∈N

una sucesion de funciones A -medibles definidas sobre X que toman valores enR+. Entonces se tiene la desigualdad:

∫

X

lım ınfn→+∞

fn(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x). (3.31)

Demostracion. Para cada n ∈ N, definamos una nueva funcion gn : X −→ R+

de la siguiente forma: gn = ınfk≥n fk, de manera que cada funcion gn es A -medible y se tiene, para todo x ∈ X , las relaciones

g0 ≤ g1 ≤ ... y lım ınfn→+∞

fn = lımn→+∞

gn.

Puesto que tenemos la mayoracion gn ≤ fn para todo n ∈ N, al aplicar elteorema de convergencia monotona de Beppo Levi, obtenemos

∫

X

lım ınfn→+∞

fn(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

gn(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x),

con lo que terminamos la demostracion.

Es importante observar que la desigualdad (3.31) puede ser estricta comose muestra en el ejemplo siguiente: sobre la recta real R, dotada de la me-dida de Lebesgue, definimos la sucesion de funciones fn(x) = n2

1[0,1/n](x).Vemos, sin problema, que esta sucesion converge simplemente hacia la funcionidenticamente nula, mientras que el calculo

∫

R

n21[0,1/n](x)dx = n

muestra que lımn→+∞

∫

Rfn(x)dx = +∞.

8Pierre Fatou (1878-1929), matematico frances, alumno de l’Ecole Normale Superieure.

3.3.3 Convergencia dominada

El teorema de convergencia dominada de Lebesgue es, sin duda, el mas cono-cido de los teoremas que hacen intervenir el lımite de funciones y su relacioncon la integral. La razon de este exito es muy sencilla puesto que este resulta-do nos proporciona, bajo hipotesis muy simples de verificar, un criterio paraintercambiar los signos “lım” y “

∫” y muestra, claramente, la superioridad de

la integral de Lebesgue con respecto a la integral de Riemann.

Teorema 3.3.3 (Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue - TCDL).Sean (X,A , µ) un espacio medido, f una funcion y (fn)n∈N una sucesion defunciones, ambas A -medibles definidas sobre X y que toman valores en R o C.Hacemos las siguientes hipotesis:

1) para µ-casi todo x ∈ X, se tiene lımn→+∞

fn(x) = f(x); y

2) existe una funcion integrable g : X −→ R o C tal que, para todo n, severifica la desigualdad |fn(x)| ≤ g(x) µ-casi en todas partes en X.

Entonces f es una funcion integrable y

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x). (3.32)

Demostracion. Observemos primero que la integrabilidad de la funcion lımitef se deduce, sin problema, de la integrabilidad de la funcion g. En efecto, porlas dos hipotesis, podemos escribir

∣∣∣∣

∫

X

f(x)dµ(x)

∣∣∣∣≤∫

X

|f(x)|dµ(x) ≤∫

X

g(x)dµ(x) < +∞.

Vamos ahora a mostrar la identidad (3.32), pero vamos a considerar uni-camente el caso real. Vamos a suponer que las dos hipotesis se verifican paratodo punto de X y que se tiene, adicionalmente, g(x) < +∞ para todo x ∈ X .

Tenemos, entonces, que la sucesion (g+fn)n∈N es una sucesion de funcionespositivas tales que

(g + f)(x) = lımn→+∞

(g + fn)(x)

para todo x ∈ X . Podemos, entonces, aplicar el Lema de Fatou (teorema 3.3.2),para obtener la desigualdad

∫

X

(g + f)(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

(g + fn)(x)dµ(x),

de donde se obtiene, por la aditividad de la integral, la desigualdad∫

X

f(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x). (3.33)

Un argumento similar, aplicado a la sucesion (g − fn)n∈N, muestra que∫

X

(g − f)(x)dµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

(g − fn)(x)dµ(x);

es decir,

lım supn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) ≤∫

X

f(x)dµ(x). (3.34)

Gracias a las desigualdades (3.33) y (3.34), se obtiene la identidad deseada:

lımn→+∞

∫

X

fn(x)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x).

Pasemos, finalmente, al caso cuando las hipotesis se verifican en µ-casi todaspartes. Observese que por el corolario 3.2.9, si se tiene

∫

Xg(x)dµ(x) < +∞,

entonces se obtiene la desigualdad g(x) < +∞ µ-casi todas partes. Es posible,entonces, repetir el argumento utilizado en la demostracion del teorema 3.3.1,al considerar los conjuntos N y N c, segun si se tiene o no la convergencia.

Demos unos ejemplos de aplicacion de este teorema.

(i) Calculemos el lımite siguiente:

lımn→+∞

(∫ 1

0

nxe−nxdx

)

.

Si se calcula directamente la integral9, se puede ver sin mayor dificultad,que el lımite anterior tiende a cero; pero tambien se puede aplicar elteorema de convergencia dominada de Lebesgue a las funciones fn(x) =nxe−nx

1[0,1](x). Tenemos, pues, fn(x) −→n→+∞

0 para todo x y, ademas,

se tienen las desigualdades 0 ≤ fn(x) ≤ 1[0,1](x), de modo que podemosaplicar el teorema 3.3.3 para escribir

lımn→+∞

(∫ 1

0

nxe−nxdx

)

=

∫ 1

0

lımn→+∞

nxe−nxdx = 0.

(ii) Ahora estudiemos el lımite a continuacion:

lımn→+∞

(∫ 1

0

nx2e−nx2

dx

)

.

El lector notara que en este caso ya no es posible realizar un calculodirecto de la integral, pero podemos utilizar el teorema de convergenciadominada: dado que las funciones fn(x) = nx2e−nx2

1[0,1](x) tienden acero si n → +∞ y que se tienen las acotaciones 0 ≤ fn(x) ≤ 1[0,1](x),podemos afirmar que el lımite de la expresion anterior es igual a cero.

(iii) Volvamos al ejemplo (3.5) presentado al inicio de este capıtulo.

fn(x) =

2nanx si 0 ≤ x ≤ 1/2n,

2an(1− nx) si 1/2n < x ≤ 1/n,

0 si 1/n < x ≤ 1.

9¡Hacerlo! Es un ejercicio interesante.


Si la sucesion (an)n∈N est acotada, tenemos, por el teorema de conver-gencia dominada de Lebesgue,

lımn→+∞

∫ 1

0

fn(x)dx =

∫ 1

0

lımn→+∞

fn(x)dx = 0.

Sin embargo, como habıamos observado en la pagina 126, si fijamos an =n, vemos que la parte izquierda de esta expresion es igual a 1/2, mientrasque la parte derecha es nula.

Este ejemplo muestra que la sola hipotesis de convergencia simple no essuficiente para intercambiar los signos de lımite y de integral, aun en elmarco de la integral de Lebesgue, e ilustra la necesidad de la condicionde acotacion (o dominacion) exigida por el teorema 3.3.3.

Veremos a lo largo de este y de los capıtulos siguientes como aplicar este resul-tado para la resolucion de problemas diferentes. Una primera muestra de ellose encuentra en la subseccion a continuacion.

3.3.4 Integrales dependientes de un parametro

Vamos a exponer en este parrafo dos aplicaciones muy utiles de los teoremasanteriores. La primera consiste en la continuidad de la integral con respectoa un parametro; la segunda aplicacion estudia la derivabilidad bajo el signointegral. Ademas de demostrar estos teoremas, daremos algunos ejemplos desu utilizacion.

Empecemos con un pequena observacion. Cuando una funcion depende demas de un parametro se requiere, muy a menudo, mayor precision en la repre-sentacion de la integral. Las tres notaciones siguientes son usuales

∫

X

f(x, t)dµx,

∫

X

f(x, t)µ(dx),

∫

X

f(x, t)dµ(x)

para designar la funcion ϕ de t que se obtiene al integrar la funcion x 7−→ f(x, t).En este libro utilizaremos la ultima notacion.

Teorema 3.3.4 (Continuidad con respecto a un parametro). Sean (X,A , µ)un espacio medido, (E, d) un espacio metrico y f : X × E −→ K una funcionque verifica las tres condiciones siguientes:

1) para todo t ∈ E, la funcion x 7−→ f(x, t) es medible;

2) para µ-casi todo x ∈ X, la funcion t 7−→ f(x, t) es continua en el puntot0; y

3) en µ-casi todas partes, existe una funcion µ-integrable g : X −→ K talque para todo t ∈ E, se tiene la desigualdad

|f(x, t)| ≤ g(x)

Entonces, la funcion definida por

ϕ : E −→ K

t 7−→ ϕ(t) =∫

X f(x, t)dµ(x)(3.35)

es continua en el punto t0.

Demostracion. Para verificar la continuidad de la funcion ϕ en el punto t0,debemos probar que si (tn)n∈N es una sucesion de puntos de E que convergehacia t0, entonces ϕ(tn) tiende hacia ϕ(t0).

Para ello utilizaremos dos funciones auxiliares determinadas por las formu-las ψ(x) = f(x, t0) y ψn(x) = f(x, tn). Por la tercera hipotesis, tenemos que|ψn(x)| ≤ g(x) µ-casi todas partes para todo entero n. Por la segunda hipotesis,tenemos que ψn(x) converge hacia ψ(x) para µ-casi todo x y, como las funcionesψn son medibles (por la primera hipotesis), se verifican todas las condicionespara poder aplicar el teorema de convergencia dominada de Lebesgue, lo quenos permite afirmar

ϕ(t0) =

∫

X

ψ(x)dµ(x) = lımn→+∞

∫

X

ψn(x)dµ(x) = lımn→+∞

ϕ(tn),

con lo que terminamos la demostracion.

Veamos algunos ejemplos de aplicacion de este teorema.

(i) Sea (hn)n∈N una sucesion de funciones continuas y acotadas reales talesque

∑

n∈N

supx∈R

|hn(x)| < +∞.

Podemos afirmar, por el teorema 3.3.4, que la serie∑

n∈N hn(x) es unafuncion continua.

En efecto, si fijamos X = N, dotado de la medida de conteo, E = R,dotado de su distancia usual, y si definimos f : N×R −→ R con f(n, x) =hn(x), tenemos

1) para todo x ∈ R, la funcion n 7−→ f(n, x) es medible;

2) para todo n ∈ N, la funcion x 7−→ f(n, x) es continua; y

3) se tiene la mayoracion |f(n, x)| ≤ g(n), en donde g(n) = supx∈R

|hn(x)|.

Entonces, la funcion ϕ(x) =∑

n∈N hn(x) es continua.

Observacion 3.12. Este resultado no debe sorprender al lector pues esun hecho que ya hemos tratado anteriormente. En efecto, el espacio defunciones continuas y acotadas (Ca(R,R), ‖·‖∞) con ‖f‖∞ = sup

x∈R

|f(x)|, esun espacio de Banach (vease pagina 36), y por el teorema 1.4.3, tenemosque toda serie normalmente convergente es convergente. Esto implica quela suma resultante de la serie de este ejemplo es una funcion continua.

(ii) Una de las principales aplicaciones de este teorema es la posibilidad deestudiar la continuidad de funciones definidas por medio de integrales;veamos un ejemplo. Consideremos la funcion

ϕ : ]0, 1[ −→ R

t 7−→ ϕ(t) =∫ +∞

0xt−1

1+x dx.

Notamos f(x, t) la funcion definida sobre [0,+∞[×]0, 1[ y determinada

por f(x, t) = xt−1

1+x . No es difıcil verificar que

1) la funcion x 7−→ f(x, t) es medible para todo t ∈]0, 1[ por ser elcociente de dos funciones medibles;

2) la funcion t 7−→ f(x, t) es continua para todo x ∈ [0,+∞[; y

3) para la hipotesis de dominacion, escribimos para mayor comodidad

f(x, t) = e(t−1) ln(x)

1+x . Observamos que la funcion f(x, ·) es creciente10si x ≥ 1 y decreciente si x < 1; esto nos lleva a considerar dosparametros reales a, b tales que 0 < a < t < b < 1 y a definir unafuncion g : [0,+∞[−→ R de la siguiente forma:

g(x) =

xa−1

1+x si 0 < x < 1

xb−1

1+x si 1 ≤ x.

Tenemos entonces la desigualdad |f(x, t)| ≤ g(x) para todo x ∈[0,+∞[ y, ademas, se tiene que

∫ +∞

0g(x)dx < +∞.

Dado que hemos verificado las hipotesis del teorema 3.3.4, podemos con-cluir que la funcion ϕ definida en (3.36) es continua.

(iii) Sea f : R −→ C una funcion tal que∫ +∞

−∞|f(x)|dx < +∞. Definimos su

Transformada de Fourier , notada F (f) o f , por la siguiente formula:

F (f)(ξ) = f(ξ) =

∫ +∞

−∞

f(x)e−iξxdx. (3.36)

Verifiquemos las hipotesis de aplicacion del teorema 3.3.4:

1) la funcion x 7−→ f(x)e−iξx es medible para todo ξ por ser el productode dos funciones medibles;

2) la funcion ξ 7−→ f(x)e−iξx es continua para todo x; y

3) la hipotesis de dominacion se obtiene si se observa que

∣∣f(x)e−iξx

∣∣ ≤ |f(x)|.

10Para ello, el lector deber calcular la derivada de f(x, ·) con respecto a t y constatar quesu signo esta determinado por ln(x).


Por el teorema de continuidad de la integral con respecto a un parametro,concluimos que la funcion f : R −→ C es continua.

(iv) El teorema 3.3.4 tambien permite obtener un metodo de regularizacionde funciones que sera estudiado en detalle en el volumen 2. Sean ϕ unafuncion continua y acotada y ψ una funcion integrable, ambas definidassobre R y que toman valores en R. Tenemos entonces que la funcion

g(y) =

∫ +∞

−∞

ϕ(y − x)ψ(x)dx (3.37)

es continua. En efecto, si definimos f(x, y) = ϕ(y − x):

1) la funcion x 7−→ f(x, y) es medible para todo y;

2) la funcion y 7−→ f(x, y) es continua para todo x; y

3) la hipotesis de dominacion esta dada por la desigualdad |f(x, y)| ≤‖ϕ‖∞|ψ(x)|.

Se obtiene, por lo tanto, el resultado deseado; es decir, la continuidad dela funcion determinada por (3.37).

Corolario 3.3.2 (Continuidad de la integral con respecto a la cota superior).Sean f una funcion integrable definida sobre la recta real R que toma valoresen R y α ∈ R. Entonces la funcion definida por

ϕ : t 7−→∫ t

α

f(x)dx (3.38)

es continua en [α,+∞[.

Demostracion. Basta aplicar el teorema 3.3.4 a la funcion g(x, t) = f(x)1[α,t](x).En efecto, esta funcion g es continua en el punto t0 para todo x 6= t0 y, puestoque se tiene la mayoracion |g(x, t)| ≤ |f(x)|, podemos aplicar, sin problema ,elresultado precedente.

Mostremos un ejemplo muy simple: consideremos la funcion f(x) = 1[0,1](x)y α = 0. Tenemos, entonces, que la funcion

ϕ : t 7−→∫ t

0

1[0,1](x)dx = t (3.39)

es continua sobre [0, 1].

Hemos estudiado con el teorema 3.3.4 la continuidad de las funciones de-finidas por medio de integrales y es natural desear ir un poco mas lejos ypreguntarse bajo que condiciones se tiene la derivabilidad de este tipo de fun-ciones. El resultado a continuacion nos proporciona condiciones para “derivarbajo el signo integral”.


Teorema 3.3.5 (Derivacion bajo el signo integral). Sean (X,A , µ) un espaciomedido e I un intervalo abierto de R. Sea f : X × I −→ K y suponemos queexiste N , un conjunto de µ-medida nula, tales que

1) para todo t ∈ I, la funcion x 7−→ f(x, t) es integrable;

2) la derivada parcial ∂f∂t (x, t) existe en todo punto x ∈ X0 × I en donde

notamos X0 = X \ N ; y

3) existe una funcion integrable g : X0 −→ K tal que para todo x ∈ X0, setiene ∣

∣∣∣

∂f

∂t(x, t)

∣∣∣∣≤ |g(x)|

en µ-casi todas partes. Entonces, la funcion definida por

ψ : I −→ K

t 7−→∫

Xf(x, t)dµ(x)

es derivable, y se tiene

d

dtψ(t) =

∫

X

∂f

∂t(x, t)dµ(x). (3.40)

Observacion 3.13. Si reemplazamos la funcion f por una funcion igual a fsobre X0 e igual a 0 sobre N ; la integral (3.40) no cambia, lo que nos permiteestudiar el caso en donde la existencia de la derivada parcial y la hipotesis demayoracion se tienen sobre todo X .

Demostracion. Vamos a utilizar el teorema de convergencia dominada de Le-besgue para mostrar este resultado. Sean, pues, t0 un punto de I y (an)n∈N

una sucesion de reales no nulos, lo suficientemente pequenos para que t0 + aneste en I, y tales que an −→

n→+∞0.

Definamos la funcion

ϕn(x) =f(x, t0 + an)− f(x, t0)

an,

de manera que lımn→+∞

ϕn(x) = ∂f∂t (x, t0). Por la formula de los incrementos

finitos, obtenemos

|ϕn(x)| ≤ sup0≤θ≤1

∣∣∣∣

∂f

∂t(x, t0 + θan)

∣∣∣∣≤ |g(x)|.

Aplicamos, entonces, el teorema de convergencia dominada de Lebesgue y ob-tenemos que la funcion ϕ : x 7−→ ∂f

∂t (x, t0) es integrable y que∫

X

∂f

∂t(x, t0)dµ(x) = lım

n→+∞

∫

X

ϕn(x)dµ(x) = lımn→+∞

ψ(t0 + an)− ψ(t0)

an.

Dado que la sucesion (an)n∈N es arbitraria, tenemos que la funcion ψ es deriva-ble en el punto t0 y, por lo tanto, se obtiene la formula (3.40) para la derivadade ψ.

Observacion 3.14. En el enunciado del teorema anterior, es posible reempla-zar el intervalo I por un abierto Ω del plano complejo (en este caso notaremos,z ∈ Ω en vez de t ∈ I), y reemplazar la condicion 2) por la condicion siguiente:

2-bis) para µ-casi todo x ∈ X, la funcion z 7−→ f(x, z) es holomorfa en Ω.

Entonces la funcion z 7−→∫

Xf(x, z)dµ(x) es holomorfa en Ω y su derivada

esta determinada por la formula (3.40).

Presentamos ahora algunos ejemplos de aplicacion de este resultado. En elprimer ejemplo, ilustraremos la importancia de las hipotesis del teorema dederivacion bajo el signo integral, mientras que en el resto, mostraremos comorealizar algunos calculos en situaciones diversas.

(i) Consideremos la funcion f(x, t) = 1[0,t[(x) definida sobre R a valores

reales. Vemos que la derivada parcial ∂f∂t (x, t0) existe para casi todo x

(x 6= t0) y es nula, pero las hipotesis del teorema 3.3.5 exigen mas: hayque encontrar un conjunto N de medida nula tal que para todo x /∈ N ,la derivada parcial existe para todo t. En este caso, esto es imposible y,si derivamos sin precaucion, obtenemos un resultado falso. Si por un ladotenemos ∫ t

0

∂f

∂t(x, t)dx = 0,

por (3.39) tenemos ddtϕ(t) = 1; esto muestra a posteriori que no se puede

aplicar el teorema de derivacion bajo el signo integral.

(ii) El segundo ejemplo que tratamos aquı corresponde a la funcion del item(ii) de la pagina 166:

f(x, t) =xt−1

1 + x=e(t−1) ln(x)

1 + x.

Deseamos aplicar el teorema de derivacion bajo el signo integral y paraello verificaremos las hipotesis necesarias. Ya vimos que esta funcion escontinua y que es integrable para todo t ∈]0, 1[, lo que nos proporcionala primera hipotesis.

Dado que se tiene para todo x ∈ [0,+∞[, la identidad ∂∂tf(x, t) =

ln(x)f(x, t), tenemos la segunda hipotesis. Finalmente, si definimos para0 < a < t < b < 1, la funcion

g(x) =

∣∣∣ln(x)x

a−1

1+x

∣∣∣ si 0 < x < 1

∣∣∣ln(x)x

b−1

1+x

∣∣∣ si 1 ≤ x,

obtenemos la tercera hipotesis, pues∫ +∞

0g(x)dx < +∞. Todo esto nos

permite concluir que se tiene la identidad

d

dtϕ(t) =

∫ +∞

0

ln(x)xt−1

1 + xdx.

(iii) Estudiamos ahora la derivabilidad de la Transformada de Fourier definidapor (3.36).

Sea f : R −→ C una funcion como en el punto (iii) de la pagina 166; es

decir,∫ +∞

−∞ |f(x)|dx < +∞.

Suponemos, ademas, que la funcion x 7−→ −ixf(x) es integrable. En-tonces la Transformada de Fourier de f es una funcion continua cuyaderivada esta dada por la formula

d

dξf(ξ) =

∫ +∞

−∞

−ixf(x)e−iξxdx.

3.3.5 Modos de convergencia: en promedio, en µ-mediday µ-casi uniformemente

En esta seccion, vamos a presentar tres nociones de convergencia de sucesio-nes de funciones definidas a partir de los conceptos de medida y de integral.Explicaremos algunas de sus particularidades y estudiaremos en detalle las di-versas relaciones existentes entre estos modos de convergencia y los modos deconvergencia expuestos anteriormente; es decir, la convergencia uniforme y laconvergencia en µ-casi todas partes. Es importante notar que se distinguen doscasos en estas relaciones en funcion de la medida del conjunto de base X sobreel cual estan definidas las funciones. En efecto, si µ(X) < +∞, veremos que sedisponen de ciertas implicaciones interesantes que son falsas en el caso general,en donde no hacemos ninguna hipotesis particular sobre la medida del conjuntoX .

Antes de pasar al estudio de estos modos de convergencia, es necesario unapequena observacion. En el capıtulo 1 hemos presentado algunas definicioneselementales, todas expuestas desde un punto de vista metrico y, en particular,dimos la definicion de convergencia uniforme de una sucesion de funciones sobreun espacio metrico que toma valores en otro espacio metrico. Esta definicion semantiene si relajamos la estructura del espacio de definicion de las funciones,y este, es precisamente, el caso que nos interesa ahora. Sean X un espaciotopologico y fn : X −→ K una sucesion de funciones. Diremos que la sucesion(fn)n∈N converge uniformemente hacia la funcion f : X −→ K si

(∀ε > 0)(∃Nε ∈ N)[n ≥ Nε =⇒ supx∈X

|fn(x)− f(x)| ≤ ε].

En otras palabras, para poder hablar de convergencia uniforme, necesitamosque el espacio de llegada sea un espacio metrico, lo cual no es necesario cuandotrabajamos con la convergencia simple, en donde la nocion de vecindad essuficiente (vease el capıtulo 1).

Hecha esta aclaracion, en todo lo que sigue consideraremos funciones defi-nidas sobre un espacio topologico X , dotado de una σ-algebra11 A y de unamedida µ, y que toman valores en K.

11Notese que no exigimos que la σ-algebra A sea la σ-algebra Boreliana Bor(X) de X.

Caso general

El primer modo de convergencia que exponemos es el de la convergencia enpromedio. En este modo de convergencia interviene el concepto de integral yel de espacio de funciones de modulo integrable. Empezaremos pues dando ladefinicion de este espacio, pero no nos detendremos en el estudio de todas suscaracterısticas, puesto que estas seran retomadas minuciosamente en el capıtulosiguiente en un marco mas general.

Definicion 3.3.2 (Espacio de funciones de modulo integrable). Notaremos conL(X,A , µ,K) el conjunto de funciones definidas sobre X que toman valores enK y cuyo modulo es una funcion integrable. Es decir:

L(X,A , µ,K) =

f : X −→ K,

∫

X

|f(x)|dµ(x) < +∞

.

Para mostrar que una funcion es de modulo integrable, basta mostrar sumedibilidad y verificar que es mayorada en modulo por una funcion de integralfinita. Esta observacion nos proporciona un numero considerable de ejemplosde funciones de modulo integrable; por ejemplo, toda funcion indicatriz de unconjunto de medida finita lo es.

Proposicion 3.3.1. El espacio L(X,A , µ,K) es un K-espacio vectorial.

Demostracion. La verificacion es inmediata: basta utilizar la proposicion 3.2.15para convencerse de que el espacio L(X,A , µ,K) es un K-espacio vectorial.

Como se anunci, es en este espacio por el que podemos definir el conceptode convergencia en promedio de la siguiente forma.

Definicion 3.3.3 (Convergencia en promedio). Si (fn)n∈N es una sucesion defunciones y si f es una funcion, ambas pertenecientes al espacio L(X,A , µ,K),diremos que la sucesion (fn)n∈N converge hacia la funcion f en promedio si setiene

lımn→+∞

∫

X

|fn(x)− f(x)|dµ(x) = 0. (3.41)

Demos un ejemplo de convergencia en promedio. Consideremos el espa-cio medido (R,Bor(R), λ) y la sucesion de funciones definidas por fn(x) =1n1[0,1](x) para todo n ≥ 1. No es muy difıcil percatarse que esta sucesiontiende hacia la funcion cero en promedio, pues se tiene

∫

R

|1/n1[0,1](x) − 0|dx = 1/n −→n→+∞

0.

Es instructivo comparar este tipo de convergencia con los tipos de conver-gencia presentados en las secciones anteriores. De modo mas preciso tenemosel resultado siguiente.

Proposicion 3.3.2. La convergencia en promedio no implica ni la conver-gencia uniforme ni la convergencia µ-c.t.p., recıprocamente, estas nociones deconvergencia no implican la convergencia en promedio.

Demostracion. Para la verificacion de estas aserciones, es suficiente mostrarejemplos en donde estas implicaciones fallan.

1) La convergencia en promedio no implica la convergencia uniforme. SeanX = R y (fn)n≥1 = 1[1,1+1/n[(x). Esta sucesion converge en promediohacia la funcion cero, pues

∫

R1[1,1+1/n[(x)dx = 1/n −→

n→+∞0, pero no lo

hace uniformemente.

2) La convergencia en promedio no implica la convergencia µ-c.t.p.. SeaX =[0, 1]. Notemos que para todo n ∈ N∗, existen dos enteros positivos j, k,unicamente determinados, tales que n = 2k + j y 0 ≤ j < 2k. Para talesenteros, definimos fn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k](x). Tenemos, ası, que f1 =1[0,1], f2 = 1[0,1/2], f3 = 1[1/2,1]. Vemos, entonces, que

∫

X |fn(x)|dx =

2−k, de manera que podemos decir que fn −→n→+∞

0 en promedio. Sin

embargo, no existe un solo punto de X tal que lımn→+∞

fn(x) = 0 y, por lo

tanto, no se tiene que esta sucesion de funciones converge λ-c.t.p. haciacero.

3) La convergencia uniforme no implica la convergencia en promedio. SeanX = R y fn(x) = n−1

1[0,n] para n ≥ 1. Se verifica, sin problema, queesta sucesion converge uniformemente hacia cero; sin embargo, se tieneque

∫

Rn−1

1[0,n](x)dx = 1 para todo n ≥ 1.

4) La convergencia µ-c.t.p. no implica la convergencia en promedio. SeanX = [0, 1] y (fn)n≥1 = n1]0,1/n](x). Entonces lım

n→+∞fn(x) = 0 λ-c.t.p.,

pero esta sucesion no converge hacia cero en promedio, pues∫

X fn(x)dx =1 para todo n ≥ 1.

Veremos en el siguiente capıtulo, en el marco de los espacios de Lebesgue,las diferentes aplicaciones de esta nocion de convergencia. Por ahora, vamos apresentar y estudiar el segundo tipo de convergencia anunciado que es de granutilidad en probabilidades.

Definicion 3.3.4 (Convergencia en µ-medida). Sean f , fn, n = 1, 2, ... fun-ciones medibles definidas sobre un espacio medido (X,A , µ). Diremos que lasucesion (fn)n∈N converge en µ-medida hacia f si para todo ε > 0 existe unNε ∈ N tal que

n > Nε =⇒ µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) ≤ ε. (3.42)

Demos un par de ejemplos que seran utilizados posteriormente.

(i) SeanX = [0, 1] y fn(x) = 1/n1[0,1](x); vemos, entonces, que esta sucesiontiende hacia cero en medida: en efecto, para todo ε > 0, basta fijar Nε demanera que ε > 1/Nε para obtener la implicacion (3.42).

(ii) En el mismo marco, y de manera muy similar, si definimos fn(x) =n1[0,1/n[(x), entonces podemos ver que esta sucesion tiende hacia ceroen medida.

Proposicion 3.3.3. La definicion 3.3.4 es equivalente a la siguiente:

(∀ε > 0)[ lımn→+∞

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) = 0]. (3.43)

Demostracion. Es fcil ver que la formula (3.43) implica (3.42). Para ver laimplicacion inversa, fijemos ε > 0 y 0 < δ < ε, y apliquemos (3.43) al parametroδ. Existe, por lo tanto, un entero Nε tal que, para todo n > Nε, se tiene

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > δ) < δ.

Dado que se tiene la desigualdad

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) ≤ µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > δ),

podemos concluir que µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) < δ para todo n > Nε.Es decir, si hacemos n→ +∞ obtenemos

lım supn→+∞

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) < δ.

Puesto que la expresion anterior es valida para todo 0 < δ < ε, obtenemos(3.43) si δ → 0, con lo se termina la demostracion.

Comparamos en el resultado siguiente la convergencia en µ-medida con losotros tipos de convergencia presentados.

Teorema 3.3.6. Sean (fn)n∈N una sucesion de funciones y f una funcion,todas ellas pertenecientes al espacio L(X,A , µ,K).

1) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia en µ-medida.

2) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en µ-casi todaspartes.

3) La convergencia uniforme implica la convergencia en µ-medida.

4) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia uniforme.

5) La convergencia en promedio implica la convergencia en µ-medida.

6) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en promedio.

Demostracion. En la construccion de los contra ejemplos, fijamos X = R, do-tado de su estructura de espacio medido natural y utilizaremos algunas de lasfunciones ya presentadas anteriormente.

1) Sea fn(x) = 1[n,n+1[(x); entonces vemos que fn −→ 0 en µ-casi todaspartes, pero fn no converge en µ-medida pues µx ∈ X : |fn(x)| > ε = 1para todo ε > 0.

2) Utilizamos aquı las funciones definidas en la parte 2), pagina 172: fn(x) =1[j2−k,(j+1)2−k[(x). Entonces se tiene

µ(x ∈ R : |fn(x)| > ε) = 2−k −→ 0,

pero fn no converge hacia 0 en µ-casi todas partes.

3) La estimacion supx∈X

|fn(x) − f(x)| < ε implica la desigualdad µ(x ∈ X :

|fn(x)− f(x)| > ε) < ε, de donde se deduce el resultado deseado.

4) Consideremos la sucesion de funciones reales fn(x) = 1[0,1/n[. Sabemosque esta sucesion no converge uniformemente mientras que se tiene µ(x ∈R : |fn(x)| > 1/n) = 1/n, cantidad que tiende hacia 0 si n −→ +∞.

5) Tenemos la desigualdad µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) ≤ 1ε

∫

X|fn(x)−

f(x)|dµ(x), de donde se deduce que la convergencia en promedio implicala convergencia µ-medida.

6) Consideremos el ejemplo (ii) de la pagina 172: la sucesion de funcionesfn(x) = n1[0,1/n[(x) definidas sobre [0, 1] converge hacia 0 en medida,pero no converge en promedio lo que muestra que estas nociones de con-vergencia son diferentes.

Pasemos ahora al ultimo modo de convergencia que presentaremos en estecapıtulo.

Definicion 3.3.5 (Convergencia µ-casi uniforme). Sean (X,A , µ) un espaciomedido, f , y fn : X −→ K funciones medibles. Decimos que la sucesion defunciones (fn)n∈N tiende hacia la funcion f µ-casi uniformemente si para todoε > 0, existe un conjunto Aε ∈ A tal que µ(X \ Aε) < ε y lım

n→+∞fn = f

uniformemente sobre Aε.

En la demostracion del resultado a continuacion presentamos algunos ejem-plos de sucesiones de funciones que convergen µ-casi uniformemente.

Teorema 3.3.7. De la misma manera que en el teorema 3.3.6 — y bajo lasmismas hipotesis—, reagrupamos aquı las relaciones entre estos modos de con-vergencia:

1) La convergencia uniforme implica la convergencia µ-casi uniforme.

2) La convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia uniforme.

3) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia µ-casiuniforme.

4) La convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-casi todaspartes.

5) la convergencia en µ-medida no implica la convergencia µ-casi uniforme.

6) la convergencia µ-casi uniforme implica la convergencia en µ-medida.

7) la convergencia en promedio no implica la convergencia µ-casi uniforme.

8) la convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia en promedio.

Demostracion.

1) Es inmediato por la definicion de convergencia µ-casi uniforme, de maneraque los detalles quedan al cargo del lector.

2) Sean X = [0,+∞[ y fn(x) = 1[0,1/n[(x). Si ε = 1/n y Aε =]1/n,+∞[, no esdifıcil ver que la sucesion (fn) converge µ-casi uniformemente hacia 0, peroque no converge uniformemente.

3) El punto 1), pagina 173, de la demostracion del teorema 3.3.6, se aplicatambien en este caso. En efecto, la funcion fn(x) = 1[n,n+1[(x) convergehacia cero en µ-casi todas partes, pero si fijamos ε = 1/2, tenemos que,para todo conjunto medible A, se tiene, por un lado, que µ(X \ A) ≥ 1/2o, por otro lado, que sup

x∈A|fn(x) − f(x)| ≥ 1/2; es decir que no se tiene la

convergencia µ-uniforme.

4) Este hecho se deduce sin problema de la definicion de convergencia µ-casiuniforme.

5) El punto 2), pagina 172, de la demostracion de la proposicion (3.3.2), seaplica igualmente en este caso. Sabemos que la sucesion de funciones fn(x) =1[j2−k,(j+1)2−k[(x) converge en µ-medida hacia cero, pero esta sucesion noconverge µ-casi uniformemente hacia cero, pues no existe, para todo ε > 0,un conjunto Aε tal que µ(X \Aε) < ε y tal que sobre este conjunto se tengala convergencia uniforme: la construccion de la sucesion impide que ste seael caso.

6) Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones definidas sobre (X,A , µ) que con-verge µ-casi uniformemente hacia f . Podemos ver entonces que el conjuntox ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε esta contenido por definicion, en X \Aε y quese tiene µ(X \Aε) < ε, de donde se deduce la convergencia en µ-medida.

7) Para encontrar un contra ejemplo, utilizamos otra vez las funciones fn(x) =

1[j2−k,(j+1)2−k[(x). Vemos entonces que∫ 1

0fn(x)dx = 2−k −→ 0, pero esta

sucesion no converge µ-casi uniformemente.

8) Utilizamos aquı las funciones fn(x) = n1[0,1/n[(x). Esta funciones tiendenhacia cero µ-casi uniformemente (vease el segundo punto de esta demostra-cion), pero no en promedio.

Con los resultados anteriores, vemos que estas nociones de convergencia sonrealmente distintas las unas de las otras, lo que implica que cada una de ellastiene su importancia y utilidad.

A menudo es interesante estudiar el modo de convergencia de subsucesiones.El teorema a continuacion nos proporciona un resultado en este sentido.

Teorema 3.3.8. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, fn : X −→ K funcionesmedibles. Si la sucesion de funciones (fn)n∈N converge hacia f en µ-medida,entonces existe una subsucesion de (fn)n∈N que converge µ-casi uniformementey en µ-casi todas partes.

Demostracion. Dado que la convergencia µ-casi uniforme implica la convergen-cia en µ-casi todas partes, nos concentramos en este primer modo de convergen-cia. Sea pues (fn)n∈N una sucesion que converge hacia f en µ-medida. Existeentonces una sucesion estrıctamente creciente de enteros positivos (nk)k∈N talesque, para todo n ≥ k, se tiene

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > 2−k) < 2−k. (3.44)

Sea ahora ε > 0 un real cualquiera y sea p un entero tal que 21−p < ε. Definimosel conjunto

Ap =

+∞⋃

k=p

x ∈ X : |fnk

(x) − f(x)| > 2−k,

que representa los puntos tales en los que fnkse encuentra a una cierta distancia

de f .Entonces tenemos que µ(Ap) ≤ ∑+∞

k=p 2−k = 21−p < ε por la desigualdad

(3.44) y por la subaditividad de la medida µ. Ademas, sobre X \ Ap se tiene|fnk

(x) − f(x)| < 2−k ≤ 2−p < ε para todo k ≥ p; es decir, que se tienela convergencia uniforme en este conjunto. Se deduce pues que lım

n→+∞fn = f

µ-casi uniformemente.

Caso en donde µ(X) < +∞Hasta aquı hemos estudiado las diversas interrelaciones existentes entre lasdiferentes nociones de convergencia de funciones en el caso de espacios medidosgenerales. En el caso de los espacios medidos de masa total finita. es posibledecir un poco mas al respecto. Si bien los resultados positivos se mantienen,veremos que algunas implicaciones negativas en el caso general son validas eneste marco. Esto se debe al hecho de que, la construccion misma de los contraejemplos en el caso general, se basaban justamente en la medida infinita delconjunto de base X .

El primer teorema en este caso particular concierne a la convergencia enµ-casi todas partes y la convergencia µ-casi uniforme. Para su demostracionutilizaremos el lema siguiente.

Lema 3.3.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido (fn)n∈N una sucesion de fun-ciones medibles que toma valores en K. Definimos, para todo k,m ≥ 1, losconjuntos

Ak,m =+∞⋂

n=m

x ∈ X : |fn(x)− f(x)| < 1

k

.

Si para cada entero k fijo se tiene lımm→+∞

µ(X \ Ak,m) = 0, entonces fn −→ f

µ-casi uniformemente.

Demostracion. Sea ε > 0 un real; para cada k ≥ 1, existe un entero mk tal queµ(X \Ak,mk

) < ε2−k. Si definimos Aε =⋂+∞

k=1 Ak,mk, tenemos, por un lado,

µ(X \Aε) = µ

(+∞⋃

k=1

(X \Ak,mk)

)

≤+∞∑

k=1

µ(X \Ak,mk) < ε;

y por el otro, si δ > 0 y si kδ > 1, entonces se tiene |fn(x) − f(x)| < 1/k < δpara todo x ∈ Aε y todo n ≥ mk. Es decir fn −→ f uniformemente sobreAε.

Enunciemos pues el teorema mas importante de esta seccion.

Teorema 3.3.9 (Egoroff12). Sea (X,A , µ) un espacio medido y supongamosque µ(X) < +∞. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones medibles que tomavalores en K definidas sobre X que convergen en µ-casi todas partes hacia unafuncion f .

Entonces, para todo ε > 0, existe un conjunto A ∈ A , con µ(X \ A) < ε,tal que fn converje uniformemente hacia f sobre A.

Dicho de otra manera, cuando la medida del conjunto X es finita, la con-vergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia µ-casi uniforme.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion que converge en µ-casi todas parteshacia f . Definimos A = x ∈ X : lım

n→+∞fn(x) = f(x) y tenemos entonces que

µ(X \A) = 0.Si consideramos los conjuntos Ak,m del lema anterior, notamos que, para

todo k ≥ 1, se tienen las inclusiones Ak,1 ⊂ Ak,2 ⊂ ... y A ⊂ ⋃+∞m=1Ak,m.

De estas dos observaciones, obtenemos que⋂+∞

m=1(X\Ak,m) ⊂ X\A. Noteseque la sucesion formada por los conjuntos Bm = X \Ak,m es decreciente y queµ(B1) ≤ µ(X) < +∞.

Aplicamos entonces el teorema de continuidad de las medidas para obtenerque lım

m→+∞µ(X \Ak,m) = 0 para cada k ≥ 1. En este punto, aplicamos el lema

anterior para concluir que fn −→ f µ-casi uniformemente.

El segundo resultado que presentamos relaciona la convergencia uniformecon la convergencia en promedio y la convergencia en µ-casi partes con laconvergencia en µ-medida.

Teorema 3.3.10. Sean (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) < +∞(fn)n∈N y una sucesion de funciones pertenecientes al espacio L(X,A , µ,K).Entonces

1) la convergencia uniforme implica la convergencia en promedio; y

12Dimitri Egoroff (1869-1931), matematico ruso.

2) la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia en µ-medida.

Demostracion.

1) Si la sucesion (fn)n∈N converge uniformemente y si 0 < µ(X) < +∞,entonces para todo real ε, existe un entero N tal que, para todo x ∈ Xy n ≥ N , se tiene |fn(x) − f(x)| < εµ(X)−1. Al integrar cada lado deesta desigualdad, obtenemos la desigualdad

∫

X|fn(x) − f(x)|dµ(x) < ε,

lo que muestra que la funcion lımite pertenece a L(X,A , µ,K) y que setiene la convergencia en promedio.

2) Por el teorema de Egoroff, tenemos que la convergencia en µ-casi todaspartes implica la convergencia µ-casi uniforme; aplicamos, entonces, elpunto 6) del teorema 3.3.7 para obtener el resultado deseado.

Con estos dos resultados, terminamos por ahora nuestra presentacion delos diferentes modos de convergencia que aparecen al estudiar las sucesiones defunciones definidas sobre espacios medidos. Veremos algunas ligeras generali-zaciones de estas nociones en los capıtulos siguientes.

Para la mayor comodidad del lector, recopilamos las diferentes implicacio-nes de los resultados anteriores en los dos cuadros a continuacion. Estos cuadrosdeben leerse de la manera siguiente: el tipo de convergencia puesto en la co-lumna a la izquierda implica o no, segun sea el caso, el tipo de convergenciapuesto en la lınea superior. Notaremos la implicacion por “=⇒” y cuando nose tenga la implicacion, por “×”. Por ejemplo, en el cuadro 3.2, tenemos quela convergencia en promedio implica la convergencia en µ-medida.

unif. µ-c.t.p. µ-casi unif. µ-medida en promediounif. =⇒ =⇒ =⇒ ×µ-c.t.p. × × × ×µ-casi unif. × =⇒ =⇒ ×µ-medida × × × ×en promedio × × × =⇒

Cuadro 3.1: Relaciones entre los modos de convergencia - caso general

3.4 Integracion en los espacios producto

Pasamos ahora a la integral de las funciones definidas sobre un producto car-tesiano de conjuntos. De modo mas preciso nos interesamos en el estudio de lamedibilidad y de la integrabilidad de las funciones de la forma

f : X × Y −→ K

(x, y) 7−→ f(x, y),

3.4 Integracion en los espacios producto 179

unif. µ-c.t.p. µ-casi unif. µ-medida en promediounif. =⇒ =⇒ =⇒ =⇒µ-c.t.p. × =⇒ =⇒ ×µ-casi unif. × =⇒ =⇒ ×µ-medida × × × ×en promedio × × × =⇒

Cuadro 3.2: Relaciones entre los modos de convergencia - caso µ(X) < +∞

en donde X = (X,A , µ) y Y = (Y,B, ν) son dos espacios medidos. Nuestroobjetivo es, por lo tanto, el de generalizar las nociones de σ-algebra y de medidaal producto cartesiano X × Y para construir una integral sobre este conjunto.Este tipo de integral sera llamada integral doble y veremos bajo que condicionesel calculo de una integral de este tipo puede ser reducido a una iteracion sobreintegrales simples.

Dividimos nuestra exposicion en cuatro partes. En las dos primeras, quesiguen de cerca lo anteriormente expuesto, estudiamos como definir las σ-alge-bras producto y las medidas producto ası como sus principales propiedades. Latercera esta dedicada a los teoremas de Fubini y de Tonelli que son de granimportancia en muchas areas y expondremos algunas aplicaciones basicas deestos resultados. Veremos tambien en la cuarta parte como generalizar estosteoremas al caso del producto finito de conjuntos; las integrales de este tiposeran llamadas integrales multiples.

3.4.1 σ-algebras producto

Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles. Llamaremos un subconjunto delproducto cartesiano X × Y un rectangulo de lados medibles si es de la formaA×B para algun A ∈ A y algun B ∈ B. El conjunto de rectangulos mediblessera notado por A ×B = A×B;A ∈ A , B ∈ B. Por ejemplo si consideramosX = Y = R, dotado de la σ-algebra de los Borelianos, no es difıcil ver que unadoquın es un rectangulo de lados medibles.

Proposicion 3.4.1. Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles. Un rectangu-lo de lados medibles es vacıo si uno de sus lados es vacıo. Ademas, si E1 =A1 ×B1 y E2 = A2 ×B2 son dos rectangulos no vacıos, entonces

E1 ⊂ E2 ⇐⇒ A1 ⊂ A2 y B1 ⊂ B2.

Finalmente, si E1 = E2, entonces A1 = A2 y B1 = B2.

Demostracion. Sea E = A × B un rectangulo de lados medibles. Si A,B 6= ∅,existen x ∈ A, y ∈ B tales que (x, y) ∈ A × B; recıprocamente, si A × B 6= ∅,entonces existe (x, y) ∈ A × B, de donde se deduce que x ∈ A y y ∈ B y, porlo tanto, que A,B 6= ∅.

Si A1 ⊂ A2 y B1 ⊂ B2, no es difıcil percatarse de que E1 ⊂ E2; recıpro-camente, si E1 ⊂ E2, entonces todo (x, y) ∈ A1 × B1 pertenece a A2 × B2;


es decir, x ∈ A1 ⊂ A2 y y ∈ B1 ⊂ B2. Para terminar, el caso de igualdad sededuce a partir de la doble inclusion E1 ⊂ E2 y E2 ⊂ E1.

Con estas notaciones, enunciamos ahora la definicion de σ-algebra producto.

Definicion 3.4.1 (σ-algebra producto). Sean (X,A ) y (Y,B) dos espaciosmedibles. Definimos el producto tensorial (o simplemente producto) de las σ-algebras A y B como la σ-algebra engendrada

A ⊗ B = σ(A × B).

El termino “producto tensorial” y el sımbolo “⊗” no deben confundir allector: es una notacion necesaria dado que el sımbolo “×” esta reservado paradenotar el producto cartesiano de conjuntos.

Demos un ejemplo simple de σ-algebra producto: si consideramos X y Ydotados de las σ-algebras A = ∅, X y B = ∅, Y , respectivamente, vemos,sin dificultad, que A ⊗ B = ∅, X × Y .

El siguiente resultado indica algunas relaciones existentes cuando las σ-algebras consideradas en el producto tensorial son σ-algebras Borelianas.

Teorema 3.4.1. Sean X y Y dos espacios topologicos. Entonces la σ-alge-bra boreliana del espacio producto X × Y contiene al producto de la σ-algebraboreliana de X y la σ-algebra boreliana de Y :

Bor(X)⊗ Bor(Y ) ⊂ Bor(X × Y ).

Si X y Y son espacios topologicos con base numerable de abiertos, se tiene laidentidad:

Bor(X)⊗ Bor(Y ) = Bor(X × Y ).

Demostracion. Sea A ∈ Bor(X); entonces la banda A × Y es un conjuntoboreliano del productoX×Y , pues es la imagen recıproca deA por la proyeccioncanonica de X×Y sobre X . Ası mismo, para todo B ∈ Bor(Y ), la banda X×Bes una parte boreliana de X × Y . Dado que el rectangulo A×B no es mas quela interseccion de estas dos bandas, A × B es una parte boreliana de X × Y .Como la σ-algebra Bor(X×Y ) contiene todos los rectangulos de lados medibles,contiene, en particular, la σ-algebra producto Bor(X)⊗ Bor(Y ).

Supongamos ahora que X y Y admiten bases numerables de abiertos nota-das U y V , respectivamente. Entonces, todo abierto de X × Y se escribe de laforma U × V con U ∈ U y V ∈ V . Notemos que el conjunto formado por estetipo de conjuntos es numerable y que se tiene U × V ∈ Bor(X)⊗Bor(Y ); estosignifica que todo abierto pertenece a esta σ-algebra, de donde se obtiene lainclusion Bor(X×Y ) ⊂ Bor(X)⊗Bor(Y ), lo que, junto con la primera inclusindemostrada, nos permite obtener la identidad deseada.

Aplicando este resultado al espacio euclıdeo Rn, obtenemos el siguientecorolario.


Corolario 3.4.1. Para todo p, q ≥ 1, tenemos la formula

Bor(Rp+q) = Bor(Rp)⊗ Bor(Rq).

Una vez que tenemos a nuestra disposicion la estructura de espacio medible(X × Y,A ⊗ B), podemos definir el concepto de funcion medible. Diremos,entonces, que una funcion f : X×Y −→ K es (A ⊗B,K)-medible si la imagenrecıproca de todo elemento de Bor(K) pertenece a la σ-algebra producto A ⊗B.

Los dos resultados 3.4.2 y 3.4.3 siguientes nos proporcionan informacionesimportantes sobre los conjuntos de A ⊗B y sobre las funciones A ⊗B-medibles,pero antes de enunciarlos, es necesario fijar algunas notaciones.

Definicion 3.4.2. Sean X y Y dos conjuntos y E un subconjunto de X × Y .Para todo x ∈ X y todo y ∈ Y , definimos las secciones Ey y Ex como lossubconjuntos de X y de Y , respectivamente, determinados por

Ey = x ∈ X : (x, y) ∈ E y Ex = y ∈ Y : (x, y) ∈ E.

Si f es una funcion definida sobre X×Y , entonces las secciones fy y fx estandefinidas por

fy(x) = f(x, y) y fx(y) = f(x, y).

Los ındices x, y de las formulas anteriores permiten “congelar” momentanea-mente estas variables, de manera que es posible visualizar la nocion de seccionescomo proyecciones. Demos un ejemplo. Sea E = A×B un rectangulo de ladosmedibles y consideremos la funcion ϕ(x, y) = 1E(x, y). Vemos entonces quepara todo y ∈ B, se tiene Ey = A y para todo x ∈ A, Ex = B. De este modose obtiene que ϕy(x) = 1A(x) para todo y ∈ B y ϕx(y) = 1B(y) para todox ∈ A.

En la figura 3.6 se ilustra otro ejemplo simple en donde se puede observarla dependencia de los conjuntos Ey y Ex en funcion de sus respectivos ındices.

Veamos ahora algunas propiedades de estas secciones.

Proposicion 3.4.2. Sean (X,A ) y (Y,B) dos espacios medibles.

1) Si E es un subconjunto de X × Y que pertenece a A ⊗ B, cada seccionEx pertenece a B y cada seccion Ey pertenece a A .

2) Si f es una funcion A ⊗ B-medible definida sobre X × Y que tomavalores en K, entonces cada seccion fx es B-medible y cada seccion fy

es A -medible.

Demostracion.

1) Supongamos que x ∈ X y notemos F la coleccion de todos los subcon-juntos E de A ⊗B tales que Ex pertenece a B. Vamos a mostrar que Fes una σ-algebra que coincide con A ⊗ B.

Si A ∈ A y B ∈ B, entonces A×B ∈ A ⊗ B y

(A×B)x =

B si x ∈ A,∅ si x /∈ A.

(3.45)


X

Y

y

Ex

x Ey

Figura 3.6: Las secciones Ex y Ey

Es decir, todos los rectangulos de lados medibles pertenecen a F y, enparticular, se tiene que X × Y ∈ F . Si E ∈ F , tenemos tambien queEc ∈ F , pues

(Ec)x = y ∈ Y : (x, y) ∈ Ec = y ∈ Y : (x, y) ∈ Ec = (Ex)c.

Finalmente, si (En)n∈N es una sucesion de conjuntos de F , entonces⋃

n∈NEn ∈ F , puesto que(⋃

n∈NEn

)

x=⋃

n∈N(En)x. Por lo tanto Fes una σ-algebra contenida en A ⊗B que contiene todos los rectangulosde lados medibles. Pero, dado que A ⊗ B es la mas pequena σ-algebraque contiene este tipo de rectangulos, se deduce F = A ⊗ B.

Mediante un razonamiento similar se demuestra que, si E es un subcon-junto de X × Y que pertenece a A ⊗ B, cada seccion Ey pertenece aA .

2) Para demostrar este segundo enunciado, vemos que si f es A ⊗B-medible,entonces se tiene que, para todo abierto U de K, el conjunto E = (x, y) ∈X×Y : f(x, y) ∈ U pertenece a A ⊗B. Por la primera parte, para todox ∈ X y todo y ∈ Y , las secciones Ex y Ey son B-medibles y A -medibles,respectivamente, lo que demuestra que fx y fy son medibles.

Veamos ahora lo que sucede con las secciones Ex y Ey cuando se disponede espacios medidos.

Proposicion 3.4.3. Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos.Si E pertenece a la σ-algebra A ⊗ B, entonces las funciones

ϕ : X −→ R y ψ : Y −→ R

x 7−→ ν(Ex) y 7−→ µ(Ey)

son A -medible y B-medible, respectivamente.


Demostracion. Supongamos que la medida ν es finita. Sea F la clase de losconjuntos E ∈ A ⊗ B tales que la funcion x 7−→ ν(Ex) es A -medible. Vamosa verificar que F = A ⊗ B.

Si A ∈ A y B ∈ B, por la formula (3.45) podemos escribir

ν((A ×B)x) = ν(B)1A(x), (3.46)

de manera que el rectangulo A×B pertenece a F , pues la funcion ν(B)1A(x)es A -medible. En particular, el espacio X × Y pertenece a F .

Si E y F son dos conjuntos de A ⊗ B tales que E ⊂ F , entonces se tieneν((F \ E)x) = ν(Fx) − ν(Ex), que es una funcion A -medible, lo que muestraque F es estable por diferencia propia.

Sea ahora (En)n∈N una sucesion creciente de conjuntos de A ⊗ B. Vemosque se tiene la identidad ν((

⋃

n∈NEn)x) = lımn→+∞

ν((En)x); dado que la funcion

lımite es A -medible, se deduce que F es estable por diferencia propia y porunion numerable de sucesiones crecientes. Es, por lo tanto, una clase monotona(o un sistema de Dynkin), segun la definicion 2.2.9.

Puesto que la familia de rectangulos de lados medibles es estable por cons-truccion de intersecciones finitas, el teorema 2.2.5 nos proporciona la identi-dad13 F = A ⊗ B. Obtenemos entonces que la aplicacion x 7−→ ν(Ex) esmedible para cada conjunto E de A ⊗ B.

Supongamos ahora que la medida ν es σ-finita, y sea (Dn)n∈N una sucesionde conjuntos disjuntos que pertenecen a B, de medida finita con respecto a νy tales que

⋃

n∈NDn = Y . Para cada n, definimos una medida finita νn sobreB por νn(B) = ν(B ∩ Dn). Tenemos pues que las funciones x 7−→ νn(Ex)son A -medibles para todo n. Dado que la identidad ν(Ex) =

∑

n∈N νn(Ex) severifica para todo x, se deduce la medibilidad que la aplicacion x 7−→ ν(Ex).

La funcion y 7−→ µn(Ey) puede ser tratada de manera totalmente similar.

3.4.2 Medidas producto

Una vez que disponemos de una σ-algebra adecuadamente definida sobre elproducto cartesianoX×Y , podemos concentrarnos en el estudio de las medidasproducto definidas sobre la σ-algebra A ⊗ B.

Las medidas mas naturales que podemos definir sobre esta σ-algebra pro-ducto son las que verifican la identidad ρ(A×B) = µ(A)ν(B) para todo A ∈ A

y B ∈ B. Sin embargo, su existencia esta lejos de ser trivial y su unicidad tam-poco es evidente. El principal objetivo del teorema que sigue a continuacion esel de mostrar que este tipo de medidas existen, y que si los las medidas µ y νson σ-finitas, entonces se tiene la unicidad de la medida producto.

13La clase monotona F contiene todos los rectangulos medibles, en particular, contiene laclase monotona engendrada por estos rectangulos, que coincide con A ⊗ B por el teorema2.2.5, y que a su vez contiene F .


Teorema 3.4.2. Sean (X,A , µ) y (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos.Existe entonces una unica medida definida sobre A ⊗B, llamada medida pro-ducto y notada µ⊗ ν, tal que para todo A ∈ A y B ∈ B, se tiene la relacionsiguiente para los rectangulos medibles:

µ⊗ ν(A ×B) = µ(A)ν(B). (3.47)

La medida con respecto a µ⊗ν de un conjunto cualquiera E de A ⊗B esta dadapor

µ⊗ ν(E) =

∫

X

ν(Ex)dµ(x) =

∫

Y

µ(Ey)dν(y). (3.48)

Notese que esta formula permite calcular la medida de los conjuntos A ⊗ B-medibles a partir de las medidas iniciales µ y ν. Obtenemos ası un espaciomedido sobre el producto cartesiano de X y Y que notaremos (X × Y,A ⊗B, µ⊗ ν).

Demostracion. La medibilidad de las aplicaciones x 7−→ ν(Ex) y y 7−→ µ(Ey)para cada conjunto E ∈ A ⊗ B se deduce de la proposicion 3.4.3. Podemosentonces definir las funciones (µ ⊗ ν)1 y (µ ⊗ ν)2 sobre A ⊗ B determinadaspor

(µ⊗ ν)1(E) =

∫

Y

µ(Ey)dν(y) y (µ⊗ ν)2(E) =

∫

X

ν(Ex)dµ(x).

Observamos, sin problema, que (µ ⊗ ν)1(∅) = (µ ⊗ ν)2(∅) = 0. Si (En)n∈N

es una sucesion de conjuntos disjuntos de A ⊗ B, E =⋃

n∈NEn y y ∈ Y ,entonces (Ey

n)n∈N es una sucesion de conjuntos disjuntos de A tales que Ey =⋃

n∈NEyn y, por lo tanto, se tiene µ(Ey) =

∑

n∈N µ(Eyn). Podemos ahora aplicar

el corolario 3.3.1, que nos permite intercambiar los sımbolos “∫” y “

∑”, para

obtener las identidades siguientes:

(µ⊗ ν)1(E) =

∫

Y

µ(Ey)dν(y) =∑

n∈N

∫

Y

µ(Eyn)dν(y) =

∑

n∈N

(µ⊗ ν)1(En).

Deducimos entonces que la aplicacion (µ⊗ ν)1 es numerablemente aditiva y, sirepetimos el razonamiento utilizado, se obtiene un resultado totalmente analogopara (µ⊗ ν)2.

Para el caso de los rectangulos medibles, es facil verificar14 que si A ∈ A yB ∈ B, entonces se tiene

(µ⊗ ν)1(A×B) = µ(A)ν(B) = (µ⊗ ν)2(A×B).

De todos estos puntos, deducimos que (µ ⊗ ν)1 y (µ ⊗ ν)2 son medidas sobreA ⊗B que proporcionan los resultados deseados sobre los rectangulos de ladosmedibles.

La unicidad de µ ⊗ ν se obtiene por el corolario 2.2.3 y por el teorema deunicidad de las medidas, lo que implica, en particular, que (µ⊗ ν)1 = (µ⊗ ν)2y que (3.48) se verifica para todo E ∈ A ⊗ B.

14Utilice la formula (3.46).

Corolario 3.4.2. Sean (X × Y,A ⊗ B, µ ⊗ ν) un espacio medido producto yE ∈ A ⊗ B; las proposiciones siguientes son equivalentes:

1) E es de µ⊗ ν-medida nula;

2) Ex es de ν-medida nula para µ-casi todo x ∈ X;

3) Ey es de µ-medida nula para ν-casi todo y ∈ Y .

Demostracion. La verificacion de estas equivalencias se deduce facilmente dela formula (3.48) y dejamos los detalles al lector.

Presentemos dos ejemplos simples de medidas producto y un ejemplo deaplicacion de este teorema.

(i) SeaX = Y = R de manera queX×Y = R2. Sean λ la medida de Lebesguesobre R y λ2 la medida de Lebesgue 2-dimensional. Vemos entonces quepara todo adoquın Γ de la forma [a, b]× [c, d], tenemos el mismo resultadoaplicando λ2 o λ⊗ λ:

λ2(Γ) = (b − a)(d− c) = λ([a, b])λ([c, d]),

lo que nos proporciona una segunda construccion de la medida de Lebes-gue de R2.

(ii) Sean ahora a ∈ X y b ∈ Y dos puntos. Tenemos entonces entre lasmedidas de Dirac, la relacion

δa ⊗ δb = δ(a,b).

De modo mas general, si µ =∑

i∈I αiδai y ν =∑

j∈J βjδbj , tenemos laformula

µ⊗ ν =∑

(i,j)∈I×J

αiβjδ(ai,bj).

(iii) Estudiamos aquı otra manera de expresar la integral de una funcion posi-tiva. Sean (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y f : X −→ [0,+∞] unafuncion integrable; definimos el conjunto E de la siguiente forma:

E = (x, α) ∈ X × R : 0 ≤ α < f(x),

que corresponde a la region bajo el grafo de f . Dado que E pertenece aA ⊗Bor(R), es un conjunto medible para la medida µ⊗λ, de manera quepodemos aplicar el teorema 3.4.2 para calcular su medida. Ası tenemos,por un lado, que

µ⊗ λ(E) =

∫

X

λ(Ex)dµ(x) =

∫

X

f(x)dµ(x),

mientras que, por otro lado:

µ⊗ λ(E) =

∫ +∞

0

µ(Eα)dα =

∫ +∞

0

µ(x ∈ X : f(x) > α)dα.


Obtenemos entonces la relacion siguiente:

∫

X

f(x)dµ(x) =

∫ +∞

0

µ(x ∈ X : f(x) > α)dα. (3.49)

Esta formula sera utilizada posteriormente en el capıtulo 4 y en el volumen2.

Observacion 3.15. Es importante insistir en las hipotesis de este teorema.En efecto, si no suponemos que las medidas que intervienen en este teoremason σ-finitas, no se tiene, necesariamente, la unicidad de la medida productoµ⊗ ν y, ademas, la formula (3.48) puede ser falsa.

Demos un ejemplo clasico de esta situacion. Sean X = [0, 1], µ la medida deLebesgue sobre la σ-algebra Bor([0, 1]) y ν la medida de conteo del conjunto departes (no numerable) de Y = [0, 1]. Notese que esta medida ν no es σ-finita.Vemos entonces que la diagonal del cuadrado E = [0, 1]× [0, 1] es un elementode la σ-algebra producto, y se tiene

∫

X

ν(Ex)dµ(x) = 1 6=∫

Y

µ(Ey)dν(y) = 0.

Observacion 3.16. Notemos que en la construccion de la medida productoµ ⊗ ν, no asumimos ninguna hipotesis sobre las medidas µ y ν ademas de laσ-finitud. Sin ninguna dificultad, el lector puede darse cuenta que la formula(3.47) implica que la medida producto µ⊗ ν es finita si y solo si las medidas µy ν lo son (y si µ(X) > 0 y ν(Y ) > 0).

Sin embargo, la propiedad de completitud no se transmite a la medidaproducto. Vemoslo con un ejemplo. Sea λ la medida de Lebesgue definida sobrela σ-algebra de Lebesgue L (R). Sabemos que esta medida es completa, perovamos a verificar que la medida producto λ ⊗ λ no lo es. En efecto: sea E unconjunto de R que no es Lebesgue-medible, entonces 0× E /∈ L (R)⊗L (R),pero se tiene 0×E ⊂ 0×R ∈ L (R)⊗L (R) y, por lo tanto, λ⊗λ(0×R) =0, de manera que la medida producto no puede ser completa.

3.4.3 Teoremas de Fubini-Tonelli

Una vez que hemos fijado las manipulaciones sobre las σ-algebras productoy sus medidas, vamos a exponer, en las lıneas que siguen, los dos resultadosmas importantes de esta seccion. Basicamente, los teoremas que se presentana continuacion nos afirman que es posible, bajo ciertas hipotesis, intercambiarel orden de calculo en las integrales dobles. De modo mas preciso, vamos ademostrar que se tiene la formula siguiente:

∫

X

(∫

Y

f(x, y)dν(y)

)

dµ(x) =

∫

X×Y

f(x, y)dµ⊗ ν(x, y)

=

∫

Y

(∫

X

f(x, y)dµ(x)

)

dν(y).


Es decir, para calcular este tipo de integrales dobles, podemos hacerlo comouna sucesion de integrales simples sin importar el orden de integracion. Veremosaquı la demostracion de estos teoremas y algunas aplicaciones muy importantes.

Teorema 3.4.3 (Tonelli15). Sean (X,A , µ), (Y,B, ν) dos espacios medidosσ-finitos y f : X × Y −→ [0,+∞] una funcion A ⊗ B-medible. Entonces

1) las funciones

ϕ : X −→ [0,+∞]x 7−→

∫

Y f(x, y)dν(y)y

ψ : Y −→ [0,+∞]y 7−→

∫

X f(x, y)dµ(x)

son A -medibles y B-medibles, respectivamente; y

2) si las funciones ϕ y ψ son integrables sobre X y Y , respectivamente, lafuncion f es integrable sobre X×Y , y se tienen las identidades siguientes:

∫

X×Y

f(x, y)dµ⊗ ν(x, y) =

∫

Y

(∫

X

f(x, y)dµ(x)

)

dν(y)

=

∫

X

(∫

Y

f(x, y)dν(y)

)

dµ(x).(3.50)

Demostracion. Supongamos, para empezar, que E pertenece a la σ-algebraproducto A ⊗ B y que f es la funcion indicatriz de E. Tenemos entonces quelas secciones fx y fy son las funciones indicatrices de las secciones Ex y Ey, demanera que se tienen las relaciones

∫

Yfx(y)dν(y) = ν(Ex) y

∫

Xfy(x)dµ(x) =

µ(Ey) para todo x, y.

Por la proposicion 3.4.3 y por el teorema 3.4.2, obtenemos los puntos 1)y 2) para las funciones indicatrices de conjuntos. La aditividad y la homoge-neidad de la integral implican que estos puntos siguen siendo validos para lasfunciones simples A ⊗ B-medibles. Sea ahora f una funcion A ⊗ B-medible;por el teorema 3.2.4 (p. 145), existe una sucesion (fn)n∈N de funciones simplescrecientes que convergen hacia f . El primer punto se deduce entonces por elteorema 3.2.1 (p.133). La segunda proposicion se obtiene por el teorema deconvergencia monotona 3.3.1.

Vemos entonces que se tienen estos dos puntos para todas las funcionespositivas A ⊗ B-medibles, con lo que se termina la demostracion.

Observacion 3.17. Notese que la formula (3.50) es aplicable a cada funcionpositiva A ⊗ B-medible, ya sea esta integrable o no. Esto nos proporcionaun criterio para determinar cuando una funcion A ⊗ B-medible es integrableutilizando para ello el teorema de Tonelli para calcular la cantidad

∫

X×Y|f |dµ⊗

ν.

15Leonida Tonelli (1885-1946), matematico italiano. Estudio en la universidad de Bologna.


Teorema 3.4.4 (Fubini16). Sean (X,A , µ), (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos y f una funcion definida sobre X×Y que toma valores en K, integrablecon respecto a la medida producto µ⊗ ν. Entonces

1) para µ-casi todo punto x ∈ X, la seccion fx es ν-integrable y, para ν-casitodo punto y ∈ Y , la seccion fy es µ-integrable;

2) se tienen las relaciones siguientes:

∫

X×Y


∫

Y

(∫

X

f(x, y)dµ(x)

)

dν(y)

=

∫

X

(∫

Y

f(x, y)dν(y)

)

dµ(x).(3.51)

Demostracion. Tratemos solamente el caso de funciones a valores reales, puesel caso complejo se deduce facilmente del primero mediante argumentos yaexplicitados anteriormente.

Sean f una funcion integrable sobreX×Y (y, por lo tanto, A ⊗B-medible),y f+ y f− las partes positivas y negativas de f . La proposicion 3.4.2 nos aseguraque las aplicaciones fx, (f

+)x y (f−)x son B-medibles, y el teorema de Tonelliimplica que las funciones

x 7−→∫

Y

(f+)x(y)dν(y) y x 7−→∫

Y

(f−)x(y)dν(y)

son A -medibles y µ-integrables, y son, por lo tanto, finitas µ-c.t.p. por elcorolario 3.2.9. De manera que la funcion fx es ν-integrable para µ-casi todo x.Gracias a estos resultados, tenemos que la aplicacion

∫

Yf(x, y)dν(y) pertenece

al espacio L(X,A , µ) y por el teorema de Tonelli, escribimos

∫

X×Y


∫

X×Y

f+(x, y)dµ⊗ ν(x, y)

−∫

X×Y

f−(x, y)dµ⊗ ν(x, y)

=

∫

X

(∫

Y

f+x (y)dν(y)

)

dµ(x)

−∫

X

(∫

Y

f−x (y)dν(y)

)

dµ(x)

=

∫

X

(∫

Y

f(x, y)dν(y)

)

dµ(x).

Con esto hemos terminado la demostracion del teorema dado que un argumentototalmente similar se utiliza para tratar fy.

16Guido Fubini (1879 - 1943), matematico italiano. Estudio en la Scuola Normale Superioredi Pisa.


Observacion 3.18. Los teoremas de Tonelli y de Fubini pueden parecer aprimera vista muy similares, sin embargo, son muy diferentes y son utilizadosen situaciones distintas. El teorema de Tonelli nos dice que si las integralessimples existen y son finitas, entonces la integral doble existe y es finita. Porel contrario, el teorema de Fubini tiene como hipotesis la integrabilidad doblea partir de la cual se deduce la finitud de las integrales simples.

Expongamos ahora algunos ejemplos y algunas precauciones necesarias quehay que considerar cuando se desea aplicar estos teoremas.

(i) Si la inversion del orden de integracion conduce a resultados distintos, seobtiene, a posteriori, que el teorema de Fubini no se aplica. Consideremos,por ejemplo, X = Y = [0, 1] dotado de su σ-algebra natural y la funcionf : [0, 1]× [0, 1] −→ R definida por

f(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)2

si (x, y) 6= (0, 0) (dado que el conjunto (0, 0) es de medida nula, no esnecesario definir la funcion en este punto). Observando que se tienen lasidentidades

d

dx

( −xx2 + y2

)

=x2 − y2

(x2 + y2)2y

d

dy

(y

x2 + y2

)

=x2 − y2

(x2 + y2)2,

estamos tentados en realizar los calculos siguientes:

∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dx =

−1

y2 + 1y

∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)2dy =

1

x2 + 1.

A partir de estos calculos, obtenemos el resultado contradictorio siguiente

∫ 1

0

−1

y2 + 1dy = −π

4y

∫ 1

0

1

x2 + 1dx =

π

4.

Este ejemplo ilustra la necesidad de verificar las hipotesis del teorema3.4.4 cuidadosamente antes de lanzarse en calculos que pueden resultarfalsos. En efecto, vemos, sin mayor dificultad, que

f+(x, y) =x2 − y2

(x2 + y2)21[0,1](x)1[0,x](y),

de donde obtenemos∫ 1

0

(∫ 1

0

f+(x, y)dy

)

dx =

∫ 1

0

(∫ 1

0

x2 − y2

(x2 + y2)21[0,1](x)1[0,x](y)dy

)

dx

=

∫ 1

0

(y

x2 + y2

∣∣∣∣

x

0

)

dx =

∫ 1

0

dx

2x= +∞,

lo que implica que la funcion f(x, y) no es integrable con respecto a lamedida producto y, por lo tanto, no se puede aplicar el teorema de Fubini.


(ii) Un caso simple de aplicacion del teorema de Tonelli se encuentra cuandose multiplica dos funciones integrables definidas sobre conjuntos distin-tos: sean (X,A , µ), (Y,B, ν) dos espacios medidos σ-finitos y g : X −→[0,+∞[, h : Y −→ [0,+∞[ dos funciones µ y ν integrables, respectivamen-te. Si definimos f(x, y) = g(x)h(y), tenemos, por el teorema de Tonelli,que esta funcion es µ⊗ ν-integrable. En efecto, las funciones

ϕ : X −→ [0,+∞]x 7−→ g(x)

∫

Yh(y)dν(y)

yψ : Y −→ [0,+∞]

y 7−→ h(y)∫

Xg(x)dµ(x)

son integrables, lo que nos permite escribir∫

X×Y


(∫

X

g(x)dµ(x)

)(∫

Y

h(y)dν(y)

)

.

(iii) El teorema de Fubini tambien puede ser utilizado para calcular integralessimples transformandolas en integrales dobles. Con esta idea en mente,vamos a calcular la integral

∫ +∞

0

e−x sin2(x)

xdx.

Para ello introducimos la funcion

f : [0,+∞[×[0, 1] −→ R

(x, y) 7−→ e−x sin(2xy)

que es integrable sobre [0,+∞[×[0, 1], pues para todo x ∈ [0,+∞[ ytodo y ∈ [0, 1], se tiene la desigualdad |e−x sin(2xy)| ≤ e−x. Al aplicar elteorema de Fubini, obtenemos:∫ 1

0

e−x sin(2xy)dy =e−x sin2(x)

xy

∫ +∞

0

e−x sin(2xy)dx =2y

1 + 4y,

de manera que podemos escribir∫ +∞

0

e−x sin2(x)

xdx =

∫ 1

0

2y

1 + 4ydy =

ln(5)

4.

Tendremos muchas oportunidades de presentar otras aplicaciones de estos teo-remas en los siguientes capıtulos; sin embargo, es oportuno presentar una formu-la de integracion por partes que se deduce de estos resultados.

Proposicion 3.4.4 (Formula de integracion por partes). Sean dos funcionescontinuas U, V : [a, b] −→ R. Suponemos que existen dos funciones integrablesu, v : [a, b] −→ R tales que

U(x) = U(a) +

∫ x

a

u(t)dt, V (x) = V (a) +

∫ x

a

v(t)dt.

Tenemos, entonces, la identidad∫ b

a

U(x)v(x)dx +

∫ b

a

u(x)V (x)dx = U(b)V (b)− U(a)V (a).


Demostracion. En primer lugar observemos que las funciones U y V son aco-tadas, pues son continuas y definidas sobre un compacto. Notemos, ademas,que las funciones x 7−→ U(x)v(x) y x 7−→ V (x)u(x) son integrables. Tenemos,entonces:∫ b

a

(

U(a) +

∫ x

a

u(t)dt

)

v(x)dx = U(a)(V (b)−V (a))+

∫ b

a

(∫ x

a

u(t)dt

)

v(x)dx.

Como la funcion (x, t) 7−→ u(t)v(x) es integrable sobre [a, b]2 — y por lo tantosobre el conjunto (x, t) ∈ [a, b]2 : a ≤ t ≤ x— podemos aplicar el teorema deFubini para obtener

U(a)(V (b)− V (a)) +

∫ b

a

(∫ x

a

u(t)dt

)

v(x)dx

= U(a)(V (b)− V (a)) +

∫ b

a

u(t)

(∫ b

t

v(x)dx

)

dt

= U(a)(V (b)− V (a)) + (U(b)− U(a))V (b)−∫ b

a

u(t)V (t)dt,

lo que permite concluir.

3.4.4 Integrales multiples

Para finalizar esta seccion, vamos a mostrar que es posible reiterar los procesosexplicados anteriormente y obtener una teorıa de la integracion que tome encuenta el producto cartesiano de un numero finito de conjuntos.

Nos hemos restringido voluntariamente al producto finito de espacios. Enprobabilidades es a veces importante disponer de un producto cartesiano infi-nito, pero no trataremos este caso aquı por razones de espacio; sin embargo, ellector que desee ver mas detalles podr consultar [15].

Una vez que disponemos de la construccion de la medida resultante delproducto de dos medidas, no es muy difıcil pasar al producto de n medidas, lasetapas a seguir son esencialmente las mismas. Nos permitimos, por lo tanto,hacer una exposicion sucinta.

Sea pues (X1,A1, µ1), ..., (Xn,An, µn) una coleccion finita de n espaciosσ-finitos. Observemos, para empezar, que existe una correspondencia inyectivadel conjunto (X1×· · ·×Xn−1)×Xn sobre el conjuntoX1×· · ·×Xn determinadapor

ϕ((x1, ..., xn−1), xn) = (x1, ..., xn) para todo xi ∈ Xi, i = 1, ..., n.

Este hecho nos sugiere que podemos utilizar lo anterioremente expuesto parala construccion de espacios medidos multiples. Definimos entonces la σ-algebraA1 ⊗ · · · ⊗ An sobre X1 × · · · × Xn como la σ-algebra engendrada por losrectangulos de la forma A1 × · · · ×An en donde Ai ∈ Ai para todo 1 ≤ i ≤ n:

A1 ⊗ · · · ⊗ An = σA1 × · · · ×An : Ai ∈ Ai; 1 ≤ i ≤ n


Vemos, entonces, que la aplicacion ϕ transforma los conjuntos que generan laσ-algebra (A1 ⊗ · · · ⊗ An−1) ⊗ An en los conjuntos que generan la σ-algebraA1 ⊗ · · · ⊗ An, de manera que un conjunto E ∈ X1 × · · · × Xn pertenece aA1 ⊗ · · · ⊗ An si y solo si ϕ−1(E) pertenece a (A1 ⊗ · · · ⊗ An−1)⊗ An.

Esto nos permite aplicar n − 1 veces el teorema 3.4.2 para obtener unamedida µ1 ⊗ · · · ⊗ µn definida sobre A1 ⊗ · · · ⊗ An que verifique la identidadsiguiente

µ1 ⊗ · · · ⊗ µn(A1 × · · · ×An) =

n∏

i=1

µi(Ai)

para todo Ai ∈ Ai con 1 ≤ i ≤ n, obteniendo ası un espacio medido sobre elproductoX1×· · ·×Xn que notaremos (X1×· · ·×Xn,A1⊗· · ·⊗An, µ1⊗· · ·⊗µn).

El lector podra generalizar, sin problema, los ejemplos de medida productoexpuestos en la pagina 185 al caso de un producto finito de n espacios.

Los teoremas de Fubini-Tonelli generalizados a las integrales multiples nosproporcionan resultados del tipo siguiente en donde se puede intercambiar elorden de integracion, siempre y cuando se verifiquen las hipotesis necesarias:

∫

X1×X2×X3

f(x1, x2, x3)dµ⊗ ν ⊗ η(x1, x2, x3) =

∫

X1

(∫

X2

(∫

X3

f(x1, x2, x3)dη(x3)

)

dν(x2)

)

dµ(x1) =

∫

X1

(∫

X3

(∫

X2

f(x1, x2, x3)dν(x2)

)

dη(x3)

)

dµ(x1) =

∫

X3

(∫

X2

(∫

X1

f(x1, x2, x3)dµ(x1)

)

dν(x2)

)

dη(x3).

Dejamos al lector la importante tarea de enunciar los teoremas de Fubiniy Tonelli en el marco de las integrales multiples. La demostracion de estosresultados es sensiblemente la misma.

Volumen de la bola unidad en Rn

En este parrafo mostramos una aplicacion de las integrales multiples y delteorema de Fubini en el calculo del volumen de la bola unidad en Rn.

Fijemos, para empezar, dos notaciones: designaremos por Bn = x ∈ Rn :x21 + · · ·+ x2n ≤ 1 la bola unidad cerrada de Rn y notaremos vn su volumen.

Tenemos que vn =∫

Rn 1Bn(x)dx y observamos sin problema que la fun-cion 1Bn(x) es integrable con respecto a la medida producto, de manera quepodemos -gracias al teorema de Fubini- evaluar esta expresion por medio deintegrales simples. De manera mas precisa tenemos,

vn =

∫

Rn

1Bn(x)dx =

∫

Rn

1x21+···+x2

n≤1(x)dx1 · · · dxn

=

∫ 1

−1

(∫

Rn−1

1x21+···+x2

n≤1−x2k(x)dx1 · · · dxn

)

dxk

3.5 Relaciones entre la integral de Riemann y la de Lebesgue 193

Observamos en este punto que la expresion entre parentesis no es mas quela medida de Lebesgue λn−1 de la bola B(0,

√

1− x2k) y por la propiedad dedilatacion de la medida de Lebesgue (dada en la proposicion 3.2.22), obtenemosla identidad λn−1(B(0,

√

1− x2k)) = (1 − x2k)(n−1)/2vn−1. Podemos entonces

escribir:

vn = vn−1

∫ 1

−1

(1 − x2k)(n−1)/2dxk = vn−1In−1

en donde hemos notado In =∫ 1

−1(1− x2)n/2dx para todo n ≥ 0.Calculos directos muestran que I0 = 2 y I1 = π

2 , ademas una integracionpor partes nos muestra que nIn−2 − In = nIn, de donde se obtiene la formulaIn = n

n+1In−2 para n ≥ 2. Por recurrencia, se obtiene en particular la identidad

In−1In−2 = 2πn y, por lo tanto, para n ≥ 3, se tiene

vn = In−1In−2vn−2 =2π

nvn−2.

A partir de los casos particulares v1 = 2 y v2 = I1v1 = π, deducimos losvalores

v2k =πk

k!, v2k+1 =

πk

(k + 12 )(k − 1

2 ) · · · 32 · 12

,

que podemos, finalmente, reagrupar en la expresion

vn =πn/2

Γ(n2 + 1).

Con esta seccion hemos terminado la construccion de la integral de Le-besgue y el estudio de sus propiedades mas inmediatas. Continuaremos nuestroestudio de las relaciones entre las medidas, la integral y los espacios funcionalesen el volumen 2, en donde completaremos nuestra presentacion considerandocaracterısticas importantes de estos objetos matematicos.

3.5 Relaciones entre la integral de Riemann yla de Lebesgue

Para terminar este capıtulo, vamos a comparar la integral de Riemann y la inte-gral de Lebesgue. Primero vamos a fijar el marco en el cual estas dos integralescoinciden: esta etapa es importante, pues, si bien hemos insistido en las limi-taciones de la integral de Riemann, es necesario exponer bajo que condicionesdisponemos de la identidad de las dos integrales.

Continuaremos con una exposicion de los teoremas fundamentales del calcu-lo integral: una vez que hayamos determinado el marco en donde estas nocio-nes de integral coinciden, podremos utilizar todas las herramientas basicas en-senadas en los primeros anos de universidad para realizar los calculos practicosde integrales.


Pasaremos, finalmente, a la presentacion de la nocion de integrales impro-pias. El lector observara que esta nocion no tiene su equivalente cuando setrabaja con la integral de Lebesgue y es por ello que consideramos necesarioexponer algunas de sus caracterısticas comparandolas con las propiedades dela integral de Lebesgue.

En todo lo que sigue, consideraremos la medida de Lebesgue sobre un inter-valo I de la recta real y funciones definidas sobre I que toman valores reales.

3.5.1 Cuando la integral de Riemann y de Lebesgue coin-ciden

Vamos a definir el conjunto de funciones sobre el cual estas integrales coinci-den y, en este sentido, tenemos el siguiente teorema, cuya demostracion es elobjetivo principal de esta seccion.

Teorema 3.5.1. Sean [a, b] un intervalo cerrado de la recta real y f una fun-cion acotada definida sobre [a, b] que toma valores reales. Entonces:

1) la funcion f es Riemann-integrable si y solo si es continua en casitodo punto de [a, b]; y

2) si la funcion f es Riemann-integrable, entonces es Lebesgue-integrable,y sus dos integrales coinciden.

Antes de pasar a la demostracion de este resultado, vamos a detallar unpoco mas algunos aspectos de la integral de Riemann. Sea [a, b] un intervalo,si P = x0, ..., xn y P ′ = y0, ..., ym son dos subdivisiones de este intervalo,diremos que P ′ es un refinamiento de la subdivision P si cada punto de Ppertenece a P ′. Por ejemplo, en el caso de las δ-subdivisiones presentadas pagina124, vemos inmediatamente que toda δ/2-subdivision es un refinamiento decada δ-subdivision.

Sea ahora f una funcion acotada definida sobre [a, b]. Si P es una subdivisionde [a, b], definimos, para cada intervalo de la subdivision, las cantidades

mi = ınff(x) : x ∈ [xi−1, xi]

y

Mi = supf(x) : x ∈ [xi−1, xi] con i = 1, ..., n.

Podemos, entonces, formar las sumas superiores e inferiores17 correspondientesa f y P por

s(f, P ) =

n∑

i=1

Mi(xi−1 − xi) y i(f, P ) =

n∑

i=1

mi(xi−1 − xi). (3.52)

Se tiene, entonces, la desigualdad i(f, P ) ≤ s(f, P ).

17Tambien llamadas sumas de Darboux.

Es facil ver que si P1 y P2 son dos subdivisiones de [a, b] y si P2 es unrefinamiento de P1, entonces tenemos las desigualdades siguientes

i(f, P1) ≤ i(f, P2) ≤ s(f, P2) ≤ s(f, P1).

Se tiene, en particular, que el supremo de todas las sumas inferiores es acotadopor cada una de las sumas superiores y el supremo de estas sumas inferiores

corresponde a la integral inferior de f sobre [a, b], y lo notaremos∫ b

af(x)dx.

Simetricamente, el ınfimo de las sumas superiores nos proporciona la integral

superior de f sobre [a, b] que sera notada∫ b

a f(x)dx. Finalmente, diremos que

una funcion f es Riemann-integrable si se tiene la identidad

∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx.

El valor comun se denomina la integral de Riemann de la funcion f sobre [a, b]

y es notado∫ b

a f(x)dx. El lector observara que esta construccion es totalmentesimilar a la expuesta al inicio de este capıtulo.

Una vez fijadas estas aclaraciones sobre la integral de Riemann, podemospasar ahora a la demostracion del teorema 3.5.1.

Demostracion. Sea f una funcion Riemann-integrable. Entonces para cada en-tero positivo n, podemos escoger una subdivision Pn del intervalo [a, b] tal que

s(f, Pn)− i(f, Pn) < 1/n.

Definimos las sucesiones (gn)n∈N y (hn)n∈N de funciones definidas sobre [a, b]como gn(a) = f(a) = hn(a) en el punto a y constantes sobre el intervalo]ai−1, ai] determinado por la subdivision Pn y tomando los valores ınff(x) :ai−1 ≤ x ≤ ai y supf(x) : ai−1 ≤ x ≤ ai, respectivamente.

Tenemos, entonces, por construccion que (gn)n∈N es una sucesion creciente

de funciones borelianas simples que verifican gn ≤ f y∫ b

agn(x)dx = i(f, Pn)

para todo n. Simetricamente, (hn)n∈N es una sucesion decreciente de funciones

borelianas simples que verifican hn ≥ f y∫ b

a hn(x)dx = s(f, Pn) para todo n.Dado que la funcion f es acotada, las sucesiones (gn)n∈N y (hn)n∈N lo son

tambien, y podemos definir las funciones g = lımn→+∞

gn y h = lımn→+∞

hn que son

funciones borelianas medibles. Aplicamos el teorema de convergencia dominadapara obtener

∫ b

a

g(x)dx =

∫ b

a

h(x)dx = lımn→+∞

s(f, Pn) = lımn→+∞

i(f, Pn).

Esto implica, en particular, que g(x) = h(x) para casi todo punto de [a, b], yesta situacion tiene dos consecuencias. La primera es que si g(x) = h(x) enun punto x ∈ [a, b] que no pertenece a ninguna subdivision Pn, entonces f escontinua en x, lo que implica que f es continua casi en todas partes con lo que

se demuestra la primera parte del teorema. La segunda consecuencia parte delhecho que se tiene g ≤ f ≤ h y que por lo tanto f es igual a g casi en todaspartes. Esto muestra que f es Lebesgue integrable y que la integral de Riemanny la de Lebesgue de f coinciden, con lo que terminamos la demostracion.

Para para demostrar el recıproco de la primera parte, suponemos que fes una funcion continua casi en todas partes. Para todo n, escogemos Pn lasubdivision de [a, b] que divide [a, b] en 2n partes iguales. Utilizamos estassubdivisiones para construir las funciones gn y hn de las lıneas precedentes. Setienen, entonces, las relaciones f(x) = lım

n→+∞gn(x) y f(x) = lım

n→+∞hn(x) para

todo x, en donde f es continua y, por lo tanto, para casi todo x ∈ [a, b]. Por lo

tanto, lımn→+∞

(hn(x) − gn(x)) = 0 c.t.p. y, puesto que∫ b

agn(x)dx = i(f, Pn) y

∫ b

ahn(x)dx = s(f, Pn), el teorema de convergencia dominada implica

lımn→+∞

(s(f, Pn)− i(f, Pn)) = 0.

Es decir, para cada ε > 0, existe una subdivision Pn de [a, b] tal que s(f, Pn)−i(f, Pn) < ε, lo que hace de f una funcion Riemann-integrable.

3.5.2 Teoremas fundamentales del calculo integral

En este parrafo, presentaremos los dos teoremas fundamentales del calculo in-tegral. Estos resultados hacen intervenir la nocion de primitiva de una funciony son los que permiten realizar el calculo efectivo de las integrales en la granmayorıa de casos practicos.

Definicion 3.5.1 (Primitiva). Sea f : [a, b] −→ R una funcion continua; sipara todo x ∈ [a, b], se tiene la identidad φ′(x) = f(x), diremos que φ esuna primitiva de f . Para toda primitiva φ0 de f sobre [a, b], el conjunto deprimitivas de f esta dado por φ0 + λ : λ ∈ R.

Con el corolario 3.3.2, hemos visto que, si f es una funcion integrable,entonces la funcion definida por

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt (3.53)

es una funcion continua. Si la funcion f es continua, podemos decir algo massobre F , como nos lo indican los resultados a continuacion.

Teorema 3.5.2 (Primer teorema fundamental). Sea f : [a, b] −→ R una fun-cion continua, entonces la funcion determinada por la expresion (3.53) es de-rivable sobre el intervalo ]a, b[, y para todo x ∈]a, b[, se tiene F ′(x) = f(x); esdecir, F es una primitiva de f .

Demostracion. Para todo h > 0, tenemos18 que:

F (x+ h)− F (x)

h− f(x) =

1

h

(∫ x+h

a

f(t)dt−∫ x

a

f(t)dt

)

− f(x)

=1

h

∫ x+h

x

f(t)dt− f(x)

=1

h

(∫ x+h

x

[f(t)− f(x)]dt

)

.

Observemos ahora que la parte derecha de esta ultima expresion es mayoradapor la cantidad max

t∈[x,x+h]|f(t)− f(x)| que tiende hacia cero si h −→ 0. De esto

se deduce el resultado deseado; es decir, se deduce F ′(x) = f(x).

Teorema 3.5.3 (Segundo teorema fundamental). Sea f : [a, b] −→ R una fun-cion continua; si φ es una primitiva de f , entonces tenemos la identidad:

∫ b

a

f(x)dx = φ(b)− φ(a).

Demostracion. Si φ es una primitiva de f , por el teorema anterior, sabemosque F tambien es una primitiva de f , de manera que se tiene φ = F + λ paraalguna constante λ ∈ R. Entonces podemos escribir, con x0 un punto de [a, b]:

φ(b)− φ(a) = F (b)− F (a) =

∫ b

x0

f(t)dt−∫ a

x0

f(t)dt =

∫ b

a

f(t)dt.

La utilidad de estos dos teoremas es inmensa y nos parece innecesario insistiren ello. Nos permitimos, sin embargo, escribir un par de lıneas adicionales antesde cerrar este parrafo.

Por los resultados presentados en esta seccion, el lector puede pensar que elproceso de primitivacion corresponde a la operacion inversa de la derivacion.Y esto puede parecer cierto, al menos en dimension 1.

Evidentemente, estos resultados se generalizan inmediatemente a la integralde Lebesgue en el conjunto de funciones en donde estas dos nociones coinci-den; sin embargo, es totalmente natural preguntarse que es lo que sucede endimensiones superiores.

En el caso de Rn, la derivacion debe ser reemplazada por la diferenciacion,que asocia a f de clase C1(Rn,R) su diferencial df =

∑ni=1(∂f/∂xi)dxi. La ope-

racion inversa consiste entonces en resolver las ecuaciones en “diferenciales tota-les”: para funciones αi dadas, determinar la funcion f tal que df =

∑ni=1 αidxi.

Vemos, por lo tanto, que el proceso inverso de la integracion no corresponde ala diferenciacion y es necesario preguntarse en que consiste este proceso.

Para responderse de manera plenamente satisfactoria, sera necesario intro-ducir ciertas nociones teoricas y utilizar resultados importantes como el teoremade Radon-Nikodyn. Esto sera realizado en el volumen 2.

18El razonamiento es el mismo si h < 0.

3.5.3 Integrales impropias

Observemos que en la construccion de la integral de Riemann, el dominio dedefinicion de la funcion que se desea integrar es un intervalo cerrado de la forma[a, b] y, si queremos considerar su integral sobre la recta real, debemos estu-diar las integrales impropias, tambien llamadas integrales generalizadas. Estasituacion contrasta con la definicion de la integral de Lebesgue que esta direc-tamente construida sobre toda la recta real, lo que recalca la diferencia entreestos dos conceptos.

Empezamos esta seccion con una definicion que sera retomada posterior-mente.

Definicion 3.5.2 (Funciones localmente integrables). Una funcion que tomavalores reales, definida sobre un intervalo no compacto I, es localmente inte-grable sobre I si es integrable sobre todo compacto de I.

Observamos que esta definicion es equivalente a decir que la funcion es

medible y que para todos dos puntos a, b de I con a < b, se tiene∫ b

a |f(x)|dx <+∞. El ejemplo clasico de funcion localmente integrable esta dado por x 7−→1/x definida sobre ]0,+∞[: el lector no ignora que esta funcion no es integrablesobre todo el intervalo ]0,+∞[, pero puede verificar, sin dificultad, que estafuncion es localmente integrable.

Definicion 3.5.3 (Funciones semi-integrables). Sean I un intervalo no com-pacto de la forma [a, b[ con −∞ < a < b ≤ +∞ y f una funcion localmenteintegrable sobre I. Diremos que la funcion f es semi-integrable si la funcioncontinua F : x 7−→

∫ x

a f(t)dt admite un lımite finito cuando x tiende hacia b.

La definicion es equivalente en el caso de intervalos de la forma ]a, b] con−∞ ≤ a < b < +∞. Si el intervalo I es de la forma ]a, b[, con −∞ ≤ a <b ≤ +∞, una funcion f sera semi-integrable sobre I si es semi-integrable sobrecada uno de los intervalos ]a, c] y [c, b[ con c ∈ I un punto arbitrario.

Es muy importante notar que es posible que este lımite exista sin que lafuncion sea integrable (el ejemplo clasico de esta situacion esta dado por la

funcion f(x) = sin(x)x definida sobre ]0,+∞[; vease el ejercicio 3.17). En este

caso, conservamos la notacion∫ b

a f(t)dt y llamamos a esta cantidad la integralimpropia de f sobre [a, b[, pero estas expresiones no son integrales, sino lımitesde integrales, y deben ser tratadas como tales.

Tenemos, sin embargo, los siguientes resultados que nos permiten relacionaresta nocion de integral impropia con la teorıa desarrollada en este capıtulo.

Proposicion 3.5.1 (Criterio de Cauchy). Una funcion localmente integrablesobre [a, b[ es semi-integrable si y solo si para todo ε > 0, existe un real δ ∈ [a, b[tal que para todo α, β, con δ ≤ α < β < b, se tiene

∣∣∣∣∣

∫ β

α

f(t)dt

∣∣∣∣∣≤ ε.

Demostracion. Utilizando la funcion F definida por la expresion (3.53), la con-dicion del enunciado se escribe |F (β)−F (α)| ≤ ε, lo que expresa que la funcioncontinua F (x) admite un lımite finito cuando x tiende hacia b.

Este criterio, junto con los teoremas de paso al lımite expuestos anterior-mente, permite enunciar el resultado siguiente.

Corolario 3.5.1. Toda funcion integrable sobre [a, b[ es semi-integrable. Recıpro-camente, toda funcion positiva semi-integrable sobre [a, b[ es integrable.

Demostracion. En el primer caso, consideramos la funcion F (x) =∫ x

a f(t)dt.Tenemos para todo a ≤ α < β < b, las desigualdades

|F (β)− F (α)| ≤∫ β

α

|f(t)|dt ≤∫ b

α

|f(t)|dt.

Como esta ultima expresion es arbitrariamente pequena para α suficientementegrande (utilıcese el teorema de convergencia dominada o el de Beppo Levi),podemos aplicar el criterio de Cauchy para obtener el resultado deseado.

Para el segundo caso, aplicamos el teorema de Beppo Levi a la sucesion defunciones integrables fn(x) = f(x)1[a,αn](x), en donde (αn)n∈N es una sucesioncreciente de puntos de [a, b[ que converge hacia b. Tenemos, entonces:

∫ b

a

f(t)dt = lımn→+∞

∫ b

a

fn(t)dt = lımn→+∞

∫ αn

a

f(t)dt < +∞.

Resumen

En este capıtulo, hemos presentado las diferentes etapas necesarias para laconstruccion de la integral de Lebesgue; apoyandonos en la teorıa desarrolla-da en el capıtulo anterior. Insistimos en la necesidad de estudiar la medidade conjuntos generales para llevar a cabo esta construccion. En efecto, con-trariamente a lo que sucede con la integral de Riemann, en donde utilizamosintervalos, la base de los rectangulos utilizados para aproximar el area bajo lacurva grfica de una funcion, f : X −→ K, esta dada por conjuntos de la formaAn,k = x ∈ X : (k − 1)/2n ≤ f(x) < k/2n (vease la demostracion del teo-rema 3.2.4 en la pagina 145), cuya medida puede ser muy complicada, lo cualjustifica el tratamiento realizado en el capıtulo 2.

El objeto matematico que se obtiene de esta forma, es decir, la integral deLebesgue, posee propiedades muy importantes y agradables en el sentido de quelas hipotesis necesarias para la aplicacion de los teoremas mas importantes, sonrelativamente faciles de verificar. El lector puede comprobarlo en los teoremasde convergencia dominada, de Beppo Levi, de Fatou y en sus aplicaciones enlas integrales dependientes de un parametro. Otra gran ventaja de este objetoes la gran generalidad de su construccion: no estamos restringidos al caso delos espacios euclıdeos y lo unico que requerrimos es una estructura de espacio

medido. Podemos, ademas, estudiar el producto cartesiano de conjuntos y de-terminar de forma simple, gracias a los teoremas de Tonelli y de Fubini, lasintegrales multiples.

Todas estas razones hacen de la integral de Lebesgue un instrumento impor-tante en muchas areas del analisis matematico; sin embargo, es necesario notarque hay otras formas de construir integrales, como las integrales de Perron ola integral estocastica, que corresponden a necesidades especıficas y que, pormotivos pedagogicos, no exponemos en este trabajo. El lector puede encontrarmas detalles en las siguientes referencias [23],[37] y [28].

3.6 Ejercicios

Ejercicio 3.1. Sean (X,A ) un espacio medible y f, g : X −→ R dos funciones(A ,Bor(R))-medibles.

1. Verifique que los conjuntos siguientes son A -medibles.

A = x ∈ X : f(x) > g(x),B = x ∈ X : f(x) = g(x),C = x ∈ X : f(x) < g(x).

2. Utilizando los conjuntos A, B, C anteriores, definimos las aplicaciones ϕ yψ por:

ϕ(x) = f(x)1A(x) + f(x)1B(x) + g(x)1C(x),

ψ(x) = g(x)1A(x) + g(x)1B(x) + f(x)1C(x).

Muestre que las funciones ϕ y ψ son medibles. ¿Que relacion existe entre ϕy ψ y max(f, g) y mın(f, g), respectivamente?

Ejercicio 3.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido, f : X −→ K una funcionmedible y ψ : K −→ K una aplicacion. Muestre que si f = g µ-c.t.p., entoncesψ f = ψ g µ-c.t.p.

Ejercicio 3.3. El objetivo de este ejercicio es mostrar que existe una unicaintegral con respecto a una medida fija sobre un espacio medido. De maneramas precisa, sea (X,A , µ) un espacio medido, demuestre que existe una unicaaplicacion T : M(X,A ) −→ R+ tal que:

1. Para todo f, g ∈ M(X,A ) y todo λ ∈ R, se tiene T (f + g) = T (f) + T (g)y T (λf) = λT (f).

2. Si (fn)n∈N es una sucesion creciente de elementos de M(X,A ), entonces

lımn→+∞

T (fn) = T ( lımn→+∞

fn).

3. Para todo A ∈ A , se tiene T (1A) = µ(A).

3.6 Ejercicios 201

Indicacion: Defina T (f) =∫

Xfdµ.

Ejercicio 3.4. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ K dos funcio-nes medibles. Demuestre la proposicion 3.2.16 para este caso.

Ejercicio 3.5 (Primera formula del promedio). Sea [a, b], dotado de la medidade Lebesgue, sea f : [a, b] −→ R una funcion continua y g : [a, b] −→ R unafuncion integrable positiva. Muestre que existe un real ξ ∈ [a, b] tal que se tienela identidad

∫ b

a

f(t)g(t)dt = f(ξ)

∫ b

a

g(t)dt.

Indicacion: utilice el teorema del valor intermedio.

Ejercicio 3.6 (Construccion de nuevas medidas). En este ejercicio considera-mos como conjunto de base la recta real dotada de su σ-algebra natural. Paraα > 0, un real, definimos las funciones

f(x) = αe−αx1[0,1](x)+e

−αδ1(x) y g(x) = e−αx1[0,+∞[(x)+

+∞∑

k=0

αk

k!e−αδk(x).

1. Guiado por la definicion 3.3.1 de la pagina 160 para la construccion denuevas medidas, construya dos medidas µ y ν asociadas a estas funciones fy g.

2. Determine si estas medidas son finitas.

3. Para cada una de estas medidas, estudie la integrabilidad de las funcionesreales ϕ(x) = x y ψ(x) = eαx, y calcule su integral con respecto a estasmedidas.

Ejercicio 3.7. Sean X un conjunto y A = P(X). Sea a un elemento de Xfijo y definamos µ(A) = 1A(a) para todo A ∈ A .

1. Muestre que µ es una medida sobre el espacio medible (X,A ).

2. Determine el conjunto de partes µ-despreciables de X.

3. Para f ∈ M(X,A ,R+,Bor(R+)), exprese∫

Xf(x)dµ(x).

Ejercicio 3.8. Sea a un real. Definimos una sucesion de funciones (fn)n∈N

sobre [0, 1] (dotado de la medida de Lebesgue) que toman valores reales por

fn(x) =2an2x

(1 + n2x2)2,

y escribimos gn(x) = nfn(x).

1. Calcule lımn→+∞

fn(x) y lımn→+∞

gn(x).


2. Verifique que se tiene

lımn→+∞

∫ 1

0

fn(x)dx = a y lımn→+∞

∫ 1

0

gn(x)dx = +∞.

3. ¿Por que no se obtiene la igualdad al intercambiar los signos “ lım” y “∫”?

Ejercicio 3.9. Demuestre que se tiene la identidad siguiente

lımn→+∞

∫ n

0

(

1 +x

n

)n

e−2xdx = 1.

Indicacion: recuerde que lımn→+∞

(1 + x

n

)n= ex.

Ejercicio 3.10. Sean los puntos del plano real a1 = (3/2, 1/2), a2 = (2, 1),a3 = (3/2, 3/2), a4 = (1, 1) y E el subconjunto de R2 que se obtiene al unirestos puntos con rectas.

1. Calcule Ey y Ex

2. Definimos f(x, y) = 1E(x, y), calcule fy(x) y fx(y).

3. Calcule∫

R2 f(x, y)dxdy.

Ejercicio 3.11. Demuestre que para todo a, b ∈]0,+∞[, se tiene la identidad

∫ +∞

0

te−at

1− e−btdt =

+∞∑

n=0

1

(a+ nb)2.

Indicacion: utilize el desarrollo en serie entera de 11−x cuando x ∈]0, 1[.

Ejercicio 3.12. Para todo x ∈ [1,+∞[, definimos f(x) =∑+∞

n=1 ne−nx. Cal-

cule∫ +∞

1 f(x)dx.

Ejercicio 3.13 (Funcion Γ de Euler). Este ejercicio tiene por objetivo estudiaralgunas propiedades de la funcion Γ de Euler definida por

Γ: ]0,+∞[ −→ R

x 7−→∫ +∞

0 tx−1e−tdt.

1. Muestre que la funcion Γ es infinitamente derivable sobre ]0,+∞[.

2. Muestre que se tiene la relacion funcional Γ(x+1) = xΓ(x) para todo x > 0;calcule Γ(1) y deduzca que Γ(n+ 1) = n!

3. Admita que∫ +∞

−∞e−t2dt =

√π, para mostrar que Γ(12 ) =

√π; verifique que

se tiene la formula Γ(n+ 12 ) = ((2n)!

√π)/(4nn!).

3.6 Ejercicios 203

Ejercicio 3.14. Sean a, b, c tres reales tales que 0 < a < b y 0 < c. Estudie laintegrabilidad de la funcion

f : R2 −→ R

(x, y) 7−→ sin(xy)1[a,b]×[0,c](x, y)

para mostrar con un argumento de paso al lımite que se tiene la identidad

∫ +∞

0

cos(ax)− cos(bx)

xdx = ln

(b

a

)

.

Ejercicio 3.15. El objetivo de este ejercicio es estudiar algunas propiedades ylimitaciones de la integral de Riemann-Stieltjes.

Sea P una subdivision de un intervalo acotado [a, b]; notamos con ‖P‖ elmax |xi−1 − xi| para todo xi−1, xi ∈ P , con 1 ≤ i ≤ n. Por ejemplo, si P esuna δ-subdivision, tenemos ‖P‖ = δ. Asumiremos, ademas, que para todo n,Pn+1 es una subdivision mas fina que Pn, de manera que ‖Pn‖ ≥ ‖Pn+1‖.

Sea g una funcion estrictamente creciente definida sobre [a, b]. Una funcionacotada f definida sobre [a, b] y que toma valores reales es Riemann-Stieltjesintegrable con respecto a g si el lımite siguiente existe:

∫ b

a

f(x)d(g(x)) = lım‖Pn‖→0

n∑

i=1

f(τi)[g(xi)− g(xi−1)], (3.54)

en donde τi ∈ [xi−1, xi].

1. Calcule∫ 1

0 f(x)d(g(x)) si f(x) = x2 y g(x) = x3.

2. Nos interesamos en el caso en donde f = g. Definimos

Ln =n∑

i=1

f(xi−1)[f(xi)− f(xi−1)],

Rn =

n∑

i=1

f(xi)[f(xi)− f(xi−1)].

Muestre que se tienen las formulas

Ln =1

2

[

f2(b)− f2(a) +

n∑

i=1

((f(xi)− f(xi−1))2

]

,

Rn =1

2

[

f2(b)− f2(a)−n∑

i=1

((f(xi)− f(xi−1))2

]

.

Calcule para ello las cantidades Rn −Ln y Rn +Ln. A la cantidad Rn −Ln

se la denomina la variacion cuadratica de la funcion f sobre [a, b].

3. ¿Bajo que condicion se tiene lım‖Pn‖→0

Rn = lım‖Pn‖→0

Ln?

4. Sea f una funcion de clase C1[a, b]. Muestre mediante el teorema del valorintermedio que se tiene la desigualdad

|Rn − Ln| ≤ ‖f ′‖2∞‖Pn‖|b− a|.

¿Que se puede decir de lım‖Pn‖→0

Rn y de lım‖Pn‖→0

Ln?

5. Deduzca una formula para calcular∫ b

af(x)d(f(x)) mediante:

(a) las formulas y los lımites anteriores; y

(b) una integracion por partes.

6. Sea f una funcion continua definida sobre [a, b] tal que |f(x) − f(y)| =c|x − y|1/2 para todo x, y ∈ [a, b]. Muestre que la variacion cuadratica def es igual a c(b − a). Observese que, en este caso particular, es imposible

definir la integral∫ b

af(x)d(f(x)) por medio de la formula (3.54).

Este ejemplo muestra la necesidad de definir de otra manera la integral para estetipo de funciones. La nocion de integral estocastica responde a este problemade forma satisfactoria, pero este concepto no sera estudiado en este trabajo.

Ejercicio 3.16. En este ejercicio, estudiamos una version del teorema deconvergencia dominada aplicado a las sucesiones de funciones uniformementesemi-integrables.

Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones semi-integrables definidas sobre unintervalo no compacto [a, b[. Diremos que esta familia es uniformemente semi-integrable si para todo ε > 0 existe un real α0 ∈ [a, b[ tal que, para todo α ∈[α0, b[ y todo n, se tiene

∣∣∣∣∣

∫ b

α

fn(x)dx

∣∣∣∣∣≤ ε.

Supongamos que esta sucesion es casi en todas partes convergente y que existeuna funcion localmente integrable g tal que |fn(x)| ≤ g(x) para todo n y paracasi todo x. Muestre que existe una funcion semi-integrable f tal que f(x) =lım

n→+∞fn(x) en casi todas partes y tal que

∫ b

a

f(x)dx = lımn→+∞

∫ b

a

fn(x)dx. (3.55)

Para ello, siga los siguientes pasos:

1. Sea ε > 0 y α, β dos reales tales que α0 < α < β < b. Muestre que paratodo n, se tiene ∣

∣∣∣∣

∫ β

α

fn(x)dx

∣∣∣∣∣≤ ε.

2. Mediante el teorema de convergencia dominada, muestre que f es integrablesobre [α, β] y que se tiene la misma desigualdad anterior para f .

3.6 Ejercicios 205

3. Muestre que se tiene la desigualdad siguiente para todo n:

∣∣∣∣∣

∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

fn(x)dx

∣∣∣∣∣≤∣∣∣∣

∫ α0

a

f(x)dx−∫ α0

a

fn(x)dx

∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣

∫ b

α0

f(x)dx

∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣

∫ b

α0

fn(x)dx

∣∣∣∣∣.

4. Gracias a estos pasos intermedios, demuestre la identidad (3.55).

Ejercicio 3.17. El objetivo de este ejercicio es demostrar la formula

∫ +∞

0

sin(x)

xdx =

π

2.

1. Considere la funcion F (t) =∫ +∞

0 e−tx sin(x)x dx para t ≥ 0. Muestre que la

funcion F es derivable para todo t > 0.

2. Utilice el teorema de derivacion bajo el signo integral para mostrar que

F ′(t) = −Im

(∫ +∞

0

e−(t−i)xdx

)

= − 1

1 + t2.

3. Deduzca que F (t) = C − arctan(t) para t > 0.

4. Aplique el teorema de convergencia dominada para demostrar que lımt→+∞

F (t)

es igual a 0; deduzca que C = π2 .

5. Para terminar, muestre que F es continua para t = 0. Utilize para ello elejercicio anterior (verifique que la familia de funciones x 7−→ e−tx sin(x)/xes uniformemente semi-integrable). Concluya que F (0) = π

2 .

Capıtulo 4

Espacios de Lebesgue

Los espacios de Lebesgue Lp poseen multiples y diversas aplicaciones en las ma-tematicas y en muchas otras disciplinas. Estos espacios tienen la particularidadde medir el “tamano” de las funciones, lo que explica que sus propiedades seanextremadamente utiles en Analisis Matematico, en Ecuaciones en DerivadasParciales, en Probabilidades, etcetera. Por ejemplo, en el Analisis Funcional,los espacios de Lebesgue sirven de base para la construccion de muchas otrasfamilias de funciones cuyas caracterısticas estan relacionadas con las propieda-des que vamos a exponer en este capıtulo. Un segundo ejemplo esta dado en eltratamiento de senales: los espacios L2 caracterizan las senales de energıa finitay en fısica estos mismos espacios proporcionan un marco teorico muy adecuadoy comodo para el planteamiento de algunas ecuaciones de la mecanica cuantica.

Este capıtulo esta dedicado a la presentacion de los espacios funcionales deLebesgue Lp y al estudio de sus propiedades y caracterısticas mas elementales.Lo que haremos aquı sera “jugar” con la funcional ‖ · ‖Lp que determina estosespacios e insistiremos en las diferentes particularidades que se deducen de suestudio al ver como se modela la estructura interna de estos espacios de funcio-nes. Las otras propiedades de estos espacios como, por ejemplo, las propiedadesde dualidad y reflexividad, seran estudiadas en el segundo volumen despues deuna pequena y necesaria introduccion topologica.

Una vez que tenemos a nuestra disposicion la estructura de espacio medido,la nocion de funciones medibles y las propiedades de la integral de Lebesgue,estudiadas en los capıtulos anteriores, la caracterizacion de estos espacios defunciones no presentara mayor dificultad, y el lector observara que algunosde los resultados expuestos aquı son ligeras generalizaciones de proposicionesanteriores.

Para mayor comodidad de exposicion, y por motivos pedagogicos, analiza-remos estos espacios en funcion del parametro p que aparece en la definicionde la funcional ‖ · ‖Lp. Anticipandonos un poco, encontraremos dos casos gene-rales. Si p = +∞, estudiaremos las diferentes propiedades de estos espacios enla seccion 4.1; mientras que el caso 0 < p < +∞ sera tratado en la seccion 4.2.Este ultimo caso sera, a su vez, subdividido en dos, por razones de estructura

208 Espacios de Lebesgue

topologica: segun si 0 < p < 1 o si 1 ≤ p < +∞, podemos dotar a los espaciosde Lebesgue Lp de una estructura de espacio metrico completo o de espaciode Banach; en esta misma seccion, expondremos la importante desigualdad deHolder y algunas de sus aplicaciones mas utiles en lo que concierne en estecapıtulo.

Una vez terminada esta presentacion general, en la seccion 4.3, estudiaremoslos diversos modos de convergencia y algunas aplicaciones de la desigualdadde Jensen. En la seccion 4.4, introduciremos los espacios de Lebesgue localesmientras que la seccion 4.6 esta reservada a los espacios de Lebesgue discretos.Finalmente, las propiedades de densidad y de separabilidad de estos espaciossera tratada en la seccion 4.5.

En todo este capıtulo, consideraremos (X,A , µ) un espacio medido σ-finitoy funciones definidas sobre X a valores sobre K. Cuando este no sea el caso,detallaremos cuidadosamente el conjunto de definicion de la funcion f . En lassecciones 4.1 - 4.3, supondremos que la medida µ es no-atomica, reservando ala seccion 4.6 la medida de conteo definida sobre espacios discretos explicitadaen el capıtulo 2.

4.1 Espacio de funciones esencialmente acota-das

Vamos empezar el estudio de los espacios de Lebesgue con el caso particularp = +∞. Como su nombre lo indica, las funciones que pertenecen a este espacioson las que estan acotadas en un sentido un poco especial y el instrumentomatematico que nos permite verificar la acotacion de las funciones esta dadopor la nocion de supremo esencial cuya definicion detallaremos en el parrafo4.1.1.

Definiremos en el parrafo 4.1.2 los espacios de funciones esencialmente aco-tadas L∞ y estudiaremos sus principales caracterısticas estructurales. Veremos,en particular, que L∞ es un espacio semi-normado. En la ultima subseccion,obtendremos, a partir del espacio L∞, un espacio normado que notaremos L∞,al considerar las clases de equivalencia determinadas por la relacion Rµ estu-diada en el capıtulo anterior. Finalmente, estudiaremos, en el parrafo 4.1.3,la nocion de convergencia asociada a la norma de L∞, lo que,naturalmente,nos llevara a presentar la estructura de espacio de Banach de estos espaciosfuncionales.

4.1.1 Supremo Esencial

Como hemos dicho en la introduccion de este capıtulo, los espacios de Lebesguemiden el “tamano” de funciones, pero esta nocion es demasiado general y esnecesario precisarla. En el caso que nos interesa aquı, este concepto correspondecon la “altura” de las funciones. Cuando se trata de funciones continuas avalores reales definidas sobre un intervalo compacto, podemos definir su altura

4.1 Espacio de funciones esencialmente acotadas 209

como su valor maximo sin mayor ambiguedad1, pero cuando deseamos trabajarcon funciones mas generales es importante afinar esta nocion por medio de ladefinicion siguiente.

Definicion 4.1.1 (Infimo y supremo esencial de una funcion). Sean (X,A , µ)un espacio medido y f : X −→ R una funcion medible. El supremo esencial def esta definido por

sup essx∈X

f(x) = ınfc ∈ R : µ(x ∈ X : f(x) > c) = 0 (4.1)

El ınfimo esencial esta determinado de forma simetrica por la expresion

ınf essx∈X

f(x) = supc ∈ R : µ(x ∈ X : f(x) < c) = 0 (4.2)

Hagamos dos observaciones importantes. La primera es concerniente a ladependencia de estas definiciones con respecto a la medida µ, y el lector debe,por lo tanto, esperarse que, si se considera otra medida, el resultado de lasexpresiones que acabamos de definir se vera modificado. Por ejemplo, si consi-deramos X = R dotado de su σ-algebra boreliana y de la medida de Lebesguey definimos

f(x) =

2 si x 6= 1

3 si x = 1,

podemos notar que sup essx∈R

f(x) = 2, pues se tiene f(x) = 3 sobre el conjun-

to 1 que es de medida de Lebesgue nula. Por el contrario, si consideramosla masa de Dirac en el punto 1, δ1, tenemos que sup ess

x∈R

f(x) = 3. Dado que

en todo este capıtulo el espacio medido estara claramente definido, no hemosexplicitado esta dependencia con respecto a la medida en las formulas (4.1) y(4.2) para no sobrecargar las notaciones.

La segunda observacion se basa en la siguiente identidad

ınf essx∈X

f(x) = −sup essx∈X

(−f(x)),

lo que permite concentrar nuestra atencion en el supremo esencial que sera,como lo veremos un poco mas adelante, la nocion adecuada para considerar la“altura” de las funciones.

Exponemos a continuacion algunos puntos relativos a esta definicion.

Proposicion 4.1.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ R dosfunciones medibles.

1) Si f y g difieren solamente sobre un conjunto de µ-medida nula, en-tonces se tiene la identidad

sup essx∈X

f(x) = sup essx∈X

g(x).

1Vease el teorema 1.2.5 en la pagina 18.

2) Para µ-casi todo x ∈ X, se tiene f(x) ≤ sup essx∈X

f(x). Notese que esta

propiedad implica que se tiene en µ-casi todas partes las desigualdades

ınf essx∈X

f(x) ≤ f(x) ≤ sup essx∈X

f(x). (4.3)

3) Para todo c ∈ R tal que c c) > 0.

Demostracion. Para verificar el primer punto, tenemos por hipotesis la existen-cia de un conjunto N que es A -medible de µ-medida nula tal que, para todox ∈ N , se tiene f(x) 6= g(x) y tal que, para todo x ∈ N c, se tiene f(x) = g(x).Podemos, entonces, escribir

µ(x ∈ X : f(x) > c) = µ(x ∈ N : f(x) > c ∪ x ∈ N c : f(x) > c)= µ(x ∈ N c : f(x) > c)= µ(x ∈ N c : g(x) > c);

y a partir de esta identidad, se deduce sin dificultad el resultado deseado.Para el segundo punto, verificamos que el conjunto

A = x ∈ X : f(x) > sup ess fes µ-despreciable. En efecto, podemos escribir A =

⋃+∞n=1An, en donde los

conjuntosAn = x ∈ X : f(x) > sup ess f + 1/n

son de µ-medida nula por la definicion misma de supremo esencial y la sucesion(An)n≥1 es creciente; es decir, que se tiene A = lım

n→+∞An. Por el teorema 2.2.3

de continuidad de las medidas, obtenemos que el conjunto A es de µ-medidanula; es decir, para µ-casi todo x ∈ X , se tiene f(x) ≤ sup ess

x∈Xf(x), de donde

se obtiene la mayoracion buscada. Esto muestra, en particular, que el ınfimode la formula (4.1) es, en realidad, un mınimo.

Para el ultimo punto, razonemos por el absurdo: supongamos que se tienec c) = 0; pero esto contradice la

definicion misma de supremo esencial con lo que termina la demostracion.

Es esta nocion de acotacion, que hace intervenir la medida µ, la que nos ser-vira para definir los espacios de funciones esencialmente acotadas en el parrafoa continuacion.

4.1.2 Los espacios L∞

Cuando las funciones estan definidas sobre un espacio medido (X,A , µ) y to-man valores en R, hemos utilizado la nociones de ınfimo y de supremo esencialpara medir la informacion que nos interesa. Cuando las funciones toman valoresen K tenemos la definicion siguiente:

Definicion 4.1.2 (Cota esencial). Sean (X,A , µ) un espacio medido y f : X −→K una funcion medible. Definimos la cota esencial de f por medio de la formula

‖f‖L∞ = sup essx∈X

|f(x)| = ınfc ∈ R+ : µ(x ∈ X : |f(x)| > c) = 0. (4.4)

Las propiedades de la cota esencial son muy similares a las del supremoesencial, y el lector no tendra dificultad en transcribir a este objeto las con-clusiones de la proposicion 4.1.1 si reemplaza convenientemente f por |f |. Enparticular, como consecuencia de las desigualdades (4.3), se tiene para µ-casitodo x ∈ X la siguiente desigualdad

|f(x)| ≤ ‖f‖L∞, (4.5)

que sera utilizada sistematicamente. Notese, ademas, que si existe una constan-te C ∈ R+ tal que, para µ-casi todo x ∈ X , se tiene la mayoracion |f(x)| ≤ C,entonces se tiene ‖f‖L∞ ≤ C.

Indiquemos ahora dos propiedades adicionales de la cota esencial. La pri-mera nos indica que la cota esencial es una funcional creciente y la segunda,un resultado util que sera retomado un poco mas adelante.

Proposicion 4.1.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ K dosfunciones medibles.

1) Si |g(x)| ≤ |f(x)| en µ-casi todas partes, entonces ‖g‖L∞ ≤ ‖f‖L∞.

2) Si µ(X) < +∞, entonces∫

X|f(x)|dµ(x) ≤ CX‖f‖L∞, en donde CX

es una constante universal (es decir, no depende de f) que depende delconjunto X.

Demostracion. Para el primer punto, observamos que si, |g(x)| ≤ |f(x)| enµ-casi todas partes, entonces, por (4.5), se tiene |g(x)| ≤ |f(x)| ≤ ‖f‖L∞ enµ-casi todas partes, de donde se deduce que ‖g‖L∞ ≤ ‖f‖L∞.

Para el segundo punto, integramos las dos partes de la desigualdad (4.5)para obtener la mayoracion buscada

∫

X|f(x)|dµ(x) ≤ CX‖f‖L∞, en donde

CX = µ(X) < +∞.

La nocion de “altura” de una funcion que utilizaremos estara dada por lacota esencial y veremos en las lıneas que siguen todas las importantes propie-dades que se deducen de esta formula. En particular, podemos dar la definiciona continuacion.

Definicion 4.1.3 (Espacio L∞). Sea (X,A , µ) un espacio medido. Definimosel espacio de funciones esencialmente acotadas L∞(X,A , µ,K) como el con-junto de funciones medibles f : X −→ K tales que para algun c ∈ R, el conjuntox ∈ X : |f(x)| > c es de µ-medida nula. Dicho de otra manera, tenemos

L∞(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖L∞ < +∞. (4.6)

Cuando el contexto este claro, notaremos L∞(X,µ) o, simplemente, L∞(X),para designar este espacio.


Demos un par de ejemplos de funciones que pertenecen a L∞(X,A , µ,K).Si A es un conjunto A -medible, entonces se tiene que la funcion f(x) = 1A(x)es esencialmente acotada pues ‖f‖L∞ ≤ 1.

Sea ahora X = I un intervalo acotado de la recta real de la forma [a, b], ysea n un entero natural. Si fijamos g(x) = xn, se tiene que g es una funcionesencialmente acotada. Sin embargo, esto deja de ser cierto si consideramosX = R; en efecto, ‖g‖L∞ = sup

x∈R

|xn| = +∞. Este ejemplo nos muestra la de-

pendencia del espacio L∞(X) con respecto al conjunto X .

Presentemos ahora una propiedad estructural de estos espacios de funciones.

Proposicion 4.1.3. El espacio L∞(X,A , µ,K) de funciones esencialmen-te acotadas es un subespacio vectorial del conjunto de las funciones mediblesM(X,A ,K).

Demostracion. Dado que el hecho de pertenecer al espacio L∞(X,A , µ,K)esta caracterizado por la finitud de la funcional ‖ · ‖L∞ , es suficiente verificarlos dos puntos siguientes:

1) Para todo escalar λ ∈ K y toda funcion f ∈ L∞(X,A , µ,K), se tieneλf ∈ L∞(X,A , µ,K). En efecto, por definicion, tenemos la identidades

‖λf‖L∞ = sup essx∈X

|λf(x)| = |λ|sup essx∈X

|f(x)| = |λ|‖f‖L∞. (4.7)

2) Si las funciones f y g pertenecen al espacio L∞(X,A , µ,K), entonces lafuncion suma f +g tambien pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K). Puestoque se tiene |f | ≤ ‖f‖L∞ y |g| ≤ ‖g‖L∞ µ-c.t.p., podemos utilizar ladesigualdad triangular, ya sea en los reales si K = R o en los complejossi K = C, para obtener las desigualdades

|(f + g)(x)| ≤ |f(x)|+ |g(x)| ≤ ‖f‖L∞ + ‖g‖L∞,

que son validas para µ-casi todo x ∈ X , lo que nos permite escribir

‖f + g‖L∞ = sup essx∈X

|(f + g)(x)| ≤ ‖f‖L∞ + ‖g‖L∞. (4.8)

El lector observara que, con las demostraciones de las expresiones (4.7)y (4.8), hemos verificado las condiciones (SN.1) y (SN.2) de la definicion desemi-norma2 y tenemos, por lo tanto, el corolario siguiente.

Corolario 4.1.1. El espacio (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) es un espacio vectorialsemi-normado.

La pregunta que surge naturalmente concierne a la posible normabilidad delespacio L∞(X): ¿es el espacio (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) un espacio normado?

2Vease la definicion 1.3.3 en la pagina 22.

La respuesta es negativa pues, si bien se tiene la implicacion f(x) ≡ 0 =⇒‖f‖L∞ = 0, la recıproca no es verdadera: por ejemplo, para todo conjuntoA ∈ A de µ-medida nula, se tiene que f(x) = 1A(x) 6= 0 pero ‖f‖L∞ = 0; esdecir, no se tiene la propiedad de separacion que se exige de una norma. ¿Comohacer de la funcional ‖ · ‖L∞ una norma? Daremos una respuesta satisfactoriaa esta pregunta en las siguientes lıneas.

4.1.3 Los espacios L∞, normabilidad y convergencia

Como habıamos visto en el primer capıtulo, la estructura de espacio semi-normado es relativamente debil y causa ciertas dificultades, en especial, por elhecho de no poseer un criterio de separabilidad de las funciones que entran enconsideracion.

Para remediar este inconveniente, vamos a sacar provecho de la relacionde equivalencia Rµ, determinada por f = g µ-c.t.p., que hemos estudiado enel capıtulo anterior. En la lıneas que siguen, y para la mayor comodidad dellector, nos permitimos resumir rapidamente las propiedades de esta relacion.

Sean pues, (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ K dos funciones A -medibles. Notamos con [f ] a un representante de la clase de equivalencia de f ,definida como g : X −→ K tal que fRµg. Tenemos que la identidad de lasfunciones en µ-c.t.p. verifica los siguientes puntos:

• Si f = g µ-c.t.p., entonces αf = αg µ-c.t.p. para todo α ∈ K.

• Si f = g µ-c.t.p. y ψ = ϕ µ-c.t.p., entonces f + ψ = g + ϕ µ-c.t.p..

• Para todo α, β ∈ K, se tiene [αf + βg] = α[f ] + β[g].

Estas propiedades nos permiten, por ejemplo, en el caso deX = R dotado desu estructura habitual, identificar la funcion 1Q con la funcion nula, y asociarlasde una vez por todas al representante [0].

Procediendo sistematicamente de esta manera, vemos que es posible levan-tar la ambiguedad que habıamos observado en el parrafo anterior, y el precioa pagar no es muy elevado: basta pensar “en µ-casi todas partes” y tomaren cuenta los representantes de las clases de equivalencia. Estas precisionesnos llevan a una segunda definicion para caracterizar el espacio de funcionesesencialmente acotadas.

Definicion 4.1.4 (Espacio L∞). Sea (X,A , µ) un espacio medido. Definimosel espacio L∞(X,A , µ,K), notado tambien L∞(X,µ) o, simplemente, L∞(X),cuando no existen confusiones posibles, como el conjunto de clases de funcionesmedibles [f ] definidas sobre X y que toman valores en K tales que ‖[f ]‖L∞ <+∞. Es decir

L∞(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖L∞ < +∞, µ− c.t.p. . (4.9)

Otra forma equivalente de ver esta definicion es

L∞(X,A , µ,K) = L∞(X,A , µ,K)/Rµ.


La principal consecuencia de trabajar µ-c.t.p. es la capacidad de capturarla informacion mas importante de las funciones (en este caso, la cota esencial)levantando el problema de la separabilidad de la funcional ‖ · ‖L∞ . En estesentido, tenemos el resultado.

Proposicion 4.1.4. El espacio de clases de funciones (L∞(X,A , µ,K), ‖·‖L∞)es un espacio vectorial normado.

Demostracion. La verificacion no presenta mayor dificultad pues, razonandoen µ-casi todas partes, es posible reutilizar los argumentos dados en la de-mostracion de la proposicion 4.1.3 para obtener que todo representante [f ] ∈L∞(X,A , µ,K) verifica ‖λ[f ]‖L∞ = |λ|‖[f ]‖L∞ para todo λ ∈ K, y que, paratodo par de representantes [f ], [g] pertenecientes al espacio L∞(X,A , µ,K), setiene la desigualdad triangular ‖[f ] + [g]‖L∞ ≤ ‖[f ]‖L∞ + ‖[g]‖L∞.

Lo unico que queda por demostrar es que la funcional ‖·‖L∞ es efectivamenteuna norma; es decir, debemos verificar que se tiene la equivalencia ‖[f ]‖L∞ =0 ⇐⇒ [f ] = [0]. La implicacion f = 0 µ-c.t.p. =⇒ ‖f‖L∞ = 0 es evidente;la recıproca se obtiene sin problema, pues ‖f‖L∞ = 0 implica f = 0 µ-c.t.p.Asimilamos, entonces, esta funcion a la clase de la funcion nula [0], lo que nospermite terminar completamente la demostracion.

Observacion 4.1. La notacion [·] utilizada para designar los representantesde las clases de equivalencias puede resultar fastidiosa, por lo que, de ahora enadelante, haciendo un abuso de lenguaje, hablaremos de funciones pertenecien-tes al espacio L∞(X), en vez de referirnos a las clases de funciones propiamentedichas, y notaremos simplemente f en vez de [f ].

Dado que el espacio de Lebesgue (L∞(X,A , µ,K), ‖ · ‖L∞) es un espacionormado, disponemos de todas las propiedades explicitadas en el capıtulo 1 queconciernen este tipo de espacios; ası, para todo f, g ∈ L∞(X,A , µ,K), tenemoscon la formula

d(f, g) = ‖f − g‖L∞

la distancia inducida por la norma ‖·‖L∞ y diremos, entonces, que una sucesionde funciones esencialmente acotadas (fn)n∈N definidas sobre el espacio medido(X,A , µ) y que toma valores en K converge hacia una funcion f en el sentidode L∞(X,A , µ,K) si

lımn→+∞

‖f − fn‖L∞ = 0.

Por ejemplo, sobre (X,A , µ) un espacio medido, la sucesion de funciones quetoman valores reales fn(x) = (1− 1/n)1A(x), determinada para todo n ≥ 1, ypara un conjunto A -medible A tal que µ(A) > 0, converge hacia f(x) = 1A(x)en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ , pues se tiene

‖1A − (1− 1/n)1A‖L∞ = 1/n‖1A‖L∞ = 1/n −→n→+∞

0.

Enunciamos ahora el resultado mas importante de esta secion en el que seproporciona una estructura muy util a estos espacios de funciones.

Teorema 4.1.1. El espacio (L∞(X,A , µ,K), ‖·‖L∞) es un espacio de Banach.

Demostracion. Debemos verificar que toda sucesion de Cauchy que perteneceal espacio funcional L∞(X,A , µ,K) es convergente en el sentido de la norma‖ · ‖L∞ . Sea, pues, (fn)n∈N una sucesion de Cauchy arbitraria formada porfunciones esencialmente acotadas. Se tiene, entonces, que

(∀k ≥ 1)(∃Nk ∈ N)(∀n,m > Nk)[‖fn − fm‖L∞ ≤ 1/k].

Existe, por lo tanto, un conjunto Ak de medida nula tal que

|fn(x)− fm(x)| ≤ 1/k para todo x ∈ X \Ak. (4.10)

Si definimos el conjunto A =⋃+∞

k=1 Ak, vemos, sin mayor problema, que A esde µ-medida nula. Entonces, para todo x ∈ X \ A, tenemos que la sucesionpuntual (fn(x))n∈N es de Cauchy en K y, por lo tanto, converge hacia un valorque notaremos f(x), puesto que el espacio K es completo, y obtenemos, de estaforma, una funcion definida sobre X \A.

Hacemos ahora tender m −→ +∞ en (4.10) para obtener la desigualdad

|fn(x) − f(x)| ≤ 1/k para todo x ∈ X \A,

lo que nos permite afirmar que la funcion f es acotada sobre el conjunto X \A.Para terminar, fijamos f(x) = 0 sobre A de manera que f esta definida sobretodo X . Por lo tanto, esta funcion pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K) y setiene ‖fn− f‖L∞ −→

n→+∞0. Hemos demostrado que toda sucesion de Cauchy de

L∞(X,A , µ,K) converge en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ hacia una funcionesencialmente acotada: podemos concluir que el espacio L∞(X,A , µ,K) es unespacio normado completo con lo que termina la demostracion.

Cuando se trabaja con espacios funcionales, a veces es util disponer de lasiguiente propiedad, conocida como la propiedad de Fatou.

Proposicion 4.1.5 (Propiedad de Fatou). Sean (X,A , µ,K) un espacio medi-do, (fn)n∈N una sucesion de funciones pertenecientes al espacio L∞(X,A , µ,K)que converge µ-casi todas partes hacia una funcion f y tal que

supn∈N

‖fn‖L∞ < +∞.

Entonces f ∈ L∞(X,A , µ,K) y, ademas, se tiene la mayoracion

‖f‖L∞ ≤ lım ınfn→+∞

‖fn‖L∞ . (4.11)

Demostracion. El hecho de que la funcion f sea esencialmente acotada se de-duce directamente de la hipotesis sup

n∈N

‖fn‖L∞ < +∞. En efecto, definimos

|gn(x)| = ınfk≥n

|fk(x)|, una sucesion creciente que tiende hacia f ; dado que se

tiene |gn(x)| ≤ supn∈N

‖fn‖L∞ < +∞ en µ-c.t.p., obtenemos una sucesion creciente

acotada, de donde se deduce que ‖f‖L∞ < +∞. Para verificar la desigualdad(4.11) observamos que se tiene gn(x) ≤ fn(x) y lım ınf

n→+∞fn(x) = lım

n→+∞gn(x), y

podemos entonces escribir

‖f‖L∞ = lımn→+∞

‖gn‖L∞ ≤ lım ınfn→+∞

‖fn‖L∞ .

Nuestra exposicion de la convergencia en los espacios de funciones esencial-mente acotadas L∞ se limita, en esta seccion, al teorema 4.1.1 y a la proposicion4.1.5 que acabamos de demostrar. Las relaciones con los otros tipos de conver-gencia estudiados en el capıtulo anterior seran expuestas en la subseccion 4.3.1.

En lo que queda de esta seccion, vamos a presentar tres propiedades intere-santes de los espacios de Lebesgue L∞. La primera de estas propiedades nosindica que los espacios L∞ poseen una estructura de algebra compatible conla estructura de espacio de Banach y las dos propiedades restantes muestran,en el caso X = Rn, las relaciones existentes entre las funciones esencialmen-te acotadas y la traslacion y dilatacion de funciones definidas en el capıtuloanterior.

Definicion 4.1.5 (Algebra de Banach). Sea (E, ‖·‖E) un K-espacio de Banachal cual dotamos de una multiplicacion ∗ : E × E −→ E que verifica, para todox, y, z ∈ E, las propiedades

1) Asociatividad: x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z2) Distributividad: x∗ (y+ z) = x∗ y+x∗ z y (y+ z)∗x = y ∗x+ z ∗x3) (λx) ∗ y = x ∗ (λy) = λ(x ∗ y) para todo escalar λ ∈ K.

Diremos que la tripla (E, ‖ · ‖E, ∗) es una algebra de Banach si la siguientedesigualdad, que expresa la compatibilidad de la multiplicacion con la norma,es verificada para todo x, y ∈ E:

‖x ∗ y‖E ≤ ‖x‖E‖y‖E (4.12)

Si la multiplicacion ∗ admite un elemento unidad e ∈ E tal que ‖e‖E = 1,diremos que el algebra de Banach (E, ‖·‖E, ∗) es unitaria, en el caso contrario,diremos que el algebra de Banach es no unitaria.

Los ejemplos mas simples de algebras de Banach estan dados por el conjuntode los numeros reales, dotado del valor absoluto como norma, y por el conjuntode numeros complejos dotado del modulo. En el caso de (L∞(X,A , µ,K), ‖ ·‖L∞), tambien tenemos una estructura de algebra de Banach con el productousual de funciones como nos lo indica el resultado a continuacion.

Proposicion 4.1.6. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ K dosfunciones medibles pertenecientes al espacio L∞(X,A , µ,K). Entonces el pro-ducto fg esta en el espacio L∞(X,A , µ,K) y se tiene

‖fg‖L∞ ≤ ‖f‖L∞‖g‖L∞.

El espacio de Lebesgue L∞(X,A , µ,K) dotado de la norma ‖ · ‖L∞ y del pro-ducto usual de funciones es, entonces, una algebra de Banach.

4.2 Espacios de funciones de potencia p-eme integrables 217

Demostracion. No es difıcil ver que el producto de funciones verifica las propie-dades 1), 2) y 3). Puesto que |f(x)| ≤ ‖f‖L∞ y |g(x)| ≤ ‖g‖L∞ µ-c.t.p. y queestas cantidades son finitas, tenemos |fg(x)| ≤ ‖f‖L∞‖g‖L∞ µ-c.t.p., de dondese deduce el resultado desado.

En el caso del espacio L∞(X,A , µ,K) con la multiplicacion usual de funcio-nes, disponemos trivialmente de un elemento unidad dado por la funcion e = 1µ-c.t.p.; tendremos la oportunidad de ver en el volumen 2 que este no siemprees el caso para todas las algebras de Banach.

Finalmente, en el caso cuando X = Rn, vamos a estudiar con la proposicionque sigue el comportamiento de la funcional ‖ ·‖L∞ con respecto a la traslacionτa(f) = f(a+ x) y a la dilatacion δα[f ] = f(αx) de funciones3.

Proposicion 4.1.7. Tenemos para toda fucion L∞(Rn,Bor(Rn), λn,K) y todoa ∈ Rn, α > 0, las identidades

‖τa(f)‖L∞ = ‖f‖L∞ y ‖δα[f ]‖L∞ = ‖f‖L∞.

Demostracion. La verificacion no es muy difıcil, pues es suficiente, en cadacaso, escribir directamente la definicion de la funcional ‖ · ‖L∞ :

‖τa(f)‖L∞ = sup essx∈Rn

|f(a+ x)| = ‖f‖L∞

y‖δα[f ]‖L∞ = sup ess

x∈Rn

|f(αx)| = ‖f‖L∞.

Terminamos con este resultado nuestra presentacion de las propiedades maselementales de los espacios de funciones esencialmente acotadas. Veremos enlas secciones 4.2.3, 4.3.1 y 4.5.3 mas caracterısticas de estos espacios, rela-cionandolos cuando sea necesario a los espacios de funciones de potencia p-emeintegrables que tratamos en la seccion a continuacion.

4.2 Espacios de funciones de potencia p-eme in-tegrables

Continuamos el estudio de los espacios de Lebesgue considerando el caso cuandoel ındice p, que caracteriza estos espacios, se encuentra en el intervalo ]0,+∞[.En la subseccion 4.2.1, daremos las definiciones de estos espacios de funcionesası como algunos ejemplos elementales; tambien veremos que los espacios deLebesgue son espacios vectoriales y que poseen una estructura de espacio semi-normado si 1 ≤ p < +∞. Esta particularidad nos incita a tratar de formaseparada los casos cuando 1 ≤ p < +∞ y cuando 0 < p < 1, lo que se haren las subsecciones 4.2.2 y 4.2.4, respectivamente. Finalmente, en la subseccion4.2.3, presentaremos las desigualdades de Holder y sus numerosas aplicacionesen el estudio de los espacios de Lebesgue.

3Estas nociones fueron presentadas en el capıtulo 3, en la pagina 157.

4.2.1 Los espacios Lp: definiciones, ejemplos y primeraspropiedades

Nos interesamos ahora en estudiar el tamano de las funciones integrables y,para ello, utilizaremos un parametro real p, tal que 0 < p < +∞, que nosservira para sintonizar la escala a la cual deseamos medir esta informacion.De la misma forma que en la seccion anterior cuando trabajamos con la cotaesencial de una funcion, la definicion de los espacios de Lebesgue Lp y Lp sebasara en una funcional, notada con ‖ · ‖Lp , que la utilizaremos para medirel tamano de las funciones y que determinara las principales propiedades deestos espacios. La definicion de esta funcional esta dada de la siguiente forma:para (X,A , µ) un espacio medido y para f : X −→ K una funcion medibleescribimos

‖f‖Lp =

(∫

X

|f(x)|pdµ(x))1/p

con 0 < p < +∞. (4.13)

¿En que sentido la formula (4.13) representa el “tamano” de una funcion?Para visualizarlo, podemos suponer que p = 1 y que la funcion f toma valorespositivos; tenemos, entonces, que la cantidad ‖f‖L1 representa el area bajo lagrfica de la funcion y es en este sentido que hablaremos del tamano de unafuncion.

Indiquemos dos propiedades importantes verificadas por esta funcional.

Proposicion 4.2.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f, g : X −→ K dosfunciones medibles.

1) Si |g(x)| ≤ |f(x)| en µ-casi todas partes, entonces ‖g‖Lp ≤ ‖f‖Lp.

2) Si µ(X) < +∞, entonces ‖1X‖Lp < +∞.

Demostracion. El primer punto se deduce del hecho de que la funcion t 7−→ tp

es creciente para todo 0 < p < +∞ y de las propiedades de crecimiento de laintegral; el segundo punto es inmediato una vez que se observa que ‖1X‖Lp =µ(X)1/p.

La formula (4.13) nos conduce inmediatamente a la definicion siguiente.

Definicion 4.2.1 (Espacio Lp). Sean (X,A , µ) un espacio medido y 0 < p <+∞ un parametro real. El espacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) esta definidocomo el conjunto de funciones medibles f : X −→ K cuyo modulo a la potenciap-esima es integrable; es decir:

Lp(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖Lp < +∞. (4.14)

Cuando no haya confusion posible, notaremos estos espacios con Lp(X,µ) oLp(X).

Observacion 4.2. El lector notara que en el caso cuando p = 1, el espacioL1(X,A , µ,K) no es mas que el espacio de funciones de modulo integrablepresentado en la definicion 3.3.2.

Demos algunos ejemplos de funciones que pertenecen a este espacio. Conside-remos la funcion definida sobre un espacio medido (X,A , µ) que toma valoresen K determinada por f(x) =

∑nk=0 αk1Ak

(x), en donde αk ∈ K y los conjun-tos medibles Ak ⊂ X son disjuntos dos a dos y de medida finita. De inmediatoobtenemos, para todo 0 < p < +∞:

‖f‖Lp =

(n∑

k=0

|αk|pµ(Ak)

)1/p

< +∞,

lo que muestra que esta funcion pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) para todo0 < p < +∞.

Presentamos ahora un tipo de funciones que es de uso corriente cuando seestudia los espacios de Lebesgue. Por comodidad, consideramos la recta realdotada de su estructura boreliana. Sean pues α, β > 0 dos parametros reales,y consideremos la siguiente funcion definida sobre R \ 0 a valores reales:

f(x) =

1|x|α si |x| ≥ 1,

1|x|β si 0 < |x| < 1.

(4.15)

Observamos facilmente que si α > 1/p y β < 1/p, entonces f pertenece alespacio de Lebesgue Lp(R, dx) con 0 < p < +∞, y se tiene

‖f‖Lp = [2p(α− β)/(αp − 1)(1− βp)]1/p

.

En efecto,

‖f‖pLp =

∫

|x|<1

|x|−βpdx+

∫

|x|≥1

|x|−αpdx

= 2/(1− βp) + 2/(αp− 1) = [2p(α− β)/(αp− 1)(1− βp)] .

Podemos ver directamente, gracias a este ejemplo, que si α y β tomanotros valores, la funcion f que hemos definido no pertenecera mas al espaciode Lebesgue Lp(R, dx). Ası, escogiendo convenientemente los ındices α y β, sepuede tener que f ∈ Lp(R, dx), pero f /∈ Lq(R, dx) para cualquier valor de p, qen ]0,+∞[. Por ejemplo, si p = 3 y q = 2, basta fijar β < 1/3 y α = 4/9 paraque f ∈ L3(R, dx) pero f /∈ L2(R, dx). Efectivamente, ‖f‖L3 < +∞; pero dadoque α < 1/2, f no pertenece al espacio L2(R, dx), pues se tiene ‖f‖L2 = +∞.

Con este ejemplo concreto, podemos ver que no existe, por lo general, nin-guna relacion de inclusion entre los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K), yuna pequena modificacion de este razonamiento muestra que tampoco existeninguna relacion de inclusion entre Lp(X,A , µ,K) y L∞(X,A , µ,K) (vease elejercicio 4.2).

Observacion 4.3. Este hecho, que representa una primera propiedad, es im-portante y cabe tenerlo siempre en mente. Sin embargo, y como veremos unpoco mas adelante, hay casos especiales que seran presentados a su debidotiempo en donde se pueden deducir algunas relaciones entre estos espacios.

Continuemos con nuestra exposicion. De forma totalmente similar a la pro-posicion 4.1.3, tenemos el resultado siguiente.

Proposicion 4.2.2. Los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K), con 0 < p <+∞, son subespacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(X,A ,K).

Para la demostracion de esta proposicion, utilizaremos un lema que sera deutilidad en lo que sigue.

Lema 4.2.1. Sean a, b dos reales positivos. Tenemos las dos desigualdades:

1) Si 0 < p < 1, entonces (a+ b)p ≤ ap + bp.

2) Si 1 ≤ p < +∞ entonces (a+ b)p ≤ 2p−1(ap + bp).

Demostracion. Para demostrar la primera desigualdad, observamos que los ro-les de a y b son simetricos, de manera que es posible fijar a y hacer variar b alconsiderar la funcion ϕa(t) = tp + ap− (a+ t)p definida sobre [0,+∞[. Nuestroobjetivo es, entonces, verificar que esta funcion es positiva para todo a, t ≥ 0.Para ello, empezamos notando que ϕa(0) = 0 para todo a ≥ 0 y observandoque ϕ′

a(t) = p(tp−1 − (a+ t)p−1

). Dado que 0 < p < 1, no es difıcil ver que la

derivada que ϕa es positiva, lo que significa que ϕa una funcion creciente y, porlo tanto, positiva sobre [0,+∞[, por la condicion ϕa(0) = 0. Tenemos, entoncesque (a+ b)p ≤ ap + bp para a, b dos reales positivos.

Para la segunda desigualdad, si p = 1, no hay nada que demostrar; ası quepodemos suponer, sin perdida de generalidad, que p > 1. Consideremos aho-ra ϕ : [0,+∞[−→ R por ϕ(t) = tp. Esta funcion es convexa sobre el intervalo[0,+∞[, de manera que, para todo τ ∈ [0, 1], tenemos la desigualdad de conve-xidad valida para todo a, b ∈ [0,+∞[:

ϕ(τa+ (1− τ)b) ≤ τϕ(a) + (1− τ)ϕ(b). (4.16)

Si fijamos τ = 1/2, obtenemos, en particular, la desigualdad

(a+ b)p

2p≤ 1

2(ap + bp)

que es la que se buscaba.

demostracion de la proposicion 4.2.2. Para demostrar que los espacios Lp(X,A , µ,K)son subespacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(X,A , µ,K),debemos verificar dos condiciones. La primera concierne a la multiplicacion porun escalar: para todo λ ∈ K y toda funcion f ∈ Lp(X,A , µ,K), se debe cumplirλf ∈ Lp(X,A , µ,K). La verificacion es directa, pues la pertenencia al espacioLp(X,A , µ,K) esta dada por la finitud de la funcional ‖ · ‖Lp . En efecto, por

la formula (4.13), tenemos, para todo parametro 0 < p < +∞ y todo λ, lasidentidades siguientes:

‖λf‖Lp =

(∫

X

|λf(x)|pdµ(x))1/p

=

(∫

X

|λ|p|f(x)|pdµ(x))1/p

= |λ| ‖f‖Lp .

(4.17)

La segunda condicion que debemos verificar toma en cuenta la suma dedos elementos de este espacio: si las funciones f y g pertenecen al espacioLp(X,A , µ,K), entonces la funcion suma f + g tambien debe hacerlo. Para lacomprobacion de este hecho, utilizamos primero la desigualdad triangular de| · | y luego el crecimiento de la funcion t 7−→ tp (valida para todo 0 < p < +∞)para obtener la siguiente desigualdad puntual:

|(f + g)(x)|p ≤ (|f(x)|+ |g(x)|)p.

Aplicamos, ahora, las desigualdades 1) y 2) del lema anterior a la parte derechade esta desigualdad y obtenemos, en funcion del valor de p, las mayoraciones

|(f + g)(x)|p ≤ |f(x)|p + |g(x)|p si 0 < p < 1,

|(f + g)(x)|p ≤ 2p−1(|f(x)|p + |g(x)|p) si 1 ≤ p < +∞.

Integramos ahora estas expresiones con respecto a la medida µ y, utilizandolas propiedades de la integral, obtenemos, en ambos casos, que la cantidad‖f + g‖pLp es acotada, puesto que las cantidades ‖f‖Lp y ‖g‖Lp son finitas. Esdecir:

‖f + g‖pLp ≤ ‖f‖pLp + ‖g‖pLp si 0 < p < 1, (4.18)

‖f + g‖pLp ≤ 2p−1(‖f‖pLp + ‖g‖pLp) si 1 ≤ p < +∞.

Aplicamos, una vez mas, el lema 4.2.1 a la parte derecha de estas mayora-ciones para obtener

‖f + g‖Lp ≤ 21/p−1(‖f‖Lp + ‖g‖Lp) si 0 < p < 1, (4.19)

‖f + g‖Lp ≤ 21−1/p(‖f‖Lp + ‖g‖Lp) si 1 ≤ p < +∞, (4.20)

lo que significa que la funcion suma f + g pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K)para todo 0 < p < +∞, con lo que termina la demostracion.

El resultado anterior nos proporciona las desigualdades (4.19) y (4.20) queson mas debiles que la desigualdad triangular, pues, en ambos casos, la constan-te multiplicativa es mayor que uno. Entonces, surge entonces de forma naturalla pregunta:

¿Bajo que condiciones la funcional ‖ · ‖Lp verifica la desigualdad triangular?

Las consecuencias de la respuesta son cruciales, pues estaremos en capacidadde dotar a los espacios de Lebesgue de una estructura de espacio de Banach quenos permite disponer de varias propiedades de gran importancia. Indiquemosdesde ya que la funcional ‖ · ‖Lp satisface la desigualdad triangular unicamentesi el ındice p verifica 1 ≤ p < +∞ y, en este caso, hablamos de desigualdad deMinkowski para designar esta desigualdad en los espacios de Lebesgue. Estehecho esta detallado en la proposicion 4.2.3 mas adelante.

¿Que sucede si 0 < p < 1? En este caso, la funcional ‖ · ‖Lp no satisfacela desigualdad triangular y no se puede dotar a los espacios de Lebesgue deuna estructura de espacio normado. Explicaremos estos hechos en la seccion4.2.4 en donde estudiaremos la estructura disponible sobre estos espacios defunciones.

Es esta gran diferencia de estructura de los espacios de Lebesgue, en funciondel valor del parametro p, la que justifica la presentacion de estos espacios segunp, tal como habıamos anunciado en la introduccion de este capıtulo.

Pasemos, sin tardar mas, a la verificacion de la desigualdad triangular parala funcional ‖ · ‖Lp en el siguiente resultado.

Proposicion 4.2.3 (Desigualdad de Minkowski4). Sean 1 ≤ p < +∞ un ındicereal y f, g : X −→ K dos funciones pertenecientes al espacio Lp(X,A , µ,K).Tenemos la desigualdad

‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp. (4.21)

Demostracion. Observemos, para empezar, que si f o g son nulas en µ-casitodas partes, no hay nada que demostrar, de manera que podemos suponer,sin perdida de generalidad, que f 6= 0 y g 6= 0 en µ-casi todas partes. Laverificacion de esta desigualdad se obtiene modificando ligeramente la demos-tracion de la proposicion 4.2.2: definimos las cantidades A(x) = f(x)/‖f‖Lp

y B(x) = g(x)/‖g‖Lp, de modo que ‖A‖Lp = 1 y ‖B‖Lp = 1. Notandoτ = ‖f‖Lp/(‖f‖Lp + ‖g‖Lp), se tiene que τ ∈]0, 1[, y podemos escribir

|(f + g)(x)|p = (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p |τA(x) + (1− τ)B(x)|p .

Utilizando la desigualdad triangular del modulo |·| y la convexidad de la funciontp, es decir, aplicando la mayoracion (4.16) valida cuando 1 ≤ p < +∞, tenemos

|(f + g)(x)|p ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p(τ |A(x)|p + (1− τ)|B(x)|p) .

Integramos ahora esta expresion y obtenemos

∫

X

|(f + g)(x)|pdµ(x) ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)p,

lo que nos permite deducir el resultado deseado al extraer la raız p-esima.

4Hermann Minkowski (1864-1909), matematico y fısico aleman.

Corolario 4.2.1. Sea (fn)n∈N una sucesion de funciones definidas sobre Xque toman valores en K pertenecientes a Lp(X,A , µ,K) y con 1 ≤ p < +∞.Tenemos, entonces, la desigualdad

∥∥∥∥∥

∑

n∈N

fn

∥∥∥∥∥Lp

≤∑

n∈N

‖fn‖Lp

Demostracion. Por recurrencia sobre la desigualdad de Minkowski, tenemos∥∥∥∑k

n=0 fn

∥∥∥Lp

≤∑kn=0 ‖fn‖Lp . Aplicamos el teorema de Beppo Levi 3.3.1 y el

corolario 3.3.1 para obtener∥∥∥∑+∞

n=0 fn

∥∥∥Lp

≤ lımk→+∞

∑kn=0 ‖fn‖Lp , con lo que

termina la demostracion.

De la misma forma que los espacios L∞(X,A , µ,K), los espacios de Le-besgue Lp(X,A , µ,K), con 1 ≤ p < +∞ (y, en general si 0 < p < +∞), nodistinguen dos funciones que difieren sobre un conjunto de µ-medida nula, co-mo se puede ver por la definicion misma de la funcional ‖ · ‖Lp que sirve paracaracterizar estos espacios. No son, por lo tanto, espacios normados y, por elmomento, tenemos el resultado siguiente.

Corolario 4.2.2. Los espacios (Lp(X,A , µ,K), ‖ · ‖Lp) con 1 ≤ p < +∞ sonespacios vectoriales semi-normados.

Demostracion. Debemos simplemente verificar que la funcional ‖ · ‖Lp satis-face las condiciones (SN.1) y (SN.2) de la definicion de semi-norma, lo cualse deduce inmediatamente de las formulas (4.17) y (4.21) que acabamos dedemostrar.

Sin embargo, cuando 1 ≤ p < +∞, es posible adaptar la definicion deestos espacios funcionales de manera que es posible obtener espacios normadoscomo lo indicaremos en la seccion que sigue. Pero antes, presentamos, paraterminar esta seccion, las relaciones existentes entre las funciones pertenecientesal espacio de Lebesgue Lp(Rn,Bor(Rn), λn,K) y la traslacion y dilatacion defunciones.

Proposicion 4.2.4. Para toda f ∈ Lp(Rn,Bor(Rn), λn,K) con 0 0, tenemos

‖τa(f)‖Lp = ‖f‖Lp y ‖δα[f ]‖Lp = α−n/p‖f‖Lp.

Demostracion. La verificacion es inmediata una vez que se dispone de las pro-posiciones 3.2.21 y 3.2.22 del capıtulo anterior. Para mayor comodidad dellector, verificamos la segunda identidad; la primera queda como ejercicio.

‖δα[f ]‖pLp =

∫

Rn

|f(αx)|pdx = α−n

∫

Rn

|f(x)|pdx = α−n‖f‖pLp.

4.2.2 Los espacios Lp: normabilidad, convergencia y com-pletitud

El objetivo de este parrafo es describir la estructura de espacio de Banachque poseen los espacios de Lebesgue Lp cuando 1 ≤ p < +∞. En efecto, sideseamos obtener espacios topologicos separados es necesario poder distinguirconvenientemente las funciones. Para ello, utilizaremos el mismo argumentoanterior razonando por medio de la relacion de equivalencia Rµ, de las clasesde equivalencia y de sus representantes [f ].

Definimos, entonces, los espacios de Lebesgue Lp de la siguiente forma.

Definicion 4.2.2 (Espacio Lp). Sea 0 < p < +∞ un ındice real. El espaciode Lebesgue Lp(X,A , µ,K), notado Lp(X,µ) o Lp(X) si no hay ambiguedadposible, esta definido como el conjunto de clases de funciones medibles [f ] cuyomodulo a la potencia p-esima es integrable. De manera mas precisa, caracteri-zamos este espacio como:

Lp(X,A , µ,K) = f : X −→ K : ‖f‖Lp < +∞, µ− c.t.p. . (4.22)

Es decir:

Lp(X,A , µ,K) = Lp(X,A , µ,K)/Rµ.

El primer resultado que exponemos refleja la estructura vectorial de estosespacios de funciones.

Proposicion 4.2.5. Para todo 0 < p < +∞, los espacios Lp(X,A , µ,K) sonsubespacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(X,A ,K).

Demostracion. La verificacion sigue basicamente las mismas lıneas detalladasen la demostracion de la proposicion 4.2.2, pues todos los argumentos expuestosse mantienen si se razona en µ-casi todas partes y se utiliza los representantesde las clases de funciones.

Los ejemplos de funciones presentados en la pagina 219 siguen siendo validospara los espacios Lp(X,A , µ,K) a condicion de considerarlos como represen-tantes de las clases de funciones correspondientes. Esto muestra que tampocoexisten, por lo general, relaciones de inclusion entre los espacios de LebesgueLp(X,A , µ,K) con 0 < p < +∞.

Observacion 4.4. El lector tendra en mente que todas las propiedades quesiguen son validas en µ-casi todas partes y, por comodidad, haciendo un abu-so de lenguaje, hablaremos de funciones en vez de clases de funciones y susrepresentantes.

Si el ındice que caracteriza estos espacios es negativo, tambien es posibledefinir los espacios de Lebesgue, pero este caso es de poca utilidad. Sea, pues,(X,A , µ,K) un espacio medido y p > 0 un parametro real, definimos entoncesel espacio de Lebesgue de orden negativo L−p(X,A , µ,K) como el conjunto de

clases funciones medibles definidas sobre X que toman valores en K y tales quela cantidad

‖f‖L−p =∥∥|f |−1

∥∥−1

Lp (4.23)

sea finita. Observemos para todo λ ∈ K, que se tiene la identidad ‖λf‖L−p =|λ| ‖f‖L−p ; la verificacion no es muy complicada y dejamos los detalles al lec-tor. Sin embargo, este espacio, a pesar de utilizar las clases de funciones, nosepara los puntos: en efecto, si consideramos X =]0,+∞[ dotado su estructuraboreliana natural, y si fijamos f(x) = x1/p, vemos, sin mayor dificultad, que‖f‖L−p = 0, pero se tiene f(x) 66= 0; es decir, la funcional ‖·‖L−p no es una nor-ma. Esta particularidad explica por que estos espacios no son muy utilizadosen la practica.

Continuemos nuestra exposicion de la normabilidad de estos espacios fun-cionales con el resultado a continuacion.

Teorema 4.2.1 (Normabilidad). Sea 1 ≤ p < +∞ un parametro real, entonceslos espacios de Lebesgue (Lp(X,A , µ,K), ‖ · ‖Lp) son espacios normados.

Demostracion. Debemos comprobar que la funcional ‖ · ‖Lp verifica los tresaxiomas de norma; teniendo en cuenta los resultados de las paginas anteriores,esta comprobacion es directa y no presenta ninguna dificultad. Vemos, en efecto,que la implicacion f = 0 µ-c.t.p. =⇒ ‖f‖Lp = 0 es evidente por la formula(4.17), mientras que la implicacion recıproca ‖f‖Lp = 0 =⇒ f = 0 µ-c.t.p.se deduce del corolario 3.2.9 pagina 155. Finalmente, la homogeneidad de lafuncional ‖ · ‖Lp esta dada por la expresion (4.17) y la desigualdad triangularesta dada por la desigualdad de Minkowski (4.21).

Como todo espacio normado, los espacios Lp(X,A , µ,K) son espacios metri-cos con la distancia inducida por la norma d(f, g) = ‖f − g‖Lp ; por lo quedisponemos de todas las propiedades enunciadas en el primer capıtulo para es-te tipo de espacios. Diremos, entonces, que una sucesion de funciones (fn)n∈N

definidas sobre X que toman valores en K, pertenecientes a Lp(X,A , µ,K),converge en el sentido de Lp hacia una funcion f si

lımn→+∞

‖f − fn‖Lp = 0.

Este tipo de convergencia se denomina tambien la convergencia en media deorden p, y el lector notara que el caso p = 1 ya ha sido estudiado en el capıtuloanterior cuando presentamos la convergencia en promedio en la pagina 171.

Demos un par de ejemplos relativamente sencillos. Sea X = [0,+∞[, dotadode su estructura natural, y sea fn(x) = 1[0,1/n](x) con n ≥ 1. El lector notendra dificultad en verificar que esta sucesion converge en Lp(X) hacia ceropara todo 1 ≤ p < +∞.

Un segundo ejemplo esta dado por la sucesion de funciones fn(x) = x−2/p1[1,n[(x),

definida sobre X = [1,+∞[ con n ≥ 1 y 1 ≤ p < +∞. Vemos, sin mayor pro-blema, que esta sucesion converge en el sentido de Lp(X) hacia la funcionf(x) = x−2/p, puesto que se tiene

∫ +∞

1

|x−2/p − x−2/p1[1,n[(x)|pdx =

∫ +∞

n

x−2dx =1

n−→

n→+∞0.

No nos detendremos en comparar todos los aspectos relativos a la convergenciade las sucesiones de funciones en estos espacios, pues la seccion 4.3.1 esta re-servada para ello.

Presentemos ahora uno de los resultados mas importantes de esta seccion.

Teorema 4.2.2 (Riesz-Fischer). Los espacios (Lp(X,A , µ,K), ‖ · ‖Lp), con1 ≤ p < +∞, son espacios de Banach.

Demostracion. Debemos verificar que toda sucesion de Cauchy converge en elsentido de la norma del espacio Lp(X,A , µ,K) hacia una funcion que perte-nece al espacio Lp(X,A , µ,K). Para ello, vamos a utilizar la proposicion 1.4.2que nos asegura que, si (fn)n∈N es una sucesion de Cauchy que admite unasubsucesion convergente hacia un elemento f , entonces (fn)n∈N converge haciaf .

Sea, pues, (fn)n∈N una sucesion de Cauchy en Lp(X,A , µ,K). Por defini-cion, existe entonces una subsucesion (fnk

)k≥1 tal que

‖fnk+1− fnk

‖Lp ≤ 1

2kpara todo k ≥ 1. (4.24)

Definamos las dos funciones siguientes:

gm(x) =m∑

k=1

|fnk+1(x)− fnk

(x)| y g(x) =+∞∑

k=1

|fnk+1(x) − fnk

(x)|.

Por la estimacion (4.24), la desigualdad de Minkowski muestra que ‖gm‖Lp ≤ 1para todo m ≥ 1. Al aplicar el corolario 4.2.1, obtenemos que ‖g‖Lp ≤ 1 y, enparticular, por el corolario 3.2.9, la funcion suma g es acotada en µ-c.t.p. y, deesto, se deduce que la serie

fn1(x) +

+∞∑

k=1

(fnk+1(x)− fnk

(x)) (4.25)

es absolutamente convergente en K para µ-casi todo x ∈ X .Introduzcamos una notacion. Cuando la suma (4.25) converge puntualmente

sobre K definimos

f(x) = fn1(x) +

+∞∑

k=1

(fnk+1(x)− fnk

(x))

y fijamos f(x) = 0 sobre el conjunto restante, que es de medida nula. Dado quese tiene

fn1(x) +

N∑

k=1

(fnk+1(x) − fnk

(x)) = fnN (x),

vemos que se tiene la convergencia puntual f(x) = lımk→+∞

fnk(x) µ-c.t.p. y

hemos, por lo tanto, encontrado una funcion f que es el lımite simple µ-c.t.p.de la sucesion (fnk

)k≥1.

Nos falta demostrar que esta funcion f es el lımite de (fnk)k≥1 en el sentido

de la convergencia de Lp(X,A , µ,K). Para ello, vemos que, para todo ε > 0,existe N ∈ N tal que, para todo n,m > N , se tiene ‖fn − fm‖Lp ≤ ε, pues lasucesion (fn)n∈N es de Cauchy. Para todo m > N , podemos aplicar el lema deFatou a la sucesion de funciones ϕnk

= |fnk− fm|p para escribir

∫

X

|f(x)− fm(x)|pdµ(x) ≤ lımk→+∞

∫

X

|fnk(x)− fm(x)|pdµ(x) ≤ εp.

Esto implica que la funcion f − fm pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K), dedonde se deduce (mediante la identidad f = f − fm + fm) que la funcion fpertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) y, a partir de esta desigualdad, se concluyeque fm tiende hacia f en el sentido de Lp(X,A , µ,K); es decir:

‖f − fm‖Lp −→m→+∞

0.

En la demostracion de este teorema, hemos verificado un hecho importanteque merece ser enunciado por separado.

Corolario 4.2.3. Sean 1 ≤ p < +∞ un parametro real y (fn)n∈N una sucesionde Cauchy de Lp(X,A , µ,K) que converge hacia una funcion f . Existe entoncesuna subsucesion (fnk

)k∈N que converge puntualmente hacia f en µ-casi todaspartes.

Observemos aquı que la extraccion de una subsucesion es necesaria parala validez de este resultado. En efecto, si X = [0, 1], definimos las funcionesfn(x) = 1[j2−k,(j+1)2−k](x) con n ≥ 1 y j, k dos enteros positivos unicamen-

te determinados tales que n = 2k + j y 0 ≤ j < 2k. Vemos, entonces, que∫

X|fn(x)|pdx = 2−k, de manera que podemos decir que fn −→

n→+∞0 en media

de orden p. Sin embargo, no existe un solo punto de X tal que la sucesionnumerica fn(x) converga hacia cero, lo que ilustra la necesidad de extraer unasubsucesion.

Continuemos indicando unas propiedades importantes de los espacios deLebesgue que son versiones Lp de los teoremas clasicos de la teorıa de la inte-gracion que hemos presentado en el capıtulo anterior.

Proposicion 4.2.6 (Propiedad de Fatou). Sean (X,A , µ) un espacio medido,Lp(X,A , µ,K) un espacio de Lebesgue con 1 ≤ p < +∞ y (fn)n∈N una suce-sion de funciones de Lp(X,A , µ,K) que converge en µ-c.t.p. hacia f y tal quesupn∈N

‖fn‖Lp < +∞. Entonces f ∈ Lp(X,A , µ,K) y se tiene la desigualdad

‖f‖Lp ≤ lım ınfn→+∞

‖fn‖Lp .

Demostracion. No es muy difıcil ver que, si fn −→ f en µ-c.t.p., entonces setiene |fn|p −→ |f |p en µ-c.t.p., lo que nos permite aplicar el lema de Fatou3.3.2 para obtener

‖f‖pLp =

∫

X

lım ınfn→+∞

|fn(x)|pdµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

|fn(x)|pdµ(x) = lım ınfn→+∞

‖fn‖pLp ,

de donde se obtiene el segundo punto de la proposicion. Dado que

lım ınfn→+∞

‖fn‖Lp ≤ supn∈N

‖fn‖Lp < +∞,

se tiene que f ∈ Lp(X,A , µ,K), con lo que termina la demostracion.

Proposicion 4.2.7 (Version Lp del T.C.D. de Lebesgue). Sean Lp(X,A , µ,K)un espacio de Lebesgue con 1 ≤ p < +∞ y (fn)n∈N una sucesion de funcionesde Lp(X,A , µ,K) que converge en µ-casi todas partes hacia f .

1) Si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K) tal que |fn(x)| ≤ |g(x)| enµ-casi todas partes, se tiene que ‖f − fn‖Lp −→

n→+∞0.

2) Lema de Scheffe. Si ‖fn‖Lp −→n→+∞

‖f‖Lp, entonces

‖f − fn‖Lp −→n→+∞

0.

Demostracion. La primera asercion es la variante en los espacios Lp del teoremade convergencia dominada de Lebesgue. Consideremos, pues, la sucesion defunciones ϕn(x) = |f(x)− fn(x)|p −→

µ−c.t.p.0. Observemos que

ϕn(x) = |f(x)− fn(x)|p ≤ (|f(x)|+ |fn(x)|)p ≤ 2p−1gp(x);

podemos aplicar el T.C.D. de Lebesgue, lo que nos permite concluir que

‖f − fn‖Lp −→n→+∞

0,

pues, por hipotesis, gp(x) es una funcion integrable.Para demostrar el segundo punto, vamos a aplicar el lema de Fatou a la

sucesion de funciones

|fn(x)|p + |f(x)|p2

−∣∣∣∣

fn(x)− f(x)

2

∣∣∣∣

p

que convergen en µ-casi todas partes hacia |f(x)|p. Obtenemos, entonces, que

∫

X

|f(x)|pdµ(x) ≤ lım ınfn→+∞

∫

X

|fn(x)|p + |f(x)|p2

−∣∣∣∣

fn(x)− f(x)

2

∣∣∣∣

p

dµ(x).

Como, por hipotesis, tenemos ‖fn‖Lp −→n→+∞

‖f‖Lp, podemos escribir

‖f‖pLp ≤ ‖f‖pLp − lım supn→+∞

∫

X

∣∣∣∣

fn(x)− f(x)

2

∣∣∣∣

p

dµ(x).

Deducimos, entonces, que lım supn→+∞

‖fn − f‖pLp ≤ 0, de donde se obtiene que

‖f − fn‖Lp −→n→+∞

0.

Observacion 4.5. Las funciones fn(x) = 1[1/n,1](x) si n > 1 muestran que elsegundo punto de esta proposicion es falso en L∞.

Antes de continuar nuestro estudio de los espacios de Lebesgue, convieneintroducir un par de definiciones generales. En efecto, ahora que tenemos ejem-plos precisos de espacios de Banach sobre funciones, es util reagrupar algunas deestas propiedades en un concepto que permite enunciar con comodidad algunosresultados.

Definicion 4.2.3 (Espacio funcional de Banach). Sea (X,A , µ) un espaciomedido. Diremos que el conjunto E = f : X −→ K : ‖f‖E < +∞, for-mado por las funciones A -medibles tales que la cantidad ‖f‖E sea finita, esun espacio funcional de Banach si (E, ‖ · ‖E) es un espacio de Banach y si lafuncional ‖ · ‖E verifica las condiciones siguientes:

1) Si f, g : X −→ K son funciones A -medibles tales que |g(x)| ≤ |f(x)|en µ-casi todas partes, entonces ‖g‖E ≤ ‖f‖E.

2) Toda funcion simple ϕ(x) =∑n

k=0 αk1Ak(x), con µ(Ak) < +∞, per-

tenece al espacio E.

3) La propiedad de Fatou: si (fn)n∈N ∈ E es una sucesion de funcionestales que fn −→

n→+∞f en µ-casi todas partes y sup

n∈N

‖fn‖E < +∞, entonces

f ∈ E y ‖f‖E ≤ lım ınfn→+∞

‖fn‖E.

A partir de los resultados expuestos hasta ahora, el lector observara que losespacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K), con 1 ≤ p < +∞, y L∞(X,A , µ,K) sonejemplos de espacios funcionales de Banach.

En el caso particular de X = Rn, disponemos de una definicion adicionalrelacionada con la estructura de dilatacion.

Definicion 4.2.4 (Dimension homogenea). Sea un espacio funcional de Ba-nach E = f : Rn −→ K : ‖f‖E < +∞. Diremos que el espacio E eshomogeneo si existe un ındice real σ tal que se tenga, para todo f ∈ E, laidentidad

‖δα[f ]‖E = α−σ‖f‖E (α > 0).

El parametro real σ sera llamado la dimension homogenea del espacio E.

En el caso de Lp(Rn), con 0 < p < +∞, la proposicion 4.2.4 nos indicaque la dimension homogenea de este espacio es n/p, mientras que los espaciosL∞(Rn) tienen, por la proposicion 4.1.7, una dimension homogenea nula.

Estos dos conceptos son muy importantes en muchas demostraciones y pron-to tendremos la oportunidad de utilizarlos; en particular, la nocion de dimensionhomogenea de un espacio funcional de Banach sera puesta inmediatamente enpractica en la seccion que sigue.

4.2.3 Desigualdades de Holder y aplicaciones

En esta seccion presentaremos una desigualdad de gran importancia cuando seestudia los espacios de Lebesgue. Ademas de dar su demostracion en un casogeneral, estudiaremos los casos de igualdad y presentaremos tres aplicacionesde este resultado. La primera aplicacion nos permite exhibir algunas relacionesde inclusion entre los espacios de Lebesgue cuando la medida del conjunto debase es finita. La segunda aplicacion tiene que ver con dos desigualdades deinterpolacion. Finalmente, veremos como deducir de la desigualdad de Holderla desigualdad de Minkowski y observaremos algunos fenomenos interesantesque nos serviran de introduccion para la seccion que sigue.

Antes de enunciar los resultados, introducimos una notacion para describiruna relacion muy particular entre los ındices que caracterizan los espacios deLebesgue.

Definicion 4.2.5 (Conjugados armonicos). Sean p y q dos reales pertenecientesal intervalo ]1,+∞[. Diremos que p y q son conjugados armonicos entre sı siverifican la igualdad:

1

p+

1

q= 1; es decir, q =

p

p− 1. (4.26)

Si p = 1, notaremos su ındice conjugado q = +∞ y, de forma similar, sip = +∞, escribiremos q = 1.

Observemos que si p ∈]0, 1[, tambien podemos hablar de su conjugadoarmonico q y, para determinarlo, basta resolver la ecuacion (4.26), pero eneste caso se tiene q < 0.

Podemos establecer ahora el enunciado siguiente que explicita las desigual-dades de Holder en su forma mas utilizada en la practica.

Teorema 4.2.3 (Desigualdad de Holder5). Sean p y q dos numeros realespertenecientes al intervalo ]1,+∞[ tales que 1

p + 1q = 1 y f, g : X −→ K dos

funciones pertenecientes a los espacios Lp(X,A , µ,K) y Lq(X,A , µ,K), res-pectivamente. Entonces tenemos la desigualdad:

∫

X

|f(x)g(x)|dµ(x) ≤(∫

X

|f(x)|pdµ(x))1/p(∫

X

|g(x)|qdµ(x))1/q

. (4.27)

Se obtiene la igualdad si y solo si existen dos constantes c1 y c2 tales quec1|f(x)|p = c2|g(x)|q en µ-casi todas partes.

En el caso p = 1 y q = +∞, tenemos la desigualdad

∫

X

|f(x)g(x)|dµ(x) ≤(∫

X

|f(x)|dµ(x))(

sup essx∈X

|g(x)|)

. (4.28)

5Otto Holder (1859-1937), matematico aleman.

El lector puede darse cuenta que estas desigualdades pueden escribirse dela forma

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq y ‖fg‖L1 ≤ ‖f‖L1‖g‖L∞,

lo que expresa ası el hecho de que, si controlamos las cantidades ‖f‖Lp y ‖g‖Lq ,podemos controlar la cantidad ‖fg‖L1.

Observacion 4.6. Cuando p = q = 1/2, esta desigualdad se conoce con elnombre de desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Antes de pasar a la demostracion de este resultado, consideramos necesariodiscutir la hipotesis exigida sobre los ındices p y q; es decir, el hecho de queestos parametros sean conjugados. Para ello consideramosX = Rn dotado de lamedida de Lebesgue y la dilatacion δα[f ]. Bajo las hipotesis del teorema 4.2.3,si reemplazamos las funciones f, g por δα[f ] y δα[g] con α > 0 en la desigualdad(4.27), obtenemos:

‖δα[f ]δα[g]‖L1 ≤ ‖δα[f ]‖Lp‖δα[g]‖Lq .

Por la propiedad homogenea de los espacios de Lebesgue, explicitada en laproposicion 4.2.4, tenemos

α−n‖fg‖L1 ≤ α−n/p−n/q‖f‖Lp‖g‖Lq .

Vemos, entonces, que si no se tiene la relacion 1 = 1/p + 1/q, es posible, alvariar el parametro α, invalidar la desigualdad de Holder: es suficiente paraello si 1/p+ 1/q > 1, hacer tender α −→ +∞ y, si 1/p+ 1/q < 1, hacer tenderα −→ 0. Este pequeno razonamiento explica y justifica plenamente la relacionexistente entre los parametros p y q.

Una vez hecha esta aclaracion, pasamos a la verificacion de la desigualdadde Holder con la generalizacion a continuacion.

Teorema 4.2.4 (Desigualdad de Holder generalizada). Sean (X,A , µ) un es-pacio medido y p, p1, ..., pn numeros reales positivos pertenecientes al intervalo]0,+∞] tales que

1

p=

n∑

j=1

1

pj. (4.29)

Sean (fj)1≤j≤n funciones medibles definidas sobre X que toman valores en K

pertenecientes a los espacios Lpj (X,A , µ,K). Entonces

∥∥∥∥∥∥

n∏

j=1

fj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤n∏

j=1

‖fj‖Lpj. (4.30)

Si 0 < p, p1, ..., pn < +∞, la igualdad en esta expresion se obtiene si y solo siexisten constantes (cj)1≤j≤n tales que

c1|f1(x)|p1 = c2|f2(x)|p2 = · · · = cn|fn(x)|pn µ-casi todas partes.

Observamos sin ninguna dificultad que si fijamos p = 1, y limitamos a doslos exponentes pj , obtenemos la desigualdad de Holder clasica expuesta en elteorema 4.2.3.

Demostracion. La verificacion de este resultado sera realizada en cuatro etapas.En la primera, expondremos un lema que concierne a una desigualdad sobrenumeros reales a partir de la cual podremos deducir la desigualdad de Holdergeneralizada si 0 < p, p1, ..., pn < +∞, lo que constituye la segunda etapa. Enla tercera etapa, estudiaremos el caso cuando permitimos que algunos de losparametros pj sean infinitos, y terminamos, en la cuarta epata, verificando elcaso de igualdad.

Lema 4.2.2. Sea (aj)1≤j≤n una sucesion de numeros reales estrıctamente posi-tivos. Si los ındices 0 < p, p1, ..., pn < +∞ verifican la relacion (4.29), tenemosentonces

n∏

j=1

apj ≤n∑

j=1

p

pjapj

j . (4.31)

Se obtiene la igualdad si y solo si ap1

1 = ap2

2 = · · · = apnn .

Demostracion. Apliquemos a la parte izquierda de la formula (4.31) la funcionlogaritmo; obtenemos, entonces, la identidad

ln

n∏

j=1

apj

=n∑

j=1

p ln(aj) =n∑

j=1

p

pjln(apj

j

). (4.32)

Dado que∑n

j=1ppj

= 1, podemos utilizar la concavidad del logaritmo para

escribirn∑

j=1

p

pjln(apj

j

)≤ ln

n∑

j=1

p

pjapj

j

. (4.33)

Dado que la funcion logaritmo es creciente, de (4.32) y (4.33), podemos escribirla mayoracion siguiente

n∏

j=1

apj ≤n∑

j=1

p

pjapj

j ,

lo que verifica la desigualdad (4.31).Para comprobar el caso de igualdad de esta desigualdad es suficiente utilizar

las identidades entre los diferentes terminos (aj)1≤j≤n e inyectarlas en la partederecha de la expresion (4.31). Para demostrar la recıproca, basta razonar condos ındices y resolver la ecuacion ap2x

p − pp1xp1 − p

p2ap2

2 = 0 para obtener

x = ap2/p1

2 ; el caso general se deduce, entonces, de forma totalmente similar.

Continuemos la demostracion del teorema 4.2.4. Podemos suponer, sin perdi-da de generalidad, que ninguna de las funciones (fj)1≤j≤n es nula en µ-casitodas partes, pues en esto caso no hay nada que demostrar.

Supongamos, para empezar, que se tiene 0 < p, p1, ..., pn < +∞. Queremos

aplicar el lema anterior y, para ello, notamos aj =|fj(x)|‖fj‖L

pjde manera a obtener

la expresion

n∏

j=1

|fj(x)|p‖fj‖pLpj

=

∏nj=1 |fj(x)|p

∏nj=1 ‖fj‖

pLpj

≤n∑

j=1

p

pj

|fj(x)|pj

‖fj‖pj

Lpj

. (4.34)

Integrando con respecto a la medida µ ambas partes de la formula anterior,obtenemos

1∏n

j=1 ‖fj‖pLpj

∫

X

n∏

j=1

|fj|pdµ(x) ≤n∑

j=1

p

pj

1

‖fj‖pj

Lpj

∫

X

|fj(x)|pjdµ(x);

es decir, simplificando las expresiones:

1∏n

j=1 ‖fj‖pLpj

∫

X

n∏

j=1

|fj |pdµ(x) ≤n∑

j=1

p

pj= 1,

de donde se deduce sin problema la desigualdad (4.30) buscada.Supongamos ahora que los ındices pj pueden tomar el valor +∞ y notemos

con A el conjunto de ındices j tales que pj = +∞; es decir A = j : pj = +∞.Tenemos, entonces,

n∏

j=1

|fj(x)|p =

∏

j∈A

|fj(x)|p

∏

j /∈A

|fj(x)|p

.

Si se aplican las propiedades de la cota esencial, podemos escribir

n∏

j=1

|fj(x)|p ≤

∏

j∈A

sup essx∈X

|fj(x)|p

∏

j /∈A

|fj(x)|p

;

ahora integramos esta desigualdad para obtener la formula

∫

X

n∏

j=1

|fj(x)|pdµ(x) ≤

∏

j∈A

‖fj‖pL∞

∫

X

∏

j /∈A

|fj(x)|pdµ(x)

Como se tiene la identidad 1p =

∑

j /∈A1pj, podemos aplicar la primera parte de

la demostracion a la ultima parte entre parentesis de la expresion anterior paraobtener ∥

∥∥∥∥∥

n∏

j=1

fj

∥∥∥∥∥∥

p

Lp

≤

∏

j∈A

‖fj‖pL∞

∏

j /∈A

‖fj‖pLpj

terminando ası la demostracion de la desigualdad de Holder generalizada.Examinemos ahora el caso de igualdad. Si 0 < p, p1, ..., pn < +∞, podemos

aplicar el lema 4.2.2 para obtener la igualdad en la expresion (4.34). A partirde este punto, seguimos las mismas etapas explicadas en las lıneas anterioreslo que permite obtener la igualdad deseada.

Un caso muy particular de este tipo de desigualdades merece especialmentenuestra atencion. A continuacion vamos a observar que, si consideramos unındice p ∈]0, 1[ y su conjugado armonico q (que en este caso es negativo) ladesigualdad de Holder se invierte. De forma mas precisa, tenemos el enunciadosiguiente.

Proposicion 4.2.8 (Inversion de la desigualdad de Holder). Sean (X,A , µ)un espacio medido, 0 < p < 1 un ındice real y q < 0 el conjugado armonicode p. Entonces, para cualquier par de funciones f, g : X −→ K tales que elproducto fg pertenezca al espacio L1(X,A , µ,K) y tal que g 6= 0 en µ-casitodas partes, se tiene la relacion entre funcionales:

‖f‖Lp‖g‖Lq ≤ ‖fg‖L1. (4.35)

Demostracion. Sea p ∈]0, 1[ un real. Para mayor comodidad, notaremos conq = −r, a su conjugado armonico (r > 0 y 1/p = 1 + 1/r). Dado que g 6= 0 enµ-casi todas partes, podemos escribir

‖f‖Lp =

∥∥∥∥

fg

g

∥∥∥∥Lp

.

Aplicamos ahora la desigualdad de Holder generalizada con 1/p = 1 + 1/r demanera que obtenemos la desigualdad

‖f‖Lp ≤ ‖fg‖L1

∥∥∥∥

1

g

∥∥∥∥Lr

.

Observemos que se tiene la identidad notacional ‖1/g‖Lr = ‖g‖−1L−r , lo que nos

permite obtener la desigualdad

‖f‖Lp‖g‖L−r ≤ ‖fg‖L1.

Finalmente, como q = −r, obtenemos la desigualdad deseada.

Con este resultado, terminamos el estudio de los diferentes avatares de ladesigualdad de Holder, y continuamos en los tres parrafos a continuacion conalgunas aplicaciones de estas desigualdades.

A) Relaciones de inclusion entre los espacios de Lebesgue

Como hemos visto al inicio de este capıtulo, no existe, por lo general, ningunarelacion de inclusion entre los espacios de Lebesgue Lp y Lq con 1 ≤ p, q ≤ +∞y p 6= q. Existen, sin embargo, dos excepciones notables cuando la medida esde masa total finita y cuando la medida es discreta. En este parrafo estudiamosel primer caso, y el segundo, en la seccion 4.6.2.

Antes de entrar en los detalles de las demostraciones de estas inclusiones,es necesario presentar un resultado general. En efecto, dado que la pertenenciaa los espacios de Lebesgue Lp esta caracterizada por la finitud de la funcional‖ · ‖Lp , es interesante relacionar la inclusion de espacios por medio de desigual-dades sobre estas funcionales. En este sentido, tenemos el resultado siguiente.

Proposicion 4.2.9. Sean (E, ‖ · ‖E) y (F, ‖ · ‖F ) dos espacios funcionalesde Banach definidos sobre el mismo espacio medido (X,A , µ). Si E ⊂ F , lainyeccion es continua, lo que notaremos con E → F y, ademas, existe unaconstante universal C > 0 tal que, para todo f ∈ E, se verifica la estimacion

‖f‖F ≤ C‖f‖E. (4.36)

Demostracion. Procedemos por el absurdo, por lo que suponemos que se tienela inclusion E ⊂ F , pero no la mayoracion ‖f‖F ≤ C‖f‖E. En este caso, existeuna sucesion de funciones, que podemos suponer positivas, con ‖fn‖E ≤ 1,tales que

‖fn‖F > n3 para todo n ∈ N. (4.37)

Dado que E es un espacio de Banach, tenemos que la suma∑

n∈N n−2fn con-

verge en el sentido de E hacia una funcion f ∈ E. Como por hipotesis, elconjunto E es subconjunto de F , se tiene que f pertenece tambien al espacioF . Esto es imposible, pues se tiene, por definicion, 0 ≤ n−2fn ≤ f , de formaque, utilizando (4.37), se obtiene n ≤ n−2‖fn‖F ≤ ‖f‖F para todo n ∈ N.De esta contradiccion, deducimos que se tiene la desigualdad (4.36) con algu-na constante C independiente de la funcion f . Esto muestra tambien que laaplicacion inclusion de E en F es continua.

Observacion 4.7. La conclusion de este resultado puede interpretarse de estamanera: cuanto “mayor” sea el espacio funcional, en el sentido en que contienemas funciones, “menor” sera su norma.

Una vez que disponemos de este resultado, podemos con toda comodidad,enunciar y demostrar el teorema siguiente.

Teorema 4.2.5 (Relaciones de Inclusion). Sea (X,A , µ) un espacio medido,σ-finito y no-atomico, tal que µ(X) < +∞. Sean p, q dos reales tales que1 < p < q < +∞. Entonces tenemos las inclusiones estrictas entre espacios deLebesgue:

L∞(X,A , µ,K) ( · · · ( Lq(X,A , µ,K) ( Lp(X,A , µ,K) ( · · ·( L1(X,A , µ,K).

(4.38)

Demostracion. La demostracion de este teorema, que dividiremos en dos etapaspara mayor claridad, se basa en la desigualdad entre las normas de los espaciosfuncionales (4.36) y en una aplicacion directa de las desigualdades de Holder.

Supongamos primero que se tiene 1 ≤ p < q < +∞. Tenemos, entonces,que

‖f‖pLp =

∫

X

|f(x)|p1X(x)dµ(x).

Aplicamos la desigualdad de Holder (4.27) al producto de las funciones f y 1X ,de manera que se obtiene

∫

X

|f(x)|p1X(x)dµ(x) ≤(∫

X

|1X(x)|αdµ(x))1/α(∫

X

|f(x)|pβdµ(x))1/β

,

en donde hemos fijado α = qq−p y β = q

p , de forma que se tiene, evidentemente,

1/α+ 1/β = 1. Luego, puesto que la cantidad µ(X) es finita, obtenemos

‖f‖pLp ≤ µ(X)1/α(∫

|f(x)|qdµ(x))p/q

.

Finalmente, al extraer la raız p-esima en ambos lados de la mayoracion anterior,escribimos

‖f‖Lp ≤ µ(X)1/p−1/q‖f‖Lq ,

lo que nos permite concluir que toda funcion que pertenece a Lq(X,A , µ,K)pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) siempre y cuando 1 ≤ p < q < +∞. Esdecir, tenemos la inclusion decreciente de espacios Lq ⊂ Lp.

En la segunda etapa, suponemos que 1 ≤ q < +∞, y vamos a verificar que,para toda funcion esencialmente acotada, se tiene ‖f‖Lq ≤ µ(X)1/q‖f‖L∞.Para ello utilizamos la desigualdad (4.28):

‖f‖qLq =

∫

X

|f(x)|q1X(x)dµ(x) ≤ µ(X)‖f‖qL∞,

de donde se obtiene directamente el resultado deseado: L∞ ⊂ Lq. Con estohemos demostrado las inclusiones (4.38) entre los espacios de Lebesgue y queestas inclusiones son continuas (gracias a la proposicion 4.2.9).

Veamos, para terminar, que estas relaciones son estrictas. Como el espaciomedido (X,A , µ) es σ-finito, existe una sucesion disjunta de conjuntos medibles(An)n∈N tal que X =

⋃

n∈NAn y tal que µ(An) < +∞. Como este espacio esno-atomico, podemos suponer que se tiene para todo n 0 < µ(An) ≤ 2−n.Definimos, entonces, la funcion f(x) =

∑

n∈N µ(An)−1/q

1An(x) de manera que

‖f‖pLp =∑

n∈N µ(An)1−p/q < +∞, de donde se deduce que f ∈ Lp y que

f /∈ Lq.

En el caso cuando la medida del conjunto de baseX sea finita, este resultadonos indica que los espacios de Lebesgue Lp con 1 ≤ p ≤ +∞ forman unasucesion estrictamente decreciente de espacios siguiendo el ındice p.

Este teorema nos proporciona una caracterizacion muy util de las inclusio-nes entre espacios de Lebesgue en funcion de su norma cuando la masa totaldel conjunto de base es finita. Es, sin embargo, interesante relacionar las pro-piedades del espacio medido utilizado con estas relaciones de inclusion y, eneste sentido, tenemos el resultado a continuacion.

Proposicion 4.2.10 (Inclusion decreciente). Sean (X,A , µ) un espacio medi-do y 1 ≤ p < q < +∞, dos ındices reales. Entonces las proposiciones siguientesson equivalentes:

1) Se tiene la inclusion de espacios Lq(X,A , µ,K) ⊂ Lp(X,A , µ,K).

2) No existe una sucesion (An)n≥1 de conjuntos de A disjuntos dos ados tales que 1 ≤ µ(An) < +∞ para todo n ≥ 1.

3) Se tiene que supµ(A) : A ∈ A y µ(A) < +∞ < +∞.

Demostracion. Demostremos que 1) =⇒ 2) mediante una reduccion al absurdo.Si existe una tal sucesion de conjuntos, podemos definir la funcion f(x) =∑+∞

n=1 n−1/pµ(An)

−1/p1An(x) y vemos, directamente, que

∫

X

|f(x)|qdµ(x) =+∞∑

n=1

n−q/pµ(An)1−q/p < +∞,

pero que f /∈ Lp(X,A , µ,K), de donde se obtiene el resultado deseado.Pasemos ahora a la implicacion 2) =⇒ 3). Procedemos, otra vez, por el

absurdo. Supongamos que se tiene supµ(A) : A ∈ A y µ(A) < +∞ = +∞.Entonces, si C ∈ A tal que µ(C) < +∞, existe un conjunto S ∈ A tal queµ(C) + 1 < µ(S) < +∞, de donde se deduce

µ(S \ C) = µ(S)− µ(S ∩ C) ≥ µ(S)− µ(C) > 1.

Definimos, entonces, A1 = S \ C y podemos construir, por recurrencia, unasucesion de conjuntos (An)n≥1 tal que 1 < µ(An) < +∞. En efecto, siA1, ..., An

ya estan construidos, existe un conjunto S′ ∈ A tal que µ(S′) > µ(A1) + ...+µ(An)+ 1 y fijamos An+1 = S′ \ (A1 ∪ · · · ∪An). De esta forma obtenemos unasucesion (An)n≥1 de conjuntos de A disjuntos dos a dos tales que 1 ≤ µ(An) <+∞ para todo n ≥ 1, obteniendo la contradiccion deseada.

Finalmente, verifiquemos que 3) =⇒ 1). Sea, pues, f ∈ Lq(X,A , µ,K);definimos An = x ∈ X : |f(x)| ≥ 1/n y tenemos

‖f‖qLq =

∫

X

|f(x)|qdµ(x) ≥∫

X

|f(x)|q1An(x)dµ(x) ≥ (1/n)qµ(An),

de donde se deduce que µ(An) < +∞ para todo n ∈ N. Dado que la sucesionf1An es creciente y tiende hacia f en µ-casi todas partes, tenemos

‖f‖pLp =

∫

X

|f(x)|pdµ(x)

= lımn→+∞

∫

X

|f(x)|p1An(x)1An(x)dµ(x)

≤ lımn→+∞

(∫

X

|f(x)|q1An(x)dµ(x)

)p/q (∫

X

1An(x)dµ(x)

)1/β

.

Aqu hemos aplicado la desigualdad de Holder con α = q/p y β = q/(q−p) talesque 1/α+ 1/β = 1. Finalmente, por el teorema de convergencia monotona, seobtiene la mayoracion

‖f‖Lp ≤ supµ(A) 1p−

1q : A ∈ A y µ(A) < +∞‖f‖Lq.

En virtud de la proposicion 4.2.9, obtenemos la inclusion Lq ⊂ Lp, con lo queterminamos la demostracion.

B) Desigualdades de interpolacion

Cuando una funcion f pertenece simultaneamente a dos espacios de LebesgueLp0 y Lp1 con 1 ≤ p0 < p1 ≤ +∞, puede resultar muy util obtener informacionsobre la pertenencia de esta funcion f a algun espacio de Lebesgue Lp “inter-medio” con p ∈]p0, p1[. ¿Es siempre posible obtener esta informacion? ¿Es estainformacion suficientemente precisa? Es decir, ¿se puede caracterizar el valordel parametro p en funcion de los extremos p0 y p1?

Los dos resultados que exponemos en este parrafo nos proporcionan unarespuesta a estas preguntas. Veremos que el termino de interpolacion adoptadoproviene de la capacidad de relacionar los ındices p, p0 y p1 por medio deun parametro θ ∈ [0, 1] de manera que, a medida que hacemos variar esteparametro, nos acercamos a uno de los dos extremos p0 o p1.

Teorema 4.2.6. Sean (X,A , µ) un espacio medido, θ ∈ [0, 1] un parametroreal, f : X −→ K una funcion medible tal que f ∈ Lp0(X,A , µ,K) y f ∈Lp1(X,A , µ,K). Entonces f pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) en donde θ,p, p0 y p1 estan ordenados como sigue: 1 ≤ p0 ≤ p ≤ p1 < +∞, y estanrelacionados por la condicion p = θp0 + (1 − θ)p1. De manera mas precisa, setiene la desigualdad:

‖f‖pLp ≤ ‖f‖θp0

Lp0‖f‖(1−θ)p1

Lp1 . (4.39)

Demostracion. Nuestro punto de partida es la identidad

∫

X

|f(x)|pdµ(x) =∫

X

|f(x)|θp0 |f(x)|(1−θ)p1dµ(x).

Aplicamos, la desigualdad de Holder a las funciones |f(x)|θp0 y |f(x)|(1−θ)p1

con los parametros α = 1/θ y β = 1/(1 − θ) (notese que se tiene la identidad1/α+ 1/β = 1) para obtener la desigualdad

∫

X

|f(x)|pdµ(x) ≤(∫

X

|f(x)|p0dµ(x)

)θp0(∫

X

|f(x)|p1dµ(x)

)(1−θ)p1

,

lo que termina la demostracion, pues esta expresion se reescribe como


Lp0‖f‖(1−θ)p1

Lp1 .

Es muy interesante notar que esta no es la unica forma de relacionar estosındices como nos lo indica el resultado a continuacion.

Teorema 4.2.7. Sean (X,A , µ) un espacio medido, θ ∈ [0, 1] un parame-tro real, sea f : X −→ K una funcion medible tal que f ∈ Lp0(X,A , µ,K) yf ∈ Lp1(X,A , µ,K). Entonces f pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K), en don-de θ, p, p0 y p1 estan ordenados como sigue 1 ≤ p0 ≤ p ≤ p1 ≤ +∞ y estanrelacionados por la condicion 1

p = θp0

+ 1−θp1

. De manera mas precisa, se tienela desigualdad:

‖f‖Lp ≤ ‖f‖θLp0‖f‖1−θLp1 . (4.40)

Demostracion. La desigualdad anterior es una consecuencia directa del teoremade Holder. Supongamos primero que p1 < +∞, escribimos, entonces:

‖f‖pp =

∫

X

|f(x)|pdµ(x) =∫

X

|f(x)|pθ|f(x)|p(1−θ)dµ(x).

Puesto que 1 = pθp0

+ p(1−θ)p1

, aplicamos la desigualdad de Holder a la ultimaintegral para obtener

‖f‖pp ≤(∫

X

|f(x)|p0dµ(x)

)pθ/p0(∫

X

|f(x)|p1dµ(x)

)p(1−θ)/p1

;

es decir,‖f‖pp ≤ ‖f‖pθp0

‖f‖p(1−θ)p1

.

En este punto basta extraer la raız p-esima de la expresion anterior para obtenerla mayoracion buscada. Si, en cambio, se tiene p1 = +∞, es suficiente escribir

‖f‖pLp =

∫

X

|f(x)||f(x)|p−1dµ(x) ≤ ‖f‖L1‖f‖p−1L∞

y extraer la raız p-esima para terminar la demostracion del teorema.

A pesar de que las demostraciones de estos dos teoremas sean muy similares,existen dos diferencias notables. La primera tiene que ver con el rango posiblede los valores del ındice p1: el enunciado y la demostracion del teorema 4.2.6 nosimpiden tratar el caso p1 = +∞, que es estudiado sin problema en el teorema4.2.7. Una vez que fijamos 1 ≤ p0 ≤ p ≤ p1 < +∞, la segunda diferencia tieneque ver con los “puntos de llegada” de la interpolacion: para θ fijado, obtenemosresultados distintos. Por ejemplo, si θ = 1/2, p0 = 1 y p1 = 3; si f ∈ Lp0 yf ∈ Lp1 , el teorema 4.2.6 nos dice que f ∈ L2 mientras que el teorema 4.2.7nos indica que f ∈ L3/2.

Sin embargo, si nos permitimos hacer variar el parametro θ, la conclusiongeneral de estos resultados es la misma: si una funcion f pertenece simultanea-mente a los espacios Lp0 y Lp1 entonces f pertenece a todos los espacios deLebesgue Lp intermedios; respondiendo de esta manera al problema planteadoen la pagina anterior.

Para terminar, presentamos dos aplicaciones de estas desigualdades de in-terpolacion. El primer resultado estudia lo que sucede cuando el parametro p,que caracteriza los espacios de Lebesgue Lp, tiende hacia +∞, y el segundoresultado esta dado por una proposicion que suele ser de utilidad en algunasaplicaciones.

Teorema 4.2.8 (Lımite de ‖·‖Lp cuando p→ +∞). Sean (X,A , µ) un espaciomedido y una funcion f : X −→ K que pertenece a algun espacio Lr(X,A , µ,K)con r < +∞. Entonces se tiene la igualdad

lımp→+∞

‖f‖Lp = ‖f‖L∞.

Demostracion. Sea t ∈ [0, ‖f‖L∞[ un real, entonces, por definicion de cotaesencial, tenemos que la medida del conjunto A = x ∈ X : |f(x)| ≥ t espositiva. Dado que A ⊂ X , tenemos la mayoracion elemental

‖f‖Lp ≥(∫

A

|f(x)|pdµ(x))1/p

≥ tµ(A)1/p.

Tenemos dos casos. Si µ(A) es finito, µ(A)1/p −→p→+∞

1; en cambio, si µ(A) es

igual a +∞, µ(A)1/p = +∞. Deducimos, por lo tanto, en ambos casos, quelım ınfp→+∞

‖f‖Lp ≥ t y, entonces, como el real t era arbitrario, tenemos

lım ınfp→+∞

‖f‖Lp ≥ ‖f‖L∞.

Para demostrar la desigualdad recıproca, necesitamos la hipotesis de quef ∈ Lr(X,A , µ,K) para algun 0 < r < +∞. Si r < p < +∞, por el teorema

4.2.7, tenemos ‖f‖Lp ≤ ‖f‖r/pLr ‖f‖1−r/pL∞ y, como ‖f‖Lr < +∞, obtenemos la

mayoracion lım supp→+∞

‖f‖Lp ≤ ‖f‖L∞.

Finalmente, de las dos mayoraciones de los lımites superior e inferior obte-nemos el resultado deseado.

Observacion 4.8. Este resultado justifica la notacion empleada para la fun-cional ‖ · ‖L∞ que caracteriza los espacios de funciones esencialmente acotadas.

Pasemos a una segunda aplicacion de las desigualdades de interpolacion.

Proposicion 4.2.11. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f : X −→ K unafuncion que pertenece a los espacios L1(X,A , µ,K) y L∞(X,A , µ,K). Enton-ces f ∈ Lp(X,A , µ,K) para todo p ∈]1,+∞[ y se tiene la desigualdad

‖f‖Lp ≤ ‖f‖L1 + ‖f‖L∞. (4.41)

Demostracion. El hecho de que la funcion f pertenezca a todos los espaciosLp con p ∈]1,+∞[ es una consecuencia directa del teorema 4.2.7 y obtenemos,entonces, la mayoracion

‖f‖Lp ≤ ‖f‖1/pL1 ‖f‖1−1/pL∞ .

Mediante los mismos argumentos dados en el lema 4.2.2; es decir, basicamentepor la concavidad del logaritmo, podemos escribir

‖f‖Lp ≤ 1

p‖f‖L1 +

p− 1

p‖f‖L∞.

Como p ∈]1,+∞[, obtenemos el resultado buscado.

C) Desigualdad de Minkowski

Hemos ya estudiado la desigualdad de Minkowski con la proposicion 4.2.3 yaquı presentamos otra demostracion que se basa en la desigualdad de Holder6.Sin embargo, mas alla de esta aplicacion, veremos aquı que es posible genera-lizar la desigualdad de Minkowski y sobre todo, cuando 0 < p < 1, que estadesigualdad se invierte.

Proposicion 4.2.12 (Desigualdad de Minkowski). Sean 1 ≤ p < +∞ unparametro real y f, g : X −→ K dos funciones que pertenecen a Lp(X,A , µ,K).Tenemos, entonces, la mayoracion

‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp .

Demostracion. Suponemos, sin perdida de generalidad, que f 6= 0 y g 6= 0 enµ-casi todas partes. Escribimos, para empezar, para dos tales funciones f y gde Lp(X,A , µ,K), la mayoracion

|f + g|p = |f + g| |f + g|p−1 ≤ |f | |f + g|p−1 + |g| |f + g|p−1.

Integrando la expresion anterior, obtenemos:∫

X

|(f + g)(x)|pdµ(x) ≤∫

X

|f(x)| |(f + g)(x)|p−1dµ(x)

+

∫

X

|g(x)| |(f + g)(x)|p−1dµ(x).

En este punto aplicamos la desigualdad de Holder con 1/p + 1/q = 1 (noteseque se tiene la igualdad (p − 1)q = p) a las dos integrales de la parte derechade la formula precedente para obtener

∫

X

|(f + g)(x)|pdµ(x) ≤ ‖f‖Lp‖f + g‖p−1Lp + ‖g‖Lp‖f + g‖p−1

Lp ,

lo que nos conduce, reordenando los terminos, a la expresion

‖f + g‖pLp ≤ (‖f‖Lp + ‖g‖Lp)‖f + g‖p−1Lp ,

de donde se deduce el resultado deseado; es decir, la desigualdad

‖f + g‖p ≤ ‖f‖p + ‖g‖p.El hecho que la desigualdad de Holder nos permita deducir la desigualdad de

Minkowski es muy interesante, especialmente, porque una etapa suplementarianos lleva a la formulacion del resultado siguiente.

Proposicion 4.2.13 (Desigualdad de Minkowski continua). Sean (X,A , µ)y (Y,B, ν) dos espacios medidos, f : X × Y −→ K una funcion medible y1 ≤ p < +∞ un ındice real. Entonces se tiene la desigualdad

(∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x)

)1/p

≤∫

Y

(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x))1/p

dν(y).

(4.42)

6Esta demostracion es la mas popular en la literatura matemtica.


Demostracion. Podemos suponer que f 6= 0 en µ⊗ ν-casi todas partes y que qes el conjugado armonico de p. Definimos la funcion auxiliar siguiente

g(x, y) = |f(x, y)|(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x))−1/pq

de manera que se puede escribir la identidad

∫

Y

|f(x, y)|dν(y) =∫

Y

g(x, y)

(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x))1/pq

dν(y)

Aplicamos ahora la desigualdad de Holder a la expresion anterior y obtenemosla desigualdad

∫

Y

g(x, y)

(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x)) 1

pq

dν(y) ≤(∫

Y

g(x, y)pdν(y)

) 1p

(∫

Y

(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x)) 1

p

dν(y)

) 1q

El lector observara que el segundo factor de la parte derecha de esta formulacorresponde con el termino de la parte derecha de la expresion (4.42) elevadoa un exponente 1/q. Para mayor claridad notaremos

M =

(∫

Y

(∫

X


dν(y)

)

De manera que se tiene la desigualdad

∫

Y

|f(x, y)|dν(y) ≤M1/q

(∫

Y

g(x, y)pdν(y)

)1/p

=M1/q

(∫

Y

|f(x, y)|p(∫

X

|f(x, y)|pdµ(x))−1/q

dν(y)

)1/p

.

Escribiremos, para simplificar la exposicion, h(y) =∫

X|f(x, y)|pdµ(x). Obte-

nemos, al elevar a la potencia p-esima e integrar con respecto a µ, la mayoracion∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x) ≤Mp/q

∫

X

∫

Y

|f(x, y)|ph(y)−1/qdν(y)dµ(x)

Por el teorema de Fubini, en la doble integral podemos intercambiar el ordende integracion para obtener∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x) ≤Mpq

(∫

Y

∫

X

|f(x, y)|ph(y)−1/qdµ(x)dν(y)

)

;

es decir:∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x) ≤Mp/q

(∫

Y

h(y)1−1/qdν(y)

)

.

Reemplazando el valor de la funcion h y por el hecho de que p y q son conjugadosarmonicos, se tiene

∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x) ≤Mp/q

(∫

Y

(∫

X


dν(y)

)

.

Finalmente, reemplazando el valor de M obtenemos:

∫

X

(∫

Y

|f(x, y)|dν(y))p

dµ(x) ≤(∫

Y

(∫

X


dν(y)

)1+p/q

.

Es suficiente extraer la raız p-esima de esta mayoracion para obtener el resul-tado deseado.

Observacion 4.9. Cuando Y = N, al que dotamos de la medida de conteo,se obtiene la generalizacion de la desigualdad de Minkowski expuesta en elcorolario 4.2.1.

Pasemos ahora al ultimo punto relativo a la desigualdad de Minkowski.Hemos dado dos demostraciones de la desigualdad triangular para la funcional‖ ·‖Lp cuando 1 ≤ p < +∞. Pero ¿que sucede con la desigualdad de Minkowskicuando el ındice p pertenece al intervalo ]0,1[?

Para averiguarlo, vamos a considerar un ejemplo numerico muy sencillo:sean f, g dos funciones reales tales que f(x) = 1[0,1](x) y g(x) = 1[1/2,3/2](x);fijemos un parametro p tal que 0 < p < 1; digamos p = 1/2. El lectorobservara sin dificultad que f, g ∈ L1/2(R) y que ‖f‖L1/2 = ‖g‖L1/2 = 1.Sin embargo, se tiene que ‖f + g‖L1/2 = 3/2 +

√2, de manera que la de-

sigualdad triangular se encuentra en este caso invertida; es decir, se obtiene‖f + g‖L1/2 ≥ ‖f‖L1/2 + ‖g‖L1/2.

La proposicion siguiente nos da una respuesta en un caso mas general.

Proposicion 4.2.14 (Desigualdad de Minkowski invertida). Sean (X,A , µ)un espacio medido, 0 0 µ−c.t.p. Entonces se tiene la desigualdad

‖f + g‖Lp ≥ ‖f‖Lp + ‖g‖Lp .

Demostracion. Dado que f, g > 0 µ-c.t.p., podemos escribir

(f + g)p = f(f + g)p−1 + g(f + g)p−1.

Al integrar esta igualdad, se tiene

‖f + g‖pLp =

∫

X

(f + g)(x)pdµ(x)

=

∫

X

f(x)(f + g)p−1(x)dµ(x) +

∫

X

g(x)(f + g)p−1(x)dµ(x).

Aplicamos a la expresion anterior la desigualdad de Holder invertida (proposi-cion 4.2.8) para obtener:

‖f + g‖pLp ≥ ‖f‖Lp

(∫

X

(f + g)(p−1)qdµ

)1/q

+ ‖g‖Lp

(∫

X

(f + g)(p−1)qdµ

)1/q

,

en donde 1/p+ 1/q = 1 (recordemos que, en este caso, dado que 0 < p < 1, setiene q < 0). Luego, como (p− 1)q = p y 1/q = (p− 1)/p, podemos escribir

‖f + g‖pLp ≥ ‖f‖Lp‖f + g‖p−1Lp + ‖g‖Lp‖f + g‖p−1

Lp ,

con lo que la demostracion termina.

4.2.4 Los espacios de Lebesgue Lp (0 < p < 1) y L

En esta seccion vamos a presentar dos espacios de Lebesgue que poseen unaestructura topologica distinta a la de los espacios Lp con 1 ≤ p ≤ +∞. Elprimer ejemplo esta dado por los espacios Lp con 0 < p < 1: en efecto, laproposicion anterior muestra que la funcional ‖ · ‖Lp con 0 < p < 1 no verificacon toda generalidad la desigualdad triangular y que, por lo tanto, los espacios(Lp, ‖ · ‖Lp) no son a priori espacios normados.

¿De que tipo de estructura podemos dotar a estos espacios? ¿Son acasoespacios normables aunque para ello sea necesario considerar otra funcional?En el apartadoA) de esta subseccion, daremos una respuesta a estas preguntas,con lo que se justifica su tratamiento por separado del caso cuando 1 ≤ p < +∞.

El segundo tipo de espacio que tratamos aquı ya ha sido estudiado de unamanera disfrazada e incompleta en el capıtulo anterior, cuando se presento laconvergencia en µ-medida. Consideraremos el espacio de las clases de funcionesmedibles dotado de la topologıa de la convergencia en µ-medida y notaremoseste espacio L(X,A , µ,K). Veremos en el apartado B) de esta subseccion queeste espacio tampoco dispone de una estructura de espacio normado, pero quees un espacio metrico completo.

A) Espacios Lp(X,A , µ,K) con 0 < p < 1

Recordemos que estos espacios estan definidos como el conjunto de clases defunciones definidas sobre X a valores en K tales que ‖f‖Lp < +∞; recordemos,tambien que, por la proposicion 4.2.2, estos espacios son vectoriales. Tenemos,entonces, el resultado siguiente que responde a la primera pregunta planteadaen las lıneas precedentes.

Teorema 4.2.9. Sean (X,A , µ) un espacio medido y 0 < p < 1 un parametroreal. Entonces los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) son espacios metricoscompletos dotados de la distancia

dp(f, g) =

∫

X

|f(x)− g(x)|pdµ(x). (4.43)

Demostracion. Empecemos por verificar que (4.43) define una distancia sobreLp(X,A , µ,K). Por la definicion misma de dp, vemos inmediatamente, quedp(f, g) = dp(g, f) y que dp(f, g) = 0 si y solo si f = g en µ-c.t.p. Dado quedp(f, g) = ‖f − g‖pLp y que ‖f − g‖pLp = ‖f − h + g − h‖pLp para toda funcionh ∈ Lp(X,A , µ,K), la desigualdad (4.18) demostrada en la proposicion 4.2.2nos proporciona la desigualdad triangular

dp(f, g) ≤ dp(f, h) + dp(h, g).

Hemos verificado los tres axiomas de distancia (D.1), (D.2) y (D.3), lo que nospermite afirmar que dp es una distancia sobre el espacio Lp(X,A , µ,K).

La verificacion de que el espacio metrico (Lp(X,A , µ,K), dp) con 0 < p < 1es un espacio metrico completo sigue, esencialmente, las mismas etapas que lasdel caso p ≥ 1, de manera que dejamos los detalles al lector.

El hecho de que se tenga la identidad dp(f, 0) = ‖f‖pLp nos permite enunciaralgunas propiedades interesantes con el siguiente resultado.

Proposicion 4.2.15. Sean (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y 0 < p < 1un real.

1) Si (fn)n∈N es una sucesion de Cauchy en Lp(X,A , µ,K), entoncesexiste una funcion f ∈ Lp(X,A , µ,K) y una subsucesion (fnk

)k∈N talque fnk

−→k→+∞

f en µ-casi todas partes.

2) Si (fn)n∈N es una sucesion acotada de funciones de Lp(X,A , µ,K)que converge en µ-casi todas partes hacia f , entonces f ∈ Lp(X,A , µ,K)y se tiene ‖f‖pLp ≤ lım ınf

n→+∞‖fn‖pLp.

3) Si (fn)n∈N es una sucesion de funciones de Lp(X,A , µ,K) tal quefn −→

n→+∞f µ-casi todas partes y si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K)

tal que |fn| ≤ |g| en µ-casi todas partes, entonces

dp(fn, f) = ‖fn − f‖pLp −→n→+∞

0.

Demostracion. Los detalles son totalmente similares a los expuestos en la se-ccion 4.2.2, de manera que dejamos al lector el cuidado de reescribir esta de-mostracion.

Consideremos una proposicion relativa a las diferentes inclusiones existentesentre estos espacios funcionales.

Proposicion 4.2.16. Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) < +∞.Si p y q son ındices reales tales que 0 < p < q < 1, entonces el espacioLq(X,A , µ,K) esta estrictamente incluido en el espacio Lp(X,A , µ,K).

Demostracion. Vamos a utilizar la conclusion de la proposicion 4.2.9 para veri-ficar esta inclusion concentrandonos en las normas de estos espacios. Escribimosentonces

‖f‖pLp =

∫

X

|f(x)|p1X(x)dµ(x) ≤(∫

X

|f(x)|αp)1/α

(µ(X))1/β ,

en donde hemos aplicado la desigualdad de Holder usual con α = q/p y β =q/(q − p) (notese que α, β > 1). Es decir,

‖f‖pLp ≤(∫

X

|f(x)|q)p/q

µ(X)1−p/q

de donde se deduce la mayoracion ‖f‖Lp ≤ µ(X)1/p−1/q‖f‖Lq , con lo que sedemuestra ası la inclusion deseada.

Para verificar que las inclusiones son estrictas, es suficiente utilizar variantesde las funciones determinadas por las formulas (4.15); los detalles quedan acargo del lector.

Tratamos ahora la segunda pregunta; es decir, ¿son espacios normables?Vamos a ver que, por lo general, no son espacios convexos, lo que implica, porel teorema 1.4.1, que no son normables, de modo que la respuesta a esta segun-da pregunta es negativa. Para ello, exponemos un ejemplo con la proposicionsiguiente.

Proposicion 4.2.17. Sea 0 < p < 1 un real. Los espacios Lp([0, 1]) no sonlocalmente convexos (y, por lo tanto, no son normables) pues no contienenningun abierto convexo diferente de 0 y Lp([0, 1]).

Demostracion. Sea K un convexo abierto tal que 0 ⊂ K ⊂ Lp([0, 1]); vamosa mostrar que, en realidad, se tiene K = Lp([0, 1]). Sea, pues, f ∈ Lp([0, 1])una funcion cualquiera no nula. Como para todo n ≥ 1, existen puntos talesque 0 = t0 < ... < tn = 1 y la medida de los intervalos [ti−1, ti] es igual a 1/npara todo i = 1, ..., n, podemos definir funciones fi(x) = n1[ti−1,ti](x)f(x) demanera que se tiene, para i = 1, ..., n,

‖fi‖Lp = n1−1/p‖f‖Lp < +∞.

Como el conjunto K es convexo, existe un real r > 0 tal que B(0, r) ⊂ K y,por lo tanto, para n suficientemente grande, las funciones (fi)1≤i≤n pertenecena B(0, r) ⊂ K. En particular, la funcion

f =1

n

n∑

i=1

fi

pertenece a K por ser este un conjunto convexo, lo que muestra que K es iguala Lp([0, 1]) y que este espacio no contiene ningun abierto convexo diferente de0 y Lp([0, 1]): es decir, no es normable.

Todos estos resultados muestran que la estructura topologica mas generalque comparten todos los espacios de Lebesgue Lp con 0 < p < +∞ es laestructura de espacio metrico. Por lo tanto, si deseamos disponer de estructurasmas fuertes, como la de espacio normado, es indispensable separar el estudio deestos espacios en funcion del ındice p, tal como lo hemos hecho en estas lıneas.

Para terminar, vamos a presentar un resultado que hace intervenir la σ-alge-bra completada y que estudia las relaciones entre los espacios Lp(X,A , µ,K)y Lp(X,A , µ,K).

Proposicion 4.2.18. Si (X,A , µ) es el espacio medido completado de (X,A , µ),entonces los espacios Lp(X,A , µ,K) y Lp(X,A , µ,K) con 0 < p < +∞ sonisometricos.

Demostracion. Empecemos con la funcion indicatriz de un elemento A ∈ A .Dado que A = A∪D con A ∈ A y D un conjunto µ-despreciable, se tiene, porconstruccion7, la identidad µ(A) = µ(A) y, en particular, se obtiene ‖1A‖Lp =‖1A‖Lp para todo 0 < p < +∞. Esta propiedad se extiende, por combinacioneslineales finitas, a toda funcion simple y, por un paso al lımite, se obtiene queesta propiedad es valida para toda funcion A -medible f : X −→ K tal que‖f‖Lp < +∞. Obtenemos ası el resultado deseado: en efecto, al pasar al cocientede la relacion Rµ, concluimos que los espacios Lp(X,A , µ,K) y Lp(X,A , µ,K)con 0 < p < +∞ son isometricos.

Observacion 4.10. La importancia de este resultado es inmediata y es muyutilizada en teorıa de probabilidades: desde el punto de vista de los espacios deLebesgue, es equivalente trabajar sobre un espacio medido o sobre su espaciomedido completado.

B) Espacio L(X,A , µ,K)

Pasemos ahora al segundo tipo de espacio funcional anunciado en donde con-sideramos las funciones medibles y la convergencia en µ-medida. Recordemosque una sucesion (fn)n∈N de funciones A -medibles converge hacia una funcionf en µ-medida si

(∀ε > 0)[ lımn→+∞

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) = 0].

Este modo de convergencia determina una topologıa, lo que motiva la definicionsiguiente.

Definicion 4.2.6 (Espacio L). Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. De-finimos el espacio de Lebesgue L(X,A , µ,K) como el conjunto de clases defunciones A -medibles dotado de la topologıa de la convergencia en µ-medida.

Con los resultados obtenidos en las paginas anteriores, podemos hacer al-gunos comentarios que nos guiaran en el estudio de la estructura con la cualse puede dotar a este espacio. En efecto, sabemos, por el corolario 3.2.4, que

7vease el teorema 2.3.4

este espacio es vectorial, pues, por la proposicion 3.2.7, esta estructura vec-torial se mantiene al pasar al cociente de la relacion Rµ. Sabemos tambien,por las proposiciones 4.1.4 y 4.2.5, que todos los espacios de Lebesgue Lp con0 < p ≤ +∞ son subespacios vectoriales del espacio M(X,A , µ); por lo tanto,dado que todos los espacios Lp comparten una estructura metrica, podemos es-perar obtener, para este espacio, una estructura similar. Vamos, pues, a mostraren las lıneas siguientes que este espacio es, efectivamente, un espacio metricocompleto, pero tambien veremos que no es, en general, un espacio normado.

Empecemos explicitando la metrica utilizada.

Proposicion 4.2.19 (Distancia de Ky Fan). Sea (X,A , µ) un espacio medidoσ-finito. Sobre el espacio L(X,A , µ,K), definimos una distancia considerandola expresion

d(f, g) = ınf α > 0 : µ(x ∈ X : |f(x)− g(x)| > α) ≤ α . (4.44)

Ademas, la topologıa determinada por esta distancia es equivalente a la topo-logıa de la convergencia en µ-medida.

Demostracion. No es muy difıcil ver que se tiene d(f, g) = d(g, f) y que sif = g µ-c.t.p. entonces, d(f, g) = 0. Si d(f, g) = 0, entonces para todo n ≥ 1 setiene µ(x ∈ X : |f(x) − g(x)| > 1/n) ≤ 1/n. Como la sucesion de conjuntosx ∈ X : |f(x)− g(x)| > 1/n es creciente, tenemos que

lımn→+∞

µ(x ∈ X : |f(x) − g(x)| > 1/n) = µ(x ∈ X : |f(x) − g(x)| > 0) = 0,

de donde se deduce que f = g en µ-c.t.p.Para la desigualdad triangular consideremos tres funciones f , g, h elementos

de L(X,A , µ,K) y fijemos un real ε > 0. Existen, entonces, dos reales δ1 y δ2tales que

µ(x ∈ X : |f(x)− h(x)| > δ1) ≤ δ1 ≤ d(f, h) + ε

µ(x ∈ X : |h(x)− g(x)| > δ2) ≤ δ2 ≤ d(h, g) + ε.

Dado que se tienen las inclusiones de conjuntos

x ∈ X : |f(x)− g(x)| > δ1 + δ2 ⊆ x ∈ X : |f(x)− h(x)| > δ1∪ x ∈ X : |h(x)− g(x)| > δ2

tenemos las mayoraciones siguientes:

µ(x ∈ X : |f(x)− g(x)| > δ1 + δ2) ≤ δ1 + δ2 ≤ d(f, h) + d(h, g) + 2ε

de donde se tiene d(f, g) ≤ δ1 + δ2 ≤ d(f, h) + d(h, g) + 2ε. Como el real ε esarbitrario, obtenemos la desigualdad triangular. Concluimos, por lo tanto, quela expresion (4.44) determina una distancia sobre el espacio L(X,A , µ,K).

Veamos ahora que esta metrica induce una topologıa que coincide con latopologıa de la convergencia en µ-medida. Sea, pues, (fn)n∈N una sucesion de

funciones de L(X,A , µ,K) que converge en µ-medida hacia una funcion f enL(X,A , µ,K); entonces, para todo ε > 0, existe un entero N tal que para todon ≥ N , se tiene µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > ε) ≤ ε. Esto implica que, paratodo n ≥ N , se tiene

d(fn, f) = ınf α > 0 : µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > α) ≤ α ≤ ε,

de donde se deduce que fn −→ f en el sentido de la distancia de Ky Fan.Recıprocamente, si d(fn, f) −→

n→+∞0, entonces, para δ > 0 fijo y todo ε en

]0, δ], existe un entero N tal que, para todo n > N , se tiene

µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) ≤ ε.

Es decir, para todo n > N , se tiene

µ(x ∈ X : |fn(x) − f(x)| > δ) ≤ µ(x ∈ X : |fn(x)− f(x)| > ε) ≤ ε,

de donde se obtiene que la sucesion fn converge hacia f en µ-medida.

Una vez que disponemos de una estructura metrica sobre este espacio, po-demos considerar su completitud y, en este sentido, tenemos el resultado quesigue.

Teorema 4.2.10. El espacio L(X,A , µ,K), dotado de la distancia definidapor la formula (4.44), es un espacio metrico completo.

Demostracion. Debemos verificar que toda sucesion de Cauchy en L(X,A , µ,K)converge en el sentido de la distancia de Ky-Fan hacia una funcion que perte-nece a este espacio.

Sea, pues, (fn)n∈N una sucesion de Cauchy; existe, por lo tanto, una sub-sucesion (fnk

)k≥1 tal que µ(x ∈ X : |fnk+1(x) − fnk

(x)| > 2−k) ≤ 2−k

para todo k ≥ 1. Si, para todo k ≥ 1, notamos los conjuntos Ak = x ∈X : |fnk+1

(x) − fnk(x)| > 2−k, tenemos entonces

∑

k≥1 µ(Ak) < +∞, loque nos permite aplicar el teorema de Borel-Cantelli 2.2.4 para obtener queµ(lım sup

k≥1Ak) = 0. De este hecho podemos deducir que la serie

∑

k≥1

|fnk+1(x) − fnk

(x)|

converge en µ-casi todas partes; en efecto, las funciones fnk+1y fnk

estan masy mas cerca entre sı y la medida de los conjuntos en donde estas funcionesestan a una distancia mayor que 2−k es cada vez mas pequena. Por lo tanto,la sucesion puntual (fnk

(x))k≥1 converge para µ-casi todo x en (K, | · |) haciaun valor que notaremos f(x). Definimos, entonces, una funcion por

f(x) = fn1(x) +∑

k≥1

fnk+1(x) − fnk

(x)


para todo x ∈ X en donde se tiene la convergencia y f(x) = 0 sino. Vemos,entonces, por el teorema 3.2.1, que f es una funcion medible y que se tienefnk

−→k→+∞

f en µ-c.t.p. Queda por verificar que se tiene la convergencia en

medida de la subsucesion (fnk)k≥1 hacia f y para ello, notamos que se tiene,

por contruccion, |f(x) − fnk(x)| ≤ ∑

j≥k |fnj+1(x) − fnj(x)|, de manera que,para todo ε > 0, se obtiene la mayoracion

µ(x ∈ X : |f(x)− fnk(x)| > ε) ≤ µ(x ∈ X :

∑

j≥k

|fnj+1(x)− fnj (x)| > ε).

En este punto no es difıcil darse cuenta que

µ(x ∈ X :∑

j≥k

|fnj+1(x)− fnj (x)| > ε −→k→+∞

0

y, por la proposicion 4.2.19, obtenemos que d(fnk, f) −→

k→+∞0, lo que nos per-

mite concluir que L(X,A , µ,K) es completo.

A pesar de disponer de todas estas propiedades metricas, L(X,A , µ,K) noes convexo y, por lo tanto, no es normable en general, como nos lo indica elresultado siguiente.

Proposicion 4.2.20. El espacio L([0, 1]) no contiene ningun abierto convexoa parte de 0 y L([0, 1]). No es entonces un espacio normable.

Demostracion. Sea K un convexo abierto tal que 0 ⊂ K ⊂ L([0, 1]). Fijemosr > 0 tal que B(0, r) ⊂ K y consideremos una funcion cualquiera f ∈ L([0, 1]).Para cada n ≥ 1 definimos las funciones

fi(x) = n1[ i−1n , i

n ](x)f(x) para todo i = 1, ..., n.

Vemos, entonces, que existe un entero n suficientemente grande tal que

d(fi, 0) = ınfα > 0 : µ(x ∈ [0, 1] : |fi(x)| > α) ≤ α ≤ 1/n.

Por lo tanto, si n > 1/r, se tiene que las funciones f1, ..., fn pertenecen aB(0, r) ⊂ K y por la convexidad de K se obtiene que la funcion

f(x) =1

n

n∑

i=1

fi(x)

pertenece al conjunto K, lo que muestra que L([0, 1]) ⊂ K. Por el teorema1.4.1, concluimos que el espacio L(X,A , µ,K) no es normable.

4.3 Propiedades adicionales

Esta seccion esta formada por tres temas importantes que completan nuestroestudio de los espacios de Lebesgue. En la primera parte, vamos a comparar la

4.3 Propiedades adicionales 251

convergencia “en el sentido de Lp” con 0 < p < +∞ a los modos de conver-gencia presentados en el capıtulo anterior mostrando las diferentes relacionesexistentes entre todos estos tipos de convergencia. El segundo tema expone ladesigualdad de Jensen que es una desigualdad integral de gran generalidad ycuya demostracion se basa en las propiedades de las funciones convexas. Lasaplicaciones de esta desigualdad son muy variadas: veremos en particular comodeducir de esta estimacion las desigualdades de Holder y de Minkowski. Fi-nalmente, el ultimo tema tratado en esta seccion explica algunas propiedadesadicionales de la funcional ‖ · ‖Lp .

4.3.1 Comparacion de modos de convergencia

Por motivos pedagogicos, hemos relegado a esta seccion el estudio de las diver-sas relaciones existentes entre los modos de convergencia presentados anterior-mente y la convergencia en los espacios Lp. En efecto, consideramos que es masoportuno y adaptado presentar de manera conjunta, para todos los espaciosLp con 0 < p < +∞, estos resultados de convergencia desde un punto de vistametrico, de esta manera se ilustran mejor las similitudes y las diferencias entrelos modos de convergencia de sucesiones de funciones.

Antes de presentar estos hechos, vamos a enunciar un resultado que es degran utilidad, no solamente en el estudio que nos incumbe en esta seccion, sinotambien en muchas desigualdades necesarias en el analisis matematico.

Proposicion 4.3.1 (Desigualdad de Tchebychev). Sean (X,A , µ) un espaciomedido, f una funcion definida sobre X que toma valores en K y 0 0,la desigualdad

µ(x ∈ X : |f(x)| > α)1/p ≤ 1

α‖f‖Lp. (4.45)

Demostracion. Fijemos un real α > 0, se tiene entonces que

‖f‖pLp =

∫

X

|f(x)|pdµ(x) =∫

|f |>α

|f(x)|pdµ(x) +∫

|f |≤α

|f(x)|pdµ(x)

y, por una mayoracion evidente, obtenemos

‖f‖pLp ≥∫

|f |>α

|f(x)|pdµ(x)

≥∫

|f |>α

αpdµ(x)

= αpµ (x ∈ X : |f(x)| > α) .

Si se extrae la raız p-esima a ambos lados de la desigualdad anterior, obtenemosla desigualdad (4.45).

Pasemos al estudio de los modos de convergencia de funciones. En la expo-sicion que sigue vamos a distinguir tres casos: el primero corresponde al caso

general en el cual no se exige ninguna hipotesis sobre el conjunto de base X . Yahemos observado en el capıtulo anterior que si el conjunto de baseX es de masatotal finita, se obtienen algunas implicaciones que son, generalmente, falsas yeste es nuestro segundo caso. Finalmente, el tercero se da cuando las sucesio-nes de funciones verifican una condicion de acotacion que permitira utilizar elteorema de convergencia dominada de Lebesgue.

A) El caso general

El primer resultado que exponemos es el siguiente:

Teorema 4.3.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido y 0 < p < +∞ un parame-tro real.

1) La convergencia en Lp implica la convergencia en µ-medida.

2) La convergencia en µ-medida no implica la convergencia en Lp.

3) La convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia enLp.

4) La convergencia en Lp no implica ni la convergencia µ-casi uniforme,ni la convergencia uniforme.

5) La convergencia uniforme y la convergencia µ-casi uniforme no im-plican la convergencia en Lp.

Demostracion. La demostracion del primer punto es una aplicacion directa dela desigualdad de Tchebychev. En efecto, sea (fn)n∈N una sucesion de funcionesque convergen en Lp hacia una funcion f ∈ Lp. Entonces

‖f − fn‖pLp ≥ εpµ(|f(x)− fn(x)| > ε),

de donde se deduce que la convergencia en Lp implica la convergencia en µ-medida.

Consideremos ahora X = [0, 1] y la sucesion fn(x) = n1/p1[0,1/n[(x). El

lector verificara, sin problema, que esta sucesion tiende a cero en µ-casi todaspartes y en µ-medida (y hasta µ-casi uniformemente), pero no en Lp pues‖fn‖Lp = 1, lo que demuestra los puntos 2) y 3).

Para el cuarto punto, vamos a utilizar sobreX = [0, 1] las funciones fn(x) =1[j2−k,(j+1)2−k](x) en donde n = 2k+j y 0 ≤ j < 2k. Tenemos, inmediatamente,

que ‖fn‖pLp = 2−k −→n→+∞

0 pero esta sucesion no tiende hacia cero uniforme-

mente ni µ-casi uniformemente.Para el ultimo punto, sea fn(x) = n−1/p

1[0,n[(x) sobre X = [0,+∞[, estasucesion tiende hacia cero uniformemente y µ-casi uniformemente, pero no enLp, pues se tiene ‖fn‖Lp = 1 para todo n.

Veamos ahora lo que sucede con la convergencia en L∞. En realidad, sihacemos abstraccion de la propiedad “en µ-casi todas partes”, la convergen-cia en L∞ no es mas que la convergencia uniforme presentada en el primer

capıtulo8. Si comparamos entonces la convergencia en L∞ con los otros modosde convergencia (en µ-c.t.p., en µ-medida, en Lp, µ-casi uniformemente) de-bemos esperar que se tenga un comportamiento similar al de la convergenciauniforme. Para la mayor comodidad del lector, y conscientes de la repeticionengorrosa, exponemos estos resultados en terminos de la convergencia en L∞

en la proposicion siguiente

Proposicion 4.3.2. Sea (X,A , µ) un espacio medido.

1) La convergencia en L∞ implica la convergencia en µ-casi todas partes,pero la convergencia en µ-casi todas partes no implica la convergencia enL∞.

2) La convergencia en L∞ implica la convergencia µ-casi uniforme, perola convergencia µ-casi uniforme no implica la convergencia en L∞.

3) La convergencia en L∞ implica la convergencia en µ-medida, pero laconvergencia en µ-medida no implica la convergencia en L∞.

4) La convergencia en Lp para todo (0 < p < +∞) no implica la con-vergencia en L∞ y la convergencia en L∞ no implica la convergencia enLp.

Demostracion. Para la demostracion de estos puntos, utilizaremos algunas delas sucesiones presentadas en las verificaciones anteriores. La primera parte delprimer punto es inmediata; para la segunda parte, escogemos la sucesion defunciones sobre X = [0,+∞[ fn(x) = 1[n,n+1](x) que tiende a cero en µ-casitodas partes, pero se tiene ‖fn‖L∞ = 1 para todo n ∈ N.

Tenemos el punto 2) a partir de la definicion de convergencia µ-casi uniformeen donde se exige que el conjunto en donde falla la convergencia uniforme seapequeno y, esta condicion siempre esta verificada en el caso de la convergenciaen L∞, pues el conjunto en donde no se tiene la convergencia uniforme es demedida nula. La recıproca no se tiene, como lo muestra el ejemplo siguientesobre X = [0, 1]: fn(x) = n1[0,1/n[(x) converge µ-casi uniformemente haciacero, pero no en L∞.

Si una sucesion de funciones converge en µ-medida, entonces, para todoε > 0, existe un entero N suficientemente grande tal que, para todo n ≥ N , setiene µ(x ∈ X : |fn − f | > ε) ≤ ε; esta condicion es, trivialmente, verificadasi la sucesion converge en L∞, pues la medida de este conjunto es nula, lo quemuestra el punto 3).

Finalmente, para el ultimo punto, terminamos la demostracion utilizando4) y 5) del teorema 4.3.1.

8El lector no debe confundir estos modos de convergencia, pues la convergencia uniformeimplica la convergencia en L∞, pero no se tiene la recıproca: considerar para ello (rn)n∈N

una enumeracion de los racionales de [0, 1] y los conjuntos A0 = r0, A1 = r0, r1,...,An = r0, ..., rn; entonces las funciones fn = 1An tienden hacia cero en L∞ pero nouniformemente.

B) El caso de medida de masa total finita

Es importante notar que el comportamiento de la convergencia en µ-c.t.p., enµ-medida y µ-casi uniforme se mantiene con respecto a la convergencia en Lp sila medida del conjunto de base X es finita, pues los contra ejemplos exhibidosen la demostracion del teorema 4.3.1 consideran esta particularidad. La unicamodificacion interviene, entonces, con la convergencia uniforme gracias a laproposicion que sigue.

Proposicion 4.3.3. Sean (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) < +∞ y0 < p < +∞ un real. Entonces la convergencia uniforme implica la convergen-cia en Lp.

Demostracion. Como 0 < µ(X) < +∞, si (fn)n∈N es una sucesion que con-verge hacia f uniformemente, tenemos que, para todo ε > 0, existe N ∈ N talque, para todo n ≥ N , se tiene |f(x) − fn(x)| < εµ(X)−1/p. Integrando estadesigualdad, obtenemos

‖f − fn‖pLp < εp,

lo que implica que f ∈ Lp(X,A , µ,K) y que fn tiende hacia f en Lp.

C) Una hipotesis suplementaria: la condicion de acotacion

Vamos a suponer ahora que la sucesion de funciones (fn)n∈N verifica una con-dicion de acotacion. Bajo esta hipotesis suplementaria, se obtienen resultadosinteresantes.

Teorema 4.3.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido y (fn)n∈N una sucesion defunciones medibles definidas sobre X a valores en K.

Si existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K) para algun un real p ∈]0,+∞[ talque |fn| ≤ g en µ-casi todas partes para todo n ∈ N, entonces

1) la convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia en Lp;y

2) la convergencia en µ-medida implica la convergencia en Lp.

Demostracion. El primer punto no es mas que el teorema de convergencia do-minada de Lebesgue en su version Lp. Para demostrar el segundo punto, parti-mos de una sucesion de funciones (fn)n∈N que converge en µ-medida hacia unafuncion f . Sea, entonces, (fnk

)k∈N una subsucesion tal que

lımk→+∞

‖fnk− f‖Lp = lım sup

n→+∞‖fn − f‖Lp.

Dado que la sucesion de funciones (fnk)k∈N converge en µ-medida hacia una

funcion f , tenemos, por el teorema 3.3.8, que existe una subsucesion de (fnk)k∈N,

que por comodidad, seguiremos notando con (fnk)k∈N, que converge en µ-casi

todas partes hacia f . Aplicamos, entonces, la primera parte de esta proposi-cion para obtener que lım

k→+∞‖fnk

− f‖Lp = lım supn→+∞

‖fn − f‖Lp = 0, de donde

se deduce que lımn→+∞

‖fn − f‖Lp = 0.

Observacion 4.11. Dado que la convergencia µ-casi uniforme implica la con-vergencia en µ-medida (vease el teorema 3.3.7, punto 6)), si tenemos una hipote-sis de acotacion, obtenemos que la convergencia µ-casi uniforme implica laconvergencia en Lp.

Para terminar nuestro estudio entre los diversos modos de convergencia,vamos a ver que con una hipotesis de acotacion, la convergencia en µ-casitodas partes implica la convergencia µ-casi uniforme:

Teorema 4.3.3. Sean (X,A , µ) un espacio medido y (fn)n∈N una sucesionde funciones medibles definidas sobre X que toman valores en K. Si existe unafuncion g ∈ Lp(X,A , µ,K) para algun un real p ∈]0,+∞[ tal que |fn| ≤ g enµ-casi todas partes para todo n ∈ N, entonces la convergencia en µ-casi todaspartes implica la convergencia µ-casi uniforme.

Demostracion. Sea (fn)n∈N una sucesion tal que fn −→n→+∞

f en µ-c.t.p. Vamos

a utilizar el lema 3.3.1 para caracterizar la convergencia µ-casi uniforme ydefinimos los conjuntos

A = x ∈ X : lımn→+∞

fn(x) = f(x)

y

Ak,m =

+∞⋂

m=1

x ∈ X : |fn(x)− f(x)| < 1

k.

Siguiendo este lema, para obtener la convergencia µ-casi uniforme de la sucesion(fn)n∈N, basta mostrar, que para todo k ≥ 1, se tiene lım

m→+∞µ(X \Ak,m) = 0.

Como se tienen las inclusiones de conjuntos X \ Ak,1 ⊇ X \ Ak,2 ⊇ · · · y⋂+∞

m=1(X \ Ak,m) ⊆ X \ A, es necesario verificar que, para todo k,m ≥ 1, setiene µ(X \ Ak,m) < +∞, para poder aplicar el teorema 2.2.3 de continuidadde las medidas y obtener lım

m→+∞µ(X \Ak,m) = 0.

Tenemos, pues, por hipotesis que existe un conjunto de µ-medida nula Ntal que, para todo n ∈ N, |fn(x)| ≤ g(x) sobre X \N y tal que lım

n→+∞fn(x) es

igual a f(x) sobre X \N . Dado que, para todo n ≥ m, tenemos

|fn(x)− f(x)| = lıml→+∞

|fn(x) − fl(x)| ≤ 2g(x);

tenemos la inclusion de conjuntos

x ∈ X : |fn(x) − f(x)| ≥ 1/k ⊆ x ∈ X : 2g(x) ≥ 1/k,

de manera que obtenemos X \Ak,m ⊆ N ∪ x ∈ X : 2g(x) ≥ 1/k, y podemosescribir

‖g‖pLp ≥∫

X\Ak,m

gp(x)dµ(x) ≥ (2k)−1µ(X \Ak,m).

De donde, por la hipotesis de acotacion, las cantidades µ(X \Ak,m) son finitas,con lo que termina la demostracion.

Observacion 4.12. Por la observacion 4.11, obtenemos con este teorema quela convergencia en µ-casi todas partes implica la convergencia µ-casi uniformesi se dispone de una hipotesis de acotacion.

Para terminar esta seccion, y con ella el estudio de los diversos tipos de con-vergencia, presentamos a continuacion tres graficos que resumen las diferentesimplicaciones existentes entre estos modos de convergencia.

Convergencia µ-casi uniforme

Convergencia µ-c.t.p.

Convergencia en µ-medida

Convergencia en Lp

Convergencia Uniforme

Figura 4.1: Relaciones entre los modos de convergencia - caso general




Convergencia en Lp


Figura 4.2: Relaciones entre los modos de convergencia - caso µ(X) < +∞

4.3.2 Desigualdad de Jensen y aplicaciones

La desigualdad de Jensen9 es una desigualdad que esta ıntimamente relacionadacon la nocion de convexidad y posee muchas aplicaciones en las matematicas.

9Johan Jensen (1859-1925), matematico e ingeniero danes.

Convergencia en Lp


Figura 4.3: Relaciones entre los modos de convergencia - condicion de acotacion

En este parrafo, presentamos una version integral de esta desigualdad ası comoun par de ejemplos de aplicacion que nos permitiran volver a demostrar algunosresultados obtenidos anteriormente.

Consideramos conveniente exponer algunas propiedades de las funcionesconvexas en las lıneas que siguen antes de enunciar el resultado mas importantede esta seccion dado por el teorrema 4.3.4.

Sea I = (a, b) un intervalo de la recta real con −∞ ≤ a < b ≤ +∞.Recordemos que una funcion ϕ : I −→ R es convexa si

ϕ(τa + (1− τ)b) ≤ τϕ(a) + (1− τ)ϕ(b)

para todo a, b ∈ I con τ ∈ [0, 1]. Indiquemos algunas propiedades con el lemasiguiente.

Lema 4.3.1. Si ϕ : I −→ R es una funcion convexa, entonces:

1) para todo punto t en el interior de I, existe una recta que pasa por elpunto (t, ϕ(t)) que siempre esta por debajo del grafo de ϕ; y

2) ϕ es continua en el interior de I.

Demostracion. Verifiquemos el primer punto. Sea t un punto en el interior deI y sean u, v dos puntos de I tales que u < t < v. Dado que ϕ es convexa,tenemos las expresiones

ϕ(t) = ϕ

(v − t

v − uu+

t− u

v − uv

)

≤ v − t

v − uϕ(u) +

t− u

v − uϕ(v),

de donde se obtiene (v − t)ϕ(t) + (t − u)ϕ(t) ≤ (v − t)ϕ(u) + (t − u)ϕ(v); esdecir,

ϕ(t) − ϕ(u)

t− u≤ ϕ(v)− ϕ(t)

v − t.

Esto significa que existe un numero real α tal que

sup

ϕ(t)− ϕ(u)

t− u: u ∈ I, u < t

≤ α ≤ ınf

ϕ(v) − ϕ(t)

v − t: v ∈ I, t < v

.

Entonces tenemos que, para todo s ∈ I, se tiene ϕ(s) ≥ ϕ(t) + α(s − t), demanera que la recta s 7−→ α(s − t) + ϕ(t), que pasa por el punto (t, ϕ(t)) ytiene una pendiente α, tiene la propiedad requerida: siempre esta por debajodel grafo de ϕ.

Pasemos al segundo punto. Sean t ∈ I y x, y ∈ I tales que x < t < y.Si (un)n∈N es una sucesion de puntos del intervalo ]t, y[ que converge hacia t,entonces, como ϕ es convexa, tenemos, por un lado,

ϕ(t) = ϕ

(un − t

un − xx+

t− x

un − xun

)

≤ un − t

un − xϕ(x) +

t− x

un − xϕ(un),

mientras que por otro,

ϕ(un) = ϕ

(y − uny − t

t+un − t

y − ty

)

≤ y − uny − t

ϕ(t) +un − t

y − tϕ(y).

La primera desigualdad nos dice que lım ınfn→+∞

ϕ(un) ≥ ϕ(t); la segunda nos pro-

porciona la desigualdad lım supn→+∞

ϕ(un) ≤ ϕ(t), de donde lımn→+∞

ϕ(un) = ϕ(t); es

decir, que la funcion ϕ es continua por la derecha. Un argumento similar mues-tra que ϕ es continua por la izquierda, con lo que termina la demostracion.

Enunciemos un resultado que sera utilizado en la demostracion de la de-sigualdad de Jensen.

Proposicion 4.3.4. Sean (X,A , µ) un espacio probabilizado (es decir, tal queµ(X) = 1) y f una funcion del espacio L1(X,A , µ,R).

1) Si I = (a, b) es un intervalo de R tal que f(x) ∈ I para µ-casi todox ∈ X, entonces

∫

Xfdµ ∈ I.

2) Si f(x) ≥ c en µ-casi todas partes para algun real c y si∫

X fdµ = c,entonces f = c en µ-casi todas partes.

Demostracion. Vamos a empezar suponiendo que f(x) ≥ a en µ-casi todaspartes para algun real a. Definimos, los conjuntos A = x ∈ X : f(x) > ay An = x ∈ X : f(x) > a + 1/n para todo entero n ≥ 1, de manera quese tienen las inclusiones crecientes de conjuntos A1 ⊆ · · · ⊆ An ⊆ · · · y laidentidad A =

⋃

n≥1An, de donde se deduce que

lımn→+∞

µ(An) = µ(A). (4.46)

Por la propiedad de crecimiento de la integral y por el hecho de estar trabajandosobre un espacio probabilizado, tenemos que

∫

X f(x)dµ(x) ≥ a. Dado que se

tiene la mayoracion f(x) ≥ a1X\An(x) + (a + 1/n)1An(x), podemos escribir,

para todo n ≥ 1:

∫

X

f(x)dµ(x) ≥ aµ(X \An) + (a+ 1/n)µ(An) = a+1

nµ(An).

Entonces si f(x) > a en µ-casi todas partes, se tiene µ(An) > 0 para algunentero n ≥ 1, y por lo tanto,

∫

Xf(x)dµ(x) > a. Por otro lado, si

∫

Xf(x)dµ(x)

es igual a a, entonces µ(An) = 0 para todo n ≥ 1 y, entonces, por (4.46),obtenemos µ(A) = 0, de donde se deduce que f = a en µ-casi todas partes.Tomando a = c, obtenemos la segunda parte de la proposicion, y un argumentosimilar muestra que si f(x) ≤ b µ-casi todas partes, entonces

∫

X f(x)dµ(x) ≤ by si f(x) < b µ-casi todas partes, entonces

∫

Xf(x)dµ(x) < b, de donde se

obtiene la primera parte.

Con estos resultados preliminares, podemos enunciar y demostrar con todacomodidad la desigualdad de Jensen en el teorema a continuacion.

Teorema 4.3.4 (Desigualdad de Jensen). Sean (X,A , µ) un espacio medidotal que µ(X) = 1 e I ⊂ R un intervalo de la forma (a, b). Si ϕ : I −→ R esuna funcion convexa y f ∈ L1(X,A , µ,R) una funcion tal que f(x) ∈ I paraµ-casi todo x ∈ X, entonces

∫

Xf(x)dµ(x) ∈ I, ϕ(f) es µ-integrable y se tiene

la desigualdad

ϕ

(∫

X

f(x)dµ(x)

)

≤∫

X

ϕ(f)(x)dµ(x).

Demostracion. Fijemos t =∫

X f(x)dµ(x). Tenemos, entonces, por la proposi-cion 4.3.4, que t ∈ I. Sabemos, ademas, por el lema 4.3.1, que existe un realα tal que ϕ(u) ≥ ϕ(t) + α(u − t) para todo u ∈ I, puesto que ϕ es convexasobre I. Deducimos entonces la mayoracion ϕ(f)(x) ≥ ϕ(t) + α(f(x)− t) paraµ-casi todo x ∈ X . Integrando esta desigualdad y utilizando el hecho de queµ(X) = 1, obtenemos

∫

X

ϕ(f)(x)dµ(x) ≥∫

X

ϕ(t) + α(f(x)− t)

= ϕ(t) + α

∫

X

f(x)dµ(x) − αt

= ϕ

(∫

X

f(x)dµ(x)

)

,

con lo que la demostracion termina.

En los dos parrafos que siguen, vamos a aplicar la desigualdad de Jensenpara dar otra demostracion de las desigualdades de Holder y de Minkowski.Mas alla del hecho de poder volver a demostrar estos resultados, estos ejemplosilustran como utilizar la desigualdad de Jensen.

A) Desigualdad de Holder

Para deducir la desigualdad de Holder a partir de la desigualdad de Jensen,vamos a proceder de la siguiente manera. Sean 1 < p, q < +∞ dos reales conju-gados y f, g dos funciones tales que f ∈ Lp(X,A , µ,K) y g ∈ Lq(X,A , µ,K).Definimos una medida ν de masa total igual a uno escribiendo

ν(x) =|g(x)|q‖g‖qLq

µ(x).

Consideramos, entonces, la funcion ϕ(t) = tp que es convexa sobre [0,+∞[ paratodo p > 1 y la funcion h(x) = |f(x)| |g(x)|1−q ∈ [0,+∞[.

Aplicamos la desigualdad de Jensen para obtener

(∫

X

h(x)dν(x)

)p

≤∫

X

(h(x))pdν(x).

Es decir, reemplazando los valores de h y de ν:

(∫

X

|f(x)| |g(x)|1−q |g(x)|q‖g‖qLq

dµ(x)

)p

≤∫

X

|f(x)|p |g(x)|p−pq |g(x)|q‖g‖qLq

dµ(x).

Simplificamos la expresion anterior para obtener (notese que p− qp+ q = 0)

(∫

X

|f(x)| |g(x)|dµ(x))p

≤ ‖g‖pq−qLq

∫

X

|f(x)|pdµ(x).

Finalmente, si se extrae la raız p-esima en ambas partes de esta mayoracion, setiene la desigualdad de Holder:

∫

X

|f(x)| |g(x)|dµ(x) ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

B) Desigualdad de Minkowski

Veamos ahora como deducir la desigualdad triangular de la funcional ‖ · ‖Lp

con 1 < p < +∞ a partir de la desigualdad de Jensen. Dado que se tiene lamayoracion |f(x)+g(x)|p ≤ (|f(x)|+ |g(x)|)p, podemos reducir nuestro estudioa las funciones positivas, lo que haremos a lo largo de toda esta verificacion.

No es difıcil verificar que la funcion ϕ(t) = (1 − t1/p)p es convexa10 so-bre [0, 1]. Consideramos, pues la medida ν(x) = (f + g)p(x)/‖f + g‖pLpµ(x) yapliquamos la desigualdad de Jensen a la funcion h(x) = fp(x)/(f + g)p(x).Tenemos, entonces:

∫

X

ϕ(h)(x)dν(x) =

∫

X

(

1− f(x)

(f + g)(x)

)p(f + g)p(x)

‖f + g‖pLp

dµ(x)

10Esta verificacion queda como ejercicio.

Reduciendo estas expresiones, obtenemos

∫

X

ϕ(h)(x)dν(x) =

∫

X

gp(x)

‖f + g‖pLp

dµ(x) =‖g‖pLp

‖f + g‖pLp

.

Pasemos ahora al calculo de la expresion ϕ(∫

Xh(x)dν(x)

); tenemos, pues:

ϕ

(∫

X

fp(x)

‖f + g‖pLp

dµ(x)

)

=

(

1− ‖f‖Lp

‖f + g‖Lp

)p

.

Por la desigualdad de Jensen, podemos afirmar que se tiene la mayoracion:

ϕ

(∫

X

h(x)dν(x)

)

≤∫

X

ϕ(h)(x)dν(x);

es decir, en nuestro caso:(

1− ‖f‖Lp

‖f + g‖Lp

)p

≤ ‖g‖pLp

‖f + g‖pLp

.

Al extraer la raız p-esima y reducir los terminos, obtenemos la desigualdad deMinkowski.

4.3.3 Convexidad y continuidad de la norma

Hemos caracterizado los espacios de Lebesgue Lp en funcion de una familiade normas ‖ · ‖Lp que dependen de un parametro p que varıa entre 1 y +∞.Nos interesamos, en esta seccion, en estudiar la continuidad de esta norma enfuncion del parametro p y, en este sentido, tenemos el resultado siguiente.

Teorema 4.3.5. Sean (X,A , µ) un espacio medido y f : X −→ K una funcionA -medible. Entonces I(f) = p ∈ [1,+∞] : ‖f‖Lp < +∞ es o vacıo, o unpunto, o un intervalo. En el caso en que I sea un intervalo, ϕf (t) = ‖f‖Lp

define una funcion continua de p en el interior de este intervalo.

Demostracion. La verificacion de este hecho se deduce a partir de dos resultadosanteriores: las desigualdades de interpolacion exhibidas, en la pagina 238 y dela continuidad de las funciones convexas. En efecto, si una funcion no pertenecea ningun espacio Lp, este conjunto es, evidentemente vacıo. Si pertenece a unsolo espacio de Lebesgue, este conjunto esta reducido a un punto y las funcionesde tipo (4.15) dan una muestra de esta situacion.

Finalmente, si existen dos reales p0 y p1 tales que 1 ≤ p0 < p1 ≤ +∞ y sise tiene f ∈ Lp0 ∩Lp1 , por la desigualdad de interpolacion (4.40), tenemos quef ∈ Lq para todo real q tal que p0 < q < p1 y esto muestra que este conjuntoes, efectivamente, un intervalo.

Supongamos que I(f) es un intervalo; recordemos que la desigualdad (4.40)nos dice que si f pertenece a los espacios Lp0(X,A , µ,K) y Lp1(X,A , µ,K),se tiene la desigualdad:

‖f‖Lp ≤ ‖f‖θLp0‖f‖1−θLp1 ,

en donde 1p = θ

p0+ 1−θ

p1. Si aplicamos la funcion logaritmo a esta desigualdad,

obtenemosln(‖f‖Lp) ≤ θ ln(‖f‖Lp0 ) + (1− θ) ln(‖f‖Lp1 ),

lo que significa que la funcion ψf (1/p) = ln(‖f‖Lp) es convexa en 1/p y, por lotanto, continua en el interior del intervalo I(f) por el lema 4.3.1, de donde seobtiene sin mayor problema que ϕf (t) es continua.

4.4 Espacios de funciones localmente integra-

bles

A menudo, no es necesario exigir que una funcion sea integrable sobre todo elespacio X y, muchas veces, es suficiente trabajar con funciones que son integra-bles sobre todo subconjunto de X que goza de ciertas propiedades. Por ejemplo,si X =]0,+∞[, podemos estudiar las funciones integrables sobre todo intervaloacotado de X sin que estas funciones sean necesariamente integrables sobretodo el conjunto X ; este punto de vista resulta muy util, pero introduce ciertosdetalles tecnicos que seran explicitados en las lıneas siguientes. Es, entonces, enel sentido de que se exige la integrabilidad local en oposicion a la integrabilidadglobal que hablaremos de espacios de funciones localmente integrables.

4.4.1 Definiciones y primeras propiedades

Vamos a precisar aquı las propiedades que exigimos de algunos subconjuntosdel espacio X y el marco especial en donde trabajaremos a lo largo de todaesta seccion.

Suponemos en todo lo que sigue que X es un espacio topologico localmentecompacto de base numerable, y esto implica, por el lema 2.4.1, que X es σ-compacto; es decir, que existe una sucesion (Kn)n∈N de conjuntos compactostal que X =

⋃

n∈NKn. Suponemos, ademas, que la σ-algebra A contiene laσ-algebra de los borelianos de X y que la medida µ es regular; en particulartenemos que la medida µ es finita sobre los compactos.

Bajo todas estas hipotesis tenemos que el espacio medido (X,A , µ) es regu-lar (vease la definicion pagina 104) y, en este marco, las propiedades que califi-camos de locales reflejaran las propiedades que son validas sobre todo compacto.Con estas aclaraciones podemos dar las definiciones siguientes:

Definicion 4.4.1 (Espacios Lploc y L

∞loc). Sean 1 ≤ p < +∞ un real y (X,A , µ)

un espacio medido regular. Definimos el espacio de clases de funciones local-mente de potencia p-eme integrables, notado Lp

loc(X,A , µ,K) o mas sencilla-mente Lp

loc(X), como el conjunto de funciones A -medibles

Lploc(X,A , µ,K) =

f : X −→ K : ‖f‖Lp(K) =

(∫

K

|f(x)|pdµ(x))1/p

< +∞,

∀K ⊂ Xcompacto

.

4.4 Espacios de funciones localmente integrables 263

El espacio L∞loc(X,A , µ,K) de clases de funciones localmente esencialmente

acotadas estara definido en cambio de la siguiente manera:

L∞loc(X,A , µ,K) =

f : X −→ K : ‖f‖L∞(K) = sup essx∈K

|f(x)| < +∞,

∀K ⊂ Xcompacto

.

Es muy importante observar que las funcionales que caracterizan estos con-juntos dependen del compacto que entra en consideracion y es, por eso, quenotamos ‖ · ‖Lp(K) y ‖ · ‖L∞(K) para insistir en esta dependencia.

Notacion: Si f ∈ L1loc(X,A , µ,K), diremos, simplemente, que f es local-

mente integrable.

El ejemplo clasico de una funcion localmente integrable esta dado porf(x) = 1/x para todo x ∈]0,+∞[. El lector no tendra dificultad en verifi-car que para todo compacto K ⊂]0,+∞[ se tiene ‖f‖L1(K) =

∫

K1/xdx < +∞,

pero que f /∈ L1(]0,+∞[). Veremos mas ejemplos en las lıneas siguientes.Si (X,A , µ) es un espacio medido regular y f, g : X −→ K son dos funcio-

nes localmente de potencia p-eme integrables con 1 ≤ p < +∞, se tiene quef+g ∈ Lp

loc(X,A , µ,K): para todo compacto K basta aplicar la desigualdad deMinkowski para obtener ‖f+g‖Lp(K) ≤ ‖f‖Lp(K)+‖g‖Lp(K) < +∞. De la mis-ma forma, si λ ∈ K, se tiene, sin mayor problema, que λf ∈ Lp

loc(X,A , µ,K).Dado que los razonamientos son los mismos si f, g ∈ L∞

loc(X,A , µ,K), hemosverificado el resultado siguiente:

Proposicion 4.4.1. Si (X,A , µ) es un espacio medido regular, entonces, paratodo 1 ≤ p < +∞ el espacio Lp

loc(X,A , µ,K) y el espacio L∞loc(X,A , µ,K) son

subespacios vectoriales del conjunto de funciones medibles M(X,A ,K).

Estudiemos un poco mas de cerca las funcionales ‖ · ‖Lp(K) y ‖ · ‖L∞(K). Yahemos visto que estas dos funcionales verifican la desigualdad triangular y lapropiedad de homogeneidad con respecto a la multiplicacion con un escalar; sinembargo, si fijamos un compacto K, estas funcionales no verifican la propiedadde separabilidad: ‖f‖Lp(K) = 0 o ‖f‖L∞(K) = 0; significa que la funcion f esnula en µ-casi todas partes sobre K, pero no que f es nula en µ-casi todaspartes sobre X . Tenemos, entonces, que estas funcionales son semi-normasy que determinan sobre los espacios Lp

loc y L∞loc una estructura de espacio

localmente convexo.Podemos decir un poco mas sobre las propiedades topologicas de estos es-

pacios y este es, precisamente, el objetivo de la subseccion siguiente.

4.4.2 Estructura de los espacios locales

Por las hipotesis que hemos impuesto al conjunto X y al espacio medido(X,A , µ), tenemos que X es σ-compacto y que la medida µ es finita sobre

los compactos. Estas propiedades nos proporcionan una sucesion numerable deconjuntos compactos de medida finita (Kn)n∈N, que sera fijada de una vez portodas, tales que X =

⋃

n∈NKn.

A partir de estos hechos, podemos ver que si f : X −→ K es una funciontal que para todo compacto Kn de la sucesion (Kn)n∈N, se tiene ‖f‖Lp(Kn) esigual a 0, entonces f = 0 en µ-casi todas partes, y esta propiedad se mantienesi consideramos ‖ · ‖L∞(Kn). Esto significa que las familias de semi-normas(‖ · ‖Lp(Kn))n∈K y (‖ · ‖L∞(Kn))n∈K verifican el axioma de separacion dado enla definicion 1.3.6 en la pagina 24, lo que nos permitira dotar a los espaciosLploc y L∞

loc de una estructura de espacio topologico separado. De manera masprecisa, tenemos el resultado siguiente.

Teorema 4.4.1. Si X es un espacio topologico separado localmente compactocon base numerable y si el espacio (X,A , µ) es un espacio medido σ-finito regu-lar, entonces los espacios Lp

loc(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞ y L∞loc(X,A , µ,K)

son espacios de Frechet.

Demostracion. Hemos visto con las observaciones de las lıneas precedentes quelas familias de semi-normas (‖ · ‖Lp(Kn))n∈K y (‖ · ‖L∞(Kn))n∈K verifican elaxioma de separacion y entonces, por el teorema 1.3.2, tenemos que los espacios(Lp

loc(X,A , µ,K), (‖ · ‖Lp(Kn))n∈K) y (L∞loc(X,A , µ,K), (‖ · ‖L∞(Kn))n∈K) son

espacios metricos.

Debemos ahora verificar que estos espacios son completos. Para ello, utili-zamos la proposicion 1.3.6 que permite restringir nuestra atencion a los semi-normas que determinan estos espacios. Sea, entonces, (fj)j∈N una sucesion deCauchy del espacio Lp

loc(X,A , µ,K). Fijemos un compacto Kn0 de la suce-sion de compactos (Kn)n∈N que recubre X . Dado que (fj)j∈N es tambien unasucesion de Cauchy del espacio completo Lp(Kn0 ,A|Kn0

, µ|Kn0,K), tenemos

que sobre este compacto Kn0 : fj −→j→+∞

fKn0∈ Lp(Kn0 ,A|Kn0

, µ|Kn0,K). Sea

Kn1 otro compacto de la sucesion (Kn)n∈N. Si Kn0 ∩ Kn1 = A, definimosde forma similar la funcion fKn1\A

como el lımite de la sucesion de Cauchy(fj)j∈N sobre Kn1 \A y construimos una funcion sobre Kn0 ∪Kn1 escribiendofKn0∪Kn1

= fKn0+ fKn1\A

.

De esta manera obtenemos una funcion definida sobreKn0∪Kn1 que corres-ponde al lımite de la sucesion (fj)j∈N. Repitiendo este procedimiento para todocompacto de la sucesion (Kn)n∈N se obtiene una funcion localmente de potenciap-eme integrable f definida sobre X que toma valores en K y que es el lımite,sobre todo compacto Kn y para toda semi-norma asociada, de la sucesion deCauchy (fj)j∈N; lo que demuestra que este espacio es completo. El caso delespacio L∞

loc(X,A , µ,K) se trata de forma totalmente similar, de manera quepodemos dar por terminada la demostracion del teorema.

Observacion 4.13. Los espacios Lploc(X,A , µ,K) y L∞

loc(X,A , µ,K) son espa-cios metricos completos y si bien no hemos explicitado sus respectivas metricasen la demostracion del teorema anterior, conviene escribir su formulacion. Seapues

⋃

n∈NKn = X una sucesion de compactos y sean f, g dos funciones de

4.4 Espacios de funciones localmente integrables 265

Lploc(X) con 1 ≤ p ≤ +∞, entonces la expresion

d(f, g) = supn∈N

ınf‖f − g‖Lp(Kn); 2−n

es una distancia sobre el espacio Lploc(X) (ver seccion 1.3.3).

Observacion 4.14. En estas lıneas, hemos trabajado con una sucesion de com-pactos (Kn)n∈N tal que X =

⋃

n∈NKn y es importante notar que la estructurade los espacios Lp

loc es independiente de la sucesion de compactos escogida: si fi-

jamos otra sucesion (Kn)n∈N tal que X =⋃

n∈N Kn, las propiedades expuestasse mantienen y es equivalente trabajar con una u otra sucesion de compactos.Para mayor detalles, el lector puede ver el ejercicio 4.9.

4.4.3 Relaciones de inclusion

En este parrafo, vamos a mostrar con el teorema 4.4.2 que se presenta acontinuacion que las relaciones de inclusion expuestas en el teorema 4.2.5 semantienen en el caso de los espacios localmente integrables y esto con un par-ticularidad muy especial, dada en el corolario 4.4.1, en donde explicitamosrelaciones entre los espacios de Lebesgue y el espacio L1

loc.

Teorema 4.4.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido regular y p, q dos realestales que 1 < p < q < +∞. Tenemos, entonces, las inclusiones estrictas si-guientes entre los espacios locales:

L∞loc(X,A , µ,K) ( · · · ( Lq

loc(X,A , µ,K) ( Lploc(X,A , µ,K) ( · · ·

( L1loc(X,A , µ,K)

Demostracion. Sean 1 < p < q < +∞ dos reales y f una funcion que perte-nece al espacio Lq

loc(X,A , µ,K). Dado que se tiene para todo compacto K, ladesigualdad

‖f‖Lp(K) ≤ µ(K)1/p−1/q‖f‖Lq(K)

que es de medida finita puesto que el espacio medido (X,A , µ) es regular,podemos deducir que f ∈ Lp

loc(X,A , µ,K). El lector utilizara las funciones detipo (4.15) para verificar que estas inclusiones son estrictas. Los casos lımite 1y +∞ se tratan de la misma manera.

Proposicion 4.4.2. Bajo las hipotesis del teorema 4.4.2, tenemos, para todoreal 1 ≤ p ≤ +∞, la inclusion estricta Lp(X,A , µ,K) ( Lp

loc(X,A , µ,K).

Demostracion. Debemos mostrar que toda funcion que pertenece al espacioLp(X,A , µ,K) es, en realidad, localmente de potencia p-eme integrable. Esteresultado se deduce muy facilmente de la desigualdad elemental

‖f‖pLp(K) =

∫

K

|f(x)|pdµ(x) ≤∫

X

|f(x)|pdµ(x) = ‖f‖pLp,

valida para toda funcion f ∈ Lp(X,A , µ,K) y todo subconjunto compacto deX . La comprobacion de que esta inclusion es estricta se deja como ejercicio.

Corolario 4.4.1. Sea 1 < p ≤ +∞ un real. Entonces todos los espacios deLebesgue Lp(X,A , µ,K) estan contenidos en el espacio L1

loc(X,A , µ,K).

Demostracion. Para la verificacion de este resultado es suficiente aplicar la pro-posicion 4.4.2 y el teorema 4.4.2. En efecto, por la proposicion, tenemos quepara todo 1 < p ≤ +∞ la inclusion Lp(X,A , µ,K) ⊂ Lp

loc(X,A , µ,K), mien-tras que, por el teorema 4.4.2, tenemos Lp

loc(X,A , µ,K) ⊂ L1loc(X,A , µ,K), de

donde se obtiene la inclusion deseada.

Este ultimo resultado es importante, pues, si bien en el caso general noexiste ninguna relacion de inclusion entre los diferentes espacios de Lebesgue,tenemos que todos estos espacios estan siempre contenidos en el espacio defunciones localmente integrables L1

loc(X,A , µ,K), lo cual tiene consecuenciasagradables como veremos en los capıtulos siguientes.

4.5 Densidad y separabilidad de los espacios de

Lebesgue

En el estudio de los espacios funcionales de Banach, es muchas veces muyutil disponer de subconjuntos de funciones mas sencillas de manipular que lasfunciones generales de estos espacios y que sean suficientemente numerosascomo para ser densas en ellos. En el caso de los espacios de Lebesgue, existenfamilias de funciones que disponen de esta propiedad y la verificacion de estehecho es el principal objetivo de esta seccion.

Recordaremos en la primera subseccion las principales definiciones y propie-dades relativas a la densidad y a la separabilidad de los espacios funcionales yaprovechamos este espacio para presentar tres familias de funciones que serande gran utilidad en lo que sigue. En los parrafos siguientes separaremos nuestraexposicion en funcion del ındice p, en donde veremos que las propiedades delos espacios Lp con 1 ≤ p < +∞ difieren de las del espacio L∞.

4.5.1 Definiciones y propiedades generales

Ademas de enunciar en este parrafo las definiciones de subespacios densos, deseparabilidad y de presentar algunas propiedades inherentes a estas nociones,vamos a exponer en los puntos A), B) y C) (o a recordar para la primera deellas) las familias de funciones simples (medibles e integrables), las funcionescontinuas a soporte compacto y las funciones continuas que se anulan al infinito.

Definicion 4.5.1 (Densidad en un espacio normado). Sea (E, ‖·‖E) un espacionormado. Un subconjunto A de E es denso en (E, ‖ · ‖E) si para todo puntox ∈ E y todo real ε > 0, existe un punto y ∈ A tal que ‖x− y‖E ≤ ε. Diremos,entonces, que A es denso en E en el sentido de la norma ‖ · ‖E.Observacion 4.15. Esta caracterizacion de los espacios densos se mantieneen el caso de los espacios metricos (E, dE), reemplazando convenientemente lanorma ‖ · ‖E por la distancia dE .

4.5 Densidad y separabilidad de los espacios de Lebesgue 267

El ejemplo clasico de subespacio denso es el conjunto de los numeros racio-nales Q en R. Sabemos, en efecto, que para todo x ∈ R y para todo ε > 0, existeun racional q ∈ Q tal que |x − q| ≤ ε. Considerando Q = Q + iQ observamosque los numeros complejos C tambien admiten subespacios densos.

Proposicion 4.5.1 (Transitividad de la densidad). Sean (E, ‖ ·‖E) un espaciovectorial normado y A y B dos subconjuntos de E. Si A ⊂ B es denso en B yB ⊂ E es un conjunto denso en E en el sentido de la norma ‖ · ‖E, entoncesA es denso en E.

Demostracion. Sea x un elemento de E y ε > 0 un real. Como B es denso enE, existe un elemento y ∈ B tal que ‖x− y‖E ≤ ε/2. Una vez que se fija esteelemento y ∈ B fijado, como A es denso en B en el sentido de la norma ‖ · ‖E ,existe un elemento z ∈ A tal que ‖y − z‖E ≤ ε/2. Dado que, tenemos por ladesigualdad triangular la desigualdad

‖x− z‖E ≤ ‖x− y‖E + ‖y − z‖E ≤ ε

2+ε

2= ε;

podemos, entonces, concluir que A es denso en E.

Si bien el concepto de densidad de un subconjuntoA en un espacioE expresaque hay “suficientes” elementos de A en E y que estos estan “suficientemente”cerca de elementos de E, la cardinalidad del conjunto A nos proporciona unainformacion importante y es por esta razon que presentamos la definicion acontinuacion.

Definicion 4.5.2 (Espacio separable). Sea (E, ‖ · ‖E) un espacio normado.Diremos que E es un espacio separable si existe un subconjunto denso numera-ble.

Evidentemente, este concepto se mantiene para los espacios metricos y es-pacios topologicos generales. Cuando los espacios estudiados son espacios deBanach separables, estos conjuntos son de gran interes en las, matematicas puespermiten realizar verificaciones constructivas de algunos resultados importan-tes. Mas adelante, en el volumen 2, veremos que la hipotesis de separabilidades de gran utilidad. Por el momento, expongamos algunos resultados generalesrelativos a los espacios separables.

Proposicion 4.5.2. Sean (E, ‖ · ‖E) un espacio normado separable y F unsubconjunto de E, entonces F es separable.

Demostracion. Sean (en)n∈N un subconjunto denso y numerable deE y (αm)m∈N

una sucesion de reales positivos tales que αm −→m→+∞

0 . Como F es un sub-

conjunto de E, existe, para todo z ∈ F y todo αm > 0, un punto en tal que‖z − en‖E ≤ αm. Si m es suficientemente grande, existe en ∈ B(z, αm) ⊂ F ynotamos este elemento en,m. La coleccion de los puntos (en,m)n,m∈N es, enton-ces, un subconjunto numerable y denso de F .


La siguiente definicion hace intervenir el concepto de combinaciones linealesde elementos de un subconjunto y lo relaciona con la nocion de densidad. Vere-mos que esta idea tiene muchas aplicaciones en los capıtulos siguientes, enparticular, cuando tratemos los espacios de Hilbert en el volumen 2.

Definicion 4.5.3 (Sistema Total). Sea (E, ‖·‖E) un espacio vectorial normado.Diremos que un subconjunto T de E es total en E si el subespacio vectorialV ect(T ), formado por todas las combinaciones lineales de elementos de T , esdenso en E.

Un ejemplo simple esta dado por (Rn, | · |) con T = (ej)1≤j≤n una base deRn puesto que se tiene V ect(T ) = Rn. De manera mas general, se tiene quetodo espacio vectorial de dimension finita es separable (vease el ejercicio 4.13para mas detalles).

La numerabilidad de un sistema total permite caracterizar la separabilidadde un espacio vectorial normado como nos lo indica el resultado siguiente.

Proposicion 4.5.3. Un espacio vectorial normado (E, ‖ · ‖E) es separable siy solo si admite un sistema total numerable.

Demostracion. Si el espacio (E, ‖ · ‖E) es separable, existe un subconjuntoT denso numerable de E. Tenemos, entonces, T ⊂ V ect(T ) y, por lo tanto,V ect(T ) es denso en E, de donde se deduce que T es un sistema total en E.Recıprocamente, si T es un sistema total numerable de E, para todo x ∈ E ytodo ε > 0, existe y ∈ V ect(T ) tal que ‖x−y‖E ≤ ε

2 . Notamos, luego, V ectQ(T )el conjunto de las combinaciones lineales de elementos de T con coeficientes enQ = Q (si K = R) o en Q = Q+iQ (si K = C). No es difıcil ver que V ectQ(T ) esdenso en V ect(T ) y, por lo tanto, para todo y ∈ V ect(T ), existe z ∈ V ectQ(T )tal que ‖y − z‖E ≤ ε

2 . Tenemos, entonces, que V ectQ(T ) es denso en E, pues‖x− z‖E ≤ ‖x− y‖E + ‖y− z‖E ≤ ε

2 +ε2 = ε. Vemos finalmente que V ectQ(T )

es numerable pues es la imagen del conjunto numerable⋃

n≥1(Qn ×T n) por la

aplicacion f determinada por f(λ1, ..., λn, x1, ..., xn) =∑n

j=1 λjxj , y podemos,de esta manera, concluir la demostracion.

Cuando el espacio normado (E, ‖·‖E) es un espacio de Banach, podemos daruna condicion para estudiar su separabilidad mediante el resultado siguiente.Indiquemos desde ya que este resultado es negativo: esta proposicion nos dicecuando un espacio de Banach no es separable.

Proposicion 4.5.4. Sea (E, ‖·‖E) un espacio de Banach. Si existe una familia(Ai)i∈I que verifica los tres puntos a continuacion:

1) para todo i ∈ I, el conjunto Ai es un abierto no vacıo de E;

2) si i 6= j, entonces Ai ∩Aj = ∅; y

3) I es un conjunto no numerable;

entonces el espacio E no es separable.


Demostracion. Para la verificacion de este hecho procederemos por el absurdo.Supongamos, pues, que E es separable y sea (en)n∈N una sucesion densa en E.Tenemos entonces por definicion de subconjunto denso que para todo i ∈ I, setiene Ai∩(en)n∈N 6= ∅. Escogemos, entonces, n(i) tal que en(i) ∈ Ai, de maneraque la aplicacion ϕ : i 7−→ n(i) es inyectiva. En efecto, si n(i) = n(j), entoncesen(i) = en(j) ∈ Ai ∩ Aj y, por lo tanto i = j. Esto implica que el conjunto I esnumerable, lo que contradice el tercer punto.

Una vez que se han expuesto estos resultados, pasamos a la segunda partede este parrafo recordando algunas definiciones de espacios funcionales.

A) Funciones simples medibles

Recordemos la definicion del espacio de funciones simples. Sea (X,A , µ) unespacio medido σ-finito, las funciones que pertenecen a este espacio se escribencomo f(x) =

∑nk=0 αk1Ak

(x) en donde (αk)0≤k≤n ∈ K y (Ak)0≤k≤n ∈ A .Notamos este espacio de funciones por S(X,A , µ,K). Recuerdese que unafuncion simple f es integrable si el conjunto x ∈ X : f(x) 6= 0 es de µ-medida finita y, notaremos en este caso SI(X,A , µ,K) el conjunto formadopor este tipo de funciones. Evidentemente, si X es de masa total finita, se tienela identidad entre los espacios SI y S.

Para las dos definiciones que siguen, exigiremos que X sea un espacio to-pologico separado localmente compacto con base numerable y que el espaciomedido (X,A , µ) sea regular. Antes de entrar en detalles es necesario unadefinicion.

Definicion 4.5.4 (Soporte de una funcion). Sea X un espacio topologico. Elsoporte de una funcion f : X −→ K esta definido como

sop(f) = x ∈ X : f(x) 6= 0.Este concepto es importante y sera utilizado en muchas ocasiones a continua-

cion.

B) Funciones continuas a soporte compacto

Definicion 4.5.5 (Espacio Cc(X,K)). Sea X un espacio topologico separadolocalmente compacto con base numerable. Definimos el conjunto de funcionesCc(X,K) como el conjunto de funciones continuas f : X −→ K con soportecontenido en un compacto.

Observese que estas funciones son acotadas y se anulan fuera de un ciertocompacto que contiene su soporte, estas particularidades las vuelven intere-santes en muchas aplicaciones. Demos un ejemplo de este tipo de funciones.Consideremos X = R y definamos la funcion f de la siguiente manera

f(x) =

1 + x si x ∈]− 1, 0],1− x si x ∈]0, 1],0 sino.

El lector no tendra dificultad en verificar que esta funcion pertenece al espacioCc(R,R).

Proposicion 4.5.5. El espacio de funciones continuas con soporte compactoCc(X,K) es un espacio vectorial.

Demostracion. La multiplicacion de una funcion f ∈ Cc(X,K) por un escalarλ ∈ K no altera su soporte de manera que λf ∈ Cc(X,K). Veamos ahora quela suma de dos funciones continuas con soporte compacto es una funcion consoporte compacto. Para ello, es suficente notar que sop(f+g) ⊂ sop(f)∪sop(g).Como la union finita de compactos es compacta y como sop(f+g) es cerrado pordefinicion, tenemos que el soporte de f+g es un conjunto compacto, obteniendoası el resultado buscado.

Observacion 4.16. Si la medida µ es finita sobre los compactos, entoncesCc(X,K) ⊂ Lp(X,A , µ,K) para todo 0 < p ≤ +∞. En efecto, si f ∈ Cc(X,K)y si notamos K el compacto que contiene el soporte de f , tenemos

∫

X

|f(x)|pdµ(x) ≤ supx∈K

|f(x)|pµ(K) < +∞.

C) Funciones continuas que se anulan al infinito

El ultimo espacio de funciones que presentamos aquı posee una propiedad “alinfinito” que es precisada a continuacion.

Definicion 4.5.6 (Espacio C0(X,K)). Sea X un espacio topologico separadolocalmente compacto con base numerable. Diremos que una funcion f : X −→ K

se anula al infinito si para todo ε > 0 existe un compacto K de X tal que|f(x)| < ε para todo x ∈ Kc. Notaremos C0(X,K) el conjunto de todas lasfunciones continuas definidas sobre X que toman valores en K que se anulanal infinito.

El lector observara que se tiene la inclusion estricta de espacios

Cc(X,K) ( C0(X,K) ( L∞(X,A , µ,K),

pero que, por lo general, no existe ninguna relacion de inclusion entre los espa-cios C0(X,K) y los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞. Ası,por ejemplo, si consideramos la funcion determinada por f(x) = 1 sobre [−1, 1]y f(x) = |x|−1/p si no, tenemos que, para todo ε > 0, existe un compacto Ktal que |f(x)| < ε (basta fijar K ⊃] − ε−p, ε−p[) y, de esta manera, se tienef ∈ C0(R,R), pero f /∈ Lp(R).

Observacion 4.17. Evidentemente, si el espacio X es compacto, existe unarelacion especial entre los espacios Cc(X,K) y C0(X,K): se tiene la identidadentre estos dos espacios de funciones.

4.5.2 Densidad en los espacios Lp con 1 ≤ p < +∞Empezamos este parrafo mostrando que las funciones simples integrables ylas funciones continuas con soporte compacto son densas en los espacios deLebesgue. Veremos, ademas, algunos resultados sobre los espacios de Lebesguelocales. Finalmente, daremos condiciones para estudiar la separabilidad de estosespacios con el teorema 4.5.4.

Teorema 4.5.1. Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. El conjunto de lasfunciones simples integrables SI(X,A , µ,K) es denso en Lp(X,A , µ,K).

Antes de pasar a la demostracion, recordamos que el espacio de funcionessimples S(X,A , µ,K) no es necesariamente un subconjunto de Lp(X,A , µ,K).Por ejemplo, si µ(X) = +∞, la funcion ϕ(x) = 1X(x) pertenece al espacioS(X,A , µ,K), pero ϕ /∈ Lp(X,A , µ,K) para todo 1 ≤ p < +∞ y es, por estarazon, que consideramos el conjunto de funciones integrables.

Demostracion. Vamos a considerar solamente el caso real K = R pues el casocomplejo se deduce sin mayor problema si se considera por separado las partesreales e imaginarias de las funciones que entran en consideracion.

Sea, pues, f ∈ Lp(X,A , µ,R) con 1 ≤ p < +∞. Por el teorema de aproxi-macion de funciones medibles, existen dos sucesiones de funciones (gn)n∈N y(hn)n∈N pertenecientes al espacio SI(X,A , µ,R) tales que f+ = lım

n→+∞gn y

f− = lımn→+∞

hn. Determinamos, una nueva sucesion escribiendo fn = gn − hn

de forma que cada funcion fn es una funcion simple A -medible que verifica|fn| ≤ |f | en µ-casi todas partes y que pertenece al espacio Lp(X,A , µ,R).

Dado que estas funciones verifican |fn(x) − f(x)| ≤ 2|f(x)| y que se tienelım

n→+∞|fn(x)− f(x)| = 0 en µ-casi todas partes, podemos aplicar el teorema de

convergencia dominada en su versionLp a las funciones |fn−f | para obtener quelım

n→+∞‖fn− f‖Lp = 0, y con esto terminamos la demostracion del teorema.

Teorema 4.5.2. Sean X un espacio topologico separado localmente compactocon base numerable y (X,A , µ) un espacio medido regular. Entonces el espaciode funciones continuas con soporte compacto Cc(X,K) es denso en el espacioLp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞.

Demostracion. Tratamos unicamente el caso real. Vamos a mostrar que el es-pacio Cc(X,R) es denso en el sentido de Lp en SI(X,A , µ,R) y, por la transiti-vidad de la densidad expuesta en la proposicion 4.5.1, a partir de este resultadose deducira la densidad de Cc(X,R) en Lp(X,A , µ,R).

Como las funciones del espacio SI(X,A , µ,R) son combinaciones linealesfinitas de funciones indicatrices de conjuntos de medida finita, podemos con-centrarnos en las funciones de tipo 1A en donde A ∈ A y µ(A) < +∞. Dadoque el espacio medido (X,A , µ) es regular, por el teorema 2.4.2 de aproxima-cion de medidas regulares (vase pagina 101), tenemos que, para todo conjuntoA ∈ A y para todo ε > 0, existen un conjunto cerrado F y U un conjuntoabierto tales que F ⊂ A ⊂ U y tales que µ(U \ F ) < ε.

Aplicamos aquı el lema de Urysohn 1.2.2 que nos asegura la existencia deuna funcion continua ψ : X −→ [0, 1] tal que ψ(F ) = 1 y ψ(U c) = 0. Vemosentonces sin problema que ψ ∈ Cc(X,R) y podemos escribir:

∫

X

|1A(x) − ψ(x)|pdµ(x) ≤ µ(U \ F ) < ε.

Esto muestra que el conjunto de las funciones continuas con soporte compac-to es denso en el conjunto de las funciones simples integrables, de donde seconcluye que Cc(X,R) es denso en Lp(X,A , µ,R).

Para terminar la presentacion de los resultados de densidad de este parrafoexponemos un resultado que estudia las relaciones entre los espacios de Lebes-gue y los espacios de funciones localmente integrables.

Teorema 4.5.3. Sean 1 ≤ p < +∞ un real, X un espacio topologico separadolocalmente compacto con base numerable y (X,A , µ) un espacio medido regular.Entonces los espacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) son densos en los espaciosLploc(X,A , µ,K).

Demostracion. Sean ε > 0 un real y f ∈ Lploc(X,A , µ,K). Existe, entonces,

un entero N ∈ N tal que 2−N−1 < ε2 < 2−N . Dado que, para todo n > N

y toda funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K), se tiene ınf‖f − g‖Lp(Kn); 2−n ≤ ε/2,

podemos concentrarnos en los compactos (Kn)0≤n≤N . Vamos a suponer queestos compactos son disjuntos; en el caso contrario, una pequena modificaciones necesaria sin alterar la idea de la demostracion. Sobre cada compacto Kn,existe una funcion simple ψn tal que ‖f − ψn‖Lp(Kn) ≤ ε/2 por densidad delas funciones simples en los espacios Lp(Kn). Definimos, entonces, una funcion

g(x) =∑N

n=0 ψn(x), y no es difıcil ver que esta funcion pertenece al espacioLp(X,A , µ,K). Tenemos entonces las desigualdades

d(f, g) = supn∈N

ınf‖f − g‖Lp(Kn); 2−n ≤ ε/2 + ε/2 = ε,

y hemos, de esta forma, demostrado que, para toda funcion f ∈ Lploc(X,A , µ,K)

y todo ε > 0, existe una funcion g ∈ Lp(X,A , µ,K) tal que d(f, g) < ε, de don-de se obtiene la densidad de Lp(X,A , µ,K) en el espacio Lp

loc(X,A , µ,K).

Corolario 4.5.1. Sean 1 ≤ p < +∞ un real, X un espacio topologico separadolocalmente compacto con base numerable y (X,A , µ) un espacio medido regu-lar. El espacio de funciones simples integrables SI(X,A , µ,K) y el espacio defunciones continuas con soporte compacto Cc(X,R) son densos en los espaciosde funciones localmente integrables Lp

loc(X,A , µ,K).

Demostracion. Este resultado se deduce por transitividad modificando adecua-damente la demostracion del teorema 4.5.3: las funciones con soporte compactoson densas en las funciones simples que, a su vez, son densas en los espacios Lp

que, son densos a su vez en los espacios de funciones localmente integrables.

Con estos resultados, hemos terminado, por el momento, nuestra exposicionde los subespacios densos en los espacios de Lebesgue y pasamos ahora el estudiode la separabilidad de los espacios Lp(X,A , µ,K). Mas precisamente queremossaber bajo que condiciones existen subespacios densos numerables de estosespacios y vamos a ver que es suficiente exigir ciertas propiedades sobre elespacio medido sobre el cual estan definidos los espacios de Lebesgue. Paraentrar en los detalles, necesitaremos la siguiente definicion.

Definicion 4.5.7 (σ-algebra numerablemente generada). Sea A una σ-algebrasobre un conjunto X. Diremos que la σ-algebra A es numerablemente engen-drada si existe un conjunto de cardinal numerable K ∈ A tal que σ(K) = A .

Por ejemplo, si X = Rn, tenemos que la σ-algebra Bor(Rn) es numera-blemente engendrada por los cubos diadicos. Notese que este tambien es elcaso para los espacios topologicos separados localmente compactos con basenumerable dotados de sus σ-algebras borelianas respectivas.

Gracias a esta definicion, podemos caracterizar la separabilidad de los es-pacios Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞ por medio del teorema siguiente.

Teorema 4.5.4 (Condicion de separabilidad). Sean (X,A , µ) un espacio me-dido y p un real tal que 1 ≤ p < +∞. Si la medida µ es σ-finita y la σ-algebraes numerablemente engendrada, entonces el espacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K)es separable.

Para la demostracion de este resultado utilizaremos dos lemas.

Lema 4.5.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido de masa total finita y A unaalgebra de subconjuntos de X tal que σ(A) = A . Entonces A es denso en A

en el sentido de que, para todo A ∈ A y todo ε > 0, existe un conjunto A0 quepertenece a A que verifica µ(A∆A0) ≤ ε.

Demostracion. Sea F la familia de conjuntos que pertenecen a A tales que,para todo ε > 0, existe un conjunto A0 ∈ A que satisface µ(A∆A0) ≤ ε. Vamosa mostrar que F = A y, para ello, vamos a verificar que F es una σ-algebra.

Vemos que A ⊂ F , de manera que se tiene X ∈ F . Como se tiene laidentidad Ac∆Ac

0 = A∆A0, podemos decir que, si A ∈ F , entonces Ac ∈ Fy F es estable al pasar al complemento. Sean ahora (An)n∈N una sucesion deconjuntos de F , A =

⋃

n∈NAn y ε > 0. Dado que µ(X) < +∞, podemos

fijar un entero N suficientemente grande tal que µ(A \ ∪N−1n=0 An) ≤ ε/2. Para

n = 0, ..., N − 1, fijamos un conjunto Bn ∈ A que verifica µ(An∆Bn) ≤ ε2N .

El conjunto B0, determinado por B0 =⋃N−1

n=0 Bn, pertenece, entonces, a A ysatisface11

µ(A∆B0) ≤ µ

(

A∆

(N−1⋃

n=0

An

))

+ µ

((N−1⋃

n=0

An

)

∆B0

)

≤ µ

(

A∆

(N−1⋃

n=0

An

))

+

N−1∑

n=0

µ (An∆Bn) ≤ε

2+

N−1∑

n=0

ε

2N= ε.

11Notese que se tiene las inclusiones A∆B ⊂ A∆C∪C∆B y (A∪B)∆C ⊂ (A∆C)∪(B∆C)para todo A,B, C ∈ A .

Como es posible encontrar un conjunto B0 con estas propiedades para todoε > 0, tenemos que A ∈ F , de donde se deduce que F es estable por reunionnumerable y, por lo tanto, que es una σ-algebra. Finalmente, como se tienenlas inclusiones A ⊂ F ⊂ σ(A) = A podemos concluir que F = A .

Lema 4.5.2. Sean (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y A una algebra departes de X tales que:

1) σ(A) = A ; y

2) X es la union de una sucesion de conjuntos que pertenecen a A deµ-medida finita.

Entonces, para todo ε > 0 y todo conjunto A ∈ A tal que µ(A) < +∞, existeun conjunto A0 ∈ A tal que µ(A∆A0) ≤ ε.

Demostracion. Por la hipotesis, existe una sucesion de conjuntos (Bn)n∈N quepertenecen a A de µ-medida finita tales que X =

⋃

n∈NBn. Reemplazando Bn

por⋃n

k=0 Bk, podemos suponer, sin perdida de generalidad, que la sucesion(Bn)n∈N es creciente. Sean ahora ε > 0 un real y A ∈ A un conjunto tales queµ(A) < +∞. Como la sucesion creciente (Bn)n∈N recubre X , existe un enteroN tal que µ(A ∩BN ) ≥ µ(A)− ε/2. Construimos, entonces, una medida finitaescribiendo ν : C 7−→ µ(C) = µ(C ∩ BN ) y podemos usar el lema 4.5.1 paraobtener un conjunto E ∈ A que verifica ν(A∆E) = µ((A∆E) ∩ BN ) ≤ ε/2.Notese que E∩BN pertenece a A; luego, por la inclusion A∆B ⊂ A∆C∪C∆Bpara todo A,B,C, podemos escribir

µ(A∆(E ∩BN )) ≤ µ(A∆(A ∩BN )) + µ((A ∩BN )∆(E ∩BN ))

= µ(A \ (A ∩BN )) + µ((A∆E) ∩BN ) ≤ ε

2+ε

2= ε.

Si definimos A0 = E ∩BN , se obtiene el resultado deseado.

Demostracion del teorema 4.5.4. Por la hipotesis, existe una familia numerableK de A que genera A y que contiene una sucesion de conjuntos (Bn)n∈N

de µ-medida finita tal que X =⋃

n∈NBn. Notemos K el conjunto formadopor los conjuntos de K al cual anadimos sus complementos, y consideremosA el algebra (cuidado, no la σ-algebra!) engendrada por K. Tenemos entoncesque A es el conjunto formado por uniones finitas de conjuntos de la formaA1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ AN para algun N y algunos (Ai)1≤i≤N ∈ K. Tenemos, por lotanto, que A es numerable y verifica las hipotesis del lema 4.5.2.

Consideremos la coleccion de todas las sumas finitas∑n

j=0 qj1Dj (x), endonde qj ∈ Q con Q = Q si K = R o Q = Q + iQ si K = C y, en donde,Dj ∈ A y µ(Dj) < +∞. Esta coleccion es numerable y esta contenida en elespacio de Lebesgue Lp(X,A , µ,K). Vamos a demostrar que esta coleccion esun subconjunto denso.

Sean, pues, f ∈ Lp(X,A , µ,K) y ε > 0 un real. Sabemos, en particular,por el teorema de aproximacion por funciones simples 3.2.4, que existe unafuncion simple g que pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) tal que ‖f−g‖Lp ≤ ε.

Suponemos que la funcion g se escribe como∑n

j=0 αj1Aj (x) en donde cadaconjunto Aj pertenece a A y verifica µ(Aj) < +∞. Podemos encontrar, sinproblema, numeros racionales qj tales que se tenga

∥∥∥∥∥∥

g −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

=

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=0

αj1Aj −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤n∑

j=0

|αj − qj |‖1Aj‖Lp ≤ ε.

Por lema 4.5.2, es posible encontrar conjuntos Dj ∈ A tales que

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=0

qj1Aj −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ ε.

Dado que se tienen las desigualdades∥∥∥∥∥∥

f −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ ‖f − g‖Lp +

∥∥∥∥∥∥

g −n∑

j=0

qj1Aj

∥∥∥∥∥∥Lp

+

∥∥∥∥∥∥

n∑

j=0

qj1Aj −n∑

j=0

qj1Dj

∥∥∥∥∥∥Lp

≤ 3ε

podemos finalmente dar por terminada la demostracion de este teorema.

Este resultado tiene como consecuencia directa la asercion siguiente quesiempre conviene tener en mente.

Corolario 4.5.2. Los espacios Lp(Rn,Bor(Rn), λn,K), donde 1 ≤ p < +∞,son separables.

4.5.3 Densidad en los espacios L∞

Consideramos ahora los espacios de funciones esencialmente acotadas y vere-mos, una vez mas, que las propiedades de los espacios L∞(X,A , µ,K) difierende las de los espacios Lp(X,A , µ,K) con 1 ≤ p < +∞, lo que justifica sutratamiento por separado. Tres resultados de importancia se expondrn en estaseccion. Mostraremos que estos espacios admiten subconjuntos densos, que lasfunciones continuas con soporte compacto no son densas en L∞ y que el espacioL∞(X,A , µ,K), con X = R dotado de su estructura canonica, no es separable.

Teorema 4.5.5. Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito. Entonces el espacioformado por las funciones simples S(X,A , µ,K) es denso en L∞(X,A , µ,K).

Demostracion. Tratamos aquı solamente el caso real. Como en los enunciadosprecedentes, el caso complejo se deduce sin mayor problema a partir de esteresultado. Sean, entonces, f ∈ L∞(X,A , µ,R) una funcion y ε > 0 un real. Siconsideramos el intervalo real I = [−‖f‖L∞, ‖f‖L∞], podemos escoger nume-ros reales −‖f‖L∞ = a0 < a1 < · · · < an = ‖f‖L∞ tales que los intervalos

]ai, ai+1] tengan una longitud inferior o igual a ε y formen un recubrimiento deI. Definimos luego los conjuntos Ai = f−1(]ai, ai+1]) para todo i = 0, ..., n− 1

y construimos la funcion fε(x) =∑n−1

i=0 ai1Ai(x). Por su construccion, estasfunciones son simples A -medibles y verifican ‖f−fε‖L∞ ≤ ε. Hemos, entonces,terminado la demostracion del teorema.

Contrariamente al teorema 4.5.2, tenemos el resultado siguiente.

Proposicion 4.5.6. Sean X un espacio topologico separado localmente com-pacto con base numerable y (X,A , µ) un espacio medido regular. Entonceslas funciones continuas con soporte compacto Cc(X,K) y las funciones con-tinuas que tienden a cero al infinito C0(X,K) no son densas en el espacioL∞(X,A , µ,K). Si µ(X) = +∞, entonces las funciones simples integrablesSI(X,A , µ,K) no son densas en el espacio L∞(X,A , µ,K).

Demostracion. La funcion f = 1X pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K), pero,para toda funcion ϕ continua con soporte compacto o continua que tiende acero al infinito se tiene ‖f − ϕ‖L∞ > 1/2.

Si µ(X) = +∞, una funcion simple integrable ψ verifica µ(x ∈ X : ψ 6=0) = 0, y el mismo ejemplo anterior muestra que el conjunto SI(X,A , µ,K)no es denso en el espacio L∞(X,A , µ,K).

A pesar de tener este resultado negativo, existe una relacion de densidadentre el espacio de funciones con soporte compacto y el espacio de funcionescontinuas que se anulan al infinito:

Teorema 4.5.6. Las funciones continuas con soporte compacto Cc(X,K) sondensas en el sentido de la norma ‖ · ‖L∞ en el espacio C0(X,K), formado porlas funciones continuas que se anulan al infinito.

Demostracion. Sean f una funcion del espacio C0(X,K) y ε > 0 un real. Pordefinicion de funcion que se anula al infinito, existe un compacto K ⊂ X talque sup

x∈Kc

|f(x)| < ε, y esto permite concentrar nuestra atencion al compacto K.

En realidad, vamos a considerar un compacto K un poco mas grande tal queK ⊂ K. Definimos, entonces, una funcion continua ψ que coincida con f sobreK y que se anule afuera de K: de esta manera ψ, es una funcion continua consoporte compacto. Tenemos, entonces, que ‖f −ψ‖L∞ < ε, de donde se deduceque el conjunto de funciones continuas con soporte compacto es denso en lasfunciones continuas que se anulan al infinito.

Pasemos ahora al estudio de la separabilidad de los espacios de funcionesesencialmente acotadas. Vamos a empezar con un resultado que contrasta conla situacion presentada en el corolario 4.5.2 de la seccion anterior.

Teorema 4.5.7. El espacio L∞(Rn,Bor(Rn), λn,K) de funciones esencial-mente acotadas no es separable. Este resultado se mantiene si el conjunto debase es un subconjunto abierto de Rn.

Demostracion. Tratamos unicamente el caso K = R. Puesto que L∞ poseeuna estructura de espacio de Banach, vamos a utilizar la proposicion 4.5.4para mostrar que no existe un subconjunto denso y numerable del espacioL∞(Rn,Bor(Rn), λn,R). Para todo punto a ∈ Rn, definimos la funcion ϕa(x) =1B(a,1)(x) y el conjunto

Aa = f ∈ L∞(Rn,Bor(Rn), λn,R) : ‖f − ϕa‖L∞ < 1/2.

Vemos, entonces, que para todo a ∈ Rn, el conjunto Aa es un abierto no vacıode L∞(Rn,Bor(Rn), λn,R) y que, si a 6= b, entonces Aa ∩ Ab = ∅. Como Rn

no es numerable, podemos aplicar la proposicion 4.5.4 para obtener que esteespacio no es separable.

Para la segunda asercion, hacemos una pequena modificacion del razona-miento anterior. Sea, pues, X un subconjunto abierto de Rn, y estudiemos laseparabilidad del espacio L∞(X). Para todo punto a ∈ X , fijamos un real ra talque ra < d(a,Xc), en donde d(a,Xc) es la distancia entre el punto a y el com-plemento de X . La funcion ϕa esta entonces definida por ϕa(x) = 1B(a,ra)(x)y por los mismos argumentos utilizados en las lıneas precedentes, definimossimilarmente los conjuntos Aa y, como X es no numerable, podemos concluircon la demostracion.

Este resultado es importante, pues muestra que, en el caso mas utilizadoen la practica, es decir cuando X es el espacio euclıdeo o algun subconjuntoabierto, los espacios de funciones esencialmente acotadas poseen propiedadestopologicas distintas a las de los otros espacios de Lebesgue. Estas diferenciasseran todavıa mas evidentes cuando estudiemos la dualidad y la reflexibilidadde los espacios de Lebesgue en los capıtulos siguientes.

El resultado a continuacion presenta condiciones de separabilidad para elespacio L∞.

Teorema 4.5.8. Sea (X,A , µ) un espacio medido. Entonces las proposicionessiguientes son equivalentes.

1) El espacio L∞(X,A , µ,K) es separable.

2) No existe una familia infinita (An)n∈N de partes A -medibles de X demedida no nula, disjunta dos a dos.

3) El espacio L∞(X,A , µ,K) es de dimension finita.

4) Toda funcion A -medible pertenece al espacio L∞(X,A , µ,K).

Demostracion. Mostremos 1) =⇒ 2) via la proposicion contrapuesta. Sea, pues,(An)n∈N una familia infinita de partes A -medibles de X de medida no nuladisjunta dos a dos. Para toda sucesion a = (an)n∈N ∈ 0, 1N∗

, definimos lafuncion ψa(x) =

∑

n∈N an1An(x) y vemos, sin problema, que ψ es una fun-cion A -medible, acotada y que si a 6= b, entonces ‖ψa − ψb‖L∞ = 1 por laspropiedades de la sucesion (An)n∈N. De esta manera las bolas B(ψa, 1/2) cona ∈ 0, 1N∗

forman una familia no numerable de abiertos disjuntos del espacio

L∞(X,A , µ,K) y, por lo tanto, basta aplicar la proposicion 4.5.4 para obtenerque este espacio no es separable.

Verifiquemos 2) =⇒ 3). Vamos a proceder en tres etapas distintas.

a) Si se tiene 2), entonces toda parte no vacıa A -medible de X admite unatomo. Introducimos una relacion de equivalencia sobre el conjunto A

escribiendo, para todo A,B:

A ∼= B ⇐⇒ µ(B \A) = µ(A \B) = 0,

y notamos [A] un representante de esta clase de equivalencia. Definimos,ademas, una relacion de orden “≤” sobre A|∼= de esta forma: diremosque U ≤ V si existen A,B ∈ A tales que U ∈ [A] y V ∈ [B] conµ(B \ A) = 0. Finalmente para todo U ∈ A|∼= , notaremos con µ(U) lamedida de cualquiera de los representantes de U . Con estos preliminares,podemos ver que, si U, V ∈ A|∼= y si U ≤ V , entonces µ(V ) ≤ µ(U); si,ademas, U 6= V , entonces se tiene µ(V ) < µ(U).

Sean ahora T una parte totalmente ordenada de A|∼= y α = ınfµ(U) :U ∈ T . Vamos a mostrar que existe U ∈ T tal que µ(U) = α > 0. Enefecto, si suponemos que para todo U ∈ T , se tiene µ(U) > α, enton-ces, como T es totalmente ordenado, existe una sucesion estrictamentecreciente (Un)n∈N de elementos de T tal que lım

n→+∞µ(Un) = α. Dado

que, para todo n ≥ 0, si An es un representante de Un, podemos defi-nir Bn = An−1 \ An para n ≥ 1. Tenemos, entonces, que µ(Bn) > 0 yque (Bn)n≥1 es una familia infinita de partes de A de medida no nulay disjunta dos a dos. Esto es una contradiccion con la hipotesis 2), porlo tanto, existe U ∈ T tal que µ(U) = α > 0. Como T es un conjuntototalmente ordenado, necesariamente U es el elemento mas grande de T .

Sea ahora U ∈ A tal que µ(U) > 0 notemos con AU = A ∈ A : A ⊂ Uy A U = AU|∼=

. El lema de Zorn, aplicado a la restriccion sobre A U de la

relacion de orden “≤”, asegura que existe un parte A ⊂ U tal que [A] esun elemento maximal de A U , de donde se deduce que A es un atomo deU .

b) Si se tiene 2) y a), entonces existe una sucesion finita (An)0≤n≤N de

atomos tal que µ(X \⋃Nn=0An) = 0 y tal que, si m 6= n, entonces µ(Am∩

An) = 0.

Con los puntos 2) y a), tenemos que toda parte A -medible de X admiteun atomo y, por la demostracion del punto a), los atomos corresponden alos elementos maximales de A|∼= . Por lo tanto, dos atomos distintos debentener una interseccion nula. Por el punto 2), solo puede haber un numero

finito de atomos A0, ..., AN . Finalmente, si X \⋃Nn=0An no es de medida

nula por la parte a), deberıa contener un atomo, lo cual es imposible,pues deberıa pertenecer a (An)0≤n≤N .

4.6 Espacios de Lebesgue discretos - espacios de sucesiones 279

c) Para terminar, mostremos que toda funcion A -medible es igual en µ-c.t.p. a una combinacion lineal de funciones 1An , en donde (An)0≤n≤N

son los atomos de la parte b).

Sean, pues, f una funcion A -medible y A un atomo de X . La funcionf|A es A -medible y, por lo tanto, es lımite simple de una sucesion defunciones simples (fn)n∈N definidas sobre A. Como A es un atomo, cadafuncion fn es constante sobre A modulo un conjunto Bn de medida nula.Definimos, entonces, B =

⋃

n∈NBn y, entonces, f es constante sobreA\B.En efecto, si x, y ∈ A \ B, entonces para todo n ∈ N, fn(x) = fn(y) yf(x) = lım

n→+∞fn(x) = lım

n→+∞fn(y) = f(y). Como hay un numero finito de

atomos, obtenemos que f es una combinacion lineal de las funciones 1An

con 0 ≤ n ≤ N . Esto muestra que todas las funciones A -medibles sonfunciones simples y pertenecen a L∞(X,A , µ,K); de donde se concluyeque este espacio es de dimension finita.

El hecho de que 3) =⇒ 1) es inmediato y su demostracion se deja al lector(vase el ejercicio 4.13).

Vamos a mostrar: 4) =⇒ 2) (Notese que, en la parte c), hemos mostrado que2) =⇒ 4)). Supongamos, entonces, que se tiene 4), pero no 2); existe, entonces,una sucesion (An)n∈N de partes A -medibles de medida no nula y disjunta.Construimos la funcion ϕ =

∑

n∈N n1An que es medible pero no acotada, locual es una contradiccion con el punto 4).

4.6 Espacios de Lebesgue discretos - espaciosde sucesiones

En las secciones anteriores, hemos trabajado esencialmente con medidas noatomicas y, excepto algunos casos especiales (por ejemplo con los espacios me-didos regulares), no hemos hecho mayores hipotesis sobre el espacio medido(X,A , µ). En esta seccion, exigiremos la hipotesis bastante fuerte de atomici-dad de la medida; en particular, utilizaremos unicamente la medida de conteodefinida en el capıtulo 2 y trabajaremos solamente sobre el espacio medido(X,P(X), Card) con X = Z o X = N. Dado que estamos en un marco dis-creto, trabajaremos con sucesiones a = (an)n∈X , notadas tambien a(n), quetoman valores en K, y adoptaremos la notacion tradicional ℓp(X,K) o ℓp(X),en vez de escribir ℓp(X,P(X), Card,K), con 0 < p ≤ +∞ un real.

Expliquemos, en poquısimas lıneas, la importancia de estos espacios de su-cesiones. En la gran mayorıa de modelizaciones matematicas (en ingenierıa,biologıa, fısica, medicina, etc.), a pesar de que los datos iniciales suelen serdiscretos, es comun trabajar sobre los espacios de Lebesgue continuos Lp quehemos expuesto en las secciones precedentes. Una vez que el problema es resuel-to teoricamente, cuando se trata de implementar estos modelos en un algoritmoutilizable por una computadora, es indispensable pasar a los espacios discretosℓp y, si bien estos espacios guardan cierta semejanza con sus homologos Lp, sus

propiedades no son exactamente las mismas, lo que justifica su exposicion eneste parrafo.

4.6.1 Espacios de sucesiones

El esquema de presentacion que adoptamos para los espacios de sucesiones siguebasicamente las mismas lıneas que el expuesto anteriormente para los espaciosde Lebesgue Lp. De igual forma, muchas de las demostraciones presentadasen esta seccion no son mas que la transcripcion discreta de sus homologascontinuas; por lo que pedimos disculpas al lector por esta repeticion que puederesultar engorrosa.

Definicion 4.6.1 (Espacios ℓp). Sean X = N o Z, 0 < p < +∞ un real ya = (an)n∈X una sucesion a valores en K. Diremos que la sucesion a = (an)n∈X

es de potencia p-eme sumable si la siguiente cantidad es finita.

‖a‖ℓp =

(∑

n∈X

|an|p)1/p

. (4.47)

Definimos, entonces, el espacio de sucesiones p-eme sumables en K mediantela expresion

ℓp(X,K) = (an)n∈X : ‖a‖ℓp < +∞.

Demos un ejemplo de sucesion que pertenece a estos espacios. Fijemos X =Z y definamos

an =

1/|n|2/p si n 6= 0,

1 si no.

El lector verificara sin problema que (an)n∈Z ∈ ℓp(Z) para todo 0 < p < +∞;en cambio, si consideramos la sucesion (bn)n∈Z definida de forma similar, perofijando bn = 1/|n|1/p si n 6= 0, se tiene que (bn)n∈Z /∈ ℓp(Z).

En el caso cuando p = +∞, el espacio correspondiente esta dado por lasiguiente definicion.

Definicion 4.6.2 (Espacios ℓ∞). Una sucesion a = (an)n∈X en K es acotadasi

‖a‖ℓ∞ = supn∈X

|an| < +∞. (4.48)

Caracterizamos el espacio de sucesiones acotadas con valores en K con laformula

ℓ∞(X,K) = (an)n∈X : ‖a‖ℓ∞ < +∞.

Un ejemplo sencillo de sucesion que pertenece a este espacio esta dado por lasucesion an = (−1)n para todo n ∈ X . Notemos que esta sucesion no pertenecea ningun espacio ℓp con 0 < p < +∞, lo que puede dar una primera idea de lasinclusiones entre estos espacios; daremos los enunciados precisos un poco masadelante.

Las propiedades estructurales de estos espacios se pueden leer en funcion delındice p y, sin mayor sorpresa, veremos que, en el caso 1 ≤ p ≤ +∞, obtenemosespacios de Banach mientras que, si 0 < p < 1, se tiene una estructura deespacio metrico completo. Empecemos con un primer resultado.

Proposicion 4.6.1. Sea 0 < p < +∞ un real. Los espacios de sucesionesℓp(X,K) y ℓ∞(X,K) son espacios vectoriales.

Demostracion. Sea λ ∈ K y a = (an)n∈X una sucesion en K. Dado que se tienenlas dos identidades ‖λa‖pℓp =

∑

n∈X |λan|p = |λ| ‖a‖pℓp y ‖λa‖ℓ∞ = supn∈X

|λan| =|λ| ‖a‖ℓ∞ , obtenemos la estabilidad de estos espacios bajo la multiplicacion porun escalar.

Verificar que estos espacios son estables bajo la suma de dos sucesionescuando p = +∞ no causa mayor problema y dejamos los detalles al lector. Si0 < p < +∞ es suficiente aplicar el lema 4.2.1 en la pagina 220. En efecto, sia = (an)n∈X y b = (bn)n∈X son dos sucesiones a valores en K pertenecientesal espacio ℓp(X,K), escribimos

• si 0 < p < 1

|an + bn|p ≤ |an|p + |bn|p =⇒

‖a+ b‖pℓp =∑

n∈X

|an + bn|p

≤∑

n∈X

|an|p +∑

n∈X

|bn|p

= ‖a‖pℓp + ‖b‖pℓp < +∞ (4.49)

• si 1 ≤ p < +∞

|an + bn|p ≤ 2p−1(|an|p + |bn|p) =⇒

∑

n∈X

|an + bn|p ≤ 2p−1

(∑

n∈X

|an|p +∑

n∈X

|bn|p)

= 2p−1 (‖a‖pℓp + ‖b‖pℓp) < +∞

lo que permite concluir y obtener el resultado deseado.

Una vez que esta primera etapa ha concluido, continuamos el estudio de laestructura de estos espacios con los dos resultados siguientes. Por razones deespacio, nos limitaremos a los casos mas utiles en la practica, dejando al lectorel cuidado de verificar las generalizaciones expuestas en el caso continuo.

Proposicion 4.6.2 (Desigualdad de Holder discreta). Sean 1 ≤ p ≤ +∞ unreal y q su conjugado armonico, entonces tenemos la desigualdad de Holderpara todas las sucesiones (an)n∈X ∈ ℓp(X,K) y (bn)n∈X ∈ ℓq(X,K):

∑

n∈X

|anbn| ≤ ‖a‖ℓp‖b‖ℓq .

Demostracion. Los casos p = 1 y p = +∞ son inmediatos y dejados al lector.Si 1 < p < +∞, utilizamos la mayoracion siguiente (ver lema 4.2.2)

|anbn|‖a‖ℓp‖b‖ℓq

≤ 1

p

|an|p‖a‖pℓp

+1

q

|bn|q‖b‖qℓq

y sumamos termino a termino para obtener el resultado deseado:∑

n∈X |anbn|‖a‖ℓp‖b‖ℓq

≤ 1

p

∑

n∈X |an|p‖a‖pℓp

+1

q

∑

n∈X |bn|q‖b‖qℓq

= 1;

es decir∑

n∈X

|anbn| ≤ ‖a‖ℓp‖b‖ℓq .

Proposicion 4.6.3 (Desigualdad de Minkowski discreta). Sean (an)n∈X y(bn)n∈X dos sucesiones pertenecientes al espacio ℓp(X,K) con 1 ≤ p ≤ +∞,entonces se tiene la desigualdad:

‖a+ b‖ℓp ≤ ‖a‖ℓp + ‖b‖ℓp. (4.50)

Demostracion. De la misma forma que en la proposicion 4.6.2, trataremos so-lamente el caso 1 < p < +∞; dejamos los casos lımites al lector. Escribamosentonces:

|an + bn|p = |an + bn||an + bn|p−1 ≤ |an||an + bn|p−1 + |bn||an + bn|p−1.

Sumando con respecto a n ∈ X y por la aplicacion de la desigualdad de Holderen la parte derecha de esta expresion, obtenemos la mayoracion

∑

n∈X

|an + bn|p ≤∑

n∈X

|an||an + bn|p−1 +∑

n∈X

|bn||an + bn|p−1

≤ (‖a‖ℓp + ‖b‖ℓp)‖a+ b‖p−1ℓp ,

de donde se deduce el resultado deseado.

Gracias a estos resultados, podemos ver que ‖ · ‖ℓp y ‖ · ‖ℓ∞ determinan unanorma sobre los espacios ℓp(X,K) con 1 ≤ p < +∞ y ℓ∞(X,K), mientras que, si0 < p < 1, podemos determinar una distancia escribiendo dp(a, b) = ‖a− b‖pℓp .Terminamos este primer parrafo con el teorema siguiente que nos indica laestructura disponible en estos espacios de sucesiones.

Teorema 4.6.1. Si 1 ≤ p ≤ +∞, los espacios ℓp(X,K) son espacios de Ba-nach. En el caso en que 0 0, existe N ∈ N talque, para todo i, j ≥ N , se tiene

‖ai − aj‖pℓp =∑

n∈X

|ain − ajn|p ≤ ε. (4.51)

A partir de esto, deducimos que, para cada n ∈ X fijado, la sucesion (akn)k∈N esuna sucesion de Cauchy en K que converge hacia algun elemento que notaremosan. Hacemos tender j −→ +∞ en la expresion (4.51) para obtener, para todoi ≥ N : ∑

n∈X

|ain − an|p ≤ ε.

Esto nos permite deducir que a = (an)n∈X es un elemento de ℓp(X,K) y quese tiene la convergencia (ak) −→

k→+∞a en ℓp(X,K). Tenemos, entonces, que ℓp

es un espacio completo. El caso ℓ∞ es totalmente similar y su demostracion esdejada al lector.

Si 1 ≤ p ≤ +∞, se tiene a disposicion la desigualdad triangular (4.50) parala funcional ‖·‖ℓp y concluimos, entonces, que en este caso (ℓp(X,K), ‖·‖ℓp) es unespacio de Banach. Si 0 < p < 1, la formula (4.49) nos dice que (ℓp(X,K), dp),con dp(a, b) = ‖a− b‖pℓp , es un espacio metrico completo.

4.6.2 Propiedades de inclusion de los espacios ℓp

La primera propiedad que exponemos de los espacios de sucesiones tiene quever con las propiedades de inclusion e ilustra de forma muy clara las diferenciasentre estos espacios y sus homologos continuos. Antes de entrar en los detalles,demos una definicion que es la contraparte discreta del espacio de funcionesque se anulan al infinito.

Definicion 4.6.3 (Espacio c0). SeaX = N o Z y sea a = (an)n∈X una sucesionen K. Diremos que esta sucesion se anula en el infinito o que tiende a cero alinfinito si se tiene

lım|n|→+∞

|an| = 0.

Notaremos c0(X,K) el conjunto formado por estas sucesiones.

Evidentemente, toda funcion nula a partir de un cierto rango pertenece aeste espacio, mientras que la sucesion constante an = 1 para todo n ∈ X nopertenece a este espacio de sucesiones.

Proposicion 4.6.4. El espacio de sucesiones c0(X,K) es un espacio vectorialde Banach dotado de la norma ‖ · ‖ℓ∞.

Demostracion. No es muy difıcil ver que, si a = (an)n∈X es una sucesiondel espacio c0(X,K), entonces para todo escalar λ ∈ K, se tiene que λa =(λan)n∈X pertenece a este espacio de sucesiones y, ademas, obtenemos la iden-tidad ‖λa‖ℓ∞ = |λ| ‖a‖ℓ∞. Si a = (an)n∈X y b = (bn)n∈X son dos sucesio-nes del espacio c0(X,K), vemos que |an + bn| ≤ |an| + |bn|, de modo quelım

|n|→+∞|an + bn| = 0, lo que muestra que la sucesion c = (an + bn)n∈X perte-

nece al espacio c0(X,K). Con estos puntos, y con los resultados anteriores, ellector no tendra ninguna dificultad en mostrar que el espacio (c0(X,K), ‖ ·‖ℓ∞)es un espacio vectorial normado.

Veamos que este espacio es un espacio de Banach: si (akn)k∈N es una suce-sion de Cauchy de c0(X,K) ⊂ ℓ∞(X,K), tenemos, por el teorema 4.6.1, queesta sucesion converge en el sentido de la norma ‖ · ‖ℓ∞ hacia una sucesiona = (an)n∈X ∈ ℓ∞(X,K). Debemos verificar que (an)n∈X ∈ c0(X,K). Comoak −→

k→+∞a, entonces, para todo ε > 0, existe N ∈ N tal que, para todo k ≥ N ,

se tiene ‖ak − a‖ℓ∞ ≤ ε2 . Pero, dado que ak ∈ c0(X,K), existe M ∈ N tal que,

para todo |n| ≥ M , se tiene |akn| ≤ ε2 . Fijando l = max(N,M), tenemos para

todo |n| ≥ l, que |an| ≤ |aln|+ |an − aln| ≤ ε2 + ε

2 = ε, de donde se deduce quea(n) −→

|n|→+∞0 y se tiene que el espacio c0(X,K) es completo.

Contrariamente al teorema de inclusion 4.2.5, expuesto en la pagina 235 setienen relaciones de inclusion generales entre los espacios de sucesiones comonos lo indica el teorema a continuacion.

Teorema 4.6.2 (Relaciones de inclusion). Sea X = N o Z. Tenemos las in-clusiones estrictas de espacios siguiente:

ℓ1(X) ( ℓp(X) ( · · · ( ℓq(X) ( · · · ( c0(X) ( ℓ∞(X). (4.52)

Demostracion. Sea a = (an)n∈X una sucesion no identicamente nula. Mostre-mos primero que se tiene la inclusion c0(X,K) ( ℓ∞(X,K). Dado que la canti-dad ‖·‖ℓ∞ es una norma para estos dos espacios, se tiene, inmediatamente, que sia ∈ c0(X,K), entonces a ∈ ℓ∞(X,K); sin embargo, no se tiene la recıproca puesla sucesion constante an = 1 para todo n ∈ X pertenece al espacio ℓ∞(X,K)pero no se anula al infinito. Mostremos ahora que, para todo 1 ≤ p < +∞, setiene la mayoracion

‖a‖ℓ∞ ≤ ‖a‖ℓp , (4.53)

y que todos los espacios ℓp(X,K) estan contenidos estrictamente en el espa-

cio c0(X,K). En efecto, si la sucesion (an)n∈X es tal que(∑

n∈X |an|p)1/p

<+∞, entonces se tiene que |an| −→

|n|→+∞0; ademas, la desigualdad ‖a‖pℓ∞ =

supn∈X

|an|p ≤∑n∈X |an|p = ‖a‖pℓp muestra que todos los espacios ℓp(X,K) estan

incluidos en c0(X,K). Para verificar que esta inclusion es estricta, consideramosla sucesion an = |n|−1/p si n 6= 0 y a0 = 1: tenemos entonces que a ∈ c0(X,K)pero a /∈ ℓp(X,K).

Finalmente, sean p y q dos reales tales que 1 ≤ p < q < +∞. Verifiquemosque se tiene la desigualdad ‖a‖ℓq ≤ ‖a‖ℓp para toda sucesion a = (an)n∈X ∈ℓp(X,K). Para ello, utilizamos la desigualdad de Holder para escribir

‖a‖qℓq =∑

n∈X

|an|q−p|an|p ≤ supn∈X

|an|q−p∑

n∈X

|an|p. (4.54)

Como se tiene supn∈X

|an|q−p = (supn∈X

|an|q)(q−p)/q , por la estimacion (4.53) po-

demos escribir la mayoracion (supn∈X

|an|q)(q−p)/q ≤ ‖a‖q−pℓp e inyectamos esta

estimacion en la expresion (4.54) de manera que se tiene ‖a‖qℓq ≤ ‖a‖q−pℓq ‖a‖pℓp

es decir ‖a‖pℓq ≤ ‖a‖pℓp de donde se deduce la estimacion deseada. Para com-probar que esta inclusion es estricta utilizamos el mismo ejemplo anterior conla sucesion an = |n|−1/p si n 6= 0 y a0 = 1: vemos que (an)n∈X ∈ ℓq(X,K) puesq > p pero (an)n∈X /∈ ℓp(X,K).

Este teorema nos dice que existe una diferencia notable al nivel de las in-clusiones entre los espacios Lp y ℓp. Veremos en los capıtulos siguientes otrassituaciones en donde tambien se puede observar de forma tangible las diferen-cias entre estos espacios.

4.6.3 Relaciones de densidad y de separabilidad en losespacios ℓp

En el caso de los espacios de sucesiones, podemos presentar de forma bastantedirecta una coleccion de elementos que permite estudiar su densidad y separa-bilidad.

Definicion 4.6.4 (Base canonica de sucesiones). Sea el espacio X = N o Z

dotado de su estructura de espacio medido natural. El conjunto de las sucesionesde tipo e(j) = (δij)j∈X en donde δij es la delta de Kronecker, es decir, δij = 0si i 6= j y δij = 1 si i = j, es llamada la base canonica de los espacios desucesiones.

Por ejemplo, si X = N tenemos e(0) = (1, 0, 0, ...), e(1) = (0, 1, 0, ...),e(2) = (0, 0, 1, ...), etc. El lector observara que el nombre dado a esta familia desucesiones es bastante natural y proviene de las bases canonicas de dimensionfinita. Se evidencia la utilidad de esta base canonica en los resultados quepresentados a continuacion.

Teorema 4.6.3. Si 1 ≤ p < +∞, la base canonica de sucesiones (e(j))j∈X esun sistema total en ℓp(X,K). En particular, dado que el conjunto X = N,Z esnumerable, obtenemos que los espacios ℓp(X,K) son separables.

Demostracion. Sean (an)n∈X una sucesion del espacio ℓp(X,K) y ε > 0 unreal. Tenemos, para todo n ∈ X , la existencia de un escalar αn ∈ K tal que|an − αn|p ≤ εp2−|n|. Construimos, entonces, una sucesion b =

∑

n∈X αne(n)de manera que b ∈ Vect(e(n)). En particular, se tiene bn = αn y, por lo tanto,

∑

n∈X |an − bn|p ≤ Cεp. Con esto mostramos que la base canonica (e(n))n∈X

es un sistema total en el espacio ℓp(X,K) y, como este conjunto es de cardinalnumerable, podemos dar por terminada la demostracion.

De la misma forma que en el caso continuo, los espacios ℓ∞(X,K) poseenpropiedades distintas a los espacios ℓp(X,K). Vamos a ver el teorema 4.6.4que este espacio admite subespacios densos, pero que no es separable (teore-ma 4.6.5); finalmente, terminaremos nuestra exposicion mostrando que la basecanonica es un sistema total en el espacio c0(X,K), pero no en ℓ∞(X,K).

Teorema 4.6.4. El conjunto (1A)A∈P(X) formado por las funciones carac-terısticas es un sistema total en el espacio ℓ∞(X,K).

Demostracion. Sean a = (a(n))n∈X ∈ ℓ∞(X,K) una sucesion y ε > 0 un real.Dado que el conjunto t ∈ K : |t| ≤ ‖a‖ℓ∞ es compacto, existe una parti-cion finita (Bi)1≤i≤N de conjuntos de diametro inferior o igual a ε. Definimos,entonces, los conjuntos Ai = a−1(Bi) y obtenemos de esta manera una par-ticion finita del conjunto X . Finalmente, de cada conjunto Ai escogemos unındice νi y definimos aε =

∑Ni=1 aνi1Ai de manera que tenemos la desigualdad

‖a− aε‖ℓ∞ ≤ ε, con lo que obtenemos el resultado deseado.

Teorema 4.6.5. Si el conjunto X es de cardinal infinito, entonces el espacioℓ∞(X,K) no es separable.

Demostracion. Vamos a proceder por el absurdo y suponer que el espacioℓ∞(X,K) es separable. Sea, entonces, (ak)k∈N una sucesion densa en ℓ∞(X,K).Vemos entonces que para todo conjunto A ∈ P(X), existe un entero k = k(A)tal que ‖ak − 1A‖ℓ∞ < 1/2. Si suponemos que k(A) = k(B) = k, tenemosque ‖ak − 1A‖ℓ∞ < 1/2 y ‖ak − 1B‖ℓ∞ < 1/2, de donde se deduce que‖1B − 1A‖ℓ∞ < 1 y, por lo tanto, que ‖1B − 1A‖ℓ∞ = 0; es decir, que A = B.Esto muestra que la aplicacion A 7−→ k(A) es una inyeccion de P(X) en N, locual es una contradiccion, pues P(X) no es numerable.

Observacion 4.18. De modo mas general, el teorema 4.5.8 tambien se aplicaen este caso, puesto que la familia de conjuntos An = n con n ∈ X esinfinita, de medida positiva, pues Card(An) = 1, y disjunta dos a dos, lo quenos permite concluir que el espacio ℓ∞(X,K) no es separable.

Proposicion 4.6.5. La sucesion canonica es total en c0(X,K); es decir, esteespacio es separable.

Demostracion. Sean (an)n∈X una sucesion que pertenece al espacio c0(X,K)y ε > 0 un real. Dado que an −→

|n|→+∞0, existe un entero N tal que, para todo

|n| > N , se tiene |an| < ε. Por lo tanto, para cada n tal que |n| ≤ N , existe unescalar αn tal que |an − αn| ≤ ε. Construimos, entonces, una sucesion b como

una combinacion lineal de elementos de la base canonica: b =∑N

n=−N αnen y

esto nos permite obtener la desigualdad ‖a− b‖ℓ∞ < ε, de donde se obtiene elresultado deseado.

Resumen

1. Propiedades estructurales

• Si 1 ≤ p ≤ +∞, los espacios de Lebesgue Lp y los espacios desucesiones ℓp son espacios de Banach.

• Si 0 < p < 1, los espacios de Lebesgue Lp y los espacios desucesiones ℓp son espacios metricos completos.

2. Propiedades de inclusion

• Si el espacio X es de masa total finita (µ(X) < +∞), los espaciosde Lebesgue Lp estan incluidos de forma decreciente:

L∞ ( · · · ( Lp ⊂ · · · ( L1.

• Todos los espacios de Lebesgue Lp estan incluidos en el espacio defunciones localmente integrables L1

loc.

• Los espacios de sucesiones ℓp estan incluidos de forma creciente.

ℓ1 ( · · · ( ℓp ( · · · ( ℓ∞

3. Propiedades de densidad y separabilidad

• Si 1 ≤ p < +∞ ,los espacios de Lebesgue Lp(Rn) y los espacios desucesiones ℓp(N) son espacios separables

• Si p = +∞, estos espacios no son separables.

4. Desigualdades importantes

• Desigualdad de Holder: si 1 ≤ p, q ≤ +∞ son conjugados, entonces∫

X

|f(x)g(x)|dµ(x) ≤ ‖f‖Lp‖g‖Lq .

• Desigualdad de Minkowski: si 1 ≤ p ≤ +∞,

‖f + g‖Lp ≤ ‖f‖Lp + ‖f‖Lp.

• Desigualdad de Jensen: si µ(X) = 1, si ϕ es una funcion convexa ysi f ∈ L1(X):

ϕ

(∫

X

f(x)dµ(x)

)

≤∫

X

ϕ (f) (x)dµ(x).

• Desigualdades de Interpolacion:

(a) si p = θp0 + (1− θ)p1, con θ ∈ [0, 1] y 1 ≤ p0 < p1 < +∞:


Lp0‖f‖(1−θ)p1

Lp1 .

(b) si 1p = θ

p0+ 1−θ

p1, con θ ∈ [0, 1] y 1 ≤ p0 < p1 ≤ +∞:

‖f‖Lp ≤ ‖f‖θLp0‖f‖(1−θ)Lp1 .

4.7 Ejercicios

Ejercicio 4.1. Sean (X,A , µ) un espacio medido, A ∈ A y f(x) = 1A(x).

1. ¿Bajo que condiciones sobre el conjunto A se tiene ‖f‖L∞ = 0 o ‖f‖L∞ = 1?

2. ¿Bajo que condiciones sobre el conjunto A se tiene ‖f‖Lp < +∞ para 0 <p < +∞?

Ejercicio 4.2. Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito.

1. Construya una funcion f que pertenezca al espacio Lp(X,A , µ,K) con 0 <p < +∞, pero tal que f /∈ Lq(X,A , µ,K) para todo q 6= p.

2. Para todo 0 < p < +∞, construya una funcion f ∈ Lp(X,A , µ,K) pero talque f /∈ L∞(X,A , µ,K).

3. Construya f ∈ L∞(X,A , µ,K), pero tal que f /∈ Lp(X,A , µ,K) con 0 <p < +∞.

Ejercicio 4.3. El objetivo de este ejercicio es demostrar la dependencia de losespacios de Lebesgue Lp(X,A , µ,K) con 0 < p < +∞ y L∞(X,A , µ,K) conrelacion al espacio de base X y a la medida µ.

1. Determine µ1 y µ2, dos medidas σ-finitas y definidas sobre A , tales quepara algun p ∈]0,+∞[, f : X −→ K pertenezca a Lp(X,A , µ1,K), pero noa Lp(X,A , µ2,K).

2. Determine dos subconjuntos A,B ⊂ X tales que, para algun p ∈]0,+∞[, lafuncion f : X −→ K pertenezca a Lp(A) y f /∈ Lp(B).

Ejercicio 4.4. Sean (X,A , µ) un espacio medido y p, r dos ındices reales talesque 0 < p, r < +∞. Verifique la identidad

‖|f |r‖Lp = ‖f‖rLpr .

¿Que sucede si p = +∞?

Ejercicio 4.5. Demuestre la desigualdad de Holder generalizada (4.30) a partirde la desigualdad de Holder (4.27) razonando por recurrencia.

Ejercicio 4.6. Sean (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y 1 ≤ p < +∞un real. Si f, g son dos funciones del espacio L2p(X,A , µ,K), muestre que elproducto fg pertenece al espacio Lp(X,A , µ,K) y que se tiene desigualdad

‖fg‖Lp ≤ ‖f‖L2p‖g‖L2p.

Ejercicio 4.7. Sea [0, 1] dotado de su estructura de espacio medido habitualy fijemos p = 1/2. Si consideramos f = 1[0,1] y g = − 1

21[0,1], verifique la de-sigualdad ‖f+g‖

L12≤ ‖f‖

L12+‖g‖

L12. ¿Es esta mayoracion una contradiccion

con la conclusion de la proposicion 4.2.14?

4.7 Ejercicios 289

Ejercicio 4.8. Sea (X,A , µ) un espacio medido tal que µ(X) = 1. El objetivode este ejercicio es estudiar el comportamiento de la funcional ‖ · ‖Lp cuandop −→ 0+ y muestre que se tiene

lımp→0+

‖f‖Lp = exp

(∫

X

ln(|f(x)|)dµ(x))

.

Para ello seguiremos las etapas siguientes.

1. Verifique que, para todo 0 0. Observe que la sucesion tp−1

p

tiende decreciendo hacia ln(t).

3. Sean (pn)n∈N una sucesion de reales tales que 0 < pn < p < +∞ y pn −→n→+∞

0 y f ∈ Lp(X,A , µ,K). Utilizando la funcion hn(x) =|f(x)|p−1

p − |f(x)|pn−1pn

,muestre que

∫

X

|f(x)|pn − 1

pndµ(x) −→

n→+∞

∫

X

ln(|f(x)|)dµ(x).

4. Concluya que lımp→0+

‖f‖Lp = exp(∫

X ln(|f(x)|)dµ(x)).

Ejercicio 4.9. Muestre que la estructura de los espacios de funciones local-mente integrables es independiente de la sucesion de compactos escogida.

Ejercicio 4.10. Este ejercicio proporciona una caracterizacion de los espa-cios de funciones locales Lp

loc(X,R) con 1 ≤ p ≤ +∞ utilizando las funcionescontinuas con soporte compacto Cc(X,R). Sean, pues, X un espacio separadolocalmente compacto con base numerable y (X,A , µ) un espacio medido regular.

1. Sean f : X −→ R una funcion µ-medible que pertenece a Lploc(X,A , µ,R) y

ϕ una funcion del espacio Cc(X,R). Muestre que ‖fϕ‖Lp < +∞.

2. Sea K un compacto de X. Utilizando el lema de Urysohn (teorema 1.2.2,pagina 15) muestre que existe una funcion ϕ ∈ Cc(X,R) tal que ‖f‖Lp(K) ≤‖fϕ‖Lp < +∞.

3. Utilizando los dos puntos precedentes, muestre que una funcion f perteneceal espacio Lp

loc(X,A , µ,R) si y solo si el producto fϕ pertenece al espacioLp(X,A , µ,R) para toda funcion ϕ ∈ Cc(X,R).

Ejercicio 4.11. El objetivo de este ejercicio es estudiar algunas propiedadesde los espacios Lp(Lq) con 1 ≤ p, q ≤ +∞ definidos sobre R2 (dotado de suestructura natural) de la siguiente manera:

Lp(Lq)(R2) =f : R2 −→ K : ‖f‖Lp(Lq) < +∞

,

en donde

‖f‖Lp(Lq) =

(∫

R

(∫

R

|f(x, y)|pdx)q/p

dy

)1/q

.

1. Muestre que la funcional ‖ · ‖Lp(Lq) es una norma.

2. Verifique que se tiene la identidad Lp(Lp)(R2) = Lp(R2).

3. Sean g, h : R −→ R dos funciones tales que g ∈ Lp(R) y h ∈ Lq(R). Sif(x, y) = g(x)h(y), muestre que ‖f‖Lp(Lq) = ‖g‖Lp‖h‖Lq .

4. Muestre que no existen relaciones de inclusion entre los espacios Lp(Lq)(R2).

5. Compruebe que se tiene la siguiente variante de la desigualdad de Holdercon 1

p + 1q = 1

α + 1β = 1:

‖fg‖L1 ≤ ‖f‖Lp(Lα)‖g‖Lq(Lβ).

6. Determine la dimension homogenea de estos espacios.

7. Muestre que los espacios Lp(Lq)(R2) son espacios de Banach.

Ejercicio 4.12. Sea (X,A , µ) un espacio medido σ-finito.

1. Definimos sobre el espacio L1 ∩ L∞(X,A , µ,K) la cantidad

‖f‖L1∩L∞ = max‖f‖L1, ‖f‖L∞.

Muestre que esta cantidad es una norma.

2. Sea ahora L1 + L∞(X,A , µ,K) el espacio formado por todas las funcionesf que se escriben como la suma f = g + h con g ∈ L1(X,A , µ,K) y h ∈L∞((X,A , µ,K). Definimos la cantidad

‖f‖L1+L∞ = ınf‖g‖L1 + ‖h‖L∞,

en donde el ınfimo se toma sobre todas las descomposiciones f = g + hposibles. Muestre que ‖ · ‖L1+L∞ es una norma.

Ejercicio 4.13. Muestre que todo espacio vectorial de dimension finita es se-parable. Considere el conjunto ∑n

i=0 αiei : αi ∈ Q, (ei)1≤i≤n base de E.Ejercicio 4.14. Definimos el espacio c00(X) como el conjunto de sucesionesnulas a partir de un cierto rango y notamos c(X) el conjunto de sucesionesconvergentes c(X) = (an)n∈X : lım

|n|→+∞an existe. Muestre que se tienen las

inclusiones estrictas

c00(X) ( ℓ1(X) ( ℓp(X) ( c0(X) ( c(X) ( ℓ∞(X).

Muestre que c00(X) es denso en ℓp(X) con 1 < p < +∞ pero no es denso enc(X) ni en ℓ∞(X).

4.7 Ejercicios 291

Ejercicio 4.15. Sean (X,A , µ) un espacio medido σ-finito y (fn)n∈N unasucesion de funciones A -medibles definidas sobre X en K. Diremos que (fn)n∈N

tiende hacia f en el sentido de la convergencia en µ-medida local si para todoconjunto A -medible A de medida finita, se tiene

(∀ε > 0) lımn→+∞

µ(x ∈ A : |fn(x)− f(x)| > ε) = 0.

Notamos con Lloc(X,A , µ,K) el espacio de clases de funciones dotado de laconvergencia en µ-medida local.

1. Muestre que la convergencia en µ-medida implica la convergencia en µ-medida local, pero que no se tiene la recıproca. (Indicacion: piense en la su-cesion de funciones definidas sobre X = [0,+∞[ tales que fn(x) = 1[n,+∞[.)

2. ¿En que situacion estas dos nociones de convergencia son equivalentes?

3. Nos proponemos demostrar que la topologıa de la convergencia en µ-medidalocal es metrizable. Para ello, suponemos de ahora en adelante que µ(X) =+∞.

(a) Dado que el espacio medido (X,A , µ) es σ-finito, existe una particiondisjunta (An)n∈N de X tal que 1 ≤ µ(An) < +∞ para todo n ∈ N.Definimos, entonces, la funcion ϕ : X −→ K como

ϕ(x) =

+∞∑

j=0

1

2j+1µ(Aj)1Aj (x). (4.55)

Muestre que se tiene 0 < ϕ(x) < 1 en µ-casi todas partes y∫

Xϕdµ = 1.

(b) Para f, g ∈ Lloc(X,A , µ,K), muestre que la formula siguiente esta biendefinida y determina una distancia.

d(f, g) =

∫

X

|f(x)− g(x)|1 + |f(x)− g(x)|ϕ(x)dµ(x). (4.56)

4. Mostremos que la convergencia en µ-medida local implica la convergenciaen el sentido de la distancia (4.56).

(a) Sean (fn)n∈N una sucesion de funciones tales que fn −→n→+∞

f en µ-

medida local con f, fn ∈ Lloc(X,A , µ,K) y ε > 0 un real. ¿Bajo que ar-gumento existe un conjunto medible Y de medida finita tal que

∫

Y c

|f(x)− fn(x)|1 + |f(x)− fn(x)|

ϕ(x)dµ(x) <ε

3? (4.57)

(b) Una vez que hemos fijado este conjunto, considere la funcion x 7−→ x1+x

y verifique la existencia un real α ∈ [0,+∞[ tal que para todo 0 ≤ x ≤α, se tiene

x

1 + x≤ ε

3µ(Y ). (4.58)

(c) Si fn −→n→+∞

f en µ-medida local, muestre que existe un entero N ∈ N

tal que, para todo n ≥ N , se tiene

µ(x ∈ Y : |f(x)− fn(x)| > α) ≤ ε

3. (4.59)

(d) Con las tres desigualdades (4.57), (4.58) y (4.59), muestre que

∫

X

|f − fn|1 + |f − fn|

ϕdµ =

∫

Y c

|f − fn|1 + |f − fn|

ϕdµ

+

∫

Y ∩|f−fn|≤α

|f − fn|1 + |f − fn|

ϕdµ

+

∫

Y ∩|f−fn|>α

|f − fn|1 + |f − fn|

ϕdµ

≤ ε.

Deduzca que si fn −→n→+∞

f en µ-medida local, entonces se tiene que

d(f, fn) −→n→+∞

0.

5. Muestre que si d(f, fn) −→n→+∞

0, entonces fn −→n→+∞

f en µ-medida local.

Para ello, siga los pasos siguientes.

(a) Defina los conjuntos Km =⋃m

j=0 Aj . Utilizando la definicion de la fun-cion ϕ en (4.55), muestre que, para todo x ∈ Km, se tiene la minora-cion ϕ(x) ≥ αm en donde hemos notado αm = mın

0≤j<m1/(2j+1µ(Aj)) >

0.(b) Sea A ∈ A tal que µ(A) < +∞. Muestre que existe M ∈ N tal que

µ(A ∩KcM ) ≤ ε

2 y deduzca que, para todo n ∈ N y todo α > 0 se tiene

µ(x ∈ A ∩KcM : |fn(x) − f(x)| > α) ≤ ε

2.

(c) Muestre que, para todo α > 0 existe β > 0, tal que |fn(x) − f(x)| >α ⇐⇒ |fn(x)−f(x)|

1+|fn(x)−f(x)| > β y deduzca, utilizando el punto 5− (a), que

µ(x ∈ A ∩KM : |fn(x)− f(x)| > α)≤ µ(x ∈ A ∩KM : |fn(x)−f(x)|

1+|fn(x)−f(x)| > β/αM).

(d) Utilice la desigualdad de Tchebychev en la expresion anterior y muestreque si d(f, fn) −→

n→+∞0, entonces fn −→

n→+∞f en µ-medida local.

Bibliografıa

[1] N. Boccara. Integration. Ellipses, 1995.

[2] J.-M. Bony. Cours d’Analyse. Ecole Polytechnique, 1992.

[3] J.-M. Bony. Integration et Analyse Hilbertienne. Ecole Polytechnique,2001.

[4] N. Bourbaki. Elements de mathematiques, Espaces vectoriels topologiques,Chapitres 1 a 5. Springer Verlag, 1971, impresion 2007.

[5] N. Bourbaki. Elements de mathematiques, Topologie Generale, Chapitres1 a 4. Springer Verlag, 1971, impresion 2007.

[6] H. Brezis. Analyse Fonctionnelle, Theorie et applications. Dunod, 1999.

[7] G. Christol, A. Cot, and Ch.-M. Marle. Topologie. Ellipses, 1997.

[8] D. Cohn. Measure Theory. Birkhauser, 1980. Reprint 1997.

[9] A. El Kacimi Alaoui. Elements d’integration et d’analyse fonctionnelle.Ellipses, 1999.

[10] K.J. Falconer. The geometry of fractal sets. Number 85 in CambridgeTracts in Mathematics. Cambridge University Press, 1985. Reprint 1995.

[11] S. Fomin and A. Kolmogorov. Functional analysis. Graylock, 1957.

[12] D.J.H. Garling. Inequalities, A Journey into Linear Analysis. CambridgeUniversity Press, 2007.

[13] C. Gasquet and P. Witomski. Analyse de Fourier et applications. Dunod,seconde edition, 2000.

[14] X. Gourdon. Les maths en tete, Analyse. Ellipses, 1994.

[15] P. Halmos. Measure Theory. Number 18 in Graduate Texts in Mathema-tics. Springer Verlag, 1974.

[16] P. Halmos. A Hilbert Space Problem Book. Number 19 in Graduate Textsin Mathematics. Springer Verlag, second edition, 1982.

294 BIBLIOGRAFIA

[17] G. Hardy, J.E. Littlewood, and G. Polya. Inequalities. Cambridge Mat-hematical Library. Cambridge University Press, second edition, 1952. Re-print 2001.

[18] B. HaucheCorne. Les Contre-exemples en Mathematiques. Ellipses, secon-de edition, 2007.

[19] E. Hewitt and A. Kenneth. Abstract Harmonic Analysis I. Number 115 inGrundlehren der mathematischen Wissenschaften. Springer Verlag, secondedition, 1979.

[20] F. Hirsch and G. Lacombe. Elements d’analyse fonctionnelle, Cours etexercices avec reponse. Dunod, 1999.

[21] V. Komornik. Precis d’analyse reelle, Analyse fonctionnelle, Integrale deLebesgue, Espaces fonctionnels, volume 2. Ellipses, 2002.

[22] P. Kree. Integration et theorie de la mesure, une approche geometrique.Ellipses, 1997.

[23] H.-H. Kuo. Introduction to Stochastic Integration. Springer Verlag, 2006.Universitext.

[24] G. Lacombe and P. Massat. Analyse fonctionnelle, exercices corriges. Du-nod, 1999.

[25] H. Queffelec. Topologie. Dunod, 2002. Sciences Sup.

[26] W. Rudin. Functional Analysis. International Series in Pure and AppliedMathematics. Mc Graw-Hill, second edition, 1991.

[27] W. Rudin. Analyse reelle et complexe. Dunod, troisieme edition, 1998.

[28] S. Saks. Theorie de l’integrale. Monografie Matematyczne, 1933.

[29] L. Schwartz. Analyse I, Theorie des ensembles et topologie. Hermann,1991.

[30] L. Schwartz. Analyse III, Calcul Integral. Hermann, nouvelle edition, 1998.

[31] F. Treves. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Dover,2006. Original Edition 1967.

[32] K. Vo Khac. Integration et espaces de Lebesgue. Hermann, 1994. Livretd’exercices.

[33] C. Wagschal. Derivation, integration. Hermann, 1999.

[34] C. Wagschal. Integration. Hermann, 1999. Livret d’exercices.

[35] C. Wagschal. Topologie et analyse fonctionnelle. Hermann, 2003.

BIBLIOGRAFIA 295

[36] K. Yosida. Functional Analysis. Classics in Mathematics. Springer Verlag,1995. Reprint of the 1980 edition.

[37] A. Zygmund. Trigonometric Series. Cambridge University Press, thirdedition, 2002. Volumes I & II combined.

Indice alfabetico

Absolutacontinuidad de la integral, 156

Aditividadde la integral, 143fina, 57fuerte, 57

Adoquın, 53plano, 55volumen, 55

Algebrade Banach, 216de Banach no unitaria, 216de Banach unitaria, 216de partes, 52

Aplicacionk-lipschitziana, 8continua, 5contractante, 8uniformemente continua, 7

Atomo, 69Axioma

de separacion, 24, 264

Banachalgebra, 216espacio, 35, 215, 226, 283espacio funcional, 229

Basecanonica de sucesiones, 285de una topologıa, 3

Bolaabierta, 4cerrada, 4unidad de Rn, 192

Boreliano, 64

Cardinal de un conjunto, 2Clase de equivalencia Rµ, 137Clase monotona, 76

engendrada, 77Compacidad, 11

Bolzano-Weierstrass, 15Borel-Lebesgue, 12relativa, 12

Completacion de medidas, 93Condicion de normabilidad, 34Conjunto

A -medible, 58µ-despreciable, 81µ∗-medible, 82σ-finito con respecto a una medi-

da, 68abierto, 2absorbente, 23acotado, 4adoquinable, 53Boreliano, 64convexo, 23de medida nula, 66denso, 3equilibrado, 23Lebesgue-medible no boreliano, 134no medible, 113numerable, 2triadico de Cantor, 74

Continuidadabsoluta de la integral, 156de la distancia, 6de la norma, 32, 261de las medidas, 72en espacios metricos, 5

INDICE ALFABETICO 297

uniforme, 7Continuidad de la integral

con respecto a la cota superior,167

con respecto a un parametro, 164Convergencia

µ-c.t.p., 138µ-casi uniforme, 174en µ-medida, 247, 248en el sentido de una norma, 33en los espacios L∞, 214en los espacios Lp, 225en medida, 172en probabilidad, 172en promedio, 171normal, 37simple, 7uniforme, 8, 170

Convexidadde la norma, 261de una funcion, 220, 257

Cota esencial, 211Crecimiento

de la integral, 143Criterio

de Cauchy, 198de Darboux, 125de medibilidad de funciones, 130

Cubos diadicos, 110Cuerpo escalar K, 21

δ-recubrimiento de un conjunto, 86δ-subdivision, 124Delta de Kronecker, 285Densidad, 3

en un espacio metrico, 266en un espacio normado, 266

Desigualdadde Cauchy-Schwarz, 231de Holder, 230, 260de Holder discreta, 282de Holder generalizada, 231de Holder invertida, 234de interpolacion, 238de Jensen, 259de Minkowski, 222, 241, 260

de Minkowski continua, 241de Minkowski invertida, 243de Tchebychev, 251triangular, 3

Diametro de un conjunto, 4Diferencia simetrica, 2Dilatacion

de un conjunto, 112de una funcion, 157y espacios L∞, 217y espacios Lp, 223

Dimension homogenea, 229Dirac

medida de, 67Distancia, 3

de Ky-Fan, 248de un punto a un conjunto, 4en espacios producto, 6en los espacios de Frechet, 27inducida por una norma, 31invariante por traslacion, 27uniformemente equivalente, 11

Dynkinsistema de, 76

Equicontinuidad, 40Espacio

compacto, 12de funciones de modulo integra-

ble, 171de funciones simples positivas, 140localmente compacto, 19localmente convexo, 20, 263metrico, 3metrico completo, 10medible, 59normado, 30normal, 14probabilizado, 66secuencialmente compacto, 15semi-normado, 22separable, 3, 267topologico, 2ultrametrico, 47vectorial, 20localmente convexo, 23

298 INDICE ALFABETICO

topologico, 21Espacio de

Banach, 35Frechet, 29Hausdorff, 3Lebesgue L∞

loc, 262Lebesgue L∞, 211Lebesgue Lp, 218Lebesgue L, 244, 247Lebesgue Lp(Lq), 289Lebesgue L−p, 224Lebesgue L∞, 213Lebesgue Lp, 224Lebesgue Lp

loc, 262Espacio de funciones

acotadas B(E,K), 33, 36continuasa soporte compacto Cc(X,K), 269que se anulan al infinito C0(X,K),270

sobre un compacto C(K,K), 37continuas acotadas Ca(E,K), 36de Lebesgue Lp(X,A , µ,K), 218de Lesbesgue Lp(X,A , µ,K), 224de modulo integrableL(X,A , µ,K),

171esencialmente acotadas L∞(X,A , µ,K),

211esencialmente acotadas L∞(X,A , µ,K),

213integrables I(X,A , µ,K), 149medibles M(X,A , Y,B) , 128medibles L(X,A , µ,K), 247simples S(X,A , µ,K), 140, 269simples integrables SI(X,A , µ,K),

269simples positivas S+(X,A , µ), 140

Espacio de sucesiones, 280ℓ∞, 280ℓp, 280convergentes c(X), 290nulas a partir de un rango c00(X),

290que se anulan al infinito c0(X),

283sumables I(N,P(N), Card,K), 149

Espacio funcional de Banach, 229Espacio homogeneo, 229Espacio medido, 66

probabilizado, 258regular, 104

Espacio topologicoσ-compacto, 99de Hausdorff, 3separado, 3

Espacios locales, 262Eventos de un espacio probabilizado,

66Extension de medidas, 91

Formula de integracion por partes, 190Frechet, 20Fubini

Teorema de, 188Funcion

aditiva positiva de conjuntos, 54boreliana, 128caracterıstica de un conjunto, 51convexa, 220, 257escalonada, 124Gamma Γ, 202holomorfa, 169indicatriz de un conjunto, 51integrable, 148localmente integrable, 198, 262medible, 128restriccion, 154Riemann-integrable, 125semi-continua inferiormente, 131simple, 139, 269simple integrable, 269simple medible, 269singular de Lebesgue, 134

Funcional de Minkowski, 26Funciones

iguales µ-c.t.p., 136semi-integrables, 198

Holderdesigualdad, 230inversion de la desigualdad, 234

Homogeneidad


de la integral, 143de la medida de Lebesgue, 112de la norma, 30

Igualdad de funciones µ-c.t.p., 136Imagen

directa de conjuntos, 50recıproca de conjuntos, 50

Inclusion en los espacios de Lebesgue,234

Indicatriz de un conjunto, 51Infimo esencial, 209Integracion

en los espacios producto, 178Integral

de funciones medibles positivas, 146de funciones simples, 141de una funcion escalonada, 124

Intervalo, 51separado, 53

Invariancia por traslacion, 112Inversion de la desigualdad de Holder,

234

Jensendesigualdad de, 259

Lımiteen espacios metricos, 5inferior de una sucesion, 71inferior de una sucesion de funcio-

nes, 133superior de una sucesion, 71superior de una sucesion de fun-

ciones, 133Lebesgue

σ-algebra, 106contruccion de la medida, 105medida exterior, 106

Lemade Fatou, 161de Scheffe, 228de Urysohn, 15de Zorn, 278

LocalesEspacios de Lebesgue Lp

loc y L∞loc,

262

Longitud de un intervalo, 54

Masade Dirac, 67total de una medida, 66

Medida, 66σ-finita, 68atomica, 69Boreliana, 100completa, 82discreta, 67gruesa, 67inducida, 69, 153, 160inducida por una funcion, 160producto, 183regular, 100exteriormente, 100interiormente, 100

Medida deconteo, 67Haar, 68Lebesgue, 68de un conjunto |A|, 156

probabilidad, 66Medida exterior, 81

s-dimensional de Hausdorff, 87asociada a una aplicacion, 85de Lebesgue, 106metrica, 118

Minkowskidesigualdad de, 222Funcional de, 26

Monotonıa de la integral, 143

Numeros conjugados armonicos, 230,282

Norma, 30p-adica, 47de la convergencia uniforme, 37equivalente, 40semi-, 22

Normabilidadcondicion de, 34de los espacios L∞, 214de los espacios Lp, 225

Notacion especıfica de la integral deLebesgue, 156

300 INDICE ALFABETICO

Partes de un conjunto P(X), 2Partes medibles Mµ∗ , 82Particion de un conjunto, 52π-sistema, 76Precompacidad, 16Primer teorema fundamental, 196Primera formula del promedio, 201Primitiva, 196Probabilidad de un evento, 66Prolongacion de medidas, 91Propiedad

de dilatacion de la medida de Le-besgue, 112, 158

de traslacion de la medida de Le-besgue, 112, 157

Propiedad de Fatouen L∞, 215en Lp, 227

Propiedades validas µ-c.t.p., 136

Rectangulo de lados medibles, 179Recta real completada R, 51Recubrimiento, 12

abierto, 12finito, 12

Recurrencia transfinita, 98Relacion

de equivalencia, 136Representante de una clase de equiva-

lencia, 137Restriccion de medidas, 69

Scheffelema de, 228

Segundo teorema fundamental, 197Semi-Bola, 23semi-norma, 263Serie

normalmente convergente, 37suma parcial, 37

σ-algebra, 58Boreliana, 64completada, 247contablemente generada, 273engendrada σ(K), 63inducida por una aplicacion, 61

producto, 180σ-compacto, 99Sistema Total, 268Soporte de una funcion, 269Sucesion

acotada, 33creciente de conjuntos, 59de Cauchy, 10decreciente de conjuntos, 59

Supremo esencial, 209

Tchebychevdesigualdad, 251

Teoremade aproximacion de medidas regu-

lares, 101de aproximacion por funciones cre-

cientes, 145de completacion de medidas, 93de continuidad de las medidas, 72de Convergencia dominada , 162recıproca del, 228version Lp, 228

de derivacion bajo el signo inte-gral, 168

de estabilidad numerable de lasfunciones medibles, 133

de la Clase Monotona, 77de unicidad de medidas, 79

Teorema deAscoli-Arzela, 41Beppo Levi, 159Borel-Cantelli, 73Caratheodory, 89Dini, 45Egoroff, 177Fubini, 188Heine, 17Riesz, 34Riesz-Fischer, 226Tonelli, 187Tychonov, 13

TonelliTeorema de, 187

Topologıa, 2de la convergencia uniforme, 37


discreta, 2gruesa, 2inducida por una norma, 31mas fina, 2separada, 3

Transformada de Fourier, 166Transitividad de la densidad, 267Traslacion

de un conjunto, 111de una funcion, 157

Traslacionde un vector, 21y espacios L∞, 217y espacios Lp, 223

Valuacion p-adica, 47Vecindad, 3Vectores

linealmente dependientes, 21linealmente independientes, 21

Volumende la bola unidad en Rn, 192de un adoquın, 55de un conjunto adoquinable, 55

Indice de figuras

2.1 Un conjunto adoquinable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.2 El conjunto triadico de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3 Prolongacion y extension de funciones aditivas de conjuntos . . 932.4 Prolongacion y completacion de medidas . . . . . . . . . . . . . 952.5 Prolongacion, extension y completacion de medidas . . . . . . . 962.6 Cubos diadicos en el plano R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.7 Aproximacion de abiertos por medio de cubos diadicos . . . . . 111

3.1 Una funcion escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243.2 Aproximacion por medio de funciones escalonadas . . . . . . . 1253.3 Funcion de Lebesgue, las dos primeras etapas . . . . . . . . . . 1353.4 Una funcion simple positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1423.5 Aproximacion por funciones simples . . . . . . . . . . . . . . . 1453.6 Las secciones Ex y Ey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.1 Los modos de convergencia - caso general . . . . . . . . . . . . 2564.2 Los modos de convergencia - caso µ(X) < +∞ . . . . . . . . . 2564.3 Los modos de convergencia - condicion de acotacion . . . . . . 257

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