Cuadra Tica

Área Matemática – Texto San Mateo. 3° Medio

EJERCICIOS PROPUESTOS

Grafica las siguientes funciones cuadráticas:

1. y = 3x2 2. y - x2 - 2x = 0 3. y = x2 + 4 x + 3

Dados los siguientes gráficos, determina el signo de coeficiente a ( concavidad) y tipos de soluciones, según la forma del gráfico:

4. 5. y y

x x

6. 7. y y

x

x

Determina la concavidad de las siguientes parábolas , el número de intersecciones con el eje x y su punto máximo o mínimo.

8. y = 5x2 - 3 9. y = x2 + 3 10 . y = -2x2 - 3x + 1

Sub-Unidad 2.3: ”ECUACIÓN DE 2° GRADO”

Ecuación Cuadrática o de 2O grado

Aquí se estudiará la ecuación que compone la función cuadrática, es decir las expresiones de la forma:

, donde a, b, c IR

Ejemplos:

1. 2. 3. 4.

TIPOS DE ECUACIONES DE 2º GRADO

Ecuación de segundo grado completa

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Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero.

La expresión de una ecuación de segundo grado completa es:ax2 + bx + c = 0.

Ecuación de segundo grado incompleta

Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero.

(Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.)

La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es:

ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

ax2 + bx = 0; si c = 0.

ax2 + c = 0; si b = 0.


Reconoce el tipo de ecuación de 2º grado, indicando los valores de los coeficientes a, b y c:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

TRANSFORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO A LA FORMA ax2 + bx + c = 0


Escribe las siguientes ecuaciones de 2º grado de la forma ax2 + bx + c = 0

1. 2. 3. 4.

5. 6.

7. 8.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADO

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resolver las siguientes ecuaciones: a) b)

Resolución:

a)

b)

2. Resolver las ecuaciones:

Página 42


a) 2x2 + 4x = 0; b) -3x2 + 2x = 0; c) x2 - x = 0

Resolución:

a) 2x2 + 4x = 0

Sacando factor común x, resulta:

La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = -2.

b) -3x2 + 2x = 0


La ecuación tiene dos soluciones c) x2 - x = 0


La ecuación tiene dos soluciones: x = 0 y x = 1.

1. Resolver las ecuaciones:a) 3x2 - 27 = 0; b) 3x2 + 27 = 0; c) -25x2 + 4 = 0

Resolución:

a) 3x2 - 27 = 0

La ecuación tiene dos soluciones, x = 3 y x = -3.

b) 3x2 + 27 = 0

El radicando, -9, es un número negativo, luego no tiene raíz. La ecuación, por lo tanto, no tiene solución.

c) -25x2 + 4 = 0

La ecuación tiene dos soluciones


Resuelve las siguientes ecuaciones incompletas:

1. 2. 3. 4.

Página 43


5. 6. 7. 8. 9.

RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS

Una ecuación de segundo grado completa puede expresarse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero.

Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente.

De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:

DISCUSIÓN DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

A la expresión que aparece, en las fórmulas anteriores, bajo el signo de raíz, b2 - 4ac, se le denomina discriminante, y se representa por la letra griega delta mayúscula, .

= b2 - 4ac.

Dependiendo del valor del discriminante, una ecuación de segundo grado puede tener dos, una o ninguna solución.

Se distinguen tres casos:

A. Si > 0. Si el discriminante es positivo, la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones distintas:

B. = 0. Si el discriminante es cero, las dos soluciones anteriores coinciden, teniendo la ecuación una única solución, y en este caso es una solución doble:

Por lo tanto, x1 = x2.

C. < 0. Si el discriminante es negativo, la ecuación de segundo grado no tiene solución real, ya que la raíz cuadrada de números negativos no existe.

> 0 Dos soluciones distintas

= 0 Solución única doble

< 0 No hay solución

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1. Resolver la ecuación x2 - 5x + 6 = 0.

Resolución:

a = 1; b = -5; c = 6.

La ecuación tiene dos soluciones: x = 3 y x = 2.

2. Resolver la ecuación 3x2 + 3x - 18 = 0

Resolución:

Como todos los coeficientes son múltiplos de 3, dividiendo todos los términos entre este número, se obtiene una ecuación equivalente más sencilla:

x2 + x - 6 = 0

a = 1; b = 1; c = -6

Las soluciones son:

3. Resolver la ecuación x2 + x + 1 = 0

Resolución:

En esta ecuación a = 1; b = 1; c = 1.

Aplicando la fórmula:

La ecuación no tiene solución, ya que el discriminante es negativo.

4. Resolver la ecuación 10x2 + 5(4x + 2) = 0

Resolución:

Antes de aplicar la fórmula, hay que expresar esta ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0.10x2 + 20x + 10 = 0. Esta ecuación puede simplificarse dividiendo en 10:

x2 + 2x + 1 = 0a = 1, b = 2, c = 1

Se aplica la fórmula:

Por ser el discriminante cero, la ecuación tiene una solución doble:

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x1 = x2 = -1


Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado completas:1. 2.3. 4.5. 6.7. 8. 9. 10.11. 12.

PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN MEDIANTE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO


1. Hallar dos números pares consecutivos cuyo producto sea 168.

Resolución:

Cualquier número par puede expresarse en la forma 2x.Sea pues 2x un número par. El par consecutivo de 2x es 2x + 2.

El producto de los dos números es 168: 2x(2x + 2) = 168. Se plantea así una ecuación de segundo grado que hay que resolver.

2x(2x + 2) = 168 Þ 4x2 + 4x - 168 = 0.Dividiendo toda la ecuación entre 4, resulta x2 + x - 42 = 0.

Si x = 6, 2x + 2 = 12 + 2 = 14

Una solución es 12 y 14.

Si x = -7, 2x + 2 = -14 + 2 = -12

Dos números pares consecutivos cuyo producto es 168 son -14 y -12.

El problema tiene dos soluciones: 12 y 14; -12 y -14.


1. Calcular dos números cuya suma sea 39 y cuyo producto sea 380

2. Se han comprado gomas de borrar por un total de $60. Si se hubieran comprado tres gomas más, el comerciante habría hecho un descuento de 1 peseta en cada una, y el precio total habría sido el mismo. ¿Cuántas gomas se compraron?

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3. Dos obreros tardan 12 horas en hacer un trabajo. ¿Cuánto tardarían en hacerlo separadamente, si uno tarda 5 horas más que el otro?

4. Una ecuación de segundo grado con un incógnita tiene una solución igual a 3 y el término independiente vale 15. Calcular la ecuación.

Resolución:

Por ser 3 solución de la ecuación, ésta se puede descomponer en la forma (x - 3) (x - x2) = 0, donde x2 es la segunda solución de la ecuación.

Desarrollando el producto: x2 - x · x2 - 3x + 3x2 = 0.

El término independiente es 3x2, y vale 15.

La ecuación es (x - 3) (x - 5) = 0 Þ x2 - 8x + 15 = 0.

5. Determina el valor de m para que la ecuación 2x2 - 4x + m = 0 tenga una raíz doble.

6. Si se aumenta en 4 cm el lado de un cuadrado, su área aumenta en 104 cm2. Calcula el área y perímetro del cuadrado inicial.

Contenido: Ecuación de 2 grado

1. Visita las siguientes páginas:www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/representacion_fun_cuadratica.htm, www.pntic.mec.es/Descartes/experiencias/mvi/funciones_polinomicas_segundo_grado.htm

Página 47

En esto me peino!!


Realiza las actividades que se proponen en ese sitio. Anótalas en tu cuaderno y saca conclusiones.Usa los apuntes que se encuentran en:

www.pntic.mec.es/Descartes/Analisis/Funciones_cuadraticas/Funciones_cuadraticas.htm

2. Resuelve las siguientes ecuaciones:

3. En un rectángulo la base mide el triple que la altura. Si disminuimos en 1cm. Cada lado, el área inicial disminuye en 15 cm. Calcula las dimensiones y el área del rectángulo inicial.

Sol. Base = 12 cm. Altura = 4 cm.

4. Hallar tres números impares consecutivos, tales que si al cuadrado del mayor se le restan los cuadrados de los otros dos se obtiene como resultado 7.

Sol. 5, 7 y 9

5. La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el doble de la de su hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno?.

Sol. 6 y 366. Dada la ecuación:

a) Resuelve aplicando la fórmula.b) Verifica gráficamente los resultados.c) Indica el vértice y los puntos en que la parábola corta al eje X.

7. Encuentra los valores de k para que las raíces coincidan (x1 = x2) en la ecuación:

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