De cuadrados mágicos

En la imagen os dejo, quizás, el cuadrado mágico más famoso de la

historia. Es el que aparece en el cuadro de Alberto

Durero"Melancolía" pintado en 1514. No menos conocido es el que

Salvador Dalí dejó plasmado en la fachada de la Sagrada Familia (ver

aquí)

Para los más perdidos, decir que un cuadrado mágico es aquel en que la

suma de los números situados en cualquier línea (horizontal, vertical o

diagonal) da siempre el mismo resultado, conocido como constante

mágica del cuadrado. En el caso del cuadro de Durero, la constante

mágica es 34.

Para despertar interés en vosotros al respecto, aquí tenéis un par de

efectos fantásticos, donde se utilizan los cuadrados mágicos de una

forma verdaderamente mágica y original. A mi juicio dos obras de arte.

"The Grid" del genial Richard Wiseman y "Midoku" de Jandro.

 https://youtu.be/M-leQPc9p1Q

https://youtu.be/MQXP2NEEXpc

*            *          *

Pero también os quiero traer en este artículo un cuadrado mágico de un

carácter diferente y quizás no tan conocido en el mundo mágico (Pedro

Alegría lo llama "cuadrado mágico reversible"). 

Observa el siguiente cuadrado:

69 711

36 4847 59

710

812

1 - Elige un número cualquiera. 

2 - Elimina todos los números que estén en su misma fila (horizontal) y columna (vertical). 

3 - De los números que quedan, elige otro número cualquiera. 

4 - Vuelve a eliminar todos los que estén en su misma fila y columna. 

5 - De los números restantes, elige otro. 

6 - Elimina los de su misma fila y columna. 

7 - Te ha quedado sin eliminar un único número. Elígelo también. 

8 - Si sumas los cuatro números que has elegido voluntariamente, el resultado es ... ¡29!

NOTA: El resultado no depende de los números elegidos, lo cual resulta

sorprendente y mágico, ¿no?

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A continuación os explico cómo montar un cuadrado como el anterior,

del tamaño que se quiera y de forma que los números elegidos por el

espectador sumen lo que nosotros queramos:

Supongamos que queremos que la suma sea 29 y queremos montar,

como en el ejemplo anterior, un cuadrado 4x4 (4 filas y 4 columnas).

Entonces debemos hacer lo siguiente:

1 - Descomponemos el número 29 en 8 sumandos porque queremos 4 filas y 4 columnas, que pueden ser repetidos o no: 29 = (2+5+3+7) + (4+1+2+5) 

2 - Ponemos los cuatro primeros sumandos en fila y los siguientes cuatro en columna. Así:

29

2537

4125

3 - Vamos rellenando cada celda sumando el correspondiente número de su fila y su columna, hasta completar el cuadrado. Así:

29

2537

411

1 625 7

NOTA: Si se quiere adaptar a un efecto de cartomagia, se puede formar

el cuadrado utilizando cartas en lugar de escribir los números, para

luego seguir con el proceso de elección (en este caso de cartas).

Espero, con este pequeño aporte, generar en vosotros nuevas ideas

para montar efectos nuevos.

EXPLICACIÓN MATEMÁTICA

Si cogemos el ejemplo del cuadrado (matriz) 4x4, y quisiéramos obtener

la suma

S=(a+b+c+d)+(e+f+g+h)

el cuadrado quedaría de la siguiente forma:

a b c d

ea+e

b+e

c+e

d+e

fa+f

b+f

c+f

d+f

ga+g

b+g

c+g

d+g

ha+h

b+h

c+h

d+h

Al elegir un elemento de cada fila y columna, tenemos cada sumando

una sola vez y la Propiedad Conmutativa de la suma hace el resto. Así

elijamos las casillas que elijamos, siempre sumarán a+b+c+d+e+f+g+h=S

NOTA para profes: He utilizado este tipo de cuadrado para montar

efectos de predicción con alumnos y explicar la propiedad conmutativa,

tanto con la suma como con la multiplicación de números enteros y/o

racionales. Tengo que decir que ha tenido muy buena acogida y es un

buen tipo de ejercicio.

APÉNDICE PARA MATEMÁTICOS

Para un trato mucho más extenso y riguroso sobre los cuadrados

mágicos, os remito al estudio de Pedro Alegría publicado en 2009 en la

revista SIGMA: AQUÍ.

También hay una interesante entrada respecto a los cuadrados mágicos

del mismo Pedro Alegría en su blog: AQUÍ