CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN...

CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN

DIFERENTE

EL MOVIMIENTO RELATIVO: La Relatividad Clásica

Miguel Balbás

Julio 2012

MOVIMIENTO RELATIVO M. Balbás 2

CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN DIFERENTE

EL MOVIMIENTO RELATIVO: La Relatividad Clásica

Miguel Balbás

1. ¿DESDE DÓNDE OBSERVO?

Puede parecer esta pregunta un poco rara. Pero tiene su justificación. A todos nos ha sucedido que

estamos sentados en un tren, al arrancar, mirando por la ventanilla al tren estacionado al lado del

nuestro, le hemos visto moverse en el sentido contrario al de nuestro movimiento. Sin embargo

sabemos que está en reposo en la estación, de modo que si estuviéramos de pie en el andén, le

veríamos quieto. La percepción del estado de movimiento de ese tren va a depender desde donde lo

veamos. Nos podemos preguntar, ¿es esta una experiencia general o ha sido una percepción

extraña la que hemos sentido?

Vamos a contestar a través de un primer ejemplo sencillo. Nos situamos en cubierta de un barco pirata

que avanza con una velocidad constante, cuyo módulo llamaremos vb (velocidad del barco).

Presenciamos escondidos la escena siguiente: el capitán está de pie, quieto apoyado en la parte

inferior del palo mayor. No hay nadie más en cubierta. Pero al mirar hacia arriba descubrimos en

lo alto del palo mayor un pirata traidor apostado en la cola. Su intención es la de soltar un cuchillo

que atraviese la cabeza del capitán. Sabe que si falla en su intento no va a tener más oportunidades

de volverlo a repetir. Por eso tiene que asegurar el golpe. Al principio piensa que el capitán está

quieto debajo de él; que bastará con dejar caer el cuchillo verticalmente. Si éste sigue una

trayectoria vertical, paralela al palo mayor, llegará sin fallar a la cabeza del capitán. Pero de

repente le surge una duda angustiosa. Él ha visto moverse los barcos toda su vida. Sabe que el

barco está moviéndose hacia delante, con la proa surcando el mar. Todo el barco se mueve, se

mueve el palo mayor y se mueve el capitán recostado en él. En el tiempo que tarde el cuchillo en

bajar desde la cofa hasta la cubierta, por pequeño que pueda parecer este tiempo, es lo suficiente

para que el capitán se haya movido debido al movimiento del barco. Por tanto también el cuchillo

deberá avanzar horizontalmente si quiere no fallar su intento de liquidar al capitán. ¿Qué debe

hacer? ¿Deberá lanzar hacia delante el cuchillo, lo suficiente para que realice un descenso

curvilíneo y llegue al sitio exacto al que la cabeza del capitán haya avanzado? Y en este caso,

¿Cómo debe ser la velocidad que debe imprimir en horizontal al cuchillo?. Claro, tiene que ser

igual a la velocidad vb del barco, pero ¿cómo conseguirla? (Fig. 1)


No consta en nuestros anales el final de la historia, no sabemos qué hizo el pirata. Cada cual puede

imaginarse el final que más le guste. Pero sí podemos entrar en la discusión sobre cuál debería

haber sido la decisión a tomar, en otras palabras, qué le hubiéramos dicho al pirata si nos

hubiéramos situado también en la cofa con él y nos hubiéramos convertido en cómplices del

intento de rebelión.

La pregunta fundamental es la siguiente. ¿Qué trayectoria debe seguir el cuchillo? ¿Una trayectoria

vertical, siguiendo el palo mayor en su descenso o, por el contrario, una trayectoria curvilínea que

empezando en la cofa, termine más adelante, allá donde se sitúe un poquito después la cabeza del

capitán?

La respuesta exacta es un poco desconcertante: el cuchillo seguirá ambas trayectorias a la vez. El

pirata deberá dejar caer hacia abajo el cuchillo, sin impulsarlo hacia delante. El verá que el

cuchillo deberá seguir paralelo al palo mayor hasta llegar a su base, puesto que el capitán siempre

está debajo de él y esta situación no se modifica en ningún instante. Diremos que visto el

movimiento del cuchillo desde el punto de vista del barco, es decir, observando desde el propio

barco, su trayectoria ha de ser rectilínea y vertical. Si se lanzara hacia adelante caería más allá de

donde está el capitán. Pero también es cierto que si el movimiento se observa desde tierra se va a

ver que el cuchillo sí que avanza en horizontal, tanto como avanza la cofa, el palo y el capitán, es

decir lo que ha avanzado en ese tiempo el barco. ¿Cómo es posible que se mueva el cuchillo hacia

delante, sin haberlo lanzado? La respuesta es sencilla: cuando lo tenía el pirata en sus manos

avanzaba lo mismo que él, es decir ya llevaba una velocidad vb horizontal. Si en todo el proceso no

sufre una aceleración horizontal (suponemos que no hay resistencia del aire ni viento que lo

empuje) su velocidad vb horizontal se mantiene constantemente y así avanza lo mismo que el

capitán. Observando desde tierra, fuera del barco, el cuchillo realiza una trayectoria curvilínea,


concretamente parabólica porque tiene velocidad constante en horizontal y con aceleración g de la

gravedad, constante, en dirección vertical, (Fig. 2).

La conclusión a la que se llega es que no tiene sentido hablar de la trayectoria de un móvil si no se

especifica quién es el observador y qué movimiento tiene éste. En el ejemplo que hemos descrito

hemos utilizado dos puntos de vista, el del observador en tierra, sin participar del movimiento del

barco, y el del observador subido en el barco, arrastrado por él en su movimiento. Siempre

tendremos trayectorias relativas a uno o a otro y velocidades relativas, con las que se describen

estas trayectorias, relativas a uno u otro observador. En este ejemplo la velocidad relativa al

observador en el barco, es la vertical de caída siguiendo la trayectoria rectilínea. Si a esta

velocidad vertical vb se le añade la velocidad horizontal vb del barco (o “velocidad de arrastre”),

Fig. 2, se tiene la velocidad del movimiento parabólico respecto al observador en tierra.

Si pensáramos en aceleraciones, en vez de pensar en velocidades, nos daríamos cuenta de que el

movimiento de arrastre del observador en el barco respecto al observador en tierra, no tiene

aceleración, ya que se mueve con velocidad constante vb. Diremos que la aceleración de arrastre es

nula. Y así la aceración que ven los dos observadores en este caso es la misma, la aceleración de la

gravedad en dirección vertical.

2. COMPONIENDO VELOCIDADES Y ACELERACIONES

Podemos intentar generalizar nuestro razonamiento. ¿Será suficiente con sumar la velocidad relativa

que observa el segundo observador (en movimiento respecto a nosotros), con la velocidad de

arrastre que nosotros vemos que tiene ese observador al moverse, para así componer la velocidad

del móvil que nosotros vemos?


Esto se haría para relacionar las velocidades vistas por nosotros (punto de observación 1) y por el otro

observador móvil respecto a nosotros (punto de observación 2). Pero para relacionar las

aceleraciones vistas por ambos observadores, ¿será suficiente con sumar la relativa y la de

arrastre?

Pensemos en otro ejemplo sencillo. Imaginemos un tío-vivo de una feria. Lo podemos representar por

un círculo horizontal que gira en torno a un eje vertical que pasa por su centro O’ y supongamos

que lo hace con velocidad angular 1 constante. Pero en el borde de la plataforma del tío-vivo hay

un niño que corre siguiendo el borde y al que seguro que todos chillan diciéndole que se esté

quieto, que se va a caer. Podemos pintar en el suelo de la plataforma unos ejes O’X’ y O’Y’ con

pintura roja, con centro en el propio centro O’ del disco. El tercer eje sería el eje vertical de giro.

Imaginemos que en O’ está situado el encargado del tío-vivo, que gira con la plataforma. Digamos

que él representa el observador móvil, en movimiento respecto a nosotros que estamos quietos en

tierra con nuestro ejes OX, OY y OZ de centro en un punto quieto O. El móvil a estudiar es el

niño.

El encargado del tío-vivo ve que el niño va dando vueltas por el borde. Supongamos que realiza esta

trayectoria circular con una velocidad angular con 2 constante, vista desde el propio tío-vivo, y en

el mismo sentido de la 1 del disco. Si nos fijamos en una cierta posición con el niño en P en ese

instante (Fig. 3), la velocidad relativa del niño respecto a la plataforma es tangente a su trayectoria

circular y de módulo 2R, si es R el radio de esta trayectoria circular. Pero el movimiento de

arrastre, al contrario de lo que pasaba en el ejemplo del barco, en el que era una traslación

rectilínea horizontal, es ahora el movimiento de rotación del tío-vivo. El punto P de la plataforma

lleva una velocidad de módulo 1R, debido a la velocidad 1 con la que gira el disco. La suma de

estas dos velocidades nos dará un resultado 1R + 2R = (1 + 2)R. ¿Es ésta la velocidad con la

que vemos moverse al niño desde fuera? Podemos razonar desde tierra diciendo que el ángulo

que gira su radio de posición por causa del movimiento del tío-vivo en un cierto intervalo de

tiempo t, tendrá el valor 1 = 1 t. Esto es lo único que veríamos si el niño estuviera sentado en

su sitio y sólo se moviera por causa del tío-vivo.

Pero además su radio de posición gira un ángulo 2 = 2t, porque él, en el tiempo t, corre por el

borde. Este ángulo será el único que veríamos si el tío-vivo estuviera parado y solamente corriera

el niño por su borde.


Así que para nosotros su posición ha girado en torno a O’ un ángulo total 1 + 2 = 1t + 2t =

= (1 + 2) t. Esta última expresión nos dice que en un cierto t se ha movido con velocidad

angular (1 + 2).

Su velocidad lineal, también tangente a su trayectoria tiene por valor (1 + 2)R. Este resultado

coincide con la suma de la velocidad relativa, vista desde O’, de valor 2R y de la de arrastre 1R

del punto donde él está situado. Es decir, que vamos bien con nuestra composición.

Veamos si podemos repetir el razonamiento con las respectivas aceleraciones. En primer lugar, en el

movimiento relativo el niño describe circunferencias de radio R y velocidad angular 2. Por haber

supuesto que 2 sea constante, no existirá aceleración sobre la tangente (no hay aceleración

angular), tan sólo queda el término de aceleración normal, dirigido hacia O’ y de módulo 2

2 R

(Fig. 4)

Pero si el niño no se moviera sobre la plataforma y sólo le afectara el movimiento de arrastre de ésta,

razonando de igual manera, tendríamos sólo el término de aceleración normal 2

1 R , ya que

también hemos supuesto que 1 es constante.


¿Nos bastará con sumar estas dos aceleraciones, relativa y de arrastre, para obtener la aceleración que

se ve desde tierra? Hemos dicho que el movimiento que vemos desde nuestro punto de vista O

quieto en el suelo es un movimiento circular de velocidad angular (1 + 2), constante por

supuesto, luego la aceleración que se observa es la normal, dirigida hacia O’, pero de valor

(1 + 2)2 R. Descubrimos que este valor no coincide con la suma hecha anteriormente. Si

desarrollamos su expresión, tendremos:

2 2 2

1 2 1 2 1 22a R R R R

Nos faltaba añadirle a la suma de relativa 2

2 R y arrastre 2

1 R , el término complementario de valor

212 R. Este término puede escribirse también, recordando que la velocidad relativa es

2rv R , como 21 vr , doble del producto de la velocidad relativa respecto al observador móvil

por la velocidad de rotación de éste.

3. PLANTEAMIENTO CINEMÁTICO GENERAL

3.1 ¿QUÉ VE EL OBSERVADOR QUE SE MUEVE?

Cuando se ha estudiado en Cinemática el movimiento de un punto móvil, se ha visto que su velocidad

v es un vector que se obtiene derivando su vector r de posición dr

vdt

.


El primer problema con el que nos encontramos es que cada observador debe trazar su vector de

posición del punto P móvil y que estos vectores no coinciden.

En la Fig. 5 se han considerado dos sistemas de referencia S y S’, de tal modo que S’ se está moviendo

respecto de S. En S estamos situados nosotros y vemos cómo se mueve S’. Cada sistema tiene su

origen y sus ejes. En cada uno de ellos se ha dibujado un vector de posición del punto móvil P , en

el primero S lo hemos denominado r OP y en el segundo S’, ' 'r O P . Convengamos en que

lo mismo que escribimos en S lo podemos escribir en S’, con tal de que lo hagamos poniendo el

signo de prima (’) en cada letra. Nosotros desde S vemos la posición del origen O’ del triedro

móvil mediante el vector '' oOO r . Estos vectores , 'r r y 'or están dibujados en la posición

inicial de P y ahora debemos estudiar cómo cambian durante un tiempo muy pequeño, dt . Habrá

que unir la nueva posición de P con los orígenes de los triedros, pero, sabiendo que el triedro S’ se

ha movido también durante ese pequeño intervalo dt. ¿Cómo lo ha hecho?

Para describir el movimiento que vemos hacer a S’ lo descompondremos en una traslación, llevando

O’ a su nueva posición O’1 , seguida de una rotación en la que los ejes pasan a su posición final.


En la Fig. 6 hemos representado la posición de S’ después de la traslación en la que todo se mueve

paralelamente y siguiendo lo que cambia 'or , es decir 'od r . Los ejes se han dibujado de trazos a

partir de la nueva posición de 'O , que es '

1O . Pero después hay que efectuar una rotación de

manera que el eje de giro pase por '

1O para que este punto ya no se mueva, mientras que los ejes

del triedro pasan a su posición dibujada con línea continua. La rotación se hará con una cierta

velocidad angular que representamos en el eje de giro y que llamamos e (el subíndice “e” es para

que nos recuerde que corresponde a la rotación de los ejes).

Pero al mover S’ se lleva con él todas sus referencias. En concreto el vector de posición 'r de P en el

instante primero se mueve con el sistema. Pensemos por ejemplo que se han anotado para poder

reconstruir 'r , sus componentes '

'xr , '

'yr y '

'zr sobre los ejes móviles. Al mover éstos y reconstruir

'r nos sale una nueva posición de 'r visto desde nuestra posición en S. O en lugar de tener

anotadas las componentes de 'r , pensemos que materializamos 'r con un alambre en forma de

flecha. Al mover S’ , esta flecha, unida a '

1S se mueve también.

Para reconstruir la nueva posición de 'r sometámosla en primer lugar a la traslación de S’.

Tendremos un vector 'r con origen en '

1O pero equipolente del inicial, es decir con su mismo

módulo y de la misma dirección. La traslación no altera las direcciones. En la Fig. 7 siguiente

hemos dibujado la posición inicial de 'r como el vector 'O P . Después de la traslación el vector

es el '

1 1O P .


Pero ahora nos queda efectuar la rotación e . El origen '

1O de 'r no se mueve, pero el extremo P1 sí

que lo hace. Llamemos P2 a la posición nueva de este extremo. En la Fig. 8 se ha dibujado la

posición final '

1 2O P de 'r tras sufrir el arrastre de los ejes móviles.

Así como 1PP coincide con 'odr del movimiento del origen, el desplazamiento elemental 1 2PP en el

giro se puede expresar como el producto de la velocidad que adquiere P1 multiplicada por el

tiempo: 1 2 'ePP r dt .

Debemos tener claro que mientras que para el observador S’ el vector 'r no ha cambiado (es el que

marca la posición inicial de P antes de transcurrir el intervalo dt), para nosotros en S sí que ha

habido un cambio de 'r , ha cambiado su dirección en el espacio por causa de la rotación del


sistema. Por eso hemos escrito ( ')ir como valor inicial en la Fig. 8 y ( ') fr como valor final.

Seguimos viendo que en la traslación no hay cambio porque se mantiene tanto el módulo como la

dirección de 'r .

Durante el transcurso del intervalo dt, el punto móvil pasará de su posición inicial a una nueva

posición Q según sea su movimiento.

Pero ahora ya estamos en condiciones de explicar su movimiento; en S sería su desplazamiento desde

P hasta Q (véase Fig. 9). Sin embargo desde S’ se dirá que ha pasado de P2 hasta Q, debido a que

la posición desde donde arranca el móvil es el extremo de 'r , que para ellos, necesariamente es

P2, puesto que se han movido. Podríamos decir que las posiciones de partida del móvil son

distintas para ambos observadores puesto que en S’, una vez pasado el dt al echar la vista atrás

para comparar la posición nueva Q con la inicial antes del dt, se toma P2 como referencia por causa

del movimiento de S’.

3.2 DOS VELOCIDADES DIFERENTES PARA UN MISMO MÓVIL

Vistos (Fig. 9) los desplazamientos dr PQ y ' 2( ')Sdr P Q podemos dar forma a las velocidades.

Hemos denominado '( ')Sdr al desplazamiento que el observador móvil ve hacer al punto P, es

decir, cómo varía su vector de posición 'r pero vista esta variación desde S’, por tanto desde P2

hasta Q. Le hemos añadido como subíndice S’ para dejar constancia de que está visto en el sistema

de referencia móvil.

Las velocidades respectivas son d r

vdt

y

'

''

S

d rv

dt


En la Fig. 9 vemos que las direcciones de d r y de '( ')Sd r son distintas; pero éstas son las

direcciones de las velocidades v y 'v vistas por ambos observadores. La relación entre ambas

velocidades es muy fácil de obtener, puesto que:

1 1 2 2PQ PP PP P Q

Es decir, vectorialmente podemos pasar de P a Q o bien directamente o bien yendo de P a P1, luego a

P2 y terminando en Q. Poniendo los valores respectivos en la última igualdad, se tiene:

' '' ( ')o e Sd r d r r dt d r

Y de aquí:

'

'

''o

e

S

d r d r d rv r

dt dt dt

Cuando el punto móvil no se mueve respecto a S’, es decir cuando la velocidad relativa a S’

'

'' 0

S

d rv

dt

, el valor de v es:

''' 'o

e o e a

d rv r v r v

dt


Hemos denominado velocidad de arrastre av a la velocidad que toma v cuando no hay movimiento

relativo respecto al segundo observador, solo se mueve P unido al sistema S’ y su velocidad es la

suma en primer lugar de la de la traslación de S’ (velocidad igual para todos sus puntos: nos

fijamos en la velocidad 'ov de su origen O’) y en segundo lugar de la velocidad lineal de P al rotar

' : 'eS r .

Por tanto de forma sintética, la expresión general de v queda:

'av v v

“la velocidad de P respecto a nuestro sistema es igual a la suma de la velocidad con la que el

sistema móvil arrastra a P más la velocidad relativa que se observa desde este sistema (móvil para

nosotros)”.

El hecho de habernos constituido nosotros como observadores en el sistema S es totalmente arbitrario.

Podíamos habernos subido en el S’ y desde él ver moverse al S. Le veríamos hacer lo contrario,

trasladarse con velocidad 'ov y girar con velocidad angular e . Es decir '

a av v la ecuación

que relaciona las velocidades vistas desde ambos sistemas seguiría siendo la misma:

'' a av v v v v .

3.3 Y POR TANTO DOS DERIVADAS DISTINTAS

Para obtener la expresión de la velocidad relativa v ’ respecto al sistema S’ en movimiento, hemos

obtenido la derivada de su vector de posición 'r , pero lo hemos hecho añadiendo el subíndice S’.

Queremos decir con esto que el vector de posición es el relativo 'r , es decir el que refiere el punto

móvil al sistema S’, pero además que la derivada de 'r se obtiene trabajando en S’.

En la Fig. 9 vemos que el valor inicial de ' 'r O P no cambia en la traslación de S’, así '

1 1'O P O P

Pero la rotación de S’ sí da un nuevo valor a 'r , el dado por '

1 2O P . Después vendrá el comparar

este 'r con el final '

1OQ cuando el móvil se ha desplazado a Q durante el intervalo temporal

elemental dt. Así que a 'r se le ve cambiar desde S’ de forma distinta a lo que se ve desde S. 2P Q

es el desplazamiento visto desde S’ , puesto que se ha de tomar como valor inicial de 'r el valor


2P Q , mientras que la variación de 'r vista desde S es 1PQ , puesto que en la traslación no cambia

'r , pero sí en la rotación 1 2PP , más el cambio 2P Q , por moverse el móvil hasta Q.

Llamando 'dr a la variación elemental de 'r , vista desde S, podemos escribir:

1 1 2 2PQ PP P Q

es decir:

'

' 'e sd r r dt d r

de donde:

'

' ''e

s

d r d rr

dt dt

Vemos así como se relacionan las derivadas del vector relativo 'r efectuadas dichas derivadas en

S y en S’.

Como la velocidad siempre se puede obtener como diferencia de las derivadas de dos vectores de

posición, esta ley se puede generalizar a las derivadas de la velocidad relativa 'v , así:

'

' ''e

s

dv dvv

dt dt

En general cualquier vector de posición y sus derivadas temporales pueden expresarse en ambos

sistemas de observación, siendo su relación la generalización de estas anteriores.

Pero esto que hemos escrito no deja de ser más que una expresión matemática útil, pero que no tiene

sentido físico. Porque para poder medir experimentalmente una de estas derivadas o se está en S, o

se está en S’. Para ver y medir 'r hay que estar en S’, porque 'r es lo que se ve desde S’. Por

tanto no es medible su derivada en S, porque no estamos en S. No podemos ser observadores

físicos situados en ambos sistemas a la vez.

Debe notarse que si no existiera rotación del triedro S’, es decir si 0e , ambas derivadas

coincidirían. Esto sucede cuando S’ solo se traslada. Es algo que se intuye con solo ver la Fig.9.


3.4 VOLVAMOS A COMPONER VELOCIDADES EN LOS EJEMPLOS

INICIALES

En primer lugar al ejemplo del barco pirata (Fig. 1). En este caso el triedro móvil S’, fijo en el

barco, se mueve con la velocidad de traslación Bv horizontal del barco. Sólo es movimiento

de traslación de los ejes móviles, no giran 0e . Para obtener la velocidad v respecto a

tierra, veremos primero que la velocidad de arrastre av es solamente Bv , puesto que en la

traslación del barco todos los puntos, incluido el origen O’ de los ejes móviles, tienen la

misma velocidad. Así 'o Bv v .

La expresión que obtenemos para v es 'Bv v v . Cómo Bv es horizontal y 'v (lo que se ve

desde dentro del barco) es vertical y descendente, se obtiene el diagrama que ya hemos

dibujado en la Fig. 2. Es decir, una velocidad v inclinada, con proyección horizontal

constante (vB) y proyección vertical creciente ' rv v , lo que da lugar a la trayectoria

parabólica vista desde tierra.

En el otro ejemplo del niño en el tío-vivo (Fig. 3), para obtener la velocidad v respecto al

suelo, deberemos combinar la av de la plataforma giratoria con la 'v , vista desde ella.

Ambos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, son tangentes a la trayectoria

circular como se ve en la figura. Porque para determinar la velocidad de arrastre, debemos

dejar mentalmente al niño quieto sobre la plataforma. La velocidad del punto en que él se

apoya se calcula mediante:

' 'a o ev v r

Pero en nuestro caso la velocidad del origen O’ de los ejes móviles es nula, porque O’ es el

centro de giro de la plataforma y no se mueve.

Por otro lado la velocidad angular de los ejes e es en este caso 1 . Por tanto

1 'av O P de módulo 1av R .


Desde la plataforma se ve al niño correr por la periferia describiendo la trayectoria circular del

borde con una velocidad angular que hemos llamado 2 . Por tanto 2' 'v O P ,

módulo R .

Y el resultado final :

1 21 2' ' ' ' 'av v v O P O P O P

Y módulo 1 2 R , como se dibujó en la Fig. 3.

3.5 ¿Y LA ACELERACIÓN CÓMO SE OBTIENE?

No es difícil obtener la expresión de la aceleración a respecto a nuestro sistema S, ya que tenemos la

expresión de la velocidad v . Nos basta con derivar v respecto al tiempo t. Pero, cuidado, que

esta derivada la construiremos desde S.

Así:

'' ' 'a o ev v v v r v

Derivando:

' ' ''o e

e

dv dv d d r dva r

dt dt dt dt dt

En esta expresión hay dos derivadas de vectores relativos ' y 'r v efectuadas en S. Para expresarlo

con términos que tengan sentido físico, sustituyamos sus valores según vimos en el epígrafe 3.3.

Así nos queda

'

' '

' '' ( ') 'o e

e e e

s s

dv d d r dva r r v

dt dt dt dt


Podemos simplificar la expresión obtenida ya que 'o

dv

dt es la aceleración con la que se ve moverse a

O’ desde O, puede por tanto llamarse 'oa ; la ed

dt

no es más que e aceleración angular con la

que rotan los ejes móviles; '

'

d r

dt s

es 'v y , por último '

'

d v

dt s

es la aceleración relativa 'a

del móvil P visto desde S’, puesto que en la deriva realizada en S’ de la velocidad 'v vista desde

allí. Así:

' ' ' ' ' 'o e e e e ea a r r v v a

o bien:

' ' ' ' 2 'o e e e ea a r r a v

Interpretemos estos términos. En primer lugar, a y 'a son las aceleraciones de P vistas desde S y

desde S’ respectivamente. Por otro lado, en aquellos casos en los que P no se mueva para S’, es

decir, aquellos en los que P se mueve arrastrado por el sistema móvil, con un 'r constante para el

observador S’, a la aceleración que tenga P le daremos el nombre de aceleración de arrastre aa .

Por tanto aa será el valor que toma a cuando no existe movimiento relativo respecto a S’, es

decir, cuando tanto 'v como 'a sean nulas. Podemos poner, particularizando la expresión

anterior:

' ' 'a o e ea a r r

Estos sumandos son fácilmente interpretables. El punto P se mueve debido tan sólo al movimiento del

triedro S’. En primer lugar veamos qué aceleración tiene P por la traslación de S’. Como en la

traslación todos los puntos tienen la misma aceleración, tomemos la aceleración 'oa del origen del

triedro. Veamos después el giro en la rotación del sistema S’. P describe un pequeño arco de

circunferencia y su aceleración se puede descomponer en su componente Ta tangencial y su

componente Na normal.


El término tangencial es 'e r , es decir el producto de la aceleración angular por el vector de

posición, de módulo eR , siendo e el módulo de e y R el radio con que gira P, es decir su

distancia al eje de rotación que contiene e .

El término normal es 'e e r , de módulo 2

e R y dirigido desde P hacia el eje de e .

Así la expresión general nos queda:

' 2 'a ea a a v

Vemos que no basta, para obtener el valor de a , con sumar la aceleración relativa y la de arrastre, tal

como hacíamos en la composición de velocidades. Para establecer la correcta relación entre a y

a ’ hay que añadir el término 2 'e v . A este término se le da el nombre de aceleración

complementaria o aceleración de Coriolis, en honor del científico francés que expresó

adecuadamente la relación entre a y a ’. Así pondremos

2 'c ea v

Y en la expresión general, en forma resumida:

' a ca a a a

3.6 VOLVAMOS A LOS EJEMPLOS INICIALES, PERO AHORA CON

ACELERACIONES

En el primer ejemplo que expusimos, Fig. 1, el del barco pirata, los ejes móviles S’ están

situados en el barco, moviéndose como se mueve el barco, por tanto, con un movimiento de

traslación de velocidad constante Bv . Estos ejes sólo se trasladan, no sufren rotación, es

decir 0e , y claro 0e .

Además su origen O’ (posición del capitán pirata) no tiene aceleración ' 0oa .


La expresión de la aceleración de arrastre es, por consiguiente:

' ' ' 0a o e e ea a r r

El sistema móvil S’ arrastra al cuchillo al móvil, con velocidad constante Bv , sin aceleración.

Como no existe rotación y 0e , el término complementario de Coriolis es también nulo:

2 ' 0c ea v

Por tanto:

' 'a ca a a a a

Desde ambos sistemas se observa la misma aceleración, que es la de la gravedad, vertical y

descendente. Es lo que también se ha representado en el diagrama de la Fig. 2.

En el segundo ejemplo, en el caso del niño corriendo en el tío-vivo (Fig. 3), los ejes móviles S’

los hemos situado fijos en la plataforma circular, con su centro O’ en el centro de ésta,

siendo por tanto O’ un punto que no se mueve.

El movimiento de arrastre no tiene traslación ' 0ov , solamente la rotación e . Como hemos

considerado e constante, es nula la aceleración angular e . Por tanto de los términos del

arrastre solo existe el de la aceleración normal, dirigida desde el niño hacia el centro O’ de

valor:

'a e ea r

Y cuyo módulo es 2

e R . Recordemos que hemos llamado 1 a la velocidad angular de la

plataforma e , con lo que:

1 1 'aa r


Para escribir el valor de la aceleración relativa 'a respecto a S’, consideremos mentalmente la

plataforma quieta (es como si nos subiéramos en ella) y el niño corriendo, describiendo la

trayectoria circular del borde con 2 constante. En este movimiento observado desde S’, al

ser 2 constante, 2 es nula y no existe componente tangencial de la aceleración 'a , tan

solo la componente normal:

2 2 'aa r

Y de sentido de P a O’ y módulo 2

2 R .

Por último en el término de Coriolis interviene la velocidad angular de los ejes 1e y la

velocidad relativa 'v , tangente a la trayectoria circular.

Así:

12 'ca v

El vector ca es perpendicular tanto a 1 como a 'v , por tanto lleva la dirección del radio y

sentido de P a '

1O , hacia el centro. Para estudiar su módulo veamos primero que:

2' 'v r

Y su módulo:

2'v R

Por tanto:

1 22 ( ')ca r

Con módulo 1 22ca R y sentido hacia el centro.

Al aplicar la expresión general de a se tiene:

2 2 1 1 1 2' ' ' 2 ( ')a ca a a a r r r

que es un vector dirigido desde P a O’ porque los tres sumandos tienen la misma dirección y el

mismo sentido. Su módulo es:


22 2

1 2 1 2 1 22a R R R R

resultado que ya habíamos comentado al decir que desde tierra, desde S, el movimiento circular

del niño se ve con la velocidad angular suma de 1 y 2 .

3.7 EL TÉRMINO DE CORIOLIS NO ES CONTRARIO A LA INTUICIÓN

La diferencia esencial en la composición que hemos hecho en velocidades y en aceleraciones, ha

consistido en que en aceleraciones hemos tenido que añadir el término complementario de Coriolis

a la suma de los términos de arrastre y relativo. No es trivial encontrarle sentido a este término

complementario. Intentémoslo analizando un ejemplo.

Supongamos una plataforma circular, como la del tío-vivo (Fig. 10) y en ella una bola que avanza

desde el centro O’ hacia la periferia siguiendo un radio de la plataforma. Igual que el ejemplo del

tío-vivo, los ejes móviles están dibujados sobre la plataforma, moviéndose con ella, es decir con

una velocidad angular e que vamos a suponer constante para mayor sencillez 0e .

Tomemos el movimiento relativo a la plataforma, que será rectilíneo, haciendo que el radio que

recorre la bola sea el que está sobre el eje O’X. Supongamos también que la velocidad relativa 'v

sea constante para el observador móvil.

La aceleración a debe recoger la variación completa que tenga v . Pero como ésta es la suma de av y

'v , cualquier variación en el tiempo de la velocidad de arrastre y de la velocidad relativa deben

estar contenidas en a . Comencemos por preguntarnos si esto es así con la velocidad de arrastre

av .


Digamos, en primer lugar, que la velocidad de arrastre es fácil de determinar, Fig. 10 .Dejemos la bola

en reposo sobre la plataforma (es decir, hagamos por un momento que la bola no avance por el

radio, ' 0v ) y que por tanto sea arrastrada por la plataforma al moverse ésta. El sistema de ejes

móviles no se traslada, es decir su origen O’ es el centro de la plataforma y no se mueve '( 0)ov .

Los ejes sólo giran, con e constante, por tanto de la expresión general ' 'a o ev v r sólo

queda el segundo sumando, la velocidad lineal debido al giro, es decir la velocidad con la que

recorrería la trayectoria circular de radio O’P. En la figura se ha representado en P1 este valor de

av . Si sólo existiera este movimiento de arrastre, av iría variando. En la figura hemos representado

otra posición, en la que av ha cambiado de dirección, que siempre ha de ser tangente a la

circunferencia de radio O’P = O’B. Esto significa que la plataforma, en ese tiempo, ha girado y el

radio O’A (eje O’X) tiene ahora la dirección O’B. Este cambio que sufre av por causa del

movimiento de arrastre es lo que hemos llamado aceleración de arrastre. En nuestro ejemplo de av

solo existe el último sumando ya que ' 0oa , por no moverse O’, y 0e por la hipótesis

inicial; es la aceleración normal que hace cambiar la dirección del vector av y cuyo módulo es

2

e R . Sin embargo el punto móvil, la bola, tiene también el movimiento relativo que le hace

avanzar por el radio de la plataforma. En la Fig. 11 representamos dos posiciones sucesivas de la

bola sobre el radio, la primera en P1 y la segunda en P2. La diferencia entre una y otra es que en la

primera posición el radio coincide en valor con coordenada x’, mientras que en la segunda se

habrá desplazado un dx’ hacia la derecha y su radio de giro será (x’ + dx’), un poco mayor que en

la primera posición.


Se han dibujado en la figura los valores de la velocidad de arrastre. Ambas tienen en el mismo

instante la misma dirección y sentido; la diferencia de módulos es ' ' ' 'e e ex dx x dx .

Al formar la derivada tendremos '

'e e

dxv

dt . En forma vectorial esta aceleración, que

representa la variación de la velocidad de arrastre av , pero no por causa del movimiento de arrastre

sino del relativo, puede escribirse como 1 'c ea v de dirección y sentido los de av y con el

módulo 'ev .

Pasemos ahora a fijarnos en la variación de la velocidad relativa 'v ; estudiaremos primero el valor de

'a , aceleración relativa, que es la que percibe el observador móvil. En nuestro ejemplo al haber

supuesto que 'v es constante, es decir, que para el observador S’ tiene dirección y sentido fijos

(los del radio) y módulo constante, el valor de 'a es nulo. Si el módulo de 'v hubiera sido

variable, esta variación sería lo que recogería la aceleración relativa 'a .

Pero además de la variación de la velocidad relativa por causa del movimiento relativo, puede existir

una variación de 'v por causa del movimiento de arrastre y que no entra en 'a . En la Fig. 12.a se


han dibujado sucesivos valores de 'v en diferentes instantes. La bola se va alejando del centro O’

pero debido a la rotación de la plataforma el radio por el que avanza la bola va girando también.

En el esquema 12.b se han representado dos valores de 'v en instantes muy próximos y llevados a un

punto A fijo como origen de ambos. Cuando el intervalo transcurrido tienda a cero el 'v se

convierte en 'dv , el ángulo girado es también un diferencial d , la dirección de 'dv es la

perpendicular a 'v y el módulo de 'dv toma el valor 'dv d R (arco igual al producto del

ángulo por el radio).

Al obtener la derivada respecto al tiempo tenemos 2c e

da R R

dt

; pero el radio R de giro del

extremo B respecto a A es el módulo 'v de la velocidad relativa. Por tanto 2 'c ea v .

En forma vectorial este segundo término complementario, variación de la velocidad relativa no por

causa del movimiento relativo, sino del movimiento de arrastre, puede también escribirse como

2 'c ea v .

La suma de los términos 1ca y 2ca nos da el valor de la aceleración de Coriolis:

2 'c ea v

Si echamos la vista atrás, vimos en el comienzo del epígrafe 3.5 como en la primera expresión de a

nos aparecía el término '

e

dr

dt al derivar la velocidad de arrastre y que al sustituir

'dr

dt en

función de '

S

dr

dt

, daba lugar a 'ea v , término no contenido en aa . Por otro lado al

derivar 'v aparecía 'dr

dt, que al ser sustituida en función de

'

'

s

dv

dt

, dejaba un sumando

'e v no contenido en la aceleración relativa 'a . Es decir el primero nace de la derivación de

av y el segundo de la 'v . Ambos sumandos dan la aceleración complementaria o de Coriolis.

Este término ca es nulo cuando no hay movimiento relativo respecto a S’ ' 0v , cuando los ejes

no rotan 0e , o bien cuando los dos vectores y 'e v son paralelos y su producto vectorial

es nulo.


Con el análisis que hemos hecho este resultado resulta coherente.

Si 'v es nula, ésta no cambia por el movimiento de arrastre ni av cambia porque el móvil pasa a otra

posición con diferente av (no tiene movimiento relativo).

Si 0e al no haber rotación de los ejes la velocidad relativa 'v no cambia de dirección por el

arrastre ni la de arrastre av tiene la variación que el giro de los ejes le produce al moverse S’. Y si

son paralelos e y 'v , el móvil ni se acerca ni se aleja del eje de la rotación del triedro móvil.

Pongamos un ejemplo para entender mejor este último caso.

Sea un cilindro vertical que gira en torno a su eje de revolución con una e constante. El

cilindro tiene una generatriz vertical (imaginemos que es un alambre recto) por la cual

avanza, insertada en él, una bola con velocidad relativa vertical respecto al cilindro y de

valor 'v también constante (Fig. 13).

En el esquema representado en 13.a se ha dibujado una cierta posición del alambre e insertada

en él la bola que asciende con 'v .

La dirección de 'v es la del alambre, es decir, vertical. Por otro lado como los ejes móviles,

dibujados en el cilindro, solo giran, su origen O’ está quieto ' 0ov , la velocidad de

arrastre av es tangente a la trayectoria de arrastre (sería la que describiría la bola si no

tuviera la 'v ) y de módulo eR .


En el esquema 13.b se han representado dos instantes del movimiento, el instante 1 y el instante

3, pasado un cierto intervalo de tiempo. En este intervalo el cilindro ha girado. Hemos

dibujado el alambre en su posición inicial y en su posición final. Y también la bola ha

recorrido parte del alambre, en 3 está más arriba que en la posición anterior. Podemos

descomponer el movimiento mentalmente como si primero hubiera girado el cilindro (sin

avanzar la bola por el alambre) y entonces pasaría la bola de la posición 1 a la 2, posición

intermedia. Posteriormente, sin que se mueva el cilindro, la bola asciende por el alambre

desde 2 hasta 3.

En el primer recorrido la velocidad de arrastre cambia vectorialmente.

Sí que existe variación de av por causa del movimiento de arrastre. No tienen la misma dirección

1av y 2av , ambas tangentes a la misma circunferencia; sus módulos son iguales a eR al

haber considerado que e es constante. Pero esta variación está descrita por la aceleración

de arrastre, es su tercer sumando: ' ' 'a o e e ea a r r , siendo los dos

primeros sumandos nulos en este caso ' 0 ; 0o ea ; su dirección es hacia el eje de giro

y de módulo 2

e R .

En el segundo trayecto, de 2 a 3, ya no existe movimiento de arrastre, solo tenemos el

movimiento relativo sobre el alambre. Pero 2av y 3av son vectores equipolentes, misma

dirección y mismo módulo. Al no acercarse ni alejarse del eje de giro, no hay variación en la


velocidad de arrastre por causa del movimiento relativo; no hay que añadir este término

complementario.

Por otra parte 1 'v y 2 'v son también equipolentes, no hay variación de uno a otro, gracias a

que 'v es paralela al eje de e . No hay, por tanto, variación de la velocidad relativa por

causa del movimiento de arrastre. Tampoco hay que añadir este término complementario. La

aceleración de Coriolis es nula.

4.- CUANDO LO QUE SE OBSERVA ES UN CONJUNTO DE PUNTOS A LA VEZ

Todo lo que hemos ido desarrollando hasta ahora se ha referido al movimiento de un punto móvil único

P, visto desde dos sitios diferentes, dos sistemas de referencia en movimiento mutuo

La pregunta que podemos hacernos ahora es: ¿servirá todo lo que hemos contado para relacionar el

movimiento de un sistema de puntos móviles, visto desde dos observadores?

Si el sistema de puntos móviles es un conjunto rígido, esto es, que cada pareja de puntos mantiene su

distancia mutua invariable, el problema es sencillo de resolver porque para describir el movimiento

de un sistema de esta naturaleza, un sólido indeformable en movimiento plano, por ejemplo, es

suficiente con conocer la velocidad de uno de sus puntos y la velocidad angular del sistema. Así,

trasladando con la velocidad del punto conocido y girando con la en torno a un eje que pasa por

él, se obtiene la velocidad de cualquier otro punto. A veces no se conoce la velocidad angular del

conjunto. Pero ésta se puede calcular conociendo simultáneamente la velocidad de dos o tres puntos

del sistema (basta con dos si el movimiento es plano, es decir todos los puntos se mueven en

trayectorias contenidas en planos paralelos; si no es así hacen falta tres puntos).

La Cinemática de los Sistemas nos enseña que la velocidad de un segundo punto B del sistema de

puntos se puede escribir en función de la velocidad que tenga un primer punto A, en el mismo

instante, mediante la expresión:

B Av v AB

A nosotros no nos puede sorprender esta expresión, al revés, nos tiene que resultar familiar.

Supongamos que en tierra tenemos nuestro sistema S de ejes y que en el punto A ponemos los ejes S’


móviles, que desplazan su origen con la velocidad de A y giran con la con que gira el sistema de

puntos móviles, o sea, que acompaña a los puntos en su movimiento.

El punto B será otro de los puntos móviles, cuya velocidad Bv respecto de S queremos conocer.

Hemos de tener en cuenta que B se mueve sólo con el arrastre que le produce el triedro móvil S’, es

decir que por la rigidez no hay movimiento relativo de B respecto a A. Así la velocidad de B es tan

solo la velocidad av de arrastre. Es decir, la suma de la velocidad av del origen de S’, más la

velocidad debida al giro de velocidad y radio AB , de B respecto de A.

Si no conociéramos la velocidad angular , de la ecuación anterior, pero se conocieran av y Bv por

separado, podríamos despejar , aprovechándonos, si el movimiento es plano, de que toda es

perpendicular al plano del movimiento. Si el movimiento no fuera plano, tendríamos que conocer la

velocidad de tres puntos A, B y C, y utilizar la relación entre av y Bv y entre av y Cv . Para

describir el movimiento del sólido respecto a un sistema móvil cualquiera S’ nos basta con analizar

la velocidad av ’ y Bv ’ relativas de A y B respecto a un triedro S’ móvil. Y con ellas podremos

obtener ' . Así el movimiento quedará descrito conociendo av ’ y ' .

Todo lo que acabamos de contar es sencillo, pero también es cierto que cuando se acerca uno a estas

cuestiones por primera vez, pueden parecer muy complicadas. La mejor manera de entrar en ellas es

comentando un ejemplo. Vamos a verlo.

Supongamos un disco horizontal, de radio R, que gira en torno a su eje, que pasa por O1, con una

velocidad angular 1 constante y de sentido antihorario. Una varilla de longitud 4R, gira

dentro del plano horizontal, en torno al eje perpendicular al plano del dibujo y que pasa por su

centro O2, con una velocidad angular 2 constante y de sentido horario. Entre los centros O1 y

O2 de ambos sólidos hay una distancia 4R. Véase la Fig. 14. Queremos describir cómo ve

moverse la varilla un observador subido en el disco, en el instante dibujado.

Las velocidades 1 0ov y 1 definen el movimiento de rotación del disco, y las velocidades

2 0ov y 2 el de la varilla. Ambos movimientos vistos desde un sistema de referencia S,

quieto en tierra, con centro en O.


Coloquemos un sistema de referencia S’ móvil, que acompañe al disco en su movimiento, es decir,

que esté fijo en él. Pongamos su centro O’ en O1 y hagámosle girar con la 1 del disco.

Desde este sistema calculemos la velocidad relativa con la que vemos moverse a dos puntos de la

varilla. Fijémonos en el centro O2 y su extremo A, por ejemplo.

Para calcular la velocidad relativa '

Av del extremo A respecto a S’, debemos restar a la velocidad

de A vistas desde S la de arrastre, ya que:

'

A A aAv v v

es decir:

'

A A aAv v v

La velocidad vA de A es la debida al giro en torno a O2. Por tanto

2 2 2 20 0 2

2 0 0

A

i j k

v O A R j

R

es decir, perpendicular a la varilla, paralela a OY y de sentido positivo, coincidiendo con lo que

es intuitivo nada más ver cómo gira la varilla. (Fijémonos al operar que 1 es un vector

vertical, de solo componente en el eje OZ y de sentido saliente, por tanto positivo según el eje


coordenado. En cambio 2 es un vector vertical entrante en el papel, es decir de componente

sobre OZ negativa).

Para calcular la velocidad de arrastre de A debido al movimiento del disco, olvidémosnos de que

A pertenece a la varilla. Supongamos que el radio del disco fuera mucho más grande y que A

fuera uno de sus puntos. Al girar con 1 en torno a O1 , A tendría la velocidad:

1 1 1 10 0 2

2 0 0

aA

i j k

v O A R j

R

Recuérdese que en toda velocidad de arrastre hay que considerar la traslación con la velocidad

del origen del triedro S’ (pero en este caso O1 está quieto: ' 0ov ) y sumarle la que adquiere

el punto al girar en torno al eje de su de rotación (esto es lo que hemos escrito).

La diferencia de estas velocidades nos da el valor de '

Av :

'

2 1 2 12 2 2 ( )Av R j R j R j

Busquemos ahora la velocidad relativa del otro punto '

2ov . Hay que tener en cuenta que desde

tierra, el centro O2 está quieto, luego '

2 0ov . Basta con calcular la de arrastre de O2 por el

movimiento del disco. Igual que antes sólo queda el término de rotación :

2 1 1 2 1 10 0 4

4 0 0

ao

i j k

v O O R j

R

Por consiguiente :

'

2 1 1 2 10 4ov O O R j

Ahora ya conocemos el valor de las velocidades de A y O2 en el movimiento visto desde S’. Ambos

están ligados a través de la velocidad angular de este movimiento '

2 (el subíndice 2 se lo

ponemos por ser una de la varilla y la coma ‘ por ser del movimiento relativo visto desde

S’):


' ' 1 ' '

2 2 2 2 1 2 2 1 22 0 0 2 2

2 0 0

o A

i j k

v v AO R j R j R j

R

En esta expresión desconocemos '

2 pero antes hemos calculado el valor de '

2ov . Sustituyendo se

tiene

'

1 2 1 24 2 2R j R j R j

de donde operando

'

2 1 2

es decir como vector

'

2 1 2 k

Conociendo '

Av y '

2 queda descrito el movimiento relativo que buscábamos. Puede conocerse la

velocidad, en este instante, de cualquier otro punto de la varilla, vista desde S’. Por ejemplo

para el otro extremo B bastaría con desarrollar la expresión:

' ' '

2 ' 'B Av v A B

De manera idéntica a lo razonado con velocidades, podríamos hacerlo con aceleraciones, en el

caso de que sea necesario conocerlas.

Empezaríamos con Aa respecto a S, de valor (recuérdese que 1 y 2 son constantes luego no

hay aceleraciones 1 y 2 ):

2

2 2 2 22Aa O A R i

(dejamos que el lector desarrolle más despacio las expresiones vectoriales, aunque ya sabemos

que es la normal dirigida hacia O2). Para '

Aa se tiene, siendo 212aAa R i , al llevarse el

disco arrastrado a A, aceleración normal hacia O1 y '

2 12 ( )Av R j :


' 2 2

2 1 1

2 1

2 2

1 2 1 2

2 2 2 0 0

0 2 ( ) 0

2 2 4

A A aA cA

i j k

a a a a R i R i

R

R R R i

Análogamente para O2 se tiene:

20Oa (está en reposo en S)

2 2 2

' 2 2

1 1 1

1

0 4 2 0 0 4

0 4 0

O aO cO

i j k

a a a R i R i

R

Relacionando entre sí A y O2 se llega a:

2

' ' ' ' '

2 2 2 2 2O Aa a AO AO

Sustituyendo valores y separando componentes en OX por un lado y componentes en OY por otro

se llega a una identidad en el eje OX mientras que al escribir los componentes en OY se tiene :

'

2 0 .

Con esto podemos tener la aceleración de cualquier punto de la varilla en su movimiento relativo

a S’, en el instante considerado.

Por ejemplo para el punto B se tendría la expresión.

' ' ' '

2 2B Aa a AB

Cuyo desarrollo nos daría la expresión cartesiana de '

Ba .

5.- LA EXPLICACIÓN DINÁMICA DE LOS MOVIMIENTOS

Hemos visto cómo las aceleraciones de un móvil observadas desde dos sistemas de referencia diferentes

pueden ser distintas. Pero sabemos que dinámicamente las aceleraciones son el resultado de la

aplicación de unas determinadas fuerzas. De modo que si las aceleraciones obtenidas son diferentes


para un observador y para otro, lo mismo le debe pasar a las fuerzas cuyo resultado son

precisamente aquellas aceleraciones.

Meditemos por un momento sobre estas consecuencias.

5.1 LOS SISTEMAS INERCIALES

De todos los ejemplos que hemos ido comentando, el más sencillo ha sido el primero, el del barco

pirata. Allí los ejes móviles para nosotros estaban unidos al barco, dibujados sobre él, de forma

que los veíamos moverse sin girar, sólo trasladándose con velocidad constante Bv , la del barco. Al

comparar las aceleraciones vistas desde la costa, a , y desde el barco 'a , nos encontrábamos con

lo siguiente: la aceleración de arrastre salía nula porque, en primer lugar los ejes no giran y

desaparecen los términos de la aceleración tangencial 'e r , de la normal 'e e r . Pero

por otro, la traslación de los ejes se hace con velocidad constante Bv , con lo que la aceleración del

origen O’ también es nula ' 0oa . Por tanto 0aa . Y en cuanto al término de Coriolis es nulo

igualmente porque al no haber rotación de los ejes 0e . Si 0aa y 0ca , la relación entre

a y 'a es la más sencilla posible:

'a a

Ambos observadores ven la misma aceleración del cuchillo.

Esto ocurre siempre que un sistema de observación se mueve respecto al otro con un simple

movimiento de traslación de velocidad constante.

La familia de todos los sistemas que se mueven unos respecto a otros con movimientos de traslación

de velocidad constante se denomina conjunto de los sistemas inerciales. En todos ellos se mide la

misma aceleración para cualquier punto móvil respecto a ellos, ' ''.....a a a

La característica esencial de los sistemas inerciales es que en ellos se cumple la ecuación fundamental

de Newton

F ma

donde a es la aceleración observada por cualquiera de ellos.


Los demás sistemas que no son inerciales los denominamos sistemas acelerados o no inerciales y

representan la mayoría de los casos que podemos estudiar. En los demás ejemplos que hemos

comentado, tío-vivo con el niño, disco con móvil sobre el radio, cilindro con el alambre, el sistema

S’ es un sistema acelerado, no inercial.

5.2 ¿SE VEN AFECTADAS LAS FUERZAS?

Si nos situamos en el sistema inercial S de observación escribiremos la ecuación dinámica para una

partícula de masa m:

F ma

donde con F representamos la fuerza resultante que actúa sobre m (peso, reacciones en los apoyos,

tensiones de hilos, rozamientos, etc.). Naturalmente a es la aceleración que se observa desde S.

Si ahora nos situamos en S’ (sistema móvil acelerado respecto a S) la aceleración observada será 'a ,

distinta de a . Si intentáramos volver a escribir la ecuación dinámica nos encontraríamos con :

'F ma

Es decir, la fuerza resultante F no explica la existencia de una aceleración 'a . La primera

consecuencia es que hemos perdido la expresión del segundo postulado de Newton, que es la pieza

maestra de la dinámica. ¿Cómo resolver esta dificultad?

Expresemos a en función de 'a , aa y ca . Tenemos:

' a cF ma ma ma ma

Al observador dinámico relativo le hace falta una ecuación en la que el segundo miembro sea 'ma , ya

que 'a es la única aceleración que él ve. Hagamos la siguiente transformación:

'a cF ma ma ma


Los términos debidos a las aceleraciones de arrastre y de Coriolis deben añadirse a la expresión de F

para explicar el resultado 'ma . En este sentido son términos de fuerzas (causas) que explican el

resultado (aceleraciones). Llamemos fuerza de inercia de arrastre iaF a:

ia aF ma

y fuerza de inercia de Coriolis a :

ia cF ma

Así la expresión anterior de 'ma queda:

'ia icF F F ma

expresión del postulado de Newton en un sistema acelerado. Desde este punto de vista las fuerzas de

inercia están bien denominadas como fuerzas porque son causas que sumar a F para explicar la

aceleración resultante. El apellido de inercia delata que dependen del estado de movimiento del

observador y las distingue de las fuerzas F que son siempre acciones que otros sistemas físicos

reales ejercen sobre nuestra masa m.

La expresión completa de las fuerzas de inercia de arrastre es:

' ' 'eia a o e e

dF ma ma m r m r

dt

Como vemos pueden existir hasta tres fuerzas de inercia de arrastre, la primera debida a la traslación, si

es acelerada, del triedro S’ y las otras dos debidas a la rotación de S’ , un término tangencial y otro

normal.

Este último término, '

e em r

, se conoce con el nombre de fuerza centrífuga, su sentido

siempre es saliente, debido al signo menos, del eje en torno al cual gira S’ con e .

Para la otra fuerza, la de Coriolis, la expresión es única:


2 'ic c eF ma m v

dependiendo de la e de giro de los ejes móviles, y de la velocidad relativa de m respecto a S’.

Con estas expresiones podemos explicar ciertos fenómenos que pertenecen a la experiencia que todos

tenemos.

Supongamos en primer lugar que nos subimos en un autobús urbano en una cierta parada. Cuando el

vehículo arranca sufrimos una especie de empujón que nos hace ir hacia atrás, si no nos agarramos

debidamente. O a la inversa, si circulando, de repente frena bruscamente, no sentimos impelidos

hacia delante, como si nos fuéramos a estrellar con el parabrisas delantero. Si en esos instantes no

hemos sufrido ningún término de F (por más que miremos nadie nos ha empujado) hay que

explicar quién produce la aceleración 'a respecto al autobús, en el primer caso hacia atrás y en el

segundo hacia delante.

La explicación nos la proporciona el movimiento de arrastre del sistema de ejes S’ situado en el

autobús. El vehículo no gira ( 0)e y de los términos del arrastre solo queda el debido a la

aceleración de la traslación del autobús. En el momento del arranque, la aceleración del autobús es

positiva, hacia delante, para tomar velocidad. La fuerza de inercia es 'oma , por tanto dirigida

hacia atrás y ello explica nuestro empujón en sentido negativo. En el frenazo los signos son los

contrarios, la aceleración 'oa es negativa, con lo que la fuerza de inercia 'oma resulta positiva y

nosotros impulsados hacia delante.

Si en lugar de estar en el autobús, nos situamos en un automóvil, cuando éste toma una curva hacia la

izquierda, nosotros sufrimos una fuerza que nos empuja sobre el lateral derecho del vehículo. Y al

contrario si la curva fuese hacia la derecha. En este caso lo que existe visto desde el coche, es una

fuerza de inercia de arrastre debida a la aceleración normal. Como esta aceleración va dirigida, en

dirección radial, hacia el centro de curvatura de la trayectoria, la fuerza de inercia es la fuerza

centrífuga, saliendo del centro por causa del signo negativo que lleva la expresión de la fuerza.

Comentemos, siguiendo con la fuerza centrífuga, un ejemplo muy simple. Supongamos una

pequeña bola, situada sobre el plano horizontal de una mesa lisa, describe una trayectoria

circular mediante un hilo de longitud L, que la une a un punto fijo O de la mesa (Fig. 15)


Se quiere conocer el valor del módulo de la tensión T con la que el hilo sujeta a la bola en su

movimiento. Se puede contestar a esta pregunta desde un sistema de ejes de referencia quietos

sobre el plano. La única fuerza horizontal es T (es verdad que existen el peso P y una normal

N hacia arriba, que se anulan entre sí y que no hemos dibujado). Admitiendo que la velocidad

angular de la bola es constante, la única aceleración en este movimiento es la aceleración

normal Na , dirigida desde P hacia O y de módulo 2L .

Por tanto la ecuación del segundo postulado de Newton, proyectada sobre la dirección del radio

en cada instante y tomando como sentido positivo el dirigido hacia el centro O, queda:

2

NT ma m L

donde queda conocido el valor de T en función de m, y L.

Pero también se puede contestar constituyéndonos en observadores móviles, acompañando a la

bola en su movimiento. En la Fig. 16 hemos dibujado unos ejes, tomando como tales la

dirección del radio, su normal en el plano horizontal y la vertical que pasa por O. Estos ejes S’

son móviles, giran en torno a su eje vertical con la velocidad e para acompañar al hilo

en su movimiento.


Para este observador móvil existe además de T , otra fuerza horizontal. Las fuerzas de inercia de

arrastre no tienen el término debido al movimiento de traslación de los ejes, porque O está en

reposo. Tampoco el término debido a la aceleración tangencial en el giro de los ejes, porque

es constante 0d

dt

. Solo queda el término de la centrífuga, debido a la aceleración

normal del giro, siendo el módulo de iaF de valor

2m L y sentido saliente de O. La otra

posible fuerza de inercia, la de Coriolis, es nula porque el punto P está quieto en los ejes

móviles, sus coordenadas son (L, 0, 0) continuamente, es decir su velocidad relativa es nula y

si ' 0v la aceleración de Coriolis, 2 'c ea v también lo es.

El punto P, como se ha dicho, está en reposo en los ejes S’ y su aceleración relativa 'a es por

tanto nula. Luego la ecuación de fuerzas, teniendo en cuenta que el sentido positivo de Ox’ es

hacia fuera, se escribe como:

0cF T

es decir:

2 0m L T

de donde se despeja el valor de T, igual al obtenido en la forma anterior.

Es frecuente encontrar alumnos que cuando abordan estos análisis por vez primera, se quedan

desconcertados por esta libertad de enfoque. Suelen preguntar: “Entonces, ¿cuándo existen fuerzas

de inercia y cuándo no?” A esta pregunta sólo se puede dar una respuesta. Sólo existen fuerzas de

inercia cuando el sistema de ejes de referencia no es inercial sino acelerado. Y ser observadores

inerciales o no depende exclusivamente de quién resuelve el problema. Es una libertad que hay que

ejercer conscientemente: elegir un punto de vista u otro.


5.3 EJES PUESTOS EN TIERRA

En muchísimos casos resolvemos los problemas situando el sistema de observación S fijo en tierra, en

el suelo. Y planteamos nuestras soluciones admitiendo implícitamente, sin necesidad de decirlo, que

este triedro en tierra es inercial.

Situamos las fuerzas F de acción real sobre nuestro cuerpo móvil, y calculamos directamente la

aceleración a . ¿Es correcto esto que hacemos? En realidad la Tierra se mueve aceleradamente. Su

centro realiza un movimiento elíptico respecto al Sol, trayectoria curvilínea por tanto. Además rota

en torno a su eje con una velocidad de giro T . Además existen los movimientos del sistema solar,

de la galaxia, etc. Rigurosamente no podemos afirmar que su movimiento sea de traslación rectilínea

y sin aceleración. Sin embargo se pueda hacer una aproximación, que en la práctica resulta

suficiente en la mayoría de los casos, y admitir que S sí es inercial, ya que el arco de la trayectoria

que describe su centro en torno al Sol es tan pequeño en el intervalo de tiempo que transcurre

mientras se desarrolla el movimiento que analizamos, que puede considerarse como rectilíneo; por

otra parte la velocidad de rotación de la Tierra es tan pequeña (es una vuelta por día) que los

términos en T son despreciables. Por tanto admitimos que S es inercial. Recuérdese que hemos

empezado a estudiar la dinámica de la partícula mediante las fuerzas F y no hemos hablado

entonces de la necesidad de las fuerzas de inercia. Y que lo aplicábamos al cálculo de la aceleración

a respecto a un sistema inercial. Con alguna frecuencia se denomina a a como aceleración

absoluta. Es un error que puede disculparse, porque aunque es cierto que no conocemos un sistema

de ejes en reposo absoluto (incluso el admitir su propia existencia puede ser incoherente) también es

verdad que la aceleración respecto a un sistema inercial toma el mismo valor respecto a cualquier

otro sistema inercial y por tanto también respecto al sistema absoluto, suponiendo que se pudiera

admitir su existencia. También ocurre que a la velocidad v respecto al sistema en tierra se la

denomina velocidad absoluta. Ahora el error es menos justificable ya que la velocidad respecto a un

sistema inercial depende del sistema inercial escogido. Sin embargo un buen conocimiento del tema

relativo hace que no presente dificultades de interpretación.

5.4 EJEMPLOS DE APLICACIÓN DE LAS FUERZAS DE INERCIA

Para comprender bien el concepto de fuerzas de inercia es interesante que analicemos algunos

ejemplos de aplicación de estas fuerzas en la resolución de problemas dinámicos concretos.


5.4.1 Ejemplo del ascensor

Supongamos un ascensor que se traslada verticalmente con una aceleración hacia arriba oa . Del

techo cuelga una pequeña masa m unida al techo del ascensor mediante un hilo de longitud L. La

masa está describiendo una trayectoria horizontal circular con radio R y velocidad angular

constante. Se quiere determinar la tensión T del hilo, Fig. 17.

Supongamos unos ejes móviles que tengan su origen en el punto O’, que se mueve con la aceleración

aa del ascensor hacia arriba. Además suponemos que los ejes giran en torno al eje O’Z’ vertical

con la velocidad angular e , de manera que la masa m siempre está sobre el eje O’X’ y a la

distancia R de O’. Esto significa que la masa m está en reposo en estos ejes, siendo sus

coordenadas (R, 0, 0).

Al realizar el diagrama de fuerzas, Fig. 18, comenzamos por dibujar la fuerza F . En este caso sólo

existen dos: el peso vertical y descendente, y de módulo mg y la tensión del hilo, en su dirección y

de módulo T. Pero el sistema de observación es acelerado y hay que hacer intervenir a las fuerzas

de inercia. La aceleración de Coriolis es nula porque la velocidad relativa 'v es cero

constantemente 2 ' 0ic c cF ma m v .

La aceleración de arrastre tiene dos términos; en primer lugar el origen se mueve con aceleración

oa de traslación de los ejes. Por tanto hay una fuerza de inercia de arrastre de valor oma ,


vertical y descendente al cambiar el signo. Pero los ejes también giran con e . La velocidad

angular es constante, por tanto / 0d dt . Sólo queda el término de la centrífuga, dirigida

según O’X’, de sentido hacia fuera y módulo 2m R 'ia a oF ma ma m r .

Como el movimiento relativo es nulo, la aceleración relativa 'a es también nula. Por tanto al

proyectar las fuerzas sobre los ejes, su suma es nula. Solo hay componentes sobre O’X’ y sobre

O’Z’:

2 0

0

x

z o

m R T

T mg ma

Con xT y zT se obtiene el módulo T:

2 22 2 2 2

x z oT T T m R m g a

Pero este análisis puede realizarse también, si lo preferimos, con unos ejes móviles con movimiento

más simple. Supongamos que no giran y que sólo se trasladan con el ascensor; por tanto que están

en reposo respecto al ascensor. Las fuerzas F siguen siendo las mismas. Pero en cuanto a las

fuerzas de inercia solo existe el término debido a la traslación del ascensor, que es el único que

hacen los ejes. En la Fig. 19 se dibujan las fuerzas y la trayectoria que realiza la masa m, vista

desde estos ejes.


La masa m tiene una aceleración relativa 'a en su movimiento circular, de componente tangencial

nula y de componente normal dirigida según el radio O’P, de sentido hacia el centro de giro O’ y

de valor 2R . Por tanto al proyectar sobre la dirección del radio y sobre la vertical, se tiene:

2

0

x

z o

T m R

T mg ma

Lo que nos da los mismos valores de las componentes xT y zT que en el anterior análisis relativo.

5.4.2 Ejemplo del plano inclinado

Supongamos que una cuña (Fig. 20) se traslada sobre un plano horizontal con aceleración oa . Sobre

la cara inclinada de la cuña, de ángulo con la horizontal, se sitúa, inicialmente en reposo, una

pequeña masa m, que no tiene rozamiento con la cuña. Se quiere analizar el movimiento relativo

de la masa m respecto a la cuña.


Tomemos unos ejes móviles situados sobre la cuña, con origen en el extremo O’ de la cuña, O’X’

sobre la cara inclinada y O’Y’ sobre su perpendicular. El sistema y su movimiento son planos, nos

basta por tanto con estos dos ejes.

Las fuerzas F vienen dadas por el peso, vertical descendente y de módulo mg y la reacción normal

N de la cuña sobre m (recuérdese que el enunciado dice que no hay rozamiento). Como estamos

trabajando en un sistema de observación acelerado, puesto que participa de la aceleración oa de

la cuña, tenemos que considerar las posibles fuerzas de inercia iF . En primer lugar, aunque m

tenga una velocidad relativa 'v respecto a la cuña, subiendo o bajando por el plano inclinado,

los ejes móviles no giran, sólo se trasladan.

Por ello 0e y la fuerza de inercia de Coriolis es nula: 2 ( ') 0ic c eF ma m v . Por otro

lado de los términos del arrastre, al no girar los ejes, sólo queda el término debido a la traslación

de los ejes:

' 'aia a o c e o

dF ma m a r r ma

dt

Supongamos que la aceleración oa de la cuña tiene sentido hacia la izquierda. Entonces ia oF ma

tiene sentido hacia la derecha. En la Fig. 21.a hemos dibujado el peso, la normal y la fuerza de

inercia de arrastre.


Esta última con sentido contrario al de oa . Se han indicado en la figura los módulos de las fuerzas.

Si proyectamos sobre los ejes O’X’ y O’Y’ se tiene:

cos 'oma mg sen ma

cos 0oN ma sen mg

La segunda ecuación permite calcular el módulo N de la reacción de apoyo.

La primera ecuación nos permite obtener la aceleración relativa a’. Si es positiva, es decir si la

componente sobre el plano inclinado de la fuerza de inercia es mayor que la del peso, la masa m

asciende por el plano inclinado. Si fueran iguales:

cos 0oma mg sen

no existiría aceleración relativa y como hemos dejado m en reposo en el instante inicial, no se

moverá, no habrá movimiento relativo, la masa permanecerá en la misma posición relativa

(Fig.21.b).

Si suponemos ahora que el sentido dado a oa es hacia la derecha, la fuerza de inercia de arrastre va

dirigida hacia la izquierda, sentido contrario al de oa (Fig. 21.c). En este caso las proyecciones

sobre el plano del peso y de la fuerza de inercia son ambas descendentes, con lo que:

cos 'omg sen ma ma

cos 0oN ma sen mg


La masa se mueve hacia abajo, en este caso, y 'a es de sentido contrario al positivo del eje O’X’.

5.4.3 Ejemplo de la puerta que gira

Una puerta está girando con velocidad de giro constante. La puerta empuja al girar a una

pequeña bola, de masa m, que se ha lanzado horizontalmente con velocidad vo desde el punto Po

situado en el eje de giro.

Se quiere calcular la reacción R de empuje de la puerta sobre la bola (Fig. 22).

Tomemos unos ejes móviles, con origen en Po y que acompañen a la puerta en su movimiento.

Fijemos el O’X’ trazando desde Po una horizontal sobre la puerta. O’Y’ será la perpendicular al

plano de la puerta y O’Z’ el eje vertical de giro. Los ejes no se trasladan, solamente giran con una

'k .

En la figura se han dibujado las fuerzas F y iF . Las primeras son el peso, de dirección vertical y

módulo mg y la reacción de empuje de la puerta sobre la bola, de dirección O’Y’. De las fuerzas

de inercia de arrastre solo tenemos la fuerza centrífuga, ya que el origen O’ = Po no tiene

aceleración (no hay traslación de los ejes) y no hay término tangencial puesto que es

constante. Así:

2' ' 'ia aF ma m r m x i


Por otro lado la velocidad relativa 'v de la bola al plano de la puerta tiene dirección tangente a su

trayectoria relativa (dibujada de trazos en la figura).

Tendrá dos componentes '

xv y '

zv . Así:

'

' '

' ' '

2 ' 2 0 0 2 '

0

ic c x

x z

i j k

F ma m v m m v j

v v

La fuerza de inercia de Coriolis tiene la dirección perpendicular al plano de la puerta y sentido

negativo, contrario al de la reacción de módulo R.

Las ecuaciones dinámicas de este movimiento plano, teniendo en cuenta que la aceleración relativa

'a solo tendrá componentes '

xa y '

za , quedan:

2 '

'

'

'

2 0

x

x

z

m x ma

R m v

mg ma

De la 2ª obtenemos '2 xR m v . Nos es necesario obtener la componente

'

xv de la velocidad relativa

'v integrando la 1ª ecuación:

2' 2

2

''x

d xa x

dt

22

2

'' 0

d xx

dt es una ecuación diferencial de coeficientes constantes que se integra obteniendo su

ecuación característica:

2 2 0r

de soluciones r . Así:

1 2' t tx C e C e


(Es posible que el alumno no haya estudiado todavía la integración de esta simple ecuación

diferencial. En ese caso le basta con comprobar que la solución encontrada para x’ si se deriva

dos veces respecto a t, es solución de la ecuación diferencial).

Las constantes C1 y C2 se pueden determinar sabiendo que para t = 0, el valor de x’ = 0 (m está en

Po) y que en ese instante '

x ov v . Sustituyendo estos valores se tiene:

1 2 2 1

1

1

1 1

' 0

' ( )

'( )

(1 1) 2

t t

t t

o

x C C C C

x C e e

dxC e e

dt

v C C

de donde: C1 = -C2 = 2

ov

Por tanto: ' '' "

2 2

t t t t to ox o

v vdxx e e v e e v e

dt

y el valor de R será:

'2 2 t

x oR m v m v e

de módulo variable en el tiempo (en el instante inicial 2o oR m v ).

CUANDO DOS MIRAN LO MISMO Y LO VEN...

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