Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x 1 , y 1 ) y (x 2 ,y 2 )
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Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )
(x2 , y2)
(x1 , y1)
y2 – y1
x2 – x1 m =
y2 – y1
x2 – x1
PENDIENTE DE UNA RECTAPendiente, medida de la inclinación de una recta dada
en un sistema de ejes cartesianos. Es la tangente del ángulo de inclinación.
Ejemplo 1
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
x1 y1x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m = y2 – y1 =x2 – x1
14 – 2
9 – 7 =
122 = 6
Ejemplo 2
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m = y2 – y1 =x2 – x1
-3 – 1
9 – (-5) =
-414 =-2
7
Ejemplo 3
Encuentre la pendiente de la recta graficada en el siguiente plano:
En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta
(5,0)
(0,4)
( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la fórmula
m = y2 – y1
x2 – x1
0 – 4
5 – 0
-4 5
= =
En las ecuaciones
y = 4x , la pendiente es m = 4
y = 4x
y = 3x , la pendiente es m = 3
y = 2x , la pendiente es m=2
y = x . la pendiente es m = 1
y = 3x
y = 2x
y = x
Se puede observar que la pendiente m
determina la “inclinación” de la
recta respecto del eje X
“A menor pendiente menor inclinación” ( o al
revés)
Observa las siguientes gráficas
En un plano cartesiano, grafica las rectas correspondientes a cada una de las ecuaciones presentadas:
3xy
12 xy
3 xy
12 xy x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64-4-6 -2
Al punto donde las rectas cortan al eje de las y se le denomina coeficiente de posición y su valor numérico se representa con la letra n.
3xy
12 xy
3 xy
12 xy
1
2
-1
-2
-3
3
1
1
ECUACIÓN LINEALPENDIENTE
(m)COEF. DE POSICIÓN
(n)
Completa la tabla con el valor de la pendiente y el coeficiente de posición
FUNCIÓN LINEALPENDIENTE
(m)COEF. DE POSICIÓN
(n)
532)( xxf
321)( xxf
743)( xxf
175)( xxf
232)( xxf
5
3
-7
-1
-2
23
34
23
-1 2
-5 7
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
73)( xxf
13)( xxf
53)( xxf
¿qué puedes decir de sus pendientes?
¿por qué las rectas son paralelas?
En general, siempre que dos o más rectas presenten la misma pendiente y distinto coeficiente de posición, podemos asegurar que estas son paralelas; es decir, nunca se intersectan.
Cuando dos rectas coínciden en el valor de ambos coeficientes (pendiente y posición), se dice que éstas son coincidentes en toda su extensión.
Ejemplo:92 xy
52 xy
m = 2
m = 2
n = 9
n = -5
Ejemplo:43 xy m = 3
m = 3
n = 4
43 xy n = 4
x
y
-2
-6
4
2
-4
6
2 64 8-8 -4-6 -2
132)( xxf
423)( xxf
¿Qué puedes decir de sus pendientes?
¿Qué posición presentan las rectas, una respecto de la otra? ¿FORMAN UN
ÁNGULO DE 90°?
En general, siempre que el valor de la pendiente de una recta corresponda con el valor del opuesto al inverso multiplicativo de otra recta, podemos asegurar que estas son perpendiculares; es decir, se intersectan formando un ángulo de 90°.
Ejemplo:
243 xy
734 xy
34m =
m = - 43
NOTA QUE AL MULTIPLICAR AMBAS PENDIENTES, EL PRODUCTO ES -1. = -13
4 -4
3
DISTANCIA ENTRE UN PUNTO P1(X1, Y1) Y
UNA RECTA DE ECUACIÓN CONOCIDA AX + BY = C
d = a x1 + b y1 - c
a2 + b2
La distancia, entre el punto p(2, 3) y la recta de ecuación conocida 5x + 12y = 7, aplicando la fórmula es:
d = 5 ·2 + 12 · 3 - 7
52 + 122
d = 3