CUARTO A – IO – 2 – Primer Parcial

ECUACIONES LINEALES CON DOS INCOGNITAS

Tenemos el caso especial de ecuaciones lineales con dos incógnitas, x e y, esto es, ecuaciones que se pueden escribir en la forma convencional: ax+by=c , donde a, b, y c son números reales.

Una ecuación lineal con dos incógnitas, su gráfica es una línea recta.

Para graficar una línea recta sólo necesitamos conocer dos puntos de la recta.

La manera más directa y fácil de graficar una recta es:

a) Conocer el primer punto de la recta, resolviendo la ecuación para el valor de x = 0; y

b) Conocer el segundo punto de la recta, resolviendo la ecuación para el valor de y = 0.

Ejemplo: Consideremos la ecuación lineal: 2 x+ y=4

P1: Para x = 0, tenemos que:

(2)(0 )+ y=40+ y=4y=4P1(0 ;4 )

P2: Para y = 0, tenemos que:

(2)( x )+0=42 x=4

x=42

=2

P1(2 ;0)

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Graph

GeoGebra

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SISTEMA DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con las dos incógnitas x e y:

a1 x+b1 y=c1

a2 x+b2 y=c2

Un par de números reales u=(k1 ; k2 )que satisface ambas ecuaciones se llama una solución simultánea de las ecuaciones dadas, o una solución del sistema de ecuaciones.

Existen tres casos, que pueden describirse geométricamente:

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1. El sistema tiene exactamente una solución. Aquí los gráficos de las ecuaciones lineales se cortan en un punto,

como en la siguiente figura:x+2 y=3x− y=−3

Graph

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2. El sistema no tiene soluciones. Aquí los gráficos de las ecuaciones lineales son paralelos, como en la siguiente figura:

x+ y=12 x+2 y=6

Graph

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3. El sistema tiene un número infinito de soluciones. Aquí los gráficos de las ecuaciones lineales coinciden, como en la

siguiente figura:x+ y=13 x+3 y=3

Graph

GeoGebra

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EJEMPLOS DE ECUACIONES LINEALES USADAS EN LA VIDA REAL

El valor de las ecuaciones lineales puede apreciarse más cuando se aplican a ejemplos reales.

Las ecuaciones lineales modelan la relación entre dos variables y el efecto que un cambio en una variable tienen en la otra.

LA TABLA DE DEMANDA

En una economía de mercado, la cantidad que comprarán los individuos de un bien depende de su precio.

Manteniéndose todo lo demás constante, cuanto más alto sea este, menor será la cantidad que los consumidores estarán dispuestos a comprar.

Cuánto más bajo sea su precio de mercado, más unidades se comprarán.

Esta relación entre el precio y la cantidad comprada se denomina tabla de demanda o curva de demanda.

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CURVA DE LA DEMANDA

La representación gráfica de la siguiente curva de demanda:

P=−2Q+50 ,

Representa la cantidad (Q) demandada en el eje de abscisas y su precio (P) en el eje de ordenadas.

Obsérvese que la cantidad y el precio están relacionados inversamente: Q aumenta cuando baja P.

La curva tiene pendiente negativa y va del cuadrante noroeste a sureste.

Graph

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LA TABLA DE OFERTA

El lado de la oferta de un mercado se refiere normalmente a los términos en los que las empresas producen y venden sus productos.

Más concretamente, la tabla de oferta relaciona la cantidad ofrecida de un bien con su precio de mercado, manteniendo todo lo demás constante, como los costes de producción, los precios de los bienes afines y las políticas de gobierno.

Esta relación entre el precio de mercado y la cantidad que los productores están dispuestos a producir y vender, manteniendo todo lo demás constante, se denomina tabla de oferta o curva de oferta.

LA CURVA DE SUMINISTRO O DE OFERTA

La representación gráfica de la siguiente curva de oferta:

P=2 Q−1,

Representa la cantidad (Q) producida en el eje de abscisas y su precio (P) en el eje de ordenadas.

Obsérvese que la cantidad y el precio están relacionados directamente: Q aumenta cuando sube P.

La curva tiene pendiente positiva y va del cuadrante suroeste a noreste.

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Graph

TASA DE INTERÉS

Las ecuaciones lineales también pueden modelar la relación entre la inversión y las tasas de interés, mostrando que a medida que las tasas de interés aumentan, el nivel general de inversión se reducirá, y aumentarán a medida que la tasa de interés disminuye.

MONEDA EXTRANJERA

También puede comparar las tasas de cambios de divisas con una ecuación lineal para ver cómo los cambios en el valor del sol peruano afectan al dólar estadounidense.

VIAJES

Las distancias también pueden ser modeladas con una ecuación lineal para mostrar la relación entre los cambios en la velocidad y el tiempo.

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Un cambio en una de estas variables afecta la distancia recorrida.

USOS EN EL MUNDO REAL DE LAS ECUACIONES LINEALES

Aprender ecuaciones lineales en un entorno académico puede centrarse demasiado en aplicaciones teóricas en lugar de la aplicación práctica.

En realidad, las ecuaciones lineales ayudan a las personas a analizar y comprender varias situaciones del mundo real.

Al igual que con las aplicaciones teóricas, las situaciones del mundo real modeladas con una ecuación lineal a menudo relacionan a dos variables.

La ecuación lineal resultante ayuda a mostrar cómo un cambio en una de las variables afecta a la otra.

CURVA DE DEMANDA

En el análisis económico empresarial, la curva de demanda es una ecuación lineal que muestra la relación inversa entre dos variables: la cantidad de un bien determinado y su precio.

El modelado de esta relación ilustra como el precio afecta a la disposición o la capacidad de un consumidor a comprar un determinado producto.

Esta tabla de demanda muestra la cantidad de un producto o servicio que los consumidores están dispuestos a comprar a diferentes niveles de precios.

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Un producto con un precio muy alto tendrá baja demanda, la gente compra menos del producto, ya que es tan caro que pocos pueden permitírselo.

A su vez si el precio del producto es bajo, más gente puede pagarlo.

Ya que cada precio corresponde a una cantidad determinada de productos que se pueden vender, las empresas tienen una mejor idea de cómo tasar los productos.

TASA DE INTERÉS E INVERSIÓN

En el sector financiero, la relación inversa entre las tasas de interés y las inversiones de las personas y las empresas también pueden modelarse con una ecuación lineal.

En este caso, la ecuación lineal ayuda a ilustrar hasta qué punto el nivel de inversión cambia cuando las tasas de interés aumentan o disminuyen.

La ecuación lineal que relaciona la tasa de interés a la inversión mostrará que las altas tasas de interés se relacionan con los niveles bajos de inversión.

Sin embargo si las tasas de interés son bajas, la actividad de inversión puede aumentar.

TIPO DE CAMBIO

El tipo de cambio te dice el precio de una moneda en términos de otra moneda extranjera.

Digamos por ejemplo que deseas convertir dólares a euros.

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Utilizas tus dólares para comprar euros y recibes el valor de tus dólares en la moneda europea.

Dependiendo del tipo de cambio del euro, puedes ser capaz de comprar más o menos euros con tus dólares.

Esta relación entre las monedas también puede ser modelada con una ecuación lineal.

En este caso las dos variables son dólares estadounidenses y euros.

Con el tipo de cambio sabes que un dólar estadounidense compra un cierto número de euros, dos dólares compran una cierta cantidad de euros, y así sucesivamente.

Si modelas los datos serás capaz de ver cuántos euros puedes comprar con una cantidad específica de dólares bajo ese tipo de cambio.

DIFERENCIAS ENTRE LAS ECUACIONES LINEALES Y NO LINEALES

En el mundo de las matemáticas, hay varios tipos de ecuaciones que los científicos, economistas, estadísticos y otros profesionales utilizan para predecir, analizar y explicar el universo que los rodea.

Estas ecuaciones relacionan las variables de tal forma que una puede influir o predecir la salida de la otra.

En matemáticas básicas, las ecuaciones lineales son la opción más popular de análisis, pero las ecuaciones no lineales dominan el ámbito de las matemáticas avanzadas y la ciencia.

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