Sobre los Cuaterniones de Hamilton

Bernal M., Porras C.Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

April 17, 2015

Abstract

Los cuaterniones son una extensin de los nmeros reales , muy pare-cida a los nmeros complejos, se puede expresar de una manera vectoriay matricial, su estructura permite la una aritmtica bsica, donde encon-tramos operaciones como: adicin, producto, conjugacin, modulo, co-ciente, exponenciacin. Los cuaterniones son un ejemplo claro de cuerpoasimtrico, ya que cumple todas las propiedades de cuerpo, excepto la con-mutatividad con respecto al producto. A nivel vectorial, tiene un algebrade Lie, siendo esta la estructura algebraica denida sobre un espacio vec-torial, siendo esta algebra de Lie una base vectorial para el grupo especialunitario.

1 Preliminares

1.1 Estructura Algebraica

Tambin conocida como sistema algebraico, es una n-tupla (a1; a2; :::; an), dondea1 es un conjunto dado no vaco, y fa2; :::; ang un conjunto de operacionesaplicables a los elementos de dicho conjunto.

1.2 Grupo

Se dene como grupo un conjunto G junto a una operacin binaria quecumple los siguientes axiomas:

1.2.1 Clausura

Para todo a; b de G, el resultado de la operacin a b tambin pertenece a G.

1.2.2 Asociatividad

Para todos a; b; c de G, se cumple la ecuacin (a b) c = a (b c):

1

1.2.3 Elemento Neutro

Existe un elemento e de G, tal que para todos los elementos a de G, se cumplala ecuacin e a = a e = a. El elemento de identidad de un grupo G se escribea menudo como 1 o 1G una notacin heredada de la identidad multiplicativa.

1.2.4 Elemento Inverso

Para todo a de G, existe un elemento b de G tal que a b = b a = e:

1.3 Grupo Abeliano

Si aparte de los axiomas anteriores, el grupo G tambin cumple el axioma deconmutatividad, se le llamara grupo abeliano.

1.3.1 Conmutatividad

Para todos a, b y c de G, se cumple la ecuacin (b a) = (a b) = c.

1.4 Campo

Un campo o cuerpo, es una estructura algebraica que cumple los axiomas degrupo, tanto para la suma como para el producto siendo estos dos , operacionesbinarias que cumplen tambin el axioma de conmutatividad, pero adems deeso tambin cumple con la propiedad de distribucin o distributiva.

1.4.1 Distributividad de la Multiplicacin respecto a la Adicin

Para toda a; b; c en K un campo, a (b+ c) = (a b) + (a c).

1.5 Nmeros Complejos

Son una extensin de los nmeros reales y forman el mnimo cuerpo algebraica-mente cerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designacomo C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que R C. Los nmeroscomplejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales.Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero real yun nmero imaginario (que es un mltiplo real de la unidad imaginaria, que seindica con la letra i), o en forma polar.Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo

(que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina nmero imaginario puro aaquel que est compuesto slo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el quea = 0.Si pensamos en las coordenadas cartesianas del nmero complejo z como

algn punto en el plano; podemos ver, por elteorema de Pitgoras, que el valorabsoluto de un nmero complejo coincide con la distancia eucldea desde elorigen del plano a dicho punto.

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Si el complejo est escrito en forma exponencial z = rei', entonces jzj = r.Se puede expresar en forma trigonomtrica como z = r(cos' + isen'), dondecos'+ isen' = ei' es la conocida frmula de Euler.Deniremos cada complejo z como un par ordenado de nmeros reales (a; b)

(Re(z); Im(z)), se denen las siguientes operaciones:

1.5.1 Suma

(a; b) + (c; d) = (a+ c; b+ d)

1.5.2 Producto por Escalar

r(a; b) = (ra; rb)

1.5.3 Multiplicacin

(a; b) (c; d) = (ac bd; ad+ bc)

1.5.4 Igualdad

(a; b) = (c; d)() a = c ^ b = d

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:

1.5.5 Sustraccin

(a; b) (c; d) = (a c; b d)

1.5.6 Cociente(a;b)(c;d) =

(ac+bd;bcad)c2+d2 = (

ac+bdc2+b2 ;

bcadc2+b2 )

1.5.7 Conjugado

z = (a;b)

1.5.8 Mdulo o Magnitud

jzj = pzz =qRe2(z) + Im2(z)

1.6 Propiedades de los Nmeros Complejos

1.6.1 Sobre el Mdulo

Sean z; w 2 C.

jzj = 0() z = 0 jz + wj jzj+ jwj

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jzwj = jzj jwj 1:: jz wj = jzj jwj

1.6.2 Sobre el Conjugado

Sean z; w 2 C.

z + w = z + w z + z = 2Re(z) z z = 2i Im(z) zw = zw

Si z 2 R, z = z. jzj2 = zz Si z 6= 0) 1z = zjzj2 .

1.7 Vectores

Se llama vector de dimensin a una tupla de n nmeros reales (que se llamancomponentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensin serepresenta como Rn.

v = (a1; a2; :::; an), donde v 2 Rn

Un vector jo del plano eucldeo es un segmento orientado, en el que hayque distinguir tres caractersticas:

Mdulo: la longitud del segmento. Direccin: la orientacin de la recta. Sentido: indica cual es el origen y cual es el extremo nal de la recta.

1.7.1 Caractersticas de un Vector

Un vector se puede denir por sus coordenadas, si el vector esta en el plano xy,se representa:

!V = V = (Vx; Vy)

Siendo sus coordenadas Vx; Vy. Siendo el vector la suma vectorial de suscoordenadas:

!V =

!Vx +

!Vy.

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Si un vector es de tres dimensiones reales, representado sobre los ejes x; y; zse puede representar como

!V = V = (Vx; Vy; Vz)

siendo sus coordenadas Vx; Vy; Vz.

1.7.2 Operaciones con Vectores

Suma La denicin suma de vectores en el orden u + v produce otro vector,es como encadenar, siempre visualmente, un vector u y luego uno v. Diremosque u + v se simplica como un vector w o que w descompone como suma devectores u y v.

Producto por Escalar La denicin producto por un escalar a u produceotro vector; es como modicar el extremo nal del vector u, siempre visualmente.Por un lado la representacin del producto en el caso que el cuerpo de los

escalares sea K = R modica, visualmente, la longitud de la imagen del vec-tor, quedando ambos siempre superpuestos; por otro lado las representacionesen el caso que K = C adems de modicar la longitud, tambin agrega rota-ciones, para facilitarlas visualmente considrense centradas en el origen del vec-tor, siendo estas modicaciones un poco ms expresivas, visualmente, pero noms fciles que en el caso real.

1.8 Matrices

Una matriz es un arreglo bidimensional de nmeros (llamados entradas de lamatriz) ordenados en las (o renglones) y columnas, donde una la es cada unade las lneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las lneasverticales. A una matriz con n las y m columnas se le denomina matriz n-por-m (escrito nm) donde n;m 2 Nf0g. El conjunto de las matrices de tamaonm se representa como Mnm(|), donde | es el campo al cual pertenecen lasentradas. El tamao de una matriz siempre se da con el nmero de las primeroy el nmero de columnas despus.Dos matrices se dice que son iguales si tienen el mismo tamamoo y los

mismos elementos en las mismas posiciones.A la entrada de una matriz que se encuentra en la la i-sima y la columna

j-sima se le llama entrada i; j o entrada (i; j)-sima de la matriz. En estasexpresiones tambin se consideran primero las las y despus las columnas.Se denota a las matrices con letra mayscula, mientras que se utiliza la

correspondiente letra en minsculas para denotar a las entradas de las mismas,con subndices que reeren al nmero de la y columna del elemento. Porejemplo, al elemento de una matriz A de tamao nm que se encuentra en lala i-sima y la columna j-sima se le denota aij donde 1 i n y 1 j m.Cuando se va a representar explcitamente una entrada la cul est indexada

con un i o un con j dos cifras se introduce una coma entre el ndice de las y de

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columnas. As por ejemplo, la entrada que est en la primera la y la segundacolumna de la matriz A de tamao 50 100 se representa como a1;2 mientrasque la entrada que est en la la nmero 23 y la columna 100 se representacomo a23;100.

1.8.1 Operaciones con Matrices

Suma Sean A;B 2 Mnm(|). Se dene la operacin de suma o adicin dematrices como una operacin binaria + : Mnm(|)Mnm(|)! Mnm(|) talque (A;B) 7! C = A + B y donde cij = aij + bij en el que la operacin desuma en la ltima expresin es la operacin binaria correspondiente pero en elcampo |.

Producto por un Escalar Sean A 2 Mnm(|) y 2 |. Se dene laoperacin de producto por un escalar como una funcin : | Mnm(|) !Mnm(|) tal que (;A) 7! B = A y donde bij = aij en donde el producto esla operacin binaria correspondiente pero en el campo |.

Producto entre Matrices Sean A 2 Mnm(|) y B 2 Mmp(|). Se dene elproducto de matrices como una funcion de la forma : Mnm(|)Mmp(|)!Mnp(|) tal que (A;B) 7! C = AB y cij =

mXk=1

aikbkj para toda i; j es decir

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + :::+ aimbmj . Y as con cada una de las entradas.

1.9 Nmeros Hipercomplejos

Son una extensin de los nmeros complejos construidos mediante herramientasdel lgebra abstracta, tales como terniones, cuaterniones, tesarines, cocuater-niones, octoniones, bicuaterniones y sedeniones.Para ser ms precisos, forman lgebras n-dimensionales sobre los nmeros

reales. Pero ninguna de estas extensiones forma un cuerpo conmutativo, prin-cipalmente porque el cuerpo de los nmeros complejos est algebraicamentecerrado.As como los nmeros complejos pueden ser vistos como puntos en un plano,

los nmeros hipercomplejos se pueden ver como puntos en algn espacio eu-cldeo de ms dimensiones (4 dimensiones para los cuaterniones, tessarines ycocuaterniones, 8 para los octoniones y bicuaterniones, 16 para los sedeniones).

2 Los Cuaterniones de Hamilton

2.1 Un poco de historia

Cuando hablamos de campos numricos, y en general antes del siglo XX sedestaca que estas deban cumplir todas las propiedades operacionales respectoa suma y producto. Una de ellas, y la que ms conicto caus en esos tiempos

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era la conmutatividad, se deca que tanta era la acin por que estos nuevosmodelos cumplieran las propiedades de forma que estas denan el campo, y noviceversa.Inicialmente, Hamilton dene sus tripletas teniendo en cuenta a los nmeros

complejos, aunque su intencin era la de aplicarlos al mundo fsco tridimen-sional, explicando as fenmenos que en ese momento no haban sido resueltos.Estas eran de la forma a+bi+cj con la caracterstica de i2 = j2 = 1; adems,cumplan las caractersticas principales respecto a la suma pero al realizar larelacin con los complejos ocurran dos problemas grandes: el mdulo y el pro-ducto de tripletas.Tanto en el mdulo como en el producto, haba un trmino de la forma nij

donde n 2 /R. En el mdulo se incumpla la igualdad de: "el mdulo de dosnmeros complejos equivale al mdulo del producto de dos nmeros"; siempreen cuando se relacionaran las tripletas con los nmeros complejos. Hamiltonconsidera entonces ij = ji. Pero an as, los problemas persistan:

(a+ bi+ cj)(x+ yi+ zj) = (ax by cz)+ (ay+ bx)i+(az+ cx)j+(bz cy)ij

El resultado general de una multiplicacin binaria constitua tres trminosen vez de dos.El 16 de octubre de 1843 Hamilton se da cuenta que las inconsistencias se

podan arreglar si: "tomaba la consideracin de denir cuatro trminos en vezde tres , es decir, si tomaba k como una unidad imaginaria aadida a i y a j".La forma general de las "cuatripletas" que denomin cuaterniones quedaban dela forma q = a + bi + cj + dk. Con la condicin de i2 = j2 = k2 = ijk = 1 eij = k = ji, jk = i = kj, ki = j = ik.Este nuevo sistema numrico recibi el nombre de "Conjunto de Cuater-

niones" y denominado por la letra H. Se dene formalmente de la siguienteforma:

H = H = fq = a+ bi+ cj + dk : a; b; c; d 2 Rg

Con las condiciones de i; j; k mencionadas antes.

2.2 Representacin Vectorial y Matricial de los Cuater-niones

De acuerdo a la formacin que tienen los cuaterniones, estos pueden ser ex-presados por medio de vectores o de matrices, siendo la forma vectorial unade las ms conocidas y generalizadas al momento de tratarlos como un sistemanumrico o como ejemplo de grupo no abeliano. La forma vectorial se generalizaal tratar de proponer cada componente del cuaternin como una del vector. Yel determinante al cuadrado de cada una de las formas matriciales equivalen aa2 + b2 + c2 + d2.

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2.2.1 Vectorial

Sea q un cuaternin de la forma a+ bi+ cj + dk, su forma vectorial ser repre-sentada por medio de un vector en R4 de la forma (a; b; c; d). Considerando elvector (1; i; j; k) como la base y cualquier otro vector como el producto internode la base con la forma general.

2.2.2 Matricial

En general, se dan por medio de matrices complejas y al producir formas ma-triciales que representen vectores se debe cumplir la propiedad: jqj2 = a2+ b2+c2 + d2

Matriz de tamao 22 Es una matriz compleja de la formaa di b+ cib+ di a+ di

.

El determinante sera: (a di)(a+ di) (b+ di)(b+ ci) = a2 + b2 + c2 + d2.La vericacin de este resultado es simple y fcil de obtener.

Matriz de tamao 4 4 La forma general de un cuaternin en matrices del

tamao ya dicho es la siguiente:

2664a b d cb a c dd c a bc d b a

3775 . La vericacin de esteresultado se deja como ejercicio prctico al lector.

2.3 Aritmtica de Cuaterniones

De igual forma que con cualquier sistema numrico, se denen operaciones bsi-cas entre diferentes elementos del conjunto H .

2.3.1 Adicin y Sustraccin

Sea q1 = a1 + b1i + c1j + d1k y q2 = a2 + b2i + c2j + d2k, se dene la suma yla resta entre q1 y q2 como la adicin o sustraccin componente a componente.As,

q1 q2 = (a1 + b1i+ c1j + d1k) (a2 + b2i+ c2j + d2k)= (a1 a2) + (b1 b2)i+ (c1 c2)j + (d1 d2)k

2.3.2 Producto

Sea q1 = a1 + b1i+ c1j + d1k y q2 = a2 + b2i+ c2j + d2k, se dene el productoentre q1 y q2 trmino a trmino de la forma que sigue:

q1(q2) = (a1 + b1i+ c1j + d1k)(a2 + b2i+ c2j + d2k)= a1a2 + a1b2i+ a1c2j + a1d2k + b1ia2 + b1ib2i+ b1ic2j + b1id2k + c1ja2 +

c1jb2i+ c1jc2j + c1jd2k + d1ka2 + d1kb2i+ d1kc2j + d1kd2k

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= a1a2 + a1b2i+ a1c2j + a1d2k + b1a2i+ b1b2i2 + b1c2ij + b1d2ik + c1a2j +

c1b2ji+ c1c2j2 + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki+ d1c2kj + d1d2k

2

Como los valores de a1; a2; b1; b2; c1; c2; d1; d2 2 R, se puede realizar la con-mutatividad siempre que se relacionen con una de las variables "cuaternionicas",pero el orden de estas no se alteran, ya que no son conmutativas. As.

= a1a2 + a1b2i+ a1c2j + a1d2k + b1a2i b1b2 + b1c2k b1d2j + c1a2j c1b2k c1c2 + c1d2i+ d1a2k + d1b2j d1c2i d1d2

= (a1a2 b1b2 c1c2 d1d2) + (a1b2 + b1a2 + c1d2 d1c2)i+ (a1c2 b1d2 +c1a2 + d1b2)j + (a1d2 + b1c2 c1b2 + d1a2)k

2.3.3 Conjugado

Sea q un cuaternin de la forma a+bi+cj+dk. El conjugado de q se denominarq = a bi cj dk.

2.3.4 Norma

Sea q un cuaternin. La norma de q se denominar jqj = pqq.

2.3.5 Inverso Multiplicativo

Sea q un cuaternin distinto de cero. Su inverso multiplicativo est dado por laforma:

q1 = qjqj2

2.3.6 Cociente

Sean q1 y q2 dos cuaterniones, a=b se ve expresado por medio de inverso, as:

q1q2= q1(q

12 ) =

q1q2jq2j2 .

2.3.7 Exponenciacin del modo eq.

Sea q un cuaternin de la forma a+ bi+ cj + dk. Entonces:

eq = ea+bi+cj+dk = ea(cos(pb2 + c2 + d2) + sin(

pb2+c2+d2)pb2+c2+d2

(bi+ cj + dk))

Se omite la demostracin, que es de forma similar a la construccin de laexponenciacin sobre complejos.

2.4 Propiedades de los Cuaterniones

Los cuaterniones cumplen la mayora de propiedades del lgebra comn, a ex-cepcin de la conmutativa del producto. Se sabe de antemano que: q1 =a1 + b1i+ c1j + d1k, q2 = a2 + b2i+ c2j + d2k, y q3 = a3 + b3i+ c3j + d3k.

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2.4.1 De la Suma

Con estas propiedades, se determina que (H;+) es un grupo abeliano.

Clausurativa 8q1; q2 2 H, se cumple que q1 + q2 2 H.

Demostracin Sea q1 = a1 + b1i+ c1j + d1k y q2 = a2 + b2i+ c2j + d2k,entonces q1 + q2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i+ (c1 + c2)j + (d1 + d2)k 2 H

Conmutativa 8q1; q2 2 H, se cumple que q1 + q2 = q2 + q1.

Demostracin q1+ q2 = (a1+ a2)+ (b1+ b2)i+(c1+ c2)j+(d1+ d2)k =(a2 + a1) + (b2 + b1)i+ (c2 + c1)j + (d2 + d1)k = q2 + q1

Asociativa 8q1; q2; q3 2 H, se cumple que q1 + (q2 + q3) = (q1 + q2) + q3.

Demostracin q1+(q2+q3) = a1+b1i+c1j+d1k+((a2+a3)+(b2+b3)i+(c2+c3)j+(d2+d3)k) = (a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i+(c1+c2+c3)j+(d1+d2+d3)k = ((a1+a2)+ (b1+ b2)i+(c1+ c2)j+(d1+d2)k)+ [a3+ b3i+ c3j+d3k] =(q1 + q2) + q3.

Elemento Neutro 8q1 2 H, se cumple que q1 + 0 = 0 + q1 = q1. Recuerdeque 0 = 0 + 0i+ 0j + 0k.

Demostracin q1 + 0 = (a1 + 0) + (b1 + 0)i + (c1 + 0)j + (d1 + 0)k =(0 + a1) + (0 + b1)i+ (0 + c1)j + (0 + d1)k = a1 + b1i+ c1j + d1k = q1

2.4.2 Del Producto

Respecto a estas propiedades, se determina que (H; ) es un grupo no conmuta-tivo. Se recuerda al lector que: q1 = a1+b1i+c1j+d1k, q2 = a2+b2i+c2j+d2k,y q3 = a3 + b3i+ c3j + d3k.

Clausuratividad. 8q1; q2 2 H, se cumple que (q1 q2) 2 H.

Demostracin Como (q1 q2) guarda la estructura que poseen los cuater-niones en general (vase la generalizacin del producto en la seccin 2.3.2), esdecir, poseen un trmino perteneciente a los reales, y adems uno con cadacomponente: i; j; k, decimos que (q1 q2) es cerrado en H.

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Asociatividad 8q1; q2 2 H, se cumple q1 (q2 q3) = (q1 q2) q3.Para no confundir al lector con la eternidad de esta demostracin, se omi-

tir. La forma ms fcil de demostrarla (an siendo metafsicamente posible) sereduce a realizar la multiplicacin de los dos primeros trminos entre parntesis,luego denominar a ese cuaternin con otro nombre tomando sus variables comolos an; bn; cn; dn que desee, realice la multiplicacin del qn que denomin con eltrmino restante (recuerde que puede partir desde la primera o ltima parte dela igualdad). Cuando tenga la multiplicacin en trminos de los an y del tr-mino restante, sustituya los an; bn; cn; dn con los de la primera multiplicacin.Le saldrn 16 factores que deber multiplicar. Elimine, cambie signos, tengaen cuenta las variables i; j; k, concntrese y luego repita el proceso por la partecontraria a la que comenz (esto es, si comenz por q1 (q2 q3) , parta ahorade (q1 q2) q3) para que se haga una idea de como poder eliminar los factoresadecuados. Cuando llegue a una igualdad, ha demostrado la asociatividad enlos cuaterniones. Permtame alegrarle el da!

Elemento Neutro 8q1 2 H, se cumple que q1 1 = 1 q1 = q1.

Demostracin En primer lugar, recuerde que 1 = 1+ 0i+ 0j + 0k, y queq = a1 + b1i+ c1j + d1k. Asi, tenemos que

q1 1 = (a1 1 b1 0 c1 0 d1 0) + (a1 0 + b1 1 + c1 0 d1 0)i+(a1 0 b1 0 + c1 1 + d1 0)j + (a1 0 + b1 0 c1 0 + d1 1)k

= (1 a1 0(b1) (0)c1 (0)d1) + (1 b1 + (0)a1 + (0)d1 (0)c1)i+ (1 c1 (0)d1 + (0)a1 + (0)b1)j + (1 d1 + (0)c1 (0)b1 + (0)a1)k

= 1 q1= a1 + b1 + c1 + d1 = q1

Elemento Inverso 8q1 2 H, q1 6= 0 se tiene que q1q11 = q11 q1 = 1.La demostracin se omite por cuestiones de extensidad.

2.4.3 De la relacin entre la Suma y el Producto

Distributividad del producto respecto la suma 8q1; q2; q3 2 H, se cumpleque q1 (q2 + q3) = q1(q2) + q1(q3)Es recomendacin que el lector intente el desarrollo de la demostracin para

la formalizacin de estos conocimientos. La demostracin se omite.

2.5 Caracterizacin de los Cuaterniones

Con las propiedades antes mencionadas, se concluye que (H;+; ) conforma unanillo no conmutativo. Aunque esta estructura puede parecerse a un campo sinla condicin del producto:

"... un tipo de cuerpo peculiar: un cuerpo no conmutativo en lamultiplicacin, desde el que saltar a un espacio vectorial sobre

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R-4 dimensional (las cuatro dimensiones corresponden a la partereal y las tres no reales), considerando como vectores a cualquiercuaternin..."

As, para denir a los cuaterniones como espacio vectorial, hay que hacerunos "cambiecitos" a lo que respectan las propiedades.Adems, tambin podemos mencionar mdulos (izquierdos o derechos en los

cuaternios) sobre un anillo cualquiera, que son los usados en las suma y producto(ms bien, en los reales).Existen varias propiedades que cumplen los cuaternios, son usados desde

demostraciones (como para una de las propiedades de Lagrange: " todo nmeronatural n puede expresarse como la suma de cuatro cuadrados perfectos") hastaen aplicaciones fsicas, rotaciones en el espacio (como los complejos producenrotaciones en el plano) y la representacin de orientaciones de objetos en unespacio tridimensional.Si es as, personalmente nos planteamos dudas que an quedan inconclusas:

los octoniones representaran rotaciones en un espacio 7-dimensional? Loscuaterniones son un lgebra respecto a un campo como los reales? Qu otrasaplicaciones desconocidas existen para los cuaterniones? los octoniones repre-sentaran rotaciones en un espacio 7-dimensional?

3 Bibliografa

Hamilton, William Rowan. On quaternions, or on a new system of imag-inaries in algebra. Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489495.1844.

Hamilton (1866) Elements of Quaternions University of Dublin Press.Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.

Luis Ibanez "Tutorial on Quaternions" Part I Part II (PDF). Sobre los Cuaterniones, lgebras de Lie y Matrices de Pauli. Documentoen: http://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/10651/18233/1/RodBouzaCuaterniones.pdf

Snchez Muoz Jos. Hamilton y el Descubrimiento de los Cuaterniones.Documento en: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/revista_impresa

/numero_1/hamilton_y_el_descubrimiento_de_los_cuaterniones.pdf

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