CUATERNIONES DEFINICIN Y PROPIEDADES Los cuaterniones son miembros de un cuerpo no conmutativo inventado por primera vez por William Rowan Hamilton. Su descubrimiento le caus tal satisfaccin que no pudo resistir la tentacin de perpetuar su frmula fundamental en una piedra del puente Brougham.

El conjunto de los cuaterniones se denota por la letra o , y son uno de los ejemplos de una clase ms amplia de nmeros, tambin descubiertos por Hamilton, los hipercomplejos. A pesar de no ser conmutativos, los cuaterniones s son asociativos, formando un grupo. Los cuaterniones admiten diversas representaciones: Por analoga con los nmeros complejos, se pueden representar como la suma de una parte real y una imaginaria, , siendo a, b, c y d nmeros reales. En forma matricial la representacin es la siguiente:

, donde z y w son nmeros complejos, a, b, c y d son reales y es el complejo conjugado de z. Como representacin matricial alternativa tenemos la que utiliza como bases las matrices 2x2, siendo los cuaterniones combinaciones lineales de las mismas:

, de forma que I, J y K son las tres soluciones de la ecuacin matricial:

, cumplindose las siguientes igualdades:

Por lo tanto, I, J y K pueden ser consideradas como las races negativas de la matriz unidad. A la combinacin lineal de estas cuatro matrices con coeficientes enteros se la llama entero hamiltoniano. En estas matrices toman la forma

Como ultima representacin recogemos la ms compacta y cmoda a la hora de operar; tambin est constituida por una parte real, w, y una imaginaria, (x, y, z), pero a diferencia de la anterior, la parte imaginaria va agrupada en un vector, v, de forma que la representacin resulta: q= [v, w] Mediante esta representacin podemos identificar los nmeros reales con los cuaterniones de la forma q = [0,s] , y los vectores de R con los de la forma q = [v, 0]. Operaciones con cuaterniones: La frmula, que para el gusto o disgusto del puente de Brougham , qued grabada en una de sus piedras es: , frmula considerada como fundamental en el lgebra de los nmeros complejos. Otras igualdades notables referentes a los productos de las unidades imaginarias son:

En estas desigualdades podemos comprobar la no conmutatividad existente en el cuerpo de los cuaterniones. La suma de dos cuaterniones es similar a la de dos complejos; cada coordenada se suma con su homloga del otro nmero: El conjugado de un cuaternin tambin es similar al de un complejo: , y tiene las siguientes propiedades: q*=conjugado de q (q*)*=q (pq)*=q*p* (p+q)*=p*+q* Los cuaterniones se multiplican como combinaciones lineales de las unidades imaginarias, que siguen las reglas de multiplicacin arriba expuestas:

(a . b)= Si utilizamos la representacin escalar-vector, tenemos:

Otras propiedades a destacar en el producto: Producto por un escalar: s=escalar q=cuaternin s.q= q.s= [0,s][v,w]= [sv,sw] Asociatividad: p,q=cuaterniones (pq)q'=p(qq') Elemento neutro: 1q= q1=[0,1][v,w]=[v,w] Producto de cuaterniones sin parte real : vv'=[v,0][v',0]=[vxv',-v.v'] La norma de un cuaternin est definida como la raz cuadrada de ste por su conjugado: , y es La divisin est unievaluada, excepto para divisor cero. Por ello los cuaterniones forman un cuerpo.

El inverso se define como el conjugado dividido por la norma al cuadrado: Bilinealidad : p,q,q'=cuaterniones s,s'=escalar p(sq+s'q')= spq + s'pq' (sq+s'q')p= sqp + s'q'p Cuaterniones unitarios Sean los cuaterniones q y q', tales que N(q)=N(q')=N(v)=1,entonces: Los cuaterniones son de la forma q=[v sin, cos], para cualquier v unitario. N(q.q')= 1 q-= q* v= -1 UTILIDAD DE LOS CUATERNIONES Los cuaterniniones son utilizados en los grficos por ordenador como coordenadas para las rotaciones y orientaciones. Su buen funcionamiento y facilidad de uso los permite competir con las coordenadas ms habituales, como las matrices o los ngulos de Euler. A pesar de ser quiz la forma ms sofisticada y prctica de tratar coordenadas homogneas en el espacio tetradimensional, los cuaterniones estn condenados a comer solos; son ignorados en los programas de la mayora de las universidades. ROTACIONES La complejidad que presentan las rotaciones en el espacio tridimensional se debe a su no conmutatividad. Esta propiedad implica que no pueden ser tratadas como vectores. Por tanto, el conjunto de todas las rotaciones tridimensionales no estn organizadas como un espacio vectorial tridimensional, sino como un conjunto de superficies curvas y cerradas que envuelven una esfera, que es la superficie directriz. Este grupo es denominado SO3, 'Special Orthogonal tridimensional group' Los cuaterniones unidad, S, tienen la capacidad de capturar toda la geometra, topologa, y estructura de las rotaciones tridimensionales, en la forma ms sencilla posible. LOS CUATERNIONES COMO ROTACIONES Podemos recoger en tres teoremas la relacin entre los cuaterniones y las rotaciones tridimensionales: Sea p un punto en el espacio proyectivo tridimensional representado como un cuaternin, de forma que p=[v,w]=[(x,y,z),w] Sea q cualquier cuaternin distinto de cero.

1- El producto (qpq-) transforma a p=[v,w] en p'=[v',w], siendo los mdulos de v y v' iguales. 2- Cualquier mltiplo de q distinto de cero acta de la misma manera sobre p. 3- Si q es un cuaternin unitario, tal que N(q)=1, entonces q=[v*sin,cos] acta sobre p rotndolo un ngulo de 2 alrededor del eje con vector director unidad v*. Demostraciones de los teoremas: La demostracin del segundo teorema es trivial, teniendo en cuenta que la inversa de sq, s es un real, es q-s-, y que el producto de escalares es conmutativo: (sq)p(sq)-=sqpq-s-=qpq-ss-=qpq- Por lo tanto, podemos elegir para las dems demostraciones un cuaternin unitario sin perder generalidad. Adems para cuaterniones unitarios, el inverso es igual al conjugado, por lo que la accin de q sobre p, qpq-, es igual a qpq*. Demostremos ahora el primer teorema: Primeramente vamos a certificar la igualdad de las partes escalares de p y p'. Para ello utilizaremos la siguiente propiedad: [2S(q)= q + q*], siendo S(q) la parte escalar de q. Extraigamos la parte escalar del transformado de p por qpq*, y comprobemos que es igual a la de p: 2S(qpq*)= (qpq*) + (qpq*)*= qpq* + qp*q* Como la multiplicacin de cuaterniones es bilineal, podemos poner: 2S(qpq*)= qpq* + qp*q*= q(p+p*)q*=q(2S(p))q* Gracias a la conmutatividad en el producto por un escalar, tenemos: 2S(qpq*)= 2S(p)qq*; q*=q- qq*=qq=1 2S(qpq*)=2S(p) S(qpq*)=S(p) Demostremos seguidamente que la norma del vector que agrupa la parte imaginaria de p es igual a la norma de la parte vectorial de su transformado, qpq*: Por ser q un cuaternin unitario, no acta sobre la norma de p, por lo tanto: p'=(qpq*) N(p)= N(p') Dado que p y p' tienen la misma parte escalar como hemos demostrado arriba, y sus normas son iguales, como acabamos de afirmar, las normas de sus partes imaginarias han de ser iguales. p=[v,w] p'=[v',w] N(p)= N(p') N(v)= N(v')

Pasemos a la demostracin del tercer teorema, el de mayor carga significativa de los tres. Supongamos un cuaternin unitario, tal que q=[v,0][v',0]=v.(v')*=[vxv',v.v'], siendo N(v)=N(v')=1 Llamemos al ngulo entre v y v'. Sea z=(vxv')/||vxv'||, un vector unitario perpendicular a v y v'. Gracias a las definiciones de producto escalar y vectorial, obtenemos: v.v'=||v||.||v'||cos= cos q=[vxv',v.v']= [z sin, cos] ||vxv'||=||v||.||v'||sen= sen Vamos a demostrar que q'=v''.(v')*=(qvq*)(v')* tiene la misma forma que q, es decir, define los mismos productos escalares y vectoriales que los definidos por [v'. (v)*]; v''= qvq* est, por lo tanto, en el mismo plano que v y v' y forma un ngulo con v'. Debemos aclarar que q no acta como una trasformacin unidad sobre v, es decir, v y v'' no son el mismo vector.

VxV'

V V'

(qVq*)

q'=(qvq*)(v')* ; sustituyendo q*=(v.(v')*) q'= (qv(v'.v*)*)v'= qv(v.v'*)v'*= q(v.v)(v'*v'*) Como v y v' son vectores unitarios, su cuadrado es -1, pues recordemos que i=j=k=-1. q'=q(-1)(-1)=q (qvq*)xv']=[v'v,v'xv] (qvq*).(v')*= v'.v* [(qvq*).v', (qvq*).v'= v'v (a); (qvq*)xv'= v'xv= z(b)

(a)- cos (ang((qvq*),v'))=cos(ang(v',v)) ang((qvq*),v')= ang(v',v) (b)- (qvq*) , v, v' estn en el mismo plano, pues su producto vectorial es siempre z. Conclusin: El vector v''=(qvq*) forma un ngulo con v', y est contenido en el plano definido por v y v'. Como no es el propio vector v, de la primera afirmacin concluimos que dicho vector forma un ngulo de 2 con v ; q gira el vector v alrededor del eje con vector director z.

Podemos demostrar que ejerce la misma accin sobre v'. Solamente tenemos que comprobar que el vector v''= (qv'q*) est en el mismo plano que v y v' , y que forma un ngulo 2 con v' , o lo que es lo mismo, un ngulo con (qvq*) : Obsrvese que q.v= (v'.v*)v= v'(v.v*)= v' ; v' = qv (c) q''=(qv'q*).(qvq*)* ; introduciendo (c) q''= (q(qv)q*)(qvq*)*= q(qvq*)(qvq*)*= q q''= q

Queda demostrado que la accin de q sobre v' es girar el vector un ngulo de 2 sobre el eje de vector director z. En definitiva, el cuaternin q=[z sin , cos ] acta sobre cualquier vector unitario del plano perpendicular a z girndolo un ngulo de 2 si se premultiplica por q y se postmultiplica por q* el vector. Cualquier vector del espacio tridimensional se puede expresar como combinacin lineal de tres vectores linealmente independientes. Los vectores v, v' y z son linealmente independientes, por lo tanto, forman base en el espacio tridimensional. La accin de q sobre un vector p es la accin de q sobre (av + bv' + cz). La bilinealidad de los cuaterniones nos permite examinar por separado las acciones de q sobre v, v' y z. La accin sobre v y v' ya la conocemos. Vamos a ver cmo de bueno es el vector z : qz =[z sin , cos ][z, 0] qz= zq? La nica operacin que rompe la conmutitividad en el producto de cuaterniones es el producto vectorial. En este caso este producto es cero; por lo tanto qz= zq. Por lo tanto: qzq* = zqq*= z Como era de esperar, q no acta sobre z, lo transforma en s mismo. Resumiendo: qpq*= q(av + bv' + cz)q*= a(qvq*) + b(qv'q*) + cz TODA ROTACIN EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL ES LA ACCIN DE UN CUATERNIN UNITARIO; LA ACCIN DE Q=[Z SIN , COS ] EN CUALQUIER VECTOR ES UNA ROTACIN ALREDEDOR DEL EJE DE VECTOR DIRECTOR Z UN NGULO 2 . PROPIEDADES DE LAS ROTACIONES CON CUATERNIONES La combinacin de la rotacin q seguida de la rotacin q' es dada por la rotacin q''=qq' q'(qpq*)q'*= (q'q)p(q'q)*=q''pq''* Como la multiplicacin de cuaterniones es bilineal, puede ser expresada en forma matricial. Sea q=[(x,y,z),w] qpq*= pQ

Q=

w+x-y-z 2(xy+wz) 2(xz-wy) 0

2(xy-wz) w-x+y-z 2(yz+wx) 0

2(xz+wy) 2(yz-wx) w-x-y+z 0

0 0 0 w+x+y+z

Teniendo en cuenta que N(q) =w+x+y+z N(q) -2(y+z) 2(xy+wz) 2(xz-wy) 0 2(xy-wz) N(q)-2(x+z) 2(yz+wx) 0 2(xz+wy) 2(yz-wx) N(q)-2(x+y) 0 0 0 0 N(q)

Q=

Dividiendo por N(q) : 1-s(y+z) s(xy+wz) s(xz-wy) 0 s(xy-wz) 1-s(x+z) s(yz+wx) 0 s(xz+wy) s(yz-wx) 1-s(x+y) 0 0 0 0 1

Q=

siendo s=2/N(q) CURVAS FORMADAS POR CUATERNIONES Cualquier curva continua de cuaterniones que no pase por [0, 0] representa una secuencia continua de rotaciones. Especial inters radica en aquellas formadas por cuaterniones unitarios, pues son en las que podemos controlar la secuencia de rotaciones. Como ya comentamos en la introduccin, el espacio de rotaciones tridimensional est formado por superficies que rodean, envuelven una esfera, en el caso de cuaterniones unitarios, la esfera unidad.. Entre dos cuaterniones unitarios, q y q', hay un nico arco que los une recorriendo la mnima distancia, la interseccin del plano que une q, q' y el origen, con la esfera unidad. Estos arcos se llaman geodsicas y son los caminos con aceleracin mnima. Un arco geodsico formado por cuaterniones unitarios representa una rotacin a velocidad constante alrededor de un eje fijo. C(t) =( (q'q)exp(t)) q CONTROL DE LA TORSIN Los cuaterniones nos permiten controlar el grado de torsin en una secuencia de rotaciones. La estructura de rotaciones tridimensionales ('fiber bundle structure'- conjunto de fibras),SO(3) se diferencia de un espacio proyectivo en que las proyecciones de sus elementos no se pueden realizar en segmentos rectilneos, sino en crculos. La imagen de un punto en el crculo base es una lnea en la banda. Las rotaciones, SO(3), y los cuaterniones unitarios, S, pueden ser proyectados en la esfera unidad a travs de (q)=(qvq-)= q [(0,0,1),0] q-. Como la rotacin de un

vector unitario sigue siendo un vector unitario, la funcin definida nos proporciona un punto en la esfera unidad. La banda que tiene esta proyeccin es la formada por los cuaterniones unitarios de la forma (q [(0,0,sin),cos]), que difieren de q en un ngulo de 2. Como ninguno de los conjuntos son proyectivos, no hay una forma consistente de relacionar la proyeccin en la esfera tridimensional con las bandas. Sin embargo, existe una forma 'natural' de relacionar una trayectoria en la esfera con una en el espacio de rotaciones o en el de cuaterniones. Esta relacin nos va a ser muy til en la animacin por ordenador. Normalmente una cmara est orientada segn el eje z. Si q controla la orientacin de la cmara, su proyeccin en la esfera de direcciones, (q), nos indica en qu direccin estamos mirando. La torsin representa un giro alrededor del eje z, por lo tanto, para controlarla, debemos cambiar la orientacin de la cmara sin variar la direccin en la que mira; esto significa que tendremos que variar la trayectoria en S sin modificar su proyeccin. Gracias a la relacin 'natural' antes mencionada, podemos medir el ngulo de torsin entre dos secuencias prximas, correspondientes cada una a dos cuaterniones prximos de la trayectoria de S, y modificarlo en este espacio sin tocar la proyeccin. EPLOGO A pesar de que el tratamiento de las rotaciones se puede realizar con ngulos de Euler, e incluso con matrices, aunque stas sean un tanto engorrosas para ser utilizadas en secuencias de rotaciones, los cuaterniones son la herramienta ms simple de usar, con definicin y propiedades slidas . Su nico fallo aparente debe ser su falta de higiene, que les hace ser excluidos de la pulcra sociedad cientfica. FUENTES http://mathworld.wolfram.com/ Quaternions Ken Shoemake Department of Computer and Information Science University of Pennsylvania Philadelphia, PA 19104

Mtodos Matemticos I Mara Elena Rodrguez Rojo

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