Cuerpos geometricos

Curso : “Geometría”

Unidad: “Cuerpo Geométricos”

Santiago, 02 de diciembre de 2009

Universidad de Santiago

de Chile

Facultad de Ciencia

Axiomas y propiedades

Dos puntos distintos determinan una única recta.

Tres puntos se dicen colineales si existe una recta que pasa por ellos.

Dados dos puntos distintos, existe un tercero no colineal a ellos.

Tres puntos distintos y no colineales determinan un único plano.


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Axiomas y propiedades

Cuatro puntos se dicen coplanarios si existe un plano que pasa por ellos.

Si dos puntos distintos están en una recta y en un plano entonces la recta está contenida en el plano.

Dados tres puntos distintos y no colineales existe un cuarto no coplanario con dichos puntos.

Cualquier Plano Π separa al espacio ξ en dos semiespacios convexos y disjuntos ξ1 y ξ2.


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Posiciones relativas de rectas y planos


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Dos rectas se dicen ortogonales si el ángulo formado por ellas es recto.

Una recta r es perpendicular a un plano П si lo es a cualquier recta contenida en dicho plano.


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Teorema (de las tres perpendiculares)

Si una recta l es perpendicular en A a un plano П y desde un punto B de l se traza una perpendicular en C a una recta l1 del plano П, entonces la recta AC es perpendicular a l1.

Demostración:


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Problema

Dados un plano П y un punto A fuera de dicho plano, se pide bajar desde A la perpendicular a П.


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Angulo Diedro*

Un ángulo diedro es la intersección de dos semiplanos П1 y П2 de frontera común la recta AB .

Notación: Los semiplanos П1 y П2 se llaman caras del ángulo diedro y la recta AB se conoce como arista del ángulo diedro.

* Del griego dis=dos, edra=plano


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Angulo Diedro*

Dado un ángulo diedro, sea E un punto de la arista, por E y en П1 se traza una perpendicular CE a la arista y por E y en П2 se traza la perpendicular ED a dicha arista . El ángulo plano CED se conoce como ángulo rectilíneo del diedro.

* Del griego dis=dos, edra=plano


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Angulo Poliedro

Dados un polígono plano A1A2…An y un punto O, fuera del plano del polígono, se trazan por O rayos de origen O y que pasan respectivamente por los puntos A1, A2…An. La región encerrada por lo planos generados por A1, A2…An se llama ángulo poliedro.


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Explorando Angulo Poliedro


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Angulo Poliedro - propiedades

En todo ángulo poliedro el ángulo correspondiente a una cara es menor que la suma de los otros ángulos.

Los ángulos de las caras de un ángulo poliedro convexo suman menor de 360°.

Si la suma de los ángulos planos del ángulo poliedro es superior a 360°, entonces es un ángulo poliedro no convexo.


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Cuerpos Geométricos

Un cuerpo poliedro es un sólido limitado por planos. Los cuerpos redondos están limitados solamente por

superficies curvas o bien por superficies planas y curvas.


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Los polígonos se llaman caras del poliedro y los lados y vértices de una cara se conocen respectivamente como aristas y vértices del poliedro.

Un poliedro está formado por un número finito de

regiones poligonales. Si dos regiones se intersectan, lo hacen en una arista o en un vértice.


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Un Poliedro se dice Convexo si el plano que contiene a una de sus caras deja al poliedro en un mismo semi espacio con respecto a ese plano y esto es válido para cualquiera de las caras .

Cada arista de un poliedro está determinada por sólo dos caras.

En un poliedro, el ángulo poliedro determinado por cada vértice y las aristas que concurren a él es convexo.

Las caras de un poliedro son polígonos convexos.


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Un Poliedro Regular es aquel cuyas caras son polígonos regulares congruentes y todos los ángulos que se forman al intersectar tres o más caras en un vértice, tiene el mismo número de éstas.

Tetraedro

Hexaedro

Octaedro

IcosaedroDodecaedro

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