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Matemáticas I - UD 6: NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONARIO

1

CUESTIONES INICIALES de la página 132

1. Resuelve las ecuaciones:

a) x2 – 4x + 5 = 0 b) 2x3 + 32x = 0

Las soluciones de las ecuaciones dadas son:

a) x2 – 4x + 5 = 0 ixyix −=+=⇒ 22 21

b) 2x3 + 32x = 0 ixyixx 440 321 −===⇒

2. ¿Qué coordenadas tendrá el vector ( )3,4=v cuando lo giramos 90º?

El vector resultante de girar 90º el vector ( )3,4v es el vector

( )4,3−u . Puede verse en el dibujo.

3. Halla los puntos de intersección de la curva 1169

22

=−yx con las rectas x = 0; y = 0; xy

34

= .

Los puntos de intersección de la hipérbola con las rectas vienen dados por los sistemas que siguen:

.0

1169

22

solucionestieneNox

yx⇒

=

=−

Por tanto, no hay puntos de corte.


2

===−=

⇒

=

=−0;3

0;3

0

1169

22

11

22

yxyx

y

yx.

Los puntos de corte son P (- 3, 0) y Q (3, 0).

.

34

1169

22

solucionestieneNoxy

yx

⇒

=

=−

Por tanto, no hay puntos de corte.

Todo lo anterior pude verse en el dibujo.

4. Halla el área del hexágono regular centrado en el origen de coordenadas y uno de cuyos vértices es el punto (2, 2).

El radio del hexágono mide 22 , su apotema mide 6 y el área será: 23122

6·22·6 u=

ACTIVIDADES de la página 136

1. Halla el resultado de las siguientes operaciones:

a) (2 + 5i) + (1 – 3i) c) (2 + i) · ( - 3 + i) e) (- 1 + 2i)2

b) (5 – 6i) – (- 3 + 2i) d) (- 5 + 2i) : (2 – 2i) f) (1 – 3i)3

Los resultados de las operaciones son:

a) (2 + 5i) + (1 – 3i) = 3 + 2i d) (- 5 + 2i) : (2 – 2i) = i43

47−−


3

b) (5 – 6i) – (- 3 + 2i) = 8 – 8i e) (- 1 + 2i)2 = - 3 – 4i

c) (2 + i) · ( - 3 + i) = - 7 - i f) (1 – 3i)3 = - 26 + 18i


2. Dados los números complejos z1 = 1 + 3i y z2 = 3 – i, efectúa las siguientes operaciones:

a) z1 + z2 b) z1 - z2 c) z1 · z2 d) z1 : z2 e) 21z f) 3

2z

a) z1 + z2 = (1 + 3i) + (3 – i) = 4 + 2i

b) z1 - z2 = (1 + 3i) – ( 3 – i) = - 2 + 4i

c) z1 · z2 = (1 + 3i) · (3 – i) = 6 + 8i

d) ii

ii

ii

zz

==++

−+

=1010

33

·3

31

2

1

e) iiz 68)31( 221 +−=+=

f) iiz 2618)3( 332 −=−=

3. Encuentra el valor de x con la condición de que el producto (2 + i) · (x – i) sea un número real.

Para que (2 + i) · (x – i) = (2x + 1) + (x – 2)i sea un número real su parte imaginaria debe ser nula. Por tanto, x – 2 = 0, es decir, x = 2.

4. Halla el número complejo z que verifique (1 – 2i) · z – 2i · (5 + 3i) = 11.

Operamos y despejamos z:


4

(1 – 2i) · z – 2i · (5 + 3i) = 11 ⇔ (1 – 2i) · z + 6 – 10i = 11 ⇔ (1 – 2i) · z = 5 + 10i ⇔

⇔ iii

ii

z 432121

·21105

+−=++

−+

=


5. Responde razonadamente a cada una de las siguientes cuestiones:

a) Escribe en forma polar el número complejo iz21

23+−= representándolo previamente.

b) Expresa en forma binómica el número complejo º2403=z .

c) La forma trigonométrica de un número complejo es 3 (cos 270º + i sen 270º). ¿Cuál es su forma binómica?

a) El complejo iz21

23+−= tiene de módulo 1 y de argumento 150º y

su forma polar es z = 1150º.

Puede verse es el dibujo.

b) El número complejo º2403=z en forma binómico es .2

3323 iz −−=

c) La forma binómico del número complejo 3 (cos 270º + i sen 270º) es – 3i.

6. El afijo de un número complejo es ( )32,2 − . Represéntalo y escríbelo en forma trigonométrica.

La forma trigonométrica del complejo del enunciado es:

z = 4 · (cos 300º + i sen 300º)


5

7. Expresa en forma polar los complejos cuyos afijos estén situados en los ejes del plano complejo y su distancia al origen de coordenadas sea la unidad.

Son los número complejos 10º = 1; 190º = i; 1180º = - 1 y 1270º = -i.


8. Efectúa las siguientes operaciones poniendo los números complejos en forma polar y dando el resultado en la misma forma del enunciado:

a) (- 1 – i)7 b) (3135º)3 c) 5

35

35cos

+

ππ seni d) ( ) 66·322 ii−−

Transformando los números y operando, obtenemos:

a) ( ) ( )[ ] iseni 88º13528º135cos282821 º1357

º2257 +−=+===−−

b) (3135º)3 = (33)3 · 135º = 2745º.

c) ( )33

cos113

53

5cos º605

º300

5 ππππ seniseni +===

+

d) ( ) ( ) ( ) ( ) .4096409641·4·322 º1806

º3306

º906

º24066

−====−− ii


6

9. Encuentra las fórmulas trigonométricas del ángulo doble, sen 2β y cos 2β, a partir de la siguiente potencia (cos β + i sen β)2.

Desarrollamos el cuadrado de una suma: (cos β + i sen β)2 = (cos2 β – sen2 β) + i · 2 sen β · cos β.

Utilizamos la fórmula de Moivre: (cos β + i sen β)2 = cos 2 β + i sen 2β.

Igualando ambas expresiones, obtenemos:

(cos2 β – sen2 β) + i · 2 sen β · cos β = cos 2 β + i sen 2β

=−=

⇒ββββββ

cos··22cos2cos 22

sensensen


10. Comprueba que los números complejos iyi 312,31 −−+ son las tres raíces cúbicas del número – 8.

Elevamos al cubo cada uno de los números complejos del enunciado y obtenemos:

( ) 8313

−=+ i (- 2)3 = - 8 ( ) 8313

−=− i

11. Halla y representa gráficamente las raíces que se indican:

a) 3 8i b) 4 81i− c) 5º300243 d) 6

º1801

a) Las raíces son

.2232;32 º270º150º30 −=+−=+= yii


7

b) Las raíces son .33;3;3 º5,337º5,247º5,157º5,67 y

c) Las raíces son .33;3;3;3 º348º276º204º132º60 y

d) Las raíces son .11;1;1;1;1 º330º270º210º150º90º30 y


8

12. Si una de las raíces de 4 z es – i, determina las demás raíces en forma binómica.

Si iz −=4 , entonces z = (- i)4 = (1270º)4 = 10º.

Las raíces cuartas de 10º son 10º = 1, 190º = i, 1180º = - 1 y 1270º = - i.

Las soluciones anteriores pueden verse en el dibujo.


13. Expresa en forma polar y en forma binómica el resultado de las siguientes operaciones:

a) ( ) ( )3º45

2º30º15 3·2·1 b)

º60

º120º90

62·3 c) ( )

6

3434

ii−− d) 3

11

ii

+−

a) ( ) ( ) iseni 54354)º210º210(cos·10810827·4·13·2·1 º210º135º60º153

º452

º30º15 −−=+===

b) iseni21

23º150º150cos1

66

62·3

º150º60

º210

º60

º120º90 +−=+===

c) ( ) ( )( ) º90

º180

º2706

º90

3º210

6

3

5125121

5121

51218434

==−

−===

−− iii

i

d)

−==

−−==

−==

⇒===−=+−

+

ikSi

ikSi

ikSi

ykconiii

k

21

231;2

21

231;1

1,0

21,01111

º330

º210

º90

3·º360º270

3º270

33


9

14. Resuelve la incógnita z en estas ecuaciones:

a) (2 – 4i) · z = - 1 + 3i b) iiiz

iz 42

12

1−=

−−

−+

c) z3 + 4z2 + 9z + 36 = 0 d) z4 + 1 = 0

a) Despejamos z y obtenemos:

ii

ii

ii

z101

107

20214

4242

·4231

+−=+−

=++

−+−

=

b) Quitamos denominadores, operamos y despejamos z:

⇒−=−−⇒−=+++−−⇒−=−−

−+

iziiiiziziiiiz

iz 95)31(84)1()22()1(42

12

1

ii

ii

ii

z5

125

1110

24223131

·31

95+=

+=

+−+−

−−−

=⇒

c) Factorizamos el polinomio y obtenemos:

−==−=

⇒

=+

=+⇒=++

iziz

z

zz

zz3

34

0904

0)9(·)4(

3

2

1

22

d) Despejando la incógnita z, obtenemos: 44 101 −=⇔=+ zz .

Utilizando la radicación de complejos en forma polar, calculamos las raíces que serán las soluciones de la ecuación:

−==

−−==

+−==

+==

====−= +

ikSi

ikSi

ikSi

ikSi

ykconz k

22

221,3

22

221,2

22

221;1

22

221,0

32,1,0111

º315

º225

º135

º45

4·º360º180

4º180

4


10


1. Relaciones entre semejantes. Los hexágonos del dibujo son regulares. ¿Qué tanto por ciento del área del grande supone la del pequeño?

Vamos a calcular la razón de semejanza entre estos dos polígonos semejantes como el cociente entre el lado del hexágono regular y su diagonal pequeña (observa que el lado del hexágono grande es diagonal pequeña del pequeño).

En el hexágono regular de la figura de centro O sea L la longitud de su lado.

El triángulo AOF es equilátero y AT es su altura, por lo que

23

2

22 LLLAT =

−=

Y la diagonal AE es el doble, o sea, 3L .

A partir de lo anterior, la razón de semejanza entre el hexágono pequeño y el grande es 3

13=

LL , por lo

que la razón entre sus áreas es 31

31 2

=

.

Es decir, el área del hexágono pequeño es la tercera parte de la del grande.


11

2. Vendimiadores. Una cuadrilla de vendimiadores tenía que vendimiar dos fincas, una de doble superficie que la otra. Toda la cuadrilla estuvo vendimiando en la finca grande durante medio día. Por la tarde, la mitad de la cuadrilla vendimió en la finca pequeña y la otra mitad en la grande. Al finalizar el día solo les quedó un poco que vendimiar en la finca pequeña, para lo cual fue necesario que vendimiara un solo vendimiador el día siguiente. ¿Cuántas personas componían la cuadrilla?

Podemos resolver el problema mediante ecuaciones, pero es un camino muy complicado. Intentaremos representar la situación:

Las condiciones del problema nos muestran que si toda la cuadrilla trabajó durante la mitad del día en la finca grande y sólo la mitad de la cuadrilla el otro medio día.

Entonces la mitad de la cuadrilla vendimió la tercera parte de la finca grande en medio día, es decir 3x .

Luego en la finca pequeña durante media día vendimiaron el equivalente a la finca grande, es decir,

62

3xx = luego quedó sin vendimiar 6

x de la finca pequeña que la vendimió un trabajador al día

siguiente.

Si un trabajador vendimia 6x en un día y se vendimiaron el campo grande 3

3x más el pequeño ( )663 xx −

todos los trabajadores en 1 día, entonces el primer día se hicieron:


12

==+=

−+

6·8

68

62

66

663

33 xxxxxxx

Es decir, en la cuadrilla había 8 vendimiadores.

3. Tinta de imprenta. Para numerar las páginas de un libro grande hacen falta 2 989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro?

Hacemos el siguiente diagrama:

Páginas

numeradas

1 - 9

10 - 99

100 - 999

1000 - 1025

Dígitos

usados

9

180

2700

100

Total dígitos 9 180 + 9 180 + 9 + 2700 = 2889 2889 + 100

En total hacen falta: 2889 + 100 = 2989 dígitos.

100 dígitos son 25 páginas, entonces hacen falta 999 + 25 = 1024 páginas.

El libro tiene 1024 páginas.


13

4. Cinta. Halla la longitud del menor aro circular en el que inscribir esta figura simétrica sabiendo que los cuadrados que la forman tienen 1 m de lado.

Sea el punto P el centro del aro circular y sea r su radio. Como la figura es simétrica (con eje de simetría la recta OD), el centro P debe estar en el eje de simetría.

Supongamos que la circunferencia pasa por los puntos A y B.

Entonces r = PA = PB.

En el triángulo rectángulo PDB se verifica (teorema de Pitágoras):

( )22

2 221 OPr −+

=

Y en el triángulo OAP se verifica (teorema de Pitágoras): 22 1 OPr +=

Igualando las expresiones anteriores, obtenemos:

1613

413·4·44

411 22 =⇒=⇒+−+=+ OPOPOPOPOP

Sustituyendo el valor de OP en cualquiera de las igualdades anteriores y operando:

16175

16425

16425

16131 2

22

2 =⇒=⇒=⇒

+= rrrr

Por tanto la longitud del aro buscado es: L = .096,816

17102 mr == ππ

También puede encontrarse el valor del radio haciendo uso de la geometría analítica. Tomamos la recta AA1 como eje de abscisas, el punto O como origen de coordenadas y la recta OD como eje de ordenadas.

Podemos determinar la ordenada m del punto P y el radio r de la circunferencia de ecuación x2 + (y – m)2 = r2, utilizando el hecho de que pasa por los puntos A (1, 0) y B (1/2, 2).


14


1. Dados los complejos z1 = 2 - 4i y z2 = - 1 – 2i, realiza las operaciones:

a) z1 + z2 b) z1 - z2 c) z1 · z2 d) z1 : z2 e) (z1)3 f) (z2)4

En el menú Vista elegimos Cálculo Simbólico (CAS). Introducimos y fijamos los complejos z1 = 2 + 4i y z2 = 1 – i y para cada operación pulsamos el icono Cálculo simbólico.

Obtenemos las soluciones, que pueden verse en la imagen:

a) 1 - 6i b) 3 – 2i c) – 10

d) i58

56+ e) – 88 + 16 i f) – 7- 24 i

2. Resuelve:

a) x6 – 28x3 + 27 = 0 b)

−=++−−=−

iyixiiyx

27)2(2

a) La ecuación la resolvemos introduciéndola en el comando ResoluciónC(<Ecuación>) y pulsando el icono Cálculo simbólico.

Las soluciones son los números complejos:

ixyixixixxx23

21

233

23,

23

21,

233

23,3,1 654321 +−=+−=−−=−−===


15

b) El sistema lo resolvemos con el comando ResoluciónC(<Lista de ecuaciones>, <Lista de variables>). Las ecuaciones y las variables de las listas deben ir separadas por comas, y ambas listas deben ser escritas entre llaves. Después de escribir el sist6ema y las variables para encontrar la solución pulsamos el icono Cálculo simbólico.

La solución es: x = 1 – 3i; y = 3 - 2i.

ACTIVIDADES FINALES de la página 149

1. Calcula las siguientes sumas y diferencias:

a) (- 3 + 2i) + (4 - 3i) c) (- 2 +3 i) – (3 - 4i) e) 3i – (- 6 + 2i)

b) (1 + 5i) + (2 – 2i) d) (3 - 7i) – (- 2 + 2i) f) 5 + (- 2 + i)

Las soluciones de las operaciones son:

a) (- 3 + 2i) + (4 - 3i) = 1 - i c) (- 2 +3 i) – (3 - 4i) = - 5 + 7i e) 3i – (- 6 + 2i) = 6 + i

b) (1 + 5i) + (2 – 2i) = 3 + 3i d) (3 - 7i) – (- 2 + 2i) = 5 – 9i f) 5 + (- 2 + i) = 3 + i

2. Halla la solución de estos productos y cocientes:

a) (3 + 2i) · (- 2 + 4i)


16

b) ii

4352

−+

c) (2 + i) · (- 2 - i)

d) ii

3131

+−

e) (1 – 3i) · (1 + 3i)

f) ii

+−+−

351


a) (3 + 2i) · (- 2 + 4i) = - 14 + 8i

b) iii

2523

2514

4352

+−=−+

c) (2 + i) · (- 2 - i) = – 3 – 4i

d) iii

53

54

3131

−−=+−

e) (1 – 3i) · (1 + 3i) = 10

f) iii

57

54

351

−=+−+−


17

3. Copia en tu cuaderno y completa la tabla:

COMPLEJO OPUESTO CONJUGADO INVERSO

5 + i ● ● ●

● 1 - i ● ●

● ● 2 – 2i ●

● ● ● i

103

101

+

La tabla completa:

COMPLEJO OPUESTO CONJUGADO INVERSO

5 + i

- 5 – i

5 – i i

261

265

−

- 1 + i

1 – i

- 1 – i i

21

21−−

2 + 2i

- 2 – 2i

2 – 2i i

41

41−

1 – 3i

- 1 + 3i

1 + 3i i

103

101

+

4. Estudia razonadamente la verdad o falsedad de los siguientes enunciados:

a) La suma de dos números complejos conjugados es un número complejo imaginario puro.

b) El producto de dos números complejos conjugados es un número real.

c) El cociente de dividir un número complejo por su conjugado es un número real.

d) El producto de dos números complejos coincide con el producto de sus opuestos.

e) Para un número complejo cualquiera el opuesto de su conjugado coincide con el conjugado de su opuesto.


18

a) Es falso, ya que la suma de dos números complejos conjugados es un número real.

Si z1 = a + bi y z2 = a – bi son dos complejos conjugados, su suma es: z1 + z2 = (a + bi) + (a – bi) = 2a.

b) Es verdadero. Si z1 = a + bi y z2 = a – bi son dos complejos conjugados, su producto es:

z1 · z2 = (a + bi) · (a – bi) = a2 + b2.

c) Es falso, ya que dicho cociente es, en general, un número complejo.

d) Es verdadero. Si z1 = a + bi y z2 = c + di son dos complejos cualesquiera, su producto y el producto de sus opuestos son:

z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

(- z1) · (- z2) = (- a - bi) · (- c - di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

e) Es verdadero.

Si z1 = a + bi , el conjugado de z1 es biaz −=1 y el opuesto del conjugado es .1 biaz +−=−

Si z1 = a + bi , el opuesto de z1 es – z1 = - a - bi y el conjugado del opuesto es .1 biaz +−=−

5. Sabiendo que u = 3 - 4i, v = - 3i, w = 1 - i, calcula:

a) u2 b) w3 c) (u – v)2 d) 2

3)(w

vu +


a) u2 = - 7 – 24i c) (u – v)2 = 8 – 6i

b) w3 = - 2 – 2i d) iw

vu 20777)(2

3

−−=+


19

6. Determina el valor de las expresiones:

a) i + i2 + i3 +…+ i20 d) )1(·

·)23(7243

17

iiii

−+

b) 275481

298

iii−

e) 40321 ... −−−− +++ iiii

c) 1 + i + i2 + i3 +…+ i2000 f) 12012

2

·)1()23(·)2(

iiii

++−

El valor de las expresiones es:

a) i + i2 + i3 +…+ i20 = 0 d) iiiii

21

25

)1(··)23(

7243

17

+−=−

+

b) iii

i21

275481

298

=−

e) 40321 ... −−−− +++ iiii = 0

c) 1 + i + i2 + i3 +…+ i2000 = 1 f) iii

ii2

1911·)1(

)23(·)2(12012

2

+=+

+−

7. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) Halla b con la condición de que (2 + bi)2 sea un número real.

b) Determina b para que (3 + 2i) · (- 5 + bi) tenga su afijo en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

c) Halla los valores de a y b en los complejos a + 3i y 2 – bi para que su producto sea 23 – 14i.

d) Determina el número real a para que el cociente iaai

++

324 sea un número imaginario puro.


20

Las respuestas a las cuestiones son:

a) Operamos (2 + bi)2 = (4 - b2) + 4bi. Como tiene que ser real se cumplirá:4b = 0, entonces b = 0.

b) Operamos (3 + 2i) · (- 5 + bi) = (- 15 – 2b) + (3b - 10)i. Como el afijo tiene que estar en la bisectriz del primero y tercer cuadrante se cumplirá:

- 15 – 2b = 3b – 10 ⇒ b = - 1

c) Operamos y obtenemos:

(a + 3i) · (2 – bi) = 23 – 14i

==

==⇒

==+

⇒

−=−=+

⇒

38,

215

5,4

202332

1462332

22

11

ba

ba

abba

abba

Hay dos soluciones, los complejos .382

38

2155254 iconiyiconi −+−+ .

d) Operamos iaa

aa

iaiaiaia

iaai

1946

1914

)3()3()3()24(

324

2

2

2 +−

++

=−+−+

=+

+ . Como tiene que ser un número

imaginario puro se cumplirá:

019

142 =+aa , entonces a = 0.


8. Completa la tabla expresando los complejos en las formas indicadas:

AFIJO FORMA BINÓMICA

FORMA POLAR

FORMA TRIGONOMÉTRICA

(2, 2) ● ● ●

● 1 - i ● ●

● ● º304 ●

● ● ● 2 · (cos 225º + i sen 225)

La tabla queda del siguiente modo:


21

AFIJO

FORMA

BINÓMICA

FORMA POLAR

FORMA TRIGONOMÉTRICA

(2, 2) 2 + 2i ( ) º4522 )º45º45(cos22 seni+

(1, - 1) 1 – i º3152 )º315º315(cos2 seni+

( )2,32 i232 + 430º 4 (cos 30º + i sen 30º)

( )2,2 −− i22 −− 2225º 2 (cos 225º + i sen 225º)

9. Representa en el plano complejo los siguientes números complejos:

3 + 2i, 5 – 7i, 8i, 3, - 2 + 3i, 5 – 5i, 230º, 190º, 445º, 1180º, 2225º, 1270º

Las representaciones gráficas pueden verse a continuación:


22


23

10. Efectúa las siguientes operaciones, expresando los resultados en forma binómica:

a) 225º · 320º e) ( )2225º4

b) 1676º : 446º f) [6(cos 130º + i sen 130º) ] · [3 (cos 80º + i sen 80º)]

c) 1293º : 333º g) [4 (cos 20º + i sen 20º)]3

d) ( )330º1 h) )º30º30(cos2

)º330º330(cos4seniseni

++

Las soluciones son:

a) 225º · 320º = iiseni 232322

22·6)º45º45(cos·66 º45 +=

+=+=

b) 1676º : 446º = iiseni 23221

23·4)º30º30(cos·44 º30 +=

+=+=

c) 1293º : 333º = iiseni 32223

21·4)º60º60(cos·44 º60 +=

+=+=

d) ( )330º1 = ( ) iiseni =+=+= 0·1)º90º90(cos·11 º90

e) ( )2225º4 = ( ) iiseni 160·16)º90º90(cos·1616 º90 =+=+=

f) [6(cos 130º + i sen 130º) ] · [3 (cos 80º + i sen 80º)] = =+ )º210º210(cos·18 seni

ii 93921

23·18 −−=

−−=


24

g) [4 (cos 20º + i sen 20º)]3 = iiseni 3323223

21·64)º60º60(cos·43 +=

+=+

h) )º30º30(cos2

)º330º330(cos4seniseni

++ = iiseni 31

23

21·2)º300º300(cos·2 −=

−=+

11. Expresa el resultado de las siguientes operaciones en forma polar:

a) ( ) ( )57 22·1 ii +−−− c) ( ) iii 2:58 + e) ( )6

3434

ii−−

b) 20

21

23

− i d)

6

3344

+−

ii f)

−− ii

23

233·73

Expresando los complejos a forma polar y operando, obtenemos:

a) ( ) ( ) ( ) ( ) º9011

º225011

º135·5º225·7

5

º135

7º225

57 2048228·222·1 ====+−−− +ii

b) ( ) º120º6600º330·2020

º330

20

111121

23

====

− i

c) ( ) iii 2:58 + = º315º90

º4558

122

21

2==

+=

+ii

iii

d) ( ) º1806

º270·66

º270

6

º30

º300

6

40964428

3344

===

=

+−

ii

e) ( ) ( )( ) º90

º180º270º180

º2706

º90

3º210

6

3

5121

5121

51218434

=

===

−−

−ii


25

f) º240º600º330º27073 333·1

23

233· ===

−− ii

12. Expresa en forma binómica el resultado de las siguientes operaciones:

a) ( ) ( )3º60

2º45º30 3·2·1 b)

º60

º120º90

63·2 c) ( )

º300º270

3º30

4·12

a) ( ) ( ) iseni 35454)º300º300(cos·10810827·4·13·2·1 º300º180º90º303

º602

º45º30 −=+===

b) iseni21

23º150º150cos1

66

63·2

º150º60

º210

º60

º120º90 +−=+===

c) ( )iseni 31)º240º240(cos·22

48

4·12

º240º210

º90

º300º270

3º30 −−=+===

13. Calcula estas raíces:

a) 3 i c) 3 27− e) 3 1 i− g) 4 1 i+ i) 6 i

b) i2

3929+ d) 5

32i

− f) 311

ii

+− h) 4

21

23 i+− j) 3

55

2iii −−

En el cálculo de las raíces obtenemos:

a) 21;0;111 ·º120º303

·º360º903

º903 ykconi kk ==== ++

. Las raíces son: 130º; 1150º y 1270º.

b) kki ·º180º302

·º360º60º60 3392

3929

++ ===+ ; con k = 0 y 1. Las raíces son 330º y 3210º.

c) kk ·º120º60

3·º360º180

3º180

3 332727 ++ ===− ; con k = 0; 1 y 2. Las raíces son 360º; 3180º y 3300º


26

d) .43;2;1;0;22323232·º72º18

5·º360º90

5º90

55 ykconii kk =====

−++

Las raíces son: 218º; 290º; 2162º; 2234º y 3306º

e) 21;0;2221 ·º120º1056

3·º360º31563

º3153 ykconi kk ====− +

+

Las raíces son: .22;2 º3456

º2256

º1056 y

f) 21;0;11111

·º120º903

·º360º2703

º2703

3 ykconiii

kk ====−=+−

++

Las raíces son: 190º; 1210º y 1330º

g) 32;1;0;2221 ·º90´15º118

4·º360º4584

º454 ykconi kk ====+ ++ .

Las raíces son: ´.15º2818

´15º1918

´15º1018

´15º118 22;2;2 y

h) 32;1;0;1121

23

4·º360º150

4º150

4 yconki k ===+− +.

Las raíces son: 137,5º; 1127,5º; 1217,5º; y 1307,5º

i) .54;3;2;1;0;111 ·º60º156

·º360º906


Las raíces son: 115º; 175º; 1135º; 1195º; 1255º y 1315º


27

j) 21;0;11112 ·º120

3·º360º0

3º0

33

55

ykconiii

kk =====−

+

−

.

Las raíces son: 10º; 1120º y 1240º.

14. Obtén y representa gráficamente las soluciones de las siguientes raíces:

a) 6 1 b) 3 1− c) 4 16 i d) 5 32− e) 3 27 i−

El cálculo de las raíces se describe a continuación y la representación gráfica puede verse en los dibujos.

a) .54;3;2;1;0;1111 ·º606

·º360º06

º06 ykconkk ==== +

Las soluciones son: 10º; 160º; 1120º; 1180º; 1240º y 1300º

Gráficamente obtenemos los vértices de un hexágono regular centrado en el origen de coordenadas.


28

b) 21;0;1111 ·º120º603

·º360º1803

º1803 ykconkk ====− ++

.

Las soluciones son: 160º; 1180º y 1300º.

Gráficamente obtenemos los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas.

c) 32;1;0;221616 ·º90º´5,224

·º360º904


.

Las soluciones son: 222,5º; 2112,5º; 2202,5º y 2292,5º

Gráficamente obtenemos los vértices de un cuadrado centrado en el origen de coordenadas.

d) 43;2;1;0;223232 ·º90º´5,225

·º360º1805

º1805 ykconkk ====− ++

.

Las soluciones son: 236º; 2108º; 2180º; 2252º y 2324º

Gráficamente obtenemos los vértices de un pentágono regular centrado en el origen de coordenadas.

e) 21;0;132727 ·º120º903

·º360º2703

º2703 ykconi kk ====− ++

.


29

Las soluciones son: 390º; 3210º y 3330º.

Gráficamente obtenemos los vértices de un triángulo equilátero centrado en el origen de coordenadas.

15. Halla los números complejos que corresponden a los vértices de estos triángulos equiláteros.

a) b)

a) El vértice que conocemos es el punto (- 3, 0), afijo del complejo z = - 3.

Este complejo es una de las raíces cúbicas de z3 = (- 3)3 = - 27.


30

Hallamos todas las otras raíces del complejo – 27.

Estas son:

−===

−===

+===

===⇒−= +

izkSi

zkSi

izkSí

zz k

233

233,2

33,12

33233,0

32727

º3003

º1802

º601

3·º360º180

3º180

3

Los otros vértices son los puntos

−

233

,23

233

,23 y .

b) El vértice que conocemos es el punto (0, - 3), afijo del complejo z = - 3i.

Este complejo es una de las raíces cúbicas de z3 = (- 3i)3 = 27i.

Hallamos todas las otras raíces del complejo – 27i.

Estas son:

−===

+−===

+===

===⇒= +

izkSi

izkSi

izkSí

ziz k

33,223

2333,1

23

2333,0

32727

º2703

º1502

º631

3·º360º90

3º90

3

Los otros vértices son los puntos

−

23,

233

23,

233 y .ACTIVIDADES FINALES de la página 151


31

16. Comprueba que los números complejos 2 + 3i y 2 – 3i son las soluciones de las ecuaciones:

a) z2 – 4z + 13 = 0 b) z3 – 3z2 + 9z + 13 = 0

Sustituyendo en la ecuación original cada una de las raíces, operamos y obtenemos:

a) (2 + 3i)2 – 8 · (2 + 3i) + 13 = (- 5 + 12i) – (8 + 12i) + 13 = (- 5 – 8 + 13) + (12 – 12)i = 0

(2 - 3i)2 – 8 · (2 - 3i) + 13 = (- 5 - 12i) – (8 - 12i) + 13 = (- 5 – 8 + 13) + (- 12 + 12)i = 0

b) (2 + 3i)3 – 3 · (2 + 3i)2 + 9 · (2 + 3i) + 13 = (- 46 + 9i) – (- 15 + 36 i) + (18 + 27i) + 13 =

= (- 46 + 15 + 18 + 13) + (9 – 36 + 27)i = 0

(2 - 3i)3 – 3 · (2 +-3i)2 + 9 · (2 - 3i) + 13 = (- 46 - 9i) – (- 15 - 36 i) + (18 - 27i) + 13 =

= (- 46 + 15 + 18 + 13) + (- 9 + 36 – 27)i = 0

17. Halla las ecuaciones de segundo grado, cuyas soluciones son los números:

a) i; – i c) 2 + 3i; 2 – 3i

b) 2 + 2i; 2 – 2i d) 245º; 2315º

Toda ecuación de segundo grado se puede construir del siguiente modo a partir de sus soluciones:

z2 – S · z + P = 0

siendo S la suma de sus soluciones y P el producto.


32

a) 011)(·

0)( 22 =+⇒

=−=−=

=−+=z

iiiPiiS

b) 0848)22(·)22(4)22()22( 2 =+−⇒

=−+==−++=

zziiPiiS

c) 013413)32(·)32(4)32()32( 2 =+−⇒

=−+==−++=

zziiPiiS

d) 04224)22(·)22(

22)22()22(

222

222 2

º315

º45 =+−⇒

=−+=

=−++=⇒

−=

+=zz

iiP

iiS

i

i

18. Halla los números complejos z que verifican:

a) (3 + i) · z – i · (2 – i) = 1 c) )2(· iizi −=

b) (1 + iz) · (1 – i) = 2z – 1 d) izz 232 −=+

a) Operamos y despejamos z:

⇒=+⇒++=+⇒=−−+ iziiiziiizi 2·)3()2(·1·)3(1)2(··)3(

ii

ii

iiz

53

51

1062

33

·3

2+=

+=

−−

+=⇒


33

b) Operamos y despejamos z:

⇒−=−⇒⇒−=−+−⇒−=−+ izizziiizizi 2·)1(...12·)1(·)1(12)1(·)1(

iiii

iiz

21

23

23

11·

12

+=+

=++

−−

=⇒

c) Operamos, hallamos el conjugado de los dos miembros de la igualdad y despejamos z:

iii

ii

ziiziziiizi −−=−−−

=⇒−=⇒+=⇒−= 2·21

2121)2(·

d) No se pueden operar aritméticamente un complejo y su conjugado. Debemos tomar el complejo z como z = a + bi; operar y hallar las partes real e imaginaria del complejo.

−==

⇒

−==

⇔−=+⇔−=−++⇔−=+2

12

3323323)()22(232

ba

ba

ibiaibiabiaizz

Por tanto, el complejo buscado es z = 1 - 2i.

19. Indica todas las soluciones de las ecuaciones:

a) z2 + z + 1 = 0

b) z3 – 6z2 + 10 z – 8 = 0

c) z4 + 1 = 0

d) z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0

e) z6 – 64 = 0


34

f) z4 + 81 = 0

Las soluciones de las ecuaciones son:

a) z2 + z + 1 = 0

−−=

+−=⇒

±−=

−±−=⇒

iz

iziz

23

21

23

21

231

231

1

0

b) z3 – 6z2 + 10 z – 8 = 0 izyizzzzz −=+==⇒=+−−⇒ 11;40)22(·)4( 2102

c) z4 + 1 = 0 .32;1;01111 ·º90º454

·º360º1804

º1804 ykconz kk ====−=⇒ ++

Dando valores a k, obtenemos: z0 = 145º; z1 = 1135º; z2 = 1225º y z3 = 1315º.

d) z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 ⇒

º2402

º120224 1

23

21;1

23

21;10)1(·)1( ≡−−=≡+−=−=⇒=+++⇒ izizzzzz

Resolviendo las ecuaciones de segundo grado, obtenemos:

z0 =1180º; z1 = 160º; z2 = 1240º; z3 = 1120º y z4 = 1300º.


35

e) z6 – 64 = 0 .54;3;2;1;0226464 ·º606

·º360º06

º06 ykconz kk =====⇒ +

Dando valores a k, obtenemos: z0 = 20º; z1 = 260º; z2 = 2120º; z3 = 2240º y z5 = 2300º.

f) z4 + 81 = 0 .32;1;0338181 ·º90º454

·º360º1804

º1804 ykconz kk ====−=⇒ ++

Dando valores a k, obtenemos: z0 = 345º; z1 = 3135º; z2 = 3225º y z3 = 3315º.

20. Calcula el módulo y el argumento de todas las raíces de las ecuaciones:

a) z2 - z + 1 = 0

b) z2 - 12 z + 4 = 0

c) z2 + iz + 2 = 0

d) z6 – 28z3 + 27 = 0

e) z3 + 1 = 0

f) z3 – 64i = 0

Las soluciones de las ecuaciones son:

a) z2 - z + 1 = 0

=−=

=+=⇒

±=

−±=⇒

º3302

º601

123

21

123

21

231

2411

iz

iziz

b) z2 - 12 z + 4 = 0

=−=

=+=⇒±=

±=

−±=⇒

º3302

º301

23

233

2232

2161212

iz

iziiz


36

c) z2 + iz + 2 = 0

=−===

⇒±−

=−±−

=−±−

=⇒º2702

º9012

221

23

29

28

iziziiiii

z

d) z6 – 28z3 + 27 = 0

=

==

±=

−±=⇒

127

22628

210878428

32

313

zz

z

Para cada una de las soluciones anteriores:

● º2402º1201º00·º1203

º033 33;33272727 ===⇒===⇒= zyzzzz k

● º2402º1201º00·º1203

º033 11;11111 ===⇒===⇒= zyzzzz k

e) z3 + 1 = 0 º3002º1801º600·º120º603

·º360º1803

º1803 11;11311 ===⇒===−⇒ ++ zyzzkk

f) z3 – 64i = 0 ⇒

º2702º1501º300·º120º303

·º360º903

º903 44;4446464 ===⇒===⇒ ++ zyzzi kk


37

21. Determina dos números complejos tales que su producto sea – 8 y uno de ellos sea el cuadrado del otro.

Sean z y z´ los complejos buscados. Se cumple:

=

−=2´

8´·zz

zz

Sustituimos z´ en la primera ecuación, operamos y resolvemos la ecuación resultante:

⇒−=⇒−=⇒−= 332 888· zzzz

−===

−===+===

===⇒ +

izkSi

zkSiizkSí

z k

312,2

22,1312,0

28

º3003

º1802

º601

3·º360º180

3º180

Obtenemos 3 soluciones:

izyiz 322´31 ´11 +−=+= 4´2 22 =−= zyz izyiz 322´31 33 −−=−=

22. Encuentra las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

−=−−−=+iuz

iuz38

2

b)

+=+−=+

iuiziuzi

45452

c)

−=+−+=+

iuziiuiz

422)1(3

d)

+−=++−−=−

iuiziiuzi

131)21(2452

Utilizando los métodos tradicionales: reducción, sustitución, etc. se obtienen las soluciones que siguen:

a) z = 3 – 2i; u = - 5 + i


38

b) z = 2 + i; u = 3 - 3i

c) z = 1 +`i; u = - 2i

d) z = 2 – i; u = 3 + 3i

23. Resuelve las siguientes cuestiones:

a) La suma de dos números complejos es 5 – 3i. El cociente de ambos es imaginario puro y la parte real del numerador es 4. Halla estos dos números.

b) Determina los números complejos cuyo inverso sea igual a su opuesto.

c) ¿Qué números complejos, no nulos, elevados al cuadrado son iguales a su conjugado?

Las soluciones de las cuestiones son:

a)

−====

==−=

=

⇒

==+−=+

=+

⇒

=−+

−=+++

4114

11

44

4043

5

4

35)()(

dcba

o

dcba

acbd

dbca

a

puroimaginariodicbia

iidciba

Los números complejos son: 4 – 4i y 1 + i o bien 4 + i y 1 – 4i.

b) Sea z el número complejo buscado. Se cumple: zz

−=1 . De aquí obtenemos que z2 = - 1; z = ± i.

c) Sea z = a + b i ≠ 0. Se cumple: zz =2 .

De aquí obtenemos: ( )

−==−

⇒−=+bab

ababiabia

2

222

Resolviendo el sistema anterior obtenemos los números complejos:


39

z1=1; z2= i23

21+− ; z3= i

23

21−−

24. El número 5i es la raíz cúbica de un número complejo; calcula las otras raíces y el número complejo.

Queda: iziziz 1251255 33 −=⇒=⇒=

Las otras raíces son:

⇒==− + ki º120º903

º2703 5125125

iziziz25

2355:

25

2355;55 º3302º2101º900 −==−

−====⇒

25. Dado el complejo iz23

21−−= , calcula:

a) S = 1 + z + z2 + z3 + … + z99 + z100

b) P = 1 · z · z2 · z3 · … · z99 · z100

Calculamos algunas de las primeras potencia del complejo º2401

23

21

=−−= iz .

z0 = 10º z3 = (1240º)3 = 10º z6 = (1240º)6 = 10º … z96 = (1240º)96 = 10 z99 = (1240º)99 = 10º

z1 = 1240º z4 = (1240º)4 = 1240º z7 = (1240º)7 = 1240º … z97 = (1240º)97 = 1240º z100 = (1240º)100 = 1240º

z2 = (1240º)2 = 1120º z5 = (1240º)5 = 1120º z8 = (1240º)8 = 1120º … z97 = (1240º)97 = 1120º

a) Expresamos las potencias sucesivas en forma binómica.

iz 011 º00 +== iz

23

211 º240

1 −−== iz23

211 º120

2 +−==


40

Si sumamos dichas potencias de 3 en 3 se obtiene una suma nula:

023

21

23

211210 =

+−+

−−+=++ iizzz

Por tanto, el valor de la suma S es:

S = (1 + z + z2) + (z3 + z4 + z5) + z6 + … + (z96 + z97 + z98) + z99 + z100 = 0 + 0 + … + 0 + z99 + z100 =

ii23

21

23

211 −=

−−+=

b) Si multiplicamos dichas potencias de 3 en 3 se obtiene como resultado la unidad:

11111·1·1·· º0º360º120º240º0º120º240º0210 ===== ++zzz

El valor del producto P es:

P = (1 · z · z2) · (z3 · z4 · z5) · z6 · … · (z96 · z97 · z98) · z99 · z100 = 1 · 1 · 1 · … · 1 · z99 · z100 =

i23

2111·1 º240º240º0 −−===


41


26. Interpreta geométricamente la igualdad i · i · i · i = 1.

Partimos del número complejo i, cuyo afijo es el punto (0, 1).

Si lo multiplicamos por i, obtenemos i · i = - 1, cuyo afijo es el punto (- 1, 0).

Cuando multiplicamos un número complejo cualquiera por i obtenemos un complejo girado 90º del anterior, con centro de giro el origen de coordenadas. Esto va a ocurrir en todos los productos por el complejo i.

Si multiplicamos, de nuevo, por i, obtenemos:

i · i · i = (- 1) · i = - i

cuyo afijo es el punto (0, -1).

Si realizamos el último producto por i, obtenemos:

i · i · i · i = - i · i = 1

cuyo afijo es el punto (1, 0).

Observamos que partiendo del punto (0, 1) vamos obteniendo los puntos (- 1, 0), (0, -1) y (1, 0); todos ellos situados sobre los ejes coordenados y en la circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio una unidad.

27. Calcula y representa las ocho primeras potencias de los complejos:

a) z = 1 + i b) iu43

41+= c) iw

21

23+= .


42

Observa que los afijos se encuentran sobre curvas espirales o circunferencias.

a) Las potencias sucesivas son:

º45)2(1 =+= iz º9022 22)1( ==+= iiz º135

33 )22()1( =+= iz

º18044 4)1( =+= iz º225

55 )24()1( =+= iz º27066 8)1( =+= iz

º31577 )28()1( =+= iz º360

88 16)1( =+= iz

Los afijos se encuentran en una espiral que se aleja del origen de coordenadas.


43

b) Las primeras potencias del complejo iu43

41+= son:

º6021

43

41

=+= iu

º120

2

2

41

43

41

=

+= iu

º180

3

3

81

43

41

=

+= iu

º240

4

4

161

43

41

=

+= iu

º300

5

5

321

43

41

=

+= iu

º360

6

6

641

43

41

=

+= iu

º420

7

7

1281

43

41

=

+= iu

º480

68

8

2561

43

41

=

+= iu

Los afijos se encuentran en una espiral que se acerca del origen de coordenadas.


44

c) Las primeras potencias del complejo iw21

23+= son:

º30121

23

=+= iw º60

2

2 121

23

=

+= iw

º90

3

3 121

23

=

+= iw

º120

4

4 121

23

=

+= iw

º150

5

5 121

23

=

+= iw

º180

6

6 121

23

=

+= iw

º210

7

7 121

23

=

+= iw

º240

8

8 121

23

=

+= iw

Los afijos se encuentran sobre una circunferencia de centro el origen de coordenadas y radio 1.


45

28. Halla las coordenadas cartesianas de los vértices de los pentágonos que aparecen dibujados, cuyo centro es el origen de coordenadas, conociendo uno de sus vértices.

a) b)

a) Los vértices del primer pentágono regular son:

º306º234º162º90º18 2;2;2;2;2

Las coordenadas cartesianas de los vértices son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).62,1;18,1;62,1;18,1;62,0;90,1;2,0;62,0;90,1 −−−−


46

b) Los vértices del segundo pentágono regular son:

º324º252º180º108º36 2;2;2;2;2

Las coordenadas cartesianas de los vértices son:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ).18,1;62,1;90,1;62,0;0,2;90,1;62,0;18,1;62,1 −−−−−

29. Determina las coordenadas de los vértices de un cuadrado, con centro el origen, sabiendo que uno de sus vértices es el afijo del número complejo º902 .

Los vértices del cuadrado son: .2;2;2;2 º0º270º180º90

Las coordenadas de los vértices son: ( ) ( ) ( ) ( ).0,2;2,0;0,2;2,0 −−

30. ¿Qué ocurre con el afijo de un complejo cuando este se multiplica por i? ¿Y cuando se divide por i?

La solución queda:

● Se obtiene el número complejo girado 90º, es decir, si el número complejo tiene como afijo (a, b) obtenemos, al multiplicar por i, el número complejo de afijo (- b, a).

● Al dividir por el número complejo i, se obtiene el mismo número complejo girado 270º.

aibi

iba−=

+ . Su afijo es (b, a).

31. Un cuadrado de centro O tiene un vértice en (3, 4). Halla las coordenadas de los demás vértices.

Los vértices del cuadrado son: (3, 4); (- 4, 3); (- 3, - 4) y (4, - 3).


47

32. Dado un complejo cualquier, distinto del complejo cero, ¿cuál es el módulo de su inverso? ¿Y el argumento de su inverso? ¿Dónde se sitúa el afijo del inverso del complejo dado?

Quedaría del siguiente modo:

Sea el complejo z = a + b i.

−=

=+⇒

+−

+=

+=

)arg(arg

1111 22

2222

zdeumentodelopuestoelesabtgumentoSu

zbaesmóduloSu

iba

bba

aibaz

α

Gráficamente el inverso de z se obtiene por una homotecia de razón z

k 1= y ángulo (- arg z).

33. Calcula las coordenadas de los vértices, el perímetro y el área del triángulo cuyos vértices son los afijos de 3 64− .

Los vértices de la figura se obtienen de la siguiente expresión:

º300º180º60º120º60

3º360º180

3º180

3 4;4;4446464 ⇒===− ++ KK

Calculamos el lado L mediante el teorema del coseno:

L2 = 42 `+ 42 – 2 · 4 · 4 · cos 120º ⇒ L = 6,93 u.

El perímetro mide 3 · L = 20,78 u.

El área es 2

43

22

3··L

LLA == =20,78 u2.

34. Halla el cuadrilátero cuyos vértices son los afijos de las raíces de la ecuación z4 + 4 = 0.


48

La solución queda:

z4 + 4 = 0 KKz º90º454

º360º1804º180

4 2244 ++ ===−=⇒

Los vértices son: i+= 12 º45 ; i+−= 12 º135 ; i−−= 12 º225 ; i−= 12 º315

35. Determina dos complejos conjugados tales que el triángulo que forman sus afijos con el origen sea equilátero y su área valga 2 3 .

Sean los complejo (a + b i) y (a – b i). El triángulo que se forma es el de la figura.

Para que sea equilátero se debe cumplir que bba 222 =+ .

Para que su área sea 32 se debe cumplir 322·2

=ab .

Resolviendo el sistema obtenemos:

±=

±=⇒

=

=⇒

=

=+

2

6

32

3

32

2 2222

b

a

ab

ba

ab

bba

Los complejos son: ( ) ( ) ( ) ( )iyioiyi 26262626 +−−−−+ .

36. Calcula el perímetro y el área de estos polígonos regulares cuyos vértices corresponden a afijos de números complejos.

a) b) c)


49

a) Calculamos el lado L del pentágono mediante el teorema del coseno:

L2 = 22 `+ 22 – 2 · 2 · 2 · cos 72º ⇒ L = 2,35 u.


Calculamos la apotema:

.62,1º36cos·22

º36cos uapap==⇒=

El área es 253,92

62,1·76,11 uA ==

b) Calculamos el lado L del hexágono mediante el teorema del coseno:

L2 = 22 `+ 22 – 2 · 2 · 2 · cos 60º ⇒ L = 2 u.

El perímetro mide 6 · L = 12 u.


.73,1º30cos·22

º30cos uapap==⇒=


50

El área es 238,102

73,1·12 uA ==

c) Calculamos el lado L del octógono mediante el teorema del coseno:

L2 = 22 `+ 22 – 2 · 2 · 2 · cos 45º ⇒ L = 1,53 u.



.85,1º5,22cos·22

º5,22cos uapap==⇒=

El área es 232,112

85,1·24,12 uA ==

PROYECTO DE INVESTIGACIÓN de la página 153

Factorización de polinomios

a) Calcula las soluciones de la ecuación z7 = 1, siendo z un número complejo, dándolas en forma polar.

b) Comprueba que 17

2cos22 +

−πzz es un factor del polinomio z7 – 1. Determina los otros dos

factores cuadráticos con coeficientes reales.

c) Factoriza el polinomio P7 (z) = z7 – 1, de forma que todos sus factores tengan coeficientes reales. Dibuja en el plano complejo las raíces del polinomio anterior.

d) Investiga la factorización de los polinomios Pn (z) = zn – 1, siendo n un número natural, de forma que todos sus factores tengan coeficientes reales. Considera los casos en los que n sea impar y los que n sea par.

e) Investiga la factorización de los polinomios Qn (z) = zn + 1, siendo n un número natural, de forma que todos sus factores tengan coeficientes reales. Como en la situación anterior ten en cuenta la paridad.

f) Dibuja en el plano complejo las raíces de los polinomios Pn (z) y Qn (z).


51

a) Las soluciones de la ecuación z7 = 1 son:

65,4,3,2,1,0111720

70

7 ykconzzz k ==⇒=⇒= + π

Las siete soluciones son: 7

1267

1057

847

637

427

2100 1,1,1,1,1,1,1 ππππππ ======= zzzzzzz .

b) Hallamos las raíces del polinomio 17

2cos22 +

−πzz , es decir, las soluciones de la ecuación

017

2cos22 =+

−πzz .

Las soluciones son:

==

−

==

+

=

±

=

−

±

=

67

12

17

22

17

27

2cos

17

27

2cos

72

72cos

2

47

2cos47

2cos2

zseni

zseni

seniz

π

π

ππ

ππ

ππππ

Observamos que coinciden con las soluciones z1 y z6 de la ecuación z7 = 1.

Los otros factores cuadráticos con coeficientes reales son:

(z – z2) · (z – z5) = z2 – (z2 + z5) z + z2 · z5 = 17

4cos22 +

−πzz

(z – z3) · (z – z4) = z2 – (z3 + z3) z + z3 · z4 = 17

6cos22 +

−πzz

c) La factorización buscada es:

P7 (z) = z7 – 1 = (z – 1) ·

+

− 1

72cos22 πzz ·

+

− 1

74cos22 πzz ·

+

− 1

76cos22 πzz


52

Las siete raíces del polinomio P7 (z) = z7 – 1 están situadas sobre la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio unidad, y son los vértices de un heptágono regular.

Todo lo anterior puede verse en el dibujo.

d) Las factorizaciones de los polinomios Pn (z) = zn – 1 con n impar son:

P3 (z) = z3 – 1 = (z – 1) · (z2 + z + 1)

P5 (z) = z5 – 1 = (z – 1) ·

+

− 1

52cos22 πzz ·

+

− 1

54cos22 πzz

P7 (z) = z7 – 1 = (z – 1) ·

+

− 1

72cos22 πzz ·

+

− 1

74cos22 πzz ·

+

− 1

76cos22 πzz

…

Pn (z) = zn – 1 = (z – 1) ·

+

− 12cos22

nzz π · … ·

+

−

− 1)1(cos22

nnzz π

Las factorizaciones de los polinomios Pn (z) = zn – 1 con n par son:


53

P2 (z) = z2 – 1 = (z – 1) · (z + 1)

P4 (z) = z4 – 1 = (z – 1) · (z + 1) · (z2 + 1)

P6 (z) = z6 – 1 = (z – 1) · (z + 1) ·

+

− 1

3cos22 πzz ·

+

− 1

32cos22 πzz

P8 (z) = z8 – 1 = (z – 1) · (z + 1) ·

+

− 1

4cos22 πzz · (z2 + 1) ·

+

− 1

43cos22 πzz

Pn (z) = zn – 1 = (z – 1) · (z + 1) ·

+

− 12cos22

nzz π · … ·

+

−

− 1)2(cos22

nnzz π

e) Las factorizaciones de los polinomios Qn (z) = zn + 1 con n impar son:

Q3 (z) = z3 + 1 = (z + 1) · (z2 - z + 1)

Q5 (z) = z5 + 1 = (z + 1) ·

+

− 1

5cos22 πzz ·

+

− 1

53cos22 πzz

Q7 (z) = z7 + 1 = (z + 1) ·

+

− 1

7cos22 πzz ·

+

− 1

73cos22 πzz ·

+

− 1

75cos22 πzz

Qn (z) = zn + 1 = (z + 1)

+

− 1cos22

nzz π

+

− 1cos22

nzz π …

+

−

− 1)2(cos22

nnzz π

Las factorizaciones de los polinomios Qn (z) = zn + 1 con n par son:

Q2 (z) = z2 + 1

Q4 (z) = z4 + 1 =

+

− 1

4cos22 πzz ·

+

− 1

43cos22 πzz

Q6 (z) = z6 + 1 =

+

− 1

6cos22 πzz ·

+

− 1

63cos22 πzz ·

+

− 1

65cos22 πzz


54

Q8 (z) = z8 + 1 =

+

− 1

8cos22 πzz ·

+

− 1

83cos22 πzz ·

+

− 1

85cos22 πzz ·

·

+

− 1

87cos22 πzz

…

Qn (z) = zn + 1 =

+

− 1cos22

nzz π ·

+

− 13cos22

nzz π · … ·

+

−

− 1)1(cos22

nnzz π

f) Las raíces de los polinomios Pn (z) = zn – 1 y Qn = zn + 1 están situadas sobre la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio unidad, y son los vértices de polígonos regulares.

En los dibujos pueden verse las raíces de los polinomios P6 = z6 – 1 y Q6 = z6 + 1, respectivamente.

CUESTIONES INICIALES de la página 132 · Matemáticas I - UD 6: NÚMEROS COMPLEJOS SOLUCIONARIO 11...

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