Curs FDT 2014 (1)
-
Upload
brumusescu-ana-maria -
Category
Documents
-
view
242 -
download
7
Transcript of Curs FDT 2014 (1)
-
3
ef lucrri dr.ing. Ciprian CPN
ef lucrri drd. Ing. Mihai VDUVA
FENOMENE DE TRANSFER N INDUSTRIA
ALIMENTAR
SIBIU
2008
-
4
Copyrigt 2008. Toate drepturile aparin autorilor.
Multiplicarea mecanic, electronic sau de orice alt natur
fr permisiunea autorilor se pedepsete conform legilor n vigoare.
Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei
CPN, CIPRIAN
Fenomene de transfer n industria alimentar /
Cpn Ciprian, Vduva Mihai.- Sibiu:Editura
Universitii Lucian Blaga din Sibiu, 2008
Bibliogr.
ISBN 978-973-739-561-0
I. Vduva, Mihai
66.021.3/,4:664.022
-
5
CUPRINS
Capitolul 1 9
I N T R O D U C E R E 9
1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare 9
1.2.Obiectul disciplinei 10
1.3.Proces tehnologic 10
1.4.Clasificarea operatiilor tip 14
Capitolul 2
MARIMI, MASURARI, SISTEME DE MASURA 15
2.1.Marimi, masurarea, valori numerice 15
2.2. Unitati de masur 15
2.3. Sisteme de unitati de masura 17
2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI) 18
2.4.1.Definirea unitatilor de masura 19
2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI 20
2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI 21
Capitolul 3
SIMILITUDINE, ANALIZA DIMENSIONALA, MODELARE, BILANTURI 23
3.1.Similitudine 23
3.1.1. Introducere 23
3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine 25
3.2. Analiza dimensionala 26
3.2.1. Introducere 26
3.2.2. Teorema 7
3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine 28
3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din
ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul 28
3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale 30
3.4. Modelare 34
3.5. Bilanturi 36
3.5.1. Notiuni introductive 36
3.5.2. Bilantul de materiale 37
3.5.3. Bilantul energiilor 40
3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice 41
3.5.3.2. Bilantul energiilor termice 42
Capitolul 4
TRANSFER DE IMPULS 47
4.1. Introducere 47
4.2. Statica fluidelor 48
4.2.1. Presiunea statica 49
4.2.2. Ecuatii de echilibru 50
4.2.2.1. Echilibrul fluidelor ntr-un cmp oarecare de forte 50
4.2.2.2.Echilibrul fluidelor n cmp gravitational 51
4.2.3.Masurarea presiunilor n tehnica 52
4.2.3.1. Aparate cu lichid 53
4.2.3.2. Aparate cu element elastic 55
4.3. Dinamica fluidelor 57
4.3.1. Notiuni fundamentale 57
-
6
4.3.2. Vscozitatea 59
4.3.3. Elemente de reologie 61
4.3.3.1. Corpuri cu proprietati unitare si comportare ideala 62
4.3.3.2. Fluide vscoase nenewtoniene 63
4.3.3.3. Corpuri fluide cu proprietati multiple 65
4.3.4. Fenomenologia curgerii 66
4.3.5. Ecuatii fundamentale ale dinamicii fluidelor 69
4.3.5.1. Ecuatiile bilantului de materiale( Ecuatiile de continuitate) 70
4.3.5.2. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor ideale
(Ecuatiile diferentiale ale lui Euler) 72
4.3.5.3. Ecuatiile bilantului de forte la curgerea fluidelor reale
(Ecuatiile lui Navier-Stokes) 74
4.3.5.4. Bilantul energetic ( Ecuatia lui Bernoulli) 75
4.3.6. Criterii de similitudine n procesele hidraulice 77
4.3.7. Pierderea de presiune datorita frecarii la curgerea fluidelor reale 78
4.3.7.1. Pierderea de presiune la curgerea prin conducte
a fluidelor necompresibile ( lichide) 78
4.3.7.2. Pierderea de presiune la curgerea fluidelor compresibile (gaze) 82
4.3.7.3. Pierderi de presiune locale 82
4.3.7.4. Pierderea de presiune la curgerea prin straturi granulare si umpluturi 83
4.3.8. Msurarea debitelor la fluide 85
4.3.8.1. Msurarea debitelor cu diafragma 85
4.3.8.2. Masurarea debitelor cu tubul Venturi 87
4.3.8.3. Masurarea debitelor cu tubul Pitot 88
4.3.8.4. Rotametre 89
Capitolul 5
TRANSFER DE CLDUR 90
5.1. Introducere 90
5.1.1.Terminologie 90
5.2.Transferul cldurii prin conducie 93
5.2.1. Legea lui Fourier 94
5.2.2. Conductivitatea termic 95
5.2.2.1. Conductivitatea termic la gaze 95
5.2.2.2. Conductivitatea termic la lichide 96
5.2.2.3. Conductivitatea termic la solide 96
5.2.3. Ecuaia diferenial a lui Fourier pentru transferul cldurii prin conducie 97
5.2.4. Condiii de univocitate pentru conducia cldurii 100
5.2.5. Conducia cldurii n regim staionar 100
5.2.5.1. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cu fee plane,
paralele i infinite (perete simplu) 101
5.2.5.2. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cu fee plane,
paralele i infinite, format din mai multe straturi (perete compus) 104
5.2.5.3. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cilindric
infinit lung (perete simplu) 106
5.2.5.4. Transferul cldurii prin conducie printr-un perete cilindric,
infinit lung, format din mai multe straturi (perete compus) 109
5.2.6. Conducia cldurii n regim nestaionar 112
5.2.6.1. nclzirea unei plci n regim nestaionar 112
5.2.6.1.1. Rezolvarea analitic 112
5.2.6.1.2. Rezolvarea cu ajutorul diagramelor 114
5.2.6.1.3. Rezolvarea prin metode grafice 116
-
7
5.2.7. Conducia cldurii prin gaze i lichide 118
5.3. Transferul de cldur prin convecie 118
5.3.1. Noiuni generale 119
5.3.2. Ecuaia diferenial Fourier Kirchhoff pentru transferul cldurii prin convecie 120
5.3.3. Transferul cldurii prin conducie i convecie n regim staionar 123
5.3.3.1. Transferul cldurii printr-un perete cu fee plane paralele
de la un fluid cald 1 la un fluid rece 2 123
5.3.3.2. Transferul cldurii printr-un perete plan
format din mai multe straturi paralele de la un
fluid cald 1 la un fluid rece 2 125
5.3.3.3. Transferul cldurii printr-un perete cilindric de la un de la un
fluid cald 1 la un fluid rece 2 125
5.3.3.4. Transferul cldurii printr-un perete cilindric
format din mai multe straturi cilindrice coaxiale de la un
fluid cald 1 la un fluid rece 2 126
5.3.4. Coeficieni pariali de transmisie termic. 126
5.3.5. Similitudinea transferului cldurii prin conducie i convecie n regim staionar 127
5.3.6. Clasificarea proceselor de transfer termic prin convecie 133
5.3.7. Calculul coeficienilor pariali de transmisie termic la convecia
fr schimbarea strii de agregare a fluidului (convecia monofazic) 134
5.3.8. Calculul coeficienilor pariali de transmisie termic la convecia
cu schimbarea strii de agregare a fluidului (convecia bifazic) 139
5.3.8.1. Fierberea lichidelor 139
5.3.8.2. Condensarea vaporilor 142
5.3.9. Transferul termic la temperaturi variabile 149
5.3.9.1. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar 150
5.3.9.1.1. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar,
la curgerea n curent paralel (echicurent) a fluidelor 150
5.3.9.1.2. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim staionar,
la curgerea n contracurent a fluidelor 153
5.3.9.2. Transferul termic la temperaturi variabile, n regim nestaionar 154
5.3.9.2.1. nclzirea sau rcirea fluidelor: variaia temperaturilor numai n timp 154
5.3.9.2.2. nclzirea sau rcirea fluidelor: variaia temperaturilor n timp i spaiu 157
5.4. Transferul de cldur prin radiaie 161
5.4.1. Noiuni fundamentale 162
5.4.2. Legile radiaiei 163
5.4.3. Transferul de cldur prin radiaie ntre dou corpuri 167
5.4.4. Radiaia la gaze 167
5.5. Izolarea termic 168
5.6.nclzirea i rcirea n industria alimentar 172
5.6.1. Introducere 172
5.6.2. Ageni de schimb de cldur 173
5.6.2.1. Ageni purttori de cldur 173
5.6.2.1.1. nclzirea cu purttori de cldur n stare gazoas 173
5.6.2.1.1.1. nclzirea cu gaze de ardere 173
5.6.2.1.1.2. nclzirea cu aer cald 174
5.6.2.1.1.3. nclzirea cu abur supranclzit 174
5.6.2.1.2. nclzirea cu purttori de cldur n stare de vapori saturai 174
5.6.2.1.2.1. nclzirea cu vapori de ap saturai (abur saturat) 175
5.6.2.1.2.2. nclzirea cu vapori de substane organice 176
5.6.2.1.3. nclzirea cu purttori de cldur n stare lichid 176
5.6.2.1.3.1. nclzirea cu ap cald 177
-
8
5.6.2.1.3.2. nclzirea cu uleiuri minerale 177
5.6.2.1.3.3. nclzirea cu lichide organice definite 177
5.6.2.2. Ageni de rcire. Ageni purttori de frig 178
5.6.2.2.1. Rcirea cu ap 178
5.6.2.2.2. Ageni purttori de frig 178
5.6.3.nclzirea electric 179
Capitolul 6
TRANSFER DE MAS 180
6.1. Introducere 180
6.2. Exprimarea compoziiei fazelor 181
6.2.1.Fracia molar (xi) 181
6.2.2. Raportul molar ( ix ) 181
6.2.3. Fracia masic ( ix ) 182
6.2.4. Raportul masic ( ix ) 182
6.3. Echilibrul ntre faze 183
6.3.1.Legea fazelor (Gibbs) 183
6.3.2. Legea lui Raoult 184
6.3.3. Legea lui Henry 185
6.3.4. Legea de repartiie a lui Nernst 185
6.4Difuziunea 186
6.4.1.Difuziunea molecular 186
6.4.1.1. Flux i flux unitar de mas 187
6.4.1.2.Legea lui Fick 187
6.4.1.3. Coeficientul de difuziune (D) 188
6.4.1.3.1. Coeficieni de difuziune n gaze 188
6.4.1.3.2.Coeficieni de difuziune n lichide 189
6.4.1.3.3.Coeficieni de difuziune n solide 191
6.4.2. Difuziunea convectiv 192
6.4.2.1. Ecuaia diferenial a transferului de mas prin convecie 193
6.4.2.2.Criterii de similitudine n procesele de transfer de mas (substan) 196
6.5. Mecanismul transferului de mas 197
6.5.1. Modelul celor dou filme 197
6.5.2. Modelul renoirii suprafeei (teoria penetraiei) 197
6.6.Coeficieni individuali de transfer de mas 200
6.6.1.Coeficieni individuali la coloanele cu perei udai 200
6.6.2. Coeficieni individuali la coloanele cu umplutur 202
6.6.3. Coeficieni individuali n sistemele gaz-solid i lichid-lichid 203
6.7.Transferul de mas global 204
Bibliografie 206
-
9
Capitolul 1
I N T R O D U C E R E
1.1.Domeniul si caracteristicile industriei alimentare
Industria alimentara prelucreaza materiile prime de origine biologica, provenind din
regnul vegetal sau animal, n sensul de a le conditiona, conserva , transforma sau de a extrage din
ele anumite elemente destinate hranei omului. n momentul n care echilibrul biologic natural se
ntrerupe, ncep fenomenele de degradare care conduc la alterari si pierderi de produse.
Din momentul ntreruperii echilibrului biologic natural, toate operatiile care se efectueaza
asupra materiilor prime apartin industriei alimentare. Aceasta atrage dupa sine necesitatea fie ca
echilibrul biologic natural sa fie ntrerupt de industria alimentara, n ntreprinderi organizate si
dotate corespunzator, cum sunt de exemplu ntreprinderile de industrializarea carnii, fie ca
materiile prime - dupa ce s-a ntrerupt echilibrul biologic natural - sa fie supuse anumitor
tratamente, care sa ncetineasca, sau sa elimine consecintele fenomenelor de degradare, cum se
petrece de exemplu n industria moraritului si a panificatiei.
Spre deosebire de toate celelalte ramuri industriale, caracteristica esentiala a industriei
alimentare consta n aceea ca unele operatii care trebuie efectuate sunt de natura biochimica. n
consecinta, procesele biochimice si microbiologice reprezinta caracteristicile de baza, care
deosebesc industria alimentara de celelalte industrii si n special de industria chimica, cu care,
sub alte aspecte, industria alimentara are multe asemanari.
Cresterea numarului populatiei, dezvoltarea societatii, emanciparea omului, impun o alta
caracteristica industriei alimentare, cea de dezvoltare vertiginoasa, att sub aspect cantitativ ct
si sub aspect calitativ. Realizarea dezvoltarii vertiginoase este strns legata de nlaturarea
empirismului si folosirea rezultatelor cercetarilor stiintifice. Introducerea n productie a
rezultatelor cercetarii stiintifice impune prelucrarea produselor n intreprinderi bine organizate si
dotate tehnic corespunzator, conduse si exploatate de personal cu o buna pregatire sub toate
aspectele.
Industria alimentara moderna reprezinta un complex coordonat de transformari fizice,
chimice si biochimice prin care se realizeaza produse alimentare utiliznd procedee tehnologice
si instalatii fundamentate stiintific, tehnic si economic. Avnd n vedere volumul real de
prelucrare si importanta considerabila a industriei alimentare pe planurile alimentatiei, sanatatii,
-
10
agriculturii, economiei generale si al echilibrului social, acestei ramuri i se asigura conditii
rationale de dezvoltare, fiind condusa de cadre cu pregatire adaptata specificului ei.
1.2.Obiectul disciplinei
Disciplina "Operatii si utilaje n industria alimentara"are rolul de a pune la dispozitia
celor interesati notiunile de baza privind fenomenologia diferitelor operatii tehnologice si
caracteristicile utilajelor folosite. Ea se constituie ca o disciplina tehnica de specialitate care face
posibila ntelegerea cunostintelor de la disciplinele ulterioare. Studierea operatiilor si utilajelor se
efectueaza dupa caracteristicile comune ale acestora.
1.3.Proces tehnologic
Transformarea materiilor prime n produse finite sau n semifabricate se realizeaza printr-
o succesiune de operatii de natura mecanica, fizica, biochimica, uneori chimica, sau operatiuni
combinate.
Ansamblul ordonat al operatiilor prin care se realizeaza fabricarea unui produs sau
unor produse se numeste proces tehnologic.
Operatiile sunt faze distincte ale unui proces tehnologic, si se pot grupa n diferite
moduri. Unul din modurile obisnuite de grupare este urmatorul:
1. operatii pentru pregatirea materiilor prime n vederea prelucrarii;
2. operatii pentru obtinerea produselor brute sau a semifabricatelor;
3. operatii pentru transformarea produselor brute sau semifabricatelor n produse
comercializabile, utilizate ca bunuri de consum (produse alimentare, n cazul industriei
alimentare);
4. operatii pentru prelucrarea subproduselor sau deseurilor;
5. operatii auxiliare.
Ansamblul indicativ al succesiunii operatiilor pentru obtinerea unui produs sau mai
multor produse ntr-un proces tehnologic se numeste schema bloc a procesului tehnologic.
n figura 1.1 se prezinta schema bloc simplificata a procesului de obtinere a sucului si a
pastei de tomate.
-
11
Fig. 1.1. Schema bloc a procesului tehnologic simplificat de
obtinere a sucului si a pastei de tomate (rosii).
Pasare
Recepie, sortare
Splare
Roii splate
Prenclzire
Corectare
Suc de roii
Corectare
mbuteliere,
capsulare
Sterilizare
Suc sterilizat
Concentrare
Dozare,
nchidere
recipieni
Sterilizare
Semine i pielie
Dozare
Past de tomate
Ap i
impuriti
Impuriti i
deeuri
Vapori de ap
Ap Sare Zahr Roii
-
12
Elementele n care se realizeaza procesul tehnologic sunt utilajele. Conventional, sub
denumirea de aparat se ntelege un utilaj static, fara organe principale n miscare si sub
denumirea de masina, se defineste un utilaj cu organe n miscare. Notiunile de aparat si masina
se includ n sfera notiunii de utilaj.
nsiruirea ordonata a schitelor sau simbolurilor utilajelor n care se realizeaza
procesul tehnologic, cu indicarea circulatiei materialelor poarta numele de schema
tehnologica de legaturi.
n figura 1.2. se prezinta schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a
alcoolului etilic alimentar prin fermentare.
Daca se analizeaza natura operatiilor care alcatuiesc un proces tehnologic din industria
alimentara, se pot face o serie de constatari, si anume:
1. o fabricatie, orict de complicata ar fi, este formata dintr-o nsiruire de operatii simple,
distincte;
2. din totalitatea operatiilor ntlnite n cadrul unui proces tehnologic doar cteva sunt
operatii n care transformarile sunt moleculare, de natura biochimica sau chimica, n rest sunt
operatii de natura fizica sau mecanica;
3. cele mai multe operatii fizice sau mecanice sunt comune mai multor procese
tehnologice pentru obtinerea de produse asemanatoare sau diferite; multe dintre ele se repeta
chiar n cadrul aceleiasi scheme;
4. utilajele ntrebuintate la realizarea unei anumite operatii ndeplinesc aceleasi functiuni
indiferent care ar fi procesul tehnologic sau faza din procesul tehnologic n care se utilizeaza;
rareori apar unele modificari caracteristice produsului dar si acestea nu schimba aspectul
functional al utilajului. Diferentierile ntre utilajele cu ajutorul carora se realizeaza o anumita
operatie, n general, sunt determinate de elementele constructive impuse de debit sau capacitate,
de modul n care se urmareste sa se realizeze operatia respectiva.
-
13
Fig.1.2. Schema tehnologica de legaturi pentru procesul de obtinere a alcoolului etilic alimentar prin fermentare
(instalatia de rafinare cu functionare continua).
1.-rezervor de alimentare; 2.-schimbator de caldura; 3.-coloana de frunti; 4.-deflegmator frunti; 5.-condensator
frunti; 6,14.-felinar control; 7.-conducta de legatura; 8.-coloana de rectificare; 9.-deflegmator spirt; 10.-
condensator spirt; 11.-conducta spirt frunti; 12.-conducta spirt rafinat; 13.-racitor spirt rafinat; 15,16.-conducte
ulei fuzel; 18.-ulei de fuzel; 19.-spirt cozi; 20.-conducta apa de luter; 21.-rezervor spirt cozi.
Operatiile fizico-mecanice care se ntlnesc la realizarea proceselor tehnologice sunt
denumite si operatii tip sau operatii unitare.
Tratarea operatiilor tip dupa principiile operatiilor si utilajelor se dezvolta dupa
urmatoarele criterii:
1. cercetarea factorilor care intervin n operatia respectiva;
2. analiza principiilor stiintifice fundamentale care stau la baza operatiei tip respective;
deducerea modelului matematic care cuprinde factorii ce intervin n operatia respectiva;
3. cunoasterea legilor de conservare (bilant de materiale, de energie);
4. cunoasterea relatiilor de transfer de cantitate de miscare, de caldura, de substanta, la
nivelul operatiei tratate;
5. influenta transferurilor asupra proceselor biochimice;
6. relatia ntre tipurile de transfer si ntre ele si procesele biochimice;
7. cunoasterea principalelor utilaje n care se realizeaza operatiile tip;
8. relatii de similitudine si analiza dimensionala care contribuie la lamurirea operatiilor
tip;
9. relatii de convenienta economica care pot duce la optimizarea procedeelor de
fabricatie, la dimensionarea economica a utilajelor n care se realizeaza operatiile tip.
-
14
1.4.Clasificarea operatiilor tip
Clasificarea operatiilor tip ntlnite n industriile cu caracter chimico-tehnologic, n
consecinta si n industria alimentara, se poate face din mai multe puncte de vedere.
I. Dupa modul n care se actioneaza asupra materialelor
a) operatii cu schimbarea starii fizice a materialelor: topire- -solidificare, fierbere-
condensare, sublimare, etc.;
b) operatii de amestecare si aglomerare de unde rezulta amestecuri omogene si
eterogene:brichetare, presare, amestecare, malaxare, framntare etc;
c) operatii de divizare si separare: spargere, maruntire, macinare, taiere, cernere, sortare,
separare pneumatica, separare electrostatica, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare,
stoarcere, uscare, cristalizare, distilare, rectificare etc;
d) operatii chimice si biochimice: neutralizare, carbonatare, fermentare, maturare, etc.;
e) operatii auxiliare: depozitare, transport, dozare, ncalzire-racire, etc.
II. Dupa natura operatiilor :
1. operatii mecanice (fara schimbarea starii materialului): depozitare, transport, masurare,
dozare,etc.;
2. operatii fizice (cu schimbarea starii fizice a materialului): se subdivid n trei grupe:
a) operatii cu transfer de impuls : maruntire, spargere, macinare, taiere, cernere, sortare,
amestecare, malaxare, framntare, sedimentare, decantare, filtrare, centrifugare, separare
pneumatica, stoarcere, etc.;
b) operatii cu transfer de caldura : ncalzire, racire, evaporare, concentrare, condensare,
pasteurizare, sterilizare, refrigerare, congelare etc.;
c) operatii cu transfer de masa (combinat cu transfer de caldura): uscare, prajire, distilare,
rectificare, extractie, difuzie, cristalizare, etc.
3. operatii chimice si biochimice (operatii n care intervin transformari moleculare) :
neutralizare, fermentare, carbonatare, maturare etc.
n analiza operatiilor tip se face apel la legile fizicii, care guverneaza diferite fenomene,
la elemente matematice necesare stabilirii modelelor matematice, la calcule stoechiometrice
bazate pe legile ce guverneaza desfasurarea reactiilor chimice (legea proportiilor definite, legea
proportiilor multiple).
-
15
Capitolul 2
MARIMI, MASURARI, SISTEME DE
MASURA
2.1.Marimi, masurarea, valori numerice
Marimile fizice reprezinta concepte asociate proprietatilor, interactiunilor sau
transformarilor sistemelor, care pot fi legate prin relatii matematice denumite legi. Ele descriu
fenomenele fizice att din punct de vedere calitativ ct si cantitativ.
Marimile care pot fi comparate ntre ele, putnd deci fi egale, mai mari sau mai mici,
unele fata de altele, constituie o anumita specie de marimi de natura identica.
Caracteristica principala a marimilor fizice este aceea ca sunt masurabile. A masura o
marime de exemplu masa unui corp nseamna a determina raportul ei fata de o alta marime de
aceeasi natura considerata conventional unitate de masura, de exemplu fata de kilogramul
etalon.
Masurarea se bazeaza deci pe comparatia efectuata n conformitate cu anumite metode si
conduce la un numar care exprima de cte ori marimea considerata unitate de masura este
continuta n marimea de masurat. n acest mod orice marime fizica A se poate exprima printr-un
produs simbolic dintre valoarea masuratorii a si unitatea de masura .
aA (2.1)
Ecuatia (2.1) poarta denumirea de ecuatia fundamentala a masurarii. Din analiza ei
rezulta ca valoarea numerica , a marimii A depinde de alegerea unitatii de masura. Marimea
fizica nsasi nu variaza cu variatia unitatii de masura; valoarea numerica a acesteia nsa creste
sau descreste daca unitatea de masura este mai mica sau mai mare.
2.2. Unitati de masur
Numarul ecuatiilor fizice care exprima matematic fenomenele fizice este mai mic dect
numarul marimilor fizice sau, mai corect, dect numarul speciilor de marimi de o anumita natura,
deoarece o parte din acestea sunt introduse prin analiza experientelor, fiind caracterizate prin
anumite proprietati obiective si n cadrul teoriei aplicate nu pot fi exprimate prin alte marimi
impuse initial. Aceste marimi denumite marimi primitive corespund unui continut fizic nou si nu
pot fi introduse dect prin experienta.
-
16
Marimile derivate se definesc prin relatii de definitie de forma :
0,..., yxf (2-2)
si deci pot fi reprezentate prin anumite marimi primitive.
Din punct de vedere al unitatilor se pot distinge marimi fundamentale si marimi
secundare (derivate) cu unitati secundare (derivate).
Marimile fundamentale au unitati de masura definite independent. Numarul marimilor
fundamentale necesare variaza de la un domeniu la altul :
- geometrie : lungimea, L;
- cinematica : lungimea, L; timpul, T;
- caldura : lungimea, L; timpul, T; masa, M; temperatura, t.
Marimile derivate au unitati de masura derivate obtinute din relatiile de definitie; aceste unitati
de masura depind de unitatile fundamentale.
n definirea unitatilor de masura fundamentale sau derivate se mentioneaza procedeul de
masurare, iar valoarea unitatilor este astfel aleasa nct raportul a doua marimi de aceasi natura
sa fie independent de aceasta unitate.
Marimile fundamentale si derivate au urmatoarele proprietati :
- marimile de natura identica se aduna, daca n definitia lor nu intervine o origine conventionala
diferita;
- valorile marimilor de aceasi natura exprimate n aceleasi unitati se pot supune operatiilor
matematice obisnuite (adunare, nmultire sau mpartire cu numere abstracte, ridicare la putere
etc.);
- marimile derivate nu pot fi definite arbitrar n functie de marimile fundamentale, ele trebuie sa
fie functii de marimile fundamentale.
Dac n relatiile de definitie ale marimilor derivate se nlocuiesc marimile fundamentale
prin simbolurile lor dimensionale se obtine ecuatia dimensionala a marimilor derivate respective:
1 TLT
Lv (2-3)
Un sistem de dimensiuni este determinat de grupul de marimi fundamentale cu ajutorul carora se
pot defini univoc toate marimile derivate. Sisteme de dimensiuni folosite : L T M si L T F.
-
17
2.3. Sisteme de unitati de masura.
Totalitatea unitatilor fundamentale, precum si a celor derivate care se definesc cu ajutorul
unitatilor fundamentale constituie un sistem de unitati de masura. Un sistem de unitati de
masura este caracterizat de grupul de unitati fundamentale n functie de care se definesc unitatile
derivate.
ntruct unitatile fundamentale sunt independente ntre ele si conventional alese pentru o
anumita marime fundamentala se pot alege una sau mai multe unitati fundamentale, exemplu :
masa - gramul, kilogramul si tona. Unui sistem de dimensiuni i pot corespunde unul sau mai
multe sisteme de unitati.
Conditiile care se impun unui sistem de unitati sunt :
- sa fie general, adica sa fie aplicabil n toate capitolele fizicii;
- sa fie coerent, adica unitatile derivate sa fie deduse conform principiului coerentei
dimensionale;
- sa fie practic, adica sa aiba la baza unitati fundamentale corespunzatoare unor valori potrivite,
nici prea mici nici foarte mari, pentru marimile obisnuite.
Se cunosc mai multe sisteme de unitati.
Sistemul C G S (centimetru, gram, secunda)este general, fara a conduce la unitati
practice; este adoptat n studiile stiintifice de mare finete si sensibilitate. Variante : C G S 0
(centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate); C G S 0 (centimetru, gram, secunda,
unitate de permeabilitate); C G S 0 0 (centimetru, gram, secunda, unitate de permitivitate si de
permeabilitate).
Sistemul M T S (metru, tona, secunda) are unitati prea mari pentru masa si forta, este
general, dar nu conduce la unitati coerente practice n electromagnetism.
Sistemul M K S (metru, kilogram, secunda) are unitati practice geometrice si mecanice
(n afara unitatilor de forta si de presiune), este general, coerent cu unitatile practice n
electromagnetism.
Sistemul F P S (foot,pound,secunda) utilizat nca n tari ca: SUA, Canada, Australia, etc.
Sistemul International de Unitati (S.I.) admite ca unitati fundamentale pentru lungime,
masa si timp aceleasi unitati ca si sistemul MKS, dar apar deosebiri la unitatile derivate.
Sistemele de dimensiuni de tipul L M T (lungime, masa, timp) sau LFT (lungime, forta,
timp) nu pot fi folosite n toate domeniile. A aparut necesitatea de a se completa sistemul de
dimensiuni si sistemele de unitati cu marimi si unitati fundamentale noi care sa dea posibilitatea
masurarii marimilor termice, electromagnetice si luminoase. Alegerea marimilor amintite a creat
mari dificultati.
-
18
Toate inconvenientele aparute au condus la necesitatea adoptarii unui sistem de unitati
care sa nlature toate neajunsurile si care sa fie aplicabil pe plan international.
2.4. Sistemul International de Unitati de Masura(SI)
Activitatea depusa de oamenii de stiinta pentru alegerea unui sistem de unitati care sa
nlature neajunsurile semnalate anterior si care sa fie aplicabil n toate domeniile de activitate si
aplicat n toate locurile de pe glob este veche.nca din 1875 s-a luat hotarrea crearii unui comitet
international care sa se ocupe de aceasta problema. La cea de-a XI-a Conferinta Generala de
Masuri si Greutati din nov. 1960 de la Paris, s-a luat hotarrea definitiva privind Sistemul
International de Unitati de Masura - SI - bazat pe sase marimi si unitati fundamentale,
adoptndu-se lista marimilor si unitatilor fundamentale, suplimentare si derivate. De asemenea s-
a definit modul de formare al unitatilor de masura, multiplii si submultiplii lor. La cea de-a XIV-
a Conferinta Generala de Masuri si Greutati din 1971 s-a decis introducerea cantitatii de
substanta drept a saptea marime fundamentala n SI cu unitatea fundamentala molul.
Sistemul International de Unitati , SI, a fost adoptat de diferite organizatii internationale
de standardizare ( ISO=Organizatia Internationala de Standardizare, CEI=Comisia Electrotehnica
Internationala, UIFPA=Uniunea Internationala de Fizica Pura si Aplicata, IUPAC = Uniunea
Internationala de Chimie Pura si Aplicata, OIML = Organizatia Internationala de Metrologie
Legala, etc.)
n Romnia, sistemul SI a fost introdus prin HCM nr. 550 din 30 august 1961,
stipulndu-se ca "n RSR sistemul de unitati de masura legal si obligatoriu este Sistemul
International de Unitati". Prin Legea Metrologiei votata de MAN la 3 nov. 1978 si intrata n
vigoare la 1 feb. 1979, se legifereaza obligativitatea utilizarii SI pe teritoriul Romniei,
considerndu-se ncheiata activitatea de introducere a acestui sistem n toate domeniile de
activitate.
Marimile fundamentale si suplimentare precum si unitatile aferente stabilite prin Sistemul
International de Unitati sunt prezentate n tabelul 2.1.
-
19
Tabelul 2.1. Marimi fundamentale si suplimentare, si unitatile lor corespunzatoare
Sistemului International de Unitati SI
Nr.
crt.
Marimi fundamentale Unitati fundamentale
Denumire Simbol Denumire Simbol
1 Lungimea L metru m
2 Masa M kilogram kg
3 Timpul T secunda s
4 Temperatura
termodinamica
kelvin K
5 Intensitate curent electric I amper A
6 Intensitate luminoasa J candela cd
7 Cantitatea de substanta N mol mol
Marimi suplimentare Unitati suplimentare
1 Unghi plan radian rad
2 Unghi solid steradian sr
Prin adoptarea a sapte marimi si unitati fundamentale, sistemul SI este un sistem
universal pentru toate domeniile de activitate.
2.4.1.Definirea unitatilor de masura
Definirea unitatilor de masura a marimilor fundamentale si suplimentare este urmatoarea:
- metrul (m) Un metru este distana parcurs de lumin prin vid ntr-un interval de timp
de 1299.792.458 dintr-o secund. Urmarea este c viteza luminii n vid este fixat prin definiie la
valoarea de 299.792.458 m/s.
- kilogramul (kg) unitatea de masa egala cu masa "kilogramului international" de platin-
iridiu (10%) adoptat n 1889 de Conferinta Generala de Masuri si Greutati, care se gaseste la
Sevres (Paris - Franta);(cea de-a 3-a CGPM din 1901)
- secunda (s) unitatea de timp egala cu durata a 9192631770 perioade ale radiatiei
corespunzatoare tranzitiei ntre cele doua nivele de energie hiperfine ale starii fundamentale a
atomului de Cesiu 113 ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967)
- kelvin (K) unitatea temperaturii termodinamice egala cu fractiunea 1/273,16 din
temperatura termodinamica a punctului triplu al apei ; ( cea de-a 13-a CGPM din 1967)
- amperul (A) unitatea de intensitate electrica corespunzatoare unui curent electric
constant mentinut n doua conductoare rectilinii, paralele, cu lungime infinita si cu sectiune
-
20
circulara neglijabila, asezate n vid la o distanta de 1 metru unul de celalalt, ce are ca efect
aparitia unei forte de 2 x 10-7
N/m; (cea de-a 9-a CGPM din 1948)
- candela (cd) este intensitatea luminoasa emisa normal la temperatura de solidificare a
platinei la presiune atmosferica normala, de catre un radiator integral(corp negru) cu suprafata de
1/600000 m2;(a 13-a CGPM din 1967)
- molul (mol) unitatea de cantitate de substanta, este cantitatea de substanta a unui sistem
care contine attea entitati elementare cti atomi exista n 0,012 kilograme de Carbon12. De cte
ori se ntrebuinteaza molul, entitatile elementare trebuie specificate, ele putnd fi atomi,
molecule, ioni, electroni, alte particule sau grupuri de asemenea particule. ( cea de-a 14-a
CGPM din 1971)
- radianul (rad) unghiul plan cu vrful n centru unui cerc, si care delimiteaza pe
circumferinta cercului un arc a carui lungime este egala cu raza cercului; ( cea de-a 11-a CGPM
din 1960)
- steradianul (sr) unghiul solid cu vrful n centrul unei sfere, care delimiteaza pe
suprafata sferei o arie egala cu aria unui patrat a carui latura este egala cu raza sferei. ( cea de-a
11-a CGPM din 1960)
2.4.2.Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI
Principalele reguli de formare si scriere a unitatilor SI sunt :
- denumirile unitatilor de masura se scriu cu litere mici ex.: metru, amper, candela, cu
exceptia cazurilor cnd propozitiile/frazele ncep cu acestea;
- simbolurile unitatilor de masura se scriu cu litere romane drepte, mici, cu exceptia celor
a caror denumire deriva din nume proprii si se scriu cu litere mari (metrul, m ; amperul, A).
- simbolurile unitatilor de masura nu sunt urmate de punct dect n cazul n care acesta
face parte din punctuatia textului;
- denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui produs de unitati se scriu cu
trasura de unire ntre unitatile respective ( ex.: newton - metru, kiloohm - metru );
- denumirile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu
prepozitia " pe " ntre unitatile de la numarator si cele de la numitor (ex.: metru pe secunda la
patrat );
- simbolurile unitatilor de masura alcatuite sub forma unui raport de unitati se scriu cu
linie oblica sau orizontala ntre simbolurile unitatilor de la numarator si simbolurile unitatilor de
la numitor sau sub forma unor produse cu factori la puteri pozitive si negative ( ex. m/s sau m . s
-1; N/m
2 sau N . m
-2). n cazul n care unitatile de masura alcatuite sub forma unui raport de
unitati scris cu linie oblica, au numitorul constituit dintr-un produs se foloseste una din
-
21
urmatoarele forme de scriere : ori produsul simbolurilor de la numitor se scrie ntre paranteze, ori
simbolurile unitatilor care alcatuiesc raportul se scriu sub forma unui produs de simboluri cu
factori la puteri pozitive si negative ( ex. J/(kgK) sau J kg-1
K-1
;W/(m2K) sau Wm
-2K
-1);
- pluralul denumirilor unitatilor de masura se formeaza dupa regulile de formare a
pluralului substantivelor n limba romna; n cazul unitatilor alcatuite sub forma unui produs sau
raport de unitati aceste reguli se aplica primei unitati a produsului, respectiv primei unitati de la
numaratorul raportului (ex. secunda-secunde, newton-metru - newtoni-metru, joule pe kilogram
kelvin - jouli pe kilogram kelvin );
- simbolul unitatii de masura nu ia forma diferita la plural ( ex. 1m - 2m, 1K - 120 K );
-calculele cu unitati de masura se fac de regula numai cu ajutorul unitatilor fundamentale,
suplimentare si derivate ale Sistemului International, nu si cu al multiplilor si submultiplilor
zecimali ai acestora ( ex. se scrie Q=KAt = 900 W/(m2K) 5 m
210 K, si nu Q = 90010
-3
kW/(m2K) 510
6 mm
210 K ) Utilizarea n calcule n acelasi timp a multiplilor si a
submultiplilor unitatilor SI poate conduce la erori;
- valorile marimilor fizice se exprima n general n unitati de masura cu valori numerice
cuprinse ntre 0,1 si 1000 ( ex. 0,12 m; 1,3 kg; 125,70C).
2.4.3. Multiplii si submultiplii unitatilor SI.
La definirea sistemului SI o preocupare de baza a fost si cea de stabilire a regulilor pentru
formarea multiplilor si submultiplilor unitatilor sistemului. Ei se formeaza pe baza principiului
zecimal si sunt prezentati n tabelul 2.2.
Tabelul 2.2. Multiplii si submultiplii sistemului international SI
Multipli Submultipli
Multiplicatorul
unitatii de referinta
Prefix Simbol Multiplicatorul
unitatii de referinta
Prefix Simbol
1024
yotta Y 10 -1
deci d
10 18
exa E 10 -2
centi c
10 15
peta P 10 -3
mili m
10 12
tera T 10 -6
micro
10 9 giga G 10
-9 nano n
10 6 mega M 10
-12 pico p
10 3 kilo k 10
-15 femto f
10 2 hecto h 10
-18 atto a
10 deca da 10-24
yocto y
-
22
La formarea si utilizarea multiplilor si submultiplilor sistemului SI trebuie sa se tina
seama de urmatoarele reguli:
- prefixele si simbolurile care indica un multiplu sau un submultiplu se scriu fara spatiu
liber sau alta separare naintea simbolului unitatii;
- nu se folosesc prefixe compuse ( ex. milimicrometru n loc de nanometru); singura
unitate SI al carei nume contine un prefix este unitatea de masa, ea fiind formata adaugnd
prefixul "kilo" la cuvntul "gram";
- daca unitatea de masura este formata din cteva unitati, prefixul poate fi numai naintea
primei unitati, neadmitndu-se combinatii;
- daca simbolul unitatii de masura care este precedat de simbolul unui multiplu sau
submultiplu este urmat de un exponent acesta se considera aplicat ntregii unitati
( ex. 1 cm2 = (110
-2 m)
2 = 110
-4 m
2 ).
Prin Sistemul International de Unitati se urmareste si unificarea prezentarii fenomenelor
fizice definite prin unitati derivate. Toate unitatile derivate n acest sistem sunt concordante cu
ecuatiile de definitie, conducnd astfel la expresiile cele mai simple prin eliminarea factorilor
numerici.
Adoptarea si perfectionarea continua a Sistemului International de Unitati prezinta o serie
de avantaje si anume :
- a dat posibilitatea unificarii unitatilor de masura pentru toate marimile fizice, mecanice,
termice, electromagnetice, etc., eliminnd prin aceasta marile dificultati ce apareau n cazul
folosirii a diferite unitati de masura pentru aceeasi marime;
- a simplificat scrierea formulelor si ecuatiilor n stiinta si tehnica, ceea ce atrage dupa
sine reducerea timpilor de calcul;
- a nlaturat posibilitatea confundarii unitatii de masa (kilogramul) cu cea a unitatii de
forta (newtonul), confundare care este un caz destul de frecvent n celelalte sisteme.
-
23
Capitolul 3
SIMILITUDINE, ANALIZA
DIMENSIONALA, MODELARE,
BILANTURI
3.1.Similitudine
3.1.1. Introducere
Fenomenele din natura sunt dirijate de legi obiective fizice sau chimice, fixe si generale,
cunoscute sau nca necunoscute.
Multe din legile cunoscute sunt exprimate matematic prin relatii generale ntre marimile
determinante care intervin n desfasurarea fenomenului. De obicei, aceste relatii generale sunt
ecuatii diferentiale, valabile pentru ntreaga clasa de fenomene la care se refera legea sau legile
exprimate prin ecuatiile diferentiale respective.
Individualizarea unui fenomen se face introducnd n rationament conditiile de
univocitate. Acestea sunt :
- conditii geometrice adica dimensiunile sistemului si dimensiunile traiectoriilor urmate de
elementele sistemului;
- conditii fizice sau de material reprezentate prin constantele fizice si parametrii de stare ai
substantelor;
- conditii dinamice ale elementelor sistemului : viteze, acceleratii, etc.;
- conditii la limita adica conditiile geometrice, fizice si dinamice ale starii initiale si ale starii
finale ale sistemului.
Ecuatiile generale n care s-au introdus conditiile de univocitate prin :
- precizarea constantelor;
- integrarea ntre limitele corespunzatoare conditiilor initiale si finale;
- introducerea unor conditii suplimentare;
dau ecuatii proprii fenomenului particular, caracterizat prin conditiile de univocitate impuse.
Cnd legile care guverneaza fenomenul studiat nu sunt cunoscute sau cnd ecuatiile
deduse pe cale teoretica sunt prea complicate ori nerezolvabile, se recurge la determinarea
experimentala a dependentelor dintre marimile care influenteaza fenomenul.
-
24
Experimentarea poate fi conceputa si condusa n trei moduri corespunznd la trei
obiective :
1. - cu intentia de a studia un caz particular si a gasi rezultate valabile pentru cazul studiat;
2. - cu intentia de a gasi formule empirice valabile pentru un interval restrns de variatie a
parametrilor;
3. - cu intentia de a descoperii legea generala care guverneaza fenomenul studiat si a deduce
relatii valabile pentru domenii mai extinse dect cele n care au variat parametrii n timpul
experimentarii.
Formulele empirice si corelarile alcatuite pe baza lor nu reprezinta o rezolvare
stiintifica a problemei, deoarece ele nu conduc la cunoasterea legilor fundamentale si nu permit
generalizarea dincolo de limitele conditiilor n care s-a experimentat.
Din contra, conducerea stiintifica a experimentarii si interpretarea rezultatelor cu ajutorul
teoriei similitudinii si al analizei dimensionale duc la relatii care pot fi extrapolate deoarece ele
exprima legile de baza ale fenomenului.
Teoria similitudinii sau teoria modelelor studiaza deducerea si folosirea criteriilor de
similitudine, cu scopul de a gasi metodele de transpunere a rezultatelor experimentale obtinute
cu un sistem studiat (model) ,la un alt model. Cu alte cuvinte se studiaza criteriile dupa
care trebuie alese conditiile experimentale pentru a fi similare conditiilor industriale.
Experimentarea n aparatura de dimensiuni reduse n conditii convenabile si cu materiale
usor accesibile, constituie un avantaj foarte important al folosirii modelelor ca parte integranta a
mijloacelor generale de lucru ale tehnicii.
Fenomene similare sau fenomene asemenea sunt fenomenele pentru care conditiile de
univocitate sunt similare, adica fenomenele care ndeplinesc conditiile de :
- similitudine geometrica;
- similitudine fizica;
- similitudine dinamica;
- similitudine a conditiilor la limita.
Primele trei conditii de similitudine sunt exprimate prin relatiile :
- similitudinea geometrica :
ln
n al
L
l
L
l
L ...
2
2
1
1 (3-1)
- similitudinea fizica :
cn
n ac
C
c
C
c
C ...
2
2
1
1 (3-2)
-
25
- similitudinea dinamica :
t
n
n at
T
t
T
t
T ...
2
2
1
1 (3-3)
n care :
L1, L2,...- dimensiunile geometrice ale sistemului industrial;
l1, l2,... - dimensiunile geometrice corespunzatoare ale modelului;
C1, C2,...- parametrii fizici ai sistemului industrial;
c1, c2,...- parametrii fizici n punctele corespunzatoare ale modelului;
T1, T2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni de traiectorii ale elementelor sistemului
industrial;
t1, t2,...- duratele pentru parcurgerea unor portiuni similare de traiectorii ale elementelor
modelului;
al- constanta de similitudine geometrica;
ac- constanta de similitudine fizica;
at- constanta similitudinii de timp.
- similitudinea conditiilor la limita nseamna ndeplinirea celor trei tipuri de similitudine n
starile initiale si n starile finale ale ambelor sisteme.
3.1.2. Invarianti si criterii de similitudine
Constantele de similitudine s-au obtinut prin raportul ntre marimile care caracterizeaza
sisteme asemenea. Ele sunt nedimensionale. Daca toate marimile pentru care se scriu rapoartele
n vederea obtinerii constantelor de similitudine se masoara n aceleasi unitati, raportul a doua
marimi care caracterizeaza acelasi sistem este nedimensional si egal cu raportul marimilor din
cel de-al doilea sistem n punctele n care au fost asemenea. Astfel :
lil
l
L
L ...
2
1
2
1
cic
c
C
C ...
2
1
2
1 (3-4)
tit
t
T
T ...
2
1
2
1
Toate aceste rapoarte contin elemente dintr-un singur sistem, sunt nedimensionale si se
numesc invarianti de similitudine.
Daca invariantii de similitudine sunt rapoarte ntre doua marimi de aceeasi natura, ca cei
din relatia de mai sus, se numesc simplecsi de similitudine. Daca invariantii sunt rapoarte ntre
mai multe marimi, se numesc multiplecsi sau criterii de similitudine.
-
26
Criteriile de similitudine se determina din nsasi esenta fenomenelor. Ele sunt marimi
abstracte, se pot stabili pentru orice fenomen fizic cu conditia sa existe relatii analitice care sa
lege ntre ele variabilele fenomenului cercetat. Deducerea criteriilor de similitudine se realizeaza:
- din ecuatiile care descriu fenomenul;
- cu ajutorul ecuatiilor diferentiale, pe baza teoremelor similitudinii;
- cu ajutorul analizei dimensionale.
Similitudinea si aplicarea ei n practica se bazeaza pe trei teoreme si anume:
Teorema I, formulata de Newton, stabileste legatura ntre fenomenele asemenea. Se
enunta astfel: "Fenomenele asemenea ntre ele au aceleasi criterii de similitudine si criteriile
de similitudine au aceeasi valoare". Pe baza acestei teoreme se pot deduce criteriile de
similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomene asemenea fara sa se recurga la
rezolvarea analitica a ecuatiilor diferentiale.
Teorema II, a fost formulata de Buckingham si stabileste posibilitatea reprezentarii
solutiei integrale a ecuatiei diferentiale pe baza de criterii de similitudine. Se enunta astfel :
"Orice functie care caracterizeaza un fenomen oarecare poate fi prezentata ca o functie de
criterii de similitudine". Forma cea mai generala a acestei functii este :
.,...,, 21 constNNNf n (3-5)
n care: N1, N2, ... - numere adimensionale sau criterii de similitudine.
Forma este cea obtinuta cu ajutorul teoremei .
Teorema III, a fost formulata de Kipircev-Guhman si indica ce conditii sunt necesare si
suficiente pentru ca fenomenele sa fie asemenea. Se enunta astfel: "Pentru ca doua fenomene sa
fie asemenea este necesar si suficient ca ele sa fie calitativ identice, iar criteriile determinante
corespunzatoare sa aiba aceeasi valoare numerica".
3.2. Analiza dimensionala
3.2.1. Introducere
Analiza dimensionala reprezinta ansamblul de cunostinte si metode pentru tratarea
unor probleme de inginerie, folosind formulele dimensionale ale marimilor fizice. Analiza
dimensionala considera ca relatiile care permit descrierea fenomenelor sunt dimensional
omogene, adica cei doi termeni ai relatiei sunt identici sub aspect dimensional. Analiza
dimensionala a aparut ca rezultat al extinderii principiilor asemanarii geometrice la alte
fenomene fizice.
Expresia prin care se exprima o marime functie de marimile fundamentale a fost
numita ecuatie dimensionala sau ecuatie de dimensiuni.
-
27
n general orice marime tinnd seama de marimile fundamentale este definita printr-o
relatie de forma :
dcba TtMLX (3-6)
Unde:
X - marimea definit;
L,M,t,T - marimile fundamentale;
a,b,c,d - exponenti.
Ecuatia este valabila pentru toate sistemele de unitati de masura din sistemul de
dimensiuni L M t T.
Principalele aplicatii ale analizei dimensionale sunt :
- verificarea corectitudinii formulelor, fie din punct de vedere dimensional, fie al unitatilor
particulare;
- deducerea naturii factorilor care intervin n relatii;
- transpunerea formulelor dintr-un sistem de unitati de masura n alt sistem de unitati de masura;
- stabilirea formei generale a ecuatiilor care definesc un fenomen oarecare.
3.2.2. Teorema
O aplicatie de mare utilitate practica este folosirea analizei dimensionale pentru stabilirea
formei generale a ecuatiilor care descriu anumite fenomene complexe, dependente de un numar
mare de variabile. Aceasta metoda se poate utiliza n cazurile n care se pot stabili toti parametrii
care influenteaza un anumit fenomen sau proces. Cunoscnd parametrii de care depinde
fenomenul sau procesul, se poate scrie o functie nedeterminata, caracteristica procesului
respectiv, de forma :
,...,,, dcbafF (3-7)
n care : a, b, c, d, ... - parametrii care influenteaza fenomenul; F - fenomenul.
Prin analiza dimensionala nu se obtin informatii complete asupra relatiilor dintre
parametrii care determina fenomenul. Pentru a avea informatii complete este necesar sa se
recurga la experienta. Utiliznd analiza dimensionala se poate reduce considerabil numarul de
determinari experimentale necesare.
Analiza dimensionala, alaturi de experienta, conduce la rezultate numai daca se cunosc
toti factorii sau marimile care influenteaza fenomenul sau procesul. De aceea prima etapa n
aplicarea analizei dimensionale este cea de stabilire a marimilor fizice care intervin n fenomenul
studiat. Daca se introduc marimi suplimentare sau se omit anumite marimi care influenteaza
fenomenul, analiza dimensionala nu poate conduce la un rezultat concret si corect.
-
28
Pentru a reduce numarul determinarilor experimentale necesare caracterizarii n totalitate
a fenomenului, analiza dimensionala conduce la gruparea factorilor sau marimilor care
influenteaza fenomenul n grupuri de marimi fara dimensiuni. Acest lucru este posibil tinnd
seama de faptul ca toate ecuatiile fizice trebuie sa fie dimensional omogene. Pentru aceasta se
aplica metoda bazata pe teorema .
Teorema sau teorema lui Buckingham (1914) este teorema fundamentala a analizei
dimensionale.
Un fenomen fizic, tinnd seama de teorema , poate fi descris printr-o functie de forma :
....,, ,321 constNNNf
n care N1, N2, N3, ... sunt grupuri nedimensionale care cuprind marimile fizice si constantele
dimensionale care influenteaza fenomenul, inclusiv fenomenul.
Numarul n de produse nedimensionale independente ce determina functia de tipul de
mai sus, n cazul unui fenomen sau proces ce depinde de m parametrii dimensionali ntre care
intra si fenomenul analizat n care se gasesc u marimi fundamentale care intra n ecuatiile de
definitie, conform teoremei , este egal cu diferenta ntre numarul de parametrii, m, si
numarul de marimi fundamentale, n, care intra n ecuatiile de definitie a parametrilor:
umn
Pentru fenomene mecanice, numarul marimilor fundamentale u = 3 (lungime, masa,
timp) pentru fenomene termice u = 4 (lungime, masa, timp, temperatura). Pentru fiecare caz
valoarea lui u trebuie sa fie verificata pe baza marimilor fizice si a constantelor dimensionale.
Alegerea sistemului de unitati de masura, n principiu, este arbitrara; se poate alege sistemul cel
mai comod pentru studiul propus. Tinnd seama de superioritatea sistemului international SI, si
de legislatia n vigoare se utilizeaza de regula acest sistem.
Prin tot ceea ce se cuprinde n enuntul teoremei se respecta conditia egalitatii de
dimensiuni a celor doua parti ale relatiei care defineste fenomenul sau procesul. Teorema pune
conditia m > u ; n alt caz nu se poate aplica.
3.3. Metode pentru deducerea criteriilor de similitudine
3.3.1. Stabilirea criteriilor de similitudine din ecuatiile diferentiale care descriu fenomenul
O ecuatie diferentiala completa, dimensional omogena, ce descrie un proces, se poate
pune sub forma adimensionala n vederea obtinerii criteriilor de similitudine. n acest scop, n
primul rnd se reduce ecuatia diferentiala la o forma dimensionala generalizata, omitnd semnele
diferentiala, apoi se mparte prin unul din termeni pentru a se obtine toti ceilalti termeni
adimensionali.
-
29
Se considera de exemplu, ecuatiile diferentiale ale lui Navier - Stokes pentru transferul de
impuls. Ele sunt valabile pentru curgerea izoterma a unui fluid newtonian. ntruct, cele trei
componente ale sistemului de ecuatii au aceeasi forma este suficient sa se scrie numai una, cea
pentru directia 0x :
x
pg
z
ww
y
ww
x
ww
t
wx
zz
y
yx
xx
03
12
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
w
y
w
x
w
x
zyxzyx (3-8)
Ecuatia este omogena si fiecare termen reprezinta o forta raportata la unitatea de volum.
n ecuatia (3-8) se omit semnele diferentiala si constanta numerica 1/ 3 de la termenul V.
Se scrie ecuatia dimensionala generalizata :
222
2
TML
l
w
l
pg
l
w
t
w
(3-9)
I II III IV V,VI
n care l - marimea liniara caracteristica. Termenii V si VI sunt identici.
Analiznd ecuatia (3-9) se constata ca prin mpartirea celorlalti termeni la termenul II se
pot obtine patru grupuri adimensionale independente si anume :
- criteriul de similitudine Reynolds, care reprezinta raportul ntre fortele de inertie si cele de
viscozitate :
lwlw
lw
l
wl
w
II
V
ReRe
12
2
(3-10)
- criteriul de similitudine Froude care reprezinta raportul ntre fortele de inertie si cele de
gravitatie :
lg
wFr
Frw
lg
l
w
g
II
III
2
22
1
(3-11)
- criteriul de similitudine Euler sau coeficientul de presiune, care reprezinta raportul ntre fortele
de presiune si fortele de inertie :
Euw
p
l
wl
p
II
IV
22
(3-12)
I II III IV
V VI
-
30
- criteriul de similitudine de homocronism sau criteriul lui Strougal, care
caracterizeaza aspectul stationar sau nestationar al curgerii :
l
twHo
Hotw
l
l
wt
w
II
I
1
2
(3-13)
Functia criteriala care se obtine poate fi scrisa sub forma implicita, si anume:
.,Re,, ctEuFrHof (3-14)
sau sub forma explicita pentru Eu :
321Rennn
HoFrkEu (3-15)
n care k si exponentii n1, n2, n3, se determina experimental.
Ecuatia (3-15) i-a gasit cele mai importante aplicatii n operatia de amestecare, pentru
calculul consumului de energie. Dupa unele transformari, se ajunge de la caderea de presiune
care apare la organul de amestecare la necesarul de putere.
Avantajul metodei consta n aceea ca evidentiaza semnificatia fizica a fiecarui criteriu -
masura a raportului ntre doua forte.
Dezavantajul metodei de stabilire a ecuatiilor criteriale din ecuatiile diferentiale consta n
aceea ca se neglijeaza unele variabile n nsasi rationamentul de deducere al acestor ecuatii.
Aceste variabile, care nu apar n ecuatia diferentiala nu pot sa apara nici n ecuatiile criteriale.
Astfel, n exemplul de mai sus este neglijata tensiunea superficiala. Luarea n considerare la
curgerea fluidelor si a tensiunii superficiale face sa apara un nou criteriu de similitudine, criteriul
Weber.
3.3.2. Stabilirea criteriilor de similitudine prin tehnica analizei dumensionale
Determinarea numarului complet de grupuri adimensionale pe baza parametrilor ce
influenteaza procesul, inclusiv procesul, se poate face prin doua metode : metoda indicilor si
metoda matricei dimensionale.
Pentru ntelegerea modului de aplicare a metodelor precizate se considera transferul de impuls
la curgerea stationara si izoterma a unui fluid newtonian.
-
31
Fenomenul este descris de sapte variabile si anume :
Variabila Simbol Unitati de
masura n
SI
Formula
dimensionala
Lungimea caracteristica l m L
Viteza fluidului w m/s L . T-1
Densitatea fluidului kg/m3 M . L
-3
Viscozitatea dinamica a
fluidului
Pa . s M . L-1
. T-1
Tensiunea superficiala N/m M . T-2
Caderea de presiune p Pa M . L-1
. T-2
Accelerarea gravitatiei g m/s2 L . T
-2
Variabilele sunt exprimate functie de trei marimi fundamentale si conform teoremei ,
fenomenul va fi descris de 7 - 3 = 4 grupuri adimensionale independente.
Metoda indicilor
Formulele dimensionale ale variabilelor se pot scrie sub forma unor puteri, astfel nct
produsul variabilelor astfel scrise sa fie adimensional :
0007654321 TMLgpwl xxxxxxx (3-16)
unde x1, x2, ... reprezinta indici necunoscuti, iar parantezele patrate precizeaza ca este vorba de
formule dimensionale si nu de variabile. Dupa nlocuirea formulelor dimensionale se obtine :
000221
21131
76
54321
TMLTLTLM
TMTLMLMTLL
xx
xxxxx
(3-17)
Cu ajutorul exponentilor sau indicilor marimilor fundamentale se obtin trei ecuatii de
conditie :
Conditia pentru L : x1 + x2 - 3x3 - x4 - x6 + x7 = 0
Conditia pentru M : x3 + x4 + x5 + x6 = 0
Conditia pentru T : - x2 - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7 = 0
Acest sistem de ecuatii se poate rezolva doar pentru trei exponenti care se exprima
functie de ceilalti, considerati cunoscuti :
x1 = - x4 - x5 + x7
x2 = - x4 - 2x5 - 2x6 - 2x7
x3 = - x4 - x5 - x6
ecuatia (3-16) capata forma :
000222 76546547654754 TMLgpwl xxxxxxxxxxxxxx (3-18)
-
32
sau
000222 7654
TMLgl
w
p
wwllwxxxx
(3-19)
Apare un nou criteriu :
2wlWe (3-20)
Criteriul de similitudine Weber reprezinta raportul ntre fortele de inertie si fortele de
suprafata datorate tensiunii superficiale.
Functia criteriala ce descrie curgerea stationara izoterma a unui fluid newtonian va avea
forma:
- implicita : f( Re, We, Eu, Fr) = const. (3-21)
- explicita : 321Re2
nnnWeFrk
w
p
(3-22)
n care :n1 = x4 / x6 ; n2 = x7 / x6 ; n3 = x5 / x6
Valorile numerice ale coeficientului k si a exponentilor n1, n2, n3 se determina
experimental.
n general, se recomanda ca produsele adimensionale sau criteriile de similitudine sa fie
obtinute pornindu-se de la ecuatiile diferentiale ce definesc fenomenul sau clasa de fenomene
dar, atunci cnd aceste ecuatii neglijeaza unele variabile trebuie folosita n paralel si analiza
dimensionala.
n exemplul dat acest lucru se pune n evidenta : ecuatia diferentiala Navier - Stokes
pentru curgerea izoterma a fluidelor newtoniene nu ia n considerare tensiunea superficiala;
functia criteriala rezultata (3-15) nu prezinta n componenta sa un criteriu care sa contina acest
parametru.
Utilizndu-se analiza dimensionala si incluznd ntre parametri si tensiunea superficiala a
fluidelor apare n ecuatia criteriala (3-22) si criteriul Weber. Aceasta ecuatie este mai completa.
Metoda matricei dimensionale
Pentru acelasi proces de curgere izoterma a lichidelor newtoniene, matricea dimensionala
are forma :
Variabila l w p g
Exponentul
variabilei
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Exponentul lui L 1 1 -3 -1 0 -1 1
Exponentul lui M 0 0 1 1 1 1 0
Exponentul lui T 0 -1 0 -1 -2 -2 -2
-
33
Ea este construita din m = 7 coloane si n = 3 rnduri ( rangul matricei).
Cu ajutorul primelor n coloane se formeaza determinantul si se verifica daca este diferit
de zero :
01
010
100
311
(3-23)
Daca aceasta conditie nu este ndeplinita se schimba una sau mai multe coloane ale
matricei. Variabilele primelor trei coloane, denumite variabile comune sau variabile
determinante, daca nu ndeplinesc conditia ca determinantul sa fie diferit de zero, nseamna ca nu
au fost bine alese.
n continuare, se formeaza toti determinantii posibili alcatuiti prin schimbarea succesiva a
coloanelor determinantului cu celelalte coloane ale matricei dimensionale. Determinantii nou
formati se vor nota cu doi indici : primul se refera la coloana schimbata din determinant iar al
doilea la coloana nou introdusa din matricea initiala. Prin substitutia succesiva a coloanelor se
obtin n total n(m - n) determinanti de ordinul n :
1
011
101
311
41
xx 1
012
101
310
51
xx
0
012
101
311
61
xx 1
012
100
311
71
xx (3-24)
1
010
110
311
42
xx 2
020
110
301
52
xx
2
020
110
311
62
xx 2
020
100
311
72
xx
1
110
100
111
43
xx 1
210
100
011
53
xx
1
210
100
111
63
xx 0
210
000
111
73
xx
-
34
Cu ajutorul valorilor obtinute pentru cei 12 determinanti se formeaza o noua matrice
constituita din m coloane si m-n siruri ce se refera la m - n grupuri adimensionale. Primele n
coloane ale matricei sunt constituite din valorile, cu semn schimbat ale rapoartelor ntre
determinantii nou formati si determinantul initial, iar ultimele m - n coloane formeaza un
determinant de rangul m - n cu elementele diagonalei principale egale cu unitatea si celelalte
elemente nule.
Rangul
matricei
l w p g
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
Exponentii
grupurilor
adimension
ale
x4 -1 -1 -1 1 0 0 0
x5 -1 -2 -1 0 1 0 0
x6 0 -2 -1 0 0 1 0
x7 1 -2 0 0 0 0 1
Grupurile de marimi adimensionale se formeaza punnd variabilele din capul tabelului la
exponentii dintr-un sir. Fiecarui sir i corespunde un criteriu de similitudine. Se obtin n total
patru criterii :
1Re
wl
1
2
Wewl
Eu
w
p
2
1
2
Frw
gl (3-25)
Din aceste criterii i pe baza acelorai rationamente se obtin functiile (3-21) si (3-22).
Alegerea arbitrara a primelor coloane face sa nu rezulte ntotdeauna direct grupurile
adimensionale cunoscute. n cazul de fata s-a obtinut inversul criteriilor Re, We, Fr. Aducerea
lor la forma dorita se poate face prin operatii algebrice asupra fiecarui grup independent.
3.4. Modelare
Fenomenele pot fi studiate att teoretic ct si experimental. n inginerie se utilizeaza
modelarea fizica sau modelarea matematica n scopuri multiple.
Modelarea fizica presupune realizarea experimentelor pe instalatii mici denumite modele.
Se impune realizarea conditiilor din instalatiile industriale adica realizarea tuturor conditiilor de
similitudine.
Drumul urmat n studiu este urmatorul :
1. Analiza teoretica a fenomenului sau procesului de studiat cu gasirea ecuatiilor analitice care-l
descriu matematic si transpunerea acestora sub forma unei ecuatii criteriale.
2. Stabilirea conditiilor de similitudine ntre utilajul industrial si model care impun ca ecuatiile
criteriale precum si valorile numerice ale lor sa fie aceleasi. Pentru aceasta trebuie sa se
ndeplineasca unele conditii : fenomenul care are loc n cele doua instalatii trebuie sa fie de
aceeasi natura fizica; conditiile la limita ntre cele doua instalatii trebuie sa fie identice; libertatea
-
35
alegerii constantelor si parametrilor fizici pentru model este limitata de conditia respectarii
egalitatii valorilor criteriilor determinante ntre cele doua instalatii.
Prin intermediul criteriilor de similitudine rezultatele experimentelor de pe model sunt
extrapolate la instalatia industriala.
n etapa actuala, modelarea matematica capata o tot mai mare importanta. Ea prezinta
importanta prin sine nsasi ct si prin faptul ca modelarea fizica apeleaza n parte la modelarea
matematica.
Modelarea matematica este expresia formala a realitatii fizice. Este cunoscut ca, cu
exceptia unor cazuri banale, universul real si cel matematic sunt incomensurabile; nici un model
matematic nu poate reprezenta perfect o realitate fizica nebanala. De aceea, adeseori, nu se pune
alternativa alegerii ntre un model corect si altul gresit, ci a alegerii celui mai bun model dintre
cele accesibile.
n ntelegerea actuala a modelarii sunt cuprinse urmatoarele etape :
1. examinarea procesului care urmeaza a fi modelat;
2. analiza structurala a procesului, reprezentarea lui n forma unui sistem ierarhic organizat;
3. exprimarea matematica a sistemului printr-un numar necesar si suficient de ecuatii;
4. evaluarea (teoretica, experimentala) a coeficientilor modelului.
Daca aceste etape se trec cu succes se poate avansa la simulare.
5. ntocmirea unui program experimental, dupa criterii selectionate;
6. efectuarea programului experimental pe calculator, prin repetare succesiva n conditii variate.
n aceasta schema punctele 3 si 5 sunt decisive.
Desi n trecut fenomene complicate au putut fi modelate, parcurgndu-se punctele 1-3,
exploatarea modelului a fost limitata de capacitatea fizica redusa de solutionare a ecuatiilor
respective. Introducerea calculatoarelor de mare capacitate permite astazi eliminarea acestei
dificultati, fara sa fie nevoie sa se recurga la o reducere drastica a reprezentarii realitatii.
Tipuri de modele matematice :
- modele analitice (sau deterministe) se obtin prin izolarea unei portiuni restrnse a spatiului
aparatului astfel aleasa nct variatiile (de concentratie, temperatura, etc.) care au loc sa fie
infinitezimale. Pentru acest spatiu se scriu ecuatiile de conservare corespunzatoare de masa,
energie, moment. Ecuatiile diferentiale obtinute se integreaza pentru ntreg spatiul aparatului.
Utilizarea calculatoarelor permite astazi elaborarea de modele deterministe puternice,
reprezentnd apropiat fenomenul fizic, ecuatiile respective rezolvndu-se prin metode numerice.
- modelele stohastice sunt utilizate pentru sistemele a caror evolutie ntmplatoare nu poate fi
satisfacator reprezentata de un model determinist. Parametrii introdusi n model sunt evaluati
prin metode statistice;
-
36
- modele statistice (empirice) sunt adeseori atragatoare prin simplitatea lor, si prin faptul ca
parametrii modelului se determina din date experimentale uzuale. Ele nu necesita o reprezentare
a mecanismului procesului care urmeaza a fi modelat.
Modelele matematice au o utilizare variata. Principalele posibilitati sunt urmatoarele :
- dimensionare;
- operare;
- transpunere la scara;
- optimizare;
- control optimal.
3.5. Bilanturi
3.5.1. Notiuni introductive
O operatie sau un proces tehnologic poate decurge discontinuu sau continuu.
Operatia sau procesul este discontinuu cnd instalatia se ncarca cu materiale formndu-
se o sarja; sarja este prelucrata si dupa terminarea prelucrarii este evacuata sub forma de produs
finit. Urmeaza un nou ciclu de prelucrare. Caracteristice pentru operatiile discontinue sunt
marimea sarjei si durata unui ciclu.
Operatia sau procesul este continuu cnd instalatia este alimentata nentrerupt si
uniform cu materie prima, materiale si utilitati si debiteaza nentrerupt si uniform produsul finit.
Caracteristicile unei operatii continue sunt: debitul de alimentare, debitul de produse finite,
intervalul de timp n care produsul se afla n instalatie.
Un aparat, masina sau instalatie poate functiona n regim stationar sau nestationar.
Utilajele n care se produc acumulari de materiale ( sarje ) sau de energie, functioneaza n
regim nestationar. Ele sunt utilaje cu functionare discontinua sau n regim tranzitoriu.
Un aparat sau masina functioneaza n regim stationar cnd s-a realizat stabilizarea la
valori locale constante a tuturor parametrilor de stare - presiune, temperatura, concentratie - si a
parametrilor de functionare - debite, viteze, directii de curgere - n toate punctele instalatiei.
Invarianta parametrilor se refera la invarianta n timp a parametrilor pentru un punct al
sistemului.
Pentru intrarea n regim stationar, instalatia functioneaza dupa pornire n regim
tranzitoriu. n aceasta perioada toti parametrii variaza de la valoarea de pornire la valoarea de
regim. Tot n regim tranzitoriu functioneaza instalatiile continue atunci cnd trec de la un regim
de lucru la altul.
Procesele continue prezinta o serie de avantaje importante n comparatie cu cele
discontinue, si anume :
-
37
- posibilitatea realizarii unei mecanizari si automatizari complete a proceselor tehnologice;
- asigurarea unei productii mai omogene, cu posibilitati de mbunatatire a calitatii;
- reducerea spatiului ocupat de utilaje.
3.5.2. Bilantul de materiale
La realizarea activitatilor legate de desfasurarea unui proces tehnologic pe lnga forta de
munca si utilaje mai sunt necesare materii prime si auxiliare, energie de diferite tipuri.
Pentru dimensionarea utilajelor si instalatiilor ct si pentru conducerea optima a
proceselor tehnologice, cunoasterea cantitatilor de materiale, a debitelor care circula prin
instalatie, precum si toate schimbarile care intervin constituie o problema esentiala.
Cunoasterea cantitativa si calitativa a materialelor care intra si ies dintr-un proces
tehnologic sau dintr-un utilaj, se poate realiza cu ajutorul bilantului de materiale.
Bilantul de materiale se bazeaza pe legea conservarii materiei si se defineste prin relatia
de conservare a materiei :
prieie MMMMM (3-26)
n care :
Me - este suma materialelor existente n sistem;
Mi - suma materialelor intrate n sistem;
Mies - suma materialelor iesite din sistem;
Mr - suma materialelor ramase n sistem;
Mp - suma materialelor pierdute din sistem.
Ecuatia (3-26) reprezinta forma generala de exprimare a bilantului de materiale.
Diferenta (Mr - Me ) = A se numeste acumulare.
n cazul proceselor cu desfasurare continua acumularea este egala cu zero si relatia (3-26) capata
forma :
piei MMM (3-27)
Daca si pierderile pot fi considerate egale cu zero ecuatia generala capata forma particulara:
iei MM (3-28)
n activitatea de ntocmire a bilantului de materiale apar doua etape :
a. alegerea sistemului si izolarea lui;
b. alegerea elementului de baza.
Alegerea sistemului implica limitarea zonei asupra careia urmeaza a se efectua calculele
de bilant de materiale ( fig. 3.1.)
-
38
Fig.3.1 Alegerea sistemului i izolarea lui
Ca element de baza se alege elementul care intra n cel mai mic numar de curenti ce
intersecteaza conturul sistemului. Daca un element intra numai ntr-un singur curent poate fi
considerat element de baza
Bilantul de materiale poate fi :
- global, total sau general;
- partial.
Bilantul de materiale global se ntocmeste pentru un sistem format dintr-un utilaj,
instalatie sau fabricatie fiind cuprinse toate cantitatile sau debitele masice de materiale care
intersecteaza limitele sistemului.
Bilantul de materiale partial se ntocmeste pentru sistemul precizat anterior referindu-se
la un singur component din fluxurile de materiale care intersecteaza limitele sistemului.
Referindu-ne la sistemul din figura 3.1 se poate scrie :
- bilant global de materiale :
Ln = Lc + W (3-29)
- bilant partial de materiale n substanta uscata :
cc
nn L
suL
su
100100 (3-30)
n care :
sun este concentratia, n procente de masa, substanta uscata, continuta de laptele normalizat;
suc este concentratia, n procente de masa, substanta uscata, continuta n laptele concentrat.
Cu ajutorul bilantului de materiale se pot stabili consumurile specifice, randamentul de
fabricatie, etc. Bilantul de materiale poate furniza relatiile si datele necesare pentru optimizarea
anumitor procese de productie.
Lapte normalizat
Concentrare
Lapte concentrat Vapori de ap
Ln
Lc W
-
39
Se precizeaza ca bilantul de materiale se scrie pentru cantitatile de materiale exprimate
numai n unitati de masa sau unitati de cantitate de substanta si n nici un caz n unitati de volum.
Dupa scrierea ecuatiilor de bilant de materiale si efectuarea calculelor analitice care
conduc la determinarea fluxurilor necunoscute, se reprezinta grafic circulatia materialelor
(fig. 3.2). Se efectueaza aceasta reprezentare deoarece constituie o metoda de verificare grafica a
corectitudinii rezolvarii bilantului de materiale.
Pentru reprezentarea grafica se dispun n ordine cantitatile de materiale si se alege un
raport de reprezentare de asa maniera nct pe de o parte sa nu fie prea mare cmpul ocupat de
grafic, iar pe de alta parte sa se poata reprezenta si cantitatile cele mai mici. Atunci cnd ntre
datele care trebuie reprezentate sunt diferente foarte mari, valorile foarte mici se pot figura prin
simple linii pe care se scrie valoarea, celelalte date ramnnd a fi aduse la scara conform
raportului conventional ales. Graficul, de regula, se coloreaza n culori conventionale.
Pentru trasarea graficului circulatiei materialelor sistemul considerat se reprezinta
schematic sau se simbolizeaza printr-un dreptunghi. Se face apel si la elementul estetic.
Bilantul de materiale se rezolva utiliznd datele cunoscute si scriind o serie de ecuatii cu
ajutorul carora se determina necunoscutele. Sunt putine regulile care se pot indica pentru a da o
metoda precisa la rezolvarea problemelor de bilant de materiale. Drumul cel mai bun de urmat se
poate stabili numai prin observarea atenta a problemei n studiu. Ca indicatii generale pot fi
urmatoarele :
- sa se utilizeze ct mai multe ecuatii de bilant de materiale cu termenii rezultati din
analiza materialelor, adica ecuatii de bilant de materiale partial referitoare la anumiti
componenti. Analiza materialelor n cele mai multe cazuri este mai expeditiva si mai exacta
dect masurarea cantitatilor. Se poate scrie un numar de ecuatii de bilant de materiale partial egal
cu numarul componentilor individuali;
Fig.3.2 Graficul de circulaie a materialelor (diagrama Sankey)
-
40
- sa se ia ca baza de referinta componentii care ramn neschimbati tot timpul procesului,
raportnd la acestia pe cei care sufera schimbari;
- componentii care se iau ca baza de referinta sa fie n cantitate ct mai mare raportati la
ceilalti pentru a reduce la minim influenta aproximatiilor si a erorilor;
- n problemele n care intervine aerul sau alte gaze umede, continutul de umezeala sa fie
considerat separat deoarece este supus la fluctuatii mari datorita temperaturii si umezelii relative;
- ecuatiile necesare pentru rezolvarea problemelor de bilant de materiale, n mod curent,
sunt ecuatii care au la baza principiul conservarii materiei sau ecuatii pe baza de rapoarte
stoechiometrice. Pentru rezolvarea problemelor nsa, n anumite cazuri, se pot utiliza si alte tipuri
de ecuatii adecvate cazului respectiv.
3.5.3. Bilantul energiilor
Bilantul energiilor serveste la urmarirea energiilor care intervin ntr-o instalatie sau ntr-
un proces tehnologic. El este o aplicatie a principiului conservarii energiei.
Ecuatia generala care defineste bilantul energiilor are forma :
pierie EEEEE (3-31)
n care :
Ee - este suma energiilor existente n sistem;
Ei - suma energiilor intrate n sistem;
Er - suma energiilor ramase n sistem;
Eies - suma energiilor iesite din sistem;
Ep - suma energiilor pierdute din sistem.
Prin Ep , suma energiilor pierdute din sistem, se nteleg toate energiile mecanice,
termice, etc. care parasesc sistemul n mod natural si inevitabil, constituind pierderi n ceea ce
priveste realizarea scopului propus. Aceste energii pierdute pot fi micsorate dar nu anulate;
existenta lor conduce la micsorarea randamentului energetic al sistemului considerat.
Deoarece energiile se transforma usor ntre ele, nu pot exista bilanturi partiale referitoare
la un singur fel de energie, asa cum sunt bilanturile de materiale partiale pentru un singur
component. Totusi atunci cnd este posibil se poate scrie numai bilantul energiilor mecanice sau
numai bilantul energiilor termice.
Formele de energie care intervin n ecuatia de bilant energetic sunt :
- energia potentiala sau de pozitie :
hgmEp (3-32)
- energia cinetica sau energia de miscare :
-
41
2
2wmEc
(3-33)
- energia interna:
umU (3-34)
- lucrul mecanic extern sau energia de presiune pentru introducerea unui corp n sistemul
considerat :
vpmLe (3-35)
- energia calorica absorbita din exterior : Q
- lucrul mecanic dat sistemului din exterior: LM
n relatiile de mai sus :
m este masa corpului, n kg,
g - acceleratia gravitationala, n m/s2,
h - naltimea (distanta pna la un plan de referinta), n m,
w - viteza corpului n raport cu un sistem de referinta considerat stationar, n m/s,
u - energia interna, n J/kg,
v - volumul specific, n m3/kg,
p - presiunea, n Pa.
Primele patru tipuri de energie sunt aduse cu masa corpurilor care intra n sistem sau
sunt luate cu masa corpurilor care ies din sistem; ultimele doua, sunt energii de schimb ntre
sistemul considerat si mediul exterior.
Considernd un proces cu desfasurarea continua, Ee = Er, ecuatia generala de bilant
energetic (3-31) n care se opereaza introducerea expresiilor tipurilor de energie mai sus
amintite, capata forma :
pierduteeieiecpMeiicp ELUEELQLUEE iei (3-36)
3.5.3.1. Bilantul energiilor mecanice
Daca se considera un sistem la care energia calorica schimbata cu exteriorul este
neglijabila sau nula, Q = 0, si variatia energiei interne a sistemului (Uies - Ui) este neglijabila,
ecuatia (3-36) capata forma :
fecpMecp ELEELLEE ieieieiii (3-37)
sau
fieieie
ieMiii
i Evpmwm
hgmLvpmwm
hgm
22
22
(3-38)
n care Ef este energia mecanica pierduta ca urmare a frecarilor.
-
42
fp
p
iieM Edp
mwwmhgmL 2
1
22
2
1
(3-39)
care :
- pentru fluidele necompresibile - lichide (densitatea constanta) devine :
fiieM Epm
wwmhgmL
22
2
1 (3-40)
- pentru fluide compresibile - gaze (densitatea variabila) ecuatia (3-39) devine :
fg
g
iieM EpM
lRmwwmhgmL
ln
2
1 22 (3-41)
Ecuatia (3-39) reprezinta una din formele generale ale ecuatiei lui Bernoulli.
Formele (3-40) si (3-41) sunt particularizate pentru lichide si gaze.
Ecuatia lui Bernoulli are numeroase aplicatii n calculele de inginerie, ncepnd cu
determinarea puterii motoarelor ce actioneaza pompele si ventilatoarele si terminnd cu curgerea
prin orificii, canale etc.
3.5.3.2. Bilantul energiilor termice
O forma particulara a bilantului energiilor, forma care apare n multe cazuri din tehnica
este cea a bilantului termic (caloric). El reprezinta de fapt o simplificare a bilantului energetic
general prin urmarirea lui numai sub aspectul variatiilor caldurilor din sistemul considerat, adica
se considera:
00
iecpicpM
EEEE
L
Cu aceste simplificari ecuatia (3-36) devine:
0 QLULUieeie
sau 0 Qvpmumvpmumiei
(3.42)
0 Qvpum
0 Qhm
Ecuatia (3-42) reprezinta expresia bilantului termic ( caloric ).
Aceasta expresie se mai poate scrie si sub forma :
pierie QQQQQ (3-43)
n care :
Qe - este suma cantitatilor de caldura existente n sistem;
Qi - suma cantitatilor de caldura introduse n sistem;
-
43
Qr - suma cantitatilor de caldura ramase n sistem;
Qies - suma cantitatilor de caldura iesite din sistem;
Qp - suma cantitatilor de caldura pierdute din sistem.
De regula, bilantul termic al sistemelor considerate, se scrie cu scopul :
- determinarii cantitatilor de materiale care nu pot fi obtinute din bilantul de materiale, ca de
exemplu cantitatea de agent de ncalzire - racire;
- determinarea valorii unei temperaturi, n calcule de verificare;
- determinarii unor dimensiuni, cum ar fi suprafete de schimb de caldura, n cazul calculelor de
proiectare.
De asemenea bilantul termic se poate scrie si pentru stabilirea fluxurilor termice.
Datorita simplificarilor efectuate, bilantul caloric nu este exact cnd se aplica sistemelor
n care materialele au viteze mari sau n care lucrul mecanic al pompelor, ventilatoarelor,
agitatoarelor, turbinelor au valori importante.
Caldurile care intervin ntr-un sistem luat n considerare pot fi :
- calduri sensibile;
- calduri latente;
- calduri transmise prin conductivitate, convectie si/sau radiatie;
- calduri provenite din variatia energiei interne (calduri de reactie, dilutie, etc.);
- calduri provenite din transformarea altor tipuri de energii n caldura(ex. energia electrica).
Semnificatia termenilor ecuatiei bilantului termic.
Calduri sensibile. De regula, temperatura unui corp este o masura a nivelului energetic
intern al acestuia. Pentru intervale mici de temperatura, intervale n care nu apar transformari de
faza, cantitatea de caldura cedata sau absorbita de corp este direct proportionala cu variatia
temperaturii. Aceasta cantitate de caldura care se pune n evidenta prin variatia temperaturii
corpului care o absoarbe sau o cedeaza se numeste caldura sensibila si este data de relatia :
dtcmdQ (3-44)
n care :
dQ - este variatia de caldura sensibila, n J,
m - este cantitatea de substanta, n kg sau moli,
c - factor de proportionalitate caracteristic fiecarei substante denumit capacitate calorica masica
sau molara, n J/(kg.K) sau J/(mol.K),
dt - variatia de temperatura, n grade Celsius sau Kelvin.
-
44
Capacitatile calorice masice si molare sunt n general variabile cu temperatura, deci cu
intervalul de temperatura n care se realizeaza racirea sau ncalzirea. Pentru a evita integrarea n
fiecare caz, n calcule se folosesc capacitati calorice masice medii, respectiv molare medii.
n marimi finite relatia (3-44) capata forma :
tcmQ (3-45)
Calduri latente. Caldura absorbita sau eliberata fara ca substanta sa-si schimbe
temperatura se numeste caldura latenta. Absorbtia sau cedarea caldurii, deci marirea sau
micsorarea energiei interne a sistemului, fara schimbarea temperaturii, este nsotita de o
modificare a legaturilor intermoleculare din care rezulta o schimbare de stare fizica sau o
transformare de faza. Se ntlnesc urmatoarele transformari de faza :
- topire - solidificare;
- evaporare - condensare;
- sublimare - desublimare;
- cristalizare - dizolvare - diluare;
- sorbtie - desorbtie.
Ca valoare, caldura latenta de evaporare (condensare) este mai mare dect caldura latenta
de topire (solidificare) deoarece n cazul starii gazoase moleculele sunt mai departate dect
moleculele din starea lichida iar pent