CURSO: CIRCUITOS Y MAQUINAS...

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIAL MODULO 5

CURSO: CIRCUITOS Y MAQUINAS ELECTRICASProfesor del Curso : Ms.Sc. César L. López Aguilar

Ingeniero Mecánico Electricista CIP 67424

Leyes y teoremas aplicados a Circuitos Eléctricos

LEYES DE OHM

Georg Simon Ohm en 1827 determinó la ley que lleva su nombre y que a

continuación dice :

La resistencia es la propiedad física de un elemento ó un dispositivo que impide

el flujo de corriente y se representa con el símbolo R.

Un resistor opera dentro de su intervalo especificado de corriente I y puede

ser modelado mediante las leyes de Ohm.

PRIMERA LEY DE OHM .- Se ha demostrado que la corriente I que circula por

una resistencia es direstamente proporcional a la V, siempre y cuando la

temperatura en el resistor permanezca constante.

I

- I

V

- V

U = R . I R = V / I ( )

Donde :

V = Tensión en Voltios ( V ).

I = Corriente en Amperios ( A )

R = Resistencia en Ohmios ( ).

La resistencia R es la constante de proporcionalidad

que relaciona a la tensión y corriente.

215/10/2013 Ing. César Lopez Aguilar

CONTINUACION

SEGUNDA LEY DE OHM .- La resistencia R de un conductor es directamente

proporcional a su longitud e inversamente proporcional a su área transversal A.

R = ( L / A )

Donde :

= Resistividad eléctrica ( - m ) ó ( - mm² / m )

L = Longitud de la resistencia en m.

A = Es el área transversal en m² y mm²

LOS SUPERCONDUCTORES .- Son los materiales que transportan energía

eléctrica sin disipación. Estudiando la temperatura de algunos materiales

conductores próximos a cero Kelvin se consigue obtener resistividades casi

nulas.

Este fenómeno fue inicialmente observado en algunos metales entre ellos se

encuentran el : Mercurio, cadmio y estaño.

Actualmente en la composición de los superconductores se utiliza una mezcla

de óxidos de metales : Talio, calcio, bario y cobre.

Los físicos están haciendo estudios para obtener superconductores adecuados

a altas temperaturas, pues consiguiendose ésto no habrá mas disipación de

energía eléctrica revolucionando de este modo el transporte de energía.


FORMULAS QUE SE DERIVAN DE LA LEY DE OHM

P U

R I

R . I

P / I

P.R

U² / R

R . I²

U . I

U / I

P / I²

U² / P P / U

U / R

P / R


LEY DE JOULE

James Prescott Joule en 1841 descubrió la relación entre la corriente y el

calor ó la energía producida determinándose así la ley que lleva su nombre y

que a continuación dice :

Cuando un resistor se calienta debido al paso de una corriente eléctrica se dice

que ocurre el EFCTO JOULE. En un intervalo de tiempo dado la energía eléctrica

que el resistor consume es disipada en forma de calor.

Entonces la potencia eléctrica consumida es igual a la potencia eléctrica

disipada esto es :

P = U . I = R . I² = U² / R Vatios

De estas expresiones podemos afirmar lo siguiente :

- La potencia en un resistor aumenta si la corriente aumenta.

- La potencia de un resistor, bajo una tensión constante, aumenta si

disminuye su resistencia.

De la formulas anteriores podemos afirmar que : / t = R . I²

= t . R . I² Ley de joule

Esta expresión nos permite calcular la energía eléctrica convertida en energía

térmica en un intervalo de tiempo.515/10/2013 Ing. César Lopez Aguilar

LEYES DE KIRCHHOFF

Gustav Robert Kirchhoff en 1847 estableció dos leyes que relacionan la

corriente y la tensión en los circuitos eléctricos.

PRIMARA LEY DE KIRCHHOFF ( LKC ).- La suma algebraica de las

corrientes en un nodo es cero en todo instantante. Esto es :

I1 - I2 - I3 = 0 y I1 + I3 - I2 - I4 - I5 = 0

I1 = I2 + I3 I1 + I3 = I2 + I4 + I5

En forma general podemos afirmar que : Las sumatoria de las corrientes que

llegan es igual a la sumatoria de las corrientes que salen.

I LLEGAN = I SALEN

Notese que las corrientes que entran al nodo son positivas mientras las que

salen son negativas.

I1I2

I3

I1

I2I3

I4I5

A A


CONTINUACION

SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ( LKV ).- En cualquier malla, la suma

algebraica de los tensiones a lo largo de sus ramas , recorridos en sentido

arbitrario, es nula.

En la siguiente si recorremos el circuito en sentido horario, a partir del punto A ,

una vuelta hasta cumplir una vuelta tenemos :

- R1 . I1 + E1 + R2 . I2 - R3 . I3 - E2 - R4 . I4 = 0

Los signos - se deben a que el sentido de la corriente es contrario al sentido

adoptado y usamos el signo + cuando el sentido de la corriente coincide con el

sentido adoptado

A B

D C

R1

R3

R4

R2

I1

I4

I3

I2

E1

E2

+ -

+ -

La expresión general esta

dado por :

U = 0

La sumatoria de tensiones

alrededor de una malla es

nula.


CONTINUACION

RECOMENDACIONES PARA LA SOLUCION DE RESDES ELECTRICAS

1.- Marcar con letras todos los nodos de la red.

2.- Marcar todas las mallas.

3.- Marcar arbitrariamente, los sentidos de las intensidades de las corrientes en

. los diversos ramos de la red.

4.- Adoptar arbitrariamente el sentido de la malla ( horario ó antihorario ).

5.- Considerando que existan n nodos y m mallas en la red :

- Escoger la LKC para los n -1 nodos.

- Escoger la LKV para m mallas principales.

6.- Escriba las ecuaciones y constate si el número de ecuaciones son las ade-

. cuadas para solucionar el problema.

7.- Resolver el sistema de ecuaciones.

En caso que resulte un valor negativo para la intensidad de corriente de un

determinado ramo se debe invertir el sentido adoptado arbitrariamente

colocando el sentido convencional y expresar el resultado en valor absoluto.

Si ese ramo tiene un generador la corriente convencional debe entrar por el

polo negativo y salir por el positivo; caso contrario será un receptor.


CONTINUACION

A B

5

E2 = 12 V- +

Ejemplo.- En la figura se le solicita encontrar : a.- Cual es la intensidad que

circula por las baterias. b.- Cual es el valor de la tensión entre los puntos A y

B. c.- Cual de las dos baterias esta funcionando como receptor.

E1 = 6 V- +

10


TEOREMA DE LA SUPERPOSICION

EL principio de superposición exige que el efecto total de varias causas que

actúan simultáneamente es igual a la suma de los efectos de las causas

individuales actuando una a la vez.

Para aplicar el principio de superposición se requiere desactivar todas las

fuentes independientes menos una y calcular la respuesta debida a esa fuente.

Después se repite el proceso inhabilitando todas, menos una segunda fuente.

La respuesta total será la suma de todas las respuestas individuales.

NOTAS :

1.- Cuando se considera una fuente independiente, las demás se fijan en cero.

. Entonces una fuente independiente de voltaje aparece como un corto

. Circuito con voltaje cero.

2.- Si una fuente independiente de corriente se fija en cero, no fluye corriente

. alguna, aparece como un circuito abierto.

3.- Es importante destacar que si existe una fuente dependiente debe mante-

. nerse activa ( inalterada ) durante el proceso de superposición.

Ejemplo.- Calcular la corriente I , en el resistor de 6 Ohmios , de la figura,

aplicando el teorema de superposición.


CONTINUACION

3

6 2 A

I

6 V

Procedimiento.-

1.- Fijar en cero la fuente de corriente ( circuito

. abierto ) y se calcula i1.

. Lo demás permanece constante.

2.- Luego se fija en cero la fuente de tensión ( corto circuito ) y se calcula i2.

. Lo demás permanece constante.

3.- La corriente total es la suma de i1 e i2.

3

6

I1

6 V

3

6 2 A

I2

6 V

i1 = 6 / 9 A i2 = [ 3 / ( 3 + 6 ) ] . 2 = 6 / 9 A

I = i1 + i2 = 6 / 9 + 6 / 9 = 12 / 9 = 4 / 3 A

+

-

+

-


CONTINUACION

SIMBOLOGIA UTILIZADA

+

-V

+

-

I

nI ó nV

Fuente de tensión .- Esquematiza una batería y/o una

fuente independiente de tensión, la corriente ingresa por

el borne negativo. Cuando se inhabilita dentro del circuito

se produce el corto circuito entre sus bornes.

Fuente de corriente.- Esquematiza una fuente de co-

rriente independiente el sentido de circulación esta

indicado en el símbolo. Cuando se inhabilita dentro del

circuito se produce el circuito abierto.

Fuente dependiente.- Es un generador de tensión ó

corriente cuyos valores dependen de otra variable del

circuito.

Fuente de corriente ó tension dependientes.-

Esquema-tiza una fuente de corriente ó tensión

dependiente. Este tipo de fuentes no pueden ser

inhabilitados por ningún motivo.

NO SE

USARA


FUENTE DEPENDIENTES

+-

+-

DESCRIPCION SIMBOLO

Fuente de voltaje controlado por corriente

( FVCC ), es la ganancia de la FVCC .

Las unidades de son voltios / amperios.

Fuente de voltaje controlado por tensión

( FVCV ), b es la ganancia de la FVCV .

Las unidades de b son voltios / voltios.

Fuente de corriente controlado por

tensión ( FCCV ), g es la ganancia de la

FCCV .

Las unidades de g son amper / voltios.

Fuente de corriente controlado por

corriente ( FCCC ), d es la ganancia de

la FVCV .

Las unidades de d son voltios / voltios.

Vc = 0

+

-ic

Vc = 0

+

-ic

Ic = 0 +

-Vc

Ic = 0 +

-Vc

Id

Vd = Ic

Id

Vd = b Vc

Id = g VcVd

+

-

+

-Vd Id =d Vc


TEOREMA DE THEVENIN

El Ing. Francés M. L. Thévenin en 1883 desarrollo y publicó el teorema que

lleva su nombre, es una potente y excelente herramienta en la solución de

circuitos eléctricos.

El teorema de Thévenin plantea que cualquier circuito cuyos elementos son

resistencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados ,

pueden reemplazarse por una conbinación, en serie, de una fuente de tensión

ideal Vth y una resistencia Rth.

Donde :

Vth = Voltaje del circuito abierto en los dos terminales .

Rth = Es la razón del voltaje en circuito abierto y la corriente de corto

circuito en el par de terminales.

El objetivo de este teorema es reducir determinada parte del circuito a una

fuente y un solo elemento. Este circuito equivalente reducido, conectado al

resto del circuito , permitirá determinar la corriente ó el voltaje de interés.

SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES

Para facilitar la comprensión del desarrollo del presente teorema presentare-

mos a continuación un procedimiento y es el siguiente :


PROCEDIMIENTO

PASO OPERACION ESQUEMA

A Identificar el circuito A y B CIRCUITO A CIRCUITO B

B Separar el circuito A del B CIRCUITO A

Rth

C Sustituir el circuito A con su

equivalente de Thevenin.

C Reconectar el circuito B y de-

terminar la variable de interés.

+- Vth

Rth

+- Vth

Rth CIRCUITO B


RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO

1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de

. Thévenin.

2.- Para obtener la resistencia equivalente Rth de Thévenin cortocircuitar las

. fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar

. a obtener Rth.

3.- Utilizar la metodología de divisores de tensión para encontrar la tensión

. equivalente de Thévenin entre los terminales.

4.- Hacer el circuito equivalente de Thévenin y reemplazar en el modelo los

. valores encontrados en los cálculos.

5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor.


CONTINUACION

Ejemplo.- Utilizando el teorema de Thevenin calcular la corriente I por el

resistor R en el circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Ohmios.

+- 50 V

5

20

4

R

I

+- 50 V

5

20

4

5

20

4

Rth+- 50 V

5

20

4

Vth

+- Vth = 50 V

Rth = 8R

I Rth = 5 . 20 / ( 5 + 20 ) = 8

Vth = 50. 20 / ( 20 + 5 ) = 40 V

Si R = 10

I = 40 / 8 + 10 = 40 / 18 A.


TEOREMA DE NORTON

El Ing. Estadounidense E. L. NORTON en 1926 publicó su teorema que lleva

su nombre, este teorema es el dual del teorema de Thénenin.

El teorema de Norton plantea que cualquier circuito cuyos elementos son resis-

tencias y fuentes de energía con un par de terminales identificados , pueden

reemplazarse por una combinación, en paralelo, de una fuente de corriente

ideal In y una una resistencia Rn.

Donde :

In = Corriente de corto circuito en los terminales manteniendo la

fuente independiente activada.

Rth = Resistencia equivalente en los terminales cortocircuitando la

fuente independiente.

SOLAMENTE TRABAJAREMOS CON FUENTES INDEPENDIENTES

InRn

El teorema de Norton se especifica con el

esquema junto conformado por una fuente de

corriente In en paralelo con una Rn.


1.- Fijar adecuadamente los terminales donde se va aplicar el teorema de

. Norton.

2.- Para obtener la resistencia equivalente Rn de Norton cortocircuitar las

. fuentes independientes y hacer la reducción ( serie ó paralelo ) hasta llegar

. a obtener Rn.

3.- Haciendo un cortocircuito en los terminales del circuito, manteniendo activa

. la fuente de tensión independiente, calcular la corriente circulante por la .

malla In . Tener cuidado cuando se cortocircuitan los terminales pués mu-

. muchas veces quedaran una o varias resistencias sin trabajar.

4.- Hacer el circuito equivalente de Norton y reemplazar en el modelo los

. valores encontrados en los cálculos.

5.- Si tiene algún inconveniente consultar con el Profesor.

RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO


Ejemplo.- Utilizando el teorema de Norton hallar su circuito equivalente del

circuito de la fig. Todas las reistencias entan en Kilohmios.

CONTINUACION

+- 15 V

8

6

4

8

6

4

+- 15 V

8

6

4

In

Rn

In =1.25 A

Rn = 4 K

Haciendo los cálculos tenemos :

Rn = 6 . 12 / ( 6 + 12 ) = 4 K

In = 15 / ( 8 + 4 ) = 1.25 A.

+- 15 V

8

4

In


TEOREMA DE LA MAXIMA TRANSFERENCIA

DE POTENCIA

Si deseamos conocer cual es la máxima potencia que puedo extraer de una

fuente procedo como sigue :

CIRCUITO A

+- Vth

RthI

Rc 1.- Identifico los terminales de la carga.

2.- Si el circuito es complejo, entonces, aplico

. el teorema de Thévenin y planteo o hago el

. respectivo modelo.Rc

El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que la potencia

máxima entregada por una fuente representada por su circuito equivalente de

Thévenin se alcanza cuando la carga Rc es igual a la resistencia de Thévenin

Rth.


Los sistemas eléctricos se diseñan para llevar la potencia a la carga con la

mayor eficiencia. Por ello el esfuerzo se centra en reducir Rth .

Rth = Rsistencia interna de la fuente + resistencia de la línea.

CONTINUACION

+- Vth

RthI

Rc

La potencia en la carga de la figura adjunta es :

P = I² . Rc

I = Vth / ( Rth + Rc )

P = [ Vth / ( Rth + Rc ) ] ² Rc. ( )

Suponiendo Vth y Rth constantes la máxima potencia extraida de la fuente

estará en función de la resistencia de la carga Rc. Esto implica que :

d P/ d Rc = Vth² { ( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} / ( Rc + Rth )² ( Rc + Rth )²

La derivada se hace igual a cero

( Rth + Rc ) ² - 2 ( Rth + Rc ) Rc} = 0

( Rth + Rc ) ( Rth + Rc - 2 Rc } = 0

Rth = Rc ( )

Para demostrar la validez de la ec. se debe demostrar que d² P / dRc² < 0.


Reemplazando ( ) en ( ) tenemos :

Pmax = Vth ² Rc / ( 2 . Rc ) ² = Vth ² / 4 . Rc

La eficiencia de la transferencia de potencia se define como la razón de la

potencia entregada a la carga Psal, a la potencia entregada por la fuente Pin.

Por tanto

= Psal / Pin

Para la máxima transferencia de potencia, cuando Rs = Rc se tiene:

Pin = Vth . I = Vth { Vth / ( Rth + Rc ) } = Vth ² / 2 Rc

Luego la potencia máxima entregada a la carga resulta ser :

Psal = Pmax = Vth ² / 4 Rc

Entonces :

= P sal / Pin = 0.50

En condiciones de transferencia máxima de potencia solo se alcanza el 50 %

de eficiencia.

Luego los circuitos tendrán eficiencias menores de 50 % en condiciones de

máxima potencia.

CONTINUACION


HMPOTENCIA REALMENTE ALCANZADA A MEDIDA QUE Rc

VARIA CON RESPECTO A Rth

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2

VARIACION DE Rc / Rth ( p.u )

VA

RIA

CIO

N D

E P

/ P

ma

x. (

p

.u )


A continuación revisaremos algunas técnicas que nos permitan reducir la red en

forma facilmente analizable.

A continuación presentamos el análisis de un circuito con :

UNA FUENTE INDEPENDIENTE.-

Se desea calcular el voltaje de salida Vsal de la siguiente figura :

ANALISIS DE LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

+-

R1 R2 R3

R4 R5 R6 VsalV

+-

Rs

Rp VsalV

Rs

Rp


Calcular la corriente I1 cuando R4 = 2 y R3 = R4 = 8

CONTINUACION

3 9 18

R4

R3R2

6

3 9 186

I1

I

I1

I

3

3 3I1

I

3

I1 = { ( 1 / R1 ) I } / ( 1 / R1 + 1 / R2 )

I1 = { ( I / 3 ) I } / ( 1 / 3 + 1 / 3 )

I1 = { ( 1 / 3 ) I } / ( 2 / 3 )

I1 = ( 1 / 2 ) I

R1 R2


UNA FUENTE DEPENDIENTE.-

Se desea calcular la corriente I de la siguiente figura :

+-

2

418 V

-+

4

8

+-

2

318 V

-+

2V1 2V1

- 18 = 2 I + 2 V1 + 3 I = 0 Pero V1 = 2 I

2 I + 2 ( 2 I ) + 3 I = 18

I = ( 18 / 9 )

I = 2 A.

I I

V1 V1

CONTINUACION


Un divisor de voltaje se conecta a una fuente y a un voltímetro como se mues-

tra en la fig. Idealmente Rf = 0 ( resistencia interna de la fuente ) y Rm =

( voltímetro ideal ) .

Sin embargo para un circuito práctico Rf = 125 y Rm = 10 K .

Seleccionar R1 y R2 para minimizar el error introducido por Rf y Rm cuando

se desea que V / Vf = 0.75

DISEÑO DE UN DIVISOR DE TENSION

+-

Rf

R2Vf Rm

I

V+

-

voltimetro

DEFINIR LA SITUACION

1.- Se utiliza un divisor de voltaje con una fuente práctica con resistencia Rf.

2.- El resistor R2 esta cargado por la resistencia del voltímetro Rm.

3.- La razon deseada es V / Vf = 0.75


CONTINUACION

OBJETIVO

Determinar R1 y R2 para minimizar la diferencia entre los valores del voltaje V

para los casos ideal y práctico.

ESTABLECER EL PLAN

1.- Determinar la tensión V para el caso ideal.

2.- Determinar la tensión V ’ para el caso práctico.

3.- Definir una medida del error.

4.- Minimizar el error y después determinar R2 y R1.

ACTUAR CONFORME AL PLAN

El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm = Esto es :

V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf

Donde a = R2 / ( R2 + R1 )

En el caso práctico la tensión de salida es :

V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf

Donde Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm )2915/10/2013 Ing. César Lopez Aguilar

CONTINUACION

ACTUAR CONFORME AL PLAN

El divisor de tensión ideal se obtiene Rf = 0 y Rm = Esto es :

V = { R2 / ( R1 + R2 ) } Vf = a Vf

Donde a = R2 / ( R2 + R1 )

En el caso práctico la tensión de salida es :

V ’ = { Rp / ( Rf + R1 + Rp ) } Vf

Donde: Rp = R2 . Rm / ( R2 + Rm ) y R1 = R2 ( 1 - a ) / a

V ’ = { a R2 Rm / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] } Vf

Luego el error se define como :

e = ( V - V’’ ) / V = ( a Vf - V ’ ) / a Vf.

Al sustituir V y V ’ en la última ecuación tenemos :

e = 1 - { R2 Rm ) / [ ( a Rf + R2 ) ( Rm + R2 ) - a R2 ² ] ( t )

El objetivo es minimizar el error e seleccionando R2, se puede utilizar el cálculo

diferencial y establecer que:

de/ dR2 = 0 para determinar el mejor valor de R2. 3015/10/2013 Ing. César Lopez Aguilar

CONTINUACION

R2 = 3 Rm Rf

Cuando a = 0.75 Asi mismo Rm = 10 K . Y Rf = 125 .

R2 = 1936.5 .

Ademas de a = R2 / ( R2 + R1 ) R1 = R2 ( 1 - a ) / a

R1 = 1936.5 ( 1 - 0.75 ) / 0.75

R1 = 645.5 .

Al reemplazar R2 , R1, a, Rm y Rf en la ecuación ( t ) obtenemos:

e = 1 - 0.0907 = 0.093 = 9.3 %

El error mínimo es de 9.3 %.


PRACTICA CALIFICADA N° 05

1. Hay tres lámparas de conectadas en serie. La primera y la tercera

oponen una resistencia de 52 Ohms; la lámpara del medio opone 76

Ohms. Si se le conecta una fuente de 220 Volts. ¿Qué intensidad

circulará por estas lámparas?. Represente el circuito eléctrico. (1.22

A.)

2. En una red divisora de tensión, se aplica una tensión de entrada de 120

v., los valores de R1 y R2 son de 100 y 50 Ohm respectivamente. Se

conecta en paralelo a la resistencia divisora una tercera resistencia R3

en conexión con una llave simple. Calcular la tensión de salida con la

llave abierta y cerrada?. Represente el circuito eléctrico.(40 Y 24 V)

3. Se ha quemado un resistor de 22 K Ohms que tiene una tolerancia del

10 %. Se tiene a la mano cinco resistencias cuyos valores son de 10,

220, 47, 33 y 120 Kohms respectivamente ¿Cuáles de estos resistores

elegiría usted para conectar en paralelo a fin de reemplazar al

componente fallado?.(220-120 – 33 kOhm)




100

150

I1=1 A

E = ?+ -

120

20

10 50

4. Calcular el valor de la tensión

en el siguiente circuito. (225 V.)

10 Ω 20 Ω 30 Ω

5. Manteniendo la disposición de las resistencias, realizar una conexión

en serie y en paralelo, conectarlos a una fuente de tensión de 220

voltios, calcular la corriente para ambas conexiones y explicar la

diferencia obtenida.(3.66 y 40.33 A)



6. Calcular el valor de la tensión en

el siguiente circuito. (280 V)

7. Calcular el valor de la tensión E de salida en el siguiente circuito. (

2.495 V)

E =100 v

-

+

R2

100

R7

50 25

30

R1

R8 R9

R3

100 50

30

30

60

E sal = ?R3R3R3

I1=2 A

E = ?

- +

R2

50

R3 R4

100 100

100

R1

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