Curso de Postgrado de Actualización Control de Procesos · Control de Procesos Enfoque desde la...

Control de Procesos Control de Procesos Enfoque desde la teorEnfoque desde la teoríía de sistemas dina de sistemas dináámicos y micos y

sistemas de control en variables de estadosistemas de control en variables de estado

Vicente CostanzaVicente Costanza

CLASE 3.5CLASE 3.5Centro de Aplicaciones InformCentro de Aplicaciones Informááticas en el ticas en el

Modelado de IngenierModelado de Ingenieríía (CAIMI)a (CAIMI)UTN UTN -- Facultad Regional RosarioFacultad Regional Rosario

20082008

Curso de Postgrado de ActualizaciCurso de Postgrado de Actualizacióónn

UTNUTN--Facultad Regional Rosario Facultad Regional Rosario CAIMICAIMI--20082008

Estabilidad segEstabilidad segúún n LyapunovLyapunov

¿¿CCóómo inferir la estabilidad sin mo inferir la estabilidad sin calcular todos los autovalores de calcular todos los autovalores de AA? ? (pensar casos en que (pensar casos en que nn es grande)es grande)Concepto de la Concepto de la ““energenergííaa”” V(x). Si la V(x). Si la energenergíía decrece hacia el equilibrio, y a decrece hacia el equilibrio, y tiende a cero, se supone que dicho tiende a cero, se supone que dicho equilibrio serequilibrio seráá ““estableestable””. .


Equilibrios establesEquilibrios estables


Definiciones de estabilidadDefiniciones de estabilidad

0

1) Un equilibrio de un sistema dinámico ( ) (es decirun punto para el cual ( ) 0 ) es cuando, paracualquier entorno de , existe otro entorno más pequeño

tal que cualquier tra

x x f xf x

U xU U

=

=

⊂

estable

0 0

yectoria solución ( )

iniciada en (o sea con (0) ), permanece

en el entorno para todo 0. (no se "escapa" de ).

2) El equilibrio es si es establey además, cua

y

y

t

U y U

U t U

x

α

α = ∈

≥

asintóticamente establelquier trayectoria ( ) como arriba verifica:

lim ( ) (o sea, tiende efectivamente al equilibrio).y

yt

t

t x

α

α→∞

=


Equilibrio Equilibrio asintasintóóticamenteticamente estableestable


FunciFuncióón de n de LyapunovLyapunovUna "función de Lyapunov" es una función definida

en un entorno suficientemente grande de , que: (i) toma valores reales no negativos,(ii) toma el valor 0 solamente en ,(iii) es continuamente d

V

B x

xerivable en , y verifica:

( ( )) 0 para toda trayectoria del

sistema dinámico ( ) iniciada en , 0.

y

y

Bd V tdt

t y B t

α

α

≤

∈ ∀ ≥


Teorema de Teorema de LyapunovLyapunovSi para el equilibrio existe una función de Lyapunov (como se definió anteriormente), entonces es estable.

Si además la derivada de a lo largo de cualquiertrayectoria del sistema es estricta

x Vx

Vmente negativa, es decir

( ( )) 0 , 0,

entonces es asintóticamente estable.

yd V t tdtx

α < ∀ ≥


Comentarios sobre el teoremaComentarios sobre el teoremaLa funciLa funcióón de n de LyapunovLyapunov funciona como funciona como una una ““energenergííaa”” del sistema, que se del sistema, que se ““apagaapaga””en el equilibrio.en el equilibrio.Si se la encuentra, es mSi se la encuentra, es máás fs fáácil (al menos cil (al menos cuando cuando nn es grande) analizar estabilidad es grande) analizar estabilidad estudiando su derivada que calculando estudiando su derivada que calculando todos los autovalores del sistema.todos los autovalores del sistema.Se extiende a sistemas no lineales.Se extiende a sistemas no lineales.El teorema no dice cEl teorema no dice cóómo encontrar la mo encontrar la funcifuncióón de n de LyapunovLyapunov (si es que existe).(si es que existe).


LyapunovLyapunov para el caso linealpara el caso lineal

Sistema dinámico: Equilibrio: 0

Función de Lyapunov: ( ) ' , matriz 0A lo largo de las trayectorias del sistema:

'( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( )

( ) '(

x Axx

V x x Px P

d dx dxt V x t t t t Px t x t P tdt dt dt

t x

==

= ≥

⇒ = = + =

( )) ' ( ) '( ) ( ) '( ) ' ( )t A Px t x t PAx t x t A P PA x t+ = +


Relacionar con QRelacionar con QAA’’P+PA=Q (1)P+PA=Q (1)MMéétodos de aplicacitodos de aplicacióón:n:1) Proponer una P definida positiva y ver 1) Proponer una P definida positiva y ver si Q resulta definida negativa. Si no si Q resulta definida negativa. Si no resulta, reintentar.resulta, reintentar.2) Proponer Q definida negativa, resolver 2) Proponer Q definida negativa, resolver el sistema de ecuaciones lineales para los el sistema de ecuaciones lineales para los elementos de P, y verificar si P resulta elementos de P, y verificar si P resulta definida positiva. Si no, reintentar.definida positiva. Si no, reintentar.Resultado: A es Resultado: A es HurwitzHurwitz si y ssi y sóólo si para lo si para cada Q def. negativa existe una solucicada Q def. negativa existe una solucióón n úúnica P de la ecuacinica P de la ecuacióón (1), y es def. pos. n (1), y es def. pos.


Ejemplo linealEjemplo lineal>> A = [>> A = [--1 0 ; 2 1 0 ; 2 --3]3]

A =A =

--1 01 02 2 --33

>> Q = >> Q = --eyeeye(2)(2)

Q =Q =

--1 01 00 0 --11


ContinContinúúaa

11 12 11 12

21 22 21 22

11 21 11 12

12 22 12

21 21 22

22 22

'

1 2 1 0 1 00 3 2 3 0 1

2 2 12 3 0

3 2 03 3 1

A P PA Q

p p p pp p p p

p p p pp p pp p pp p

+ = ⇒

− − − + = − − −

− + − + =−− + − =− − + =− − =−


SoluciSolucióónnP = [2/3 1/12 ; 1/12 1/6]P = [2/3 1/12 ; 1/12 1/6]

P =P =

0.6667 0.08330.6667 0.08330.0833 0.16670.0833 0.1667

>> A'*P+P*A>> A'*P+P*A

ans =ans =

--1 01 00 0 --11


¿¿CCóómo es P?mo es P?

>> >> eig(Peig(P))

ansans ==

0.15310.15310.68020.6802

Los dos autovalores son positivos, Los dos autovalores son positivos, por lo que P es definida positiva.por lo que P es definida positiva.


Ejemplo no linealEjemplo no lineal(Modelo del HIV)(Modelo del HIV)

x x xzy xz yż y z


ParParáámetrosmetros

9 0.009 4 106

0.3 80 0.6


EquilibriosEquilibrios

Enfermo: Enfermo: [x = 562.5, [x = 562.5, y=13y=13.125, .125, z=1750z=1750]]

Sano:Sano:[[x=x= 1000.0, 1000.0, y=0y=0.0, .0, z=0z=0.0].0]


LinealizacionesLinealizaciones

A z z 0

0

z x


Equilibrio sanoEquilibrio sano

A =[A =[--0.0090 0 0;0.0090 0 0;0 0 --0.3000 0.004;0.3000 0.004;0 0 80.0 80.0 --0.60]0.60]

eigeig(A)= (A)= --1.0352; 0.1352; 1.0352; 0.1352; --0.00900.0090TieneTiene un un autovalorautovalor positivopositivo porpor lolo

que el equilibrio es inestable.que el equilibrio es inestable.


Equilibrio enfermoEquilibrio enfermoAA’’ = = --0.01600.0160 0.0070 00.0070 0

0 0 --0.3000 80.00000.3000 80.0000--0.0070 0.0022 0.0070 0.0022 --0.60000.6000

eig(A)= (eig(A)= (--0.905, 0.905, --0.0056+0.0656i, 0.0056+0.0656i, --0.00560.0056--0.0656i) 0.0656i) (estable)(estable)

LyapunovLyapunov??[ ]

0

Probar con ( , , ) exp ( ) ( ( ), ( ), ( )) ,

donde ( ( ), ( ), ( )) es la trayectoria que está en ( , , )para 0, y ( , , ) es el campo vectorial del modelo.

V x y z div f x y z d

x y z x y zf x y z

τ τ τ τ

τ τ ττ

−∞

=

=

∫


IntroducciIntroduccióón a losn a losSistemas de ControlSistemas de Control


Diagrama tDiagrama tíípico de sistema de controlpico de sistema de control


Comentarios sobre variablesComentarios sobre variablesEl El estadoestado condensa la historia del sistema, y condensa la historia del sistema, y representa la cantidad de informacirepresenta la cantidad de informacióón necesaria n necesaria para predecir el futuro. Ejemplo, en las para predecir el futuro. Ejemplo, en las ecuaciones de Newton: ecuaciones de Newton:

( )/a x F x m= =Sabemos que es conveniente plantearlo como

0

0

; (0)( ) / ; (0)

x v x xv x a F x m v v= =

= = = =


Estado de un sistema de controlEstado de un sistema de control

A veces los estados no tienen A veces los estados no tienen significado fsignificado fíísico, sobre todo cuando sico, sobre todo cuando provienen de modelos provienen de modelos ““black boxblack box””..Los estados no siempre son medibles Los estados no siempre son medibles u observables continuamente. u observables continuamente. Ejemplo: la concentraciEjemplo: la concentracióón n ξξ del CSTR del CSTR en general se mide mediante anen general se mide mediante anáálisis lisis ququíímicos que lleva tiempo realizar.micos que lleva tiempo realizar.


NociNocióón de estadon de estadoOtra forma de ver el estado es: una cantidad de parámetros,

variables en el tiempo, suficientes (aunque no únicos) para describir por completo el funcionamiento

entrada/salida del sistema, es decir,

x

que para cada estrategia de control (o de entrada) (.) verifiquen:(i) ( , , , (.)) estado al tiempo , proveniente

del estado existente al tiempo , (a la función sela llama "función de transició

ux ux

φ τ σ τσ φ

=

n de estados", en general solución de una ecuación diferencial);

(ii) ( , ) ( ), la salida al tiempo , cuando el estado es (a la función se la llama "función de

medición o de observación"

h t x y t tx h=


El CSTR como sistema de controlEl CSTR como sistema de control

Variables de Variables de estado (dimensiestado (dimensióón)n)

Variables de Variables de control control (manipuladas)(manipuladas)

Variables Variables observadas observadas (salidas)(salidas)

,Tξ

Q

T


INTERVALOINTERVALO


Naturaleza de un sistema de Naturaleza de un sistema de control linealcontrol lineal

Un sistema inicializado en cero (Un sistema inicializado en cero (x(tx(t)=0)=0para para tt≤≤00) se dice ) se dice ““lineallineal”” si se comporta si se comporta linealmente con respecto a las estrategias linealmente con respecto a las estrategias de control (o si la salida de control (o si la salida y(t), ty(t), t≥≥00, es una , es una funcifuncióón lineal de las entradas n lineal de las entradas u(t)u(t) ):):

1 1 2 2

1 1 2 2

( ) salida correspondiente a la entrada ( ) ( ) salida correspondiente a ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i iy t u ty t u t u t

y t y t y tα α

α α+

⇒ = +


Operador lineal sobre las entradasOperador lineal sobre las entradasUn sistema lineal es entonces un operador Un sistema lineal es entonces un operador

lineal en el espacio de funciones de entradas lineal en el espacio de funciones de entradas admisibles. Se puede demostrar (Sontag) admisibles. Se puede demostrar (Sontag) que un tal operador tiene que tomar la que un tal operador tiene que tomar la forma general:forma general:

0

( ) ( , ) ( ) , 0t

y t h t u d tτ τ τ= ≥∫

A la función de dos variables h se la suele llamar “kernel” del operador lineal.


Operador sobre las entradas (continOperador sobre las entradas (continúúa)a)

Para el caso en que la Para el caso en que la ““estructuraestructura”” del sistema no del sistema no varvaríía con el tiempo (para con el tiempo (paráámetros constantes, o metros constantes, o sistema sistema ““time invarianttime invariant””) el kernel del operador ) el kernel del operador lineal depende slineal depende sóólo de las lo de las ““diferencias de tiempodiferencias de tiempo””, , y se transforma entonces en una funciy se transforma entonces en una funcióón de una n de una sola variable: sola variable:

( )0 0

( , ) ( ) , ( ) 0 0 , ( ) 0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )

* se llama "la convolución" de y

h t h t u h

y t h t u d h u t d h u t

h u h u

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ τ τ∞ ∞

→ − = ∀ < = ∀ <

= − = − =∫ ∫


ConvoluciConvolucióónn 1: respuesta al 1: respuesta al impulso impulso h(h(ττ))


Entrada: Entrada: u(u(ττ))=cos(=cos(ττ))


ReflexiReflexióón 1: n 1: uurr((ττ)=)= u(u(--ττ) =cos() =cos(--ττ))


TraslaciTraslacióón: n: u(tu(t--ττ)) = = uurr(t+(t+ττ)=)= cos(tcos(t--ττ))t=4t=4


Varios Varios u(tu(t--ττ))=u=urr ((ττ+t) +t) para para t=1,2,3,4t=1,2,3,4


Salida para varios Salida para varios tt


Salida continuaSalida continua


Salida, con control 0 para t>4.Salida, con control 0 para t>4.


““JugarJugar”” en interneten internet

http://www.jhu.edu/signals/convolvehttp://www.jhu.edu/signals/convolve/index.html/index.htmlTheThe joyjoy ofof convolutionconvolutionProbar el ejemplo anterior para Probar el ejemplo anterior para tiempos mtiempos máás largos.s largos.Probar otro tipo de entradas (pulso Probar otro tipo de entradas (pulso discreto, escaldiscreto, escalóón, rampa, etc.)n, rampa, etc.)


¿¿Por quPor quéé llamar a llamar a hh ““respuesta al impulsorespuesta al impulso””??

1 /

0 0

C onsiderar la respuesta a un "pulso de área 1"1( ) si 0< , y si no igual a 0 .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

donde es algún tiem po en el lapso de in tegración (por el teorem a del

k

t k

k k k

k

u kk

y t h t u d k h t d h t t

t

τ τ

τ τ τ τ τ

= ≤

= − = − = −∫ ∫

valor m edio).E s claro que lim 0, y entonces lim ( ) ( ),

V er que las entradas parecen tender a un "im pulso"(o lo que se idealiza com o "función delta" ( ) ).

k kk k

k

t y t h t

utδ

→ ∞ → ∞= =


Transformada de Transformada de LaplaceLaplace

[ ]{ }0

Dada una función : , y para cada en que existela integral, se define la transformada de Laplace de como:

( ) ( ) ( ) (denotada ( ), ( ), etc.)

Notar que cos s

n

st

st at

f sf

f s f t e dt F s f s

s a ib e e bt i

∞−

− −

→ ∈

⋅

= + ⇒ = +

∫L

( )

1 2 1 2

in , o seaque la existencia de la transformada depende de , y por lo tantoexiste en "bandas" ( , ) . Si < 0< , entonces para

ˆtodo , ( ) ( ) es la transformada de Fourier de .

bt

a a i a a

f F i fω ω ω

×

∈


Implicancias para sistemas linealesImplicancias para sistemas lineales

Las ecuaciones diferenciales lineales pasan Las ecuaciones diferenciales lineales pasan a ecuaciones algebraicas:a ecuaciones algebraicas:

Ver como ejercicio cVer como ejercicio cóómo se transforman mo se transforman las derivadas de orden superior.las derivadas de orden superior.

[ ]{ }

[ ]{ }0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

0 (0 ) ( ) ( ) ( ) (0 )

st st stf s f t e dt f t e f t s e dt

f s f s sF s f

∞ ∞∞− − −′ ′⋅ = − − =

= − + + ⋅ = − +

∫ ∫L

L


Propiedades y consecuenciasPropiedades y consecuencias

Transformada de Transformada de LaplaceLaplace de de expexp((--atat)=1/()=1/(s+as+a))Propiedades de la transformada (ver Propiedades de la transformada (ver textos)textos)A la transformada de la respuesta al A la transformada de la respuesta al impulso impulso h(th(t) se la denomina ) se la denomina ““funcifuncióón n de transferenciade transferencia”” G(s). G(s). RelaciRelacióón con la n con la transformada de transformada de FourierFourier y la y la ““frequency responsefrequency response””..


RelaciRelacióón con la n con la convoluciconvolucióónn

( ){ }1 2 1 2* () ( ) ( ) ( )f f s F s F s⋅ = ⋅ L[ ]{ }1 2 1 2

0 0

( )2 1 2 1

0 0 0 0

2 1 2 1 2 1 1 20 0

* ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

tst

st s t s

s s

f f s f f t d e dt

f t e dt f d f t e dt f e d

F s f e d F s f e d F s F s F s F s

τ τ

τ τ

τ τ τ

τ τ τ τ τ τ

τ τ τ τ

∞−

∞ ∞ ∞ ∞− − − −

∞ ∞− −

− =

− = − =

= = = =

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

Prueba: L


AplicaciAplicacióón a sistemas linealesn a sistemas lineales

( )0 0

Recordemos que para un sistema lineal con estado inicial 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ,

donde es la respuesta al impulso del sistema.Entonces, tomando transformada de Laplace,

( )

y t h t u d h u t d h u t

h

Y s G

τ τ τ τ τ τ∞ ∞

= − = − =

=

∫ ∫

,

donde es la " " (definida como la transformada de ), y las otras notaciones son obvias.

( ) ( )

Gh

s U s⋅

función de transferencia


FunciFuncióón de transferencian de transferencia

( )( )

0

( )

1

Para el sistema lineal

, (0) 0, las salidas son

( ) , y por lo tanto

( ) ( )

Ejercicio: demostrar que ( ) ( ) ( )

tA t

A t At

x Ax Bu xy Cx

y t C e B u d

h t Ce B h t Ce B

G s h t C sI A B

τ

τ

τ τ

τ

−

−

−

= + = =

=

− = ⇒ =

= = −

∫


Diagrama de Diagrama de composicomposióónn de de sistemas linealessistemas lineales


ComposiciComposicióón de sistemasn de sistemas

v=hv=h11*u *u ïïVV=G=G11UU

y=y=hh22*v *v ïïY=GY=G22V=GV=G22GG11U=GUU=GU

ïïG=GG=G22GG1 1 (notar la inversi(notar la inversióón del n del orden)orden)


Otros aspectos de Otros aspectos de LaplaceLaplace

Linealidad (inmediato)Linealidad (inmediato)Comportamiento asintComportamiento asintóótico (ejercicio)tico (ejercicio)

AntitransformadaAntitransformada (tablas)(tablas)DelayDelay

FunciFuncióón delta y distribucionesn delta y distribuciones

0

0

1) lim ( ) lim ( )

2) lim ( ) lim ( )ts

s t

sF s f t

sF s f t+

+

→∞→

→∞ →

=

=

[ ]{ } ( ) ( )00 00 0 0 0

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t tst ststf t t s f t t e dt e f t t e d t t e F s∞ ∞

− −− −−− − = − − =∫ ∫L


Ondas de entrada producen ondas de salidaOndas de entrada producen ondas de salidaV erem os que si un sistem a es U BIBO (transform a entradasacotadas en salidas acotadas, uniform em ente) entonces su

respuesta al im pulso debe ser integrable. Supongám oslo cierto.T om em os, en dim ensión 1,

h

( ) ( )

( )

( )

0 0

( )

0 0

( ) sin . Entonces

( ) ( ) ( ) 0

(porque 1 , y porque es in tegrable). Entonces

( ) 0 , o sea

( ) ( ) 0 , o

i t i t

t t t

i t

ti t

t

ti t i i t

u t t

h e d h e d h d

e h

h e d

e h e d h e d

ω τ ω τ

ω τ

ω τ

ω ωτ ω τ

ω

τ τ τ τ τ τ

τ τ

τ τ τ τ

∞ ∞ ∞− −

−

∞ ∞−

∞− −

=

≤ ≤ →

≤

= − →

− →

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

[ ]0

sea

( ) ( ) cos ( ) sin ( ) 0 .t

i te G i h t i t dω ω τ ω τ ω τ τ− − + − →∫


GainGain ratio ratio andand phasephase shiftshift

[ ]

( )

( )

0

Escribiendo ( ) en forma polar, ( ) , queda( ) , con lo que el límite resulta

( ) cos ( ) ( ) 0 .

Tanto las partes real e imaginaria deben tender a cero.Con

i

i t i t

ti t

G i G i ree G i re

re h t iu t d

ϕ

ω ω ϕ

ω ϕ

ω ω

ω

τ ω τ τ τ

+

+

=

=

− − + − →∫

[0 , )

siderando sólo la parte imaginaria obtenemos

donde ( ) es la salida correspondiente a .

A se le llama la " " (gain ratio) en la frecuencia , y a se le l

sin( ) ( ) 0 ,

ty t u

r

r t y t

ω ϕ

ω ϕ+ − →

relación de ganancialama el " " (phase shift).desfasaje


Respuesta en frecuenciaRespuesta en frecuenciaPodemos ver entonces a la respuesta Podemos ver entonces a la respuesta

en frecuencia en frecuencia G(iG(iωω))=r(=r(ωω)e)eiiϕ(ωϕ(ω)) como una como una representacirepresentacióón de la respuesta del sistema n de la respuesta del sistema a entradas sinusoidales a frecuencia a entradas sinusoidales a frecuencia variable. Recordar que la salida variable. Recordar que la salida ((asintasintóóticamenteticamente hablando) de un sistema hablando) de un sistema lineal a una entrada sinusoidal, es una lineal a una entrada sinusoidal, es una sinusoide de la misma frecuencia pero con sinusoide de la misma frecuencia pero con distinta magnitud y fase. La distinta magnitud y fase. La ““respuesta respuesta en frecuenciaen frecuencia”” se define como las se define como las diferencias de magnitud y fase entre las diferencias de magnitud y fase entre las sinusoides de entrada y salida. Ver link:sinusoides de entrada y salida. Ver link:

www.ib.cnea.gov.arwww.ib.cnea.gov.ar//~control2~control2/Links//Links/Tutorial_Matlab_espTutorial_Matlab_esp//freq.htmlfreq.html


NyquistNyquist para primer gradopara primer grado

u=Tω

( ) ( )2 2

1 1( ) , ( )1 1 1

TG s G i iTs T T

ωωω ω

= = −+ + +


Bode primer grado (Bode primer grado (dB=20dB=20*log*log1010))

( )21 ( ) 1 / 1 1/ 1( )1 arg ( ) arg(1 )

G i iT TG iiT G i iT

ω ω ωωω ω ω

= + = += ⇒+ =− +


BlackBlack ((u=Tu=Tωω))


>> bode(50,[1 9 30 40])>> bode(50,[1 9 30 40])G(s)=G(s)=50 /(50 /(s^3s^3 + 9 + 9 s^2s^2 + 30 s + 40) + 30 s + 40)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (d

eg)

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

10-1 100 101 102-270

-225

-180

-135

-90

-45

0


nyquist(50,[1 9 30 40])nyquist(50,[1 9 30 40])Nyquist Diagram

Real Axis

Imag

inar

y A

xis

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


2 2 2( ) /( 2 )n n nG s s sω ζω ω= + +Variaciones de parVariaciones de paráámetros en 2metros en 2°° ordenorden

((NyquistNyquist))


BlackBlack (u=ω/ωn)


Bode (Bode (AmplitudeAmplitude ratio)ratio)(u=w/wn)

(u=ω/ωn)


Bode (Bode (phasephase angleangle)) (u=ω/ωn)


Ejercicios sugeridos en Clase 3Ejercicios sugeridos en Clase 3Buscar y realizar ejemplos de estabilidad Buscar y realizar ejemplos de estabilidad segsegúún n LyapunovLyapunov..Tratar de encontrar la forma explTratar de encontrar la forma explíícita de cita de funciones de avance y de flujos para funciones de avance y de flujos para algunos sistemas no lineales.algunos sistemas no lineales.Realizar ejemplos de Realizar ejemplos de convoluciconvolucióónn. . ConvolucionarConvolucionar la campana de Gauss con sla campana de Gauss con síímisma. misma. Recordar propiedades de Recordar propiedades de LaplaceLaplace. Ver . Ver comportamientos asintcomportamientos asintóóticos, ticos, antitrasformadaantitrasformada, etc., etc.


Recomendaciones para leerRecomendaciones para leerVer el tratamiento de estabilidad segVer el tratamiento de estabilidad segúún n LyapunovLyapunov en Sontag y en Sontag y HirschHirsch--SmaleSmale..Recordar matrices definida positivas y su Recordar matrices definida positivas y su relacirelacióón con formas cuadrn con formas cuadrááticasticasSi se interesan por la transformada de Si se interesan por la transformada de LaplaceLaplace, ver relaci, ver relacióón con probabilidad, por n con probabilidad, por ejemplo en ejemplo en ChungChung, , K.LK.L.: .: ElementaryElementaryProbabilityProbability TheoryTheory withwith StochasticStochasticProcessesProcesses, 3rd. , 3rd. EditionEdition. . SpringerSpringer--VerlagVerlag, , 1979. (Existe versi1979. (Existe versióón en castellano)n en castellano)


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FaurreFaurre, P.; , P.; DepeyrotDepeyrot, M: , M: ElementsElements ofofSystemSystem TheoryTheory. . NorthNorth--HollandHolland; 1977.; 1977.HirschHirsch, , M.WM.W.; .; SmaleSmale, S.: , S.: DifferentialDifferentialEquationsEquations, , DynamicalDynamical SystemsSystems, , andand Linear Linear Algebra. Algebra. AcadmicAcadmic PressPress; 1974.; 1974.MATLAB. Especialmente MATLAB. Especialmente ““Control System Control System ToolboxToolbox”” y y ““SimulinkSimulink””..Sontag, Sontag, E.DE.D.: .: MathematicalMathematical Control Control TheoryTheory. . SpringerSpringer--VerlagVerlag; 1998.; 1998.StrogatzStrogatz, S.H.: Nonlinear Dynamics and , S.H.: Nonlinear Dynamics and Chaos. Chaos. PerseusPerseus BooksBooks, 1998., 1998.

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