Apunte de clase geo-estadistica lineal aplicada Prof.: Jos Delgado VegaDr Geologa de la Ingeniera ENSMPEsp. Geoestadistica ENSMPEsp. Explotacin Minas a Cielo Abierto y Cantera ENSMPIng Civil de Minas U.AObjetivos del curso Brindar los fundamentos de los principales conceptos y tcnicas usados en la geoestadstica lineal . Analizar lasherramienta para la estimacin de recursos y la cuantificacin del riesgo asociado a estos.ReferenciaPROFESORM.ALFAROTRABAJOSEN GEOESTADISTICA LINEAL G.MATHERONLa theorie des varibles regionalises et ses aplicationsCentre de geoestatistique Fontainebleau CHILES JEAN-PAUL & DELFINER PIERRE (1999)" GEOSTATISTICS Modeling Spatial Uncertainty"A Wiley Interscience Publications 1999 EMERY XAVIER& ARNAUD MICHEL (2000) "Estimation et interpolation spatiale mthodes dterministeset mthodes gostatistiques" Herms Sciences Europe 2000 157p EMERY XAVIER (2007) Apuntes de geoestadistica, UNIVERSIDAD DE CHILE octubre del 2007.Margaret Armstrong Jaques CarignanGeostatisitque lineaire Application au domaine minier Referencia JOFRE DUBER (2009) "Curso de categorizacin de reservas"Diplomado Internacional en geoestadistica aplicada a la evaluacin de recursos mineros 2009 Lima BSGrupoLE LOCH, G. (2003)" Notes de classes de cours de gostatistique"CFSG, Ecole des Mines de Paris Fontainebleau 2003-2004..KIM, Y.C. & MEDHI P.K. & RODITISI.S. (1987) Performance evaluation of indicator kriging in a gold depositMining Engineering October 1987 947pMARCOTTE,D. (2002)"Notes de classes de cours de Krigeage dIndicatrices"http://geo.polymtl.ca/~marcotte/glq3401geo/chapitre7.pdfEcole PolytechniqueMontreal GLQ3401ONU (1996): "Marco Internacional de las Naciones Unidas Para la Clasificacin de Reservas/Recursos, Combustibles Slidos y Sustancias Minerales"Versin Definitiva. Establecida y Presentada por el Equipo Especial de las Naciones Unidad. p. 77-88.Referencia RIVOIRAD,J. (2003) :"Notes de classes de cours de gostatistique multivariable". CFSG, Ecole des Mines de Paris Fontainebleau 2003-2004.SANS, H.J (2003)"Workshop on sampling" CFSG, Ecole des Mines de Paris Fontainebleau 2003-2004.CLAYTON DEUTSCH Special Topics in geostatisticsISAAKS , E.H. and SRIVASTAVA, R.M. (1989)"An introduction to applied geostatistics "Oxford University Press, New York. 1989.DEUTSCH, C.V., JOURNEL A.G. (1998):GSLIB: Geostatistical Software Library and Users GuideSecond Edition, Oxford University Press, 369 p.CHICA - OLMOM. (1987)Anlisis Geoestadstico en el Estudio de la Explotacin de Recursos Minerales"Tesis Doctoral, Universidad de Granada, Espaa, 387 p.INTRODUCCION La base de datosAnalyse conomique du projetRechercheGologiqueDimensionnement de la fosse finaleOptimisation Economique (Logiciel Whittle)Optimisation de la fosse finale avec MGM Paramtres GomtriquesAnglesde TalusGomtrie de la fosseTopographieAutresEvaluation Des RessourcesModle gologique de blocParamtres EconomiquesPrix du mtalCots dextractionCots de traitementAutresParamtres go-mtallurgiques Modlisation des lithologies Modlisation des ganguesConsommations dacideType de minraux Dterministicos vs. Go estadisticosDterministicos : Utilizan funciones matemticas para poder hacer las predicciones ;Go estadsticos (Estocsticos): Asocian funciones matemticas a los anlisis estadsticos para hacer interpolaciones(ex: Krigeage);GeneralidadesGeneralidades La estadstica se ocupa de los mtodos cientficos para recolectar, organizar, resumir, presentar y analizar datos, as como obtener conclusiones vlidas y tomar decisiones razonables en base a dicho anlisis La geoestadstica es una rama de la estadstica aplicada que desarrolla herramientas matemticas para el estudio de variables distribuidas en el espacio, dependientes entre si, llamadas variables regionalizadas.Qu es la geo estadstica?Matheron : Estudio de la variable regionalizadaSencilla :Es la aplicacin de la estadstica a las ciencias de la tierra Generalidades La geoestadstica pone nfasis en: El contexto geolgico de los datos La relacin espacial entre los datos Datos medidos con un soporte volumtrico y precisin diferentes. La geoestadstica es til para: Cuantificar aspectos geolgicos (ponerle nmeros a la geologa) Estimacin / Simulacin Cuantificacin de la incertidumbre (categorizacin) Diseo de muestreo Anlisis de riesgo Principios Bsicos: Trabaja dentro de restricciones geolgicas (fsicas) Entrega herramientas para cuantificar y aprovechar la correlacin espacial Considera la cercana y redundancia de la informacin disponible al punto a estimar o simular Algoritmos para modelamiento geolgico numrico y cuantificacin de la incertidumbre No facilita el trabajo, pero lo mejora (si es aplicada correctamente) La geoestadstica no hace lo siguiente: Reemplazar buena informacin adicional Reemplazar la necesidad de sentido comn y buen juicio Funcionar bien como una caja negra Ahorrar tiempo No reemplaza un buen trabajo de exploracin Generalidades Las herramientas que son apropiadas en una etapa inicial pueden no serlo ms delante Algunas herramientas de modelamiento numrico: Estimacin: Inverso del cuadrado de la distancia Kriging Simple / Ordinario Kriging de indicadores Cokriging Simulacin de variables continuas: Simulacin Gaussiana Secuencial Simulacin por Bandas Rotantes Simulacin de Indicadores Simulated Annealing Simulacin de variables categricas: Simulacin de Indicadores Truncacin de una Gaussiana Simulacin PluriGaussianaGeneralidadesGeneralidadesGeneralidadesLAS CINCO ETAPAS DE UN PROYECTO MINEROPROSPECCION EXPLORACION DESARROLLOEXPLOTACIONREHABILITACION Y ABANDONOGeneralidadesGeneralidadesNociones fundamentales Variable regionalizada ( o regionalizacin )Se trata de una funcin numrica que mide un atributo que presenta una estructura en el espacio (por ejemplo , la ley del cobre en un yacimiento )CampoEl campo es el dominio en le cual se extiende la variable regionalizada .Fuera del campo ,la variable no interesa o simplemente no esta definida GeneralidadesSoporteSe trata del volumen sobre el cual se considera la variable regionalizada .Es importante destacar que las propiedades estadsticas de los valores depende De su soporte (efecto soporte)CompositosCuando los datos originales son testigos de sondages cuyo soporte es variable ,una operacin de regularizacin GeneralidadesEl inters por la geoestadistica esta basado en su habilidad para modelarla variabilidad espacial de fenmenos de ocurrencias natural que no puedenser totalmente modelados por procesos determinsticosGeneralidadesLa estructura de una variable Regionalizada ?Es una variable aleatoria donde la localizacion, elespacio y el tiemposon importante :Ella presenta dos aspectos contradictorio Tieneun aspecto aleatorio+Su comportamientoes masestructuradaGeneralidadesTtulo del grfico040 50 100 150 200 250di stanci as leyes de cobreGeneralidadesGeneralidadesEl conocimiento que se tiene de un depsito es siempre fragmentario :solose dispone de informacin cualitativa y de muestras en las cuales se mide varios atributos : ley de cobre ,arsnico oro , potencia de los estratos , densidad de la rocas ,tipo de litologaLa densidad del muestreo influye en el conocimiento de la organizacin Espacial de los valores de la variable en estudio ,su continuidad y otras caractersticas estructurales(anisotropa)Algunas Problemtica general GeneralidadesPrincipios directores1.-Respeto a los datos2.-Principio del realismo 3.-Principio de la economaGeneralidadesSon siempre nuestros datos equiprobables y no sujetos a concentraciones?GeneralidadesGeneralidadesQue pasa con la funcin de distribucin de los datos?GeneralidadesTipos de muestreos Tipos de muestreosRegular AleatorioTran-sectAleatorio estratificado Grupos ContornoGeneralidadesGeneralidadesGeneralidadesBreve discusin de los mtodos tradicionalesde evaluacinMtodosNumerosas tcnicas de interpolacin ;La eleccin de la tcnica depende del tipo de datos del tipo de superficie que se quiere del tiempo y del tratamiento que se les quiere dar.y tambin de la tradicin Que buscamos con nuestros mtodos? realidad .............................. Muestras ...........................Krigeage.................Carte de varianzas Muestras y paneles .. ....Tonelaje de mineral... ;; Tonelaje de metal .........leyes medias Puede ser: POLIGONALPROMEDIOIVORKRIGEAGE,EN GENERAL:==n ii iz Z, 1** l 1) MEDIA ARITMETICA:Se basa en lo siguientepara estimar la ley media de un conjunto sepromedian las leyes de los datos que estndentro del conjunto Su frmula general:zzNsj= 2)Polgonos:El mtodo se basa en asignar acada punto del espacio la ley del dato msprximo.Para estimar una zona se ponderanlas leyes de los datos por el rea de influenciasj Su frmula es la siguiente:zs zssj j=3) INVERSO DE LA DISTANCIA:Se basa en asignar mayorpeso a las muestras cercanas y menor peso a lasmuestras alejadas a s Se consigue al ponderar las leyes Su frmula es:}11{==ninjjdidizzaa POLIGONO PROMEDIO IVOR KRIGEAGE (se vera despus)1 = lni1= l==n iiiidd, 111aal[ ] 3 , 1 aEjemplo COMENTARIOS El mtodo tradicional media aritmtica no funciona bien en estimaciones locales porque quedan bloques sin informacin. El mtodo de los polgonos en general es menos adecuado en estimaciones locales porque asigna la misma ley a todos los bloques de un mismo polgonoCOMENTARIOS Los mtodos tradicionales mencionados son empricos,demasiado geomtricos y no consideran la estructura del fenmeno mineralizado (la continuidad de las leyes y la posible presencia de anisotropas) Dichos mtodos presentan una sobre-estimacin de las leyes altas y una sub-estimacin de las leyes bajasConceptos generales CURVAS TONELAJE v/s LEY.Teniendo los datos de las reservas del yacimiento se puede obtener una curva de Tonelaje v/s la Ley de corte y la Ley media. Esto se logra a travs del inventariado de reservas del yacimiento que se encuentran bajo una ley de corte determinada y calculando la ley media de todos los recursos cuya ley es superior o igual a la ley de corte determinada obtenindose dos curvas en un mismo grfico.Gr aphique de teneur s / t onnages de Cuivr e Tot al 0.0020000.0040000.0060000.0080000.00100000.00120000.000.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00Ten uerTeneur CoupureTeneur Moyenne Curva Tonelaje- Ley MediaCurva Tonelaje- Ley de CorteTonelajeLey % 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5900.000.000800.000.000700.000.000600.000.000500.000.000400.000.000300.000.000200.000.000100.000.000EJEMPLO N1PrecioUS$/lb CuLey de Corte%Ley Media%MineralToneladasCu Finolb CuIngresosUS$Vida tilAos1.25 0.39 0.60 550.000.000 6.547.662.000 8.184.577.500 191.10 0.47 0.67 400.000.000 5.317.495.200 5.849.244.720 140.80 0.80 1.00 160.000.000 3.174.624.000 2.539.699.200 6Concepto de leyes de corte econmica de equilibrioCURVAS RELACION ESTERILV/S MINERALPara realizar estas curvas se procedi segn la siguiente forma.Ecuacin econmica de la mina:( ) ley h RmlR b aCm* 1 **-+Los valores para desarrollar la formula son los siguientes:R:Recuperacin metalrgica: 95 %h:% de Humedad: 2%a: Costo mina para Mineral b:Costo mina para EstrilCa: Costos AdministracinCp: Costo Plantaf(X)CURVA TONELAJE- LEY0.02.04.06.08.010.012.00 1 2 3 4 5 6Ley de Au (grs/ton)Tonelaje (Millones tons)Ton v/s Ley de CorteTon v/s Ley MediaEl modelo de bloque:Es un modelamiento tridimensional que consiste en discretizar virtualmenteel yacimiento en cientos de paraleleppedos (bloques), con caractersticas que van de acuerdo al sistema de explotacin a utilizar, la cual permite representar caractersticas y propiedades del yacimiento De que depende las dimensiones del modelo de bloque ? .-Caractersticas del deposito.-Continuidad espacial.-Pasta a explotar..-SelectividadConceptos Bsicos de estadstica J.DELGADOJ.DELGADOJ.DELGADOPensemos en un pas imaginario y pequeo llamado Elich , dondetresseores de diferentes corrientes de opiniones discuten, al ver la siguienteestadistade los salarios en dichopas Salariosde ElichMedia 1813529.41Mediana 100000Moda 10000Desviacin estndar 5674424.55Varianza de la muestra 3.2199E+13Coeficiente de asimetra 2.92906839Mnimo 10000Mximo 20000000Cuenta 170Histograma0204060801001201401601802000 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5ClaseFrecuenciaSe interpreta probabilsticamente (probabilidad de un valor de pertenecer a una determinada clase).Funcin de densidadde probabilidad:Nota: No olvidemos que un histograma no presenta ninguna informacin referente a la ubicacin espacial de los datos (que es clave en geoestadstica){ }2 1Pr ) ( ' ) ( x x x ob x F x f = =Representacin de los datosHistograma acumulado0%20%40%60%80%100%0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3 3,2 3,4 3,6 3,8 4 4,2 4,4 4,6 4,8 5ClaseFrecuencia acumulada{ } x X ob x F = Pr ) ( -= dx x f x F ) ( ) (==niip x F1) (Funcin no decreciente con valores de frecuencia relativa entre 0 y 1.De un grfico de cumulativo podemos leer directamente probabilidadesRelacin entre densidad de probabilidades y densidad cumulativa:Muestras son un nmero finito de realizaciones,por lo tanto:Estadstica bsicamedidas de posicinmedidas de dispersinmedidas de formamedia, mediana, moda, mnimo, mximo, rango, deciles, cuartiles, cuantilesvarianza, desviacin estndar, coeficiente de variacin,rangointercuartilcoeficiente de asimetra, coeficiente de aplanamiento Medidas de posicin: Media Mediana Moda, mnimo y mximo Rango Cuartil inferior y superior Deciles, percentiles y cuantiles: el cuantil p de la distr. es el valor zptal que p% de los datos esta bajo zp+ =++impar es nsi2)) ( ) ( (par es nsi ) (1 ) 2 / ( 2 /2 / ) 1 (n nnu z u zu zM==nu znm1) (1aadu u z ) (1=DDm] 1 , 0 [} { Prob ) ( = = p z Z z Fp pEstadstica bsicaQ3Mediana o Q2Q1Estadstica bsica Medidas de dispersin: Varianza Desviacin estndar Rango intercuartil Coeficiente de variacin=- =nm u zns12 2) ) ( (1aa- =DDdu u z2 2) ) ( (1m s2s s =2s = s1 3Q Q IQR - =msCV. exp =ms=. poblCVEstadstica bsicaMomentos Esperanza: (primer momento) es un promedio ponderado por las probabilidades, si existe. Nos da una idea del centro de la distribucindonde: E{Z} = valor esperado de Zwi= Ponderador del dato i-simon = nmero de datosm = media En el caso continuo:=== =niiiniiwz wm Z E11} { + -+ -= = = dz z zf z zdF m Z E ) ( ) ( } {Esperanza y varianza de una variable aleatoriaSea X una variable aleatoria discreta, y supongamos que toma valores en el espacio {0, 1, 2, ..} con probabilidad{ }kp k X = = PrEntonces se define la esperanza de X como[ ] = =0 kkp k X EY la varianza como[ ] [ ] ( )=- =02kkp X E k X VEsperanza y varianza de una variable aleatoriaLa interpretacin es bastante sencilla[ ] = =0 kkp k X E[ ] [ ] ( )=- =02kkp X E k X Vposibles valores de Xprobabilidad que la variable tome el valor kEl valor promedio que puede asumir la variableDesviacin cuadrtica de los posibles valores de X respecto de su promedio E[X]Desviacin cuadrtica promedioEsperanza y varianza de una variable aleatoriaSea X una variable aleatoria continua con valores en R, y con funcin de densidad f(x). Se define la esperanza de X como[ ] dx x f x X E - = ) (Y se define la varianza de X como[ ] [ ] ( ) dx x f X E x X V -- = ) (2Esperanza y varianza de una variable aleatoriaLa interpretacin para el caso continuo es similar. En efecto[ ] dx x f x X E - = ) (posible valor de XProbabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor en el intervalo [x, x + dx]El valor promedio que puede asumir la variable[ ] [ ] ( ) dx x f X E x X V -- = ) (2Desviacin cuadrtica de los posibles valores de X respecto de su promedio E[X]Desviacin cuadrtica promedioMomentos La varianza (segundo momento centrado). Nos da una idea de la dispersin de la distribucin de la VA Z. Se define como la esperanza de la desviacin de Z respecto de su media al cuadrado: 0 } { } ] {[ } {2 2 2 2 - = - = = m Z E m Z E Z Var sMomentos En forma discreta, la varianza puede definirse como En forma continua, puede escribirse como Se calcula con los dos primeros momentos de Z:==-=niinii iwm z wZ Var112) (} {dz z f m z z dF m z Z Var ) ( ) ( ) ( ) ( } {2 2 + -+ -- = - ={ } { } { } { }{ } { } { } ( )43 42 1 3 2 1Cuadrado al Orden Primer de Momento2OrdenSegundode Momento2 2 22 2 22) ( ) (Z E Z E mZ m Z Em Z E Z E Z E Z Var- = - + == - = - = sMomentos Propiedades de la esperanza: Propiedades de la varianza{ }{ } { }{ } { }{ } - = + = + ==dz z f z g Z g EZ E b a bZ a EZ E b bZ Ea a E) ( ) ( ) ({ }{ } { }{ } { } Z Var Z b VarZ Var a aZ Vara Var= + ==20Ms estadsticas Medidas de forma: Coeficiente de asimetra (skewness) Positivo Cercano a 0 Negativo313) ) ( (n1asimetra de e Coeficientsm u zn=-=aa Frec.z(x)m Mz(x)Frec.Mm Frec.z(x)mMEstadstica de dos variables Anlisis bivariable Pares deben corresponder a la misma ubicacin en el espacio (co-localizados)Grfico de Dispersi n00,511,522,530 0,5 1 1,5 2 2,5 3Vari abl e 1Variable 2 El coeficiente de correlacin es una medida de la dependencia lineal entre las dos variablesCorrelacin2 12 112 1) )( (1Z ZnZ Zm z m zns sraa a- - ==Q-q Plot Grfico Q-Q: para comparar dos distribuciones F1 y F2 cuantil a cuantil. No se utiliza para comparar la relacin par a par que hay entre las variables. Escoger una serie de valores de probabilidadpk, k = 1, 2, , K Graficar q1(pk) versus q2(pk), k = 1, 2, , KQ-q Plot Si todos los puntos caen en una lnea de 45o, las dos distribuciones son exactamente iguales Si la lnea esta desplazada de los 45o, las dos distribuciones tienen la misma forma pero diferentes medias Si la inclinacin de la lnea no es 45o, las dos distribuciones tienen diferentes varianzas Si hay un carcter no lineal en el grafico Q-Q, las distribuciones tienen diferentes formas en el histogramaDistribucin Normal Propiedades: Completamente definida por su media y varianza Tiene una descripcin matemtica precisa Favorable para enfoques tericos de estimacin Funcin de densidad de probabilidad:2z21e21) z ( gsm --s p=0 2 4 6 8 10 12 14 160.000.050.100.150.200.250.300.350.40g(z)zDistribucin Normal Estandarizacin: Distribucin normal estndar N(0,1) Funcin de distribucin acumulada: corresponde al rea bajo la curvasm -= zy22ye21) y ( g-p= -=ydy ) y ( g ) y ( G0 2 4 6 8 10 12 14 160.000.050.100.150.200.250.300.350.40g(z)zDistribucin Normal Intervalos de confianza68% 95%0 2 4 6 8 10 12 14 160.000.050.100.150.200.250.300.350.40g(z)z68%16% 16%0 2 4 6 8 10 12 14 160.000.050.100.150.200.250.300.350.40g(z)z95 %2.5% 2.5%0 2 4 6 8 10 12 14 160.000.050.100.150.200.250.300.350.40g(z)zDistribucin Lognormal Una poblacin es lognormal si los logaritmos de los datos estn distribudos como una normal Propiedades: En Ciencias de la Tierra es comn encontrar variables cuya distribucin es cercana a una lognormal Relacin con la distribucin normal la hace fcil de utilizar Tambin es favorable para enfoques tericos de estimacin Funcin de densidad de probabilidad: 02468100.000.050.100.150.200.250.300.35g(z)z -= =b abygyy F y fo Y Yln 1) ( ' ) (Distribucin Lognormal 02468100.000.050.100.150.200.250.300.35g(z)z 02468100.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0zG(z) 02468100.000.050.100.150.200.250.300.35g(z)z0 ytodo paraln)} { Prob ) ( > -= =b a yG y Y y Fo Y -= =b abygyy F y fo Y Yln 1) ( ' ) (+ = - =- = =+222 22 2 2 /1 ln2 / ln] 1 [ 2 2mme m e msb b asb b aLa Distribucin Log NormalValor esperadoVarianza. Para que sirve una varianza de dispersiny una de estimacin ?La idea de la funcin aleatoria Jos DelgadoLa representacin de una regionalizacin por una funcin aleatoria estacionaria o intrnsecaes una operacin SUBJETIVA que esta en mano del usuario ,teniendo en consideracin los datos experimentales ,la informacin disponible sobre el fenmeno regionalizado y a la escala de trabajo , la estacionalidad indica una cierta homogeneidad de lascaractersticas de una variable en el espacio ,es necesario para llevar a cabo la inferencia estadstica (calculo de la covarianzaO del variograna experimental en vista a su posterior modelamientoVariografia Anlisis VariograficoEl anlisis variografico es una de las herramientas mas importante y potente que existen para analizar las fuentes de variabilidad de los procesos .Podemos estudiar la variabilidad de la variable aleatoria en funcin del tiempo o de la posicin En el caso de la mina podemos estudiar como varan las leyes Variograma Experimental-definicin ( )221)] ( ) ( [ h x Z x Z E h + - = gVariograma TericoVariograma Experimental( )= -- =h x xj ij ix z x zh Nh2 *)) ( ) ( (21) ( g VARIOGRAMA TERICO Propiedades bsicas Definicin Estudio de modelos de variograma VARIOGRAMA EXPERIMENTAL Clculo a partir de los datos Caractersticas bsicas Definicin Ajuste de modelos de variogramaVariograma Terico-DefinicinEs una herramienta que permite analizar elcomportamiento espacial de una propiedado variable sobre una zona dadaInformacin estructural aportada por el Variograma1.-continuidad espacial 2.-Zona de influencia 3.-las anisotropa 4.-Las estructuras anidadas 5.-La no estacionalidad ( derivas tendencias es independiente de la localizacin x depende del mdulo y de la direccin del vector hValor promedio de la diferencia al cuadrado de los valores de la propiedad en dos puntos separados por una distancia |h|( ) h x Z +1h x+h1h( )1h x Z +h x+( )221)] ( ) ( [ h x Z x Z E h + - = g( ) x ZxDeteccin de caractersticas que varan segn la direccin y la distanciaVariograma Terico-CaractersticasLe Variogrammexxxxxxxxxh 2h Distance m.PortePalier =Variance des donesPas de corrlation entre pointsVariogramme exprimentalVariogramme thoriqueL effect ppite Z ZZZbase topebase--Variograma Experimental-definicin Coordenadas estratigraficasLa correlacin espacial se debecalcular dentro de la misma unidadestratigrficaEjemploSencillo Variograma Experimental-tolerancia angularTolerancia angularInfluencia del pasoClculo de variogramas experimentalesInfluencia de la tolerancia en el pasoClculo de variogramas experimentalesRetos en el clculo del variograma La estructura de corto alcance es la ms importante Pepita debido al error de medicin no debiera modelarse Tamao de las celdas del modelo geolgico La direccin vertical es tpicamente la mejor informada Puede tener artefactos producto del espaciamiento de datos de testigo. Manejo de derivas verticales y variaciones areales La direccin horizontal es en general ms difcil de estimar Usar un paso cercano al espaciamiento de los sondajes Tpicas razones de anisotropa horizontal-verticalComportamiento discontinuo Interpretacin del nugget effect1) Variable muy irregular a distancias cortas ( )2)] ( ) ( [21h x Z x Z E h + - = g0 hZ(x) y Z(x+h) difieren muchono se aproxima a cero00,511,522,533,501,534,567,5910,51213,51516,518Di stanci aVariogramaVal oresobservadosVal oresreal esInterpretacin del nugget effect2) Errores de medicin en lasvariables( ) ( ) ( ) x x Z x Zobse + =( ) ( )2es g g + = h hZ Zobs2esComportamiento discontinuo Interpretacin del nugget effectComportamiento discontinuo 3) presencia de estructuras o ausencia devalores en distancias inferiores a las quese tomaron las muestrasComportamiento Lineal Comportamiento linealIndica que para distanciaspequeas, el variogramatiene un comportamientolineal.Representa variablescontinuas pero nodiferenciables. As, lapropiedad puede cambiarrpidamente de un punto aotro.00.511.522.533.5VariogramaDist anciaComportamiento linealLa variabilidad de lapropiedad depender de lapendiente de la recta en elorigenA mayor pendiente,mayor variabilidadA menor pendiente,menor variabilidad00,511,522,533,50 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11DistanciaVariograma00,511,522,530 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Di stanci aVariogramaComportamiento Lineal Comportamiento CuadrticoComportamiento CuadrticoIndica que para distancias pequeas,el variograma tiene uncomportamiento cuadrtico.Representa variables sumamentecontinuas e infinitamente diferenciables.As, la propiedad NO puede cambiarrpidamente de un punto a otro.00,511,522,533,514710131619222528313437Di stanci aVariograma0123456780 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15 16,5 18Di stanci aVariogramaComportamiento Hbrido: Variacin ms suave adistancias cortasVariacin ms fuerte adistancias grandesIndica presencia deestructuras actuando adiferentes escalasComportamiento HbridoComportamiento-grandes distanciasNO TODOS LOS VARIOGRAMAS POSEENUN RANGO Y UN SILL FINITODi stanci aVariogramaINDICA LA PRESENCIA DE UNADERIVA O DRIFTVARIABLENOESTACIONARIAComportamiento a grandesdistancias :AnisotropasAnisotropas :Generalmente cuando el variograma experimental escalculado en distintas direcciones presenta distintoscomportamientos con la variacin de la distancia.Anisotropa GeomtricaAnisotropa ZonalAnisotropa HbridaDEL VARIOGRAMA EXPERIMENTAL AL MODELO DE VARIOGRAMA*ggAjustarPOR QUE HAY QUE CONSTRUIR MODELOSDE VARIOGRAMA ?012345600.40.81.21.622.42.83.23.64Distanciavariograma experimentalVar iogr amaexper iment al012345600.40.81.21.622.42.83.23.64DistanciaVar iogr amaexper iment alModelo devar iogr amaEl variograma experimental no sepuede evaluar en distancias odirecciones intermediasUna interpolacin entre los puntos delvariograma experimental no garantiza laexistencia y unicidad de la solucin del sistemade krigingLa interpolacin no satisface las condicionesque todo variograma debe satisfacerEl variograma experimental no satisface lascondiciones que todo variograma debesatisfacer*gVariograma Terico-propiedadesLOS VARIOGRAMAS TIENEN PROPIEDADES ESPECIALES, CUALQUIER FUNCIN QUE DEPENDA DE LADISTANCIA Y LA DIRECCIN NO NECESARIAMENTE ES UN VARIOGRAMA1)( ) 0 0 = g2) ( ) ( ) h h g g = -El variograma calculado en la direccin de h es igual al variograma calculado en ladireccin de -hh -h3) Todo variograma es una funcion definidapositiva condicionalPara cualquier n, cualesquieranx x x x , , , ,3 2 1K puntos en el espacio y cualesquieranl l l l , , , ,3 2 1K valores tales que==nii10 lse tiene que ( ) 01 1 - -= =ninjj i j ix x g l lEsta propiedad permite calcular en forma consistente la varianza de combinaciones lineales defunciones aleatorias( )abb aaag l l l - = Z varVariograma Terico-propiedades( )02 = hhlimhg4) Si ges el variograma de una funcion aleatoria estacionaria o intrnsecaentoncesEn particular para h suficientementegrande existe una constante c tal que( )2h c h gCriterio para el comportamiento del variograma a grandes distanciasCriterio para detectar un comportamiento no estacionarioVariograma Terico-propiedades5) Combinacion lineal de variogramas( ) ( ) ( ) ( ) h h h hNg g g g , , , ,3 2 1KSi son modelos de variograma ya a a a N, , , ,3 2 1Kson valores positivos entonces ( ) ( ) h hniii==1gagPermite modelar/ajustarlas estructuras imbricadas (nested structures)Permite modelar la anisotropazonalVariograma Terico-propiedadesPor definicin 2*)] ( * [ *) ( Z E Z E Z Var - =2) ) ( (- = mix ZiE l) ( *ix ZiiZ= lRecordemos = = =i i imi ix Z Ei ix ZiE Z E l l l )) ( ( ) ( ( *) () ( )] ( [jxixjj iiix ZiVar - - = g l l l) ( )] ( [jxix Cjj iiix ZiVar - = l l l) ( )] ( [ )*(jxixjj iiix ZiVar Z Var - - = = g l l l)) 1 (3 22 ) 8 . 0 (3 12 ) 8 . 0 (2 12 ) 0 (23) 0 (22) 0 (21( g l l g l l g l l g l g l g l + + + + + -1 . 0) 5 . 0 2 . 0 2 . 0 0 0 0 (- =+ - - + + - =La varianza es negativa esto se produce porque la funcin utilizada no esta definidapositivamente 00.511.522.533.544.50 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.411.7 13 14.315.616.900.511.522.50 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.411.7 13 14.3 15.6 16.900.511.522.50 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.616.9+=Variograma Terico-propiedadesMODELOS DE VARIOGRAMAgModelos de VariogramaModelos de variograma isotrpicos ms comunes:1.-Modelos con mesetaModelo Efecto Pepita PuroModelo EsfricoModelo ExponencialModelo GaussianoModelo CbicoModelo Seno Cardinal2.-Modelo sin mesetaModelo PotenciaModelo Efecto Pepita PuroVariogramaDi stanci ac==00 0h si ch sih gEste modelo representa a unfenmeno completamentealeatorio, en el cual no haycorrelacin espacialNo importa cun cerca seencuentren los valores de lasvariables, siempre sern nocorrelacionadosModelo Efecto Pepita PuroModelo Esfrico> -=a h si ca h siahahch332123gComportamientolineal en el origenVariogramaDistanciaca c / 5 . 1Pendienteigual aEs uno de los modelos devariograma ms utilizadosMesetac y alcanceaRepresenta fenmenos continuos perono diferenciablesModelo EsfricoModelo Exponencial( )- - =ahc h exp 1 gDi stanci aVariogramaMesetas que alcanza asintticamenteAlcanceaparenteigual a aAlcance practico al 95 % de la meseta Rango experimentaligual a3aa c / 3 Pendienteigual aRepresenta fenmenos continuos perono diferenciablesComportamientolineal en el origenModelo ExponencialModelo Gaussiano( )- - =ahc h22exp 1 gDist anciaVariogramaMeseta es c que alcanza asintticamenteRango aparenteigual a aRango experimentaligual a a 3Comportamientocuadrtico en el origenRepresenta fenmenos continuos infinitamentediferenciables (sumamente continuos)Modelo GaussianoModelo Cbico> - + -=a h si ca h siahahahahch7755332275 . 0 5 . 3 75 . 8 7gMeseta C y AlcanceaComportamientocuadrtico en el origenRepresenta fenmenos bastante continuosDistanci aVariogramaModelo CbicoModelo Seno Cardinal( )( )- =a h/a hc h/seno1 gDi stanci aVariogramaMesetac que alcanza asintticamenteAlcacne aparenteigual a aAlcanceexperimentaligual a3aComportamientocuadrtico en el origenSe utiliza para representar fenmenoscontinuos con periodicidadesModelo Seno CardinalModelo Potencia( )ph s h = gDi stanci aVariograma s=2.5, p=0.4 s=0.4, p=1.8 s=1.15, p=1s se denomina factor de escala2 0 < pEl comportamiento en el origendepende del valor de pRepresenta fenmenos noestacionariosModelo PotenciaVARIOGRAMA CRUZADOcomportamiento espacialen conjuntoZYgVariograma CruzadoSi Z, Y son funciones aleatorias estacionarias o intrnsecas, el variograma cruzado de ellas sedefine como :))] ( ) ( ( )) ( ) ( [(21) ( h x Y x Y h x Z x Z E hZY+ - + - = g( ))) ( ) ( ( )) ( ) ( (21) (*j ih x xj i ZYx y x y x z x zh Nhj i- - == -gPara su estimacin se utiliza el variograma cruzado experimentalVariograma Cruzado-propiedades1)( ) 0 0 =ZYg2)( ) ( ) h hZY ZYg g = -3) ( ) ( ) h hYZ ZYg g = El variograma cruzado es una funcin simtrica4) Relacin con la funcin de covarianza cruzada( ) ( ) ( ) ( ) h C h C C hYZ ZY ZY ZY+ - =210 ) ( g( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]Y Z ZYm h x Y m x Z E h C - + - =4) Desigualdadde HlderVariograma Cruzado-propiedades( ) ( ) ( ) h h hY Z ZYg g g 2El modelo de variograma cruzado no puede ser escogido independientemente de cada uno de losvariogramas individualesConsecuencias:El producto de cada uno de los sill de los variogramas individuales es mayor que el cuadrado del silldel variograma cruzadoY Z ZYS S S 2( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) h w h w h w hh v h v h v hh u h u h u hm m YZm m Ym m Zg g g gg g g gg g g g+ + + =+ + + =+ + + =LLL2 2 1 12 2 1 12 2 1 1Variograma Cruzado-propiedades4) Modelo lineal de coregionalizacin0 >ju0 >jv 02> -j j jw v um jj, , 1 , K = gmodelos de variogramasPermite modelar en forma consistente el variograma cruzado y los variogramas individualesVARIOGRAMA DE FUNCIONES INDICADORASFgModelando el comportamientoespacial de FaciesFunciones IndicadorasLa funcin indicadora de la facies F se define como( )=no siF x sixF011Si se considera la facies F como un conjunto aleatorio entonces su funcin indicadora es una funcin aleatoriaque puede ser estacionaria o no.En lo sucesivo asumiremos que la funcin indicadora de F es estacionaria ( ) ( ) ( ) ( )21 121x h x E hF FF- + = gFunciones IndicadorasPropiedades1)( ) ( ) [ ] 1 , 0 ) (1 = = p F x P x EF( ) ( ) ( ) p p xF- = 11var2) ( ) 5 . 0 hFgEl sill de variogramas de funciones indicadoras no puede ser mayor a 0.53) Relacin con la funcin de covarianza( ) ( ) ( ) hC ChF FF- = 0 g( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) p x p h x E h CF F F- - + = 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 25 . 0 110 - = = p p x CFFvar( ) ( ) ( )2 1 2 1h h h hF F Fg g g + +Funciones Indicadoras4) DesigualdadTriangularEn particular ( ) ( ) h hF Fg g 2 2 Consecuencia :Un variograma con comportamiento en el origen de la forma1 > p hpno puede ser el variograma de una funcin indicadora( ) ) ( F h x y F x P hF + = gFunciones Indicadoras5) Rango y AnisotropasDistanciaVariogramaR1 R2=- =) (12) () ( * 21) (h Niiyizh Nh gOtras medidas experimentales para medir la variabilidad/continuidadespacial1.- Semivariograma2.- Semivariograma cruzado =- - =) (1)')('() ( * 21) (h Niiyiyizizh Nhzyg3.- Covariograma =-=) (1) () (1) (h Niymxmiyixh Nh C4.- Correlograma y xh Chs sr) () ( =5.- Semivariograma general relativo2)2(1 ) () (ymxmhhGR+=gg6.- Semivariograma relativo de pareja7.- Semivariograma de logaritmo =- =) (12)) ln( ) (ln() ( * 21) (h Niiyixh NhLg8.- Semimadograma =- =) (1) ( * 21) (h Niiyixh NhMg=+-=) (12)2) ((2) () ( * 21) (h Niiyixiyixh NhPRgEstrategia de ModelamientoREF:Xavier EmeryAnisotropas (6)Ejemplo de ajuste) m 180 ( esf 42 . 0 pep 13 . 0 ) (este+ = g h) m 100 ( esf 54 . 0 pep 13 . 0 ) (norte+ = g h) m 80 ( esf 72 . 0 pep 13 . 0 ) (vertical+ = g hCul es el modelo tridimensional?Anisotropas (7)) m 180 ( esf 42 . 0 pep 13 . 0 ) (este+ = g h) m 100 ( esf 12 . 0 ) m 100 ( esf 42 . 0 pep 13 . 0 ) (norte+ + = g h) m 80 ( esf 18 . 0 ) m 80 ( esf 12 . 0 ) m 80 ( esf 42 . 0 pep 13 . 0 ) (vertical+ + + = g h+ 0.12 esf()+ 0.18 esf()+ 0.18 esf()) m 80 , , ( esf 18 . 0 ) m 80 , m 100 , ( esf 12 . 0) m 80 , m 100 , m 180 ( esf 42 . 0 pep 13 . 0 ) ( + ++ = g hVerificacin: la suma de las mesetas vale0.13 + 0.42 + 0.12 + 0.18 = 0.85 = meseta totalModelo tridimensionalRelacin de Krigen dx x zVmV V= ) (1- =V Vdx m x zVV O S2 2] ) ( [1) / (Varianza de un punto en un volumenSi todos los valores de z(x) en el interior de el Volumen V estuvierandisponible nosotros podramos calcular Equivalente a la esperanza y a la varianza ,reemplazandoLa media aritmtica sobre las realizaciones por una mediaespacial- =V Vdx m x zVV O S2 2] ) ( [1) / (O designa un punto El muestreo puntual es soporte de volumen nuloSi ahora nosotros estudiramos todas las realizaciones De Z (x) )] / ( [ ) / (2 2V O S E V O = sEsta es la llamada varianza de un punto en un volumen Conocida como varianza de dispersin de un punto en el Volumen VSe puede demostrar que = -=V VV V dxdy y xVV O ) , ( ) (1) / (22g g sVarianza de v en V=) () (1) (x v Vdy y Zvx Zdx x zVmV V= ) (1- =V V vdx m x zVV v S2 2] ) ( [1) / (Esta es la funcin Aleatoria , media espacial de la funcion Aleatoria Z (y) sobre el volumen v (x)y- =V V vdx m x zVE V v } ] ) ( [1{ ) / (2 2s - - -=V vv Vdxdy y xvdxdy y xVV v ) (1) (1) / (2 22g g s) , ( ) , ( ) / (2v v V V V v g g s - =La varianza de dispersin de v en VEsta es igual aseaRelacin de aditividad de Krige) , ( ) / (2V V V v g s =) , ( ) , ( ) / (2v v V V V v g g s - =) / ( ) / ( ) / (2 2 2v O V O V v s s s - =) / ( ) / ( ) / (2 2 2V v v O V O s s s + =) / ( ) / ( ) / (2 2 2V V V v V v+ =s s sVarianza de bloque y varianza de dispersin Como entenderSi pensamos que conocimos todas las realizaciones de Z(x )Tendremos la varianza de un punto en un volumen llamadaVarianza de dispersin de un punto en un volumen Discusin de varianza de dispersin y extensin La varianza de dispersin es el promedio de las varianzas de extensin Cuando v toma todas las posiciones posible en V La varianza de estimacin disminuye cuando la muestra v deviene Mas representativa del dominio Va estimar La varianza de estimacin disminuye cuando el variograma es mas regular (la variable es mas continua )Plan de trabajoVarianza de estimacin definicin Los tres componentes esenciales de la varianza de estimacinInterpretacin Clculos bacosCombinacin de errores elementalesPrecisin en la estimacin AplicacinVerdadera Estimadai Z Z* (Z-Z*)2 (Z-m)2 (Z*-m*)21 5 6 1 0 12 7 6 1 4 13 6 4 4 1 14 2 4 4 9 15 5 5 0 0 0suma 25 25 10 14 4suma/5 5 5 2 2.8 0.8Nociones de varianzaKrigeageKrigingKrigeaje.Krigeaje : interpolador de la geoestadstica, que s utiliza losanlisis estructural.Inicialmente, Matheron denomin a esta tcnica Krigeage (en francs) que en ingles se convierte en Kriging y en espaol se escribe Krigeaje. Este trmino que tiene su origen en el apellido de D.G. Krige, reconociendo de esta forma su aporte.El krigeaje es una tcnica de estimacin que proporciona el mejor estimador lineal imparcial (BLUE, en ingles, Best Linear Unbiased Estimator), (Schaug et al.,1993; Christensen et al.,1993; Abasov et al., 1990), Adems proporciona una error de estimacin conocido como varianza de krigeaje que depende del modelo de variograma obtenido y de las localizaciones de los datos originales (Armstrong y Carignan, 1997; Journel y Huijbregts, 1978; David, 1977; Abasov et al., 1990). Esto brinda la posibilidad de hacer anlisis sobre la calidad de las estimaciones (Weerts y Bierkens, 1993; Haas, 1992).En trminos mineros, el problema de krigeaje consiste en encontrar la mejor estimacin lineal posible del contenido mineral de un panel, teniendo en cuenta la informacin disponible, mediciones que han sido obtenidas tanto en el interior como externamente al panel que se desea estimar. El krigeaje consiste en efectuar una ponderacin, es decir, atribuir un peso a cada valor observado, los pesos son calculados de manera que minimice la varianza de estimacin resultante, teniendo en cuenta las caractersticas geomtricas del problema (Matheron, 1970). Al minimizar la varianza de estimacin se garantiza el uso ptimo de la informacin disponible (Zhang, 1996).La geoestadstica exige como primera etapa y fundamental el conocimientodel comportamiento estructural de la informacin, es decir, se debe contar adems, con el modelo de semivariograma terico que refleje fielmente las caractersticas de variabilidad y correlacin espacial de la informacin disponible, discutido anteriormente. En el caso minero, particularmente, por la forma en que se presenta la informacin, de estar condicionada en una direccin por diversos parmetros (Rivoirard y Guiblin, 1997), se debe obtener modelos de variogramas verticales y horizontales, el primero, que caracteriza la correlacin espacial en esta direccin, es decir a travs de los estratos, y el segundo en los estratos, obtenindose un modelo conjunto para la estimacin de bloques (Pan y Arik, 1993; Armstrong y Carignan, 1997). Los bloques a estimar son definidos con dimensiones convenientes a la unidad de seleccin minera, teniendo en cuenta el espaciamiento entre muestras y el alcance estructural, es decir, la distancia hasta la cual las muestras se encuentran correlacionadas espacialmente. Las ecuaciones del krigeaje se obtienen entonces de acuerdo las hiptesis de la geoestadstica que deben ser asumidas y verificadas como ya se indic.Teniendo en cuenta las hiptesisde la geoestadstica se pueden obtener las ecuaciones del krigeaje para los siguientes casos: funcinaleatoria estacionaria de esperanza nula o conocida, mtodo conocido como Krigeaje Simple, para una funcin aleatoria estacionaria de esperanza desconocida, y una funcin aleatoria intrnseca, mtodo conocido para los dos ltimos casos como Krigeaje Ordinario.Existen cuatro Krigeage un variable1.-Krigeage Simple : Variable estacionaria de mediaconocida2.-Krigeage ordinario : Variable estacionaria demedia no conocida3.-Krigeage de la media :Variable estacionaria 4.-Krigeage Universal Variable no estacionariMinimizar la varianza de estimacin Utilizar el ponderador de Lagrange para minimizar Minimizar la varianza Entrega un sistema de ecuaciones llamadas sistema del KrigeageKrigeageSeaX X XddK.O.Z*k (x) = Z (X) + Z (X)a)Establecer Sistema Krigeage.1.- Es un estimador linealZ*k (x) = Z (X) + Z (X)2.- Es insesgado [Z*(x)] = [Z (x)] [Z*(x) - Z (x)] = 0 [ Z (X) + Z (X) - Z (X)] = 0 m + m m = 0 + = 13.- Varianza de estimacin (Varianza del error)Blue: Best Linear unbiased estimateVAR (Z* - Z) = VAR ( Z + Z - Z)VAR (Z) = - i j (Xi - Xj)VAR ( Zi) = -[+ - - - + + - + + ]= - - - - 2 + 2 + 2 i = 02Pero = 1= - - - - 2 + 2 + 2 i j (Xi Xj) 2 i (Xi - X) (X - X) = VAR [Z* - Z] 2 ( i 1)= - (0) 2 (2d) - (0) + 2 (d) + 2 (d) 2 ( + - 1)2 2 2i = 1 j= 1 i = 1 / = -2 ( + -1) = 0 + = 1 / = -2 (0) 2 (2d) + 2 (d) 2 = 0 (0) + (2d) + = (d) / = -2 (2d) 2 (0) + 2 (d) 2 = 0 (2d) + (0) + = (d) (2d) + = (d) (2d) + = (d) + = 1 = = = (d) - (2d)= (d) (1/2) (2d)Krigeage puntual :Minimizar la varianzaEste es el sistema de KrigeageKrigeage Puntual Varianza del krigeageKrigeage de bloqueSistema de Krigeage Krigeage Simple Es llamada elpesos de la media El krigeage simple.-Es menos utilizado.-Debe estar seguro de que m esta bien estimado .-Sus ecuaciones son mas simplesKrigeage PuntualSimple :Minimizar la varianza Se obtiene el siguiente sistema Este es el sistema de KrigeageKrigeage de bloqueVarianza de KrigeageBloques regularesValor medio del variograma entre xi y todos los puntos de vValor medio del variograma entre 2 puntos de v tomando todos los pares de puntosVariogramas similaresVariograma similares aplicado al krigeage de un bloque Muestras Variograma esferico Krigear un bloque Talla del bloque 200 x 200 m Malla de muestreo 200 x 200Z1= 6Z2=4Z3=3Z4=5Z5=8Krigear un bloqueVariograma Esfrico :Alcance 250 m ,Meseta 2.0 Krigear un bloqueEl sistema de Krigeage esKrigear un bloqueKrigear un bloqueSolucin Krigear un punto ,con cinco muestrasen una malla regular de 200m x 200 mSolucionemos este ejercicio Escritura matricial del Krigeage Krigeage ordinario de bloque Matrice de coeficiente variograficoMatriz de las incgnitasMatriz de dispersin Caso estacionario de orden dosC*Sph(h/a)+C0Jos DelgadoPropiedades del Krigeage:1.-Lineal sin sesgo y con mnima varianza 2.-Interpolador exacto 3.-Efecto pantalla4.-Toma en cuenta la posicin delos puntos en el espacio 5.-Toma en cuenta la continuidad espacial de los datos6.-Efecto de alisamiento 7.-Casi sin sesgo condicional 8.-Transitiva , coherencia en lo estimado Efecto de simetra1= A2=3 =4 =5=B6=7 =8 =9=C 10=11 =12 =13=DEfecto Pantalla10=11 =12 =13=0