Curso: Matemática FC.

Tema: Ecuaciones de segundo grado con una variable.

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Habilidades a desarrollar

Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de:

1) Resolver ecuaciones reducibles a segundo grado.2) Aplicar las ecuaciones de segundo grado en el contexto real y profesional.

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Definición. Una ecuación de segundo grado con una variable, es aquella que se puede expresar de la siguiente forma

donde , y son números reales con , y es la variable.

Ejemplo A. Son ejemplos de ecuaciones cuadráticas

𝑎 ¿𝑥2+8 𝑥−9=0𝑏¿ 𝑥2−4 𝑥=0

𝑐 ¿3𝑥2−√45=0Ejemplo B. No son ejemplos de ecuaciones cuadráticas

𝑎 ¿3 𝑥+1=0

𝑏¿ 𝑥3−8 𝑥2+8𝑥=1

Ecuaciones de segundo grado con una variable¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?

Caso 1. Si de la ecuación tenemos que , entonces se obtendrá la ecuación

En este caso, se deberá factorizar la variable , y posteriormente cada factor lineal deberá igualarse a cero para luego resolver las nuevas ecuaciones obtenidas.

Ejemplo 1. Resuelva Ejemplo 2. Resuelva

𝑥2−𝑥=0

𝑥2−𝑥=0(𝑥)(𝑥−1)=0

𝑥=0 ;𝑥−1=0𝑥=0 ;𝑥=1

Por lo tanto

3 𝑥2=−8𝑥Resolución

3 𝑥2=−8𝑥3 𝑥2+8 𝑥=0

𝑥=0 ;3 𝑥+8=0𝑥=0 ;𝑥=−

83

Por lo tanto

Resolución

(𝑥)(3𝑥+8)=0

Ecuaciones de segundo grado con una variable¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?

Ejemplo 1. Resuelva

Caso 2. Si de la ecuación tenemos que , entonces se obtendrá la ecuación

En este caso, se deberá factorizar (en caso sea posible) la expresión utilizando el producto notable de la diferencia de cuadrados, para luego proceder a igualar los dos factores lineales a cero, y con ello obtener las soluciones buscadas.

Nota: en caso no sea posible la diferencia de cuadrados, el .

Ejemplo 2. Resuelva

4 𝑥2−25=0(2 𝑥 )2− (5 )2=0

(2 𝑥−5 ) (2 𝑥+5 )=0

𝑥=52; 𝑥=−

52

Por lo tanto

Resolución

2 𝑥−5=0 ;2 𝑥+5=0

𝑥2+9=0

Por lo tanto

Resolución

No es factorizable en los reales.

Ecuaciones de segundo grado con una variable¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?

Caso 3. La expresión cuadrática está completa y ordenada, es decir, tenemos

En este caso, podemos intentar dar la solución utilizando la técnica del aspa simple (en caso posible), o usando la fórmula general

donde debemos recordar que:(1) Si entonces (2) Si entonces y con ello (3) Si entonces .

Ejemplo 1. Resuelva Ejemplo 2. Resuelva

Resolución

Se reconoce que 𝑎=2 ,𝑏=−2 y 𝑐=−1Con ello

∆=𝑏2−4 𝑎𝑐¿ (−2 )2−4 (2)(−1)¿12¿0Luego

𝑥1,2=−𝑏±√∆2𝑎

¿−(−2)±√12

2(2)¿ 2±2√3

4¿ 1± √3

2

Respuesta 𝐶 .𝑆={1−√32

;1+√32 }

Resolución

Se reconoce que 𝑎=1 ,𝑏=−1 y 𝑐=3Con ello

∆=𝑏2−4 𝑎𝑐¿ (−1 )2−4 (1)(3)¿−11¿0Por tanto 𝐶 .𝑆=𝜙

Ecuaciones de segundo grado con una variableEjemplo 1. [Diverso] Resuelva

Respuesta:

Resolución𝑥

𝑥−2−

2𝑥−3

=𝑥+20

𝑥2−5 𝑥+6𝑥

𝑥−2−

2𝑥−3

=𝑥+20

(𝑥−2 ) (𝑥−3 )𝑥 (𝑥−3 )

(𝑥−2 ) (𝑥−3 )−

2 (𝑥−2 )(𝑥−3 ) (𝑥−2 )

= 𝑥+20(𝑥−2 ) (𝑥−3 )

𝑥 (𝑥−3 )−2 (𝑥−2 )(𝑥−2 ) (𝑥−3 )

= 𝑥+20(𝑥−2 ) (𝑥−3 )

𝑥≠2 ,𝑥≠3

𝑥≠2 ,𝑥≠3

𝑥≠2 ,𝑥≠3

𝑥≠2 ,𝑥≠3

𝑥2−3 𝑥−2𝑥+4=𝑥+20𝑥2−6 𝑥−16=0

(𝑥−8 ) (𝑥+2 )=0𝑥=8 ;𝑥=−2

𝑥≠2 ,𝑥≠3𝑥≠2 ,𝑥≠3𝑥≠2 ,𝑥≠3𝑥≠2 ,𝑥≠3

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Ejemplo 2. [Diverso] Resuelva

Respuesta:

Resolución

𝑥−2√𝑥=15𝑥−15=2√𝑥

(𝑥−15 )2=(2√𝑥 )2

𝑥2−30 𝑥+225=4 𝑥𝑥2−34 𝑥+225=4 𝑥(𝑥−9 ) (𝑥−25 )=0𝑥−9=0 ;𝑥−25=0

𝑥=9 ;𝑥=25Si entonces ES FALSA

Si entonces ES VERDADERO

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Ejemplo 5. [Diverso] Resuelva

Respuesta:

Resolución

√2 𝑥+7=√𝑥+2(√2 𝑥+7 )2=(√𝑥+2 )2

2 𝑥+7=𝑥+4√𝑥+4𝑥+3=4 √𝑥

(𝑥+3 )2= (4√𝑥 )2

𝑥2+6 𝑥+9=16 𝑥𝑥2−10 𝑥+9=0

(𝑥−1 ) (𝑥−9 )=0𝑥−1=0 ;𝑥−9=0

𝑥=1 ;𝑥=9

Si entonces

ES VERDADERO

Si entonces

ES VERDADERO

Ecuaciones de segundo grado con una variableEjemplo 1. [Aplicación] Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares; si cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar 6 revistas más. Deduzca una ecuación de segundo grado que, al resolverla, me permita contestar la siguiente pregunta: ¿Cuántas revistas ha comprado?Resolución

Sea el número de revistas compradas y sea el precio de cada revista.

De la frase: “Una persona compró cierto número de revistas por 180 dólares”, se tiene que

De la frase: “si cada revista hubiera costado 1 dólar menos, con el mismo dinero hubiera podido comprar 6 revistas más”, se tiene que

𝑝𝑞+6𝑝−𝑞−6=180180+6𝑝−𝑞−6=180

6𝑝−𝑞−6=0𝑝=

𝑞+66

pero

Reemplazando en tendremos

(𝑞+66 ) (𝑞 )=180→𝑞2+6𝑞=1080→𝑞2+6𝑞−1080=0

Ecuaciones de segundo grado con una variable

Ejemplo 2. [Aplicación] Usted es el asesor financiero de una compañía que posee un edificio con 50 oficinas. Cada una puede rentarse en $ 400 mensuales. Sin embargo, por cada incremento de $ 20 mensuales se quedarán dos vacantes sin posibilidad de que sean ocupadas. La compañía quiere obtener un total de $ 20 240 mensuales de rentas del edificio. Se le pide determinar la renta que debe cobrarse por cada oficina.

Resolución

Sea la cantidad de veces que el precio de renta se incrementa en $ 20.

Con ello, el ingreso de la compañía estará modelado por

𝐼=𝑃𝑄𝐼=(400+20 𝑥 ) (50−2𝑥 )

𝐼=20 000−800 𝑥+1000𝑥−40 𝑥2

𝐼=−40 𝑥2+200 𝑥+20 000

Piden hallar el precio de renta, tal que

−40 𝑥2+200𝑥+20000=20 240−40 𝑥2+200𝑥−240=0

𝑥2−5 𝑥+6=0(𝑥−3)(𝑥−2)=0

𝑥=3 ;𝑥=2* Si , entonces el precio de renta será

* Si , entonces el precio de renta será

Respuesta: el precio de renta debe de ser de $440 o de $460

Ecuaciones de segundo grado con una variableEjemplo 3. A un precio de $ por unidad, el departamento de investigación de mercado en una compañía estima que el costo semanal y los ingresos (en millones de dólares) están dados por las ecuaciones

Ecuación de costosEcuación de ingresos

a) Encuentre los precios que permita que la compañía esté en equilibrio.b) Encuentre las cantidades de equilibrio.Resolución

a) Como se busca el precio de equilibrio, se debe de cumplir que

28−2𝑝=9𝑝−𝑝2

𝑝2−11𝑝+28=0(𝑝−7 ) (𝑝−4 )=0

𝑝−7=0 ;𝑝−4=0𝑝=7 ;𝑝=4

Respuesta: los precios que permiten que la compañía esté en equilibrio son $4 o $7.

b) Recordemos que

𝑅=9𝑝−𝑝2

𝑅=𝑝 (9−𝑝 )→𝑞=9−𝑝

* Si entonces

Respuesta: Las cantidades que permiten que la compañía esté en equilibrio son 2 o 5 unidades.

Conociendo los precios de equilibrio, es posible obtener las cantidades de equilibrio.

* Si entonces

Ecuaciones de segundo grado con una variableEjemplo 4. Las ecuaciones de costo para una fábrica son frecuentemente de naturaleza cuadrática. Si la ecuación de costos para fabricar calculadoras baratas es donde es el costo de fabricación de unidades por semana ( y en miles), encuentre:a) La producción para un costo semanal de $15 mil.b) La producción para un costo semanal de $6 mil.

a) Se debe determinar el valor de tal

𝑥2−10 𝑥+31=15𝑥2−10 𝑥+16=0(𝑥−2 ) (𝑥−8 )=0𝑥−2=0 ;𝑥−8=0

𝑥=2 ;𝑥=8

Respuesta: la producción que permite obtener un costo semanal de $15 mil son de 2 mil unidades o de 8 mil unidades.

Resolución

b) Se debe determinar el valor de tal

𝑥2−10 𝑥+31=6𝑥2−10 𝑥+25=0(𝑥−5 ) (𝑥−5 )=0

𝑥−5=0𝑥=5

Respuesta: la producción que permite obtener un costo semanal de $15 mil es de 5 mil unidades.