Universidad Nacional Autónoma de México

Diseño y Comunicación Visual

FES Cuautitlán

Geometría l

Curvas de segundo grado

Carlos Ernesto Carrillo Garza

Gpo. 9000

Curva lineal de Bézier

Esta curva se obtiene si de una recta A, A´ la trasladamos progresivamente hasta hasta que A toma el lugar de A´ y esta última toma el lugar de E.

Todos los puntos de la curva serán siempre tangentes a estos segmentos de recta imaginarios.

A´

A

E

Esfera

Cuerpo limitado solo por curvas. Cada punto de ésta superficie se encuentran a la misma distancia de un punto llamado centro.

La distancia entre el centro y cualquier punto de la superficie se denomina radio r.

Para encontrar todos los puntos que dan forma a este cuerpo dentro de un plano cartesiano, existe la llamada formula general, la cual proviene del famoso teorema de Pitágoras.

F.G. (x-h)²+(y-k)²=r²

Mediante algunos programas computarizados podremos crear esferas con las características necesarias para dar la sensación de tridimensionalidad. AutoCad, Solidedge, Mathemathics, cal k 3D prof, Tec Plot 360, etc. Ahora veremos algunos ejemplos de

esferas creados con distintos de estos programas, con los cuales también podemos dar distintos efectos.

Si a una de estas esferas se le corta con un plano, entonces obtendremos una curva; de la cual si hacemos uso nuevamente del teorema de Pitágoras, entonces podremos obtener el radio de su circunferencia.

r r

Determinemos el radio de una de las circunferencias. En este caso r = √r²-d²

r d

Ahora haremos la representación de diez cortes en una esfera de 50 unidades en su radio que representan 100u en el diámetro. Cada corte se hará a 10u de distancia. El primer y último corte representarán un punto en el cual el plano es tangente por lo tanto si se mide el radio de la circunferencia que corta en ese punto el valor

será de cero. Ahora veamos el ejemplo con una montea.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Y

z

x

Planta

Alzado

·

Ahora tenemos una nueva superficie llamada hiperboloide de un manto. Como su nombre lo indica, proviene de una hipérbola. Ésta es una de las llamadas superficie de revolución, ya que se obtiene al rota una hipérbola sobre uno de sus ejes. La hipérbola girará de tal forma que si las dos curvas pintaran su recorrido, entonces quedaría una sola

superficie curva, la cual veremos en la siguiente imagen creada en el programa Tec Plot 360 2009.

Como proceso inverso, si un plano cualquiera corta la hiperboloide de un manto sin pasar por su centro entonces encontraremos también una hipérbola, aun que no será la misma que dio origen a nuestra superficie

de revolución.