USACH CURVAS 2º 2007

1. Determine la trayectoria que satisface las condiciones indicadas:

i) '(t) = ( 6, 6t, 3t ²) ; (0) = (1, –2, 1 )

ii) µ'(t) = (t sen(t ²), – cos(2 t)) ; µ(0) = ( , 0)

iii) "(t) = (12t, – , 2) ; '(1) = (0, 1, 0) ; (1) = (2, 0, –1)

iv) µ"(t) = (sec²(t), cos(t), -sen(t)) ; µ'(0) = (1, 1, 1) ; µ(0) = (0, -1, 5)

2. Determine velocidad, rapidez, aceleración para cada una de las trayectorias siguientes:

a) (t) = ( ln(t), ), t > 0 ; b) µ(t) = ( t cos(t) – sen(t), t + cos(t))

b) µ(t) = ( t e² , t³ , Arctan(t)); c) (t) = ( t cos(t), t sen(t), t² )

3. Determine la recta tangente a la trayectoria dada en el instante dado:

a) (t) = ( 2cos(t), 6sen(t) ) en t = ; b) µ(t) = ( t³, t² ) en t = –1

c) (t) = ( 2, t, ) en t = 1, d) µ(t) = (cos(t), t, sen(t)) en t =

Determine ecuación Cartesiana de la curva descrita por µ en los casos a) , b)

4.- Para parametrizar curvas planas C de ecuación F(x, y) = 0 suele utilizarse el siguiente método: - Hacer y = t x - Despejar x ( si es posible ) de F(x, t x) = 0 x = ( t ) - Así: (t) = ( ( t ), t ( t ) ) con t en algún dominio; es una parametrización de la curva C (o al menos de parte de ella) Usando el método descrito obtenga parametrizaciones de cada una de las curvas de ecuación: a) 4 – y = 0 b) – 1 = 0 c) + x y = 0

5.- Determine la longitud de cada uno de los siguientes arcos en .

a) (t) = ( a(1-cos(t)), a(t - sen(t)) ; t [ 0, 2 ] , > 0

b) (t) = ( cos(t), sen(t) ) ; t [ 0, 2 ]

c) (t) = ( a(cos(t) + t sen(t)), a(sen(t) – t cos(t) ) ; t [ 0, 2 ] , > 0

6.- a) Considere una función f [a, b] . Pruebe que la longitud de entre

x = a x = b está dada por: dxProf. Máximo González Sasso

b) Si x = g(y) g [c, d] , determine una formula para la longitud del gráfico de x = g(y) entre y = c x = d

7.- Una curva tiene ecuación = . Determine la longitud del arco que une los puntos (1, –1) y ( 1, 1)

8.- Considere las curvas definidas por:

(a) y = ; 0 1 (b)

Probar que si ; son las longitudes de arco = Hint. ¡¡ No es necesario calcular las integrales !!

9.- Determine la longitud de cada uno de los siguientes arcos en .

a) (t) = ( sen(t), t, 1 - cos(t) ) ; t [ 0, 2 ]b) (t) = ( t, 3 , 6 ) ; t [ 0, 2 ]

c) (t) = ( t, Ln(sec(t)), Ln(sec(t) + tg(t) ) ; t [ 0, ]

d) (t) = ( a cos( t), a sen( t), b t ) ; t [ ] , = Cte. e) (t) = ( cos(2 t), sen(2 t), ) ; t [ 0, 3 ]

10- Considere la trayectoria: (t) = ( t, , t + 4 ) ; t [ 0, 4 ]

a) Verifique que se encuentra en el cilindro de ecuación: = 9

b) La curva se encuentra en un plano, determine la ecuación de ese plano.

11.- Determine el o los puntos de intersección de la curva : (t) = ( t – 1, 3 + , 2 ),

a ) con el plano de ecuación : 14 x + y + 3 z = 10 b ) con cada uno de los planos coordenados.

12.- a ) Encuentre un punto de intersección entre las curvas : (t) = (cos t , sen t , 0 ) y (t) = ( 0, cos t , sen t ).

b) Determine ecuaciones parametricas de la recta que es perpendicular a ambas curvas de a) en el punto de intersección.

13.- Se define como plano normal a la curva en el punto ( ), al que pasa por ( ) con normal ’( ) ; encuentre la ecuación del plano normal a la hélice de ecuación: (t) = ( 2 cos t , 2 sen t , 3t ) en el punto ( 2, 0, 0 )

Prof. Máximo González Sasso

14.- Considere (t) =

a ) Verifique que: = 1b) Determine el ángulo de (t) con ’(t) en cada punto

15 .- Sean , curvas diferenciables, pruebe que :

a) ( )’ = + b) ( )’ = +

16.- si h : I IR IR ; , curva diferenciable Pruebe que :

a) ( h(t) (t) )’ = h’(t) (t) + h(t)b) ( (h(t)) )’ = h’(t)

17.- Suponga que ; I IR , Pruebe que : ] ‘ =

18.- Pruebe que si (t) 0 , entonces:

= –

19.- Considere: : [ a, b ] , trayectoria cerrada de clase ( [ a, b ] Pruebe que existe ( a, b ) de modo que : ( ) · ’( ) = 0

20.- Sean : f : I IR IR, función continua y : I IR trayectoria diferenciable de modo que : (t) 0, ’( t ) = f(t) ( t ) ; t I Pruebe que la imagen ( I ) está contenida en una recta que pasa por el origen.

21.- Use el ejercicio anterior para probar que si es diferenciable con ( t ) = f(t) ’( t ) ’( t ) 0 ; t I, entonces ( I ) está contenida en una recta que pasa por el origen.

22.- Sea : [ a, b ] , trayectoria continua y diferenciable en (a, b) . ’ integrable para todo compacto [ c, d ] ( a, b ) M ; t ( a, b ) Pruebe que M ( b – a )

23.- Considere , : [ a, b ] , trayectorias de clase ( [ a, b ].

Pruebe que: = –

24.- Sea : [ a, b ] , una trayectoria integrable v , un vector fijo

Pruebe que : =

26.- Calcule la longitud de la cicloide (t) = ( t – sen(t), 1 – cos( t ) ) ; t [ 0, 2 ].

Prof. Máximo González Sasso