Curvas de tercer orden
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CURVAS DE TERCER ORDEN
Pontificia Universidad Católica de Chileprofesor: Manuel Corradaayudante: Manuel Brahm
alumnos:cynthia gonzález
daniela olmosjean-baptiste vervaeck
geometría - MAT 1307-1semestre 2-2010
![Page 2: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/2.jpg)
INVESTIGACIÓN PRELIMINAR
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¿Cuáles son las curvasde 3er orden?
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curva hilbert
“Un curva Hilbert es un fractal contínuo descrito por primera vez en 1981por David Hilbert, matemático alemán.” *
primer orden segundo orden tercer orden
primer orden
* http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
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otro ejemplo
arriba: “... vemos ocho órdenes de la curva dragon. Podemos darnoscuenta de que la curva de tercer orden está compuesta por dos curvasde segundo orden...”
primer orden curva inicial
tercer orden
cuarto orden
quinto orden
segundo ordenprimera transformación
segunda transformación
sexto ordenseptimo orden
octavo orden
Nº orden
tercera transformación
cuarta transformación
quinta transformación
sexta transformación
septima transformación
figura final
* http://www.jimloy.com/fractals/dragon.htm
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pero...¿cuál es la propiedad que define
a una curva de tercer orden?
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definición
Una recta es una línea de primer orden...
![Page 8: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/8.jpg)
definición
Los círculos, y otras secciones cónicas son ejemplos de curvas de segundoorden...
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definición
y las curvas de tercer orden...
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otros ejemplos
se identifican al trazar una recta por encima de la curva y que la mismala corte en solamente tres puntos...
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curvas de 3er orden
otros ejemplos de curvas de tercer orden...
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EXPERIMENTACIÓN
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arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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un arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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arco
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rápidamente cuáles su orden...
(X0 , Y0)
inicio
fin
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y ¿cómo essu representación paramétrica?
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curva de 2º orden
Los puntos, verde y rojo, demarcan el inicio y término del cuarto decírculo, respectivamente.
(X0 , Y0)
inicio
fin
rango paramétrico
0 2
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curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
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curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
r
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
![Page 23: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/23.jpg)
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
r
(X , Y)
fin
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
![Page 24: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/24.jpg)
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
rango paramétrico
0 2
representaciónparamétrica
= 55ºen este caso
![Page 25: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/25.jpg)
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
cos br X
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
![Page 26: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/26.jpg)
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
sen ar Y
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
![Page 27: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/27.jpg)
curva de 2º orden
trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemossu radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
(X0 , Y0)
inicio
ra
b
(X , Y)
fin
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
0 2
= 55ºen este caso
representaciónparamétrica
![Page 28: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/28.jpg)
pero si extendemos la curva¿sigue siendo de 2do orden?
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curva de 2º orden
cuando extendemos el arco de cuarto círculo a uno de medio círculo,sigue siendo de segundo orden...
fin
(X0 , Y0)
inicio
![Page 30: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/30.jpg)
y su representación paramétrica¿cómo es?
![Page 31: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/31.jpg)
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
rango paramétricofin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
![Page 32: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/32.jpg)
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
![Page 33: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/33.jpg)
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
cos br X
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
![Page 34: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/34.jpg)
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
sen ar Y
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
![Page 35: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/35.jpg)
curva de 2º orden
su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunquemodificamos sólo el parametro del punto final...
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrizaciónra
b
(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 25ºen este caso
0
![Page 36: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/36.jpg)
entonces... ¿en qué momento aparece
la curva de 3er orden?
![Page 37: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/37.jpg)
curva de 2º orden
incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo,sigue siendo de segundo orden...
ra
b
(X , Y)
fin(X0 , Y0)
inicio
= 48ºen este caso
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrización
02
3
![Page 38: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/38.jpg)
círculo
incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo,sigue siendo de segundo orden...
cos br X
sen ar Y
rango paramétrico
parametrización
ra
b(X , Y)
fin
(X0 , Y0)
inicio
= 28ºen este caso
20
![Page 39: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/39.jpg)
¿y cuando aparecerá entoncesla curva de tercer orden?
![Page 40: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/40.jpg)
¿es esta una curva de 3º orden?
si seguimos extendiendo el arco original, achicándolo en 50% a modo deque quede inscrito dentro del primer círculo
inicio
fin
(X0 , Y0)
![Page 41: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/41.jpg)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
![Page 42: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/42.jpg)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
![Page 43: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/43.jpg)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
![Page 44: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/44.jpg)
curva de 4º orden
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a unade 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
(X0 , Y0)
![Page 45: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/45.jpg)
hipótesis:
las curvas de tercer ordense encuentran contenidasdentro de otras curvas deorden superior, o formadaspor curvas de orden inferior
![Page 46: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/46.jpg)
es sólo al extraerlas de su contextooriginal que podemos verlas y medirlas
![Page 47: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/47.jpg)
ejemplo cotidiano #1
La típica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estánformados por una serie de curvas de tercer orden...
![Page 48: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/48.jpg)
ejemplo cotidiano #1
La típica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estánformados por una serie de curvas de tercer orden...
![Page 49: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/49.jpg)
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfíl también nos presentan un vistazo fugazde una curva de tercer orden...
![Page 50: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/50.jpg)
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfíl también nos presentan un vistazo fugazde una curva de tercer orden...
![Page 51: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/51.jpg)
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio Larraín,formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
![Page 52: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/52.jpg)
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio Larraín,formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
![Page 53: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/53.jpg)
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un tazón tipo starbucks también nos presenta una curva detercer orden...
![Page 54: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/54.jpg)
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un tazón tipo starbucks también nos presenta una curva detercer orden...
![Page 55: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/55.jpg)
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormigón también nos muestraotro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacentea la biblioteca)
![Page 56: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/56.jpg)
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormigón también nos muestraotro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacentea la biblioteca)
![Page 57: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/57.jpg)
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacenlas puertas de las micros también es otro ejemplo...
![Page 58: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/58.jpg)
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacenlas puertas de las micros también es otro ejemplo...
![Page 59: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/59.jpg)
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyo-e japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
![Page 60: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/60.jpg)
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyo-e japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
![Page 61: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/61.jpg)
además, las curvas de tercer orden tienen otra propiedad...
![Page 62: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/62.jpg)
CASO DE DISEÑO
![Page 63: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/63.jpg)
luminaria “Defecto”
Esta luminaria esta hecha a partir de CD desechos, una tira de lámparasLED y fibras ópticas de variados largos...
![Page 64: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/64.jpg)
luminaria “Defecto”
arriba: vista trasera de la luminariaabajo izquierdo: vista muro intermedio con la tira de LEDs embutidoderecha: vista de noche con las lámparas prendidas
![Page 65: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/65.jpg)
luminaria “Defecto”
Antes de poder taladrar los hoyos circulares en el muro intermedio paraembutir los LEDs, tuve que calcular la distribución de estos círculos paraque coincidiera con el espacio entre las lámparas de la tira LED...
![Page 66: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/66.jpg)
rhinoceros
El software de modelamiento 3D, Rhinoceros, tiene una herramienta quesupuestamente facilita la distribución/ubicación de una forma a lo largo deuna curva (en este caso de 4to orden) con un espacio igual entre las formas...
![Page 67: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/67.jpg)
rhinoceros
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
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intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
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intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array oncurve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtenerla precisión que quería...
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intento 1
éste fue el primer intento, en que se me había olvidado incorporar elancho de las lámparas LED en el cáculo de la distancia entre hoyoscirculares...
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intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distanciaque quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculosa lo largo de la curva...
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intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distanciaque quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculosa lo largo de la curva...
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intento 2
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de loscírculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificandootros parametros de la herramienta...
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intento 3
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de loscírculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificandootros parametros de la herramienta...
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intento 3
... pero seguía distribuyendo los círculos de manera desordenada...
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intento 4
... y mientras probaba las otras opciones de la herramienta...
![Page 77: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/77.jpg)
intento 4
... peor quedaba la distribución de los círculos...
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intento final
Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
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Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
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Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
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Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
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Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
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Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
![Page 84: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/84.jpg)
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Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculoy lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distanciade 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
![Page 85: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/85.jpg)
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El tercer círculo, por la forma de la curva guía, requirió otra estrategiapara lograr ubicarlo a una distancia equivalente de los primeros dos... porlo tanto, partí tirando un arco, con un radio de 4mm desde...
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... el punto de intersección entre el segundo círculo y la curva de guía,cuidando que el arco también intersectara con la misma...
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Para verificar que efectivamente había una distancia de 4 mm entre elpunto de intersección del arco que había trazado y el borde del segundocírculo, tracé otro círculo entre ambos puntos...
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al haber comprobado la primera medición, me dí cuenta de que el centrodel círculo de verificación no coincidía con la curva guía...
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así que decidí tirar el siguiente arco con radio de 2.75mm, valor quecorresponde a la mitad del diámetro de los hoyos circulares que necesitabataladrar posteriormente...
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asegurando nuevamente que el arco intersectara con la curva de guía...
![Page 91: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/91.jpg)
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Utilizando ese punto de intersección como centro para el siguiente hoyocircular, especifiqué que tuviera un diametro de 5.5mm, tal como los doshoyos circulares anteriores...
![Page 92: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/92.jpg)
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De esta manera, aseguraba que el centro de los hoyos circulares quedarapuesto justamente por sobre el de la curva de guía, lo que me ayudaríaa producir el muro estructural interior de la luminaria...
![Page 93: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/93.jpg)
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y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
![Page 94: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/94.jpg)
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y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
![Page 95: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/95.jpg)
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y así sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientarla ubicación de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva deguía...
![Page 96: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/96.jpg)
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Cuando llegué al final de la curva guía, comencé a borrar todos los trazosque ya no me servían, incluyendo las curvas de tercer orden que me habianfacilitado distribuir los círculos con el grado de precisión que quería...
![Page 97: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/97.jpg)
y además ¿dóndepodemos encontrar
las curvas de 3er orden?
![Page 98: Curvas de tercer orden](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022052305/568c53371a28ab4916b9deca/html5/thumbnails/98.jpg)