Curvas planasLas curvas son una parte esencial de las matemáticas.Existe una gran variedad de curvas que serán tratadas en la vida matemática.Una curva que se encuentra en un plano individual se dice que es una curva plana.Una curva plana puede ser clasificada en plana cerradao plana abierta.La solución de una ecuación algebraica en un plano definido, por ejemplo, f(x, y) = 0 o la solución de una ecuación simple en el espacio, esto es, por ejemplo g(x, y, z) = 0, forma una curva plana.Algunas de las propiedades de los planos en los cualesse encuentran las curvasson las siguientes:1). Sólo se puede obtener una curva plana a través de tres puntos que no sean de origenco-linear.2). Sólo puede existir un plano que contenga dos líneas concurrentes.3). Sólo puede obtenerse1 plano perpendicular en una dirección dada y a una distancia dada desde el origen.4). Un solo plano puede ser obtenido desde un punto dado y enuna dirección perpendicular dada.Por tanto, a partir de estas propiedades, puede decirse que tres puntos dados especifican un plano dado, que dos rectas concurrentes especifican un plano dado, una normal a un plano y la distancia del plano desde el origen especifican un plano particular y, por último, que un punto en el plano y una normal al plano especifican un plano particular.La ecuación que representa una curva plana se basa enteramente en el sistema de coordenadas. Algunas de las ecuaciones de las curvas planas con el sistema de coordenadas incluyen:polar, f(r,θ) = 0rectangular, f(x,y) = 0paramétrica, x = f(t), y = g(t)La creación de curvas planas puede efectuarse a través de curvas de contorno o nivel para una función de 2 variables.Una función de dos variables generará un gráfico triple ordenado en 3D (x, y, z). Aquí z = f (x, y).Una ecuación algebraica también puede ayudar a generar una

curva plana.Una ecuación algebraica es aquella ecuación en la cual sólo algunas de las operaciones están involucradas, lo que incluye la suma, resta, división, multiplicación, hastalas potencias fraccionarias o integrales y la extracción de la raíz.Unacurva Plana Algebraica forma también una categoría importante en el concepto de curvas planas.En el caso que la ecuación Cartesiana que esté definiendo la curva sea algebraica, entonces se dice que la curva es una curva algebraica.Cuando el grado de la curva algebraica es mayor que dos, en ese caso, la curva algebraica se conoce como curva de niveles superiores.El grado está asociado con todas y cada una de las curvas algebraicas y, puede calcularse mediante la determinación del número total de intersecciones de una recta genérica y en una curva.Junto con las curvas planas algebraicas, otro tipo de curva plana comúnmente estudiada son las curvas suaves.Una curva suave puede definirse como una curva situada en el plano Euclidiano y también es una variedad diferenciable 1-D.

Espiral logarítmica

La espiral logarítmica es aquella que tiene sus radios crecientes en progresión geométrica y que está formada por triángulos rectángulos semejantes superpuestos, en los que la hipotenusa de cada uno es el cateto del siguiente.Los triángulos rectángulos se apilan unos sobre otros por una

rotación más dilatación en la que el vértice del primero es el centro invariante de todos los demás triángulos que se van generando.

En el dibujo podemos ver la diferencia entre una espiral arquimediana (verde) y otra logarítmica (azul). Para dibujarlas se ha hecho una radiación o conjunto de líneas que pasan por un vértice, todas con el mismo ángulo entre ellas, lo que se denomina una transformación matricial polar así como un conjunto de circunferencias concéntricas equidistantes.La intersección de las líneas de la radiación con las circunferencias equidistantes nos determinan los puntos de las espirales. La diferencia entre las dos espirales radica en un distinto crecimiento.La espiral arquimediana crece sumando siempre una unidad sobre el número anterior: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., es lo que se llama una progresión aritmética mientras que en la espiral logarítmica tenemos que multiplicar el punto anterior por uno dado para obtener el siguiente número, por ejemplo 2 × 2 igual a 4, 4 × 2 igual a 8, 8 × 2 igual a 16, etc., es lo que se llama una progresión geométrica.

El dibujo muestra el crecimiento uniforme de la espiral arquimediana en color rojo en contraste con la espiral logarítmica azul, de crecimiento en progresión geométrica.

ASTROIDEEn matemática, un astroide es un tipo particular de hipocicloide, una curva con cuatro vértices. Los astroides son también superelipses: todos los astroides son versiones escaladas de la

curva especificada por la ecuación: .Su nombre moderno proviene de "estrella" en griego. La curva tiene varios nombres, incluyendo tetracúspide (todavía usado), cubocicloide, y paraciclo.Un punto de una circunferencia generatriz de 1/4 que rueda dentro de una circunferencia directriz de radio 1, traza un astroide.Si un segmento de longitud igual al radio de la circunferencia directriz con centro en (0, 0), se desliza con un extremo en el eje X y otro en el eje Y, resulta ser tangente en cada punto de la curva astroide.Su ecuación paramétrica, para R = 1, es:

Un astroide creado por una circunferencia generatriz rodando

dentro de otra de radio contiene un área igual a .El astroide es, además, evoluta de la elipse. Esto quiere decir que el lugar geométrico de los centros de curvatura de una elipse siempre tiene forma de astroide.

Por otra parte, si deslizamos un segmento de longitud constante sobre dos ejes perpendiculares, la envolvente que se forma también es una elipse.