CURVATURASea Γ⊂R3 una curva y sean γ: I=[a ,b ]→R3, γ ( t )=(x (t ) , y (t ) , z (t ) ) una parametrización regular y α : I '= [a' ,b ' ]→ R3 su parametrización respecto el parámetro arco.

Tenemos que la recta tangente tiene por vector director a la derivada de una parametrización y la parametrización de arco tiene derivada de módulo 1. Es natural que se denomine este vector, tangente unitario.

Definimos el vector tangente unitario a Γ enp=α (s ) como T ( s )=α ' ( s )

Si tenemos una parametrización arbitraria γ de la curva Γ y p=γ (t ). Entonces γ ' (t ) también nos proporciona un vector tangente, entonces el vector tangente unitario en p es

T ( t )= γ ' (t )‖γ ' (t )‖

Al ser el vector tangente unitario, se derivada nos permite conocer su variación a lo largo del tiempo s. Es decir, la derivada de T ( s ) mide el cambio de dirección del vector tangente a lo largo de la curva. Nos permite medir la curvatura.

Se llama curvatura de Γ en p=α (s ) al escalar

k ( s)=‖dTds ‖=‖α ' ' (s )‖

Teniendo en cuenta que T (t )= γ ' (t )‖γ ' (t )‖ y que k ( s )=‖dT

ds ‖, se tiene que:

dTds

=dTdt

∙ dtds (TFInversa ,t−1=s−1= 1

s ' )dTds

=dTdt

∙ 1dsdt

( dsdt =‖γ ' ( t )‖)dTds

=dTdt

∙ 1‖γ ' ( t )‖

Entonces la curvatura en el punto p es:

k ( t )=dTdt

∙ 1‖γ ' ( t )‖

Cuando más rápido varíe la tangente más grande será la curvatura, entonces:

Si k=0 entonces Γ es una recta.

Si k ≠0 entonces Γ es curva y al valor p=1k se le denomina radio

de curvatura.

TORSIÓNLa variación del vector binormal nos proporciona la torsión de la curva, cuanto más rápido cambia ésta, más rápido gira el vector binormal alrededor del vector tangente y más retorcida es la curva. El

ángulo, ω , que forma dBds y dTds (proporcional a N), se obtiene a través

del producto escalar:

dBds

( s ) ∙ N ( s )=‖dBds

(s )‖∙‖N (s )‖∙cos (ω )

Se llama torsión de Γ en p=α (s ) al escalar:

τ ( s )=−dBds

( s) ∙N ( s)

Donde el punto denota producto escalar de vectores.

Teniendo en cuenta que dBds =dBdt

∙ dtds

= dBdt

∙ 1‖γ ' ( t )‖, se tiene que la torsión

en el punto p=γ (t ) es:

τ (t )= −1‖γ ' ( t )‖ ( dBdt (t ) ∙ N (t ))

Una curva es plana su y solo si su torsión es 0 en todo punto.