CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES

- ~ v.-.~~ 2.EJ~..00 ~~ ::;;~- .~- -~

Luego de la colision los cuerpos quedan adheridos.cion de energfa. :;}

Se produce la maxima disipa-~Tv~~

...~ ... ~,. ._ ~ _ ..

~. ~__ ,:UZCAN" ----------------~

Si una esfera colisiona frontal y elasticamente (e= 1) can otra identica enreposo. Enton-ces, esta ultima adquiere la cantidad de movimiento y energfa cinetica del primera.

v---:-iA

v--B

~ii'~qjtfG~

Supongamos que las veJocidades de lasesferas antes y despues de la colis ion.son: ill il2-- --~iA~'~

a) Par conservacion de la cantidad de De (I) y (II) :movimiento.

Po =Pf

mxVl +mt. =m~l +~z

V =~l +~z~

il1+ilz=V}- +ilz -ill = V

2ilz = 2V

ilz =VI_

b) Par relacion de coeficiente de restitu-cion (e=l).

- ,!7De: ~z - ~l = e (V 1 - .,v Z )

~z - ~l = 1x V ~ ... (II)

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES"-

=1!-.i~{il~AP::{1IDtSi una esfera colisiona frontal e inelasticamente (0 < e < 1) fon otra identica enrepo~. Entonces, las velocidades de las esferas finalmente son : I

~t~' IDo..altte! fDespft~

i,~l ii2- -

~DeniOSttaciOnHaciendo el mismo analisis de la situaci6n anterior.

fil-Po =Pf

mVl +mt = mD:l + D:2

D:l + D:2 = V ~b) De la relaci6n de coeficiente de restituci6n.

ii2-

~ MJ!W!III-- J:,UZCANo. ----------------~

.-.,J.!.8JmlEoki.::j 1lliJI:Si una pelota colisiona frontalmente con rapidez Va' contra una pared en formainelastica (0 < e < 1), La rapidez con que sale despu€s de la colisi6n es :

'

----------4, ,'~------, ~()------

- III

Si suponemos que luego de la colisi6n la pared practicamente no se ha movido, enton-ces:

112=0

J--- :;~~2 -~l =e(Vl - V2)

0-111 =e(-Vl -0)

III = eVl

Lqqd.

I ~-,~ ~-;..----------

'- __ mmm____ :::::Q) ~l m

~Si la fuerza media que se producedurante la colisi6n es mucho mayorque la fuerza de gravedad.Entonces :

, -~'~UiS{j):_EaQpIEDAri..,:.; ~ ~

Si una pelotita colisiona ine"~sticamente con una superficie horizontal lisa, de laforma como se indica, entonces : el coeficiente de restituci6n se calcula par :

~OSti'dCi6n .•

Descomponemos las velocidades antesy despues de la colisi6n, en la direcci6nde la Ifnea de choque y perpendicular aella.

~..~f\~'~ ~'v,cosa', ~'/'1 -'fP'0!

'lIIIIIIllllllllllllllmmm;:%:>llmi

a) Si no existe rozamiento, entonces la componente horizontal de la velocidad nocambia, es decir :

VI cosa = III cos~

VI cos~-=--III cosa

b) La componente de la velocidad inicial en la vertical; cambia debido al coeficiente derestituci6n.

IIIIIII

(t":~.w~·i.i

cosa sen~e=--x-·--cos~ sena

Illsen~ = eVlsenaIII sen~e=-x--VI sena

j),-

~ ~_ CUZCAN~ ----------------~

DE

PROBLEMA 98 Sem.CEPRE UNI ':'----------------- '.'Una esfera de 1 kg can una velocidad de ':'4 im/s realiza una colisi6n elastica frontal :;:can otra esfera estacionaria identica en sus .:.dimensiones. :~:2.A que distancia de la primera esfera, se ':'encuentra la segunda esfera; 3s despues de :;:la colisi6n? .:..:.

.. (d = 12=1 Rpta.

A) 6mD) 24m

B) 10 m

E) 8m:~:,PROBLEMA 99.:..:. Dos pelotas de igual masa moviendose can:~:rapidez de 3 mis, chocan de frente. En-.:. cuentrese la rapidez de cada una despues.:..:. de la colisi6n (en m/s) .

RESOLUCION

R~

.:. I) Si quedan juntas ..:.

I) III = 112 = 0

II) III = 112 = 0

III) I) III = 112 = 0Despues de fa colision ;

3sJ.Ll=O~ J.L2=4m/smrZ;l ~Q~.v: "X'R'f

~d-

.:.

.:.

.:. C) I) III = 112 = 1,5

.:.

.:. II) III = 112 = 3.:.

.:.

.:. III) III = 112 = 0,9

.:.

CANTIDAD DE MOVIMIE:NTO - IMPULSO - CHOQUES

::: a) Por conservacion de P.:..:. Po ==PI

:~: mVI + mVz ==mill + mllz

0) I) ~l ==~z ==0

II) ~l ==~z ==3Ill) ~l ==~z ==0

E) I) ~l ==~z ==3

II) ~l ==~z ==0Ill) ~l ==~z ==2,7

RESOLUCION

3 i-3i==1l1 +ilz

ill + ilz ==0

.:.k¢~~'d.'11I .:.

.:.Esbozando una grMica antes y despues de .:.

.:.la colision plastica. .:.

~=3m/s- V2=3m/s-

ilz~ill ==e(VI-Vz)

ilz - ill ==1x (3.i - (-3 i))ilz - ill == 6 i

Ilz == 3 i m/s

ill == -3 i m/s

Por conservacion de la cantidad de movi- .:. Los modulos de sus velocidades 0 rapidecesmiento. ::: seran :

Po == PI :~::. (~1= ~2= 3 m/~]RPta. (II)

~~':m (3 i) + m (-3 i) == 2m V r

:~:It~{[ill]Significa que las pelotas se detienen; enton- ':'. . •.ces : .:. Graficamos instantes antes y despues de la

[-----lli :::colision inelastica (e=O,9). '~l= ~~.~ OJ Rpta (I) ::: m;.ta,

~~~~el~ condicion esbozamos el grMico si- :~: .-;Sj i~, I~ ~L1FAn1'&1 rQes"p'u~ :~:a) Por conseivacion de P .

Po ==Pr,m'VI + ,m'V2=,m'1l1 '+ ,m'ilz

'r3m/s ~=3m/s ~l ~ .:.- - - - .:.

::;;:! I~ @~ ::;;:tt, .:.~~ .:.

.:.

~" MI!II!R~ CUZCA.Q---------------~

3 i+ (-3 i) == ill + il2

° == ill + il2

~. Par conservaci6n de la cantidad de movi-:~:miento en el sistema :... (1)

b) Si el choque es inelastico (e==O,9);en- :~tonces : .:.~.

.:.

.;. PROBUMA.',101, Sem. CEPRE UNI

.;.

.;. Sobre una mesa horizontal Iisa se en-:~ cuentran dos esf~ras juntas en reposo y

.. (J.lI ==J.l2 = 2,7 mlS) Rpta. (III) .;. una tercera va al encuentro de ellas. SiCl '·A :~:las velocidades despues del choque son

ave. ~: ill ==(2 1- 0,5 3) m/s , il2 ==(1+4 3) mls

fpa"OB~Oi Sem. CEPRE UNI":~ y il3 ==(3 1- 3 3) mis, hallar la velocidad, "" " . ~. de la esfera que se estaba moviendo, antes

Una p.?-rhcula A de masa m y velocl- ~. del choque.dad 2i mls va al encuentro de una par- :;tfcula B de masa 2m y ~n reposo. Si .:.despues de la colisi6n eAntre A y B; :~B adquiere la velocidad i mis, deter- .:'

~,mine la velocidad de A. .:.

il2-ill ==e(VI-V2)

il2 - ill == 0,9 (3 1- (-3 1))il2 - ill == 5,4 1

De (I) y (II) ;

A) 51 m/s::) 1 m/s:.~ 0 im/s

21 .:.B) m/s .:.

D) (1/2) m/s.;..:..:.

ill == 0

.. (ill = 0 i mI:J Rpta.

Clave: E

(antes del choque)--------·X

:~:A) (10 1- 2,5 3) mlsRESOWCION .:'

G f· d I 'tu' t d ' ';' B) (101 -1,5 3) mlsra lean 0 as Sl aClones an es y espues '.'de la colisi6n. :~:C) (10 1- 0,5 3) m/s

~DeSpues, :~:D) (13i-1,5 3) mls_ Vt=2tmls v=o ~ - Ami .:'~~------G'-' ~-- ::;:~ 8:~E) (131-2,53) m/s

A B A B • .'.'

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO - CHOQUES

RESOLUCIONLas situaciones antes y despues del choquesegun el problema serim :

.:. A) 1,67 mls:~:C) 1,33 mls:~:E) 2 mls.:. RESOLUCION.:.';' Inicialmente el cai-rito'.'.:. estan detenidos .

B) 2,67 mlsD) 0,67 mls

.:.

.:. EI bloque inicia su movimiento con rapidez:~:de 2 m/s; como no existe rozamiento, en-~L' 3i' .:. tonces el carro seguira en reposo y el bloque

ma

:~:se movera a velocidad constante.-3j' .:.

Por conservacion de la cantidad de movi- .:..:.miento.

Po =Pf

ml Vl = ml~l + m2~2 + m3~3

Resolviendo :

.. (VI = (13i-1,Sj) mlsJ Rpta.

\\=2m1s ~=o

UiJ:m

:~:Cuando el bloque llega al extremo de la pa-';' red del carrito; se produce la colision elasti-...• .

.:. ca, entonces cada uno de ellos tendran ye-:~:locidades ~l e ~2 constantes, respecto de.:. tierra ..:.

.:.Un bloque de masa 2m se encuentra den- .:.tro de un carrito de masa "m", inicialmente ';' I) Por conservacion de P

'.' ---------en reposo, tal como indica la figura. Si el .:.bloque parte del centro del carrito con una :~:rapidez de 2 m/s. Halle la rapidez del carri- :~:to despues de la primera colision elastica .:.con el bloque. Ignore todo efecto de fric- :~:Asumimos un signa a sus vectores veloci-cion. .:. dad:

.:.

.:. Luego ;

.:.

II'- J:'U~ .I.If!I!II) 5i el choque es elastico (e=l).

il2 - ill = e (VI -1:.)112 - III = 1x 2

ml (V) + m2 (-V) = ml x 0 + m2 (1l2)

V(ml-m2)=m21l2 ... -(1)

... (II) :~:5i el choque es perfectamente elastico..:. e=l.:.

(Vl-V2).:. il2 -ill =e.:..:.

Ilz = l(V -(-V)).:..:..:. Ilz = 2V . .. (II).:..:.

Resolviendo (1)y (II) :2

III =-3

8Ilz =-

3Luego :.

.. [~=2,67.~s ' Rpta.......=====~ .:.Reemplazando (II) en (1):

Clave: B :~:

.:.Sem. CEPRE UNI .:. Resolviendo :

(E'3:. _1 =- Rpta

m2 1.Dos esferas perfectamente elasticas van al .:.encuentro con igual rapidez y despues del :~:choque una de ellas queda en reposo. <.En :'

'.'que relaci6n estanln sus masas? .:..:.A) 2/1 B) 3/1 C) 4/1 .:. fPaoiLEMAF () Sem. CEPRE UNI

D) 5/1 E) 6/1 . :~:Los cuerpos mostrados en la figura, reali-RESOWCION :~:zan un choque perfectamente inelastico sa-5eglin la condici6n del problema, la grafica ::: liendo luego con una rapidez de 0,25 im/ s .que identifica el movimiento de las esferas, .;. Determine la relaci6n ml / m2 :antes y despues de la colisi6n sera : :~:

V1=V--'i';;~' ,

:~:A) 2/3.:. D) .5/3.:.

B)"3/4

E) 3/5

:~:RESOWCION;,: Esboza'ndo el grMico del movimiento de 10s.:. cuerpos antes y despues de la colisi6n ..:..

\i=O.25m1s.-

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES

Por conservacion de la cantidad de movi- .:..:.

miento.Po =Pf

mV1 + mV2 = (M + m)p:Po =Pf

m1V1 +m2V2 =(ml +,m2)Vf

m1 (+4) + m2 (-6) = (ml + m2)0,25

3,75 m1 = 6,25 m2

. 8xO,5 +ix(-1,5) =(8 +i}~.. (~ = 0,44 m/s) Rpta.

._- .- ",!)

Asignando un signa a la direccion del vector .:.velocidad. ' :~:

.:. PROBLEMA 106·Rpta. v

.:. Entre las masas de la figura se produce un 'Clave: D :~:choque perfectamente inelastico. Calcule

:~:la fraccion (en %) de la energia cinetica delSem. CEPRE UNI .:. sistema que se disipa en forma de calor.v '

Un pez de 8 kg esta nadando a 0,5 m/s ha- :~: ~ ", 2V .~. Vcia la derecha. Se traga otro pez de 1/4 de .:. --- ~~_._-----~---kg que nada hacia el a 1,5 m/s hacia la .:.izquierda. ('Cual es la rapidez del pez mas :~:A) 33,3 % B) 66,67 % C) 14,8 %grande inmediatamente despues de su co- ':' D) 74 % E) 7,4 %mida? :;:RESOWCIONA) 0,44 m/s B) 0,34 m/s . :~:En el choque perfectamente inelastico seC) 0,48 D) 0,92 m/s :~:conserva la cantidad de movimiento del sis-E) 0,5 m/s .':' tema ..:.RESOLUCION .:. ~tes . DespuesLa colision realizada por los peces es practi- :~: 3

camente plastica, graficamos : ::: ~ 2.V n~.. .. =:.d:>-J: ..:.IDido j Final " .:.

.:. Asignado un signa a la direccion de la velo-:~:cidad.

2m· 2V + mV = 3mll

~ [~=~v]Por conservacion de la cantidad de movi- .:.miento en el sistema. :~:

Calculo de la energia disipada

1 Z 1 ZEK =-x2m(2V) +-xmVo 2 2

EKo = 4,5 mVzl_

EKf =~x3mx(%v J25 Z

EKf =6mV ~

.;. mV::: A) 0,13 M.:..;. MV.;.C)0,5-.;. m

B) 0,13 MVm

. mVD)0,5-

V.:.•;. E) 1,86 MV/m.:..;. RESOWCION.:..;. Dato del problema: (Para la bala).:.

:;: Si pierde el 75% de su EKo' entonces :.:.'

Q=EKo -EKf

Q =4 5mV2 _ 25 mVz, 6Q=l.mVz3 ~

Finalmente : eI porcentaje de energfa disi- :::pada en forma de calor es : .;.

Q 1/3 ';' Calculo de la rapidez del bloque% EdisiPada = -- x 100 = - x 100 '.' --------------

EKo 4,5 ::: Analizando instantes antes y despues que Iq..;. bala perfora el bloque.

V111= -l

2

VIII=-

2

~=V.;. ---Sem. CEPRE UNI .;. __ ~ _.;. m

jDesptibi"

II_=??r-" ..-Clave: E :;:

La figura muestra un proyectil de masa "m" .;.que se mueve con una velocidad V, hacia :;: Por conservacion de la cantidad de movi-un bloque de masa M, en reposo. Si la bala ';' miento.

'.'

perfora al bloque perdiendo el 75% de su ';' Po = Pfenergfa cinetica, determine la rapidez del :;:bloque despues que la bala 10 atraveso. .;. mV1 = mill + Milz.:.

.;.-Asignamos a cada vector velocidad un sig-.:.

.;. no.VmV = mx-+Mllz2

CANTIOAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO . CHOQUES

.:. Ccilculo de la cantidad de calor des- ..:~:prendido durante la colisi6n.~2 = £i (1-~)v

.. [~2= 0,5 iiV)

Sem. CEPRE UNI :~:

Se tienen dos partfculas cuyas masas son 4 :~:g y 2g cuyas velocidades son 2 i m/s e·:· * * EKf =.! ml~i + .! m2~~i m/s, respedivamente. Despues de coli- :;: 2 2sionar la partfcula de rI;asa 2g tiene una .:. 1 (3 )2 1 2velocidad de 2 i m/s; determine la canti- :;: EKf ="2 (2m) x"2 + "2x m x 2dad de calor desprendido en la colision. :~:

A) 0,3 mJ B) 0,4 mJ C) 0,5 mJ :~: EKf = 4,25 m~

D) 5 mJ E) 2 mJ :~:Luego :

RESOLUCION :Esbocemos un grafico antes y despues de la .:.

'.'colision. .:.

Q=EKo -EKf

Q = (4,5 -4,25)m

Q = 0,25 x 2 x 10-3 J

:. ( ~ = 0,5 mJ JJ Rpta.Clave: CV. =2f ~=f' ill il2=2t :~:

- ~ --'- .j---'''- -- -- .:.• ----.---~0--1..__~--~-------~---:.::

,r . 5tR~BLEMA'109.:.

Data : :~:Un cuerpo con energfa cinetica Eo produce

* m=2g=2 x 10-3 kg .:. un choque perfedamente inelastico con un:~:segundo cuerpo de igual masa e inicialmen-

Por conservacion de la cantidad de movi- ::: te en reposo. La energfa cinetica del con-miento. .;. junto despues del choque es :

(2m)(2 i)+m(i)= 2mill +m(2 i)

- =~i1~l~

:~:RESOLUCION:~:Esbozamos la grafica instantes antes y des-.:. pues de la colision plastica ..:-

~ .....-- PUZCAIIQ -----------------~

Por conservacion de P .

Po = Pf

mVl=2mxll

[Il= i]La' energia cinetica final se calcula por :

E 1 2 zf =2x mxll

1 VZEf =-x2mx-l

2 4

1 z 1Ef =-xmxVl x-2 2

. . (Ef = ~o) Rpta.

(. A) 0,5:;: D) 0,8

B) 0,6E) 0,9

.:.RESOWCION:~ Las masas de las particulas son de 2 kg;: conodendo la energia cinetica, determina-.) mos su rapidez.(..) ~

: ~<-.) 1 z: * 36=2x2xVl ~ Vl=6m/s0)

9 1 z<- * =-x2xlll ~ III = 3 m/s.) 2.)

.)

1 z0)

* 25=-x2xllz ~ Ilz = 5 m/s.) 2<-.)

.:. EI movimiento realizado poT la particula se-0) ria :.)

.)

.)

0)

.) ~=6"".0) -(.. 7.5'.:.

~=5"".i;;aa,

f,paliiii.EMA'l1o Sem. CEPRE UNI :;: m· (6 i)+ m (-4 i) = m~l + m~zDos particulas de masas iguales :;:ml = mz = 2kg se desplazan sobre la mis- .:. ~l + ~z = 2 i~ ...(I)ma recta; ambos una al encuentro de la :;:otra, y antes del choque la energia .:. Seglin la grafica (despues de Ie colisi6nl, la.:.cinetica de m

1es 36 J y la rapidez de .:. (mica forma como cumpliriala condidon

.'. (l) seria :mz es de 4 m/s. Si luego del choque fron- .;.

tallas energfas de m1 y mz son 9J y 25J; :;:respectivamente, determfnese eJ coefidente :;:de restitucion entre ambas. .:.

~l =-3 i m!s~

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES

-EI coeficiente de restituci6n se calcula de: .;. Esbozando un grafico, instantes antes y des-:~:pues de la colisi6n.

Un bloque A de 2 kg se mueve con veloci- :::dad VI = (7 i + 24 j) m Is, impacta frontal ~~:y elasticamente con otro B que inicialmente .;.estaba en reposo. .;. * ml = 2 kg.:.Determine la masa y rapidez del bloque B, .;. '

.;.En la direccion inclinadasi despues del choque el bloque A se mueve .;. _con ill = (-7 I 5 i - 2415j) m/s . :~:Por conserv~ci6n de P:'A) 3 kg ; 10 m/s B) 2 kg ; 30 m/s .;.

-:-C) 3 kg ; 20 m/s D) 2 kg ; 20 m/s .;..:.E) 1 kg ; 60 m/s .;.RESOLUCION :~:

il2 - ill = e (V I - V2)

5 i - (-3 i) = e (6 i - (-4 i))

8 i=(e.l0) i

8=exlO

.. (e=0,8]::sa _~

.:.l?pta. ~

Clave: D :~:

2 x 25 + 0 = 2 x (-5) + m x IlzDe los datos del problema podemos notar :~:

.;. mll2 = 60 .~(bloque A).:~:Del coeficiente de restituci6n (e =1) :

A) VI =(7,24)m/s

ill =--.!(7,24) m/s5 \r:-v:1

:.~

Sus m6dulos se calculan como :

VI = .J72 + 242

.. VI = 25 m/s

III = 5 m/s

.:.

.;. il2-ill=e{VI-Vz)

.:.

.:.

.;. Ilz-(-5)=lx(25-0)

:~:Resolviendo : Ilz = 20 ... (II)

m2 = 3 kg I112 ~ 20 m/s ~ l?pta ..

Clave: C

~ ~~ C,UZCANQ ----------------~

';' Los centros de las esferas iguales se mueven'.'.:. en la misma direccion sobre la misma rec-.:..:. ta. La velocidad de una de ellas despues

RESOLUCION .:. del choque tiene igual magnitud, pero direc-Esbozamos el movimiento, realizado por 105 :~: cion contrario de la que tenia antes el mis-moviles antes y despues de la colision. :~:mo. Determine la relacion de rapideces VI

.:. y V2 antes del choqu~ (coeficiente de resti-

.:.

.:. tucion : £)

:~:A) (E + 1)I (£ + 3)V2=2m/s ~1=2.1m1s ~~§i,~ -~iL:~:C) (£+1)/(£-3)

6kg 4kg' 6kg :~:E)(£+1)/3£

Sem. CEPRE UNI .:..:.Un moviLde 4 kg se desplaza hacia la dere- .:.cha con rapidez de 3 m/s y choca con otro :~:movil de masa 6 kg que se mueve tambien :~:hacia la derecha con rapidez de 2 m/s. Des- .:.pues del choque el movil de 4 kg se mueve a :~:2,1 m/s. Determine el coeficiente de restitu- .:..:.

A) 0,2D) 0,5

B) 0,3E) 0,6

V1=3m/s-~i4kg

_12,6 1 - 2,1 11e - I' 'I3 i - 2 i

.. Ce=~,~

B) (£-1)/(£+ 3)

D) (£-1)/(£-3)

Por conservacion de la cantidad de movi- ';' RESOWCIONmiento. :;: Segun el problema : (Antes y despues de la

:~:colision)

4 x (3 i) + 6 (2 1)= 4 (2,1 i) + 6 ~2

15,61=6 JIz

~2 = 2,6 i~

1~2- ~Ile=IVI-V21

~ Jll=\,\~ -~j. mJir=

.:.

.;. Por conservacion de P:

Po =Pf

mVI +mV2 =m~1 +m~2

V(--7) (+)

V(~) (-)

·:. A) 0,4 ; 72 J

... (I) :~:C) 0,4 ;62 J.:. E) 0 ; 85,7 J

En el choque inelastico, relacionamos el co- .:. RESOWCION

eficiente de restitucion (e) .:~: Segun la condicion del problema el movi-:~:miento de los cuerpos antes y despues de la

... (II) .:. colision es :.:.

Clave: C :~:~:.Calculo del coeficlente de restitucion (e) :.:. ---------------

Sem. CEPRE UNI :~: D:2 - D:I = e (\1I - \12).:.

Dos cuerpos cilfndricos : A(12 kg) y B(2 kg) :~: 61- 21= e (41 - (-61))se desplazan con velocidades VI = 4 m/s y .:.

V2 = 6 m/s , respectivamente, sobre un eje :~:Luego :horizontal que no ~resenta rozan;iento, c~~o :~: [e = 0 4) R to. (I)se muestra en la flgura. Despues de colIslo- .:. .' s= pnar, el cuerpo A se mueve a 2 m/s mante- .:. , " _

. did" . • . .. lOt . I .:. Calculo de energra calorifica despren-men 0 a IreCClOnImCIa. e ermme e ... d'dcoeficiente de restitucion y la energia .;. ,a (Q) ..calorifica desprendida como consecuencia .:. * AI inicio :del choque. :~: E 1 V2 1 V2

.:. Ko ='2ml I +'2m2 2

.:.

Reemplazando (I) en (II) :

(2VI +V2) - (-VI) = e(VI - V2)

3VI + V2 = e(VI - V2)

Dividiendo +V2 a toda la expresion :

3 VI + 1 = e( VI -1 JV2 V2

Resolviendo :

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES

B) 0,6; 75 JD) 0,2 ; 192 J

.:. ~=4m/s ~=6m/s 1-11=2m/s J.12

.+. ----.....-- ---.. ~ -: 12kg 2kg:;: t~ ~~Im.[J[J~Sm~m ..~[]LH

Po =Pf .

12.x41+ 2 x (-'-61)= 12 x 21+ 2 x D:2

i12 = 61 m/s

P-2 = 6 m/s ~

121 2EK =-x12x4 +-x2x6o 2 2

EKo =132 J

lID

ml Voi+m2 (-2Vo)i = - 40 i

(m1Vo -2m2Vo)i =-40 i

m1Vo-2m2Vo=-401 ... (I)Las esferitas de la figura se aproximan so- :~: rbre la misma recta. Bajo las condiciones .:. "'-1 O....,·a,....s-o"T'-b.,J

ilustradas en la figura "a" el sistema tiene :~: =::;:~_._ ..•.. ~~una cantidad de movimiento. de :;: mt ~

-401 kg m/s, y bajo las condiciones de la .:.f ' 1 .:. PSiS!. =10 iigura "b' la cantidad de movimiento de .:.sistema seria de lOi kg m/s. Asumiendo ..... 2 V ~ . V ~ 10 ~'.' ml 01- m2 01 = 1m1 + m2 = 0,5 kg y que el coeficiente de .:.

restitucion es e = 112; determine para el :~:caso "a" las velocidades de la esferita (1) ';'

'.'antes y despues de la colision respectivamen- .:. Restando las expresiones (I) - 2 x (II) :te (en m/s). . :~: -3m1Vo = -60

1 2 1 2EKr = 2" mllll + 2" m2112

1 2 1 2EKr =-x12x2 +-x2x62 2EKr =60 J

Luego:

:~:D) 100i:;: E) -100 i

-170 i-170 i

.:.Clave: A·:·

.:.

A) -2001

B) 200iC) 100i

-170 i130 i

-130 i

.:. Oividiendo estas expresiones, obtenemos : ..:.•:. ml 2.:. -=-

m2 3.:..:. Oato del problema :.:.'.' m1 +m2 =0,5 kg

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES

-:.

:~: '\lIIIIIIIIIl~lIIIIIl!P:fIllllll'lIIIIIl!V_, 0.;. (1) (2) (3).:.

:~:A) (3/4) V B) (3/8) V(0,2 x 100 - 0,3x 200)i = 0, 2ill + 0,3ilz .;.

~ .;. C) (9/16) V D) (1/4) V2ill +3ilz =400 i ~ ... (IV) :~:,E)(1/16) V

De la relacion de coeficiente de restitu- ':' RESOWCION'.'

cion : +

ml = 0,2 kg

m2 = 0,3kg

Reemplazando en (III) :

. Va =100m/s~.:.

Ccilculo de la velocidad de la esferita (I)- antes y despues de la colision.Analizando esos instantes.

Iii-o~········o~~

ilz - ill = e (\7 I - \7z)

ilz -ill = 0,5 (Va -(-2Va))

[Iz - [II = 0,5 (3 x 100) i

[Iz - [II = 150 i ~

Resolviendo de (IV) y (V) :

[II = -170 i m/s ~

.:. Las velocidades de la esferita (I) antes y des-':' pues de la colision seran :-.- ,----:----- .....•.

VI = 100 i m/s

[II = -170 i m/s Rpta,- 9' Clave: D

-;. La figura muestra tres canicas 1, 2 y 3 iden-:~:ticas en 'masa y alirreadas; de modo que 1':' lIeva rapidez "V", 2 y 3 estan en reposo. 5iy - .

.;. todos los choques tienen coeficiente de res-:~:titucion 0,5. Determine la magnitud de la-:' velocidad de la particula 3 apenas inicia su-.'.:. movimiento.

Teoria (Ver Propiedad II)Choque inelastico frontal entre 2 esfe-ras identicas.

~=o

i

~l = VI (I-e)2

V~z =-.l(l+e)2

~ --__ CUZCANQ 4&Ili1I:iI

En el problema :V-- 0.

(3)

.;. camente con una esfera (2) identica a la

.;. primera que se encuentra en reposo, deter-

.:.

.;. mine la velocidad de la esfera (2) inmedia-

.;. tamente despues del choque ..:.

a) Cuando colisiona la esfera (1) con (2), ':'.~la segunda esfera sale con la siguiente .;.rapidez : . :;:

v2 = V2 (1+e) ... (I) :~:A) ~i m/s B) 3i m/s? . . :;:D) i/2 m/s E) 0 m/s

b) Cuando colisiona la esfera (2) con (3), la .:. RESOWCI0Ntercera esfera sale con una rapidez : :;:

V ~. Teoria:V3 = ; (I-+:e) ~: Choque inelastico de una esfera con la

Ree!llplazando (I) : :;: pared (Vista de planta) .

VI·:· IV,=~ (1+e))~2(1+e) ~ IRL~;: .:,:-

V3 = 22 1+e~: "I

:;: ~ (Ill = eVd.:.Reemplazando datos e=O,5 :

. ~

~ La esfera (1) choca inelasticamente conla pared e=O,2.La velocidad con que retorn~ sera :

Si hubieran Un" esferas alineadas, la ra-pidez de la enesima esfem serla :

Vn=V(~J-l~. ~+i..-----~~;_·

(1)III =(O,2x10) ilIII ::d2 i.m/sUna esfera (1) que viaja con una velocidad .;.

VI = (-10 i)m/s choca inelasticamente con :~:una pared rfgida de coeficiente de restitu- .;.cion e=O,2. Si aI rebotar (1) choca elasti- .:.

. y

II) Choque elastico de la esfera (1) con laesfera (2).

Por teoria :

~t~

(1) (2)

112 = 0

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO - CHOQUES

.:.~

.:.Il2 .:.-- --%1' -=~

.:.

.:.~d .:.(1) (2) .:.113 = III

.:.

.:.

Vbe=-V

:. (V1= eV)

Vi : rapidez despues de 1° colision.e : coeficiente de restitucion

Finalmente : .:.

:. [~= 2 i2~1Rpta. ~1~ ~: vf -2xgxhClave: A .:. Vi - 2 gh

LPROBLE@fiS Sem. CEPRE UNI :~:De (I) y (II) :

o .:. EHJfhUna esfera de 1 kg se suelta desde una altu- :~: e = V: = Vii 0

ra de 2m, choca contra el piso y rebota has- .:.ta una altura de 1m. Si la misma esfera se 0 :~: De los datos del problema :suelta de una altura de4 m, Ghasta que .:.

.:. RGaso I I Ialtura rebota? .:. ----A) 1 m B) 2 m

D) 4 m E) 5 m

RESOLUCIONTeoria: (Ver Prapiedad III)Esfera saltada desde una altura H y la-gra elevarse hasta una altura h.

.:.

.:. 19ualando estas expresiones :

::: :. ( y = ~_0J).:.

:~:Una pelota es soltada desde una altura H y':' en eloquinto rebote la pelota sube hasta una:;: altura de 5e4 em. Determine la rapidez con:~:la que rebot6 la tercera vez ..:. (e : coeficiente .de restituci6n).:.:~: (g=10m/s2

)

':' A) 1 m/s B) 2 m/s C) 10 m/s'...:. D)20 m/s E) 10 m/s.:.

lID

RESOLUCI0N .~ La rapidez con la eual rebot6 la tereera vezEsbozando el movimiento realizado por la ::: habrfa sido :pelota para "n" rebotes. .;. V3 = e3 . V.:.

La'd I I /. .;. Una esferita se suelta de una altura de 10 mrapl ez con que sa e para e eneslmo re- .:. . . .b t d d d . f"1 t rt' d I .;. respeeto de una superflele honzontal y re-o e, pue e e UClrse aClmen e a pa Ir e ...

It d d I- bl t . : bota alcanzando una altura maxima deresu a 0 e pro ema an enor. '.'.;. 8,1 m. Determine el poreentaje de energia:::'meeaniea que tiene la esfera cuando rebota

Vn : rapidez de la pelata en el enesima rebate. :::por 2da vez respedo de la energia meeani-.;. ea que tenia al inicio del movimiento.::: A) 61,61 % B) 62,61 % C) 63,61 %::: D) 64,61 % E) 65,61 %

:::RESOLUCI0N

I~

v=otS"~~

IH','

A,~ t~ t~ h

I~,:;,;,J I::::~:~

V

De: (vl = Vj2

- 2gh )

O=V; -2xgh

V2 e2n V2h=_n =--_

2g 2g

e2n V2

h =--n 2g

En el problema :

Por dato en el quinto rebote sube ,

5e4 em <> 5e4 x 1O-2m

de (I) : Sx2e 2 4 -2hs=--xV =5e x10

2x10

, 3-3V3=e xe

:. CV3 = 1m/£] Rpta.

Clave: A

Recordando :Partfcula saltada desde una altura H ylagra elevarse "h" despues de la calision.

0:., vl=oI '2'V=OI, h

11/1111,'.Ii.:;';)

VEn el rebate se cumple :

CANTIDAD DE MOVIMIENTO - IMPULSO • CHOQUES

Segun la condici6n del problema y en el pn- .:. ra alcanzada par la esferita luego del segun-mer rebote, se cumpllra : :~:do rebote.

e= [h = [8,1=091fH VlO ~

.:.La velocidad de salida en el primer rebote .:.es : v

VI = eV~

La velocidad con la cual sale despues del :~:segundo rebote es :

V2 =e2V~

Luego : :~:A) 5,25 mTomando como referencia en nivel del piso; :~:C) 2,048 mla relaci6n de energias mecaniCas despues .:. E) 4 096 .del segundo rebote y antes del primer rebo- .:. , mte; seran : .:~:RESOWCION

~~-\, ,, ,, ,, ,· ,· .· ,· .· .· ,, ., ,, ,, ,, ,, ,, ,

J. :·:i.t I

B) 3,02 m

0) 1,024 m

.:.

.:. Evaluemos la rapidez con la cual impacta~: la esferita con el piso, la primera vez ..:..:. * Tomando como nivel de referencia el piso:

Expresado en porcentaje sera :

EM2 % = (0,9)4 x 100EMo

E 'M2 1-.-%=65,61% . Rpta.EMo

Vo=Mmls+ i

--T---Oj

. H=14•5m

.i.

~~i N.R.--------------l~-~--~----.:.

Sem. CEPRE UNI .:..:. Por conservaci6n de la EM'

En la figura se muestra una esferita la cual .:.es lanzada desde una altura de 4,5 m res- :~:pedo del piso, con una rapidez de .:..:.M m/s verticalmente hacia arriba. La es- .:.ferita rebota en el piso y si el coeficiente de :~:restituci6n es igual a 0,8; determine la altu- .:..:.

~ ....- CUZCAIIQ ----------------~

10 V2-+lOx45=-2 ' 2

:. (V = 10 m/s )

.;._Una pelotita colis ion a inelasticamente so-'.'.:. bre una superficie rugosa de coeficiente de.:..:. rozamiento "~" como se indica. Hallar el

De modo identico aI problema anterior: .:. coeficiente de restitudon durante la colision ..:. (Considere la fuerza de gravedadmuy pe-

En el primer rebote, la rapidez de salida :~:quefia comparada con las fuerzas impulsivasde la esferita sera : :~:y que la fricdon es la minima necesaria para

.:. evitar el deslizamiento de la pelota).

En el segundo rebote sera : . .:..:.

Vz =ezV~ .;..;.

Para evaluar la altura alcanzada en el se- .:.gundo rebote aplicamos el principio de con- :~servacion de la EM' . .:.

.:. A)tana+~e=---tan/3- ~

.:.

.:. ctg a -ll

.:. C) e=

.:. ctg /3+ ~~:..:. E) e = tan 13.;. tan a.;.

tana-~B) e = tan /3+ II

ctg a+ ~D) e = ctg /3-11

EMo = EMf

EKo + r:: =Epf + ~

.;. Cuando ~a pelotita colisiona con el piso la

.:.

.:. fuerza de impulsion se origina por la resul-

.:. tante de la fuerza de rozamiento y la fuerza.:.

.:. de reaccion normal.

.:. Supondremos que la fuerza de gravedad es

.:.

.:. muy pequefia comparada con la fuerza de

.:. reaccion normal.

1 z2mVz =mgh 2

h= vi = (eZV)2g 2g

(0,82 xlO)zh=----

2xlO

.:. Si hacemos el D.C.L. ala pelotita en el mo-

.:-;:. mento de la colision, notaremos :

.:.

:. ( ~ = 2, o'!!.~Rpta. :~:Clave: C :~:

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES

* En la horizontal : la fuerza de friccion .:. De (I) y (II) :modifico la componente de la velocidad :;: VI cos a - V2cas ~en esa direccion. Por la condicion del :;: Il = V2sen ~ + VI sen aproblema esta debe ser la fuerza de ro- .:. D . d.'. espeJan 0 :zamiento estatica maximo. .;.

.:. V2 = cos a -Il sena:;: VI cas~ + Il sen~ ... (III)

';' Por t~oria del coeficiente de restitucion :'.'

Pero como N> >mg, entonces "N" sera la .:. V2sen~impulsiva en esta direccion. :;: e = Visena

Ubicando. las velocidades antes y despues :;: De (III) :de la colision. .:.

. .:. (cos a -Il sena) senp....;~ u yr .:. e = -(c-o-s-P-+-Il-se-n-p-)x -se-n-a

'{sena~. .LJV2seDP~t1 :~:VIcosa ..~. V2_cos/l :!-...L .:. cos a - Il sena

\ . N(f=~ , !-t :~: e = (cos~s::asenp JPor teoria de impulsion: :;: . senp

[I=Fx~tl ctga-Il.. e= ctg ~+Il !

~

.:.De la condicion del problema se deduce que .:.la fuetza de rozamiento sera la estatica ';'','

maxima (f=JlN) :;:.:.

(JlN x ~t)( -i) = m x (V2cosp - VI cosa)i :;:

Si en 1aco1isi6n fueran datos: e, e!>Y Il

00rmal

, i jif". 0 jIir'......a-kt/ "

../.!.. L"'p -

Nx~t=m~Vv

(N x ~t)] = m(Vzsenp] - (-VIsena]))

N x M = m(V2sen~ + Visena) ... (II)

(tane -Il)e= .(tane!> + Il)

Si la bola estuvo en contacto con el piso ':' Se lanza una partfcula con un angulo de'.'

durante 0,1 s, determine el modulo de la .:. incidencia de 45° s0'2!e una superficie heri-.:..:. zontal cuyo coeficiente de friccion minima.:. que evita el deslizamiento durante la coli-.:..:. sion es 2/9. Caleular el angulo e de rebote,::: si el coeficiente de restitucion es 0,8.

fuerza de friccion constante. (m = 1 kg)

~=(21+3j)m/s

~. /~~ ~=(41'-3j)m/s .J f

X, ~~............... /// ..

A) 10 iN

0) -20 iN

B) 20 iNE) -2 iN

.:.RESOLUCION .:. A) 30° B) 37°Hacemos O.c.L. a la bola, cuando esta se ::: 0) 60° E) 45°

encuentra en contacto con el piso. :::.RESOWCIONI ~

. ~ ~ : Segun ]a mndicion d,1 pmbl,ma.3j .:.

-3j ~ ::: '>.. .";41' •..•.. .. 2'" .' .••• I .:. • ,ftt; .

N

·r···.··./f

::: J:l •••••••• ~/•:. ---:J 0:~: ' Nt. JQ f

Podemos notar en los triangulos de veloci- ';''.'

dades; la velocidad horizontal disminuyo, ::. Por teoria : si el piso es rugosa y el coeficien-esto fue debido a la friccion. ::: te de restitucion es "e".

tan a -l-le=----

tane+l-l

f x 0, 1 = 1 x (2i - 4i)

.. ( f = (-20 ~)~;

08= tan45°-2/9, tane+2/9

.:.Rpta. .:.

.:.Clave: D·:·

tane+ 2/9 = _1-_2_/_9. 0,8

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO • CHOQUES

tan8=0,75 :~:D) ~A=(91+1,4j-0,9k)xl0-3 ;

.. (~::::37~1Rpta. :~: ~B=(281+4,3j-2,8k)xl0-3

Clave: B :~: (' ~ ~ ~)---- .:. E) iIA = 0,032 i+O,123 j-O,S k

PROBLEMA 125:~: ~B =(0,03 1+0,02 j-O,OOI k)

Sem. CEPRE UNI .:.

Las naves A y N quisieron acoplarse el :~:RESOWCION15/07/75. Si el primer intento no tuvo exito :~:Para simplificar la soluci6n, consideraremosy el coeficiente de restituci6n del imp acto ::: a las naves como partfculas que realizan unresultante fue e=O,95. .;. choque inelastico.

lCuales fueron las velocidades de los 2 ve- :~:Graficamos instantes antes y despues de lahfculos despues del impacto, (en m/s)? :~:colisi6n elastica.

Datos : :~:Antes . 'b~pues

VB = 0 (respecto de XYZ)

VA = (0,2 1+ 0,03 j - 0,02 k) m/s

mA =18x103 kg

mB = 6,6xl03 kg

----~----------

A) ~A = (0,03 1+ 0,234 j - 0, 2 k)

~B = (0,24 1+ 0,003 j - 0, 2 k)

B) ~A =(0,9 1+0,14 j-0,09 k)

P:B= - (0,28 1+ 0,43 j - 0,28 k)

C) ~A =(0,09 1+0,0145 j-0,09 k)

~B = (0,28 1+ 0,043 j - 0,028 k)

.:. V.':'. ~ "a=o::: ~O-----------"_--O.;. IDA IDB

.:. Usando los datos del problema ..:.

.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi-:~:miento.

.:. Po =Pf-:..:.

mAV A+ 0 = mA~A + mB~BX -:.

.:.

.:. - mB - -

.:. f..lA+-f..lB =VA

.:. mA

.:.

.:. - 6,6_ V

.:. f..lA+-f..lB= A

.:. 18

.:.

.:. - I,L V

.:. f..lA+3'f..lB = A ... (I)

.:.

.:.

.:. Si el choque es inelastico (e=0,95)

.:.

~ MlW!II-- C,UZCANO ----------------~De (1)+ (II) :

~B( 1+ 131)= 1,95\1A

i1B = 1,427(0,2 i+0,03 j -0,02 k)

.;. La colision fue perfectamente elastica, en-

.:. tonces :.:.

mV1 + 0 = (m + 300)V2

mx15=(m+300)xV2 '" (I)

JIB = (0,28 i+ 0,043 j - 0, 028 k) m Rpta.(l) :~: Despues de la colision elastica el automovil, 5 .;. Y el muro se desplazaron una distancia "d".

~1~~A ~/tg

.;. :;:~~ ~~M·:·ijii!:~~

~A =(0,09i+o,0145J-O,009k)m Rpta.(H) :~: A f__ _ _ . _ _5 .;. N

Clave: C .;. ~-----d=9m-----

v=%!-i it8

.:.,

.;. Por relacion entre trabajo y energfa mecani-

.:.Sem. CEPRE UNI .;. ca ..:.

Un auto que viaja a 54 kmlh se incrusta en :~:un muro de proteccion de 300 kg y poste- .;.riormente el auto y el muro recorren una. :~:distancia de 9 m hasta que se detienen .. ;.Calcular la masa (en kg) del auto si el coefi- :~:ciente de friccion cinetica entre el auto y la :~:pista es Jlk = 0,2 . .;..:.

B) 300 C) 400 v.:.E) 600 .;.

A) 200D) 500

M:M=W~C

~ -EKA =-fxd

1 2--MV2 = -JlxN xd2

1 2-MV2 = JlxMgxd2

vi = 2 x 0, 2 x 10 x 9

V2 = 6 m/s~

.:.Despues de la colisi6n .;. mx15=(m+300)x6

,:. (m=200kg)1 Rpta .

. Clave: A

CANTIDAD DE MOVIMIENTO • IMPULSO . CHOQUES

Dos autom6viles chocan perpendicular- :::mente en una intersecci6n. Los autos .:.A (m = 1 200 kg) y B (m = 1 500 kg) que- :~:dan unidos despues del choque y deslizan ';'(Ilk = 0,2) juntos hasta a1canzar 100 m se- :;:gun se i1ustra en la figura. Determine las :~:rapideces de A y B inmediatamente antes .:.de chocar. .:..:.di

... 100m••.. : 53° •.•••·•...~ ....

....~Cp. .... ....

..~ \~BA) VA=16m/s

B) VA=12 m/s

C) VA=20 m/s

D) VA = 27 m/s

E) VA = 28,8 m/s

VB=12 m/s

VB=16 m/s

VB=20 m/s

VB=28,8 m/s

VB=27 m/s.:.

RESOWCION .:.Analizamos primeramente 10 ocurrido ins- :::tantes despues de la colisi6n hasta que fi- :~:nalmente se detiene : .:.

:::Por relacion entre Wy EM

.:.&:M=W~e.:.

.:.

.:.~ -EKe =-fxd.:.

.:.

.:.--!,MVi =-Jlx,Mgxd.:.

.:.

.:. 2

.:.vi = 2(0,2xl0xlOO).:~

.:.

.:.V2 = 20 m/s ~.:.

.:.

:~:Ahora, analicemos antes de la colisi6n e ins-.:. tantes despues de la colisi6n.

~ ~II- C·UZCANQ ----------------~

(12oovAi+1500 VBJ)=2 700 \}2

(1200 VA ; 1500 VB) = 2700 (12; 16) .:..:.

VA = 27~

1 500 VB= 2 700 x 16

VB=2~

:. ( VA = 27 m/s 1:. ( VB = 28,8 m/s] .:.

Rpta. ~.Clave: D :~:

~=o

I: .· .· ., .· ., .R=l"smj

./

____~¥.:::~:~~~?ef.-~

.:. VI2 = 2x lOx 1,8PROBLEMA 128 Sem. CEPRE UNI .:..:.

EI costal ''P:.' de 2kg se suelta desde el repo- :~: VI = 6 m/s ~ /so en e = 00 e impacta contra la caja "B" .:.

o. . . .:. Analicemos ahora instantes antes y despuesde 4 k~; c~~ndo e = 90 . 51 el. coeficlent~ ':' de la colisi6n inelastica entre el costal ''P:.' yde restituclon es e=0,5; determme la rapl- :;: el bloque "B".dez (en m/s) de la caja instantes despues del.:.impacto. .:..:.

.:. Por conservaci6n de la cantidad de movi-:~:miento al sistema : costal - bloque

A) 1 m/s B) 2 m/s C) 3 m/s .:.D) 4 m/s E) 5 m/s .:..:.RESOLUCION ';'

'.'Analicemos el movimiento del costal desde .:.que fue soltado, 'hasta instantes antes que :~:colisione con "B". .:..:.

Asignando un signa a cada vector veloci-dad.