7/26/2019 D-Ecuaciones de La Recta

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 Departamento de Matemáticas Demostraciones para E.S.O. y Bachillerato

1

DEDUCCIÓN DE LAS ECUACIONES DE LA RECTA

1u

2u

21,aa A

21,vvv

Llamaremos determinación lineal deuna recta  a la pareja formada por un

 punto  A  de dicha recta y un vector v  que

marque la dirección de esa recta.

En general, una ecuación de la recta es

una relación entre las coordenadas  y x,  

de un punto genérico  X  del plano que nos

 permita saber si ese punto está o no en la

recta.

La primera forma de imponer dicha condición es a través de la Geometría Vectorial:

sii : Ecuación vectorial de la recta X r AX v  

 

Si desarrollamos la ecuación vectorial se obtiene:

sii : X r AX v OX OA v  

 

2121 ,,, vvaa y xvOAOX        

rectaladeas paramétricEcuaciones  22

11

va y

va x

 

  

Si en la ecuación paramétrica eliminamos el parámetro se tiene lo siguiente:

2

2

1

1

22

11

 

v

a y

v

a x

va y

va x

 

 

 

  

rectaladecontinuaEcuación2

2

1

1

v

a y

v

a x  

 

 A partir de la ecuación continua vamos a obtener dos ecuaciones:

Para la primera, lo que vamos a hacer es pasar2

v  al miembro de la izquierda:

21 2

1

  Ecuación punto-pendiente de la rectav

 x a y av

 

Para la segunda, en la ecuación continua se efectúan operaciones:

2112

2

2

1

1   a yva xvv

a y

v

a x 

0122112211122 avav yv xvav yvav xv  

rectaladeimplícitaogeneralEcuación0 C  By Ax  

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donde 122112 y, avavC v Bv A   .

El vector director de una recta dada en forma general es el vector  A Bv , , siendo  A B y los

coeficientes de  y  ý de  x . Para sacar un punto basta dar un valor a  x  (o a  y ) y calcular el que falta.

Si en la ecuación general despejamos  y , obtenemos:

0 A C 

 Ax By C y x B B

 

rectaladeexplícitaEcuaciónnmx y    

donde y A C 

m n B B

.

Al coeficiente m  se le llama pendiente de la recta y su valor es

1

2

1

2

v

v

v

vm  

 

y n  recibe el nombre de ordenada en el origen, que da la coordenada  y del punto de corte de la

recta con el eje OY .

A partir de la ecuación general 0 C  By Ax , podemos escribir C  By Ax   . Si 0C   

tenemos:

)0(si 11  B A

 BC 

 y

 AC 

 x

C 

 By

C 

 Ax

 

Así:

rectaladeasegmentariocanónicaEcuación1n

 y

 p

 x 

donde A

C  p

   es la abscisa en el origen (coordenada x del punto de corte de la recta con el eje

OX ).

Para calcular la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, basta tomar como punto uno de

ellos y como vector director el vector que determinan los dos puntos.

Observación: Ecuaciones de los ejesEn rectas paralelas a los ejes alguno de los denominadores de la ecuación continua es cero, por lo

que dicha ecuación adquiere un carácter simbólico; para obtener en estos casos la ecuación general

 basta igualar a cero el correspondiente numerador.