DÍA A DÍA EN EL AULA Matemáticas ESO 2

Día a día en el aula para 2.º ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el Departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L. U., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:

TEXTO Ana María GazteluAugusto GonzálezPedro MachínFrancisco Morillo

EDICIÓN Pilar GarcíaJosé Antonio Almodóvar

EDICIÓN EJECUTIVA Carlos Pérez

DIRECCIÓN DEL PROYECTO Domingo Sánchez

SERIE RESUELVE

ES

O

2

DÍA A DÍA EN EL AULA Recursos didácticos y atención a la diversidad

Matemáticas

3DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 4.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U

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y Rúbricas de evaluación.

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4

Contigo llegamos más lejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Pack para el alumnado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Biblioteca del profesorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Recursos didácticos y Atención a la diversidad

1. Números enteros • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

• Curiosidades matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

• Notación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

• Estrategias de resolución de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

• Proyecto matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

• Matemáticas con ordenador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2. Fracciones • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22






3. Potencias y raíz cuadrada • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30






4. Números decimales • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38






5. Expresiones algebraicas • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46






6. Ecuaciones de primer y segundo grado • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54






7. Sistemas de ecuaciones • Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62






Índice

5

8. Proporcionalidad numérica

• Esquema de la unidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70






9. Proporcionalidad geométrica







10. Figuras planas. Áreas







11. Cuerpos geométricos. Áreas







12. Volumen de cuerpos geométricos







13. Funciones







14. Estadística y probabilidad







Enseñanza individualizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Recursos para la evaluación de contenidos y por competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

Contigollegamos

Contigo formamos un buen tándem

¡Gracias por ayudarnos a crear y mejorar nuestros proyectos!

En Santillana vivimos cada momento como una posibilidad de mejora.

En estos últimos años han pasado muchas cosas. En Santillana tenemos presente que un proyecto educativo dinámico exige prestar atención a los cambios externos e internos, escuchar a los protagonistas de la educación y tomar decisiones.

Eso hemos hecho. Durante estos años hemos estado cerca de vosotros, os hemos escuchado, hemos conversado, nos habéis planteado interrogantes y hemos aprendido mucho con las valiosas soluciones que aportáis cada día en las aulas.

Por todo ello, evolucionamos y presentamos una oferta renovada.

6

más lejosSantillana te aporta:

• Experiencia. Más de 60 años conociendo la escuela española y aportando soluciones educativas.

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• Diseño claro, que favorece la comprensión del alumnado, y bello, para hacer del aprendizaje una experiencia motivadora y deseable.

• Innovación, porque estamos alerta a las últimas investigaciones que se han producido en tu área e introducimos las nuevas metodologías en el aula de una forma práctica y realizable.

• Digital. Un complemento indispensable en una práctica docente adecuada al siglo xxi.

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SABER HACER CONTIGO mantiene las señas de identidad de los materiales de SANTILLANA de Matemáticas:

• Contenidos relacionados con la vida cotidiana para comprender el mundo en que vivimos y la utilidad de las matemáticas.

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ESU

ELV

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Matemáticas

ES

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222

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ELV

EM

atem

átic

asE

SO

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2 Podrás evaluar tus conocimientos antes de comenzar la unidad para que puedas detectar si necesitas repasar algún contenido que ya has visto.

3 Cada unidad se relaciona con uno de los Objetivos de Desarrollo Sostenible de la ONU (ODS). Así, el conocimiento contribuye a mejorar el mundo en que vivimos.

El automóvil

La aparición del automóvil modificó las costumbres sociales hasta convertirse en un elemento casi imprescindible en nuestra vida diaria. Los constantes avances han permitido dotar al automóvil de mayor seguridad y rapidez.

• ¿Cuántos kilómetros ha recorrido en una hora y media un coche que circula a una velocidad constante de 110 km/h?

VIDA COTIDIANA

Ecuaciones de primer y segundo grado 6

SABER

• Igualdades algebraicas

• Elementos de una ecuación

• Ecuaciones de primer grado

• Ecuaciones de segundo grado

• Resolución de problemas mediante ecuaciones

SABER HACER

• Resolver ecuaciones de primer grado (con paréntesis y con denominadores)

• Estudiar el número de soluciones de una ecuación de segundo grado

• Resolver ecuaciones de segundo grado

• Resolver problemas utilizando ecuaciones

1870

El inventor Siegfried Marcus pasea por Viena con el primer coche de gasolina.

1769 Se fabrica en París el primer coche con un motor de vapor.

1908 Henry Ford comienza a producir automóviles en cadena.

1929 Se cambia la estética de los automóviles, apareciendo los vehículos cerrados.

1996 Sale a la venta el primer coche eléctrico de uso comercial.

EVALUACIÓN INICIAL

Expresiones en lenguaje algebraico

1 Expresa algebraicamente.

a) Siete menos la cuarta parte de un número.

b) El cubo de un número más el doble de ese número.

c) El cuadrado de un número menos 5 es igual a 20.

d) La mitad de un número más su cuarta parte es igual a 2.

Grado de un polinomio

2 Fíjate en los términos y escribe el grado de cada polinomio.

a) P(x) = x3 + 2x2 - x3 + 7x - 5

b) Q(x) = 5x3 - 2x2 - x8 + 6x6

c) R(x) = 12 - 3x4 - x2 + 3x4 + x9

Valor numérico de un polinomio

3 Calcula el valor numérico de P(x) = 2x2 + 5x - 3 para:

a) x = 1 c) x = 0

b) x = -1 d) x = 2

Raíz cuadrada de un número

4 Calcula la raíz cuadrada. Si no es exacta, halla dos cifras decimales.

a) 90 b) 120 c) 121 d) 144

Problemas

5 Ana tiene una empresa de alquiler de bicicletas. Hay un coste fijo de 3 € del seguro de accidentes y cada media hora cuesta 4 €.

a) ¿Cuánto costarán 4 horas?

b) ¿Cuánto costarán x horas?

c) ¿Cuántas horas ha alquilado la bicicleta Tania si ha pagado 43 €?

6 Mario ha abierto una página del libro al azar. Al número de esa página le ha sumado 7 y ha multiplicado la suma por 3. ¿Qué número tenía la página siguiente a ella si el resultado del producto era 261?

105

ES0000000121582 132291_U06_104_125_105416.indd 104-105 11/2/21 12:43

Teoremas de Pitágoras

a b c a b c2 2 2 2 2"= + = +

Áreas de polígonos

Ángulos en los polígonos

Interior: ?° ( )nn180 2-

Central: °

n360

Área de figuras circulares

A r2r= ( )A R r2 2r= - Ar

360°

2r a=

Ángulos en la circunferencia

RESUMEN DE UNIDAD

A = b ? a

a

b

A = b ? h

h

b

A = l 2

l

d

D

?A

D d2

=

h

b

a

l

?A

P a2

=

h

B

b

?( )A

B b h2

=+?

Ab h

2=

Ángulo central

Ángulo interior

r

R

ra

Ángulo central

Ángulo inscrito

Ángulo semiinscrito

Ángulo interior

Ángulo exterior

Ángulo circunscrito

Nuestra imagen, tanto la forma de vestir como nuestra propia apariencia y cuidado personal, es importante: ¿pelo liso, ondulado o rizado?, ¿corto, largo o rapado?, ¿barba, perilla, bigote o afeitado?, ¿patillas cortas o largas? Cada respuesta proyecta al exterior un poco de nosotros mismos.

Los productos de higiene y belleza masculinos son cada vez más habituales, y las empresas dedicadas a su fabricación y venta no paran de investigar para ofertar mejores productos.

¡Por un pelo!

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE

OBJETIVOS DE DESARROLLO SOSTENIBLE

Los pequeños gestos, como cerrar el grifo del agua al lavarse los dientes o al enjabonarse, cuando los hacen muchas personas, se convierten en importantes. De hecho, esas acciones tan simples ahorran millones de litros de agua potable cada año.

¿Sabes qué? Solo el 3 % del agua del mundo es potable y los humanos la consumen más rápido de lo que la naturaleza demora en reponerla.

Busca más información y comenta con el resto de la clase.

Una marca de cuchillas de afeitar ha realizado un estudio y una de las conclusiones a las que ha llegado es que el área media que se suele afeitar un hombre es de 400 cm2 y que sus cuchillas de afeitar dejan de ser eficientes a partir de 1 m2 de zona afeitada.

a) ¿Cuántos usos le puede dar a una misma cuchilla un usuario medio que realice en su afeitado dos pasadas por cada zona?

b) Los hombres que se dejan barba, restringen su zona de afeitado a una pequeña parte del rostro. Uno de los afeitados posibles de la gente con barba es afeitarse la zona triangular de cada mejilla. ¿Cuántos afeitados puede hacer un usuario si el triángulo que afeita en cada mejilla tiene de base 7 cm y de altura 5 cm?

c) Hay personas que se afeitan la cabeza. Por término medio, el pelo de la cabeza cubre 680 cm2 de superficie. Si se utiliza una cuchilla para afeitar la cabeza y el rostro, ¿cuántos usos puede darle?

r

Teorema de Pitágoras

1 Determina la hipotenusa de los triángulos rectángulos con estos catetos.

a) 5 cm y 4 cm b) 0,8 dm y 1,8 dm

2 Calcula el lado de un cuadrado de diagonal 48 cm.

3 Halla la apotema de un hexágono regular de lado 7 cm.

Polígonos

4 Calcula el área de la parte coloreada de verde.

4 cm

4 cm6 cm

8 cm

9 cm

11 cm

5 Determina el área de estas figuras.

5 cm

8 cm

12 cm

14 cm

25 cm

c242 m

a) b)

Ángulos

6 En un heptágono regular halla la suma de los ángulos interiores, la medida de un ángulo interior y la medida de un ángulo central.

7 Calcula la medida de cada ángulo.

a) b) c)

Circunferencia y figuras circulares

8 Calcula la longitud de arco de un ángulo de 45° en una circunferencia de 6,4 cm de diámetro.

9 Determina el área coloreada de estas figuras.

16 m

20 m

90°FG

4 cm

3 cm

5 cm

AUTOEVALUACIÓN

210 211

Figuras planas. Áreas 10

ES0000000121582 132291_U10_188_211_105651.indd 210-211 11/2/21 16:01

4 Al finalizar la unidad, encontrarás una Autoevaluación que te permitirá comprobar si has alcanzado los objetivos de la unidad.

1 Vas a descubrir cómo se aplican los contenidos que estudias a la vida cotidiana.

8

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Matemáticas Cuaderno de acompañamiento

MatemáticasCuaderno de acompañamiento

ES

O

22

ES

O

ES0000000121601 132457_EVA_Matematicas_2_105285.indd 1 17/11/2020 15:13:44

El Cuaderno de acompañamiento está diseñado para que esté contigo siempre que estudies Matemáticas. En él podrás encontrar los contenidos que necesitas recordar antes de comenzar la unidad y los signos y el vocabulario que se utilizan junto con su significado.

7 Dispones de multitud de Actividades secuenciadas por contenidos y en las que se informa del orden de dificultad.

ACTIVIDADES FINALES

Escalas

84 En la fotografía de un paisaje, Martín mide 2,5 cm de altura. Si la altura de Martín es de 1,75 m:

a) ¿A qué escala está hecha la foto?

b) Si en la misma fotografía hay un edificio que mide 15 cm de altura, ¿cuánto mide en la realidad?

c) Si al lado de Martín había un árbol de 7 m, ¿qué altura tiene en la foto?

85 En un plano de un pueblo hay esta escala gráfica:

metros

0 25 50 75

Calcula la distancia real entre la escuela y el ayuntamiento, si en el plano distan 30,5 cm.

86 Este plano representa el comedor de una casa.

1 : 75

a) Calcula la longitud y la anchura.

b) Averigua qué distancia hay de la mesa al sofá.

87 Dibuja un campo de fútbol a escala 1 : 400 con estas características.

a) Mide 80 m de longitud y 60 m de anchura.

b) El círculo central mide 20 m de diámetro.

Determinar la escala de un plano o mapa

88 ¿A qué escala está dibujado un plano en el que una distancia real de 50 m se representa con una longitud de 2,5 cm?

primero. Se mide sobre el plano la longitud que conocemos en la realidad.

En este caso no hace falta medir, es 2,5 cm.

segundo. Se expresan ambas longitudes en una misma unidad y se divide.

50 m 5 000 cm2,5 cm 2,5

5 0002 000

=="3

tercero. Se escribe la escala como 1 : a, siendo a el número resultante de la división.

La escala del plano es 1 : 2 000.

SABER HACER

89 Halla la escala a la que está dibujado un plano en el que una distancia real de 80 m equivale a:

a) 8 cm b) 10 cm c) 8 dm d) 4 dm e) 2 cm

Problemas de semejanza

90 Halla la altura del edificio del dibujo.

1 m

1,5 mG F

12 m

91 Un jugador de baloncesto de 1,9 m, que está situado a 6,25 m de la canasta, lanza el balón hacia la misma. Calcula la altura a la que está el balón cuando va por la mitad del recorrido.

6,25 m

1,9

mx3,05 m

G F

G

F

G

F

G

F

Calcular la altura de un objeto mediante su reflejo en un cristal

92 Para hallar la altura de un objeto inaccesible, se coloca un espejo en el suelo y nos alejamos la distancia necesaria para observar el punto más alto del objeto. ¿Qué altura tiene el edificio?

2 m

1,75 m

10 m

Bl

A A

C

B

ClG FG F

primero. Se comprueba que ABC&

y AB Cl l&

son

semejantes. En este caso, lo son por ser los dos rectángulos e iguales los ángulos de refracción, AW.

segundo. Se aplica la relación entre sus lados.

?, ,,BC

B CACAC B C

B C2

101 75 5 8 75

1 75= = = =" "

l l l l ll l

La altura del edificio es de 8,75 m.

SABER HACER

184

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BLOQUE II. GEOMETRÍA

10 Figuras planas. Áreas

CONVIENE QUE...

Conozcas los elementos de una circunferencia.

PORQUE...

Lo necesitarás para comprender cómo se calculan las áreas de las figuras circulares.

La circunferencia es una curva cerrada y plana cuyos puntos están situados a la misma distancia de otro punto llamado centro, O.

Los elementos de una circunferencia son:

• Centro de la circunferencia: es el punto del cual equidistan todos los puntos que la forman.

• Radio: es un segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

• Cuerda: es un segmento que une dos puntos de la circunferencia.

• Diámetro: es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.

• Arco: es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

Antes de empezar, repasa

La altura de un triángulo es el segmento perpendicular a un lado, o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.CONVIENE QUE...

Sepas qué es la altura de un triángulo.

PORQUE...

Vamos a estudiar cómo calcularla.

¿QUÉ SIGNIFICA? ¿CÓMO LO ESCRIBIMOS?

En un triángulo rectángulo el lado que es opuesto al ángulo recto se conoce como hipotenusa, que solemos designar por a, y los lados que forman el ángulo recto son los catetos, que se nombran por b y c.

Así, al expresar la fórmula que surge del teorema de Pitágoras solemos escribir a 2 = b 2 + c 2.


AB%

Indica que nos referimos a un arco

de circunferencia.

AOB% Indica el ángulo que abarcan los radios OA y OB.

Un arco es la parte de la circunferencia comprendida entre dos de sus puntos.

El arco de una circunferencia se suele representar por los puntos que lo delimitan, AB, y el símbolo

#, AB%

.

Un ángulo central de una circunferencia se representa como un ángulo cualquiera en el que el vértice del ángulo es el centro

de la circunferencia, AOB% .

Para que comprendas, ten en cuenta


A Indica el área de un polígono. El área de un polígono se suele representar por la letra A.


r Representa un número con infinitas cifras decimales. Para trabajar con él se suele tomar una aproximación decimal del mismo, r = 3,14.

El cociente de la longitud de una circunferencia entre su diámetro es una razón constante para cualquier circunferencia que llamamos pi y escribimos r.

h hh

C

A c

b a

Hipotenusa

Cateto

Cateto

B

G

G

F


La altura es el segmento perpendicular a un lado o a su prolongación, trazado desde el vértice opuesto.

Se suele representar mediante la letra h.

A veces se añade a la letra h un subíndice. La expresión hc representa la altura sobre el lado c.h

A

B

O

CONVIENE QUE...

Repases lo que es un polígono regular y cuáles son sus elementos.

PORQUE...

Vamos a estudiar cómo se calcula su área.

Un polígono regular tiene todos sus lados y ángulos iguales. En caso contrario, si algún lado o ángulo es distinto, el polígono es irregular.

Todo polígono regular está inscrito en una circunferencia.

• El centro de la circunferencia, O, se llama centro del polígono y su radio, r, se denomina radio del polígono.

• El segmento trazado desde el centro de la circunferencia al punto medio de un lado, a, es la apotema del polígono regular.

Polígono irregular

Polígono regular

Apotema

O

Radio

G

Radio

Diá

met

ro

Cue

rda

Arco

O

B

A

26 27

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ES0000000121601 132457_EVA_Matematicas_2_105285

Matemáticas Cuaderno

de acompañamiento

Matemáticas

Cuaderno

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22

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17/11/2020 15:13:44

Operaciones con números decimales4

4.1. Suma, resta y multiplicación de números decimales

• Para sumar o restar números decimales:

1.º Colocamos los números de forma que las comas decimales estén alineadas, y añadimos los ceros necesarios para que todos tengan el mismo número de cifras decimales.

2.º Sumamos o restamos como si fueran números naturales, manteniendo la coma en su lugar correspondiente.

• Para multiplicar dos números decimales:

1.º Los multiplicamos como si fueran números naturales.

2.º Colocamos la coma en el resultado; tendrá tantas cifras decimales como tengan en total entre ambos factores.

EJEMPLO

7. Calcula estas operaciones.

a) 432,35 + 27,468

,,

432 35027 468+

,459 818

b) 637,1 - 96,78

,,

637 1096 78-

,540 32

c) 0,24 ? 9,5

,,

0 249 5

216

#

,

120

2 280

F

F

F

F

2 decimales

3 decimales

1 decimal

4.2. División de números decimales

Para dividir dos números decimales hay que eliminar las cifras deci-males del divisor multiplicando el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como decimales tiene el divisor.

Después, se hace la división teniendo en cuenta que, cuando se baja la primera cifra decimal del dividendo, se pone una coma en el cociente.

17 PRACTICA. Calcula.

a) 12,234 + 4,56

b) 90 + 15,75

c) 25,8 - 98,78 + 3,212

d) 2,456 - 1,765

e) 8 - 3,127

f ) 1,3 - 0,279

18 PRACTICA. Multiplica.

a) 1,54 ? 4

b) 24 ? 0,05

c) 23,1 ? 32

d) 3,65 ? 124

e) 54,1 ? 0,03

f ) 12,5 ? 43

19 APLICA. Opera.

a) 0,4 ? (13,2 - 4,01) + 7,3

b) 0,4 ? 13,2 - 4,01 + 7,3

c) 0,4 ? 13,2 - (4,01 + 7,3)

d) 0,4 ? (13,2 - 4,01 + 7,3)

20 REFLEXIONA. Completa en tu cuaderno.

a) 4 + 4,56 = 12,009

b) 4 - 4,56 = 12,009

ACTIVIDADES

21 Calcula el cociente y el resto de las siguientes divisiones.

a) 91,6 : 4

b) 178,65 : 5

c) 80 : 3,2

d) 289 : 4,25

e) 127,4 : 9,8

f ) 9,6 : 3,84

g) 5,3586 : 9

h) 12,153 : 6

i ) 4 786 : 2,375

j ) 1 914 : 6,28

k) 3,33 : 0,258

l ) 9,124 : 1,376

22 Sabiendo que 8,75 : 5 = 1,75, calcula:

a) 87,5 : 5

b) 0,875 : 5

c) 875 : 5

d) 8 750 : 5

23 Completa en tu cuaderno.

a) 0,12 : 4 = 6

b) 15 : 4 = 60

c) 25,38 : 4 = 2,7

d) 92,16 : 4 = 9,6

24 Carmen ha pagado 7,56 € por 4 kg de naranjas, 15 € por 2,5 kg de nueces y 11,90 € por 8,5 kg de plátanos.

a) ¿Cuánto cuesta el kilo de cada uno de los productos que compró Carmen?

b) ¿Qué producto es más caro?

ACTIVIDADES

Dividir números decimales

Calcula estas divisiones.

a) 17,41 : 7 b) 17 : 0,71 c) 17,2 : 0,71

Pasos a seguir

1. Dividendo decimal y divisor natural

Escribimos la coma en el cociente cuando bajamos la primera cifra decimal.

a) ,,

17 413 4

72 48

561

Cociente: 2,48 Resto: 0,05

2. Dividendo natural y divisor decimal

Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

Después, dividimos como si fueran números naturales.

b) ,17

1700280

67

0 71

7123

Cociente: 23 Resto: 0,67

3. Dividendo decimal y divisor decimal

Multiplicamos el dividendo y el divisor por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor.

Después, dividimos como si fueran números naturales.

c) , ,17 2

172030016

0 71

7124

Cociente: 24 Resto: 0,16

SABER HACER

3

2 cifras decimales2? 100

4

2 cifras decimales2? 100

4

En estas divisiones, el resto también es un número decimal.

Si hemos multiplicado por la unidad seguida de ceros, dividimos el resto de la división entre ese número:

67 : 100 = 0,67

16 : 100 = 0,16

Si no lo hemos hecho, el resto tiene el mismo orden que el cociente:

17,41 : 7 = 2,48

Resto = 0,05

centésima

centésima

F

F

Utilizando la calculadora, ¿cómo podrías calcular esta división sin utilizar la coma decimal?

9,87 : 2,3

RETO

Para resolver operaciones combinadas con números decimales, se utiliza la misma jerarquía de las operaciones que con los números enteros.

1.º Paréntesis y corchetes.

2.º Multiplicaciones y divisiones.

3.º Sumas y restas.

23,2 - (7,8 - 5,9) ? 7,01 =

= 23,2 - 1,9 ? 7,01 =

= 23,2 - 13,319 = 9,881

72 73

Números decimales 4

ES0000000121582 132291_U04_066_084_105346.indd 72-73 11/2/21 11:22

5 Podrás estudiar en casa por tu cuenta. Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a afianzar esos saberes.

6 Podrás repasar los contenidos y procedimientos que has trabajado en clase. En la parte Saber hacer aprenderás, paso a paso, los procedimientos necesarios para tu desarrollo matemático.

Biblioteca del profesorado

1 DÍA A DÍA EN EL AULA

– RECURSOS DIDÁCTICOS

• Esquema de la unidad

• Curiosidades matemáticas

• Notación matemática

• Estrategias de resolución de problemas

• Proyecto matemático

• Matemáticas con ordenador

– ENSEÑANZA INDIVIDUALIZADA

• Fichas de repaso y apoyo

• Fichas de profundización

– EVALUACIÓN

• Pruebas de evaluación de contenidos

• Pruebas de evaluación por competencias

2 SOLUCIONARIOS

• De todas las actividades del libro del alumnado

En PDF

3 COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI

• Literatura y Matemáticas

• Desarrollo de la competencia matemática

4 TUTORÍAS

• 22 sesiones de trabajo por curso

En Word modificable

5 DOCUMENTOS CURRICULARES

• Programación Didáctica de Aula

• Rúbricas de evaluación

ESO

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COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI

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• Literatura y Matemáticas

• Desarrollo de la competencia matemática

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En tu biblioteca de recursos

www.e-vocacion.es

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DÍA A DÍA EN EL AULA

Matemáticas

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ESO

DÍA A DÍA EN EL AULARecursos didácticos y atención a la diversidad

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• Guiones didácticos y bancos de recursos

• Enseñanza individualizada (repaso, apoyo y profundización)

• Evaluación de contenidos

• Evaluación por competencias

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10

Apoyo digital

Libro Media es el libro digital de Santillana, que reproduce el libro de papel de manera interactiva.

Disponible en dos versiones: profesorado y alumnado.

NOVEDADES:

• Nueva interfaz adecuada para Secundaria, más sencilla e intuitiva.

• Herramientas de personalización simples y funcionales.

• Más recursos, más interactivos y situados en el lugar adecuado para su visualización.

• Acceso rápido y sencillo a los recursos digitales complementarios y al material del profesorado.

¿Cómo puedes acceder al LibroMedia?

• Puedes consultarlo online, directamente desde la sección Mi Biblioteca de e-vocación (www.e-vocacion.es).

• También puedes encontrar tu LibroMedia online en aulavirtual.santillana.es, donde podrás acceder con tus claves de e-vocación o con una licencia que te dará tu delegada o delegado comercial de Santillana.

• Puedes consultarlo offline descargándolo en cualquiera de tus dispositivos (excepto en smartphone) utilizando nuestra aplicación Aula Virtual 3. También necesitarás acceder con tus claves de e-vocación o con licencia.

¿Cómo puedes dar acceso a tus estudiantes?

Tus alumnas y alumnos también pueden disponer de su versión de LibroMedia. Para ello, solicita las licencias a tu delegado o delegada comercial.

Para acceder, tus estudiantes necesitarán utilizar Aula Virtual, online u offline.

Recuerda… Aula Virtual 3 es la aplicación de Santillana para digitalizar tu aula de la forma más sencilla. Es gratuita y está disponible para la mayoría de los dispositivos y sistemas operativos. Con Aula Virtual 3 podrás descargar tus LibroMedia, personalizarlos y acceder a otras funciones útiles como realizar el seguimiento de tus estudiantes, compartir documentos e información con ellos, etc.

Puedes descargar la aplicación en digital.santillana.es o utilizarla online en aulavirtual.santillana.es.

11

Recursos didácticos

NÚMEROS ENTEROS1

RECURSOS DIDÁCTICOS

ESQUEMA DE LA UNIDAD

Números enteros

Operaciones con números enteros

Múltiplos y divisores de números enteros

Factorización de números enteros

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Opuesto de un númeroValor absoluto Comparación

Suma MultiplicaciónOperaciones combinadas

Descomposición en factores primos

Criterios de divisibilidad

Resta División

14 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U.

CURIOSIDADES MATEMÁTICAS

Pares e imparesLa paridad, es decir, el hecho de que un número sea par (divisible por 2) o impar, aparece en numerosos contextos de la vida cotidiana.

Uno de ellos es la numeración de las casas en las calles. En una acera están los números impares, y en la opuesta, los pares.

En la informática tiene también especial relevancia el con-cepto de paridad. Los ordenadores trabajan con informa-ción en el sistema binario, es decir, utilizan solo las cifras 1 y 0. A la hora de guardar la información en la memoria, y para asegurarse de que lo hacen correctamente, los orde-nadores añaden a cada byte (grupo de 8 bits) el llamado bit de paridad, que permite comprobar si ese byte es correcto o no.

Si el ordenador usa un método de paridad par, añade un 1 al byte cuando este tiene un número impar de cifras 1. En otro caso, añade un 0. En el método de paridad impar funciona al revés: se añade un 1 al byte, si este tiene un número par de cifras 1, y un 0 en caso contrario. Observa los ejemplos:

Método de paridad par: 11100010 Bit añadido: 0 (hay 4 cifras 1)

10001111 Bit añadido: 1 (hay 5 cifras 1)

Método de paridad impar: 11100010 Bit añadido: 1 (hay 4 cifras 1)

10001111 Bit añadido: 0 (hay 5 cifras 1)

Otro contexto en el que aparece la noción de paridad es en los juegos. Así, por ejemplo, en la ruleta se puede apostar a que la bola caiga en Par o en Impar.

También existe un juego con monedas llamado «Par o impar». El número de jugadores en este juego suele ser de dos, cuatro o seis. Cada jugador coge un número de monedas. Por turno cada uno elige «par» o «impar», indicando la paridad del número total de mo-nedas que ambos jugadores van a sacar. A una señal, los jugadores muestran las monedas que guardan en su mano y se anota un punto el jugador que haya acertado.

NÚMEROS ENTEROS


11

Tales de MiletoTales de Mileto fue uno de los siete sabios de Grecia, además del primer matemático griego que inició el desarrollo de la Geometría.

Tuvo que soportar durante años las burlas de quienes pensaban que sus horas de trabajo e investigación eran inútiles. Pero un día decidió sacar rendimiento a sus conocimientos. Sus ob-servaciones meteorológicas, por ejemplo, le sir-vieron para saber que la siguiente cosecha de aceitunas sería muy abundante. Así, compró to-das las prensas de aceitunas que había en Mileto. La cosecha fue excelente, y los agricultores tuvie-ron que pagarle por utilizar las prensas.

15DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U.

NOTACIÓN MATEMÁTICA

1NÚMEROS ENTEROS

¿Qué significa? ¿Cómo lo escribimos?

ZIndica el conjunto de los números enteros. Cuando queremos indicar el conjunto de todos

los números enteros lo designamos por Z.

El signo de los números enteros se debe colocar pegado al número, sin dejar espacios en blanco.

aIndica un número entero que puede ser positivo o negativo.

+a Indica un número entero positivo.


| a |Asigna a cada número el mismo número prescindiendo del signo.

El valor absoluto de un número es el mismo número prescindiendo del signo.

| 3 | = 3

| -3 | = 3

El opuesto de un número es el mismo número cambiado de signo.

Op (3) = -3

Op (-3) = 3

Op (a )Asigna a cada número el mismo número cambiándole de signo.



Regla de los signos. Proporciona el signo que tendrá el resultado de multiplicar o dividir dos números enteros.

Para multiplicar o dividir dos números enteros, se multiplican o dividen prescindiendo del signo. Después, se pone el signo que corresponde según la regla de los signos.

(-3) ? (+5) = -15

(+3) ? (+5) = +15

(+12) : (-3) = -4

(-8) : (-2) = +4

Factores Resultado

+ + +

+ - -

- + -

- - +


Buscar regularidades

ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

PROBLEMA RESUELTO

1 Un caminante encuentra en el desierto la serie de montones de piedras que se muestra en la figura. Tras observarlos un rato, se da cuenta de cómo se ha formado la secuencia. ¿Sabrías deducir cuántas piedras tendría el siguiente montón? ¿Y el siguiente a este?

Planteamiento y resolución

Comenzamos por hacer un listado del número de piedras de cada montón para intentar hallar algún patrón o regla de formación:

Montón 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º

Piedras 1 1 2 3 5 8

Si observas la secuencia, te darás cuenta de que el número de piedras de cada montón es igual a la suma de las piedras de los dos montones anteriores a él:

2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 5 = 2 + 3 8 = 3 + 5

Por tanto, el siguiente montón tendrá: 5 + 8 = 13 piedras y el siguiente a este tendrá: 8 + 13 = 21 piedras. Esta serie de números, donde cada uno es igual a la suma de los dos anteriores a él, se llama serie de Fibonacci, en honor a un matemático italiano del Renacimiento.

1NÚMEROS ENTEROS

Estrategia La estrategia de buscar regularidades consiste en tratar de averiguar, dados los primeros elementos de una secuencia, cuál es su regla de formación, y así poder hallar los siguientes elementos de la secuencia.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1 En la figura aparecen los cuatro primeros números triangulares (aquellos que pueden colocarse formando un triángulo). ¿Sabrías decir cuál es el quinto número triangular? ¿Y el sexto? ¿Y el décimo?

2 Los números del interior de los cuadrados se forman a partir de los que les rodean siguiendo la misma regla (solo se usan las operaciones básicas). Completa el interior del último cuadrado.


3

-2 5 4

1

9 1 -9

-3

6 7 4

2

8 -41 3 6 10


NÚMEROS ENTEROS1


PROYECTO MATEMÁTICO

Rascacielos

En este proyecto pretendemos que aprendas a:

• Conocer algunos de los rascacielos más altos del mundo y trabajar las aproximaciones.

• Utilizar la divisibilidad y los números enteros en contextos reales.

1 Los diez rascacielos más altos del mundo

Desde los primeros tiempos de la historia, el ser humano ha querido construir edificios tan altos que casi llegasen a tocar el cielo. Los rascacielos, como las demás estructuras arquitectónicas, han tenido un largo periodo de evolución. Avances tecnológicos como la invención del primer elevador con freno de emergencia por Elisha Otis, hacia 1850, y el uso del acero en las estructuras de las construcciones hicieron posible que los edificios se elevasen cada vez más.

En 1910, el edificio Metropolitan Life llegó a tener 50 pisos de altura, algo insólito hasta entonces. Dos décadas más tarde se levantaba el Empire State con sus 102 pisos.

La evolución de las concepciones arquitectónicas y la aplicación de soluciones tecnológicas han permitido levantar edificios cada vez más altos.

La acción terrorista contra las Torres Gemelas, que en el momento del atentado ocupaban (con 411 metros de altura) el tercer puesto entre los edificios más altos del mundo, así como otros

problemas asociados a estos edificios, han suscitado un movimiento de reflexión sobre su conveniencia.

Algunos de los rascacielos más altos del mundo son:

Nombre País Altura (m)

Torres Petronas Malasia 452

Torre Sears EE. UU. 436

Jim Mao Building China 421

Plaza Rakyat Malasia 382

Empire State Building EE. UU. 369

Tuntex & Chein Taiwan 347

Amoco EE. UU. 346

Centro John Hancock EE. UU. 343

Shung Hing Square China 325

Plaza CITIC China 322

RESUELVE LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES.

a) Redondea a las centenas las alturas de todos los rascacielos de la tabla. ¿Qué error cometes en cada uno de los casos?

b) Redondea las alturas a las decenas. ¿Qué error cometes ahora con cada aproximación?

c) Trunca a las centenas y, después, a las decenas las alturas de todos los rascacielos que muestra la tabla. ¿Qué error cometes en cada uno de los casos?

d) Halla la suma de las alturas de los diez rascacielos. Después, obtén el error cometido al estimar esa suma redondeando a las centenas y a las decenas.

e) Calcula el error en la estimación de la suma si, en vez de redondear, truncas a las centenas y a las decenas.

f) Estima cuántos rascacielos haría falta colocar, uno encima del otro, para conseguir 1 km de altura. Redondea el divisor a las centenas.


2 Proyectos para el futuro

Existen en la actualidad proyectos para construir edificios aún más altos. Entre los que han tenido mayor publicidad y significación en los últimos años está el Proyecto Torre Biónica, elaborado por Cervera & Pioz and Partners.

Este proyecto, en el que figuran muchos especialistas españoles, pretende dar un salto cualitativo en la construcción, impulsando el uso de técnicas totalmente distintas a las actuales.

Las novedosas técnicas, basadas en la imitación de los principios de flexibilidad y adaptabilidad de las estructuras biológicas, permitirían ajustar la altura, capacidad y uso de la torre a las diferentes condiciones económicas, medioambientales y sociales de la ciudad donde se construya.

La altura de la Torre Biónica será de 1 228 m (con 300 plantas), tendrá una capacidad máxima para 100 000 personas, y en ella habrá 368 ascensores de desplazamiento vertical y horizontal.

REALIZA LAS ACTIVIDADES.

a) ¿Cuántos metros de altura tendría cada planta de la Torre Biónica? Haz una estimación redondeando el dividendo.

b) ¿Cuántas copias de las Torres Petronas necesitaríamos apilar, una sobre otra, para alcanzar la altura de la Torre Biónica? Calcula el resultado exacto y el resultado redondeando a las centenas, y halla el error cometido.

1NÚMEROS ENTEROS


Las Torres Petronas, que puedes ver en la fotografía inferior, tienen 88 pisos sobre el suelo, 5 pisos bajo tierra y cuentan con 76 ascensores, incluidos 29 de ellos de alta velocidad en cada torre. Cada uno de estos ascensores puede transportar a 26 personas. La Torre Sears, de Chicago, consta de 108 pisos sobre el suelo y 3 pisos bajo tierra, y tiene un total de 104 ascensores.

HAZ ESTAS ACTIVIDADES.

a) En una mañana, en las Torres Petronas, todos los ascensores de alta velocidad han subido llenos desde la planta baja. Halla cuántas personas los utilizaron en total, si el número de personas fue mayor de 45 000 y menor de 46 000.

b) Si colocásemos, apiladas una encima de otra, copias de las Torres Petronas y de la Torre Sears, hasta obtener dos edificios con la misma altura, ¿cuántas copias de cada una necesitaríamos?

c) Partiendo del piso más bajo de cada uno de los dos edificios, subimos 20 pisos, bajamos 23, volvemos a subir 70 y bajamos 48. ¿En qué piso estaremos en cada uno de los casos?

d) Supongamos que la velocidad de los ascensores sea de 2 pisos por segundo. ¿Cuánto tardaríamos en subir desde el piso 0 al piso más alto de cada edificio? ¿Y en subir desde el piso más bajo?

e) Hemos tardado 30 segundos en llegar al piso 12. ¿De qué planta hemos partido en cada uno de los edificios?


MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes números.

a) 32, 24 y 16 b) 15, 10 y 30 c) 12 y 16 d) 21, 28, 63 y 35

NÚMEROS ENTEROS1

1 Utilizamos para cada apartado una fila. Situamos el cursor en la celda siguiente a una de las filas con mayor cantidad de números.

2 Pulsamos y elegimos la categoría Matemáticas. En esta categoría marcamos la función M.C.M().

3 Nos situamos en el primer número de la fila elegida y arrastramos hasta el último. Aceptamos y nos aparece el resultado.

4 Nos situamos en la siguiente celda y repetimos los pasos anteriores pero eligiendo la función M.C.D().

OpenOffice. CALCes.openoffice.org


ACTIVIDADES

1 Calcula el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor de los siguientes grupos de números.

a) 124, 126 y 128 c) 1 100, 260 y 833

b) 342, 624 y 400 d) 3 690, 8 430 y 1 990

2 Escribe dos números y multiplícalos. Después, calcula su mínimo común múltiplo y su máximo común divisor, y multiplícalos también. ¿Qué observas? ¿Ocurre lo mismo con otros números? ¿Y con tres números? ¿Y con cuatro?

5. Copiamos el rango y lo pegamos en las filas del resto de los apartados para obtener el m.c.m. y el m.c.d. en cada caso.


MATEMÁTICAS CON ORDENADOR

PASO A PASO

OpenOffice. CALCes.openoffice.org

NÚMEROS ENTEROS1

1 Escribimos los rótulos en las celdas E1 y F1.

En la fila 2 escribimos en las tres primeras celdas, A2, B2 y C2, los números del apartado a). Utilizamos las primeras celdas de las filas 3, 4 y 5 para los apartados b), c) y d).

Elegimos la fila con más números y nos situamos en la primera celda libre. En este caso la fila 5, y en la celda E5. Vamos a realizar primero el apartado d).

2 Utilizamos la función M.C.M (Número1; Número2; ...) para calcular el mínimo común múltiplo de los números.

Y pulsamos el botón Siguiente.

3 Nos situamos en la celda A5 y manteniendo pulsado el botón izquierdo del ratón, arrastramos hasta la celda D5 para elegir el rango de datos.

Otra forma de realizar este proceso es situarnos en la casilla Número 1 y pulsar la celda A5. A continuación, en la casilla Número 2 y pulsar la celda B5, y así sucesivamente.

Pulsamos Aceptar y obtenemos en la celda E5 el mínimo común múltiplo de los números del apartado d).

4 Nos situamos en la celda F5 y seguimos las indicaciones del paso 3 utilizando la función M.C.D (Número1; Número2; ...) para calcular el máximo común divisor. Pulsamos Siguiente y elegimos el mismo rango que en el paso 3. Al pulsar de nuevo Aceptar obtenemos en la celda F5 el máximo común divisor de los números del apartado d).

5 Para resolver el resto de apartados, como en el paso 1, elegimos la fila que tiene más números. Ahora podemos copiar las celdas E5 y F5 en el resto de filas.

El proceso es elegir el rango E5:F5 y copiarlo en el rango E2:F2 para el apartado a), en el rango E3:F3 para el apartado b) y en el rango E4:F4 para el apartado c).


1

2

3

4

5


Enseñanza individualizadaRepaso y apoyo

Profundización

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U.

Enseñanza individualizada

Los alumnos y las alumnas son muy diversos, tanto por su nivel académico como por sus inte-reses y grado de motivación. Las fichas de esta sección tienen como objetivo proporcionar recursos para atender a la diversidad del alumnado.

Las fichas de repaso y apoyo proponen trabajar los conceptos fundamentales de cada unidad didáctica atendiendo a los distintos tipos de dificultades que obstaculizan el aprendizaje.

• Objetivo de aprendizaje. Cada ficha trabaja un objetivo concreto. Estos objetivos son los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deberían alcanzar.

• Síntesis teórica. Cada ficha se inicia con una explicación teórica, relativa al objetivo de aprendizaje que se pretende trabajar. Esta síntesis es muy concreta y está escrita en un lenguaje sencillo.

• Ejemplo resuelto. La mayoría de las fichas proponen un ejercicio de ejemplo mediante el que el alumno o la alumna pueden comprobar el funcionamiento del concepto o del proce-dimiento trabajado y encontrar un modelo en el que basarse para realizar las siguientes actividades propuestas.

• Actividades propuestas. Con estas actividades los estudiantes podrán aplicar y practicar los contenidos y técnicas expuestas, ejemplificadas y que necesitan reforzar.

Las fichas de profundización están dirigidas a los alumnos y alumnas que pueden ir más allá del nivel medio del aula o bien a aquellos estudiantes que manifiestan un interés especial por determinados aspectos de las Matemáticas. Presentan una metodología indagatoria y plantean sencillas investigaciones.

Presentación

129

Nombre: Curso: Fecha:

1

ACTIVIDADES

1 Completa la siguiente tabla:

Expresiones comunesSe escribe

matemáticamenteSe lee

La cueva está a cincuenta y cinco metros de profundidad.

La sección de juguetes está en el tercer sótano.

La temperatura fue de un grado bajo cero.

La estación de metro se encuentra a cuarenta y cinco metros por debajo del suelo.

He perdido 2 €.

2 Escribe situaciones que representen los siguientes números negativos.

a) -2 ...........................................................................................................................................

b) -5 ...........................................................................................................................................

c) -10 ..........................................................................................................................................

d) -150 .........................................................................................................................................


Expresiones comunesSe escribe

matemáticamenteSe lee

Estamos a treinta y dos grados sobre cero.

El avión vuela a mil quinientos metros sobre el nivel del mar.

El monte tiene una altura de ochocientos metros.

La cometa es capaz de volar a ochenta metros.

Me encontré en el suelo un billete de 5 €.

Te espero en la planta baja.

COMPRENDER EL SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS POSITIVOS Y NEGATIVOS

REPASO Y APOYO OBJETIVO 1

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U.130


1

5 Representa en una recta los siguientes números enteros: +8, -9, +5, 0, -1, +6, -7, +11, -6.

6 Dados los números enteros: -7, +8, +3, -10, +6, +4, -2:

a) Represéntalos en la recta numérica.

b) ¿Cuál está más alejado del cero? ¿Y cuál está más cerca del cero?

c) Escribe, para cada uno de ellos, otro número situado a igual distancia del cero que él.

4 Un termómetro ha marcado las siguientes temperaturas en grados centígrados durante siete días. Exprésalas con números enteros.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS. ORDEN EN LA RECTA NUMÉRICA

Los números enteros se representan en una recta de esta manera:

1.º Dibujamos una recta y señalamos el cero, 0.

2.º Dividimos la recta en segmentos iguales (unidades), a la derecha y la izquierda del cero.

3.º A la derecha colocamos los números enteros positivos, y a la izquierda colocamos los números enteros negativos.

Observa que están ordenados:

COMPARACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

En la recta numérica se pueden representar los números enteros ordenados, para compararlos hay que tener en cuenta:

1.º Un número entero positivo es mayor que cualquier número entero negativo.

2.º Entre varios números enteros, siempre es mayor el que está situado más a la derecha sobre la recta.

3.º Para comparar utilizamos los símbolos mayor que (>) y menor que (<).

-7 -6 -5

Números enteros negativos Números enteros positivos

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6… …+7

FF FF

… -7 < -6 < -5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 < +3 < +4 < +5 < +6 < +7…

… +7 > +6 > +5 > +4 > +3 > +2 > +1 > 0 > -1 > -2 > -3 > -4 > -5 > -6 > -7…



Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo

Dos sobre cero

Cinco sobre cero

Cero gradosTres

bajo ceroDos

sobre ceroUno

bajo ceroCinco

bajo cero

-7 -6 -5

Números enteros negativos Números enteros positivos

-4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6… …+7

FF FF

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 2.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. U. 131


1

7 Ordena.

De menor a mayor (<) De mayor a menor (>)

-8, -16, +5, -2, +13, +3, -4, -9, +9, 0, +18, -10

+11, -2, +8, 0, -1, +5, -6, +3, -3, +7, -4, -9, +17

8 Escribe el signo que corresponda entre cada par de números enteros: < o >.

a) +5 -2 c) -1 0 e) +11 +15 g) -7 -4

b) +0 +8 d) -4 +1 f ) +10 -9 h) +5 -11


Valor absoluto Resultado Se lee

q+10u 10 El valor absoluto de +10 es 10.

q-8u

7

q-9u

El valor absoluto de -15 es 15.

10 Para cada número entero, halla su número opuesto y represéntalos en una recta numérica.

a) -3 b) +9 c) -12 d) +8

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO

• El valor absoluto de un número entero es la distancia, en unidades, que le separa del cero en la recta numérica.

• En la práctica se escribe entre dos barras qu y resulta el mismo número sin su signo:

Valor absoluto de -5 se escribe q-5u y es 5. Valor absoluto de +5 se escribe q+5u y es 5.

• Los números enteros +5 y -5 están a la misma distancia del cero: 5 unidades.

Observa que: q+5u = 5 q-5u = 5

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

F F

• Se dice que +5 y -5 son números opuestos y se escribe así:

Op (+5) = -5 Op (-5) = +5

• Dos números opuestos tienen el mismo valor absoluto.





1

Para sumar dos números enteros del mismo signo, se suman sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo de los sumandos.

Para sumar dos números enteros de distinto signo, se restan sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo del sumando con mayor valor absoluto.

Para restar dos números enteros se suma al primero el opuesto del segundo. Se aplica a continuación la regla de la suma de números enteros.

ACTIVIDADES

1 Realiza y representa en la recta numérica las siguientes sumas.

a) (-3) + (-1) b) (+4) + (+4) c) (+5) + (-2) d) (-2) + (-5) e) (+4) + (-4)

(+5) - (+2) = (+5) + (-2) = +3

Op (+2) = -2 q+5u = 5

q-2u = 2 4 5 - 2 = 3

EJEMPLO

(-6) - (-1) = (-6) + (+1) = -5

Op (-1) = +1 q-6u = 6

q+1u = 1 4 6 - 1 = 5

EJEMPLO

REALIZAR OPERACIONES ARITMÉTICAS CON NÚMEROS ENTEROS


(+3) + (+2) " q+3u = 3 q+2u = 2

3 + 2 = 54 (+3) + (+2) = +5

(-4) + (-1) " q-4u = 4 q-1u = 14 + 1 = 5

4 (-4) + (-1) = -5

EJEMPLO

(+3) + (+2) = +5

+2

F F

… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …

(+5) + (-1) " q+5u = 5 q-1u = 1

5 - 1 = 44 (+5) + (-1) = +4

(-6) + (+5) " q-6u = 6 q+5u = 5

6 - 5 = 14 (-6) + (+5) = -1

EJEMPLO

(+5) + (-1) = +4

-1F

… -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 …



1

OPERACIONES COMBINADAS DE SUMAS Y RESTAS DE NÚMEROS ENTEROS

Los números enteros pueden combinarse mediante sumas y restas. Hay que tener en cuenta una serie de reglas:

• Cuando el primer sumando es positivo se escribe sin signo.

• Al eliminar los paréntesis, el signo que le precede afecta a todos los números:

– El signo + mantiene los signos de todos los números: +(-7 + 2 - 1 + 8) = -7 + 2 - 1 + 8

– El signo - cambia los signos de todos los números: -(-7 + 2 - 1 + 8) = +7 - 2 + 1 - 8

Podemos operar de dos formas:

• Sumar por separado los enteros positivos, los enteros negativos y hallar la resta entre ambos.

• Realizar las operaciones en el orden en que aparecen.

2 Realiza las siguientes operaciones, utilizando las reglas anteriores.

Ejemplo: (+11) + (-2) = 11 - 2 = 9

a) (+7) + (+1) = d) (+10) - (+2) =

b) (-15) + (-4) = e) (-11) - (-10) =

c) (+9) - (-5) = f ) (-7) + (+1) =

3 Haz las operaciones.

a) 7 - 5 = d) -3 + 8 =

b) 11 - 4 + 5 = e) -1 + 8 + 9 =

c) -9 - 7 = f ) -10 + 3 + 7 =

4 Calcula.

a) 5 - 7 + 19 - 20 + 4 - 3 + 10 =

b) -(8 + 9 - 11) =

c) 9 - 11 + 13 + 2 - 4 - 5 + 9 =

d) -(20 + 17) - 16 + 7 - 15 + 3 =

Haz estas operaciones.

a) (+7) + (+2) = 7 + 2 = 9

b) (-4) + (-1) = -4 - 1 = -5

c) Primera forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -7 + 10 = +3

Segunda forma: +(-5 + 3 - 2 + 7) = -5 + 3 - 2 + 7 = -2 - 2 + 7 = -4 + 7 = +3

d) Primera forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = 7 - 10 = -3

Segunda forma: -(-5 + 3 - 2 + 7) = +5 - 3 + 2 - 7 = +2 + 2 - 7 = +4 - 7 = -3

EJEMPLO





1

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para multiplicar dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º Multiplicamos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

5 Calcula el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a) 8 - (4 - 7) = d) (-1 + 2 - 9) - (5 - 5) - 4 + 5 =

b) -4 - (5 - 7) - (4 + 5) = e) (-1 - 9) - (5 - 4 + 6 + 8) - (8 - 7) =

c) -(-1 - 2 - 3) - (5 - 5 + 4 + 6 + 8) = f ) -4 - (4 + 5) - (8 - 9) + 1 + 6 =

DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

Para dividir dos números enteros se siguen estos pasos:

1.º Dividimos sus valores absolutos.

2.º Al resultado le colocamos el signo + si ambos números son de igual signo, y el signo - si son de signos diferentes.

(+5) ? (-3) " * 1.º 5 ? 3 = 152.º -15, ya que son de distinto signo

4

(+5) ? (-3) = -15

(-5) ? (+3) " * 1.º 5 ? 3 = 152.º -15, ya que son de distinto signo

4

(-5) ? (+3) = -15

(-5) ? (-3) " * 1.º 5 ? 3 = 152.º +15, ya que son de igual signo

4

(-5) ? (-3) = +15

(+5) ? (+3) " * 1.º 5 ? 3 = 152.º +15, ya que son de igual signo

4

(+5) ? (+3) = +15

EJEMPLO

(+20) : (-4) " * 1.º 20 : 4 = 52.º -5, ya que son de distinto signo

4

(+20) : (-4) = -5

(-20) : (+4) " * 1.º 20 : 4 = 52.º -5, ya que son de distinto signo

4

(-20) : (+4) = -5

(-20) : (-4) " * 1.º 20 : 4 = 52.º +5, ya que son de igual signo

4

(-20) : (-4) = +5

(+20) : (+4) " * 1.º 20 : 4 = 52.º +5, ya que son de igual signo

4

(+20) : (+4) = +5

EJEMPLO





1

En las operaciones de multiplicación y división de números enteros se utiliza la regla de los signos.

Multiplicación División

(+) ? (+) = +

(-) ? (-) = +

(+) ? (-) = -

(-) ? (+) = -

(+) : (+) = +

(-) : (-) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

6 Realiza las siguientes operaciones.

a) (+7) ? (+2) = d) (-5) ? (+8) =

b) (+12) ? (-3) = e) (-1) ? (-1) =

c) (-10) ? (+10) = f ) (+5) ? (+20) =

7 Efectúa las divisiones.

a) (+16) : (+2) = c) (-25) : (+5) = e) (+12) : (-3) =

b) (-8) : (-1) = d) (-100) : (+10) = f ) (+45) : (+9) =

8 Calcula las siguientes operaciones, aplicando la regla de los signos.

a) (+12) ? (-3) = e) (-9) : (-3) = i ) (+10) ? (+4) =

b) (-20) : (-10) = f ) (-100) : (+25) = j) (-9) ? (+8) =

c) (+6) ? (-6) = g) (-1) ? (-18) = k) (+35) : (+5) =

d) (+80) : (-8) = h) (-77) : (-11) = l) (-12) ? (+5) =

9 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+9) ? ........ = -36 d) (-7) ? ........ = +21 g) ........ ? (-8) = -40

b) ........ ? (+10) = -100 e) (-30) ? ........ = +30 h) (+6) ? ........ = 0

c) (+3) ? ........ = -15 f ) (-8) ? ........ = +16 i ) ........ ? (-5) = +25

10 Completa los huecos con los números enteros correspondientes.

a) (+42) : ........ = -7 d) (-8) : ........ = +1 g) ........ : (-9) = +6

b) (-20) : ........ = -20 e) ........ : (-6) = +5 h) (+9) : ........ = -9

c) (+12) : ........ = -4 f ) (-64) : ........ = +8 i ) (-8) : ........ = -2





1

PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes.

COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE

Para dividir potencias de la misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.

Todo número se puede expresar como potencia de exponente 1.

ACTIVIDADES

1 Expresa con una sola potencia.

a) 22 ? 24 ? 23 = 22+4+3 = c) 52 ? 53 = e) 64 ? 6 ? 63 ? 62 =

b) (-4)4 ? (-4)4 = d) (-5)5 ? (-5)2 = f ) (-10)3 ? (-10)3 ? (-10)4 =

2 Expresa como producto de factores las siguientes potencias.

Potencia N.º de factores Producto de potencias de la misma base

55 2 52 ? 53

(-6)6 4

29 5

(-10)6 3

49 4

REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS


3 Coloca los exponentes que faltan de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso).

a) 22 ? 2.... ? 2.... = 26 d) 5.... ? 5.... = 55 g) (-2)4 ? (-2).... ? (-2).... = (-2)8

b) 42 ? 4.... ? 4.... ? 4.... = 47 e) (-7).... ? (-7).... = (-7)5 h) 106 ? 10.... ? 10.... = 109

c) 3.... ? 3.... ? 3.... = 35 f ) 10.... ? 10.... = 105 i ) 6.... ? 6.... ? 6.... = 66

22 ? 23 = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 25 En la práctica: 22 ? 23 = 22+3 = 25

EJEMPLO

2 = 21 (-3) = (-3)1 10 = 101 16 = 161 (-20) = (-20)1

EJEMPLO

? ?

? ? ? ?

? ?

? ??

?? ? ?

22

2 2 22 2 2 2 2

2 2 22 2 2

12 2

22

2 2 1 2 23

5

3

32 2= = = = = En la práctica:

22

2 23

55 3 2= =-

EJEMPLO



1

POTENCIA DE EXPONENTE CERO

Una potencia de exponente cero vale siempre uno.

? ?

? ?

22

2 2 22 2 2

88

1

22

3

3

3

33 3 0

= = =

-2 2= =

4 20 = 1


a) 33

3 32

66 2 4= =- c)

44

3

4

= e) 55

3

5

=

b) ( )( )

44

2

6

-

-= d)

( )( )

77 3

-

-= f )

( )( )

66

6

8

-

-=

5 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso).

a) 22

2 2....

........ 5= = c)

33

3 3....

........ 3= = e) .........

44

4....

....2= =

b) ..........1010

10....

....4= = d)

( )( )

..........55

5....

....2

-

-= = f ) .........

66

1....

....

= =

POTENCIA DE UNA POTENCIA

Para elevar una potencia a otra se mantiene la misma base y se multiplican los exponentes.


a) [(4)5]2 = (4)5 ? 2 = 4.... d) [(5)2]4 =

b) [(-3)3]3 = e) [(6)0]2 =

c) [(-8)2]3 = f ) [(10)3]4 =

7 Coloca los exponentes que faltan, de modo que se cumpla la igualdad. (Puede haber varias soluciones en cada caso.)

a) [2....].... = 28 c) [3....].... = 310 e) [(-5)....].... = (-5)6

b) [6....].... = 612 d) [4....].... = 1 f ) [10....].... = 102

[(2)3]2 = 23 ? 23 = 23+3 = 26 En la práctica: [(2)3]2 = (2)3?2 = 26

[(-3)4]3 = (-3)4 ? (-3)4 ? (-3)4 = (-3)4+4+4 = (-3)12 En la práctica: [(-3)4]3 = (-3)4?3 = (-3)12

EJEMPLO


REALIZAR OPERACIONES CON POTENCIAS


138


1

Los múltiplos de un número son aquellos números que se obtienen multiplicando dicho número por 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, por los números naturales.

× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 …

Múltiplos de 5 F 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...

Los divisores de un número son aquellos números naturales enteros que caben en él una cantidad exacta de veces.

Para hallarlos: 1.º Realizamos todas las divisiones posibles (entre números naturales menores e igual que él) tomando el número como dividendo.

2.º Buscamos las divisiones que sean exactas (resto = 0).

Calculamos los divisores de 8.

• 1, 2, 4 y 8 ... son divisores de 8. Dividen exactamente a 8.

• 3, 5, 6 y 7 no son divisores de 8. No lo dividen exactamente (resto ! 0).

8

0

1

8

8

0

2

4

8

2

3

2

8

0

4

2

8

3

5

1

8

2

6

1

8

1

7

1

8

0

8

1

En una tienda las rosquillas se venden en paquetes de 3 unidades. ¿Cuántas puedo comprar si me llevo varios paquetes?

3 ? 1 = 3 rosquillas 13 ? 2 = 6 rosquillas 13 ? 3 = 9 rosquillas3 ? 4 = 12 rosquillas 3 ? 5 = 15 rosquillas 3 ? 6 = 18 rosquillas

• Podemos comprar 3, 6, 9, 12, 15, 18… rosquillas.

• 3, 6, 9, 12, 15, 18... son múltiplos de 3.

• Los múltiplos de un número contienen a este una cantidad exacta de veces: 1, 2, 3, 4, 5, 6... paquetes de 3 unidades.

EJEMPLO

ACTIVIDADES

1 Lucas va al supermercado y observa que los pañuelos se venden en paquetes de 3 unidades, los yogures en grupos de 4 unidades y las pelotas de tenis en botes de 5 unidades. ¿Cuántas unidades de cada artículo podríamos comprar?

2 Escribe los números que sean:

a) Múltiplos de 5 y menores que 51.

b) Múltiplos de 25 y menores que 105.

c) Múltiplos de 30 y que estén comprendidos entre 50 y 280.

d) Múltiplos de 1 000 y que estén comprendidos entre 990 y 10 100.


IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y LOS DIVISORES DE UN NÚMERO


139


1

3 Realiza todas las divisiones posibles del número 12 entre números naturales menores e igual que él.

4 Completa la tabla con los datos del ejercicio anterior:

Divisores de 12

No divisores de 12

5 Tacha aquellos números que no sean:

a) Divisores de 2: {1, 2, 3}

b) Divisores de 9: {1, 2, 3, 4, 6, 9}

c) Divisores de 11: {1, 3, 7, 9, 11}

d) Divisores de 25: {1, 3, 5, 10, 15, 20, 25, 30}

e) Divisores de 48: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 16, 20, 24, 30, 45, 48}

f ) Divisores de 100: {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 40, 50, 60, 75, 90, 100}

6 Rellena los huecos con los divisores correspondientes.

36

060

1

36

36

160

18

36

060

12

36

0 9

36

0 6

36

0 4

36

0 3

36

0 2

36

0 1

7 Completa: Los divisores de 36 son .................................................................................

8 Completa los huecos con la palabra adecuada: múltiplo o divisor.

a) 25 es ...................... de 5. c) 16 es ...................... de 8.

b) 60 es ...................... de 120. d) 11 es ...................... de 33.

Cualquier número tiene al menos dos divisores: él mismo y la unidad.

Múltiplo y divisor son dos conceptos estrechamente ligados. En una división exacta entre dos números existe una relación especial llamada divisibilidad.

• 49 es múltiplo de 7. • El número mayor es múltiplo del menor.

• 7 es divisor de 49. • El número menor es divisor del mayor.

De igual forma:

• 64 es múltiplo de 4. • 35 es múltiplo de 5.

• 4 es divisor de 64. • 5 es divisor de 35.

49

0

7

7

64

240

4

1635

0

5

7


IDENTIFICAR LOS MÚLTIPLOS Y LOS DIVISORES DE UN NÚMERO


140


1

• Número primo: es aquel número que solo tiene dos divisores, él mismo y la unidad.

• Número compuesto: es aquel número que tiene más de dos divisores.

Divisores de 5 = 1 y 5 5 es un número primo.

Divisores de 8 = 1, 2, 4 y 8 8 es un número compuesto.

DESCOMPONER UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

• Los primeros números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

• Todo número compuesto se puede expresar como producto de otros que sean primos, y expresar sus divisores mediante la combinación de esos números, que llamamos factores primos.

• Para realizar la descomposición seguimos estos pasos:

1.º Intentamos dividir el número entre 2, tantas veces como se pueda.

2.º Luego intentamos también dividir el número restante entre 3, tantas veces como se pueda.

3.º Seguimos probando a dividir el número restante entre 5, 7, 11... tantas veces como se pueda, hasta obtener como cociente 1.

4.º Expresamos el número como producto de potencias de factores primos.

ACTIVIDADES

1 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

• Los que quedan sin tachar son números ....................................• Solo tienen .............. divisores, que son .........................................................................

2 En la siguiente serie de números, tacha los que son compuestos:

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45

46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

• Los que quedan tachados son números ....................................• Tienen más de .............. divisores.

Realiza la descomposición en producto de factores primos del número 60.

En la práctica se hace así: y se escribe: 60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5

Expresado con potencias quedaría:

60 = 22 ? 3 ? 5

Esta es la expresión de 60 como producto de factores primos.

Línea que actúa como «ventana»

de divisiónF

60 2

30 2

15 3

5 5

1

EJEMPLO


DESCOMPONER EN FACTORES PRIMOS. CALCULAR EL m.c.d. Y EL m.c.m.


141


1

3 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como producto de ellos: 24, 30, 45 y 60.

24 2 30 2 45 3 60 212 2 6 2 3 3 1

24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3

24 = 23 ? 3

4 Descompón los siguientes números en factores primos y exprésalos como producto de ellos: 25, 33, 75 y 100.

DIVISORES COMUNES A VARIOS NÚMEROS. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (m.c.d.)

Luis tiene 12 trenes de plástico y Pedro 18 aviones. Quieren hacer grupos con el mismo número de vehículos en cada uno de ellos, sin mezclarlos, y con el máximo número de juguetes. ¿Cómo serán los grupos?

• Calculamos los divisores de ambos números:

– Divisores de 12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12} Juan puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 4, 6 y 12 trenes.

– Divisores de 18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18} Pedro puede hacer grupos iguales de 1, 2, 3, 6, 9 y 18 aviones.

• 1, 2, 3 y 6 son divisores comunes de 12 y 18.

• 6 es el divisor mayor (máximo) de 12 y 18 y es común a ambos números.

• 6 es el máximo común divisor de 12 y 18 y se expresa así: m.c.d. (12, 18) = 6

El grupo más grande y con el mismo número de juguetes estará formado por 6 vehículos iguales.

5 Halla los divisores comunes de estos números.

a) 20 y 25 b) 16 y 24 c) 8 y 12 d) 8, 10 y 12




142


1

6 Calcula el m.c.d. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.

7 Calcula el m.c.d. de los números:

a) 6 y 15 b) 15 y 20 c) 10 y 35 d) 25 y 50


NúmerosDescomposición

en factores primosProducto de factores

comunes con menor exponentem.c.d.

60 y 4022 ? 3 ? 5

23 ? 522 ? 5 20

18 y 30

52

22 ? 52

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.d. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguiremos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Expresamos los números como producto de factores primos.

3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y que tengan el menor exponente.

4.º El producto de esos factores es el máximo común divisor.

Calcula el m.c.d. de 24 y 36.

1.º 24 2 36 2 2.º 24 = 2 ? 2 ? 2 ? 3 = 23 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3

36 = 2 ? 2 ? 3 ? 3 = 22 ? 32 Con menor exponente: 22 y 31

4.º m.c.d. (24, 36) = 22 ? 3 = 4 ? 3 = 12

12 2 18 2 6 2 9 3 3 3 3 3 1 1

EJEMPLO




143


1

9 Queremos embalar 40 latas de refresco de cola y 100 latas de refresco de limón en cajas de igual tamaño, lo más grandes posible y sin mezclarlas. ¿Cuántas latas pondremos en cada caja?

MÚLTIPLOS COMUNES A VARIOS NÚMEROS. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Ana va a nadar al polideportivo cada 3 días y Eva cada 4. ¿Cada cuánto tiempo coincidirán en el polideportivo?

• Ana va los días 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27... F Son los múltiplos de 3.

• Eva va los días 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32... F Son los múltiplos de 4.

• 12, 24... son los múltiplos comunes de 3 y 4.

• 12 es el múltiplo menor (mínimo) de 3 y 4 y es común a ambos números.

• 12 es el mínimo común múltiplo de 3 y 4 y se expresa así: m.c.m. (3, 4) = 12

Ana y Eva coincidirán en el polideportivo cada 12 días.

10 Halla los 3 primeros múltiplos comunes de estos números.

a) 5 y 10 c) 4 y 6

b) 9 y 12 d) 8 y 20

11 Calcula el m.c.m. de los números de cada apartado del ejercicio anterior.




144


1

12 Calcula el m.c.m. de los números.

a) 15 y 20 b) 8 y 12 c) 10 y 30 d) 9 y 15


NúmerosDescomposición

en factores primosProducto de factores primos comunes y

no comunes con mayor exponentem.c.m.

60 y 4022 ? 3 ? 5

23 ? 523 ? 3 ? 5 120

18 y 30

22 ? 3 ? 5

23 ? 52

14 Dos aviones de una línea aérea salen siempre del mismo aeropuerto. Uno lo hace cada 10 días y el otro cada 12. Si han salido hoy, ¿cuándo volverán a coincidir en el aeropuerto?

MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Hasta ahora el proceso empleado para calcular el m.c.m. es adecuado para números sencillos. Vamos a estudiar un método más general. Seguimos estos pasos:

1.º Descomponemos los números en factores primos.

2.º Expresamos los números como producto de factores primos.

3.º Escogemos en ambos números los factores que sean comunes y no comunes y que tengan el mayor exponente.

4.º El producto de esos factores es el mínimo común múltiplo.

Calcula el m.c.m. de 12 y 60.

1.º 12 2 60 2 2.º 12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3 3.º Factores comunes: 2 y 3

60 = 2 ? 2 ? 3 ? 5 = Factores no comunes: 5

60 = 22 ? 3 ? 5 Con mayor exponente: 22 ? 3 ? 5

4.º m.c.m. (12, 60) = 22 ? 3 ? 5 = 4 ? 3 ? 5 = 60

6 2 30 2

3 3 15 3

1 5 5

1

EJEMPLO

1




145


ACTIVIDADES

1 El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

2 Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro?

3 Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

4 Luis viaja a Barcelona cada 15 días y su hermana Marta lo hace cada 20 días. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en Barcelona si la última vez que coincidieron en esa ciudad fue el 2 de octubre?

PROFUNDIZACIÓN

1


1 El pasillo de una vivienda tiene 432 cm de largo y 128 cm de ancho. Se quiere poner baldosas cuadradas del mayor tamaño posible, sin tener que cortar ninguna. Calcula sus dimensiones y el número de baldosas.

432 = 24 ? 33

128 = 27

m.c.d. (432, 128) = 24 = 16

Las baldosas medirán 16 cm de lado y serán: 27 ? 8 = 216 baldosas

2 Alejandro tiene unas 150 fotografías. Puede pegarlas en un álbum en grupos de 8, 9 o 12 fotografías y sin que le sobre ninguna. ¿Cuántas fotografías tiene Alejandro?

8 = 23 9 = 32

12 = 22 ? 3

El número de fotografías ha de ser múltiplo de 8, 9 y 12, por lo que será múltiplo del m.c.m. (8, 9, 12) = 72.

El múltiplo de 72 más cercano a 150 es 144.

Por tanto, Alejandro tiene 144 fotografías.

3 Por una vía ferroviaria pasa un tren con dirección a Zaragoza cada 30 minutos y otro con dirección a Gijón cada 18 minutos. Si se han cruzado los dos trenes a las 10 de la mañana, halla a qué hora volverán a cruzarse.

18 = 2 ? 32; 30 = 2 ? 3 ? 5

Los trenes se volverán a cruzar en un número múltiplo de 18 y 30, y como m.c.m. (18, 30) = 90, se cruzan cada 90 minutos. El próximo cruce será a las 11:30 horas.

4 Luis viaja a Barcelona cada 15 días y su hermana Marta lo hace cada 20 días. ¿Cuándo coincidirán de nuevo en Barcelona si la última vez que coincidieron en esa ciudad fue el 2 de octubre?

15 = 3 ? 5 20 = 22 ? 5

m.c.m. (15, 20) = 60

Coinciden cada 60 días, luego, volverán a coincidir el 1 de diciembre.

1SOLUCIÓN DE LA FICHA PROFUNDIZACIÓN



2

LA FRACCIÓN COMO PARTE DE LA UNIDAD

Elena abre una caja de quesitos de 8 porciones y se come 2. Podemos expresar esta situación mediante una fracción:

Numerador: número de porciones que se come

Denominador: número de porciones de la caja

• Significado del denominador: número de partes iguales en las que se divide la unidad.

• Significado del numerador: número de partes que tomamos de la unidad.

• Significado de la raya de fracción: partición, parte de, entre, división o cociente.

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS FRACCIONES

Para dibujar y/o representar gráficamente las fracciones seguimos estos pasos:

1.º Elegimos el tipo de dibujo: círculo, rectángulo, cuadrado, triángulo (normalmente es una figura geométrica).

2.º Dividimos la figura en tantas partes iguales como nos indica el denominador.

3.º Coloreamos, marcamos o señalamos las partes que nos indica el numerador.

COMPRENDER EL CONCEPTO Y LOS SIGNIFICADOS DE LAS FRACCIONES


FF8

2

ACTIVIDADES


Fracción Numerador Denominador Se lee

94

127

1612

2510

43

2 Escribe la fracción que representa la parte sombreada de los gráficos.

a) b) c)


Recursos para la evaluación

De contenidos

Por competencias


Presentación

LA EVALUACIÓN EN LA LOMCE

La evaluación constituye una fase fundamental del proceso educativo:

• Nos informa del grado de adquisición de los contenidos y del desarrollo de las competencias por parte del alumnado.

• Es un instrumento fundamental para orientar la labor docente, pues, a raíz de sus resultados, es posible elaborar planes específicos para que cada alumno o alumna desarrolle mejor sus capacidades o habilidades, reforzando y mejorando en determinados campos en unos casos o profundizando y abarcando nuevos contenidos en otros.

EVALUACIONES EXTERNAS

La Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE) plantea importantes innova-ciones relacionadas con el proceso de evaluación, la principal de las cuales es, sin duda, el establecimiento de cuatro evaluaciones externas:

• Al finalizar los cursos de 3.º y 6.º de Primaria.

• Tras 4.º de Educación Secundaria Obligatoria.

• Al terminar 2.º de Bachillerato.

Las pruebas de Primaria son evaluaciones de diagnóstico que tienen como objetivo comprobar la adquisición de destrezas y de competencias por parte de los estudiantes, de modo que, si se detectase alguna carencia, se puedan establecer planes específicos de mejora. Sin embargo, las pruebas de 4.° de ESO y 2.° de Bachillerato tienen importantes efectos aca-démicos: si no se superan, los estudiantes no obtendrán los títulos de Graduado en ESO y de Bachillerato, respectivamente.

EVALUACIONES EXTERNAS EN LA LOMCE

3.o de Primaria 6.o de Primaria 4.o de ESO 2.o de Bachillerato

Diagnóstico Diagnóstico Obtención del título

de Graduado en ESO

Obtención del título de Bachillerato


UN COMPLETO SISTEMA DE EVALUACIÓN

El proyecto SABER HACER CONTIGO ofrece un amplio conjunto de recursos para facilitar la labor del profesorado y responder a sus necesidades, atendiendo a todos los aspectos de la evaluación:

• Evaluación de contenidos. Pruebas de control para cada unidad didáctica para comprobar el nivel de adquisición de los principales conceptos y procedimientos.

• Evaluación por competencias. Pruebas que evalúan el grado de adquisición de las compe-tencias.

• Rúbricas de evaluación. Documento en el que se proporcionan, para cada unidad didácti-ca, criterios para la observación y el registro del grado de avance de los alumnos y alumnas, de acuerdo con los estándares de aprendizaje.

• Generador de pruebas de evaluación. Herramienta informática que permite elaborar pruebas de evaluación personalizadas mediante la selección de actividades a través de un sistema de filtros. También permite editar y modificar las actividades o que el profesorado incluya otras de elaboración propia.

• Evaluaciones externas: nacionales e internacionales. Análisis de las principales evaluacio-nes externas de ámbito autonómico, nacional e internacional, destinadas a los estudiantes.

RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

La evaluación de contenidos permite controlar el proceso de enseñanza y aprendizaje, efec-tuando una comprobación permanente del nivel de adquisición de contenidos.

Como apoyo para facilitar esta labor, se proporcionan en todas las unidades didácticas:

• Pruebas de control. Se ofrecen dos pruebas:

– Prueba B. Prueba de nivel básico en la que se evalúan los contenidos mínimos que todos los alumnos y alumnas deben adquirir.

– Prueba A. Prueba de nivel avanzado.

• Estándares de aprendizaje y soluciones. En una tabla se relacionan los criterios de eva-luación y los estándares de aprendizaje del currículo de cada unidad con las actividades de las pruebas. Se incluyen, además, las soluciones de todas las actividades.


LAS COMPETENCIAS EN LA LOMCE

Las competencias son un conjunto integrado de capacidades (conocimientos, estrategias, des-trezas, habilidades, motivaciones, actitudes…) que los alumnos y alumnas han de poner en juego para dar respuesta a problemas cotidianos, aunque complejos, de la vida ordinaria.

La nueva ley de educación, basándose en el Marco de Referencia Europeo para las competen-cias clave en el aprendizaje permanente, ha definido siete competencias que los estudiantes deben haber adquirido al finalizar su trayectoria académica.

Estas competencias son las siguientes:

La incorporación de las competencias al currículo hace necesario integrarlas en las tareas y actividades didácticas que se desarrollan en el proceso de enseñanza-aprendizaje y, por tanto, tienen una relación directa con la evaluación del alumnado. Esto requiere que los estándares de aprendizaje evaluables hagan referencia no solo a los contenidos propios de las distintas áreas, sino también a la contribución de dichas áreas al logro de las competencias.

Presentación

Competencias

Comunicación lingüística

Es la habilidad para expresar e interpretar conceptos, pensamientos, sentimientos, hechos y opiniones de forma oral o escrita (escuchar, hablar, leer y escribir), y de interactuar lingüísticamente de una manera adecuada y creativa en todos los contextos.

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología

Integra la habilidad de aplicar los conceptos matemáticos, con el fin de resolver problemas en situaciones cotidianas, junto con la capacidad de aplicar el conocimiento y el método científico para explicar la naturaleza.

Competencia digital

Implica el uso seguro y crítico de las tecnologías de la información y la comunicación en la formación, el trabajo y el ocio.

Aprender a aprender

Engloba las habilidades necesarias para aprender, organizar el propio aprendizaje y gestionar el tiempo y la información eficazmente, ya sea de forma individual o en grupo.

Competencia social y cívica

Recoge los comportamientos que preparan a las personas para participar de una manera eficaz y constructiva en la vida social, profesional y cívica, en una sociedad cada vez más diversificada y plural.

Sentido de iniciativa y emprendimiento

Hace referencia a la habilidad de cada persona para transformar las ideas en actos, poniendo en práctica su creatividad, a la capacidad de innovación y de asunción de riesgos, y a las aptitudes necesarias para la planificación y la gestión de proyectos.

Conciencia y expresión cultural

Implica apreciar la importancia de la expresión creativa de ideas, experiencias y emociones a través de distintos medios (música, literatura, artes escénicas, artes plásticas…).


RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Entre los recursos para la evaluación que se incluyen en el proyecto SABER HACER CONTIGO, se proporcionan pruebas diseñadas para evaluar el desarrollo y la adquisición de las compe-tencias educativas por parte de los alumnos y las alumnas.

Estas pruebas de evaluación por competencias son complementarias a las que se proponen para la evaluación de contenidos. Tanto unas como otras evalúan los procesos cognitivos y el progreso en el aprendizaje, aunque las segundas están más guiadas por el currículo de las áreas, y las primeras, por la contribución de tales áreas al logro de las competencias educativas.

En el área de Matemáticas, nuestro proyecto editorial ofrece los siguientes elementos:

• Pruebas de evaluación por competencias. Para cada unidad se ofrece una prueba referida fundamentalmente a las competencias más ligadas con el área: competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología, sentido de iniciativa y emprendimiento, co-municación lingüística y competencia social y cívica.

• Estándares de aprendizaje. Los estándares de aprendizaje del perfil de la competencia se ponen en relación con las actividades.

• Soluciones. Se incluyen las respuestas a todas las actividades planteadas en cada prueba.


1 Encuentra el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes números: 42 y 315. Comprueba que el producto de ambos números es igual que el producto del m.c.d. por el m.c.m.

2 Dos ciclistas dan vueltas en un velódromo. El primero da una vuelta cada 108 segundos, y el segundo, cada 72 segundos. Si mantienen el mismo ritmo, calcula al cabo de cuánto tiempo vuelven a coincidir y cuántas vueltas ha dado cada uno en ese momento.

3 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: -2, 3, -1, 2, 0 y -3.

0

4 Haz las siguientes operaciones.

a) 3 - 15 - 6 + 12 - 5 - 4 =

b) -2 - (-5) + (3 - 2) - (2 - 4) =

c) 8 - (5 - 3 - 6) + (4 + 3) =

d) (+5) ? (-3) =

e) (+3) ? (-2) ? (-5) =

f ) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 =


a b a ? b Signo (a ? b) a : b Signo (a : b) qa ? bu

8 2

12 -4

-15 -5

6 Completa los datos que faltan en el extracto bancario:

Fecha Concepto Pagos Ingresos Saldo

7 enero Saldo - - +535

7 enero Recibo de teléfono +23 -

9 enero Transferencia - +50

12 enero Ingreso - +600

7 Un barco pesquero ha capturado una gran cantidad de calamares y se dispone a congelarlos. En el interior de su cámara frigorífica, la temperatura desciende 2 °C cada diez minutos. Si al principio la cámara se encontraba a 4 °C:

a) ¿Qué temperatura habrá después de una hora y media de funcionamiento?

b) ¿Cuánto tiempo tardará en encontrarse a -30 °C?


1EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

PRUEBA B

1SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES




3 Dos corredores dan vueltas en un circuito. El primero entrena 108 minutos, y el segundo, 72 minutos. Si mantienen el ritmo constante y al final han dado el mismo número de vueltas, ¿cuál es el número máximo de vueltas que han podido dar?


a b c qau a ? qb + cu qau ? qb + cu

-2 4 3

-4 -3 6

5 Realiza los cálculos.

a) (+5) ? (-3) =

b) (+3) ? (-2) ? (-5) =

c) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 =

d) 18 ? 4 - (10 - 3) : 7 - (5 ? 2) =



8 2

12 -4

-15 -5




7 enero Recibo de teléfono +23 -

9 enero Transferencia - +50

12 enero Ingreso - +600





1EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

PRUEBA A


1PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS1ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje Actividades

B.2‑1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B.2‑1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

3

B.2‑1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

4, 5

B.2‑1.3. Emplea adecuadamente los distintos tipos de números y sus operaciones, para resolver problemas cotidianos contextualizados, representando e interpretando mediante medios tecnológicos, cuando sea necesario, los resultados obtenidos.

2, 6, 7

B.2‑2. Conocer y utilizar propiedades y nuevos significados de los números en contextos de paridad, divisibilidad y operaciones elementales, mejorando así la comprensión del concepto y de los tipos de números.

B.2‑2.2. Aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 para descomponer en factores primos números naturales y los emplea en ejercicios, actividades y problemas contextualizados.

1

B.2‑2.3. Identifica y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales mediante el algoritmo adecuado y lo aplica en problemas contextualizados.

1, 2


42 = 2 ? 3 ? 7 315 = 32 ? 5 ? 7

m.c.d. (42, 315) = 21

m.c.m. (42, 315) = 630

42 ? 315 = 21 ? 630 = 13 230


Se calcula el m.c.m. de los números 108 y 72, que es 216.

Es decir, coinciden cada 216 segundos y el primer ciclista habrá dado dos vueltas, mientras que el segundo llevará tres.

3 Ordena, de mayor a menor, los siguientes números enteros y represéntalos sobre la recta: -2, 3, -1, 2, 0 y -3.

-3 -2 -1 0 2 3

-3 < -2 < -1 < 0 < 2 < 3

PRUEBA B

314


4 Haz las siguientes operaciones.

a) 3 - 15 - 6 + 12 - 5 - 4 = 15 - 30 = -15

b) -2 - (-5) + (3 - 2) - (2 - 4) = -2 + 5 + 1 + 2 = -2 + 8 = +6

c) 8 - (5 - 3 - 6) + (4 + 3) = 8 - (-4) + 7 = 8 + 4 + 7 = +19

d) (+5) ? (-3) = -15

e) (+3) ? (-2) ? (-5) = (-6) ? (-5) = +30

f ) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = (-77) ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = 154 : 7 : (-11) ? 3 = 22 : (-11) ? 3 = (-2) ? 3 = -6



8 2 16 + 4 + 16

12 -4 -48 - -3 - 48

-15 -5 75 + 3 + 75




7 enero Recibo de teléfono +23 - +512

9 enero Transferencia - +50 +562

12 enero Ingreso - +38 +600



-14 °C


2 h 50 min

* Criterios de evaluación y estándares de aprendizaje del currículo oficial del Ministerio.



Criterios de evaluación Estándares de aprendizaje Actividades

B.2‑1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B.2‑1.2. Calcula el valor de expresiones numéricas de distintos tipos de números mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente natural aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

5, 6


7, 8


B.2‑2.2. Aplica los criterios de divisibilidad por 2, 3, 5, 9 y 11 para descomponer en factores primos números naturales y los emplea en ejercicios, actividades y problemas contextualizados.

1, 2, 3

B.2‑2.3. Identifica y calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales mediante el algoritmo adecuado y lo aplica en problemas contextualizados.

1, 2, 3

B.2‑2.5. Calcula e interpreta adecuadamente el opuesto y el valor absoluto de un número entero comprendiendo su significado y contextualizándolo en problemas de la vida real.

4


42 = 2 ? 3 ? 7 315 = 32 ? 5 ? 7

m.c.d. (42, 315) = 21

m.c.m. (42, 315) = 630

42 ? 315 = 21 ? 630 = 13 230


Se calcula el m.c.m. de los números 108 y 72, que es 216.

Es decir, coinciden cada 216 segundos y el primer ciclista habrá dado dos vueltas, mientras que el segundo llevará tres.

3 Dos corredores dan vueltas en un circuito. El primero entrena 108 minutos, y el segundo, 72 minutos. Si mantienen el ritmo constante y al final han dado el mismo número de vueltas, ¿cuál es el número máximo de vueltas que han podido dar?

El número de vueltas es divisor de 108 y 72.

Se calcula el m.c.d. de los números 108 y 72, que es 36.

Es decir, el número máximo de vueltas que han podido dar es 36.

316

PRUEBA A



a b c qau a ? qb + cu qau ? qb + cu

-2 4 3 2 -14 14

-4 -3 6 4 -12 12

5 Realiza los cálculos.

a) (+5) ? (-3) = -15

b) (+3) ? (-2) ? (-5) = (-6) ? (-5) = +30

c) (-1 001) : 13 ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = (-77) ? (-2) : 7 : (-11) ? 3 = 154 : 7 : (-11) ? 3 = 22 : (-11) ? 3 = (-2) ? 3 = -6

d) 18 ? 4 - (10 - 3) : 7 - (5 ? 2) = 72 - 7 : 7 - 10 = 72 - 1 - 10 = 61



8 2 16 + 4 + 16

12 -4 -48 - -3 - 48

-15 -5 75 + 3 + 75




7 enero Recibo de teléfono +23 - +512

9 enero Transferencia - +50 +562

12 enero Ingreso - +38 +600



-14 °C


2 h 50 min



1 En un pozo minero ha habido un derrumbe. Se han activado las medidas de emergencia y se ha formado un equipo de salvamento.

De los 32 mineros que permanecían en el interior de la mina en el momento del derrumbe tan solo dos de ellos siguen atrapados.

La estructura de esta mina subterránea de carbón está formada por galerías horizontales. Además, la distancia vertical entre cada dos galerías es de 10 m, y su altura, 2 m.

a) ¿A qué profundidad se encuentran los mineros atrapados?

b) Los equipos de salvamento están en las galerías 18 y 11. ¿Qué grupo de salvamento se encuentra a menor distancia de los mineros?

c) Es necesario perforar para llegar hasta los mineros. Según los técnicos, solo se puede perforar 1 m cada 12 minutos al descender y 1 m cada 9 minutos al ascender.

¿Desde qué galería se llegará primero?

2 La lesión de tobillo de Miguel no le impide hacer la compra semanalmente. Miguel visita periódicamente las páginas de internet de dos supermercados y luego compara los precios.

Compra Online

Carnicería

Alimentación Electrodomésticos Viajes Hogar Deporte Electrónica

Bebidas

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Pescados

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Inicio / Catálogo

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Carnicería

Alimentación Electrónica Hogar

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Deporte Viajes

Productos Congelados

Pescados

LácteosCereales

Conservas Verduras

3 x 2

Ha confeccionado una tabla con la diferencia de precios de los artículos que necesita en los dos supermercados, Súper 1 y Súper 2.

Artículo En Súper 1 es…

Bote de tomate frito 6 cént. más baratoBotella de aceite 72 cént. más caraBotella de refresco 9 cént. más barataBotella de zumo 23 cént. más barataBolsa de galletas 8 cént. más caraLechuga 2 cént. más caraKilo de tomates 12 cént. más baratoBarra de pan 3 cént. más caraKilo de arroz 16 cént. más barato

a) Si una botella de aceite cuesta 2,15 € en el Súper 1, ¿cuánto cuesta en el Súper 2?

b) Si una lechuga cuesta 65 céntimos en el Súper 2, ¿cuánto cuesta en el Súper 1?

c) Si compra pan, una botella de zumo y un kilo de arroz, ¿dónde le saldrá más barato?

d) ¿En qué supermercado es más barato hacer toda la compra?

e) ¿Cuánto dinero se ahorrará?

El derrumbe se ha producido en la galería 14. Creemos que es donde

permanecen los dos mineros.


1EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

1SOLUCIÓN DE LAS ACTIVIDADES



Competencias que se evalúan

Criterios de evaluación* Estándares de aprendizaje Actividades

Aprender a aprender B.2‑1. Utilizar números naturales, enteros, fraccionarios, decimales y porcentajes sencillos, sus operaciones y propiedades para recoger, transformar e intercambiar información y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

B.2‑1.1. Identifica los distintos tipos de números (naturales, enteros, fraccionarios y decimales) y los utiliza para representar, ordenar e interpretar adecuadamente la información cuantitativa.

1, 2


1, 2

Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología


B.2‑2.1. Reconoce nuevos significados y propiedades de los números en contextos de resolución de problemas sobre paridad, divisibilidad y operaciones elementales.

1, 2

1 a) El suelo de la primera galería está a 12 m de la superficie, el suelo de la segunda a 12 metros más, el de la tercera a otros 12 m del suelo de la segunda…

El techo de la galería 14 estará a: 14 ? 12 - 2 = 166 m de profundidad

El suelo de la galería 14 estará a: 14 · 12 = 168 m de profundidad

b) La distancia entre el suelo de la 11 y el techo de la 14 es: 3 ? 12 - 2 = 34 m

La distancia entre el suelo de la 14 y el techo de la 18 es: 4 ? 12 - 2 = 46 m

Están a menor distancia los situados en la galería 11.

c) Para llegar de la galería 11 a la 14 deben perforar 30 m, ya que las galerías son huecas y no hay que perforarlas, por lo que tardarán: 30 ? 12 = 360 minutos.

Para llegar de la galería 18 a la 14 deben perforar 40 m, y tardarán: 40 ? 9 = 360 minutos.

Por tanto, los dos equipos de salvamento tardarán el mismo tiempo.

2 a) 2,15 - 0,72 = 1,43 €

b) 65 + 2 = 67 céntimos

c) Si lo compra en el Súper 1: 3 + (-23) + (-16) = -36

En el Súper 1 le costará 36 céntimos menos que en el Súper 2.

d) y e) Si hace toda la compra en el Súper 1:

-6 + 72 + (-9) + (-23) + 8 + 2 + (-12) + 3 + + (-16) = 19

Si hace toda la compra, le sale 19 céntimos más cara en el Súper 1.


DÍA A DÍA EN EL AULA Matemáticas ESO 2

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